黑龙江省大庆市高三数学下学期第二阶段考试(4月)试题

黑龙江省大庆市2017届高三数学下学期第二阶段考试（4月）试题 理
第I 卷 （选择题，共60分）
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的．)
1.若复数34
sin (cos )55
z i θθ=-
+-是纯虚数，则tan θ的值为（ ） A. 34 B. 34- C. 43 D. 43
-
2.已知集合{}{}
2230,1,A x R x x B x R x m =∈--<=∈-<<若x A ∈是x B ∈的充分不必要条件，则实数m 的取值范围是（ ）
A. ()3,+∞
B. ()1,3-
C. [)3,+∞
D. (]1,3- 3.将()cos (0)f x x ωω=>的图象向右平移3
π
个单位长度，得到函数()y g x =的图象。

若()y g x =是奇函数，则ω的最小值为（ ）
A. 6
B.
92 C. 3
2 D.
3 4.右图给出的是计算1111
24620
++++的值的一个框图，其中菱形
判断框内应填入的条件是（ ）
A. 8i >
B. 9i >
C. 10i >
D. 11i >
5.等比数列{}n a 中，489a a =，则39a a +的取值范围是（ ） A. [)6,+∞ B. (]
[),66,-∞-+∞ C.()6,+∞ D. (6,6)-
6.下列命题正确的是（ ）
A.若命题2000:,10p x R x x ∃∈-+<，则2
:,10p x R x x ⌝∀∉-+≥
B.命题“若x y =，则cos cos x y =”的逆否命题为真命题
C.已知随机变量X ～2
(2,)N σ，若()0.32P X a <=，则(4)0.68P X a >-=
D.已知相关变量(),x y 满足线性回归方程：23y x ∧
=-，若变量x 增加一个单位，则y 平均增加3
个单位
7.如果实数,x y 满足不等式组260303x y x y y --≤⎧⎪
+-≥⎨⎪≤⎩
，且22sin b xdx ππ-=⎰，则目标函数z x by =+的最大
值是（ ） A. 3 B.
21
2
C. 6
D. 与b 值有关 8.设一个几何体三视图如图所示，则该几何体体积为（ ） A ．
316 B. 320 C. 215 D. 2
13 9.已知P 是直线0104=-+y kx )0(>k 错误！未找到引用源。

