第22届“希望杯”全国数学邀请赛高二第一试试题和答案(word版)
历届“希望杯”全国数学邀请赛100题精选(高二)
历届“希望杯”全国数学邀请赛100题精选（高二） 题一、已知y x a b b y b b a x b a ,,,,0则--=-+=<<的大小关系是 .（第十一届高二第一试第11题）题二、设c b a >>N n ∈,，且11n a b b c a c+≥---恒成立，那么n 的最大值为 （ ） A 、2 B 、3 C 、4 D 、5 （第十一届高二第一试第7题）题3、设实数y x n m ,,,知足a n m =+22，b y x =+22，那么ny mx +的最大值为 （ ） A 、21()b a + B 、2122b a + C 、222b a + D 、ab （第十一届高二培训题第5题）题4、关于1≤m 的一切实数m ，使不等式221(1)x m x ->-都成立的实数x 的取值范围是 . （第十三届高二培训题第63题） 题5、当0x a <<时,不等式2)(1122≥-+x a x 恒成立,那么a 的最大值是________. (第十一届高二培训题第45题)题6、已知()⎪⎭⎫ ⎝⎛∈=2,0,log sin πθθx x f ，设⎪⎭⎫ ⎝⎛+=2cos sin θθf a ，()θθcos sin ⋅=f b ，⎪⎭⎫ ⎝⎛+=θθθcos sin 2sin f c ，那么c b a 、、的大小关系是 （ ） A 、b c a ≤≤ B 、a c b ≤≤ C 、a b c ≤≤ D 、c b a ≤≤（第八届高二第一试第10题）题7、已知21=a ，不等式49321log <⎪⎭⎫⎝⎛-x a 的解是 .（第三届高二第二试第13题） 题8、不等式t x x +≥-21 的解集是∅ ,实数t 的取值范围(用区间形式)是 .(第一届高二第一试第18题)题9、不等式03422≥+---x x x 的解集是 （ ）A 、⎥⎦⎤⎢⎣⎡++255,253B 、⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-255,253 C 、⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞+⎥⎦⎤ ⎝⎛+∞-,255253, D 、⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-253,255 （第十三届高二第二试第8题）题10、不等式199920003224>-+-x x 的解集是 . （第十一届高二培训题第41题） 题11、使不等式x a x arccos 2>-的解是121≤<-x 的实数a 的取值范围是（ ） A 、21π- B 、3222π- C 、6522π- D 、π-21 （第十一届高二第一试第6题）题12、已知b a ,是正数，而且1996199619981998b a b a +=+，求证222≤+b a .(第十届高一培训题第74题)题13、设1x ，2x ，3x ，1y ，2y ，3y 是实数，且知足1232221≤++x x x ，证明不等式)1)(1()1(2322212322212332211-++-++≥-++y y y x x x y x y x y x .（第十届高二第二试第22题）题14、已知0x y z >、、，而且2222222111x y z x y z ++=+++， 求证：2111222≤+++++z z y y x x . （第一届备选题） 题15、求所有的正实数a ，使得对任意实数x 都有22sin 22cos ≤+x x a a（第十一届高二第二试第23题）题16、函数()()122222>-+-=x x x x x f 的最小值为 ( ) A 、-1 B 、1 C 、-2 D 、2 （第七届高一培训题第2题）题17、已知,,x y z R +∈，且1231x y z ++=，那么23y z x ++的最小值是 （ ） A 、5 B 、6 C 、8 D 、9（第十一届高二第二试第9题、高二培训题第14题）题18、设b a y x ,,,为正实数，b a ,为常数，且1=+yb x a ,那么y x +的最小值为_______. （第十一届高二培训题第36题）题19、若是1=++c b a_______．（第八届高二第一试第19题）题20、若10<<c b a 、、，而且2=++c b a ，那么222c b a ++的取值范围是 （ ） A 、43⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，B 、423⎡⎤⎢⎥⎣⎦，C 、423⎡⎫⎪⎢⎣⎭，D 、4,23⎛⎫ ⎪⎝⎭ （第九届高二第一试第10题）题21、假设0,>y x ，且12=+y x ，那么⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=y y x x u 411的最小值是 . （第一届高二第一试第20题）题22、已知+∈R b a ,，且1=+b a ，那么1111a b ⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的最小值是 . (第八届高二培训填空题第6题) 题23、设R y x ∈,，且221x y +≤，那么xy y x ++的最大值是 ，最小值是 ．（第六届高二培训解答题第2题、第八届高二第一试第23题）题24、假设223x xy 3y 20-+=，那么228x 23y +的最大值是 ．（第十三届高二培训题第68题）题25、函数xx x y sin 1cos sin ++=的最大值是＿＿＿＿． （第九届高二培训题第43题） 题26、函数1212y sin x cos x =+的值域是 . （第十一届高二培训题第46题）题27、设+∈N n ，那么|2001||1950||1949|-+⋯+-+-n n n 的最小值是 ．（第九届高二培训题第53题）题28、6110s =+++，那么s 的整数部份是 （ ）A 、１９９７ Ｂ、１９９８ C 、１９９９ D 、２０００（第八届高二第二试第１０题）题 29、求函数4803224+++-=x x x y 的最小值和取最小值时x 的值（第十三届高二培训题第81题） 题30、函数223223x x x x y -+++-=的最大值是 ,最小值是 .(第十四届高二第二试第16题) 题31、已知+∈R z y x 、、，求函数()222,,xy yz u x y z x y z +=++的最大值. （第九届高二培训题第61题）题32、已知a,b R ∈，且a b 10++=，那么()()2223a b -+-的最小值是 .（第十届高二培训题第44题）题33、实数x ，y 知足方程94622--=+y x y x ，那么y x 32-的最大值与最小值的和等于_______. （第十届高二第二试第17题） 题34、线段AB 的端点坐标是A （-1，2），B （2，-2），直线y=kx+3与线段AB 相交的充要条件是 （ ） A 、125≤≤-k B 、251≤≤k C 、125≤≤-k 且k ≠0 D 、125≥-≤k k 或 （第八届高二培训题第2题）题35、过点()1,1P 且与两条坐标轴围成面积为2的三角形的直线的条数是 .(第十届高二第一试第18题)题36、某工厂安排甲、乙两种产品的生产.已知每生产1吨甲产品需要原材料A 、B 、C 、D 的数量别离为1吨、2吨、2吨、7吨；每生产1吨乙产品需要原材料A 、B 、D 的数量别离为1吨、4吨、1吨.由于原材料的限制，每一个生产周期只能供给A 、B 、C 、D 四种原材料别离为80吨、80吨、60吨、70吨.假设甲、乙产品每吨的利润别离为2百万元和3百万元.要想取得最大利润，应该在每一个生产周期安排生产甲产品 吨，期望的最大利润是 百万元.（第十三届高二第一试第25题）题37、点M ()00,y x 是圆()0222>=+r r y x 内圆心之外的一点，那么直线200r y y x x =+与该圆的位置关系是 （ ）（A ）相切 （B ）相交 （C ）相离 （D ）相切或相交（第七届高二第一试第5题） 题38、过圆016222=+-++y x y x 与圆0176622=+--+y x y x 的交点的直线方程是 . （第二届高二第二试第15题） 题39、假设实数x 、y 适合方程014222=+--+y x y x ，那么代数式2+x y 的取值范围是 . （第九届高二第一试第17题）题40、圆()1122=-+y x 上任意一点()y x P ,都使不等式0≥++c y x 成立，那么C 的取值范围是 （ ）A 、(]0,∞-B 、)+∞C 、1,)+∞D 、[1)+∞ （第七届高二第一试第10题）题41、E 、F 是椭圆22x y 142+=的左、右核心，l 是椭圆的准线，点P l ∈，那么EPF ∠的最大值是 （ ）A 、15°B 、30°C 、45°D 、60° （第十三届高二培训题第21题）题42、椭圆()012222>>=+b a by a x 的两核心是1F 、2F ，M 为椭圆上与1F 、2F 不共线的任意一点，I 为21F MF ∆的内心，延长MI 交线段1F 2F 于点N ，那么IN MI :的值等于 ( )A 、b aB 、c aC 、c bD 、a c （第十三届高二培训题第19题） 题43、过椭圆左核心F 作直线交椭圆于B A 、两点，假设3:2:=BF AF ，且直线与长轴的夹角为4π，那么椭圆的离心率为 （ ） A 、51 B 、52 C 、53 D 、52 （第十一届高二第一试第8题） 题44、若是点A 的坐标为(1,1)，1F 是椭圆459522=+y x 的左核心，点P 是椭圆上的动点，那么1PF PA +的最小值为_________________.（第十一届高二培训题第66题） 题45、设1F 、2F 是椭圆的两个核心，假设椭圆上存在点P ，使oPF F 12021=∠，那么椭圆离心率e 的范围是______. （第十二届高二第一试第20题）题46、1F 、2F 是椭圆2214x y +=的两个核心， P 是椭圆上任意一点，那么21PF PF ⋅的最小值是＿＿＿＿. （第七届高二第一试第19题）题47、21,F F 是椭圆()012222>>=+b a by a x 的核心，P 是椭圆上的一点，且︒=∠9021PF F ，那么21PF F ∆的面积是 . （第四届高二第一试第30题）题48、椭圆12222=+by a x 的内接三角形的最大面积是＿＿＿. （第九届高二第二试第20题） 题49、Rt △ABC 中，AB=AC ，以C 点为一个核心作一个椭圆，使那个椭圆的另一个核心在边AB 上，且椭圆过A ，B 两点.求那个椭圆的离心率. （第二届高二第二试第21题）题50、设点1F 是椭圆12322=+y x 的左核心，弦AB 过该圆的右核心2F ，试求AB F 1∆的面积的最大值. （第六届高二第二试`第21题）题51、Let point M move along the ellipse 18922=+y x ,and point F be its right focus, then for fixed point P(6,2) ,then maximum of 3|MF|-|MP| is ,where the coordinate of M is . (ellipse 椭圆；focus 核心；coordinate 坐标)（第十四届高二第二试第18题）题52、已知双曲线k y x =-22关于直线x-y=1对称的曲线与直线x+2y=1相切，那么k 的值等于 （ ）A 、32B 、34C 、45D 54 （第十五届高二培训题第19题） 题53、21,F F 是双曲线3322=-y x 的左、右核心，B A ,两点在右支上，且与2F 在同一条直线上，那么11F A F B +的最小值是____________. （第四届高二第二试第15题）题54、方程()()|3|2222+-=-+-y x y x 表示的曲线是 ( ) A 、直线 B 、椭圆 C 、双曲线 D 、抛物线（第十二届高二培训题第23题） 题 55、已知1≥x ，那么动点A ⎪⎭⎫ ⎝⎛-+x x x x 1,1与点B （1，0）的距离的最小值是_________.（第七届高二第一试第23题）题56、抛物线2x y =上到直线02=++y x 的距离最小的点的坐标是________．（第九届高二培训题第27题）题57、在抛物线x y 42=上恒有两点关于直线3+=kx y 对称,那么k 的取值范围是 .(第十五届高二培训题第71题)题58、抛物线x y 42=的一条弦的倾斜角是α,弦长是α2csc 4,那么这种弦都通过必然点,该定点是 ． （第十三届高二培训题第73题） 题59、长为)1(<l l 的线段AB 的两头在抛物线2x y =上滑动，那么线段AB 的中点M 到x 轴的最短距离等于 . （第13届高二第二试第20题） 题60、动圆M 过定点A 且与定圆O 相切，那么动圆M 的中心的轨迹是 （ ）A 、圆B 、圆，或椭圆C 、圆，或椭圆，或双曲线D 、圆，或椭圆，或双曲线，或直线（第三届高二第二试第10题） 题61、设直线n m ,都是平面直角坐标系中椭圆72x +32y =1的切线，且n m ⊥，m 、n 交于点P ，那么点P 的轨迹方程是 ． （第十二届高二培训题第47题） 题62、已知曲线C 上任意一点到定点A （1，0）与定直线4=x 的距离之和等于5.关于给定的点()0,b B ，在曲线上恰有三对不同的点关于点B 对称，求b 的取值范围.（第十二届高二第二试第23题）题63、已知k ∈R ，关于x,y 的方程y 4+4y 3+(2x+2kx-kx 2)y 2+8xy+(4kx 2-2kx 3)=0表示一组曲线，其中有一条是固定的抛物线，试讨论k 值与曲线形状的关系. （第三届高二第二试第21题） 题64、已知点)0,1(A 和直线3:=x l ，动点M 到A 的距离与到l 的距离之和为4.(1)求M 点的轨迹T ;(2)过A 作倾斜角为α的直线与T 交于P ，Q 两点,设||PQ d =，求)(αf d =的解析式.（第十二届高二培训题第78题）题65、已知定点M （-3,0），P 和Q 别离是y 轴及x 轴上的动点，且使MP ⊥PQ ，点N 在直线PQ 上，分有向线段的比为23-. （1）求动点N 的轨迹C 的方程；（2）过点T （-1,0）作直线l 与轨迹C 交于两点A ，B ，问在x 轴上是不是存在一点D ，使△ABD 为等边三角形；假设存在，求点的坐标；假设不存在，请说明理由.（第十五届高二培训题第80题）D ABE C FG P 题66、已知异面直线a 与b 所成角为θ，P 为空间一点，过点P 作直线l 使l 和a ，b 所成角相等，此等角记为(()0,90⎤ββ∈⎦，那么直线l 的条数组成的集合为 .（第十五届高二培训题第38题）题67、空间给定不共面的D C B A ,,,四个点，其中任意两点间的距离都不相同，考虑具有如下性质的平面α：D C B A ,,,中有三个点到α的距离相同，另一个点到α的距离是前三个点到α的距离的2倍，如此的平面α的个数是 （ ）A 、15B 、23C 、26D 、32 （第三届高一第二试第6题） 题68、O 为空间一点，射线OA 、OB 、OC 交于点O ，∠AOB=∠BOC=60︒，∠COA=90︒，那么二面角A-OB-C 的平面角的余弦函数值是________. （第五届高一第一试第15题） 题69、在四面体ABCD 中，面BAC 、CAD 、DAB 都是以A 为极点的等腰直角三角形，且腰长为a .过D 作截面DEF 交面ABC 于EF ，假设EF ∥BC ，且将四面体的体积二等分，那么面DEF 与面BCD 的夹角等于________. （第十三届高二第二试第19题）题70、如图，四边形ABCD 是矩形，⊥PA 面ABCD ，其中4,3==PA AB .假设在PD 上存在一点E ，使得CE BE ⊥.试求AD 的范围，及有且只有一个知足条件的点时，二面角A BC E --的大小. (第十四届高二培训题第78题) 题71、△ABC 是边长为1的正三角形，PA ⊥平面ABC ，且PA=46，A 点关于平面PBC 的对称点为A ’，求直线A ’C 与AB 所成角的余弦值. （第九届高一第二试第22题） 题72、已知正方体的棱长为a ，它的体对角线和与它不共面的面对角线之间的最小距离等于________. (第十五届高二培训题第49题) 题73、点P 在ABC ∆所在的平面α外，,PA PB PC α⊥==3tan ,2PBC ∠=则A 到平面PBC 的距离的最大值是_________.（第二届高一第一试第30题） 题74、如图，ABCD-EFGH 是单位正方体，P 是AF 上的动点，那么GP+PB 的最小值是 ． （第十二届高一第一试第20题） 题75、以四个全等的正三角形为面拼合成的空间图形叫正四面体.