解三角形-高考理科数学总复习专题练习
高考数学(理)总复习：解三角形(解析版)
高考数学（理）总复习：解三角形题型一 利用正、余弦定理解三角形 【题型要点解析】关于解三角形问题，一般要用到三角形的内角和定理，正、余弦定理及有关三角形的性质，常见的三角变换方法和原则都适用，同时要注意“三统一”，即“统一角、统一函数、统一结构”，这是使问题获得解决的突破口．【例1】△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知sin(A ＋C )＝8sin 2B2，(1)求cos B ；(2)若a ＋c ＝6，△ABC 的面积为2，求b .【解析】 (1)由题设及A ＋B ＋C ＝π，sin B ＝8sin 2B2，故sin B ＝4(1－cos B )．上式两边平方，整理得17cos 2B －32cos B ＋15＝0， 解得cos B ＝1(舍去)，cos B ＝1517.(2)由cos B ＝1517得sin B ＝817，故S △ABC ＝12ac sin B ＝417ac .又S △ABC ＝2，则ac ＝172.由余弦定理及a ＋c ＝6得：b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B＝(a ＋c )2－2ac (1＋cos B )＝36－2×172×⎪⎭⎫ ⎝⎛+17151 ＝4.所以b ＝2.题组训练一 利用正、余弦定理解三角形1．在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若sin A ＝223，a ＝2，S △ABC＝2，则b 的值为( )A.3B.322 C ．2 2D ．2 3【解析】 ∵在锐角△ABC 中，sin A ＝223，S △ABC ＝2，∴cos A ＝1－sin 2A ＝13，12bc sin A ＝12bc ·223＝2，∴bc ＝3①，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，∴(b ＋c )2＝a 2＋2bc (1＋cos A )＝4＋6×⎪⎭⎫⎝⎛+311＝12， ∴b ＋c ＝23②.由①②得b ＝c ＝3，故选A. 【答案】 A2．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin A sin B ＋sin B sin C ＋cos 2B ＝1.若C ＝2π3，则ab＝________.【解析】 ∵sin A sin B ＋sin B sin C ＋cos 2B ＝1，∴sin A sin B ＋sin B sin C ＝2sin 2B . 由正弦定理可得ab ＋bc ＝2b 2，即a ＋c ＝2b ，∴c ＝2b －a ，∵C ＝2π3，由余弦定理可得(2b －a )2＝a 2＋b 2－2ab cos 2π3，可得5a ＝3b ，∴a b ＝35. 【答案】 353．已知△ABC 是斜三角形，内角A ，B ，C 所对的边的长分别为a ，b ，c .若c sin A ＝3a cos C .(1)求角C ；(2)若c ＝21，且sin C ＋sin(B －A )＝5sin 2A ，求△ABC 的面积．【解析】 (1)根据a sin A ＝c sin C，可得c sin A ＝a sin C ， 又∵c sin A ＝3a cos C ，∴a sin C ＝3a cos C ， ∴sin C ＝3cos C ，∴tan C ＝sin Ccos C ＝3，∵C ∈(0，π)，∴C ＝π3.(2)∵sin C ＋sin(B －A )＝5sin 2A ，sin C ＝sin (A ＋B )， ∴sin (A ＋B )＋sin (B －A )＝5sin 2A ， ∴2sin B cos A ＝2×5sin A cos A . ∵△ABC 为斜三角形， ∴cos A ≠0，∴sin B ＝5sin A . 由正弦定理可知b ＝5a ，① ∵c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，∴21＝a 2＋b 2－2ab ×12＝a 2＋b 2－ab ，②由①②解得a ＝1，b ＝5，∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×1×5×32＝534.题型二 正、余弦定理的实际应用 【题型要点解析】应用解三角形知识解决实际问题一般分为下列四步：(1)分析题意，准确理解题意，分清已知与所求，尤其要理解题中的有关名词术语，如坡度、仰角、俯角、视角、方位角等；(2)根据题意画出示意图，并将已知条件在图形中标出；(3)将所求的问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正弦定理、余弦定理等有关知识正确求解；(4)检验解出的结果是否具有实际意义，对结果进行取舍，得出正确答案．【例2】某学校的平面示意图如图中的五边形区域ABCDE ，其中三角形区域ABE 为生活区，四边形区域BCDE 为教学区，AB ，BC ，CD ，DE ，EA ，BE .为学校的主要道路(不考虑宽度)．∠BCD ＝∠CDE ＝2π3，∠BAE ＝π3，DE ＝3BC ＝3CD ＝910km.(1)求道路BE 的长度；(2)求生活区△ABE 面积的最大值．【解析】 (1)如图，连接BD ，在△BCD 中，BD 2＝BC 2＋CD 2－2BC ·CD cos ∠BCD ＝27100，∴BD ＝3310km.∵BC ＝CD ，∴∠CDB ＝∠CBD ＝π－2π32＝π6，又∠CDE ＝2π3，∴∠BDE ＝π2.∴在Rt △BDE 中， BE ＝BD 2＋DE 2＝335(km)． 故道路BE 的长度为335km.(2)设∠ABE ＝α，∵∠BAE ＝π3，∴∠AEB ＝2π3－α.在△ABE 中，易得AB sin ∠AEB ＝BE sin ∠BAE ＝335sinπ3＝65，∴AB ＝65sin ⎪⎭⎫⎝⎛-απ32，AE ＝65sin α.∴S △ABE ＝12AB ·AE sin π3＝9325sin ⎪⎭⎫⎝⎛-απ32·sin α ＝9325⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛-4162sin 21πα≤9325⎪⎭⎫ ⎝⎛+4121 ＝273100(km 2)． ∵0<α<2π3，∴－π6<2α－π6<7π6.∴当2α－π6＝π2，即α＝π3时，S △ABE 取得最大值，最大值为273100km 2，故生活区△ABE面积的最大值为273100km 2题组训练二 正、余弦定理的实际应用1．如图，为了估测某塔的高度，在同一水平面的A ，B 两点处进行测量，在点A 处测得塔顶C 在西偏北20°的方向上，仰角为60°；在点B 处测得塔顶C 在东偏北40°的方向上，仰角为30°.若A ，B 两点相距130 m ，则塔的高度CD ＝________m.【解析】设CD ＝h ，则AD ＝h3，BD ＝3h ，在△ADB 中，∠ADB ＝180°－20°－40°＝120°，∴由余弦定理AB 2＝BD 2＋AD 2－2BD ·AD ·cos 120°，可得1302＝3h 2＋h 23－2×3h ×h 3×⎪⎭⎫⎝⎛-21，解得h ＝1039，故塔的高度为1039 m.【答案】 10392．如图，在第一条海防警戒线上的点A ，B ，C 处各有一个水声监测点，B ，C 两点到A 的距离分别为20千米和50千米，某时刻，B 收到发自静止目标P 的一个声波信号，8秒后A ，C 同时接收到该声波信号，已知声波在水中的传播速度是1.5千米/秒．(1)设A 到P 的距离为x 千米，用x 表示B ，C 到P 的距离，并求x 的值；(2)求P 到海防警戒线AC 的距离． 【解析】 (1)依题意，有P A ＝PC ＝x ， PB ＝x －1.5×8＝x －12. 在△P AB 中，AB ＝20， cos ∠P AB ＝P A 2＋AB 2－PB 22P A ·AB＝x 2＋202－(x －12)22x ·20＝3x ＋325x ，同理，在△P AC 中，AC ＝50，cos ∠P AC ＝P A 2＋AC 2－PC 22P A ·AC ＝x 2＋502－x 22x ·50＝25x .∵cos ∠P AB ＝cos ∠P AC ， ∴3x ＋325x ＝25x，解得x ＝31. (2）作PD ⊥AC 于点D ，在△ADP 中，由cos ∠P AD ＝2531，得sin ∠P AD ＝1－cos 2∠P AD ＝42131， ∴PD ＝P A sin ∠P AD ＝31×42131＝421.故静止目标P 到海防警戒线AC 的距离为421千米． 题型三 三角函数与解三角形问题 【题型要点】解三角形与三角函数的综合题，其中，解决与三角恒等变换有关的问题，优先考虑角与角之间的关系；解决与三角形有关的问题，优先考虑正弦、余弦定理．【例3】在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足sin A －sin C b ＝sin A －sin Ba ＋c .(Ⅰ)求C ；(Ⅱ)若cos A ＝17，求cos(2A －C )的值．【解析】 (Ⅰ)由sin A －sin C b ＝sin A －sin B a ＋c 及正弦定理得a －c b ＝a －ba ＋c ，∴a 2－c 2＝ab －b 2，整理得a 2＋b 2－c 2＝ab ，由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12，又0<C <π，所以C ＝π3.(Ⅱ)由cos A ＝17知A 为锐角，又sin 2A ＋cos 2A ＝1，所以sin A ＝1－cos 2A ＝437，故cos2A＝2cos 2A －1＝－4749，sin2A ＝2sin A cos A ＝2×437×17＝8349，所以cos(2A －C )＝cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛-32πA ＝cos2A cos π3＋sin2A sin π3＝－4749×12＋8349×32＝－2398.题组训练三 三角函数与解三角形问题已知函数f (x )＝sin ⎪⎭⎫⎝⎛+62πx ＋cos 2x . (1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边为a ，b ，c ，已知f (A )＝32，a ＝2，B ＝π3，求△ABC 的面积．【解析】 (1)f (x )＝sin ⎪⎭⎫⎝⎛+62πx ＋cos 2x ＝sin 2x cos π6＋cos 2x sin π6＋cos 2x＝32sin 2x ＋32cos 2x ＝3⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 2cos 232sin 21 ＝3sin ⎪⎭⎫⎝⎛+32πx . 令－π2＋2k π≤2x ＋π3≤π2＋2k π⇒－5π12＋k π≤x ＋π3≤π12＋k π，k ∈Z .f (x )的单调递增区间为：⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-ππππk k 12,125，k ∈Z .(2)由f (A )＝32，sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+32πA ＝12， 又0<A <2π3，π3<2A ＋π3<5π3，因为2A ＋π3＝5π6，解得：A ＝π4.由正弦定理a sin A ＝bsin B ，得b ＝6，又由A ＝π4，B ＝π3可得：sin C ＝6＋24.故S △ABC ＝12ab sin C ＝3＋32.题型四 转化与化归思想在解三角形中的应用 【题型要点】利用正弦、余弦定理解三角形的模型示意图如下：【例4】 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a cos 2C 2＋c cos 2A 2＝32b .(1)求证：a ，b ，c 成等差数列；(2)若∠B ＝60°，b ＝4，求△ABC 的面积． 【解析】 (1)证明：a cos 2C 2＋c cos 2A2＝a ·1＋cos C 2＋c ·1＋cos A 2＝32b ，即a (1＋cos C )＋c (1＋cos A )＝3b . ①由正弦定理得：sin A ＋sin A cos C ＋sin C ＋cos A sin C ＝3sin B ， ② 即sin A ＋sin C ＋sin(A ＋C )＝3sin B ， ∴sin A ＋sin C ＝2sinB.由正弦定理得，a ＋c ＝2b ， ③ 故a ，b ，c 成等差数列．(2)由∠B ＝60°，b ＝4及余弦定理得： 42＝a 2＋c 2－2ac cos 60°，∴(a ＋c )2－3ac ＝16， 又由(1)知a ＋c ＝2b ，代入上式得4b 2－3ac ＝16. 又b ＝4，所以ac ＝16， ④∴△ABC 的面积S ＝12ac sin B ＝12ac sin 60°＝4 3.题组训练四 转化与化归思想在解三角形中的应用 如图，在平面四边形ABCD 中，AD ＝1，CD ＝2，AC ＝7.(1)求cos ∠CAD 的值；(2)若cos ∠BAD ＝－714，sin ∠CBA ＝216，求BC 的长．【解析】 (1)在△ADC 中，由余弦定理，得cos ∠CAD ＝AC 2＋AD 2－CD 22AC ·AD ＝7＋1－427＝277. (2)设∠BAC ＝α，则α＝∠BAD －∠CAD . 因为cos ∠CAD ＝277，cos ∠BAD ＝－714，所以sin ∠CAD ＝1－cos 2∠CAD ＝217，sin ∠BAD ＝1－cos 2∠BAD ＝32114. 于是sin ∠BAC ＝sin (∠BAD －∠CAD )＝sin ∠BAD cos ∠CAD －cos ∠BAD ·sin ∠CAD ＝32114×277－⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1417×217＝32. 在△ABC 中，由正弦定理得，BC ＝AC ·sin ∠BACsin ∠CBA＝7×32216＝3. 【专题训练】 一、选择题1．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且b 2＝a 2＋bc ，A ＝π6，则内角C 等于( )A.π6 B.π4 C.3π4D.π4或3π4【解析】 在△ABC 中，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，即a 2－b 2＝c 2－2bc cos A ，由已知，得a 2－b 2＝－bc ，则c 2－2bc cos π6＝－bc ，即c ＝(3－1)b ，由正弦定理，得sin C＝(3－1)sin B ＝(3－1)sin ⎪⎭⎫⎝⎛-C 65π， 化简，得sin C －cos C ＝0，解得C ＝π4，故选B.【答案】 B2．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知b ＝2，c ＝22，且C ＝π4，则△ABC 的面积为( )A.3＋1B.3－1 C ．4 D ．2【解析】 法一 由余弦定理可得(22)2＝22＋a 2－2×2×a cos π4，即a 2－22a －4＝0，解得a ＝2＋6或a ＝2－6(舍去)，△ABC 的面积S ＝12ab sin C ＝12×2×(2＋6)sin π4＝12×2×22×(6＋2)＝3＋1，选A.法二 由正弦定理b sin B ＝c sin C ，得sin B ＝b sin C c ＝12，又c >b ，且B ∈(0，π)，所以B ＝π6，所以A ＝7π12，所以△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝12×2×22sin 7π12＝12×2×22×6＋24＝3＋1.【答案】 A3．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若△ABC 的面积为S ，且2S ＝(a ＋b )2－c 2，则tan C 等于( )A.34B.43C ．－43D ．－34【解析】 因为2S ＝(a ＋b )2－c 2＝a 2＋b 2－c 2＋2ab ，则结合面积公式与余弦定理，得ab sin C ＝2ab cos C ＋2ab ，即sin C －2cos C ＝2，所以(sin C －2cos C )2＝4，sin 2C －4sin C cos C ＋4cos 2C sin 2C ＋cos 2C ＝4，所以tan 2C －4tan C ＋4tan 2C ＋1＝4，解得tan C ＝－43或tan C ＝0(舍去)，故选C.【答案】 C4．如图，在△ABC 中，C ＝π3，BC ＝4，点D 在边AC 上，AD ＝DB ，DE ⊥AB ，E 为垂足．若DE ＝22，则cos A 等于( )A.223B.24 C.64D.63【解析】 依题意得：BD ＝AD ＝DE sin A ＝22sin A ，∠BDC ＝∠ABD ＋∠A ＝2∠A .在△BCD 中， BC sin ∠BDC ＝BD sin C ，则4sin 2A ＝22sin A ×23＝423sin A ，即42sin A cos A ＝423sin A，由此解得cos A ＝64，选C.【答案】 C5．如图所示，为测一建筑物的高度，在地面上选取A ，B 两点，从A ，B 两点分别测得建筑物顶端的仰角为30°，45°，且A ，B 两点间的距离为60 m ，则该建筑物的高度为( )A ．(30＋303) mB ．(30＋153) mC ．(15＋303) mD ．(15＋153) m【解析】 设建筑物高度为h ，则h tan 30°－h tan 45°＝60，即(3－1)h ＝60，所以建筑物的高度为h ＝(30＋303)m.【答案】 A6．在三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若20aBC →＋15bCA →＋12cAB →＝0，则三角形ABC 中最小角的正弦值等于( )A.45B.34C.35D.74【解析】 ∵20aBC →＋15bCA →＋12cAB →＝0，∴20a (AC →－AB →)＋15bCA →＋12cAB →＝0， ∴(20a －15b )AC →＋(12c －20a )AB →＝0.∵AC →与AB →不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧20a －15b ＝0，12c －20a ＝0⇒⎩⎨⎧b ＝43a ，c ＝53a ，∴三角形ABC 中最小角为角A ， ∴cos A ＝b 2＋c 2－a22bc ＝169a 2＋259a 2－a 22×43×53a 2＝45，∴sin A ＝35，故选C. 【答案】 C 二、填空题7．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若(a ＋b －c )(a ＋b ＋c )＝ab ，c ＝3，当ab 取得最大值时，S △ABC ＝________.【解析】 因为(a ＋b －c )(a ＋b ＋c )＝ab ，a 2＋b 2－c 2＝－ab ，所以cos C ＝－12，所以sinC ＝32，由余弦定理得(3)2＝a 2＋b 2＋ab ≥3ab ，即ab ≤1，当且仅当a ＝b ＝1时等号成立．所以S △ABC ＝34. 【答案】348．已知△ABC 中，AB ＝1，sin A ＋sin B ＝2sin C ，S △ABC ＝316sin C ，则cos C ＝________. 【解析】 ∵sin A ＋sin B ＝2sin C ，由正弦定理可得a ＋b ＝2c .∵S △ABC ＝316sin C ，∴12ab sin C ＝316sin C ，sin C ≠0，化为ab ＝38.由余弦定理可得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝(a ＋b )2－2ab－2ab cos C ，∴1＝(2)2－2×38(1＋cos C )，解得cos C ＝13.【答案】139．已知a ，b ，c 分别为△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，a ＝2，且(2＋b )(sin A －sin B )＝(c －b )·sin C ，则△ABC 面积的最大值为________．【解析】 由正弦定理得(2＋b )(a －b )＝(c －b )c ， 即(a ＋b )·(a －b )＝(c －b )c ，即b 2＋c 2－a 2＝bc ， 所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，又A ∈(0，π)，所以A ＝π3，又b 2＋c 2－a 2＝bc ≥2bc －4，即bc ≤4，故S △ABC ＝12bc sin A ≤12×4×32＝3，当且仅当b ＝c ＝2时，等号成立，则△ABC 面积的最大值为 3. 【答案】310．如图，△ABC 中，AB ＝4，BC ＝2，∠ABC ＝∠D ＝60°，若△ADC 是锐角三角形，则DA ＋DC 的取值范围是________．【解析】 在△ABC 中，由余弦定理得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos ∠ABC ＝12，即AC ＝2 3.设∠ACD ＝θ(30°<θ<90°)，则在△ADC 中，由正弦定理得23sin 60°＝DA sin θ＝DCsin (120°－θ)，则DA ＋DC ＝4[sin θ＋sin(120°－θ)]＝4⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+θθcos 23sin 23＝43sin(θ＋30°)，而60°<θ＋30°<120°，43sin 60°<DA ＋DC ≤43sin 90°，即6<DA ＋DC ≤4 3.【答案】 (6,43] 三、解答题11．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a >b ，a ＝5，c ＝6，sin B ＝35. (1)求b 和sin A 的值；(2)求sin ⎪⎭⎫⎝⎛+42πA 的值． 【解析】 (1)在△ABC 中，因为a >b ，故由sin B ＝35，可得cos B ＝45.由已知及余弦定理，有b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝13，所以b ＝13.由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得sin A ＝a sin B b ＝31313.所以b 的值为13，sin A 的值为31313.(2)由(1)及a <c ，得cos A ＝21313，所以sin 2A ＝2sin A cos A ＝1213，cos 2A ＝1－2sin 2A ＝－513.故sin ⎪⎭⎫⎝⎛+42πA ＝sin 2A cos π4＋cos 2A sin π4＝7226. 12．如图，在四边形ABCD 中，∠DAB ＝π3，AD ∶AB ＝2∶3，BD ＝7，AB ⊥BC .(1)求sin ∠ABD 的值；(2)若∠BCD ＝2π3，求CD 的长．【解析】(1)∵AD ∶AB ＝2∶3，∴可设AD ＝2k ，AB ＝3k .又BD ＝7，∠DAB ＝π3，∴由余弦定理，得(7)2＝(3k )2＋(2k )2－2×3k ×2k cos π3，解得k ＝1，∴AD ＝2，AB ＝3，sin ∠ABD ＝AD sin ∠DABBD＝2×327＝217.(2)∵AB ⊥BC ，∴cos ∠DBC ＝sin ∠ABD ＝217，∴sin ∠DBC ＝277，∴BD sin ∠BCD ＝CDsin ∠DBC，∴CD＝7×27732＝433.。
4.3解三角形-2021届高三数学专题复习练习
