天津市近五年高考数学真题分类汇总
天津高考真题分类汇编微积分初步部分
天津高考真题分类汇编微积分初步部分一、选择题（共7小题；共35分）1. 函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，则函数在开区间内有极小值点A. 个B. 个C. 个D. 个2. 设，，曲线在点处切处的倾斜角的取值范围为，则到曲线对称轴距离的取值范围为A. B.C. D.3. 设函数，．若实数，满足，，则A. B.C. D.4. 已知奇函数在上是增函数，．若，，，则，，的大小关系为A. B. C. D.5. 设函数，则A. 在区间，内均有零点B. 在区间，内均无零点C. 在区间内有零点，在区间内无零点D. 在区间内无零点，在区间内有零点6. 若函数在区间内单调递增，则的取值范围是A. B. C. D.7. 设函数在上的导函数为，且．下面的不等式在上恒成立的是A. B. C. D.二、填空题（共6小题；共30分）8. 已知函数，其中为实数，为的导函数．若，则的值为．9. 直线，，与曲线所围成的图形绕轴旋转一周而成的旋转体的体积等于．10. 已知函数，为的导函数，则的值为．11. 已知，设函数的图象在点处的切线为，则在轴上的截距为．12. 曲线与直线所围成的封闭图形的面积为．13. 已知函数，为的导函数，则的值为．答案第一部分1. A 【解析】由图象可见，在区间内有一个极小值点．2. B 【解析】提示：画出的草图，如图所示，，由倾斜角的取值范围为可知斜率的取值范围为，即，解得，所以点距离对称轴的距离的取值范围是．3. A 【解析】因为，所以，则在上为增函数，又，，且，所以．因为，所以．当时，，所以在上为增函数，又，，且，所以，所以，所以4. C 【解析】奇函数在上是增函数，当，，且，所以，则，所以在单调递增，且偶函数，所以，则，，由在单调递增，则，所以．5. D【解析】由题得，令得；令得，故知函数在区间上为减函数，在区间为增函数，在处有极小值；又，，得到零点情况．6. B 【解析】设，则．当时，在上单调递增，必须，即在上恒成立．又，∴，这与矛盾．当时，在上单调递增，必须，即在上恒成立，解得，此时在的定义域内，所以的取值范围是．7. A 【解析】由题意可构造函数，则．因为，所以时，；时，，而，故在上单调递减；在上单调递增．所以，故当时，恒成立，所以当时，恒成立．当时，由，知，综上在上恒成立．第二部分8.9.【解析】．10.【解析】因为，所以．11.12.【解析】先根据题意画出图形，如图所示，得到积分上限为，积分下限为，所以直线与曲线所围图形的面积．故所求封闭图形的面积是．13.。
天津高考真题分类汇编三角函数部分
天津高考真题分类汇编三角函数部分一、选择题（共30小题；共150分）1. 函数为增函数的区间是A. B. C. D.2. 在中，若，，则A. B. C. D.3. 把函数的图象上所有的点向左平行移动个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是A. B.C. D.4. ＂＂是＂＂的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件5. 要得到函数的图象，只需将函数的图象上所有的点的A. 横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向左平行移动个单位长度B. 横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向右平行移动个单位长度C. 横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变），再向左平行移动个单位长度D. 横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变），再向右平行移动个单位长度6. 设，则＂＂是＂为偶函数＂的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件7. 设函数，则是A. 最小正周期为的奇函数B. 最小正周期为的偶函数C. 最小正周期为的奇函数D. 最小正周期为的偶函数8. 函数在区间上的最小值为A. B. C. D.9. 在中，内角所对的边分别是，已知，，则A. B. C. D.10. 已知，，则A. B. C. D.11. 在内，使成立的取值范围为A. B.C. D.12. 已知函数的最小正周期为，将的图象向左平移个单位长度，所得图象关于轴对称，则的一个值是A. B. C. D.13. 设，那么" "是" "的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件14. 如图是函数在区间上的图象，为了得到这个函数的图象，只要将的图象上所有的点A. 向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变B. 向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变C. 向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变D. 向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变15. 设，则“”是“”的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件16. 设函数，，其中，．若，，且的最小正周期大于，则A. ，B. ，C. ，D. ，17. 在中，内角，，的对边分别是，，，若，，则A. B. C. D.18. 在中，，则A. B. C. D.19. 已知函数，，其中，，若的最小正周期为，且当时，取得最大值，则A. 在区间上是增函数B. 在区间上是增函数C. 在区间上是减函数D. 在区间上是减函数20. 已知函数，．在曲线与直线的交点中，若相邻交点距离的最小值为，则的最小正周期为A. B. C. D.21. 如图所示，在中，是边上的点，且，，，则的值为A. B. C. D.22. 将函数（其中）的图象向右平移个单位长度，所得图象经过点，则的最小值是A. B. C. D.23. 已知函数的最小正周期为，为了得到函数的图象，只要将的图象A. 向左平移个单位长度B. 向右平移个单位长度C. 向左平移个单位长度D. 向右平移个单位长度24. 设，，，则A. B. C. D.25. 已知函数（、为常数，，）在处取得最小值，则函数是A. 偶函数且它的图象关于点对称B. 偶函数且它的图象关于点对称C. 奇函数且它的图象关于点对称D. 奇函数且它的图象关于点对称26. 设函数，则A. 在区间上是增函数B. 在区间上是减函数C. 在区间上是增函数D. 在区间上是减函数27. 设两个向量和，其中为实数．若，则的取值范围是A. B. C. D.28. 已知函数，．若在区间内没有零点，则的取值范围是A. B.C. D.29. 将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数A. 在区间上单调递增B. 在区间上单调递减C. 在区间上单调递增D. 在区间上单调递减30. 若在是减函数，则的最大值是A. B. C. D.二、填空题（共3小题；共15分）31. 在中，内角，，所对的边分别为，，．已知的面积为，，，则的值为．32. 在中，内角，，所对的边分别是，，，已知，，则的值为．33. 已知函数，，若函数在区间内单调递增，且函数的图象关于直线对称，则的值为．答案第一部分1. C 【解析】，所以的递增区间实际上是的递减区间，即，解得．又因为，所以．即函数（）的增区间为．2. A 【解析】设，由余弦定理得：，．解得或（舍），所以．3. C4. A 【解析】，于是可得，即或．显然时，，充分性成立；而，必要性不成立．5. C6. A 【解析】由，得，为偶函数；而由为偶函数，得．7. B 【解析】．8. B9. A 【解析】，由正弦定理得，又，，所以，易知，，．10. D11. C12. D13. C14. A 【解析】由图象可知，因为，所以，又因为图象过点，代入解析式得，所以解析式为，所以的图象向左平移个单位长度，再将图象上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的倍，可得的图象．15. A16. A 【解析】由的最小正周期大于，得，又，，得，所以，则，即．所以，由，得．所以，．取，得．所以，．17. A 【解析】根据题意，由正弦定理有，代入中，得．于是由余弦定理得因此．18. C 【解析】由余弦定理得：，．又由正弦定理可得：，即．．19. A 【解析】提示：．20. C21. D 【解析】设，所以，，，故，所以．由正弦定理知．22. D 【解析】根据题意平移后函数的解析式为，将代入得，则且，故的最小值为．23. A 【解析】函数，则，为了得到函数的图象，需要将的图象向左平移个单位．24. D 【解析】，且，．25. D【解析】函数的最小值为，所以，解得，且．所以，，所以它是奇函数且关于成中心对称．26. A 【解析】由图象变换可知：将的图象在轴下方的部分对折上去（原来在轴上方的部分保持不变）得的图象，此时函数的最小正周期变为，则当即时为增函数，当时有：，故在区间上是增函数．27. A 【解析】提示：由已知可得，由于①②可得，由此求出的取值范围为，所以．28. D 【解析】．由，得，解得．由在内没有零点，得，解得，因此，．29. A30. C第二部分31.【解析】由，得，而，所以，所以，所以，所以．32.【解析】因为，则由正弦定理，得，即，再结合已知，得，所以．33.【解析】，由题意知必为函数的最大值，所以，即．又，即，所以，所以．。
天津市五年高考大题分类整理
五年高考：2009—2013年天津市高考文科数学大题分类整理【2013】(本小题满分13分)某产品的三个质量指标分别为x ，y ，z ，用综合指标S ＝x ＋y ＋z 评价该产品的等级．若S ≤4，则该产品为一等品．现从一批该产(2)在该样本的一等品中，随机抽取2件产品， ①用产品编号列出所有可能的结果；②设事件B 为“在取出的2件产品中，每件产品的综合指标S 都等于4”，求事件B 发生的概率．【2013】(本小题满分13分)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .已知b sin A ＝3c sin B ，a ＝3，cos B ＝23. (1)求b 的值； (2)求πsin 23B ⎛⎫-⎪⎝⎭的值． 【2013】如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱A 1A ⊥底面ABC ，且各棱长均相等，D ，E ，F 分别为棱AB ，BC ，A 1C 1的中点． (1)证明EF ∥平面A 1CD ； (2)证明平面A 1CD ⊥平面A 1ABB 1；(3)求直线BC 与平面A 1CD 所成角的正弦值．【2013】(本小题满分14分)已知首项为32的等比数列{a n }的前n 项和为S n (n ∈N *)，且－2S 2，S 3,4S 4成等差数列． (1)求数列{a n }的通项公式； (2)证明1136n n S S +≤(n ∈N *)．【2013】(本小题满分13分)设椭圆2222=1x ya b+(a＞b＞0)的左焦点为F，离心率为3，过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为3.(1)求椭圆的方程；(2)设A，B分别为椭圆的左、右顶点，过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C，D两点．若AC·DB＋AD·CB＝8，求k的值．【2013】(本小题满分14分)设a∈[－2,0]，已知函数()3325030.2x a x xf x ax x ax x⎧-(+)≤⎪⎨+-+>⎪⎩，，＝，(1)证明f(x)在区间(－1,1)内单调递减，在区间(1，＋∞)内单调递增；(2)设曲线y＝f(x)在点P i(x i，f(x i))(i＝1,2,3)处的切线相互平行，且x1x2x3≠0.证明x1＋x2＋x3＞13-.某地区有小学21所，中学14所，大学7所，现采取分层抽样的方法从这些学校中抽取6所学校对学生进行视力调查。
天津三年2020-2022高考数学真题按题型分类汇编-选择题(含解析)
天津三年2020-2022高考数学真题按题型分类汇编-选择题（含解析）一、单选题1．（2022·天津·统考高考真题）设全集2,1,0,1,2U，集合{}{}0,1,21,2A =-,B=，则()UAB =（ ）A ．{}01，B ．{}0,1,2C ．{}1,1,2-D ．{}0,1,1,2-2．（2022·天津·统考高考真题）“x 为整数”是“21x +为整数”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．（2022·天津·统考高考真题）函数()21x f x x-=的图像为（ ）A ．B ．C ．D ．4．（2022·天津·统考高考真题）为研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据（单位：kPa ）的分组区间为[12,13),[13,14),[14,15),[15,16),[16,17]，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，…，第五组，右图是根据试验数据制成的频率分布直方图．已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为（ ）A ．8B ．12C ．16D ．185．（2022·天津·统考高考真题）已知0.72a =，0.713b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，21log 3c =，则（ ） A ．a c b >> B ．b c a >> C ．a b c >> D ．c a b >>6．（2022·天津·统考高考真题）化简()()48392log 3log 3log 2log 2++的值为（ ） A ．1B ．2C ．4D ．67．（2022·天津·统考高考真题）已知抛物线21245,,y x F F =分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左、右焦点，抛物线的准线过双曲线的左焦点1F ，与双曲线的渐近线交于点A ，若124F F A π∠=，则双曲线的标准方程为（ ）A ．22110x y -=B ．22116y x -=C ．2214y x -=D ．2214x y -=8．（2022·天津·统考高考真题）如图，“十字歇山”是由两个直三棱柱重叠后的景象，重叠后的底面为正方形，直三棱柱的底面是顶角为120︒，腰为3的等腰三角形，则该几何体的体积为（ ）A ．23B ．24C ．26D ．279．（2022·天津·统考高考真题）已知1()sin 22f x x =，关于该函数有下列四个说法：①()f x 的最小正周期为2π；②()f x 在ππ[,]44-上单调递增；③当ππ,63x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，()f x 的取值范围为33,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦；④()f x 的图象可由1πg()sin(2)24x x =+的图象向左平移π8个单位长度得到．以上四个说法中，正确的个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．410．（2021·天津·统考高考真题）设集合{}{}{}1,0,11,3,5,0,2,4A B C =-==，，则()A B C ⋂⋃=（ ） A ．{}0B ．{0,1,3,5}C ．{0,1,2,4}D ．{0,2,3,4}11．（2021·天津·统考高考真题）已知a ∈R ，则“6a >”是“236a >”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件12．（2021·天津·统考高考真题）函数2ln ||2x y x =+的图像大致为（ ） A ． B ．C ．D ．13．（2021·天津·统考高考真题）从某网络平台推荐的影视作品中抽取400部，统计其评分数据，将所得400个评分数据分为8组：[)66,70、[)70,74、、[]94,98，并整理得到如下的频率分布直方图，则评分在区间[)82,86内的影视作品数量是（ ）A ．20B ．40C ．64D ．8014．（2021·天津·统考高考真题）设0.3212log 0.3,log 0.4,0.4a b c ===，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a b c <<B ．c<a<bC ．b<c<aD ．a c b <<15．（2021·天津·统考高考真题）两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为323π，两个圆锥的高之比为1:3，则这两个圆锥的体积之和为（ ） A ．3πB ．4πC ．9πD ．12π16．（2021·天津·统考高考真题）若2510a b ==，则11a b+=（ ）A ．1-B ．lg 7C ．1D ．7log 1017．（2021·天津·统考高考真题）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点与抛物线22(0)y px p =>的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A ，B 两点，交双曲线的渐近线于C 、D 两点，若2|CD AB ．则双曲线的离心率为（ ） A 2B 3C ．2D ．318．（2021·天津·统考高考真题）设a ∈R ，函数22cos(22).()2(1)5,x a x a f x x a x a x a ππ-<⎧=⎨-+++≥⎩，若()f x 在区间(0,)+∞内恰有6个零点，则a 的取值范围是（ ） A ．95112,,424⎛⎤⎛⎤⋃ ⎥⎥⎝⎦⎝⎦B ．5711,2,424⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．9112,,344⎛⎤⎡⎫⋃ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭D ．11,2,3447⎛⎫⎡⎫⋃ ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭19．（2020·天津·统考高考真题）设全集{3,2,1,0,1,2,3}U =---，集合{1,0,1,2},{3,0,2,3}A B =-=-，则()UAB =（ ）A ．{3,3}-B ．{0,2}C ．{1,1}-D ．{3,2,1,1,3}---20．（2020·天津·统考高考真题）设a ∈R ，则“1a >”是“2a a >”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 21．（2020·天津·统考高考真题）函数241xy x =+的图象大致为（ ） A ． B ．C ．D ．22．（2020·天津·统考高考真题）从一批零件中抽取80个，测量其直径（单位：mm ），将所得数据分为9组：[)[)[)[]5.31,5.33,5.33,5.35,,5.45,5.47,5.47,5.49，并整理得到如下频率分布直方图，则在被抽取的零件中，直径落在区间[5.43,5.47)内的个数为（ ）A ．10B ．18C ．20D ．3623．（2020·天津·统考高考真题）若棱长为23则该球的表面积为（ ） A ．12πB ．24πC ．36πD ．144π24．（2020·天津·统考高考真题）设0.80.70.713,,log 0.83a b c -⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则,,a b c 的大小关系为（ ） A ．a b c <<B ．b a c <<C ．b<c<aD ．c<a<b25．（2020·天津·统考高考真题）设双曲线C 的方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>，过抛物线24y x =的焦点和点(0,)b 的直线为l ．若C 的一条渐近线与l 平行，另一条渐近线与l 垂直，则双曲线C 的方程为（ ） A ．22144x y -=B ．2214y x -=C ．2214x y -=D ．221x y -=26．（2020·天津·统考高考真题）已知函数()sin 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．给出下列结论：①()f x 的最小正周期为2π； ②2f π⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 的最大值；③把函数sin y x =的图象上所有点向左平移3π个单位长度，可得到函数()y f x =的图象．其中所有正确结论的序号是（ ） A ．①B ．①③C ．②③D ．①②③27．（2020·天津·统考高考真题）已知函数3,0,(),0.x x f x x x ⎧=⎨-<⎩若函数2()()2()g x f x kx x k =--∈R 恰有4个零点，则k 的取值范围是（ ）A ．1,(22,)2⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭B ．1,(0,22)2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭C ．(,0)(0,22)-∞D ．(,0)(22,)-∞+∞参考答案：1．A【分析】先求出UB ，再根据交集的定义可求()U A B ∩.【详解】{}2,0,1U B =-，故(){}0,1UA B =，故选：A. 2．A【分析】由当x 为整数时，21x +必为整数；当21x +为整数时，x 比一定为整数；即可选出答案.【详解】当x 为整数时，21x +必为整数； 当21x +为整数时，x 比一定为整数， 例如当212x +=时，12x =. 所以“x 为整数”是“21x +为整数”的充分不必要条件. 故选：A. 3．D【分析】分析函数()f x 的定义域、奇偶性、单调性及其在(),0∞-上的函数值符号，结合排除法可得出合适的选项. 【详解】函数()21x f x x-=的定义域为{}0x x ≠，且()()()2211x x f x f x xx----==-=--，函数()f x 为奇函数，A 选项错误；又当0x <时，()210x f x x-=≤，C 选项错误；当1x >时，()22111x x f x x xx x--===-函数单调递增，故B 选项错误；故选：D. 4．B【分析】结合已知条件和频率分布直方图求出志愿者的总人数，进而求出第三组的总人数，从而可以求得结果.【详解】志愿者的总人数为20(0.240.16)1+⨯＝50，所以第三组人数为50×0.36＝18， 有疗效的人数为18－6＝12． 故选：B. 5．C【分析】利用幂函数、对数函数的单调性结合中间值法可得出a 、b 、c 的大小关系. 【详解】因为0.70.7221120log 1log 33⎛⎫>>=> ⎪⎝⎭，故a b c >>.故答案为：C. 6．B【分析】根据对数的性质可求代数式的值.【详解】原式2233111(2log 3log 3)(log 2log 2)232=⨯++2343log 3log 2232=⨯=， 故选：B 7．C【分析】由已知可得出c 的值，求出点A 的坐标，分析可得112AF F F =，由此可得出关于a 、b 、c 的方程组，解出这三个量的值，即可得出双曲线的标准方程.【详解】抛物线2y =的准线方程为x =c =()1F、)2F ，不妨设点A 为第二象限内的点，联立b y x a x c⎧=-⎪⎨⎪=-⎩，可得x c bc y a =-⎧⎪⎨=⎪⎩，即点,bc A c a ⎫⎛- ⎪⎝⎭，因为112AF F F ⊥且124F F A π∠=，则12F F A △为等腰直角三角形，且112AF F F =，即2=bc c a，可得2ba =，所以，2222ba c c ab ⎧=⎪⎪⎪⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得12a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，因此，双曲线的标准方程为2214y x -=.故选：C. 8．D【分析】作出几何体直观图，由题意结合几何体体积公式即可得组合体的体积.【详解】该几何体由直三棱柱AFD BHC -及直三棱柱DGC AEB -组成，作HM CB ⊥于M ，如图，因为3,120CH BH CHB ==∠=，所以333,22CM BM HM ===， 因为重叠后的底面为正方形，所以33AB BC ==, 在直棱柱AFD BHC -中，AB ⊥平面BHC ，则AB HM ⊥, 由AB BC B ⋂=可得HM ⊥平面ADCB ， 设重叠后的EG 与FH 交点为,I则132713813333,=3333=322224I BCDA AFD BHC V V --=⨯=⨯⨯则该几何体的体积为8127222742AFD BHC I BCDA V V V --=-=⨯-=. 故选：D. 9．A【分析】根据三角函数的图象与性质，以及变换法则即可判断各说法的真假．【详解】因为1()sin 22f x x =，所以()f x 的最小正周期为2ππ2T ==，①不正确；令ππ2,22t x ⎡⎤=∈-⎢⎥⎣⎦，而1sin 2y t =在ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上递增，所以()f x 在ππ[,]44-上单调递增，②正确；因为π2π2,33t x ⎡⎤=∈-⎢⎥⎣⎦，sin t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以()12f x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，③不正确； 由于1π1πg()sin(2)sin 22428x x x ⎡⎤⎛⎫=+=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以()f x 的图象可由1πg()sin(2)24x x =+的图象向右平移π8个单位长度得到，④不正确． 故选：A ． 10．C【分析】根据交集并集的定义即可求出. 【详解】{}{}{}1,0,11,3,5,0,2,4A B C =-==，， {}1A B ∴⋂=，{}()0,1,2,4A B C ⋂⋃=∴. 故选：C. 11．A【分析】由充分条件、必要条件的定义判断即可得解. 