初中几何第二册第三章

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【说课稿】相似三角形的性质

相似三角形的性质各位老师：今天我说课的课题是初中二年级几何课中的“相似三角形的性质”一节，用的教材是人教版初中三年制《几何》第二册。

下面，我分五个部分来汇报我对这节课的教学设计，这就是“教材分析”、“教学方法与教学手段的选择”、“学法指导”、“教学过程的设计”和“评价分析”。

一、教材分析1、教材的地位及作用“相似三角形的性质”是初中几何第二册“相似形”这章的重点内容之一，是在学完相似三角形的定义及判定的基础上，进一步研究相似三角形的特性，以完成对相似三角形的全面研究。

它是全等三角形性质的拓展，也是研究相似多边形的基础，这些性质是解决有关实际问题的重要工具。

2、教学目标根据学生已有的认知基础及本课教材的地位、作用，确定本课的教学目标为：（1）知识目标：使学生掌握相似三角形的性质定理1及其证明方法，能运用相似三角形性质定理解决问题。

（2）能力目标：通过性质定理的推导，培养学生的逻辑推理能力和动手实践能力。

（3）德育渗透：通过全等三角形和相似三角形的类比学习，树立学生从特殊到一般的认识规律，通过先实验后归纳再推理强化学生“实践出真知”的求知意识。

3、教学重、难点因为相似三角形的性质是解决与相似三角形有关问题的重要依据，也是研究相似多边形性质的基础，因此，本课的重点是：相似三角形的性质。

由于初二学生推理归纳的能力较低，所以本课的难点是：性质定理1的证明。

二、教学方法与教学手段的选择为了充分调动学生学习的积极性，使学生变被动学习为主动愉快的学习，使几何课上得有趣、生动和高效，教学中从实验入手，利用相似比为1的全等三角形的性质，类比发现并归纳相似比不为1的相似三角形的性质定理1。

在教学中，启发、诱导贯穿于始终。

采用多媒体、投影仪等电教手段，增大教学容量和直观性，提高教学效率和教学质量。

三、学法指导为了培养学生的逻辑思维能力、自学能力和动手实践能力，这节课采用自制学具、动手实验，自已发现结论的学习方法。

使学生通过本节课的学习，进一步理解观察、类比、分析、归纳等数学方法。

湘教版高中同步学案数学必修第二册精品课件第3章 3.3 复数的几何表示

2 --2 < 0,
解得m=1,所以z=-2.
则 2
-3 + 2 = 0,
探究点三复数加减法的几何意义
【例 3】已知平行四边形 ABCD 中, 与对应的复数分别是 3+2i 与 1+4i,
两对角线 AC 与 BD 相交于点 O.求:
(1) 对应的复数;
(2)对应的复数;
①在虚轴上;
②在实轴负半轴上.
解(1)依题意可知1 =(-3,4),2 =(2a,1).
因为1 ⊥ 2 ,所以1 ·2 =0,
即-6a+4=0,解得
2
a= .
3
(2)①若复数z的对应点P在虚轴上,
则m2-m-2=0,所以m=-1或m=2.
此时,z=6i或z=0.
②若复数z的对应点P在实轴负半轴上,
2.若=(0,-3),则对应的复数(
)
A.等于0
B.等于-3
C.在虚轴上
D.既不在实轴上,也不在虚轴上
答案 C
解析向量对应的复数为-3i,数的模:对任意复数z=a+bi(a,b∈R),我们将它在复平面上所对应的向
量的模
2 + 2
称为复数z的模,也称为z的绝对值,记作|z|.写成公式,
数为-4+6i,则对应的复数是
.
答案 -1-7i
解析由复数加法、减法的几何意义可得 =
1
(-6-8i+4-6i)=-1-7i.
2
1
(
2
− ),其对应的复数为
重难探究•能力素养全提升
探究点一复数与复平面内点的对应
【例1】当复数z=
2 --6
+3

上海上海中学必修第二册第三单元《立体几何初步》检测题(有答案解析)

