平面图形的认识13大必考考点精讲精练

2022-2023学年七年级数学上学期复习备考高分秘籍【苏科版】
专题1.7平面图形的认识13大必考考点精讲精练
（知识梳理+典例剖析+变式训练）
【目标导航】
【知识梳理】
1直线、射线、线段
（1）直线、射线、线段的表示方法
①直线：用一个小写字母表示，如：直线l，或用两个大写字母（直线上的）表示，如直线AB．
②射线：是直线的一部分，用一个小写字母表示，如：射线l；用两个大写字母表示，端点在前，如：射线OA．注意：用两个字母表示时，端点的字母放在前边．
③线段：线段是直线的一部分，用一个小写字母表示，如线段a；用两个表示端点的字母表示，如：线段AB（或线段BA）．
）角的和差倍分
（2）度、分、秒的加减运算．在进行度分秒的加减时，要将度与度，分与分，秒与秒相加减，分秒相加，逢60要进位，相减时，要借1化60．
（3）度、分、秒的乘除运算．①乘法：度、分、秒分别相乘，结果逢60要进位．②除法：度、分、秒分别去除，把每一次的余数化作下一级单位进一步去除．
6方向角
方向角是从正北或正南方向到目标方向所形成的小于90°的角
（1）方向角是表示方向的角；以正北，正南方向为基准，来描述物体所处的方向．
（2）用方向角描述方向时，通常以正北或正南方向为角的始边，以对象所处的射线为终边，故描述方向角时，一般先叙述北或南，再叙述偏东或偏西．（注意几个方向的角平分线按日常习惯，即东北，东南，西北，西南．）
（3）画方向角
以正南或正北方向作方向角的始边，另一边则表示对象所处的方向的射线．
7.余角与补角
（1）余角：如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角．即其中一个角是另一个角的余角．
（2）补角：如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角．即其中一个角
是另一个角的补角．
（3）性质：等角的补角相等．等角的余角相等．
（4）余角和补角计算的应用，常常与等式的性质、等量代换相关联．
注意：余角（补角）与这两个角的位置没有关系．不论这两个角在哪儿，只要度数之和满足了定义，则它们就具备相应的关系．
8.对顶角与邻补角
（1）对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角．
（2）邻补角：只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角．
（3）对顶角的性质：对顶角相等．
（4）邻补角的性质：邻补角互补，即和为180°．
（5）邻补角、对顶角成对出现，在相交直线中，一个角的邻补角有两个．邻补角、对顶角都是相对与两个角而言，是指的两个角的一种位置关系．它们都是在两直线相交的前提下形成的．
9.平行：
（1）平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．
（2）平行公理中要准确理解“有且只有”的含义．从作图的角度说，它是“能但只能画出一条”的意思．
（3）推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．
（4）平行公理的推论可以看做是平行线的一种判定方法，在解题中要注意该结论在证明直线平行时应用．
10.垂直：
（1）垂线的定义
当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．
（2）垂线的性质
在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．
（3）垂线段：从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫做垂线段．（4）点到直线的距离：直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．
【典例剖析】