【详解】由题意，若6a >，则236a >，故充分性成立； 若236a >，则6a >或6a <-，推不出6a >，故必要性不成立； 所以“6a >”是“236a >”的充分不必要条件. 故选：A. 12．B【分析】由函数为偶函数可排除AC ，再由当()0,1∈x 时，()0f x <，排除D ，即可得解. 【详解】设()2ln ||2x y f x x ==+，则函数()f x 的定义域为{}0x x ≠，关于原点对称， 又()()()2ln ||2x f x f x x --==-+，所以函数()f x 为偶函数，排除AC ；当()0,1∈x 时，2ln 0,20x x + ，所以()0f x <，排除D.故选：B. 13．D【分析】利用频率分布直方图可计算出评分在区间[)82,86内的影视作品数量.【详解】由频率分布直方图可知，评分在区间[)82,86内的影视作品数量为4000.05480⨯⨯=. 故选：D.14．D【分析】根据指数函数和对数函数的性质求出,,a b c 的范围即可求解.【详解】22log 0.3log 10<=，<0a ∴， 122225log 0.4log 0.4log log 212=-=>=，1b ∴>， 0.3000.40.41<<=，01c ∴<<， a c b ∴<<.故选：D.15．B【分析】作出图形，计算球体的半径，可计算得出两圆锥的高，利用三角形相似计算出圆锥的底面圆半径，再利用锥体体积公式可求得结果. 【详解】如下图所示，设两个圆锥的底面圆圆心为点D ，设圆锥AD 和圆锥BD 的高之比为3:1，即3AD BD =，设球的半径为R ，则343233R ππ=，可得2R =，所以，44AB AD BD BD =+==， 所以，1BD =，3AD =，CD AB ⊥，则90CAD ACD BCD ACD ∠+∠=∠+∠=，所以，CAD BCD ∠=∠，又因为ADC BDC ∠=∠，所以，ACD CBD △∽△，所以，AD CD CD BD=，3CD AD BD ∴=⋅因此，这两个圆锥的体积之和为()21134433CD AD BD πππ⨯⋅+=⨯⨯=. 故选：B.16．C【分析】由已知表示出,a b ，再由换底公式可求. 【详解】2510a b ==，25log 10,log 10a b ∴==，251111lg 2lg 5lg101log 10log 10a b ∴+=+=+==. 故选：C.17．A【分析】设公共焦点为(),0c ，进而可得准线为x c =-，代入双曲线及渐近线方程，结合线段长度比值可得2212a c =，再由双曲线离心率公式即可得解. 【详解】设双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>与抛物线22(0)y px p =>的公共焦点为(),0c ， 则抛物线22(0)y px p =>的准线为x c =-，令x c =-，则22221c y a b -=，解得2b y a=±，所以22b AB a =, 又因为双曲线的渐近线方程为b y x a =±，所以2bc CD a=，所以2bc ac =，所以222212a cbc =-=，所以双曲线的离心率c e a=故选：A.18．A 【分析】由()222150x a x a -+++=最多有2个根，可得()cos 220x a ππ-=至少有4个根，分别讨论当x a <和x a ≥时两个函数零点个数情况，再结合考虑即可得出.【详解】()222150x a x a -+++=最多有2个根，所以()cos 220x a ππ-=至少有4个根， 由22,2x a k k Z ππππ-=+∈可得1,24k x a k Z =++∈， 由1024k a a <++<可得11222a k --<<-， （1）x a <时，当15242a -≤--<-时，()f x 有4个零点，即7944a <≤；当16252a -≤--<-，()f x 有5个零点，即91144a <≤； 当17262a -≤--<-，()f x 有6个零点，即111344a <≤； （2）当x a ≥时，22()2(1)5f x x a x a =-+++，()()22Δ4(1)4582a a a =+-+=-，当2a <时，∆<0，()f x 无零点；当2a =时，0∆=，()f x 有1个零点；当2a >时，令22()2(1)5250f a a a a a a =-+++=-+≥，则522a <≤，此时()f x 有2个零点； 所以若52a >时，()f x 有1个零点. 综上，要使()f x 在区间(0,)+∞内恰有6个零点，则应满足7944522a a ⎧<≤⎪⎪⎨⎪<≤⎪⎩或91144522a a a ⎧<≤⎪⎪⎨⎪=>⎪⎩或或1113442a a ⎧<≤⎪⎨⎪<⎩， 则可解得a 的取值范围是95112,,424⎛⎤⎛⎤⋃ ⎥⎥⎝⎦⎝⎦. 【点睛】关键点睛：解决本题的关键是分成x a <和x a ≥两种情况分别讨论两个函数的零点个数情况.19．C【分析】首先进行补集运算，然后进行交集运算即可求得集合的运算结果.【详解】由题意结合补集的定义可知：{}U 2,1,1B =--，则(){}U 1,1AB =-.故选：C.【点睛】本题主要考查补集运算，交集运算，属于基础题.20．A【分析】首先求解二次不等式，然后结合不等式的解集即可确定充分性和必要性是否成立即可.【详解】求解二次不等式2a a >可得：1a >或a<0，据此可知：1a >是2a a >的充分不必要条件.故选：A.【点睛】本题主要考查二次不等式的解法，充分性和必要性的判定，属于基础题.21．A【分析】由题意首先确定函数的奇偶性，然后考查函数在特殊点的函数值排除错误选项即可确定函数的图象.【详解】由函数的解析式可得：()()241x f x f x x --==-+，则函数()f x 为奇函数，其图象关于坐标原点对称，选项CD 错误；当1x =时，42011y ==>+，选项B 错误. 故选：A.【点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．22．B【分析】根据直方图确定直径落在区间[)5.43,5.47之间的零件频率，然后结合样本总数计算其个数即可.【详解】根据直方图，直径落在区间[)5.43,5.47之间的零件频率为：()6.25 5.000.020.225+⨯=，则区间[)5.43,5.47内零件的个数为：800.22518⨯=.故选：B.【点睛】本题主要考查频率分布直方图的计算与实际应用，属于中等题.23．C【分析】求出正方体的体对角线的一半，即为球的半径，利用球的表面积公式，即可得解.【详解】这个球是正方体的外接球，其半径等于正方体的体对角线的一半，即3R =，所以，这个球的表面积为2244336S R πππ==⨯=.故选：C.【点睛】本题考查正方体的外接球的表面积的求法，求出外接球的半径是本题的解题关键，属于基础题.求多面体的外接球的面积和体积问题，常用方法有：（1）三条棱两两互相垂直时，可恢复为长方体，利用长方体的体对角线为外接球的直径，求出球的半径；（2）直棱柱的外接球可利用棱柱的上下底面平行，借助球的对称性，球心为上下底面外接圆的圆心连线的中点，再根据勾股定理求球的半径；（3）如果设计几何体有两个面相交，可过两个面的外心分别作两个面的垂线，垂线的交点为几何体的球心.24．D【分析】利用指数函数与对数函数的性质，即可得出,,a b c 的大小关系.【详解】因为0.731a =>，0.80.80.71333b a -⎛⎫==>= ⎪⎝⎭，0.70.7log 0.8log 0.71c =<=，所以1c a b <<<.故选：D.【点睛】本题考查的是有关指数幂和对数值的比较大小问题，在解题的过程中，注意应用指数函数和对数函数的单调性，确定其对应值的范围.比较指对幂形式的数的大小关系，常用方法：（1）利用指数函数的单调性：x y a =，当1a >时，函数递增；当01a <<时，函数递减；（2）利用对数函数的单调性：log a y x =，当1a >时，函数递增；当01a <<时，函数递减；（3）借助于中间值，例如：0或1等.25．D【分析】由抛物线的焦点()1,0可求得直线l 的方程为1y x b +=，即得直线的斜率为b -，再根据双曲线的渐近线的方程为b y x a =±，可得b b a-=-，1b b a -⨯=-即可求出,a b ，得到双曲线的方程．【详解】由题可知，抛物线的焦点为()1,0，所以直线l 的方程为1y x b +=，即直线的斜率为b -， 又双曲线的渐近线的方程为b y x a =±，所以b b a-=-，1b b a -⨯=-，因为0,0a b >>，解得1,1a b ==． 故选：D ．【点睛】本题主要考查抛物线的简单几何性质，双曲线的几何性质，以及直线与直线的位置关系的应用，属于基础题．26．B【分析】对所给选项结合正弦型函数的性质逐一判断即可. 【详解】因为()sin()3f x x π=+，所以周期22T ππω==，故①正确； 51()sin()sin 122362f ππππ=+==≠，故②不正确； 将函数sin y x =的图象上所有点向左平移3π个单位长度，得到sin()3y x π=+的图象， 故③正确.故选：B.【点晴】本题主要考查正弦型函数的性质及图象的平移，考查学生的数学运算能力，逻辑分析那能力，是一道容易题.27．D【分析】由(0)0g =，结合已知，将问题转化为|2|y kx =-与()()||f x h x x =有3个不同交点，分0,0,0k k k =<>三种情况，数形结合讨论即可得到答案.【详解】注意到(0)0g =，所以要使()g x 恰有4个零点，只需方程()|2|||f x kx x -=恰有3个实根即可，令()h x =()||f x x ，即|2|y kx =-与()()||f x h x x =的图象有3个不同交点. 因为2,0()()1,0x x f x h x x x ⎧>==⎨<⎩， 当0k =时，此时2y =，如图1，2y =与()()||f x h x x =有1个不同交点，不满足题意； 当0k <时，如图2，此时|2|y kx =-与()()||f x h x x =恒有3个不同交点，满足题意； 当0k >时，如图3，当2y kx =-与2y x 相切时，联立方程得220x kx -+=，令0∆=得280k -=，解得k =，所以k >综上，k 的取值范围为(,0)(22,)-∞+∞.故选：D.【点晴】本题主要考查函数与方程的应用，考查数形结合思想，转化与化归思想，是一道中档题.。
天津市近几年高考数学文科试卷知识点总结整理
目录一、选择与填空 01. 复数 02. 线性规划（16年开始考大题） 03. 程序框图 (1)4. 对数、指数比较大小 (3)5. 集合与逻辑 (3)6. 三视图 (5)7. 平面向量 (7)8. 直线与圆的方程 (8)9. 圆的几何性质 (9)10. 函数与导数 (10)11. 三角函数 (12)12. 立体几何 (13)13. 不等式 (13)14. 圆锥曲线 (14)15. 数列 (15)16. 概率统计 (15)二、解答题 (15)1. 概率（2015年以前考）与线性规划（2016年以后考） (15)2. 三角函数 (19)3. 立体几何 (21)4. 圆锥曲线 (25)5. 函数与导数 (29)6. 数列 (33)天津近几年高考数学（文科）知识点分类及分布一、选择与填空 1.复数（选择题或填空题5分，简单，占3.3%。
）（2009文）已知i 是虚数单位，则ii-25= （ ） A i 21+ B i 21-- C i 21- D i 21+- （2010文） i 是虚数单位，复数31ii+-= （ ） (A)1+2i (B)2+4i (C)-1-2i (D)2-i （2011文） i 是虚数单位，复数131ii--= （ ） A 2i - B 2i + C ．12i -- D 12i -+（2012文）i 是虚数单位，复数534ii+-=（A ）1-i （B ）-1+i （C ）1+i （D ）-1-i （2013文）9.i 是虚数单位. 复数(3 + i )(1－2i ) = .（2014文）(1)i 是虚数单位，复数=++ii437（ ） A. i -1 B. i +-1 C.i 25312517+ D. i 725717+- （2015文）9. i 是虚数单位,计算12i2i-+ 的结果为 ．（2016文）（9）i 是虚数单位，复数z 满足(1)2i z +=，则z 的实部为_______.2.线性规划（16年开始考大题）（2009文）2.设变量x,y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥-≥+3213y x y x y x ，则目标函数y x z +=2的最小值为A 6B 7C 8D 23（2010文） (2)设变量x ，y 满足约束条件3,1,1,x y x y y +≤⎧⎪-≥-⎨⎪≥⎩则目标函数z=4x+2y 的最大值为（A）12 （B）10 （C）8 （D）2（2011文）2．设变量x，y满足约束条件1,40,340,xx yx y≥⎧⎪+-≤⎨⎪-+≤⎩则目标函数3z x y=-的最大值为A．-4B．0 C ．43D．4（2012文）（2）设变量x,y满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥+-≥-+14222xyxyx,则目标函数z=3x-2y的最小值为（A）-5 （B）-4 （C）-2 （D）3（2013文）2．设变量x，y满足约束条件360,20,30,x yx yy+-≥⎧⎪--≤⎨⎪-≤⎩则目标函数2z y x=-的最小值为（A）7-（B）4-（C）1（D）2（2014文）（2）设变量yx,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤--≥-+.1,02,02yyxyx则目标函数yxz2+=的最小值为（）A.2 B. 3 C. 4 D. 5（2015文）2.设变量,yx满足约束条件2020280xx yx y,则目标函数3yz x的最大值为（）(A) 7 (B) 8 (C) 9 (D)143. 程序框图选择题5分，简单，占3.3%。
2024年高一数学真题分类汇编(天津专用)解三角形(解析版)
专题03解三角形考点一、利用正弦定理、余弦定理解三角形考点二、判断三角形的形状考点三、解三角形的实际应用1、根据正弦定理、余弦定理求边或角2、求三角形的周长或面积3、解三角形中求取值范围或最值问题4、解三角形的综合应用利用正弦定理和余弦定理解三角形1．（22-23高一下·天津·期中）在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若1a =，2b =，c =C =（）A ．120︒B ．90︒C ．60︒D ．45︒2．（22-23高一下·天津·期中）在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c ，若4a =，b =π6A =，则角B 的大小为（）A ．π3B ．π3或2π3C ．2π3D ．π63．（22-23高一下·天津·期中）已知ABC ，内角、、A B C 的对边分别是,,,60a b c a b B ===︒，则A 等于（）A ．45︒B ．30︒C ．45︒或135︒D ．30︒或150︒4．（22-23高一下·天津·期中）在ABC 中，75,45AB A B === ，则AC =（）A B ．2CD ．3【答案】B【分析】根据三角形内角和先求出角C ，再根据正弦定理即得．【详解】因为180A B C ++= ，所以60C = ，5．（22-23高一下·天津·期中）若ABC 2BC =，60C =︒，则边AB 的长度等于（）A B C ．2D ．36．（22-23高一下·天津南开·期中）在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若()42cos 1,sin 5a c B C =+=，则sin B =（）A ．1825B ．2425-C ．1825-D ．24257．（22-23高一下·天津·期中）ABC 的内角A B C ，，的对边分别为a ，b ，c ，若ABC 的面积为2224a b c +-，则C =A ．π2B ．π3C ．π4D ．π68．（22-23高一下·天津·期中）在ABC 中，a 3b =，6A π=，则此三角形（）A ．无解B ．一解C ．两解D ．解的个数不确定判断三角形的形状9．（19-20高一下·天津东丽·期末）已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，下列四个命题中正确的是（）A ．若4,30a b A === ，则B 只有一解B ．若2220a b c +->，则△ABC 一定是锐角三角形C ．若b cos C ＋c cos B ＝b ，则△ABC 一定是等腰三角形D ．若a cos A ＝b cos B ，则△ABC 一定是等腰三角形10．（22-23高一下·天津·期中）在ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos a c B =，则ABC 的形状是（）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形【答案】B，再由诱导公式及两角和的正弦公式判断即11．（22-23高一下·天津·期中）在ABC 中，已知()sin 2sin cos A A C C =+，那么ABC 一定是（）A ．等腰直角三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等边三角形12．（22-23高一下·天津·期中）在ABC 中，内角,,A B C 满足2sin cos sin B C A =，则ABC 的形状为（）A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．正三角形【答案】B【分析】根据()sin sin A B C =+得到()sin 0B C -=，求出B C =，得到三角形形状.【详解】()2sin cos sin sin sin cos cos sin B C A B C B C B C ==+=+，故sin cos cos sin 0B C B C -=，即()sin 0B C -=，因为(),0,πB C ∈，所以B C =，故ABC 为等腰三角形.故选：B13．（22-23高一下·天津·期中）在 ABC 中，如果满足cos cos b A a B =，则 ABC 一定是（）A ．直角三角形B ．等边三角形C ．等腰三角形D ．等腰或直角三角形14．（22-23高一下·天津·期中）设在ABC ∆中,角,A B C ，所对的边分别为,a b c ，,若cos cos sin b C c B a A +=,则ABC ∆的形状为（）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定15．（22-23高一下·天津·期中）在ABC 中，已知||||AB AC AB AC +=-，且sin 2sin cos A B C =，则ABC 是（）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰或直角三角形16．（2021·甘肃天水·模拟预测）在ABC 中，若21sin cos C b C B c B -=-，则ABC 的形状是（）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形B解三角形的实际应用17．（22-23高一下·天津·期中）一艘轮船按照北偏东40︒方向，以18海里/时的速度直线航行，一座灯塔原来在轮船的南偏东20︒方向上，经过20分钟的航行，轮船与灯塔的距离为与轮船原来的距离为A．6海里B．12海里C．6海里或12海里D．由题意得：18AC=则2 cos ACCAB∠=即灯塔与轮船原来的距离为本题正确选项：A【点睛】本题考查解三角形的实际应用问题，关键是能够利用余弦定理构造方程，解方程求得结果18．（22-23高一下·天津·期中）一艘轮船沿北偏东28o方向，以18海里/时的速度沿直线航行，一座灯塔原来在轮船的南偏东32o方向上，经过10灯塔与轮船原来的距离为海里.19．（20-21高一下·天津宁河·阶段练习）一艘轮船按照北偏东40°方向，以18海里/时的速度直线航行，一座灯塔原来在轮船的南偏东20°方向上，经过20分钟的航行，轮船与灯塔的距离为则灯塔与轮船原来的距离为海里．【答案】6【分析】由题意画出图形，求出相关量，然后利用余弦定理求解即可.【详解】记轮船的初始位置为A，灯塔位置为B，20分钟后轮船的位置为C，如图所示：由题意得：11863AC =⨯=，1804020120CAB ∠=--= 63BC =，在ABC 中，由余弦定理得：22cos 2AC AB BC CAB AC AB +-∠=⋅()2226631262AB AB+-==-⨯⋅，所以解得6AB =或12AB =-20．（22-23高一下·天津南开·期中）2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86（单位：米），三角高程测量法是珠穆朗玛峰高程测量方法之一.如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A ，B ，C 三点，且A ，B ，C 在同一水平面上的投影,,A B C '''满足45,60A C B A B C ''''''∠=∠= ，由点C 测得点B 的仰角为15 ，BB '与CC '的差为100，由点B 测得点A 的仰角为45 ，则A ，C 两点到水平面ABC '''的高度差AA CC ''-为米.已知BB '与CC '的差为100，则又15BCD ∠=，则tan15CD =则3131010100(2B C CD ''=-==+根据正弦定理和余弦定理求边或角21．（22-23高一下·天津·期中）在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ．已知3a =c =2π3A =．(1)求C 的值；(2)求b 的值．22．（22-23高一下·天津河西·期中）在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知2cos c b b A -=.(1)若a =3b =，求边c 的长；(2)若π2C =，求角B 的大小．23．（22-23高一下·天津·期中）在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c.已知12,cos 4a b c A ===-.(1)求c 的值；(2)求sin B 的值；(3)求sin(2)A B -的值.24．（22-23高一下·天津·期中）在非等腰ABC 中，a ，b ，c 分别是三个内角A ，B ，C 的对边，且3a =，4c =，2C A =.(1)求cos A 的值；(2)求ABC 的周长；(3)求πcos 26A ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.25．（22-23高一下·天津·期中）在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.已知sin cos 6b A a B π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.（1）求角B 的大小；（2）设a =2，c =3，求b 和()sin 2A B -的值.26．（22-23高一下·天津和平·期中）ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，向量()m a =u r与()cos ,sin n A B =r平行.(1)求A ；(2)若a =2b =，求sin C 的值.27．（22-23高一下·天津滨海新·期中）在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知45,6,cos 5a b B ===-.(1)求A 的值；(2)求()sin 2B A +的值.28．（22-23高一下·天津·期中）在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知sin A C =，150B =︒，ABC(1)求a 的值；(2)求sin A 的值；(3)求sin 26A π⎛⎫+ ⎪的值.29．（22-23高一下·天津·期中）在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且222sin sin sin cos cos A A B B C +=-.(1)求角C 的大小；(2)若sin 2sin A B =，c =ABC 的面积.30．（22-23高一下·天津·期中）在ABC 中，角A ，B ，C 所对的分别为a ，b ，c ．向量),m b =，()sin ,cos n A B = ，且m n ∥．(1)求B 的值；(2)若2a =，b ，求ABC 的面积31．（2021·广西·二模）已知ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为、b 、，且c b c a=--.(1)求角A 的大小；(2)若a =，且ABC S = ABC 的周长.32．（22-23高一下·天津河北·期中）已知ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，向量()m a =u r，()cos ,sin n A B =r ，且//m n .(1)求角A ；(2)若a =2b =，求边c及ABC 的面积；(3)在（2）的条件下，求()sin 2B A -的值.33．（22-23高一下·天津和平·期中）ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin 0A A =，4c =，a =(1)求A ，b ；(2)设D 为BC 边上一点，且AD AC ⊥，求ABD △的面积.34．（22-23高一下·天津滨海新·期中）在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知2cos cos b c a A B=+.(1)求角B 的大小；(2)若4,b a c =+=ABC 的面积.35．（22-23高一下·天津滨海新·期中）已知ABC 内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2cos cos cos c A a B b A =+．(1)求角A ；(2)若ABC 的外接圆半径R =4b =，求ABC 的面积；(3)若a =3BA AC ⋅=- ，A ∠的平分线交边BC 于点T ，求AT 的长．求取值范围或最值问题36．（22-23高一下·天津·期中）在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos2cos2cos212sin sin A B C A B +-=-.(1)求角C 的大小；(2)若ABC 为锐角三角形，求sin sin sin A B C ++的取值范围.37．（21-22高一下·湖北·期中）已知ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，且()2cos cos a b C c B-=(1)求角C(2)若2a =，3b =，CD 为角C 的平分线，求CD 的长；(3)若cos cos 4a B b A +=，求锐角ABC 面积的取值范围.=38．（2020·全国·模拟预测）在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且()223sin sin 222C B bc b c b c a +=++.(1)求角A 的大小；(2)若c a >，求a b m c +=的取值范围.39．（21-22高一下·江苏无锡·期中）从①222sin sin sin sin sin 0B A C B C -+-=②sin cos b A B =，这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答（注：若选择多个条件，按第一个解答计分）.在ABC 中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，若__________.(1)求角A 的大小：(2)若D 是BC 的中点，AD =ABC 面积的最大值.(3)若O 为ABC 的外接圆圆心，且cos cos 2sin sin B C AB AC mAO C B+= ，求实数m 的值.【详解】（1）解：选条件①时，222sin sin sin sin sin 0B A C B C -+-=，根据正弦定理：222b a c bc -+=，40．（20-21高一下·山东济南·期中）如图所示，某市有一块空地OAB ，其中2km OA =，60OAM ∠=︒，90AOB ∠=︒．当地政府计划将这块空地改造成一个旅游景点，拟在中间挖一个人工湖OMN ，其中M ，N ，都在边AB 上，且30MON ∠=︒，挖出的泥土堆放在OAM △地带上形成假山，剩下的OBN △地带开设儿童游乐场．为安全起见，需在OAN 的周围安装防护网．设=AOM θ∠．（1）当1km AM =时，求此时防护网的总长度；（2）若15θ=︒，问此时人工湖用地OMN 的面积是堆假山用地OAM △的面积的多少倍？（3）为节省投入资金，人工湖OMN 的面积要尽可能小，问如何设计施工方案，可使OMN 的面积最小？最小面积是多少？（2）15θ=︒时，在三角形sin 60sin15OM AM =︒︒在三角形OMN 中，由正弦定理得，sin 30sin 75MN OM =︒︒所以sin 60sin 75MN AM =sin 60sin 301sin 302︒⋅︒=︒以O 为顶点时，所以OMN OAM S MN S AM=△△即人工湖用地OMN （3）在三角形OAN 18060ONA ∠=︒-由正弦定理得，(2sin 60sin 90ON =︒︒在三角形OAM 中，由正弦定理得sin OM。