一、选择题1．设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（） A ．若αβ⊥，m β⊥，则//m αB ．若//m α，n m ⊥，则n α⊥C ．若//m α，//n α，m β⊂，n β⊂，则//αβD ．若//m β，m α⊂，n αβ=，则//m n2．已知平面α与平面β相交，直线m ⊥α，则( )A ．β内必存在直线与m 平行，且存在直线与m 垂直B ．β内不一定存在直线与m 平行，不一定存在直线与m 垂直C ．β内必存在直线与m 平行，不一定存在直线与m 垂直D ．β内不一定存在直线与m 平行，但必存在直线与m 垂直3．用长度分别是2，3，5，6，9（单位：cm ）的五根木棒连接（只允许连接，不允许折断），组成共顶点的长方体的三条棱，则能够得到的长方体的最大表面积为（） A ．2258cm B ．2414cm C ．2416cm D ．2418cm 4．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，若,,,E F G H 分别是棱111111,,,A B BB CC C D 的中点，则必有（）A ．1//BD GHB ．//BD EFC ．平面//EFGH 平面ABCDD ．平面//EFGH 平面11A BCD5．如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，O 是11B D 的中点，直线1A C 交平面11AB D 于点M ，则下列结论正确的是（）A ．,,A M O 三点共线B ．1,,,A M O A 不共面C ．,,,A M C O 不共面D ．1,,,B B O M 共面 6．三棱锥A －BCD 的所有棱长都相等，M ，N 分别是棱AD ，BC 的中点，则异面直线BM 与AN 所成角的余弦值为（）A ．13B ．2C ．3D ．237．如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧棱1AA ⊥底面111A B C ，底面三角形111A B C 是正三角形，E 是BC 中点，则下列叙述正确的是（）A ．1CC 与1B E 是异面直线B ．AC ⊥平面11ABB A C ．AE ，11B C 为异面直线，且11AE B C ⊥D ．11//A C 平面1ABE 8．设α、β是两个不同的平面，m 、n 是两条不同的直线，下列说法正确的是（）A ．若α⊥β，α∩β＝m ，m ⊥n ，则n ⊥βB ．若α⊥β，n ∥α，则n ⊥βC ．若m ∥α，m ∥β，则α∥βD ．若m ⊥α，m ⊥β，n ⊥α，则n ⊥β 9．如图，已知正方体1111ABCD A B C D -，Q 为棱1AA 的中点，P 为棱1CC 的动点，设直线m 为平面BDP 与平面11B D P 的交线，直线n 为平面ABCD 与平面11B D Q 的交线，下列结论中错误的是( )A ．//m 平面11B D QB ．平面PBD 与平面11B D P 不垂直C ．平面PBD 与平面11B D Q 可能平行 D ．直线m 与直线n 可能不平行 10．设,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则下列命题正确的是（） A ．若m n ⊥，//n α，则m α⊥ B ．若//m β，βα⊥，则m α⊥ C ．若m β⊥，n β⊥，n α⊥，则m α⊥ D ．若m n ⊥，n β⊥，βα⊥，则m α⊥ 11．棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，,EF 分别是棱11C D 和11C B 的中点，则经过点,,B E F 的平面截正方体所得的封闭图形的面积为（）A ．92B ．310C ．32D ．10 12．如图，透明的圆柱形容器(容器厚度忽略不计)的高为12cm ，底面周长为10cm ，在容器内壁离容器底部3cm 的点B 处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿3cm 的点A 处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是（）A ．13cmB ．61cmC 61cmD ．234cm 13．设α、β为两个不同的平面，l 、m 为两条不同的直线，且l α⊂，m β⊂，则下列命题中真命题是（）A ．若l β⊥，则αβ⊥B ．若l m ⊥，则αβ⊥C ．若αβ⊥，则l m ⊥D ．若//αβ，则//l m14．已知,m n 是两条不同的直线，,αβ为两个不同的平面，有下列四个命题： ①若m α⊥，n β⊥，m n ⊥，则a β⊥；②若//m α，//n β，m n ⊥，则//a β；③若m α⊥，//n β，m n ⊥，则//αβ；④若m α⊥，//n β，//αβ，则m n ⊥.其中所有正确的命题是（）A ．①④B ．②④C ．①D ．④二、解答题15．如图，圆柱的轴截面ABCD 是正方形，点E 是底面圆周上异于,A B 的一点，AF DE ⊥，F 是垂足.（1）证明：AF DB ⊥；（2）若2AB =，当三棱锥D ABE -体积最大时，求点C 到平面BDE 的距离. 16．如图所示正四棱锥S ABCD -，2,2SA SB SC SD AB =====，P 为侧棱SD 上的点.（1）求证：AC SD ⊥；（2）若3SAP APD S S =，侧棱SC 上是否存在一点E ，使得BE ∥ 平面PAC .若存在，求SE EC的值；若不存在，试说明理由. 17．如图，三棱柱111ABC A B C -的所有棱长都相等，平面11AA C C ⊥平面ABC ，160AAC ∠=︒，点D 为线段AC 的中点，点E 在线段AB 上.（1）求证：平面1A DE ⊥平面ABC ；（2）若2AB =，求点C 到平面1ABC 的距离.18．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，PCD 为等边三角形，平面PAC ⊥平面PCD ，,3,5PA CD CD AD ⊥==.（1）设G ，H 分别为PB ，AC 的中点，求证：//GH 平面PAD ；（2）求证：PA ⊥平面PCD ；（3）求三棱锥-D PAC 的体积.19．如图，在斜三棱柱111ABC A B C -中，点O .E 分别是11A C 、11A B 的中点，1A C 与1AC 交于点F ，AO ⊥平111A B C .已知90BCA ∠=︒，12AA AC BC ===.（1）求证：//EF 平面11BB C C ；（2）求11A C 与平面11AA B 所成角的正弦值.20．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，D ，E 分别为BC ，AC 的中点，AB BC =．求证：（1）11//A B 平面1DEC ；（2）1BE C E ⊥．21．如图，在梯形ABCD 中，//BC AD ，E 在AD 上，且2BC BE ED ===．沿BE 将ABE △折起，使得AB CE ．（1）证明：AD CE ⊥；（2）若在梯形ABCD 中，π3ADC ∠=，折起后π3ABD ∠=，点A 在平面BCDE 内的射影H 为线段BD 的一个四等分点（靠近点B ），求三棱锥D ABC -的体积． 22．如图，在五面体ABCDEF 中，FA ⊥平面ABCD ，AD //BC //FE ，AB ⊥AD ，M 为EC 的中点，AF ＝AB ＝BC ＝FE ＝12AD .（I ）证明：平面AMD ⊥平面CDE ；（II ）求二面角A ﹣CD ﹣E 的余弦值.23．如图，四棱锥P ABCD -的底面是边长为2的菱形，PD ⊥底面ABCD .（1）求证：AC ⊥平面PBD ；（2）若2PD =，直线45DBP ∠=，求四棱锥P ABCD -的体积.24．如图四棱锥P ABCD -，底面ABCD 是等腰梯形，//CD AB ，AC 平分BAD ∠且AC BC ⊥，PC ⊥平面ABCD ，平面PAB 与平面ABCD 所成角为60°．（1）求证：PA BC ⊥．（2）求二面角D PA C --的余弦值．25．如图，已知四棱锥的底面是正方形，且边长为4cm ，侧棱长都相等，E 为BC 的中点，高为PO ，且30OPE ∠=︒，求该四棱锥的侧面积和表面积．26．如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形,,60,PA PD BAD E =∠=是AD 的中点，点Q 在侧棱PC 上．（1）求证：AD ⊥平面PBE ；（2）若Q 是PC 的中点，求证：//PA 平面BDQ ；（3）若2P BCDE Q ABCD V V --=，试求CP CQ的值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【分析】对于A ，B 选项均有可能为线在面内，故错误；对于C 选项，根据面面平行判定定理可知其错误；直接由线面平行性质定理可得D 正确.【详解】若αβ⊥，m β⊥，则有可能m 在面α内，故A 错误；若//m α，n m ⊥，n 有可能在面α内，故B 错误；若一平面内两相交直线分别与另一平面平行，则两平面平行，故C 错误．若//m β，m α⊂，n αβ=，则由直线与平面平行的性质知//m n ，故D 正确．故选D.【点睛】本题考查的知识点是，判断命题真假，比较综合的考查了空间中直线与平面的位置关系，属于中档题. 2．D解析：D【分析】可在正方体中选择两个相交平面，再选择由顶点构成且与其中一个面垂直的直线，通过变化直线的位置可得正确的选项．【详解】如图，平面ABCD 平面11D C BA AB =，1BB ⊥平面ABCD ，但平面11D C BA 内无直线与1BB 平行，故A 错．又设平面α平面l β=，则l α⊂，因m α⊥，故m l ⊥，故B 、C 错，综上，选D ．【点睛】本题考察线、面的位置关系，此种类型问题是易错题，可选择合适的几何体去构造符合条件的点、线、面的位置关系或不符合条件的反例． 3．C解析：C【分析】设出长方体的三条棱的长度为,,a b c ，根据表面积公式()2S ab bc ac =++求解出,,a b c 在何种条件下取得最大值，由此考虑长方体棱的长度，并计算出对应的长方体的最大表面积.【详解】设长方体的三条棱的长度为,,a b c ，所以长方体表面积()()()()2222S ab bc ac a b b c a c =++≤+++++，取等号时有a b c ==，又由题意可知a b c ==不可能成立，所以考虑当,,a b c 的长度最接近时，此时对应的表面积最大，此时三边长：8,8,9，用2和6连接在一起形成8，用3和5连接在一起形成8，剩余一条棱长为9，所以最大表面积为：()22888989416cm ⨯+⨯+⨯=. 故选C.【点睛】本题考查基本不等式与长方体表面积最大值的综合，难度一般.求解()0,0ab a b >>的最2a b ab +≤可知最大值为2a b +⎛⎫ ⎪⎝⎭，此时要注意取等号的条件a b =是否成立，若取等号的条件不成立，则满足条件的,a b 相差最小时可取得最大值.4．D解析：D【分析】根据“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”来判断AB 选项的正确性，根据平行直线的性质判断C 选项的正确性，根据面面平行的判定定理判断D 选项的正确性.【详解】选项A:由中位线定理可知：1//GH D C ，因为过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，所以1,BD GH 不可能互相平行，故A 选项是错误的；选项B: 由中位线定理可知：1//EF A B ，因为过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，所以,BD EF 不可能互相平行，故B 选项是错误的；选项C: 由中位线定理可知：1//EF A B ，而直线1A B 与平面ABCD 相交，故直线EF 与平面ABCD 也相交，故平面EFGH 与平面ABCD 相交，故C 选项是错误的；选项D:由三角形中位线定理可知：111//,//EF A B EH A D ，EF ⊄平面11A BCD ，1A B ⊂平面11A BCD ，EH ⊄平面11A BCD ，11A D ⊂平面11A BCD ,所以有//EF 平面11A BCD ，//EH 平面11A BCD ，而EF EH E =，因此平面//EFGH 平面11A BCD .所以D 选项正确.故本选：D【点睛】本小题主要考查面面平行的判定定理，考查线线平行的性质，属于中档题.5．A解析：A【分析】连接11,A C AC ，利用两个平面的公共点在一条直线上可判断点共线.【详解】连接11,A C AC ，则11//A C AC ，11,,,A C C A ∴四点共面，1A C ∴⊂平面11ACC A ，1M AC ∈，M ∴∈平面11ACC A ，M ∈平面11AB D ，∴点M 在平面11ACC A 与平面11AB D 的交线上，同理点O 在平面11ACC A 与平面11AB D 的交线上，,,A M O ∴三点共线，故A 正确；,,A M O 三点共线，且直线与直线外一点可确定一个平面，1,,,A M O A ∴四点共面，,,,A M C O 四点共面，故B ，C 错误；1BB 平面11AB D ，OM ⊂平面11AB D ，1B ∈平面11AB D 且1B OM ，1BB ∴和OM 是异面直线，1,,,B B O M ∴四点不共面，故D 错误.故选：A.【点睛】本题主要考查空间中点的共线问题，此类题一般证明这些点同在两个不同的平面内，根据两平面的公共点在一条直线上即可判断.6．D解析：D【分析】连接DN ，取DN 的中点O ，连接MO ，BO ，得出BMO ∠（或其补角）是异面直线BM 与AN 所成的角，根据长度关系求出BMO ∠（或其补角）的余弦值即可.【详解】连接DN ，取DN 的中点O ，连接MO ，BO ，∵M 是AD 的中点，∴MO ∥AN ，∴BMO ∠（或其补角）是异面直线BM 与AN 所成的角.设三棱锥A －BCD 的所有棱长为2，则2213AN BM DN ===- 则13122MO AN NO DN ====，则223714BO BN NO =+=+= 在BMO ∠中，由余弦定理得222373244cos 233232BM MO BO BMO BM MO +-+-∠===⋅⨯⨯， ∴异面直线BM 与AN 所成角的余弦值为23. 【点睛】本题主要考查异面直线的夹角，解题的关键是正确找出异面直线所对应的夹角，属于中档题.7．C解析：C【分析】根据异面直线定义可判断A ；由线面垂直的性质即可判断B ；由异面直线的位置关系并得11AE B C ⊥可判断C ；根据线面平行的判定定理可判断D.【详解】对于A 项，1CC 与1B E 在同一个侧面中，故不是异面直线，所以A 错；对于B 项，由题意知，上底面是一个正三角形，故AC ⊥平面11ABB A 不可能，所以B 错；对于C 项，因为AE ，11B C 为在两个平行平面中且不平行的两条直线，故它们是异面直线，由底面111A B C 是正三角形，E 是BC 中点，根据等腰三角形三线合一可知AE BC ⊥，结合棱柱性质可知11//B C BC ，则11AE B C ⊥，所以C 正确；对于D 项，因为11A C 所在的平面与平面1AB E 相交，且11A C 与交线有公共点，故11//A C 平面1AB E 不正确，所以D 项不正确.故选C.【点睛】该题考查的是有关立体几何中空间关系的问题，在解题的过程中，需要对其相关的判定定理和性质定理的条件和结论熟练掌握，注意理清其关系，属于中档题8．D解析：D【分析】根据直线、平面平行垂直的关系进行判断．【详解】由α、β是两个不同的平面，m 、n 是两条不同的直线，知：在A 中，若α⊥β，α∩β＝m ，m ⊥n ，则n 与β相交、平行或n ⊂β，故A 错误；在B 中，若α⊥β，n ∥α，则n 与β相交、平行或n ⊂β，故B 错误；在C 中，若m ∥α，m ∥β，则α与β相交或平行，故C 错误；在D 中，若m ⊥α，m ⊥β，则α∥β，∴若n ⊥α，则n ⊥β，故D 正确.故选：D.【点睛】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的益关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.9．D解析：D【分析】在正方体1111ABCD A B C D -中，可得11//BD B D ，根据线面平行的判定定理和性质定理可得11////m BD B D ，可判断选项A 结论；分别取11,BD B D 中点1,O O ，连1,OP O P ，则1OPO ∠为平面PBD 与平面11B D P 的平面角，判断1OPO ∠是否为直角，即可判断选项B 的结论；若P 为1CC 中点时，可证平面PBD 与平面11B D Q 平行，即可判断选项C 的结论；根据面面平行的性质定理可得11//n B D ，即可判断选项D 的结论.【详解】在正方体1111ABCD A B C D -中，四边形11BB D D 为矩形，11//,BD B D BD ∴⊂平面PBD ，11B D ⊄平面PBD ，11//B D 平面PBD ，11B D ⊂平面11B D P ，平面BDP 与平面1111////P B D m m B D BD =∴，选项A ，11//,m B D m ⊄平面11B D Q ，11B D ⊂平面11B D Q ，//m 平面11B D Q ，选项A 结论正确；选项B ，分别取11,BD B D 中点1,O O ，连11,,OP O P OO ，设正方体的边长为2，设CP h =，则22114,4(2)BP DP h B P D P h ==+==+-，,PO BD PO m ∴⊥⊥，同理1PO m ⊥，1OPO ∴∠为平面PBD 与平面11B D P 的平面角，在1OO P △中，22222112,2(2),4OP h O P h OO =+=+-=，22211OP O P OO +>，1OPO ∴∠不是直角，所以平面PBD 与平面11B D P 不垂直，选项B 结论正确；选项C ，若P 为1CC 中点，取1BB 中点E 连1,C E QE ，则1//C E BP ，又Q 为棱1AA 的中点，1111//,QE C D QE C D ∴=，四边形11C D QE 为平行四边形，1111//,//,D Q C E D Q BP D Q ∴∴⊄面PBD ，BP ⊂平面PBD ，1//D Q ∴平面PBD ，同理11//B D 平面PBD ，1111111,,B D D Q D B D D Q =⊂平面11B D Q ，∴平面//PBD 平面11B D Q ，选项C 结论正确；选项D ，在正方体中，平面//ABCD 平面1111D C B A ，平面ABCD 平面11B D Q n =，平面1111A B C D 平面1111B Q D B D =11//,//n B D n m ∴∴，选项D 结论不正确.故选：D .【点睛】本题考查空间线、面位置关系，涉及到线线平行、线面平行、面面平行、面面垂直的判定，掌握平行、垂直的判定定理和性质定理是解题的关键，属于中档题.10．C解析：C【分析】根据空间中直线与平面、平面与平面位置关系相关定理依次判断各个选项可得结果.【详解】对于A ，当m 为α内与n 垂直的直线时，不满足m α⊥，A 错误；对于B ，设l αβ=，则当m 为α内与l 平行的直线时，//m β，但m α⊂，B 错误；对于C ，由m β⊥，n β⊥知：//m n ，又n α⊥，m α∴⊥，C 正确；对于D ，设l αβ=，则当m 为β内与l 平行的直线时，//m α，D 错误. 故选：C .【点睛】本题考查立体几何中线面关系、面面关系有关命题的辨析，考查学生对于平行与垂直相关定理的掌握情况，属于基础题. 11．A解析：A【分析】画出所截得的封闭图形，根据正方体的性质可求.【详解】如图所示，经过点,,B E F 的平面截正方体所得的封闭图形为四边形BDEF .,E F 分别是棱11C D 和11C B 的中点，//EF BD ∴，且12EF BD =. 正方体棱长为2，22,2BD EF ∴==∴四边形BDEF 是一个等腰梯形.在1Rt BB F 中，22215BF =+= 2232522⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭. 所以梯形BDEF 的面积为322+229222⨯=. 故选：A .【点睛】本题考查正方体的性质，属于基础题. 12．A解析：A如图所示：图像为圆柱的侧面展开图，A 关于EF 的对称点为'A ，则AE BE +的最小值为'A B ，计算得到答案.【详解】如图所示：图像为圆柱的侧面展开图，A 关于EF 的对称点为'A ，则AE BE +的最小值为'A B ，易知5BC =，'12A C =，故'13A B =.故选：A .【点睛】本题考查了立体几何中的最短距离问题，意在考查学生的计算能力和空间想象能力. 13．A解析：A【分析】利用平面与平面垂直的判定定理，平面与平面垂直、平行的性质定理判断选项的正误即可．【详解】由α，β为两个不同的平面，l 、m 为两条不同的直线，且l α⊂，m β⊂，知：在A 中，l β⊥，则αβ⊥，满足平面与平面垂直的判定定理，所以A 正确；在B 中，若l m ⊥，不能得到l β⊥，也不能得到m α⊥，所以得不到αβ⊥，故B 错误；在C 中，若αβ⊥，则l 与m 可能相交、平行或异面，故C 不正确；在D 中，若//αβ，则由面面平行的性质定理得l β//，不一定有//l m ，也可能异面，故D 错误．故选：A ．【点睛】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．14．A解析：A①若m α⊥，m n ⊥，∴n ⊂α或//n α再由面面垂直的判定定理得到结论．②根据面面平行的判定定理判断．③若m α⊥，m n ⊥，则n ⊂α或//n α，再由面面平行的判定定理判断．④若m α⊥，//αβ，由面面平行的性质定理可得m β⊥，再由//n β得到结论．【详解】①若m α⊥，m n ⊥，∴n ⊂α或//n α，又∵n β⊥，∴a β⊥,故正确．②若//m α，//n β，由面面平行的判定定理可知，若m 与n 相交才平行，故不正确． ③若m α⊥，m n ⊥，则n ⊂α或//n α，又//n β，两平面不一定平行，故不正确． ④若m α⊥，//αβ，则m β⊥，又∵//n β，则m n ⊥．故正确．故选：A【点睛】本题主要考查线与线，线与面，面与面的位置关系及垂直与平行的判定定理和性质定理，综合性强，方法灵活，属中档题．二、解答题15．（1）详见解析；（2【分析】（1）要证明线线垂直，需证明线面垂直，根据题中所给的垂直关系，证明AF ⊥平面DEB ；（2）首先确定点E 的位置，再根据等体积转化求点到平面的距离.【详解】（1）由圆柱性质可知，DA ⊥平面ABE ，EB ⊂平面AEB ，DA EB ∴⊥， AB 是圆柱底面的直径，点E 在圆周上，AE EB ∴⊥，又AE DA A ⋂=，BE ∴⊥平面DAE ，AF ⊂平面DAE ，EB AF ∴⊥，又AF DE ⊥，且EB DE E =，AF ∴⊥平面DEB ，DB ⊂平面DEB ，AF DB ∴⊥；（2）13D AEB AEB V S DA -=⨯⨯，3DA =，当D AEB V -最大时，即AEB S 最大，即AEB △是等腰直角三角形时，2DA AB ==∵，BE ∴=DE ==，并且点E 到平面ABCD 的距离就是点E 到直线AB 的距离112AB =, 设点C 到平面EBD 的距离为h ，则1111262213232C DBE E CBD V V h --==⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯，解得：233h =【点睛】方法点睛：本题重点考查垂直关系，不管证明面面垂直还是证明线面垂直，关键都需转化为证明线线垂直，一般证明线线垂直的方法包含1.矩形，直角三角形等，2.等腰三角形，底边中线，高重合，3.菱形对角线互相垂直，4.线面垂直，线线垂直.16．(1)证明见解析.(2) 侧棱SC 上存在一点E ，当满足2SE EC =时，//BE 平面PAC . 【分析】（1）连结,AC BD 相交于点O ，可得AC ⊥平面BSD ，从而可证.（2）取点F 为SD 的中点，可得//BF OP ，过点F 作//FE PC ，交SC 于点E ，连结BE ，可得平面//BEF 平面ACP ，可得//BE 平面PAC ，从而得出答案.【详解】连结,AC BD 相交于点O , 由棱锥S ABCD -为正四棱锥则SO ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ,所以SO AC ⊥又棱锥S ABCD -为正四棱锥，则四边形ABCD 为正方形，所以BD AC ⊥由BD SO O ⋂=,所以AC ⊥平面BSDSD ⊂平面BSD ，所以AC SD ⊥（2）侧棱SC 上存在一点E ，当满足2SE EC =时，//BE 平面PAC . 由3SAP APD S S =，可得3SP PD =取点F 为SD 的中点，则点P 为FD 的中点,又O 为BD 的中点所以在BFD △中，//BF OP .BF ⊄平面ACP ，OP ⊂平面ACP ，则//BF 平面ACP过点F 作//FE PC ，交SC 于点E ，连结BE由EF ⊄平面ACP ，PC ⊂平面ACP ，则//EF 平面ACP又EF BE E =，所以平面//BEF 平面ACP又BE ⊂平面BEF ,则//BE 平面PAC .由//FE PC ，则SE SF EC FP =, 由3SP PD =，F 为SD 的中点，则2SF FP =，所以2SE EC= 所以侧棱SC 上存在一点E ，当满足2SE EC =时，//BE 平面PAC .【点睛】关键点睛：本题考查线线垂直的证明和平行线性的探索性问题，解答的关键是过点B 构造一个平面使之与平面ACP 平行，则所构造的平面与SC 的交点即为所求，即取点F 为SD 的中点，可得//BF OP ，过点F 作//FE PC ，交SC 于点E ，连结BE ，可得平面//BEF 平面ACP ，构造出所需的平面，本题还可以建立空间坐标系利用向量方法求解，属于中档题.17．（1）证明见解析；（2239 【分析】（1）根据题意可得1A D AC ⊥，由面面垂直的性质定理可得1A D ⊥平面ABC ，再由面面垂直的判定定理即可证明.（2）过点1C 作1C F AC ⊥的延长线于点F ，连接BF ，利用等体积法11113C ABC A ABC ABC V V S AD --∴==⋅△，即可求出点C 到平面1ABC 的距离. 【详解】（1）证明：1AA AC =，160AAC ∠=︒， 1ACA ∴△是等边三角形，D 为线段AC 的中点，1A D AC ∴⊥，平面11AA C C ⊥平面ABC ，平面11AAC C 平面ABC AC =， 1A D ∴⊥平面ABC ，1A D ⊂平面1A DE ，∴平面1A DE ⊥平面ABC ；（2）解：过点1C 作1C F AC ⊥的延长线于点F ，连接BF ，可得1C F ⊥平面ABC ，且13C F =11113C ABC A ABC ABC V V S AD --∴==⋅△ 1132231322=⨯⨯⨯⨯=，在1ABC 中，2AB =，()2222113323C F AF AC +=+== 21122221BF C F BD DF C F BC +=++=()()22232310=++= 22212102310cos 202210ABC +-∠∠==⨯⨯ 1390sin ABC ∴∠=1390392102202ABC S ∴=⨯⨯⨯=△. 记点C 到平面1ABC 的距离为h ，则113ABC S h ⋅⋅=△，解得23913h =，即点C 到平面1ABC 的距离为239. 【点睛】关键点点睛：本题考查了面面垂直的证明、求点到面的距离，解题的关键“等体积法”解题方法的应用，考查了计算能力.18．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）33.【分析】（1）通过证明//GH PD 来证得//GH 平面PAD .（2）取PC 的中点M ，连接DM ，根据面面垂直的性质定理证得DM ⊥平面PAC ，由此证得DM PA ⊥，结合PA CD ⊥证得PA ⊥平面PCD . （3）利用D PAC A PCD V V --=求得三棱锥-D PAC 的体积. 【详解】（1）连BD ，则H 为BD 中点，因为G 为BP 中点，故GH //PD ，由于GH ⊂/平面PAD ，PD ⊂平面PAD ，所以GH //平面PAD .（2）取PC 中点M ，连DM ，则DM PC ⊥，因为PCD ⊥平面PAD ，则DM ⊥平面PAC ，所以DM PA ⊥，又PA CD ⊥，DMCD D =，所以PA ⊥平面PCD .（3）因为PA ⊥平面PCD ，所以PA PD ⊥，所以224PA AD PD =-=，213433334D PAC A PCD V V --==⨯⨯⨯=.【点睛】要证明线面平行，则先证线线平行.要证明线面垂直，可通过面面、线线垂直相互转化来证明.19．（1）证明见解析；（2）217. 【分析】（1）由题意可得11//OE B C ，1//OF C C ，利用面面平行的判定定理可得平面//OEF 平面11BB C C ，由面面平行的性质定理即可证明.（2）利用等体法111112A A B C C AA B V V --=，求出点1C 到平面11AA B 的距离2217d =，由11sin dA C θ=即可求解. 【详解】证明：（1）∵O ，E 分别是11A C 、11A B 的中点，1A C 与1AC 交于点F ， ∴11//OE B C ，1//OF C C ，1111B C C C C ⋂=，//OE ∴平面11B C C ，//OF ∴平面11B C C ，又OE OF O ⋂=，∴平面//OEF 平面11BB C C ，∵EF ⊂平面OEF ，∴//EF 平面11BB C C . （2）解：设点1C 到平面11AA B 的距离为d ， ∵111112A A B C C AA B V V --=， ∴111111111323AA B AC B C AO S d ⨯⨯⨯⨯=⨯⨯，22113AO AA AO =-=2211115OB B C OC =-=22 1122AB AO OB=+=，∵11AA B中，11122A B AB==，12AA=，∴117AA BS=，∴1112237323d⨯⨯⨯⨯=⨯⨯，解得2217d=，设11A C与平面11AA B所成角为θ，∴11A C与平面11AA B所成角的正弦值为：1121sin7dACθ==.【点睛】方法点睛：证明线面平行的常用方法：（1）利用线面平行的定义（无公共点）.（2）利用线面平行的判定定理.（3）利用面面平行的性质.20．（1）证明见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）推导出DE//AB，AB//A1B1，从而DE//A1B1，由此能证明A1B1//平面DEC1．（2）推导出BE⊥AA1，BE⊥AC，从而BE⊥平面ACC1A1，由此能证明BE⊥C1E．【详解】（1）∵在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别为BC，AC的中点，∴DE//AB，AB//A1B1，∴DE//A1B1，∵DE⊂平面DEC1，A1B1⊄平面DEC1，∴A1B1//平面DEC1．（2）∵在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，E是AC的中点，AB＝BC．∴BE⊥AC，∵直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，BE⊂平面ABC，∴BE⊥AA1，又AA1∩AC＝A，∴BE⊥平面ACC1A1，∵C1E⊂平面ACC1A1，∴BE⊥C1E．【点睛】本题考查线面平行、线线垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想与空间想象能力，是中档题． 21．（1）证明见解析；（2）3V =. 【分析】（1）设BD 与EC 交于点O ，连接AO ，由四边形BCDE 为菱形，可得BD EC ⊥，再利用线面垂直的判定定理即可证明. （2）求出四棱锥A BCDE -的高为32，即三棱锥A BCD -的高，再利用等体积法即可求解. 【详解】（1）设BD 与EC 交于点O ，连接AO ．因为BC BE ED ==，//BC DE ，所以四边形BCDE 为菱形，所以BD EC ⊥，又AB EC ⊥，ABBD B =，所以EC ⊥平面ABD ，因为AD ⊂平面ABD ，所以EC AD ⊥．（2）因为在菱形BCDE 中，π3EDC ∠=，2BC BE ==，所以2CE =，23BD =因为H 为线段BD 的一个四等分点（靠近点B ），所以134BH BD ==．因为AH ⊥平面BCDE ，所以AH ⊥ BD ，又π3ABD ∠=，所以3tan 2AH BH ABD =∠=，所以四棱锥A BCDE -的高为32．即三棱锥D ABC -的高为32. 易得BCD 的面积11231322BCDSBD OC =⋅=⨯=，所以三棱锥D ABC -的体积133332A BCD D ABC V V --===【点睛】方法点睛：本题考查了证明异面直线垂直以及求三棱锥的体积，常用方法如下：（1）证明线线垂直的常法：①利用特殊图形中的垂直关系；②利用等腰三角形底边中线的性质；③利用勾股定理的逆应用；④利用直线与平面垂直的性质. （2）求体积的常用方法：①直接法；②割补法；③等体积法. 22．(I)证明见解析；(II)3 . 【分析】（I ）取AD 的中点P ，连结EP PC ，，MP ，利用平行四边形及线面垂直的性质定理证明,,PE PC AD 相互垂直，从而可证明EC 与,MP MD 垂直，然后可得线面垂直，面面垂直；（II ）取Q CD 为的中点，连结,PQ EQ ，可得EQP ∠为二面角A CD E --的平面角，在Rt EPQ △中求得其余弦值．【详解】（Ⅰ）证明：取AD 的中点P ，连结EP PC ，．则EF AP =，∵//FE AP =，∴四边形FAPE 是平行四边形， ∴//FA EP =，同理，//AB PC =.又∵FA ⊥平面ABCD ，∴EP ⊥平面ABCD ，而PC AD ，都在平面ABCD 内，∴.EP PC EP AD ⊥⊥，由AB AD ⊥，可得PC AD ⊥，设FA a =，则2.EP PC PD a CD DE EC a ======，所以△ECD 为正三角形.∵DC DE =且M 为CE 的中点，∴DM CE ⊥.连结MP ，则.MP CE ⊥ PM ∩MD =M ，而PM ，MD 在平面AMD 内， ∴CE ⊥平面AMD而CE ⊂平面CDE ，所以平面AMD ⊥CDE . （Ⅱ）解：取Q CD 为的中点，连结,PQ EQ ， ∵CE DE =，∴.EQ CD ⊥∵PC PD =，∴PQ CD ⊥∴EQP ∠为二面角A CD E --的平面角.由(Ⅰ)可得， EP PQ EQ a PQ ==⊥，，．于是在Rt EPQ △中，cos 3PQ EQP EQ ∠==．∴二面角A CD E --. 【点睛】方法点睛：本题考查证明面面垂直，考查求二面角．求二面角的几何方法：一作二证三计算，一作：作出二面角的平面角；二证：证明所作的角是二面角的平面角；三计算：在三角形中求出这个角（这个角的余弦值）．23．（1）证明见解析；（2 【分析】（1）证明AC BD ⊥，PD AC ⊥，结合线面垂直的判定定理得出AC ⊥平面PBD ；（2）求出菱形ABCD 的面积，结合PD ⊥平面ABCD ，利用棱锥的体积公式得出四棱锥P ABCD -的体积. 【详解】（1）证明：因为四边形ABCD 是菱形，所以AC BD ⊥. 又因为PD ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，所以PD AC ⊥.又PD BD D ⋂=，PD ⊂平面PBD ，BD ⊂平面PBD ，故AC ⊥平面PBD ；（2）因为45DBP ∠=，PD ⊥平面ABCD 因此2BD PD ==. 又2AB AD ==所以菱形ABCD 的面积为sin6023S AB AD =⋅⋅=故四棱锥P ABCD -的体积13V S PD =⋅=. 【点睛】本题主要考查了证明线面垂直以及求棱锥的体积，属于中档题. 24．（1）证明见解析；（2）34. 【分析】（1）根据PC ⊥平面ABCD ，得PC BC ⊥,又BC AC ⊥，得BC ⊥平面PCA ，得证. （2）以C 为原点建立空间直角坐标系,求平面ABCD 法向量，设()0,0,P a ，设平面PAB 法向量,根据平面PAB 与平面ABCD 所成角为60°得到a ,可得平面PAC 和平面PAD 的法向量，利用向量公式可得结果. 【详解】（1）证明：因为PC ⊥平面ABCD ，所以PC BC ⊥．又因为BC AC ⊥，PC AC C ⋂=，所以BC ⊥平面PCA ，PA ⊂平面PCA ，所以BC PA ⊥．（2）证明：等腰梯形ABCD 中，设1BC =．因为BC AC ⊥且AC 平分BAD ∠，12BAC DAC CBA ∠=∠=∠，13+=+==9022CBA BAC CBA CBA CBA ∠∠∠∠∠︒，则=60CBA ∠︒，30CAB ∠=︒，所以2AB =，AC =30BAC DCA CAD ∠=∠=∠=︒，则DCA △中1CD AD ==．以C 为原点，以CB ，CA ，CP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系．()0,0,0C ，()1,0,0B，()A，1,22D ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，()0,0,P a ，平面ABCD 法向量()00,0,1n =，设平面PAB 法向量为()1,,n x y z =,()1,0,PB a =-，()1,AB =有1100n PB n AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即00x az x -=⎧⎪⎨=⎪⎩，令z =所以(1=3na a ,，121cos60cos ,24n n ︒===，所以32a =，平面PAC 法向量()21,0,0n =，13,222PD ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭,32PA ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,平面PAD 法向量()3111,,n x y z =， 3300n PD n PA⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即1111113022302x y z z ⎧--=⎪⎪-=，令12z =，所以()3n =． 233cos ,4n n ==，所以二面角D PA C --的余弦值为34．【点睛】本题考查利用线面垂直证明线线垂直,考查利用空间向量求二面角的夹角的余弦值,考查空间思维能力和转化能力,属于中档题. 25．()232cm ，()248cm【分析】根据直角三角形边角关系得出PE ，结合三角形面积公式得到侧面面积和表面积. 【详解】如图，2,30OE cm OPE ︒=∠=，∴在Rt POE 中，4sin 30OEPE ︒==． PB PC =，E 为BC 的中点，()21,8cm 2PBC PE BC S BC PE ∴⊥=⋅⋅=侧棱长都相等，()2432cm PBCS S∴==侧，()2321648cm S =+=全【点睛】棱柱、棱锥、棱台的表面积就是各个面的面积之和，因此，我们可以利用平面图形求面积的方法求立体图形的表面积．26．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）83. 【分析】（1）由线面垂直判定定理，要证线面垂直，需证AD 垂直平面PBE 内两条相交直线，由，E 是AD 的中点，易得AD 垂直于，再由底面是菱形，得三角形为正三角形，所以AD 垂直于PA ，（2）由线面平行判定定理，要证线面平行，需证PC 平行于平面内一条直线，根据1h 是的中点，联想到取AC 中点O 所以OQ 为△PAC 中位线．所以OQ // PA 注意在写定理条件时，不能省，要全面.例如，线面垂直判定定理中有五个条件，线线垂直两个，相交一个，线在面内两个；线面平行判定定理中有三个条件，平行一个，线在面内一个，线在面外一个，（3）研究体积问题关键在于确定高，由于两个底面共面，所以求的值就转化为求对应高的长度比.【详解】（1）因为E是AD的中点，PA=PD，所以AD⊥PE．因为底面ABCD是菱形，∠BAD=，所以AB=BD，又因为E是AD的中点，所以AD⊥BE．因为PE∩BE=E，所以AD⊥平面PBE．（2）连接AC交BD于点O，连结OQ．因为O是AC中点，Q是PC的中点，所以OQ为△PAC中位线．所以OQ//PA．因为PA 平面BDQ，OQ平面BDQ．所以PA//平面BDQ．（3）设四棱锥P-BCDE，Q-ABCD的高分别为2h，1h，所以V P-BCDE=13S BCDE2h，V Q-ABCD=13S ABCD1h．因为V P-BCDE=2V Q-ABCD，且底面积S BCDE=S ABCD．所以，因为，所以．。

成都市必修第二册第三单元《立体几何初步》检测题(有答案解析)

