最优控制理论课程总结
最优控制理论
对于越来越多的复杂控制对象，一方面，人们所要求的控制性能不再单纯的局限于一两个指标；另一方面，上述各种优化方法，都是基于优化问题具有精确的数学模型基础之上的。但是许多实际工程问题是很难或不可能得到其精确的数学模型的。这就限制了上述经典优化方法的实际应用。随着模糊理论、神经网络等智能技术和计算机技术的发展。 近年来，智能式的优化方法得到了重视和发展。 (1)神经网络优化方法 人工神经网络的研究起源于1943年和Mc Culloch和Pitts的工作。在优化方面，1982年Hopfield首先引入Lyapuov能量函数用于判断网络的稳定性，提出了Hopfield单层离散模型；Hopfield和Tank又发展了Hopfield单层连续模型。1986年，Hopfield和Tank将电子电路与Hopfield模型直接对应，实现了硬件模拟；Kennedy和Chua基于非线性电路理论提出了模拟电路模型，并使用系统微分方程的Lyapuov函数研究了电子电路的稳定性。这些工作都有力地促进了对神经网络优化方法的研究。 根据神经网络理论，神经网络能量函数的极小点对应于系统的稳定平衡点，这样能量函数极小点的求解就转换为求解系统的稳定平衡点。随着时间的演化，网络的运动轨道在空间中总是朝着能量函数减小的方向运动，最终到达系统的平衡点——即能量函数的极小点。因此如果把神经网络动力系统的稳定吸引子考虑为适当的能量函数（或增广能量函数）的极小点，优化计算就从一初始点随着系统流到达某一极小点。如果将全局优化的概念用于控制系统，则控制系统的目标函数最终将达到希望的最小点。这就是神经优化计算的基本原理。 与一般的数学规划一样，神经网络方法也存在着重分析次数较多的弱点，如何与结构的近似重分析等结构优化技术结合，减少迭代次数是今后进一步研究的方向之一。 由于Hopfield模型能同时适用于离散问题和连续问题，因此可望有效地解决控制工程中普遍存在的混合离散变量非线性优化问题。 (2)遗传算法 遗传算法和遗传规划是一种新兴的搜索寻优技术。它仿效生物的进化和遗传，根据“优胜劣汰”原则，使所要求解决的问题从初始解逐步地逼近最优解。在许多情况下，遗传算法明显优于传统的优化方法。该算法允许所求解的问题是非线性的和不连续的，并能从整个可行解空间寻找全局最优解和次优解，避免只得到局部最优解。这样可以为我们提供更多有用的参考信息，以便更好地进行系统控制。同时其搜索最优解的过程是有指导性的，避免了一般优化算法的维数灾难问题。遗传算法的这些优点随着计算机技术的发展，在控制领域中将发挥越来越大的作用。 目前的研究表明，遗传算法是一种具有很大潜力的结构优化方法。它用于解决非线性结构优化、动力结构优化、形状优化、拓扑优化等复杂优化问题，具有较大的优势。 (3)模糊优化方法 最优化问题一直是模糊理论应用最为广泛的领域之一。 自从Bellman和Zadeh在 70年代初期对这一研究作出开创性工作以来，其主要研究集中在一般意义下的理论研究、模糊线性规划、多目标模糊规划、以及模糊规划理论在随机规划及许多实际问题中的应用。主要的研究方法是利用模糊集的a截集或确定模糊集的隶属函数将模糊规划问题转化为经典的规划问题来解决。 模糊优化方法与普通优化方法的要求相同，仍然是寻求一个控制方案（即一组设计变量），满足给定的约束条件，并使目标函数为最优值，区别仅在于其中包含有模糊因素。普通优化可以归结为求解一个普通数学规划问题，模糊规划则可归结为求解一个模糊数学规划(fuzzymathematicalprogramming)问题。包含控制变量、目标函数和约束条件，但其中控制变量、目标函数和约束条件可能都是模糊的，也可能某一方面是模糊的而其它方面是清晰的。例如模糊约束的优化设计问题中模糊因素是包含在约束条件（如几何约束、性能约束和人文约束等）中的。求解模糊数学规划问题的基本思想是把模糊优化转化为非模糊优化即普通优化问题。方法可分为两类：一类是给出模糊解（fuzzysolution）；另一类是给出一个特定的清晰解（crispsolution）。必须指出，上述解法都是对于模糊线性规划（fuzzylinearprogramming）提出的。然而大多数实际工程问题是由非线形模糊规划（fuzzynonlinearprogramming）加以描述的。于是有人提出了水平截集法、限界搜索法和最大水平法等，并取得了一些可喜的成果。 在控制领域中，模糊控制与自学习算法、模糊控制与遗传算法相融合，通过改进学习算法、遗传算法，按给定优化性能指标，对被控对象进行逐步寻优学习，从而能够有效地确定模糊控制器的结构和参数
最优控制-极大值原理
近似算法
针对极大值原理的求解过程，开 发了一系列近似算法，如梯度法、 牛顿法等，提高了求解效率。
鲁棒性分析
将极大值原理应用于鲁棒性分析， 研究系统在不确定性因素下的最 优控制策略，增强了系统的抗干 扰能力。
极大值原理在工程领域的应用
航空航天控制
在航空航天领域，利用极大值原理进行最优 控制设计，实现无人机、卫星等的高精度姿 态调整和轨道优化。
03
极大值原理还可以应用于经济 学、生物学等领域，为这些领 域的研究提供新的思路和方法 。
02
最优控制理论概述
最优控制问题定义
01
确定一个控制输入，使得某个给定的性能指标达到 最优。
02
性能指标通常由系统状态和控制输入的函数来描述。
03
目标是在满足系统约束的条件下，找到最优的控制 策略。
最优控制问题的分类
1 2
确定型
已知系统的动态模型和控制约束，求最优控制输 入。
随机型
考虑系统的不确定性，如随机干扰、参数不确定 性等。
3
鲁棒型
考虑系统模型的不确定性，设计鲁棒控制策略。
最优控制问题通过求解优化问题得到最优解的解析表达式。
数值法
02
通过迭代或搜索方法找到最优解。
极大值原理
03
基于动态规划的方法，通过求解一系列的子问题来找到最优解。
03
极大值原理
极大值原理的概述
极大值原理是现代控制理论中的基本原理之一，它为解决最 优控制问题提供了一种有效的方法。该原理基于动态系统的 状态和性能之间的关系，通过寻求系统状态的最大或最小变 化，来达到最优的控制效果。
在最优控制问题中，极大值原理关注的是在给定的初始和终 端状态约束下，如何选择控制输入使得某个性能指标达到最 优。它适用于连续和离散时间系统，以及线性或非线性系统 。
最优控制结课心得体会5篇范文
最优控制结课心得体会5篇范文第一篇：最优控制结课心得体会最优控制结课心得体会最优控制理论的形成和发展和整个现代自动控制理论的形成和发展十分不开的。
在20世纪50年代初期，就有人开始发表从工程观点研究最短时间控制问题的文章，尽管其最优性的证明多半借助于几何图形，仅带有启发性质，但毕竟为发展现代控制理论提供了第一批实际模型。
由于最优控制问题引人注目的严格表述形式，特别是空间技术的迫切需求，从而吸引了大批科学家的密切注意。
非常荣幸今年能够在刘老师班中学习最优控制这门课程，在这门课上，我们了解了最优控制是系统设计的一种方法，研究的中心问题是如何选择控制信号（控制策略），才能保证控制系统的性能在某种意义下最优。
而最优控制是现代控制理论的核心，它研究的主要问题是：在满足一定约束条件下，寻求最优控制策略，使得性能指标取极大值或极小值。
使控制系统的性能指标实现最优化的基本条件和综合方法，可概括为：对一个受控的动力学系统或运动过程，从一类允许的控制方案中找出一个最优的控制方案，使系统的运动在由某个初始状态转移到指定的目标状态的同时，其性能指标值为最优。
这类问题广泛存在于技术领域或社会问题中。
例如，确定一个最优控制方式使空间飞行器由一个轨道转换到另一轨道过程中燃料消耗最少。
最优控制理论是50年代中期在空间技术的推动下开始形成和发展起来的。
美国学者R.贝尔曼1957年提出的动态规划和前苏联学者L.S.庞特里亚金1958年提出的极大值原理，两者的创立仅相差一年左右。
对最优控制理论的形成和发展起了重要的作用。
线性系统在二次型性能指标下的最优控制问题则是R.E.卡尔曼在60年代初提出和解决的。
从数学上看，确定最优控制问题可以表述为：在运动方程和允许控制范围的约束下，对以控制函数和运动状态为变量的性能指标函数（称为泛函）求取极值（极大值或极小值）。
解决最优控制问题的主要方法有古典变分法（对泛函求极值的一种数学方法）、极小值原理和动态规划。
自动控制原理最优控制知识点总结
自动控制原理最优控制知识点总结自动控制原理是现代工程领域中一个非常重要的学科，广泛应用于工业生产、交通运输、航空航天等各个领域。
在自动控制原理中，最优控制是一个关键的概念和方法，它旨在通过优化系统的性能指标，实现系统的最佳控制效果。
本文将对自动控制原理中的最优控制知识点进行总结。
一、最优控制的基本概念最优控制是在给定约束条件下，通过设计最优控制器使系统的性能指标达到最佳的控制方法。