天津市近几年高考数学文科试卷知识点总结整理
天津市近几年高考数学文科试卷知识点总结整理目录一、选择及填空01. 复数02. 线性规划（16年开始考大题）03. 程序框图24. 对数、指数比较大小45. 集合及逻辑56. 三视图77. 平面向量98. 直线及圆的方程109. 圆的几何性质1110. 函数及导数1311. 三角函数1612. 立体几何1813. 不等式1814. 圆锥曲线1815. 数列1916. 概率统计20二、解答题201. 概率（2015年以前考）及线性规划（2016年以后考）202. 三角函数263. 立体几何304. 圆锥曲线345. 函数及导数416. 数列47天津近几年高考数学（文科）知识点分类及分布一、选择及填空 1.复数（选择题或填空题5分，简单，占3.3%。
） （2009文）已知i 是虚数单位，则ii-25= （ ） A i 21+ B i 21-- C i 21- D i 21+- （2010文） i 是虚数单位，复数31ii+-= （ ） (A)1+2i (B)2+4i(C)-1-2i (D)2-i （2011文）i 是虚数单位，复数131ii--= （ ） A 2i -B 2i +C ．12i --D 12i -+（2012文）i 是虚数单位，复数534ii+-=（A ）1-i （B ）-1+i （C ）1+i （D ）-1-i （2013文）9.i 是虚数单位. 复数(3 + i )(1－2i ) = .（2014文）(1)i 是虚数单位，复数=++ii437（ ） A. i -1 B. i +-1 C. i 25312517+ D. i 725717+-（2015文）9. i 是虚数单位,计算12i2i-+ 的结果为．（2016文）（9）i 是虚数单位，复数z 满足(1)2i z +=，则z 的实部为_______.2.线性规划（16年开始考大题）（2009文）2.设变量x,y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥-≥+3213y x y x y x ，则目标函数y x z +=2的最小值为A 6B 7C 8D 23（2010文）(2)设变量x ，y 满足约束条件3,1,1,x y x y y +≤⎧⎪-≥-⎨⎪≥⎩则目标函数z=4x+2y 的最大值为（A ）12 （B ）10 （C ）8 （D ）2（2011文）2．设变量x ，y 满足约束条件1,40,340,x x y x y ≥⎧⎪+-≤⎨⎪-+≤⎩则目标函数3z x y =-的最大值为 A ．-4B ．0C ．43D ．4（2012文）（2）设变量x,y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥+-≥-+01042022x y x y x ,则目标函数z=3x-2y 的最小值为（A ）-5 （B ）-4 （C ）-2 （D ）3（2013文）2．设变量x ，y 满足约束条件360,20,30,x y x y y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-≤⎩则目标函数2z y x =-的最小值为（A ）7- （B ）4- （C ）1 （D ）2（2014文）（2）设变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤--≥-+.1,02,02y y x y x 则目标函数y x z 2+=的最小值为（ ）A.2B. 3C. 4D. 5（2015文）2.设变量,y x 满足约束条件2020280x x yx y ,则目标函数3y z x 的最大值为（）(A) 7 (B) 8 (C) 9 (D)143.程序框图选择题5分，简单，占3.3%。
2024年天津高考数学真题(原卷版+解析版】
2024年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟．第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至6页．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码．答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷（选择题）注意事项：1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．2．本卷共9小题，每小题5分，共45分．参考公式：·如果事件A B ，互斥，那么()()()P A B P A P B =+U ．·如果事件A B ，相互独立，那么()()()P AB P A P B =．·球的体积公式34π3V R =，其中R 表示球的半径．·圆锥的体积公式13V Sh=，其中S 表示圆锥的底面面积，h 表示圆锥的高．一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 集合{}1,2,3,4A =，{}2,3,4,5B =，则A B =I （ ）A. {}1,2,3,4 B. {}2,3,4 C. {}2,4 D. {}12. 设,a b ÎR ，则“33a b =”是“33a b =”（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3. 下列图中，相关性系数最大的是（ ）的获取更多高中资料关注公众号：网盘网课资源A. B.C. D.4. 下列函数是偶函数的是（ ）A. 22e 1x x y x -=+ B. 22cos 1x x y x +=+ C. e 1x xy x -=+ D. ||sin 4e x x x y +=5. 若0.30.3 4.24.2 4.2log 0.2a b c -===，，，则a b c ，，的大小关系为（ ）A. a b c>> B. b a c>> C. c a b>> D. b c a>>6. 若,m n 为两条不同的直线，a 为一个平面，则下列结论中正确的是（ ）A 若//m a ，n Ìa ，则//m nB. 若//,//m n a a ，则//m nC. 若//,a a ^m n ，则m n ^D. 若//,a a ^m n ，则m 与n 相交7. 已知函数()()πsin303f x x w w æö=+>ç÷èø的最小正周期为π．则函数在ππ,126éù-êúëû的最小值是（ ）A. B. 32-C. 0D.328. 双曲线22221()00a x y a bb >-=>，的左、右焦点分别为12.F F P 、是双曲线右支上一点，且直线2PF 的斜率为2．12PF F △是面积为8的直角三角形，则双曲线的方程为（ ）A. 22182y x -= B. 22184x y -= C. 22128x y -= D. 22148x y -=9. 一个五面体ABC DEF -．已知AD BE CF ∥∥，且两两之间距离为1．并已知123AD BE CF ===，，．则该五面体的体积为（）.A.B.12+C.D.12-第Ⅱ卷注意事项：1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上．2．本卷共11小题，共105分．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分．10. 已知i是虚数单位，复数))i 2i +×-=______．11. 在63333x xæö+ç÷èø展开式中，常数项为______．12. 22(1)25-+=x y 的圆心与抛物线22(0)y px p =>的焦点F 重合，A 为两曲线的交点，则原点到直线AF 的距离为______．13. ,,,,A B C D E 五种活动，甲、乙都要选择三个活动参加.（1）甲选到A 的概率为______；已知乙选了A 活动，他再选择B 活动的概率为______．14. 在边长为1的正方形ABCD 中，点E 为线段CD 的三等分点， 1,2CE DE BE BA BC ==+uur uur uuu r l m ，则l m +=______；若F 为线段BE 上的动点，G 为AF 中点，则AF DG ×uuu r uuur的最小值为______．15. 若函数()21f x ax =--+有唯一零点，则a 取值范围为______．三、解答题：本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤的的16. 在ABC V 中，92cos 5163a Bbc ===，，．（1）求a ；（2）求sin A ；（3）求()cos 2B A -．17. 已知四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为梯形，//AB CD ，1A A ^平面ABCD ，AD AB ^，其中12,1AB AA AD DC ====．N 是11B C 的中点，M 是1DD 的中点．（1）求证1//D N 平面1CB M ；（2）求平面1CB M 与平面11BB CC 的夹角余弦值；（3）求点B 到平面1CB M 的距离．18. 已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>椭圆的离心率12e =．左顶点为A ，下顶点为B C ，是线段OB 的中点，其中ABC S △．（1）求椭圆方程．（2）过点30,2æö-ç÷èø的动直线与椭圆有两个交点P Q ，．在y 轴上是否存在点T 使得0TP TQ ×£uur uuu r 恒成立．若存在求出这个T 点纵坐标的取值范围，若不存在请说明理由．19. 已知数列{}n a 是公比大于0的等比数列．其前n 项和为n S ．若1231,1a S a ==-．（1）求数列{}n a 前n 项和n S ；（2）设11,2,kn n k k k n a b b k a n a -+=ì=í+<<î，11b =，其中k 是大于1的正整数．（ⅰ）当1k n a +=时，求证：1n k n b a b -³×；（ⅱ）求1nS i i b =å．20. 设函数()ln f x x x =．（1）求()f x 图象上点()()1,1f 处的切线方程；（2）若()(f x a x ³在()0,x ¥Î+时恒成立，求a 取值范围；（3）若()12,0,1x x Î，证明()()121212f x f x x x -£-．的2024年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟．第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至6页．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码．答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷（选择题）注意事项：1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．2．本卷共9小题，每小题5分，共45分．参考公式：·如果事件A B ，互斥，那么()()()P A B P A P B =+U ．·如果事件A B ，相互独立，那么()()()P AB P A P B =．·球的体积公式34π3V R =，其中R 表示球的半径．·圆锥的体积公式13V Sh=，其中S 表示圆锥的底面面积，h 表示圆锥的高．一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 集合{}1,2,3,4A =，{}2,3,4,5B =，则A B =I （ ）A. {}1,2,3,4B. {}2,3,4 C. {}2,4 D. {}1【答案】B 【解析】【分析】根据集合交集的概念直接求解即可.【详解】因为集合{}1,2,3,4A =，{}2,3,4,5B =，所以{}2,3,4A B =I ，获取更多高中资料关注公众号：网盘网课资源2. 设,a b ÎR ，则“33a b =”是“33a b =”的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】说明二者与同一个命题等价，再得到二者等价，即是充分必要条件.【详解】根据立方的性质和指数函数的性质，33a b =和33a b =都当且仅当a b =，所以二者互为充要条件.故选：C.3. 下列图中，相关性系数最大的是（ ）A. B.C. D.【答案】A 【解析】【分析】由点的分布特征可直接判断【详解】观察4幅图可知，A 图散点分布比较集中，且大体接近某一条直线，线性回归模型拟合效果比较好，呈现明显的正相关，r 值相比于其他3图更接近1.故选：A4. 下列函数是偶函数的是（ ）A. 22e 1x x y x -=+ B. 22cos 1x x y x +=+ C. e 1x xy x -=+ D. ||sin 4e x x x y +=【答案】B【分析】根据偶函数的判定方法一一判断即可.【详解】对A ，设()22e 1x x f x x -=+，函数定义域为R ，但()112e 1f ---=，()112e f -=，则()()11f f -¹，故A 错误；对B ，设()22cos 1x x g x x +=+，函数定义域为R ，且()()()()()2222cos cos 11x x x x g x g x x x -+-+-===+-+，则()g x 为偶函数，故B 正确；对C ，设()e 1x xh x x -=+，函数定义域为{}|1x x ¹-，不关于原点对称， 则()h x 不是偶函数，故C 错误；对D ，设()||sin 4e x x x x j +=，函数定义域为R ，因为()sin141e j +=，()sin141ej ---=，则()()11j j ¹-，则()x j 不是偶函数，故D 错误.故选：B.5. 若0.30.3 4.24.2 4.2log 0.2a b c -===，，，则a b c ，，的大小关系为（ ）A. a b c >>B. b a c>> C. c a b>> D. b c a>>【答案】B 【解析】【分析】利用指数函数和对数函数的单调性分析判断即可.【详解】因为 4.2x y =在R 上递增，且0.300.3-<<，所以0.300.30 4.2 4.2 4.2-<<<，所以0.30.30 4.21 4.2-<<<，即01a b <<<，因为 4.2log y x =在(0,)+¥上递增，且00.21<<，所以 4.2 4.2log 0.2log 10<=，即0c <，所以b a c >>，故选：B6. 若,m n 为两条不同的直线，a 为一个平面，则下列结论中正确的是（ ）A. 若//m a ，n Ìa ，则//m nB. 若//,//m n a a ，则//m nC. 若//,a a ^m n ，则m n ^D. 若//,a a ^m n ，则m 与n 相交【答案】C 【解析】【分析】根据线面平行的性质可判断AB 的正误，根据线面垂直的性质可判断CD 的正误.【详解】对于A ，若//m a ，n Ìa ，则,m n 平行或异面，故A 错误.对于B ，若//,//m n a a ，则,m n 平行或异面或相交，故B 错误.对于C ，//,a a ^m n ，过m 作平面b ，使得s b a =I ，因为m b Ì，故//m s ，而s a Ì，故n s ^，故m n ^，故C 正确. 对于D ，若//,a a ^m n ，则m 与n 相交或异面，故D 错误.故选：C .7. 已知函数()()πsin303f x x w w æö=+>ç÷èø的最小正周期为π．则函数在ππ,126éù-êúëû的最小值是（ ）A. B. 32-C. 0D.32【答案】A 【解析】【分析】先由诱导公式化简，结合周期公式求出w ，得()sin2f x x =-，再整体求出,126éùÎ-êúëûππx 时，2x 的范围，结合正弦三角函数图象特征即可求解.【详解】()()πsin3sin 3πsin 33f x x x x w w w æö=+=+=-ç÷èø，由2ππ3T w==得23w =，即()sin2f x x =-，当,126éùÎ-êúëûππx 时，ππ2,63x éùÎ-êúëû，画出()sin2f x x =-图象，如下图，由图可知，()sin2f x x =-在ππ,126éù-êúëû上递减，所以，当π6x =时，()min πsin 3f x =-=故选：A8. 双曲线22221()00a x y a bb >-=>，的左、右焦点分别为12.F F P 、是双曲线右支上一点，且直线2PF 的斜率为2．12PF F △是面积为8的直角三角形，则双曲线的方程为（ ）A. 22182y x -= B. 22184x y -= C. 22128x y -= D. 22148x y -=【答案】C 【解析】【分析】可利用12PF F △三边斜率问题与正弦定理，转化出三边比例，设2PF m =，由面积公式求出m ，由勾股定理得出c ，结合第一定义再求出a .【详解】如下图：由题可知，点P 必落在第四象限，1290F PF Ð=°，设2PF m =，211122,PF F PF F q q Ð=Ð=，由21tan 2PF k q ==，求得1sin q =，因为1290F PF Ð=°，所以121PF PF k k ×=-，求得112PF k =-，即21tan 2q =，2sin q =，由正弦定理可得：121212::sin :sin :sin 902PF PF F F q q =°=，则由2PF m =得1122,2PF m F F c ===，由1212112822PF F S PF PF m m =×=×=V 得m =，则2122PF PF F c c =====由双曲线第一定义可得：122PF PF a -==a b ===所以双曲线的方程为22128x y -=.故选：C9. 一个五面体ABC DEF -．已知AD BE CF ∥∥，且两两之间距离为1．并已知123AD BE CF ===，，．则该五面体的体积为（ ）A.B.12+ C.D.12-【答案】C 【解析】【分析】采用补形法，补成一个棱柱，求出其直截面，再利用体积公式即可.【详解】用一个完全相同的五面体HIJ LMN -（顶点与五面体ABC DEF -一一对应）与该五面体相嵌，使得,D N ；,E M ;,F L 重合，因为AD BE CF ∥∥，且两两之间距离为1．1,2,3AD BE CF ===，则形成的新组合体为一个三棱柱，该三棱柱的直截面（与侧棱垂直的截面）为边长为1的等边三角形，侧棱长为1322314+=+=+=，212111142ABC DEF ABC HIJ V V --==´´´=.故选：C.第Ⅱ卷注意事项：1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上．2．本卷共11小题，共105分．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分．10. 已知i是虚数单位，复数))i 2i +×-=______．【答案】7【解析】【分析】借助复数的乘法运算法则计算即可得.【详解】))i 2i 527+×-=+-+=-.故答案为：7-.11. 在63333x xæö+ç÷èø的展开式中，常数项为______．【答案】20【解析】【分析】根据题意结合二项展开式的通项分析求解即可.【详解】因为63333x x æö+ç÷èø的展开式的通项为()63636216633C 3C ,0,1,,63rrr r r r r x T xr x ---+æöæö===×××ç÷ç÷èøèø，令()630r -=，可得3r =，所以常数项为0363C 20=.故答案为：20.12. 22(1)25-+=x y 的圆心与抛物线22(0)y px p =>的焦点F 重合，A 为两曲线的交点，则原点到直线AF 的距离为______．【答案】45##0.8【解析】【分析】先求出圆心坐标，从而可求焦准距，再联立圆和抛物线方程，求A 及AF 的方程，从而可求原点到直线AF 的距离.【详解】圆22(1)25-+=x y 的圆心为()1,0F ，故12p=即2p =，由()2221254x y y xì-+=ïí=ïî可得22240x x +-=，故4x =或6x =-（舍），故()4,4A ±，故直线()4:13AF y x =±-即4340x y --=或4340x y +-=，故原点到直线AF 的距离为4455d ==，故答案为：4513. ,,,,A B C D E 五种活动，甲、乙都要选择三个活动参加.（1）甲选到A 的概率为______；已知乙选了A 活动，他再选择B 活动的概率为______．【答案】 ①.35②. 12【解析】【分析】结合列举法或组合公式和概率公式可求甲选到A 的概率；采用列举法或者条件概率公式可求乙选了A 活动，他再选择B 活动的概率.【详解】解法一：列举法从五个活动中选三个的情况有：,,,,,,,,,ABC ABD ABE ACD ACE ADE BCD BCE BDE CDE ,共10种情况，其中甲选到A 有6种可能性：,,,,,ABC ABD ABE ACD ACE ADE ，则甲选到A 得概率为：63105P ==；乙选A 活动有6种可能性：,,,,,ABC ABD ABE ACD ACE ADE ，其中再选则B 有3种可能性：,,ABC ABD ABE ，故乙选了A 活动，他再选择B 活动的概率为31=62.解法二：设甲、乙选到A 为事件M ，乙选到B 为事件N ，则甲选到A 的概率为()2435C 3C 5P M ==；乙选了A 活动，他再选择B 活动的概率为()()()133524351C 2C C P MN C P N M P M ===故答案为：35；1214. 在边长为1的正方形ABCD 中，点E 为线段CD 的三等分点， 1,2CE DE BE BA BC ==+uur uur uuu r l m ，则l m +=______；若F 为线段BE 上的动点，G 为AF 中点，则AF DG ×uuu r uuur的最小值为______．【答案】 ①.43②. 518-【解析】【分析】解法一：以{},BA BC uuu r uuu r 为基底向量，根据向量的线性运算求BE uuu r，即可得l m +，设BF BE k =uuu r uur ，求,AF DG uuu r uuu r ，结合数量积的运算律求AF DG ×uuu r uuur 的最小值；解法二：建系标点，根据向量的坐标运算求BE uuu r，即可得l m +，设()1,3,,03F a a a éù-Î-êúëû，求,AF DG uuu r uuu r ，结合数量积的坐标运算求AF DG ×uuu r uuur 的最小值.【详解】解法一：因为12CE DE =，即23CE BA =uur uur ，则13BE BC CE BA BC =+=+uuu r uur u uu ur r uuu r ，可得1,13l m ==，所以43l m +=；由题意可知：1,0BC BA BA BC ==×=uuu r uuu r uuu r uuu r，因为F 为线段BE 上的动点，设[]1,0,13BF k BE k BA k BC k ==+Îuuu r uuu r uuu r uuu r，则113AF AB BF AB k BE k BA k BC æö=+=+=-+ç÷èøuuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuur uuu r ，又因为G 为AF 中点，则1111112232DG DA AG BC AF k BA k BC æöæö=+=-+=-+-ç÷ç÷èøèøuuur uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuur ，可得11111113232AF DG k BA k BC k BA k BC éùéùæöæöæö×=-+×-+-ç÷ç÷ç÷êúêúèøèøèøëûëûuuu r uuur uuu r uuu ruuu r uuur22111563112329510k k k k æöæöæö=-+-=--ç÷ç÷ç÷èøèøèø，又因为[]0,1k Î，可知：当1k =时，AF DG ×uuu r uuur取到最小值518-；解法二：以B 为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示，则()()()()11,0,0,0,0,1,1,1,,13A B C D E æö---ç÷èø，可得()()11,0,0,1,,13BA BC BE æö=-==-ç÷èøuuu r uuu r uuu r ，因为(),BE BA BC l m l m =+=-uuu r uuu r uuu r ，则131l m ì-=-ïíï=î，所以43l m +=；因为点F 在线段1:3,,03BE y x x éù=-Î-êúëû上，设()1,3,,03F a a a éù-Î-êúëû，且G 为AF 中点，则13,22a G a -æö-ç÷èø，可得()131,3,,122a AF a a DG a +æö=+-=--ç÷èøuuu r uuur ，则()()22132331522510a AF DG a a a +æöæö×=+---=+-ç÷ç÷èøèøuuu r uuur ，且1,03a éùÎ-êúëû，所以当13a =-时，AF DG ×uuu r uuur 取到最小值为518-；故答案为：43；518-.15. 