【考点1】直线、射线、线段的认识
【例1】（2019年秋·东海县校级月考）如图，两条平行直线m，n上各有4个点和5个点．任选这9个点中的两个连一条直线，则一共可以连条直线（ ）
A．20B．36C．34D．22
【分析】采用分类讨论的思想，有两种情况：一是任选两点都在m（或n）上；二是任选两点分别在m，n上．
【解析】任选两点都在m（或n）上，只能连出直线m（或n）．
若任选两点分别在m，n上，则可连4×5＝2O条．
所以一共可以连22条直线．
故选：D．
【变式1.1】（2021·江苏·七年级专题练习）如图，下列说法正确的是（）
A．点O在线段AB上B．点B是直线AB的一个端点
C．射线OB和射线AB是同一条射线D．图中共有3条线段
【答案】D
【分析】根据直线、线段、射线的有关知识判断即可．
【详解】解：A、点O在线段AB外，选项说法错误，不符合题意；
B、点B是直线AB的一个点，直线没有端点，选项说法错误，不符合题意；
C、射线OB和射线AB不是同一条射线，选项说法错误，不符合题意；
D、图中共有3条线段，选项说法正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】此题考查直线、线段、射线，关键是根据直线、线段、射线的区别解答．
【变式1.2】（2022·江苏·七年级专题练习）如图，有一种电子游戏，电子屏幕上有一条直线，在直线上有A，B，C，D四点，且AB＝BC＝CD，点P沿直线l从左向右移动，当出现点P 与A，B，C，D四点中的至少两个点距离相等时，就会发出警报，则直线l上会发出警报的点P有（ ）
A．3个B．4个C．5个D．6个
【答案】C
【分析】点P与A，B，C，D四点中的至少两个点距离相等时，也就是点P恰好是其中一条线段中点，而图中共有六条线段，由此可以得到出现报警的最多次数．
【详解】解：根据题意可知：
当点P经过任意一条线段中点时会发出报警，
∵图中共有线段AB、AC、AD、BC、BD、CD，
∵AD和BC的中点是同一个，
∴直线l上会发出警报的点P有5个．
故选：C．
【点睛】本题考查了两点间的距离，利用总体思想去思考线段的总条数是解决问题最巧妙的办法，可以减去不必要的讨论与分类．
【变式1.3】（2021·江苏·七年级专题练习）同一平面内有四条直线，最多有m个交点，最少有n个交点，那么m+2n＝（ ）
A．1B．6C．8D．4
故选B．
【点睛】本题考查了直线之间的位置关系，交点个数，代数式求值，分类讨论求得m,n的值是解题的关键．
【考点2】直线、线段的性质
【例2】（2019秋•雨花区期末）在墙壁上固定一根横放的木条，则至少需要钉子的枚数是（ ）
A．1枚B．2枚C．3枚D．任意枚
【分析】根据直线的性质，两点确定一条直线解答．
【解析】∵两点确定一条直线，
∴至少需要2枚钉子．
故选：B．
【变式2.1】（2022·江苏盐城·七年级期末）下列生活、生产现象：①用两个钉子就可以把木条固定在墙上；②从A地到B地架设电线，总是尽可能沿着线段架设；③植树时，只要定出两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线；④把弯曲的公路改直，就能缩短路程．其中可用“两点之间，线段最短”来解释的现象有（）
A．①②B．①③C．②④D．③④
【答案】C
【分析】根据两点确定一条直线，两点之间，线段最短进行逐一判断即可．
【详解】解：①用两个钉子就可以把木条固定在墙上是因为两点确定一条直线，不符合题意；
②从A地到B地架设电线，总是尽可能沿着线段架设是因为两点之间，线段最短，符合题意；
③植树时，只要定出两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线是因为两点确定一条直线，不符合题意；
④把弯曲的公路改直，就能缩短路程是因为两点之间，线段最短，符合题意；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了两点之间，线段最短，两点确定一条直线，熟知相关定义是解题的关键．