一、选择题1．已知直三棱柱111ABC A B C -中，1AA AB AC ==，AB AC ⊥，则异面直线1AB 和1BC 所成的角的大小是（）．A ．π6B ．π4C ．π3D ．π22．如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，1AD AB ==，AD AB ⊥，45BCD ∠= ，将ABD ∆沿对角线BD 折起．设折起后点A 的位置为A '，并且平面A BD '⊥平面BCD . 给出下面四个命题： ①A D BC '⊥；②三棱锥A BCD '-的体积为22； ③CD ⊥平面A BD '；④平面A BC '⊥平面A DC '.其中正确命题的序号是（）A ．①②B ．③④C ．①③D ．②④ 3．古代数学名著《数学九章》中有云：“有木长三丈，围之八尺，葛生其下，缠木两周，上与木齐，问葛长几何？”意思为：圆木长3丈，圆周为8尺，葛藤从圆木的底部开始向上生长，绕圆木两周，刚好顶部与圆木平齐，问葛藤最少长多少尺(注：1丈即10尺)（） A ．30尺B ．32尺C ．34尺D ．36尺 4．已知m ，n 是不同的直线，α，β是不同的平面，则下列条件能使n α⊥成立的是（）A ．αβ⊥，m β⊂B ．//αβ，n β⊥C ．αβ⊥，//n βD ．//m α，n m ⊥ 5．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，13,2,4AA AB AD ===，点M 是棱AD 的中点，点N 在棱1AA 上，且满足12AN NA =，P 是侧面四边形11ADD A 内的一动点（含边界），若1//C P 平面CMN ，则线段1C P 长度的取值范围是（）A ．17]B ．[2,3]C ．6,22]D ．[17,5] 6．设l 是直线，α，β是两个不同的平面，则正确的结论是（）A ．若l ∥α，l ∥β，则α∥βB ．若l ∥α，l ⊥β，则α⊥βC ．若α⊥β，l ⊥α，则l ⊥βD ．若α⊥β，l ∥α，则l ⊥β7．如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，O 是11B D 的中点，直线1A C 交平面11AB D 于点M ，则下列结论正确的是（）A ．,,A M O 三点共线B ．1,,,A M O A 不共面C ．,,,A M C O 不共面D ．1,,,B B O M 共面8．已知三棱锥A BCD -中，侧面ABC ⊥底面BCD ，ABC 是边长为3的正三角形，BCD 是直角三角形，且90BCD ∠=︒，2CD =，则此三棱锥外接球的体积等于() A ．43π B ．323π C ．12π D ．643π 9．三棱锥A －BCD 的所有棱长都相等，M ，N 分别是棱AD ，BC 的中点，则异面直线BM 与AN 所成角的余弦值为（）A ．13B ．24C ．3D ．2310．设α、β是两个不同的平面，m 、n 是两条不同的直线，下列说法正确的是（） A ．若α⊥β，α∩β＝m ，m ⊥n ，则n ⊥βB ．若α⊥β，n ∥α，则n ⊥βC ．若m ∥α，m ∥β，则α∥βD ．若m ⊥α，m ⊥β，n ⊥α，则n ⊥β11．用一根长为18cm 的铁丝围成正三角形框架，其顶点为,,A B C ，将半径为2cm 的球放置在这个框架上（如图）.若M 是球上任意一点，则四面体MABC 体积的最大值为( )A 333B 33cmC ．333cmD ．33cm12．已知,m n 是两条不同的直线，,αβ为两个不同的平面，有下列四个命题： ①若m α⊥，n β⊥，m n ⊥，则a β⊥；②若//m α，//n β，m n ⊥，则//a β；③若m α⊥，//n β，m n ⊥，则//αβ；④若m α⊥，//n β，//αβ，则m n ⊥.其中所有正确的命题是（）A ．①④B ．②④C ．①D ．④ 13．垂直于同一条直线的两条直线的位置关系是（） A ．平行 B ．相交 C ．异面 D ．A 、B 、C 均有可能 14．用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥,截得的圆台上、下底面的面积之比为1:16，截去的圆锥的母线长是3cm ，则圆台的母线长是（）A ．9cmB ．10cmC ．12cmD ．15cm二、解答题15．如图1，在等腰梯形ABCD 中，CE 、DF 是梯形的高，2AF BE ==，22CD =，现将ADF 、BCE 分别沿DF 、CE 折起，得一简单组合体11A B CDEF ，如图所示，点A 、B 分别折起到1A 、1B ，11//A B EF ，11=2A B EF ，已知点P 为11A B 的中点．（1）求证：PE ⊥平面1B CE ；（2）若1CE =，求二面角1D B C E --的正弦值．16．如图，已知三棱柱111ABC A B C -的所有棱长都相等，侧棱1AA ⊥底面ABC ，,E F 分别是1111,A B AC 的中点.（1）求证:11B F AC ⊥ ；（2）求平面EFCB 与底面ABC 所成二面角的正切值.17．在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，90,,60ADP PD AD PDC ∠==∠=，E 为PD 的中点．（1）证明：CE ⊥平面PAD ．（2）求三棱锥E ABC -外接球的体积．18．如图所示正四棱锥S ABCD -，2,2SA SB SC SD AB =====，P 为侧棱SD 上的点.（1）求证：AC SD ⊥；（2）若3SAP APD S S =，侧棱SC 上是否存在一点E ，使得BE ∥ 平面PAC .若存在，求SE EC的值；若不存在，试说明理由.19．如图，三棱柱111ABC A B C -的所有棱长都相等，平面11AA C C ⊥平面ABC ，160AAC ∠=︒，点D 为线段AC 的中点，点E 在线段AB 上.（1）求证：平面1A DE ⊥平面ABC ；（2）若2AB =，求点C 到平面1ABC 的距离.20．已知三棱柱ABC -A 1B 1C 1中BC =1，CC 1=BB 1=2，AB =2，∠BCC 1=60°，AB ⊥侧面BB 1C 1C（1）求证：C 1B ⊥平面ABC ；（2）求三棱柱ABC -A 1B 1C 1的体积，（3）试在棱CC 1(不包含端点C ，C 1)上确定一点E ，使得EA ⊥EB 1；21．如图，在平行四边形ABCD 中，4AB =，60DAB ∠=︒．点G ，H 分别在边CD ，CB 上，点G 与点C ，D 不重合，GH AC ⊥，GH 与AC 相交于点O ，沿GH 将CGH 翻折到EGH 的位置，使二面角E GH B --为90°，F 是AE 的中点．（1）请在下面两个条件：①AB AD =，②AB BD ⊥中选择一个填在横线处，使命题P ：若________，则BD ⊥平面EOA 成立，并证明．（2）在（1）的前提下，当EB 取最小值时，求直线BF 与平面EBD 所成角的正弦值． 22．如图所示，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD DC =，E 是PC 的中点，过E 点作EF PB ⊥交PB 于点F .求证：（1）//PA 平面EDB ；（2）PB ⊥平面EFD .23．如下图所示，四边形EFGH 所在平面为三棱锥A-BCD 的一个截面，四边形EFGH 为平行四边形．（1）求证：//AB 平面EFGH ；（2）若4AB =，6CD =，求四边形EFGH 周长的取值范围．24．如图所示，四棱锥P －ABCD 的底面是边长为8的正方形，四条侧棱长均为217.点G ，E ，F ，H 分别是棱PB ，AB ，CD ，PC 上共面的四点，平面GEFH ⊥平面ABCD ，BC ∥平面GEFH .（1）证明：GH ∥EF ；（2）若EB ＝2，求四边形GEFH 的面积.25．如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧面11BB C C 为菱形，1B C 的中点为O ，且AO ⊥平面11BB C C ．（1）证明：1B C AB ⊥；（2）若1AC AB ⊥，160CBB ∠=︒，1BC =，求三棱柱111ABC A B C -的高．26．如图，在四棱锥P ABCD -中，//AB CD ，2CD AB =，CD ⊥AD ，平面PAD ⊥平面ABCD ，,E F 分别是CD 和PC 的中点．求证：（1）BF //平面PAD（2）平面BEF ⊥平面PCD参考答案【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【分析】连结1A B ，可证1A B ⊥平面11A BC ，从而可到异面直线1AB 和1BC 所成的角为直角，故可得正确的选项.【详解】连结1A B ，1AA ⊥面,ABC 平面111//A B C 面ABC ,1AA ∴⊥平面111A B C11A C ⊂平面111111,A B C AA AC ∴⊥ ABC 与111A B C △是全等三角形，AB AC ⊥1111A B A C ∴⊥111111,A B AA A AC ⋂=∴⊥平面11AA B B又1AB ⊂平面11AA B B ,111AC AB ∴⊥矩形11AA B B 中，1AA AB =∴四边形11AA B B 为正方形，可得11A B AB ⊥11111A B AC A AB ⋂=∴⊥，平面11A BC 结合1BC ⊂平面11A BC ，可得11AB BC ⊥，即异面直线1AB 与1BC 所成角为2π 故选：D【点睛】在求异面直线所成角时可以将异面直线通过平行线转化到共面直线，然后构造三角形，求得直线夹角．本题通过补全图形，判定线面的垂直关系，得证线线垂直关系，求得异面直线夹角为2π. 2．B解析：B【分析】利用折叠前四边形ABCD 中的性质与数量关系，可证出BD DC ⊥，然后结合平面A BD ' ⊥平面BCD ，可得CD ⊥平面A BD '，从而可判断①③；三棱锥'A BCD -的体积为11222232⋅=，可判断②；因为CD ⊥平面A BD '，从而证明CD A B '⊥，再证明'A B ⊥平面A DC '，然后利用线面垂直证明面面垂直.【详解】①90,BAD AD AB ︒∠==，45ADB ABD ︒∴∠=∠=，//,45AD BC BCD ︒∠=，BD DC ∴⊥，平面A BD ' ⊥平面BCD ，且平面A BD '平面BCD BD =， CD 平面A BD '，A D '⊂平面A BD '，CD A D '∴⊥，若A D BC '⊥则A D '⊥面BCD ，则A D '⊥BD ，显然不成立，故A D BC '⊥不成立，故①错误；②棱锥'A BCD -的体积为11222232⋅⋅⋅⋅=，故②错误； ③由①知CD ⊥平面A BD '，故③正确；④由①知CD ⊥平面A BD '，又A B '⊂平面A BD '，CD A B '∴⊥，又A B A D ''⊥，且'A D 、CD ⊂平面A DC '，A D CD D '=，A B '∴⊥平面A DC '，又A B '⊂平面'A BC ，∴平面'A BC ⊥平面A DC '，故④正确.故选：B .【点睛】本题通过折叠性问题，考查了面面垂直的性质，面面垂直的判定，考查了体积的计算，关键是利用好直线与平面、平面与平面垂直关系的转化，也要注意利用折叠前后四边形ABCD 中的性质与数量关系.3．C解析：C【分析】由题意，圆柱的侧面展开图是矩形，葛藤长是两个矩形相连所成矩形的对角线的长，画出图形，即可求出葛藤长.【详解】由题意，圆柱的侧面展开图是矩形，葛藤长是两个矩形相连所成矩形的对角线的长. 如图所示矩形ABCD 中，30AD =尺，2816AB =⨯=尺，所以葛藤长2222301634AC AD AB =+=+=尺. 故选：C .【点睛】本题考查圆柱的侧面展开图，考查学生的空间想象能力，属于基础题. 4．B解析：B【分析】n α⊥必有n 平行α的垂线，或者n 垂直α的平行平面，依次判定选项即可.【详解】解：αβ⊥，m β⊂，不能说明n 与α的关系，A 错误； //αβ，n β⊥能够推出n α⊥，正确；αβ⊥，//n β可以得到n 与平面α平行、相交，所以不正确. //m α，n m ⊥则n 与平面α可能平行，所以不正确.故选：B .【点睛】本题考查直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力，是基础题. 5．C解析：C【分析】首先找出过点1C 且与平面CMN 平行的平面，然后可知点P 的轨迹即为该平面与侧面四边形11ADD A 的交线段，进而可以利用解三角形的知识求出线段1C P 长度的取值范围．【详解】如图所示：，取11A D 的中点G ，取MD 的中点E ，1A G 的中点F ，1D D 的三等分点H 靠近D ，并连接起来．由题意可知1//C G CM ，//GH MN ，所以平面1//C GH 平面CMN ．即当点P 在线段GH 上时，1//C P 平面CMN ．在1H C G 中，2212222C G =+=2212222C H =+=22GH =，所以1H C G 为等边三角形，取GH 的中点O ，122sin606C O ==，故线段1C P 长度的取值范围是[6,22]．故选：C ．【点睛】本题主要考查线面平行，面面平行的判定定理和性质定理的应用，以及解三角形，意在考查学生的逻辑推理能力和数学运算能力，属于中档题．6．B解析：B【分析】根据直线、平面间平行、垂直的位置关系判断．【详解】若l ∥α，l ∥β，则α∥β或,αβ相交，A 错；若l ∥α，由线面平行的性质得，知α内存在直线b 使得//l b （过l 作平面与α相交，交线即是平行线），又l ⊥β，∴b β⊥，∴α⊥β，B 正确；若α⊥β，l ⊥α，则不可能有l ⊥β，否则由l ⊥α，l ⊥β，得//αβ，矛盾，C 错；若α⊥β，l ∥α，则l 与β可能平行，可能在平面内，可能相交也可能垂直，D 错．故选：B ．【点睛】本题考查空间直线、平面间平行与垂直关系的判断，掌握直线、平面间位置关系是解题关键．7．A解析：A【分析】连接11,A C AC ，利用两个平面的公共点在一条直线上可判断点共线.【详解】连接11,A C AC ，则11//A C AC ，11,,,A C C A ∴四点共面，1A C ∴⊂平面11ACC A ，1M AC ∈，M ∴∈平面11ACC A ，M ∈平面11AB D ，∴点M 在平面11ACC A 与平面11AB D 的交线上，同理点O 在平面11ACC A 与平面11AB D 的交线上，,,A M O ∴三点共线，故A 正确；,,A M O 三点共线，且直线与直线外一点可确定一个平面，1,,,A M O A ∴四点共面，,,,A M C O 四点共面，故B ，C 错误；1BB 平面11AB D ，OM ⊂平面11AB D ，1B ∈平面11AB D 且1B OM ，1BB ∴和OM 是异面直线，1,,,B B O M ∴四点不共面，故D 错误.故选：A.【点睛】本题主要考查空间中点的共线问题，此类题一般证明这些点同在两个不同的平面内，根据两平面的公共点在一条直线上即可判断.8．B解析：B【分析】把三棱锥放入长方体中，根据长方体的结构特征求出三棱锥外接球的半径，再计算三棱锥外接球的体积．【详解】三棱锥A BCD -中，侧面ABC ⊥底面BCD ，把该三棱锥放入长方体中，如图所示；且333AM AB == 设三棱锥外接球的球心为O ，则2233333AG AM ===112OG CD ==，所以三棱锥外接球的半径为22221(3)2R OA OG AG =+=+=，所以三棱锥外接球的体积为3344232333R V πππ===．故选：B ．【点睛】本题考查了三棱锥外接球的体积计算问题，也考查了数形结合与转化思想，是中档题． 9．D解析：D【分析】连接DN ，取DN 的中点O ，连接MO ，BO ，得出BMO ∠（或其补角）是异面直线BM 与AN 所成的角，根据长度关系求出BMO ∠（或其补角）的余弦值即可.【详解】连接DN ，取DN 的中点O ，连接MO ，BO ，∵M 是AD 的中点，∴MO ∥AN ，∴BMO ∠（或其补角）是异面直线BM 与AN 所成的角.设三棱锥A －BCD 的所有棱长为2，则2213AN BM DN ===- 则13122MO AN NO DN ====，则223714BO BN NO =+=+= 在BMO ∠中，由余弦定理得222373244cos 233232BM MO BO BMO BM MO +-+-∠===⋅⨯⨯， ∴异面直线BM 与AN 所成角的余弦值为23. 【点睛】本题主要考查异面直线的夹角，解题的关键是正确找出异面直线所对应的夹角，属于中档题.10．D解析：D【分析】根据直线、平面平行垂直的关系进行判断．【详解】由α、β是两个不同的平面，m 、n 是两条不同的直线，知：在A 中，若α⊥β，α∩β＝m ，m ⊥n ，则n 与β相交、平行或n ⊂β，故A 错误；在B 中，若α⊥β，n ∥α，则n 与β相交、平行或n ⊂β，故B 错误；在C 中，若m ∥α，m ∥β，则α与β相交或平行，故C 错误；在D 中，若m ⊥α，m ⊥β，则α∥β，∴若n ⊥α，则n ⊥β，故D 正确.故选：D.【点睛】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的益关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.11．D解析：D【分析】由等边三角形的性质，求出ABC 内切圆半径3r cm =，其面积293ABC S cm =，从而可求四面体MABC 的高max 3h =，进而可求出体积的最大值.【详解】解：设球的圆心为O ，半径为R ，ABC 内切圆圆心为1O ，由题意知ABC 三边长为6cm ，则ABC 内切圆半径1cos3033r AB cm =⋅⋅︒=，则2211OO R r =-=，所以四面体MABC 的高max 13h OO R =+=.因为223934ABC SAB cm =⋅=，所以四面体MABC 体积的最大值3max max 1933ABC V S h cm =⋅=.故选:D.【点睛】本题考查了三棱锥体积的求解.本题的难点是求出球心到三角形所在平面的距离. 12．A解析：A【分析】①若m α⊥，m n ⊥，∴n ⊂α或//n α再由面面垂直的判定定理得到结论．②根据面面平行的判定定理判断．③若m α⊥，m n ⊥，则n ⊂α或//n α，再由面面平行的判定定理判断．④若m α⊥，//αβ，由面面平行的性质定理可得m β⊥，再由//n β得到结论．【详解】①若m α⊥，m n ⊥，∴n ⊂α或//n α，又∵n β⊥，∴a β⊥,故正确．②若//m α，//n β，由面面平行的判定定理可知，若m 与n 相交才平行，故不正确． ③若m α⊥，m n ⊥，则n ⊂α或//n α，又//n β，两平面不一定平行，故不正确． ④若m α⊥，//αβ，则m β⊥，又∵//n β，则m n ⊥．故正确．故选：A【点睛】本题主要考查线与线，线与面，面与面的位置关系及垂直与平行的判定定理和性质定理，综合性强，方法灵活，属中档题．13．D解析：D【分析】结合公理及正方体模型可以判断：A ，B ，C 均有可能，可以利用反证法证明结论，也可以从具体的实物模型中去寻找反例证明．【详解】解：如图，在正方体1AC 中，1A A ⊥平面ABCD ，1A A AD ，1A A BC ⊥，又//AD BC ，∴选项A 有可能； 1A A ⊥平面ABCD ，1A A AD ，1A A AB ⊥，又AD AB A =，∴选项B 有可能；1A A ⊥平面ABCD ，1A A ⊥平面1111D C B A ，AC ⊂平面ABCD ，11A D ⊂平面1111D C B A ，1A A AC ∴⊥，111A A A D ⊥，又AC 与11A D 不在同一平面内，∴选项C 有可能．故选：D ．【点睛】本题主要考查了空间中直线与直线之间的位置关系，考查空间想象能力和思维能力，属于中档题．14．A解析：A【分析】计算得到12:1:4r r =，根据相似得到3134l =+，计算得到答案. 【详解】圆台上、下底面的面积之比为1:16，则12:1:4r r =.设圆台母线长为l ，根据相似得到：3134l =+，故9l =. 故选：A .【点睛】本题考查了圆台的母线长，意在考查学生的计算能力和空间想象能力. 二、解答题15．（1）证明见解析（2）6【分析】（1）利用22211EP EB PB +=可得1PE EB ⊥，又根据CE ⊥平面1PEB 可得CE PE ⊥，再根据直线与平面垂直的判定定理可证PE ⊥平面1B CE ；（2）过E 作1EG CB ⊥，垂足为G ，连PG ，可得1CB PG ⊥，可得PEG ∠为二面角1D B C E --的平面角，在直角三角形PEG 中计算可得结果.【详解】（1）因为点P 为11A B 的中点，11=2A B EF ，11//A B EF ，所以EF 与1A P 平行且相等，所以四边形1FEPA 为平行四边形，所以12EP A F AF ===，又12EB EB ==，11112PB A B EF CD ==== 所以22211EP EB PB +=，所以1PE EB ⊥，因为1,CE EF CE EB ⊥⊥，1EFEB E =，所以CE ⊥平面1PEB ，所以CE PE ⊥，因为1CE EB E =，所以PE ⊥平面1B CE ，（2）过E 作1EG CB ⊥，垂足为G ，连PG ，因为PE ⊥平面1B CE ，所以1PE CB ⊥，又PEEG E =，所以1CB ⊥平面PEG ，所以1CB PG ⊥，所以PEG ∠为二面角1D B C E --的平面角，因为1CE =，12EB =，所以2211145CB CE CB =+=+= 所以11255CE EB EG CB ⋅===，所以22423045PG PE EG =+=+=，所以sin EP PGE PG ∠==230=306=. 【点睛】关键点点睛：利用定义法求二面角的关键是作出二面角的一个平面角，本题利用PE ⊥平面1B CE ，过垂足点E 作棱1CB 的垂线EG ，连PG ，则可得PEG ∠为二面角1D B C E --的平面角.16．（1）证明见解析；（243 【分析】（1）由线面垂直得到线线垂直，再由线线垂直得到线面垂直；（2）取EF 中点P ，BC 中点K ，找到二面角，再在三角形中计算就可以了.【详解】（1）证明：1AA ⊥平面11,ABC B F AA ∴⊥ ，又111A B C 为正三角形，F 为11A C 中点，111B F AC ∴⊥得1B F ⊥平面11ACC A .又因为1AC ⊂平面11ACC A ，所以11B F AC ⊥；（2）设所有棱长都为2，取EF 中点P ，BC 中点K ，连,,PK AK PA . 易知,PK BC AK BC ⊥⊥，则PKA ∠为平面EFCB 的与底面ABC 所成二面角的平面角，在PKA 中，取AK 中点O ，连PO ，有PO ⊥平面ABC ，则PO AK ⊥，且32,PO OK ==，43tan 332PO PKA OK ∠===,【点睛】第二问的关键点是由线面垂直找到线线垂直，求出二面角，然后在三角形中计算就可以了. 17．（1）证明见解析；（2）823π. 【分析】（1）由已知条件知AD ⊥面DPC ，即有AD CE ⊥，由PDC △为等边三角形有CE DP ⊥，结合线面垂直的判定有CE ⊥平面PAD ．（2）由勾股定理可证AEC 为直角三角形，且ABC 为等腰直角三角形，即可知AC 的中点O 为外接球的球心，进而得到半径求球的体积.【详解】（1）由90ADP ∠=知：AD DP ⊥，底面ABCD 是正方形有AD DC ⊥，又DP DC D =，∴AD ⊥面DPC ，而CE ⊂面DPC ，即AD CE ⊥，∵PD AD DC ==，60PDC ∠=，∴PDC △为等边三角形，E 为PD 的中点，故CE DP ⊥，∵DP AD D ⋂=，∴CE ⊥平面PAD ．（2）由（1）知：ABC 为等腰直角三角形且2AB BC == ，有22AC =，在AEC 中3,5CE AE ==，即222AC CE AE =+，故AE CE ⊥，∴由上知：ABC 、AEC 都是以AC 为斜边的直角三角形，由直角三角形斜边中点O到三顶点距离相等知：OE OC OA OB ===，即O 为三棱锥E ABC -外接球的球心， ∴外接球的半径为22AC =，所以三棱锥E ABC -外接球的体积为3482(2)33V ππ=⨯=. 【点睛】关键点点睛：（1）由90°及正方形有线面垂直：AD ⊥面DPC ，再由等边三角形的性质和线面垂直的判定证明CE ⊥平面PAD ；（2）由勾股定理说明AEC 是以AC 为斜边的直角三角形，同样ABC 也是AC 为斜边的直角三角形，即可确定三棱锥E ABC -外接球的球心，进而求体积.18．(1)证明见解析.(2) 侧棱SC 上存在一点E ，当满足2SE EC =时，//BE 平面PAC . 【分析】（1）连结,AC BD 相交于点O ，可得AC ⊥平面BSD ，从而可证.（2）取点F 为SD 的中点，可得//BF OP ，过点F 作//FE PC ，交SC 于点E ，连结BE ，可得平面//BEF 平面ACP ，可得//BE 平面PAC ，从而得出答案.【详解】连结,AC BD 相交于点O , 由棱锥S ABCD -为正四棱锥则SO ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ,所以SO AC ⊥又棱锥S ABCD -为正四棱锥，则四边形ABCD 为正方形，所以BD AC ⊥由BD SO O ⋂=,所以AC ⊥平面BSDSD ⊂平面BSD ，所以AC SD ⊥（2）侧棱SC 上存在一点E ，当满足2SE EC =时，//BE 平面PAC . 由3SAP APD S S =，可得3SP PD =取点F 为SD 的中点，则点P 为FD 的中点,又O 为BD 的中点所以在BFD △中，//BF OP .BF ⊄平面ACP ，OP ⊂平面ACP ，则//BF 平面ACP过点F 作//FE PC ，交SC 于点E ，连结BE由EF ⊄平面ACP ，PC ⊂平面ACP ，则//EF 平面ACP又EF BE E =，所以平面//BEF 平面ACP又BE ⊂平面BEF ,则//BE 平面PAC . 由//FE PC ，则SE SF EC FP =, 由3SP PD =，F 为SD 的中点，则2SF FP =，所以2SE EC = 所以侧棱SC 上存在一点E ，当满足2SE EC=时，//BE 平面PAC .【点睛】关键点睛：本题考查线线垂直的证明和平行线性的探索性问题，解答的关键是过点B 构造一个平面使之与平面ACP 平行，则所构造的平面与SC 的交点即为所求，即取点F 为SD 的中点，可得//BF OP ，过点F 作//FE PC ，交SC 于点E ，连结BE ，可得平面//BEF 平面ACP ，构造出所需的平面，本题还可以建立空间坐标系利用向量方法求解，属于中档题.19．（1）证明见解析；（2239 【分析】（1）根据题意可得1A D AC ⊥，由面面垂直的性质定理可得1A D ⊥平面ABC ，再由面面垂直的判定定理即可证明.（2）过点1C 作1C F AC ⊥的延长线于点F ，连接BF ，利用等体积法11113C ABC A ABC ABC V V S AD --∴==⋅△，即可求出点C 到平面1ABC 的距离. 【详解】（1）证明：1AA AC =，160AAC ∠=︒， 1ACA ∴△是等边三角形，D 为线段AC 的中点，1A D AC ∴⊥，平面11AA C C ⊥平面ABC ，平面11AAC C 平面ABC AC =，1A D ∴⊥平面ABC ，1A D ⊂平面1A DE ，∴平面1A DE ⊥平面ABC ；（2）解：过点1C 作1C F AC ⊥的延长线于点F ，连接BF ，可得1C F ⊥平面ABC ，且13C F =11113C ABC A ABC ABC V V S AD --∴==⋅△ 113223132=⨯⨯⨯=，在1ABC 中，2AB =，()2222113323C F AF AC +=+==21122221BF C F BD DF C F BC +=++=()()22232310=++= 22212102310cos 202210ABC +-∠∠==⨯⨯1390sin 20ABC ∴∠=， 1390392102202ABC S ∴=⨯⨯⨯=△. 记点C 到平面1ABC 的距离为h ，则113ABC S h ⋅⋅=△，解得23913h =，即点C 到平面1ABC 的距离为239. 【点睛】关键点点睛：本题考查了面面垂直的证明、求点到面的距离，解题的关键“等体积法”解题方法的应用，考查了计算能力.20．（1）证明见解析；（2）62；（3）E 为CC 1的中点时，EA ⊥EB 1. 【分析】(1）证明11,AB BC BC BC ⊥⊥然后证明1C B ⊥平面ABC ；(2）求出ABC S ，求出13C B =，然后求解三棱柱111ABC A B C -的体积；(3）在棱CC 1(不包含端点C ，C 1)上取一点E ，连接BE ，证明1EB ⊥平面ABE ，得到EA ⊥EB 1.【详解】（1）∵BC =1，CC 1=BB 1=2，AB =2，∠BCC 1=60°，AB ⊥侧面BB 1C 1C∴AB ⊥BC 1在△BCC 1中，由余弦定理得BC =3，则BC 2+BC 2=CC 2，∴BC ⊥BC 1又∵BC ∩AB =B ，且AB ，BC ⊂平面ABC， ∴C 1B ⊥平面ABC .（2）由已知可得S △ABC =12AB ·BC =1222 由（1）知C 1B ⊥平面ABC ，C 1B 3所以三棱柱ABC -A 1B 1C 1的体积V =S △ABC ·C 1B =2236 （3）在棱CC 1(不包含端点C ，C 1)上取一点E ，连接BE .∵EA ⊥1EB ，AB ⊥1EB ，AB ∩AE=A ，AB ，AE ⊂平面ABE ，∴1EB ⊥平面ABE .又∵BE ⊂平面ABE ，∴BE ⊥1EB .不妨设CE =x (0<x <2)，则C 1E =2x -，在△BCE 中，由余弦定理得BE =221x x +-在△B 1C 1E 中，∠B 1C 1E =120°，由余弦定理得B 1E 2=257x x -+在Rt △BEB 1中，由B 1E 2+BE 2=B 1B 2，得()()222225714x x x x -+++-=，解得x =1或x =2(舍去).故E 为CC 1的中点时，EA ⊥EB 1.【点睛】关键点点睛：在确定动点位置时，设CE =x (0<x <2)，则C 1E =2x -，根据条件，建立关于x 的方程，求解确定动点位置，属于常用方法.21．（1）答案见解析；（2）3311. 【分析】（1）选择①，结合直二面角的定义，证明BD ⊥平面EOA 内的两条相交直线,EO AO ；（2）设AC 与BD 交于点M ，4AB =，60DAB ∠=︒，则43AC =CO x =，可得EB 关于x 的函数，求出EB 取得最小值时x 的值，连结EM ，作QF EM ⊥于F ，连结BF ，求出sin QBF ∠的值，即可得答案；【详解】解：（1）命题P ：若AB AD =，则BD ⊥平面EOA .∵AC GH ⊥，∴AO GH ⊥，EO GH ⊥，又二面角E GH B --的大小为90°，∴90AOE ∠=︒，即EO AO ⊥，∴EO ⊥平面ABCD ，∴EO BD ⊥，又AB BC =，∴AO BD ⊥， AO EO O =，∴BD ⊥平面EOA .（2）设AC 与BD 交于点M ，4AB =，60DAB ∠=︒，则43AC =设CO x =，23OM x =-，22224316OB OM MB x x =+=-+，222224316EB EO OB x x =+=-+，当3x =，min 10EB =，连结EM ，作QF EM ⊥于F ，连结BF ，由（1）知BD ⊥平面EOA ，∴BD QF ⊥，∴QF ⊥平面EBD ，∴QBF ∠即为QB 与平面EBD 所成角，在Rt EMB 中，10EB =，2BM =，6EM=，30AE =，由()222222(2)22QB AE AB BE QB +=+⇒=， 62QF =， ∴33sin QF QBF QB ∠==，即QB 与平面EBD 所成角得正弦值为33.【点睛】求线面角首先要根据一作、二证、三求找出线面角，然后利用三角函数的知识，求出角的三角函数值即可.22．（1）证明见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）连结AC 、BD ，交于点O ，连结OE ，通过//OE PA 即可证明；（2）通过PD BC ⊥， CD BC ⊥可证BC ⊥平面PDC ，即得DE BC ⊥，进而通过DE ⊥平面PBC 得DE PB ⊥，结合EF PB ⊥即证.【详解】证明：（1）连结AC 、BD ，交于点O ，连结OE ，底面ABCD 是正方形，∴O 是AC 中点，点E 是PC 的中点，//OE PA ∴.OE ⊂平面EDB ， PA ⊄平面EDB ，∴//PA 平面EDB .（2）PD DC =，点E 是PC 的中点，DE PC ∴⊥.底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，∴PD BC ⊥， CD BC ⊥，且 PD DC D ⋂=，∴BC ⊥平面PDC ，∴DE BC ⊥，又PC BC C ⋂=，∴DE ⊥平面PBC ，∴DE PB ⊥，EF PB ⊥，EF DE E ⋂=，PB ∴⊥平面EFD .【点睛】本题考查线面平行和线面垂直的证明，属于基础题.23．（1）证明见解析；（2）()8,12．【分析】（1）首先证得//EF 平面ABD ，然后根据线面平行的性质定理得到//EF AB ，由此证得//AB 平面EFCH .（2）设EF x =，EH y =，通过比例求得146x y +=，由此化简四边形EFCH 周长的表达式，进而求得四边形EFCH 周长的取值范围. 【详解】（1）∵四边形EFGH 为平行四边形，//EF GH ．∵GH ⊂平面ABD ，EF ⊄平面ABD ，∴//EF 平面ABD ．∵EF ⊂平面ABC ，平面ABD ⋂平面ABC AB =，∴//EF AB ．∵EF ⊂平面EFGH ，AB ⊄平面EFCH ，∴//AB 平面EFCH ．（2）同（1）可证//EH CD ，设EF x =，EH y =，∵//EF AB ，//EH CD ， ∴EF CE AB CA =，EH AE CD AC =， ∴1EF EH CE AE AC AB CD CA AC AC+=+==，又4AB =，6CD =， ∴146x y +=，∴6(1)4x y =-，且04x <<， ∴四边形EFCH 的周长为2()26(1)124x l x y x x ⎡⎤=+=+-=-⎢⎥⎣⎦ ∴81212x <-<．故四边形EFGH 周长的取值范围是()8,12．【点睛】本小题主要考查线面平行的证明，考查四边形周长的取值范围的求法，属于中档题. 24．（1）证明见解析；（2）18.【分析】（1）利用线面直线与平面平行的性质定理，分别证得GH ∥BC 和EF ∥BC ，即可证得GH ∥EF .（2）连接AC ，BD 交于点O ，BD 交EF 于点K ，连接OP ，GK ，分别证得PO ⊥AC 和PO ⊥BD ，进而得到GK 是梯形GEFH 的高，结合梯形的面积，即可求解.【详解】（1）因为BC ∥平面GEFH ，BC ⊂平面PBC ，且平面PBC ∩平面GEFH ＝GH ，所以GH ∥BC ，又因为BC ∥平面GEFH ，BC ⊂平面ABCD ，且平面ABCD ∩平面GEFH ＝EF ，所以EF ∥BC ，所以GH ∥EF .（2）如图所示，连接AC ，BD 交于点O ，BD 交EF 于点K ，连接OP ，GK .因为PA ＝PC ，O 是AC 的中点，所以PO ⊥AC ，同理可得PO ⊥BD ，又BD ∩AC ＝O ，且AC ，BD 都在底面内，所以PO ⊥底面ABCD ，又因为平面GEFH ⊥平面ABCD ，且PO ⊄平面GEFH ，所以PO ∥平面GEFH ，因为平面PBD ∩平面GEFH ＝GK ，所以PO ∥GK ，且GK ⊥底面ABCD .从而GK ⊥EF .所以GK 是梯形GEFH 的高，由AB ＝8，EB ＝2，得EB ∶AB ＝KB ∶DB ＝1:4，从而KB ＝14DB ＝12OB ，即K 为OB 的中点，再由PO ∥GK ，得GK ＝12PO ，即G 是PB 的中点，且GH ＝12BC ＝4，由已知可得OB ＝42，PO ＝2268326PB OB -=-=，所以GK ＝3，故四边形GEFH 的面积S ＝2GH EF +·GK ＝482+×3＝18.【点睛】本题主要考查了线面平行的判定与性质定理，以及正棱锥的结构特征和截面面积的计算，其中解答中熟记线面平行的判定定理和性质定理，以及正棱锥的结构特征，结合梯形的面积公式求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力.25．（1）证明见解析；（2）217．【分析】（1）连接1BC ，则O 为1B C 与1BC 的交点，证明1B C ⊥平面ABO ，可得1B C AB ⊥；（2）作OD BC ，垂足为D ，连接AD ，作OH AD ⊥，垂足为H ，证明1CBB 为等边三角形，求出1B 到平面ABC 的距离，即可求三棱柱111ABC A B C -的高．【详解】（1）证明：连接1BC ，则O 为1B C 与1BC 的交点，侧面11BB C C 为菱形，11BC B C ∴⊥，AO ⊥平面11BB C C ，1AO B C ∴⊥，1AO BC O =，AO ⊂平面ABO ，1BC ⊂平面ABO1B C ∴⊥平面ABO ，AB ⊂平面ABO ，1B C AB ⊥∴；（2）解：作OD BC ，垂足为D ，连接AD ，作OH AD ⊥，垂足为H ，BC AO ⊥，BC OD ⊥，AO OD O ⋂=，AO ⊂平面AOD ，OD ⊂平面AODBC ∴⊥平面AOD ，OH BC ∴⊥，OH AD ⊥，BC AD D ⋂=，BC ⊂平面ABC ，AD ⊂平面ABCOH ∴⊥平面ABC ，160CBB ∠=︒，1CBB ∴△为等边三角形，1BC =，3OD ∴=， 1AC AB ⊥，11122OA B C ∴==，由OH AD OD OA =，可得227AD OD OA =+=，21OH ∴=， O 为1B C 的中点， 1B ∴到平面ABC 的距离为21， ∴三棱柱111ABC A B C -的高21．【点睛】本题考查线面垂直的判定与性质，考查点到平面距离的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．26．（1）证明见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）若要证BF //平面PAD ，只要BF 所在面和平面PAD 平行即可；（2）若要证平面BEF ⊥平面PCD ，只要证平面PCD 内的一条直线和平面BEF 垂直即可.【详解】（1）∵AB CD ∥，2CD AB =，E 是CD 的中点，∴AB DE ，即ABED 是平行四边形．∴BE AD ．∵BE ⊄平面,PAD AD ⊄平面PAD ，∴BE 平面PAD ，又EF PD ，EF ⊄平面PAD ，PD ⊂平面PAD ，∴EF 平面PAD ，EF ，BE ⊂平面BEF ，且EFBE E =，∴平面BEF 平面PAD ． ∵BF ⊂平面BEF ，∴BF ∥平面PAD ．（2）由题意，平面PAD ⊥平面ABCD ，且两平面交线为AD ，CD ⊂平面ABCD ，CD AD ⊥，∴CD ⊥平面PAD ．∴CD PD ⊥．∴CD EF ⊥．又CD BE ⊥，BE ，EF ⊂平面BEF ，且EE EF E ⋂=，∴CD ⊥平面BEF ．∵CD ⊂平面PCD ，∴平面BEF ⊥平面PCD ．【点睛】本题考查了线面平行和面面垂直的证明，解决此类问题的关键是能利用线面关系的定理和性质进行逻辑推理，往往使用逆推法进行证明，需要较强的空间感和空间预判，属于较难题.。

