概率论与数理统计第15讲

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f(x)=kxr-1e-lx (5.24) 因此我们现在可以得到式(5.24)中的常数 r l k为 k G(r ) 因此可以正式定义伽玛分布如下。
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定义 5.5如果连续型随机变量X具有概率密度 r l r -1 - l x x e , x0 f ( x) G(r ) (5.26) 0, x„ 0 其中l>0, r>0，则称X服从伽玛分布或G 分布，简记作X~G(l,r)。 上面的概率密度函数也可以用in函数表 示为 l r r -1 - l x f ( x) x e in( x;0, ) (5.27) G(r )
0


t
r -1
-t
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大家应当习惯这一点，就是数学家发现某个 函数不好算就专门定义一个，例如各三 角函数也是需要数值算法的，但是现在 计算器都支持。在应用数学家园网站的 表达式计算，函数绘制曲线及积分中， 将伽玛函数表示为gam(x)。
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伽玛函数有许多性质，网上都可以搜得到， 但是有两个重要性质为(1)G(r+1)=rG(r), (2)对于正整数n，G(n+1)=n!。 r t r -t 证 G(r 1) t e dt - t d e
n r 2
1 (n是正整数)， l 2
n -1 2
时，
1 x n n 2 f ( x) 2 G( ) 2 0,
e , x0 (5.30) x„ 0
-
x 2
这被称为具有n个自由度的c2分布(简记 作c2(n))，它是数理统计中最重要的几个 常用统计量的分布之一。
a a
将指数分布的概率密度代入到数学期望 的计算公式有
E( X ) -x e

0
xl e
-l x
d x -
-l x

0
x d e
-l x

-l x
- l x 0
e
0
dx
l
1

0
le
dx
1
l
5
5
而
E( X )
2

0
x le
2 0
-l x
d x -
r1 -1
1
x z
r1 r2 -1
-l z

1
0
u
r1 -1
(1 - u )
r2 -1
du
上式右端的积分值已经和z无关，因此我们根 本不关心这个积分值是一个什么常数， 只是知道从上面的fZ(z)的表达式中知道 r1 r2 -1 - l z 是与 z fZ(z) e 成正比，就已经得出结论 29 Z~G(l,r +r )，证毕。
0 0
2
2
图5-3给出了当l=1时的指数分布的概率密度 形状。
f(x)
1
0.5
x O 5 图5-3
10
3
3
定理 5.2如果随机变量X服从参数为l的指数 分布，则有 1 1 1 E ( X ) , D( X ) 2 , X (5.22) l l l
4
4
证 在计算E(X)和E(X2)时要用到定积分的分部 积分公式 b b b (5.23) u d v uv a - v d u
k2 ( z - x)
r2 -1
e
-l ( z- x)
因为函数in(z-x;0,+∞)在z-x>0时才为1，其他 情况为0，即x<z时才为1其他情况为0， 因此 及 ，代入前面fZ(z)的表示式可得
f Z ( z ) k1k2 x
0 z r1 -1
( z - x)
z
r2 -1
e
- l x -l ( z - x ) r2 -1

0

0
-t e
r

- t 0
-t
rt
0

r -1
e d t rG(r )
-t
G(1) e d t 1,
0
G(2) 1 G(1) 1, G(3) 2 G(2) 2, G(n) ( n - 1)G( n - 1) ( n - 1)!
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推论 如果随机变量X1,X2,⋯,Xn相互独立且都 服从参数l一样的伽玛分布，X1~G(l,r1), X2~G(l,r2), ⋯, Xn~G(l,rn)， 则 X1+X2+⋯+Xn~G(l,r1+r2+⋯+rn)。
这就是排队论中常用到的r阶爱尔朗分布。
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r阶爱尔朗分布的一个例子：假设一个门诊医 生一天看10个病人就可以下班，当然， 处理每一个病人的时间有长有短，有的 病人可能五分钟就可以打发，而有的病 人可能需要仔细检查和处理两个小时， 因此他一天的工作时间X就是一个随机 变量，X服从10阶爱尔朗分布，如果他 平均一天要工作六个小时，即 r 10 E( X ) 6 l l
-l z
r1 -1
u
0
1
r1 -1
(1 - u )
r2 -1
du
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28
f Z ( z ) k1k2 x
0
z
r1 -1
( z - x)
z
r2 -1
e
- l x -l ( z - x ) r2 -1
dx 1 dx z
k1k2 z k1k2 z
r1 r2 -1
e e
-l z
x 0 z
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指数分布常用来作为各种“寿命”分布的近 似。如随机服务中的服务时间、某些消 耗性产品(电子元件等)的寿命等等。
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例 5.8某元件寿命X服从参数为l(l-1=1000小 时)的指数分布。3个这样的元件使用 1000小时后，都没有损坏的概率是多少？ (假设各元件的寿命相互独立) 解 一个元件使用1000小时后没有损坏的 概率为 x x
dx 1 dx z
27
k1k2 z
r1 r2 -1
e
-l z
x 0 z
r1 -1
1
x Hale Waihona Puke Baidu
27
f Z ( z ) k1k2 x
0 r1 r2 -1
z
r1 -1
( z - x)
z
r2 -1
e
- l x -l ( z - x ) r2 -1
dx
x x 1 k1k2 z e 1 - dx 0 z z z 在上式中的右端的积分中做一个变元替换 x u z 则积分变成
xf ( x)d x

l
r
x e
r
-l x
dx
18
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E( X )
2

l
r
G(r ) G(r 2) (r 1)r 2 2 l G(r ) l
0
x
r 1
e
-l x
dx
因此
D( X ) E ( X ) - [ E ( X )]
2 2
(r 1)r
l
2
-
r