正三角形边长叫正四面体的棱长.设正四面体棱长为1. 求互为异面的正三角形的中线（所在直线）间的距离. （可利用下面的结论：正四面体ABCD 中，A 到面BCD 的A B CD EF GH P距离为d ，面BCD 的面积为S ，那么四面体ABCD 的体积V=sd 31） （第八届高一培训解答题第3题）题76、四面体ABCD 中，R Q P ,,别离在棱DA CD BC ,,上，且,2,2QD CQ PC BP ==,RA DR =则B A ,两点到过R Q P ,,的平面的距离之比为_____.（第十届高一培训题第38题）题77、在棱长为2的正四面体内任取一点P ，P 到四面体四个面的距离别离记为1PP ，2PP ，3PP ，4PP ，那么=+++4321PP PP PP PP ＿＿＿＿. （第三届高二第一试第16题） 题78、某水准仪是封锁的正四面体,体内装有水,当正四面体的一个面放置于水平地面时, 体内水面高度为体高的12，现将它倒置，现在水的高度是体高的 ． （第十一届高一第一试第20题）题79、正四面体SABC ，点M 、E 、F 别离在棱SA ，AB ，BC 上，且2===FCBF EA BE MA SM .过M 、E 、F 三点的平面将四面体分成两部份，这两部份的体积比为＿＿＿＿（取较小部份与较大部份的体积之比） （第十三届高二培训题第75题） 题80、正四面体的侧面三角形的高线中，其“垂足”不在同一侧面上的任意两条所成角的余弦值是 （ ）31)(A 21)(B 32)(C 43)(D （第十二届高二第二试第3题） 题81、过正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱AB 、BC 的中点E 、F 作一个截面，使截面与底面ABCD 所成的角为450，那么此截面的形状为 （ ）A 、 三角形或五边形B 、三角形或六边形C 、六边形D 、三角形或四边形（第六届高一第二试第5题）题82、正方体1111D C B A ABCD -中，E 为AB 的中点，F 为1CC 的中点，异面直线EF 与1AC 所成角的余弦值是 （ ）A 、32B 、322 C 、43 D 、63 (第十五届高二第二试第9题) 题83、多面体表面上三个或三个以上平面的公共点称为多面体的极点，用一个平面截一个n 棱柱，()N n n ∈≥,3截去一个三棱锥，剩下的多面体极点的数量是 （ ）A 、12,12+-n nB 、22,12,2,12++-n n n nC 、22,12,12++-n n nD 、22,12++n n （第四届高一第二试第10题） 题84、在长方体1111D C B A ABCD --中，1,,()AB a BC b CC c a b c ===>>, 过1BD 的截面的面积为S ，求S 的最小值，并指出当S 取最小值时截面的位置（即指出截面与有关棱的交点的位置）. （第五届高一第二试第22题） 题85、从凸四边形ABCD 的对角线交点O 作该四边形所在平面的垂线段SO ，使3SO =，假设22,S AOD S BOC V a V b --==.当S ABCD V -最小时，ABCD 的形状是＿＿＿＿.（第十四届高二培训题第67题）题86、正三棱柱ABC —A 1B 1C 1底面的边长和高都是2cm ，过AB 作一个截面，截面与底面ABC 成600角，那么截面的面积是 .（第六届高一第一试第30题） 题87、如图，正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的所有棱长都相等，D 是AA 1的中点，那么BC 1与CD 所成的角是 ，面BCD 与面CDB 1所成二面角等于 .（第十一届高二第一试第22题）题88、如图，设111C B A ABC -是直三棱柱，AC AB =，090=∠BAC ，Q M ,别离是1CC ，BC 的中点.P 点在11B A 上且2:1:11=PB P A .若是AB AA =1，那么AM 与PQ 所成的角等于 （ ） A 、090 B 、31arccos C 、060 D 、030（第十三届高二第一试第５题）题89、在三棱锥ABC S -中，SA ，SB ，SC 两两垂直，那么BAC ∠（ ）A 、必然是锐角B 、必然不是锐角C 、必然是钝角D 、必然是直角（第八届高二培训题第3题）题90、图1是以4个腰长为1的等腰直角三角形为侧面的棱锥，其中的四个直角是,,,PBC APB APD ∠∠∠ PDC ∠，求棱锥的高. （第十届高一第二试第22题）题91、三棱锥P ABC -中，90APB BPC CPA D ∠=∠=∠=︒，为底面ABC 内的一点， A C BE D B 1 A 1C 1 A B CAB 1C 1PQ M45,60APD BPD ∠=︒∠=︒，那么CPD ∠的余弦值为______.（第九届高一第二试第20题） 题92、有一个侧棱都是l 的三棱锥，极点处的三个面角中，有两个都是α，另一个是x .将该棱锥的体积V 表示成x 的函数并求出当x 取什么值时，V 达到最大或最小.（第二届高一第二试第21题）题93、设M 为正三棱锥S ABC -的底面ABC 内的任意一点，过M 引底面的垂线与这棱锥的三个侧面所在平面别离交于P,Q,R 三点，假设正三棱锥的高为2.试求MP MQ MR ++的长.（第十二届高一培训题第81题）题94、There are two travel projects from Beijing to Santiago, Chile: (A)Flying westward(向西) to New York, then flying southward to Santiago; (B) Flying southward from Beijing to Friemander, Australia , then flying westward to Santiago. The geographic positions of these four cities may be approximately considered as: Beijing (1200 east longitude, 400 north latitude ), New York (700 west longitude , 400 north latitude ), Friemander (1200 east longitude, 300 south latitude) , Santiago(700 west longitude , 300 south latitude ).Suppose that the air lines go along the spherical distance , then the project of the shorter distance is ________. （第十三届高二第一试第20题） 题95、如下图，矩形ABCD 中，P b AD a AB ,,==为CD 上的任一点，以AB 所在直线为轴，将PAB ∆旋转而成一个旋转体，求旋转体表面积的最大值，并指出当表面积最大时P 点位置. （第十一届高一培训题第79题）题96、ABCD 是一个正方形，M 为AB 上一点，N 为BC 上一点，且AM=BN.连DM 、DN 别离交对角线AC 于点P 、Q ，剪掉△MNB.求证：①以DM 、DN 为折痕，将DA 与DC 重合，能够组成一个三棱锥的侧面.②以线段AP 、PQ 、QC 为边恰可组成一个内角为600的三角形.（第一届高一第二试第五题） 题97、正ABC ∆的边长为a ，用任意直线l 截ABC ∆与两边交于F E 、，将ABC ∆沿l 折起作成二面角，由此可形成四棱锥ABEF C -，求此四棱锥的最大体积，并证明之.（第十二届高二培训题第77题）题98、给定一个三角形纸片（如图），你可否用它为原料剪拼成一个正三棱柱（正三棱柱的全面积等于原三角形的面积）？说明你的方式.那个地址“剪拼”的意思是：依直线剪裁，边对边拼接. （第十四届高二第二试第22题）题99 设在空间给出了20个点.其中某些点涂黄色，其余点涂红色.已知在任何一个平面上的同种颜色的点可不能超过三个.求证：存在一个四面体，它的四个极点同色，而且至少有一个侧面内不含另一种颜色的点. （第一届高一第二试第四题）题100、用四个边长别离为 a ， b ， c (a>b>c>0)的锐角三角形能够拼成一个四面体.把拼成的任何一个四面体的各棱用红、黄、蓝三色染色，每条棱染一色，每种色染两条棱，考A BC D P虑一切通过如此染色的四面体，若是通过适当转动，两个染色四面体完全重合，而且重合的对应棱同色时，称如此的两个四面体是同一染色类.问：所有如此的染色四面体可分为几种染色类？ （第四届高一第2试第22题） 参考答案：1、y x < 2、C 3、D 4、)2,13(- 五、2 六、D 7、11<<-x 或31<<x 八、()+∞,2 九、A 10、[21，3] 1一、B 12－14、略 1五、1215≤≤-a 1六、B17、D 1八、ab b a 2++ 1九、23 20、C 2一、825 2二、9 23、1-，221+ 24、1602五、1 2六、1,132⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 27、702 28、B 2九、1x =时, y 取得最小值12 30、22，2 3一、22 3二、18 33、24 34、D 3五、3 3六、13830,13100 37、C 3八、()()032=-+-y x μλ，其中μλ,为参数 3九、⎥⎦⎤⎢⎣⎡512,0 40、C 4一、B 4二、B 43、B 44、26- 4五、123<≤e 4六、1 47、2b 4八、ab 433 4九、36- 50、334 5一、译文：点M 是椭圆18922=+y x 上一点，点F 是椭圆的右核心，点P （6，2），那么3|MF|-|MP|的最大值是3，现在点M 的坐标是（223±，2）. 5二、B 53、3314 54、C 5五、1 5六、()11,24- 57、01<<-k5八、（1，0） 5九、24l 60、D 6一、1022=+y x 6二、425<<b 63－65、略 6六、}{1,2,3,4 67、D 6八、13- 6九、7625arctan - 70、34≥AD ，21arctan 7一、0 7二、a 6673 74、22+ 7五、1010或35 7六、4:1 77、332 7八、273 7九、20:780、C 8一、B 8二、B 83、B 84、22222c b a c b bc +++ 8五、当22a b =时，ABCD 是平行四边形，当22a b ≠时，ABCD 是梯形 8六、)(93162cm 87、900，410arcsin8八、A 8九、A 90、215-=h 9一、12 9二、当2sin arcsin 2α=x 时，V 最大 93、694、译文:从北京前去智利的圣地亚哥,有两种旅行方案可供选择.方案(A):由北京向西飞抵纽约，再向南飞抵圣地亚哥; 方案(B):由北京向南飞抵澳大利亚的弗里曼特尔,再向西飞抵圣地亚哥.上述4个城市的地理位置可近似看做:北京(东经1200,北纬400),纽约(西经700,北纬400), 弗里曼特尔(东经1200,南纬300), 圣地亚哥(西经700,南纬300). 假设飞机航线都是球面距离,那么飞行距离较短的方案是A.9五、)(222b a b b ++π，现在P 与D 或C 重合 9六、略 97、3363a 98－99、略 100、考虑到a,b,c 按逆时针方向排布的四面体，共有9+⨯(6+12)2=54种.。
历届(1-18)希望杯数学邀请赛高二试题(含答案)(1) 全国通用
第一届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)第一试1990年3月18日 上午8：30—10：00一、选择题1、等差数列的第p 项是1990，第1990项是p ，那么第p + q （q ≥ 1991）项（ ）（A ）是正数 （B ）是负数 （C ）是零 （D ）符号不能确定2、设S k =11k ++12k ++ (12)，则（ ） （A ）S k + 1 = S k +122k + （B ）S k + 1 = S k +121k ++122k + （C ）S k + 1 = S k +121k +–122k + （D ）S k + 1 = S k –121k ++122k +3、函数y ）（A ）有最小值没有最大值 （B ）有最大值没有最小值（C ）有最小值也有最大值 （D ）没有最小值也没有最大值4、a ，b ∈R ，那么| a + b | = | a | – | b |是a b ≤ 0的（ ）（A ）充要条件 （B ）充分不必要条件 （C ）必要不充分条件 （D ）不充分也不必要条件5、α ≠2k π( k ∈ Z )，那么sec α与sin 2 α tan 2α的符号（指正负号）（ ） （A ）总是相同 （B ）总是相异（C ）在第一、三象限时，它们同号，在第二、四象限时，它们异号（D ）在第一、三象限时，它们异号，在第二、四象限时，它们同号6、正四面体内切球的体积是V ，则它的外接球的体积是（ ）（A ）8V （B ）27V （C ）64V （D ）4V7、一个平面最多把空间分为两部分，两个平面最多把空间分为四部分，三个平面最多把空间分为八部分，那么，四个平面最多把空间分成（ ）（A ）16部分 （B ）14部分 （C ）15部分 （D ）20部分8、设a = arcsin ( sin 17)，b = arccos ( –17)，c = arcsin ( –17)，则（ ） （A ）a > b > c （B ）b > a > c （C ）c > a > b （D ）b > c > a9、方程arccot x + arcsin x = π的实数根的个数是（ ）（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）310、在四个数12，中，与等的个数是（ ）（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3二、填空题11、方程arcsin ( sin x ) + arccos ( cos x ) =2π的解集是 。
历届“希望杯”全国数学邀请赛高二数学精选100题详析(4)