初中数学知识点大全(完整版)

第一册第一章有理数1.1正数和负数以前学过的0以外的数前面加上负号“－”的书叫做负数。

以前学过的０以外的数叫做正数。

数０既不是正数也不是负数，０是正数与负数的分界。

在同一个问题中，分别用正数和负数表示量具有相反的意义1.2有理数1.2.1有理数正整数、0、负整数统称整数，正分数和负分数统称分数。

整数和分数统称有理数。

1.2.2数轴规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。

数轴的作用：所有的有理数都可以用数轴上的点来表达。

注意事项：⑴数轴的原点、正方向、单位长度三要素，缺一不可。

⑵同一根数轴，单位长度不能改变。

一般地，设是一个正数，则数轴上表示a的点在原点的右边，与原点的距离是a个单位长度；表示数－a的点在原点的左边，与原点的距离是a个单位长度。

1.2.3相反数只有符号不同的两个数叫做互为相反数。

数轴上表示相反数的两个点关于原点对称。

在任意一个数前面添上“－”号，新的数就表示原数的相反数。

1.2.4绝对值一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值。

一个正数的绝对值是它的本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。

在数轴上表示有理数，它们从左到右的顺序，就是从小到大的顺序，即左边的数小于右边的数。

比较有理数的大小：⑴正数大于0，0大于负数，正数大于负数。

⑵两个负数，绝对值大的反而小。

1.3有理数的加减法1.3.1有理数的加法有理数的加法法则：⑴同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。

⑵绝对值不相等的饿异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。

互为相反数的两个数相加得0。

⑶一个数同0相加，仍得这个数。

两个数相加，交换加数的位置，和不变。

加法交换律：a＋b＝b＋a三个数相加，先把前面两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。

加法结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)1.3.2有理数的减法有理数的减法可以转化为加法来进行。

有理数减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数。

必修二数学第三章知识点归纳

必修二数学第三章知识点归纳必修二数学第三章的主要知识点归纳如下：1. 余弦定理：用于计算三角形的边长和角度。

余弦定理表示为：c^2 = a^2 + b^2 - 2ab*cosC，其中c是对边的边长，a和b是与对边夹角相邻的两边的边长，C是夹角。

2. 正弦定理：用于计算三角形的边长和角度。

正弦定理表示为：sinA/a = sinB/b = sinC/c，其中A、B、C分别为三角形的角度，a、b、c分别为对应的边长。

3. 合角公式：两角的和的正弦、余弦、正切关系公式。

例如：sin(A + B) = sinAcosB + cosAsinB，cos(A + B) = cosAcosB - sinAsinB，tan(A + B) = (tanA + tanB) / (1 - tanAtanB)。

4. 二次函数：函数的一种形式，表示为y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c是常数，a 不等于0。

