20-21版：3.1.3 第2课时 组合数的应用（步步高）

(3)恰好有1个空盒，有多少种放法？ 解 方法一 先将 4 个小球分为 3 组，有C24AC1222C11种方法，再将 3 组小球投 入 4 个盒子中的 3 个盒子，有 A34种投放方法，故共有C24AC1222C11·A34＝144(种) 放法. 方法二 先取 4 个球中的 2 个“捆”在一起，有 C24种选法，把它与其他 2 个球共 3 个元素分别放入 4 个盒子中的 3 个盒子，有 A34种投放方法， 所以共有 C24A34＝144(种)放法.
(3)现要从中选出男、女教师各2名去参加会议，有__9_0__种不同的选法.
解析 从 6 名男教师中选 2 名的选法有 C26种，从 4 名女教师中选 2 名的 选法有 C24种，根据分步乘法计数原理，共有不同的选法 C26×C24＝AA2622×AA2422 ＝62××51×42××31＝90(种).
(4)每个盒内放1个球，并且恰好有1个球的编号与盒子的编号相同，有多 少种放法？
解 1 个球的编号与盒子编号相同的选法有 C14种，当 1 个球与 1 个盒子的 编号相同时，用局部列举法可知其余 3 个球的投入方法有 2 种，故共有 C14·2 ＝8(种)放法.

(5)把4个不同的小球换成4个相同的小球，恰有一个空盒，有多少种放法？
反思 感悟
“分组”与“分配”问题的解法 (1)分组问题属于“组合”问题，常见的分组问题有三种： ①完全均匀分组，每组的元素个数均相等； ②部分均匀分组，应注意不要重复，有n组均匀，最后必须除 以n！； ③完全非均匀分组，这种分组不考虑重复现象. (2)分配问题属于“排列”问题，分配问题可以按要求逐个分 配，也可以分组后再分配.
(2)任选一种荤菜、两种蔬菜和蛋炒饭.则每天不同午餐的搭配方法共有
√A.210种
B.420种
C.56种
D.22种
解析 由分类加法计数原理知，两类配餐的搭配方法之和即为所求，所 以每天不同午餐的搭配方法共有 C24C27＋C14C27＝210(种).
三、分组、分配问题
命题角度1 平均分组 例3-1 (1)6本不同的书，分给甲、乙、丙三人，每人两本，有多少种 方法？
命题角度2 不平均分组 例3-2 (1)6本不同的书，分为三份，一份一本，一份两本，一份三本， 有多少种方法？ 解 这是“不平均分组”问题，一共有 C16C25C33＝60(种)方法. (2)6本不同的书，分给甲、乙、丙三人，一人一本，一人两本，一人三 本，有多少种不同的方法？
解 在(1)的基础上再进行全排列，所以一共有 C16C25C33A33＝360(种)方法.
B.134 手
C.A1532手
√D.C1532手
解析 本题实质上是从 52 个元素中取 13 个元素为一组，故一名参赛者
可能得到 C1532手不同的牌.
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3.从9名学生中选出3名参加“希望英语”口语比赛，有__8_4__种不同选法. 解析 只需从 9 名学生中选出 3 名即可，从而有 C39＝AA3339＝93× ×82× ×71 ＝84(种)选法.
解 方法一 可作出三角形 C36＋C16·C24＋C26·C14＝116(个).
方法二 可作三角形 C310－C34＝116(个)，其中以 C1 为顶点的三角形 有 C25＋C15·C14＋C24＝36(个).
(2)以图中的12个点(包括A，B)中的4个点为顶点，可作出多少个四边形？ 解 可作出四边形 C46＋C36·C16＋C26·C26＝360(个).
解 从口袋内的8个球中取出3个球， 取法种数是 C38＝83× ×72× ×61＝56.
(2)从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有多少种取法？ 解 从口袋内取出 3 个球有 1 个是黑球，于是还要从 7 个白球中再 取出 2 个，取法种数是 C27＝72××61＝21. (3)从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多少种取法？
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4.甲、乙、丙3位同学选修课程，从4门课程中，甲选修2门，乙、丙各选 修3门，则不同的选修方案的种数为__9_6___. 解析 从 4 门课程中，甲选修 2 门，乙、丙各选修 3 门，则不同的选 修方案共有 C24·C34·C34＝96(种).