历届“希望杯”全国数学邀请赛高二数学精选题详析(四)题31 Let point M move along the ellipse 18922=+y x ,and point F be its right focus, then for fixed point P(6,2) ,then maximum of 3|MF|-|MP| is ,where the coordinate of Mis .(ellipse 椭圆；focus 焦点；coordinate 坐标)（第十四届高二第二试第18题）译文：点M 是椭圆18922=+y x 上一点，点F 是椭圆的右焦点，点P （6，2），那么3|MF|-|MP|的最大值是 ，此时点M 的坐标是 .解 在椭圆18922=+y x 中，8,922==b a ，则1,12==c c ，所以椭圆的右焦点F 的坐标 为（1，0），离心率31==a c e ，右准线9:2==ca x l ，显然点P （6，2）在椭圆18922=+y x 的外部.过点P 、M 分别作PG ⊥l 于G ，MD ⊥l 于D ，过点P 作PQ ⊥MD 于Q ，由椭圆的定义知，3|MF|-|MP|=|MD|-|MP|≤|MD|-|MQ|=|QD|=|PG|=9-6=3，当且仅当点P 位于线段MD 上，即点P 与Q 点重合时取等号.由点P 位于线段MD 上，MD ⊥l 及点P （6，2），知点M 的纵坐标为2，设M 的横坐标为0x ，即M （0x ，2），则有184920=+x ，解得2230±=x ，因此3|MF|-|MP|的最大值是3，此时点M 的坐标是（223±，2）. 评析 若设点M 的坐标为(x,y)，则可将3|MF|-|MP|表示成x 、y 的二元无理函数，然后再求其最大值，可想而知，这是一件相当麻烦的事，运用椭圆的定义，将3|MF|-|MP|转化为||MD|-|MP|，就把无理运算转化为有理运算，从而大大简化了解题过程.拓展 将此题引伸拓广，可得定理 M 是椭圆E ：)0(12222>>=+b a by a x 上的动点，F 是椭圆E 的一个焦点，c 为椭圆E 的半焦距，P （m,n ）为定点.1、 若点P 在椭圆E 内，则当F 是右焦点时，e 1|MF|+|MP|的最小值是m ca -2；当F 是左焦点时，e 1|MF|+|MP|的最小值是m ca +2. 2、 若点P 在椭圆E 外，则F 是右焦点，且0≤m≤c a 2，|n|≤b 时，e 1|MF|-|MP|的最大值是m c a -2. F 是右焦点，且m>c a 2，|n|≤b 时，|MP|-e 1|MF|的最小值是c a m 2-.F 是左焦点，且c a 2-≤m≤0，|n|≤b 时，e 1|MF|-|MP|的最大值是m c a +2. F 是左焦点，且m≤c a 2-，|n|≤b 时，|MP|-e 1|MF|的最小值是ca m 2--.简证 1、如图1，作MN ⊥右准线l 于N ，PQ ⊥l 于Q ，由椭圆定义，|MN|=e1|MF|. ∴e 1|MF|+|MP|=|MN|+|MP|≥|PQ|=m c a -2，当且仅当P 、M 、Q 三点共线，且M 在P 、Q 之间时取等号.如图2，同理可证e 1|MF|+|MP||=|MN|+|MP|≥|PQ|=m ca +2，当且仅当P 、M 、Q 三点共线，且M 在P 、Q 之间时取等号.2、 如图3，e 1|MF|-|MP|=|MN|-|MP|≤|MN|-|MR|=|RN|=|PQ|=m ca -2，当且仅当P 位于线段MN 上，即P 与R 重合时取等号.m图1图2如图4，|MP|-e 1|MF|=|MP|-|MN|≥|MQ|-|MN|=|NQ|=ca m 2-，当且仅当P 位于直线MN上，即点P 与Q 重合时取等号.如图5，e 1|MF|-|MP|=|MN|-|MP|≤|MN|-|MR|=|RN|=|PQ|=m ca +2，当且仅当P 位于线段MN 上，即P 与R 重合时取等号.如图6，|MP|-e 1|MF|=|MP|-|MN|≥|MQ|-|MN|=|NQ|=ca m 2--，当且仅当P 位于直线MN上，即点P 与Q 重合时取等号.题32 已知双曲线k y x =-22关于直线x-y=1对称的曲线与直线x+2y=1相切，则k 的值等于（ ）A 、32 B 、34 C 、45 D 54 （第十五届高二培训题第19题）解 设点P （x 0,y 0）是双曲线k y x =-22上任意一点，点P 关于直线x-y=1的对称点为图3 图4图5图6P’（x,y ）,则12200=+-+y y x x ①，又10-=--x x y y ②，解①、②联立方程组得 0011x y y x =+⎧⎨=-⎩③.∵P 点在双曲线k y x =-22上，∴k y x =-2020 ④.③代入④，得k x y =--+22)1()1( ⑤，此即对称曲线的方程，由x+2y=1，得x=1-2y`,代入⑤并整理，得01232=-+-k y y .由题意，△=4-12（k-1）=0，解得k=34，故选B. 评析 解决此题的关键是求出对称曲线的方程.由于对称曲线与直线相切，故由△=0便可求得k 的值.拓展 关于直线的对称，我们应熟知下面的结论 1、点（x 0,y 0）关于x 轴的对称点是（x 0,-y 0）. 2、点（x 0,y 0）关于y 轴的对称点是（-x 0, y 0）. 3、点（x 0,y 0）关于y=x 的对称点是（y 0,x 0）. 4、点（x 0,y 0）关于y=-x 的对称点是（-y 0,-x 0）.5、点（x 0,y 0）关于y=x+m 的对称点是（y 0-m,x 0+m ）.6、点（x 0,y 0）关于y=-x+n 的对称点是（n-y 0,n-x 0）.7、点（x 0,y 0）关于直线Ax+By+C=0的对称点是（x,y ），x,y 是方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=-=++⋅++⋅)()(022********x x B y y A c y y B x x A 的解. 根据以上结论，不难得到一曲线关于某直线对称的曲线的方程，比如曲线f(x,y)=0关于直线y=x+m 对称的曲线的方程是f(y-m,x+m)=0.题33 21,F F 是双曲线3322=-y x 的左、右焦点，B A ,两点在右支上，且与2F 在同一条直线上，则11F A F B +的最小值是____________-.（第四届高二第二试第15题）解 双曲线3322=-y x ,即1322=-y x ，如图，B A ,在双曲线右支上，3221=-AF AF ,3221=-BF BF ,故当22BF AF +取得最小值时，11BF AF +也取最小值.设l 是双曲线对应于2F 的准线，l BD l AC ⊥⊥,,垂足为D C ,，则由双曲线定义可知BD e BF AC e AF ==22,，而MN BD AC 2=+，其中MN 是梯形ACDB 的中位线，当21F F AB ⊥时，MN取最小值21232=-，这时，22BF AF +取得最小值322=MN e ,从而11BF AF +取最小值33143234=+. 评析 解决此题的关键是灵活运用双曲线的第一、第二定义，发现22BF AF +，即)(BD AC e +，亦即MN e 2最小时，B F A F 11+也最小，并能知道21F F AB ⊥时MN最小（这点请读者自己证明）.本题虽然也有其他解法，但都不如此法简单，双曲线定义及平几知识的运用在简化本题解题过程中起了决定性的作用.拓展 将本题中的双曲线一般化，便得定理 1F 、2F 是双曲线12222=-b y a x 的左、右焦点，B A ,两点在右支上，且与2F 在同一条直线上，则B F A F 11+的最小值是ab a 224+.仿照本题的解法易证该定理（证明留给读者）. 用此定理可知本题中的最小值为3314312342=⨯+⋅. 题34 方程()()|3|2222+-=-+-y x y x 表示的曲线是( )A 、直线B 、椭圆C 、双曲线D 、抛物线（第十二届高二培训题第23题）解法1 由()()|3|2222+-=-+-y x y x 的两边平方并整理得012102=-+-y x xy .令v u y v u x -=+=,，则()()()()012102=--++--+v u v u v u v u ，整理得91812288222-=---+-v v u u ，即()()9322222-=+--v u ，故已知方程表示双曲线，选C.解法2 已知方程就是()()2|3|22222+-⋅=-+-y x y x ，由双曲线的第二定义，可知动点P ()y x ,到定点（2，2）的距离与到定直线03=+-y x 的距离比为2，因为12>，所以选C.评析 根据选择支，可知解决本题的关键是将已知方程化为某二次曲线的标准方程或直线方程.显然，平方可去掉根号与绝对值符号，但却出现了乘积项xy .如何消去乘积项便成了问题的关键.解法1表明对称换元是消去乘积项的有效方法.解法2从已知方程的结构特征联想到两点距离公式与点线距离公式，发现方程表示的曲线是到定点（2，2）的距离与到定直线03=+-y x 的距离之比为2的动点()y x ,的轨迹，根据双曲线定义选C.显示了发现与联想在解题中的作用. 拓展 将此题一般化，我们有下面的定理 若()()||22C By Ax b y a x ++=-+-（b a C B A 、、、、为常数，且BA 、不全为零），则（1）当1022<+<B A 时，方程表示()b a ,为一个焦点，直线0=++C By Ax 为相应准线的椭圆.（2）当122>+B A 时，方程表示()b a ,为一个焦点，直线0=++C By Ax 为相应准线的双曲线.（3）当122=+B A 且0=++c Bb Aa 时，方程表示过点()b a ,且与直线0=++C By Ax 垂直的直线.（4）当122=+B A 且0≠++c Bb Aa 时，方程表示()b a ,为焦点，直线0=++C By Ax 为准线的抛物线.读者可仿照解法2，运用二次曲线的第二定义自己证明该定理. 题 35 已知1≥x ，则动点A ⎪⎭⎫⎝⎛-+x x x x 1,1与点B（1，0）的距离的最小值是_________-.（第七届高二第一试第23题）解法1 由已知得2222111101AB x x x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+--=+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦214x x ⎡⎤⎛⎫++-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦212x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭2111723222x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+-=+-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦将此式看作以xx 1+为自变量的二次函数，111,22x x x x x≥∴+≥=,这表明该二次函数的定义域是[)+∞,2. 该函数在[)2,+∞上是增函数，∴当21=+xx 时，1,1272122m i n 22mi n=∴=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=AB AB .解法 2 令24,tan πθπθ<≤=x ，则112tan 2csc 22tan sin 2x x θθθθ+=+==≥ 112,x x x ⎛⎫≥⇒+≥ ⎪⎝⎭112tan 2cot 2.tan tan 2x x θθθθ--=-==-AB ∴=== ∴当12csc =θ，即4πθ=时，12741182min=-⎪⎭⎫⎝⎛-=AB .解法 3 设11x t ty t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 1≥）,两式平方并相减，得),0,2(422≥≥=-y x y x 即动点A 的轨迹是双曲线422=-y x 的右半支在x 轴上方的部分（含点（2，0）），由图知|AB|min =1.评析 所求距离|AB|显然是x 的函数，然而它是一个复杂的分式函数与无理函数的复合函数，在定义域[)+∞,1上的最小值并不好求，解法1根据|AB|≥0，通过平方，先求2min ||AB ，再求|AB|min =2min ||AB ，并将xx 1+看作一个整体，将原问题化为求二次函数在[)+∞,2上的最值问题；解法2通过三角换元，把求|AB|min 的问题转化为求关于θ2csc 的二次函数在[)+∞,2的最小值问题，整体思想、转化思想使得问题化繁为简，化生为熟；解法3则求出点A 的轨迹，从图形上直观地看出答案，简捷得让人拍案叫绝，这应当归功于数形结合思想的确当运用.许多最值问题，一旦转化为图形，往往答案就在眼前.题36 抛物线2x y =上到直线02=++y x 的距离最小的点的坐标是________．（第九届高二培训题第27题）解法1 设抛物线2x y =上的点的坐标是()2,xx ，则它到直线02=++y x 的距离是271()24x d ++==，当12x =-时d 最小，此时14y =.故所求点的坐标是()11,24-. 解法 2 如图，将直线02=++y x 平移至与抛物线2x y =相切，则此时的切点即为所求点.设切线方程为k x y +-=，代入2x y =，得02=-+k x x .由o =∆，即041=+k ，得14k =-.解214y x y x ⎧=⎪⎨=--⎪⎩得1214x y ⎧=-⎪⎨⎪=⎩.故所求点的坐标是()11,24-.解法3 设所求点的坐标为P ()00,y x ，则过点P 的抛物线的切线应与直线02=++y x 平行.而其切线方程为02y y x x +=，故120-=x ，012x =-.20014y x ∴==. 故所求点的坐标为()11,24-. 评析 解法1由点线距离公式将抛物线上的任意一点()2,x x 到直线02=++y x 的距离d 表示成x 的二次函数，再通过配方求最值，体现了函数思想在解析几何中的运用.解法2运用数形结合思想发现与直线02=++y x 平行的抛物线2x y =的切线的切点就是所求点，设切线方程为k x y +-=后运用方程思想求出k ，进而求出切点坐标.解法3则设切点为P ()00,y x ，直接写出过二次曲线()0,=y x f 上一点P ()0,0y x 的切线方程，由切线与已知直线平行.两斜率相等，求出切点坐标.解法2、3不仅适用于求抛物线上到直线的距离最小的点的坐标，同样也适用于求椭圆、双曲线上到直线的距离最小的点的坐标，故为通法.解法3涉及到过抛物线上一点的抛物线的切线方程，下面用导数证明一般情形的结论：定理 过抛物线c bx ax y ++=2上一点P ()00,y x 的切线方程是00022y y x x ax x b c ++=++. 证明 设过点P ()00,y x 的抛物线c bx ax y ++=2的切线的方程为()00x x k y y -=-①. b ax y +=2/，b ax y k x x +===0/20，代入①得()()0002x x b ax y y -+=-，()()000022222ax b x x y y y +-+=+，200000022y y x x ax x b y ax bx ++=++--②. 点()00,y x 在抛物线c bx ax y ++=2上，c bx ax y ++=∴0200，c bx ax y =--0200，代入②，得切线方程为000y y x x ax x b c ++=++. 拓展 观察切线方程的特征，就是同时将曲线方程中的22,y x 分别换成x x 0，y y 0，把y x ,分别换成00,22x x y y++便得切线方程.事实上，对于一般二次曲线，有下面的定理. 定理 过二次曲线022=+++++F Ey Dx Cy Bxy Ax 上一点Ρ()00,y x 的该曲线的切线方程是0000000222x y xy x x y yAx x BCy y D E F ++++++++=. 运用该定理必须注意点Ρ()00,y x 在曲线上.例 求过点()3,2的曲线2223448300x xy y x y ++---=的切线的方程.解 经验证，点()3,2在曲线2223448300x xy y x y ++---=上，根据上面的定理，所求切线方程为23322234348300222y x yx x y +++⋅+⋅+⋅-⋅-⋅-=，即0922213=-+y x .题37 在抛物线x y 42=上恒有两点关于直线3+=kx y 对称,则k 的取值范围是 .(第十五届高二培训题第71题)解法1 设两点B ()11,y x 、C ()22,y x 关于直线3+=kx y 对称，直线BC 的方程为m ky x +-=，将其代入抛物线方程x y 42=，得0442=-+m ky y .若设BC 的中点为M ()00,y x ，则k y y y 22210-=+=.因为M 在直线3+=kx y 上，所以 ()3222++=-m k k k .kk k k k k m 32223232++-=-+-=，因为BC 与抛物线相交于两个不同点，所以016162>+=∆m k .再将m 的式子代入，经化简得0323<++kk k ，即 ()()0312<+-+kk k k ，因为032>+-k k ，所以01<<-k .解法2 由解法1，得k y y 421-=+，k k k m y y 12884321++=-=.因为212212y y y y >⎪⎭⎫ ⎝⎛+，所以k k k k 1288432++>，解得01<<-k . 解法3 设B ()11,y x 、C ()22,y x 是抛物线x y 42=上关于直线3+=kx y 对称的两点，且BC 中点为M ()00,y x .因为2221214,4x y x y ==，所以()1221224x x y y -=-，即()4211212=+⋅--y y x x y y ，所以k y y k 2,42100-==⋅-.又300+=kx y ,所以k k x 320+-=,因为M ()00,y x 在抛物线x y 42=的内部，所以0204x y <，即()⎪⎭⎫⎝⎛+-<-k k k 32422，解得01<<-k .解法4 设B 、C 是抛物线x y 42=上关于直线3+=kx y 对称的两点， M 是BC 中点.设M()00,y x ，B()y x ,，C()y y x x --002,2,则xy 42=①，()()x x y y -=-020242②.①-②，得0220200=-+-x y y y x ③.因为点M ()00,x y 在直线3+=kx y 上，003y kx ∴=+④.④代入③得直线BC的方程为()()023320200=-+++-x kx y kx x ，故直线BC 的方向向量为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=32,000kx x x ，同理得直线3+=kx y 的方向向量()00,kx x v =.因为直线BC 与直线3+=kx y 垂直，所以0=⋅，即()0,32,00000=⋅⎪⎪⎭⎫⎝⎛+kx x kx x x ，化简得 ()03320020=+++kx k kx x ，得0320=++k kx 或020=x （舍去）.