广东省韶关市2024届高三综合测试(二)数学试题答案

2024届高三综合测试（二）
数学参考答案与评分标准
评分说明:
1.本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的 主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则。

2.对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的 内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的 一半,如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。

3.解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。

4.只给整数分数,选择题不给中间分。

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.
1. 【解析】 解得集合{|7}B x x =<，则()
={|167}R A B x x x ≤<<或，选B.
2. 【解析】如图所示正方体中，11//A B 平面ABCD ,11//A B 平面11CDD C ，
但平面ABCD 与平面11CDD C 相交，故A 错；
11//A B 平面ABCD ，11//A D 平面ABCD ，但11A B 与11A D 相交，故B 错；
平面11ABB A ⊥平面ABCD ，平面11ADD A ⊥平面ABCD ，但平面11ABB A 与平面11ADD A 相交，故D 错，所以选C.
3.【解析】121622242531333545，，，，，，，，的极差为33，平均数为27，上四分位数是
90.75=6.75⨯，故第7个数33为上四分位数，去掉12和45，极差变为19，平均数变为
186
7
，上四分位数是70.75=5.25⨯，故第6个数33为上四分位数，选D. 注：也可通过对数据的直观分析，直接排除ABC.
4.【解析】易知反射光线所在直线方程为：32(2)y x +=+，即210x y −+=，
圆心(3,2)C 到该直线的距离
d =
=r =.选D.
5.【解析】(4)(4)+216W S L =+⨯+=+面积周长长宽， 有=2400L +≥=周长（长宽）， 所以min 100008001610816(W =++=平方米），故选C.
6.【解析】在ABC ∆中，()tan tan tan 1,1tan tan A B
A B A B
++=
=−因为tan tan 1A B <<，所以
45A B <<。

，45A B +=。

,则135C =。

,由正弦定理得
sin sin a c
A C
=,解得最短边a =,选A.
7.【解析】 过点F 的直线:340l x y m ++=，可知,00,34m m F B ⎛⎫⎛
⎫−
− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，，令右焦点为1F ，连接1AF ，因为B 是线段AF 的中点，O 是线段1FF 的中点，由中位线定理可得，
1,2m AF =勾股定理得5,6
m AF ==由双曲线的定义得1=2,AF AF a −所
以=,6m a =,3m c =,6
b 双曲线C 的渐近线方程为y =，故选C.
注：也可直接数形结合，焦点三角形即为直角三角形，利用斜率，得出边长的比值即可. 8.【解析】 设2211max{2,3,
}49t x y x y =+，所以2t x ≥，即11
2x t
≥，即22114x t ≥ 3t y ≥
，即
113y t ≥，即22119y t ≥又221149t x y ≥+，即22
t t
≥所以t ≥等号时成立，故选A.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得0分。

