安徽省六安市舒城县干汊河中学高二数学文期末试题含解析

安徽省六安市舒城县干汊河中学高二数学文期末试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 如图是一组样本数据的茎叶图，则这组数据的中位数是（）
A. 39
B. 36
C. 31
D. 37
参考答案：
B
2. 一凸多面体的面数为8，各面多边形的内角总和为16π，则它的棱数为（）
A．24 B．22 C．18 D．16
参考答案：
D
3. 设数列{a n}的前n项和S n=n2，则a8的值为( )
A．15 B．16 C．49 D．64
参考答案：
A
【考点】数列递推式．
【专题】计算题．
【分析】直接根据a n=S n﹣S n﹣1（n≥2）即可得出结论．
【解答】解：a8=S8﹣S7=64﹣49=15，
故选A．【点评】本题考查数列的基本性质，解题时要注意公式的熟练掌握．
4. 已知全集，集合，则=
（A）（B）
（C） (D)
参考答案：
B
5. 阅读右边程序框图，为使输出的数据为，则判断框中应填入的条
件为（）
A． B． C． D．
参考答案：
A
6. 如图所示，直线过椭圆的左焦点F1和一个顶点B，该椭圆的离心率为（）．
A．B．C．
D．
参考答案：
D
直线的斜率为，则，
即，
解得．
7. 某产品的广告费用与销售额的统计数据如下表：
广告费用（万
元）
销售额（万
元）
根据以上表可得回归方程中的为据此模型预报广告费用为万元时销售额为（）
A.63.6万元
B. 65.5万元
C.67.7万元
D.72.0万元
参考答案：
B
8. 若为全体正实数集合，，则下列结论正确的是（）
A．B．
C．D．参考答案：
D
9. 已知实数x，y满足约束条件，目标函数z=x+y，则当z=3时，x2+y2的取值范围是（）
A．B．C．D．
参考答案：
C
【考点】简单线性规划．
【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，即可得到结论
【解答】解：作出不等式对应的平面区域，
当目标函数z=x+y，则当z=3时，即x+y=3时，作出此时的直线，
则x 2+y 2的几何意义为动点P （x ，y ）到原点的距离的平方，
当直线x+y=3与圆
x 2+y 2=r2相切时，距离最小，
即原点到直线x+y=3的距离d=，即最小值为d2=，
当直线x+y=3与圆x2+y2=r2相交与点B或C时，距离最大，
由，解得x=1，y=2，即B（1，2），
由，解得x=2，y=1，即C（2，1）
此时r2=x2+y2=22+12=5，
故选：C．
【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．
10. 已知函数满足，且时，，
则与的图象的交点个数为( )
A. 3
B. 4
C.
5 D. 6
参考答案：
B
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 正三棱柱的底面边长为2，高为2，则它的外接球表面积为
参考答案：
试题分析：由正三棱柱的底面边长为2，易得底面所在平面截其外接圆O的半径,又由正三棱柱的高为2，则球心到圆O的球心距,根据球心距，截面圆半径，球半径构成直
角三角形，满足勾股定理，我们易得球半径R满足：
故外接球的表面积
考点：棱柱的几何特征及球的体积和表面积
12. 已知线段面，，，面于点，，且在平面的同侧，若，则
的长为
参考答案：
略
13. 函数
的导函数为，若对于定义域内任意，，有
恒成立，则称为恒均变函数．给出下列函数：①；
②；③；④；⑤．其中为恒均变函数的序号是．（写出所有满足条件的函数的序号）
参考答案：
①②
14. 已知点P是抛物线上一点，设P到此抛物线准线的距离是，到直线的距离是，则的最小值
是
参考答案：
15. 椭圆上一点P 到左焦点的距离为3，则P
到右准线的距离为
.