其中，性能指标主要包括系统的稳定性、响应速度、误差稳态和鲁棒性等方面。
最优控制的目标是通过优化控制器参数和系统的状态变量，使系统的性能指标最小化或最大化。
二、最优控制的数学模型最优控制的数学模型主要包括动态模型和性能指标两个方面。
动态模型描述了系统的演化过程，可以是线性模型或非线性模型；性能指标则是对系统性能的衡量，可以是能量消耗、误差平方和、状态变量变化率等。
最常用的数学工具是拉格朗日乘子法、泛函分析、动态规划等。
三、最优控制的方法最优控制的方法包括最优化理论、动态规划、变分法等。
其中，最优化理论是最常用的方法之一，主要通过求解极值问题来设计最优控制器。
动态规划则是一种递推算法，通过将大问题分解成小问题，并利用最优性原理逐步求解最优控制器。
变分法则是通过对系统状态和控制器函数进行变分，并通过求解欧拉-拉格朗日方程来得到最优系统。
四、最优控制的应用最优控制在各个领域都有广泛的应用。
在工业生产中，最优控制可以提高生产过程的效率和质量；在交通运输中，最优控制可以优化交通流量和减少交通拥堵；在航空航天中，最优控制可以提高飞行器的性能和安全性。
此外，最优控制还应用于经济学、生物学、环境科学等其他领域。
五、最优控制的发展趋势随着科技的发展和应用领域的不断扩展，最优控制领域也在不断发展和创新。
未来的研究方向主要包括多目标最优控制、非线性最优控制、鲁棒最优控制等。
同时，随着计算机技术的进步，最优控制算法也将得到进一步改进和优化。
总结：自动控制原理中的最优控制是一个重要的概念和方法，通过优化系统的性能指标，实现系统的最佳控制效果。
最优控制总结
最优控制理论总结宫庆义2010.6.301. 最优控制问题可用下列泛函表示:[][]0()00min (),(),(),..(1)()(),(),,()(2)(),0ft f f t u t f f J x t t L x t u t t dt s t xt f x t u t t x t x x t t ϕψ∈Ω⎡⎤=+⎣⎦==⎡⎤=⎣⎦⎰2. 最优控制的应用类型:(一) 积分型性能指标: []0(),(),ft t J L x t u t t dt =⎰(1) 最小时间控制: 00ft f t J dt t t ==-⎰(2) 最少燃耗控制: 01()fmt jt j J u t dt ==∑⎰(3) 最少能量控制: 0()()ft T t J u t u t dt =⎰(二) 末值型性能指标: (),f f J x t t ϕ⎡⎤=⎣⎦ (三) 复合性能指标:(1) 状态调节器:011()()()()()()22f t T T Tf f t J x t Fx t x t Qx t u t Ru t dt ⎡⎤=++⎣⎦⎰ (2) 输出跟踪系统:011()()()()()()()()()22f t T T Tf f t J e t Fe t e t Qe t u t Ru t dt e t z t y t ⎡⎤=++=-⎣⎦⎰3. 欧拉-拉格朗日方程:0L d L x d t x ∂∂⎛⎫-= ⎪∂∂⎝⎭注: 若()min (,,)..(,,)0ft x t J g x xt dt s t f x xt ==⎰ (,,,)(,,)()(,,)TL x xt g x x t t f x x t λλ=+例题:(1)求通过点(0,0)及(1,1)且使120()J x xdt =+⎰取极值的轨迹*()x t 解: 欧拉-拉格朗日方程: 2(2)0dx x dt-= 即 0x x -= ()c o s h s i n hx t a t b t =+ 由初始条件:(0)00x a =⇒= 末端条件: 1(1)1sinh1x b =⇒= 因而极值轨迹为:*1()sinh sinh1x t t = (2)求使指标1230()J xx dt =+⎰取极值的轨迹*()x t , *(0)0x = 解:这是终端自由的情况, 欧拉-拉格朗日方程为:()2230dx x dt+= 即 223x x C += 令()xt at b =+ 由(0)00x b =⇒= 又末端自由, 横截条件为:2310ft t Lx x x=∂⎡⎤=+=⎣⎦∂ 即 2230a a +=得:0a =或23a =-, *()0,0x t J ==对应局部极小, *24(),327x t t J =-=对应局部极大(3)设系统状态方程: x u = 边界条件为: (0)1,()0,f f x x t t ==自由性能指标为: 2012f t f J t u dt =+⎰ 要求确定最优控制*u , 使J 最小解: 这是f t 自由问题, 末端状态固定, ()0f x t =是满足约束集的特殊情况, 即 (),()0f f f x t t x t ψ⎡⎤==⎣⎦(),f f f x t t t ϕ⎡⎤=⎣⎦哈密顿函数: 212H u u λ=+ 正则方程: 0HHxu xλλ∂∂===-=∂∂ 控制方程: 0Hu u uλλ∂=+=⇒=-∂()1f fH t t ϕ∂=-=-∂ 即 : 221()()10()2f f f t t t λλλ-+=⇒=由正则方程: ()0t λ= 所以 ()t λ=于是 *()u t =再由正则方程: xu λ==- 可得()x t c =+ 由初始条件 (0)1x = 得 1c =故最优轨迹为: *()1x t =+ *()02f f x t t =⇒=(4) 设系统的状态方程为: ()()()xt x t u t =-+ 边界条件为: (0)1,()0f x x t ==, 求()u t , 使221()2f t J x u dt =+⎰为最小解: 221()()2H x u x u λ=++-+协态方程和控制方程为: H x x λλ∂=-=-+∂ Hu uλ∂=+=0∂ 即 u λ=- 故可得正则方程: ()()()xt x t t λ=-- ()()()t x t t λλ=-+ 拉氏变换: ()(0)()()sX s x X s s λ-=-- ()(0)())s s X s s λλλ-=-+( 解代数方程得:()(0)(0)()(0)(0)s x X s x λ==拉氏反变换:()()()()()(0)1)1)(0)()(0)1)1)(0)t e x e x t ee x λλλ⎤=-++⎦⎡⎤=-++⎣⎦由: (0)1,()0f x x t ==得:(0)f fλ=*()()1)1)u t t eeλ⎧⎫⎪⎤=-=-+⎬⎦⎪⎭注: 拉氏变换表(5)设系统状态方程为: 122()()()()x t x t xt u t == 初始条件为: 12(0)(0)1x x ==, 末端条件为: 12(1)0(1)x x =自由要求确定最优控制*()u t , 使泛函1201()2J u t dt =⎰取极小值 解: 边界条件222()(1)0(1)f t x ϕλλ∂===∂ 哈密顿函数: (,,)(,,)T H L x u t f x u t λ=+ 212212u x u λλ=++ 正则方程: 12112()0()()H Ht t t x x λλλ∂∂=-==-=-∂∂ 状态方程: 1222()()()()xt x t xt t λ==- 极值条件:0Hu∂=∂ ⇒ 20u λ+= 即 : *2()()u t t λ=- 边界条件: 12(0)1(0)1x x ==1222(1)0()(1)0(1)f x t x ϕλλ∂====∂ 对正则方程和状态方程进行拉氏变换:11222211221()(0)()()(0)()()(0)0()(0)()sX s x X s sX s x s s s s s s λλλλλλ-=-=--=-=-解以上代数方程得:11221222112123234111()(0)()(0)(0)1111111()(0)(0)()(0)(0)s s ss s X s X s s s ss s s sλλλλλλλλλ==-=--=+-+拉氏反变换:2312122111()1(0)(0)26()(0)(0)x t t t t t tλλλλλ=+-+=- 利用末端条件: 1212(1)0,(1)0(0)(0)6x λλλ==⇒== 最优状态轨迹:*231()13x t t t t =+-+ 最优协态:*2()6(1)t t λ=- 最优控制: **2()()6(1)u t t t λ=-=-(6) 设系统的状态方程为:10()()()001xt x t u t ⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦指标泛函: 2201()2J u t dt =⎰ 边界条件: 10(0)(2)10x x ⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦求使指标泛函取极值的极值轨线*()x t 和极值控制*()u t 解: []121212221,,2T f x x g u f f u xλλλ-⎡⎤⎡⎤====⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦ 拉格朗日标量函数: 2121221()()2TL g f u x xu x λλλ=+=+-+- 欧拉方程:1111122222000L d L a x dt x L d L at b x dt xL d L u u at bu dt uλλλλλλ∂∂-===∂∂∂∂-=+==-+∂∂∂∂-=+==-∂∂由于状态约束方程:22223212112111262xu at b x at bt c xx at bt c x at bt ct d==-=-+==-+=-++代入边界条件: 10(0)(2)10x x ⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦得: 73,,12a b c d ====于是极值轨线: *321**22()0.5 1.751()3 3.5() 1.5 3.51x t t t t u t t x t t t ⎡⎤⎡⎤-++==-⎢⎥⎢⎥-+⎢⎥⎣⎦⎣⎦*x =(7)设性能指标泛函: 0ft J =⎰(0)1,()()2f f f x x t c t t ===-求使泛函为极值的最优轨线*()x t 及相应的**,ft J 解: L = 欧拉-拉格朗日方程:22220,()1L d L d C C x a x t at b x dt x dt C⎡⎤∂∂-=-=⇒===⇒=+∂∂- 由(0)1x =得: 1b =由横截条件:()(10()11ffTf t t L L cx x xt a x ⎤∂⎡⎤+-=--=⇒=⇒=⎢⎥∂⎣⎦最优轨线为: *()1x t t =+当f t t =时, ()()f f x t c t = 即: 12f f t t +=-, 求得末端时刻 *12f t = 将**(),f x t t 代入指标泛函,可得最优性能指标*J =(8) 设系统方程为: 122()()()()x t x t xt u t == 初态:12(0)(0)0x x == 末端时刻: 1f t = 末端约束: 12(1)(1)1x x += 性能指标: 121()2J u t dt =⎰ 求使J 最小的最优控制*()u t 和相应的最优轨线*()t x 解: 2121()0,()()(1)(1)12f f t L u t x x ϕψ⎡⎤⎡⎤===+-⎣⎦⎣⎦ x x212212H u x u λλ=++ 由协态方程: 1110()H t a x λλ∂=-==∂2122()H t at b x λλλ∂=-=-=-+∂由极值条件:220Hu u at b uλλ∂=+=⇒=-=-∂由状态方程:2222321211()2111()262xu at b x t at bt c xx at bt c x t at bt ct d==-=-+==-+=-++由初态: 12(0)(0)00x x c d ==⇒== 由目标集: 12(1)(1)10496x x a b +-=⇒-=根据横截条件:1212(1)(1)(1)(1)x x ψψλγγλγγ∂∂====∂∂即: 121(1)(1)2a b λλ=⇒=于是解得: 36,77a b =-=-最优解为: *3()(2)7u t t =-- 最优轨线: *211()(6)14x t t t =-- *23()(4)14x t t t =--例题:(1) 最短时间控制问题:状态方程: 122,x x xu == 初始条件: 101220(0)(0)(0)x x x x ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦x = 末端条件: 12()()0f f x t x t ==约束控制: ()10f u t t t ≤≤≤求使性能指标0ft f J dt t ==⎰取极小的最优控制.解: 1221T H L f x u λλ=+=++λ协态方程: 110H x λ∂=-=∂ 212H x λλ∂=-=-∂12()()t at at b λλ==-+选择u 使H 取极小 []2221()0()sgn ()1()0t u t t t λλλ<⎧==⎨->⎩2()t λ为t 的线性函数, u 最多改变一次符号当()1u t =时, 状态方程的解为:220212010()1()2x t t x x t t x t x =+=++ 消去t 得相轨迹方程: 2121()()2x t x t C =+ 当()1u t =-时, 状态方程的解为:220212010()1()2x t t x x t t x t x =-+=-++ 消去t 得相轨迹方程: 2121()()2x t x t C '=-+ 相轨迹的方向总是逆时针两簇曲线中, 每一簇中有一条曲线的半支进入末端状态点(原点) ()1u t =的曲线簇中, 通过原点的曲线方程为: 21221()()()02x t x t x t =≤ 记: γ+()1u t =-的曲线簇中, 通过原点的曲线方程为:21221()()()02x t x t x t =-≥ 记: γ-,γγ+-称为开关线, 其方程为: 1221()()()2x t x t x t =-开关线左侧区域用R +表示, 开关线右侧区域用R -表示 于是最优控制律, 可以表示为状态[]12,Tx x x =的函数, 即*121,(,)1,x R u x x x R γγ++--∈⎧=⎨-∈⎩(2)最少燃料控制问题状态方程: 122,xx x u == 初始条件: 101002020()()()x t x t x t x ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦x = 末端条件: 12()()0f f x t x t == 约束控制: 0()1f u t t t t ≤≤≤ 求使性能指标0()ft t J u t dt =⎰取极小的最优控制. 解: 122()T H L f u t x u λλ=+=++λ协态方程: 110H x λ∂=-=∂ 212H x λλ∂=-=-∂ 12()()t a t at b λλ==-+使H 取得极小值, 等价于求下式的极小值2()min ()()()u t u t t u t λ∈⎡+⎤⎣⎦Ω 使H 取得极小值的最优控制律为:[]222220()1()sgn ()()10()1()11()0()1t u t t t u t t u t t λλλλλ⎧<⎪=⎨->⎪⎩≤≤=--≤≤= 当()1u t =时, 2121()()2x t x t C =+ (开口向右--抛物线) 当()1u t =-时, 2121()()2x t x t C =-+ (开口向左--抛物线) 当()0u t =时, 220110200(),()()x t x x t x x t t ==+- (水平线)由状态方程得: 21120211120110222112112121222121222221:()1()20:()()()()()()1:0()()10()()()()2f f u x t t x x t t x t x u x t x t Cx t x t x t t t u x t t t x t x t t t t t =-=-+=-++====+-==+-=+-+-由以上6个方程, 来解6个未知数:(3)设系统状态方程为: 122()(),()()xt x t x t u t == 边界条件: 12121(0)(0)0,()()4f f x x x t x t ==== 控制约束: ()1u t ≤, 末端时刻f t 自由求: 最优控制*()u t 使性能指标20()f t J u t dt =⎰最小 解: 22212221221124H u x u u x λλλλλ⎛⎫=++=++- ⎪⎝⎭ 由极小值条件知:2*2221()21()()()221()2t u t t t t λλλλ<-⎧⎪⎪=-≤⎨⎪->⎪⎩ 由协态方程: 1112122()0()()()()H t t a x H t t t at b x λλλλλ∂=-==∂∂=-=-=-+∂ *211()()()22u t t at b λ=-=- 代入状态方程: 22232121111()()()24211()()()124x t u at b x t at bt c x t x t x t at bt ct d ⎧==-⇒=-+⎪⎪⎨⎪=⇒=-++⎪⎩ 由初始条件: 12(0)(0)00x x c d ==⇒==根据末端条件: 321221()12441()424f f f f f f a b x t t t a b x t t t =-==-= 根据H 沿最优轨线变化律: 2122()()()()()()0f f f f f f H t u t t x t t u t λλ=++=解得: 323(2)31,0,39f f f ff t t a b t t t --===== 最优控制: *1()()218t u t at b =-= 验证: 在0,f t ⎡⎤⎣⎦区间上, 2()1,()2u t t λ≤≤满足要求 最优轨线: *3*21211(),()10836x t t x t t == 最优性能指标: 23*01()36J u t dt ⎡⎤==⎣⎦⎰7. 