显然0≠k ，解得k kx y kk x 23,32000-=+=+-=.因为M ()00,y x 在抛物线x y 42=的内部，所以0204x y <，即()⎪⎭⎫⎝⎛+-<-k k k 32422，3223(1)(3)0,0,k k k k k k k +++-+<<又032>+-k k ，所以01<<-k .评析 定（动）圆锥曲线上存在关于动（定）直线对称的两点，求直线（圆锥曲线）方程中参数的取值范围.这是解析几何中一类常见的问题.解决这类问题的关键是构造含参数的不等式，通过解不等式求出参数的范围.解法1运用二次方程根的判别式，解法2运用均值不等式，解法3、4运用抛物线弦的中点在抛物线内部，分别成功地构造了关于k 的不等式，这其中，韦达定理、曲线与方程的关系、两垂直直线的方向向量的数量积为零等为构造关于k 的不等式起了积极作用.练习 若抛物线12-=ax y 上总存在关于直线0=+y x 对称的两个点，则实数a 的取值范围是（ ）A 、⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,41B 、⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,43C 、⎪⎭⎫ ⎝⎛41,0D 、⎪⎭⎫⎝⎛-43,41 答案：B题38 抛物线x y 42=的一条弦的倾斜角是α,弦长是α2csc 4,那么这种弦都经过一定点,该定点是 ．（第十三届高二培训题第73题）解法1 设弦过点)0,(a M ，则弦所在的直线是)(a x k y -=，αtan =k ，︒≠90α，代入抛物线方程，消去x 得)4(2a y k y -=，即042=--ak y y k ． (弦长)2=)cot 1(2α+()222416161cot 16tan a a k αα⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=++⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦()22csc 16cot 16a αα=+ =α4csc 16，即2216cot 1616csc a αα+=21616cot α=+，由此得1=a ．当︒=90α时，弦所在直线方程为)0(>=a a x ，弦长为4．由⎩⎨⎧==x y ax 42，得⎩⎨⎧==a y a x 2或⎩⎨⎧-==ay ax 2．又由弦长44=a ，得1=a ． 综上，这些弦都经过点（1，0）．解法2 由题意，对任意α都得同一结论，故运用特殊化思想解． 令2πα=，则弦长为42csc42=π，此时弦所在直线方程为)0(>=a a x ，代入x y 42=，得a y 42=，a y 2±=．由题设，44=a ，即1=a ．所以2πα=时，弦所在直线方程为1=x ．再令4πα=，则弦长为84csc42=π，设此时弦所在直线方程为1-=-x b y ，得b y x -+=1，代入x y 42=并整理，得04442=-+-b y y ，弦长⋅+=11212214)(y y y y -+8)44(4162=--⋅=b ，解得0=b ，所以4πα=时，弦所在直线方程为1-=x y ．解⎩⎨⎧-==11x y x ，得定点为（1，0）．评析 题目本身反映了对于一条确定的抛物线，若α确定，则以α为其倾斜角的弦的长也确定，α变化，则以α为其倾斜角的弦的长也变化．但不论α怎样变化，这样的弦都过一个定点，这反映了客观世界运动变化中的相对不变因素的存在．由题设可知0≠α，故解法1设弦过点)0,(a ，并分直线的斜率存在与不存在两类情形，根据弦长是α2csc 4，直接求出1=a ．从而说明不论α为何值，弦总过定点（1，0）．这是合情合理的常规思维．然而，根据题意，这些弦过定点肯定是正确的，这就意味着满足题设的任意两弦的交点就是所求定点．这就具备了运用特殊化思想解题的前提．解法2分别令2πα=与4πα=，得到两个相应的弦所在直线的方程，解其联立方程组得其交点为(1,0)，即为所求．这种解法的逻辑依据是“若对一般正确，则对一般中的特殊也正确．”至于解法2中为什么令2πα=与4πα=，而不令713πα=与325πα=，主要是为了计算的方便，这也是用此法解题时应当十分注意的．应当指出，凡解某种一般情形下某确定结论是什么的问题都可用这种方法解．拓展 原题中弦长α2csc 4中的4恰好为抛物线方程中的p 2，而答案中的定点(1,0)又恰好为抛物线x y 42=的焦点．这是偶然的巧合，还是普遍规律呢？经研究，这 并非巧合，而是一个定理.定理 若抛物线)0(22>=p px y 的弦PQ 的倾斜角为θ，则θ2c s c 2p PQ =的充分必要条件是PQ 经过抛物线的焦点)0,2(pF ． 证明 先证必要性:由已知，可设PQ 的方程为)90,tan ()(︒≠=-=θθk a x k y ，代入px y 22=，得-22x k)(2222=++a k x p a k ①．由已知及弦长公式得[]21221224)()1(x x x x k PQ -+⋅+=②．将①的两根之和与积代入②，得()2242241c s c 2k p p a p k kθ+=+，从而得2442csc tan sec p θθθ=（222tan p ap θ+），解得2p a =，即知PQ 过焦点(,0)2p F ．容易验证当90θ︒=时，结论也成立．再证充分性：由已知可设PQ 的方程为()(tan ,90)2py k x k θθ︒=-=≠，代入2y =2px ，得 22244(2)k x p k x -+22k p +0=③，将③的两根之和与积代入②得22csc PQ p θ=．容易验证当90θ︒=时，结论也成立．应用该定理，可解决下面的问题：1．斜率为1的直线经过抛物线24y x =的焦点，与抛物线相交于A 、B 两点，求线段AB 的长．2．PQ 是经过抛物线24(0)y ax a =>焦点F 的弦，若PQ b =，试求△POQ 的面积（O 是坐标原点）．（91年全国高中联赛题）3．PQ 是经过抛物线24y x =焦点F 的弦，O 是抛物线的顶点，若△POQ 的面积为4，求PQ 的倾斜角α．（98年上海高考题）答案：1. 82. 3.30︒或150︒题39 长为)1(<l l 的线段AB 的两端在抛物线2x y =上滑动，则线段AB 的中点M 到x 轴的最短距离等于 .（第13届高二第二试第20题）解 设AB 的中点为M （y x ,），点A 的坐标为（βα++y x ,），由对称性知B 的坐标为(),x y αβ--，于是有以下关系成立：22222()()()2y x y x l βαβααβ⎧+=+⎪⎪-=-⎨⎪⎪+=⎩ ①+②，得22α+=x y ④，-②，得x αβ2= ⑤.将④、⑤代入③，得4)41)((222l x x y =+-，即2222221[(14)1]4(14)4(14)l l y x x x x =+=++-++，因为2(0,0),a u x a x x =+>>当x a =时, u 有最小值,当x a >时, u 是单调增加的.又214(1),x l l y +><关于2x 是单调增加的,所以,当0x =时, y 取得最小值24l .评析 点M 到x 轴的最短距离显然就是点M 的纵坐标的最小值.巧妙利用对称性，设出点M 、A 、B 的坐标后，利用曲线与方程的关系及平几知识，可以得到三个关系式，这又有何用处呢？我们要求的是y 的最小值，现在却出现了四个 变量βα、、、y x ，能否消去βα、从而得到)(x f y =，再求其最小值呢？果然，可以消去βα、，得到①, ②, ③.222)41(4x x l y ++= ⑥（这里用到了“设而不求”及函数的思想方法）.若变形为2422164164xx x l y +++=，再令2x u =，得到 22416416l u u y u++=⇒+)0(04)164(1622≥=-+-+u y l u y u ⑦，则可由方程⑦有非负实数解求出y 的最小值，但方程⑦有非负实数解的充要条件很复杂.能否用别的什么方法呢？考虑到⑥式中的0412>+x ，故将⑥式变形为]1)41(41[41222-+++=x xl y ⑧，由于2241x l +与241x +的积是定值，故当2241xl +=241x +，即214x l +=时,有y 最小值..然而，因为1<l ，所以l x >+241，即214x +取不到l ，故由函数⑧为2x 的单调增函数，可知当时，0=x 42minl y =. 注：形如)0()(2>+=a xa x x f 的函数，若0,x >则当x a =时, ()f x 取得最小值2a ；若(0)x ab b ≥+>,则()f x 单调递增, min ()()f x f a b =+；若0(0)x a b b a <≤-<<,则()f x单调递减，)()(min b a f x f -=.(请读者自己证明该结论)拓展 将此题推广，可得定理1 长为l 的线段AB 的两端在抛物线)0(22>=p py x 上滑动，线段AB 的中点M 到x 轴的距离为d ，则（1） 当;8202minpl d p l =≤<时， （2） pl d p l d p l 8,222max min=-=>时，当. 证明 由题意，直线AB 的斜率k 存在.设),,(),2,(),2,(00222211y x M px x B p x x A 则22121222ABx x p pk x x -=- 0122x x x p p +==，所以直线AB 的方程为)(000x x p x y y -=-，由20002()x pyx y y x x p ⎧=⎪⎨-=-⎪⎩，消去y ，得22x -2000220x x x py +-=，因为点M 在抛物线的内部，即202x y p>，所以200420py x ∆=->（），又212012002,22x x x x x x py +==-，所以12|l x x =-=.于是,2)(82020220p x x p pl y d ++==对x 求导数，得2'2220001(1)()2282x pl d p x x x p -=-++2202220[1]4()x p l p p x =-+ 22002220[2()]4()x p x pl p p x =+++])(2[202pl x p -+. （1）若02l p <≤（抛物线的通径长），令0'0x d =，得00x =，易知00x =，是d的唯一极小值点，所以当 00x =（即AB y ⊥轴）时，2min8l d p=； （2）若2l p >，令0'0x d =，得00x =或0x =，易知当00x =时，2ma x 8l d p=；当0x =2min p l d -=. 令定理中的21p =，由定理的结论（1）可知本赛题的答案为24l .此定理尽管也可以用均值不等式加以证明，但配凑的技巧性很强.这里，运用高中数学的新增内容导数进行证明，显得较为简洁.用导数研究函数的最值问题，顺理成章，不必考虑特殊技巧，易被大家接受，应当加以重视并大力提倡.此定理还可进一步拓广到椭圆、双曲线的情形，便得如下：定理2 已知A 、B 两点在椭圆)0(12222>>=+b a by a x 上滑动，|AB| =l ，线段AB 的中点M 到y 轴的距离为d ，则（1）22max 22)2(22b a l a a d a l a b --=≤≤时，当； （2）当bl b a d a b l 24222max 2-=<时，. 定理3 已知A 、B 两点同在双曲线)0,(12222>=-b a by a x 的右（或左）分支上滑动，|AB| =l ，线段AB 的中点M 到y 轴的距离为d ，则（1）22min 22)2(2b a l a a d a b l ++=≥时，当； （2）当bl b a d a b l 24222min 2+=<时， . 为证定理2、3，可以先证引理 在圆锥曲线过焦点的弦中，垂直于对称轴的弦最短. 证明 设圆锥曲线的极坐标方程为θρcos 1e ep-=，其中e 表示圆锥曲线的离心率，p 表示焦点F 到对应准线l 的距离，设AB 是圆锥曲线过焦点F 的弦，且A ),(),,(21θπρθρ+B ，因为12,1cos 1cos()1cos ep ep epe e e ρρθπθθ===--++，所以12||AB ρρ=+1cos ep e θ=-+θcos 1e ep +=θ22cos 12e ep-.当2πθ=，即当AB 与对称轴x 轴垂直时，ep AB 2||min =，故在圆锥曲线过焦点的弦中，垂直于对称轴的弦最短.下面运用引理证明定理2 .证明 （1）不妨设椭圆的右焦点为F （0,c ），A 、M 、B 三点到右准线ca x 2=的距离分别是,22121t t t t t t +=，则、、由椭圆的第二定义知：|AF|=1et ，|BF|=)(2a ce et =，|AF|+|BF|≥|AB|=l ，所以e l t 2≥.又过焦点的弦最小值为时，当ab l a b 222,2≥线段AB 可以过焦点F ，当AB 过焦点F 时，t 有最小值2l e ，因此222max 2)2(2)2(2ba l a a c l a a e l c a d --=-=-=. （2）时，当ab l 22<线段AB 不可能过焦点F ，但点M 总可以在过F 垂直于x 轴的椭圆的弦的右侧，如右图，在△AFM 中，设∠AMF=α，由余弦定理知222||||||2||||cos AF FM AM FM AM α=+-22211||cos 42FM l l α=+-，在△BFM 中，222211||||cos 42BF FM l l α=++，所以22221||||2||2AF BF FM l +=+，所以||FM =22||a b FM t c c c+≥-=，所以cb l BF AF t 2222||||221≥-++）（ ①，无论线段AB 在什么位置，不等式①都成立.又222||||2l BF AF -+）（2221222)(||||l t t e l BF AF -+=-+≥）（,4222l t e -=故c b l t e t 222241≥-+ ②.解此不等式，得bl b a c a t 24222--≥③，当线段AB 垂直 于x 轴且在焦点F 的右侧时，不等式①、②、③都取等号，此时b l b a c a t 24222mi n --=，bl b a b l b a c a c a d 24)24(222222max-=---=. 仿此亦可证明定理1、3，不再赘述.题40 动圆M 过定点A 且与定圆O 相切，那么动圆M 的中心的轨迹是 （ ）A 、圆B 、圆，或椭圆C 、圆，或椭圆，或双曲线D 、圆，或椭圆，或双曲线，或直线（第三届高二第二试第10题）解 动圆M 、定点A 、定圆O ,这三者的位置关系有5种可能，如图⑴～⑸：在情形⑴：A 在圆O 上，这时动圆M 与定圆O 相切于A ，所以M 点的轨迹是过A O ,的一条直线. 在情形⑵：A 与O 重合，这时动圆M 在定圆O 的内部，与它内切，所以M 点的轨迹是以O 为圆心，以定圆O 的半径的一半为半径的圆.在情形⑶：A 在定圆O 的内部但不重合于O 点，动圆M 过A 且与定圆O 内切，这时动点M 与定点O 、A 的距离的和是R x x R MA MO =+-=+)(（定值），其中的R 、x 分别表示定圆O 、动圆M 的半径.可知点M 的轨迹是以O 、A 为焦点，R 为长轴长的椭圆. 在情形⑷：A 在定圆O 的外部，动圆M 过A 且与定圆O 外切，这时R x x R MA MO =-+=-)(（定值）.可知M 的轨迹是以O 、A 为焦点，R 为实轴长的双曲线的一支.在情形⑸：A 在定圆O 的外部，动圆M 与定圆O 内切，这时R R x x MO MA =--=-)(（定值）.可知M 点的轨迹也是以A O ,为焦点.R 为实轴长的双曲线的一支（和情形4对应的另一支）.综上，可知选D.评析 分类讨论是参加高考与竞赛必须掌握的数学思想.分类要注意标准的统一，不可重复，也不能遗漏.此题的关键是要搞清全部情形有5种，然后再分别求动圆中心的轨迹.运用二次曲线的定义大大简化了解题过程.应当指出，当点A 在圆O 上时，动圆M 的中心的轨迹是直线OA ，但应除去点O 、A . 另外，讨论完第一种情形后就可排除,,,C B A 而选D ，这样就更快捷了.O。
历届(1-18届)希望杯数学邀请赛高二试题第二试(含答案WORD)(全国通用