二次函数的图像是抛物线，开口方向取决于a的正负。

5. 判别式：二次函数的判别式用于判断二次方程的根的性质。

判别式表示为Δ = b^2 - 4ac，当Δ大于0时，方程有两个不等实根，当Δ等于0时，方程有一个重根，当Δ小于0时，方程无实根。

6. 因式分解：将二次函数拆解为两个一次函数的乘积。

根据二次函数形式及反推求解法，可以得到二次函数的因式分解形式。

7. 配方法：一种求解二次方程的方法，通过改变二次函数的形式，使其变为一个完全平方后进行因式分解。

该方法适用于二次方程的判别式大于0。

8. 平移变换：对函数图像进行水平或垂直方向的平移，改变函数的图像位置。

平移变换表达式为f(x + h) + k，其中h为水平方向平移量，k为垂直方向平移量。

9. 轴对称：函数图像以某条直线为对称轴，两边关于该轴对称。

二次函数的对称轴方程为x = -b/ 2a，其中a、b为二次函数的系数。

这些是必修二数学第三章的主要知识点，希望对你有帮助！。

尺规作图

初中几何第二册第三章第三单元尺规作图一、教法建议【抛砖引玉】本单元要向同学们介绍尺规作图，何谓尺规作图：在几何里，把限定用直尺（没有刻度）和圆规来画图，称为尺规作图．最基本，最常用的尺规作图，通常称基本作图．在平面几何的学习中和工程绘图中，经常应用．因而，在教学中，首先复习几何第一章中学过的作一条线段等于已知线段，用尺规法画图十分方便，免去了度量，准确度更高些，以激发他（她）们的兴趣．在此基础上先后引入“作一个角等于已知角”和“平分已知角”．首先分析标题，通过分析命题，分清已知什么，求作什么，才能画出已知条件，写好已知、求作．在讲解作法时，最好边画图边叙述，然后让学生说明作法的正确性，再写出作法，证明（或引导学生写证明），讲完后要反复练习，发现错误，及时纠正，防患未然，在练中学，在学中练，以便切实掌握作图方法，并且从课本中给出的锐角推广到直角和钝角，仍然能掌握它们的作图方法并会证明．通过前两个基本作图的学习，再继续讲授“经过已知点作已知直线的垂线”和“作线段的垂直平分线”．对于“经过已知点作已知直线的垂线”应分两种情况：已知点在直线上或已知点在直线外，两种情况缺一不可．对于已知点在直线外的情况，证明略去，在教学中，应引导学生补证一下，这样可使学生确信作图的正确性，另一方面也可以复习巩固证明三角形全等的方法，这样新旧知识交叉，互相渗透，相辅相成，将收到较好的教学效果．在学好练好，掌握好五种（初一学过的一种）基本作图的基础上，再介绍其应用．即什么是几何作图以及几何作图的一般步骤．在教学中，要说明几何作图与一般画图不同，它严格规定只准用直尺（没有刻度）和圆规为工具，而且每一步作图都必须有根有据，不能随便画．比较复杂的作图，要经过严格分析，才能找到作图的依据和方法．教学中对比较复杂的作图不要涉及，只要求学生掌握经过简单分析就可以作出的题目，如求作出三角形，会写出最简单的几何作图的已知、求作、作法即可．并通过实例、习题的教学，进一步强调几何作图的三个步骤．在叙述作法中，不需要重述基本作图过程．【指点迷津】四种基本作图是本单元学习主要内容，尤其对前两种更是重中之重．因而，在学习中一定要准确地使用作图工具画出符合要求的正确图形，每一步画图都要有根有据．准确精练的几何语言，同学们叙述起来比较困难，为此，教学中可分步进行．一、教师边作图边用语言叙述作法，让学生听懂；二、教师叙述作法，让学生作图；三、教师画图学生叙述作法、交错进行，反复练习，最后再要求学生自己作图，写作法．学过基本作图后，遇有属于基本作图的地方，写作法时，不必重复作图的详细过程，只用一句话概括叙述就可以了．与此同时，画图的方法更多了，如没有特别指出，可以选用任何一种你认为方便的方法画图．二、学海导航【思维基础】回答下列问题：1．在几何里把了限定用直尺和图规来画图，称为，最基本，最常用的尺规作图，通常称基本作图．2．基本作图包括：（i ）作一个角等于；（ii ）平分；（iii ）经过一点；（iv ）作线段的．第一章学过的作一条线段等于．3．于一条线段并且这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，或中垂线．【学法指要】例1．已知：直线AB 及直线AB 外一点C ．求作：过点C 作CD ∥AB ．（画出图形，不写作法，保留作图痕迹）思路分析：假设符合条件的图形已作出（如左图），那么直线CD 过点C ，且CD ∥AB ．符合条件．我们从左图可知：CD ∥AB反之，只要∠FCD=∠FEB 或∠DCE=∠AEC ，那么CD ∥AB ．这时就将问题转化为“作一个角等于已知角”的基本作图上来．因为直线AB 和点C 是固定的，所以∠FEB 与∠AEC 均是固定的．另要作∠FCD=∠FEB 或∠DCE=∠AEC 即可．于是便得到如下两种画法：过C 作ECF 与AB 交于点E ，作∠FCD=∠FEB 或∠DCE=∠AEC ，得如下两图，均符合条件．（作图痕迹略）例2．如图，已知平角AOB ，试用直尺和圆规将平角AOB 三等分．（不写已知，求作，画法，保留作图痕迹）思路分析1：已知角AOB 为平角，∴∠AOB =180°，要把∠AOB 三等分，那么它三等分的每一个角是60°，由60°这一特殊角度，引起我们构造两个等边三角形，即以OA ，OB 分边作等边三角形，问题就解决，也就找到作法，如左图．（作图痕迹略）思路分析2：由思路1的分析，启发我们又有多种思路可以找到．如上作图，当作出等边三角形AOC 后，因∠BOC = 120°，再作∠BOC 的平分线即可．或作出等边△AOC 后，再作∠COD=∠AOC （或∠COD=∠CAO 或∠COA ）即可．或作出等边△AOC 后，再作∠BOD=∠OAC 即可．于是又可找到三种作法，画图如下：（作图痕迹略）∠FCD=∠FEB ∠AEC=∠DCE（作∠COB 的平分线）（作∠COD=∠AOC ）（作∠BOD=∠OAC ）这就是将求作的问题转化为基本作图──平分已知角，而中图与右图又将问题转化为基本作图而作一个角等于已知角．可见，必须熟悉基本作图，才有利于打开作图题的思路，望同学们一定要掌握好五种基本作图，遇到有关作图问题才能得心应手．例3．已知：线段a ，s ，s ＞2a求作：等腰三角形，使它的底边等于a ，周长等于s （作图痕迹略）．思路分析：本例要作的等腰三角形已知底边a ，周长为s ，关键是知道等腰三角形的腰长．因为等腰三角形两腰相等，现又知两腰之和为(s －a )．所以将线段(s －a )平分即可求出等腰三角形腰长为 (s －a )．那么等腰三角形的三边为a ， (s －a )， (s －a )便知道，仿课本P38知道三边画三角形方法即可画出符合要求的等腰三角形．作法：（如前页图）（i ）在线段AD(AD=s)上用圆规截取AB=a ；（ii ）作线段BD (BD=s －a )的中垂线L 与BD 交于点O ；（iii ）以AB (AB=a )为底，BD (BD = (s －a ))为腰作等腰三角形ABC 即为所求．证明：由作图可知：AB=a ，AC=BC=BO= (s －a )，∴AB+AC+BC=a+ (s －a )+(s －a )=s故所求作的等腰三角形符合要求．例4．已知斜边，求作一锐角为15°的直角三角形．已知：线段c ．求作：直角三角形，并使斜边为c ．一锐角为15°（作图痕迹略）．思路分析：本例要作Rt △，知道斜边及直角，是没法作出这样的三角形．必须知道15°的角才能作出符合条件的三角形．如何作出15°的角呢？我们可以发现15°角是60°角的四分之一．由60°角又启发我们作等边三角形，便出现60°角再把60°角四等分，便得出15°角，问题便解决了．得作法如下：i ）作出15°角（∠B ′A ′D ′=15°），作AB=c ；ii ）作∠BAD =∠B ′A ′D ′=15°；iii）过点B作AD的垂线BC交AD于C点．则△ABC为所求作的Rt△．本例在探索15°角时，将问题转化为“平分已知角(60°)”问题，进而又得出“作一个角等于已知角(15°)”．最后又用到“经过一点作已知直线的垂线”，使问题圆满解决．一道问题用到三种基本作图，才把思路打开．如果对基本作图不十分熟悉，是很难找到思路的．只有对基本作图熟练驾驭，遇到陌生问题，才能借助基本作图这位“向导”找到思路．【思维体操】例作已知锐角α的平分线（不要求写已知，求作，作法，以下各题要求相同，保留作图痕迹）．扩散一：作已知直角的平分线扩散二：作22.5°的角扩散四：作已知钝角的平分线．扩散五：如图，将已知角四等分扩散六：作15°的角扩散七：如图，作△ABC的∠A，∠B，∠C的平分线．扩散八：如图，已知公路AB和CD，准备在两公路间修一条高速公路，与两公路始终保持等距，试画出高速公路示意图．由扩散一～扩散八，试题进引各种变化，但归根结底，却又回归到基本作图──平分已知角，所以在学习中一定要抓住基本作图的“精髓”，才能进一步的深化与提高，才能把较复杂的作图题转化到基本作图上来，从而打开思路．三、智能显示【心中有数】本单元向同学们介绍了什么是尺规作图，并能够用尺规完成下列基本作图：（1）作一条线段等于已知线段，作一个角等于已知角，作角的平分线，作线段的垂直平分线，过已知点作已知直线的垂线．能用五种基本作图作三角形：已知三边作三角形，已知两边及其夹角作三角形，已知两角及其夹边作三角形，已知底边及底边上的高作等腰三角形，已知一直角边及斜边作直角三角形等．了解尺规作图的一般步骤，会写出已知，求作，作法．通过基本作图练习，并能解决生产、生活中的一些简单的实际问题，并能将一些较复杂的作图题转化为基本作图题去解决．学会转化的方法，学会基本作图的方法，以适应社会的需求．【动脑动手】1．如图．l 为一段直的河岸，A ，B 是河岸同侧的两个村庄，在河岸l 上修建一个水泵站C ，分别向A ，B 两个村抽水，这个水泵站应建在什么位置，可使水泵站到两个村庄距离相等？请问圆规和直尺在图中作出满足条件的水泵站C 的位置（不写作法，证明，保留作图痕迹）2．如图，某铁路MN 与公路PQ 相交于点O ，且交角为90°某仓库G 在A 区，到铁路，公路的距离相等（即G 点在∠NOQ 的平分线上），且到公路与铁路的相交点O 的距离为200m ，（1）在图上标出仓库G 的位置（比例R ，1 : 10000）用尺规作图，保留作图痕迹，不写画法）；（2）求出仓库G 到铁路的实际距离． 3．如图，A ，B ，C 三点表示某平原的三个村庄，要建一个电视转播站，使它到三个村庄的距离相等，求作电视转播站的位置P ．（要求：用尺规作图，只保留作图痕迹，不写作法）4．已知：线段a ．求作：△ABC ，使∠ACB =90°，AB=a ，并且∠A =30°（要求尺规作图，并保留作图痕迹，不必写作法与证明）5．如图，请作出由A 地经过B 地去河边l 的最短路线．（要求：用尺规作图，只保留作图痕迹，不写作法）参考答案：（作图痕迹略）点C 为水泵站位置．2．（1）∵200m =200cm ．∴图距为：20000×＝2(cm )即OG ＝2cm ．如图，G 为仓库位置．（2）自G 作GB ⊥MN ，垂足为B 点（这里不要求用尺规作）依题设知△OBG 为等腰直角三角形．OG ＝200m∴2GB 2=2002 ∴GB ＝200∴GB ＝100 (m ) 答：仓库到铁路的实际距离为1002m ．4．1．以上三图中的△ABC 均符合条件，都为所求作的三角形如图，线段AB 与BP 即为所求．【创新园地】1．已知：线段a ，c 和角α，用圆规和直尺作出△ABC ，使AB ＝c ，BC ＝a ，∠ABC ＝α（不要求写作法，但要保留作图痕迹）．2．已知：线段a 和∠α求作：直角三角形ABC ，使∠C ＝90°，BC ＝a ，∠B ＝∠α（要求：不写作法，每步都要用尺规作图并保留作图痕迹）3．已知：线段m 和∠α求作：等腰△ABC ，使顶角A ＝2α，腰AB ＝m（要求用尺规作图，保留作图痕迹，不必写出作法和证明）．4．已知：∠α，∠β和线段a求作：△ABC，使∠B =∠α，∠C＝β，BC=a．（要求：不要写作法及证明，要用尺规作图，并保留作图痕迹）四、同步题库填空题1.（1）尺规作图是指用来画图.（2）基本作图包括：；；；；；它们是几何作图的 .（3）最基本的几何作图语句有：①过点，点，作直线或作直线；②连结两点，或连结 .③延长到点，使 = .④在上截取 = ；⑤以点为为圆心，，为半径作弧，交于点；⑥分别以点点为圆心；以，为半径作弧，两弧交于点 .⑦一般几何作图应有下面几个步骤：；目前我们只要求写出三个步骤.2.用尺规作图：（保留作图痕迹，不写作法）作出△ABC的AB边的中点D，再作出DE∥BC交AC于点E.（如图1-3-17）3.已知斜边，一锐角，作直角三角形.4.已知△ABC，求作一点P，使点P到AB，AC的距离相等，且到边AC的两端点距离相等.图1-3-17 图1-3-185.如图1-3-18，在直线MN上求作一点P，使点P到OA，OB的距离相等.（注3～5尺为尺规作图）6.已知：线段a、b，求作以a为底，以b为底边上的高的等腰三角形（要求用圆规和直尺作图，不必写出作法和证明，但必须保留作图痕迹.7.如图1-3-19，A，B两个村子在河CD的同侧，A，B两村到河的距离分别为AC=1千米，BD=3千米，CD=3千米，现在要在河边CD上建一水厂，向A，B两村输送自来水，铺设水管的工程费用为每千米20000元，请你在CD上选择水厂位置O，使铺设水管的费用最省，并求出铺设水管总费用F.图1-3-198.已知：如图1-3-20，直线MN和线段AB.求作：线段AB关于直线MN的对称线段A'B'（要求：保留作图痕迹，不写作法和证明）.9.要求用尺规作图，写出作法，保留作图痕迹，不证明.已知二边和夹角作三角形.10.已知线段AB，求作以线段AB为斜边的等腰直角三角形ABC（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）.11.如图1-3-21，一块三角形ABC，阴影部分已破损.（1）只要从残留的玻璃片中度量出哪些边，角，就可以不带残留的玻璃片到店铺加工一块与原来玻璃片ABC的形状和大小完全相同的玻璃片A'B'C'，请简单说明理由.（2）用（1）中度量的边，角作△A'B'C'（要求尺规作图，保留作图痕迹）.12.用尺规作图，已知两边及第三边上的高求作三角形.图1-3-20 图1-3-21参考答案同步题库1.（2）直尺和圆规；（2）作一条线段等于已知线段，作一个角等于已知角，作一条射线平分已知角；过一点作已知直线的垂线，作线段的垂直平分线；依据（3）①A，A，AB，BA；②A，B，AB；③AB，E，AB，BE；④OA，OM，a；⑤O，OD，OA，D；⑥D，E，OD，OE，C；⑦尺规作图，基本作图.2.如图1-3-273.已知：∠α，线段m.求作：Rt△ABC,使∠A=α，斜边AB=m.作法：（1）作线段AB=m（2）以A为顶点作∠BAO=α（3）过点B过AO的垂线BC，BC交AO于C.△ABC即为所求.图1-3-27 图1-3-28 图1-3-294.已知：△ABC（如图1-3-30）.求作：点P，使PA=PC，且点P到边AB、AC的距离相等.作法：（1）作线段AC的垂直平分线MN；（2）作∠BAC的平分线AO，AO交MN于P.点P即为所求.图1-3-30 图1-3-315.已知：∠AOB及直线MN（如图1-3-31）.求作：点P，使点P在直线MN上，且点P到OA，OB距离相等.作法：作∠AOB的平分线OE交直线MN于点P.点P即为所求.6.已知：线段a ，b a b 求作：等腰△ABC ，使底BC=a ，高AD=h.作法：（1）作线段BC=a ；（2）作线段BC 的垂直平分线MN ，交BC 于点D ；（3）在MN 上截取DA=b ；（4）连结AB ，AC ，△ABC 即为所求.图1-3-327.解：（参照原题图）要使铺设水管费用最省，关键是使水厂到两村距离最短，因之，应延长AC 到A '，使A 'C=AC ，连结A 'B ，与CD 相交于点O ，点O 就是我们要选择的水厂O 的位置.∵ △BDO ∽△A 'CO ，∴ OD ∶OC=BD ∶A 'C=3即OD ：（OD+OC ）=3∶4，也即OD ∶DC=3∶4∴ BO=4154932222=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+OD BD 又OC=CD-OD=3-4349= ∴ 45431222=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=2OC AC AO ∴ 铺设的管道最短为：AO+BO=5∵ 每公里工程费用为：20000元∴ 总费用F 至少为5×20000=100000（元）.8.略9.见下图10.见图1-3-33图1-3-3311.（1）只要度量出∠B，∠C的度数和边BC的长，就可以不带残留的玻璃片到店铺加工一块与原来玻璃片ABC的形状和大小完全相同的玻璃片A'B'C'.其理由是根据“角边角定理”知△ABC、△A'B'C'.（2）见图1-3-34图1-3-3412.已知：线段b,c,h.求作：△ABC，使AC=b，AB=c，AD⊥BC，D为垂足，且AD=h作法：（1）作△ABD，使AD⊥BD，AB=c,AD=h.（2）以A为圆心，b为半径作弧，分别交BD或它的延长线上一点C1，C.（3）连结AC，AC1.△ABC及△ABC1均为所求作的三角形.图1-3-35。

(人教版)西安市必修第二册第三单元《立体几何初步》检测卷(答案解析)