上的动点，错误！未找到引用源。

是圆:C 2
2
2440x y x y +-++=的两条切线，B A ,是切点,C 是圆心,若四边形PACB 面积的最小值为22错误！未找到引用源。

,则k 的值为( )
A. 3
B.2 C ．错误！未找到引用源。

D ．错误！未找到引用源。

10.已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的球面上，ABC ∆是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且2SC =，则此棱锥的体积为( )
A.
6
B. 6
C. 3
D. 2
11.若定义在R 上的函数()f x 满足()()1,(0)4,f x f x f '+>=则不等式3
()1x
f x e >+(e 为自然对数的底数)的解集为（ ） A. ()0+∞， B. ()
(),03-∞+∞，
C. ()(),00-∞+∞，
D. ()3+∞， 12.已知点D 为ABC ∆的边BC 上一点，*3,()n BD DC E n N =∈为边AC 上的一列点，且满足
11
(32)4
n n n n n E A a E B a E D +=-+,其中实数列{}n a 中10,1n a a >=，
则{}n a 的通项公式为（ ） A. 1
32
2n -⨯- B. 21n - C. 32n - D. 1231n -⨯-
第Ⅱ卷 （非选择题， 共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡相应的位置上．）
13.已知双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>两条渐近线的夹角为60，该双曲线的离心率为
14.已知2
012(1)n n n ax a a x a x a x +=+++
+.若124,7a a ==，则a =
15. 我国齐梁时代的数学家祖暅（公元5-6世纪）提出了一条原理：“幂势既同，则积
不容异．”这句话的意思是：夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的任何平面所截，如果截得的两个截面的面积总是相等，那么这两个几何体的体积相等．
设：由曲线2
4x y =和直线4,0x y ==所围成的平面图形绕y 轴旋转一周所得到的旋转
体为1Γ；由同时满足()()2
2
2
2
2
2
0,16,24,24x x y x y x y ≥+≤+-≥++≥的点(),x y 构成的平面
图形绕y 轴旋转一周所得到的旋转体为
2Γ. 根据祖暅原理等知识，通过考察
2Γ可以得到1Γ的体积为 .
16.已知函数()2017)20171x x f x x -=+-+，则不等式
(21)()2f x f x -+> 的解集为
三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.已知函数()2sin (01)f x x ωω=<<在0,2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
，把()f x 的图象上的所有点向右平移(0)2
π
ϕϕ<<
个单位后，得到的函数()g x 的图象关于直线76
x π
=
对称. （1）求函数()g x 的解析式；
（2）在ABC ∆中，三个内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，已知()g x 在y 轴右侧的第一个零点为
C ，若4c =，求ABC ∆的面积S 的最大值.
18.如图，在四棱锥P ABCD -中，PC ABCD ⊥底面，底面ABCD 是直角梯形，AB AD ⊥，
//AB CD ，222AB AD CD ===，E 是PB 的中点．
（1）求证：平面EAC ⊥平面PBC ；
（2）若二面角P AC E --的余弦值为3
，求直线PA 与平面EAC 所成角的正弦值．
19.某学校研究性学习小组对该校高三学生的视力情况进行调查，在高三的全体1000名学生中随机抽取了100名学生的体检表，并得到如下直方图:
（1）若直方图中后四组的频数成等差数列，试估计全年级视力在5.0以下的人数；
（2）学习小组成员发现，学习成绩突出的学生，近视的比较多，为了研究学生的视力与学习成绩是否有关系，对年级名次在1～50名和951～1000名的学生进行了调查，得到如上述表格中数据， 根据表中的数据，能否在犯错的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系;
（3）在（2）中调查的100名学生中，按照分层抽样在不近视的学生中抽取了9人，进一步调查他们良好的护眼习惯，并且在这9人中任取3人，记名次在1～50名的学生人数为X ，求X 的分布
列和数学期望.
附：2
2
()()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=++++
20.已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>，过C 上一点(
2的切线l 的方程为
20x y +-=.
（1）求椭圆C 的方程.
（2）设过点(0,1)M 且斜率不为0的直线交椭圆于,A B 两点，试问y 轴上是否存在点P ，使得
(
)PA PB PM PA
PB
λ=+
?若存在，求出点P 的坐标；若不存在说明理由.
21.已知函数()()ln ,x
f x ax x F x e ax =-=+，其中0x >.
（1）若0a <，()f x 和()F x 在区间()0,ln3上具有相同的单调性，求实数a 的取值范围； （2）设函数()()2
h x x f x =-有两个极值点12x x 、，且110,
2x ⎛
⎫
∈ ⎪⎝⎭
，求证：()()123
ln 24
h x h x ->
-.
请考生在第22、23二题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．选修4—4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xoy 中，曲线1C 的参数方程为为参数）
βββ
(sin cos 1⎩
⎨⎧=+=y x .以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为θρcos 4=. (1)将1C 的方程化为普通方程，将2C 的方程化为直角坐标方程;
(2)已知直线l 的参数方程为）
为参数，且0,2(sin cos ≠<<⎩
⎨⎧==t t t y t x παπ
αα，l 与1C 交于点A ，l 与2C 交于点B ，且3=AB ，求α的值.
23．选修4—5：不等式选讲 已知()12f x x x =++-
(1)已知关于x 的不等式()21f x a <-有实数解，求实数a 的取值范围； (2)解不等式2
()2f x x x ≥-
高三年级下学期第二阶段考试
数学试卷参考答案
一、选择题：
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
B A
C C B B B
D A A A D
二、填空题：
13. 212 15. 32π 16. 1,3⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
三、解答题：
17.解：（1）由题意知，函数()f x 在区间0,
2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上单调递增，所以2sin 2ωπ