第一届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)第二试1990年4月15日 上午8：30—10：30一、选择题1、直线A x + B y + C = 0（A ，B 不全为零）的倾斜角是（ ）（A ）B = 0时，倾斜角是2π，B ≠ 0时，倾斜角是arctan ( –A B )（B ）A = 0时，倾斜角是2π，A ≠ 0时，倾斜角是arctan ( –BA )（C ）A = 0时，倾斜角是0，A ≠ 0时，倾斜角是arctan ( –B A ) （D ）B = 0时，倾斜角是0，B ≠ 0时，倾斜角是arctan ( –AB)2、数列{ a n }：a 1 = p ，a n + 1 = q a n + r （p ，q ，r 是常数），则r = 0是数列{ a n }成等比数列的（ ）（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件 （D ）不充分也不必要条件 3、f 是R → R 上的一一映射，函数y = f ( x )严格递增，方程x = f ( x )的解集为P ，方程x = f [ f ( x )]的解集为Q ，则（ ）（A ）P ⊂ Q （B ）P = Q （C ）P ⊃ Q （D ）以上都不对4、点( x ，y )的坐标x ，y 都是有理数时，该点称为有理点，在半径为r ，圆心为( a ，b )的圆中，若a ∈Q ，b ∈Q ，则这个圆上的有理点的数目（ ）（A ）最多有一个 （B ）最多有两个 （C ）最多有三个 （D ）可以有无穷多个5、以某些整数为元素的集合P 具有以下性质：（1）P 中元素有正数也有负数；（2）P 中元素有奇数也有偶数；（3）– 1 P ；（4）若x ，y ∈P ，则x + y ∈P 。
对于集合P ，可以断定（ ） （A ）0∈P ，2 P （B ）0 P ，2∈P （C ）0∈P ，2∈P （D ）0 P ，2 P 二、填空题6、方程arcsin ( sin x ×||x 的实根个数是 。
历届希望杯数学邀请赛高二试题(含答案) 全国通用
第十一届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)第二试2000年4月23日 上午8：30—10：30一、选择题（每小题6分，共60分）1、函数f ( x ) = log 13( 2 x 2 + 2 + 1 ) x 是（ ）（A ）偶函数 （B ）奇函数 （C ）奇且偶函数 （D ）非奇非偶函数 2、△ABC 中，BC = 6，BC 上的高为4，则AB ∙ AC 的最小值是（ ）（A ）24 （B ）25 （C ） （D ）263、If l 1 : x + 3 y – 7 = 0 , l 1 : k x – y – 2 = 0 and positive x – axis and positive y – axis make a quadrilateral , which has a circumcircle , then k =（ ）（A ）– 6 （B ）– 3 （C ）3 （D ）6 （英汉小字典：positive 正的；quadrilateral 四边形；circumcircle 外接圆）4、直线y = x + 3和曲线 –||4x x +29y= 1的交点的个数是（ ）（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 5、若f ( x + y ) = f ( x ) ∙ f ( y )，且f ( 1 ) = 2，则(2)(1)f f +(4)(3)f f +(6)(5)f f + … +(2000)(1999)f f =（ ） （A ）1999 （B ）2000 （C ）2001 （D ）20026、定义在R 上的偶函数f ( x )在[ 0，+ ∞ )上是增函数，且f (13) = 0，则不等式f ( log 18x ) > 0的解是（ ）（A ）(12，1 ) （B ）( 2，+ ∞ ) （C ）( 0，12)∪( 2，+ ∞ ) （D ）(12，1 )∪( 2，+ ∞ )7、将圆x 2 + ( y – 1 ) 2 = 1的中心到直线y = k x 的距离记为d = f ( k )，给出以下三个判断：⑴数列{ n f ( n ) }是递增数列；⑵数列{21()f n }的前n 项和是2(237)6n n n ++；⑶ lim n →+∞(1(1)f n +–1()f n ) – 1 = 1其中，正确的个数是（ ）（A ）3 （B ）2 （C ）1 （D ）08、设计一条隧道，要使高3.5米，宽3米的巨型载重车辆能通过，隧道口的纵断面是抛物线状的拱，拱宽是拱高的4倍，那么拱宽的最小整数值是（ ）（A ）14 （B ）15 （C ）16 （D ）17 9、已知x 、y 、z ∈R +，且1x +2y +3z = 1，则x +2y +3z 的最小值是（ ）。
历届“希望杯”全国数学邀请赛高二数学精选100题详析(三)
历届“希望杯”全国数学邀请赛高二数学精选100题详析（三）题21 若0,>y x ，且12=+y x ，则⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=y y x x u 411的最小值是 . （第一届高二第一试第20题）解法1 比较：当1,0,=+>b a b a 时，42511≥⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+b b a a ，当且仅当 21==b a 时取等号.可见，82542521212121411=⋅≥⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+y y x x y y x x ，当且仅当41,21==y x 时取等号.825min =∴u . 解法2 xyxy xy x y y x xy y y x x u 411414411++≥+++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=. 令12,=+=y x xy t 且xy y x y x 222,0,0≥+∴>>，即81≤xy ，即81≤t .可证函数()t t t f 411++=在⎥⎦⎤ ⎝⎛81,0上单调递减，81=∴t 时，()82581min =⎪⎭⎫ ⎝⎛=f t f .即当41,21==y x 时，min 258u =. 解法3 令⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛∈==2,0,tan 2,tan πϕθϕθy x ，则tan tan 1,θϕ+= 21112sin 2sin 22.sin 2sin 222sin 2sin 22u x y x y θϕθϕθϕ⎛⎫+⎛⎫⎛⎫=++=≤ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（当且仅当ϕθ=时取等号）.又222tan 2tan sin 2sin 21tan 1tan θϕθϕθϕ+=+++()22222221tan tan tan tan 1tan tan tan tan θϕϕθθϕθϕ++=+++()()22222tan tan tan tan 1tan tan 2tan tan tan tan θϕϕθθϕθϕθϕ++=++-+()2tan tan 11tan tan 22ϕθϕθ-++=.由1tan tan =+ϕθ，易得41tan tan ≤ϕθ（当且仅当ϕθ=时取等号）.于是()22191tan tan 1.416θϕ⎛⎫-≥-= ⎪⎝⎭ 12284sin 2sin 295116θϕ+⋅∴+≤=+（ϕθ=时取等号）.故∴=⎪⎭⎫⎝⎛≥⎪⎭⎫ ⎝⎛+≥.82558822sin 2sin 222ϕθu 当21arctan ==ϕθ，即212==y x 时，825min =u . 评析 解法1的依据就是课本上一道习题的结论.本赛题就是这道课本习题的变题.利用现成的一些重要结论可以简化解题过程，尤其是解选择题、填空题时更可直接利用.由于a 、+∈R b 时，2≥+baa b ，当且仅当b a =时取等号，所以解法2将u 展开成xy xy x y y x 414+++后，只能对x y y x +4使用上述公式（因为12=+y x ，所以必须使212==y x 时取等号）.若也对xy xy 41+使用上述公式就错了，因为由212==y x ，得41,21==y x ，此时xy xy xy ,241,81==与xy 41并不相等.这是同一式子中几处同时使用基本不等式时必须注意的，是一个常见的易错点.x 与()0,0>>x k xk不可能相等时，通常运用函数的单调性求x k x +的最小值（易证函数()0,0>>+=k x xkx y在上单调减，在)+∞上单调增）.解法3运用三角代换法，虽然较繁，但仍可起到开阔视野，活跃思维的作用. 拓展 命题“若0,>b a 且1=+b a ，则42511≥⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+b b a a ”可作如下推广： 推广1 若0,,>c b a 且1=++c b a 则271000111≥⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+c c b b a a . 证明 1111b c c a a b ca b a b c a b c a b c a b c a b c a b b c c a⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=+++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭13abc abc ≥++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=33131abc abc abc abc ，当且仅当31===c b a 时取等号.31,271313333≤∴=⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛++≤abc c b a abc .又()xx x f 1+=在⎥⎦⎤ ⎝⎛271,0及⎥⎦⎤ ⎝⎛31,0上都是减函数，,2710003113132712713133=⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+≥⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+∴abc abc abc abc 当且仅当271=abc 时取等号.271000111≥⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+∴c c b b a a （当且仅当31===c b a 时取等号）.推广2 若0(1,2,,)i a i n >=，11=∑=ni i a ，则2111nn i i i n a a n =⎛⎫⎛⎫++≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∏.推广3 若0(1,2,,)i a i n >=，k a ni i =∑=1，则2211nni i i n k a a nk =⎛⎫⎛⎫++≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∏. 推广2、3的证明，叙述较繁，此处从略. 题22 已知+∈R b a ,，且1=+b a ，则1111a b ⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的最小值是 . (第八届高二培训填空题第6题) 解法111,,1,,224a b a b R a b ab ++∈+=≤=∴≤且. 111111*********a b a b a b ab ab ab ab +⎛⎫⎛⎫∴++=+++=++=+≥+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.当且仅当21==b a 时取等号.min11119a b ⎡⎤⎛⎫⎛⎫∴++= ⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 解法21111111111a b a b b a a b a b a b ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=++=++++≥ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ =9，当且仅当1==b a a b ，即21==b a 时取等号. min11119a b ⎡⎤⎛⎫⎛⎫∴++= ⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 解法31111112252a b a b b a b a a b a b a b a b ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=++=++=++≥ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭9225=⨯+，当且仅当1==b a a b ，即21==b a 时取等号. min11119a b ⎡⎤⎛⎫⎛⎫∴++= ⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦.评析 求条件最值离不开利用条件.如何利用条件1=+b a ？解法1把1111a b ⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭展开后将b a +用1代，解法2与3将a 1与b1中的1用b a +代，其目的都是为了能利用均值不等式或基本不等式求最值.拓展 此题可作如下推广：推广1 若+∈R n b a ,,，且n b a =+，则1111a b ⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的最小值是22n n +⎛⎫ ⎪⎝⎭.证明ab b a n R n b a 2,,,≥+=∴∈+，于是241nab ≥， 2211114(1)211111a b n n n a b ab ab n n +++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=+=+≥+= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当且仅当2n b a ==时取等号，1111a b ⎛⎫⎛⎫∴++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的最小值是22n n +⎛⎫⎪⎝⎭.推广2 若+∈R a a a n ,,,21 ，且121=+++n a a a ，则12111111n a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的最小值是nn )1(+. 证明 +∈R a a a n ,,,21 ，121=+++n a a a ，1121112111)1(11a a a a a n a a a a a a n nn ++≥++++=+∴ . 同理121222(1)111,,1n nn nn na n a a a a a a +++≥+≥.故1212111111(1)n n n n a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++≥=+ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当且仅当121n a a a n ====时取等号. 12111111n a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+++ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的最小值是nn )1(+. 推广3 若),,2,1(,,n i R a m k i =∈+，且∑==n i i m a 1，则111nk i i a =⎛⎫+ ⎪⎝⎭∏的最小值是 1nk k n m ⎛⎫+ ⎪⎝⎭.证明 由均值不等式得111nnnni ii i nn a m a ==⎛⎫⎪⎛⎫ ⎪≥= ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭∏∑，121211(1,2,,)p p pk p p n n n k k kk i i i ni i i n C C C p n a aa m ≤<<<≤⎛⎫≥=≥= ⎪⎝⎭∑,从而1212112121111111111111n n nnnkk k kk k k k i i i i n i i i ni i i i i i i i ia a a a a a a a --==≤<≤≤<<<≤=⎛⎫+=+++++≥ ⎪⎝⎭∏∑∑∑∏2112111n nnkkkkk n n n n n n k k k k k n n n n n C C C C mm m m m --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当且仅当),,2,1(n i n ma i ==时取等号.