【变式2.2】（2019·江苏·南通田家炳中学七年级阶段练习）观察图形，下列说法正确的个数是（）
（1）直线BA和直线AB是同一条直线；
（2）AB+BD＞AD；
（3）射线AC和射线AD是同一条射线；
（4）三条直线两两相交时，一定有三个交点
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【详解】试题解析：（1）直线BA和直线AB是同一条直线；正确，
（2）AB+BD＞AD；正确
（3）射线AC和射线AD是同一条射线；正确，
（4）三条直线两两相交时，一定有三个交点，还可能有一个，故不正确．
共3个说法正确．
故选C．
【变式2.3】（2022·江苏·七年级专题练习）小亮准备从A地去往B地，打开导航、显示两地距离为37.7km，但导航提供的三条可选路线长却分别为45km，50km，51km（如图）．能解释这一现象的数学知识是（ ）
A．两点之间，线段最短B．垂线段最短
C．平行于同一直线的两直线平行D．两点确定一条直线
【答案】A
【分析】根据两点之间，线段最短即可得．
【详解】解：由题意可知，能解释这一现象的数学知识是两点之间，线段最短，
故选：A．
【点睛】本题考查了两点之间，线段最短，熟练掌握两点之间，线段最短是解题关键．
【考点3】线段的中点
【例3】（2019秋•沭阳县期末）已知点A、B、C、D在同一条直线上，线段AB＝8，C是AB的中点，DB＝1.5．则线段CD的长为（ ）
A．2.5B．3.5C．2.5或5.5D．3.5或5.5
【分析】根据点D在点B左右两侧进行推理计算即可求解．
【解析】∵AB＝8，C是AB的中点，
∴AC＝BC＝4，
∵DB＝1.5．
当点D在点B左侧时，
CD＝BC﹣BD＝4﹣1.5＝2.5，
当点D在点B右侧时，
CD＝BC+BD＝4+1.5＝5.5，
则线段CD的长为2.5或5.5．
故选：C．
【变式3.1】（2022·江苏·江阴市敔山湾实验学校七年级阶段练习）如图，已知B是线段AC 上一点，M是线段AB的中点，N是线段AC的中点，P为AN的中点，Q为AM的中点，则BC：PQ等于（ ）
A．2B．3C．4D．5
若AN＝6，则AM+AB的值为（ ）
A．10B．8
C．12D．以上答案都不对
【答案】C
【分析】画出图形，设NM＝x，根据点N是线段MB的中点，得MN＝BN＝x，进而表示出AM、AB的长，然后求和即可．
【详解】解：如图所示：设NM＝x，
∵点N是线段MB的中点，
∴MN＝BN＝x，
∵AN＝6
∴AM＝AN﹣MN＝6﹣x，AB＝AN+BN＝6+x，
∴AM+AB＝6﹣x+6+x＝12．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了线段的和差，熟练掌握线段中点定义的应用，线段之间的数量转化是解题关键．
【变式3.3】（2022·江苏省南通中学附属实验学校七年级阶段练习）如图，已知A，B（B在
A的左侧）是数轴上的两点，点A对应的数为4，且AB=6，动点P从点A出发，以每秒2
个单位长度的速度沿数轴向左运动，在点P的运动过程中，M，N始终为AP，BP的中点，设运动时间为t(t>0)秒，则下列结论中正确的有（）
①B对应的数是2；②点P到达点B时，t=3；③BP=2时，t=2；④在点P的运动过程中，线段MN的长度不变．
A．①③④B．②③④C．②③D．②④
【答案】D
【分析】①根据两点间距离进行计算即可；
②利用路程除以速度即可；
③分两种情况，点P在点B的右侧，点P在点B的左侧，由题意求出AP的长，再利用路
程除以速度即可；
④分两种情况，点P在点B的右侧，点P在点B的左侧，利用线段的中点性质进行计算即可．
【详解】解：设点B对应的数是x，
∵点A对应的数为4，且AB=6，
∴4―x=6，
∴x=―2，
∴点B对应的数是-2，故①错误；
由题意得：
6÷2=3（秒），
∴点P到达点B时，t=3，故②正确；