若函数()21f x ax =--+有唯一零点，则a 的取值范围为______．【答案】()(1-È【解析】【分析】结合函数零点与两函数的交点的关系，构造函数()g x =与()23,21,ax x a h x ax x a ì-³ïï=íï-<ïî，则两函数图象有唯一交点，分0a =、0a >与0a <进行讨论，当0a >时，计算函数定义域可得x a ³或0x £，计算可得(]0,2a Î时，两函数在y 轴左侧有一交点，则只需找到当(]0,2a Î时，在y 轴右侧无交点的情况即可得；当0a <时，按同一方式讨论即可得.【详解】令()0f x =，即21ax =--，由题可得20x ax -³，当0a =时，x ÎR，有211=--=，则x =±当0a >时，则23,2121,ax x a ax x a ì-³ïï--=íï-<ïî，即函数()g x =与函数()23,21,ax x a h x ax x a ì-³ïï=íï-<ïî有唯一交点，由20x ax -³，可得x a ³或0x £，当0x £时，则20ax -<，则211ax ax =--=-，即()22441x ax ax -=-，整理得()()()2242121210a xax a x a x éùéù---=++--=ëûëû，当2a =时，即410x +=，即14x =-，当()0,2a Î，12x a =-+或102x a=>-（正值舍去），当()2,a Î+¥时，102x a =-<+或102x a=<-，有两解，舍去，即当(]0,2a Î时，210ax --+=在0x £时有唯一解，则当(]0,2a Î时，210ax --+=在x a ³时需无解，当(]0,2a Î，且x a ³时，由函数()23,21,ax x ah x ax x a ì-³ïï=íï-<ïî关于2x a =对称，令()0h x =，可得1x a =或3x a =，且函数()h x 在12,a a æöç÷èø上单调递减，在23,a a æöç÷èø上单调递增，令()g x y ==，即2222142a x y a a æö-ç÷-ø=è，故x a ³时，()g x 图象为双曲线()222214y x a a -=右支的x 轴上方部分向右平移2a 所得，由()222214y x a a-=的渐近线方程为22a y x x a =±=±，即()g x 部分的渐近线方程为22a y x æö=-ç÷èø，其斜率为2，又(]0,2a Î，即()23,21,ax x ah x ax x a ì-³ïï=íï-<ïî在2x a ³时的斜率(]0,2a Î，令()0g x ==，可得x a =或0x =（舍去），且函数()g x 在(),a +¥上单调递增，故有13a aa a ì<ïïíï>ïî，解得1a <<，故1a <<符合要求；当a<0时，则23,2121,ax x a ax x a ì-£ïï--=íï->ïî，即函数()g x =与函数()23,21,ax x a h x ax x a ì-£ïï=íï->ïî有唯一交点，由20x ax -³，可得0x ³或x a £，当0x ³时，则20ax -<，则211ax ax =--=-，即()22441x ax ax -=-，整理得()()()2242121210a xax a x a x éùéù---=++--=ëûëû，当2a =-时，即410x -=，即14x =，当()2,0a Î-，102x a =-<+（负值舍去）或102x a=-，当(),2a Î-¥时，102x a =->+或102x a=>-，有两解，舍去，即当[)2,0a Î-时，210ax --+=在0x ³时有唯一解，则当[)2,0a Î-时，210ax --+=在x a £时需无解，当[)2,0a Î-，且x a £时，由函数()23,21,ax x ah x ax x a ì-£ïï=íï->ïî关于2x a =对称，令()0h x =，可得1x a =或3x a =，且函数()h x 在21,a a æöç÷èø上单调递减，在32,a a æöç÷èø上单调递增，同理可得：x a £时，()g x 图象为双曲线()222214y x a a -=左支的x 轴上方部分向左平移2a 所得，()g x 部分渐近线方程为22a y x æö=-+ç÷èø，其斜率为2-，又[)2,0a Î-，即()23,21,ax x ah x ax x a ì-³ïï=íï-<ïî在2x a <时的斜率[)2,0a Î-，令()0g x ==，可得x a =或0x =（舍去），的且函数()g x 在(),a -¥上单调递减，故有13a aa aì>ïïíï<ïî，解得1a <<-，故1a <<-符合要求；综上所述，()(1a Î-U .故答案：()(1-È.【点睛】关键点点睛：本题关键点在于将函数()f x 的零点问题转化为函数()g x =与函数()23,21,ax x ah x ax x a ì-³ïï=íï-<ïî的交点问题，从而可将其分成两个函数研究.三、解答题：本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤16. 在ABC V 中，92cos 5163a Bbc ===，，．（1）求a ；（2）求sin A ；（3）求()cos 2B A -．【答案】（1）4 （2（3）5764【解析】【分析】（1）2,3a t c t ==，利用余弦定理即可得到方程，解出即可；（2）法一：求出sin B ，再利用正弦定理即可；法二：利用余弦定理求出cos A ，则得到sin A ；（3）法一：根据大边对大角确定A 为锐角，则得到cos A ，再利用二倍角公式和两角差的余弦公式即可；法二：直接利用二倍角公式和两角差的余弦公式即可.【小问1详解】设2,3a t c t ==，0t >，则根据余弦定理得2222cos b a c ac B =+-，为即229254922316t t t t =+-´´´，解得2t =（负舍）；则4,6a c ==.【小问2详解】法一：因为B为三角形内角，所以sin B ===，再根据正弦定理得sin sin a b A B =，即4sin A =sin A =法二：由余弦定理得2222225643cos22564bc a A bc +-+-===´´，因为()0,πA Î，则sin A ==小问3详解】法一：因为9cos 016B =>，且()0,πB Î，所以π0,2B æöÎç÷èø，由（2）法一知sin B =，因为a b <，则A B <，所以3cos 4A ==，则3sin 22sin cos 24A A A ===，2231cos 22cos 12148A A æö=-=´-=ç÷èø()1957cos 2cos cos 2sin sin 281664B A B A B A -=+=´+=.法二：3sin 22sin cos 24A A A ===，则2231cos 22cos 12148AA æö=-=´-=ç÷èø，因为B 为三角形内角，所以sinB ===所以()9157cos 2cos cos 2sin sin 216864B A B A B A -=+=´=【17. 已知四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为梯形，//AB CD ，1A A ^平面ABCD ，AD AB ^，其中12,1AB AA AD DC ====．N 是11B C 的中点，M 是1DD 的中点．（1）求证1//D N 平面1CB M ；（2）求平面1CB M 与平面11BB CC 的夹角余弦值；（3）求点B 到平面1CB M 的距离．【答案】（1）证明见解析（2（3【解析】【分析】（1）取1CB 中点P ，连接NP ，MP ，借助中位线的性质与平行四边形性质定理可得1N//D MP ，结合线面平行判定定理即可得证；（2）建立适当空间直角坐标系，计算两平面的空间向量，再利用空间向量夹角公式计算即可得解；（3）借助空间中点到平面的距离公式计算即可得解.【小问1详解】取1CB 中点P ，连接NP ，MP ，由N 是11B C 的中点，故1//NP CC ，且112NP CC =，由M 是1DD 的中点，故1111122D M DD CC ==，且11//D M CC ，则有1//D M NP 、1D M NP =，故四边形1D MPN 是平行四边形，故1//D N MP ，又MP Ì平面1CB M ，1D N Ë平面1CB M ，故1//D N 平面1CB M ；【小问2详解】以A 为原点建立如图所示空间直角坐标系，有()0,0,0A 、()2,0,0B 、()12,0,2B 、()0,1,1M 、()1,1,0C 、()11,1,2C ，则有()11,1,2CB =-uuur 、()1,0,1CM =-uuuu r 、()10,0,2BB =uuur，设平面1CB M 与平面11BB CC 的法向量分别为()111,,m x y z =r 、()222,,n x y z =r，则有111111200m CB x y z m CM x z ì×=-+=ïí×=-+=ïîuuur r uuuu r r ，1222122020n CB x y z n BB z ì×=-+=ïí×==ïîuuur r uuur r ，分别取121x x ==，则有13y =、11z =、21y =，20z =，即()1,3,1m =r 、()1,1,0n =r，则cos ,m =r ，故平面1CB M 与平面11BB CC；【小问3详解】由()10,0,2BB =uuur ，平面1CB M 的法向量为()1,3,1m =r，=即点B 到平面1CB M.18. 已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>椭圆的离心率12e =．左顶点为A ，下顶点为B C ，是线段OB 的中点，其中ABC S △．（1）求椭圆方程．（2）过点30,2æö-ç÷èø的动直线与椭圆有两个交点P Q ，．在y 轴上是否存在点T 使得0TP TQ ×£uur uuu r 恒成立．若存在求出这个T 点纵坐标的取值范围，若不存在请说明理由．【答案】（1）221129x y +=（2）存在()30,32T t t æö-££ç÷èø，使得0TP TQ ×£uur uuu r 恒成立.【解析】【分析】（1）根据椭圆的离心率和三角形的面积可求基本量，从而可得椭圆的标准方程.（2）设该直线方程为：32y kx =-，()()()1122,,,,0,P x y Q x y T t ， 联立直线方程和椭圆方程并消元，结合韦达定理和向量数量积的坐标运算可用,k t 表示TP TQ ×uur uuu r，再根据0TP TQ ×£uur uuu r 可求t 的范围.【小问1详解】因为椭圆的离心率为12e =，故2a c =，b =，其中c 为半焦距，所以()()2,0,0,,0,A c B C æ-ççè，故122ABC S c =´=△故c =a =，3b =，故椭圆方程为：221129x y +=.【小问2详解】若过点30,2æö-ç÷èø的动直线的斜率存在，则可设该直线方程为：32y kx =-，设()()()1122,,,,0,P x y Q x y T t ，由22343632x y y kx ì+=ïí=-ïî可得()223412270k x kx +--=，故()222Δ144108343245760k kk=++=+>且1212221227,,3434k x x x x k k +==-++而()()1122,,,TP x y t TQ x y t =-=-uur uuu r，故()()121212123322TP TQ x x y t y t x x kx t kx t æöæö×=+--=+----ç÷ç÷èøèøuur uuu r ()()22121233122kx x k t x x t æöæö=+-++++ç÷ç÷èøèø()22222731231342342k k k t t k k æöæöæö=+´--+´++ç÷ç÷ç÷++èøèøèø()2222222327271812332234k k k t t t k k æö----++++ç÷èø=+()22223321245327234t t k t k æöéù+--++-ç÷ëûèø=+，因为0TP TQ ×£uur uuu r 恒成立，故()223212450332702t t t ì+--£ïíæö+-£ïç÷èøî，解得332t -££.若过点30,2æö-ç÷èø的动直线的斜率不存在，则()()0,3,0,3P Q -或()()0,3,0,3P Q -，此时需33t -££，两者结合可得332t -££.综上，存在()30,32T t t æö-££ç÷èø，使得0TP TQ ×£uur uuu r 恒成立.【点睛】思路点睛：圆锥曲线中的范围问题，往往需要用合适的参数表示目标代数式，表示过程中需要借助韦达定理，此时注意直线方程的合理假设.19. 已知数列{}n a 是公比大于0的等比数列．其前n 项和为n S ．若1231,1a S a ==-．（1）求数列{}n a 前n 项和n S ；（2）设11,2,kn n k k k n a b b k a n a -+=ì=í+<<î，11b =，其中k 是大于1的正整数．（ⅰ）当1k n a +=时，求证：1n k n b a b -³×；（ⅱ）求1nS i i b =å．【答案】（1）21n n S =- （2）①证明见详解；②()131419nn S ii n b=-+=å【解析】【分析】（1）设等比数列{}n a 的公比为0q >，根据题意结合等比数列通项公式求q ，再结合等比数列求和公式分析求解；（2）①根据题意分析可知12,1k k n a b k -==+，()121n k k b -=-，利用作差法分析证明；②根据题意结合等差数列求和公式可得()()1211213143449k k k k i i b k k ---=éù=---ëûå，再结合裂项相消法分析求解.【小问1详解】设等比数列{}n a 的公比为0q >，因为1231,1a S a ==-，即1231a a a +=-，可得211q q +=-，整理得220q q --=，解得2q =或1q =-（舍去），所以122112nn n S -==--.【小问2详解】（i ）由（1）可知12n n a -=，且N*,2k k γ，当124kk n a +=³=时，则111221111k k k k k a n n a a -++ì=<-=-í-=-<î，即11k k a n a +<-<可知12,1k k n a b k -==+，()()()1111222121k k k n a k k b b a a k k k k --+=+--×=+-=-，可得()()()()1112112122120kn k n k k k k k k k k b k a b ---=--+=--³--=-׳-，当且仅当2k =时，等号成立，所以1n k n b a b -³×；（ii ）由（1）可知：1211nn n S a +=-=-，若1n =，则111,1S b ==；若2n ³，则112k k k a a -+-=，当1221k k i -<£-时，12i i b b k --=，可知{}i b 为等差数列，可得()()()111211112221122431434429k k k k k k k k i i b k kk k k -------=-éù=×+=×=---ëûå，所以()()()232113141115424845431434499nnS n n i i n b n n -=-+éù=+´-´+´-´+×××+---=ëûå，且1n =，符合上式，综上所述：()131419nn S ii n b=-+=å.【点睛】关键点点睛：1.分析可知当1221k k i -<£-时，12i i b b k --=，可知{}i b 为等差数列；2.根据等差数列求和分析可得()()1211213143449k k k k i i b k k ---=éù=---ëûå.20. 设函数()ln f x x x =．（1）求()f x 图象上点()()1,1f 处切线方程；（2）若()(f x a x ³在()0,x ¥Î+时恒成立，求a 的取值范围；（3）若()12,0,1x x Î，证明()()121212f x f x x x -£-．【答案】（1）1y x =- （2）{}2（3）证明过程见解析【解析】【分析】（1）直接使用导数的几何意义；（2）先由题设条件得到2a =，再证明2a =时条件满足；（3）先确定()f x 的单调性，再对12,x x 分类讨论.【小问1详解】的由于()ln f x x x =，故()ln 1f x x =¢+.所以()10f =，()11f ¢=，所以所求的切线经过()1,0，且斜率为1，故其方程为1y x =-.【小问2详解】设()1ln h t t t =--，则()111t h t t t¢-=-=，从而当01t <<时()0h t ¢<，当1t >时()0h t ¢>.所以()h t 在(]0,1上递减，在[)1,+¥上递增，这就说明()()1h t h ³，即1ln t t -³，且等号成立当且仅当1t =.设()()12ln g t a t t =--，则()((ln 12ln f x a x x x a x x a x g æö--=-=-=×ç÷øè.当()0,x ¥Î+的取值范围是()0,¥+，所以命题等价于对任意()0,t ¥Î+，都有()0g t ³.一方面，若对任意()0,t ¥Î+，都有()0g t ³，则对()0,t ¥Î+有()()()()112012ln 12ln 1212g t a t t a t a t at a t t t æö£=--=-+£-+-=+--ç÷èø，取2t =，得01a £-，故10a ³>.再取t =，得2022a a a £+-=-=-，所以2a =.另一方面，若2a =，则对任意()0,t ¥Î+都有()()()212ln 20g t t t h t =--=³，满足条件.综合以上两个方面，知a 的取值范围是{}2.【小问3详解】先证明一个结论：对0a b <<，有()()ln 1ln 1f b f a a b b a-+<<+-.证明：前面已经证明不等式1ln t t -³，故lnln ln ln ln ln ln 1ln 1bb b a a a b a aa b b b b b a b a a --=+=+<+---，且1lnln ln ln ln ln ln ln 1ln 11a a b b a a b b b a b b a a a a a a b a b a bbæö---ç÷--èø=+=+>+=+----，所以ln ln ln 1ln 1b b a aa b b a -+<<+-，即()()ln 1ln 1f b f a a b b a-+<<+-.由()ln 1f x x =¢+，可知当10ex <<时()0f x ¢<，当1e x >时()0f x ¢>.所以()f x 在10,eæùçúèû上递减，在1e ,éö+¥÷êëø上递增.不妨设12x x £，下面分三种情况（其中有重合部分）证明本题结论.情况一：当1211ex x ££<时，有()()()()()()122122121ln 1f x f x f x f x x x x x x -=-<+-<-<情况二：当1210ex x <££时，有()()()()12121122ln ln f x f x f x f x x x x x -=-=-.对任意的10,e c æùÎçúèû，设()ln ln x x x c c j =--()ln 1x x j =+¢.由于()x j ¢单调递增，且有11110j =+<+=-+=¢，且当2124ln 1x c c ³-æö-ç÷èø，2cx >2ln 1c ³-可知()2ln 1ln 1ln 102c x x c j æö=+>++=-³ç÷èø¢.所以()x j ¢在()0,c 上存在零点0x ，再结合()x j ¢单调递增，即知00x x <<时()0x j ¢<，0x x c <<时()0x j ¢>.故()x j 在(]00,x 上递减，在[]0,x c 上递增.①当0x x c ££时，有()()0x c j j £=；②当00x x <<112221e e f f cæö=-£-=<ç÷èø，故我们可以取1,1q c öÎ÷ø.从而当201cx q <<->()1ln ln ln ln 0x x x c c c c c c q cj ö=-<-<--=-<÷ø.再根据()x j 在(]00,x 上递减，即知对00x x <<都有()0x j <；综合①②可知对任意0x c <£，都有()0x j £，即()ln ln 0x x x c c j =--£.根据10,ec æùÎçúèû和0x c <£的任意性，取2c x =，1x x =，就得到1122ln ln 0x x x x -£.所以()()()()12121122ln ln f x f x f x f x x x x x -=-=-£.情况三：当12101ex x <££<时，根据情况一和情况二讨论，可得()11e f x f æö-££ç÷èø，()21e f f x æö-££ç÷èø而根据()f x 的单调性，知()()()1211e f x f x f x f æö-£-ç÷èø或()()()1221e f x f xf f x æö-£-ç÷èø.故一定有()()12f x f x -£成立.综上，结论成立.【点睛】关键点点睛：本题的关键在于第3小问中，需要结合()f x 的单调性进行分类讨论.的。
天津数学高考真题分类汇总(2017-2021)
一、集合1.（2017）设集合A={1,2,6},B={2,4},C={x∈R∣-1≤x≤5},则（A∪B）∩C=( )A.{2}B.{1,2,4}C.{1,2,4,6}D.{x∈R∣-1≤x≤5}2.（2018）(1)设全集为R，集合A={x|0<x<2}，B={x|x≥1}，则A∩(∁R B)=( )A. {x|0<x≤1}B. {x|0<x<1}C. {x|1≤x<2}D. {x|0<x<2}3.（2019）设集合A＝｛-1,1,2,3,5｝,B=｛2,3,4｝,C=｛x∈R|1≤x＜3｝则（A∩C）∪B＝（）A.{2}B.{2,3}C.{-1,2.3}D.{1,2,3,4}4.（2020）设全集U={−3,−2,−1,0,1,2,3}，集合A={−1,0,1,2}, B={−3,0,2,3}，则A∩(∁U B)=（）A．{−3,3} B．{0,2} C.{−1,1} D．{−3,−2,−1,1,3}5.（2021）设集合A={-1,0,1}, B={1,3,5}, C=[0,2,4],则(A∩B)∪C=( )A. ｛0｝B. { 0,1,3,5}C. {0,1,2,4}D. {0,2,3,4}二、充分、必要条件玉全称、存在量词1.（2017）.设，则“”是“”的( )A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件2.（2018）设x∈R，则“”是“x3<1”的 ( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.（2019）设x∈R,则“x2-5x＜0”是“|x-1|＜1”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4.（2020）设a∈R ，则“a>1”是“a²>a”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5.（2021）已知a∈R ，则“a>6”是“a²>36”的( )A.充分不必要条件B. 必要不充分条件C.充要条件D. 既不允分也不必要条件三、函数及其表示1.（2020）函数的图像大致为（）2. （2021）函数的图像大致为（）四、函数的基本性质1.(2017)2.(2018)3.(2019)4.(2020)5.(2021)若2a=5b=10,则=（）A.-1B.C.1D.㏒710五、基本初等函数1.(2017)已知奇函数f(x)在R上是增函数，g(x)=xf(x).a=g(-㏒25.1)，b=g(20.8),c=g(3),则a,b,c的大小关系为（）A.a＜b＜cB.c＜b＜aC.b＜a＜cD.b＜c＜a2.(2018)已知则a,b,c的大小关系为（）A.a＞b＞cB.b＞a＞cC.c＞b＞aD.c＞a＞b3.(2019)已知则a,b,c的大小关系为（）A. a＜c＜bB.a＜b＜cC. b＜c＜aD.c＜a＜b4.(2020)设则a,b,c的大小关系为（）A. a＜b＜cB.b＜a＜cC.b＜c＜aD.c＜a＜b5.(2021)设，则a,b,c的大小关系为（）A.a＜b＜cB.c＜a＜bC.b＜c＜aD.a＜c＜b六、函数的零点1.(2017)已知函数设a∈R，若关于x的不等式在R上恒成立则a的取值范围是（）A. B. C. D.2.(2018)已知a＞0，函数若关于x的方程f(x)=ax 恰有2个互异的实数解，则a的取值范围是_____3.(2019)已知a∈R,设函数若关于x的不等式f(x)≥0在R上恒成立，则a的取值范围为（）A.[0,1]B.[0,2]C.[0,e]D.[1,e]4.(2020)已知函数若函数恰有4个零点，则k的取值范围是（）A. B.C. D.5.(2021)七、导数及其应用（大题）1.（2017）2.（2018）3.（2019）4.（2020）5.(2021)已知a>0 函数f(x)=ax-xe x(I)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程(II)证明f(x)存在唯一的极值点(III)若存在a，使得f(x)≤a+b对任意x∈R成立，求实数b的取值范围八、三角函数、三角恒等变换（大题）1.（2017）2.（2018）3.（2019）4.（2020）5.（2021）九、平面向量1.（2017）2.（2018）8.如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD=120°，AB=AD=1. 若点E为边CD上的动点，则的最小值为（）A. B. C. D.33.（2019）14．在四边形ABCD中，AD∥BC, AB=AD=5, ∠A=30°，点E在线段CB的延长线上，且AE=BE，则=_____．4.（2020）5.（2021）十、数列（大题）1.（2017）2.（2018）3.（2019）4.（2020）5．（2021）十一、不等式、一元二次不等式1.（2017）设变量x,y满足约束条件则目标函数z=x+y的最大值为( )A. B.1 C. D. 32.（2018）设变量x,y满足约束条件则目标函数z=3x+5y的最大值为( )A.6B.19C.21D.453.（2019）设变量x,y满足约束条件则目标函数z=-4x+y的最大值为( )A.2B.3C.5D.6十二、基本不等式1.（2017）若a,b∈R，ab＞0,则的最小值为______.2.（2018）已知a , b∈R，且a−3b+6=0，则的最小值为 ________.3.（2019）4.（2020）5.（2021）若a＞0,b＞0则的最小值为_____十三、立体几何（大题）1.（2017）2.（2018）3.（2019）4.（2020）5.（2021）十四、直线与圆的方程1.（2017）在极坐标系中，直线与圆的公共点的个数为______.2.（2018）已知圆x 2 +y 2−2x=0的圆心为C，直线(t为参数)与该圆相交于A，B两点，则△ABC的面积为 ______.3.（2019）4.（2020）已知直线x−y+8=0和圆x 2+y 2=r 2(r>0)相交于A,B两点．若∣AB∣=6，则r的值为_________．5.（2021）若斜率为的直线与y轴交于点A，与圆x2+(y-1)2=1相切于点B，则|AB|=_________十五、圆锥曲线与方程（大题）1.（2017）2.（2018）3.（2019）4.（2020）5.（2021）.十六、概率、统计、计数原理、随机变量1.（2017）用数字1,2,3,4,5,6,7,8,9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有_______个.(用数字作答)2.（2018）(10).在的展开式中，x2的系数为_______.3.（2019）(10).的展开式中的常数项为_______ 4.（2020）(11) 在的展开式中，x2的系数是_______5.（2021）(11).在的展开式中，x6的系数是_______14.甲、乙两人在每次猜谜活动中各猜一个谜语,若一方猜对且另一方猜错,则猜对的一方获胜,否则本次平局,已知每次活动中,甲、乙猜对的概率分别为,且每次活动中甲、乙猜对与否互不影响,各次活动也互不影响,则一次活动中,甲获胜的概率为______, 3次活动中,甲至少获胜2次的概率为______十七、数系的扩充与复数的引入1.（2017）已知a∈R,i是虚数单位，若为实数，则a的值为______2.（2018）i是虚数单位，复数3.（2019）i是虚数单位，复数的值为_____4.（2020）i是虚数单位，复数5.（2021）i是虚数单位，复数。