1【课前测试】1、在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知A ＝π6，a ＝1，b ＝3，则B ＝________.2、△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2b cos B ＝a cos C ＋c cos A ，则B ＝________．2解三角形【知识梳理】一、利用正、余弦定理解三角形1．正弦定理、余弦定理在△ABC 中，若角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，R 为△ABC 外接圆半径，则(1)S ＝12a ·h a (h a 表示边a 上的高)；(2)S ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝12bc sin A .(3)S ＝12r (a ＋b ＋c )(r 为内切圆半径)．二、利用正、余弦定理判断三角形的形状1、应用余弦定理判断三角形形状的方法 在△ABC 中，c 是最大的边，若c 2<a 2＋b 2，则△ABC 是锐角三角形； 若c 2＝a 2＋b 2，则△ABC 是直角三角形；若c2>a2＋b2，则△ABC是钝角三角形．2、判断三角形形状的常用技巧若已知条件中既有边又有角，则(1)化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状．(2)化角：通过三角恒等变换，得出内角的关系，从而判断三角形的形状．此时要注意应用A＋B＋C＝π这个结论.34【课堂讲解】要点一 利用正弦定理解三角形利用正弦定理可以解决的两类问题： (1)已知两角和任一边，求其他两边和一角．(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，从而进一步求出其他的边和角．由于三角形的形状不能唯一确定，会出现两解、一解和无解三种情况．例1、(1)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a sin B cos C ＋c sin B cos A ＝12b ，且a >b ，则B ＝( )A.π6B.π3C.2π3D.5π6(2)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝3，sin B ＝12，C ＝π6，则b ＝________.变式训练：1、在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若b ＝2a sin B ，则A ＝( ) A ．30° B ．45° C ．60°D ．75°2、(2017·合肥模拟)在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝3，B ＝60°，则cos C ＝________.要点二 利用余弦定理解三角形利用余弦定理可以解决的两类问题：(1)已知两边及夹角，先求第三边，再求其余两个角． (2)已知三边，求三个内角．例2、(1)在△ABC 中，已知a －b ＝4，a ＋c ＝2b ，且最大角为120°，则这个三角形的最大边等于( )A ．4B ．14C ．4或14D ．24(2)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a cos C ＋32c ＝b ，则A ＝________. 变式训练：51、在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ＝7，b ＝3，c ＝2，则A ＝( ) A.π6 B.π4 C.π3 D.π22、设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝2，c ＝2 3，cos A ＝32且b ＜c ，则b ＝( ) A ．3 B ．2 2 C ．2 D.3要点三 利用正、余弦定理解三角形例3、设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别是a ，b ，c ，且b ＝3，c ＝1，A ＝2B .(1)求a 的值；(2)求sin ()A ＋π4的值．变式训练：1、设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＝2，cos C ＝－14，3sin A ＝2sin B ，则c ＝________.2、在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知sin 2B ＋sin 2C ＝sin 2A ＋sin B sin C . (1)求角A 的大小；(2)若cos B ＝13，a ＝3，求c 的值．要点四 利用正、弦定理判断三角形的形状6例4、(1)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若cb <cos A ，则△ABC 为( )A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．等边三角形(2)在△ABC 中，cos 2B 2＝a ＋c2c (a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边)，则△ABC 的形状为( )A ．等边三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形或直角三角形D ．等腰直角三角形变式训练：1、设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若2sin A cos B ＝sin C ，那么△ABC 一定是( ) A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．等腰直角三角形D ．等边三角形2、已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos A cos B ＝ba＝2，则该三角形的形状是( ) A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．等边三角形D ．钝角三角形3、在△ABC 中，若(a 2＋b 2)sin(A －B )＝(a 2－b 2)sin(A ＋B )，则△ABC 的形状是( ) A ．等腰三角形 B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形4、在△ABC 中，已知a 2＋b 2－c 2＝ab ，且2cos A sin B ＝sin C ，试判断△ABC 的形状．要点五 三角形中的面积问题解题策略：7(1)利用正弦定理、余弦定理解三角形，求出三角形的有关元素之后，直接求三角形的面积，或求出两边之积及夹角正弦，再求解．(2)把面积作为已知条件之一，与正弦定理、余弦定理结合求出三角形的其他各量．面积公式中涉及面积、两边及两边夹角正弦四个量，结合已知条件列方程求解．例5、在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且(2b －c )cos A ＝a cos C .(1)求角A 的大小；(2)若a ＝3，b ＝2c ，求△ABC 的面积．变式训练：1、在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .若c 2＝(a －b )2＋6，C ＝π3，则△ABC 的面积是( )A ．3 B.932 C.332D ．332、已知△ABC 是斜三角形，内角A ，B ，C 所对的边的长分别为a ，b ，c .若c sin A ＝3a cos C . (1)求角C ；(2)若c ＝21，且sin C ＋sin(B －A )＝5sin 2A ，求△ABC 的面积．83、已知a ，b ，c 分别为△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，a ＝2，且(2＋b )(sin A －sin B )＝(c －b )sin C ，则△ABC 面积的最大值为________．4、△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cos C (a cos B ＋b cos A )＝c . (1)求C ；(2)若c ＝7，△ABC 的面积为332，求△ABC 的周长．5、△ABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分∠BAC ，△ABD 面积是△ADC 面积的2倍． (1)求sin B sin C；(2)若AD ＝1，DC ＝22，求BD 和AC 的长．9要点六 三角形中的范围问题解三角形问题中，求解某个量(式子)的取值范围是命题的热点，其主要解决思路是：要建立所求量(式子)与已知角或边的关系，然后把角或边作为自变量，所求量(式子)的值作为函数值，转化为函数关系，将原问题转化为求函数的值域问题．这里要利用条件中的范围限制，以及三角形自身范围限制，要尽量把角或边的范围(也就是函数的定义域)找完善，避免结果的范围过大．例6、设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a ＝b tan A ，且B 为钝角．(1)证明：B －A ＝π2；(2)求sin A ＋sin C 的取值范围．10变式训练：1、△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a sin A sin B ＋b cos 2A ＝2a ，则角A 的取值范围是________．2、已知△ABC 中，角A ，32B ，C 成等差数列，且△ABC 的面积为1＋2，则AC 边的长的最小值是________．要点七 正、余弦定理在平面几何中的应用此类题目求解时，一般有如下思路：(1)把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解； (2)寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果．做题过程中，要用到平面几何中的一些知识点，如相似三角形的边角关系、平行四边形的一些性质，要把这些性质与正弦、余弦定理有机结合，才能顺利解决问题．例7、(2017·广东茂名模拟)如图，已知在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若B ＝π3，b ＝7，c ＝2，D 为BC 的中点． (1)求cos ∠BAC 的值； (2)求AD 的值．变式训练：如图，在△ABC 中，C ＝π3，BC ＝4，点D 在边AC 上，AD ＝DB ，DE ⊥AB ，E 为垂足，若DE ＝22，则cosA ＝( )A.223 B.24 C.64 D.6311【课后练习】1．在△ABC 中，若sin A a ＝cos B b，则B 的值为( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．90°2．在△ABC 中，已知AB ＝3，A ＝120°，且△ABC 的面积为1534，则BC ＝( ) A ．3 B ．5 C ．7 D ．153．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a sin A ＋b sin B <c sin C ，则△ABC 的形状是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定4．在△ABC 中，若sin C sin A ＝3，b 2－a 2＝52ac ，则cos B 的值为( ) A.13 B.12 C.15 D.145．在△ABC 中，三内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，面积为S ，若S ＋a 2＝(b ＋c )2，则cos A 等于( ) A.45 B ．－45 C.1517 D ．－15176．已知△ABC 中，内角A ，B ，C 所对边长分别为a ，b ，c ，若A ＝π3，b ＝2a cos B ，c ＝1，则△ABC 的面积等于( )A.32 B.34 C.36 D.38 7．(2017·渭南模拟)在△ABC 中，若a 2－b 2＝3bc 且sin (A ＋B )sin B＝23，则A ＝( ) A.π6 B.π3 C.2π3 D.5π68．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且c －b c －a ＝sin A sin C ＋sin B，则B ＝( ) A.π6 B.π4 C.π3 D.3π49．已知在△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝3∶5∶7，那么这个三角形的最大内角的大小为________．1210．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知△ABC 的面积为315，b －c ＝2，cos A ＝－14，则a 的值为________． 11．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若c ＝1，B ＝45°，cos A ＝35，则b ＝________. 12．在△ABC 中，若b ＝2，A ＝120°，三角形的面积S ＝3，则三角形外接圆的半径为________．13、(2017·郑州模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足cos 2C －cos 2A ＝2sin ()π3＋C ·sin ()π3－C .(1)求角A 的值；(2)若a ＝3且b ≥a ，求2b －c 的取值范围．14、在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a ≠b ，c ＝3，cos 2A －cos 2B ＝3sin A cos A －3sin B cos B .(1)求角C 的大小；(2)若sin A ＝45，求△ABC 的面积．【课后测试】在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设S为△ABC的面积，满足S＝34(a2＋b2－c2)．(1)求角C的大小；(2)求sin A＋sin B的最大值．13。
2022年高考数学解三角形知识点专项练习含答案
专题19 解三角形一、单选题（本大题共10小题，共50分）1.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若2acosC=b，则△ABC的形状是()A. 等腰直角三角形B. 直角三角形C. 等腰三角形D. 等边三角形2.如图，在△ABC中，点D在边AB上，CD⊥BC，AC=5√3，CD=5，BD=2AD，则AD的长为()A. 4B. 5C. 6D. 73.海上有A、B两个小岛相距10海里，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，则B，C间的距离是()A. 10√3海里B. 10√63海里 C. 5√2海里 D. 5√6海里4.在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若角A、C、B成等差数列，角C的角平分线交AB于点D，且CD=√3，a=3b，则c的值为()A. 3B. 72C. 4√73D. 2√35.如图，要测量电视塔AB的高度，在C点测得塔顶A的仰角是π4，在D点测得塔顶A的仰角是π6，水平面上的，则电视塔AB的高度为（）mA. 20B. 30C. 40D. 506.为测出小区的面积，进行了一些测量工作，所得数据如图所示，则小区的面积为( )A.B. 3−√64km2C.D. 6−√34km27.已知直三棱柱ABC−A1B1C1的底面是正三角形，AB=2√3，D是侧面BCC1B1的中心，球O与该三棱柱的所有面均相切，则直线AD被球O截得的弦长为()A. √1010B. √105C. 3√1010D. 3√1058.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若直线bx+ycos A+cos B=0与ax+ycos B+cos A=0平行，则△ABC一定是()A. 锐角三角形B. 等腰三角形C. 直角三角形D. 等腰或者直角三角形9.海伦不仅是古希腊的数学家，还是一位优秀的测绘工程师．在他的著作《测地术》中最早出现了已知三边求三角形面积的公式，即著名的海伦公式S=√p(p−a)(p−b)(p−c)，这里p=12(a+b+c)，a，b，c分别为▵ABC的三个角A，B，C所对的边，该公式具有轮换对称的特点，形式很美．已知▵ABC中，p=12，c=9，cosA=23，则该三角形内切圆半径()A. √2B. √3C. √10D. √510.在ΔABC中，若1sinA +1sinB=2(1tanA+1tanB)，则()A. C的最大值为π3B. C的最大值为2π3C. C的最小值为π3D. C的最小值为π6二、单空题（本大题共4小题，共20分）11.如图，在离地面高200m的热气球上，观测到山顶C处的仰角为15∘、山脚A处的俯角为45∘，已知∠BAC=60∘，则山的高度BC为______m．12. 在四边形ABCD 中，AB =6，BC =CD =4，DA =2，则四边形ABCD 的面积的最大值是______．13. 海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞.若要测量如图所示的蓝洞的口径A,B 两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点C,D ，测得CD =45m ，∠ADB =135∘，∠BDC =∠DCA =15∘，∠ACB =120∘，则AB 两点的距离为______．14. 如图，A ，B 两点在河的同侧，且A ，B 两点均不可到达，要测出A ，B 的距离，测量者可以在河岸边选定两点C ，D ，若测得CD =4 km ，∠ADB =∠CDB =30°，∠ACD =60°，∠ACB =45°，则A ，B 两点间的距离是_______km ．三、解答题（本大题共4小题，共30分）15. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c 且ccosB +bcosC =3acosB ．(1)求cos B 的值；(2)若|CA ⃗⃗⃗⃗⃗ −CB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2，△ABC 的面积为2√2，求边b ．16. 在①2acosC +c =2b ，②cos 2B−C 2−cosBcosC =34，③(sinB +sinC)2=sin 2A +3sinBsinC 这三个条件中任选一个补充在下面的横线上，并加以解答． 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且 ． (1)求角A 的大小；(2)若a =2，求△ABC 面积的最大值．17. 设a ，b ，c 分别为△ABC 的内角A ，B ，C 的对边，m⃗⃗⃗ =(cos C2,sin C2)，n ⃗ =(cos C2,−sin C2)，m ⃗⃗⃗ 与n ⃗ 的夹角为π3． (1)求角C 的大小；(2)已知c =72，△ABC 的面积S =3√32，求a +b 的值．18. 某农场有一块等腰直角三角形的空地ABC ，其中斜边BC 的长度为400米，为迎接“五一”观光游，欲在边界BC 上选择一点P ，修建观赏小径PM 、PN ，其中M 、N 分别在边界AB 、AC 上，小径PM 、PN 与边界BC 的夹角都为60°，区域PMB 和区域PNC 内种植郁金香，区域AMPN 内种植月季花．(1)探究：观赏小径PM 与PN 的长度之和是否为定值？请说明理由；(2)为深度体验观赏，准备在月季花区域内修建小径MN，当P点在何处时，三条小径(PM、PN、MN)的长度和最小？专题19 解三角形一、单选题（本大题共10小题，共50分）19.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若2acosC=b，则△ABC的形状是()A. 等腰直角三角形B. 直角三角形C. 等腰三角形D. 等边三角形【答案】C解：∵b=2acosC，∴由正弦定理得sinB=2sinAcosC，∵B=π−(A+C)，∴sin(A+C)=2sinAcosC，则sinAcosC+cosAsinC=2sinAcosC，sinAcosC−cosAsinC=0，即sin(A−C)=0，∵A、C∈(0,π)，∴A−C∈(−π,π)，则A−C=0，∴A=C，∴△ABC是等腰三角形．故选：C．20.如图，在△ABC中，点D在边AB上，CD⊥BC，AC=5√3，CD=5，BD=2AD，则AD的长为()A. 4B. 5C. 6D. 7【答案】B【解析】解：设AD=t，可得BD=2t，BC=√4t2−25，在直角三角形BCD中，可得cosB=√4t2−252t，在三角形ABC中，可得cosB=222⋅3t⋅√4t2−25，即为√4t2−252t =222⋅3t⋅√4t2−25，即2(4t2−25)=9t2−75，解得t=5，可得AD=5，故选：B．21.海上有A、B两个小岛相距10海里，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，则B，C间的距离是()A. 10√3海里B. 10√63海里 C. 5√2海里 D. 5√6海里【答案】D【解析】解：由题意可得，A=60°，B=75°，∠C=180°−60°−75°=45°根据正弦定理可得，BCsin60°=ABsin45°∴BC=10×√32√22=5√6故选D.22.在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若角A、C、B成等差数列，角C的角平分线交AB于点D，且CD=√3，a=3b，则c的值为()A. 3B. 72C. 4√73D. 2√3【答案】C【解析】解：由题意，得由S△ABC=S△ACD+S△BCD，得，所以ab=a+b，(b=0舍去)，所以3b2=4b，解得b=43故a=3b=4，故c=√a2+b2−2ab·cosC=4√73故选C．23.如图，要测量电视塔AB的高度，在C点测得塔顶A的仰角是π，在D点测得塔顶A4的仰角是π，水平面上的，则电视塔AB的高度为6（）mA. 20B. 30C. 40D. 50【答案】A【解析】解：由题题意，设AB=x，则BD=√3x，BC=x在△DBC中，∠BCD=60°，CD=40，∴根据余弦定理，得BD2=BC2+CD2−2BC⋅CD⋅cos∠DCB即：(√3x)2=(40)2+x2−2×40⋅x⋅cos60°整理得x2+20x−800=0，解之得x=−40(舍去)或x=20即所求电视塔的高度为20米．故选A．24.为测出小区的面积，进行了一些测量工作，所得数据如图所示，则小区的面积为( )A.B. 3−√6km24C.D. 6−√34km2【答案】D【解析】解：如图连接AC，根据余弦定理可得AC2=AB2+BC2−2AB×BCcosB=3，即AC=√3，由于AC2+BC2=AB2，所以∠ACB=90°,∠BAC=30°，所以∠DAC=45°−30°=15°，∠DCA=105°−90°=15°，所以∠DAC=∠DCA所以△ADC为等腰三角形，设AD=DC=x，∠D=150°，由余弦定理x2+x2+√3x2=3⇒x2=3(2−√3)，故所求面积为12×1×√3+12×3(2−√3)×12=6−√34．故选D．25.已知直三棱柱ABC−A1B1C1的底面是正三角形，AB=2√3，D是侧面BCC1B1的中心，球O与该三棱柱的所有面均相切，则直线AD被球O截得的弦长为()A. √1010B. √105C. 3√1010D. 3√105【答案】D【解析】解：因为球O与直三棱柱ABC−A1B1C1的所有面均相切，且直三棱柱ABC−A1B1C1的底面是正三角形，所以球心O为该三棱柱上、下底面三角形重心连线的中点，如图所示，设球O的球心为O，底面三角形ABC的重心为O′，连接OO′，则OO′⊥底面ABC．设BC的中点为E，连接AE，易知点O′在AE上，连接OD、DE，因为D是侧面BB1C1C的中心，所以四边形OO′ED为正方形，设球O的半径为r，则由AB=2√3，可得r=2√3×√32×13=1，易得AD=√3√32)=√10，连接OA，可得OA=√23)=√5，∴cos ∠ADO=DO2+AD2−AO22⋅DO⋅AD =3√1010，故所求弦长为2r⋅cos ∠ADO=3√105．故选D．26.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若直线bx+ycos A+cos B=0与ax+ycos B+cos A=0平行，则△ABC一定是()A. 锐角三角形B. 等腰三角形C. 直角三角形D. 等腰或者直角三角形【答案】C【解析】解：∵直线bx+ycosA+cosB=0与ax+ycosB+cosA=0平行，∴ba =cosAcosB，解得bcosB=acosA，∴利用余弦定理可得：b×a2+c2−b22ac =a×b2+c2−a22bc，整理可得：c2(b2−a2)=(b2+a2)(b2−a2)，∴解得：c2=a2+b2或b=a，而当a=b时，两直线重合，不满足题意；则△ABC是直角三角形．故选C．27.海伦不仅是古希腊的数学家，还是一位优秀的测绘工程师．在他的著作《测地术》中最早出现了已知三边求三角形面积的公式，即著名的海伦公式S=√p(p−a)(p−b)(p−c)，这里p=12(a+b+c)，a，b，c分别为▵ABC的三个角A，B，C所对的边，该公式具有轮换对称的特点，形式很美．已知▵ABC中，p=12，c=9，cosA=23，则该三角形内切圆半径()A. √2B. √3C. √10D. √5【答案】D【解析】解：因为p=12(a+b+c)，所以a+b+c=2p，因为p=12，c=9，所以a+b=15，三角形的内切圆半径r=2Sa+b+c，由余弦定理得cos A=b2+c2−a2 2bc =23，所以(b−a)(b+a)+81=12b，即b−5a=−27，所以a=7，b=8，所以S=√p(p−a)(p−b)(p−c)=√12×(12−7)(12−8)(12−9)=12√5，所以r=√5，故选D28.在ΔABC中，若1sinA +1sinB=2(1tanA+1tanB)，则()A. C的最大值为π3B. C的最大值为2π3C. C的最小值为π3D. C的最小值为π6【答案】A【解析】解：因为1sin A +1sin B=2(1tan A+1tan B)，所以1sin A +1sin B=2(cosAsinA+cosBsin B)，所以sin A+sin Bsin Asin B =2·(sin BcosA+cosBsinA)sin Asin B=2·sin(A+B)sin Asin B =2·sinCsin Asin B，所以sinA+sinB=2sinC，由正弦定理得到：a+b=2c，所以cosC=a2+b2−c22ab =a2+b2−(a+b2)22ab=34a2+34b2−12ab2ab⩾34·2ab−12ab2ab=12，当且仅当a=b时“=”成立，所以，则C的最大值为π3．故选A．二、单空题（本大题共4小题，共20分）29.如图，在离地面高200m的热气球上，观测到山顶C处的仰角为15∘、山脚A处的俯角为45∘，已知∠BAC=60∘，则山的高度BC为______m．【答案】300【解析】解：根据题意，可得Rt△AMD中，∠MAD=45°，MD=200，∴AM=MDsin45°=200√2．∵△MAC中，∠AMC=45°+15°=60°，∠MAC=180°−45°−60°=75°，∴∠MCA=180°−∠AMC−∠MAC=45°，由正弦定理，得AC=MAsin∠AMCsin∠MCA =200√2×√32√22=200√3，在Rt△ABC中，BC=ACsin∠BAC=200√3×√32=300m．