故111n ki i a =⎛⎫+ ⎪⎝⎭∏的最小值是1nk k n m ⎛⎫+ ⎪⎝⎭.推广4 若),,2,1(,,n i R a m k i =∈+，且)0(1n m m a ni i ≤<=∑=，则11nk i k i i a a =⎛⎫+ ⎪⎝⎭∏的最小值为nk k k k m n nm ⎛⎫+ ⎪⎝⎭.推广4的证明与推广3类似，留给读者.运用这些推广，读者可做练习： 1、 已知+∈R b a ,，且1=+b a ，求：（1）221111a b ⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最小值；（2）1111nna b ⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最小值；（3）221111a b ⎛⎫⎛⎫--⎪⎪⎝⎭⎝⎭的最小值. 2、已知+∈R c b a ,,，且1=++c b a ，求111111a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的最小值. 3、已知+∈R a a a n ,,,21 ，且121=+++n a a a ，求22212111111n a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的最小值. 4、求ββαα2222sin cos cos 1sin 1+的最小值.(提示：22222sin cos cos cos sin 1ααβαβ++=， 原式22222111sin cos cos cos sin ααβαβ=++.)5、已知+∈R a a a a 4321,,,，且14321=+++a a a a ，求3214214314321111a a a a a a a a a a a a +++++++++++的最小值.答案：1、（1）18 （2）n 32⋅ （3）9 2、64 3、2)1(+n n 4、9 5、316题23 设R y x ∈,，且221x y +≤，则xy y x ++的最大值是 ，最小值是 ．（第六届高二培训解答题第2题、第八届高二第一试第23题）解法1 122≤+y x ，1,1≤≤-∴y x ，10,10x y ∴+≥+≥． 由2)(2)(222≤+≤+y x y x ，有22≤+≤-y x ，22322212)(2)1()1()1)(1(22222+=++≤++++=+++≤++∴y x y x y x y x ．记1)1)(1(-++=++=y x xy y x u ，立得1-≥u 和221+≤u ．故当1-=x 或1-=y 时，1min -=u ，当22==y x 时，221max +=u ． 解法2 由题意，设)2,0[,10,sin ,cos πθθθ∈≤≤==r r y r x ． 则2211cos sin cos sin sin sin 2422x y xy r r r r πθθθθθθ⎛⎫++=++=++≤⎪⎝⎭，当且仅当1=r 且4πθ=，即22==y x 时取等号．max 1()2x y xy ∴++=．又 ]1)cos [(sin 2)cos (sin cos sin )cos (sin 222-+++=++=++θθθθθθθθr r r r xy y x．令]2,2[,c o ss i n -∈=+t t θθ，则]1)1[(21)1(22222r rt t r rt xy y x --+=-+=++．易知当01=+rt 时，1)(,0])1[(min 2min 2-=-=+r rt ．此时，1,1-==t r ，即1x =-或1-=y 时，1)(m i n -=++xy y x ．关于xy y x ++的最大值，还有下列解法． 解法322222222212,1,()2()2,22x y xy x y x y x y x y xy +≤++≤∴+≤+≤≤≤，2122)(22222+≤+++≤++∴y x y x xy y x ，当且仅当22==y x 时取等号．212)(max +=++∴xy y x ． 解法4222211111122()112222222x y x y x y ++⋅≤+=++≤+⨯=，2≤+∴y x ．又212,21222+≤++∴≤+≤xy y x y x xy ，当且仅当22==y x 时取等号．故212)(max +=++xy y x . 评析 解法2由122≤+y x 考虑到三角换元，这是很自然的事．解法3运用基本不等式)(2)(222y x y x +≤+及222y x xy +≤，再由122≤+y x ，分别求出y x +与xy 的最大值（注意：必须是x 与y 取相同值时y x +与xy 同时取得最大值），从而得到xy y x ++的最大值．解法4与解法3路子不同，实质一样．但解法3、4都只能解决题中的最大值问题，如何求最小值是本题的难点．解法1中将xy y x ++变形为1)1)(1(-++y x ，并由已知得出01,01≥+≥+y x ，是突破这一难点的关键．第九届高二第一试第15题：“实数y x ,适合条件2122≤+≤y x ，则函数22232x xy y ++的值域是 ．”其形式与实质都与本题一样．以三角代换法求解最为简捷．（答案为]7,21[）拓展 由题引伸，可以得到：定理1 设xy y x z y x λλ++=≤+≥,1,022，则（1）当22≥λ时，22212λλλ+≤≤--z ；（2）当02λ≤≤时，2222λλ+≤≤+-z ． 证明 设b a y b a x -=+=,，则2122≤+b a ．又设θθs i n ,c o s r b r a ==， 220≤≤r ，则2222222()2cos (cos sin )z x y xy a a b r r r λλθλθθ=++=+-=+- λλλθλ22221)21(cos 2r r r --+=．1cos 1,θ-≤≤∴1、当121≤λr ，即122r λ≥≥时， （1）)220(221212≤≤--≥--≥r r z λλλλ，当且仅当λλθ2121cos -=-=r 时取等号．（2）222211212222z r r r r r λλλλλλ⎛⎫≤+--=+≤ ⎪⎝⎭，当且仅当22,1cos ==r θ时取等号．2、当112r λ≥，即1022r λ≤≤≤时 （1）当22,1cos ==r θ时，22max +=λz ．（2）当1c os -=θ时，λ22rr z +-≥．又函数22,y x x λλ⎡=-+∈⎢⎣⎦，当0,2x ⎡∈⎢⎣⎦时是减函数，故2222λλ+-≥+-r r ．综上所述，当22≥λ时，22212λλλ+≤≤--z ；当02λ≤≤时，2222λλ+≤≤+-z ．进一步引伸，可得定理2 0,≥n m ，若nxy y x m z y x ++=≤+)(,122，则（1）当22≥m n 时，22222nm z n m n +≤≤--；（2）当0n m ≤≤2222nm z n m +≤≤+-． 简证 n z m xy x y m⎛⎫=++ ⎪⎝⎭．令n t x y xy m =++，再由定理1即可得证． 再引伸，还可得到 定理3 设12,,,n x x x R +∈，且12()m mmn x x x S m N ++++≤∈，则有11212m m n n x x x x x x nS -++++≤证明1212,,,,()m m m n n x x x R x x x S m N ++∈+++≤∈及平均值不等式1121212mm mmnnn x x x x x x x x x n n ⎛⎫++++++≥≥⎪⎝⎭111212,,n n mmm m m n n n S S S x x x n n S x x x n n n -⎛⎫⎛⎫∴+++≤⋅=≤= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11212m m n n x x x x x x nS -∴++++≤题24 若223x xy 3y 20-+=，则228x 23y +的最大值是 ．（第十三届高二培训题第68题）解法1 引入参数t,22222222y 1y t 1xy tx t x x y t 2t 22t⎛⎫=⋅≤+=+ ⎪⎝⎭，又22xy 3x 3y 20=+-，222222t 1x y 3x 3y 20,22t∴+≥+-2222t 13x 3y 2022t ⎛⎫⎛⎫∴-+-≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．考虑到待求最值的二元式是228x 23y +，故令22t 38212332t-=-，解得2t 4=或22t 23=-（舍去），故只需令t 2=，即可得()22132x 3y 208⎛⎫-+-≤ ⎪⎝⎭．因此，228x 23y 160+≤，当且仅当y 2x 2=，即y 4x =时取等号.()22max8x 23y160∴+=．解法2 已知条件式即2213520x y y 6363⎛⎫-+=⎪⎝⎭.令1x y ,6,⎧-=α⎪⎪=α⎩即x ,y .⎧=α+α⎪⎪⎨⎪=α⎪⎩代入待求式,并化简, 得()22223211288x 23y sin 22121+=+α-ϕ223211281602121≤+=.故当且仅当y 4x =时，228x 23y +有最大值160．解法3 令2228x 23y t +=.从而有t cos ,t sin ,=α=α即x ,y .=α=α代入已知等式,得222223t 3t cos cos sin 20823α-αα+α=, ()222202036820368t 160.3139347cos 29347cos 2sin 823⨯⨯∴==≤=+α+ϕ-αα+α即228x 23y 160+≤．解法4()22116x y xy 4x y 48+=⋅≤,而22xy 3x 3y 20,=+-222216x y 3x 3y 20,8+∴+-≤即228x 23y 160+≤．解法5 设x m n,y m n,=+=-代入条件得225m 7n 20.+=令m 2cos ,n =α=α,则()()22228x 23y 8m n 23m n +=++- 2231m 30mn 31n =-+()22620162cos 2sin 744376cos 277=α-α+α=+α+ϕ⎡⎤⎣⎦()17443761607≤+=．解法6 设228x 23y s,+=则()()2222s 3x xy 3y 208x 23y ,-+=+即()()223s 160x sxy 3s 460y 0--+-=①.由题设x,y 不同时为0,故不妨设y 0≠,则将①式两边同除以2y ,得()()2x x 3s 160s 3s 4600.y y ⎛⎫⎛⎫--+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当3s 1600-≠时,由()()2s 43s 1603s 4600,∆---≥=解得368s 1607≤≤;当3s 1600-=时,x 45y 8=-．综上, 368s 1607≤≤.故()22max 8x 23y 160+=．解法7()()()22222228x 23y 83x x y3y 16x8xy y 8204x y 160+=-+--+=⋅--≤.故当4x y =时, ()22max8x 23y 160+=．评析 破解此题的关键是消去条件式中的xy 项.命题组给出的解法1,通过引入参数t,将xy 变形为ytx t⋅,再运用基本不等式,从而得到2222t 13x 3y 2022t ⎛⎫⎛⎫-+-≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.而要求的是228x 23y +的最大值,故令22t 38212332t-=-,从而使问题获解,极其巧妙.此法还具有普遍性,是解决此类问题的通法．解法2将223x xy 3y 20-+=变为2213520x y y 6363⎛⎫-+=⎪⎝⎭，从而为三角代换创造了条件，进而运用三角函数的有界性求得最值.此法也具一般性,且对于求式中含xy 项时同样适用．解法5通过对称换元消去了已知式中的乘积项.当式中2x 项与2y 项系数相等时这也是一种通法．解法4的技巧性特强.要知道,若2219x y xy (3x y)36+=⋅≤,由22xy 3x 3y 20=+-,得22229x y 3x 3y 206++-≤,即229x 17y 120+≤,则仍然不能解决问题．解法6运用整体思想及方程思想,由二次方程有实根的条件使问题获解,这也是一种常用的方法．解法7巧用配方法,使得问题的解决极其简洁.可能有人要说这是不是碰巧了,换个题目此法就不灵了,其实不然,请看下面的问题:例1 若x,y 22R,2xy y 7∈+-=且x , 则22x y +的最小值是________．（第十届高二培训题第66题）解 2222227x 2x y y 2(xy (21)x y(21)y⎡⎤=+-=+--+⎣⎦22222y )1)x y )⎛⎫=+-≤+ ⎪⎝⎭，即22x y +≥x y=再看一例：例2 实数x,y 适合221x y 2≤+≤,则函数222x 3xy 2y ++的值域是 ．(第九届高二第一试第15题)解 （1）()()2222221x y 22x 3xy 2y3x2xy y ≤+=++-++()()()2222222122x 3xy 2y 3x y 22x 3xy 2y .2x 3xy 2y .2=++-+≤++∴++≥（2）()()()()22222222273732x 3xy 2y x y x 2xy y x y x y 2222++=+--+=+--7207.2≤⨯-=故所求值域为1,72⎡⎤⎢⎥⎣⎦． 到底如何配方，读者可从上面的例子中体会.配方法是高考明确要求学生掌握的一种数学方法,在解决一些竞赛问题时也有较广泛的应用.我们必须切实掌握好．请用配方法解决下列问题:1.实数x,y 满足22x 3xy y 2-+=,则22x y +的值域是 ．（答：4[,5+∞)）(第六届高二第二试第17题) 2.若x,y R ∈,且221x y 22≤+≤,则22x 2xy 4y -+的取值范围是 ．（答：1,34⎡⎤⎢⎥⎣⎦）3.已知x,y 满足22x xy y 1++=,求22x xy y -+的取值范围．（答：1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦）4.已知22x xy 2y 1-+=,求表达式22x 2y +的最大值与最小值．（答：2） 题25 函数xxx y sin 1cos sin ++=的最大值是＿＿＿＿．（第九届高二培训题第43题）解法1 由xxx y sin 1cos sin ++=，得y x x y =+-cos sin )1(，即⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧+--=+-==+⋅+-1)1(1cos 1)1(1sin )sin(1)1(222y y y y x y ααα，1)1()sin(2+-=+∴y y x α.1)sin(≤+αx ，11)1(2≤+-∴y y ，解得1≤y .故1max =y .解法2 令2tan x t =，则22222221121121211t t t t t t y t t t t -++-++==++++，化为0)1()22()1(2=-+-++y t y t y ，R x ∈ ，0≥∆∴t ，即0)1(4)22(22≥---y y ，解得1≤y .故1max =y .解法3 由1cos ≤x ，得1sin cos sin +≤+x x x （1cos =x 时取等号），0sin 1≠+x ，0sin 1>+∴x ，1sin 1cos sin ≤++∴xxx ，故1max =y .解法4 xx x x x y sin 11cos 1sin 11cos sin 1+-+=+-++= .1cos 1≤≤-x ，1sin 1x -<≤，01cos 2≤-≤-∴x ，21sin 0≤+<x .∴当cos 1x =时，max 1y =.解法5 由xxx y sin 1cos sin ++=，得y x x y =+-cos sin )1(，[][])cos (sin 1)1(cos sin )1(222222x x y x x y y ++-≤+-=∴，2221)1(+-≤∴y y ，解得1≤y .1max =∴y .