天津市近五年文科高考数学题型分布
天津市近五年文科高考数学题型分布一 复数（2009年天津文）已知i 是虚数单位，则ii-25= = （（ ）） A i 21+ B i 21-- C i 21- D i 21+- （2010年天津文） i 是虚数单位，复数31i i+-= = （（ ））(A)1+2i (B)2+4i (C)-1-2i (D)2-i （2011年天津文） i 是虚数单位，复数131ii--= = （（ ）） A 2i - B 2i + C C．．12i -- D 12i -+（2012年天津文）i 是虚数单位，复数534ii+-=（A ）1-i 1-i （（B ）-1+I -1+I （（C ）1+I 1+I （（D ）-1-i （2013年天津文）i 是虚数单位是虚数单位. . . 复数复数复数(3 + (3 + i )(1)(1－－2i ) = .二 不等式与线性规划（2009年天津文）2.设变量x,y 满足约束条件ïîïíì£--³-³+3213y x y x y x ，则目标函数y x z +=2的最小值为值为A 6 B 7 C 8 D 23 （2009年天津文）9.设,,1,1x y R a b Î>>，若3,23xya b a b ==+=，则11x y+的最大值为值为A.2 B.32 C. 1 D.12（2010年天津文） (2) (2)设变量设变量x ，y 满足约束条件3,1,1,x y x y y +£ìï-³-íï³î则目标函数z=4x+2y 的最大值为值为（A ）12 12 （（B ）10 10 （（C ）8 8 （（D ）2（2011年天津文）2．设变量x ，y 满足约束条件1,40,340,x x y x y ³ìï+-£íï-+£î则目标函数3z x y =-的最大值为最大值为A ．-4B ．0 C ．43D ．4 （2011年天津文）12．已知22log log 1a b +³，则39a b+的最小值为_________ （2012年天津文）（2）设变量x,y 满足约束条件ïîïíì£-³+-³-+01042022x y x y x ,则目标函数z=3x-2y 的最小值为小值为（A ）-5 （B ）-4 （C ）-2 （D ）3 （2013年天津文）(2) (2) 设变量设变量x , y 满足约束条件360,20,30,x y y x y ³--£+-ì-£ïíïî则目标函数z = y －2x 的最小值为最小值为 (A) (A) －－7(B) (B) －－4 (C) 1 (D) 2（2013年天津文）(14) (14) 设设a + b = 2, b >0, >0, 则则1||2||a a b +的最小值为的最小值为 .. 三 程序框图（2009年天津文）6.阅读右面的程序框图，则输出的S= A 14 B 20 C 30 D 55 （2010年天津文）(3)(3)阅读右边的程序框图，运行相应的程序，阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出s 的值为的值为(A)-1 (B)0 (C)1 (D)3（2011年天津文）3．阅读右边的程序框图，运行相应的程序，若输入x 的值为-4，则输出y 的值为的值为A ．,0．5 B ．1 C ．2 D ．4 （2012年天津文）3.阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出S 的值为的值为（A ）8 （B ）18 （C ）26 （D ）80 （2013年天津文）(3) (3) 阅读右边的程序框图阅读右边的程序框图阅读右边的程序框图, , , 运行相应的程序运行相应的程序运行相应的程序, , 则输出n 的值为的值为(A) 7 (B) 6 (C) 5 (D)4四 对数、指数比较大小（2009年天津文）5.设3.02131)21(,3log ,2log ===c b a ，则，则A a<b<c B a<c<b C b<c<a D b<a<c （2010年天津文） (6) (6)设设554a log 4b log c log ===25，（3），，则 (A)a<c<b (B) )b<c<a (C) )a<b<c (D) )b<a<c （2011年天津文） 5．已知244log 3.6,log 3.2,log 3.6a b c ===则A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b a c >>D ．c a b >>（2012年天津文）4.已知120.2512,(),2log 22a b c -===，则a ，b ，c 的大小关系为 （A ）c<b<a （B ）c<a<b （C ）b<a<c （D ）b<c<a 五 集合与逻辑（2009文）（3）设,x R Î则"1"x =是3""x x =的A.充分而不必要条件充分而不必要条件B. 必要而不充分条件必要而不充分条件C. 充要条件充要条件D.既不充分也不必要条件w.w.w.k.s.5.u.c.o.m (2009文)(13) 设全集{}1lg |*<Î=È=x N x B A U ，若，若{}4,3,2,1,0,12|=+==Çn n m m B C A U ，则集合B=__________. .w.w.k.s.5.u.c.o.m （2010文）(5)下列命题中，真命题是下列命题中，真命题是(A)m R,f x x mx x R $Î+Î2使函数（）=（）是偶函数 (B)m R,f x x mx x R $Î+Î2使函数（）=（）是奇函数 (C)m R,f x x mx x R "Î+Î2使函数（）=（）都是偶函数 (D)m R,f x x mx x R "Î+Î2使函数（）=（）都是奇函数（2010文）(7)设集合{}{}A x||x-a|<1,x R ,|15,.A B B x x x R =Î=<<ÎÇ=Æ若，则实数a 的取值范围是的取值范围是(A){}a |0a 6££ (B){}|2,a a £³或a 4 (C){}|0,6a a £³或a (D){}|24a a ££（2011文）（4）设集合{}20A x x =Î->R ，{}0B x x =Î<R ，(){}20C x x x =Î->R ，则“x A B Δ是“x C Δ的( )．A ．充分而不必要条件．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件．必要而不充分条件 C ．充分必要条件．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件．既不充分也不必要条件（2011文）（9）已知集合{}|12,A x R x Z =Î-<为整数集，则集合A Z Ç中所有元素的和等于________ （2012文）（5）设x ÎR ，则“x>12”是“2x 2+x-1>0”的”的A 充分而不必要条件充分而不必要条件B 必要而不充分条件必要而不充分条件C 充分必要条件充分必要条件D 既不充分也不必要条件既不充分也不必要条件（2012文）（9）集合{}|25A x R x =Î-£中最小整数位中最小整数位 . （2012文）（11）已知集合{},3A x x R x =Î<，集合()(){}20B x x R x m x =Î--<,且()1,A B n Ç-，则m = , , n = .（2013文）(1) 已知集合A = {x ∈R | |x |≤2}, A = {x ∈R | x ≤1}, 则A B Ç=(A) (,2]-¥(B) [1,2](C) [(C) [－－2,2](D) [(D) [－－2,1]（2013文）(4) 设,a b ÎR , , 则则 “2()0a b a -<”是“a b <”的”的 (A) (A) 充分而不必要条件充分而不必要条件充分而不必要条件 (B) (B) 必要而不充分条件必要而不充分条件必要而不充分条件 (C) (C) 充要条件充要条件充要条件(D) (D) 既不充分也不必要条件既不充分也不必要条件既不充分也不必要条件六 三视图（2009年天津文）12. 如图是一个几何体的三视图，若它的体积是33，则a=________. （2010年天津文） （12）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为 。
天津市近五年高考试卷知识点总结(理数)
天津近五年高考数学（理）知识点分类及分布一 复数选择题5分，简单，占 3.3%。
（2009年天津理）i 是虚数单位，52i i-= （A ）1+2i （B ）-1-2i （C ）1-2i （D ）-1+2i （2010年天津理）i 是虚数单位，复数1312ii-+=+(A)1＋i (B)5＋5i (C)-5-5i (D)-1－i （2011年天津理）已知i 是虚数单位，复数131ii--= （ ） A 2i + B 2i - C 12i -+ D 12i -- （2012年天津理）复数73iz i-=+= （ ） （A ）2i + （Ｂ）2i - （Ｃ）2i -+ （Ｄ）2i --（2013年天津理）(9) 已知a , b ∈R , i 是虚数单位. 若(a + i )(1 + i ) = bi , 则a + bi = .二 线性规划（2009年天津理）（2）设变量x ，y 满足约束条件：3123x y x y x y +≥⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩.则目标函数23z x y =+的最小值为（A ）6 （B ）7 （C ）8 （D ）23 （2013年天津理）(2) 设变量x , y 满足约束条件360,20,30,x y y x y ≥--≤+-⎧-≤⎪⎨⎪⎩则目标函数z = y －2x 的最小值为 (A) －7 (B) －4 (C) 1 (D) 2三 程序框图选择题5分，简单，占3.3%。
（2009年天津理）（5）阅读右图的程序框图，则输出的S=A. 26B. 35C. 40D. 57（2010年天津理）（4）阅读右边的程序框图，若输出s的值为-7，则判断框内可填写(A)i＜3? （B）i＜4?（C）i＜5? （D）i＜6?（2011年天津理）3．阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出i的值为A．3 B．4C．5 D．6（2012年天津理）（5）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，-时，输出x的值为当输入x的值为25-（Ｂ）1（Ｃ）3（Ｄ）9（A）1四 对数、指数比较大小（2011年天津理） 7．已知324log 0.3log 3.4log 3.615,5,,5a b c ⎛⎫=== ⎪⎝⎭则A ．a b c >>B ．b a c >>C ．a c b >>D ．c a b >>五 集合与逻辑选择题，填空题，10分，简单，占6.6%。
天津市近五年高考数学真题分类汇总情况
市近五年高考数学试题分类汇总选择题1：—复数[2011·卷] i 是虚数单位，复数131ii--= A ．2i + B ．2i - C ．12i -+ D ．12i --【答案】A.【解析】13(13)(1)4221(1)(1)2i i i ii i i i --+-===---+. 【2010】 （1）i 是虚数单位，复数1312ii-+=+（ ）(A)1＋i (B)5＋5i (C)-5-5i (D)-1－i【2009,1】i 是虚数单位，52ii-=（ ） （A ）1+2i （B ）-1-2i （C ）1-2i （D ）-1+2i【考点定位】本小题考查复数的运算，基础题。
解析：i i i i i 215)2(525+-=+=-，故选择D 。
【2008】1. i 是虚数单位，()=-+113i i i （ ） (A) 1- (B) 1 (C) i - (D) iA【2007】1. i 是虚数单位32,1i i=- ( )A.1i +B.1i -+C.1i -D.1i --【答案】C【分析】332(1)2(1)211(1)(1)2i i i i i i i i i +-+===-+--+，故选C 复数概念、复数运算、共轭复数、复数几何意义。
复数运算技巧：2344414243123(1)1,,11,,1,,0nn n n nn n n i i i i i i iiii i iii++++++=-=-====-=-+++=2(2)2(1)i i =±±11(3),11i ii i i i+-==--+3223(4),1,,02ωωωωωωω===++=设 选择题2：—充要条件与命题[2011·卷] 设,,x y R ∈则“2x ≥且2y ≥”是“224x y +≥”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．即不充分也不必要条件【答案】A【解析】当2y 2≥≥且x 时，一定有422≥+y x ；反过来当422≥+y x ，不一定有2y 2≥≥且x ，例如0,4=-=y x 也可以，故选A【2010】（3）命题“若f(x)是奇函数，则f(-x)是奇函数”的否命题是(A)若f(x) 是偶函数，则f(-x)是偶函数（B ）若f(x)不是奇函数，则f(-x)不是奇函数（C ）若f(-x)是奇函数，则f(x)是奇函数（D ）若f(-x)不是奇函数，则f(x)不是奇函数B【2009】（3）命题“存在0x ∈R ，02x ≤0”的否定是（A ）不存在0x ∈R, 02x>0 （B ）存在0x ∈R, 02x ≥0（C ）对任意的x ∈R, 2x ≤0 （D ）对任意的x ∈R, 2x>0【考点定位】本小考查四种命题的改写，基础题。
天津市近五年高考数学真题分类汇总
天津市近五年高考数学试题分类汇总选择题1：—复数[2011·天津卷] i 是虚数单位，复数131ii--= A ．2i + B ．2i - C ．12i -+ D ．12i --【答案】A. 【解析】13(13)(1)4221(1)(1)2i i i ii i i i --+-===---+. 【2010】 （1）i 是虚数单位，复数1312ii-+=+（ ）(A)1＋i (B)5＋5i (C)-5-5i (D)-1－i 【2009,1】i 是虚数单位，52ii-=（ ） （A ）1+2i （B ）-1-2i （C ）1-2i （D ）-1+2i 【考点定位】本小题考查复数的运算，基础题。
解析：i i i i i 215)2(525+-=+=-，故选择D 。
【2008】1. i 是虚数单位，()=-+113i i i （ ） (A) 1- (B) 1 (C) i - (D) i A【2007】1. i 是虚数单位32,1i i=- ( )A.1i +B.1i -+C.1i -D.1i --【答案】C【分析】332(1)2(1)211(1)(1)2i i i i i i i i i +-+===-+--+，故选C 复数概念、复数运算、共轭复数、复数几何意义。
复数运算技巧：2344414243123(1)1,,11,,1,,0nn n n nn n n i i i i i i iiii i iii++++++=-=-====-=-+++=2(2)2(1)i i =±±11(3),11i ii i i i+-==--+3223(4)1,,0ωωωωωωω===++=设 选择题2：—充要条件与命题[2011·天津卷] 设,,x y R ∈则“2x ≥且2y ≥”是“224x y +≥” 的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．即不充分也不必要条件 【答案】A【解析】当2y 2≥≥且x 时，一定有422≥+y x ；反过来当422≥+y x ，不一定有2y 2≥≥且x ，例如0,4=-=y x 也可以，故选A【2010】（3）命题“若f(x)是奇函数，则f(-x)是奇函数”的否命题是 (A)若f(x) 是偶函数，则f(-x)是偶函数 （B ）若f(x)不是奇函数，则f(-x)不是奇函数 （C ）若f(-x)是奇函数，则f(x)是奇函数 （D ）若f(-x)不是奇函数，则f(x)不是奇函数 B【2009】（3）命题“存在0x ∈R ，02x ≤0”的否定是（A ）不存在0x ∈R, 02x>0 （B ）存在0x ∈R, 02x ≥0（C ）对任意的x ∈R, 2x ≤0 （D ）对任意的x ∈R, 2x>0【考点定位】本小考查四种命题的改写，基础题。
天津近十年高考数学题型归类
高考数学试卷 天津卷一、集合的考查(2010年)设集合A={}{}|||1,,|||2,.x x a x R B x x b x R -<∈=->∈若A ⊆B,则实数 a,b 必满足（2009年）设全集{}*lg 1U A B x N x ==∈< ，若(){}21,0,1,2,3,4u A C B m m n n ==+= ，则集合B =___________（2008年）设集合{}08U x x =∈<N ≤，{}1245S =，，，，{}357T =，，，则()U S T = ð ___________（2007年）已知集合{}12S x x =∈+R ≥，{}21012T =--，，，，，则S T = （2006年）已知集合}13|{≤≤-=x x A ，}2|{≤=x x B ，则=⋂B A （2005年）集合A ＝{x |0≤x <3且x ∈N}的真子集的个数是（2004年）设集合{}6,5,4,3,2,1=P ，{}62≤≤∈=x R x Q ，那么下列结论正确的是（2002年）设集合}M x x k k Z ==+∈⎧⎨⎩214，，N x x k k Z ==+∈⎧⎨⎩⎫⎬⎭|412，， 则M 与N 满足（2001年）设A=B A x x x B x x x 则},0|{},0|{22=+==-等于二、复数的基本运算（选择or 填空题）（2010年）i 是虚数单位，复数1312i i-+=+（2009年） i 是虚数单位，52i i=-_____________（2003年）=+-2)3(31i i三、命题的判断（2010年）命题“若f(x)是奇函数，则f(-x)是奇函数”的否命题是(A)若f(x) 是偶函数，则f(-x)是偶函数 （B ）若f(x)不是奇函数，则f(-x)不是奇函数 （C ）若f(-x)是奇函数，则f(x)是奇函数 （D ）若f(-x)不是奇函数，则f(x)不是奇函数（2009年）.设,x R ∈则"1"x=是3""x x =的A.充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D.既不充分也不必要条件（2007年） “2a=”是“直线20ax y +=平行于直线1x y +=”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件（2006年）设)2,2(ππβα-∈、，那么“βα<”是“βαtan tan <”的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件（2004年）对任意实数a 、b 、c ，在下列命题中，真命题是A.“bc ac >”是“b a >”的必要条件B.“bc ac =”是“b a =”的必要条件C.“bc ac >”是“b a >”的充分条件D.“bc ac =”是“b a =”的充分条件四、解不等式组或方程组或方程（2010年）若函数f(x)=212log ,0,log (),0x x x x >⎧⎪⎨-<⎪⎩,若f(a)>f(-a),则实数a 的取值范围是（2009年）设函数()246,06,0x x x f x x x ⎧-+≥=⎨+<⎩，则不等式()()1f x f >的解集是（2008年）已知函数20()20x x f x x x +⎧=⎨-+>⎩，≤，，，则不等式2()f x x ≥的解集为（2007年）不等式组⎩⎨⎧-≥->+xx x x 410915465的解集是 。
天津三年2020-2022高考数学真题按题型分类汇编-解答题(含解析)