【考点4】线段的长短比较
【例4】（2019秋•路南区期末）下列说法不正确的是（ ）A．若点C在线段BA的延长线上，则BA＝AC﹣BC
B．若点C在线段AB上，则AB＝AC+BC
C．若AC+BC＞AB，则点C一定在线段AB外
D．若A，B，C，三点不在一直线上，则AB＜AC+BC
【分析】熟练掌握线段的概念和定义，进行分析．
【解析】A、根据线段的延长线的概念，则BA＝BC﹣AC，故错误；
B、根据线段的和的计算，正确；
C、根据两点之间，线段最短，显然正确；
D、根据两点之间，线段最短，显然正确．
故选：A．
【变式4.1】（2022·江苏南通·七年级期末）如图，A，B，C，D四点在同一直线上，点M是线段AB的中点，点N是线段CD的中点，MN=a，BC=b，则线段AD的长度可表示为（ ）
A．a+b B．a+2b C．2a﹣b D．2b﹣a
式中正确的是（）
AB；③DB=2AD―AB；④CD=AD―CB．
①DB=3AD―2AB；②CD=1
3
A．①②B．③④C．①④D．②③
合思想是解题的关键．
【变式4.3】（2022·江苏·七年级单元测试）点A、B、C在同一直线上，AB=10cm，AC=2 cm，则BC=（）．
A．12cm B．8cm C．12cm或8cm D．以上均不对
【答案】C
【分析】分两种情况分别计算，即可分别求得．
【详解】解：当点C在线段AB上时，BC=AB-AC=10-2=8(cm)，
当点C在线段BA的延长线上时，BC=AB+AC=10+2=12(cm)，
故BC的长为12cm或8cm，
故选：C．
【点睛】本题考查了求线段的和差，采用分类讨论的思想是解决本题的关键．
【考点5】角的概念及表示
【例5】（2019秋•高邮市期末）下列四个图形中的∠1也可用∠AOB，∠O表示的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据角的表示方法：角可以用一个大写字母表示，也可以用三个大写字母表示．其中顶点字母要写在中间，唯有在顶点处只有一个角的情况，才可用顶点处的一个字母来记这个角可得答案．
【解析】A、图形中的∠1可用∠AOB，但不能用∠O表示，故此选项错误；
B、图形中的∠1可用∠AOB，也可用∠O表示，故此选项正确；
C、图形中的∠1不可用∠AOB和∠O表示，故此选项错误；
D、图形中的∠1可用∠AOB，但不能用∠O表示，故此选项错误；
故选：B．
【变式5.1】（2021·江苏·南通市北城中学七年级阶段练习）下列四个图形中，能用∠1，
∠AOB，∠O三种方法表示同一个角的是（ ）
A．B．C．
D．
【答案】B
【分析】根据角的三种表示方法，可得正确答案．
【详解】A、因为顶点O处有四个角，所以这四个角均不能用∠O表示，故本选项错误；
B、因为顶点O处只有一个角，所以这个角能用∠1，∠AOB，∠O表示，故本选项正确；
C、因为顶点O处有三个角，所以这三个角均不能用∠O表示，故本选项错误；
D、因为顶点O处有三个角，所以这三个角均不能用∠O表示，故本选项错误．
故选：B．
【点睛】本题考查了角的概念，熟记角的表示方法是解题关键．在顶点处只有一个角的情况，才可用顶点处的一个大写字母来记这个角．
【变式5.2】（2021·江苏·七年级专题练习）如图所示，与∠B不是同一个角的是（）
A．∠1B．∠ABC C．∠DBE D．∠DAC
【答案】D
【分析】根据角的概念和角的表示方法，依题意求得答案．
【详解】解：除了∠DAC，其他三种表示方法表示的都是同一个角∠B．
故选：D
【点睛】利用了角的概念求解．从一点引出两条射线组成的图形就叫做角．角的表示方法一般有以下几种：1、角+3个大写英文字母；2、角+1个大写英文字母；3、角+小写希腊字母；
4、角+阿拉伯数字．