对于线性连续系统, 提出二次型目标函数:00011()()()()()()()22()()()()(),(),(),(),()f t T T T f f J x t Px t x t Qx t u t R t u t dt x t A t x t B t u t x t x R t P t Q t ⎡⎤=++⎣⎦=+=⎰ 正定半正定 0,f t t 固定求: 最优反馈控制, 并论述如何选择二次型目标函数中的加权矩阵.解: []1()()()()()()()()()()2T T T H x t Qx t u t R t u t t A t x t B t u t λ⎡⎤=+++⎣⎦ 协态方程: ()()()()T H Q t x t A t t xλλ∂⎡⎤=-=-+⎣⎦∂ 控制方程: 1()()()()0()()()()T T H R t u t B t t u t R t B t t u λλ-∂=+=⇒=-∂ 横截条件: 1()()()()()()2T f f f f f f t x t Px t Px t x t x t ϕλ∂∂⎡⎤===⎢⎥∂∂⎣⎦由此可见, 协态()t λ状态()x t 在末端时刻f t 成线性关系.设: ()()()t K t x t λ= 代入状态方程:1()()()()()()()()T x t A t x t B t R t B t K t x t -=- 由协态方程: ()()()()()()()()()()T t K t x t K t x t Q t x t A t K t x t λ⎡⎤=+=-+⎣⎦ 将()xt 代入: 1()()()()()()()()()()()()0T T K t K t A t K t B t R t B t K t A t K t Q t x t -⎡⎤+-++=⎣⎦ ()K t 由下面的黎卡提矩阵微分方程确定:1()()()()()()()()()()()T T K t K t A t A t K t K t B t R t B t K t Q t -=--+- 边界条件: ()f K t P =由此可得最优反馈控制: 1()()()()()()()T u t R t B t K t X t G t x t -=-=- 加权阵的选择: 若已知各加权变量允许的最大值为:1max 2max max ,,,n x x x 和1max 2max max ,,,n u u u1m a x 2m a x m a x 111,,,,n Q d i a gx x x ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ , 1max 2max max 111,,,,n R diag u u u ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦8. 最优性原理: 一个多级决策问题的最优决策具有这样的性质: 当把其中任何一级及其及其状态作为初始级和初始状态时, 则不管初始状态是什么, 达到这个初始状态的决策是什么, 余下的决策对此初始状态必定构成最优策略.例题:(1) 系统方程为: (1)()()x k x k u k +=+, (0)x 给定 (1)122011(2)()22k J cx u k ==+∑ (2) 要求: 用动态规划寻找最优控制序列(0),(1)u u 使J 最小解: 先考虑最后一步, 即从(1)(2)x x → 这时由(1),(2)得:(2)(1)(1)x x u =+[]222211111(2)(1)(1)(1)(1)2222J cx u c x u u =+=++ 求(1)u 使1J 最小, 得:[]1(1)(1)(1)(1)0(1)(1)1J cx c x u u u u c∂=++=⇒=-∂+ 将(1)u 代入1J 和(2)x 得: 2*1(1)(1)(2)211c x x J x c c==++ 再考虑倒数第二步, 即从(0)(1)x x → 这时: (1)(0)(0)x x u =+[]22*22011(1)1(0)(0)(0)(0)22122(1)c x c J J J u u x u c c =+=+=++++ 求(0)u 使J 最小得:[](0)(0)(0)0(0)1J c u x u u c∂=++=∂+ (0)(0)12cx u c=-+ 于是最优性能指标与最优状态转移为: 2*(0)2(12)cx J c =+ 1(1)(0)(0)(0)12c x x u x c +=+=+ 9. (1)直接法: 在每一步迭代中, ()u t 不一定要满足H 取极小值的必要条件, 而是逐步改善它, 在迭代终了使它满足这个必要条件, 而且, 积分状态方程是从0f t t →, 积分协态方程是从0f t t →, 这样就避免了去寻找缺少的协态初值0()t λ的困难. 常用的有: 梯度法, 二阶梯度法, 共轭梯度法(2)间接法: 在每一步迭代中, ()u t 都要满足H 取极小值的必要条件, 而且要同时积分状态方程和协态方程,两种方程的积分都是从0f t t →或从0f t t →. 常用的有边界迭代法, 拟线性化法.10. 分离定理: 按照此定理, 可以把最优控制问题和状态变量的最优估计问题分开讨论.在研究最优控制问题时, 假定所有状态变量都可以直接得到, 而在研究状态变量的最优估计时, 则假定控制信号是已知的确定性函数.最后把控制器中的状态变量用其估计值代替, 就得到了随机线性系统的最优控制.11. 分离定理应用: 在随机线性系统最优控制中, 目前理论上和应用上比较成熟的是所谓LQG 问题, 即线性系统, 二次型指标, 高斯分布噪声情况下的最优调节器问题. 这时分离定理可以成立.根据分离定理: 可将LQG 分成两部分, 即根据确定性系统来求出最优反馈控制律, 再由卡尔曼滤波器来测定最优状态估计值, 将这个状态估计值代替状态变量本身, 就得到了最优反馈控制.。
最优控制总结
/系统的数学模型,物理约束条件及性能指标。
数学描述:设被控对象的状态方程及初始条件为()[(),(),],(0)0x t f x t u t t x t x ==；其中,()x t X Rn ∈⊂为状态向量，X 为状态向量的可容许集；()u t Rm ∈Ω⊂为控制向量，Ω为控制向量的可容许集。
试确定容许的最优控制*()u t 和最优状态轨迹*()x t ，使得系统实现从初始状态(0)x t 到目标集[(),]0x tf tf ψ=的转移,同时使得性能指标0[(),][(),(),]tft J x tf tf L x t u t t dt ϕ=+⎰达到极值。
系统状态方程形式(连续,离散)(2)最优控制形式(开环,闭环) (3)实际应用(时间,燃料,能量,终端) (4)终端条件(固定,自由) (5)被控对象形目标函数及约束条件组成的静态优化问题可以描述为：在满足一系列约束条件的可行域中，确定一组优化变量，(极大值或极小值)。
数学描述：min (),,:n nf x x R f R R ∈→，..()0,:;()0,:n m n l s tg x g R R h x h R R =→≥→静态最优化问题，也称为参数最优化问题，它的三个基本要素是优化变量、目标函数和约束条件，其本质是解决函数，也称为最优控制问题，它的三个基本要素是被控对象数学模型、物理约束条件和性能指标，其本质是解 多变量目标函数沿着初始搜索点的负梯度方向搜索,函数值下降最快,又称最速下降法;(2)多变量无约束。
根据具体的最优换问题构造合适的惩罚函数,将多变量有约束最优化问题转换为一系列多变量无约束最优化问题,从而采用合适;(2)多变量有约束(外点法:等式约,不等式约束;内点法:不等式约束)。
通过构造拉格朗日函数,将原多变量有约束最优化问题转化为一个多变量无约束最优化问题,从而采用合适的无约束方法继(等式约束,不等式约束)。
