电路相量法

Im
A• ej
A
0
Re
几种不同 值时的旋转因子
Im
jI
I
,
j
e2
cos
j sin
j
2
2
2
0
Re
I
jI
θ ,
j
e2
cos(
)
j sin(
)
j
2
2
2
θ , e j( ) cos( ) j sin( ) 1
故 +j, –j, -1 都可以看成旋转因子。
例1
547 10 25 ?
正弦电流、电压的有效值
设 i = Imcos(w t + i )
I
1 T
T 0
I
2 m
cos 2 (
w
t
i
) dt
T 0
cos
2
(
w
t
i
) dt
T 1 cos 2(w t i
0
2
) dt 1 T 2
I
1 T
Im2
T 2
Im 2
0.707Im
Im 2I
i Im cos(w t i ) 2I cos(w t i )
第8章 相量法
重点： 1. 正弦量的表示、相位差 2. 正弦量的相量表示 3. 电路定律的相量形式
1. 复数及运算
8.1 复数
复数F 的表示形式
（1）代数形式
+j
b
F
|F|
0
a +1
F a jb ( j 1 为虚数单位)
复数 F 在复平面上是一个坐标点，常用原点至该点的向量表示。
（2）三角形式
I
i
2
idt Re 2Ie jw t dt
Re
2
I
jw
e
jw
t
idt
I
jw
I
w
i 2
例i R
i 2 I cos(w t i )
+ u -
di 1
C L u Ri L dt C idt
用相量运算：
U RI jwLI I jwC
相量法的优点：
（1）把时域问题变为复数问题 （2）把微积分方程的运算变为复数代数方程运算 （3）可以把直流电路的分析方法直接用于交流电路
8.4 电路定律的相量形式
1. 基尔霍夫定律的相量形式
同频率的正弦量加减可以用对应的相量形式来进行计 算。因此，在正弦电流电路中，KCL和KVL可用相应的相 量形式表示：
i 0
I 0
u 0
U 0
任一结点的所有正弦电流用相量表示时仍满足KCL 任一回路所有支路正弦电压用相量表示时仍满足KVL
u, i
u
i
0
wt
φ= π / 2， 称 u 和 i 正交
u, i
0 u, i
u i
0
u
iwt
wt
同样可比较两个电压或两个电流的相位差。
8.3 相量法的基础
在线性电路中，如果激励是正弦量，则电路中各 支路的电压和电流的稳态响应将是同频率正弦量。
如果电路有多个激励且都是同一频率的正弦量， 则根据线性电路的叠加性质，电路全部响应都将是同 一频率的正弦量。处于这种稳定状态的电路称为正弦 稳态电路，又称正弦电流电路。
等于初相位之差
规定： |j | ( 180°)。
• j >0， u 超前 i，或 i 滞后u (u 比 i 先到达最大值)；
u, i u i
O
wt
u i
j
• j <0， i 超前 u ，或u 滞后 i (i 比 u 先到达最大值)。
特殊相位关系：
j = (180o ) ，u与 i 反相
j = 0 ，u与 i 同相
同理，可得正弦电压有效值与最大值的关系：
1 U 2 Um
或 Um 2U
若一交流电压有效值为U= 220V，则其最大值为Um 311V；
U= 380V，
Um 537V。
注 （1）工程上说的正弦电压、电流一般指有效值，如设备
铭牌额定值、电网的电压等级等。但绝缘水平、耐压值指的
是最大值。因此，在考虑电器设备的耐压水平时应按最大值
U R R IR
相量图： U R
I u= i
•
I
+
•
UR
R
-
相量模型
3. 电感元件VCR的相量形式 iL
时域形式：
已知 iL 2I cos(w t i )
+
u-L
L
则
uL
L diL dt
2wL I L sin(w t i )
2w
L
IL
cos(w
t
i
π) 2
相量形式：
IL I Li U L jwLIL w LIL i 2
相量图
在复平面上用向量表示相量的图
i 2Icos(ω t i ) I Ii u 2Ucos(w t u ) U Uu
+j • U
•
u i
I
+1
2. 相量法的应用
(1) 同频率正弦量的加减
u1