天津三年2020-2022高考数学真题按题型分类汇编-解答题（含解析）一、解答题1．（2022·天津·统考高考真题）在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c.已知16,2,cos 4a b c A ===-.(1)求c 的值； (2)求sin B 的值； (3)求sin(2)A B -的值.2．（2022·天津·统考高考真题）直三棱柱111ABC A B C 中，112,,AA AB AC AA AB AC AB ===⊥⊥，D 为11A B 的中点，E 为1AA 的中点，F 为CD 的中点．(1)求证：//EF 平面ABC ；(2)求直线BE 与平面1CC D 所成角的正弦值； (3)求平面1A CD 与平面1CC D 所成二面角的余弦值．3．（2022·天津·统考高考真题）设{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，且1122331a b a b a b ==-=-=．(1)求{}n a 与{}n b 的通项公式；(2)设{}n a 的前n 项和为n S ，求证：()1111n n n n n n n S a b S b S b +++++=-；(3)求211(1)nk k k k k a a b +=⎡⎤--⎣⎦∑．4．（2022·天津·统考高考真题）椭圆()222210x y a b a b+=>>的右焦点为F 、右顶点为A ，上顶点为B ，且满足32BF AB=． (1)求椭圆的离心率e ；(2)直线l 与椭圆有唯一公共点M ，与y 轴相交于N （N 异于M ）．记O 为坐标原点，若=OM ON ，且OMN 的面积为3，求椭圆的标准方程．5．（2022·天津·统考高考真题）已知a b ∈R ，，函数()()sin ,x f x e a x g x b x =-=(1)求函数()y f x =在()()0,0f 处的切线方程； (2)若()y f x =和()y g x =有公共点， （i ）当0a =时，求b 的取值范围； （ii ）求证：22e a b +>．6．（2021·天津·统考高考真题）在ABC ，角 ,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知sin :sin :sin 2:1:2A B C =，2b =．（I ）求a 的值； （II ）求cos C 的值；（III ）求sin 26C π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值．7．（2021·天津·统考高考真题）如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱BC 的中点，F 为棱CD 的中点．（I ）求证：1//D F 平面11A EC ；（II ）求直线1AC 与平面11A EC 所成角的正弦值． （III ）求二面角11A AC E --的正弦值．8．（2021·天津·统考高考真题）已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的右焦点为F ，上顶点为B 255BF = （1）求椭圆的方程；（2）直线l 与椭圆有唯一的公共点M ，与y 轴的正半轴交于点N ，过N 与BF 垂直的直线交x 轴于点P ．若//MP BF ，求直线l 的方程．9．（2021·天津·统考高考真题）已知{}n a 是公差为2的等差数列，其前8项和为64．{}n b 是公比大于0的等比数列，1324,48b b b =-=． （I ）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（II ）记2*1,n n nc b b n N =+∈，（i ）证明{}22nn c c -是等比数列； （ii ）证明()*112222nk k kk k a n N c a c +=<∈-∑10．（2021·天津·统考高考真题）已知0a >，函数()x f x ax xe =-． （I ）求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程： （II ）证明()f x 存在唯一的极值点（III ）若存在a ，使得()f x a b ≤+对任意x ∈R 成立，求实数b 的取值范围． 11．（2020·天津·统考高考真题）在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ．已知22,5,13a b c ===． （Ⅰ）求角C 的大小； （Ⅱ）求sin A 的值；（Ⅲ）求sin 24A π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值．12．（2020·天津·统考高考真题）如图，在三棱柱111ABC A B C 中，1CC ⊥平面,,2ABC AC BC AC BC ⊥==，13CC =，点,D E 分别在棱1AA 和棱 1CC 上，且12,AD CE M ==为棱11A B 的中点．（Ⅰ）求证：11C M B D ⊥；（Ⅱ）求二面角1B B E D --的正弦值；（Ⅲ）求直线AB 与平面1DB E 所成角的正弦值．13．（2020·天津·统考高考真题）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的一个顶点为(0,3)A -，右焦点为F ，且||||OA OF =，其中O 为原点． （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）已知点C 满足3OC OF =，点B 在椭圆上（B 异于椭圆的顶点），直线AB 与以C 为圆心的圆相切于点P ，且P 为线段AB 的中点．求直线AB 的方程． 14．（2020·天津·统考高考真题）已知{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列，()()115435431,5,4a b a a a b b b ===-=-．（Ⅰ）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（Ⅱ）记{}n a 的前n 项和为n S ，求证：()2*21n n n S S S n ++<∈N ；（Ⅲ）对任意的正整数n ，设()21132,,,.n nn n n n n a b n a a c a n b +-+⎧-⎪⎪=⎨⎪⎪⎩为奇数为偶数求数列{}n c 的前2n 项和．15．（2020·天津·统考高考真题）已知函数3()ln ()f x x k x k R =+∈，()f x '为()f x 的导函数．（Ⅰ）当6k =时，（i ）求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（ii ）求函数9()()()g x f x f x x'=-+的单调区间和极值；（Ⅱ）当3k -时，求证：对任意的12,[1,)x x ∈+∞，且12x x >，有()()()()1212122f x f x f x f x x x ''+->-．参考答案：1．(1)1c =(2)sin B =(3)sin(2)A B -=【分析】（1）根据余弦定理2222cos a b c bc A =+-以及2b c =解方程组即可求出； （2）由（1）可求出2b =，再根据正弦定理即可解出；（3）先根据二倍角公式求出sin 2,cos 2A A ，再根据两角差的正弦公式即可求出．【详解】（1）因为2222cos a b c bc A =+-，即22162b c bc =++，而2b c =，代入得22264c c c =++，解得：1c =．（2）由（1）可求出2b =，而0πA <<，所以sin A =sin sin a b A B =，所以2sin sin b A B a===．（3）因为1cos 4A =-，所以ππ2A <<，故π02B <<，又sin A ，所以1sin 22sin cos 24A A A ⎛⎫==⨯-= ⎪⎝⎭，217cos 22cos 121168A A =-=⨯-=-，而sin B =cos B ==故7sin(2)sin 2cos cos 2sin 8A B A B A B ⎛-=-=+= ⎝⎭． 2．(1)证明见解析 (2)45【分析】（1）以点1A 为坐标原点，1A A 、11A B 、11A C 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可证得结论成立；（2）利用空间向量法可求得直线BE 与平面1CC D 夹角的正弦值；（3）利用空间向量法可求得平面1A CD 与平面1CC D 夹角的余弦值.【详解】（1）证明：在直三棱柱111ABC A B C 中，1AA ⊥平面111A B C ，且AC AB ⊥，则1111AC A B ⊥以点1A 为坐标原点，1A A 、11A B 、11A C 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则()2,0,0A 、()2,2,0B 、()2,0,2C 、()10,0,0A 、()10,0,2B 、()10,0,2C 、()0,1,0D 、()1,0,0E 、11,,12F ⎛⎫⎪⎝⎭，则10,,12EF ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 易知平面ABC 的一个法向量为()1,0,0m =，则0EF m ⋅=，故EF m ⊥，EF ⊄平面ABC ，故//EF 平面ABC .（2）解：()12,0,0C C =，()10,1,2C D =-，()1,2,0EB =， 设平面1CC D 的法向量为()111,,u x y z =，则111112020u C C x u C D y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=-=⎪⎩， 取12y =，可得()0,2,1u =，4cos ,5EB u EB u EB u⋅<>==⋅. 因此，直线BE 与平面1CC D 夹角的正弦值为45.（3）解：()12,0,2AC =，()10,1,0A D =， 设平面1A CD 的法向量为()222,,v x y z =，则122122200v AC x z v A D y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅==⎪⎩，取21x =，可得()1,0,1v =-，则110cos ,52u v u v u v⋅<>==-=⨯⋅，因此，平面1A CD 与平面1CC D 3．(1)121,2n n n a n b -=-= (2)证明见解析 (3)1(62)489n n +-+【分析】（1）利用等差等比数列的通项公式进行基本量运算即可得解； （2）由等比数列的性质及通项与前n 项和的关系结合分析法即可得证；（3）先求得212221212122(1)(1)k k k k k k k k a a b a a b ---+⎡⎤⎡⎤--+--⎣⎦⎣⎦，进而由并项求和可得114nk n k T k +==⋅∑，再结合错位相减法可得解.【详解】（1）设{}n a 公差为d ，{}n b 公比为q ，则11(1),n n n a n d b q -=+-=，由22331a b a b -=-=可得2112121d q d q d q +-=⎧⇒==⎨+-=⎩（0d q ==舍去）， 所以121,2n n n a n b -=-=；（2）证明：因为120,n n b b +=≠所以要证1111()n n n n n n n S a b S b S b +++++=-， 即证111()2n n n n n n n S a b S b S b ++++=⋅-，即证1112n n n n S a S S ++++=-， 即证11n n n a S S ++=-，而11n n n a S S ++=-显然成立，所以1111()n n n n n n n S a b S b S b +++++=⋅-⋅；（3）因为212221212122(1)(1)k kk k k k k k a a b a a b ---+⎡⎤⎡⎤--+--⎣⎦⎣⎦2221(4143)2[41(41)]224k k k k k k k k --=-+-⨯++--⨯=⋅，所以211(1)nkk k k k a a b +=⎡⎤--⎣⎦∑2122212121221[((1))((1))]nk kk k k k k k k a a b a a b ---+==--+--∑ 124nk k k ==⋅∑，设124nkn k T k ==⋅∑所以2324446424nn T n =⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯，则2341244446424n n n T +⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯=，作差得()2341124(14)3244444242414n nn n n T n n ++⨯--=++++⋅⋅⋅+-⋅=-⨯-()126483n n +--=， 所以1(62)489n n n T +-+=，所以211(1)nkk k kk a a b +=⎡⎤--=⎣⎦∑1(62)489n n +-+. 4．(1)e (2)22162x y +=【分析】（1）根据已知条件可得出关于a 、b 的等量关系，由此可求得该椭圆的离心率的值； （2）由（1）可知椭圆的方程为2223x y a +=，设直线l 的方程为y kx m =+，将直线l 的方程与椭圆方程联立，由Δ0=可得出()222313m a k =+，求出点M 的坐标，利用三角形的面积公式以及已知条件可求得2a 的值，即可得出椭圆的方程. 【详解】（1）解：()22222433BF a b a a b AB===⇒=+⇒=，离心率为c e a ===（2）解：由（1）可知椭圆的方程为2223x y a +=， 易知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y kx m =+，联立2223y kx mx y a=+⎧⎨+=⎩得()()222213630k x kmx m a +++-=， 由()()()222222223641330313k m k m a m a k ∆=-+-=⇒=+，①2331M kmx k =-+，213M Mm y kx m k =+=+， 由=OM ON 可得()()222229131m k m k +=+，②由OMN S可得231213km m k ⋅=+③ 联立①②③可得213k =，24m =，26a =，故椭圆的标准方程为22162x y +=．5．(1)(1)1=-+y a x(2)（i）)b ∞∈+；（ii ）证明见解析【分析】（1）求出(0)f '可求切线方程；（2）（i ）当0a =时，曲线()y f x =和()y g x =有公共点即为()2e ,0t s t bt t =-≥在[)0,+∞上有零点，求导后分类讨论结合零点存在定理可求)b ∈+∞.（ii ）曲线()y f x =和()y g x =有公共点即00sin e 0xa x +=，利用点到直线的距离得到x 22e >e sin xx x+，从而可得不等式成立.【详解】（1）()e cos x f x a x '=-，故(0)1f a '=-，而(0)1f =，曲线()f x 在点(0,(0))f 处的切线方程为()()101y a x =--+即()11y a x =-+. （2）（i ）当0a =时，因为曲线()y f x =和()y g x =有公共点，故e x =设t =2x t =，故2e t bt =在[)0,+∞上有解，设()2e ,0t s t bt t =-≥，故()s t 在[)0,+∞上有零点，而()22e ,0t s t t b t '=->，若0b =，则()2e 0t s t =>恒成立，此时()s t 在[)0,+∞上无零点，若0b <，则()0s t '>在()0,+∞上恒成立，故()s t 在[)0,+∞上为增函数， 而()010s =>，()()01s t s ≥=，故()s t 在[)0,+∞上无零点， 故0b >，设()22e ,0t u t t b t =->，则()()2224e 0tu t t '=+>，故()u t 在()0,+∞上为增函数，而()00u b =-<，()()22e 10bu b b =->，故()u t 在()0,+∞上存在唯一零点0t ，且00t t <<时，()0u t <；0t t >时，()0u t >； 故00t t <<时，()0s t '<；0t t >时，()0s t '>； 所以()s t 在()00,t 上为减函数，在()0,t +∞上为增函数， 故()()0min s t s t =，因为()s t 在[)0,+∞上有零点，故()00s t ≤，故200e 0t bt -≤，而2002e 0t t b -=，故220020e 2e 0t t t -≤即0t ≥设()22e ,0t v t t t =>，则()()2224e 0tv t t '=+>，故()v t 在()0,+∞上为增函数， 而2002e t b t =，故122e b ≥=.（ii ）因为曲线()y f x =和()y g x =有公共点，所以e sin x a x -=0x ，其中00x ≥， 若00x =，则100a b -⨯=⨯，该式不成立，故00x >.故00sin e 0x a x +=，考虑直线00sin e 0xa x +=，0sin e 0x a x +=上的动点(),a b 之间的距离，x ≥0222200esin x a b x x +≥+， 下证：对任意0x >，总有sin x x <， 证明：当2x π≥时，有sin 12x x π≤<≤，故sin x x <成立.当02x π<<时，即证sin x x <，设()sin p x x x =-，则()cos 10p x x '=-≤（不恒为零），故()sin p x x x =-在[)0,+∞上为减函数，故()()00p x p <=即sin x <成立. 综上，sin x x <成立.下证：当0x >时，e 1x x >+恒成立，()e 1,0x q x x x =-->，则()e 10x q x '=->，故()q x 在()0,+∞上为增函数，故()()00q x q >=即e 1x x >+恒成立. 下证：22e >e sin xx x+在()0,+∞上恒成立，即证：212e sin x x x ->+，即证：2211sin x x x -+≥+，即证：2sin x x ≥，而2sin sin x x x >≥，故2sin x x ≥成立.e x >，即22e a b +>成立.【点睛】思路点睛：导数背景下零点问题，注意利用函数的单调性结合零点存在定理来处理，而多变量的不等式的成立问题，注意从几何意义取构建不等式关系，再利用分析法来证明目标不等式.6．（I）（II ）34；（III【分析】（I）由正弦定理可得::2a b c = （II ）由余弦定理即可计算；（III ）利用二倍角公式求出2C 的正弦值和余弦值，再由两角差的正弦公式即可求出. 【详解】（I）因为sin :sin :sin 2A B C =::2a b c =2b =，2a c ∴==；（II）由余弦定理可得2223cos 24a b c C ab +-===； （III ）3cos 4C =，sin C ∴=，3sin 22sin cos 24C C C ∴===，291cos 22cos 121168C C =-=⨯-=， 所以sin 2sin 2cos cos 2sin 666C C C πππ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭1118216=⨯=. 7．（I ）证明见解析；（II（III ）13.【分析】（I ）建立空间直角坐标系，求出1D F 及平面11A EC 的一个法向量m ，证明1m D F ⊥，即可得证；（II ）求出1AC ，由1sin cos ,A m C θ=运算即可得解；（III ）求得平面11AA C 的一个法向量DB ，由cos ,DB m DB m DB m⋅=⋅结合同角三角函数的平方关系即可得解.【详解】（I ）以A 为原点，1,,AB AD AA 分别为,,x y z 轴，建立如图空间直角坐标系， 则()0,0,0A ,()10,0,2A ,()2,0,0B ,()2,2,0C ,()0,2,0D ,()12,2,2C ,()10,2,2D ， 因为E 为棱BC 的中点，F 为棱CD 的中点，所以()2,1,0E ，()1,2,0F ，所以()11,0,2D F =-,()112,2,0AC =,()12,1,2A E =-, 设平面11A EC 的一个法向量为()111,,m x y z =，则11111111202202m x y m x y A A E z C ⎧⋅+=⎪⎨⋅+-=⎩=⎪=，令12x =，则()2,2,1m =-， 因为1220m D F =⋅-=，所以1m D F ⊥， 因为1D F ⊄平面11A EC ，所以1//D F 平面11A EC ； （II ）由（1）得，()12,2,2AC =， 设直线1AC 与平面11A EC 所成角为θ， 则11123sin cos ,9323m A C AC m m C A θ⋅====⨯⋅； （III ）由正方体的特征可得，平面11AA C 的一个法向量为()2,2,0DB =-， 则822cos ,3322DB m DB m DB m⋅===⨯⋅， 所以二面角11A AC E --的正弦值为211cos,3DB m -=.8．（1）2215x y +=；（2）60x y -+=.【分析】（1）求出a 的值，结合c 的值可得出b 的值，进而可得出椭圆的方程； （2）设点()00,M x y ，分析出直线l 的方程为0015x xy y +=，求出点P 的坐标，根据//MP BF 可得出MP BF k k =，求出0x 、0y 的值，即可得出直线l 的方程.【详解】（1）易知点(),0F c 、()0,B b ，故225BF c b a =+==， 因为椭圆的离心率为255c e a ==，故2c =，221b a c =-=， 因此，椭圆的方程为2215x y +=；（2）设点()00,M x y 为椭圆2215xy +=上一点，先证明直线MN 的方程为0015x xy y +=， 联立00221515x xy y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，消去y 并整理得220020x x x x -+=，2200440x x ∆=-=，因此，椭圆2215x y +=在点()00,M x y 处的切线方程为0015x x y y +=.在直线MN 的方程中，令0x =，可得01y y =，由题意可知00y >，即点010,N y ⎛⎫⎪⎝⎭， 直线BF 的斜率为12BF b k c =-=-，所以，直线PN 的方程为012y x y =+，在直线PN 的方程中，令0y =，可得012x y =-，即点01,02P y ⎛⎫-⎪⎝⎭， 因为//MP BF ，则MPBF k k =，即20000002112122y y x y x y ==-++，整理可得()20050x y +=，所以，005x y =-，因为222000615x y y +==，00y ∴>，故0y =，0x =，所以，直线l 的方程为1y =，即0x y -=. 【点睛】结论点睛：在利用椭圆的切线方程时，一般利用以下方法进行直线： （1）设切线方程为y kx m =+与椭圆方程联立，由0∆=进行求解；（2）椭圆22221x y a b+=在其上一点()00,x y 的切线方程为00221x x y y a b +=，再应用此方程时，首先应证明直线00221x x y y a b +=与椭圆22221x y a b+=相切.9．（I ）21,n a n n N *=-∈，4,n n N b n *=∈；（II ）（i ）证明见解析；（ii ）证明见解析.【分析】（I ）由等差数列的求和公式运算可得{}n a 的通项，由等比数列的通项公式运算可得{}n b 的通项公式；（II ）（i ）运算可得2224nn n c c =⋅-，结合等比数列的定义即可得证；（ii ）放缩得21222422n n n n na n c a c +<-⋅，进而可得112n n k k k k -==，结合错位相减法即可得证. 【详解】（I ）因为{}n a 是公差为2的等差数列，其前8项和为64． 所以12818782642a a a a ⨯++⋅⋅⋅+=+⨯=，所以11a =， 所以()12121,n n n n N a a *=+-=-∈；设等比数列{}n b 的公比为(),0q q >，所以()221321484q b b b q q b q ==-=--，解得4q =（负值舍去）， 所以114,n n n b q n N b -*==∈；（II ）（i ）由题意，221441n n nn n b c b =++=，所以22224211442444n n nn nn n c c ⎛⎫⎛⎫=+-+=⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-， 所以220nn c c ≠-，且212222124424n n n n nn c c c c +++⋅==⋅--， 所以数列{}22nn c c -是等比数列； （ii ）由题意知，()()22122222121414242222n n n n n n n n n a n n c c a +-+-==<-⋅⋅⋅，12n n-，所以112nn k k k-==， 设10121112322222nn k n k k nT --===+++⋅⋅⋅+∑， 则123112322222n n n T =+++⋅⋅⋅+， 两式相减得21111111122121222222212nn n n n nn n n T -⎛⎫⋅- ⎪+⎝⎭=+++⋅⋅⋅+-=-=--， 所以1242n n n T -+=-，所以1112422nn k n k k n --==+⎫=-<⎪⎭【点睛】关键点点睛：最后一问考查数列不等式的证明，因为nk =错位相减法即可得证.10．（I ）(1),(0)y a x a =->；（II ）证明见解析；（III ）[),e -+∞【分析】（I ）求出()f x 在0x =处的导数，即切线斜率，求出()0f ，即可求出切线方程； （II ）令()0f x '=，可得(1)x a x e =+，则可化为证明y a =与()y g x =仅有一个交点，利用导数求出()g x 的变化情况，数形结合即可求解；（III ）令()2()1,(1)xh x x x e x =-->-，题目等价于存在(1,)x ∈-+∞，使得()h x b ≤，即min ()b h x ≥，利用导数即可求出()h x 的最小值.【详解】（I ）()(1)x f x a x e =-+'，则(0)1f a '=-， 又(0)0f =，则切线方程为(1),(0)y a x a =->； （II ）令()(1)0x f x a x e =-+='，则(1)x a x e =+， 令()(1)x g x x e =+，则()(2)x g x x e '=+，当(,2)x ∈-∞-时，()0g x '<，()g x 单调递减；当(2,)x ∈-+∞时，()0g x '>，()g x 单调递增， 当x →-∞时，()0g x <，()10g -=，当x →+∞时，()0g x >，画出()g x 大致图像如下：所以当0a >时，y a =与()y g x =仅有一个交点，令()g m a =，则1m >-，且()()0f m a g m '=-=，当(,)x m ∈-∞时，()a g x >，则()0f x '>，()f x 单调递增， 当(),x m ∈+∞时，()a g x <，则()0f x '<，()f x 单调递减，x m =为()f x 的极大值点，故()f x 存在唯一的极值点；（III ）由（II ）知max ()()f x f m =，此时)1(1,m a m e m +>-=，所以()2max {()}()1(1),mf x a f m a m m e m -=-=-->-， 令()2()1,(1)xh x x x e x =-->-，若存在a ，使得()f x a b ≤+对任意x ∈R 成立，等价于存在(1,)x ∈-+∞，使得()h x b ≤，即min ()b h x ≥，()2()2(1)(2)x x h x x x e x x e =+-=+'-，1x >-，当(1,1)x ∈-时，()0h x '<，()h x 单调递减，当(1,)x ∈+∞时，()0h x '>，()h x 单调递增， 所以min ()(1)h x h e ==-，故b e ≥-， 所以实数b 的取值范围[),e -+∞.【点睛】关键点睛：第二问解题的关键是转化为证明y a =与()y g x =仅有一个交点；第三问解题的关键是转化为存在(1,)x ∈-+∞，使得()h x b ≤，即min ()b h x ≥.11．（Ⅰ）4C π=；（Ⅱ）sin A =（Ⅲ）sin 24A π⎛⎫+=⎪⎝⎭【分析】（Ⅰ）直接利用余弦定理运算即可； （Ⅱ）由（Ⅰ）及正弦定理即可得到答案；（Ⅲ）先计算出sin ,cos ,A A 进一步求出sin 2,cos 2A A ，再利用两角和的正弦公式计算即可.【详解】（Ⅰ）在ABC 中，由5,a b c ===222cos22a b c C ab +-===，又因为(0,)C π∈，所以4C π=；（Ⅱ）在ABC 中，由4C π=， a c ==sin sina C A c===（Ⅲ）由a c <知角A 为锐角，由sin A =cos A == 进而2125sin 22sin cos ,cos22cos 11313A A A A A ===-=，所以125sin(2)sin 2cos cos2sin 4441313A A A πππ+=+=+=. 【点晴】本题主要考查正、余弦定理解三角形，以及三角恒等变换在解三角形中的应用，考查学生的数学运算能力，是一道容易题.12．（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ（Ⅲ【分析】以C 为原点，分别以1,,CA CB CC 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系.（Ⅰ）计算出向量1C M 和1B D 的坐标，得出110C M B D ⋅=，即可证明出11C M B D ⊥； （Ⅱ）可知平面1BB E 的一个法向量为CA ，计算出平面1B ED 的一个法向量为n ，利用空间向量法计算出二面角1B B E D --的余弦值，利用同角三角函数的基本关系可求解结果； （Ⅲ）利用空间向量法可求得直线AB 与平面1DB E 所成角的正弦值.