【试题解析】福建省泉州市高三数学3月质量检查试题 文

高三数学3月质量检查试题 文
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）.本试卷共6页，满分150分.考试时间120分钟. 注意事项：
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2．考生作答时，将答案答在答题卡上.请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效.在草稿纸、试题卷上答题无效.
3．选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；非选择题答案使用0．5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚.
4．保持答题卡卡面清洁，不折叠、不破损.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 参考公式：
样本数据1x 、2x 、…、n x 的标准差：
第Ⅰ卷（选择题共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
3．函数()4log 2-+=x x x f 的零点所在的区间是
A ． 1,12⎛⎫
⎪⎝⎭
B ． ()2,1
C ． ()3,2
D ． ()4,3
5．下列函数中，既是偶函数，且在区间()+∞,0内是单调递增的函数是
A ． 2
1
x y = B ．x y cos = C ． x y ln = D ．x
y 2= 6．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，如果输入的x 值为2，那么输出的结果是
A ．lg 2
B ．1
C ．3
D ．5
7．条件:P “1x <”，条件:q “()()210x x +-<”，则P 是q 的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
8．右图所示的是函数()φ+=wx A y sin 图象的一部分，则其函数解析式是
A ．⎪⎭⎫
⎝
⎛+
=3sin πx y B ．⎪⎭⎫ ⎝
⎛
-=3sin πx y C ．⎪⎭⎫
⎝
⎛+
=62sin πx y D ．⎪⎭⎫ ⎝
⎛
-=62sin πx y 9．甲、乙两同学5次综合测评的成绩如茎叶图所示．老师在计算甲、乙两人平均分时，发现乙同学成绩的一个数字无法看清.若从{0,1,2,...,9}随机取一个数字代替，则乙的平均成绩超过甲的平均成绩的概率为
A ．
10
1 B ．91 C ．51 D ．54
F
C B A
E
D 10．已知正六边形ABCDEF 的边长为1，则()AB CB BA ⋅+的值为
A ．
2
3
B ．2
3-
C ．
2
3 D ．2
3-
11．如图，边长为a 的正方形组成的网格中，设椭圆1C 、2C 、3C 的离心率分别为1e 、2e 、3e ，则
A ．123e e e =<
B ．231e e e =<
C ．123e e e =>
D ．231e e e =>
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．请将答案填在答题卡的相应位置
.
数，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则()N t 的所有可能值为__________________.
三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.把解答过程填写在答题卡的相应位置. 17．(本小题满分12分)
等比数列{}n a 的各项均为正数，且241
2,2
a a ==． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）设2log n n b a =，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 18．(本小题满分12分)
如图1，在正方形ABCD 中，2AB =，
E 是AB 边的中点，
F 是BC 边上的一
点，对角线AC 分别交DE 、DF 于M 、N 两点．将,DAE DCF ∆∆折起，使A C 、重合于'
A 点，构成如图2所示的几何体． （Ⅰ）求证：A D '⊥面A EF '；
（Ⅱ）试探究：在图1中，F 在什么位置时，能使折起后的几何体中EF ／／平面AMN ，并给出证明.
19．(本小题满分12分)
设ABC ∆的三个内角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,．已知A A cos 6sin =⎪⎭
⎫
⎝
⎛
-π． （Ⅰ）求角Ａ的大小；
（Ⅱ）若2=a ，求c b +的最大值. 20．(本小题满分12分)
某学校为调查高三年学生的身高情况，按随机抽样的方法抽取80名学生，得到男生身高情况的频率分布直方图（图（1））和女生身高情况的频率分布直方图（图（2））.已知图（1）中身高在170 ~175cm 的男生人数有16人．
图（1） 图（2）
（Ⅰ）试问在抽取的学生中，男、女生各有多少人？
（Ⅱ）根据频率分布直方图，完成下列的2×2列联表，并判断能有多大（百分几）的把握认为“身高与性别有关”?
（Ⅲ）在上述80名学生中，从身高在170～175cm 之间的学生中按男、女性别分层抽
样的方法，抽出5人，从这5人中选派3人当旗手，求3人中恰好有一名女生的概率．
参考公式： 2
2
()()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=++++
参考数据：
21．(本小题满分12分
)
（Ⅰ）当1-=a 时，求函数()x f y =的图象在点()()1,1f 处的切线方程；
（Ⅱ）已知0<a ，若函数()x f y =的图象总在直线2
1
-
=y 的下方，求a 的取值范围； （Ⅲ）记()f x '为函数()x f 的导函数．若1=a ，试问：在区间[]10,1上是否存在k （k 100<）个正数321,,x x x …k x ，使得()()()()1232012k f x f x f x f x ''''++++≥成
立？请证明你的结论.