【变式5.3】（2021·江苏·七年级专题练习）下列说法中：（1）角的两边越长，角就越大；（2）∠AOB与∠BOA表示同一个角；（3）在角一边的延长线上取一点D；（4）角可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形．错误的个数是（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【分析】由共一个端点的两条射线组成的图形叫做角，角也可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形，角的大小与角的两边张开的程度有关；根据角的概念、表示及大小逐
一进行判断即可．
【详解】（1）角的大小与角的两边张开的程度有关，与角的两边长短无关，故说法错误；（2）∠AOB与∠BOA表示同一个角，此说法正确；
（3）角的两边是两条射线，射线是向一端无限延伸的，故此说法错误；
（4）此说法正确；
所以错误的有2个
故选：B．
【点睛】本题考查了角的概念、角的大小、角的表示等知识，掌握这些知识是关键．
【考点6】度分秒的换算及角的大小比较
【例6】（2020秋•锦江区校级期末）杨老师到几何王国去散步，刚走到“角”的家门，就听到∠A、∠B、∠C在吵架，∠A说：“我是48°15′，我应该最大!”∠B说：“我是
48.3°，我应该最大!”．∠C也不甘示弱：“我是48.15°，我应该和∠A一样大!”听到这
里，杨老师对它们说：“别吵了，你们谁大谁小，由我来作评判!”，杨老师评判的结果是（ ）
A．∠A最大B．∠B最大C．∠C最大D．∠A＝∠C
【分析】根据度、分、秒的换算1度＝60分，即1°＝60′，1分＝60秒，即1′＝60″．将48°15′，48.3°，48.15°的单位统一，再进行大小的比较．
【解析】∵∠A＝48°15′＝48°+（）°＝48.25°，∠B＝48.3°，∠C＝48.15°，∴∠B＞∠A＞∠C，即∠B最大，
故选：B．
【变式6.1】（2019·江苏·宿迁市钟吾初级中学七年级期末）下列各数中，正确的角度互化是（）
A．63.5°=63°50′B．23°12′36″=23.48°
C．18°18′18″=18.33°D．22.25°=22°15′
【答案】D
【分析】根据大单位化小单位乘以进率，小单位化大单位除以进率，即可得到答案．
【详解】解：A、63.5°=63°30'≠63°50'，故A不符合题意；
B、23.48°=23°28'48''≠23°12'36''，故B不符合题意；
C、18.33°=18°19'48''≠18°18'18''，故C不符合题意；
D、22.25°=22°15'，故D正确.
故选D．
【点睛】本题考查了度分秒的换算，熟练掌握角度的互化是解题关键．
【变式6.2】（2020·江苏南通·七年级期末）如图，将一个三角板60°角的顶点与另一个三角板的直角顶点重合，∠1=27°40′，则∠2的度数是（）
A．27°40′B．62°20′
C．57°40′D．58°20′
【答案】C
【分析】根据∠BAC＝60°，∠1＝27°40′，求出∠EAC的度数，再根据∠2＝90°﹣∠EAC，即可求出∠2的度数．
【详解】解：∵∠BAC＝60°，∠1＝27°40′，
∴∠EAC＝32°20′，
∵∠EAD＝90°，
∴∠2＝90°﹣∠EAC＝90°﹣32°20′＝57°40′；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了度分秒的换算，关键是求出∠EAC的度数，是一道基础题．
【变式6.3】（2022·江苏·七年级专题练习）杨老师到几何王国去散步，刚走到“角”的家门，就听到∠A、∠B、∠C在吵架，∠A说：“我是30°15′，我应该最大!”∠B说：“我是30.3°，我应该最大!”．∠C也不甘示弱：“我是30.15°，我应该和∠A一样大!”听到这里，杨老师对它们说：“别吵了，你们谁大谁小，由我来作评判!”，杨老师评判的结果是（ ）
A．∠A最大B．∠B最大C．∠C最大D．∠A＝∠C
【例7】（2019秋•宿豫区期末）若射线OC在∠AOB的内部，则下列式子中：能判定射线OC是∠AOB的平分线的有（ ）