梯度定义12()()()()f x x f x f x f x xx ∂⎡⎤⎢⎥∂∂⎢⎥=∇=⎢⎥∂∂⎢⎥∂⎣⎦，Hessian 矩阵22221212222212()()f f x x x f x H x x f f x x x ⎡⎤∂∂⎢⎥∂∂∂∂⎢⎥==⎢⎥∂∂∂⎢⎥∂∂∂⎢⎥⎣⎦,最优梯度法(无约束)：迭代(1)()()()()k k k k x x f x α+=-∇，()()()()()()()()()()()k T k k k T k k f x f x f x H x f x α∇∇=∇∇，终止误差()()()k p k f x ε=-∇≤ 例：(),(0),()f x f x H x ∇∇；(0)[(0)(0)]f x T f x α=∇•∇/[(0)(0)]T f x H f x ∇••∇；(1)(0)(0)(0)x x f x α=-•∇；()f xk ε∇<，()x k 是极()0,()0x x =≥g h (1) 等式约束：(,)()()T H x f x x λ=+λg ，利用1210,0,0,0,0n mH H H H Hx x xλλ∂∂∂∂∂=====∂∂∂∂∂解出极大值点或极小值点。
最优控制理论课程教学改革研究
本课程 的讲授将继续采用行之有效的教学 内容与 教学方法 ，并不 断对其进行 改进 ，将课程讨论大作业 报 告与演示进一步深入 ：同时继续开发与本课程密切 相关 的辅助 教学软件 ，并积极开发与本课程密切相关 的控制仿真 实验软件 ；积极鼓励学生参加教师科研 ， 进一步加强学生理论联系实际的能力 。
一
（） ２ 进一 步改革实验 课 ，将模 拟实验 与数 字实验 有机的结合起来 ，采用Ｍ ｔ ｂ ａ 语言作为系统最优控制 １ ａ 设 计 的仿真 平 台，扩 大实验 的 内容 ，提 高实验 的质 量 ，对提高学生 的应用计算机能力也大有裨益。 在课程教学 中，增加 了有关工业 生产 中离线调优 与 闭环优化控制 的内容 。这是 目前工厂 中普遍关心 、 并产生 明显效益 的内容 ，故在此作一些补充介绍 ，结
练学生的想 象力和 表达力，使学 生充分体验和尝试成 功的喜悦，满足学生表现 自我 的情感需求 ，引导他们 积极的、快乐的情 感体验 ，提 高其学 习兴趣和信心 ， 从而 驱使 学 生将 内在 的欲求转 化 为主动 、积 极 的行
为。
结合教师承担 的科研项 目，将最优控制理论应用
到科研 中，鼓励 学生参加 教师课题 。积累近几年的教
学经验 ，成 功的引导学生将最优控制原理应用到 了如 下科研项 目中： （） １ 光伏 电池的最优 充放电控制 系统 （ 最优 时间控
制 理 论 的应 用 ） ；
（ ） 掘 和 展示 最 优控 制 理 论与 应 用 的现 实价 ２挖 值 ，让学生从枯燥 的理论公式、数学分析中感 受到课
２ １ 年第５ ０ １ 期
总 １期 第１ ７
最优控制理论
最优控制理论
最优控制理论是控制理论的一个重要分支，它的主要目的是求解和优化控制系统的性能，以最小化控制系统的成本和最大化控制系统的绩效。
最优控制理论是由工程师和科学家们提出的，他们希望能够构建一种新型的控制系统，能够实现更高效和更优质的控制效果。
最优控制理论的基本思想是，通过构建一个有效模型来表示控制系统，然后利用模型进行优化，以求解最优的控制策略。
为了实现最优控制，首先要分析和建立控制系统的模型，然后根据模型的特性，通过综合考虑控制系统的性能和成本，来确定控制系统的控制参数。
最优控制理论可以应用于各种类型的控制系统，包括模糊控制，PID控制，模型预测控制，状态反馈控制等。
在某些情况下，最优控制理论可以帮助控制系统提高性能，减少资源消耗，提高质量，降低噪声，提高稳定性等，从而提高控制系统的性能。
总的来说，最优控制理论是一种有效的控制理论，可以有效提高控制系统的性能，同时降低控制系统的成本。
它的应用可以让控制系统更加精确、稳定、可靠，从而为人们提供更好的服务。
最优控制
最优控制学院专业班级姓名学号1948年维纳发表了题为《控制论—关于动物和机器中控制与通讯的科学》的论文，第一次科学的提出了信息、反馈和控制的概念，为最优控制理论的诞生和发展奠定了基础。
钱学森1954年所着的《工程控制论》直接促进了最优控制理论的发展和形成。
最优控制理论所研究的问题可以概括为：对一个受控的动力学系统或运动过程，从一类允许的控制方案中找出一个最优的控制方案，使系统的运动在由某个初始状态转移到指定的目标状态的同时，其性能指标值为最优。
这类问题广泛存在于技术领域或社会问题中。
从数学上看，确定最优控制问题可以表述为：在运动方程和允许控制范围的约束下，对以控制函数和运动状态为变量的性能指标函数（称为泛函）求取极值（极大值或极小值）。
解决最优控制问题的主要方法有古典变分法（对泛函求极值的一种数学方法）、极大值原理和动态规划。
最优控制已被应用于综合和设计最速控制系统、最省燃料控制系统、最小能耗控制系统、线性调节器等。
例如，确定一个最优控制方式使空间飞行器由一个轨道转换到另一轨道过程中燃料消耗最少，选择一个温度的调节规律和相应的原料配比使化工反应过程的产量最多，制定一项最合理的人口政策使人口发展过程中老化指数、抚养指数和劳动力指数等为最优等，都是一些典型的最优控制问题。
最优控制理论是50年代中期在空间技术的推动下开始形成和发展起来的。
苏联学者Л.С.庞特里亚金1958年提出的极大值原理和美国学者R.贝尔曼1956年提出的动态规划，对最优控制理论的形成和发展起了重要的作用。
线性系统在二次型性能指标下的最优控制问题则是R.E.卡尔曼在60年代初提出和解决的。
最优控制理论-主要方法解决最优控制问题的主要方法解决最优控制问题，必须建立描述受控运动过程的运动方程为了解决最优控制问题，必须建立描述受控运动过程的运动方程，给出控制变量的允许取值范围，指定运动过程的初始状态和目标状态，并且规定一个评价运动过程品质优劣的性能指标。
控制系统总结
1，线性系统理论：叠加性，齐次性。
通过研究线性系统的状态在输入作用下的运动规律，解释系统的结构参数，动态行为和性能指标的内在关系，进而从能控能观两个基本概念出发，通过极点配置方法实现系统的状态反馈与状态观测器的设计。
2，最优控制理论：在给定的限制条件下，寻求一种使给定的受控系统的性能指标在一定意义下为最优的控制规律，状态的能控能观是最优控制的前提。
3，最优估计理论：最优滤波，即考虑受环境噪声和负载干扰时，系统的不确定性可以用概率和统计方法进行描述与处理。
4，系统辨识理论：根据系统输入输出的时间函数来描述系统的数学模型，通过辨识建立数学模型的目的是估计表征系统行为的重要参数，建立一个能模仿真实系统行为的模型，用当前可测量的系统的输入和输出预测系统输出的未来演变，以及设计控制器。
对系统进行分析的主要问题是根据输入时间函数和系统的特性来确定输出信号。
5，自适应控制：当被控对象的内部结构与参数及外部环境和扰动存在不确定性时，系统自身能在线良测和处理信息，随时辨识系统的模型，然后相应修改控制器的结构与参数。
（输入信号控制）。
6，非线性系统理论：主要研究非线性系统的状态的运动规律及改变这些规律的可能性与实现方法，建立并揭示系统的结构参数、行为和性能间的关系。
矩阵的秩：在线性代数中，矩阵A的列秩是A的线性独立的纵列的极大数目。
类似的，行秩是A的线性无关的横行的极大数目。
通俗一点说，如果把矩阵看成一个个行向量或者列向量，秩就是这些行向量或者列向量的秩，也就是极大无关组中所含向量的个数。
矩阵变换：交换矩阵的两行（行列式变号），非零数乘矩阵的某行所有元素，某一行所有元素乘一个数K后加到另一行对应的元素。
约旦标准型：主对角线是特征值，次对角线为1。
状态变量：是内部状态，完整描述系统运动的一组变量，它能确定系统未来的演化行为。
状态空间法：描述系统的方法通常有输入输出法和状态变量分析法，通常对系统时域或频域的分析均是运用输入输入法，关心的是系统的输入输出之间的关系，而不考虑系统内部的有关问题。
最优控制理论读书报告
最优控制理论读书报告第一章 最优控制问题与极大值原理最优控制问题具有广泛性、多样性及重要性，它可以应用到不同的领域中，例如升降机的最快升降问题、防天拦截问题、雷达跟踪问题及生产库存控制问题等等。
通过对这些问题的研究，我们可以看出它们都具有如下共同的特点：(1) 都有一个被控对象。
它通常是由常微分方程组描述的动态模型来表征的，即000(,,),[,]()f xf x u t t t t x t x =∈⎧⎨=⎩ (1.1)其中n x R ∈是状态量，r r u U R ∈⊆是控制量，0[,]f t t t ∈是时间变量，*0:[,],,,n n r f f R U t t R r n Z r n ⨯⨯→∈≤是描述被控对象动态特征的矢值函数，0,f t t 分别是初始和终端时刻，通常0t 为定值，而f t 可为定值，也可待求。