9.【解析】若12,1z i z ==，显然A ，D 是错的；
选项B ：设1,(,)z a bi a b R =+∈，则2,(,)z a bi a b R =−∈，所以222121||z z a b z =+=
选项C ：若2
1
12z z z =，则112()0z z z −=，1z 非零复数，120z z −=，即12z z =，选BC.
10.【解析】∵
()f x 的定义域为R ，且满足()()f x f x −=，所以()f x 是偶函数，A 正确；
∵当()0,x π∈时，令
()()2()=2sin 3sin 1sin 12sin 10f x x x x x −+=−−=，得sin =1x 或
1sin =2x ，则=2x π，或=6x π，或5=6
x π
，∴()f x 在[]-2,2ππ上有6个零点，B 正确．
由B 知，当0x ≥时，2
311()=2sin 488f x x ⎛⎫−−≥− ⎪⎝
⎭（当且仅当3sin =4x 时取等号）， ∴
()f x 的最小值为1
8
−，C 正确；
又当0,4x π⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭时，sin 0,2t x ⎛⎫=∈ ⎪ ⎪⎝⎭
单调递增，2()=2sin 3sin 1f x x x −+，化简得2
31()=2sin 48f x x ⎛⎫−− ⎪⎝⎭，令2
31()=248g t t ⎛⎫−− ⎪⎝⎭，其对称轴方程为34t =，()g t 在0,2⎛ ⎝⎭
上单调递减，由复合函数的单调性可知，
()f x 在0,4
π⎛⎫
⎪⎝
⎭
上单调递减，
由A 知，
()f x 是偶函数，故()f x 在04
π⎛⎫
− ⎪⎝⎭
，
上单调递增，D 错误；故选：ABC ． 11.【解析】 因为
()(4)f x f x =−，所以()f x 关于2x =对称，
因为(1)()4f x g x +−=，即()(1)4g x f x =+−，所以()g x 关于1x =对称，所以A 对.
(1)(1)g x g x +=−，所以(1)(1)g x g x ''+=−−，
令0x =，则(1)0g '=，因为(1)()4f x g x +−=，所以(1)()f x g x '+='，① 所以(2)(1)f x g x +=+''，② 又因为()(1)0f x g x ''++=，③
由②③得：()(2)0f x f x ''++=，④
所以(2)(4)0f x f x ''+++=，所以()(4)f x f x ''=+，所以()f x '的周期为4，所以C 对. 又因为()(1)0f x g x ''++=，所以()g x '的周期为4， 在①中令1x =得：(2)(1)0f g ''==， 在③中令2x =得：(3)(2)0g f ''=−=， 在④中令2x =得：(4)(2)0f f ''=−=，
所以(1)(1)(2)(2)(3)(3)(4)(4)0f g f g f g f g ''''''''====， 结合周期，所以()f n '()0g n '=，所以B 错，D 对，选ACD . 注：也可利用原函数与导函数的奇偶关系处理. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 5 13.
23π； 1
2
− 14. 41或12或32或34 12.【解析】二项式(2)n x −的展开式中，2x 项的系数是常数项的2.5倍，
即220
2 2.52n n n
n C C −⨯=⨯，即(1)
102
n n −=，5n ∴=，故答案为：5． 13.【解析】由||1a b +=得：22||2||1a a b b +⋅+=，即1
2
a b ⋅=−
，所以
1
cos ,2
a b <>=−
，所以2,3a b π<>=,或者画图易得2,3a b π<>=，因为0()()()()||||cos60||||cos ,a b b c a b b a b c a b b a b c a b c +⋅−=+⋅−+⋅=+⋅⋅−+⋅⋅<+>
1cos ,2a b c =
−<+>，又cos ,[1,1]a b c <+>∈−，所以()()a b b c +⋅−的最小值为1
2−. 所以23π；12−.
注：本题也可以建系处理.
14. 【解析】作PO ⊥平面ABC 于O ，作OD BC ⊥于D ，OE AC ⊥于E ，OF AB ⊥于
F ，连接PD ，PE ，PF ，则PO BC ⊥，又OD PO O =，所以BC ⊥平面POD ，所
以BC PD ⊥，所以PDO ∠为二面角P BC A −−的平面角，同理，,PEO PFO ∠∠分别
为二面角P AC B −−，二面角P AB C 的平面角，
所以4
PDO PEO PFO π
===
∠∠∠，
所以,OE OD OF PO ===，所以O 为ABC ∆的内 心，连接AO ，BO ，CO
设ABC S t =△，则3AOB AOC BOC t S S S OD =++=△△△，所以,
,33
t t
OD PO OD ===，所以219P ABC V t −=，因为4AC BC +=，所以C 在以A ，B 为
焦点的椭圆上，建立平面直角坐标系，(1,0),(1,0)A B −，1,2c a ==，所以23b =，所以
椭圆方程为22
143
x y +=，由于b c >，所以ACB ∠不可能为直角，所以只能是CAB ∠或
CBA ∠是直角，此时1133
22222
ABC S AB CB =
⋅⋅=⋅⋅=△，所以199144P ABC V −⋅== 同理可求其它三种情况，其体积分别为
12，32，3
4
. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤。