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5.有4名男医生、3名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成1个医 疗小组，则不同的选法共有__1_8__种. 解析 从 4 名男医生中选 2 人，有 C24种选法，从 3 名女医生中选 1 人， 有 C13种选法，由分步乘法计数原理知，所求选法种数为 C24C13＝18.
√ A.60种 B.48种 C.30种 D.10种
解析 从 5 名志愿者中选派 2 人参加星期六的公益活动，有 C25种方法， 再从剩下的 3 人中选派 2 人参加星期日的公益活动，有 C23种方法，由分 步乘法计数原理可得不同的选派方法共有 C25·C23＝30(种)，故选 C.
解 分给甲、乙、丙三人，每人两本，有 C26C24C22种方法，这个过程 可以分两步完成： 第一步，分为三份，每份两本，设有x种方法； 第二步，再将这三份分给甲、乙、丙三名同学，有 A33种方法. 根据分步乘法计数原理，可得 C26C24C22＝xA33，所以 x＝C26AC2433C22＝15. 因此分为三份，每份两本，一共有15种方法.
(3)既要有队长，又要有女生当选. 解 分两类： 第一类女队长当选，有 C412＝495(种)选法， 第二类女队长没当选，有 C14C37＋C24C27＋C34C17＋C44＝295(种)选法， 所以共有495＋295＝790(种)选法.
反思 感悟
有限制条件的抽(选)取问题，主要有两类
(1)“含”与“不含”问题，其解法常用直接分步法，即
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课堂小结
KE TANG XIAO JIE
1.知识清单： (1)简单的组合问题. (2)有限制条件的组合问题. (3)分组分配问题. 2.方法归纳：分类讨论、正难则反. 3.常见误区：分组分配问题中是否“均分”问题.
3 课时对点练
PART THREE
基础巩固
1.身高各不相同的7名同学排成一排照相，要求正中间的同学最高，左右
解 由于所取出的 3 个球中不含黑球，也就是要从 7 个白球中取出 3 个球，取法种数是 C37＝73××62××51＝35.
二、有限制条件的组合问题
例2 课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女生各有 一名队长，现从中选5人主持某项活动，依下列条件各有多少种选法？ (1)至少有一名队长当选； 解 C513－C511＝825(种). (2)至多有两名女生当选； 解 至多有2名女生当选含有三类： 有2名女生当选；只有1名女生当选；没有女生当选， 所以共有 C25C38＋C15C48＋C58＝966(种)选法.
“含”的先取出，“不含”的可把所指元素去掉再取，
分步计数.
(2)“至多”“至少”问题，其解法常有两种解决思路：
一是直接分类法，但要注意分类要不重不漏；二是间接
法，注意找准对立面，确保不重不漏.
跟踪训练2 某食堂每天中午准备4种不同的荤菜，7种不同的蔬菜，用餐
者可以按下述方法之一搭配午餐：(1)任选两种荤菜、两种蔬菜和白米饭；
解 (隔板法)先将编号为 1,2,3,4 的 4 个盒子分别放入 0,1,2,3 个球，再把剩
下的 14 个球分成 4 组，即在○○○○○○○○○○○○○○这 14 个球中
间的
13
个空中放入三块隔板，共有
C
3 13
＝
286(
种
)
放
法
，
如
○○|○○○○○|○○○|○○○○，即编号为 1,2,3,4 的盒子分别放入 2,6,5,7
运动会，种子选手都必须在内，则不同的选法有
A.C59种
√ B.A37种
C.C37种
D.C57种
解析 只需再从其他 7 名队员中选 3 人，即 C37种选法.
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2.在桥牌比赛中，发给 4 名参赛者每人一手由 52 张牌的四分之一(即
13 张牌)组成的牌，一名参赛者可能得到的不同的牌为
A.4×13 手
跟踪训练3 将4个编号为1,2,3,4的小球放入4个编号为1,2,3,4的盒子中. (1)有多少种放法？
解 每个小球都可能放入4个盒子中的任何一个，将小球一个一个放入 盒子，共有4×4×4×4＝44＝256(种)放法. (2)每盒至多1个球，有多少种放法？
解 这是全排列问题，共有 A44＝24(种)放法.