2 U1 cos(w t 1 ) Re(
2
•
U
1
e
jw
t
)
u2
2 U2 cos(w t 2 ) Re(
+j F2
0
+j
F1+F2
F1
+1
0
图解法
F2
F1 +1
F1-F2
(2) 乘除运算——采用极坐标形式
若 F1=|F1| 1 ，F2=|F2| 2
则:
F1 F2
F1 e j1
F2 e j2
F1
F e j(1 2 ) 2
F1 F2 1 2
乘法：模相乘，辐角相加。
F1 F2
| F1 |θ1 | F2 |θ2
i Re[A] Re[ 2Ie j(wti ) ]
i 2Icos(w t i )
i Re[ 2Ie j(wt i ) ]
Re[ 2Ie ji e jwt ]
复常数
复常数包含了 I , i
将该复常数定义为正弦量 i 的相量，记为 I
I Ieji Ii
加一个小圆点是用来和普通的复数相区别(强调它与正弦
交流i R
直流I R
W T Ri2(t)dt 0
W RI 2T
周期电流、电压有效值定义
周期量的有效值等于其瞬时值的平方在一个周期内积分的 平均值的平方根。有效值也称均方根值。
电流有效 值定义为
电压有效 值定义为
def
I
1 T i 2 (t )dt
T0
def
U
1 T u2 (t )dt
T0
i
T
Im O
i
2 ωt
w
d dt
(wt
i
)
w 2 f 2 T
单位： rad/s ，弧度 / 秒
(3) 初相位i
(ωt + i ) 称为正弦量的相位（相角）。
i = Imcos(w t+i)
i
T
Im O
i
2 ωt
当t=0时，相角(ωt + i ) = i ，故称i为初相位（角），简
称初相。反映正弦量的计时起点。
180.2 j126.2 6.72870.16
180.2 j126.2 2.238 j6.329 182.5 j132.5 225.536
8.2 正弦量
1. 正弦量
电路中按正弦规律变化的电压或电流， 统称为正弦量。
i + u_ 正弦电流表达式：
i=Imcos(w t+i)
周期T 和频率f
2
•
U
2
e
jw
t
)
u u1 u2 Re[
2
•
U
1
e
jwt
]
Re[
2
•
U
2
e
jwt
]
Re[
•
2U1
e jwt
2
•
U
2
e
jwt
]
Re[
2
•
(U
1
•
U
2
)e
jwt
]
U U1 U 2
故同频率正弦量的加减运算可变 换成对应相量的相加减运算。
i1 i2 = i3
I1 I2 I3
例 u1 6 2cos(314t 30 ) V 求和
相量关系：
2. 电阻元件VCR的相量形式
时域形式：
已知 iR 2IR cos(wt i )
则 uR RiR 2RIR cos(wt i )
相量形式：
UR
u
iR
+
uR
R
-
2UR cos(wt u )
IR I Ri U R RIRi
有效值关系 UR=RIR
相位关系 u=i u，i 同相位
相量关系：
arctan b
a
a | F | cos , b | F | sin
Re [ F ] = a , 取复数的实部
Im [ F ] = b， 取复数的虚部
用F *表示复数F 的共轭复数
F a jb 或 F ＝F
+j
b
F
|F|
0
a +1
复数运算
(1)加减运算——采用代数形式
若 F1=a1+jb1， F2=a2+jb2 则 F1±F2=(a1±a2)+j(b1±b2)
i
T
波形： O
i
f1 T
2 ωt
周期T ：重复变化一次所需的时间。 单位：s，秒
频率f ：每秒重复变化的次数。
单位：Hz，赫兹
2. 正弦量的三要素
(1) 幅值 (振幅、最大值)Im
反映正弦量变化幅度的大小
(2) 角频率 w
ω是正弦量的相位随时间变
化的角速度，反映正弦量变化 快慢。
i = Imcos(w t+i)
正弦量
复数
实际是变换
正弦量的相量表示
选一个复函数 A 2Iej(wti )
无是物一理个意正义弦量 有物理意义
2Icos(wt i ) j 2Isin(wt i )
对A取实部： Re[A] 2Icos(w t i )