通常假设：对有限时间区间0[,]f t t 给定的任一分段连续矢值函数()r u t U ∈，(1.1)都存在唯一解。
(2) 都要求把被控系统的初态0x 通过控制作用，在某个终端时刻0f t t >引导到某个终端状态()f x t 。
通常要求终端状态()f x t 属于n R 中某个点集S ，S 称为目标集，且:{((),)0,,}p f f S x g x t t g R p n ==∈≤ (1.2) (3) 都有一个容许控制集合。
容许控制集合0[,]f t t U 为0[,]12:{()()((),(),,()),()f T t t r i U u t u t u t u t u t u t == 是定义在0[,]f t t 上的分段连续函数，1,2,,;i r =(),r u t U ∈且把(1.1)的初态0x 在终端时刻f t 引导到目标集S 上} (1.3)(4) 都有一个表征系统品质优劣的性能指标。
由于它是一个依赖控制函数()u t 的“函数”，又称为性能指标泛函或代价泛函。
最优控制总结
最优控制总结最优控制是指在满足系统约束条件的前提下，设计一个最优控制策略来使系统达到最优性能水平的一种方法。
它在制造工业、金融等领域都有广泛的应用，在未来的智能制造、智能交通等领域也将发挥重要作用。
下面将对最优控制的基本概念、方法和应用进行总结。
一、最优控制的基本概念最优控制的目标是使系统达到最优性能水平，所以它需要满足一些基本要求。
最优控制要求系统有确定的数学模型，可以用数学方程式描述系统的状态和演变过程。
而且，最优控制需要考虑系统所受到的各种限制条件，比如控制输入、系统状态变量等等。
最优控制还需要一定的优化目标，比如可以最小化系统的能量消耗、最大化系统的性能表现等等。
二、最优控制的方法最优控制的方法有很多种，常用的方法有经典控制理论和现代控制理论。
1. 经典控制理论经典控制理论采用状态空间模型，通过设计合适的控制器来实现系统的最优控制。
经典控制理论包括PID控制、根轨迹设计和频域法等方法。
现代控制理论采用优化理论和控制理论相结合的方法，通过数学建模和计算机数值计算，实现系统最优控制。
现代控制理论包括线性二次型控制、最优控制和自适应控制等方法。
最优控制可以应用于各种领域，包括工业制造、金融、交通等。
下面介绍几个典型的应用场景。
1. 工业制造工业制造领域是最优控制的一个重要应用场景。
最优控制可以用于工艺控制、机器人控制等方面。
比如，在化学工业生产过程中，最优控制可以帮助控制流量、温度等参数，保证产品的质量和生产效率。
2. 金融3. 交通交通领域是最优控制的另一个重要应用场景。
最优控制可以用于交通路网的控制、交通信号灯的控制等方面。
比如，在城市交通中，最优控制可以实现交通信号灯的智能控制，缓解拥堵情况。
四、最优控制的发展趋势最优控制是一个重要的控制领域，它在未来的智能制造、智能交通等领域都将有广泛的应用。
最优控制的发展趋势主要有以下几点：1. 智能化随着计算机技术和人工智能技术的不断发展，最优控制也在向智能化方向发展。
最优控制课程报告
2013 年春季学期研究生课程考核（读书报告、研究报告）考核科目:最优控制学生所在院（系）:航天学院学生所在学科:控制科学与工程学生姓名:学号:学生类别:考核结果阅卷人LQ 最优控制系统加权矩阵Q 的一种数值算法摘要：利用LQ 最优控制逆问题的参数化解, 将求解对称、 非负定加权矩阵Q 的问题变为一类F-范数优化问题, 给出一种求解 LQ 最优控制指标函数中的加权矩阵 Q 的简便而系统的方法。
算法的优点在于任意给定一组自变量, 通过解这类优化问题就可求得满足闭环特征值要求的加权矩阵 Q, 而且具有良好的收敛性。
关键词 LQ 逆问题，最优控制，加权矩阵，优化1 问题的提出LQ( 线性二次型) 最优控制逆问题所要研究的内容是如何确定LQ 最优控制问题0[()()()()]..()()()T T J x t Qx t u t Ru t dts t x t Ax t Bu t ∞⎧=+⎪⎨⎪=+⎩⎰ （1.1）中的加权矩阵Q 和R ，使得闭环控制系统1()()(),T x t A BK x t K R B P -=-= （1.2）的特征值为期望值(1,2,...,)ci i n λ=。
式中的矩阵均 为 适 当 维 数,且 满 足 有 关 系 统 解 存 在的条件。
此外, 式( 1. 2) 的矩阵P 是代数Riccati 矩阵方程10T T A P PA PBR B P Q -+-+= （1.3）的唯一对称正定解。
近年来，相关科研人员在研究该问题的解析解法方面做了大量工作。
[ 3, 4] 研究的是单输入控制系统问题，所得结果具有结构简单、计算容易的特点； [ 5, 6] 给出了LQ 逆问题解的参数化表达式；[ 7] 利用这一表达式，给出了单输入控制系统 LQ 逆问题的解析解法；[ 8, 9] 给出了多输入控制系统情况下的简便算法，但该算法具有一定的局限性，不能有效地解决闭环特征值为复数时求解加权矩阵 Q 的问题，主要原因在于算法属于构造性的。
最优控制结课报告
文献阅读与对最优控制的认识Ⅰ文献阅读与理解在课程的学习中，根据老师要求和结合自身以前所学专业（电气工程及其自动化）以及感兴趣的问题，阅读了一些有关最优控制方面的论文，以下是我对其中一些论文整体构架的分析和理解。
由于个人基础知识较差能力有限，对于文献中一些理论和知识无法完全理解，心得中的错误和不足请老师批评指正。
一、中文文献（《登月舱上升段最优轨迹设计》）中文文献中主要对登月舱的上升段中的动力推进段进行最优控制。
文献首先对月面返回运动建立数学模型，构建了状态方程，由于各个变量数量级相差较大，为了便于数值求解，对数据进行了单一化处理。
构建完数学模型后，开始进行最优控制设计，在推进段需按照一定的制导率，使得登月舱达到指定轨道。
这一阶段占据了能量消耗的95%，时间约占400s。
因此为了减少燃料消耗，而在此过程中是横推力无间歇的，因此燃料性能最优在此问题上与时间最优一致。
因此其最优性能指标可以表示为，而后根据最小值原理构建哈密顿方程，列出正则方程，横截条件和极小值条件。
此时问题转化为时间自由的两点边值问题，通过首先采用初值预估，求解终值是否满足横截条件，如不满足则采用前向扫描法对初值修正，当修正量终值满足横截条件，即求出最优控制。
最后进行matlab仿真验证，画出状态变量和最优控制量仿真曲线，结果表明设计的算法收敛速度快，可靠性高与Apollo 11 实际上升时间非常接近。
文献中建立的时间最优控制是课本的延伸，该系统中首端末端均有状态约束，与单边的状态约束，实际情况中双边状态约束情况下，文献中采用了迭代制导求解剩余时间方法来估算上升时间，使得估计值更接近实际值，采用前向扫描方法求解两点边值问题，精确得出修正量。
发现在建立最优控制模型后，工程中往往还需要通过其他方法对于状态量进行修正以满足方程的条件，文献中提供了一个不错的方法。
由于时间有限，个人对于后面的迭代制导和向前扫描方法还存在一些疑惑不懂，在以后的学习中将再仔细阅读查找相关资料尝试实现该问题在matlab上的仿真。
最优控制理论
用数学语言来比较详细地表达最优控制问题 的内容：
（1）建立被控系统的状态方程
X f X (t ),U (t ), t
（1-17）
其中， (t ) 为 n 维状态向量， (t ) 为 m 维控制向量， X U f X (t ),U (t ), t 为 n 维向量函数，它可以是非线性 时变向量函数，也可以是线性定常的向量函数。 状态方程必须精确的知道。
（2）确定状态方程的边界条件。一个动态过程 对应于 n 维状态空间中从一个状态到另一个状态 的转移，也就是状态空间中的一条轨线。在最优 控制中初态通常是知道的，即
X (t0 ) X 0
（1-18）
而到达终端的时刻 t f 和状态 X (t f ) 则因问题而异。
例如，在流水线生产过程中，t f 是固定的；在飞机 快速爬高时，只规定爬高的高度 X (t f ) X f ，而 t f 是自由的，要求 t f t0 越小越好。终端状态 X (t f ) 一 般属于一个目标集 S ，即
二、最优控制发展过程
上世纪五十年代初期布绍（Bushaw）研究 了伺服系统的时间最优控制问题。 以后，拉塞尔（LaSalle）发展了时间最优 控制的理论，即所谓Bang—Bang控制理论。 1953至1957年间美国学者贝尔曼（Bellman） 创立了“动态规划”理论，发展了变分学中的哈密 顿—雅可比（Hamilton—Jacobi）理论。
t [0, t f ]
（1-11） （1-12）
x(0) x0