故答案为300．30.在四边形ABCD中，AB=6，BC=CD=4，DA=2，则四边形ABCD的面积的最大值是______．【答案】8√3【解析】解：如图所示，AB=6，BC=CD=4，DA=2，设BD=x，在△ABD中，由余弦定理可得x2=22+62−2×2×6cosA=40−24cosA，在△BCD中，由余弦定理可得x2=32−32cosC，联立可得3cosA−4cosC=1，①又四边形ABCD面积S=12×4×4sinC+12×2×6sinA，即4sinC+3sinA=12S，②①2+②2可得9+16+24(sinAsinC−cosAcosC)=1+14S2，化简可得−24cos(A+C)=14S2−24，由于−1≤cos(A+C)≤1，∴−24≤14S2−24≤24，∴0≤S2≤192，解得S≤8√3，当cos(A+C)=−1即A+C=π时取等号，∴S的最大值为8√3．故答案为：8√3．31.海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞.若要测量如图所示的蓝洞的口径A,B两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点C,D，测得CD=45m，∠ADB=135∘，∠BDC=∠DCA=15∘，∠ACB=120∘，则AB两点的距离为______．【答案】45√5【解析】解：易知在△ACD中，∠DAC=180°−∠ADB−∠BDC−∠ACD=15°，∴△ACD为等腰三角形，则AD=CD=45，在△BCD中，∠CBD=180°−∠BDC−∠ACD−∠ACB=30°，∠BCD=120°+15°= 135°，所以由正弦定理得，即45sin30°=BDsin135°，得BD=45√2，在△ABD中，由余弦定理得=452+(45√2)2−2×45×45√2×(−√22)=452×5，所以AB=45√5，即A，B两点的距离为45√5，故答案为45√5．32.如图，A，B两点在河的同侧，且A，B两点均不可到达，要测出A，B的距离，测量者可以在河岸边选定两点C，D，若测得CD=4km，∠ADB=∠CDB=30°，∠ACD=60°，∠ACB=45°，则A，B两点间的距离是_______km．【答案】2√2【解析】由于CD=4km，∠ADB=∠CDB=30∘，∠ACD=60∘，∠ACB=45∘，所以∠DAC=180°−30°−30°−60°=60°，∠DBC=180°−30°−60°−45°=45°，在三角形ADC 中，由正弦定理得4sin∠DAC =ADsin∠ACD ，所以AD =4sin60°sin60°=4，在三角形BCD 中，由正弦定理得BDsin∠BCD =4sin∠DBC ， 所以BD =4×sin(60°+45°)sin45°=2√3+2，在三角形ABD 中由余弦定理得到AB 2=42+(2√3+2)2−2×4×(2√3+2)cos30°=8， 所以AB =2√2， 故答案为2√2．三、解答题（本大题共4小题，共30分）33. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c 且ccosB +bcosC =3acosB ．(1)求cos B 的值；(2)若|CA⃗⃗⃗⃗⃗ −CB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2，△ABC 的面积为2√2，求边b ． 【答案】解：(1)由正弦定理asinA =bsinB =csinC ， 即ccosB +bcosC =3acosB ，得sinCcosB +sinBcosC =3sinAcosB ，则有3sinAcosB =sin(B +C)=sin(π−A)=sinA ． 又A ∈(0,π)，则sinA >0，则．(2)因为B ∈(0,π)，则sinB >0，．因为|CA ⃗⃗⃗⃗⃗ −CB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|BA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=c =2，所以S =12acsinB =12a ×2×2√23=2√2，得a =3．由余弦定理，则b =3．34. 在①2acosC +c =2b ，②cos 2B−C 2−cosBcosC =34，③(sinB +sinC)2=sin 2A +3sinBsinC 这三个条件中任选一个补充在下面的横线上，并加以解答． 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且 ． (1)求角A 的大小；(2)若a =2，求△ABC 面积的最大值． 【答案】解：(1)选①，由正弦定理得2sin Acos C +sin C =2sin B ，所以2sin Acos C +sin C =2sin (A +C)=2(sin Acos C +cos Asin C)，即sin C(2cos A −1)=0，又C ∈(0,π)，所以sin C >0，所以cos A =12，又A ∈(0,π)，从而得A =π3． 选②，因为cos 2 B−C 2−cosBcosC =1+cos (B−C )2−cosBcosC=1−cosBcosC+sinBsinC2=1−cos(B+C)2=34，所以cos(B +C)=−12，cosA =−cos(B +C)=12，又因为A ∈(0,π)，所以A =π3． 选③因为(sinB +sinC)2=sin 2A +3sinBsinC ， 所以sin 2B +sin 2C +2sinBsinC =sin 2A +3sinBsinC ， 即sin 2B +sin 2C −sin 2A =sinBsinC ， 所以由正弦定理得b 2+c 2−a 2=bc ，由余弦定理知cosA =b 2+c 2−a 22bc =12，因为A ∈(0,π)，所以A =π3．(2)由(1)得A =π3，又a =2，由余弦定理得a 2=b 2+c 2−2bccos A =b 2+c 2−bc ⩾2bc −bc =bc ， 所以bc ⩽4，当且仅当b =c =2时取得等号，，所以△ABC 面积的最大值为√3．35. 设a ，b ，c 分别为△ABC 的内角A ，B ，C 的对边，m ⃗⃗⃗ =(cos C2,sin C2)，n ⃗ =(cos C2,−sin C2)，m ⃗⃗⃗ 与n ⃗ 的夹角为π3． (1)求角C 的大小；(2)已知c =72，△ABC 的面积S =3√32，求a +b 的值．【答案】解：(1)由已知，得．又∵|m⃗⃗⃗ |=|n ⃗ |=1， ．又∵0<C <π，∴C =π3．(2)由面积公式，得由余弦定理，得c 2=a 2+b 2−2abcosC ， 即494=a 2+b 2−ab.② ①②联立，解得a +b =112．36. 某农场有一块等腰直角三角形的空地ABC ，其中斜边BC 的长度为400米，为迎接“五一”观光游，欲在边界BC 上选择一点P ，修建观赏小径PM 、PN ，其中M 、N 分别在边界AB、AC上，小径PM、PN与边界BC的夹角都为60°，区域PMB和区域PNC内种植郁金香，区域AMPN内种植月季花．(1)探究：观赏小径PM与PN的长度之和是否为定值？请说明理由；(2)为深度体验观赏，准备在月季花区域内修建小径MN，当P点在何处时，三条小径(PM、PN、MN)的长度和最小？【答案】解：(1)在三角形BPM中由正弦定理可得：PM sin45∘=PBsin75∘，化简得PM=(√3−1)PB，同理可得PN=(√3−1)PC，∴PM+PN=(√3−1)(PB+PC)=(√3−1)BC=(√3−1)×400为定值．(2)在三角形PMN中，由余弦定理得MN2=PM2+PN2−2PM⋅PNcos60°=(PM+ PN)2−3PM⋅PN=160000(√3−1)2−3PM⋅PN≥160000(√3−1)2−3×(PM+PN2)2=160000(√3−1)2−3×[400(√3−1)2]2=40000(√3−1)2，∴MN≥200(√3−1)，当且仅当PM=PN，即P为BC的中点时，MN取得最小值200(√3−1)，∴P为BC的中点时，三条小径(PM、PN、MN)的长度和最小，且最小值为600(√3−1).。
解三角形专题高考题练习附答案
解三角形专题高考题练习附答案Revised on July 13, 2021 at 16:25 pm解三角形专题1、在ABC ∆中;已知内角3A π=;边BC =设内角B x =;面积为y .1求函数()y f x =的解析式和定义域；2求y 的最大值.3、在△ABC 中;角A 、B 、C 所对的边分别是a ;b ;c ;且.21222ac b c a =-+ 1求B CA 2cos 2sin 2++的值；2若b =2;求△ABC 面积的最大值． 4、在ABC ∆中;已知内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c;向量(2sin ,m B =;2cos 2,2cos 12B n B ⎛⎫=- ⎪⎝⎭;且//m n ..I 求锐角B 的大小；II 如果2b =;求ABC ∆的面积ABC S ∆的最大值.. 5、在△ABC 中;角A ;B ;C 的对边分别为a ;b ;c ;且.cos cos 3cos B c B a C b -= I 求cos B 的值；II 若2=⋅BC BA ;且22=b ;求c a 和b 的值.6、在ABC ∆中;cos 5A =;cos 10B =.Ⅰ求角C ；Ⅱ设AB =求ABC ∆的面积.7、在△ABC 中;A 、B 、C 所对边的长分别为a 、b 、c;已知向量(1,2sin )m A =;(sin ,1cos ),//,3.n A A m n b c a =++=满足I 求A 的大小；II 求)sin(6π+B 的值.8、△ABC 中;a ;b;c 分别是角A;B;C 的对边;且有sin2C+3cosA+B=0;.当13,4==c a ;求△ABC 的面积..9、在△ABC 中;角A 、B 、C 所对边分别为a ;b;c;已知11tan ,tan 23A B ==;且最长边的边长为l.求：I 角C 的大小；II △ABC 最短边的长.10、在△ABC 中;角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c.已知a+b=5;c=7;且.272cos 2sin 42=-+C B A 1求角C 的大小；2求△ABC 的面积. 11、已知△ABC 中;AB=4;AC=2;23ABC S ∆=. 1求△ABC 外接圆面积.2求cos2B+3π的值. 12、在ABC ∆中;角A B C 、、的对边分别为a b c 、、;(2,)b c a =-m ;(cos ,cos )A C =-n ;且⊥m n ..⑴求角A 的大小；⑵当22sin sin(2)6y B B π=++取最大值时;求角B 的大小13、在△ABC 中;角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ;若).(R k k BC BA AC AB ∈=⋅=⋅ Ⅰ判断△ABC 的形状；Ⅱ若k c 求,2=的值.14、在△ABC 中;a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边;且c o s c o s B C ba c=-+2. I 求角B 的大小；II 若b a c =+=134，;求△ABC 的面积. 15、2009全国卷Ⅰ理在ABC ∆中;内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ;已知222a c b -=;且sin cos 3cos sin ,A C A C =求b16、2009浙江在ABC ∆中;角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ;且满足25cos2A =;3AB AC ⋅=． I 求ABC ∆的面积；II 若6b c +=;求a 的值．17、6.2009北京理在ABC ∆中;角,,A B C 的对边分别为,,,3a b c B π=;4cos ,35A b ==.. Ⅰ求sin C 的值；Ⅱ求ABC ∆的面积.18、2009全国卷Ⅱ文设△ABC 的内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c;23cos )cos(=+-B C A ;ac b =2;求B. 19、2009安徽卷理在∆ABC 中;sin()1C A -=;sinB=13.I 求sinA 的值;II 设AC=6;求∆ABC 的面积. 20、2009江西卷文在△ABC 中;,,A B C 所对的边分别为,,a b c ;6A π=;(13)2c b +=．1求C ；2若13CB CA ⋅=+;求a ;b ;c ． 21、2009江西卷理△ABC 中;,,A B C 所对的边分别为,,a b c ;sin sin tan cos cos A BC A B+=+;sin()cos B A C -=.1求,A C ；2若33ABC S ∆=+;求,a c .21世纪教育网 22、2009天津卷文在ABC ∆中;A C AC BC sin 2sin ,3,5=== Ⅰ求AB 的值..Ⅱ求)42sin(π-A 的值..23、2010年高考天津卷理科7在△ABC 中;内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c;若223a b bc -=3sinB;则A=A30°B60°C120°D150°24．2010年高考全国2卷理数17本小题满分10分ABC ∆中;D 为边BC 上的一点;33BD =;5sin 13B =;3cos 5ADC ∠=;求AD 25．2010年高考浙江卷理科18在ABC 中;角A;B;C 所对的边分别为a;b;c;已知cos2C=-14.. Ⅰ求sinC 的值；Ⅱ当a=2;2sinA=sinC;求b 及c 的长.. 26、2010年高考广东卷理科16已知函数()sin(3)(0,(,),0f x A x A x ϕϕπ=+>∈-∞+∞<<在12x π=时取得最大值4．(1) 求()f x 的最小正周期；2 求()f x 的解析式； 3 若f23α +12π=125;求sin α． 27、2010年高考安徽卷理科16本小题满分12分设ABC ∆是锐角三角形;,,a b c 分别是内角,,A B C 所对边长;并且22sin sin() sin() sin 33A B B B ππ=+-+..Ⅰ求角A 的值；Ⅱ若12,AB AC a ==求,b c 其中b c <..答案：1.解：1ABC ∆的内角和A B C π++=2y =21sin()sin )32x x x x x π-=+当262x ππ-=即3x π=时;y 取得最大值2、解：1由正弦定理有：)60sin(||120sin 1sin ||00θθ-==AB BC ； ∴θsin 120sin 1||0=BC ;00120sin )60sin(||θ-=AB ； ∴→→•=BCAB f )(θ21)60sin(sin 340⋅-⋅=θθθθθsin )sin 21cos 23(32-=2由6562630ππθππθ<+<⇒<<；∴1)62sin(21≤+<πθ；∴)(θf ]61,0(∈ 3、解：1由余弦定理：conB=sin22A B++cos2B=-2由.415sin ,41cos ==B B 得∵b=2;a 2+c 2=ac+4≥2ac;得ac ≤38;S △ABC=acsinB ≤315a=c 时取等号故S △ABC 的最大值为3154、1解：m ∥n 2sinB2cos2－1＝－cos2B5、 2sinBcosB ＝－cos2B tan2B ＝－∵0＜2B ＜π;∴2B ＝;∴锐角B ＝ 2由tan2B ＝－ B ＝或①当B ＝时;已知b ＝2;由余弦定理;得：4＝a2＋c2－ac ≥2ac －ac ＝ac 当且仅当a ＝c ＝2时等号成立∵△ABC 的面积S △ABC ＝acsinB ＝ac ≤ ∴△ABC 的面积最大值为 ……1分 ②当B ＝时;已知b ＝2;由余弦定理;得：4＝a2＋c2＋ac ≥2ac ＋ac ＝2＋ac 当且仅当a ＝c ＝－时等号成立 ∴ac ≤42－ ……1分∵△ABC 的面积S △ABC ＝acsinB ＝ac ≤2－ ∴△ABC 的面积最大值为2－ 注：没有指明等号成立条件的不扣分.5、解：I 由正弦定理得C R c B R b A R a sin 2,sin 2,sin 2===;因此.31cos =B II 解：由2cos ,2==⋅B a BC BA 可得;所以a ＝c ＝6、Ⅰ解：由cos A =;cos B =;得02A B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭、，;所以sin sin A B ==因为cos cos[()]cos()cos cos sin sin C A B A B A B A B π=-+=-+=-+=且0C π<<故.4C π=Ⅱ解：根据正弦定理得sin sin sin sin AB AC AB B AC C BC ⋅=⇒==; 所以ABC ∆的面积为16sin .25AB AC A ⋅⋅= 7、解：1由m//n 得0cos 1sin 22=--A A ……2分即01cos cos 22=-+A A 1cos 21cos -==∴A A 或1cos ,-=∆A ABC A 的内角是 舍去3π=∴A2a c b 3=+由正弦定理;23sin 3sin sin ==+A C B8、解：由π=++=++C B A B A C 且0)cos(32sin有23sin 0cos ,0cos 3cos sin 2===-C C C C C 或所以由3,23sin ,,13,4π==<==C C a c c a 则所以只能有;由余弦定理31,034cos 22222===+-⋅-+=b b b b C ab b a c 或解得有 当.3sin 21,133sin 21,3=⋅===⋅==C ab S b C ab S b 时当时9、解：ItanC ＝tan π－A ＋B ＝－tanA ＋B 11tan tan 231111tan tan 123A B A B ++=-=-=---⨯∵0C π<<;∴34C π=II ∵0<tanB<tanA;∴A 、B 均为锐角;则B<A;又C 为钝角; ∴最短边为b ;最长边长为c由1tan 3B =;解得sin B =由sin sin b cB C =;∴1sin sin c Bb C⋅===10、解：1∵A+B+C=180°由272cos 2cos 4272cos 2sin 422=-=-+C C C B A 得∴27)1cos 2(2cos 142=--+⋅C C整理;得01cos 4cos 42=+-C C解得：21cos =C ……5分∵︒<<︒1800C ∴C=60°2解：由余弦定理得：c2=a2+b2－2abcosC;即7=a2+b2－ab∴ab b a 3)(72-+= 由条件a+b=5得7=25－3ab∴23323621sin 21=⨯⨯==∆C ab S ABC11、解：依题意;11sin 42sin 22ABCSAB AC A A A =⨯=⨯⨯==;所以3A π=或23A π=1当3A π=时△ABC 是直角三角形;其外接圆半径为2;面积为224ππ=当23A π=时;由余弦定理得22222cos 1648283BC AB AC AB AC π=+-=++=;△ABC 外接圆半径为R=2sin 3BC A=; 面积为283π2由1知3A π=或23A π=;当3A π=时;△ABC 是直角三角形;∴6B π=;cos2B+3π=cos 2132π=-当23A π=时;由正弦定理得;2,sin sin 14B B =∴=;cos2B+3π=cos2Bcos 3π-sin2Bsin 3π=1-2sin2Bcos 3π-2sinBcosBsin 3π=222111(1)21427⨯-⨯-=-12、解：⑴由⊥m n ;得0=m n ;从而(2)cos cos 0b c A a C --= 由正弦定理得2sin cos sin cos sin cos 0B A C A A C --=,(0,)A B π∈;∴1sin 0,cos 2B A ≠=;∴3A π=6分⑵22sin sin(2)(1cos 2)sin 2cos cos 2sin666y B B B B B πππ=++=-++ 由(1)得;270,2,366662B B ππππππ<<-<-<=∴2B -时;即3B π=时;y 取最大值213、解：I B ca BC BA A cb AC AB cos ,cos =⋅=⋅ 即0cos sin cos sin =-A B B AABC ∆∴为等腰三角形.II 由I 知b a =14、解：I 解法一：由正弦定理a A b B cC R s i n s i n s i n ===2得将上式代入已知c o s c o s c o s c o s s i n s i n s i n B C b a c B C BA C =-+=-+22得即20s i n c o s s i n c o s c o s s i n A B C B C B ++= 即20s i n c o s s i n ()A B B C ++=∵A B C B C A A B A ++=+=+=π，∴，∴sin()sin sin cos sin 20∵s i n c o s A B ≠，∴，012=- ∵B 为三角形的内角;∴B =23π.解法二：由余弦定理得c o s c o s B a c b a c C a b ca b =+-=+-22222222， 将上式代入c o s c o s B C b a c a c b a c a b a b c ba c =-++-+-=-+2222222222得×整理得a c b a c 222+-=-∴c o s B a c b a c a c a c =+-=-=-2222212∵B 为三角形内角;∴B =23πII 将b a c B =+==13423，，π代入余弦定理b a c a c B 2222=+-c o s 得b ac a c a c B 2222=+--()c o s ;∴131621123=--=a c a c ()，∴∴S a c B A B C △==12343s i n . 15、分析:此题事实上比较简单;但考生反应不知从何入手.对已知条件1222a c b -=左侧是二次的右侧是一次的;学生总感觉用余弦定理不好处理;而对已知条件2sin cos 3cos sin ,A C A C =过多的关注两角和与差的正弦公式;甚至有的学生还想用现在已经不再考的积化和差;导致找不到突破口而失分.解法一：在ABC ∆中sin cos 3cos sin ,A C A C =则由正弦定理及余弦定理有:2222223,22a b c b c a a c ab bc +-+-=化简并整理得：2222()a c b -=.又由已知222a c b -=24b b ∴=.解得40(b b ==或舍）.解法二:由余弦定理得:2222cos a c b bc A -=-.又222a c b -=;0b ≠.. 所以2cos 2b c A =+…………………………………①又sin cos 3cos sin A C A C =;sin cos cos sin 4cos sin A C A C A C ∴+=sin()4cos sin A C A C +=;即sin 4cos sin B A C =由正弦定理得sin sin b B C c =;故4cos b c A =………………………②由①;②解得4b =..16、解析：I 因为25cos 25A =;234cos 2cos 1,sin 255A A A ∴=-==;又由3AB AC ⋅=;得cos 3,bc A =5bc ∴=;1sin 22ABC S bc A ∆∴==21世纪教育网II 对于5bc =;又6b c +=;5,1b c ∴==或1,5b c ==;由余弦定理得2222cos 20a b c bc A =+-=;25a ∴=21世纪教育网17、解析本题主要考查三角形中的三角函数变换及求值、诱导公式、三角形的面积公式等基础知识;主要考查基本运算能力．Ⅰ∵A 、B 、C 为△ABC 的内角;且4,cos 35B A π==; ∴23,sin 35C A A π=-=; ∴231343sin sin sin 32C A A A π+⎛⎫=-=+= ⎪⎝⎭. Ⅱ由Ⅰ知3343sin ,sin 5A C +==; 又∵,33B b π==;∴在△ABC 中;由正弦定理;得∴sin 6sin 5b A a B ==.∴△ABC 的面积1163433693sin 32251050S ab C ++==⨯=. 18、解析：本题考查三角函数化简及解三角形的能力;关键是注意角的范围对角的三角函数值的制约;并利用正弦定理得到sinB=23负值舍掉;从而求出B=3π..解：由cosA -C+cosB=32及B=π-A+C 得cosA -C -cosA+C=32;cosAcosC+sinAsinC -cosAcosC -sinAsinC=32;sinAsinC=34. 又由2b =ac 及正弦定理得21世纪教育网故23sin 4B =;3sin 2B =或3sin 2B =-舍去;于是B=3π或B=23π.又由2b ac =知a b ≤或c b ≤所以B=3π.. 19、本小题主要考查三角恒等变换、正弦定理、解三角形等有关知识;考查运算求解能力..本小题满分12分解：Ⅰ由2C A π-=;且C A B π+=-;∴42B A π=-;∴2sin sin()sin )42222B B B A π=-=-; ∴211sin (1sin )23A B =-=;又sin 0A >;∴3sin A = Ⅱ如图;由正弦定理得sin sin AC BC B A = A BC∴36sin 3321sin 3AC A BC B •===;又sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+ ∴116sin 63232223ABC S AC BC C ∆=••=⨯⨯⨯=20、解：1由(13)2c b +=得13sin 2sin b B c C =+= 则有55sin()sin cos cos sin 666sin sin C C C C C ππππ---==1313cot 2222C +=+ 得cot 1C =即4C π=.2由13CB CA ⋅=cos 13ab C =+4C π=;即得2132ab =+则有2132(13)2sin sin ab c b a c A C =+⎪⎪+=⎨⎪⎪=⎪⎩解得2132a b c ⎧=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩21、解：1因为sin sin tan cos cos A B C A B +=+;即sin sin sin cos cos cos C A B C A B +=+; 所以sin cos sin cos cos sin cos sin C A C B C A C B +=+;即sin cos cos sin cos sin sin cos C A C A C B C B -=-;得sin()sin()C A B C -=-.所以C A B C -=-;或()C A B C π-=--不成立.即2C A B =+;得3C π=;所以.23B A π+=又因为1sin()cos 2B A C -==;则6B A π-=;或56B A π-=舍去 得5,412A B ππ==2162sin 3328ABC S ac B ac ∆+===+;又sin sin a c A C =;即2322a c =;21世纪教育网 得22,2 3.a c ==22、解析1解：在ABC ∆中;根据正弦定理;A BC C AB sin sin =;于是522sin sin ===BC A BC C AB2解：在ABC ∆中;根据余弦定理;得AC AB BC AC AB A •-+=2cos 222于是A A 2cos 1sin -==55;从而53sin cos 2cos ,54cos sin 22sin 22=-===A A A A A A 23、解析由3sinB 结合正弦定理得：3c b =;所以由于余弦定理得： 2(23323223b b b b b =⨯32;所以A=30°;选A..。