参考答案：
略
16. 某校高级职称教师26人，中级职称教师104人，其他教师若干人．为了了解该校教师的工资收入情况，若按分层抽样从该校的所有教师中抽取56人进行调查，已知从其它教师中共抽取了16人，则该校共有教师 人．
参考答案：
略
17. 若复数_______
参考答案：
略
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 已知函数f （x ）=．
（1）求f （x ）的最大值；
（2）当x ＞0时，f （x ）＞，求正实数a 的取值范围．
参考答案：
【考点】6B ：利用导数研究函数的单调性；3H ：函数的最值及其几何意义；6E ：利用导数求闭区间上函数的最值．
【分析】（1）令分母xe x
+1=g （x ），利用导数研究其单调性可得：x=﹣1时函数g （x ）取得极小
值，g （﹣1）＞0．可得函数f （x ）的定义域为R ．f′（x ）=
，利用导数研究其单调性可
得：x=0时，函数f （x ）取得极大值即最大值．
（2）当x ＞0时，f （x ）＞，a ＞0，?（ax 2﹣x+1）e x ﹣1＞0．x ＞0，a ＞0．令h （x ）=（ax 2
﹣x+1）e x ﹣1，x ＞0，a ＞0．h （0）=0．h′（x ）=ax （x ﹣
）e x ．对a 分类讨论利用导数研究函
数的单调性极值与最值即可得出．
【解答】解：（1）令分母xe x
+1=g （x ），可得：g′（x ）=e x
（1+x ），可得x=﹣1时函数g （x ）取得极小值，g （﹣1）=1﹣＞0． ∴函数f （x ）的定义域为R ．
f′（x ）=，可得x ＜0时，f′（x ）＞0，此时函数f （x ）单调递增；x ＞0时，f′（x ）
＜0，此时函数f （x ）单调递减．
∴x=0时，函数f （x ）取得极大值即最大值，f （0）=1．
（2）当x ＞0时，f （x ）＞，a ＞0，?（ax 2﹣x+1）e x ﹣1＞0．x ＞0，a ＞0．
令h （x ）=（ax 2﹣x+1）e x ﹣1，x ＞0，a ＞0．h （0）=0． 则h′（x ）=ax （x ﹣
）e x
．
①a≥时，h′（x）=ax2e x＞0，函数h（x）在x＞0时单调递增，∴h（x）＞h（0）=0，满足条件．
②0＜a＜时，函数h（x）在x=处取得极小值即最小值，x∈时单调递减，∴h （x）＜h（0）=0，不满足条件，舍去．
综上可得：正实数a的取值范围是．
19. 已知双曲线与椭圆的焦点重合，它们的离心率之和为，求双曲线的方程．
参考答案：
【考点】圆锥曲线的共同特征．
【分析】设出双曲线方程，求出椭圆的离心率，可得双曲线的离心率，即可确定双曲线的几何性质，从而可得双曲线的方程．
【解答】解：设双曲线的方程为（a＞0，b＞0）
椭圆的半焦距，离心率为，
两个焦点为（4，0）和（﹣4，0）
∴双曲线的两个焦点为（4，0）和（﹣4，0），离心率
∴，∴a=2
∴b2=c2﹣a2=12
∴双曲线的方程为
20. 已知，，若动点满足，点的轨迹为曲线.
（Ⅰ）求曲线的方程；
（Ⅱ）试确定的取值范围，使得对于直线：，曲线上总有不同的两点关于直线对称.参考答案：
（Ⅰ）设，则,，，……1分
由，得，……3分
化简可得，……4分
（Ⅱ）设椭圆上关于直线对称的两个点为、,与的交点为，则，且，不妨设直线的方程为，……5分
代入椭圆方程，得，
即
，…………①
由、是方程的两根，则，即，……7分
由在直线上，则，……8分
由点在直线：上，则，得，……9分
由题意可知，方程①的判别式，
即，解得， (11)
分
即
.
……12分
21. 已知函数.
(I)判断函数的单调性;
(Ⅱ)若+的图像总在直线的上方,求实数的取值范围;
(Ⅲ)若函数与的图像有公共点,且在公共点处的切线相同,求实数的值.
参考答案：
解:(Ⅰ)可得.
当时,,为增函数;当时,,为减函数。

…5分
(Ⅱ)依题意, 转化为不等式对于恒成
立
令, 则
当时,因为,是上的增函数,
当时,,是上的减函数,
所以的最小值是,
从而的取值范围是
……………10分
(Ⅲ)转化为,与在公共点处的切线相同由题意知
∴解得:,或(舍去),代人第一式,即有……………16分
22. （1）已知a、b∈R+，且a+b=3，求ab2的最大值．
（2）设函数f（x）=|2x+1|﹣|x﹣2|，求不等式f（x）＞2的解集．
参考答案：
【考点】绝对值不等式的解法；基本不等式．
【专题】转化思想；转化法；不等式．
【分析】（1）化简得a=3﹣b，0＜b＜3；从而可得f（b）=ab2=（3﹣b）b2=﹣b3+3b，f′（b）=﹣3b2+3=﹣3（b+1）（b﹣1），从而求得；
（2）通过讨论x的范围，去掉绝对值，求出不等式的解集即可．
【解答】解：（1）解：∵a，b∈R+且a+b=3，
∴a=3﹣b，0＜b＜3；
f（b）=ab2=（3﹣b）b2=﹣b3+3b，
f′（b）=﹣3b2+3=﹣3（b+1）（b﹣1），
故f（b）在（0，1）上是增函数，
在（1，3）上是减函数；
（2）f（x）=，
当x＜﹣时，﹣x﹣3＞2，解得：x＜﹣5，所以x＜﹣5，
当﹣≤x＜2时，3x﹣1＞2，解得：x＞1，所以1＜x＜2，
当x≥2时，x+3＞2，解得：x＞﹣1，所以x≥2，
综上所述，不等式f（x）＞2的解集为（﹣∞，﹣5）∪（1，+∞）．
【点评】本题考查了导数的综合应用及单调性的判断与应用，考查解绝对值不等式问题，是一道中档题．。