15.解：（1）
()232
'()0f x a x x x
=−
+>--------------------------------------1分 '(1)321f a a ∴=−+=− ------------------------------------------------- 2分
在点(1,
(1))f 处的切线平行于x 轴.，故'(1)1=0f a ∴=− ------------------------3分
=1a ∴--------------------------------------------------------------------4分
（2）()
3
()2ln 0f x x x x x
=++> ()()2222313223'()1=x x x x f x x x x x
+−+−=−+= ----------------------------5分 令
'()0f x =，121,3x x ==−（舍去） -------------------------------------7分
故1x >时，'()0f x >，()f x 在(1,)+∞上是单调递增，()f x 的单调增区间是(1,)+∞----
------------------------------------------------------------------------9分 故01x <<时，'()0f x <，
()f x 在()0,1上是单调递减，()f x 的单调减区间是(01)，
-------------------------11分 函数
()f x 有极小值点=1x ，极小值(1)=4,f ----------------------------------12分
()f x 无极大值点，故无极大值. ----------------------------------------------13分
16. 解：（1）记“射击一次获得“优秀射击手”称号”为事件A ，------------------1分 “射击一次获得一等奖”为事件B ，“射击一次获得二等奖”为事件C ，---------2分 所以有A B
C =---------------------------------------------------------3分
()1
3
P B ∴=
--------------------------------------------------------------4分 ()111
428
P C ∴=⨯=-------------------------------------------------------5分
()()()()11
24P A P B C P B P C ∴==+=----------------------------------6分 (2)获三等奖的次数为X ，可以为0,1,2,3,4------------------------------------7分 记“获三等奖”为事件D ，()1111
8424
P D ∴=
+⨯=--------------------------9分 ()04
04
1381044256
P X C ⎛⎫⎛⎫∴===
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()1
3
14132714464
P X C ⎛⎫⎛⎫∴=== ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭ ()2
2
241354244256
P X C ⎛⎫⎛⎫∴=== ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
()31
341312344256
P X C ⎛⎫⎛⎫∴=== ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭ ()4
44
131444256
P X C ⎛⎫⎛⎫∴===
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-----------------------------------------12分 X 的概率分布列和数学期望
--------------------------------------------------------------------------13分 显然满足二项分布14,4X
B ⎛⎫
⎪⎝⎭
()1414E X =⨯= --------------------------15分
注：用期望的加权平均公式，写了对公式可给1分. 17 （1）证明：连结
AO 并延长，交BC 于M ，交圆柱侧面于N ． --------------1分
由题可知，上底面圆O 是ABC ∆的外接圆 又
,AB AC OB OC == AO BC ∴⊥ --------------------------------- 2分
又圆柱1OO 中，1
AA BC ⊥，1AO
AA A =，BC ∴⊥平面11AOO A ，---------3分
不论P 在何处，总有1PA ⊂平面11AOO A --------------------------------------4分
1BC PA ∴⊥ ------------------------------------------------------------ 5分
（2）以1O 为原点，过点1O 做11B C 的平行线为x 轴，以11AO 为
y 轴，以1O O 为z
轴，建立如图所示空间直角坐标系1O xyz −， -----------------6分
所以//BC x 轴，
116OO AA AN ===，则=AB AC =，
在ABC ∆中，=cos 52AC
AM AC CAM
AC OM AN
⨯∠=⨯
=⇒=--7分
从而CM BM == -------------------------8分
1(0,3,0),(A B C ∴− -------------------------9分
设(0,0,)P λ 1(0,3,),(5,2,6).A P BP λλ∴==−−−
1A P BP ∴
=
得=3λ，即点P 是线段1OO 的中点- 1(0,3,3),(5,2,3).A P BP ∴==−−−--------------------------------------------- 10分
设平面1A PB 的一个法向量为(,
,)n x y z =，则有330
230y z y z +=⎧⎪⎨−−=⎪⎩
，
取1y =，得5
(
,1,1)5
n =−，---------------------------------------------------------------------------12分 设BC 的一个方向向量为(1,0,0)m =，于是得：- -------------------------------------------------13分
|cos ,|11
n m <>=
=
-----------------------------------------------------------------14分 设BC 与平面1A PB 所成的角θ，则 11
sin cos ,|=11
n m θ=<
> 所以BC 与平面1A PB -------------15分 （1）解法二：（利用向量的线性运算）
证明：由题可知，上底面圆O 是ABC ∆的外接圆 又
,AB AC OB OC == AO BC ∴⊥ ---------------------- 2分
又由直棱柱性质可得 11O A O A =
()
1111BC PA BC PO O A ⋅=⋅+111BC PO BC O A =⋅+⋅11BC O A =⋅=0
BC OA =⋅----
---------------------------------------------------------------------------6分
（1）的解法三：（利用坐标法） 连结
AO 并延长，交BC 于M ，交圆柱侧面于N ． --------------------------1分
1111AO B C ⊥ 1OO 为圆柱的高所以11111AO B C OO 、、两两垂直
以1O 为原点，过点1O 做11B C 的平行线为x 轴，以11AO 为
y 轴， 以1O O 为z 轴，建立如图所示空间直角坐标系1
O xyz −，---------2分
116OO AA AN ===
，则=AB AC =，
在ABC ∆中，由射影定理得2==305AC AM AN AM ⋅⇒=--------------
-------3分
2OM AM AO =−=
从而CM BM == ---------------------------------------------------------------4分
1(0,3,0),(A B C ∴−
(BC ∴=−----------------------------------------- 5分
设(0,0,)P λ 1(0,3,)A P λ∴=
10A P BC ∴⋅= 1BC PA ∴⊥----------------------------------------------------------------------6分
18 解：（1）因为x x x f −=2)(，则12)('−=x x f ， --------------------------1分 从而有1
212)()(2
21
−=−−−='−=+n n
n n n n n n n n x x x x x x x f x f x x ，---------------------------2分
由21=a ，而1ln 111−=x x a ，则2
111e x x =−，解得1
221−=e e x ，-------------------3分 则有1
1244
1212−=−=e e x x x ，所以212
21ln 2ln 411x x a x x ===−− -------------------4分 （2）证明：由1
221
−=+n n n x x x ，则2
2
222
11)1(1211
2121−=+−=−−−=−++n n n n n n n n n
n n x x x x x x x x x x x --5分 所以n n n n n n n n a x x
x x x x a 21
ln 2)1ln(1ln
2111=−=−=−=+++（1>n x ）-----------------6分
故
21
=+n
n a a （非零常数），且021≠=a 所以数列{}n a 是以2为首项、2为公比的等比数列-------------------------------7分
所以n n n q
a a 21
1==−. ------------------------------------------------------8分
（3）由等比数列的前n 项和公式得：222
12121
−=−−=+n n n S ）（ ------------------9分
因为
()2141n n n S tS ≤−⋅−对任意的*∈N n 恒成立，又0>n
S
且n S 单调递增，-----10分
所以()n
n
n
S S t 141+≤−对任意的*∈N n 恒成立， -------------------------------11分 令()∞+∈+
=，，014
)(x x
x x g ， -------------------------------------12分2
2214
141)(x
x x x g −=−=' ①当)14,0(∈x 时，0)(<'x g ，)(x g 是减函数；
②当),14(+∞∈x 时，0)(>'x g ，)(x g 是增函数。