2024年高考数学复习大题全题型专练：专题07 解三角形(解析版)
专题7解三角形一、解答题1．（2022·全国·高考真题（理））记ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知sin sin()sin sin()C A B B C A ．(1)证明：2222a b c ；(2)若255,cos 31a A ，求ABC 的周长．【答案】(1)见解析(2)14【解析】【分析】（1）利用两角差的正弦公式化简，再根据正弦定理和余弦定理化角为边，从而即可得证；（2）根据（1）的结论结合余弦定理求出bc ，从而可求得b c ，即可得解.(1)证明：因为 sin sin sin sin C A B B C A ，所以sin sin cos sin sin cos sin sin cos sin sin cos C A B C B A B C A B A C ，所以2222222222222a c b b c a a b c ac bc ab ac bc ab，即22222222222a c b a b c b c a ，所以2222a b c ；(2)解：因为255,cos 31a A，由（1）得2250b c ，由余弦定理可得2222cos a b c bc A ，则50502531bc ，所以312bc，故 2222503181b c b c bc ，所以9b c ，所以ABC 的周长为14a b c .2．（2022·全国·高考真题）记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos sin 21sin 1cos 2A B A B．(1)若23C ，求B ；(2)求222a b c 的最小值．【答案】(1)π6；(2)5．【解析】【分析】（1）根据二倍角公式以及两角差的余弦公式可将cos sin 21sin 1cos 2A B A B 化成 cos sin A B B ，再结合π02B ，即可求出；（2）由（1）知，π2C B ，π22A B ，再利用正弦定理以及二倍角公式将222a b c 化成2224cos 5cos B B ，然后利用基本不等式即可解出．(1)因为2cos sin 22sin cos sin 1sin 1cos 22cos cos A B B B B A B B B ，即 1sin cos cos sin sin cos cos 2B A B A B A BC ，而π02B ，所以π6B ；(2)由（1）知，sin cos 0BC ，所以πππ,022C B ，而πsin cos sin 2B C C，所以π2C B ，即有π22A B ．所以222222222sin sin cos 21cos sin cos a b A B B B c C B2222222cos 11cos 24cos 555cos cos B B B BB ．当且仅当22cos 2B 时取等号，所以222a b c的最小值为5．3．（2022·浙江·高考真题）在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c．已知34,cos 5a C ．(1)求sin A 的值；(2)若11b ，求ABC 的面积．【答案】(2)22．【解析】【分析】（1）先由平方关系求出sin C ，再根据正弦定理即可解出；（2）根据余弦定理的推论222cos 2a b c C ab以及4a 可解出a ，即可由三角形面积公式in 12s S ab C 求出面积．(1)由于3cos 5C ，0πC ，则4sin 5C．因为4a ，由正弦定理知4sin A C，则sin 45A C ．(2)因为4a ，由余弦定理，得2222221612111355cos 22225a a a abc C ab a a ，即26550a a ，解得5a ，而4sin 5C ，11b ，所以ABC 的面积114sin 51122225S ab C ．4．（2022·北京·高考真题）在ABC 中，sin 2C C．(1)求C ；(2)若6b ，且ABC 的面积为ABC 的周长．【答案】(1)6 (2)6+【解析】【分析】（1）利用二倍角的正弦公式化简可得cos C 的值，结合角C 的取值范围可求得角C 的值；（2）利用三角形的面积公式可求得a 的值，由余弦定理可求得c 的值，即可求得ABC 的周长.(1)解：因为 0,C ，则sin 0C2sin cos C C C ，可得cos 2C ，因此，6C .(2)解：由三角形的面积公式可得13sin 22ABC S ab C a，解得a .由余弦定理可得2222cos 48362612c a b ab C ，c所以，ABC 的周长为6a b c .5．（2022·全国·高考真题）记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，分别以a ，b ，c 为边长的三个正三角形的面积依次为123,,S S S ，已知12313S S S B．(1)求ABC 的面积；(2)若sin sin A C，求b ．【答案】(2)12【解析】【分析】（1）先表示出123,,S S S ，再由123S S S2222a c b ，结合余弦定理及平方关系求得ac ，再由面积公式求解即可；（2）由正弦定理得22sin sin sin b ac B A C，即可求解.(1)由题意得22221231,,2S a S S，则222123S S S a b c 即2222a c b ，由余弦定理得222cos 2a c b B ac ，整理得cos 1ac B ，则cos 0B ，又1sin 3B ，则22cos 3B ，1cos 4ac B ，则12sin 28ABC S ac B ；(2)由正弦定理得：sin sin sin b a c B A C，则229sin sin sin sin sin 423b a c ac B A C A C ，则3sin 2b B ，31sin 22b B .6．（2022·全国·高考真题（文））记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ﹐已知 sin sin sin sin C A B B C A ．(1)若2A B ，求C ；(2)证明：2222a b c 【答案】(1)5π8；(2)证明见解析．【解析】【分析】（1）根据题意可得， sin sin C C A ，再结合三角形内角和定理即可解出；（2）由题意利用两角差的正弦公式展开得 sin sin cos cos sin sin sin cos cos sin C A B A B B C A C A ，再根据正弦定理，余弦定理化简即可证出．(1)由2A B ， sin sin sin sin C A B B C A 可得， sin sin sin sin C B B C A ，而π02B ，所以 sin 0,1B ，即有 sin sin 0C C A ，而0π,0πC C A ，显然C C A ，所以，πC C A ，而2A B ，πA B C ，所以5π8C．(2)由 sin sin sin sin C A B B C A 可得，sin sin cos cos sin sin sin cos cos sin C A B A B B C A C A ，再由正弦定理可得，cos cos cos cos ac B bc A bc A ab C ，然后根据余弦定理可知，22222222222211112222a cb bc a b c a a b c ，化简得：2222a b c ，故原等式成立．7．（2022·上海·高考真题）如图，矩形ABCD 区域内，D 处有一棵古树，为保护古树，以D 为圆心，DA 为半径划定圆D 作为保护区域，已知30AB m ，15AD m ，点E 为AB 上的动点，点F 为CD 上的动点，满足EF 与圆D 相切.(1)若∠ADE 20 ，求EF 的长；(2)当点E 在AB 的什么位置时，梯形FEBC 的面积有最大值，最大面积为多少？（长度精确到0.1m ，面积精确到0.01m²）【答案】(1)23.3m(2)当8.7AE 时，梯形FEBC 的面积有最大值,最大值为255.14【解析】【分析】（1）设EF 与圆D 相切于对点H ，连接DH ，则DH EF ，15DH AD ，在直角HED △和直角FHD △中分别求出,EH HF ,从而得出答案.（2）先求出梯形AEFD 的面积的最小值，从而得出梯形FEBC 的面积的最大值.(1)设EF 与圆D 相切于对点H ，连接DH ，则DH EF ，15DH AD 则AE EH ，所以直角ADE 与直角HED △全等所以20ADE HDE在直角HED △中，tan 2015tan 20EH DH90250HDF ADE在直角FHD △中，tan 5015tan 50HF ADsin 20sin 5015tan 20tan 5015cos 20cos50EF EH HFsin 2050sin 20cos50cos 20sin 501515cos 20cos50cos 20cos50sin 70151523.3cos 20cos50cos50(2)设ADE ,902HDF ，则15tan AE ，15tan 902FH 115151515tan 15tan 90215tan 222tan 2EFD S EF DHV 11515tan 22ADE S AD AE V 所以梯形AEFD 的面积为215152251tan 30tan 2tan 2tan 222tan ADE DEF S S S22512253tan 4tan 42当且当13tan tan ，即tan 时取得等号，此时15tan 158.73AE即当tan 3 时，梯形AEFD 的面积取得最小值2则此时梯形FEBC 的面积有最大值1530255.142所以当8.7AE 时，梯形FEBC 的面积有最大值,最大值为255.148．（2022·全国·模拟预测）在 ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，其面积为S ，且 sin sin sin 6b a b c A B C S .(1)求角B 的大小；(2)若1a b ，2c b ，求cos A ，cos C 的值.【答案】(1)3(2)17，1114【解析】【分析】（1）由三角形的面积公式结合正弦余弦定理化简即可得到答案;（2）由余弦定理计算即可.(1)由in 12s S ab C ，又 sin sin sin 3sin b a b c A B C ab C ，由0b ，则 sin sin sin 3sin a b c A B C a C .由正弦定理得 3a b c a b c ac ，所以222a c b ac .由余弦定理得2221cos 222a cb ac B ac ac ，因为0B ，所以3B .(2)因为222a c b ac ，1a b ，2c b ，所以 2221212b b b b b ，解得7b ，所以8a ，5c .所以2222227581cos 2707b c a A bc ，22222287511cos 211214a b c C ab .9．（2022·全国·模拟预测）在ABC 中，角A B C ，，的对边长分别为a b c ，，，ABC 的面积为S ，且24cos cos tan S a B ab A B．(1)求角B 的大小；(2)若322AB BC ，，点D 在边AC 上，______，求BD 的长．请在①AD DC ；②DBC DBA ；③BD AC 这三个条件中选择一个，补充在上面的横线上，并完成解答．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】(1)π3B (2)答案不唯一，具体见解析【解析】【分析】（1）根据面积公式可得2cos cos cos c B a B b A ，利用正弦定理以及和角关系可得1cos 2B ，进而可求.（2）根据余弦定理可求出AC ，然后在ABD △和在DBC △中分别用余弦定理即可求①.根据面积公式即可求解②③.(1)因为24cos cos tan S a B ab A B ，所以214sin 2cos cos sin cos ac B a B ab A B B，所以22cos cos cos ac B a B ab A ，即2cos cos cos c B a B b A ．由正弦定理，得2sin cos sin cos sin cos C B A B B A ，所以 2sin cos sin sin C B A B C ．因为 0,πC ，所以sin 0C ，所以1cos 2B．又 0,πB ，所以π3B．(2)若选①．法一：在ABC 中，由余弦定理，得2222233π132cos 222cos 2234AC AB BC AB BC B ，所以ACAD DC 在ABD △中，由余弦定理，得2222cos AB BD DA BD DA ADB ，即2134cos 16BD BD ADB ．在DBC △中，由余弦定理，得2222cos BC BD DC BD DC CDB ，即2913cos 416BD CDB ．又πADB CDB ，所以cos cos 0ADB CDB ．所以29134248BD ，所以374BD ．法二：因为AD DC ，所以D 为AC 的中点，所以 12BD BA BC ，所以222124BD BA BC BA BC 19337422cos6044216．所以BD BD 若选②．在ABC 中，ABC ABD CBD S S S ，即1π1π1πsin sin sin 232626BA BC BA BD BD BC ，即1311131222222222BD BD ，解得BD 若选③．在ABC 中，由余弦定理，得2222cos AC AB BC AB BC B2233π13222cos 2234 ，所以AC ．因为1sin 2ABC S BA BC B △12ABC S BD AC △，BD 10．（2022·全国·模拟预测）在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，cos 2cos tan sin C A B C ，a b ．(1)求角B ；(2)若3a ，7b ，D 为AC 边的中点，求BCD △的面积．【答案】(1)23B (2)1538【解析】【分析】（1）根据同角三角函数的关系，结合两角和差的正余弦公式化简即可（2）由余弦定理可得5c ，再根据BCD △的面积为ABC 面积的一半，结合三角形的面积公式求解即可(1)由cos 2cos tan sin C A B C，有tan sin cos 2cos B C C A ，两边同乘cos B 得sin sin cos cos 2cos cos B C B C A B ，故 cos 2cos cos B C A B ，即cos 2cos cos A A B ．因为a b ，所以A 为锐角，cos 0A ，所以1cos 2B ．又因为 0,B ，所以23B ．(2)在ABC 中，由余弦定理2221cos 22a c b B ac ，即2949162c c ，故23400c c ，解得5c 或8c 舍）．故11235sin 223BCD ABC S S △△11．（2022·福建·三明一中模拟预测）已知ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且22cos c b a C ．(1)求角A ；(2)若M 为BC 的中点，AM ABC 面积的最大值．【答案】(1)π3A 【解析】【分析】（1）解法一：根据正弦定理边化角求解即可；解法二：利用余弦定理将cos C 用边表示再化简即可；（2）解法一：根据基底向量的方法得1()2AM AB AC ，两边平方化简后可得2212b c bc ，再结合基本不等式与面积公式求面积最大值即可；解法二：设BM MC m ，再分别在ABM ，ACM △和ABC 中用余弦定理，结合cos cos 0AMB AMC 可得2212b c bc ，再结合基本不等式与面积公式求面积最大值即可(1)解法一：因为22cos c b a C ，由正弦定理得：sin 2sin 2sin cos C B A C ，所以sin 2sin()2sin cos C A C A C 2sin cos 2cos sin 2sin cos 2cos sin A C A C A C A C ，因为sin 0C ，所以12cos 1,cos 2A A，为0πA ，所以π3A ．解法二：因为22cos c b a C ，由余弦定理得：222222a b c c b a ab，整理得222bc b c a ，即222a b c bc ，又由余弦定理得2222cos a b c bc A所以12cos 1,cos 2A A，因为0πA ，所以π3A ．(2)解法一：因为M 为BC 的中点，所以1()2AM AB AC ，所以222124AM AB AB AC AC ，即22132cos 43c b bc ，即2212b c bc ，而222b c bc ，所以122bc bc 即4bc ，当且仅当2b c 时等号成立所以ABC 的面积为113sin 4222ABC S bc A △即ABC 解法二：设BM MC m ，在ABM 中，由余弦定理得2232cos c m AMB ，①在ACM △中，由余弦定理得2232cos b m AMC ，②因为πAMB AMC ，所以cos cos 0AMB AMC 所以①+②式得22262b c m ．③在ABC 中，由余弦定理得22242cos m b c bc A ，而π3A ，所以2224m b c bc ，④联立③④得：22222212b c b c bc ，即2212b c bc ，而222b c bc ，所以122bc bc ，即4bc ，当且仅当2b c 时等号成立．所以ABC 的面积为11sin 4222ABC S bc A △ABC 12．（2022·北京市第十二中学三模）ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知cos sin a B A .(1)求角B 的大小；(2)从以下4个条件中选择2个作为已知条件，使三角形存在且唯一确定，并求ABC 的面积.条件①：3a ；条件②：b ；条件③：2cos 3C ；条件④：2c .【答案】(1)6B(2)答案不唯一，见解析【解析】【分析】（1）由正弦定理化简可得出tan B 的值，结合角B 的取值范围可求得角B 的值；（2）选①②，利用余弦定理可判断ABC 不唯一；选①③或②③或③④，利用三角形的内角和定理可判断ABC 唯一，利用正弦定理结合三角形的面积可判断ABC 的面积；选①④，直接判断ABC 唯一，再利用三角形的面积公式可求得ABC 的面积；选②④，利用余弦定理可判断ABC 唯一，再利用三角形的面积公式可求得ABC 的面积.(1)解：由cos sin a B A 及正弦定理可得sin cos sin A B A B ，A ∵、 0,B ，则sin 0A ，cos 0 B B ，tanB 6B .(2)解：若选①②，由余弦定理可得2222cos b a c ac B ，即210c ，解得 c ，此时，ABC 不唯一；若选①③，已知3a ，6B，21cos 32C ，且 0,C ，则25,36C ，所以，5,6B C，则ABC 唯一，sin C， sin sin sin cos cos sin 66A C B C C由正弦定理sin sin b a B A 可得 92sin sin 11a B b A，所以， 9211sin 32211ABC S ab C △；若选①④，已知3a ，6B，2c ，此时ABC 唯一，1322sin ABC S ac B；若选②③，已知b 6B ，21cos 32C，且 0,C ，则25,36C ，所以，5,6B C，则ABC 唯一，sin C， sin sin sin cos cos sin 66A CBC C 由正弦定理sin sin b c B C 可得sin 410sin 3b C c B ，所以，120385sin 29ABC S bc A △；若选②④，已知b 6B，2c ，由余弦定理可得2222cos b a c ac B ，可得240a ，0a ∵，解得a ABC 唯一，1sin2ABC S ac B △若选③④，已知6B ，2c ，231cos 322C，且 0,C ，则25,36C ，所以，5,6B C，则ABC 唯一，5sin 3C， 152sin sin sin cos cos sin 666A CBC C ，由正弦定理sin sin b c B C 可得sin sin 5c B b C ，1sin 210ABC S bc A △.13．（2022·内蒙古·海拉尔第二中学模拟预测（文））在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c ，且sin cos (cos )sin .232B BC C (1)当π3B，求sin sin C A 的值(2)求B 的最大值.【答案】(1)sin C +sin A =1(2)2π3【解析】【分析】（1）代入π3B ，解得313sin cos 223C C ，对sin sin C A 变形得到1sin sin sin cos 12C A C C ，求出答案；（2）对题干条件两边同乘以2cos2B ，变形得到sin sin sin C A B ，利用正弦定理得到a c ，利用余弦定理和基本不等式求出B 的最大值.(1)由题意得：ππsin coscos )sin 66C C ，1cos 2C C则π31sin sin sin sin sin cos sin cos 1322C A C C C C C C(2)sin cos cos )sin 22B B C C ，两边同乘以2cos 2B 得：22sin cos cos )2sin cos 222B B B C C ，即 sin 1cos cos )sin C B C B ，整理得：sin sin sin C A B ，由正弦定理得：3a cb ，由余弦定理得： 2222222cos 1226ac b ac a c b b B ac ac ac，因为 22143a c acb ，当且仅当ac 时等号成立，此时21cos 162b B ac ，由于 0,πB ，而cos y x 在 0,π上单调递减，故B 的最大值为2π314．（2022·广东·大埔县虎山中学模拟预测）在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且222ab a b c ．(1)求角C ；(2)若△ABC 的面积534S ，且c △ABC 的周长．【答案】(1)π3(2)6【解析】【分析】（1）利用余弦定理求得cos C 的值，进而求得角C 的值；（2）依据题给条件得到关于a b ，的方程组，求得+a b 的值，进而求得△ABC 的周长．(1)因为222ab a b c ，由余弦定理，得到2221cos 22a b c C ab ，又0πC ，所以π3C ；(2)因为△ABC 的面积4S ，且c π3C所以有221sin 212S ab C ab a b ，联立22526ab a b ，则6a b ，所以△ABC 的周长为6a b c 15．（2022·四川·宜宾市叙州区第一中学校模拟预测（理））已知ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，tan tan tan 0B C B C ．(1)求角A 的大小；(2)若2B D D C ，2AD ，且AD 平分BAC ，求ABC 的面积．