0
x d e
2
-l x

2
-x e
2
- l x 0
e
2

-l x
2x d x
2
l
E( X )
2
l
2
1 1 D( X ) E ( X ) - [ E ( X )] 2 - 2 l l l 当然就有 1 X D( X ) l
2
所以
2
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24
定理 5.4如果随机变量X,Y相互独立，且 X~G(l,r1), Y~G(l,r2)，则X+Y~G(l,r1+r2)， 换句话说就是参数l值相同的独立的服从 伽玛分布的随机变量的和仍然服从伽玛 分布，其l值保持不变而相应的r值相加。 证 在证明中要用到第3章已经证明的两 个独立的随机变量X,Y，其概率密度分别 为fX(x), fY(y)，则Z＝X+Y的概率密度fZ(z) 的公式按下式计算：
fZ ( z)

-
f X ( x) fY ( z - x)d x
(5.31)
25
25
fZ ( z)

-
f X ( x) fY ( z - x)d x
(5.31)
而从准概率密度函数的考虑，我们只需要证 r1 r2 -1 - l z f Z ( z ) kz e in( z;0, ) 明fZ(z)具有 的形式就已经证明了所要的结论，将 r1 -1 - l x f X ( x) k1 x e in( x;0, ) r2 -1 - l y fY ( y ) k2 y e in( y;0, ) 代入式(5.31)得：
5.4 指数分布
1
1
定义 5.4如果连续型随机变量X的概率密度是
l e - l x , x 0 f ( x) (5.20) 其他 0, 其中l>0, 则称X服从参数为l的指数分布。 如果采用本书定义的in函数，f(x)也可以 写为 f(x)=le-lxin(x;0,+) -l x (5.21) f ( x)d x l e in( x;0, )d x - - 不难得到 -l x - l x l e d x -e 0 - (-1) 1
f Z ( z ) k1 x
-

r1 -1
e
-l x
in( x;0, ) in( z - x;0, )d x
26
k2 ( z - x)
r2 -1
e
-l ( z- x)
26
f Z ( z ) k1 x
-

r1 -1
e
-l x
in( x;0, ) in( z - x;0, )d x
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服从伽玛分布的随机变量是只取正值的，因 此在x 0时概率密度函数为0。而在x>0 的区间准概率密度的形式是xae-lx, 即当 看到概率密度的形式是x的某次方乘上e 的负指数函数的时候，相应的分布就叫 G分布或者伽玛分布了。但是对于概率 论经常把参数写成以后表示数字特征方 便的形式，因此通常将xa写成xr-1，其中 r=a+1，因此服从G分布的概率密度函数 具有形式 f(x)=kxr-1e-lx (5.24) 11
2 2
l

r
l
2
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伽玛分布在概率论、数理统计和随机过程中 都有不少应用。 当r=1时，f(x)=le-lxin(x;0,+∞)，这就是 前面讲过的指数分布。 当r为正整数时， r l r -1 - l x x e , x0 f ( x) (r - 1)! (5.29) 0, x„ 0
r -1
e
-(l x)
d(l x)
l
-r

0
t
r -1
e dt
-t
12
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积分
e d t 中有一个参数为r，每给 0 定一个r值就可以计算出一个积分值，而 且这个积分值还不容易给出解析的表达 式，正因为如此，所以数学家们就将它 视为r的函数，称这个函数为G函数或者 伽玛函数，记为G(r)以后就用数值积分 的办法来计算这个函数值。即自变量为r 的伽玛函数定义为 r -1 - t G(r ) t e d t (5.25)
1 -1000 -1 1000 P{ X 1000} e d x -e e 1000 1000 1000
因各元件寿命相互独立，因此三个元件 使用1000小时后都没有损坏的概率就是 三个e-1相乘即为e-3≈0.05。
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5.5 伽玛分布
9
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前面已经讲到，与概率密度函数成正比的函 数称之为准概率密度函数，而从函数曲 线的形状来说，准概率密度函数与概率 密度函数的是一样的，只不过差一个比 例常数。因此准概率密度函数已经完全 包含了分布的信息。 本节介绍伽玛分布，也叫G分布，希腊 大写字母G念伽玛，所以中文叫伽玛分 布。
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E( X ) 6
可反推出
r
l

10
l
10 l 1.667 6
而这时l也恰好就是他平均一个小时接待的病 人数，因此他一个小时接诊的病人数是另一 个离散型随机变量Y，Y恰好服从参数为l的泊 松分布。当然，他每处理一个病人所需要的 时间Z当然就是服从一阶爱尔朗分布，也就是 指数分布。
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定理 5.3假设X~G(l,r), 则 r r E ( X ) , D( X ) 2 l l 证 根据式(5.27)有
(5.28)
E( X )

G(r ) 1 G(r 1) r r -t t e d t lG(r ) 0 lG ( r ) l
- 0
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象这种现代商业社会中的服务流如电工服务 维修服务等等都是常见的。它们都是由 一个参数l代表一段时间里的平均服务数， 从而导致指数分布，爱尔朗分布和泊松 分布，都以这个l为参数，这样的服务过 程也是一个随机过程，被称为泊松流， 属于随机过程理论的研究分支，已经超 出了本书的范围。
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当
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f(x)=kxr-1e-lx (5.24) 它有两个参数r 和l，在数学上可以证明 r -1 - l x x e d x 当r>0且l>0时，积分 是 0 收敛的，因为它是求式中k的关键，因此 进一步将这个积分化简，令t=lx则


0
x
r -1
e
-l x
dxl

-r


0
(l x )