个球.
核心素养之数学抽象与数学运算
HE XIN SU YANG ZHI SHU XUE CHOU XIANG YU SHU XUE YUN SUAN
与几何有关的组合应用题 典例 如图，在以AB为直径的半圆周上，有异于A，B的六个点C1， C2，…，C6，线段AB上有异于A，B的四个点 D1，D2，D3，D4. (1)以除A，B外的10个点中的3个点为顶点可作多 少个三角形？其中含C1点的有多少个？
两边分别顺次一个比一个低，这样的排法种数是
A.5 040 B.36
C.18
√D.20
解析 最高的同学站中间，从余下6人中选3人在一侧只有一种站法，另3 人在另一侧也只有一种站法，所以排法有 C36 ＝20(种).
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
2.从5名志愿者中选派4人在星期六和星期日参加公益活动，每人一天， 每天两人，则不同的选派方法共有
命题角度3 分配问题 例3－3 6本不同的书，分给甲、乙、丙三人，每人至少一本，有多 少种不同的方法？ 解 可以分为三类情况：①“2,2,2 型”，有 C26C24C22＝90(种)方法； ②“1,2,3 型”，有 C16C25C33A33＝360(种)方法； ③“1，1,4 型”，有 C46A33＝90(种)方法，所以一共有 90＋360＋90 ＝540(种)方法.
第三章 3.1.3 组合与组合数
学习目标
XUE XI MU BIAO
1.能应用组合知识解决有关组合的简单实际问题. 2.能解决有限制条件的组合问题.
内
题型探究
容 索
随堂演练
引
课时对点练
1
PART ONE
题型探究
一、简单的组合问题
例1 有10名教师，其中6名男教师，4名女教师. (1)现要从中选2名去参加会议，有__4_5__种不同的选法；
反思
感悟 (1)解简单的组合应用题时，首先要判断它是不是组合问 题，组合问题与排列问题的根本区别在于排列问题与取 出元素之间的顺序有关，而组合问题与取出元素的顺序 无关. (2)把一个实际问题转化为组合问题，体现了数学抽象的 核心素养.
跟踪训练1 一个口袋内装有大小相同的7个白球和1个黑球. (1)从口袋内取出3个小球，共有多少种取法？
素养 提升
(1)图形多少的问题通常是组合问题，要注意共点、共线、共 面、异面等情形，防止多算.常用直接法，也可采用间接法. (2)把一个与几何相关的问题转化为组合问题，此题目的解决 体现了数学抽象及数学运算的核心素养.
2 随堂演练
PART TWO
1.某乒乓球队有 9 名队员，其中有两名种子选手，现要选 5 名队员参加
解 先从 6 本书中选 2 本给甲，有 C26种方法；再从其余的 4 本中选 2 本 给乙，有 C24种方法；最后从余下的 2 本书中选 2 本给丙，有 C22种方法， 所以分给甲、乙、丙三人，每人 2 本，共有 C26C24C22＝90(种)方法.
(2)6本不同的书，分为三份，每份两本，有多少种方法？
解析 从10名教师中选2名去参加会议的选法种数，就是从10个不同元素 中取出2个元素的组合数， 即 C210＝AA21220＝120××19＝45.
(2)选出2名男教师或2名女教师参加会议，有__2_1__种不同的选法；
解析 可把问题分两类情况： 第 1 类，选出的 2 名是男教师有 C26种方法； 第 2 类，选出的 2 名是女教师有 C24种方法. 根据分类加法计数原理， 共有 C26＋C24＝AA2622＋AA2422＝62××51＋42××31＝15＋6＝21(种)不同的选法.
解 先从 4 个盒子中选出 3 个盒子，再从 3 个盒子中选出 1 个盒子放入 2 个球，余下 2 个盒子各放 1 个，由于球是相同的即没有顺序，所以属于组 合问题，故共有 C34C13＝12(种)放法.
(6)把4个不同的小球换成20个相同的小球，要求每个盒内的球数不少于它 的编号数，有多少种放法？