【答案】(1)60A (2)332【解析】【分析】（1）由两角和的正切公式化简后求解（2）由AD 是角平分线得到2c b ，再利用面积公式求解(1)tan tantan tan tan tan 0tan()1tan tan B C B C B C B C B C故tan A 60A ；(2)设BC 边的高为h ，所以11sin 22ABD S AB AD BAD BD h ，11sin 22ABC S AC AD DAC CD h 又AD 是角平分线，所以BAD DAC所以AB BD AC DC，即2c b ，又ABC ABD ACD S S S ，则111sin 602sin 302sin 30222bc c b ，解得b c ，133sin 6022ABC S bc △．16．（2022·全国·模拟预测）在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，3a ，2b ，sin A m ．(1)若ABC 唯一确定，求m 的值；(2)设I 是ABC 的内切圆圆心，r 是ABC 内切圆半径，证明：当21c r 时，IC IA IB ．【答案】(1)1(2)证明见解析【解析】【分析】（1）若01m ，根据sin A m ，b a ，可知A 可以为锐角，也可以为钝角，ABC 有两种情况，若1m ，则三角形为直角三角形，ABC 有唯一解.（2）由21c r 可推导出ABC 为直角三角形，故可计算出,,IC IA IB 的值，即得证.(1)设AB 边上的高为c h ，则sin 20c h b A m ．当1m 时，由勾股定理，若A 为锐角，则c A 为钝角，则c ABC 存在两种情况，不能被唯一确定．当1m 时，ABC 为直角三角形，其中A 为直角顶点，c 可以唯一确定，即ABC 唯一确定，故m 的值为1．(2)当21c r 时，由余弦定理，22223cos 23a b c r r C ab ，故由同角三角函数的关系可得sin C所以ABC 的面积1sin 2S ab C另一方面， 132S a b c r r r3r r ，两边平方可得 213r r r r ，解得r ，21c r ABC 是以A 为直角顶点的直角三角形．因此有222112922IC，IC22211322IA 2IA ；22211322IB ，IB 所以有IC IA IB 成立．17．（2022·上海市光明中学模拟预测）已知在三角形ABC 中，2a b ，三角形的面积12S ．(1)若4b ，求 tan A B ；(2)若3sin 5C ，求sin sin A B ，．【答案】(1)(2)25sin 5A ，sin B 或6205sin 205A ，sin B 【解析】【分析】（1）根据面积公式及4b ，得到3sin 4C ，分C 为锐角和C 为钝角时，求出cos C ，进而求出tan C ，求出 tan A B ；（2）由面积公式求出b a ，分C 为锐角和C 为钝角，由余弦定理和正弦定理求出答案.(1)∵2113sin 2sin 16sin 12sin 224S ab C b C C C 而sin tan()tan(π)tan cos CA B C C C分情况讨论，当C 为锐角时，cos 0cos C C∴tan()A B当C 为钝角时，cos 0cos C Ctan()A B (2)22113sin 2sin 12225S ab C b C b ,因为0b ，所以b a分情况讨论，当C 为锐角时，4cos 0cos 5C C由余弦定理，222cos 366c a b ab C c由正弦定理，10sin sin sin sin sin sin 5a b c A A B C A B ，sin 5B当C 为钝角时，4cos 0cos 5C C ，由余弦定理，222cos 164c a b ab C c由正弦定理，sin sin sin sin a b c A A B C，sin B 18．（2022·辽宁·渤海大学附属高级中学模拟预测）ABC 的内角A 、B 、C 所对边的长分别为a 、b 、c，已知cos sin B b C ．(1)求C 的大小；(2)若ABC为锐角三角形且c 22a b 的取值范围．【答案】(1)3C(2)(5,6]【解析】【分析】（1）利用正弦定理边化角，再分析求解即可；（2）22224sin 4sin 3a b A A，再利用三角函数求值域即可.(1)cos sin B b C及正弦定理可得sin sin sin )B C B C A B Ccos sin B C B C ，所以sin sin cos B C B C ，因为B 、(0,)C ，则sin 0Bsin 0C C，则tan C 3C．(2)依题意，ABC为锐角三角形且c2sin sin sin a b c A B C ，所以2sin a A ，2sin 2sin()2sin 3b B A C A，所以222221cos 21cos 234sin 4sin 44322A A a b A A142cos 2222cos 222c 2cos 2222os 23A A A A A2c 42co os 242sin 246s 2cos 2sin 2A A A A A A，由于23A B ，所以022032A A，解得62A ，所以23A ，52666A ，所以푠� 2�∈12,1，所以2sin 2(1,2]6A ，所以2sin 24(5,6]6A．所以22a b 的取值范围是(5,6]．19．（2022·辽宁实验中学模拟预测）在① sin sin sin sin A C a b c B C ，② 2222cos 2a b c a c B a，③ sin cos 6a B C B b这三个条件中选一个，补充在下面问题中，并解答．已知ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且__________．(1)求B(2)若b ABC 的平分线交AC 于点D ，且5BD，求ABC 的面积．【答案】(1)=3B【解析】【分析】（1）若选条件①，先用正弦定理将角转化为边的关系，再利用余弦定理即可；若选条件②，先用余弦定理将边转化为角的关系，再利用正弦定理即可；若选条件③，先用三角形的内角之和为 ，再利用正弦定理即可；（2）利用角平分线的性质得到ABC ABD BCD S S S △△△，结合余弦定理和三角形的面积公式即可(1)选择条件①：根据正弦定理，可得：a c abc b c 可得：222a c b ac 根据余弦定理，可得：2221cos 22a cb B ac 0,,=3B B 选择条件②：根据余弦定理，可得：2cos (2)cos =cos 2abC a c B b C a根据正弦定理，可得：(2sin sin )cos sin cos A C B B C整理可得：2sin cos sin()sin A B B C A可得：1cos 2B 0,,=3B B选择条件③：易知：A B C可得：sin cos()6a A B b根据正弦定理，可得：sin sin cos(sin 6A A B B可得：1sin cos()sin 62B B B B整理可得：tan B 0,,=3B B(2)根据题意，可得：ABC ABD BCDS S S △△△可得：1143143sin sin sin 23256256ac a 整理可得：54a c ac 根据余弦定理，可得：2222cosb ac ac ABC可得：2213=a c ac ，即2()313a c ac 可得：225()482080ac ac 解得：4ac 或5225ac （舍）故1=sin 23ABC S ac △20．（2022·全国·南京外国语学校模拟预测）在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且5sin sin 35cos cos cos 2B C B C A ．(1)求角A 的大小；(2)若a 2bc 的最大值．【答案】(1)3A (2)【解析】【分析】（1）利用两角和的余弦公式、二倍角的余弦公式可得出关于cos A 的方程，结合1cos 1A 可求得cos A 的值，再结合角A 的取值范围可求得角A 的值；（2）由正弦定理结合三角恒等变换化简得出 2b c B ，结合正弦型函数的有界性可求得2b c 的最大值.(1)解：由已知可得 cos 25cos cos sin sin cos 25cos A B C B C A B C 2cos 25cos 2cos 5cos 13A A A A ，即22cos 5cos 20A A ，0A ∵，则1cos 1A ，解得1cos 2A ，因此，3A .(2)解：由正弦定理可得2sin sin sin b c aBC A，所以， 24sin 2sin 4sin 2sin 4sin 2sin 3b c B C B B A B B 4sin sin 5sin B B B B B B，其中 为锐角，且tan，因为3A ，则203B ，23B ，所以，当2B 时，即当2B 时，2b c 取得最大值。
(完整版)高考解三角形大题(30道)
专题精选习题——--解三角形1.在ABC ∆中,内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,,已知bac B C A -=-2cos cos 2cos . （1）求ACsin sin 的值; （2）若2,41cos ==b B ,求ABC ∆的面积S 。
2.在ABC ∆中,角C B A ,,的对边分别是c b a ,,，已知2sin 1cos sin C C C -=+。
（1）求C sin 的值；（2）若8)(422-+=+b a b a ，求边c 的值.3.在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别是c b a ,,。
（1）若A A cos 2)6sin(=+π，求A 的值；（2）若c b A 3,31cos ==，求C sin 的值.4。
ABC ∆中,D 为边BC 上的一点，53cos ,135sin ,33=∠==ADC B BD ，求AD 。
5。
在ABC ∆中,角C B A ,,的对边分别是c b a ,,,已知41cos ,2,1===C b a 。
（1）求ABC ∆的周长; （2）求)cos(C A -的值.6.在ABC ∆中,角C B A ,,的对边分别是c b a ,,.已知)(sin sin sin R p B p C A ∈=+，且241b ac =. （1）当1,45==b p 时，求c a ,的值; （2）若角B 为锐角，求p 的取值范围。
7.在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别是c b a ,,。
且C b c B c b A a sin )2(sin )2(sin 2+++=。
（1）求A 的值;（2）求C B sin sin +的最大值。
8.在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别是c b a ,,，已知412cos -=C 。
（1）求C sin 的值；（2）当C A a sin sin 2,2==时，求c b ,的长。
ABC ∆b c C a =+21cos 9.在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别是c b a ,,,且满足3,5522cos =⋅=AC AB A . （1）求ABC ∆的面积；（2）若6=+c b ，求a 的值.10.在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别是c b a ,,,22)4cos()4cos(=-++ππC C . （1）求角C 的大小；（2）若32=c ,B A sin 2sin =，求b a ,.11.在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别是c b a ,,，且. （1）求角A 的大小；（2）若1=a ，求ABC ∆的周长l 的取值范围.12.在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别是c b a ,,,且满足0cos cos )2(=--C a A c b 。
理科数学历年高考真题分类训练附答案解析之12解三角形
专题四 三角函数与解三角形第十二讲 解三角形2019年1.(2019全国Ⅰ理17)ABC △的内角A ,B ,C的对边分别为a ,b ,c ,设22(sin sin )sin sin sin B C A B C -=-.(1)求A ;(2)若22a b c +=,求sin C .2.(2019全国Ⅱ理15)ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .若π6,2,3b ac B ===,则ABC △的面积为__________.3.(2019全国Ⅲ理18)△ABC 的内角A ､B ､C 的对边分别为a ､b ､c ,已知sin sin 2A Ca b A +=. (1)求B ;(2)若△ABC 为锐角三角形,且c =1,求△ABC 面积的取值范围.4.(2019江苏12)如图,在ABC △中,D 是BC 的中点,E 在边AB 上,BE =2EA ,AD 与CE 交于点O .若6AB AC AO EC ⋅=⋅,则ABAC的值是 .5.(2019江苏15)在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c . (1)若a =3c ,b 2B =23,求c 的值; (2)若sin cos 2A B a b =,求sin()2B π+的值. 6.(2019浙江14)在ABC △中,90ABC ∠=︒,4AB =,3BC =,点D 在线段AC 上,若45BDC ∠=︒,则BD =____,cos ABD ∠=________.7.(2019北京15)在ABC △中,a =3,b -c =2 ,1cos 2B =- . (Ⅰ)求b ,c 的值; (Ⅱ)求sin(B -C ) 的值.8.(2019天津理15)在ABC △中,内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知2b c a +=,3sin 4sin c B a C =.(Ⅰ)求cos B 的值; (Ⅱ)求sin 26B π⎛⎫+⎪⎝⎭的值. 2010-2018年一､选择题1.(2018全国卷Ⅱ)在△ABC 中,cos 2=C ,1=BC ,5=AC ,则=ABA. D.2.(2018全国卷Ⅲ)ABC ∆的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若ABC ∆的面积为2224a b c +-,则C =A.2πB.3π C.4π D.6π 3.(2017山东)在ABC ∆中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .若ABC ∆为锐角三角形,且满足sin (12cos )2sin cos cos sin B C A C A C +=+,则下列等式成立的是A.2a b =B.2b a =C.2A B =D.2B A = 4.(2016年天津)在ABC ∆中,若AB BC =3,120C ∠= ,则AC =A.1B.2C.3D.45.(2016年全国III)在ABC △中,π4B,BC 边上的高等于13BC ,则cos AC.10D.3106.(2014新课标Ⅱ)钝角三角形ABC 的面积是12,1AB =,BC =则AC =A.5C.2D.17.(2014重庆)已知ABC ∆的内角A ,B ,C 满足sin 2sin()A A B C +-+=sin()C A B --12+,面积S 满足12S ≤≤,记a ,b ,c 分别为A ,B ,C 所对的边,则下列不等式一定成立的是A.8)(>+c b bcB.()ab a b +>C.126≤≤abcD.1224abc ≤≤ 8.(2014江西)在ABC ∆中,a ,b ,c 分别为内角A ,B ,C 所对的边长,若22()6c a b =-+,3C π=,则ABC ∆的面积是A.3B.239 C.233 D.33 9.(2014四川)如图,从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ,C 的俯角分别为75,30,此时气球的高是60cm ,则河流的宽度BC 等于A.1)mB.1)mC.1)mD.1)m 10.(2013新课标Ⅰ)已知锐角ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,223cos A +cos20A =,7a =,6c =,则b =A.10B.9C.8D.511.(2013辽宁)在ABC ∆,内角,,A B C 所对的边长分别为,,a b c .若sin cos a B C +1sin cos 2c B A b =,且a b >,则B ∠=A.6πB.3πC.23πD.56π12.(2013天津)在△ABC 中,,3,4AB BC ABC π∠===则sin BAC ∠=13. (2013陕西)设△ABC 的内角A , B , C 所对的边分别为a , b , c , 若cos cos sin b C c B a A +=,则△ABC 的形状为A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不确定14.(2012广东)在ABC ∆中,若60,45,A B BC ︒︒∠=∠==则AC =A. B. 15.(2011辽宁)△ABC 的三个内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,2sin cos cos a A B b A +=,则=abA. B.16.(2011天津)如图,在△ABC 中,D 是边AC 上的点,且,2AB AD AB ==,2BC BD =,则sin C 的值为CA.3 B.6 C.3 D.616.(2010湖南)在ABC ∆中,角,,A B C 所对的边长分别为,,a b c .若120C ∠=,c =,则A.a b >B.a b <C.a b =D.a 与b 的大小关系不能确定 二､填空题18.(2018江苏)在ABC △中,角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,120ABC ∠=︒,ABC ∠的平分线交AC 于点D ,且1BD =,则4a c +的最小值为 .19.(2018浙江)在ABC ∆中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c .若a =2b =,60A =,则sin B =___________,c =___________.20.(2017浙江)已知ABC ∆,4AB AC ==,2BC =. 点D 为AB 延长线上一点,2BD =,连结CD ,则BDC ∆的面积是___________,cos BDC ∠=__________.21.(2017浙江)我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率π,理论上能把π的值计算到任意精度｡祖冲之继承并发展了“割圆术”,将π的值精确到小数点后七位,其结果领先世界一千多年,“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积6S ,6S = . 22.(2016年全国II)ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,若4cos 5A =, 5cos 13C =,1a =,则b = . 23.(2015广东)设ABC ∆的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .若3a =,1sin 2B =,6C π=,则b = . 24.(2015福建)若锐角ABC ∆的面积为103,且5AB =,8AC =,则BC 等于 .25.(2015新课标Ⅰ)在平面四边形ABCD 中,75A B C ∠=∠=∠=,2BC =,则AB 的取值范围是_______.26.(2015北京)在ABC △中,4a =,5b =,6c =,则sin 2sin AC= .27.(2015天津)在ABC ∆中,内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,已知ABC ∆的面积为315,2b c -=,1cos 4A =-,则a 的值为 .28.(2015湖北)如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30的方向上,行驶600m 后到达B 处,测得此山顶在西偏北75的方向上,仰角为30,则此山的高度CD = m.29.(2014新课标Ⅰ)如图,为测量山高MN ,选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点.从A 点测得M 点的仰角60MAN ∠=︒,C 点的仰角45CAB ∠=︒以及75MAC ∠=︒;从C 点测得60MCA ∠=︒.已知山高100BC m =,则山高MN =____m .30.(2014广东)在ABC ∆中,角C B A ,,所对应的边分别为c b a ,,.已知cos b C +cos 2c B b =,则=ba. 31.(2013安徽)设ABC ∆的内角,,A B C 所对边的长分别为,,a b c .若2b c a +=,则3sin 5sin ,A B =则角C =_____.32.(2013福建)如图ABC ∆中,已知点D 在BC边上,AD ⊥AC,sinBAC ∠=, AB =3AD =,则BD 的长为_______________.C33.(2012安徽)设ABC ∆的内角,,A B C 所对的边为,,a b c ;则下列命题正确的是 .①若2ab c >;则3C π<②若2a b c +>;则3C π<③若333a b c +=;则2C π<④若()2a b c ab +<;则2C π>⑤若22222()2a b c a b +<;则3C π>34.(2012北京)在ABC ∆中,若12,7,cos 4a b c B =+==-,则b = . 35.(2011新课标)ABC ∆中,60,B AC =︒=,则AB +2BC 的最大值为____.36.(2011新课标)ABC ∆中,120,7,5B AC AB =︒==,则ABC ∆的面积为_ __. 37.(2010江苏)在锐角三角形ABC ,a ,b ,c 分别为内角A ,B ,C 所对的边长,6cos b a C a b +=,则tan tan tan tan C CA B+=_______.38.(2010山东)在ABC ∆中,角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,若2a b ==,sin cos B B +=则角A 的大小为 .三､解答题39.(2018北京)在ABC ∆中,7a =,8b =,1cos 7B =-. (1)求A ∠;(2)求AC 边上的高.40.(2018全国卷Ⅰ)在平面四边形ABCD 中,90ADC ∠=,45A ∠=,2AB =,5BD =.(1)求cos ADB ∠;(2)若DC =求BC .41.(2018天津)在ABC △中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c .已知sin cos()6b A a B π=-.(1)求角B 的大小;(2)设2a =,3c =,求b 和sin(2)A B -的值.42.(2017新课标Ⅰ)ABC ∆的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知ABC ∆的面积为23sin a A(1)求sin sin B C ;(2)若6cos cos 1B C =,3a =,求ABC ∆的周长.43.(2017新课标Ⅲ)ABC ∆的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知sin 0A A =,a =2b =. (1)求c ;(2)设D 为BC 边上一点,且AD ⊥AC ,求ABD ∆的面积. 44.(2017新课标Ⅱ)ABC ∆的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知2sin()8sin 2B AC +=. (1)求cos B(2)若6a c +=,ABC ∆面积为2,求b .45.(2017天津)在ABC △中,内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知a b >,5a =,6c =,3sin 5B =.(Ⅰ)求b 和sin A 的值; (Ⅱ)求πsin(2)4A +的值. 46.(2017北京)在ABC ∆中,A ∠=60°,37c a =. (Ⅰ)求sin C 的值;(Ⅱ)若7a =,求ABC ∆的面积.47.(2016年山东)在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知tan tan 2(tan tan ).cos cos A BA B B A+=+ (Ⅰ)证明:2a b c +=; (Ⅱ)求cos C 的最小值.48.(2016年四川)在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c ,且cos cos sin A B Ca b c+=. (I)证明:sin sin sin A B C =; (II)若22265b c a bc +-=,求tan B . 49.(2016年全国I)ABC △的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知2cos (cos cos ).C a B+b A c =(I)求C ;(II)若c ABC △=的面积为2,求ABC △的周长. 50.(2015新课标2)∆ABC 中,D 是BC 上的点,AD 平分∠BAC ,∆ABD 面积是∆ADC 面积的2倍.