【详解】依题意，以C 为原点，分别以CA 、CB 、1CC 的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系（如图），可得()0,0,0C 、()2,0,0A 、()0,2,0B 、()10,0,3C 、 ()12,0,3A 、()10,2,3B 、()2,0,1D 、()0,0,2E 、()1,1,3M .（Ⅰ）依题意，()11,1,0C M =，()12,2,2B D =--， 从而112200C M B D ⋅=-+=，所以11C M B D ⊥；（Ⅱ）依题意，()2,0,0CA =是平面1BB E 的一个法向量，()10,2,1EB =，()2,0,1ED =-．设(),,n x y z =为平面1DB E 的法向量， 则100n EB n ED ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即2020y z x z +=⎧⎨-=⎩，不妨设1x =，可得()1,1,2n =-． 26cos ,26C CA n A C nA n ⋅<>===⋅⨯， 230sin ,1cos ,6CA n CA n ∴<>=-<>= 所以，二面角1B B E D --30 （Ⅲ）依题意，()2,2,0AB =-．由（Ⅱ）知()1,1,2n =-为平面1DB E 的一个法向量，于是cos ,22AB n AB n AB n⋅<>===⋅．所以，直线AB 与平面1DB E 【点睛】本题考查利用空间向量法证明线线垂直，求二面角和线面角的正弦值，考查推理能力与计算能力，属于中档题.13．（Ⅰ）221189x y +=；（Ⅱ）132y x =-，或3y x =-． 【分析】（Ⅰ）根据题意，并借助222a b c =+，即可求出椭圆的方程；（Ⅱ）利用直线与圆相切，得到CP AB ⊥，设出直线AB 的方程，并与椭圆方程联立，求出B 点坐标，进而求出P 点坐标，再根据CP AB ⊥，求出直线AB 的斜率，从而得解.【详解】（Ⅰ）椭圆()222210x y a b a b +=>>的一个顶点为()0,3A -，∴3b =，由OA OF =，得3c b ==，又由222a b c =+，得2228313a =+=， 所以，椭圆的方程为221189x y +=；（Ⅱ）直线AB 与以C 为圆心的圆相切于点P ，所以CP AB ⊥， 根据题意可知，直线AB 和直线CP 的斜率均存在，设直线AB 的斜率为k ，则直线AB 的方程为3y kx ，即3y kx =-，2231189y kx x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，可得()2221120k x kx +-=，解得0x =或21221k x k =+. 将21221k x k =+代入3y kx =-，得222126321213k y k k k k =⋅--=++，所以，点B 的坐标为2221263,2121k k k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，因为P 为线段AB 的中点，点A 的坐标为()0,3-，所以点P 的坐标为2263,2121kk k -⎛⎫ ⎪++⎝⎭，由3OC OF =，得点C 的坐标为()1,0，所以，直线CP 的斜率为222303216261121CPk k k k k k --+=-+-+=， 又因为CP AB ⊥，所以231261k k k ⋅=--+，整理得22310k k -+=，解得12k =或1k =. 所以，直线AB 的方程为132y x =-或3y x =-.【点睛】本题考查了椭圆标准方程的求解、直线与椭圆的位置关系、直线与圆的位置关系、中点坐标公式以及直线垂直关系的应用，考查学生的运算求解能力，属于中档题.当看到题目中出现直线与圆锥曲线位置关系的问题时，要想到联立直线与圆锥曲线的方程. 14．（Ⅰ）n a n =，12n n b -=；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ）465421949n nn n +--+⨯. 【分析】(Ⅰ)由题意分别求得数列的公差、公比，然后利用等差、等比数列的通项公式得到结果；(Ⅱ)利用(Ⅰ)的结论首先求得数列{}n a 前n 项和，然后利用作差法证明即可；(Ⅲ)分类讨论n 为奇数和偶数时数列的通项公式，然后分别利用指数型裂项求和和错位相减求和计算211n k k c -=∑和21nk k c =∑的值，据此进一步计算数列{}n c 的前2n 项和即可.【详解】(Ⅰ)设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q . 由11a =，()5435a a a =-，可得d =1. 从而{}n a 的通项公式为n a n =. 由()15431,4b b b b ==-，又q ≠0，可得2440q q -+=，解得q =2，从而{}n b 的通项公式为12n n b -=.(Ⅱ)证明：由(Ⅰ)可得(1)2n n n S +=， 故21(1)(2)(3)4n n S S n n n n +=+++，()()22211124n S n n +=++， 从而2211(1)(2)02n n n S S S n n ++-=-++<，所以221n n n S S S ++<.(Ⅲ)当n 为奇数时，()111232(32)222(2)2n n n n n nn n a b n c a a n n n n -+-+--===-++， 当n 为偶数时，1112n n n n a n c b -+-==， 对任意的正整数n ，有222221112221212121k k nn n k k k c k k n --==⎛⎫=-=- ⎪+-+⎝⎭∑∑， 和223111211352321444444n n k k n n k k k n n c -==---==+++++∑∑ ① 由①得22314111352321444444n k n n k n n c +=--=+++++∑ ② 由①②得22111211312221121441444444414n n k n n n k n n c ++=⎛⎫- ⎪--⎝⎭=+++-=---∑， 由于11211121221121156544144334444123414n n n n n n n n ++⎛⎫- ⎪--+⎝⎭--=-⨯--⨯=-⨯-， 从而得：21565994n k n k n c =+=-⨯∑. 因此，2212111465421949n n n n k k k n k k k n c c c n -===+=+=--+⨯∑∑∑. 所以，数列{}n c 的前2n 项和为465421949n n n n +--+⨯. 【点睛】本题主要考查数列通项公式的求解，分组求和法，指数型裂项求和，错位相减求和等，属于中等题.15．（Ⅰ）（i ）98y x =-；（ii ）()g x 的极小值为(1)1g =，无极大值；（Ⅱ）证明见解析.【分析】(Ⅰ) (i)首先求得导函数的解析式，然后结合导数的几何意义求解切线方程即可； (ii)首先求得()g x '的解析式，然后利用导函数与原函数的关系讨论函数的单调性和函数的极值即可；（Ⅱ）首先确定导函数的解析式，然后令12xt x =，将原问题转化为与t 有关的函数，然后构造新函数，利用新函数的性质即可证得题中的结论.【详解】(Ⅰ) (i) 当k =6时，()36ln f x x x =+，()26'3f x x x=+.可得()11f =，()'19f =， 所以曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为()191y x -=-，即98y x =-.(ii) 依题意，()()32336ln ,0,g x x x x x x=-++∈+∞. 从而可得()2263'36g x x x x x =-+-， 整理可得：323(1)(1)()x x g x x '-+=， 令()'0g x =，解得1x =.当x 变化时，()()',g x g x 的变化情况如下表：所以，函数g (x )的单调递减区间为(0，1)，单调递增区间为(1，+∞)；g (x )的极小值为g (1)=1，无极大值.（Ⅱ）证明：由3()ln f x x k x =+，得2()3k f x x x'=+. 对任意的12,[1,)x x ∈+∞，且12x x >，令12(1)x t t x =>，则 ()()()()()()()1212122x x f x f x f x f x ''-+--()22331121212122332ln x k k x x x x x x k x x x ⎛⎫⎛⎫=-+++--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 3322121121212212332ln x x x x x x x x x k k x x x ⎛⎫=--++-- ⎪⎝⎭()332213312ln x t t t k t t t ⎛⎫=-+-+-- ⎪⎝⎭. ① 令1()2ln ,[1,)h x x x x x=--∈+∞. 当x >1时，22121()110h x x x x '⎛⎫=+-=-> ⎪⎝⎭， 由此可得()h x 在[)1,+∞单调递增，所以当t >1时，()()1h t h >，即12ln 0t t t-->. 因为21x ≥，323331(1)0t t t t -+-=->，3k ≥-，所以()()332322113312ln 33132ln x t t t k t t t t t t t t t ⎛⎫⎛⎫-+-+------- ⎪+ ⎪⎝⎭⎝⎭ 32336ln 1t t t t =-++-. ② 由(Ⅰ)(ii)可知，当1t >时，()()1g t g >，即32336ln 1t t t t-++>， 故32336ln 10t t t t-++-> ③ 由①②③可得()()()()()()()12121220x x f x f x f x f x ''-+-->. 所以，当3k ≥-时，任意的[)12,1,x x ∈+∞，且12x x >，有()()()()1212122f x f x f x f x x x ''+->-. 【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．(4)考查数形结合思想的应用．。
天津近四年高考数学(理)知识点分类与及分布
天津近四年高考数学（理）知识点分类与及分布一 复数选择题5分，简单，占3.3%。
（2009年天津理）i 是虚数单位，52i i-= （A ）1+2i （B ）-1-2i （C ）1-2i （D ）-1+2i （2010年天津理）i 是虚数单位，复数1312ii-+=+(A)1＋i (B)5＋5i (C)-5-5i (D)-1－i （2011年天津理）已知i 是虚数单位，复数131ii--= （ ） A 2i + B 2i - C 12i -+ D 12i -- （2012年天津理）复数73iz i-=+= （ ） （A ）2i + （Ｂ）2i - （Ｃ）2i -+ （Ｄ）2i --二 线性规划（2009年天津理）（2）设变量x ，y 满足约束条件：3123x y x y x y +≥⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩.则目标函数23z x y =+的最小值为（A ）6 （B ）7 （C ）8 （D ）23三 程序框图选择题5分，简单，占3.3%。
（2009年天津理）（5）阅读右图的程序框图，则输出的S=A. 26B. 35C. 40D. 57（2010年天津理）（4）阅读右边的程序框图，若输出s 的值为-7，则判断框内可填写(A)i ＜3? （B ）i ＜4? （C ）i ＜5? （D ）i ＜6?（2011年天津理）3．阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出i 的值为 A ．3 B ．4 C ．5 D ．6（2012年天津理）（5）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，当输入x 的值为25-时，输出x 的值为（A ）1- （Ｂ）1 （Ｃ）3 （Ｄ）9四 对数、指数比较大小（2011年天津理） 7．已知324log 0.3log 3.4log 3.615,5,,5a b c ⎛⎫=== ⎪⎝⎭则A ．a b c >>B ．b a c >>C ．a c b >>D ．c a b >>五 集合与逻辑选择题，填空题，10分，简单，占6.6%。
天津历年高考文科数学试题及答案汇编十数列
天津历年高考文科数学试题及答案汇编十数列（2008-2018）试题1、4．（5分）（2008天津）若等差数列{a n}的前5项和S5=25，且a2=3，则a7=（）A．12 B．13 C．14 D．152、15．（4分）（2010天津）设{a n}是等比数列，公比，S n为{a n}的前n项和．记．设为数列{T n}的最大项，则n0= ．3、11．（5分）（2011天津）已知{a n}为等差数列，S n为{a n}的前n项和，n∈N*，若a3=16，S20=20，则S10值为．4、5．（5分）（2014天津）设{a n}的首项为a1，公差为﹣1的等差数列，S n为其前n项和，1241．D．﹣1、20．（12分）（2008天津）在数列{a n}中，a1=1，a2=2，且a n+1=（1+q）a n﹣qa n﹣1（n≥2，q≠0）．（Ⅰ）设b n=a n+1﹣a n（n∈N*），证明{b n}是等比数列；（Ⅱ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅲ）若a3是a6与a9的等差中项，求q的值，并证明：对任意的n∈N*，a n是a n+3与a n+6的等差中项．2、22．（14分）（2010天津）在数列{a n}中，a1=0，且对任意k∈N*，a2k﹣1，a2k，a2k+1成等差数列，其公差为2k．（Ⅰ）证明a4，a5，a6成等比数列；（Ⅱ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅲ）记，证明．（2011天津）已知数列{a n}与{b n}满足b n+1a n+b n a n+1=（﹣2）n+1，b n=，3、20．（14分）n∈N*，且a1=2．（Ⅰ）求a2，a3的值（Ⅱ）设c n=a2n+1﹣a2n﹣1，n∈N*，证明{c n}是等比数列（Ⅲ）设S n为{a n}的前n项和，证明++…++≤n﹣（n∈N*）4、18．（14分）（2012天津）已知{a n}是等差数列，其前n项和为S n，{b n}是等比数列，且a1=b1=2，a4+b4=27，S4﹣b4=10．（1）求数列{a n}与{b n}的通项公式；（2）记T n=a1b1+a2b2+…+a n b n，n∈N*，证明：T n﹣8=a n﹣1b n+1（n∈N*，n≥2）．5、19．（14分）（2013天津）已知首项为的等比数列{a n}的前n项和为S n（n∈N*），且﹣2S2，S3，4S4成等差数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）证明．6、20．（14分）（2014天津）已知q和n均为给定的大于1的自然数，设集合M={0，1，2，…，q﹣1}，集合A={x|x=x1+x2q+…+x n q n﹣1，x i∈M，i=1，2，…n}．（Ⅰ）当q=2，n=3时，用列举法表示集合A；（Ⅱ）设s，t∈A，s=a1+a2q+…+a n q n﹣1，t=b1+b2q+…+b n q n﹣1，其中a i，b i∈M，i=1，2，…，n．证明：若a n＜b n，则s＜t．7、18．（2015天津）已知{a n}是各项均为正数的等比数列，{b n}是等差数列，且a1=b1=1，（13分）b2+b3=2a3，a5﹣3b2=7．（Ⅰ）求{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）设c n=a n b n，n∈N*，求数列{c n}的前n项和．8、18．（13分）（2016天津）已知{a n}是等比数列，前n项和为S n（n∈N*），且﹣=，S6=63．（1）求{a n}的通项公式；（2）若对任意的n∈N*，b n是log2a n和log2a n+1的等差中项，求数列{（﹣1）n b}的前2n项和．9、18．（13分）（2017天津）已知{a n}为等差数列，前n项和为S n（n∈N*），{b n}是首项为2的等比数列，且公比大于0，b2+b3=12，b3=a4﹣2a1，S11=11b4．（Ⅰ）求{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{a2n b n}的前n项和（n∈N*）．10、（18）（13分）（2018天津）设{a n}是等差数列，其前n项和为S n（n∈N*）；{b n}是等比数列，公比大于0，其前n项和为T n（n∈N*）．已知b1=1，b3=b2+2，b4=a3+a5，b5=a4+2a6．（Ⅰ）求S n和T n；（Ⅱ）若S n+（T1+T2+…+T n）=a n+4b n，求正整数n的值．答案1、解：设{a n}的公差为d，首项为a1，由题意得，解得，∴a7=1+6×2=13，故选B．2、解：==因为≧8，当且仅当=4，即n=4时取等号，所以当n0=4时T n有最大值．故答案为：4．3、解：由题意a3=16，故S5=5×a3=80，由数列的性质S10﹣S5=80+25d，S15﹣S10=80+50d，S20﹣S15=80+75d，故S20=20=320+150d，解之得d=﹣2又S10=S5+S10﹣S5=80+80+25d=160﹣50=110故答案为：1104、解：∵{a n}是首项为a1，公差为﹣1的等差数列，S n为其前n项和，∴S1=a1，S2=2a1﹣1，S4=4a1﹣6，由S1，S2，S4成等比数列，得：，即，解得：．故选：D．解答题1、解：（Ⅰ）证明：由题设a n+1=（1+q）a n﹣qa n﹣1（n≥2），得a n+1﹣a n=q（a n﹣a n﹣1），即b n=qb n ﹣1，n≥2．又b1=a2﹣a1=1，q≠0，所以{b n}是首项为1，公比为q的等比数列．（Ⅱ）由（Ⅰ）a2﹣a1=1，a3﹣a2=q，…a n﹣a n﹣1=q n﹣2，（n≥2）．将以上各式相加，得a n﹣a1=1+q+…+q n﹣2（n≥2）．所以当n≥2时，上式对n=1显然成立．（Ⅲ）由（Ⅱ），当q=1时，显然a3不是a6与a9的等差中项，故q≠1．由a3﹣a6=a9﹣a3可得q5﹣q2=q2﹣q8，由q≠0得q3﹣1=1﹣q6，①整理得（q3）2+q3﹣2=0，解得q3=﹣2或q3=1（舍去）．于是．另一方面，，．由①可得a n﹣a n+3=a n+6﹣a n，n∈N*．所以对任意的n∈N*，a n是a n+3与a n+6的等差中项．2、（I）证明：由题设可知，a2=a1+2=2，a3=a2+2=4，a4=a3+4=8，a5=a4+4=12，a6=a5+6=18．从而，所以a4，a5，a6成等比数列；（II）解：由题设可得a2k+1﹣a2k﹣1=4k，k∈N*．所以a2k+1﹣a1=（a2k+1﹣a2k﹣1）+（a2k﹣1﹣a2k﹣3）+…+（a3﹣a1）=4k+4（k﹣1）+…+4×1=2k（k+1），k∈N*．由a1=0，得a2k+1=2k（k+1），从而a2k=a2k+1﹣2k=2k2．所以数列{a n}的通项公式为或写为，n∈N*．（III）证明：由（II）可知a2k+1=2k（k+1），a2k=2k2，以下分两种情况进行讨论：（1）当n为偶数时，设n=2m（m∈N*）若m=1，则，若m≥2，则==．所以，从而，；（2）当n为奇数时，设n=2m+1（m∈N*）=．所以，从而，．综合（1）和（2）可知，对任意n≥2，n∈N*，有．3、（Ⅰ）解：由b n=，（n∈N*）可得b n=又b n+1a n+b n a n+1=（﹣2）n+1，当n=1时，a1+2a2=﹣1，可得由a1=2，a2=﹣；当n=2时，2a2+a3=5可得a3=8；（Ⅱ）证明：对任意n∈N*，a2n﹣1+2a2n=﹣22n﹣1+1…①2a2n+a2n+1=22n+1…②②﹣①，得a2n+1﹣a2n﹣1=3×22n﹣1，即：c n=3×22n﹣1，于是所以{c n}是等比数列．（Ⅲ）证明：a1=2，由（Ⅱ）知，当k∈N*且k≥2时，a2k﹣1=a1+（a3﹣a1）+（a5﹣a3）+（a7﹣a5）+…+（a2k﹣1﹣a2k﹣3）=2+3（2+23+25+…+22k﹣3）=2+3×=22k﹣1，故对任意的k∈N*，a2k﹣1=22k﹣1．由①得22k﹣1+2a2k=﹣22k﹣1+1，所以k∈N*，因此，于是，．故==所以，对任意的n∈N*，++…++=（+）+…+（+）===n﹣≤n﹣﹣=n﹣（n∈N*）4、解：（1）设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，由a1=b1=2，得a4=2+3d，b4=2q3，s4=8+6d，由a4+b4=27，S4﹣b4=10，得方程组，解得，所以：a n=3n﹣1，b n=2n．（2）证明：由第一问得：T n=2×2+5×22+8×23+…+（3n﹣1）×2n；①；2T n=2×22+5×23+…+（3n﹣4）×2n+（3n﹣1）×2n+1，②．由①﹣②得，﹣T n=2×2+3×22+3×23+…+3×2n﹣（3n﹣1）×2n+1=﹣（3n﹣1）×2n+1﹣2=﹣（3n﹣4）×2n+1﹣8．即T n﹣8=（3n﹣4）×2n+1．而当n≥2时，a n﹣1b n+1=（3n﹣4）×2n+1．∴T n﹣8=a n﹣1b n+1（n∈N*，n≥2）．5、（Ⅰ）解：设等比数列{a n}的公比为q，∵﹣2S2，S3，4S4等差数列，∴2S3=﹣2S2+4S4，即S4﹣S3=S2﹣S4，得2a4=﹣a3，∴q=，∵，∴=；（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）得，S n==1﹣，∴，当n为奇数时，==，当n为偶数时，=，∴随着n的增大而减小，即，且，综上，有成立．6、（Ⅰ）解：当q=2，n=3时，M={0，1}，A={x|，x i∈M，i=1，2，3}．可得A={0，1，2，3，4，5，6，7}．（Ⅱ）证明：由设s，t∈A，s=a1+a2q+…+a n q n﹣1，t=b1+b2q+…+b n q n﹣1，其中a i，b i∈M，i=1，2，…，n．a n＜b n，∴a n﹣b n≤﹣1．可得s﹣t=（a1﹣b1）+（a2﹣b2）q+…++≤﹣[1+q+…+q n﹣2+q n﹣1]=＜0．∴s＜t．7、解：（Ⅰ）设数列{a n}的公比为q，数列{b n}的公差为d，由题意，q＞0，由已知有，消去d整理得：q4﹣2q2﹣8=0．∵q＞0，解得q=2，∴d=2，∴数列{a n}的通项公式为，n∈N*；数列{b n}的通项公式为b n=2n﹣1，n∈N*．（Ⅱ）由（Ⅰ）有，设{c n}的前n项和为S n，则，，两式作差得：=2n+1﹣3﹣（2n﹣1）×2n=﹣（2n ﹣3）×2n﹣3．∴．8、解：（1）设{a n}的公比为q，则﹣=，即1﹣=，解得q=2或q=﹣1．若q=﹣1，则S6=0，与S6=63矛盾，不符合题意．∴q=2，∴S6==63，∴a1=1．∴a n=2n﹣1．（2）∵b n是log2a n和log2a n+1的等差中项，∴b n=（log2a n+log2a n+1）=（log22n﹣1+log22n）=n﹣．∴b n+1﹣b n=1．∴{b n}是以为首项，以1为公差的等差数列．设{（﹣1）n b n2}的前n项和为T n，则T n=（﹣b12+b22）+（﹣b32+b42）+…+（﹣b2n﹣12+b2n2）=b1+b2+b3+b4…+b2n﹣1+b2n===2n 2．9、（Ⅰ）解：设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q ．由已知b 2+b 3=12，得，而b 1=2，所以q 2+q ﹣6=0．又因为q ＞0，解得q=2．所以，．由b 3=a 4﹣2a 1，可得3d ﹣a 1=8．由S 11=11b 4，可得a 1+5d=16，联立①②，解得a 1=1，d=3， 由此可得a n =3n ﹣2．所以，{a n }的通项公式为a n =3n ﹣2，{b n }的通项公式为． （Ⅱ）解：设数列{a 2n b n }的前n项和为T n ，由a 2n =6n ﹣2，有，，上述两式相减，得=．得．所以，数列{a 2n b n }的前n 项和为（3n ﹣4）2n+2+16．10、（I ）解：设等比数列{}n b 的公比为q ，由b 1=1，b 3=b 2+2，可得220q q --=. 因为0q >，可得2q =，故12n n b -=.所以122112nn n T -==--. 设等差数列{}n a 的公差为d .由435b a a =+，可得134a d +=.由5462b a a =+，可得131316,a d += 从而11,1a d ==，故n a n =，所以(1)2n n n S +=. （II ）解：由（I ），知13112(222)2 2.n n n T T T n n ++++=+++-=--由12()4n n n n S T T T a b ++++=+可得11(1)2222n n n n n n ++++--=+， 整理得2340,n n --= 解得1n =-（舍），或4n =.所以n 的值为4.。
天津三年2020-2022高考数学真题按题型分类汇编-填空题、双空题(含解析)