--------------------------13分 又61422
1=<<=S S ，且9)
2(=g ，3
25
)6(=
g ，)2()6(g g <，
则3
25
)(min =
x g --------------------------------------------------------- 14分 当n 为偶数时，原式化简为n n S S t 14+
≤，所以当2=n 时，325≤t --------------15分 当n 为奇数时，原式化简为n
n S S t 14
+≤−，所以当1=n 时，9≤−t ，所以9−≥t ----16分 综上可知，.3
25
9≤≤−t ----------------------------------------------------17分
19.解：
（1）设椭圆的焦距为2c ，则由题可知：
2221224
c e a a a b c ⎧==⎪⎪
=⎨⎪=+⎪⎩
，--------------------2分 解得2243
a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，故椭圆C 的标准方程为22
143x y +=.-------------4分
（2）①由（1）知，(1,0)F ，(2,0),(2,0)A B −
由题可知直线TF 的斜率存在且不为0，设其为k ，
因为直线FT 为PFB ∠的角平分线，故2PFB TFB ∠=∠，-----------------------5分 从而有，22tan tan tan 21tan TFB
PFB TFB TFB
∠∠=∠=−∠，------------------------6分
当01x ≠时，化简得 02
0211y k
x k =−−---------------------------------------7分 化简得：2
0002(1)0y k
x k y +−−=，
2200
4(1)4x y ∆=−+ 又点00(,)P x y 在椭圆C 上，故22
00
143
x y +=，代入上式可得：
22
20004(1)123(4)x x x ∆=−+−=−，---------------------------------------8分
故000
2(1)(4)
2x x k y −−±−=
，又0k >，故00632x k y −=.-----------------------9分
所以直线TF 的方程为：0
63(1)2x y x y −=
−，--------------------------------10分 又直线AP 的方程为0
0(2)2
y y x x =
++----------------------------------- 11分 联立：2
00022
00(63)(2)
3(4)223122(4)4
x x x x x y x −+−+===−⨯−， 解得：4x =-------------------- ------------------------------------ 12分 当0=1x 时，有3(1,)2P ，所以直线AP 的方程为1
(2)2
y x =+ 直线TF 的方程为：1y x =−，联立解得4x =
综上可知点T 的轨迹方程为4(0)x y =>.----------------------------------13分 ②将4x =代入直线AP 方程可得：0
06(4,
)2
y T x +，--------------------------14分
01||(4)2
PF x ===−
由TF 平分PFB ∠可得点T 到直线PF 的距离0062p y d y x ==+.------------------15分 所以0003(4)1||22(2)TPF x y S PF d x ∆−=
⋅⋅=+. --------------------------------------16分
所以222222
0000020009(4)27(4)(4)27(4)(2)814(2)16(2)16(2)16TPF x y x x x x S x x x ∆−−−−−====+++ 化简得：2000(1)(926)0x x x −−+=， 所以01x =.------------------------------------------------------------17分。