(Ⅰ)求sin sin BC;(Ⅱ) 若AD =1,DC ,求BD 和AC 的长. 51.(2015湖南)设ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,tan a b A =,且B 为钝角.(1)证明:2B A π-=;(2)求sin sin A C +的取值范围.52.(2014山东)ABC ∆中,a ,b ,c 分别为内角A ,B ,C 所对的边长.已知63,cos ,32a A B A π===+. (I)求b 的值;(II)求ABC ∆的面积.53.(2014安徽)设ABC ∆的内角,,A B C 所对边的长分别是,,a b c ,且3b =,1c =,2A B =. (Ⅰ)求a 的值; (Ⅱ)求sin()4A π+的值.54.(2013新课标Ⅰ)如图,在△ABC 中,∠ABC =90°,AB = 3 ,BC =1,P 为△ABC 内一点,∠BPC =90°(Ⅰ)若PB =12,求P A ;(Ⅱ)若∠APB =150°,求tan ∠PBA .55.(2013新课标Ⅱ)ABC ∆在内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,已知cos sin a b C c B =+. (Ⅰ)求B ;(Ⅱ)若2b =,求△ABC 面积的最大值.56.(2012安徽)设△ABC 的内角C B A ,,所对边的长分别为,,a b c ,且有2sin cos B A =sin cos cos sin A C A C +.(Ⅰ)求角A 的大小;(Ⅱ) 若2b =,1c =,D 为BC 的中点,求AD 的长.57.(2012新课标)已知a ､b ､c 分别为ABC ∆三个内角A ､B ､C 的对边,cos a C +3sin 0a C b c --=.(Ⅰ)求A ;(Ⅱ)若2=a ,ABC ∆的面积为3,求b ､c .58.(2011山东)在△ABC 中,a ,b ,c 分别为内角A ,B ,C 所对的边长.已知cos 2cos 2cos A C c aB b --=. (I)求sin sin CA的值;(II)若1cos 4B =,2b =,ABC ∆的面积S .59.(2011安徽)在ABC ∆中,a ,b ,c 分别为内角A ,B ,C 所对的边长,a =3,b =2,12cos()0B C ++=,求边BC 上的高.60.(2010陕西)如图,A ,B 是海面上位于东西方向相距()533+海里的两个观测点,现位于A点北偏东45°,B 点北偏西60°的D 点有一艘轮船发出求救信号,位于B 点南偏西60°且与B 点相距203海里的C 点的救援船立即即前往营救,其航行速度为30海里/小时,该救援船到达D 点需要多长时间?61.(2010江苏)某兴趣小组测量电视塔AE 的高度H (单位:m),如示意图,垂直放置的标杆BC 的高度h =4m,仰角∠ABE =α,∠ADE =β.Hh dβαDB C(1)该小组已经测得一组α､β的值,tan α=1.24,tan β=1.20,请据此算出H 的值; (2)该小组分析若干测得的数据后,认为适当调整标杆到电视塔的距离d (单位:m),使α与β之差较大,可以提高测量精确度｡若电视塔的实际高度为125m,试问d 为多少时,α-β最大?专题四 三角函数与解三角形第十二讲 解三角形答案部分 2019年1.解:(1)由已知得222sin sin sin sin sin B C A B C +-=,故由正弦定理得222b c a bc +-=.由余弦定理得2221cos 22b c a A bc +-==. 因为0180A ︒︒<<,所以60A ︒=.(2)由(1)知120B C ︒=-,()sin 1202sin A C C ︒+-=,1sin 2sin 2C C C ++=,可得()cos 602C ︒+=-.由于0120C ︒︒<<,所以()sin 60C ︒+=,故 ()sin sin 6060C C ︒︒=+-()()sin 60cos60cos 60sin 60C C ︒︒︒︒=+-+=. 2.解析:由余弦定理有2222cos b a c ac B =+-, 因为6b =,2a c =,π3B =,所以222π36(2)4cos 3c c c =+-,所以212c =,21sin sin 2ABCS ac B c B ===△3.解析(1)由题设及正弦定理得sin sinsin sin 2A CA B A +=. 因为sin 0A ≠,所以sinsin 2A CB +=.由180A B C ︒++=,可得sincos 22A C B +=,故cos 2sin cos 222B B B=. 因为cos02B ≠,故1sin 22B =,因此60B =︒. (2)由题设及(1)知△ABC的面积4ABC S a =△. 由正弦定理得()sin 120sin 1sin sin 2tan 2C c A a C C C ︒-===+.由于ABC △为锐角三角形,故090A ︒<<︒,090C ︒<<︒,由(1)知120A C +=︒,所以3090C ︒<<︒,故122a <<,ABC S <<△. 因此,ABC △面积的取值范围是,82⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭.4.解析 设()2AD AB A AO C λλ==+,1()(1)3AO AE EO AE EC AE AC AE AE AC AB AC μμμμμμ-=+=+=+-=-+=+,所以1232λμλμ-⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,解得1214λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,所以11()24AO AD AB AC ==+,13EC AC AE AB AC =-=-+, 221131266()()()43233AO EC AB AC AB AC AB AB AC AC ⋅=⨯+⨯-+=-+⋅+=221322AB AB AC AC -+⋅+, 因为221322AB AC AB AB AC AC ⋅=-+⋅+,所以221322AB AC =,所以223AB AC=,所以ABAC= 5.解析 (1)由余弦定理222cos 2a c b B ac +-=,得2222(3)323c c c c +-=⨯⨯,即213c =.所以3c =. (2)因为sin cos 2A Ba b=, 由正弦定理sin sin a b A B =,得cos sin 2B Bb b=,所以cos 2sin B B =. 从而22cos (2sin )B B =,即()22cos 41cos B B =-,故24cos 5B =.因为sin 0B >,所以cos 2sin 0B B =>,从而25cos B =. 因此π25sin cos 2B B ⎛⎫+== ⎪⎝⎭. 6.解析:在直角三角形ABC 中,4AB =,3BC =,5AC =,4sin 5C =, 在BCD △中,sin sin BD BC C BDC=∠,可得122BD =;135CBD C ∠=-,224372sin sin(135)(cos sin )225510CBD C C C ⎛⎫∠=-=+=⨯+=⎪⎝⎭, 所以()72cos cos 90sin ABD CBD CBD ∠=-∠=∠=.7.解析:(I)由余弦定理2222cos b a c ac B =+-,得22213232b c c ⎛⎫=+-⨯⨯⨯-⎪⎝⎭. 因为2b c =+,所以()222123232c c c ⎛⎫+=+-⨯⨯⨯- ⎪⎝⎭.解得5c =, 所以7b =.(II)由1cos 2B =-得sin B =.由正弦定理得sin sin c C B b ==在ABC △中,B ∠是钝角,所以C ∠为锐角.所以11cos 14C ==. 所以()sin sin cos cos sin B C B C B C -=-=. 8.解析(Ⅰ)在ABC △中,由正弦定理sin sin b cB C=,得sin sin b C c B =,又由3sin 4sin c B a C =,得3sin 4sin b C a C =,即34b a =.又因为2b c a +=,得到43b a =,23c a =. 由余弦定理可得222222416199cos 22423a a a a cb B a a +-+-===-⋅⋅.(Ⅱ)由(Ⅰ)可得sin B ==,从而sin 22sin cos B B B ==227cos 2cos sin 8B B B =-=-,故πππ71sin 2sin 2cos cos 2sin 66682B B B ⎛⎫+=+=-⨯= ⎪⎝⎭.2010-2018年1.A 【解析】因为213cos 2cos121255=-=⨯-=-C C ,所以由余弦定理, 得22232cos 251251()325=+-⋅=+-⨯⨯⨯-=AB AC BC AC BC C ,所以=AB 故选A.2.C 【解析】根据题意及三角形的面积公式知2221sin 24a b c ab C +-=,所以222sin cos 2a b c C C ab +-==,所以在ABC ∆中,4C π=.故选C. 3.A 【解析】由sin (12cos )2sin cos cos sin B C A C A C +=+,得sin 2sin cos sin cos sin B B C A C B +=+,即2sin cos sin cos B C A C =,所以2sin sin B A =,即2b a =,选A. 4.A 【解析】由余弦定理得213931AC AC AC =++⇒=,选A. 5.C 【解析】设△ABC 中角A ,B ,C 的对边分别是a ,b ,c ,由题意可得1sin 342a c π==,则2a c =.在△ABC 中,由余弦定理可得222222295322b ac c c c c =+-=+-=,则b =. 由余弦定理,可得22222259cos 2c c c b c a A bc +-+-===故选C. 6.B 【解析】11sin 22AB BC B ⋅⋅=,∴sin 2B =,所以45B =或135B =. 当45B =时,1AC ==,此时1,AB AC BC ===易得90A =与“钝角三角形”矛盾;当135B =时,AC =7.A 【解析】因为A B C π++=,由1sin 2sin()sin()2A ABC C A B +-+=--+得1sin 2sin 2sin 22A B C ++=, 即1sin[()()]sin[()()]sin 22A B A B A B A B C ++-++--+=, 整理得1sin sin sin 8A B C =, 又111sin sin sin 222S ab C bc A ac B ===, 因此322222211sin sin sin 864S a b c A B C a b c ==,由12S ≤≤ 得222311264a b c ≤≤,即8abc ≤≤因此选项C ､D 不一定成立.又0b c a +>>,因此()8bc b c bc a +>⋅≥,即()8bc b c +>,选项A 一定成立.又0a b c +>>, 因此()8ab a b +>,显然不能得出()ab a b +>选项B 不一定成立.综上所述,选A.8.C 【解析】由22()6c a b =-+可得22226a b c ab +-=-①,由余弦定理及3C π=可得222a b c ab +-=②.所以由①②得6ab =,所以1sin 232ABC S ab π∆==. 9.C 【解析】∵tan15tan(6045)23=-=-,∴60tan 6060tan15120(31)BC =-=.10.D 【解析】225cos 10A -=,1cos 5A =,由余弦定理解得5b =. 11.A 【解析】边换角后约去sin B ,得1sin()2A C +=,所以1sin 2B =,但B 非最大角,所以6Bπ=.12.C 【解析】由余弦定理可得AC =再由正弦定理得sin 10A =. 13.B 【解析】∵cos cos sin bC c B a A +=,∴由正弦定理得2sin cos sin cos sin B C C B A +=,∴2sin()sin B C A +=,∴2sin sin A A =,∴sin 1A =,∴△ABC 是直角三角形.14.B【解析】由正弦定理得:sin sin sin 60sin 45BC AC ACAC A B ︒︒=⇔=⇔=15.D 【解析】由正弦定理,得22sin sin sin cos A B B AA +=,即22sin (sin cos )B A AA ⋅+=,sin B A=,∴sin sin b B a A==. 16.D 【解析】设AB c =,则ADc =,BD =,BC =,在ΔABD 中,由余弦定理得2222413cos 23c c c A c +-==,则sin A =,在ΔABC 中,由正弦定理得sin sin 3c BC C A ==,解得sin C =.17.A 【解析】因为120C ∠=,c =,所以2222cos c a b ab C =+-,222122()2a ab ab =+--所以22,0,aba b ab a b a b a b-=-=>>+ 因为0,0a b >>,所以0aba b a b-=>+,所以a b >.故选A.18.9【解析】因为120ABC ∠=︒,ABC ∠的平分线交AC 于点D ,所以60ABD CBD ∠=∠=,由三角形的面积公式可得111sin120sin 60sin 60222ac a c =+, 化简得ac a c =+,又0a >,0c >,所以111a c+=,则1144(4)()559c a a c a c a c a c +=++=+++=≥, 当且仅当2ca =时取等号,故4a c +的最小值为9. 19.7;3【解析】因为a =2b=,60A=,所以由正弦定理得2sin sin 7b AB a===.由余弦定理2222cos a b c bc A =+-可得2230c c--=,所以3c =., 2222224241cos 22424AB BC AC ABC AB BC +-+-∠===⨯⨯⨯⨯,由22sin cos 1ABC ABC∠+∠=所以sin ABC ∠===,1sin 2BDC S BD BC DBC ∆=⨯⨯∠ 11sin()sin 22BD BC ABC BD BC ABC π=⨯⨯-∠=⨯⨯∠1222=⨯⨯=.C因为BD BC =,所以D BCD ∠=∠,所以2ABC D BCD D ∠=∠+∠=∠,cos cos24ABC BDC ∠∠====.21.2【解析】单位圆内接正六边形是由6个边长为1的正三角形组成,所以 6133611sin 6022S =⨯⨯⨯⨯=.22.2113【解析】∵4cos 5A =,5cos 13C =,所以3sin 5A =,12sin 13C =, 所以()63sin sin sin cos cos sin 65B AC A C A C =+=+=, 由正弦定理得:sin sin b a B A =解得2113b =. 23.1 【解析】由1sin 2B =得6B π或56π,因为6C π,所以56B π≠,所以6Bπ,于是23A π=.有正弦定理,得21sin 32b π=,所以1b =. 24.7【解析】由已知得ABC∆的面积为1sin 20sin 2AB AC A A ⋅==所以sin 2A =,(0,)2A π∈,所以3A π=. 由余弦定理得2222cos BC AB AC AB AC A =+-⋅=49,7BC =.25.【解析】如图作PBC ∆,使75∠=∠=B C ,2BC,作出直线AD 分别交线段PB ､PC于A ､D 两点(不与端点重合),且使75∠=BAD ,则四边形ABCD 就是符合题意的四边形,过C 作AD 的平行线交PB 于点Q ,在PBC ∆中,可求得62BP ,在QBC ∆中,可求得BQ =,所以AB 的取值范围为.26.1【解析】∵2223cos 24b c a A bc +-==, 而sin 22sin cos 243cos 21sin sin 64A A A a A C C c ⨯==⨯=⨯⨯=. 27.8 【解析】 因为0Aπ<<,所以sin 4A ==,又1sin 28ABC S bc A ∆===24bc ∴=, 解方程组224b c bc -=⎧⎨=⎩,得6b =,4c =,由余弦定理得2222212cos 64264644a b c bc A ⎛⎫=+-=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭,所以8a =.28., 30=∠BAC ,105=∠ABC ,在ABC ∆中,由 180=∠+∠+∠ACB BAC ABC ,所以 45=∠ACB ,因为600=AB ,由正弦定理可得30sin 45sin 600BC=, 即2300=BC m,在BCD Rt ∆中,因为 30=∠CBD ,2300=BC , 所以230030tan CDBC CD ==,所以6100=CD m.29.150【解析】在三角形ABC 中,AC =,在三角形MAC 中,sin 60sin 45MA AC=,解得MA =在三角形MNA 中3sin 602==,故150MN =. 30.2【解析】由b B c C b 2cos cos =+得:sin cos sin cos 2sin B C C B B +=,即sin()2sin B C B +=,sin 2sin A B =,∴2a b =,故2ab=. 31.π32【解析】3sin 5sin A B =, π32212cos 2,53222=⇒-=-+=⇒=+=⇒C ab c b a C a c b b a ,所以π32.sin sin()cos 2BAC BAD BAD π∠=∠+=∠=∴根据余弦定理可得222cos 2AB AD BD BAD AB AD+-∠=•,2223BD ∴==33.①②③【解析】①222221cos 2223a b c ab ab ab c C C ab ab π+-->⇒=>=⇒< ②2222224()()12cos 2823a b c a b a b a b c C C ab ab π+-+-++>⇒=>≥⇒< ③当2C π≥时,22232233c a b c a c b c a b ≥+⇒≥+>+与333a b c +=矛盾④取2,1a b c ===满足()2a b c ab +<得:2C π<⑤取2,1a b c ===满足22222()2a b c a b +<得:3C π<.34.4【解析】根据余弦定理可得2214(7)22(7)()4b b b =+--⨯⨯-⨯-,解得b =4.35.【解析】 在ABC ∆中,根据sin sin sin AB AC BCC B A==,得sin sin 2sin sin ACAB C C C B=⋅==,同理2sin BC A =, 因此22sin 4sin AB BC C A +=+22sin 4sin()3C C π=+-4sin )C C C ϕ=+=+.【解析】根据sin sin AB ACC B=得5sin sin 7AB C B AC ===11cos 14C ==, 所以sin sin[()]sin cos cos sin A B C B C B C π=-+=+=11121421414⨯-⨯=. 37.4【解析】(方法一)考虑已知条件和所求结论对于角A ､B 和边a ､b 具有轮换性.当A =B 或a =b 时满足题意,此时有:1cos 3C =,21cos 1tan 21cos 2C C C -==+, tan22C =,1tan tan tan 2A B C===,tan tan tan tan C CA B+= 4. (方法二)226cos 6cos b aC ab C a b a b+=⇒=+, 2222222236,22a b c c ab a b a b ab +-⋅=++=tan tan sin cos sin sin cos sin sin()tan tan cos sin sin cos sin sin C C C B A B A C A B A B C A B C A B +++=⋅=⋅21sin cos sin sin C C A B =⋅.由正弦定理,得:上式22222214113cos ()662c c c c C ab a b =⋅===+⋅.38.6π【解析】由sin cos 2B B +=得12sin cos 2B B +=,即sin 21B =, 因02B π<<,所以2,24B B ππ==.又因为2,2,a b ==由正弦定理得22sin sin 4A π=, 解得1sin 2A =,而,a b <则04A B π<<=,故6a π=. 39.【解析】(1)在ABC ∆中,∵1cos 7B =-,∴(,)2B ππ∈,∴243sin 1cos B B =-=. 由正弦定理得sin sin a b A B=⇒7sin 437A =,∴3sin A =. ∵(,)2B ππ∈,∴(0,)2A π∈,∴π3A ∠=.(2)在ABC ∆中,∵sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+=31143()72⨯-+⨯=33. 如图所示,在ABC ∆中,∵sin hC BC=,∴sin h BC C =⋅=33337142⨯=, ∴AC 边上的高为332.40.【解析】(1)在ABD △中,由正弦定理得sin sin BD ABA ADB=∠∠. 由题设知,52sin 45sin ADB=︒∠,所以2sin 5ADB ∠=. 由题设知,90ADB ∠<︒,所以223cos 125ADB ∠=-=(2)由题设及(1)知,cos sin BDC ADB ∠=∠=在BCD △中,由余弦定理得2222cos BC BD DC BD DC BDC =+-⋅⋅⋅∠258255=+-⨯⨯25=. 所以5BC =.41.【解析】(1)在ABC △中,由正弦定理sin sin a bA B=,可得sin sin b A a B =, 又由πsin cos()6b A a B =-,得πsin cos()6a B a B =-,即πsin cos()6B B =-,可得tan B =又因为(0π)B ∈，,可得3B π=.(2)在ABC △中,由余弦定理及2a =,3c =,3B π=,有2222cos 7b a c ac B =+-=,故b =.由πsin cos()6b A a B =-,可得sin A =.因为a c <,故cos A =.因此sin 22sin cos A A A ==21cos 22cos 17A A =-=．所以,sin(2)sin 2cos cos 2sin A B A B A B -=-=11727214-⨯= 42.【解析】(1)由题设得21sin 23sin a ac B A =,即1sin 23sin ac B A=由正弦定理得1sin sin sin 23sin AC B A =. 故2sin sin 3B C =.(2)由题设及(1)得121cos()cos cos sin sin 632B C B C B C +=-=-=- 所以2π3B C +=,故π3A =. 由题设得21sin 23sin a bc A A=,即8bc =.由余弦定理得229b c bc +-=,即2()39b c bc +-=,得b c +=.故ABC △的周长为343.【解析】(1)由已知得tan A =,所以23A π=. 在ABC ∆中,由余弦定理得222844cos 3c c π=+-,即2+224=0c c -.解得6c =-(舍去),4c = (2)有题设可得2CAD π∠=,所以6BAD BAC CAD π∠=∠-∠=.故ABD ∆面积与ACD ∆面积的比值为1sin26112AB AD AC AD π⋅⋅=⋅. 又ABC ∆的面积为142sin 2BAC ⨯⨯∠=所以ABD ∆44.【解析】由题设及A B C π++=得2sin 8sin 2B B =,故sin 4(1cos )B B =-. 上式两边平方,整理得217cos 32cos 150B B -+=, 解得cos 1B =(舍去),15cos 17B =. (2)由15cos 17B =得8sin 17B =,故14sin 217ABC S ac B ac ∆==. 又2ABCS ∆=,则172ac =.由余弦定理及6a c +=得22222cos ()2(1cos )b a c ac B a c ac B =+-=+-+1715362(1)4217=-⨯⨯+=. 所以2b =.45.【解析】(Ⅰ)在ABC △中,因为a b >,故由3sin 5B =,可得4cos 5B =. 由已知及余弦定理,有2222cos 13b a c ac B =+-=,所以b =.由正弦定理sin sin a bA B=,得sin sin a B A b ==. 所以,bsin A的值为13.(Ⅱ)由(Ⅰ)及a c <,得cos A =,所以12sin 22sin cos 13A A A ==, 25cos 212sin 13A A =-=-.故πππsin(2)sin 2cos cos 2sin 444A A A +=+=. 46.【解析】(Ⅰ)在△ABC 中,因为60A ∠=︒,37c a =,所以由正弦定理得sin 3sin 7c A C a ==. (Ⅱ)因为37c a a =<,所以60C A ∠<∠=,由7a =,所以3737c =⨯=.由余弦定理2222cos a b c bc A =+-得222173232b b =+-⨯⨯, 解得8b =或5b =-(舍).所以△ABC的面积11sin 8322S bc A ==⨯⨯=47.【解析】(Ⅰ)由tan tan 2(tan tan )cos cos A BA B B A +=+得sin sin sin 2cos cos cos cos cos cos C A BA B A B A B⨯=+,所以C B C sin sin sin +=2,由正弦定理,得c b a 2=+.