对于任意一个正弦时间函数都有唯一与其对应的复数函数
i 2Icos(w t i ) A 2Ie j(w ti )
| F1 | ejθ1 | F2 | ejθ2
| F1 | e j( θ1θ2 ) | F2 |
| F1 | | F2 |
θ1 θ2
除法：模相除，辐角相减。
(3) 旋转因子
复数 ejBaidu Nhomakorabea=cos +jsin =1∠
A•ej 相当于把 A 逆时针旋转一个角度θ ，而 A 的 模
不变。故把 ejθ 称为旋转因子。
量的联系)，同时也改用“相量”，而不用“向量”，是因
为它表示的不是一般意义的向量，而是表示一个正弦量。
•
i 2I cos(w t i ) I Ii
相量的模表示正弦量的有效值 相量的幅角表示正弦量的初相位 同样可以建立正弦电压与相量的对应关系：
•
u 2U cos(w t u ) U Uu
一般规定：| i |180°
3. 周期电流、电压的有效值
周期电流、电压的瞬时值随时间而变，为了衡 量其大小工程上采用有效值来表示。
工程中将周期电流或电压在一个周期内产生的 平均效应换算为在效应上与其相等的直流量，以衡 量和比较周期电流或电压的效应，该直流量就称为 周期量的有效值。
周期性电流 i 流过电阻 R，在一周期T 内吸收的电能， 等于一直流电流I 流过R , 在时间T 内吸收的电能，则称电流 I 为周期性电流 i 的有效值。
首尾相接
+j U 2
U
U 1
41.9
60 30
+1
U
+j
U 2
U 1
60
41.9
30
+1
2 . 正弦量的微分，积分运算
i 2 I cos(w t i ) I Ii
微分运算:
积分运算:
di d Re 2 Ie jw t
dt dt
Re 2I jw e jw t
di dt
jw
I w
相量法是分析求解正弦电流电路稳态响应的一种 有效工具。
1. 正弦量的相量表示
两个正弦量的相加
i1 2 I1 cos(w t 1 ) i2 2 I2 cos(w t 2 )
角频率： 有效值： 初相位：
ui1, i
w
i1
i2
w
i2
I1 0
I2
1
2
i1+ii23wi3
wI3t 3
无论是波形图逐点相加，或用三角函数做都很繁琐。 因同频率的正弦量相加仍得到同频率的正弦量，所以， 只要确定初相位和有效值(或最大值)就行了。
u2 4 2cos(314t 60o ) V
U1 630o V U 2 460o V
U U1 U 2 630 460 5.19 j3 2 j3.46
7.19 j6.46 9.6441.9o V
u u1 u2 9.64 2cos(314t 41.9o ) V
也可借助相量图计算
解 547 10 25 (3.41 j3.657) (9.063 j4.226)
12.47 j0.569 12.48 2.61
例2
220 35 (17 j9) (4 j6) ?
20 j5
解
原式
180.2
j126.2
19.2427.9 7.21156.3 20.6214.04
例1 已知 i 141.4cos(314t 30o )A 试用相量表示i, u . u 311.1cos(314t 60o )V
解
•
I
10030o
A
•
U 220 60o V
例2
•
已知I
5015
A,
f 50Hz .
试写出电流的瞬时值表达式。
解 i 50 2cos(314t 15 ) A
F | F | (cos j sin )
（3）指数形式
根据欧拉公式 e j cos j sin
复数的三角形式可转换为指数形式
F | F | (cos j sin ) | F | e j
+j
b
F
|F|
0
a +1
F a jb
（4）极坐标形式
F | F | e j | F |
F a2 b2 ,
考虑。
（2）测量中，电磁式交流电压、电流表读数均为有效值。 （3）电压、电流的瞬时值、最大值、有效值的符号。
i , Im , I
4. 同频率正弦量的相位差
设 u(t)=Umcos(w t+ u), i(t)=Imcos(w t+y i)
则 相位差 ：j = (w t+ u) - (w t+ i) = u- i