一、选择题1．在下列四个正方体中，能得出直线AB 与CD 所成角为90︒的是（）A ．B ．C ．D ．2．古代数学名著《数学九章》中有云：“有木长三丈，围之八尺，葛生其下，缠木两周，上与木齐，问葛长几何？”意思为：圆木长3丈，圆周为8尺，葛藤从圆木的底部开始向上生长，绕圆木两周，刚好顶部与圆木平齐，问葛藤最少长多少尺(注：1丈即10尺)（） A ．30尺 B ．32尺 C ．34尺 D ．36尺 3．已知某正三棱锥侧棱与底面所成角的余弦值为219，球1O 为该三棱锥的内切球.若球2O 与球1O 相切，且与该三棱锥的三个侧面也相切，则球2O 与球1O 的表面积之比为（）A ．49B ．19C ．925D ．1254．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，若,,,E F G H 分别是棱111111,,,A B BB CC C D 的中点，则必有（）A ．1//BD GHB ．//BD EFC ．平面//EFGH 平面ABCDD ．平面//EFGH 平面11A BCD5．菱形ABCD 的边长为3，60B ∠=，沿对角线AC 折成一个四面体，使得平面ACD ⊥平面ABC ，则经过这个四面体所有顶点的球的表面积为（）A ．15πB ．12πC ．8πD ．6π6．一个圆柱和一个圆锥的轴截面分别是边长为a 的正方形和正三角形，则他们的表面积之比为（）A ．1：1B ．2：1C ．1：2D ．3：17．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，18AA =，3AB =，8AD =，点M 是棱AD 的中点，点N 是棱1AA 的中点，P 是侧面四边形11ADD A 内一动点（含边界），若1//C P 平面CMN ，则线段1C P 长度的取值范围是（）A ．[17,5]B ．[4,5]C ．[3,5]D ．[3,17] 8．设α、β是两个不同的平面，m 、n 是两条不同的直线，下列说法正确的是（） A ．若α⊥β，α∩β＝m ，m ⊥n ，则n ⊥βB ．若α⊥β，n ∥α，则n ⊥βC ．若m ∥α，m ∥β，则α∥βD ．若m ⊥α，m ⊥β，n ⊥α，则n ⊥β9．如图，已知正方体1111ABCD A B C D -，Q 为棱1AA 的中点，P 为棱1CC 的动点，设直线m 为平面BDP 与平面11B D P 的交线，直线n 为平面ABCD 与平面11B D Q 的交线，下列结论中错误的是( )A ．//m 平面11B D QB ．平面PBD 与平面11B D P 不垂直C ．平面PBD 与平面11B D Q 可能平行 D ．直线m 与直线n 可能不平行 10．如图，在底面边长为4，侧棱长为6的正四棱锥P ABCD -中，E 为侧棱PD 的中点，则异面直线PB 与CE 所成角的余弦值是（）A ．34B ．234C ．517D ．317 11．一个透明封闭的正四面体容器中，恰好盛有该容器一半容积的水，任意转动这个正四面体，则水面在容器中的形状可能是：①正三角形②直角三形③正方形⑤梯形，其中正确的个数有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个12．下列命题中正确的个数有（）个①不共面的四点中，其中任意三点不共线②依次首位相接的四条线段必共面③若点,,,A B C D 共面，点,,,A B C E 共面，则点,,,,A B C D E 共面④若直线,a b 共面，直线,a c 共面，则直线,b c 共面A ．1B ．2C ．3D ．413．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A ．186+B ．206+C ．2010+D ．1810+ 14．已知三棱锥S ABC -的体积为4，且4AC =，2224SA BC +=，30ACB ∠=︒，则三棱锥S ABC -的表面积为（）A ．3B ．123C ．76123D ．6103二、解答题15．如图，已知三棱柱111ABC A B C -的所有棱长都相等，侧棱1AA ⊥底面ABC ，,E F 分别是1111,A B AC 的中点.（1）求证:11B F AC ⊥ ；（2）求平面EFCB 与底面ABC 所成二面角的正切值.16．如图所示，在四面体ABCD 中，点P ，Q ，R 分别为棱BC ，BD ，AD 的中点，AB BD ⊥，2AB =，3PR =，22CD =.（1）证明：//CD 平面PQR ；（2）证明：平面ABD ⊥平面BCD .17．如图，在四面体ABCD 中，E ，F 分别是线段AD ，BD 的中点，∠ABD =∠BCD =90°，EC =2，AB =BD =2，直线EC 与平面ABC 所成的角等于30°.（1）证明：平面EFC ⊥平面BCD ；（2）求点F 到平面CDE 的距离.18．如图，三棱柱111ABC A B C -的所有棱长都相等，平面11AA C C ⊥平面ABC ，160AAC ∠=︒，点D 为线段AC 的中点，点E 在线段AB 上.（1）求证：平面1A DE ⊥平面ABC ；（2）若2AB =，求点C 到平面1ABC 的距离.19．如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ⊥侧面BB 1C 1C ，E 是CC 1上的中点，且BC ＝1，BB 1＝2.（1）证明：B 1E ⊥平面ABE ；（2）若三棱锥A －BEA 1的体积是3，求异面直线AB 和A 1C 1所成角的大小. 20．在斜三棱柱111ABC A B C -中，AB AC ⊥，1B C ⊥平面ABC ，且2AB AC ==，123AA =．（Ⅰ）求证：平面1AB C ⊥平面11ABB A ；（Ⅱ）求直线1BC 与平面11ABB A 所成角的正弦值．21．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，D ，E 分别为BC ，AC 的中点，AB BC =．求证：（1）11//A B 平面1DEC ；（2）1BE C E ⊥．22．如图，在三棱锥P ABC -中，1PA PC ==，AB BC =，60APC ∠=︒，90ABC ∠=︒，AC PB =．（1）证明：AC PB ⊥；（2）求三棱锥A PBC -的体积．23．如图，在直三棱柱111ABC A B C －中，E ，F 分别为11A C 和BC 的中点．（1）求证：//EF 平面11AA B B ；（2）若13AA ＝，23AB =，求EF 与平面ABC 所成的角．24．如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAB ⊥平面ABCD ，PB PA ⊥，PB PA =，90DAB ABC ∠=∠=，435AB BC CD ===，，，M 是PA 的中点.（1）求证：BM //平面PCD ；（2）求三棱锥B CDM -的体积.25．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 上的动点.（1）确定E 的位置，使//PB 平面AEC ；（2）设1==PA AB ，3PC =，根据（1）的结论，求点E 到平面PAC 的距离. 26．如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点O 是BD 中点．（1）求证:平面11BDD B ⊥平面1C OC ；（2）求二面角1C BD C --的正切值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．A解析：A【分析】根据线面垂直的性质以及判定定理判断A ，平移直线结合异面直线的定义，判断BCD.【详解】对于A ，如下图所示，连接,AE GB由于,CD BE CD BG ⊥⊥，根据线面垂直判定定理得CD ⊥平面AEBG ，再由线面垂直的性质得出AB CD ⊥，则A 正确；对于B ，如下图所示，连接,BF AF因为ABF 为正三角形，//CD AF ，所以直线AB 与CD 所成角为60︒，则B 错误；对于C ，如图所示，连接HD因为在CDH △中，45HDC ∠=︒，//AB HD ，所以直线AB 与CD 所成角为45︒，则C 错误；对于D ，如下图所示，连接GB因为//AG CD ，所以直线AB 与CD 所成角为90GAB ∠≠︒，则D 错误；故选：A【点睛】本题主要考查了求异面直线的夹角，属于中档题.2．C解析：C【分析】由题意，圆柱的侧面展开图是矩形，葛藤长是两个矩形相连所成矩形的对角线的长，画出图形，即可求出葛藤长.【详解】由题意，圆柱的侧面展开图是矩形，葛藤长是两个矩形相连所成矩形的对角线的长. 如图所示矩形ABCD 中，30AD =尺，2816AB =⨯=尺，所以葛藤长2222301634AC AD AB =+=+=尺.故选：C .【点睛】本题考查圆柱的侧面展开图，考查学生的空间想象能力，属于基础题. 3．C解析：C【分析】先证明PO⊥平面ABC，接着求出219cos PAO=∠，再得到214rPO=和114RPO=，从而得到35rR=，最后求出球2O与球1O的表面积之比即可.【详解】如图，取ABC的外心O，连接PO，AO，则PO必过1O，2O，且PO⊥平面ABC，可知PAO∠为侧棱与底面所成的角，即219cos PAO=∠.取AB的中点M，连接PM，MC.设圆1O，2O的半径分别为R，r，令2OA=，则19PA=，23AB=，3AM=，1OM=，所以214r OMPO PM==，即24PO r=，从而145PO r r R r R=++=+，所以1154R RPO r R==+，则35rR=，所以球2O与球1O的表面积之比为925.故选：C.【点睛】本题考查三棱锥内切球的应用，考查空间想象能力，逻辑推理能力，是中档题.4．D解析：D【分析】根据“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”来判断AB选项的正确性，根据平行直线的性质判断C选项的正确性，根据面面平行的判定定理判断D选项的正确性.【详解】选项A:由中位线定理可知：1//GH D C，因为过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，所以1,BD GH 不可能互相平行，故A 选项是错误的；选项B: 由中位线定理可知：1//EF A B ，因为过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，所以,BD EF 不可能互相平行，故B 选项是错误的；选项C: 由中位线定理可知：1//EF A B ，而直线1A B 与平面ABCD 相交，故直线EF 与平面ABCD 也相交，故平面EFGH 与平面ABCD 相交，故C 选项是错误的；选项D:由三角形中位线定理可知：111//,//EF A B EH A D ，EF ⊄平面11A BCD ，1A B ⊂平面11A BCD ，EH ⊄平面11A BCD ，11A D ⊂平面11A BCD ,所以有//EF 平面11A BCD ，//EH 平面11A BCD ，而EF EH E =，因此平面//EFGH 平面11A BCD .所以D 选项正确.故本选：D【点睛】本小题主要考查面面平行的判定定理，考查线线平行的性质，属于中档题.5．A解析：A【分析】首先根据已知条件找到四面体外接球的球心，再求出半径，即可得到球体的表面积.【详解】如图所示，1O ，2O 分别为ABC 和DAC △的外接圆圆心，因为菱形ABCD ，60B ∠=，所以ABC 和DAC △为等边三角形.设E 为AC 的中点，连接DE ，BE ，则DE AC ⊥，BE AC ⊥，又因为平面ACD ⊥平面ABC AC =，所以DE ⊥平面ABC .分别过1O ，2O 作垂直平面ABC 和平面ACD 的直线，则交点O 为四面体ABCD 外接球的球心.因为===EB DE ，四边形12OO EO 为矩形，所以12==O B DO121===O E O E OO15π. 故选：A【点睛】本题主要考查四面体外接球的表面积，根据题意确定外接球的球心为解题关键，属于中档题.6．B解析：B【分析】分别计算圆柱和圆锥的表面积，相比得到答案.【详解】圆柱的表面积2213222a S a a a πππ⎛⎫=⋅+⋅= ⎪⎝⎭；圆锥的表面积22213224a S a a a πππ⎛⎫=⋅+= ⎪⎝⎭，故1221S S =. 故选：B .【点睛】本题考查了圆柱和圆锥的表面积，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.7．A解析：A【分析】取11A D 中点E ，取1DD 中点F ，连接EF 、1C E 、1C F ，证明平面//CMN 平面1C EF 后即可得P ∈线段EF ，找到取最值的情况求解即可得解.【详解】取11A D 中点E ，取1DD 中点F ，连接EF 、1C E 、1C F ，由//EF MN ，1//C E CM ，1EF C E E =可得平面//CMN 平面1C EF ，P 是侧面四边形11ADD A 内一动点（含边界），1//C P 平面CMN ，∴P ∈线段EF ，∴当P 与EF 的中点O 重合时，线段1C P 长度取最小值1C O ，当P 与点E 或点F 重合时，线段1C P 长度取最大值1C E 或1C F ，在长方体1111ABCD A B C D -中，18AA =，3AB =，8AD =，点M 是棱AD 的中点，点N 是棱1AA 的中点， ∴221max 11345C P C E C F ===+=，42EF =，2221min 1125(22)17C P C O C E EO ==-=-=.∴线段1C P 长度的取值范围是[17,5].故选：A.【点睛】本题考查了长方体的特征及面面平行的性质与判定，考查了空间思维能力，属于中档题. 8．D解析：D【分析】根据直线、平面平行垂直的关系进行判断．【详解】由α、β是两个不同的平面，m 、n 是两条不同的直线，知：在A 中，若α⊥β，α∩β＝m ，m ⊥n ，则n 与β相交、平行或n ⊂β，故A 错误；在B 中，若α⊥β，n ∥α，则n 与β相交、平行或n ⊂β，故B 错误；在C 中，若m ∥α，m ∥β，则α与β相交或平行，故C 错误；在D 中，若m ⊥α，m ⊥β，则α∥β，∴若n ⊥α，则n ⊥β，故D 正确.故选：D.【点睛】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的益关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.9．D解析：D【分析】在正方体1111ABCD A B C D -中，可得11//BD B D ，根据线面平行的判定定理和性质定理可得11////m BD B D ，可判断选项A 结论；分别取11,BD B D 中点1,O O ，连1,OP O P ，则1OPO ∠为平面PBD 与平面11B D P 的平面角，判断1OPO ∠是否为直角，即可判断选项B 的结论；若P 为1CC 中点时，可证平面PBD 与平面11B D Q 平行，即可判断选项C 的结论；根据面面平行的性质定理可得11//n B D ，即可判断选项D 的结论.【详解】在正方体1111ABCD A B C D -中，四边形11BB D D 为矩形，11//,BD B D BD ∴⊂平面PBD ，11B D ⊄平面PBD ，11//B D 平面PBD ，11B D ⊂平面11B D P ，平面BDP 与平面1111////P B D m m B D BD =∴，选项A ，11//,m B D m ⊄平面11B D Q ，11B D ⊂平面11B D Q ，//m 平面11B D Q ，选项A 结论正确；选项B ，分别取11,BD B D 中点1,O O ，连11,,OP O P OO ，设正方体的边长为2，设CP h =，则11BP DP B P D P ====，,PO BD PO m ∴⊥⊥，同理1PO m ⊥，1OPO ∴∠为平面PBD 与平面11B D P 的平面角，在1OO P △中，22222112,2(2),4OP h O P h OO =+=+-=，22211OP O P OO +>，1OPO ∴∠不是直角，所以平面PBD 与平面11B D P 不垂直，选项B 结论正确；选项C ，若P 为1CC 中点，取1BB 中点E 连1,C E QE ，则1//C E BP ，又Q 为棱1AA 的中点，1111//,QE C D QE C D ∴=，四边形11C D QE 为平行四边形，1111//,//,D Q C E D Q BP D Q ∴∴⊄面PBD ，BP ⊂平面PBD ，1//D Q ∴平面PBD ，同理11//B D 平面PBD ，1111111,,B D D Q D B D D Q =⊂平面11B D Q ，∴平面//PBD 平面11B D Q ，选项C 结论正确；选项D ，在正方体中，平面//ABCD 平面1111D C B A ，平面ABCD 平面11B D Q n =，平面1111A B C D 平面1111B Q D B D =11//,//n B D n m ∴∴，选项D 结论不正确.故选：D .【点睛】本题考查空间线、面位置关系，涉及到线线平行、线面平行、面面平行、面面垂直的判定，掌握平行、垂直的判定定理和性质定理是解题的关键，属于中档题.10．D解析：D【分析】首先通过作平行的辅助线确定异面直线PB 与CE 所成角的平面角，在PCD ∆中利用余弦定理求出cos DPC ∠进而求出CE ，再在GFH ∆中利用余弦定理即可得解.【详解】如图，取PA 的中点F ，AB 的中点G ，BC 的中点H ，连接FG ，FH ，GH ，EF ，则//EF CH ，EF CH =，从而四边形EFHC 是平行四边形，则//EC FH ，且EC FH =.因为F 是PA 的中点，G 是AB 的中点，所以FG 为ABP ∆的中位线，所以//FG PB ，则GFH ∠是异面直线PB 与CE 所成的角.由题意可得3FG =，1222HG AC ==. 在PCD ∆中，由余弦定理可得2223636167cos 22669PD PC CD DPC PD PC +-+-∠===⋅⨯⨯，则2222cos 17CE PC PE PC PE DPC =+-⋅∠=，即17CE =在GFH ∆中，由余弦定理可得222cos 2FG FH GH GFH FG FH +-∠=⋅3172317==⨯⨯. 故选：D【点睛】本题考查异面直线所成的角，余弦定理解三角形，属于中档题.11．C解析：C【分析】根据已知，任意转动这个正四面体，则水面在容器中的形状即为作一截面将正四面体截成体积相等的两部分，根据截面性质作图即可得到答案．【详解】解：根据已知，任意转动这个正四面体，则水面在容器中的形状即为作一截面将正四面体截成体积相等的两部分，根据对称性和截面性质作图如下：观察可知截面不可能出现直角三角形.故选：C【点睛】本题考查的知识点是棱锥的结构特征，本题是一道以截面的概念、性质和截面图形的作法等基础知识为依托，反映现实生活的一道综合能力题．解答本题须具备较强的空间想图、识图、作图能力．12．A解析：A【分析】假设存在三点共线，则四个点必共面，可判断①；借助空间四边形可判断②；当A ，B ，C 共线时，可判断③；由共面不具有传递性可判断④【详解】①正确，可以用反证法证明，假设存在三点共线，则四个点必共面，与不共面的四点矛盾；②不正确，例如空间四边形的四个顶点就不共面；③不正确，A ，B ，C 共线时，这两平面有三个公共点A ，B ，C ；④不正确，共面不具有传递性，若直线,a b 共面，直线,a c 共面，则直线,b c 可能异面. 故选：A【点睛】本题考查了空间中点线面的位置关系判断，考查了学生综合分析，空间想象，逻辑推理能力，属于中档题13．B解析：B【分析】根据所给三视图，还原出空间几何体，即可求得几何体的表面积.【详解】根据三视图，还原空间几何体如下图所示：在正方体中，去掉三棱锥111B A C M -，正方体的棱长为2，M 为1BB 的中点，则111111111B MC A B C A B M A C M S S S S S S =---+正方体 ()()22211116212221222522222=⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯+⨯- 206=+故选：B.【点睛】本题考查了空间几何体三视图的简单应用，关键是能够正确还原出空间几何体，属于中档题. 14．B解析：B【分析】设h 为底面ABC 上的高，,SA m BC n ==，根据体积可得12nh =，结合222m n mn +≥及基本不等式等号成立条件，可得12m n h ===，进而可得SA ⊥面ABC ，再通过计算求出每个面的面积即可.【详解】解：如图：h 为底面ABC 上的高，设,SA m BC n ==，则1114sin 304332S ABC ABC V S h n h -==⨯⨯⨯⨯︒⨯=，得12nh =， ,12m h mn ≥∴≥，又22242m n mn =+≥，得12mn ≤，所以12mn =，故12m n h ===，SA ∴⊥面ABC ，在ABC 中22341224124AB =+-⨯=，则2AB =，在Rt ABS 中22124SB =+=，在Rt ACS 中121628SC =+=所以在SBC 中，222SC SB BC =+，则SBC 为直角三角形，三棱锥S ABC -的表面积11111=223+423+423+423=12322222S ⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 故选：B.【点睛】本题考查棱锥表面积的计算，关键是通过基本不等式的等号成立条件得到SA ⊥面ABC ，是中档题.二、解答题15．（1）证明见解析；（243 【分析】（1）由线面垂直得到线线垂直，再由线线垂直得到线面垂直；（2）取EF 中点P ，BC 中点K ，找到二面角，再在三角形中计算就可以了.【详解】（1）证明：1AA ⊥平面11,ABC B F AA ∴⊥ ，又111A B C 为正三角形，F 为11A C 中点，111B F AC ∴⊥得1B F ⊥平面11ACC A .又因为1AC ⊂平面11ACC A ，所以11B F AC ⊥；（2）设所有棱长都为2，取EF 中点P ，BC 中点K ，连,,PK AK PA . 易知,PK BC AK BC ⊥⊥，则PKA ∠为平面EFCB 的与底面ABC 所成二面角的平面角，在PKA 中，取AK 中点O ，连PO ，有PO ⊥平面ABC ，则PO AK ⊥，且32,PO OK ==，43tan 3PO PKA OK ∠===,【点睛】第二问的关键点是由线面垂直找到线线垂直，求出二面角，然后在三角形中计算就可以了. 16．（1）证明见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）推导出//PQ DC ，由此能证明//CD 平面PQR .（2）推导//RQ AB ，//PQ CD ，且12RQ AB =，12PQ CD =，从而RQ BD ⊥，PQ RQ ⊥，进而RQ ⊥平面BCD ，由此能证明平面ABD ⊥平面BCD .【详解】证明：（1）点P ，Q 分别为棱BC ，BD 的中点，//PQ DC ∴，PQ ⊂平面PQR ，CD ⊂/平面PQR ，//CD ∴平面PQR .（2）点P ，Q ，R 分别为棱BC ，BD ，AD 的中点，//RQ AB ∴，//PQ CD ，且12RQ AB =，12PQ CD =， AB BD ⊥，RQ BD ∴⊥，2AB =，3PR =，22CD =.112RQ AB ∴==，122PQ CD ==， 222PQ QR PR ∴+=，PQ RQ ∴⊥，BD PQ Q ⋂=，RQ ∴⊥平面BCD ，RQ ⊂平面ABD ，∴平面ABD ⊥平面BCD .【点睛】思路点睛：证明线面平行、面面垂直的常见思路：（1）证明线面平行的思路：通过三角形中位线或者证明平行四边形说明线线平行或者证明面面平行；（2）证明面面垂直的思路：证明线面垂直结合面面垂直的判定定理完成证明. 17．（1）证明见解析；（2）33. 【分析】（1）要证明面面垂直，需证明线面垂直，根据垂直关系证明EF ⊥平面BCD ；（2）首先作辅助线，取AC 的中点M ，连结EM ，首先证明ECM ∠是直线EC 与平面ABC 所成的角，再利用等体积转化求点到平面的距离.【详解】（1）F 是斜边BD 的中点，∴FC=12BD=1 ∵E ，F 是AD 、BD 的中点， ∴EF=12AB=1，又∵2 ∵EF 2+FC 2=EC 2∴EF ⊥FC又∵AB ⊥BD ，EF ∥AB∵EF ⊥BD ，又BD∩FC=F∴EF ⊥平面BCD∴平面EFC ⊥平面BCD(2）取AC 的中点M ，连结EM∵AB=BD=2且∠ABD=90°，∴AD=22∵2=12AD ， ∴ΔACD 为直角三角形且∠ACD=90°， ∴DC ⊥AC ，又DC ⊥BC ，∴AC∩BC=C ，又∵AC ，BC ⊂面ABC ，∴DC ⊥面ABC ，又E ，M 分别为AC ，AD 中点，∴EM ∥CD∴EM ⊥平面ABC ，∴∠ECM 为EC 与平面ABC 所成的夹角，∠ECM=30°，∴ME=12CE=22∴2S ΔFCD =11122222⨯= ∵V E-FCD =13EF×S ΔFCD =1111236⨯⨯=，在RtΔECD 中，2， ∴S ΔECD =133222=，设点F 到平面CDE 的距离为h ， ∵V E-FCD =V F-ECD ，11363=，解得3即点F 到平面CDE 3. 【点睛】方法点睛：本题考查面面垂直和点到平面的距离，意在考查空间想象能力和计算能力，属于基础题型，不管证明面面垂直还是证明线面垂直，关键都需转化为证明线线垂直，一般证明线线垂直的方法包含1.矩形，直角三角形等，2.等腰三角形，底边中线，高重合，3.菱形对角线互相垂直，4.线面垂直，线线垂直.18．（1）证明见解析；（2）23913. 【分析】（1）根据题意可得1A D AC ⊥，由面面垂直的性质定理可得1A D ⊥平面ABC ，再由面面垂直的判定定理即可证明.（2）过点1C 作1C F AC ⊥的延长线于点F ，连接BF ，利用等体积法11113C ABC A ABC ABC V V S AD --∴==⋅△，即可求出点C 到平面1ABC 的距离. 【详解】（1）证明：1AA AC =，160AAC ∠=︒，1ACA ∴△是等边三角形，D 为线段AC 的中点，1A D AC ∴⊥，平面11AA C C ⊥平面ABC ，平面11AAC C 平面ABC AC =，1A D ∴⊥平面ABC ，1A D ⊂平面1A DE ，∴平面1A DE ⊥平面ABC ；（2）解：过点1C 作1C F AC ⊥的延长线于点F ，连接BF ，可得1C F ⊥平面ABC ，且13C F =11113C ABC A ABC ABC V V S A D --∴==⋅△11221322=⨯⨯⨯⨯=，在1ABC 中，2AB =，1AC ===1BC ==== 22212cos ABC +-∠∠==1sin ABC ∴∠=122ABC S ∴=⨯=△.记点C 到平面1ABC 的距离为h ，则113ABC S h ⋅⋅=△，解得h =，即点C 到平面1ABC 的距离为13. 【点睛】关键点点睛：本题考查了面面垂直的证明、求点到面的距离，解题的关键“等体积法”解题方法的应用，考查了计算能力.19．（1）证明见解析；（2）30.【分析】（1）由AB ⊥侧面BB 1C 1C 可得1AB B E ⊥，由勾股定理可得1BE B E ⊥，即可证明；（2）由11//A B AB 可得111C A B ∠即为异面直线AB 和A 1C 1所成角，由等体积法可求得AB 长度，即可求出角的大小.【详解】（1）AB ⊥侧面BB 1C 1C ，1B E ⊂侧面BB 1C 1C ，1AB B E ∴⊥，BC ＝1，BB 1＝2，E 是CC 1上的中点，1BE B E ∴=22211BE B E BB +=，1BE B E ∴⊥，AB BE B ⋂=，∴B 1E ⊥平面ABE ；（2）11//A B AB ，111C A B ∴∠即为异面直线AB 和A 1C 1所成角，且1A 到平面ABE 的距离等于1B 到平面ABE 的距离，由（1）B 1E ⊥平面ABE ，故B 1E 的长度即为1B 到平面ABE 的距离，由AB ⊥侧面BB 1C 1C 可得AB ⊥BE ，则111111332A BEA A ABE ABE V V S B E AB --==⋅=⨯⨯=，解得AB =则11A B AB == 在111Rt A B C △中，1111111tan B C C A B A B ∠===11130A C B ∴∠=，即异面直线AB 和A 1C 1所成角为30.【点睛】思路点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下：（1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；（2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；（3）计算：求该角的值，常利用解三角形；（4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是0,2π⎛⎤ ⎥⎝⎦，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．20．（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）6. 【分析】（Ⅰ）通过1B C AB ⊥和AB AC ⊥可得AB ⊥平面1AB C ，即得证；（Ⅱ）设11BC B C O =，作1OE AB ⊥于E ，连结BE ，可得EBO ∠为1BC 与平面11ABB A 所成角，求出相关长度即可求解.【详解】（Ⅰ）证明：∵1B C ⊥平面ABC ，∴1B C AB ⊥，又AB AC ⊥，1AC B C C ⋂=，所以AB ⊥平面1AB C ，AB ⊂平面11ABB A ，所以平面1AB C ⊥平面11ABB A ；（Ⅱ）设11BC B C O =，作1OE AB ⊥于E ，连结BE ，∵平面1AB C ⊥平面11ABB A 于1AB ，∴OE ⊥平面11ABB A ，∴EBO ∠为1BC 与平面11ABB A 所成角，由已知2AB AC ==，123BB =12B C =，122B A = ∴223BO BC OC =+=，在等腰直角1AB C 中，22OE =，所以2sin OE EBO OB ∠==，即1BC 与平面11ABB A 所成角的正弦值为26. 【点睛】方法点睛：求线面角或面面角的常用方法，根据图形结构常用建立坐标系利用向量法求解或直接用几何法求解，向量法的往往更简单有效.21．（1）证明见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）推导出DE //AB ，AB //A 1B 1，从而DE //A 1B 1，由此能证明A 1B 1//平面DEC 1．（2）推导出BE ⊥AA 1，BE ⊥AC ，从而BE ⊥平面ACC 1A 1，由此能证明BE ⊥C 1E ．【详解】（1）∵在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，D ，E 分别为BC ，AC 的中点，∴DE //AB ，AB //A 1B 1，∴DE //A 1B 1，∵DE ⊂平面DEC 1，A 1B 1⊄平面DEC 1，∴A 1B 1//平面DEC 1．（2）∵在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，E 是AC 的中点，AB ＝BC ．∴BE ⊥AC ，∵直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AA 1⊥平面ABC ，BE ⊂平面ABC ，∴BE ⊥AA 1，又AA 1∩AC ＝A ，∴BE ⊥平面ACC 1A 1，∵C 1E ⊂平面ACC 1A 1，∴BE ⊥C 1E ．【点睛】本题考查线面平行、线线垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想与空间想象能力，是中档题．22．（1）证明见解析，（23【分析】（1）取AC 的中点O ，连接,PO BO ，可得,PO AC BO AC ⊥⊥，再由线面垂直的判定定理可得AC ⊥平面POB ，从而可证得AC PB ⊥；（2）求解三角形证明PO OB ⊥，可得PO ⊥平面ABC ，利用等体积法求得结果【详解】（1）证明：取AC 的中点O ，连接,PO BO ，因为1PA PC ==，AB BC =，所以,PO AC BO AC ⊥⊥，因为PO OB O =，所以AC ⊥平面POB ，因为PB 在平面POB 内，所以AC PB ⊥，（2）解：在PAC △中，因为1PA PC ==，60APC ∠=︒，所以3PO =，1AC =，在ABC 中，因为AB BC =，90ABC ∠=︒，所以12BO =，在PBO 中，由于32PO =，12BO =，1AC PB ==，所以222PO BO PB +=，所以PO OB ⊥，因为 ,PO AC BOAC O ⊥=，所以PO ⊥平面ABC ，所以111331322224A PBC P ABC V V --==⨯⨯⨯⨯=【点睛】此题的两个等腰三角形有相同的底，所以利用等腰三角形“三线合一”的性质可证得线线垂直，再利用了线面垂直的判定和性质，由于三棱锥A PBC -的体积不易求解，所以利用等体积法求三棱锥A PBC -的体积，此题考查数学转化思想23．（1）证明见解析；（2）60°．【分析】（1）取AB 中点D ，连结1A D 、DF ，推导出四边形1DFEA 是平行四边形，从而1//A D EF ，由此能证明//EF 平面AA 11B B ．（2）取AC 中点H ，连结HF ，则EFH ∠为EF 与面ABC 所成角，由此能求出EF 与平面ABC 所成的角．【详解】（1）取AB 中点D ，连结1A D 、DF ，在ABC ∆中，D 、F 为中点，1//2DF AC =∴，又11//A C AC ，且11112A E AC =，1//DF A E =∴， ∴四边形1DFEA 是平行四边形，1//A D EF ∴，1A D ∴⊂平面11AA B B ，EF ⊂/平面11AA B B ，//EF ∴平面AA 11B B ．（2）取AC 中点H ，连结HF ，1//EH AA ，1AA ⊥面ABC ，EH ∴⊥面ABC ，EFH ∴∠为EF 与面ABC 所成角，在Rt EHF ∆中，3FH =13EH AA ==，tan 3tan 603HFE ∴∠=︒，60HFE ∴∠=︒，EF ∴与平面ABC 所成的角为60︒．【点睛】本题考查线面平行的证明，考查线面角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、空间想象能力、数形结合思想，是中档题． 24．（1）证明见解析；（2）2.【分析】（1）取PD 中点N ，证明BMNC 为平行四边形，得到//BM NC ，从而得到//BM 平面PCD ．（2）对三棱锥B CDM -进行等体积转化，转化为求P BCD -的体积的一半．取AB 中点O ，连PO ，可证PO 为三棱锥P BCD -的高并求出其长度，求出BCD △的面积，得到三棱锥P BCD -的体积，即可求出三棱锥B CDM -的体积．【详解】证明：（1）取PD 中点N ，连接MN ，NC , MN 为PAD △的中位线，//MN AD ∴，且12MN AD =，又//BC AD ，且12BC AD =，//MN BC ∴，且MN BC =，则BMNC 为平行四边形，//BM NC ∴，又NC ⊂平面PCD ，MB ⊂/平面PCD ，//BM ∴平面PCD ．（2）取AB 中点O ，连PO ，,PB PA PO AB =∴⊥，又平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAB ⋂平面ABCD AB =，PO ⊂平面PAB ，PO ∴⊥平面ABCD ．PO ∴为三棱锥P BCD -的高，PA PB =，4AB =，PB PA ⊥，PAB ∴为等腰直角三角形，2PO =，90DAB ABC ，//AD BC ，1134622BCD S BC AB =⨯⨯=⨯⨯=， M 是PA 的中点，∴三棱锥B CDM -的体积为： 11162223126P B CDM M BCD BCD BCDV V V S PO ---==⨯=⨯=⨯⨯=．【点睛】本题考查通过线线平行证明线面平行，通过面面垂直证明线面垂直，变换顶点和底面进行等体积转化，求三棱锥的体积，属于中档题．25．（1）E 为PD 的中点；（2）24. 【分析】（1）E 为PD 的中点，连接BD 交AC 于点O ，连接OE ，则//OE PB ，故而//PB 平面AEC ；（2）点E 到平面PAC 距离等于点D 到平面PAC 距离的12倍，由1122E PAC D PAC P ACD V V V ---==可得答案. 【详解】（1）E 为PD 的中点.证明：连接BD ，使AC 交BD 于点O ，取PD 的中点为E ，连接EO ，∵O ，E 分别为BD ，PD 的中点，∴//OE PB .又OE ⊂平面AEC ，PB ⊄平面AEC ，∴//PB 平面AEC .（2）222AC PC PA =-=∴222AB BC AC +=，∴AB BC ⊥，即菱形ABCD 为正方形.又点E 到平面PAC 距离等于点D 到平面PAC 距离的12倍，设点E 到平面PAC 的距离为h ，∴1122E PAC D PAC P ACD V V V ---==， 11111111132322h ⎛⎛⎫⨯⨯⨯⋅=⨯⨯⨯⨯⨯ ⎪⎝⎝⎭解得4h =. 【点睛】本题考查了线面平行的判定，等体积法求棱锥的高，属于基础题．26．（1）证明见解析；（2.【分析】（1）在正方体1111ABCD A B C D -中，易证1,C O BD CO BD ⊥⊥，由线面垂直的判定定理得到BD ⊥平面1C OC ，然后再利用面面垂直的判定定理证明.（2）由（1）知BD ⊥平面1C OC ，且平面1C BD ⋂平面CBD BD =，得到1C OC ∠是二面角1C BD C --的平面角，然后在1Rt C OC ∆中求解.【详解】（1）∵在正方体1111ABCD A B C D -中，点O 是BD 中点，又11BC DC = ， BC DC = ，∴ 1,C O BD CO BD ⊥⊥ 11,C O CO O C O =⊂平面1,C OC CO ⊂平面1C OC ，BD ∴⊥平面1C OC ，又∵BD ⊂平面11BDD B ，∴平面11BDD B ⊥平面1C OC ．…（2）由（1）知：平面1C BD ⋂平面CBD BD =，11,C O BD C O ⊥⊂半平面1;,C BD CO BD CO ⊥⊂ 半平面;CBD所以1C OC ∠是二面角1C BD C --的平面角则在正方体1111ABCD A B C D -中11,C C OC ==∴在1Rt C OC ∆中，11tan C C C OC OC∠==故二面角1C BD C -- ．【点睛】本题主要考查线面垂直，面面垂直的判定定理以及二面角的求法，还考查了逻辑推理和运算求解的能力，属于中档题.。