(Ⅱ)由abc ab b a ab c b a C 22222222--+=-+=)(cos22233311112222()2c c a b ab=--=-=+.所以C cos 的最小值为12.48.【解析】(I)证明:由正弦定理sin sin sin a b cA B C==可知 原式可以化解为cos cos sin 1sin sin sin A B CA B C+== ∵A 和B 为三角形内角 , ∴sin sin 0A B ≠则,两边同时乘以sin sin A B ,可得sin cos sin cos sin sin B A A B A B +=由和角公式可知,()()sin cos sin cos sin sin sin B A A B A B C C π+=+=-= 原式得证｡(II)由题22265b c a bc +-=,根据余弦定理可知,2223cos 25b c a A bc +-==∵A 为三角形内角,()0,A π∈,sin 0A >则4sin 5A =,即cos 3sin 4A A = 由(I)可知cos cos sin 1sin sin sin A B C A B C +==,∴cos 11sin tan 4B B B ==. ∴tan 4B =.49.【解析】(1)()2cos cos cos C a B b A c +=由正弦定理得:()2cos sin cos sin cos sin C A B B A C ⋅+⋅=()2cos sin sin C A B C ⋅+=∵πA B C ++=,()0πA B C ∈、、， ∴()sin sin 0A B C +=> ∴2cos 1C =,1cos 2C = ∵()0πC ∈， ∴π3C =. ⑵ 由余弦定理得:2222cos c a b ab C =+-⋅221722a b ab =+-⋅()237a b ab +-=1sin 2S ab C =⋅∴6ab = ∴()2187a b +-=5a b +=∴ABC △周长为5a b c ++=50.【解析】(Ⅰ)1sin 2ABD S AB AD BAD ∆=⋅∠ 1sin 2ADC S AC AD CAD ∆=⋅∠ 因为2ABD ADC S S ∆∆=,BAD CAD ∠=∠,所以2AB AC .由正弦定理可得sin 1sin 2B AC C AB ∠==∠.(Ⅱ)因为::ABD ADC S S BD DC ∆∆=,所以BD =在ABD ∆和ADC ∆中,由余弦定理得2222cos AB AD BD AD BD ADB =+-⋅∠,2222cos AC AD DC AD DC ADC =+-⋅∠.222222326AB AC AD BD DC +=++=.由(Ⅰ)知2AB AC =,所以1AC =.51.【解析】(1)由tan ab A 及正弦定理,得sin sin cos cos A b BA a B==, 所以sin cos BA ,即sin sin()2B A π.又B 为钝角,因此2π+A ∈(2π,π),故B =2π+A ,即B A =2π; (2)由(1)知,C =π(A +B )=π(2A +2π)=2π2A >0,所以A 0,4π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭, 于是sin sin sin sin(2)2A C A A π+=+-=sin cos2A A +=22sin sin 1A A -++=2192(sin )48A --+,因为0<A <4π,所以0<sin A <2,因此2<-22199sin 488A ≤⎛⎫-+ ⎪⎝⎭.由此可知sin sin A C +的取值范围是(2,98].52.【解析】(I)在ABC ∆中,由题意知sin A ==,又因为2B A π=+,所有sin sin()cos 23B A A π=+==,由正弦定理可得3sinsina BbA===(II)由2B Aπ=+得,cos cos()sin23B A Aπ=+=-=-,由A B Cπ++=,得()C A Bπ=-+.所以sin sin[()]sin()C A B A Bπ=-+=+sin cos cos sinA B A B=+(=+13=.因此,ABC∆的面积111sin32232S ab C==⨯⨯=.53.【解析】:(Ⅰ)∵2A B=,∴sin sin22sin cosA B B B==,由正弦定理得22222a c ba bac+-=⋅∵3,1b c==,∴212,a a==(Ⅱ)由余弦定理得22291121cos263b c aAbc+-+-===-,由于0Aπ<<,∴sin3A===,故1sin()sin cos cos sin()4443A A Aπππ+=+=-=54.【解析】(Ⅰ)由已知得,∠PBC=o60,∴∠PBA=30o,在△PBA中,由余弦定理得2PA=o1132cos3042+-=74,∴;(Ⅱ)设∠PBA=α,由已知得,PB=sinα,在△PBA中,由正弦定理得osinsin(30)αα=-,化简得4sinαα=,∴tan α=4,∴tan PBA ∠=4. 55.【解析】(Ⅰ)因为cos sin a b C c B =+,所以由正弦定理得:sin sin cos sin sin A B C C B =+,所以sin()sin cos sin sin B C B C C B +=+,即cos sin sin sin B C C B =,因为sin C ≠0,所以tan 1B =,解得B =4π; (Ⅱ)由余弦定理得:2222cos4b ac ac π=+-,即224a c =+,由不等式得:222a c ac +≥,当且仅当a c =时,取等号,所以4(2ac ≥,解得4ac ≤+,所以△ABC 的面积为1sin 24acπ(44≤+1,所以△ABC 面积的最大1.56.【解析】(Ⅰ),,(0,)sin()sin 0A C B A B A C B ππ+=-∈⇒+=>2sin cos sin cos cos sin sin()sin B A A C A C A C B =+=+=1cos 23A A π⇔=⇔=(II)2222222cos 2a b c bc A a b a c B π=+-⇔=⇒=+⇒=在Rt ABD ∆中,AD ===. 57.【解析】(1)由正弦定理得:cos sin 0sin cos sin sin sin a C C b c A C A C B C --=⇔=+sin cos sin sin()sin 1cos 1sin(30)2303060A C A C a C C A A A A A ︒︒︒︒⇔+=++⇔-=⇔-=⇔-=⇔=(2)1sin 42S bc A bc ==⇔= 2222cos 4a b c bc A b c =+-⇔+=,解得:2b c ==.58.【解析】(I)由正弦定理,设,sin sin sin a b ck A B C===则22sin sin 2sin sin ,sin sin c a k C k A C Ab k B B ---== 所以cos 2cos 2sin sin .cos sin A C C A B B--=即(cos 2cos )sin (2sin sin )cos A C B C A B -=-, 化简可得sin()2sin().A B B C +=+又A B C π++=, 所以sin 2sin C A =,因此sin 2.sin CA= (II)由sin 2sin CA=得2.c a = 由余弦定理222222112cos cos ,2,44.44b ac ac B B b a a a =+-==+-⨯及得4= 解得a =1.因此c =2.又因为1cos ,0.4B B π=<<且所以sin B =因此11sin 1222S ac B ==⨯⨯= 59.【解析】由A C B C B -=+=++π和0)cos(21,得.23sin ,21cos ,0cos 21===-A A A 再由正弦定理,得.22sin sin ==a Ab B .22sin 1cos ,2,,=-=<<<B B B B A B a b 从而不是最大角所以知由π由上述结果知).2123(22)sin(sin +=+=B A C 设边BC 上的高为h ,则有.213sin +==C b h60.【解析】由题意知(53AB =+海里,906030,45,DBA DAB ∠=︒-︒=︒∠=︒105ADB ∴∠=︒在DAB ∆中,由正弦定理得sin sin DB AB DAB ADB=∠∠sin sin AB DAB DB ADB •∠∴===∠2=海里),又30(9060)60,DBC DBA ABC BC ∠=∠+∠=︒+︒-︒=︒=, 在DBC ∆中,由余弦定理得2222cos CD BD BC BD BC DBC =+-••∠= 1300120029002+-⨯= CD ∴=30(海里),则需要的时间30130t ==(小时). 答:救援船到达D 点需要1小时.61.【解析】(1)tan tan H H AD AD ββ=⇒=,同理:tan H AB α=,tan h BD β=. AD —AB=DB,故得tan tan tan H H h βαβ-=,解得:tan 4 1.24124tan tan 1.24 1.20h H αβα⨯===--. 因此,算出的电视塔的高度H 是124m.(2)由题设知d AB =,得tan ,tan H H h H h d AD DB dαβ-====, 2tan tan tan()()1tan tan ()1H H h hd h d d H H h H H h d H H h d d d dαβαβαβ----====--+⋅+-+⋅+()H H h d d-+≥当且仅当d =,取等号)故当d =,tan()αβ-最大. 因为02πβα<<<,则02παβ<-<,所以当d =,α-β最大.故所求的d是。
(完整版)解三角形高考大题-带答案
解三角形高考大题，带答案1. （宁夏17）（本小题满分12分）如图，ACD △是等边三角形，ABC △是等腰直角三角形，90ACB =∠，BD 交AC 于E ，2AB =．（Ⅰ）求cos CAE ∠的值； （Ⅱ）求AE ．解：（Ⅰ）因为9060150BCD =+=∠，CB AC CD ==，所以15CBE =∠．所以6cos cos(4530)4CBE =-=∠． ···················································· 6分 （Ⅱ）在ABE △中，2AB =， 由正弦定理2sin(4515)sin(9015)AE =-+．故2sin 30cos15AE=124⨯== 12分2. （江苏17）（14分） 某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD 的顶点A 、B 及CD 的中点P 处，已知AB=20km ，BC=10km ，为了处理三家工厂的污水，现要在矩形ABCD 的区域上（含边界），且A 、B 与等距离的一点O 处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道AO 、BO 、OP ，设排污管道的总长为ykm 。
（1）按下列要求写出函数关系式：①设∠BAO=θ(rad )，将y 表示成θ的函数关系式； ②设OP=x (km )，将y 表示成x 的函数关系式；（2）请你选用（1）中的一个函数关系式，确定污水处理厂的位置，使三条排污管道总长度最短。
高三数学复习专题练习题：解三角形（含答案）
⾼三数学复习专题练习题：解三⾓形（含答案）⾼三数学复习专题练习：解三⾓形（含答案）⼀. 填空题（本⼤题共15个⼩题，每⼩题5分，共75分）1.在△ABC 中，若2cosBsinA=sinC,则△ABC ⼀定是三⾓形.2.在△ABC 中，A=120°,AB=5,BC=7，则CBsin sin 的值为 . 3.已知△ABC 的三边长分别为a,b,c,且⾯积S △ABC =41（b 2+c 2-a 2），则A= . 4.在△ABC 中，BC=2，B=3π，若△ABC 的⾯积为23，则tanC 为 . 5.在△ABC 中，a 2-c 2+b 2=ab,则C= .6.△ABC 中，若a 4+b 4+c 4=2c 2(a 2+b 2),则C= .7.在△ABC 中，⾓A ，B ，C 所对的边分别为a,b,c ，若a=1,b=7,c=3,则B= . 8.在△ABC 中，若∠C=60°，则c b a ++ac b+= . 9.如图所⽰，已知两座灯塔A 和B 与海洋观察站C 的距离都等于a km, 灯塔A 在观察站C 的北偏东20°，灯塔B 在观察站C 的南偏东40°，则灯塔A 与灯塔B 的距离为 km.10.⼀船⾃西向东匀速航⾏，上午10时到达⼀座灯塔P 的南偏西75°距塔68海⾥的M 处，下午2时到达这座灯塔的东南⽅向的N 处，则这只船的航⾏速度为海⾥/⼩时. 11. △ABC 的内⾓A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若c=2，b=6，B=120°,则a= .12. 在△ABC 中,⾓A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若（a 2+c 2-b 2）tanB=3ac ，则⾓B 的值为 . 13. ⼀船向正北航⾏，看见正西⽅向有相距10 海⾥的两个灯塔恰好与它在⼀条直线上，继续航⾏半⼩时后，看见⼀灯塔在船的南偏西600，另⼀灯塔在船的南偏西750，则这艘船是每⼩时航⾏________ 海⾥.14.在△ABC 中，A=60°，AB=5，BC=7，则△ABC 的⾯积为 .15.在△ABC 中，⾓A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c.若（3b-c ）cosA=acosC ，则cosA= .（资料由“⼴东考神”上传，如需更多⾼考复习资料，请上 tb ⽹搜“⼴东考神”）⼆、解答题（本⼤题共6个⼩题，共75分）1、已知△ABC 中，三个内⾓A ，B ，C 的对边分别为a,b,c,若△ABC 的⾯积为S ，且2S=（a+b ）2-c 2，求tanC 的值. （10分）2、在△ABC 中，⾓A ，B ，C 所对的边分别为a,b,c ，并且a 2=b(b+c). （11分）（1）求证：A=2B ；（2）若a=3b,判断△ABC 的形状.3、在△ABC 中，a 、b 、c 分别是⾓A ，B ，C 的对边，且C B cos cos =-ca b+2. (12分)（1）求⾓B 的⼤⼩；（2）若b=13，a+c=4，求△ABC 的⾯积.4、△ABC 中，⾓A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b 2+c 2-a 2+bc=0. (12分) （1）求⾓A 的⼤⼩；（2）若a=3，求bc 的最⼤值；（3）求cb C a --?)30sin(的值.5、已知△ABC 的周长为)12(4+，且sin sin B C A +=． (12分)（1）求边长a 的值；（2）若A S ABC sin 3=?，求A cos 的值．6、在某海岸A 处，发现北偏东 30⽅向，距离A 处）（13+n mile 的B 处有⼀艘⾛私船在A 处北偏西 15的⽅向，距离A 处6n mile 的C 处的缉私船奉命以35n mile/h 的速度追截⾛私船. 此时，⾛私船正以5 n mile/h 的速度从B 处按照北偏东 30⽅向逃窜，问缉私船⾄少经过多长时间可以追上⾛私船，并指出缉私船航⾏⽅向. (12分)ACB3015· ·参考答案：⼀、填空题：1、等腰；2、53；3、45°；4、33；5、60°；6、45°或135°；7、65π；8、1；9、3a ；10、2617；11、2；12、3π或32π；13、10；14、103；15、33。
高考数学-解三角形-专题复习100题(含答案详解)
2018年高考数学解三角形专题复习100题1.如图在△ABC中，D是边AC上的点，且AB=AD，，BC=2BD.（1）求的值；（2）求sinC的值.2.△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c.已知 .求sinA和c的值.3.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinA+cosA=0，a=2,b=2．（1）求c；（2）设D为BC边上一点，且AD AC,求△ABD的面积．4.在中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，．（1）若，求c的值；（2）若，求的面积．5.的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，．（1）求c；（2）设为边上一点，且，求的面积．6.在△ABC中，=60°，c= a.（Ⅰ）求sinC的值；（Ⅱ）若a=7，求△ABC的面积.7.△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，asin Asin B＋bcos2A= a.(1)求；2228.△ABC的内角A,B,C的对边分别为、、，且.（1）若，求的值；（2）若，求的值.9.的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，其中，且，延长线段到点，使得.（Ⅰ）求证：是直角；（Ⅱ）求的值.10.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.(1)求角A的值；(2)若的面积为，△ABC的周长为，求边长a.11.为绘制海底地貌图，测量海底两点C,D间的距离，海底探测仪沿水平方向在A,B两点进行测量，A,B,C,D在同一个铅垂平面内. 海底探测仪测得同时测得海里。
（1）求AD的长度;（2）求C，D之间的距离.12.在中，角A,B,C对边分别为a,b,c，角，且.（1）证明：；（2）若面积为1，求边c的长.（Ⅰ）求B0的值；（Ⅱ）当B=B0,a=1,c=3,D为AC的中点时，求BD的长．14.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．（Ⅰ）求角C；（Ⅱ）若c=，△ABC的面积为，求△ABC的周长．15.在中，角，，的对边分别是，，，已知，．(Ⅰ)求的值；(Ⅱ) 若角为锐角，求的值及的面积．16.在△ABC中，已知.（1）求的长；（2）求的值.17.△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，向量与平行.(I)求A；(II)若,求△ABC的面积.18.的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知的面积为．（1）求；（2）若，，求的周长．19.在△ABC中，角的对边分别为，且满足.（1）求角的值；20.在△ABC中，角的对边分别为a，b，c, ，c=，又△ABC的面积为，求：(1)角的大小；(2)的值．21.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且cos2﹣sinB•sinC=．（1）求A；（2）若a=4，求△ABC面积的最大值．22.在△ABC中，已知角A,B,C的对边分别是a,b,c,且.（I）求角C的大小；（II）如果，，求实数m的取值范围.23.已知向量=（2cosx，sinx），=（cosx，2cosx），函数f（x）=•﹣1．（Ⅰ）求函数f（x）的单调递减区间；（Ⅱ）在锐角△ABC中，内角A．B、C的对边分别为a，b，c，tanB=，对任意满足条件的A，求fA．的取值范围．24.设△ABC的内角A,B,C的对边分别为，且．（Ⅰ）求B；（Ⅱ）若，求C．25.在△ABC中，a、b、c分别为内角A．B、C的对边，且2sinAcosC=2sinB﹣sinC．（1）求∠A的大小；（2）在锐角△ABC中，a=，求c+b的取值范围．26.在ABC中，（I）求的大小（II）求的最大值27.设函数，其中向量，，.（Ⅰ）求的最小正周期与单调递减区间；（Ⅱ）在△ABC中，a、b、c分别是角A．B、C的对边，已知fA．=2，b=1，△ABC的面积为，求的值.28.△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知（2a+b）sinA+（2b+a）sinB=2csinC．（Ⅰ）求C的大小；（Ⅱ）若，求△ABC周长的最大值．29.已知A ．B 、C 是△ABC 的三内角，向量m=(－1，3)，n=(cosA ，sinA)，且m ·n=1.(1)求角A ；(2)若3)4tan(-=+B π，求tanC.30.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且C=，a=6．（Ⅰ）若c=14，求sinA 的值；（Ⅱ）若△ABC 的面积为3，求c 的值．31.在△ABC 中，a,b,c 分别为内角A,B,C 的对边，且（Ⅰ）求A 的大小； （Ⅱ）求的最大值.32.△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cosC （acosB+bcosA ）=c ．（Ⅰ）求C ； （Ⅱ）若c=，△ABC 的面积为，求△ABC 的周长．33.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且。
解三角形专题(高考题)练习【附答案】
解三角形专题（高考题）练习1、在ABC ∆中，已知内角3A π=，边BC =设内角B x =,面积为y .(1)求函数()y f x =的解析式和定义域； (2)求y 的最大值. 2、已知ABC ∆中，1||=AC ，0120=∠ABC ，θ=∠BAC ， 记→→•=BC AB f )(θ，（1）求)(θf 关于θ的表达式； （2）（2）求)(θf 的值域；3、在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a ，b ，c ，且.21222ac b c a =-+ （1）求B CA 2cos 2sin 2++的值； （2）若b =2，求△ABC 面积的最大值． 4、在ABC ∆中，已知内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c，向量(2sin ,m B =，2cos 2,2cos 12B n B ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，且//m n 。
（I ）求锐角B 的大小； （II ）如果2b =，求ABC ∆的面积ABC S ∆的最大值。
5、在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且.cos cos 3cos B c B a C b -= （I ）求cos B 的值； （II ）若2=⋅BC BA ，且22=b ，求c a 和b 的值. 6、在ABC ∆中，cos A =，cos B =. （Ⅰ）求角C ；（Ⅱ）设AB =，求ABC ∆的面积.7、在△ABC 中，A 、B 、C 所对边的长分别为a 、b 、c ，已知向量(1,2sin )m A =，(sin ,1cos ),//,3.n A A m n b c a =++=满足 （I ）求A 的大小；（II ）求)sin(6π+B 的值.8、△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且有sin2C+3cos （A+B ）=0，.当13,4==c a ，求△ABC 的面积。
9、在△ABC 中，角A 、B 、C 所对边分别为a ，b ，c ，已知11tan ,tan 23A B ==，且最长ＡＢ Ｃ120°θ边的边长为l.求：（I ）角C 的大小； （II ）△ABC 最短边的长.10、在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c.已知a+b=5，c =7，且.272cos 2sin 42=-+C B A (1) 求角C 的大小； （2）求△ABC 的面积. 11、已知△ABC 中，AB=4,AC=2,23ABC S ∆=. （1）求△ABC 外接圆面积. （2）求cos(2B+3π)的值. 12、在ABC ∆中，角A B C 、、的对边分别为a b c 、、，(2,)b c a =-m ，(cos ,cos )A C =-n ，且⊥m n 。
2024年新高考版数学专题1_5.4 解三角形(分层集训)
+1=5,c=a+2=6,∴cos A= b2 c2 a2 = 52 62 42 = 3 ,∴sin A= 1 cos2 A= 7 ,
2bc
256 4
4
∴S△ABC= 1 bcsin A= 1 ×5×6× 7 =15 7 .
2
2
44
(2)由已知得c>b>a,若△ABC为钝角三角形,则角C为钝角,∴cos C=
3
1
1
1
2
A. 9 B. 3 C. 2 D. 3
答案 A
3.(2021全国甲文,8,5分)在△ABC中,已知B=120°, AC= 19, AB=2,则BC= () A.1 B. 2 C. 5 D.3 答案 D
4.(2023届湖湘名校教育联合体大联考,14)△ABC的内角A,B,C的对边分别
为a,b,c,已知b-c= 1 a,2sin B=3sin C,则cos A的值为
5.(2020课标Ⅱ文,17,12分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知
cos2
2
A +cos
A=
5.
4
(1)求A;
(2)若b-c= 3 a,证明:△ABC是直角三角形.
3
解析
(1)由已知得sin2A+cos
A=
5 4
,即cos2A-cos
A+
1=0.所以
4
cos
A
1 2
2=0,
问题:是否存在△ABC,它的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且sin A= 3sinB,
C= ,
?
6
注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.
解析 方案一:选条件①.