①∠AOC＝∠BOC，
②∠AOB＝2∠AOC，
③∠BOC=1
2
∠AOB
④∠AOC+∠BOC＝∠AOB，
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】根据角平分线的定义分析出角之间的倍分关系进行判断．
【解析】当OC在∠AOB的内部，OC是∠AOB的平分线时，∠AOC＝∠BOC，∠AOB＝
2∠AOC，∠BOC=1
2
∠AOB，所以①、②、③都能判定OC是∠AOB的平分线．
④∠AOC+∠BOC＝∠AOB只能说明射线OC在∠AOB内，不一定是角平分线．
故选：C．
【变式7.1】（2022·江苏·射阳县第六中学七年级期末）有下列说法：①射线AB与射线BA 表示同一条直线；②若AB＝BC，则点B是线段AC的中点；③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；④两点之间，线段最短；⑤已知三条射线OA，OB，OC，若∠AOC=1
2
∠AOB，则射线OC是∠AOB的平分线；⑥在同一平面内，两条不重合的直线的位置关系只有两种：相交或平行．其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
一点，OC平分∠AOD，∠BOD=4∠DOE，∠COE=α则∠BOE的度数为（）
A ．α
B ．150°―α
C ．180°―2α
D ．270°―3α
OD 、OE 分别平分∠AOB 、∠AOC ，若∠AOC =m °，∠BOC =n °，则∠DOE 的大小为（ ）
A ．(m 2)∘
B ．(n 2)∘
C ．(m n 2)∘
D ．(m n 2
)∘
【例8】（2019秋•邗江区校级期末）点P为直线外一点，点A、B在直线l上，若PA＝4cm，PB＝5cm，则点P到直线l的距离是（ ）
A．4cm B．小于4cm C．不大于4cm D．5cm
【分析】根据垂线段最短，即可求解．
【解析】根据垂线段最短，则点P到直线l的距离应该小于PA、PB中最小的，
故选：C．
【变式8.1（2021·江苏·七年级专题练习）已知直线l1，l2，l3互相平行，直线l1与l2的距离是2cm，直线l2与l3的距离是5cm，那么直线l1与l3的距离是（）
A．3cm或7cm B．3cm C．5cm D．7cm
【答案】A
【分析】分l1与l3在l2同侧和l1与l3在l2两侧两种情况，根据直线l1与l2的距离是2cm，直线l2与l3的距离是5cm分别求出l1与l3的距离即可得答案．
【详解】①当l1与l3在l2同侧时，
∵直线l1，l2，l3互相平行，直线l1与l2的距离是2cm，直线l2与l3的距离是5cm，
∴l1与l3的距离为5-2=3cm，
②当l1与l3在l2两侧时，
∵直线l1，l2，l3互相平行，直线l1与l2的距离是2cm，直线l2与l3的距离是5cm，
∴l1与l3的距离为5+2=7cm，
综上所述：l1与l3的距离是3cm或7cm，
故选：A．
【点睛】本题考查平行线之间的距离求法，从平行线上任意一点到另一条直线作垂线，垂线段的长度叫做两条平行线之间的距离；灵活运用分类讨论的思想是解题关键．
【变式8.2】（2022·江苏南京·七年级期末）如图，河道l的同侧有A，B两个村庄，计划铺设一条管道将河水引至A，B两地，下面的四个方案中，管道长度最短的是（）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据两点之间线段最短与垂线段最短可判断方案B比方案C、D中的管道长度最短，根据垂线段最短可判断方案B比方案A中的管道长度最短．
【详解】解：四个方案中，管道长度最短的是B．
故选：B．
【点睛】本题考查了垂线段：从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫做垂线段．
【变式8.3】（2022·江苏·七年级专题练习）在同一平面内，若∠A与∠B的两边分别垂直，且∠A比∠B的3倍少40°，则∠A的度数为（）
