具有幂条件的矩阵类的研究与Jordan标准形

（ 4） （ 5）
.
命题 3(见[13，定理 7])设 A Î F n´ n ，则
A 为本质(m, l )幂等的 Û mA ( x) x m - xl .
骣 J1 ç 例 2 设A= ç ç 0 桫
0÷ ÷, J = J2 ÷ 1
骣 骣 0 0鼢 - 1 0 珑 ，则 , J2 = 鼢 珑 珑 1 0鼢 0 - 1 桫 桫
A 分别是幂等和由 - 1 确定的数 在(1)中当C = 0 或B = 0 时, A 为本质 3 幂等的. 量幂等的(见[2])。 当B , C 都非零时,[1]称
这样将从 A2 = A得的“ A3 = A ”与 A3 = A 而 A2 ¹ A的情况区 骣 骣 1 0 0 0 鼢 珑 别开来.由此知， 例 1 中, P = 珑 鼢 为本质 3 幂等的. 鼢 珑 1 0 桫 0 1 桫
E ,称 A 为 m 对合矩阵。
5. 2008 年武汉大学硕士研究生入学试题： 设 A 是一个非零方阵， A3 = A2 ，问是否一定有 A2 = A？为什么？
由上可以看出，具有幂条件的矩阵形式多样，可否
有一个统一的形式？
三 问题的解决
定义 1
设 A Î F n´ n ，若有最小正整数 m使 m > l (? N )
(2)
轾 0 犏 犏 0 犏 Cm A ( x ) = 犏 0 犏 犏 犏 犏 - bu 臌
ห้องสมุดไป่ตู้
1 0 0 - bu- 1 -
0 1 0 bu- 2 -
0 0 1 bu- 3
0 0 0 - b1
,
a = (- bu , - bu- 1 ,, - b1 ) ,(3)
Am = Al , 这里l 是由 m唯一确定的.
定义1与[13]的(m,l)幂等矩阵的规定相同，[13]还研究了 (m,l)幂等矩阵性质与判定，如：
命题 2 (见[13，定理 6])设 A Î
F n´ n 的最小多项式
m A ( x ) = xu + b1 xu- 1 + b2 xu- 2 + + bu- 1 x + bu ,
且 Am = Al 成立, 称 A 为本质(m, l )幂等矩阵。
特别地，当l = 1时,本质 (m,1)幂等矩阵就是周知的 m幂等矩阵.
当 l = 0 时,本质 (m,0)幂等矩阵就是 m对合矩阵.
幂零矩阵也包含在其中，若 Al- 1 ¹ 0, Al =0, 则
Al + 1 =Al (= 0) ，幂零矩阵为本质(l + 1, l )幂等矩阵
具有幂条件的矩阵类的 研究与Jordan标准形
杨忠鹏 陈梅香
一、问题的来源
1. 教学 2. 学生毕业论文选题 3. 考研试题
二、问题的内容
1. 若A2=A，则称A为幂等矩阵。 近年来，J.koliha[1] 和 Y.Tian[2,3]等一批学者对
幂等矩阵的性质进行了深刻的研究，他们探讨了两个幂
A4 = A2 = diag (0, E2 ) , A 为本质 (4,2) 幂等的； mA ( x) = x 2 ( x + 1) ，
如果应用命题 3 的充分性和 mA ( x) | x7 - x5 ，则应得到 A 为本质(7,5)幂等的结论， 这个矛盾说明命题 3 一般不成立； 由 A 为本质 (4,2) 幂等的和 m A ( x )次数 u = 3,知, mA ( x) = x 2 ( x + 1) 的相伴矩阵
N
这样当 d = m - 3(? 3)为奇数时，即 m = d + 3(? 6)为偶数时，
m- 3 d a Cm = a C mA ( x ) = - a Q = (0,0,1) = e2+ 1 = e3 . A ( x)
等矩阵的和、差、乘积、换算子、线性组合的等一系列 的秩等式关系，并得到了在约束条件
=｛(a,b):ab(a+b) 0｝
下幂等矩阵的线性组合的可逆性与组合系数a,b选择无 关的结果。
2.若
A3=A，称 A为三幂等矩阵。
文献[5]研究了幂等矩阵与三幂等矩阵线性组合的幂等性. 文献[6]利用秩的恒等式来判定矩阵的幂等、3幂等或m幂等性. 文献[7]讨论了三个两两可交换的三幂等矩阵的线性组合的可 逆性.
CmA ( x ) 称为最小多项式 m A ( x )相伴矩阵；
设 e 是第 分量为 1 其余分量都是零的行向量，
l
l
则 A 为本质(m, l )幂等矩阵 Û m ³ u 且a C
m- u mA ( x )
l- u ì ï a Cm ,当l ³ u时， A ( x) ï =í ï ï î el + 1， 当l < u时，
骣 1 0÷ 3 ç 例 1 设P = ç ，则 P = P ， P 是三幂等的。 ÷ ÷ ç 1 - 1 桫
但 P3+ 2 k = P ， k Î N ，那么 P 是3 + 2k 幂等的？
[5]指出 3 幂等矩阵的重要且常用的性质:
A3 = A = B - C , B = B 2 ,C = C 2 ,BC = CB = 0 ,(1)
3.若正整数 mÎ N 使 Am = A,称 A Î F n´ n 为 m幂等的.
m幂等矩阵的研究引起很多人的关注：
文献[8-10]讨论了m幂等矩阵的线性组合的幂等性, ［11，12］研究了m幂等矩阵的一些代数性质.
4. 若 A2 = E ，则称 A 为对合矩阵。 若 A ? C n´ n , Am
注：虽然定义 1 只强调了 m的最小性,但本质(m, l )幂等矩阵 的 m, l 都是唯一确定的.
命 题 1 设 A Î F n´ n ， 则 A 为 本 质 (m, l ) 幂 等 矩 阵
Û A0 = E , A,, Al- 1 , Al , Al + 1 ,, Am- 1 是 互 不 相 同 的 且
骣 0 1 0÷ ç ÷ ç 2 ÷ Cm A ( x ) = ç 0 0 1 C = 且 ÷ m ç A ( x) ÷ ç ÷ ç ç 0 0 - 1÷ 桫 骣 0 0 1÷ ç ÷ ç ÷ ç 0 0 1 = Q ， a = (0,0,- 1) ÷ ç ÷ ç ÷ ç ç 0 0 1÷ 桫
3 d d , 进而可用归纳法证明 Cm = Q C = ( 1) Q， d (澄2) ( x ) m ( x ) A A