2024届全国高考(统考版)理科数学复习历年好题专项(三角函数与解三角形的综合运用)练习(附答案)
2024届全国高考（统考版）理科数学复习历年好题专项（三角函数与解三角形的综合运用）练习1．[2023ꞏ全国乙卷(理)]在△ABC中，已知∠BAC＝120°，AB＝2，AC＝1.(1)求sin ∠ABC；(2)若D为BC上一点，且∠BAD＝90°，求△ADC的面积．2．[2023ꞏ新课标Ⅰ卷]已知在△ABC中，A＋B＝3C，2sin (A－C)＝sin B.(1)求sin A；(2)设AB＝5，求AB边上的高．3．[2022ꞏ新高考Ⅰ卷，18]记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cos A 1＋sin A＝sin 2B1＋cos 2B.(1)若C＝2π3，求B；(2)求a2＋b2c2的最小值．4．[2023ꞏ新课标Ⅱ卷]记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC面积为3，D为BC的中点，且AD＝1.(1)若∠ADC＝π3，求tan B；(2)若b2＋c2＝8，求b，c.5．[2023ꞏ江西省南昌市模拟]如图，锐角△OAB中，OA＝OB，延长BA到C，使得AC＝3，∠AOC＝π4，sin ∠OAC＝223.(1)求OC；(2)求sin ∠BOC.6．[2023ꞏ江西省重点中学盟校联考]在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，从条件①：b sinB ＋C 2＝a sin B ，条件②：b ＝a cos C ＋12 c ，条件③：b tan A ＝(2c －b )tan B 这三个条件中选择一个作为已知条件．(1)求角A ；(2)若AB → ꞏAC →＝3，求a 的最小值．参考答案1．答案解析：(1)如图，由余弦定理得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ꞏAC ꞏcos ∠BAC ＝22＋12＋2×2×1×12 ＝7，得BC ＝7 .方法一 由正弦定理AC sin ∠ABC ＝BCsin ∠BAC，得sin ∠ABC ＝1×327＝21.方法二 由余弦定理得cos ∠ABC ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ꞏBC ＝4＋7－12×2×7 ＝5714 ， 所以sin ∠ABC ＝1－cos 2∠ABC ＝21 .(2)方法一 由sin ∠ABC ＝2114 ，得tan ∠ABC ＝35 ， 又tan ∠ABC ＝DAAB ＝DA 2 ，所以DA ＝235 ，故△ADC 的面积为12 DA ꞏAC ꞏsin (120°－90°)＝12 ×235 ×1×12 ＝310 . 方法二 △ABC 的面积为12 AC ꞏAB ꞏsin ∠BAC ＝12 ×1×2×3 ＝3 ， S △ADC S △BAD＝12AC ꞏAD ꞏsin ∠CAD12AB ꞏAD ꞏsin ∠BAD ＝sin 30°2×sin 90° ＝14 ，故△ADC 的面积为15 S △ABC ＝15 ×3 ＝3.2．答案解析：方法一 (1)在△ABC 中，A ＋B ＝π－C ， 因为A ＋B ＝3C ，所以3C ＝π－C ，所以C ＝π4 . 因为2sin (A －C )＝sin B ， 所以2sin (A －π4 )＝sin (3π4 －A )，展开并整理得2 (sin A －cos A )＝2(cos A ＋sin A )， 得sin A ＝3cos A ，又sin2A ＋cos 2A ＝1，且sin A >0，(2)由正弦定理BC sin A ＝ABsin C ，得BC ＝AB sin C ×sin A ＝522 ×31010 ＝35 ，由余弦定理AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ꞏBC cos C ， 得52＝AC 2＋(35 )2－2AC ꞏ35 cos π4 ， 整理得AC 2－310 AC ＋20＝0， 解得AC ＝10 或AC ＝210 ， 由(1)得，tan A ＝3>3 ，所以π3 <A <π2 ， 又A ＋B ＝3π4 ，所以B >π4 ，即C <B ，所以AB <AC ，所以AC ＝210 ，设AB 边上的高为h ，则12 ×AB ×h ＝12 ×AC ×BC sin C ， 即5h ＝210 ×35 ×22 ， 解得h ＝6，所以AB 边上的高为6.方法二 (1)在△ABC 中，A ＋B ＝π－C ， 因为A ＋B ＝3C ，所以3C ＝π－C ，所以C ＝π4 . 因为2sin (A －C )＝sin B ，所以2sin (A －C )＝sin [π－(A ＋C )]＝sin (A ＋C )，所以2sin A cos C －2cos A sin C ＝sin A cos C ＋cos A sin C ， 所以sin A cos C ＝3cos A sin C ， 易得cos A cos C ≠0，所以tan A ＝3tan C ＝3tan π4 ＝3， 又sin A >0， 所以sin A ＝332＋12＝31010 . (2)由(1)知sin A ＝31010 ，tan A ＝3>0，所以A 为锐角，所以sin B ＝sin (3π4 －A )＝2 (cos A ＋sin A )＝2 ×(10 ＋31010 )＝255 ， 由正弦定理AC sin B ＝ABsin C ，得AC ＝AB ꞏsin Bsin C ＝5×25522＝210 ， 故AB 边上的高为AC ×sin A ＝210 ×31010 ＝6.3．答案解析：(1)由已知条件，得sin 2B ＋sin A sin 2B ＝cos A ＋cos A cos 2B .所以sin 2B ＝cos A ＋cos A cos 2B －sin A sin 2B ＝cos A ＋cos (A ＋2B )＝cos [π－(B ＋C )]＋cos [π－(B ＋C )＋2B ]＝－cos (B ＋C )＋cos [π＋(B －C )]＝－2cos B cos C ，所以2sin B cos B ＝－2cos B cos C ， 即(sin B ＋cos C )cos B ＝0.由已知条件，得1＋cos 2B ≠0，则B ≠π2 ， 所以cos B ≠0，所以sin B ＝－cos C ＝12 . 又0＜B ＜π3 ，所以B ＝π6 .(2)由(1)知sin B ＝－cos C ＞0，则B ＝C －π2 ， 所以sin A ＝sin (B ＋C )＝sin (2C －π2 )＝－cos 2C . 由正弦定理，得a 2＋b 2c 2＝sin 2A ＋sin 2Bsin 2C＝cos 22C ＋cos 2Csin 2C＝（1－2sin 2C ）2＋（1－sin 2C ）sin 2C ＝2＋4sin 4C －5sin 2Csin 2C＝2sin 2C＋4sin 2C－5≥22sin 2Cꞏ4sin 2C －5＝42 －5， 当且仅当sin 2C ＝22 时，等号成立，所以a 2＋b 2c 2 的最小值为42 －5. 4．答案解析：(1)因为D 为BC 的中点，所以S △ABC ＝2S △ADC ＝2×12 ×AD ×DC sin ∠ADC ＝2×12 ×1×DC ×3＝3 ， 解得DC ＝2，所以BD ＝DC ＝2，a ＝4.因为∠ADC ＝π3 ，所以∠ADB ＝2π3 .在△ABD 中，由余弦定理，得c 2＝AD 2＋BD 2－2AD ꞏBD cos ∠ADB ＝1＋4＋2＝7， 所以c ＝7 .在△ADC 中，由余弦定理，得b 2＝AD 2＋DC 2－2AD ꞏDC ꞏcos ∠ADC ＝1＋4－2＝3， 所以b ＝3 .在△ABC 中，由余弦定理，得cos B ＝c 2＋a 2－b 22ac ＝7＋16－32×4×7 ＝5714 ， 所以sin B ＝1－cos 2B ＝21. (2)因为D 为BC 的中点，所以BD ＝DC . 因为∠ADB ＋∠ADC ＝π， 所以cos ∠ADB ＝－cos ∠ADC ，则在△ABD 与△ADC 中，由余弦定理，得AD 2＋BD 2－c 22AD ꞏBD ＝－AD 2＋DC 2－b 22AD ꞏDC ， 得1＋BD 2－c 2＝－(1＋BD 2－b 2)，所以2BD 2＝b 2＋c 2－2＝6，所以BD ＝3 ，所以a ＝23 .在△ABC 中，由余弦定理，得cos ∠BAC ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝8－122bc ＝－2bc ， 所以S △ABC ＝12 bc sin ∠BAC ＝12 bc 1－cos 2∠BAC ＝12 bc 1－⎝⎛⎭⎫－2bc 2＝12b 2c 2－4＝3 ， 解得bc ＝4.则由⎩⎪⎨⎪⎧bc ＝4b 2＋c 2＝8 ，解得b ＝c ＝2. 5．答案解析：(1)在△OAC 中，由正弦定理知OC sin ∠OAC ＝ACsin ∠AOC，所以，OC ＝3sin ∠OACsin π4＝4. (2)设∠OAB ＝α，则α为锐角，sin α＝sin (π－∠OAC )＝sin ∠OAC ＝223 ，所以，cos α＝1－sin 2α ＝13 ，所以sin ∠AOB ＝sin (π－2α)＝sin 2α＝2sin αcos α＝429 ， 则cos ∠AOB ＝cos (π－2α)＝－cos 2α＝2sin 2α－1＝79 ，所以sin ∠BOC ＝sin (∠AOB ＋π4 )＝sin ∠AOB cos π4 ＋cos ∠AOB sin π4 ＝22 ×429 ＋22 ×79 ＝8＋7218 .6．答案解析：(1)若选条件①，由正弦定理得sin B sin π－A2 ＝sin A sin B ，∵B ∈(0，π)⇒sin B >0，∴sinπ－A 2＝sin A ，∴cos A 2 ＝2sin A 2 cos A2 ， 又A 2 ∈(0，π2 )，∴cos A 2 ≠0，∴sin A 2 ＝12 ， ∴A 2 ＝π6 ⇒A ＝π3 ；若选条件②，△ABC 中，b －a cos C ＝c 2 ，由正弦定理知sin B －sin A cos C ＝12 sin C ， ∵A ＋B ＋C ＝π，∴sin B ＝sin [π－(A ＋C )]＝sin A cos C ＋cos A sin C ， ∴sin A cos C ＋cos A sin C －sin A cos C ＝12 sin C ， ∴cos A sin C ＝12 sin C ， 因为sin C >0， ∴cos A ＝12 ，又∵0<A <π，∴A ＝π3 ；若选条件③，由b tan A ＝(2c －b )tan B ， 得sin B sin Acos A ＝(2sin C －sin B )sin B cos B ， B ∈(0，π)，所以sin B >0，∴sin A cos B ＝2sin C cos A －sin B cos A ， ∴sin (A ＋B )＝2sin C cos A ， ∴sin C ＝2sin C cos A ，∵C ∈(0，π)，∴sin C >0，∴cos A ＝12 ， ∵A ∈(0，π)，∴A ＝π3 .(2)由(1)及AB → ꞏAC →＝3得bc ＝6，所以a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝b 2＋c 2－bc ≥bc ＝6， 当且仅当b ＝c ＝6 时取等号，所以a 的最小值为6 .。
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解三角形1．解三角形中的要素例1：ABC △的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若c b ，60B =o ，则C =_____． 【答案】30C =o【解析】（1）由已知B ，b ，c 求C 可联想到使用正弦定理：sin sin sin sin b c c BC B C b=⇒=， 代入可解得：1sin 2C =．由c b <可得：60C B <=o ，所以30C =o ．2．恒等式背景例2：已知a ，b ，c 分别为ABC △三个内角A ，B ，C 的对边，且有cos sin 0a C C b c --=． （1）求A ；（2）若2a =，且ABC △b ，c ． 【答案】（1）3π；（2）2，2．【解析】（1）cos sin 0a C C b c --=sin cos sin sin sin 0A C A C B C ⇒--=()sin cos sin sin sin 0A C A C A C C ⇒-+-=sin cos sin sin cos sin cos sin 0A C A C A C C A C ⇒---=，1cos 12sin 1sin 662A A A A ππ⎛⎫⎛⎫-=⇒-=⇒-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴66A ππ-=或566A ππ-=（舍），∴3A π=；（2）1sin 42ABC S bc A bc =⇒=△，222222cos 4a b c bc A b c bc =+-⇒=+-，∴22224844b c bc b c bc bc ⎧⎧+-=+=⇒⎨⎨==⎩⎩，可解得22b c =⎧⎨=⎩．一、单选题1．在ABC △中，1a =，6A π∠=，4B π∠=，则c =（ ） ABCD【答案】A【解析】由正弦定理sin sin a bA B =可得1sinsin 4sin sin 6a Bb A π⨯===π，且()()cos cos cos cos sin sin C A B A B A B =-+=--=由余弦定理可得：c ===．故选A ． 2．在ABC △中，三边长7AB =，5BC =，6AC =，则AB BC ⋅uu u v uu u v等于（ ）A ．19B ．19-C ．18D ．18-【答案】B【解析】∵三边长7AB =，5BC =，6AC =，∴22222275619cos 227535AB BC AC B AB BC +-+-===⋅⨯⨯， ()19cos 751935AB BC AB BC B ⎛⎫⋅=⋅π-=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭uu u v uu u v ．故选B ．3．在ABC △中，角A ，B ，C 所对应的边分别是a ，b ，c ，若2cos c a B =，则三角形一定是（ ）A ．等腰直角三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等边三角形【答案】C【解析】∵2cos c a B =，由正弦定理2sin c R C =，2sin a R A =，∴sin 2sin cos C A B =， ∵A ，B ，C 为ABC △的内角，∴()sin sin C A B =+，A ，()0,B ∈π，∴()sin 2sin cos A B A B +=，sin cos cos sin 2sin cos A B A B A B +=，整理得()sin 0A B -=， ∴0A B -=，即A B =．故ABC △一定是等腰三角形．故选C ． 4．ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若3C π=，c =3b a =，则ABC △对点增分集训的面积为（ ） ABCD【答案】A 【解析】已知3C π=，c =3b a =， ∴由余弦定理2222cos c a b ab C =+-，可得：2222227937a b ab a a a a =+-=+-=， 解得：1a =，3b =，∴11sin 1322ABC S ab C ==⨯⨯=V A ． 5．在ABC △中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若22a b bc -=，sin C B =，则A =（ ） A ．30︒ B ．60︒ C ．120︒ D ．150︒【答案】A【解析】根据正弦定理由sin C B =得：c =，所以222a b =-，即227a b =，则222222cos 2b c a A bc +-===，又()0,A ∈π，所以6A π=．故选A ． 6．设ABC △的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，如果()()3a b c b c a bc +++-=，且a =ABC △外接圆的半径为（ ） A ．1 BC ．2D ．4【答案】A【解析】因为()()3a b c b c a bc +++-=，所以()223b c a bc +-=，化为222b c a bc +-=，所以2221cos 22b c a A bc +-==，又因为()0,A ∈π，所以3A π=，由正弦定理可得22sin aR A===，所以1R =，故选A ．7．在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且222b c a bc +=+，若2sin sin sin B C A ⋅=，则ABC △的形状是（ ）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形【答案】C【解析】因为2sin sin sin B C A ⋅=，所以2222b c a R R R ⎛⎫⋅= ⎪⎝⎭， 也就是2a bc =，所以222b c bc +=，从而b c =， 故a b c ==，ABC △为等边三角形．故选C ．8．ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c 且满足cos cos a B b A c -=，则ABC △是（ ） A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰三角形【答案】B【解析】利用正弦定理sin sin sin a b cA B C==化简已知的等式得： sin cos sin cos sin A B B A C -=，即()sin sin A B C -=， ∵A ，B ，C 为三角形的内角，∴A B C -=，即2A B C π=+=， 则ABC △为直角三角形，故选B ．9．在ABC △中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知ABC △的面积为，2b c -=，1cos 4A =-，则a 的值为（ ）A ．8B ．16C ．32D ．64【答案】A【解析】因为0A <<π，所以sin A =，又1sin 2ABCS bc A ===V ，∴24bc =，解方程组224b c bc -=⎧⎨=⎩得6b =，4c =， 由余弦定理得2222212cos 64264644a b c bc A ⎛⎫=+-=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭，所以8a =．故选A ．10．在ABC △中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边．若()sin cos 0b a C C +-=， 则A =（ ） A ．4π B ．3π C ．34π D ．23π 【答案】C【解析】()sin sin sin cos cos sin B A C A C A C =+=+，∵()sin cos 0b a C C +-=，可得：()sin sin sin cos 0B A CC +=﹣，∴sin cos cos sin sin sin sin cos 0A C A C A C A C ++-=，∴cos sin sin sin 0A C A C +=， ∵sin 0C ≠，∴cos sin A A =-，∴tan 1A =-， ∵2A π<<π，∴34A =π．故答案为C ． 11．在ABC △中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若c o s c o s c o s ab c A B C==，则ABC△是（ ） A ．直角三角形 B ．钝角三角形 C ．等腰直角三角形 D ．等边三角形【答案】D 【解析】∵cos cos cos a b cA B C==，由正弦定理得：2sin a R A =⋅，2sin b R B =⋅，2sin c R C =⋅代入， 得sin sin sin cos cos cos A B CA B C==，∴进而可得tan tan tan A B C ==， ∴A B C ==，则ABC △是等边三角形．故选D ．12．在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a =c =，tan 21tan A cB b+=， 则C ∠=（ ） A ．6π B ．4π C ．4π或34π D ．3π【答案】B【解析】利用正弦定理，同角三角函数关系，原式可化为：sin cos 2sin 1cos sin sin A B CA B B+=，去分母移项得：sin cos sin cos 2sin cos B A A B C A +=， 所以()sin sin 2sin cos A B C C A +==，所以1cos 2A =．由同角三角函数得sin A =，由正弦定理sin sin a c A C =，解得sin C =所以4C π∠=或34π（舍）．故选B ．二、填空题13．在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，c =，2216b a -=，则角C 的最大值为_____； 【答案】6π 【解析】在ABC △中，由角C 的余弦定理可知22222222232cos 224b a a b a b c a b C ab ab ab -+-+-+===≥， 又因为0C <<π，所以max 6C π=．当且仅当a =b =14．已知ABC △的三边a ，b ，c 成等比数列，a ，b ，c 所对的角分别为A ，B ，C ，则sin cos B B +的取值范围是_________．【答案】(【解析】∵ABC △的三边a ，b ，c 成等比数列， ∴2222cos 22cos ac b a c ac B ac ac B ==+-≥-，得1cos 2B ≥， 又∵0B <<π，∴03B π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，，74412B πππ⎛⎤+∈ ⎥⎝⎦，，可得(sin cos 4B B B π⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭，故答案为(． 15．在ABC △中三个内角A ∠，B ∠，C ∠，所对的边分别是a ，b ，c ，若()2s i nc o s 2s i n c o s b C A A C +=-，且a =ABC △面积的最大值是________【解析】∵()2sin cos 2sin cos b C A A C +=-，∴()()cos 2sin cos sin cos 2sin 2sin b A C A A C A C B =-+=-+=-， 则2sin cos b B A -=，结合正弦定理得2cos sin a A A -==，即tan A =，23A ∠=π 由余弦定理得2221cos 22b c a A bc +-==-，化简得22122b c bc bc +=-≥， 故4bc ≤，11sin 422ABC S bc A =≤⨯=△16．在锐角ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且A ，B ，C 成等差数列，b则ABC △面积的取值范围是__________．【答案】⎝⎦【解析】∵ABC △中A ，B ，C 成等差数列，∴3B π=．由正弦定理得2sin sin sin sin 3a c b A C B ====，∴2sin a A =，2sin c C =，∴12sin sin sin 23ABC S ac B A C A A π⎛⎫====- ⎪⎝⎭△21331cos 2sin sin cos sin 22242AA A A A A A A ⎫-=+=+=+⎪⎪⎝⎭3sin 22246A A A π⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭， ∵ABC △为锐角三角形，∴022032A A π⎧<<⎪⎪⎨ππ⎪<-<⎪⎩，解得62A ππ<<．∴52666A πππ<-<，∴1sin 2126A π⎛⎫<-≤ ⎪⎝⎭，26A π⎛⎫<-≤ ⎪⎝⎭，故ABC △面积的取值范围是⎝⎦．三、解答题17．己知a ，b ，c 分别为ABC △三个内角A ，B ，Ccos 2sin A C+=． （1）求角A 的大小；（2）若5b c +=，且ABC △a 的值． 【答案】（1）23π；（2【解析】（1cos 2sin A C+=，∵sin 0C ≠cos 2A A -=，即sin 16A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭．∵0A <<π∴666A ππ5π-<-<，∴62A ππ-=，∴23A π=． （2）由ABC S =△1sin 2S bc A =4bc =，∵5b c +=，∴由余弦定理得：()22222cos 21a b c bc A b c bc =+-=+-=，∴a =18．如图，在ABC △中，点D 在BC 边上，60ADC ∠=︒，AB =4BD =．．（1）求ABD △的面积．（2）若120BAC ∠=o ，求AC 的长． 【答案】（1）；（2． 【解析】（1）由题意，120BDA ∠=︒在ABD △中，由余弦定理可得2222cos120AB BD AD BD AD =+-⋅⋅︒ 即2281642AD AD AD =++⇒=或6AD =-（舍），∴ABD △的面积11sin 4222S DB DA ADB =⋅⋅⋅∠=⨯⨯=． （2）在ABD △中，由正弦定理得sin sin AD ABB BDA=∠，代入得sin B =B为锐角，故cos B ， 所以()sin sin 60sin 60cos cos60sin C B B B =︒-=︒-︒=， 在ADC △中，由正弦定理得sin sin AD ACC CDA=∠，，解得AC =。