例谈含参数问题的运算优化策略

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例谈含参数问题的运算优化策略∗
◉启东市教师发展中心㊀沈㊀辉
㊀㊀摘要:含参数问题是高考和模拟考试中重要考点,考查学生分类讨论㊁数形结合思想,对数学思维要求很高．本文中通过探讨几类含参数问题,从运算优化的角度,分别介绍特例法㊁参变分离㊁转换主元㊁整体换元以及数形结合等运算优化策略．
关键词:高考数学;参数问题;优化策略
１引言
含参数问题主要考查函数的单调性㊁最值和分类
讨论思想,是高考㊁模拟考试中重要考点．如果方法选
择不当,计算起来会比较复杂,甚至做不下去,或出现
遗漏等情况．本文主要谈谈几个含参数问题如何回避
讨论,或降低讨论难度的方法．
２运算优化策略
２．１特殊值法 局部缩小
例１㊀已知函数f(x)＝l n x＋２a x,aɪR在[１,e]
上的最小值为３,求实数a的值．
解:由题意可知f(e)＝２a e＋１ȡ３,解得aȡe．
所以当xɪ[１,e]时,fᶄ(x)＝１x－２a x２＝x－２a
x２ɤ
０,则f(x)在[１,e]上递减．
所以,f m i n(x)＝f(e)＝２a e＋１＝３,解得a＝e．
综上得,a＝e．
点评:如果由fᶄ(x)的表达式研究函数的单调性
讨论其最小值,则需分①２aɤ１,②１＜２a＜e,③２aȡe
三种情况进行讨论．但由特殊值f(e)ȡ３,缩小了参数
a的范围,直接可以判断出此时fᶄ(x)的符号,从而避
免了讨论,降低计算的复杂程度．
例２㊀(２００８年江苏高考卷第１４题)f(x)＝
a x３－３x＋１对于xɪ－１,１
[]总有f(x)ȡ０成立,则
a＝㊀㊀㊀．
解析:由f(１)＝a－２ȡ０,f(－１)＝－a＋４ȡ０,
解得２ɤaɤ４．
由fᶄ(x)＝３(a x２－１)可知,当２ɤaɤ４时,f(x)
在－１,－１a
æ
è
ç
ö
ø
÷上递减,在－１a,１a
æ
è
ç
ö
ø
÷上递增,
在１a,１
æ
è
ç
ö
ø
÷上递减．所以,只要f－１a
æ
è
ç
ö
ø
÷ȡ０即可,
解得aȡ４．
故a＝４．
点评:本题若化为f m i n(x)ȡ０,但在求f(x)的最
小值时需要对a分大于㊁等于㊁小于０三种情况讨论,
计算繁琐,小题大做．利用上述特值限定参数范围,则
无需讨论,简洁明快．
２．２参变分离 避免讨论
方程有解(函数存在零点)㊁不等式恒成立㊁不等
式存在性等含参数问题,很多情形下可以把参数和变
量分离,将式子变成其中一边不含参数的形式,从而
避免讨论．
例３㊀(２０１５年南通一模第１９题第Ⅱ问)已知函
数f(x)＝a x３＋３x l n x－a(aɪR),若f(x)在区间
１
e,e
æ
èç
ö
ø÷
上有且只有一个极值点,求实数a的取值范围．
解:因为fᶄ(x)＝３a x２＋３l n x＋３,所以由题意可
知fᶄ(x)＝０,即关于x的方程a x２＋l n x＋１＝０在
１
e
,e
æ
èç
ö
ø÷
上有唯一解．
即－a＝l n x＋１
x２在
１
e,e
æ
èç
ö
ø÷
上有唯一解．
８
４
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∗基金项目:本文系江苏省教育科学 十三五 规划课题 高中数学单元教学中 阶段目标管理 课堂的实践研究 (BＧb/２０２０/０２/９３),江苏省南通市 十三五 教师发展研究专项课题 数学关键能力与教师专业发展研究 (F Z２０１８００４)的研究成果．
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㊀㊀㊀
设g (x )＝l n x ＋１x ２
,x ɪ１e ,e æèçöø
÷,则g ᶄ(x )＝－２l n x ＋１x ３
．
所以当x ɪ(１e ,１
e
)时,g ᶄ(x )ȡ０,g (
x )单调递增;当x ɪ(１
e
,e )时,g ᶄ(x )ɤ０,g (x )单调递减．又g (１e )＝０,g (
e )＝２e ２,所以０＜－a ɤ２
e ２．故实数a 的取值范围是[－２
e
２,０)．例４㊀(２０１４年江苏卷第１９题第Ⅱ问)
已知函数f (
x )＝e x ＋e －x
