河北狮州市2016_2017学年高一数学下学期期中试题承智班

2016—2017学年度第二学期期中考试高一年级承智班数学试卷第I 卷（选择题）一、选择题（每小题5分，共60分）1．在ABC ∆中，a,b,c 分别为A 、B 、C 的对边，若23,3,cos 4b ac a c B =+==，则.A BB C =（ ）A. 32B. - 32C. 3D. -32．若sin cos cos A B Ca b c==，则ABC 是 （ ） A. 等腰直角三角形 B. 有一内角是30 的直角三角形 C. 等边三角形 D. 有一内角是30 的等腰三角形3．一海轮从A 处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40的方向直线航行，30分钟后到达B 处，在C 处有一座灯塔，海伦在A 处观察灯塔，其方向是南偏东70，在B 处观察灯塔，其方向是北偏东65，那么,B C 两点间的距离是（ ）A.海里B.C.D.4．数列{}n a 满足211233332n n na a a a -++++=，则n a = （ ）A. 1132n -⋅ B. 1123n -⋅ C. 12nD. 3n n5．(福建省漳州市八校2017届高三下学期2月联考数学文第8题) 大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论。

主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理。

数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和。

是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题。

其前10项依次是０、２、４、８、１２、１８、２４、３２、40、５０…… ，则此数列第20项为（ ）A. 180B. 200C. 128D. 1626．定义为个正数的“均倒数”.若已知数列的前项的“均倒数”为，又，则…（ ）A. B. C. D.7．已知01c <<， 1a b >>，下列不等式成立的是 A. a b c c > B.a ba cb c>-- C. c c ba ab > D. log log a b c c > 8．对于任意实数,,,a b c d ，以下四个命题中①若22ac bc >，则a b >； ②若a b >，c d >，则a c b d +>+；③若a b >，c d >，则ac bd >；④若a b >，则11a b>. 其中正确的有（ ）A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 9．若正数,x y 满足35,x y xy +=则34x y +的最小值是（ ） A.245 B. 285C. 6D. 5 10．已知()()log 11a f x x =-+（0a >且1a ≠）恒过定点M ，且点M 在直线1x ym n+=（0m >， 0n >）上，则m n +的最小值为（ ）A. 3+11．下列函数中，最小值为4的是（ ） A. 4xxy e e -=+ B. 4sin (0)sin y x x xπ=+<< C. 4y x x=+D. y =12．某几何体的三视图如下图，则该几何体的体积为（ ）A. 18B. 20C. 24D. 12第II 卷（非选择题） 二、填空题（每题5分，共20分） 13．若数列{}n a 满足1112,1n n a a a -==-，则2017a =___________． 14．如图所示，在一个坡度一定的山坡AC 的顶上有一高度为25m 的建筑物CD ，为了测量该山坡相对于水平地面的坡角θ，在山坡的A 处测得15DAC ∠=︒，沿山坡前进50m 到达B处，又测得45DBC ∠=︒，根据以上数据得cos θ= ．15. 1 3, 57, 9, 11, 1315, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29 ...........设999是该表第m 行的第n 个数,则m n +=__________16．在ABC ∆中， AC CB ⋅=2tan sin2A B ⋅的最大值是__________．三、解答题（共6题，共70分）17．在ABC ∆中，a,b,c 分别为A 、B 、C 的对边，且满足()2222cos a b ac B bc -=+（1）求A（2）D 为边BC 上一点，CD=3BD ，∠DAC=90°，求tanB 18．已知数列的前项和为，且.（1）求的值；（2）是否存在常数，使得数列为等比数列？若存在，求出的值和通项公式；若不存在，请说明理由.19．某隧道截面如图，其下部形状是矩形ABCD ，上部形状是以CD 为直径的半圆.已知隧道的横截面面积为4+π，设半圆的半径=OC x ，隧道横截面的周长（即矩形三边长与圆弧长之和）为()f x . （1）求函数()f x 的解析式，并求其定义域；（2）问当x 等于多少时， ()f x 有最小值？并求出最小值.20．已知函数，若对于数列满足：，且，．（1）求证：数列为等差数列，并求数列的通项公式；（2）设，若数列的前项和为，求．21．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知21sin sin sin 24B C B C -+=. (Ⅰ) 求角A 的大小；(Ⅱ) 若2b c +=，求a 的取值范围．22．在三棱柱111ABC A B C -中，侧棱1BB ⊥底面111A B C ，D 为AC 的中点， 1112A B BB ==，111AC BC =， 1160AC B ∠=︒.（1）求证： 1//AB 平面1BDC ； （2）求多面体111A B C DBA 的体积.附加题1．已知向量()sin ,cos m A A = ， ()cos ,sin n B B = ， •sin2m n C =，且A ， B ， C 分别为△ABC 的三边,,a b c 所对的角． （Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）若sin A ， sin C ， sin B 成等比数列，且()18CA AB AC ⋅-=， 求边c 的值．2．对于数列，，为数列是前项和，且，，.（1）求数列，的通项公式；（2）令，求数列的前项和.3．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，底面△ABC 是等边三角形，且1AA ⊥平面ABC ， D 为AB 的中点. (Ⅰ) 求证：直线1BC ∥平面A 1CD ；(Ⅱ) 若12AB BB ==，E 是1BB 的中点，求三棱锥1A CDE -的体积．参考答案1．