初中数学知识点大全(完整版)

第一册第一章有理数1。

1正数和负数以前学过的0以外的数前面加上负号“－”的书叫做负数.以前学过的０以外的数叫做正数。

数０既不是正数也不是负数,０是正数与负数的分界。

在同一个问题中，分别用正数和负数表示的量具有相反的意义1。

2有理数1.2。

1有理数正整数、0、负整数统称整数，正分数和负分数统称分数。

整数和分数统称有理数。

1。

2.2数轴规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴.数轴的作用：所有的有理数都可以用数轴上的点来表达。

注意事项:⑴数轴的原点、正方向、单位长度三要素，缺一不可。

⑵同一根数轴,单位长度不能改变。

一般地，设是一个正数,则数轴上表示a的点在原点的右边，与原点的距离是a个单位长度;表示数－a的点在原点的左边,与原点的距离是a个单位长度。

1.2。

3相反数只有符号不同的两个数叫做互为相反数。

数轴上表示相反数的两个点关于原点对称。

在任意一个数前面添上“－"号，新的数就表示原数的相反数。

1.2.4绝对值一般地,数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值.一个正数的绝对值是它的本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。

在数轴上表示有理数，它们从左到右的顺序，就是从小到大的顺序，即左边的数小于右边的数。

比较有理数的大小：⑴正数大于0，0大于负数，正数大于负数。

⑵两个负数，绝对值大的反而小。

1。

3有理数的加减法1。

3.1有理数的加法有理数的加法法则:⑴同号两数相加,取相同的符号，并把绝对值相加。

⑵绝对值不相等的饿异号两数相加,取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。

互为相反数的两个数相加得0.⑶一个数同0相加，仍得这个数.两个数相加，交换加数的位置，和不变。

加法交换律：a＋b＝b＋a三个数相加，先把前面两个数相加，或者先把后两个数相加,和不变.加法结合律：（a＋b)＋c＝a＋(b＋c）1。

3.2有理数的减法有理数的减法可以转化为加法来进行.有理数减法法则:减去一个数，等于加这个数的相反数.a－b＝a＋(－b)1.4有理数的乘除法1.4。

等腰三角形的性质

等腰三角形性质一、教材分析1、教材的地位和作用：《等腰三角形的性质》是初中几何第二册第三章《三角形(二)》的第一课时，是全等三角形的续篇。

等腰三角形是最常见的图形，由于它具有一些特殊性质，因而在生活中被广泛应用。

等腰三角形的性质，特别是它的两个底角相等的性质，可以实现一个三角形中边相等与角相等之间的转化，也是今后论证两角相等的重要依据之一。

等腰三角形沿底边上的高对折完全重合是今后论证两条线段相等及线段垂直的重要依据。

同时通过这节课的学习还可培养学生的动手、动脑、动口、合作交流等能力，加强学生对直觉、猜想、演绎、类比、归纳、转化等数学思想、方法的领会掌握，培养学生的探究能力和创新精神。

2、教材重组：《数学新课程标准》要求教师要创造性地使用教材，积极开发，利用各种教学资源，为学生提供丰富多彩的学习素材，所以我制作了学生非常熟悉和感兴趣的电视转播塔、房屋人字架等课件，让学生观察寻找出其熟悉的几何图形，然后动手作出这个图形，并裁下来，动手折叠，发现规律。

如此把教材内容还原成生动活泼的思维创造活动，促使学生在教师指导下生动活泼地、主动地、富有个性地学习。

3、学习目标：根据《数学新课程标准》对学生在知识与技能、数学思考以及情感与态度等方面的要求，我把本节课的学习目标确定为：知识目标：了解等腰三角形和等边三角形有关概念，探索并掌握等腰三角形和等边三角形性质，能应用性质进行计算和解决生产、生活中的有关问题。

能力目标：能结合具体情境发现并提出问题，逐步具有观察、猜想、推理、归纳和合作学习能力。

情感目标：通过创设问题情境，激发学生自主探求的热情和积极参与的意识；通过合作交流，培养学生团结协作、乐于助人的品质。

4、教学重、难点：重点：等腰三角形性质的探索及其应用。

难点：等腰三角形性质的探索及证明。

5、突破难点策略：通过创设具有启发性的、学生感兴趣的、有助自主学习和探索的问题情境，使学生在活动丰富、思维积极的状态中进行探究学习，组织好合作学习，并对合作过程进行引导，使学生朝着有利于知识建构的方向发展。

深圳市深圳中学初中部必修第二册第三单元《立体几何初步》测试(含答案解析)