天津三年2020-2022高考数学真题按题型分类汇编-填空题、双空题（含解析）一、填空题1．（2022·天津·统考高考真题）已知i 是虚数单位，化简113i1+2i-的结果为_______．2．（2022·天津·统考高考真题）523x ⎫⎪⎭的展开式中的常数项为______. 3．（2022·天津·统考高考真题）若直线()00x y m m -+=>与圆()()22113x y -+-=相交所得的弦长为m ，则m =_____．4．（2022·天津·统考高考真题）设a ∈R ，对任意实数x ，记(){}2min 2,35f x x x ax a =--+-．若()f x 至少有3个零点，则实数a 的取值范围为______.5．（2021·天津·统考高考真题）i 是虚数单位，复数92i2i+=+_____________． 6．（2021·天津·统考高考真题）在6312x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，6x 的系数是__________．7．（2021·天津·y 轴交于点A ，与圆()2211x y +-=相切于点B ，则AB =____________．8．（2021·天津·统考高考真题）若0 , 0a b >>，则21a b ab ++的最小值为____________． 9．（2020·天津·统考高考真题）i 是虚数单位，复数82ii-=+_________． 10．（2020·天津·统考高考真题）在522x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，2x 的系数是_________．11．（2020·天津·统考高考真题）已知直线80x +=和圆222(0)x y r r +=>相交于,A B 两点．若||6AB =，则r 的值为_________．12．（2020·天津·统考高考真题）已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为12和13．假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球都落入盒子的概率为_________；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为_________．13．（2020·天津·统考高考真题）已知0,0a b >>，且1ab =，则11822a b a b+++的最小值为_________．二、双空题14．（2022·天津·统考高考真题）52张扑克牌，没有大小王，无放回地抽取两次，则两次都抽到A 的概率为____________；已知第一次抽到的是A ，则第二次抽取A 的概率为____________15．（2022·天津·统考高考真题）在ABC 中，,CA a CB b ==，D 是AC 中点，2CB BE =，试用,a b 表示DE 为___________，若AB DE ⊥，则ACB ∠的最大值为____________ 16．（2021·天津·统考高考真题）甲、乙两人在每次猜谜活动中各猜一个谜语，若一方猜对且另一方猜错，则猜对的一方获胜，否则本次平局，已知每次活动中，甲、乙猜对的概率分别为56和15，且每次活动中甲、乙猜对与否互不影响，各次活动也互不影响，则一次活动中，甲获胜的概率为____________，3次活动中，甲至少获胜2次的概率为______________．17．（2021·天津·统考高考真题）在边长为1的等边三角形ABC 中，D 为线段BC 上的动点，DE AB ⊥且交AB 于点E ．//DF AB 且交AC 于点F ,则|2|BE DF +的值为____________；()DE DF DA +⋅的最小值为____________．参考答案：1．15i -##5i 1-+【分析】根据复数代数形式的运算法则即可解出． 【详解】()()()()113i 12i 113i 11625i15i 1+2i 1+2i 12i 5-----===--． 故答案为：15i -． 2．15【分析】由题意结合二项式定理可得523x ⎫⎪⎭的展开式的通项为552153r r r r T C x -+=⋅⋅，令5502r-=，代入即可得解.【详解】由题意523x ⎫⎪⎭的展开式的通项为5552155233rrrr r rr T C C x x --+⎛⎫=⋅⋅=⋅⋅ ⎪⎝⎭， 令5502r -=即1r =，则1553315r r C C ⋅=⋅=，所以523x ⎫⎪⎭的展开式中的常数项为15.故答案为：15.【点睛】本题考查了二项式定理的应用，考查了运算求解能力，属于基础题. 3．2【分析】计算出圆心到直线的距离，利用勾股定理可得出关于m 的等式，即可解得m 的值.【详解】圆()()22113x y -+-=的圆心坐标为()1,1圆心到直线()00x y m m -+=>=由勾股定理可得2232m ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，因为0m >，解得2m =.故答案为：2. 4．10a ≥【分析】设()235g x x ax a =-+-，()2h x x =-，分析可知函数()g x 至少有一个零点，可得出0∆≥，求出a 的取值范围，然后对实数a 的取值范围进行分类讨论，根据题意可得出关于实数a 的不等式，综合可求得实数a 的取值范围.【详解】设()235g x x ax a =-+-，()2h x x =-，由20x -=可得2x =±.要使得函数()f x 至少有3个零点，则函数()g x 至少有一个零点，则212200a a ∆=-+≥， 解得2a ≤或10a ≥.①当2a =时，()221g x x x =-+，作出函数()g x 、()h x 的图象如下图所示：此时函数()f x 只有两个零点，不合乎题意；②当2a <时，设函数()g x 的两个零点分别为1x 、()212x x x <， 要使得函数()f x 至少有3个零点，则22x ≤-，所以，()2224550ag a ⎧<-⎪⎨⎪-=+-≥⎩，解得a ∈∅；③当10a =时，()21025g x x x =-+，作出函数()g x 、()h x 的图象如下图所示：由图可知，函数()f x 的零点个数为3，合乎题意；④当10a >时，设函数()g x 的两个零点分别为3x 、()434x x x <， 要使得函数()f x 至少有3个零点，则32x ≥，可得()222450a g a ⎧>⎪⎨⎪=+-≥⎩，解得4a >，此时10a >.综上所述，实数a 的取值范围是[)10,+∞. 故答案为：[)10,+∞.【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解. 5．4i -【分析】利用复数的除法化简可得结果. 【详解】()()()()92i 2i 92i 205i4i 2i 2i 2i 5+-+-===-++-. 故答案为：4i -. 6．160【分析】求出二项式的展开式通项，令x 的指数为6即可求出.【详解】6312x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的通项为()636184166122rrrr rr r T C x C x x ---+⎛⎫=⋅=⋅ ⎪⎝⎭， 令1846r -=，解得3r =，所以6x 的系数是3362160C =.故答案为：160. 7【分析】设直线AB的方程为y b =+，则点()0,A b ，利用直线AB 与圆()2211x y +-=相切求出b 的值，求出AC ，利用勾股定理可求得AB . 【详解】设直线AB的方程为y b =+，则点()0,A b ，由于直线AB 与圆()2211x y +-=相切，且圆心为()0,1C ，半径为1，则112b -=，解得1b 或3b =，所以2AC =，因为1BC =，故AB ==8．【分析】两次利用基本不等式即可求出. 【详解】0 , 0a b >>，212a b b a b b b ∴++≥=+≥当且仅当21a a b =且2b b=，即a b ==所以21ab ab ++的最小值为故答案为：9．32i -【分析】将分子分母同乘以分母的共轭复数，然后利用运算化简可得结果. 【详解】()()()()8281510322225i i i ii i i i ----===-++-. 故答案为：32i -.【点睛】本题考查复数的四则运算，属于基础题. 10．10【分析】写出二项展开式的通项公式，整理后令x 的指数为2，即可求出．【详解】因为522x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的通项公式为()5531552220,1,2,3,4,5rrrr r rr T C xC x r x --+⎛⎫==⋅⋅= ⎪⎝⎭，令532r -=，解得1r =． 所以2x 的系数为15210C ⨯=． 故答案为：10．【点睛】本题主要考查二项展开式的通项公式的应用，属于基础题． 11．5【分析】根据圆的方程得到圆心坐标和半径，由点到直线的距离公式可求出圆心到直线的距离d ，进而利用弦长公式||AB =r ．【详解】因为圆心()0,0到直线80x +=的距离4d =，由||AB =6==5r ． 故答案为：5．【点睛】本题主要考查圆的弦长问题，涉及圆的标准方程和点到直线的距离公式，属于基础题． 12．1623【分析】根据相互独立事件同时发生的概率关系，即可求出两球都落入盒子的概率；同理可求两球都不落入盒子的概率，进而求出至少一球落入盒子的概率.【详解】甲、乙两球落入盒子的概率分别为11,23，且两球是否落入盒子互不影响，所以甲、乙都落入盒子的概率为111236⨯=，甲、乙两球都不落入盒子的概率为111(1)(1)233-⨯-=，所以甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为23. 故答案为：16；23.【点睛】本题主要考查独立事件同时发生的概率，以及利用对立事件求概率，属于基础题. 13．4【分析】根据已知条件，将所求的式子化为82a b a b +++，利用基本不等式即可求解. 【详解】0,0,0a b a b >>∴+>，1ab =,11882222ab ab a b a b a b a b∴++=++++842a b a b +=+≥=+，当且仅当a b +=4时取等号，结合1ab =,解得22a b ==22a b =+=. 故答案为：4【点睛】本题考查应用基本不等式求最值，“1”的合理变换是解题的关键，属于基础题. 14．1221 117【分析】由题意结合概率的乘法公式可得两次都抽到A 的概率，再由条件概率的公式即可求得在第一次抽到A 的条件下，第二次抽到A 的概率.【详解】由题意，设第一次抽到A 的事件为B ,第二次抽到A 的事件为C ,则()()()()1431411221,(),|1525122152131713BC P BC P B P C B P B P =⨯======. 故答案为：1221；117. 15． 3122b a - 6π【分析】法一：根据向量的减法以及向量的数乘即可表示出DE ，以{},a b 为基底，表示出,AB DE ，由AB DE ⊥可得2234b a b a +=⋅，再根据向量夹角公式以及基本不等式即可求出． 法二：以点E 为原点建立平面直角坐标系，设(0,0),(1,0),(3,0),(,)E B C A x y ，由AB DE ⊥可得点A 的轨迹为以(1,0)M -为圆心，以2r =为半径的圆，方程为22(1)4x y ++=，即可根据几何性质可知，当且仅当CA 与M 相切时，C ∠最大，即求出． 【详解】方法一：31=22DE CE CD b a -=-，,(3)()0AB CB CA b a AB DE b a b a =-=-⊥⇒-⋅-=，2234b a a b +=⋅222333cos 244a b a b b a ACB a ba ba b⋅+⇒∠==≥=，当且仅当3a b =时取等号，而0πACB <∠<，所以(0,]6ACB π∠∈．故答案为：3122b a -；6π．方法二：如图所示，建立坐标系：(0,0),(1,0),(3,0),(,)E B C A x y ，3(,),(1,)22x yDE AB x y +=--=--， 23()(1)022x y DE AB x +⊥⇒-+=22(1)4x y ⇒++=，所以点A 的轨迹是以(1,0)M -为圆心，以2r =为半径的圆，当且仅当CA 与M 相切时，C ∠最大，此时21sin ,426r C C CM π===∠=． 故答案为：3122b a -；6π．16．23 2027【分析】根据甲猜对乙没有猜对可求出一次活动中，甲获胜的概率；在3次活动中，甲至少获胜2次分为甲获胜2次和3次都获胜求解.【详解】由题可得一次活动中，甲获胜的概率为564253⨯=；则在3次活动中，甲至少获胜2次的概率为23232122033327C ⎛⎫⎛⎫⨯⨯+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故答案为：23；2027. 17． 11120【分析】设BE x =，由222(2)44BE DF BE BE DF DF +=+⋅+可求出；将()DE DF DA +⋅化为关于x 的关系式即可求出最值. 【详解】设BE x =，10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，ABC 为边长为1的等边三角形，DE AB ⊥，30,2,3,12BDE BD x DE x DC x ∠∴====-，//DF AB ，DFC ∴为边长为12x -的等边三角形，DE DF ⊥，22222(2)4444(12)cos0(12)1BE DF BE BE DF DF x x x x ∴+=+⋅+=+-⨯+-=，|2|1BE DF +∴=，2()()()DE DF DA DE DF DE EA DE DF EA +⋅=+⋅+=+⋅222311(3)(12)(1)53151020x x x x x x ⎛⎫=+-⨯-=-+=-+ ⎪⎝⎭，所以当310x =时，()DE DF DA +⋅的最小值为1120.故答案为：1；1120.。
天津历年高考试题——三角函数(2011-2018)
.53sin =B 三角函数高考题汇总1、在ABC ∆中，内角C B A ,,所对的边为c b a ,,，)6cos(sin π-=B a A b ，（Ⅰ）求B ∠的大小；（Ⅱ）设3,2==c a ，求)2sin(B A b -和的值.(2018天津理)2、在ABC ∆中，内角C B A ，，所对的边分别为c b a ，，.已知65==>c a b a ，，，天津理)3、已知函数3)3cos()2sin(tan 4)(---⋅=ππx x x x f (Ⅰ)求f (x )的定义域与最小正周期； （Ⅱ）讨论)(x f 在区间[,44ππ-]上的单调性.(2016天津理)4、已知函数()22sin sin 6f x x x π⎛⎫=--⎪⎝⎭，R x ∈ （Ⅰ）求()f x 最小正周期； （Ⅱ）求()f x 在区间[,]34ππ-上的最大值和最小值.(2015天津理) 5、已知函数()2cos sin +3f x x x x x R π⎛⎫=⋅∈ ⎪⎝⎭. （Ⅰ）求)(x f 最小正周期； （Ⅱ）求)(x f 在闭区间[,]44ππ-上的最大值和最小值.(2014天津理) 6、已知函数()2)6sin cos 2cos 1,4f x x x x x x R π=++⋅-+∈.（Ⅰ）求)(x f 最小正周期； （Ⅱ）求)(x f 在区间[0,]2π上的最大值和最小值.(2013天津理)7、（2012文）将函数()sin f x x ω=（其中ω>0）的图像向右平移4π个单位长度，所得图像经过点)0,43(π，则ω的最小值是（A ）13（B ）1 C ）53（D ）28、（2012文）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的分别是a,b，c 。
已知-4.（I ）求sinC 和b 的值； （II ）求cos （2A+3д）的值。
9、（２012理）设R ϕ∈，则“=0ϕ”是“()=cos(+)f x x ϕ()x R ∈为偶函数”的 （A ）充分而不必要条件 （Ｂ）必要而不充分条件（Ｃ）充分必要条件 （Ｄ）既不充分也不必要条件 10、（2012理）（本小题满分13分）已知函数2()=sin (2+)+sin(2)+2cos 133f x x x x ππ--，x R ∈.(Ⅰ)求函数()f x 的最小正周期； （Ⅱ）求函数()f x 在区间[,]44ππ-上的最大值和最小值.11．（2011文）已知函数()2sin(),f x x x R ωϕ=+∈，其中0,,()f x ωπϕπ>-<≤若的最小正周期为6π，且当2x π=时，()f x 取得最大值，则（ ）A ．()f x 在区间[2,0]π-上是增函数B ．()f x 在区间[3,]ππ--上是增函数C ．()f x 在区间[3,5]ππ上是减函数D ．()f x 在区间[4,6]ππ上是减函数12.．（2011文）在△ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知,23.B C b a ==（Ⅰ）求cos A 的值； （Ⅱ）cos(2)4A π+的值．13．（2011理）已知函数()tan(2),4f x x π=+（Ⅰ）求()f x 的定义域与最小正周期；（II ）设0,4πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，若()2cos 2,2f αα=求α的大小．14、（2010文）5y Asinx x R 66ππωϕ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦右图是函数（+）（）在区间-，上的图象，为了得到这个函数的图象，只要将y sin x x R =∈（）的图象上所有的点(A)向左平移3π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变 (B) 向左平移3π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变(C) 向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变(D) 向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变15、（2010文）在∆ABC 中，cos cos AC BAB C=。
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天津市近五年高考数学试题分类汇总[2011 •天津卷]i是虚数单位，复数1 3i1 i =C. 1 2iA. 2 iB. 2 i【答案】A.1 3i【解析】'3i(1 3i)(1 i) 42i2 i.1 i(1 i)(1 i)2【2010】(1) i是虚数单位，复数 1 3i(1 2i(A)1 + i(B)5+ 5i (C)-5-5i(D)-1 —i5i 【2009,1】i是虚数单位，5=( )2 i(A) 1+2i(B) -1-2i(C) 1-2i 选择题1:—复数【考点定位】本小题考查复数的运算，基础题。
)D. 1 2i(D) -1+2i解析：旦5^2 i 51 2i，故选择D o【2008】 1.・3i是虚数单位i i 1() i是虚数单位，i1(A) 1 (B) 1(C) i(D) i A【2007】2i31.i是虚数单位，——()1 iA.1iB.1 iC.1【答案】C【分析】2i32i3(1 i)2i(1 i)i 1，故选C1i (1 i)(1 i)2D. 1 i2 (1)i31,i4i,i1复数运算技巧：4ni 1,i4n 1 4n 2i,i4n 3hi n n 1n 2n 3■ i■ i■ i■ i0复数概念、复数运算、共轭复数、复数几何意义。
(2)(1 i)2 2ii iA.充分而不必要条件B.必要而不充分条件.1 i i,r _i⑷设-1+凋 32 1,—23, 02 ,选择题 2: 充要条件与命题[2011•天津卷］设x,y R,则 2 2“x 2 且 y2 ”是“ x y 4的充分而不必要条件A .B .必要而不充分条件C . 充分必要条件D .即不充分也不必要条件 【答案 】A【解析】当x 2且y 2时， 「疋有x y 4 ；反过来当【2010】(3)命题“若f(x)是奇函数，则f(-x)是奇函数”的否命题是(A) 若f(x)是偶函数，则f(-x)是偶函数 (B) 若f(x)不是奇函数，则f(-x)不是奇函数 (C) 若f(-x)是奇函数，贝U f(x)是奇函数 (D) 若f(-x)不是奇函数，则f(x)不是奇函数 B【2009】(3)命题“存在x 0 R , 2x0 0”的否定是 (A )不存在x 0 R, 2x0 >0 (B )存在 X 。
R,2x0 0(C )对任意的x R, 2x 0 (D )对任意的x R, 2x >0【考点定位】本小考查四种命题的改写，基础题。
解析：由题否定即“不存在x 0 R ，使2x0 0”，故选择D o【2007 】3."—"是"ta n2cos —"的32x 2 y 24，不一定有x2且y 2，例如x4, y 0也可以，故选A【2008】(4)设a,b 是两条直线, 是两个平面，则a b 的一个充分条件是 C(A) a , b 〃 ， (C)a,b, //(B) a ,b , // (D)a,b 〃 ,C充分必要条件 D.既不充分也不必要条件当0时tan 0,2cos 0可知不必要.故选A2选择题3—新题型程序框图题[2011 •天津卷]阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出i的值为A. 3B.4 C. 5D. 6【答案】B【解析】i1时,a 1 1 1 2 ;2时, a2 2 15;3时，a3 5 116;4时，a416 16550 ,•••输出i 4，故选B.C结杓【2010】(4)阅读右边的程序框图，若输出s的值为-7,则判断框内可填写(A) i V 3 ( B) i v 4【答案】A【分析】tan 2 tan —3,2cos —322si n() 2sin - _ 3可知充分，【2007】6.设a,b为两条直线, 为两个平面.下列四个命题中，正确的命题是A.若a,b与所成的角相等，则a// bC若a ,b ,a// b,则//【答案】DB 若a // ,b // ,// ，贝U a / bD若a,b ,,则a b【分析】对于A当a, b与均成0时就不一定；对于B只需找个// / ，且a,b 即可满足题设但a,b不一定平行；对于C可参考直三棱柱模型排除，故选1(C ) i v 5 (D ) i v 6D【2009】(5) A 26 阅读右图的程序框图，则输出的 S= B 35 C 40 D 57 【考点定位】本小考查框架图运算，基础题。
解：当i 1时，T 2,S 2 ;当 i 2 时，T 5,S 7 ;当 i 3 时，T 8,S 15;当 i 4 时，T 11, S 26 ；当 i 5 时，T 14, S 40 ；当 i 6时，T 17,S57,故选择C o S=0, i=1 T=3i-1 S=S+T i=i+1 i>5选择题4 ――数列 4. [2011 •天津卷 ］已知 a 7是a 3与a 9的等比中项, 则S io 的值为 A D . 110 【答案】 -110 D. 【解析】 2 a 7 a 3?a 9,d …00 1020 10 9(2 2) 【2010】(6) 已知 a n 数列— a n 的前5项和为 (A ) 15 或 5 8(B ) 7EZJ/Miiil T/1 I■ 72，二⑻ 12)2110是首项为1的等比数列,31或516(C )T 6an 为等比数列，首项为 1,公比为1/q 。
利用a n 为等差数列，其公差为S n 为a n 的前n 项和，n-2,且C . 904)(a 1 16)，解之得 a 1 20,S n是9S3a n 的前n 项和，且9S 3 s ，则$ 得 q=2.【2009】(6)设a 0,b 0.若卫是3a 与3b 的等比中项，贝V 1 1的最小值为a b1 A 8 B 4C 1D -4【考点定位】本小题考查指数式和对数式的互化，以及均值不等式求最值的运用，考查了 变通能力。
【解析】因为 3a 3b 3，所以-b 1 ,1 1-b (aa b1 1 b ab)( ) 2a b a b]b a 2 2 \ a b 4,当且仅当-- -即-b 1时b 2“=”成立，故选择B【答案】选择题5—二项式展开定理.6 D.6【2007】 8.设等差数列 的公差d 不为 9d 若a k 是a i 与a 2k 的等比中项,A.2B.4C.6D.8【分析】 a k 是a i 与a 2k 的等比中项可得a ka i a 2k (*)，由a n 为等差数列可得 akai(k i)d,a 2k(2 k i)d 及 a i9d 代入(*)式可得k 4 .故选B理数5.J3 [2'011 •天津卷]的二项展开式中,的系数为A .【答案】15 4CB .15 4C.3 D.-8【解析】 由二项式展开式得,-k 2k 6 k 3 k1 2C 6 x ,令k 1，则x 2的系数为 6C6选择题6—正余弦定理理数6. C8[2011 •天津卷]如图，ABC 中， D 是边AC 上的AB CD,2AB \3BD,BC 2BD ，贝y sinC 的值为A .3Bi6「6C.3点，且【答案】DsinC 2、、3sin B ，则 A=A ： c=2 , 3 b,cosA=(b A 2+c A 2-a A 2)/2bc.带入已知条件即可得 COSA 选择题7—指对数函数log 3 0.3理数 7. B6B7[2011 •天津卷]已知 a 5lOg23.4 b 5°g43.6c -则''5 'A . a b cB . b 【答案】Ca cC. a c bD . cab【解析】令m log ；4, n 3 6log 4 , l10log孑，在同一坐标系下作出三个函数的图象,由图象可得ml n ,【解析】设BD = 2，贝U AB AD4，由余弦定理得cos ADBAD 2 BD 2 AB 2 2 AD BD二 sin BDC由正弦定理得2，即 sinC sin BDC sin C-sin BDC 2【2010】(7)在厶 ABC 中，内角 A,B,C的对边分别是a,b,c ,若 a 2 b 2 . 3bc ,(A ) 300(B ) 600 (C) 1200 (D ) 15001 -6 3...1 cos 2 BDC二 a c b .2x 1x33 2【答案】数c 的取值范围是【答案】【解析】f(x)x 22,x 22 2x , x2 x 2x2, 1 x 2 ,x【2010】(8)若函数f(x)=log 2X,x 0,x ), x 0，若 f(a)>f(-a),则实数a 的取值范围是log 1( 2(A ) (-1 , 0)U( 0, 1) (B) (a, -1) U( 1,+a) (C) (-1 , 0)U( 1,+a)(D) (-a, -1 )U( 0,1)【2007】9.设a, b, c 均为正数，且 2alog 1 a,2log 1 b■2log ?。
则A. a b cB.c bC.cD.b【分析】2a log 1 a 可知22alogi2log 1 b 可知2log 1 b2log 2 c 可知log 2 c从而a c .故选选择题 8—函数理数8. B5[2011 •天津卷]对实数a 与b ，定义新运算“a, a b, a"设函数1.f(x)x 2 2R.若函数y f(x)c 的图像与 x 轴恰有两个公共点，则实C.A .D .B .1,; 1,1 4,3 y f(x)与y c的图象恰有两个公共点，由图象知 c 2，或1 c .4【2009】(8)已知函数f(x)2 x4x4x,2 x ,范围是A (,1) (2,)B(1,2)X 0若f(2 a2) f(a),则实数a的取值x 0C ( 2,1)D ( , 2) (1,)【考点定位】本小题考查分段函数的单调性问题的运用。
以及一元二次不等式的求解。
解析：由题知f (x)在R上是增函数，由题得2 a2 a，解得2 a 1，故选择C。
选择题9 —零点x【2010】(2)函数f(x)= 2 3x的零点所在的一个区间是(A)( -2, -1)(B)( -1,0)(C)( 0,1)(D)( 1,2)B1【2009】(4)设函数f(x) x In x(x 0),则y f (x)31A在区间( — ,1),(1,e)内均有零点。
e1B在区间(一,1),(1,e)内均无零点。
则f x的图象如图e1C在区间(一,1)内有零点，在区间(1,e)内无零点。
e2又|BF | X BX B-6D 在区间(一,1)内无零点，在区间 (1,e)内有零点。
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m e' 【考点定位】本小考查导数的应用，基础题。