B 2．A 3．A 4．B 5．B 6．C 7．D 8．B 9．D 10．A 11．A 12．B【解析】由三视图可得如下图所示几何体，它为长宽高为4,3,2的长方体沿对角线去掉一半且去掉一个三棱锥的几何体，其体积11143443220232V =⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯=.13．2 14115．254该数表的前k 行数共有2311222221k k -+++++=- 个数，而99915002+=，因为892125521511-=-=，，所以500-255=245，故999是该数表的第9行的第245个数，则9n 245m ==，， 254m n +=.16．3-ABC ∆中， AC CB ⋅=所以()cos cos cos ab C ab C ab C π-=-=⇒=-，且1sin sin 2S ab C ab C === 所以tan 1C =-，又因为()0,C π∈，所以34C π=，所以4B A π=-， 所以()222222sin tan sin2tan sin 2tan cos22cos 14cos A A B A A A A A A π⎡⎤⎛⎫⋅=⋅-=⋅=⋅- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ ()()2221sin 2cos 1cos A A A--=,设2cos t A =，即222311tan sin2233t t A B x t x -+-⎛⎫⋅==-++≤- ⎪⎝⎭.17．（1）23π（2 （Ⅰ）因为2accosB=a 2+c 2﹣b 2，所以2（a 2﹣b 2）=a 2+c 2﹣b 2+bc ． 整理得a 2=b 2+c 2+bc ，所以cosA=﹣12，即A=23π． （Ⅱ）因为∠DAC=2π，所以AD=CD•sinC，∠D AB=6π． 在△ABD 中，有，又因为CD=3BD ，所以3sinC=2sinB ，由C=3π—BcosB —32sinB=2s inB ， 整理得．18．(1)，，;(2)， . 试题解析：(1) 当时，由，得；当时，由，可得；当时，由，得.(2) 令，即，解得.由及，两式相减，得.由以上结论得，所以数列是首项为，公比为的等比数列，因此存在，使得数列为等比数列，所以.19．（1）∴()4π4π(02f x x x x ++=+<<;（2）4πx =+（1）设OC x =则矩形ABCD 面积214ππ2x +-∴214ππ22x AD x+-=∴()22πf x x AD x =++()4π12ππ2f x x x x x +=+-+ ()4π4π2f x x x ++=+ 又0AD > ∴214ππ2x +>∴x <∴()4π4π(02f x x x x ++=+<<定义域0⎛ ⎝ （2）()(4πf x ≥=+当且仅当x=(4π+20．（1）；（2） ．试题解析：(1)即，∵，∴，∴数列是一个以3为首项，以2为公差的等差数列；则，，，……，累加得.验证时上式成立，∴(2) ，则两式作差得：∴21．（Ⅰ）2π3A =（Ⅱ）)2 （Ⅰ）由已知得()1cos 1sin sin 24B C B C --+=， 化简得1cos cos sin sin 1sin sin 24B C B C B C --+=，整理得1cos cos sin sin 2B C B C -=，即()1cos 2B C +=，由于0πB C <+<，则π3B C +=，所以2π3A =．（Ⅱ）根据余弦定理，得2222π2cos3a b c bc =+-⋅ 22b c bc =++ ()()2222b b b b =+-+- 224b b =-+ ()213b =-+．又由2b c +=，知02b <<，可得234a ≤<，所以a 的取值范围是)2． 22．（1）证明：连接1B C 交1BC 于O ，连接OD .O ， D 分别为1B C 与AC 的中点，OD ∴为1AB C ∆的中位线，1//OD AB ∴.又1AB ⊄ 平面1BDC ，OD ⊂平面1BDC ，1//AB ∴平面1BDC .（2）连接1A B ，取BC 的中点E ，连接DE ，如图.111AC BC = ， 1160AC B ∠=︒，11AC B ∴∆为等边三角形. 侧棱1BB ⊥底面111A B C ，111BBA B ∴⊥， 111BB B C ⊥，1111AC BC A B ∴==.=∴在11Rt BB C ∆中，112B C ==，于是， 222111111AC BC A B =+，11190ABC ∴∠=︒， 即1111A B B C ⊥，11A B ∴⊥面11B C CB ，又11////DE AB A B ，DE ∴⊥面11B C CB ，即DE 是三棱锥1D BCC -的高.1113D BCC BCC V S DE -∴=⨯⨯1111322BC BC AB =⨯⨯⨯⨯11122223223=⨯⨯⨯⨯⨯=.1111A B C ABC D BC C V V V --∴=-= 11123A B C S BB ∆⨯-1222223⎛⎫=⨯⨯⨯- ⎪⎝⎭103=. 附加1．(1) 3C π=;(2) c =6.(Ⅰ) ∵m ()sin ,cos ,A A = n ()cos ,sin B B =， m n ⋅sin2C =， ∴sin cos cos sin sin2A B A B C +=，即sin sin2C C =, ∴1cos 2C =,又C 为三角形的内角, ∴3C π=. (Ⅱ) ∵sin A ， sin C ， sin B B 成等比数列，∴2sin sin sin C A B =, ∴2c ab =,又()18CA AB AC ⋅-=,即 18CA CB ⋅= ,∴cos 18ab C =,∴36ab =， 故236c =，∴6c =.2．（1），;（2）．（1））因为，所以，所以，所以数列的通项公式为，由，可得，所以数列是首项为，公比为3的等比数列，所以，所以数列的通项公式为．（2）由（1）可得，所以 ①，②，②①得，所以．3．（Ⅰ）连接AC 1，交A 1C 于点F ， 则F 为AC 1的中点，又D 为AB 的中点，所以1BC ∥DF ，又1BC ⊄平面A 1CD ，又DF ⊂平面A 1CD ，所以1BC ∥平面A 1CD ． （Ⅱ）三棱锥1A CDE -的体积11113A CDE C A DE A DE V V S h --∆==⋅．其中三棱锥1A CDE -的高h 等于点C 到平面ABB 1A 1的距离，可知h CD ==． 9分又11113221211122222A DE S ∆=⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=．所以1111133322A CDE C A DE A DE V V S h --∆==⋅=⨯=．。