⎛⎫
=
⎪⎝⎭
2,24k k Z ωππ
π∴
=+
∈，得1
4()2
k k Z ω=+∈，经验证当0k =时满足题意，故求得
1
2
ω=，所以1()2sin()22g x x ϕ=-；故17,2622k k Z πϕππ⨯
-=+∈， 2,6k k Z πϕπ∴=-+∈又0,2πϕ<<所以=6πϕ.故()2sin()212x g x π
=-.
（2）由题意知，,2,,2126x k x k k Z ππππ-=∴=+∈,46C c π∴==又得22162cos 6
a b ab π
=+-，
22162,32a b ab ab ∴+=+≥∴≤+.
11
sin 824
s ab C ab ∴=
=≤+s ∴的最大值为8+18.（1）证明：∵PC ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，
∴AC PC ⊥，∵2AB =，1AD CD ==，∴AC BC ==
∴222AC BC AB +=，∴AC BC ⊥，又BC
PC C =，
∴AC ⊥平面PBC ，∵AC ⊂平面EAC ，∴平面EAC ⊥平面PBC ．
（2）解：设CP a =，取AB 中点F ，以点C 为原点，分别以,CF CD 为,x y 轴，建立空间直角坐标系C xyz -，则(0,0,0)C ，(1,1,0)A ，(1,1,0)B -，(0,0,)P a ，11(,,)222
a E -，则(1,1,0)CA =，
(0,0,)CP a =，11(,,)222
a
CE =-，取(1,1,0)m =-，则0m CA m CP ⋅=⋅=，
（3）即m 为面PAC 的一个法向量．设(,,)n x y z =为面EAC 的法向量，则0n CAn CE ⋅⋅=，即
0,
0,
x y x y az +=⎧⎨
-+=⎩取x a =，则y a =-，2z =-，则(,,2)n a a =--，
依题意得2|cos ,|3||||m n m n m n a ⋅<>=
==
⋅，取2a =， 于是(2,2,2)n =--，(1,1,2)PA =-，设直线PA 与平面EAC 所成角为θ，则
||2
sin |cos ,|3||||
PA n PA n PA n θ⋅=<>=
=
⋅， 即直线PA 与平面EAC 所成角的正弦值为3． 19.解：(1)由图可知，第一组有3人，第二组有7人第三组有27人
因为后四组频数成等差数列，所以后四组的频数依次为27,24，,21,18.所以视力在5.0以下的频率为
37272421
0.82100
++++=，故全年级视力在5.0以下的人数约为10000.82820⨯=.
(2)22
100(4118329)300
4.110 3.8415050732773
K ⨯⨯-⨯=
=≈>⨯⨯⨯ 因此在犯错的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系;
(3)依题意9人中年级名次在1～50名和951～1000名的学生分别有3人和6人，X 可取0、1、2、
3 363920
(0)84C P X C ===, 21633
945(1)84C C P X C ===, 12633918(2)84C C P X C ===， 3
339
1
(3)84C P X C ===．
X 的
数学期望()0123184848484
E X =⨯
+⨯+⨯+⨯= ．
20.解：（1
）由22
2
2120x y a b
x y ⎧+=⎪⎨⎪+-=⎩
消去x 并整理得2222
222(4)
320b a y y b a b +-+-= 椭圆C 与直线l 相切，
2222222)4(4)(32)0b a b a b ∴∆=-+-=化简得224320b a +-=①，又点(在椭圆C 上，22
821a b
∴
+=②，由①②得22
16,4a b ==
∴椭圆C 的方程为22
1164
x y +
=. (2)存在.理由如下：设直线的方程为1(0)y kx k =+≠，联立2211164y kx x y =+⎧⎪
⎨+
=⎪⎩消去y 并整理得
22(41)8120k x kx ++-=.222(8)4(41)12256480k k k ∆=++⨯=+>.
设()()11221212
22812
,,,,,4141
k A x y B x y x x x x k k +=-
=-++则. 假设存在点(0,)P t 满足条件， 由于PA PB PM PA PB λ⎛⎫
⎪=+ ⎪⎝⎭,所以PM 平分APB ∠.易知直线PA 与直线PB 的倾斜角互补， 0PA PB k k ∴+=，即
12211212
0,()()0y t y t
x y t x y t x x --+=-+-=即（*）111,y kx =+221y kx =+ 代入（*）并整理得12122(1)()0kx x t x x +-+=，22
12(1)(8)
204141
t k k
k k --∴-+=++， 整理得3(1)0,(4)0k k t k t +-=-=即，4t ∴=当时，无论k 取何值均成立.
∴存在点()0,4P 使得PA PB PM PA PB λ⎛⎫
⎪=+ ⎪⎝⎭
. 21.（1）解：()()11,,0x ax f x a F x e a x x x
-=-
==+>′′， ()0,0a f x <<′在()0,+∞上恒成立，即()f x 在()0,+∞上单调递减.
当10a -≤<时，()0F x >′，即()F x 在()0,+∞上单调递增，不合题意； 当1a <-时，由()0F x >′，得()ln x a >-，由()0F x <′，得()0ln x a <<-. ∴()F x 的单调减区间为()()
0,ln a -，单调增区间为()()
ln ,a -+∞.
()f x 和()F x 在区间()0,ln3上具有相同的单调性，
∴()ln ln3a -≥，解得3a ≤-， 综上，a 的取值范围是(],3-∞-.
（2）证明：()2
ln h x x ax x =-+，∴()()221
0x ax h x x x
-+=>′.
∴1212x x =
，110,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
，∴()21,x ∈+∞，且()2
211,2i i ax x i =+=， ∴()()()()
22
12111222ln ln h x h x x ax x x ax x -=-+--+
()()2222111222121ln 1ln ln
x x x x x x x x =--+---+=-+()22
22222
1ln 214x x x x =-->. 设()()()()2
212122,ln 22t t x t t h x h x t t ϕ=>=-=--，∴()()2
2102t t t
ϕ-=>′，
∴()()32ln 24t ϕϕ>=
-，即()()123
ln 24
h x h x ->-. 22.(1)解：曲线1C 消去参数β得2
2
(1)1x y -+=，曲线2C 的极坐标方程为
24cos 4cos ρθρρθ==即化为直角坐标方程为224x y x +=，即22(2)4x y -+=.
（2）把直线l 的参数方程代入曲线1C 的普通方程2
2
(1)1x y -+=得
22cos 0
t t α-=0,2cos A t t α≠∴=.同理，把直线l 的参数方程代入曲线2C 的普通方程得
24cos 0t t α-=，
4cos B t α∴=
.2cos A B AB t t α∴=-=
,cos 2
π
απα<<∴= 56πα∴=
.综上所述：56
πα=. 23. （
1）2a >（2）1,2⎡-⎣。