2020版数学新突破中考一轮复习五三河北专用：§5.2 三角形与等腰三角形

定理 推论
三角形三个内角的和等于④ １８０° 直角三角形的两个锐角互余
三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和
考点二 等腰三角形 １．等腰三角形的概念、性质与判定
概念 有两条边⑤ 相等 的三角形是等腰三角形
等腰 性质
三角形
（１） 等腰三角形是轴对称图形，一般有一条对称轴． （２） 性质 １：等腰三角形的两底角相等（ 简写成“ 等边对 等角” ） ． （３） 性质 ２：等腰三角形的顶角平分线，底边上的⑥ 中线 、 底边上的高相互重合（简写成“三线合一”）
考点一 三角形的有关概念
１．三角形的定义
由不在同一条直线上的三条线段① 首尾顺次 相接所组成
的图形叫做三角形．
２．三角形的分类
（ １） 按边分
{ { 三边都不相等的三角形
三角形
底边和腰不相等的等腰三角形
等腰三角形
② 等边三角形
（ ２） 按角分
{ { 直角三角形
三角形
锐角三角形
斜三角形
{∠ＥＤＧ ＝ ∠ＦＤＣ，
在△ＥＤＧ 和△ＦＤＣ 中， ∠２ ＝ ∠Ｆ， ＧＥ ＝ ＣＦ，
∴ △ＥＤＧ≌△ＦＤＣ（ ＡＡＳ） ， ∴ ＤＥ ＝ ＤＦ．
3
４．核心素养 以数学抽象、逻辑推理为主． ５．考频赋分 近年来本节内容每年必考，以选择题、填空题的形式考查尺 规作图，等腰三 角 形 的 性 质 及 垂 直 平 分 线 的 性 质， 分 值 为 ２ ～ ３ 分． ６．关联考点 一般与全等三角形、四边形关联．
对应学生用书起始页码 １１０ 页
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证明 如图，作 ＥＧ∥ＡＣ 交 ＢＣ 于 Ｇ，
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３ ８ ５ 年中考 ３ 年模拟 中考数学
则∠１ ＝ ∠ＡＣＢ，∠２ ＝ ∠Ｆ．
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∵ ＡＢ ＝ ＡＣ，∴ ∠Ｂ ＝ ∠ＡＣＢ． ∴ ∠１ ＝ ∠Ｂ，∴ ＢＥ ＝ ＧＥ． 又∵ ＢＥ ＝ ＣＦ，∴ ＧＥ ＝ ＣＦ．
钝角三角形
３．三角形的中位线
（１） 定 义： 连接 三角 形两 边 中 点 的 线 段 叫 做 三 角 形 的 中
位线． （２） 性质：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的
一半． ４．三角形三边的关系
文字叙述
数学语言
理论依据
图形
在 △ＡＢＣ 中， ａ，
三角形两边之
ｂ，ｃ 为三边长，则
和③ 大于 第 有 ａ＋ｂ＞ｃ，ｂ＋ｃ＞ａ，
内 三边
ａ＋ｃ＞ｂ
两点之
容
间，线 段
三角形两边 之差小于第 三边
在 △ＡＢＣ 中， ａ， ｂ，ｃ 为三边长，则 有 ａ－ｂ＜ｃ，ｂ－ｃ＜ａ， ｃ－ａ＜ｂ
最短
应 （１）判断三条线段能否组成三角形． 用 （２） 已知三角形的两边，求第三边的取值范围
５．与三角形有关的角
1
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三个内角都相等的三角形 有一个内角是 ６０°的等腰三角形
３．线段的垂直平分线
线段垂直平分线上的点到⑦ 这条线段两个端点的距离 相等；
到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．
考点三 尺规作图
五种基本作图： １．作一条线段等于已知线段． ２．作一个角等于已知角． ３．作角的平分线． ４．作线段的垂直平分线． ５．作已知直线的垂线．
例 ２ （２０１８ 福建，５，４ 分） 如图，等边三角形 ＡＢＣ 中，ＡＤ⊥ ＢＣ，垂足为 Ｄ，点 Ｅ 在线段 ＡＤ 上，∠ＥＢＣ ＝ ４５°，则∠ＡＣＥ 等于
（ ）
Ａ．ＢＣ ＝ ＥＣ
Ｂ．ＥＣ ＝ ＢＥ
Ｃ．ＢＣ ＝ ＢＥ
Ｄ．ＡＥ ＝ ＥＣ
解析 ∵ ∠ＡＣＢ ＝ ９０°，ＣＤ⊥ＡＢ，
∴ ∠ＡＣＤ＋∠ＢＣＤ ＝ ９０°，∠ＡＣＤ＋∠Ａ ＝ ９０°，
二、利用等腰三角形的性质解题