,其中e 是自然对数的底数．若关于x 的不等式m f (
x )ɤe －x
＋m －１在(０,＋ɕ)上恒成立,求实数m 的取值范围．
解:由m f (
x )ɤe －x
＋m －１,得m (e x
＋e －x
－
１)ɤe －x
－１．
因为e x
＋e －x
－１ȡ２－１＞０,所以
m ɤe －x
－１
e x ＋e －x
－１
．令t ＝e x
(t ＞０),则m ɤ１
t －１t ＋１t
－１
＝１－t t ２－t ＋１．
令h (t )＝１－t t ２－t ＋１,则h ᶄ(t )＝t (t －２
)(t ２－t ＋１
)２．所以,当t ＞２时,h ᶄ(t )＞０,h (t )在区间(２,＋ɕ)上单调递增;当０＜t ＜２时,h ᶄ(t )＜０,h (t )在区间(０,２)上单调递减．
因此,m ɤh m i n (
t )＝h (２)＝－１
３
．综上可知,实数m 的取值范围为－ɕ,－１３æè
çùûúú．
评注:上述例３㊁例４两题分别是含参数的方程有
解问题和不等式恒成立问题,采用参变量分离法,避免了分类讨论．
２．３转换视角
选择主元例５㊀(２０１２年浙江理第２２题第Ⅱ问)已知a ＞０,b ɪR ,函数f (x )＝４a x ３－２b x －a ＋b ．
证明:当０ɤx ɤ１时,f (
x )＋|２a －b |＋a ȡ０．分析:要证f (x )＋|２a －b |＋a ȡ０,即证４a x ３－
２b x ＋b ＋|２a －b |ȡ０．注意到不等式左边含有x ,a ,b 三个字母,如果把它们看成地位相当的三个变量,几乎无处发力,很难展开研究．所以需要根据题目结构特
征,人为划分主从地位,选择适当变量作为主元．本题如果将x 看作主元,字母a ,b 当作参数,则不等式左边是一个关于x 的三次函数,研究起来较繁．换一个研究视角,将字母b 看作主元,这样不等式左边就是一个关于b 的一次分段函数,且每段的单调性很容易得出．选择字母a 为主元,虽然也是一次分段函数,但每段的单调性还需讨论．
解析:设g (b )＝
－２x b ＋(４a x ３
＋２a ),b ɤ２a ,
(２－２x ) b ＋(４a x ３
－２a ),b ＞２a ．
{
当x ɪ(０,１)时,g (
b )在(－ɕ,２a )上递减,在(２a ,＋ɕ)上递增,所以g m i n (
b )＝g (２a )＝４a x ３－４a x ＋２a ＝２a (２x ３
－２x ＋１)．当x ＝０或１时,
结论仍然成立．设h (x )＝２x ３－２x ＋１,x ɪ[０,１]．因为h ᶄ(x )＝
６x ２－２,所以,h (x )在０,
１３æèçöø÷上递减,在１３,１æ
è
çöø
÷上递增．
所以h m i n (x )＝h １３æèçöø
÷＝－４３９＋
１＞０．
又a ＞０,故g m i n (b )ȡ０,即４a x ３－２b x ＋b ＋|２a －b |ȡ０得证．
例６㊀(２０１４年江苏苏北四市二模１５
)设函数f (x )＝l o g ４(
４x
＋１)＋a x (a ɪR )．若不等式f (x )＋f (
－x )ȡm t ＋m 对任意的x ɪR ,t ɪ[－２,１]恒成立,求实数m 的取值范围．
分析:本题含有x ,m ,t 三个字母,
如果视三个字母地位相等,平均使用力气,则无助于解决问题．读题后发
现,可以先把x 看成变量,m ,t 看成常量,
逐个击破．解:设g (x )＝f (x )＋f (－x )＝l o g ４(４x ＋４－x
＋２)ȡl o g ４４＝１,则由题意得m t ＋m ɤg m i n (
x )＝１．所以,问题转化为 m t ＋m ɤ１对∀t ɪ[－２,１]
恒成立,求m 的取值范围 ．这时,就可以把t 看成变量,把m 看成参数,则把m t ＋m ɤ１看成关于变量t 的一次函数(m ʂ０时)．
设h (t )＝m t ＋m ,因为h (t )ɤ１对∀t ɪ[－２,１]恒成立,则
h (－２)ɤ１,h (１)ɤ１,
{
解得－１ɤm ɤ１
２．
所以,实数m 的取值范围是－１,１２éë
êêùûúú．
评注:解答上述一类含多个参数的问题,关键是对变量和参数关系的转换．而变量和参数是相对的,在一定条件下可以相互转换,需依次进行,逐次变化,体