A．20°B．55°C．20°或125°D．20°或55°
【答案】C
【分析】因为两个角的两边分别垂直，则这两个角相等或互补，又因∠A比∠B的3倍少
40∘，所以可设∠B是x度，利用方程即可解决问题．
【详解】解：设∠B是x度，根据题意，得
①两个角相等时，如图1：
∠B=∠A=x∘，
x=3x―40
解得，x=20，
故∠A=20∘，
②两个角互补时，如图2：
x+3x―40=180，
所以x=55，
3×55∘―40∘=125∘
故∠A的度数为：20∘或125°
故选：C．
【点睛】此题主要考查了考查了垂线，本题需仔细分析题意，利用方程即可解决问题．关键是得到∠A与∠B数量关系．
【考点9】余角与补角
【例9】（2019秋•南京期末）如图所示，点O在直线AB上，∠COB＝∠EOD＝90°，那么下列说法错误的是（ ）
A．∠1与∠2相等B．∠AOE与∠2互余
C．∠AOE与∠COD互余D．∠AOC与∠COB互补
【分析】根据余角和补角的定义逐一判断即可得．
【解析】∵∠COB＝∠EOD＝90°，
∴∠1+∠COD＝∠2+∠COD＝90°，
∴∠1＝∠2，故A选项正确；
∵∠AOE+∠1＝90°，
∴∠AOE+∠2＝90°，即∠AOE与∠2互余，故B选项正确；
∵∠COB＝90°，
∴∠AOC+∠BOC＝180°，即∠AOC与∠COB互补，故D选项正确；
无法判断∠AOE与∠COD是否互余，C选项错误；
故选：C．
【变式9.1】（2022·江苏扬州·七年级期末）若钝角∠1与∠2互补，∠2与∠3互余，则∠1与∠3的关系满足（ ）
A．∠1﹣∠3＝90°B．∠1+∠3＝90°C．∠1+∠3＝180°D．∠1＝∠3
【答案】A
【分析】根据∠1与∠2互补，∠2与∠3互余，先把∠1、∠3都用∠2来表示，再进行运算．【详解】解：∵∠1+∠2＝180°，
∴∠2＝180°﹣∠1，
又∵∠2+∠3＝90°，
∴∠2＝90°﹣∠3，
∴180°﹣∠1＝90°﹣∠3，
∴∠1﹣∠3＝90°．
故选：A．
【点睛】本题考查了余角和补角，解决本题的关键是主要记住互为余角的两个角的和为90°，互为补角的两个角的和为180度．
【变式9.2】（2022·江苏·七年级专题练习）下列关于余角、补角的说法，正确的是（）A．若∠α＋∠β＝90°，则∠α与∠β互余
B．若∠1＋∠2＝90°，则∠1 与∠2 互补
C．若∠1＋∠2＋∠3＝90°，则∠1，∠2，∠3 互余
D．若∠α＋∠β＋∠γ＝180°，则∠α，∠β，∠γ互补
【答案】A
【分析】若两个角的和为90°，则这两个角互余；若两个角的和为180°，则这两个角互补．根据此定义判断即可．
【详解】A．若∠α＋∠β＝90°，则∠α与∠β互余，此选项符合题意；
B．若∠1＋∠2＝90°，则∠1 与∠2 互余，此选项不符合题意；
C．3个角不符合互余的定义，此选项不符合题意；
D．3个角不符合互补的定义，此选项不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查了余角和补角，解题的关键是熟悉余角和补角的定义和性质．
【变式9.3】（2021·江苏·七年级专题练习）将一副三角板按如图所示位置摆放，其中∠α与∠β一定互余的是（）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据余角：若两角和为90°则两角互余；计算判断即可；
【详解】解：A．两角不一定互余，选项错误，不符合题意；
B．∠α=45°，∠β=30°，两角不互余，选项错误，不符合题意；
C．∠α+∠β=180°-90°=90°，两角互余，选项正确，符合题意；
D．∠α+∠β=180°，两角互补，选项错误，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了余角的定义，掌握互余的两角和是90°是解题关键．
【考点10】对顶角与邻补角