参考解答及评分标准
说明：
一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如
果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分
细则．
二、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的
内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分． 三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
四、只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．
一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分60分．
二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题4分，满分16分.
13．5 ； 14．4
5
； 15．1； 16．9、10、12.
三、解答题：本大题共6小题，共74分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．本小题主要考查等差数列、等比数列等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想.满分12分.
解：（Ⅰ）设数列n a 的公比为q ，则
213
412,1,2
a a q a a q ==⎧⎪⎨==⎪⎩………………………………2分 解得11
,42
q a =
=（负值舍去）. ………………………………4分 所以113
114()22
n n n n a a q ---+==⋅=．………………………………6分
所以2(23)522
n n n n n
T +--+==．………………………………12分
18．本小题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力及运算求解能力.满分12分.
19．本小题主要考查两角和与差的三角函数公式、正弦定理、余弦定理等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．满分12分．
解
法
一
：
（
Ⅰ
）
由
已
知
有
A A A cos 6
sin
cos 6
cos
sin =⋅-⋅π
π
，………………………………2分
故A A cos 3sin =，3tan =A .………………………………4分 又π<<A 0，所以3
π
=A .………………………………5分 （
Ⅱ
）
由
正
弦
定
理
得
6B π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭．………………………………10分
所以)6
sin(4π
+
=+B c b
.
所以2
4()3b c bc =+-，即2
2
()3(
)42
b c b c ++-≤，………………………………10分 2()16b c +≤，故4b c +≤.
所以，当且仅当c b =，即ABC ∆为正三角形时，c b +取得最大值４. …………12分
20．本小题主要考查频率分布直方图、22⨯列联表和概率等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力以及应用用意识，考查必然与或然思想、分类与整合思想等．满分12分．
解：（Ⅰ）直方图中，因为身高在170 ~175cm 的男生的频率为0.0850.4⨯=， 设男生数为1n ，则1
16
0.4n =
，得140n =.………………………………………4分 由男生的人数为40，得女生的人数为80-40=40.
（Ⅱ）男生身高cm 170≥的人数30405)01.002.004.008.0(=⨯⨯+++=，女生身高cm 170≥的人数440502.0=⨯⨯，所以可得到下列列联表：
…………………………………………6分
2
2
80(3036104)34.5810.82840403446
K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯， (7)
分
有:123(,,),A A A 124(,,),A A A 12(,,),A A B 134(,,),A A A 13(,,),A A B 14(,,),A A B
234(,,),A A A 23(,,),A A B 24(,,),A A B 34(,,)
A A
B ,共10种可
21．本小题考查抛物线的标准方程、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想等．满分12分．
解法一：（Ⅰ）抛物线的焦点(1,0)F ，………………………………………1分
（Ⅱ）直线
AB 与抛物线相切，证明如下：…………7分
（法一）：设00(,)A x y ，则2
004y x =.…………8分
因为0||||1,BF AF x ==+所以0(,0)B x -.…………9分
所以直线AB 的方程为：0
00()2y y x x x =+，整理得:000
2x y
x x y =- (1)
设圆的方程为：2220(1)(1)x y x -+=+，…………9分
当0y =时，得01(1)x x =±+，
因为点B 在x 轴负半轴，所以0(,0)B x -.…………9分
所以直线AB 的方程为0
00()2y y x x x =+，整理得:000
2x y
x x y =-(1)
把方程（1）代入24y x =得：20000840y y x y x y -+=，…………10分 2222
00000641664640x x y x x ∆=-=-=，
故所求的切线方程为：
()11--=+x y 即0=+y x .…
………………………………………4分 （Ⅱ）()221212122a x ax a f x ax x x x ⎛⎫+ ⎪+⎝
⎭'=+==，0>x ，
0a <.………………………6分
由题意有2
121ln 2121-<⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-a ，解得21-<a . 所以a 的取值范围为⎪⎭
⎫ ⎝⎛
-∞-21,.…………………………………………10分 （Ⅲ）当1=a 时，()12f x x x
'=+. 记()()x f x g /=，其中[]10,1∈x . ∵当[]10,1∈x 时，()2120g x x
'=->，∴()x g y =在[]10,1上为增函数，。