x0 是初始时刻的商品存货量，且 x0 0。从 x(t ) 的实
际意义来看，显然必须选取生产率使得
x(t ) 0
t [0, t f ]
（1-13）
第7章最优控制原理总结
第7章最优控制原理总结第7章的最优控制原理是指在动态系统中，通过分析系统的状态和控制输入，确定最佳的控制策略，以达到系统的最优性能。
这一原理在工程、经济和生态等领域都有广泛的应用。
本文将从最优控制的基本概念、最优控制方法以及最优控制的应用方面进行总结。
最优控制的基本概念包括系统模型、性能指标和约束条件。
系统模型描述了动态系统的行为，可以通过微分方程或差分方程表示。
性能指标用来衡量系统的性能，可以是一些状态的值、系统的能耗等。
约束条件是系统在控制过程中必须满足的限制条件，例如系统的输入上下限、状态的约束等。
最优控制方法主要包括动态规划、变分法和数值优化等。
动态规划是一种通过将问题分解为一系列子问题来求解最优控制策略的方法。
通过选取最优子问题解来确定最优策略，并使用递推算法进行求解。
变分法是一种通过构建泛函，并通过最小化泛函来求解最优控制策略的方法。
通过求解欧拉-拉格朗日方程，得到最优控制策略的微分方程，并通过求解微分方程得到最优策略。
数值优化是一种通过数值计算方法求解最优化问题的方法。
通过建立优化模型，将最优控制问题转化为最优化问题，并应用优化算法进行求解。
最优控制在实际应用中有广泛的应用。
在工程领域，最优控制可以应用于飞行器、机器人和自动控制系统等。
例如，对于无人机飞行控制问题，可以通过最优控制方法来实现自动飞行，提高飞行性能。
在经济领域，最优控制可以应用于经济模型和金融产品的定价等。
例如，在股票市场中，可以通过最优控制方法来确定最佳交易策略，以最大化利润。
在生态领域，最优控制可以应用于生态系统的保护和管理等。
例如，通过最优控制方法来优化捕鱼策略，保护渔业资源。
最优控制原理的研究还面临一些挑战和问题。
首先，最优控制问题的求解往往需要耗费大量的计算资源和时间。
因此，如何提高求解效率是一个重要的问题。
其次，最优控制的求解通常需要对系统进行建模，而模型的准确性对最优控制的效果有重要影响。
因此，如何建立准确的系统模型也是一个关键问题。
控制理论学习总结
控制类型
按控制点分 1.事前控制 2.事中控制 3.事后控制 按控制性质分 1.预防性控制 2.纠正性控制 按控制方式分 1.集中控制 2.分散控制 3.分层控制
按控制点 事先控制 事中控制 事后控制
按控制形式
预防性控制
纠正性控制
按控制方式
集中控制
分层控制
分散控制
控制失当
财务控制是管理工作最基本、最重要的职能之一,它既是基础性 的控制,又具有战略意义.实践中许多企业都认识到了财务控制的 重要性并采取了一定的控制措施.但是企业往往存在控制失当的 情况 案情介绍： XX工贸公司为广东XX进出口总公司的下属单位，2000年6月另 一公司接受委托对该公司进行专项审计。在审计过程中，发现 该工贸公司在财务管理和内部控制存在严重问题，导致经营管 理混乱，造成经济上出现严重损失。改公司至99年12月止，通 过借款和占用总公司及其他公司资金等方式，世纪筹资1316.6 万元。审计查账时，该公司的账面状况为固定资产202万元，应 收账款511.8万元，银行存款2.5万元，实际亏损600.3万元。由于 资金无法周转，公司业务基本处于丁顿状态，陷于经营困境中。
The End
Thanks For Your A母公司控制子公司并调动其资产的能力，某特大国营集团向银行借款20 亿，年末发现其子公司（均为非上市公司）闲散货币资金达数十亿，利用控制关 系抽调其资金归还贷款10 多亿并支付子公司应得存款利息。从利息差额中增加的 利润相当可观。 二、时间控制： 举例二：公司制定政策控制员工作息时间，调节员工上网玩游戏的时间，每个人 都能有效利用上班时间，获取与工作有关的信息，提高了工作效率。 三、数量和质量控制： 举例三：企业为了保持自己产品的高质量和吸引力，根据市场的供需水平和科技 水平，制订了自己公司生产产品的过关标准和数量规定，以保证公司在社会的长 久立足。 四、安全控制： 举例四：公司定期给员工免费体检，以确保员工的身体健康，也拉拢了人心，让 员工对公司有归属感。并且也安排特定人员保证公司文案资料的安全，遇到紧急 情况可以以历史为鉴，积累经验，从而长久的生存下去。 五、人员控制： 举例五：每个成功的公司都有良好的规章制度，规定员工工作时的几率，让员工 充分利用时间为公司获取利益，也会因人而异的对其进行开导，在年末还会根据 其业绩水平给与奖励。这样做可以使员工更积极有效的工作。 六、信息控制： 举例六：微软通过windows 自动更新来获取用户信息，它的自动更新有类似病毒 的程序，只要你使用盗版的，病毒就会扩散，从而提醒、控制盗版用户，使你电 脑显示屏幕(桌面）变黒。
最优控制实验报告
实验报告课程名称：现代控制工程与理论实验课题：最优控制学号：12014001070姓名：陈龙授课老师：施心陵最优控制一、最优控制理论中心问题：给定一个控制系统（已建立的被控对象的数学模型），选择一个容许的控制律，使被控对象按预定要求运行，并使给定的某一性能指标达到极小值（或极大值）二、最优控制动态规划法对离散型控制系统更为有效，而且得出的是综合控制函数。
这种方法来源于多决策过程，并由贝尔曼首先提出，故称贝尔曼动态规划。
最优性原理：在一个多级决策问题中的最优决策具有这样的性质，不管初始级、初始状态和初始决策是什么，当把其中任何一级和状态做为初始级和初始状态时，余下的决策对此仍是最优决策三、线性二次型性能指标的最优控制用最大值原理求最优控制，求出的最优控制通常是时间的函数，这样的控制为开环控制当用开环控制时，在控制过程中不允许有任何干扰，这样才能使系统以最优状态运行。
在实际问题中，干扰不可能没有，因此工程上总希望应用闭环控制，即控制函数表示成时间和状态的函数。
求解这样的问题一般来说是很困难的。
但对一类线性的且指标是二次型的动态系统，却得了完全的解决。
不但理论比较完善，数学处理简单，而且在工际中又容易实现，因而在工程中有着广泛的应用。
一．实验目的1.熟悉Matlab的仿真及运行环境；2.掌握系统最优控制的设计方法；3.验证最优控制的效果。
二．实验原理对于一个给定的系统，实现系统的稳定有很多途径，所以我们需要一个评价的指标，使系统在该指标下达到最优。
如果给定指标为线性二次型，那么我们就可以利用MATLAB快速的计算卡尔曼增益。
三．实验器材PC机一台，Matlab仿真平台。
四．实验步骤例题1 （P269）考虑液压激振系统简化后的传递函数方框图如下，其中K a为系统前馈增益，K f为系统反馈增益，w h为阻尼固有频率。
（如图5-5所示）将系统传递函数变为状态方程的形式如下：,确定二次型指标为: . 求最优控制使性能指标J最小。
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《最优控制理论》课程总结姓名：肖凯文班级：自动化1002班学号：0909100902任课老师：彭辉摘要：最优控制理论是现代控制理论的核心，控制理论的发展来源于控制对象的要求。
尽50年来，科学技术的迅速发展，对许多被控对象，如宇宙飞船、导弹、卫星、和现代工业设备的生产过程等的性能提出了更高的要求，在许多情况下要求系统的某种性能指标为最优。
这就要求人们对控制问题都必须从最优控制的角度去进行研究分析和设计。
最优控制理论研究的主要问题是：根据已建立的被控对象的时域数学模型或频域数学模型，选择一个容许的控制律，使得被控对象按预定要求运行，并使某一性能指标达到最优值[1]。