【例10】（2018秋•兴化市期末）如图，要测量两堵围墙形成的∠AOB的度数，先分别延长AO、BO得到∠COD，然后通过测量∠COD的度数从而得到∠AOB的度数，其中运用的原理是（ ）
A．对顶角相等B．同角的余角相等
C．等角的余角相等D．垂线段最短
【分析】根据对顶角相等的性质，延长AO、BO得到∠AOB的对顶角，测量出对顶角的度数，也就是∠AOB的度数．
【解析】延长AO到C，延长BO到D，然后测量∠COD的度数，根据对顶角相等可得∠AOB＝∠DOC．
故其中运用的原理是对顶角相等．
故选：A．
【变式10.1】（2021·江苏·七年级专题练习）下面的四个图形中，∠1与∠2是对顶角的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据定义判断即可：有一个公共顶点，且一个角的两条边分别是另一个角的两条边的反向延长线，那么这两个角就叫做对顶角．
【详解】解：根据对顶角的定义可知：只有C选项中的∠1与∠2是对顶角，其它都不是；故选：C．
【点睛】本题考查了对顶角的定义；掌握定义是解题关键．
【变式10.2】（2022·江苏无锡·七年级期末）如图，点O在直线AB上，∠AOC与∠BOD互余，∠AOD＝148°，则∠BOC的度数为（ ）
A．122°B．132°C．128°D．138°
【答案】A
【分析】利用∠AOC与∠BOD互余得出∠AOC+∠BOD＝90°，再由平角的定义求出∠COD，即可求出答案．
【详解】解：∵点O在直线AB上，∠AOC与∠BOD互余，
∴∠AOC+∠BOD＝90°，
∴∠COD＝180°﹣（∠AOC+∠BOD）＝180°﹣90°＝90°，
∵∠AOD＝148°，
∴∠BOD＝180°﹣∠AOD＝180°﹣148°＝32°，
∴∠BOC＝∠COD+∠BOD＝90°+32°＝122°，
故选：A．
【点睛】本题考查余角，解题关键是掌握余角的定义：如果两个角的和是直角，那么称这两个角“互为余角”，简称“互余”，也可以说其中一个角是另一个角的余角．
【变式10.3】（2022·江苏·七年级单元测试）如图，点O是直线AB上的一点，若∠AOC ∠AOE，∠BOE=90°，下列正确的是（）
=50°，AOD=1
3
A．∠BOD=155°B．∠BOC=120°
C．∠DOE=60°D．∠AOD=25°
【例11】（2019秋•姜堰区期末）如图，OA是北偏东30°方向的一条射线，若射线OB与OA垂直，则射线OB表示的方向是（ ）
A．东偏北30°B．东偏北60°C．北偏西30°D．北偏西60°【分析】根据题意得到∠AOC的度数，根据垂直的定义计算即可．
【解析】由题意得，∠AOC＝30°，
∵射线OB与射线OA垂直，
∴∠BOC＝60°，
∴OB的方向角是北偏西60°．
故选：D．
【变式11.1】（2022·江苏·七年级专题练习）如图，海上有两艘军舰A和B，由A测得B的方向是（）
A．北偏西30°B．北偏西60°C．南偏东30°D．南偏东60°
【答案】D
【分析】根据方向角的分类及已知角度即可求解．
【详解】解：由图可得A在B的北偏西60°的方向上，
故B在A的南偏东60°的方向上．
故选：D．
【点睛】本题考查了方向角的分类及表示，熟练掌握方向角的概念及分类是解题的关键．【变式11.2】（2022·江苏·七年级专题练习）如图，轮船A位于灯塔O的北偏西54°的方向，OB⊥OA，那么轮船B的方向是（）
A．南偏西46°B．北偏西36°C．南偏西36°D．南偏西54°
【答案】C
【分析】根据题意：轮船A位于灯塔O的北偏西54°的方向，OB⊥OA，再结合平角的定义，即可得出结论．
【详解】解：∵轮船A位于灯塔O的北偏西54°的方向，
又∵OB⊥OA，
∴根据平角定义，可得：180°―54°―90°=36°，
∴轮船B位于灯塔O的南偏西36°的方向．
故选：C
【点睛】本题考查了方位角问题，解本题的关键在正确描述方位角．
【变式11.3】（2022·江苏·扬州市梅岭中学七年级阶段练习）如图，甲从O点出发向北偏西。