解法6 1sin 1cos 1sin 1cos sin +-+=++=x x x x x y .令1sin 1cos +-=x x u ，它表示动点)cos ,(sin x x 与定点)1,1(-的连线的斜率，即u 表示单位圆上的点与点)1,1(-的连线的斜率，由图易知0max =u ，1max =∴y .解法7 显然，1sin -≠x .由xxx y sin 1cos sin ++=得0cos sin )1(=-+-y x x y ①，又1cos sin 22=+x x ②.由①、②可知点)cos ,(sin x x 是uov 坐标系中的直线0)1(=-+-y v u y 与圆122=+v u 的公共点，圆心)0,0(到直线①的距离不大于圆的半径1，即1d =≤，解之得1≤y ，1max =∴y .评析 类似本题分子、分母中含有x sin 、x cos 的一次式的函数的最值问题，总可以通过去分母、移项变为c x b x a =+cos sin 的形式，进而变为c x b a =++)sin(22ϕ（其中ab=ϕtan ）的形式，再由1)sin(≤+ϕx 求得最值，解法1正是这样做的，也是解决这类问题的通法.万能公式可将角x 的各种三角函数表示成2x的正切，这在实质上起到了消元的作用.故解法2令2tanxt =后，便将原函数转化成t 的二次分式函数，进而运用判别式法解决了问题. 解法3直接利用分子x x cos sin +不大于分母1sin +x ，从而分式之值不大于1，简捷之至.解法4则是将已知函数变为xx y sin 11cos 1+-+=后，分别求出分子、分母的范围，进而确定y 的范围.解法5将已知函数式变为y x x y =+-cos sin )1(，考虑到左边x x y cos 1sin )1(⋅+-的形式，联想到柯西不等式，巧妙地利用1cos sin 22=+x x 而建立了关于y 的不等式，进而求出最大值，可说是匠心独具.解法7将已知函数式变为0cos sin )1(=-+-y x x y 后，将)cos ,(sin x x 看作坐标系uov 中直线0)1(=-+-y v u y 上的点，而点)cos ,(sin x x 又在单位圆122=+v u 上，故直线与圆应有公共点，从而圆心到直线的距离不大于圆的半径，由此求出了y 的最大值.综合运用了方程思想，转化思想，数形结合思想，充分揭示了数学不同内容之间的内在联系.解法6则是把已知函数式变形为1sin 1cos 1+-+=x x y 后，将1sin 1cos +-x x 看作单位圆上的点)cos ,(sin x x 与定点)1,1(-的连线的斜率，故将求y 的最大值问题转化为求此斜率的最大值问题，本题中此斜率的最大值可由图象直观地得到，若不能直观地看出，则可设斜率为k ，写出过点)1,1(-且斜率为k 的直线方程.由圆心到直线的距离不大于圆的半径便可求出k 的最大值.解法6也是求函数)0(sin cos ≠++=ac d x c b x a y 或)0(cos sin ≠++=ac dx c b x a y 的最值的通法.例 求函数9cos 34sin 2+--=x x y 的最值解 2s i n 42s i n 23c o s 93c o s 3x x y x x --==-⋅-+-.令3cos 2sin --=x x u ，则u 是单位圆122=+y x 上的点(cos ,sin )x x 与点)2,3(的连线的斜率.设此斜率为k ，则连线的方程为)3(2-=-x k y ，即032=-+-k y kx ①.由单位圆圆心)0,0(到直线①的距离应当不大于单位圆半径1，即11322≤+-k k ，解得433433+≤≤-k ，即k 的最小值与最大值分别为433-，433+，从而y 的最大值与最小值分别为43332-⋅-、43332+⋅-,即633-，633+-. 题26 函数1212y sin x cos x =+的值域是 .（第十一届高二培训题第46题） 解法1 由均值定理，知()()332332334444111111sin 3sin ,cos 3cos .444444x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++≥⋅++≥⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭两式相加，得()()121244223131sin cos sin cos 12sin cos 16161616x x x x x x +≥+-=--= 2311sin 232832x -+≥.当4x π=时以上不等式同时取等号.故min 132y =. 又[]121222max sin ,cos 1,1,sin cos sin cos 1.1x x y x x x x y ∈-∴=+≤+=∴=.故所求值域为1,132⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 解法2 由柯西不等式，知()()()2121212126644111sin cos 11sin cos sin cos (sin cos 222x x x x x x x x +=++≥+=+-22222131sin cos )1sin 22432x x x ⎛⎫-=-≥ ⎪⎝⎭.又由[]sin ,cos 1,1x x ∈-，知121222sin cos sin cos 1x x x x +≤+=.故所求值域为1,132⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 解法3121212*********sin x cos x sin x cos x 64646464646464⎛⎫⎛+=+++++++++ ⎪ ⎝⎭⎝()225111105156sin cos 6464646432232x x ⎫++-≥=⋅+-⎪⎭651323232=-=，又()61212221sin cos sin cos 1,,1.32x x x x y ⎡⎤+≤+=∴∈⎢⎥⎣⎦解法422sin x cos x 1+=，且22sin 0,cos 0,x x ≥≥∴可设21sin 2x t =+， 663322211111111cos ,,222222444x t t y t t t t t t ⎡⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛=--≤≤∴=++-=++++-=+⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎢⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎣)3222134tt t ⎛⎫⎤++ ⎪⎦⎝⎭，由所设2104t ≤≤，故当20t =时，3min 112432y ⎛⎫== ⎪⎝⎭；当214t =时， max 1.y =∴所求值域为1,132⎡⎤⎢⎥⎣⎦.评析 因为[]sin ,cos 1,1x x ∈-，所以[]22sin ,cos 0,1x x ∈ ，由指数函数单调性，易知121222sin cos sin cos 1x x x x +≤+=，故求得了y 的最大值1.如何求y 的最小值是本题的难点，破解的关键在于如何将1212sin cos x x +降次，最好直接与22sin cos x x +建立联系.解法1运用均值定理，解法2运用柯西不等式，都达到了目的，解法3与解法1为同一解法，但显得格外简捷，运用均值定理一步到位地解决了问题.解法4通过对称换元将三角函数的值域问题转化为整式函数的值域问题加以解决，起到了化难为易的作用.解法3显得特别优美，但运用均值定理，必须注意配凑技巧的运用.为什么将12sin x +12cos x配凑成1212111111111110sin cos 6464646464646464646464x x ⎛⎫⎛⎫+++++++++++-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭呢？这里有两个问题：一是为什么各凑成6项的和？二是为什么都加5个164？原因就在于只有凑成6项的和，运用均值定理时才会出现六次根号内()1212sin cos x x 与5个数的积，从而才会出现22sin cos 1x x +=（常数）.至于为什么各加5个164，是因为运用均值定理时要使两处的“≥”中都取等号，必须221sin cos 2x x ==，而只有12121sin cos 64x x ==时才会有2sin x 21cos 2x ==.拓展 仿照解法3，我们可以证明下面的定理 函数()22sin cos n n y x x n N +=+∈的值域是12,1n-⎡⎤⎣⎦.证明 222112111s i n c o s s i n 222nn nn n n n n y x x x -⎛⎫⎪⎪=+=+++⋅⋅⋅++⎪⎪ ⎪⎝⎭个211211122cos 2222n n n n n n n n x n n -⎛⎫⎪- ⎪+++⋅⋅⋅+-≥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭个 ()12211min 222222222sin cos 2,222222n n nn n n n nn n n n n x x y -------=⋅+-=-==∴=. 又()2222sin cos sin cos 1nn n x x x x +≤+=，即m a 1y =.故函数()22sin cos n n y x x n N +=+∈的值域为12,1n -⎡⎤⎣⎦.据此定理，我们易知函数100100sincos y x x =+的值域为492,1-⎡⎤⎣⎦.题27 设+∈N n ，则|201||1950||1949|-+⋯+-+-n n n 的最小值是 ．（第九届高二培训题第53题）解 可从绝对值的几何意义上去想，以|4||3||2||1|-+-+-+-n n n n 为例，如图：1 2 3 4B A所给的式子的几何意义是数轴上坐标为n 的点N 与坐标为1、2、3、4的4个点的距离的和．显然，当N 在线段AB 之外时，和大于N 在线段AB 上时的和；当N 在线段AB 上时，N 接近AB 的中点，和就逐渐变小，N 重合于AB 的中点时，和达到最小．因为+∈N n ，所以当n 取2或3时，|4||3||2||1|-+-+-+-n n n n 最小．对于和式S=|2001||1950||1949|-+⋯+-+-n n n ，设数轴上的点A 、B 分别表示1949、2001，则线段AB的中点的坐标是,1975220011949=+|197519S ∴=-+-最小 |19752001|(26251)(1226)+⋯+-=+++++++(261)2627022+⋅=⨯=．评析 本题运用了数形结合的思想方法，根据两数差的绝对值的几何意义，很直观地解决了问题．拓展 运用同样的思想方法，可以得到下面的定理1 对于函数)(||)(211n ni ia a a ax x f <⋯<<-=∑=，若n 是奇数，则当21+=n a x 时，)(x f 取得最小值∑∑-=+=-21123n t tnn j jaa ；若n 是偶数，则当],[122+∈n n a a x 时，)(x f 取得最小值∑∑=+=-2112n t tnn j jaa ．例1 求函数|10||7||3||4|-+-+-++=x x x x y 的最小值．解 4=n 为偶数，-4<3<7<10,∴当]7,3[∈x 时，y 取得最小值（7+10）-（-4+3）=18. 例2 求函数|10||5||3||6||7|y x x x x x =++++-+-+-的最小值．解 5=n 为奇数，-10<-5<3<6<7,∴当3=x 时，y 取得最小值（6+7）-（-10-5）=28. 例3 已知,,x y R ∈且{1,3},y ∉求函数|16123||74||2||3||7|),(22+-++-+-+-++++=y y x y y x x x x y x f 的最小值．解 2(,)|(7)||(3)||2||(47)|f x y x x x x yy =--+--+-+--+ 2|(31216)|x y y +--+-，2247(2)33,y y y -+=-+≥ 161232-+-y y =}3,1{.44)2(32∉-≤---y y ， 2222312167.(247)(731216)41632y y y y y y y y ∴-+-≠-∴+-+---+-=-+ 1616)2(42≥+-=y ．故当且仅当x =-3且y =2时，),(y x f 取得最小值16．若定理1中的“12,,,n a a a ⋯”中有一组或几组相同的值，则定理仍然成立．但当n 为偶数且122+=n n a a 时，定理中的“122,n n x a a +⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦”应该改为“2n a x =”．例4 求函数|3|2|2|2|1|-+-++=x x x y 的最小值．解 已知函数就是|3||3||2||2||1|-+-+-+-++=x x x x x y ，n =5为奇数，12233-<=<=，y x 时，当2=∴取得最小值(33)(12)5+--+=.例5 求函数|5|4|3|3|1||2||10|-+-++++++=x x x x x y 的最小值． 解 n =10为偶数，10213335555-<-<-<==<===．故当3x =时，y 取得最小值(354)(102133)30+⨯----++=．更一般地，还有下面的 定理2 设函数1()||(,,1,2,,,)niiiii f x a x b a b R i n x R ==-∈=∈∑，则（1） 当01>∑=ni ia时，)(x f 有最小值min{12(),(),,()n f b f b f b },但无最大值．（2） 当01=∑=ni ia时，)(x f 有最大值max{12(),(),,()n f b f b f b },最小值min{12(),(),,()n f b f b f b }．（3） 当01<∑=ni ia时，)(x f 有最大值max{)(),(),(21n b f b f b f ⋯},但无最小值．证明 不失一般性，设n b b b ≤⋯≤≤21，则 -)(111b x b a x a n i ni ii i≤+∑∑==,)(x f = )1,,2,1,)(()(11111-⋯=≤≤---++==+==∑∑∑∑n i b x bb a b a x aai ini j jj ij j j ni j jij j,)(11nn i ni ii ib x b a x a ≥-∑∑==,由此可见，函数)(x f 的图象是左右两侧两射线和中间的（n-1）条线段依次连结而成的“折线形”．(1)若01>∑=ni ia，则函数)(x f 的图象中的左右两射线分别由点（)(,1,1b f b ）和点（,()n n b f b ）向上无限延伸，中间是（n-1）条线段依次连结的折线，因此)(x f 有最小值min{12(),(),,()n f b f b f b },但无最大值．（2）若01=∑=ni ia，则函数)(x f 的图象中的左右两射线分别由点（)(,1,1b f b ）和点（,()n n b f b ）向左右沿平行于x 轴方向无限延伸，中间是（n-1）条线段依次连结的折线，因此)(x f 有最大值max{)(),(),(21n b f b f b f ⋯},最小值min{)(),(),(21n b f b f b f ⋯}．（3）若01<∑=ni ia，则函数)(x f 的图象中的左右两射线分别由点()1,1,()b f b 和点(),,()n n bf b 向下无限延伸，中间是（n-1）条线段依次连结的折线，因此)(x f 有最大值{}12max (),(),,()n f b f b f b ,但无最小值．根据定理1，不难知道本赛题所求最小值为（1976+1977+…+2001）-（1949+1950+…+1974）=702（当n=1975时取得）．想一想下面的问题：假设有一座大楼，从第1949层到第2001层，每层指定1人集中到该楼第k 层（20011949≤≤k ）的会议室开会，为使参会人员上、下楼梯所走的路程总和最小，求k 及最短路程（假定每相邻两层楼之间的楼梯长均为1）．这一问题与本赛题实质是否是同一问题？ 下面的问题供读者练习：1、 求)(|1|2|1|2||)(R x x x x x f ∈-++-=的最小值．2、求()|6||3||16|f x =+-的最大值． 3、 求()|1||2||3||4||1998||1999|()f x x x x x x x x R =---+---+--+-∈的最小值．答案：1、-3 2、5 3、999 题286110s =+++，则s 的整数部分是 （ ）A 、１９９７ Ｂ、１９９８ C 、１９９９ D 、２０００（第八届高二第二试第１０题） 解 若}{n a 是等差数列, n a >0,则da a a a a a a a n n n n n n n n 11111-----=--=+(d N n n ,,2+∈≥是公差).由此，得66611122332101010s =++=++++<+++++ ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+++++++=-+++++110101231121211101022326666 )((6121101211999⎡⎤=++++=+-+=⎢⎥⎣⎦.又知110102232122110131211666-++++++>-++++> s =()199810126=+-.19991998<<∴s ，[]1998=s ，∴选B.评析 s 显然是数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n 1的前610项的和，直接求和，无法可依.能否用裂项相消法将每一项拆成异号的两项之和呢？考虑到111--=-+n n n n，于是将n1变为nn +2，再放大为12-+n n.这是一道用“放缩法”求解不等式问题的好题目。