关键字：最优控制理论，现代控制理论，时域数学模型，频域数学模型，控制率Abstract： The Optimal Control Theory is the core of the Modern Control Theory，the development of control theory comes from the requires of the controlled objects.During the 50 years， the rapid development of the scientific technology puts more stricter requires forward to mang controlled objects，such as the spacecraft，the guide missile，the satellite，the productive process of modern industrial facilities，and so on，and requests some performance indexes that will be best in mang cases.To the control problem，it requests people to research ,analyse，and devise from the point of view of the Optimal Control Theory. There are mang major problems of the Optimal Control Theory studying,such as the building the time domain’s model or the frenquency domain’s model according to the controlled objects,controlling a control law with admitting, making the controlled objects to work according to the scheduled requires, and making the performance index to reseach to a best optimal value.Keywords: The Optimal Control Theroy， The Modern Control Theroy， The Time Domaint’s Model， The Frequency domain’s Model，The Control Law一、引言最优控制理论的形成和发展和整个现代自动控制理论的形成和发展十分不开的。
在20世纪50年代初期，就有人开始发表从工程观点研究最短时间控制问题的文章，尽管其最优性的证明多半借助于几何图形，仅带有启发性质，但毕竟为发展现代控制理论提供了第一批实际模型。
由于最优控制问题引人注目的严格表述形式，特别是空间技术的迫切需求，从而吸引了大批科学家的密切注意。
经典变分理论只能解决一类简单的最优控制问题，因为它只对无约束或开集性约束是有效的。
而实际上碰到的更多的是容许控制属于闭集的一类最优控制问题，这就要求人们去探索、求解最优控制问题的新途径。
在种种新方法中，有俩种方法最富成效：一种是苏联学者庞特里亚金（Л.С.Понтрягин）的“极大值原理”；另一类是美国学者贝尔曼（R.E.Bellman）的“动态规划”[2]。
受力学中哈密顿（Hamilton）原理的启发，庞特里亚金等人把“极大值原理”作为一种推测首先推测出来，随后不久又提供了一种严格的证明，并于1958年在爱丁堡召开的国际数学会议上首先宣读。
“动态规划”是贝尔曼在1953-1957年逐步创立的，他依旧最优性原理发展了变分学中的哈密顿—雅可比理论，构成了“动态规划”。
它是一种适用于计算机计算，处理问题范围更广的方法。
在现代控制理论的形成和发展中，极大值原理、动态规划和卡尔曼（R.E.Kalman）的最优估计理论都起过重要的推动作用[3]。
现代控制理论的形成和发展和数字计算机的飞速发展和广约应用密不可分。
由于计算机的“在线”参与控制，这样，既不要求把控制器归结为简单的校正网络，也不一定要求有封闭形式的解析解，因此，使得最优控制的工程实现了可能。
反过来又提出了许多新的理论问题，导致最优控制的直接和间接计算方法的大批研究成果的出现，进一步推动了控制理论的发展。
二、最优控制的含义最优控制，就是将通常的最优控制问题抽象成一个数学问题，并且用数学语言严格的表示出来，最优控制可分为静态最有和动态最有两类。
静态最优是指在稳定情况下实现最优，它反映系统达到稳态后的静态关系。
系统中的各变量不随时间变化，而只表示对象在稳定情况下各参数之间的关系，其特性用代数方程来描述。
大多数的生产过程受控对象可以用静态最优控制来处理，并且具有足够的精度。
静态最有一般可用一个目标函数J=f （x ）和若干个等式约束条件或不等式约束条件来描述。
要求在满足约束条件下，使目标函数J 为最大或最小[4]。
动态最优是指系统从一个工况变化到另一个工况的变化过程中，应满足最有要求。
在动态系统中，所有的参数都是时间的函数，其特性可用微分方程或差分方程来描述。
动态最优控制要求寻找出控制作用的一个或一组数值，是特性指标在满足约束条件下为最优值。
这样，目标函数不再是一般函数，而是函数的函数。
因此，在数学上这是属于泛函数求极值的问题。
受控系统的模型受控系统的数学模型即系统的微分方程，它反映了动态系统在运动过程中所应遵循的物理或化学规律。
在集中参数情况下，动态系统的运动规律可以用一组一阶常微分方程即状态方程来描述，即()()().[],,x t f x t u t t = （2-1）式（2-1）中：x （t ）表示n 维状态变量；u （t ）表示为r 维控制向量；f （）是x （t ）、u （t ）和t 的n 维函数向量；t 是实数变量，可以概括一切具有集中参数的受控数学模型。
三、边界条件与目标集动态系统的运动过程是系统从状态空间的一个状态到另一个状态的转移，其运动轨迹在状态空间中形成曲线x （t ）。
为了确定要求的曲线x （t ），需要确定曲线的两点边界值。
因此，要求确定初始状态()0x t 和中端状态()f x t ，这是求解状态方程式必需的边界条件。
最优控制问题中，初始时刻0t 和初始状态x （0t ）通常已知的，但是中端时刻f t 和终端状态x （f t ）可以固定，也可以自由。
一般的说，对终端的要求可以用如下的终端等式或不等式约束条件来表示，即()1,0f f N x t t ⎡⎤=⎣⎦ （3-1） ()2,0f f N x t t ⎡⎤≤⎣⎦ （3-2） 它们概括了对终端的一般要求。
实际上，终端约束规定了状态空间的一个时变或非时变的集合，此满足终端约束的状态集合称为目标集M ，并可表示为：M={()f x t ：()f x t ∈n R ，()1,0f f N x t t ⎡⎤=⎣⎦，()2,0f f N x t t ⎡⎤≤⎣⎦} （3-3） 为简单起见，有时终端约束式（3-3）称为目标集[5]。
四、容许控制控制向量u （t ）的各个分向量()i u t 往往是具有不同物理属性的控制量。
在实际控制问题中，大多数控制量受客观条件限制只能取值于一定范围。
这种限制范围，通常可用约束条件0≤u （t ）≤max u （4-1）或 ii u m ≤，i=1，2，… ，r （4-2）来表示。
式（4-2）表示一个控制空间r R 中包括原点在内的超方体，式（4-1）和（4-2）式都规定了r R 空间中的一个闭集[6]。
由控制约束条件所规定的点集为控制域，并记为u R 。
凡在闭区间[0t ,f t ]上有定义，且在控制域u R 内取值的每一控制函数u （t ）均称为容许控制，并记为u （t ）∈u R 。
通常假定容许控制u （t ）∈u R 是一种有界连续函数或分段连续函数[7]。
五、性能指标从给定初始状态x （0t ）到目标集M 的转移可通过不同的控制规律u(t)来实现，为了在各种可行的控制规律中找出一种效果最好的控制，这就需要首先建立一种评价控制效果好坏或控制品质优劣的性能指标函数。
性能指标的内容和函数，取决于最优控制问题所完成的任务。
不同的最优控制问题，就有不同的性能指标，即使是同一问题其性能指标也可能不同。
尽管不能为各式各样的最优控制问题规定了一个性能指标的统一格式，但是通常情况下，对连续系统时间函数性能指标已可以归纳为以下三种类型。
1）综合型和波尔扎（Bola ）型性能指标设综合性或波尔扎型性能指标为()0[()][,][(),(),]f t f f t x J u t t L x t u t t dt =Φ+⎰ （5-1） 式中：L 为标量函数，它是向量x(t)和u(t)的函数，称为动态性能指标；Φ为标量函数，与终端时间f t 及终端状态()f x t 有关，()[,]f f x t t Φ称为终端性能指标；J 为标量，对每个控制函数都有一个对应值；u()表示控制函数整体，而u(t)表示t 时刻的控制向量[8]。
式（5-1）类型的性能指标成为综合型和波尔扎问题，它可以用来描述具有终端约束下的最小积分控制，或在积分约束下的终端最小时间控制。
2）积分型或拉格朗日（lagrange ）型性能指标若不计终端性能指标，则式（5-1）称为0[()][(),(),]f t t J u L x t u t t dt =⎰ （5-2）这时的性能指标称为积分型或拉格朗日问题，它更强调系统的过程要求。
在自动控制中，要求调解过程的某种积分评价为最小（或最大）就属于这一类问题[9]。
3）终端型或麦耶尔（Mager ）型性能指标()[()][,]f f x J u t t =Φ （5-3）这时的性能指标称为终端或麦耶尔问题。