现了事物是联系㊁变化㊁发展的辩证观．
２．４整体思想
消元减参有些含多个参数的分类讨论问题,如果是从局部
９
４２０２２年８
月上半月㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀备考指南
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出发,看成是几个不相干的变量来处理,则难以奏效
或计算冗繁．因此,需要调整视角,把一些关于多个变
量的代数式作为一个有机整体,对整体结构进行全面
深刻地分析改造,找到解决问题的途径和办法．
如例５所证明的不等式４a x３－２b x＋b＋|２a－b|ȡ
０左边含有三个字母,能否消去一个参数呢?注意到
a＞０,不等式两边除以a得,４x３－２x b a＋b a＋
２－b aȡ０,若将b a看成一个整体,不妨设为b a＝tɪR,
则要证明的不等式４x３－２t x＋t＋|２－t|ȡ０只含一个
参数．设h(t)＝－２
x t＋(４x３＋２),tɤ２,
２(１－x) t＋(４x３－２),t＞２．
{h(t)在
(－ɕ,２)上递减;h(t)在(２,＋ɕ)上递增,所以
h m i n(t)＝h(２)＝４x３－４x＋２．以下同例５解法．
例７㊀已知A,B,C是平面上任意三点,B C＝a,
C A＝b,A B＝c,若mɤc a＋b＋b c恒成立,则m的取
值范围是．
分析:根据两点之间线段最短,可以得到a,b,c
之间满足一些不等关系,利用这些不等关系,逐步缩
小,最后化成一元问题解决．
解:由mɤ
c
a＋b＋
b
c对满足条件的字母a
,b,c恒
成立,则mɤ
c
a＋b＋
b
c
æ
èç
ö
ø÷m i n
．
设x＝
b
c
(x＞０),由０＜aɤb＋c,得a cɤb c＋
１＝x＋１．
所以
c
a＋b＋
b
c＝
１
a
c＋
b
c
＋b cȡ１２x＋１＋x＝
x＋
１
２
æ
èç
ö
ø÷＋
１
２x＋１－
１
２ȡ２－
１
２．
故m的取值范围是－ɕ,２－１２
æ
èç
ù
û
úú．
２．５数形结合 形象直观
数缺形时少直观,形缺数时难入微 ．在含参数问
题的处理中,如果从 数 的角度解答困难,不妨转换
角度,从 形 入手,根据数的几何意义,画出图形,数
形结合的思想往往能起到重要的作用,便于解答．
例８㊀(２０１４年天津第１４题)已知函数f(x)＝
|x２＋３x|,xɪR．若方程f x()－a x－１＝０恰有４
个互异的实数根,则实数a的取值范围为．
解析１:显然a＞０．
如图１,当y＝－a x－１
()与y＝－x２－３x相切
时,a＝１,此时f x()－a x－１＝０恰有３个互异
的
实数根．
图
１
㊀㊀
图２
如图２,当直线y＝a x－１
()与函数y＝x２＋３x
相切时,a＝９,此时f x()－a x－１＝０恰有２个互
异的实数根．
结合图象可知,a的取值范围是(０,１)ɣ(９,＋ɕ
)．
图３
解析２:显然xʂ１,所以方程
可转化为a＝
x２＋３x
x－１．
令t＝x－１(tɪR),则a＝
t＋
４
t＋５．
因为t＋
４
tɪ－ɕ,－４
(]ɣ
４,＋ɕ
[),所以
t＋
４
t＋５ɪ－ɕ,１
(]ɣ９,＋ɕ
[)．
结合函数y＝t＋
４
t＋５的图象(如图３),可得
a的取值范围是(０,１)ɣ(９,＋ɕ)．
３结语
含参的数学问题是高中各级各类考试中常见的
题型,解决的通法是对参数的取值进行分类讨论．但有
时候通过分类讨论去解决,情况多,计算量大,学生解
答思维混乱,容易卡壳或算错．上面探讨了几种转化方
法优化运算解决参数问题的策略．因此,在让学生掌握
通性通法的基础上,还要教会学生根据不同的条件具
体分析,充分理解参数的意义及参数与主元的关系,
对症下药,找出灵活有效的解决办法．
参考文献:
[１]罗增儒．数学解题学引论[M]．西安:陕西师范大学
出版社,２００２．
[２]章建跃．函数概念的理解与核心素养的培养[J]．中
小学数学,２０１７(１１):６６．
[３]金山．例析多变量问题的消元减参策略[J]．高中数
学教与学,２０１６(５):８Ｇ１０．Z
０
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