高二希望杯数学竞赛试题hope2-1-10
橙子奥数工作室 教学档案 非卖品第十届“希望杯”全国数学邀请赛高二 第1试一、选择题（每小题6分） 1、1111arcsin arccos ()()3333arctg arcctg ++−+−= (A) 0 (B) π (C) 2π (D) –π 2、若无穷等比数列{}n a 的公比12q =−，则12242lim n n n a a a a a a →+∞+++=+++"" (A)-1 (B) 1 (C) -4/3 (D) 4/153、某等差数列共2n+1项，其中奇数项的和为95，偶数项的和为90，则第n+1项的和是：(A)7 (B)5 (C) 4 (D) 24、若点M （a,1/b）和点N （b,1/c）都在直线:1l x y +=上，则点P （c,1/a）和点Q （1/c,b）(A)都在l 上 (B)都不在l 上 (C)点P 在l 上，点Q 不在l 上 (D) 点Q 在l 上，点P 不在l 上5、不等式12log )2x −<的解集是（ ） (A) 5[1,)4− (B) 5(1,4−(C) 11(,)22−(D) 1[1,2+− 6、双曲线y = k/x (k>0) 的离心率用e = f (k) 来表示，则f (k)(A) 在（0，+ ∞）上是增函数 (B) 在（0，+ ∞）上是减函数(C) 在（0，1）上是增函数，在（1，+ ∞）上是减函数 (D) 是常数7、当a,b 均为有理数时，称点P（a,b）为有理点，又设）则直线AB 上有理点的个数是(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 无穷多个8、方程lg x = sin x 的根的个数是(A) 4 (B) 5 (C) 6 (D) 79、河中的船在甲、乙两地往返一次的平均速度是V，它在静水中的速度是u,河水的速度是v (u > v > 0),则(A)V = u (B) V > u (C) u > V (D) V 和u 的大小关系不确定10、设32()365f x x x x =−+−，且()1f a =，()5f b =−，则a b +=(A) -2 (B) 0 (C) 1 (D) 2二、A 组填空题（每小题6分） 11、12,F F 是椭圆221123x y +=的两个焦点，点P 在椭圆上，且∠01260F PF =，则的△12F PF 面积是_______。
高二希望杯数学竞赛试题hope2-1-3
橙子奥数工作室 教学档案 非卖品第三届“希望杯”全国数学邀请赛高二 第1试一、选择题 1．平面直角坐标系内有点3(,1),(lg 0.1,cos())23A B π−−，则线段AB 的中点在A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D −中，E 为1DD 上一点，F 为11B C 上一点，则四面体1AA EF 的体积是 A．14 B．16 C．18 D．1123．已知01,01,x y x y <<<<≠，设22,,,22x y x y a b c xy d ++====，则在,,,a b c d 中一定是，A．a 最大，d 最小 B．b 最大，c 最小 C．b 最大，d 最小 D．d 最大，a 最小4．若sin sin 1αβ+=，则cos cos αβ+的最大值是D．25．关于,x y 的方程22220x y kx y k ++++=在平面直角坐标系中的图形是个圆，当这个圆取最大面积时，圆心的坐标是A．（0，-1） B．（-1，0） C．（1，-1） D．（-1，1）6．设arcsin αγ==，则 A．βγα<< B．γαβ<< C．γβα<< D．αβγ<<7．关于x 的不等式215(2)log 0x x −>的解集是A．(,)−∞+∞∪ B．(0,1))+∞∪ C． D．空集8．三个不相同的实数,,a b c 成等差数列，,,a c b 成等比数列，则a b等于 A．-2 B．2 C．-4 D．49．关于x 的方程22sin 1a x a =+有实数解，那么实数a 的取值范围是A．大于-1的实数 B．大于1的实数 C．大于-1且小于1的实数 D．-1或110．正方体1111ABCD A B C D −中，M 为11A B 中点，N 为1BB 中点，则异面直线AM 与CN所成的角的余弦值等于A．12 B．3 C．25 D．34二、填空题 11．若11111991122334(1)1992n n ++++=×××+ ，则自然数n =_____.1x >+的解集是_____.13．方程3cos 4sin 6x x +=的解集是_____. 14．1991sec 4π与323sin 4π的等比中项是_____. 15．点(3,2)A −关于直线210x y −−=的对称点B 的坐标是_____.的正四面体内任一点到四面体四个面的距离的和等于_____.17．从点(4,3)向圆22(2)(1)1x y −+−=做切线，则过两个切点的直线方程是_____.18．函数(),()f x g x 的定义域为R ，且()0f x ≥的解集为{|12}x x ≤<，()0g x ≥的解集为空集，则不等式()()0f x g x >的解集为_____.19．三角形ABC 的三条边,,a b c 成等差数列，则角B 的最大值是_____.20．定义在实数上的函数()f x =。
历届(1-18)希望杯数学邀请赛高二试题(含答案) 全国通用
高中竞赛必备资料第一届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)第二试一、选择题1、直线A x + B y + C = 0（A ，B 不全为零）的倾斜角是（ ）（A ）B = 0时，倾斜角是2π，B ≠ 0时，倾斜角是arctan ( –A B )（B ）A = 0时，倾斜角是2π，A ≠ 0时，倾斜角是arctan ( –BA )（C ）A = 0时，倾斜角是0，A ≠ 0时，倾斜角是arctan ( –B A ) （D ）B = 0时，倾斜角是0，B ≠ 0时，倾斜角是arctan ( –AB)2、数列{ a n }：a 1 = p ，a n + 1 = q a n + r （p ，q ，r 是常数），则r = 0是数列{ a n }成等比数列的（ ）（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件 （D ）不充分也不必要条件 3、f 是R → R 上的一一映射，函数y = f ( x )严格递增，方程x = f ( x )的解集为P ，方程x = f [ f ( x )]的解集为Q ，则（ ）（A ）P ⊂ Q （B ）P = Q （C ）P ⊃ Q （D ）以上都不对4、点( x ，y )的坐标x ，y 都是有理数时，该点称为有理点，在半径为r ，圆心为( a ，b )的圆中，若a ∈Q ，b ∈Q ，则这个圆上的有理点的数目（ ）（A ）最多有一个 （B ）最多有两个 （C ）最多有三个 （D ）可以有无穷多个5、以某些整数为元素的集合P 具有以下性质：（1）P 中元素有正数也有负数；（2）P 中元素有奇数也有偶数；（3）– 1 P ；（4）若x ，y ∈P ，则x + y ∈P 。
对于集合P ，可以断定（ ） （A ）0∈P ，2 P （B ）0 P ，2∈P （C ）0∈P ，2∈P （D ）0 P ，2 P 二、填空题6、方程arcsin ( sin x 的实根个数是 。
7、使不等式| ( x – 1 ) ( x + 1 ) | + | ( x – 2 ) ( x + 2 ) | + | ( x – 3 ) ( x + 3 ) | < ( t – x ) ( t + x )的解集为空集的实数t 形成一个集合，把这个集合用区间形式写出来，就是 。
第一届高二试题(初赛)-“枫叶新希望杯”全国数学大赛真题(高中版)
第一届高二试题（初赛）-“枫叶新希望杯”全国数学大赛真题一、填空题1．已知θ为第二象限角，则()()sin cos cos sin θθ⋅的符号为．2．等比数列{}n a 中，5a 和9a 是关于x 的方程2517100x x ++=的两个根，则7a =.3．若三角形三边成等比数列，则公比q 的范围是.4．设集合M 为函数()2lg 820y x x =-++的单调递减区间，集合0N ⎧⎫⎪⎪=≥⎨⎬⎪⎪⎩⎭，则“x M N ∈⋃”是“x M N ∈⋂”的条件（填“充分不必要”或“必要不充分”或“充要”或“既不充分也不必要”）. 5．ABC V 中，若7sin cos 12A A +=，则ABC V 一定是三角形. 6．已知实数a b c 、、满足2222221,2,2,a b c b a c ab bc ac +=+=+=++的最小值为.7．设函数()f x ()()()()()()543456f f f f f f -+-+-++++=L . 8．已知关于x 的不等式1x a x b -+-<（其中a b 、为常数）的解集为∅，则a b -的取值范围为. 9．与圆22(3)(3)8x y -+-=相切且在x 轴､y 轴上截距相等的直线共有条.10．方程123x y -+-=所表示的曲线围成的图形面积为.二、解答题11．已知34sin cos ,cos sin 55αβαβ+=+=，求()sin αβ+的值. 12．已知a b ∈R 、，若方程20x ax b -+=的根1x 和2x 满足1211,12x x -≤≤≤≤.(1)在平面直角坐标系aOb 中，画出点(),a b 所表示的区域，并说明理由；(2)令3u a b =-，求u 的最大值与最小值.13．已知)1a =-r，12b ⎛= ⎝⎭r ，且存在实数k 和t ，使得()23x a t b =+-r r r ，y ka tb =-+u r r r ，且x y ⊥r u r ，求2k t t +的最小值. 14．已知1F 、2F 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点，c 为半焦距，弦AB 过右焦点2F .求1F AB ∆的面积的最大值. 15．若以()4,5A 为一个顶点，试在x 轴上找一点B ，另在直线:220l x y -+=上找一点C ，使构成的ABC V 的周长最小，并求出此时ABC V 的周长．。
第一届高二试题(决赛)-“枫叶新希望杯”全国数学大赛真题(高中版)
第一届高二试题（决赛）-“枫叶新希望杯”全国数学大赛真题一、单选题1．若0a b <<，且1a b +=，则下列各式中，最大的是（ ）A ．1-B ．2log bC ．22log log 1a b ++D ．()222log a b + 2．已知P 、Q 是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>上的两点，M 是线段PQ 的中点，且直线PQ ，OM 的斜率分别是1k 、2k ，若122k k =，则双曲线的离心率e 是（ ）AB C ．2 D ．不确定3．已知点()2,1P -，过点P 向直线1l ：y =和2l ：y x =作垂线，垂足分别为点M ，N ，则线段MN 的长是（ ）AB ．CD 4．已知过原点的所有直线都与椭圆2222210k x y kx ky k +-++-=有两个不同的交点，那么实数k 的取值范围是（ ）A ．1k >或1k <-B ．1k ≠±C ．10k -<<或01k <<D ．01k <<5．已知实数x ，y 满足()22log log 11x y ++=，则2212S x y =+的最小值是（ ）A ．32B ．2C ．72D ．2 6．空间中()3n n ≥个平面，其中任意三个平面无公垂面.那么，下述四个结论1没有任何两个平面互相平行；2没有任何三个平面相交于一条直线；3平面间的任意两条交线都不平行；4平面间的每一条交线均与2n -个平面相交.其中，正确的各数为（ ）.A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题7．不等式12log 10⎫>⎪⎪⎭的解集是.8．实数x ､y 满足不等式组0,0,220.x x y x y ≥⎧⎪-≤⎨⎪-+≥⎩则21log 2y t x +=+的取值范围是. 9．设点P 是曲线24y x =上一点，点P 到y 轴的距离是1d ，到直线l ：4350x y ++=的距离是2d 则12d d +的最小值是.10．已知正整数n 满足条件：存在唯一的整数k ，使871513n n k <<+成立.这样的n 的最大值是. 11．直角坐标系中，曲线22241025x y x y ++=--围成的图形的面积是.12．已知[]1,1u ∈-，R v ∈，则())2223S u v v =-+-的最小值是.三、解答题13．直角三角形的两直角边长分别为,a b ，斜边长为c ，其内切圆与外接圆的半径分别为,r R ，当,,a b c 变化时，试求r R的最大值. 14．已知椭圆2213x y +=的短轴上端点为P ，过点P 作椭圆互相垂直的两弦,PM PN .连接MN ，试求点P 在MN 上的射影Q 的轨迹方程.15．若对一切1x ≤，都有()21f x ax bx c =++≤（a ､b ､R c ∈，0a ≠），试求函数()32g x ax b =+在1x ≤时的最大值.16．已知点P 到圆()2221x y ++=的切线长与到y 轴的距离之比为()0,1t t t >≠ (1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)设曲线C 的两焦点为1F ､2F ，试求t 的取值范围.使得曲线C 上不存在点Q ，使()120πFQF θθ∠=<<.。
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高二第一试试题
1．已知椭圆22
143
x y +=上的任意一点(,)P x y 可使20x y m ++≥恒成立，则实数m 的取值范围是（ )
(A) (,4]-∞-. (B ）[4,)-+∞． (C) (,4]-∞．(D ）[4,)+∞．
2．椭圆22194x y +=上到直线2310x y ++=
的点的个数是（ ） (A)1. (B)2. （C ）3. （D ）4.
二、A 组填空题（每小题4分，共40分）
3．当x 在区间［0,1］上时，函数()2x x f x e e -=+的值域是__________．
4．某商场在中秋节前30天内月饼的销售总量()f t （单位：盒）与时间(030)t t <≤（单位：天）的关系大致满足2()1016f t t t =++，则该商场前t 天平均售出（如前10天的平均售出为(10)10
f 盒）的盒数最少为__________． 5．已知△ABC 的三条边的长分别是221,2,21a x x b x x c x =-+=-=-，则△ABC 的内角的最大值是__________．
6．从直线:184
x y l +=上的任意一点P 作圆22:8O x y +=的两条切线，切点为A 和B ，则弦AB 长度的最小值为__________．
三、B 组填空题（每小题8分，共40分）
7．已知曲线22440y y x +-+=是一条抛物线，则它的焦点坐标是_____，准线方程是_________．
8．函数32()331f x x x x =-++图象的对称中心的坐标是_____，现将()f x 的图象按向量 a 平移后，得到函数()y g x =的图象，若()y g x =是奇函数，则向量a =_________．。