在三角形中， 证明两条线段或两个角相等， 常 用 的 方 法 如下：
（１）如果线段或角在同一个三角形中，先考虑用“ 等边对等 角” 或“ 等角对等边” 来证明；
（ ２） 如果线段或角不在同一个三角形中，可证明两个三角形 全等或通过等腰三角形“ 三线合一的性质” 来解决．
对应学生用书起始页码 １１１ 页
一、利用三角形的“ 三线” 的性质解题
三角形的高、中线、角平分线是三条线段，由三角形的高可
得 ９０°的角，常与三角形的面积相关；与三角形内角和相联系可
解决三角形相关角度的计算；由三角形的中线可得线段之间的
关系；由三角形的角平分线可得角之间的关系，可利用角平分线
尺规作图
基本作图
尺规作图 等腰三角形 三角形的有关概念 等腰三角形
基本作图 等边三角形的判定
三角形的中位线 等腰三角形的性质
解题方法 定义法 分析法 分析法
分析法
定义法
分析法 分析法 分析法 定义法 分析法
核心素养 直观想象 逻辑推理 逻辑推理
直观想象
数学运算 数学抽象 逻辑推理 数学抽象 逻辑推理 直观想象 逻辑推理
３ ６ ５ 年中考 ３ 年模拟 中考数学
§ ５．２ 三角形与等腰三角形
对应学生用书起始页码 １０６ 页
一、真题多维细目表
考题
涉分
２０１８ 河北，１
３
２０１８ 河北，６
３
２０１８ 河北，８
３
２０１７ 河北，１０
３
２０１７ 河北，１７
３
２０１７ 河北，１８
３
２０１６ 河北，１０
３
２０１６ 河北，１６
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二、命题规律与趋势 １．考查内容
主要考查三角形、等腰三角形的基本性质以及学生对尺规 作图作法的理解．
２．命题特点 与其他几何 知 识 相 结 合 进 行 考 查， 以 中 档 题 为 主， 以 选 择 题、填空题的形式体现． ３．解题方法 分析法、定义法．
２
Байду номын сангаас
２０１５ 河北，１５
２
２０１５ 河北，２０
３
题型 选择题 选择题 选择题
选择题
填空题
填空题 选择题 选择题 选择题 填空题
难度 易 易 中
易
易
中 中 中 中 中
考点
考向
三角形的有关概念 三角形的稳定性
尺规作图
基本作图
等腰三角形
等腰三角形的性质
等腰三角形
等腰三角形的 性质与判定
三角形的有关概念 三角形的中位线
（ ）
Ａ．１５°
Ｂ．３０°
Ｃ．４５°
Ｄ．６０°
解析 ∵ 等边三角形 ＡＢＣ 中，ＡＤ⊥ＢＣ，垂足为 Ｄ，∴ ∠ＡＣＢ
＝ ６０°，且 Ｄ 是 ＢＣ 的中点，所以 ＡＤ 垂直平分 ＢＣ，所以 ＥＣ ＝ ＥＢ，
根据等边对等角，得到∠ＥＣＢ ＝ ∠ＥＢＣ ＝ ４５°，故∠ＡＣＥ ＝ ∠ＡＣＢ －
∠ＥＣＢ ＝ ６０°－４５° ＝ １５°．
判定 等角对等边 ２．等边三角形
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第五章 图形的认识 ３ ７
{ ìïï性质
有三条对称轴 三个内角都是 ６０°
{ 等边三角形 í îïï判定
∴ ∠ＢＣＤ ＝ ∠Ａ．
∵ ＣＥ 平分∠ＡＣＤ，
∴ ∠ＡＣＥ ＝ ∠ＤＣＥ．
又∵ ∠ＢＥＣ ＝ ∠Ａ＋∠ＡＣＥ，∠ＢＣＥ ＝ ∠ＢＣＤ＋∠ＤＣＥ，
∴ ∠ＢＥＣ ＝ ∠ＢＣＥ，
∴ ＢＣ ＝ ＢＥ．故选 Ｃ．
答案 Ｃ
针对训练 １ 如图，在△ＡＢＣ 中，ＣＤ 是∠ＡＣＢ 的平分线，∠Ａ
＝ ８０°，∠ＡＣＢ ＝ ６０°，则∠ＢＤＣ ＝
答案 Ａ
针对训练 ２ 如图，△ＡＢＣ 中，ＡＢ ＝ ＡＣ，Ｅ 为 ＡＢ 上一点，Ｆ 为
ＡＣ 延长线上一点，且 ＢＥ ＝ ＣＦ，ＥＦ 交 ＢＣ 于 Ｄ，求证：ＤＥ ＝ ＤＦ．
Ａ．８０°
Ｂ．９０°
Ｃ．１００°
Ｄ．１１０°
答案 Ｄ
解析
由
ＣＤ
是 ∠ＡＣＢ
的平 分线可 得 ∠ＡＣＤ ＝
１ ２
∠ＡＣＢ ＝
的性质和三角形的内外角的关系建立所求角与已知条件的联
系，达到解题的目的．
例 １ （ ２０１８ 江 苏 扬 州， ７， ３ 分） 在 Ｒｔ △ＡＢＣ 中， ∠ＡＣＢ ＝
９０°，ＣＤ⊥ＡＢ 于 Ｄ，ＣＥ 平分∠ＡＣＤ 交 ＡＢ 于 Ｅ，则下列结论一定
成立的是
（ ）
３０°，所以∠ＢＤＣ ＝ ∠Ａ＋∠ＡＣＤ ＝ ８０°＋３０° ＝ １１０°．故选 Ｄ．