一、选择题1．如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，1AD AB ==，AD AB ⊥，45BCD ∠= ，将ABD ∆沿对角线BD 折起．设折起后点A 的位置为A '，并且平面A BD '⊥平面BCD . 给出下面四个命题： ①A D BC '⊥；②三棱锥A BCD '-的体积为2； ③CD ⊥平面A BD '；④平面A BC '⊥平面A DC '.其中正确命题的序号是（）A ．①②B ．③④C ．①③D ．②④ 2．如图,P 是正方体1111ABCD A B C D -中1BC 上的动点，下列命题：①1AP B C ⊥；②BP 与1CD 所成的角是60°；③1P AD C V -为定值；④1//B P 平面1D AC ；⑤二面角PAB C 的平面角为45°．其中正确命题的个数有（） A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个3．在正四面体ABCD 中，异面直线AB 与CD 所成的角为α，直线AB 与平面BCD 所成的角为β，二面角C AB D --的平面角为γ，则α，β，γ的大小关系为（） A ．βαγ<< B ．αβγ<< C ．γβα<< D ．βγα<< 4．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，13,2,4AA AB AD ===，点M 是棱AD 的中点，点N 在棱1AA 上，且满足12AN NA =，P 是侧面四边形11ADD A 内的一动点（含边界），若1//C P 平面CMN ，则线段1C P 长度的取值范围是（）A ．17]B ．[2,3]C ．6,22]D ．[17,5] 5．正方体1111ABCD A B C D -中，AB 的中点为M ，1DD 的中点为N ，则异面直线1B M 与CN 所成角的大小为（）A ．0︒B ．45︒C ．60︒D ．90︒ 6．设l 是直线，α，β是两个不同的平面，则正确的结论是（）A ．若l ∥α，l ∥β，则α∥βB ．若l ∥α，l ⊥β，则α⊥βC ．若α⊥β，l ⊥α，则l ⊥βD ．若α⊥β，l ∥α，则l ⊥β7．在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D －中，M 为AB 的中点，则点C 到平面1A DM 的距离为（）A ．63aB ．66aC ．22aD ．12a 8．3P －ABC 的顶点都在球O 的球面上，PA ⊥平面ABC ，PA ＝2，∠ABC ＝120°，则球O 的体积的最小值为（）A ．73 B ．2873 C ．193π D ．193π 9．在长方体1111ABCD A B C D -中，23AB AD ==12CC =，则二面角1C BD C --的大小是（）A ．30ºB ．45ºC ．60ºD ．90º10．设,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则下列命题正确的是（） A ．若m n ⊥，//n α，则m α⊥ B ．若//m β，βα⊥，则m α⊥ C ．若m β⊥，n β⊥，n α⊥，则m α⊥ D ．若m n ⊥，n β⊥，βα⊥，则m α⊥ 11．已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面边长都相等，1A 在底面ABC 内的射影为ABC ∆的中心O ，则1AC 与底面ABC 所成角的余弦值等于（）A ．23B 7C 6D 5第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明参考答案12．若用与球心距离为1的平面去截球，所得截面圆的面积为π，则球的表面积为（） A ．8π B ．323π C ．93π D ．92π 13．已知四棱锥的各个顶点都在同一个球的球面上，且侧棱长都相等，高为4，底面是边长为32的正方形，则该球的表面积为（）A ．75518πB ．62516πC ．36πD ．34π14．设l 是直线，α，β是两个不同的平面，下列命题正确的是（）A ．若//l α，//l β，则//αβB ．若αβ⊥，//l α，则l β⊥C ．若αβ⊥，l α⊥，则//l βD ．若//l α，l β⊥，则αβ⊥二、解答题15．如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中（底面是正方形的直四棱柱），底面正方形ABCD 的边长为1，侧棱1AA 的长为2，E 、M 、N 分别为11A B 、11B C 、1BB 的中点．（1）求证：1//AD 平面EMN ；（2）求异面直线1AD 与BE 所成角的余弦值．16．如图，已知三棱柱111ABC A B C -的所有棱长都相等，侧棱1AA ⊥底面ABC ，,E F 分别是1111,A B AC 的中点.（1）求证:11B F AC ⊥ ；（2）求平面EFCB 与底面ABC 所成二面角的正切值.17．如图三棱柱111ABC A B C －中，11,,60CA CB AB AA BAA ∠︒＝＝＝，（1）证明1AB A C ⊥；（2）若16AC ＝，2AB CB ＝＝，求三棱柱111ABC A B C －的体积S . 18．如图甲，平面四边形ABCD 中，已知45A ︒∠=，90︒∠=C ，105ADC ︒∠=，2AB BD ==，现将四边形ABCD 沿BD 折起，使得平面ABD ⊥平面BDC (如图乙)，设点E ，F 分别是棱AC ，AD 的中点.（1）求证：DC ⊥平面ABC ；（2）求三棱锥A BEF -的体积.19．在四棱锥P ABCD -中，//AD BC ，BC CD ⊥，120ABC ∠=︒，4=AD ，3BC =，=2AB ，3=CD CE ，⊥AP ED ．（1）求证：DE ⊥面PEA ；（2）已知点F 为AB 中点，点P 在底面ABCD 上的射影为点Q ，直线AP 与平面ABCD 所成角的余弦值为33，当三棱锥-P QDE 的体积最大时，求异面直线PB 与QF 所成角的余弦值．20．如图，已知多面体111ABCA B C ，1A A ，1B B ，1C C 均垂直于平面ABC ，120ABC ∠=︒，14A A =，11C C =，12AB BC B B ===．（1）证明：1AB ⊥平面111A B C ；（2）求直线1AC 平面1ABB 所成的角的正弦值．21．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB AD ==，12AA =，点P 为棱1DD 的中点.（1）证明：1//BD 平面PAC ；（2）求异面直线1BD 与AP 所成角的大小.22．如图，在空间几何体A -BCDE 中，底面BCDE 是梯形，且CD //BE ，CD =2BE =4，∠CDE =60°，△ADE 是边长为2的等边三角形.（1）若F 为AC 的中点，求证：BF //平面ADE ；（2）若AC =4，求证：平面ADE ⊥平面BCDE .23．在斜三棱柱111ABC A B C -中，AB AC ⊥，1B C ⊥平面ABC ，且2AB AC ==，123AA =．（Ⅰ）求证：平面1AB C ⊥平面11ABB A ；（Ⅱ）求直线1BC 与平面11ABB A 所成角的正弦值．24．在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是正方形，MA ⊥平面ABCD ，//PD MA ，E 、G 、F 分别为MB 、PB 、PC 的中点．（1）求证：平面EFG ⊥平面PDC ；（2）求证：平面//EFG 平面PM A ．25．如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAB ⊥平面ABCD ，PB PA ⊥，PB PA =，90DAB ABC ∠=∠=，435AB BC CD ===，，，M 是PA 的中点.（1）求证：BM //平面PCD ；（2）求三棱锥B CDM -的体积.26．如图所示，四棱锥P －ABCD 的底面是边长为8的正方形，四条侧棱长均为217.点G ，E ，F ，H 分别是棱PB ，AB ，CD ，PC 上共面的四点，平面GEFH ⊥平面ABCD ，BC ∥平面GEFH .（1）证明：GH ∥EF ；（2）若EB ＝2，求四边形GEFH 的面积.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【分析】利用折叠前四边形ABCD 中的性质与数量关系，可证出BD DC ⊥，然后结合平面A BD ' ⊥平面BCD ，可得CD ⊥平面A BD '，从而可判断①③；三棱锥'A BCD -的体积为113226⋅=，可判断②；因为CD ⊥平面A BD '，从而证明CD A B '⊥，再证明'A B ⊥平面A DC '，然后利用线面垂直证明面面垂直.【详解】①90,BAD AD AB ︒∠==，45ADB ABD ︒∴∠=∠=，//,45AD BC BCD ︒∠=，BD DC ∴⊥，平面A BD ' ⊥平面BCD ，且平面A BD '平面BCD BD =， CD 平面A BD '，A D '⊂平面A BD '，CD A D '∴⊥，若A D BC '⊥则A D '⊥面BCD ，则A D '⊥BD ，显然不成立，故A D BC '⊥不成立，故①错误；②棱锥'A BCD -的体积为113226⋅=，故②错误； ③由①知CD ⊥平面A BD '，故③正确；④由①知CD ⊥平面A BD '，又A B '⊂平面A BD '，CD A B '∴⊥，又A B A D ''⊥，且'A D 、CD ⊂平面A DC '，A D CD D '=，A B '∴⊥平面A DC '，又A B '⊂平面'A BC ，∴平面'A BC ⊥平面A DC '，故④正确.故选：B .【点睛】本题通过折叠性问题，考查了面面垂直的性质，面面垂直的判定，考查了体积的计算，关键是利用好直线与平面、平面与平面垂直关系的转化，也要注意利用折叠前后四边形ABCD 中的性质与数量关系.2．C解析：C【详解】①在正方体中，1111,,AB B C BC B C AB BC B ⊥⊥=，所以1B C ⊥平面11,ABC D AP ⊂平面11ABC D ，从而1AP B C ⊥正确；②由于11//CD A B ,并且11,BC A B 的夹角是60°，故1BP CD 与所成的角是60°正确；③虽然点P 变化，但P 到1AD 的距离始终不变，故1P AD C V -为定值正确；④若1//B P 平面1D AC ，而1//BC 平面1D AC ，1111,,B P BC P B P BC =⊂平面11BB C C ，所以平面1//D AC 平面11BB C C ，这与平面1D AC 与平面11BB C C 相交矛盾，所以不正确；⑤P 点变化，但二面角PAB C 都是面11ABC D 与面ABCD 所成的角, 故二面角PAB C 的平面角为45°正确；故选：C. 3．D解析：D【分析】在正四面体ABCD 中易证AB CD ⊥,即90α=，然后作出直线AB 与平面BCD 所成的角，二面角C AB D --的平面角，在将之放到三角形中求解比较其大小.【详解】在正四面体ABCD 中,设棱长为2,设O 为底面三角形BCD 是中心，则AO ⊥平面BCD .取CD 边的中点E ，连结,AE BE , 如图.则易证,AE CD BE CD ⊥⊥,又AE BE E =.所以CD ⊥平面ABE ,又AB ⊆平面ABE ，所以AB CD ⊥.所以异面直线AB 与CD 所成的角为90α=.又AO ⊥平面BCD .所以直线AB 与平面BCD 所成的角为β=ABO ∠在ABO 中,2233BO BE ==,2AB = 所以3cos 3BO ABO AB ∠==. 取边AB 的中点F ，连结,CF FD ，则有,CF AB FD AB ⊥⊥，所以二面角C AB D --的平面角为CFD γ=∠, 在CFD △中，3,2CF FD CD ===由余弦定理有：2221cos 23CF FD CD CFD CF FD +-∠==⨯⨯, 即31=90cos cos =33αβγ=>，，所以βγα<<，故选：D.【点睛】本题考查异面直线成角，线面角，二面角的求法，关键是在立体图中作出相应的角，也可以用向量法，属于中档题. 4．C解析：C【分析】首先找出过点1C 且与平面CMN 平行的平面，然后可知点P 的轨迹即为该平面与侧面四边形11ADD A 的交线段，进而可以利用解三角形的知识求出线段1C P 长度的取值范围．【详解】如图所示：，取11A D 的中点G ，取MD 的中点E ，1A G 的中点F ，1D D 的三等分点H 靠近D ，并连接起来．由题意可知1//C G CM ，//GH MN ，所以平面1//C GH 平面CMN ．即当点P 在线段GH 上时，1//C P 平面CMN ．在1H C G 中，2212222C G =+=，2212222C H =+=，22GH =，所以1H C G 为等边三角形，取GH 的中点O ，122sin606C O ==，故线段1C P 长度的取值范围是[6,22]．故选：C ．【点睛】本题主要考查线面平行，面面平行的判定定理和性质定理的应用，以及解三角形，意在考查学生的逻辑推理能力和数学运算能力，属于中档题．5．D解析：D 【分析】利用异面直线所成的角的定义，取1A A 的中点为E ，则直线1B M 与CN 所成角就是直线1B M 与BE 成的角．【详解】取1A A 的中点为E ，连接BE ，则直线1B M 与CN 所成角就是直线1B M 与BE 成的角，由题意得1B M BE ⊥，故异面直线1B M 与CN 所成角的大小为90︒. 故选：D ．【点睛】本题考查空间角的计算，考查棱柱的性质，考查学生逻辑思维能力和计算能力，属于中档题．6．B解析：B 【分析】根据直线、平面间平行、垂直的位置关系判断．【详解】若l ∥α，l ∥β，则α∥β或,αβ相交，A 错；若l ∥α，由线面平行的性质得，知α内存在直线b 使得//l b （过l 作平面与α相交，交线即是平行线），又l ⊥β，∴b β⊥，∴α⊥β，B 正确；若α⊥β，l ⊥α，则不可能有l ⊥β，否则由l ⊥α，l ⊥β，得//αβ，矛盾，C 错；若α⊥β，l ∥α，则l 与β可能平行，可能在平面内，可能相交也可能垂直，D 错．故选：B ．【点睛】本题考查空间直线、平面间平行与垂直关系的判断，掌握直线、平面间位置关系是解题关键．7．A解析：A 【分析】根据等体积法有11A CDM C A DM V V --=得解. 【详解】画出图形如下图所示，设C 到平面1A DM 的距离为h ，在△1A DM 中115,2,A M DM a A D a === 1A ∴到DM 的距离为3a则根据等体积法有11A CDM C A DM V V --=，即1111323232a a a a a h ⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅，解得63h a =，故选:A.【点睛】本题考查利用等体积法求距离，属于基础题.8．B解析：B【分析】根据三棱锥的体积求出S △ABC ＝332，在三角形ABC 中，根据余弦定理和正弦定理求出△ABC 外接圆的半径r 的最小值，从而可求出外接球半径的最小值和外接球体积的最小值. 【详解】设AB ＝c ，BC ＝a ，AC ＝b ，由题可得3＝13×S △ABC ×2，解得S △ABC ＝332. 因为∠ABC ＝120°，S △ABC ＝332＝12ac sin 120°，所以ac ＝6，由余弦定理可得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos 120°＝a 2＋c 2＋ac ≥2ac ＋ac ＝3ac ＝18，当且仅当a ＝c 时取等号，此时b min ＝32.设△ABC 外接圆的半径为r ，则sin120b＝2r (b 最小，则外接圆半径最小)，故3232＝2r min ，所以r min ＝6.如图，设O 1为△ABC 外接圆的圆心，D 为PA 的中点，R 为球的半径，连接O 1A ，O 1O ，OA ，OD ，PO ，易得OO 1＝1，R 2＝r 2＋OO ＝r 2＋1，当r min ＝6时，2min R ＝6＋1＝7，R min ＝7，故球O 体积的最小值为43π3min R ＝437)3＝2873. 故选：B 【点睛】本题考查了三棱锥的体积公式，考查了球的体积公式，考查了正弦定理，考查了余弦定理，属于中档题.9．A解析：A 【分析】取BD 中点为O ，1CC ⊥平面ABCD ，所以C 即1C 在平面ABCD 上的投影，易知CO BD ⊥，再利用线面垂直证明1BD C O ⊥，得到1COC ∠即二面角1C BD C --，再计算二面角大小即可. 【详解】由题意，作出长方体1111ABCD A B C D -的图象，取BD 中点为O ，连接CE 、1C E ，因为1CC ⊥平面ABCD ，所以C 即1C 在平面ABCD 上的投影，又BD ⊂平面ABCD ，所以1CC BD ⊥，因为23AB AD ==，所以四边形ABCD 是正方形，O 为BD 中点，所以CO BD ⊥，又1CO CC C =，所以BD ⊥平面1COC ，又1C O ⊂平面1COC ，所以1BD C O ⊥，1COC ∠即二面角1C BD C --，又12CC =，()()2223236CO +==，所以123tan 36COC ∠==，130COC ∠=.故选：A 【点睛】本题主要考查二面角的求法和线面垂直的判定定理和性质，考查学生空间想象能力，属于中档题.10．C解析：C 【分析】根据空间中直线与平面、平面与平面位置关系相关定理依次判断各个选项可得结果. 【详解】对于A ，当m 为α内与n 垂直的直线时，不满足m α⊥，A 错误；对于B ，设l αβ=，则当m 为α内与l 平行的直线时，//m β，但m α⊂，B 错误；对于C ，由m β⊥，n β⊥知：//m n ，又n α⊥，m α∴⊥，C 正确；对于D ，设l αβ=，则当m 为β内与l 平行的直线时，//m α，D 错误.故选：C . 【点睛】本题考查立体几何中线面关系、面面关系有关命题的辨析，考查学生对于平行与垂直相关定理的掌握情况，属于基础题.11．B解析：B 【分析】连接1,,,OA OB OC AC ，设侧棱与底面边长都等于a ，计算33AO a OC ==，16A O a =，1AC a =，13AC a =，再根据点1C 到底面ABC 的距离等于点1A 到底面ABC 的距离，求解1AC 与底面ABC 所成角的正弦值，即可. 【详解】如图所示，设三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面边长都等于a . 连接1,,,OA OB OC AC ，则3AO a OC ==. 在1Rt A OA ∆中，22211A A A O OA =+，得16A O a =. 在1Rt AOC ∆中，222211A C A O OC a =+=，即1AC a =，则1A AC ∆为等边三角形，所以160A AC ∠=. 在菱形11ACC A 中，得111120,3AAC AC a ∠==.又因为点1C 到底面ABC 的距离等于点1A 到底面ABC 的距离16A O a =所以1AC 与底面ABC 62333aa=. 即1AC 与底面ABC 所成角的余弦值为7.故选：B 【点睛】本题考查直线与平面所成角的问题，属于中档题题.12．A解析：A 【分析】设截面圆的半径为r ，球的半径为R ，根据题设条件，求得1r =，结合球的截面圆的性质，求得2R =，利用球的表面积公式，即可求解.【详解】作轴截面，如图所示，根据球的性质，可得11OO =，设截面圆的半径为r ，球的半径为R ，因为截面圆的面积为π，可得2r ππ=，解得1r =，又由22212R OO r =+=，所以2R =，所以球的表面积为2=48S R ππ=球. 故选：A.【点睛】本题主要考查了球的表面积的计算，以及球的截面圆的性质的应用，着重考查运算与求解能力，属于基础题.13．B解析：B 【分析】如图所示，设四棱锥P ABCD -中，球的半径为R ，底面中心为O '且球心为O ，可得OP ⊥底面ABCD ．3AO '=，4PO '=，在Rt AOO ∆'中，利用勾股定理解得R ，即可得出球的表面积．【详解】如图所示，设球的半径为R ，底面中心为O '且球心为O . ∵四棱锥P ABCD -中，32AB =， ∴3AO '=. ∵4PO '=，∴Rt AOO ∆'中，|4|OO R '=-，222AO AO OO ''=+， ∴2223(4)R R =+-，解得258R =， ∴该球的表面积为222562544816R πππ⎛⎫=⨯=⎪⎝⎭.故选：B . 【点睛】本题考查几何体的外接球问题，此类问题常常构造直角三角形利用勾股定理进行求解，属于中等题.14．D解析：D 【分析】利用空间线线、线面、面面的位置关系对选项进行逐一判断，即可得到答案. 【详解】A.若//l α，//l β，则α与β可能平行，也可能相交，所以不正确.B.若αβ⊥，//l α，则l 与β可能的位置关系有相交、平行或l β⊆,所以不正确.C.若αβ⊥，l α⊥，则可能l β⊆，所以不正确.D.若//l α，l β⊥，由线面平行的性质过l 的平面与α相交于l '，则l l '，又l β⊥.所以l β'⊥，所以有αβ⊥，所以正确. 故选：D 【点睛】本题考查面面平行、垂直的判断，线面平行和垂直的判断,属于基础题.二、解答题15．（1）证明见解析（2）88585【分析】（1）通过证明1//AD MN 可证1//AD 平面EMN ；（2）由（1）知11//AD BC ,所以1EBC ∠（或其补角）为异面直线1AD 与BE 所成的角，根据余弦定理计算可得结果. 【详解】（1）连1BC ，1EC ，如图：因为//AB CD ，AB CD =，且11//CD C D ，11CD C D =，所以11//AB C D ，11AB C D =，所以四边形11ABC D 为平行四边形，所以11//AD BC ，因为M 、N 分别为11B C 、1BB 的中点，所以1//MN BC ，所以1//AD MN ，因为1AD ⊄平面EMN ，MN ⊄平面EMN ，所以1//AD 平面EMN .（2）由（1）知11//AD BC ，所以1EBC ∠（或其补角）为异面直线1AD 与BE 所成的角，依题意知12BB =，112EB =，111B C =，所以22211117444BE BB EB =+=+=，2221111415BC BB B C =+=+=，222111115144EC EB B C =+=+=，所以2221111cos 2BE BC EC EBC BE BC +-∠==⋅1755+-=. 【点睛】思路点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下：（1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；（2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；（3）计算：求该角的值，常利用解三角形；（4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是0,2π⎛⎤⎥⎝⎦，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角． 16．（1）证明见解析；（2【分析】（1）由线面垂直得到线线垂直，再由线线垂直得到线面垂直；（2）取EF 中点P ，BC 中点K ，找到二面角，再在三角形中计算就可以了. 【详解】（1）证明：1AA ⊥平面11,ABC B F AA ∴⊥ ，又111A B C 为正三角形，F 为11A C 中点，111B F AC ∴⊥得1B F ⊥平面11ACC A . 又因为1AC ⊂平面11ACC A ，所以11B F AC ⊥；（2）设所有棱长都为2，取EF 中点P ，BC 中点K ，连,,PK AK PA . 易知,PK BC AK BC ⊥⊥，则PKA ∠为平面EFCB 的与底面ABC 所成二面角的平面角，在PKA 中，取AK 中点O ，连PO ，有PO ⊥平面ABC ，则PO AK ⊥，且32,POOK ==，43tan 3PO PKA OK ∠===,【点睛】第二问的关键点是由线面垂直找到线线垂直，求出二面角，然后在三角形中计算就可以了. 17．（1）证明见解析；（2）3. 【分析】（1）取AB 中点E ，连接11,,CE A B A E ，根据已知条件，利用等腰三角形的性质得到1A E AB ⊥，,CE AB ⊥利用线面垂直的判定定理证得AB ⊥面1,CEA 即可得到1AB A C ⊥ ；（2）在1CEA 中可以证明1AE CE ⊥，结合1A E AB ⊥，利用线面垂直判定定理得到1A E ⊥平面ABC ,作为三棱柱的高，进而计算体积.【详解】(1)取AB 中点E ，连接11,,CE A B A E ，11,60AB AA BAA ∠︒＝＝， 1BAA ∴是等边三角形，1A E AB ∴⊥，CA CB ＝，,CE AB ∴⊥1,CE A E E ⋂＝AB ∴⊥面1,CEA1AB A C ∴⊥.(2)由于CAB ∆为等边三角形，CE ∴11222S AB CE ⨯⨯⨯=底面积＝＝1CEA 中，CE 1EA 1AC =1A E CE ∴⊥，结合1A E AB ⊥，又,,AB CE E AB CE ⋂=⊂平面ABC ,1A E ∴⊥平面ABC ,1h A E ∴＝3V Sh =＝.【点睛】本题考查线面垂直的判定与证明，考查棱柱的体积计算，属基础题，为证明线线垂直，常常先证线面垂直，为证明线面垂直，又常常需要先证明线线垂直，这是线面垂直关系常用的证明与判定方式，要熟练掌握.18．（1）证明见解析；（2. 【分析】（1）在图甲中先证AB BD ⊥，在图乙中由面面垂直的性质定理先证AB CD ⊥，由条件可得DC BC ⊥，进而可判定DC ⊥平面AB C ；（2）利用等体积法进行转化计算即可. 【详解】（1）图甲中，∵AB BD =且45A ︒∠=，45ADB ︒∴∠=，()()180180454590ABD ADB A ︒︒︒︒︒∴∠=-∠+∠=-+=，即AB BD ⊥，图乙中，∵平面ABD ⊥平面BDC ，且平面ABD 平面BDC BD =， ∴AB ⊥平面BDC ，又CD ⊂平面BDC ，∴AB CD ⊥，又90DCB ︒∠=，∴DC BC ⊥，且AB BC B ⋂=，又AB ，BC ⊂平面AB C ，∴DC ⊥平面AB C ；（2）因为点E ，F 分别是棱AC ，AD 的中点，所以//EF DC ，且12EF DC =，所以EF ⊥平面ABC ，由（1）知，AB ⊥平面BDC ，又BC ⊂平面BDC ，所以AB BC ⊥，105ADC ︒∠=，45ADB ︒∠=，1054560CDB ADC ADB ︒︒︒∴∠=∠-∠=-=，90906030CBD CDB ︒︒︒︒∴∠=-∠=-=，cos302BC BD ︒∴=⋅==1sin 30212DC BD ︒=⋅=⨯=，所以12ABC S AB BC =⨯⨯△12ABE ABC S S ==△△1122EF DC ==，所以111332A BEF F ABE ABE V V EF S --==⋅⋅=⋅=△ 【点睛】方法点睛：计算三棱锥体积时，常用等体积法进行转化，具体的方法为：①换顶点，换底面；②换顶点，不换底面；③不换顶点，换底面.19．（1）证明见解析；（2．【分析】（1）在直角梯形ABCD 中先求出,,CD CE BE ，然后可求得,DE AE ，从而可证明DE AE ⊥，由线面垂直判定定理证明线面垂直；（2）由（1）得面面垂直，知Q 在AE 上，PAQ ∠为直线AP 与平面ABCD 所成的角，cos AQ PAQ AP ∠==AQ x =（0x <≤-P QDE 的体积，由二次函数知识求得最大值，及此时x 的值，得Q 为AE 中点，从而有//FQ BE ，PBE ∠为异面直线PB 与QF 所成角（或补角），由余弦定理可得．【详解】（1）证明：//AD BC ，BC CD ⊥，120ABC ∠=︒，4=AD ，3BC =，=2AB ，∴CD ===CD ，∴1CE =，CD =2BE =，由余弦定理得AE ===又2DE ===，∴222DE AE AD ，∴AD DE ⊥，∵AP DE ⊥，又AP AE A =，AP AE ⊂、平面APE ，∴DE ⊥平面APE ．（2）由（1）DE ⊥平面APE ．DE ⊂平面ABCD ，∴平面ABCD ⊥平面PAE ，∴Q 点在AE 上，PAQ ∠为直线AP 与平面ABCD 所成的角，cos 3AQ PAQ AP ∠==，设AQ x =（0x <≤PQ =，QE x =，12(23)232QDE S x x =⨯⨯-=-△， 212(23)33P QDE QDE V PQ S x x -=⋅=--△22(3)223x =--+≤，当且仅当3x =时等号成立，则当P QDE V -最大时，3AQ =，∴Q 为AE 中点，∵F 为AB 中点，∴//FQ BC ，∴PBE ∠为异面直线PB 与QF 所成角（或补角），1,3QB QE ==，则由PQ ⊥平面ABCD 得3,7PE PB ==，又2BE =，则2227cos 2PB BE PE PBE PB BE +-∠==⋅， ∴异面直线PB 与QF 所成角的余弦值为714．【点睛】本题考查线面垂直的判定定理，考查直线与平面所成的角，异面直线所成的角，三棱锥的体积等，旨在考查学生的空间想象能力，运算求解能力，逻辑推理能力．属于中档题． 20．（1）证明见解析；（239 【分析】（1）由已知条件可得2221111A B AB AA +=，2221111AB B C AC +=，则111AB A B ⊥，111AB B C ⊥，再利用线面垂直的判定定理可证得结论；（2）如图，过点1C 作111C D A B ⊥，交直线11A B 于点D ，连接AD ，可证得1C D ⊥平面1ABB ，从而1C AD ∠是1AC 与平面1ABB 所成的角，然后在1Rt C AD 求解即可【详解】（1）证明：由2AB =，14AA =，12BB =，1AA AB ⊥，1BB AB ⊥得11122AB A B ==，所以2221111A B AB AA +=，由111AB A B ⊥．由2BC =，12BB =，11CC =，1BB BC ⊥，1CC BC ⊥得115B C =，由2AB BC ==，120ABC ∠=︒得23AC =，由1CC AC ⊥，得113AC =，所以2221111AB B C AC +=，故111AB B C ⊥，又11111A B B C B =，因此1AB ⊥平面111A B C ．（2）解如图，过点1C 作111C D A B ⊥，交直线11A B 于点D ，连接AD ．由1AB ⊥平面111A B C ，1AB ⊂平面1ABB ，得平面111A B C ⊥平面1ABB ，由111C D A B ⊥，得1C D ⊥平面1ABB ，所以1C AD ∠是1AC 与平面1ABB 所成的角．由115B C =，1122AB =，1121AC =得1116cos 7C A B ∠=，111sin 7C A B ∠=，所以13CD =，故11139sin C D C AC AD ∠==．因此，直线1AC 与平面1ABB 所成的角的正弦值是39．【点睛】关键点点睛：此题考查线面垂直的判定和线面角的求法，解题的关键是通过过点1C 作111C D A B ⊥，交直线11A B 于点D ，连接AD ，然后结合条件可证得1C AD ∠是1AC 与平面1ABB 所成的角，从而在三角形中求解即可，考查推理能力和计算能力，属于中档题 21．（1）证明见解析；（2）30.【分析】（1）AC 和BD 交于点O ，则O 为BD 的中点．推导出1//PO BD ．由此能证明直线1//BD 平面PAC ；（2）由1//PO BD ，得APO ∠即为异面直线1BD 与AP 所成的角或其补角．由此能求出异面直线1BD 与AP 所成角的大小．【详解】（1）证明：设AC 和BD 交于点O ，则O 为BD 的中点.连结PO ，又因为P 是1DD 的中点，所以1//PO BD .又因为PO ⊂平面PAC ，1BD ⊄平面PAC所以直线1//BD 平面PAC.（2）解：由（1）知，1//PO BD ，所以APO ∠即为异面直线1BD 与AP 所成的角或其补角.因为2PA PC ==212AO AC ==且PO AO ⊥，所以212sin 22AO APO AP ∠===. 又(0,90APO ︒︒⎤∠∈⎦，所以30APO ∠=︒故异面直线1BD 与AP 所成角的大小为30.【点睛】方法点睛：异面直线所成的角的求法方法一：（几何法）找→作（平移法、补形法）→证（定义）→指→求（解三角形）方法二：（向量法）cos m nm n α=，其中α是异面直线,m n 所成的角，,m n 分别是直线,m n 的方向向量.22．（1）证明见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）取DA 的中点G ，连接FG ，GE ，推导出四边形BFGE 为平行四边形，从而BF //EG ，由此能证明BF //平面ADE.（2）取DE 的中点H ，连AH ，CH ，推导出AH ⊥DE ，AH ⊥HC ，从而AH ⊥平面BCDE ，由此能证明平面ADE ⊥BCDE .【详解】（1）如图所示，取DA 的中点G ，连接FG ，GE.∵F 为AC 的中点，∴GF //DC ，且GF =12DC .又DC //BE ，CD =2BE =4， ∴EB //GF ，且EB =GF∴四边形BFGE 是平行四边形，∴BF //EG .∵EG ⊂平面ADE ，BF ⊄平面ADE ，∴BF //平面ADE .（2）取DE 的中点H ，连接AH ，CH .∵△ADE 是边长为2的等边三角形，∴AH ⊥DE ，且AH 3.在△DHC 中，DH =1，DC =4，∠HDC =60°根据余弦定理可得HC 2=DH 2+DC 2-2DH ·DCcos 60°=12+42-2×1×4×12=13，即HC 13 在△AHC 中，AH 3HC 13AC =4.所以AC 2=AH 2+HC 2，即AH ⊥HC .因为AH DE ⊥，AH HC ⊥，DE HC H ⋂= AH ∴⊥平面BCDE∵AH ⊂平面ADE ，∴平面ADE ⊥平面BCDE .【点睛】方法点睛：要证线面平行，一般需要证明（1）线线平行（2）面面平行两种方法，在平行的证明中，线线平行一般需要考虑中位线、平行四边形，平行线分线段成比例的逆定理.23．（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）26. 【分析】（Ⅰ）通过1B C AB ⊥和AB AC ⊥可得AB ⊥平面1AB C ，即得证；（Ⅱ）设11BC B C O =，作1OE AB ⊥于E ，连结BE ，可得EBO ∠为1BC 与平面11ABB A 所成角，求出相关长度即可求解.【详解】（Ⅰ）证明：∵1B C ⊥平面ABC ，∴1B C AB ⊥，又AB AC ⊥，1AC B C C ⋂=，所以AB ⊥平面1AB C ，AB ⊂平面11ABB A ，所以平面1AB C ⊥平面11ABB A ；（Ⅱ）设11BC B C O =，作1OE AB ⊥于E ，连结BE ，∵平面1AB C ⊥平面11ABB A 于1AB ，∴OE ⊥平面11ABB A ，∴EBO ∠为1BC 与平面11ABB A 所成角，由已知2AB AC ==，123BB =12B C =，122B A = ∴223BO BC OC =+=，在等腰直角1AB C 中，2OE =，所以2sin 6OE EBO OB ∠==，即1BC 与平面11ABB A 所成角的正弦值为26. 【点睛】方法点睛：求线面角或面面角的常用方法，根据图形结构常用建立坐标系利用向量法求解或直接用几何法求解，向量法的往往更简单有效.24．（1）证明见解析；（2）证明见解析．【分析】（1）先证明BC ⊥平面PDC ，再利用线线平行证明GF ⊥平面PDC ，即证面面垂直；（2）先利用中位线证明//EG PM ，////GF BC AD ，再由此证明面面平行即可.【详解】（1）证明：由已知MA ⊥平面ABCD ，//PD MA ，∴PD ⊥平面ABCD ．又BC ⊂平面ABCD ，∴PD BC ⊥．∵四边形ABCD 为正方形，∴BC DC ⊥，又PD DC D ⋂=，∴BC ⊥平面PDC ，在PBC 中，∵G 、F 分别为PB 、PC 的中点，∴//GF BC ，∴GF ⊥平面PDC ．又GF ⊂平面EFG ，∴平面EFG ⊥平面PDC ．（2）∵E 、G 、F 分别为MB 、PB 、PC 的中点，∴//EG PM ，//GF BC ，又∵四边形ABCD 是正方形，∴//BC AD ，∴//GF AD ，∵EG 、GF 在平面PM A 外，PM 、AD 在平面PM A 内，∴//EG 平面PM A ，//GF 平面PM A ，又∵EG 、GF 都在平面EFG 内且相交，∴平面//EFG 平面PM A ．【点睛】本题考查了线线、线面、面面之间平行与垂直关系的转化，属于中档题.25．（1）证明见解析；（2）2.【分析】（1）取PD 中点N ，证明BMNC 为平行四边形，得到//BM NC ，从而得到//BM 平面PCD ．（2）对三棱锥B CDM -进行等体积转化，转化为求P BCD -的体积的一半．取AB 中点O ，连PO ，可证PO 为三棱锥P BCD -的高并求出其长度，求出BCD △的面积，得到三棱锥P BCD -的体积，即可求出三棱锥B CDM -的体积．【详解】证明：（1）取PD 中点N ，连接MN ，NC , MN 为PAD △的中位线，//MN AD ∴，且12MN AD =，又//BC AD ，且12BC AD =，//MN BC ∴，且MN BC =，则BMNC 为平行四边形，//BM NC ∴，又NC ⊂平面PCD ，MB ⊂/平面PCD ，//BM ∴平面PCD ．（2）取AB 中点O ，连PO ，,PB PA PO AB =∴⊥，又平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAB ⋂平面ABCD AB =，PO ⊂平面PAB ，PO ∴⊥平面ABCD ．PO ∴为三棱锥P BCD -的高，PA PB =，4AB =，PB PA ⊥，PAB ∴为等腰直角三角形，2PO =，90DAB ABC ，//AD BC ，1134622BCD S BC AB =⨯⨯=⨯⨯=， M 是PA 的中点，∴三棱锥B CDM -的体积为： 11162223126P B CDM M BCD BCD BCD V V V S PO ---==⨯=⨯=⨯⨯=．【点睛】本题考查通过线线平行证明线面平行，通过面面垂直证明线面垂直，变换顶点和底面进行等体积转化，求三棱锥的体积，属于中档题．26．（1）证明见解析；（2）18.【分析】（1）利用线面直线与平面平行的性质定理，分别证得GH ∥BC 和EF ∥BC ，即可证得GH ∥EF .（2）连接AC ，BD 交于点O ，BD 交EF 于点K ，连接OP ，GK ，分别证得PO ⊥AC 和PO ⊥BD ，进而得到GK 是梯形GEFH 的高，结合梯形的面积，即可求解.【详解】（1）因为BC ∥平面GEFH ，BC ⊂平面PBC ，且平面PBC ∩平面GEFH ＝GH ，所以GH ∥BC ，又因为BC ∥平面GEFH ，BC ⊂平面ABCD ，且平面ABCD ∩平面GEFH ＝EF ，所以EF ∥BC ，所以GH ∥EF .（2）如图所示，连接AC ，BD 交于点O ，BD 交EF 于点K ，连接OP ，GK .因为PA ＝PC ，O 是AC 的中点，所以PO ⊥AC ，同理可得PO ⊥BD ，又BD ∩AC ＝O ，且AC ，BD 都在底面内，所以PO ⊥底面ABCD ，又因为平面GEFH ⊥平面ABCD ，且PO ⊄平面GEFH ，所以PO ∥平面GEFH ，因为平面PBD ∩平面GEFH ＝GK ，所以PO ∥GK ，且GK ⊥底面ABCD .从而GK ⊥EF .所以GK 是梯形GEFH 的高，由AB ＝8，EB ＝2，得EB ∶AB ＝KB ∶DB ＝1:4，从而KB ＝14DB ＝12OB ，即K 为OB 的中点，再由PO ∥GK ，得GK ＝12PO ，即G 是PB 的中点，且GH ＝12BC ＝4，由已知可得OB ＝2，PO 2268326PB OB -=-=，所以GK ＝3，故四边形GEFH 的面积S ＝2GH EF +·GK ＝482+×3＝18.【点睛】本题主要考查了线面平行的判定与性质定理，以及正棱锥的结构特征和截面面积的计算，其中解答中熟记线面平行的判定定理和性质定理，以及正棱锥的结构特征，结合梯形的面积公式求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力.。

《勾股定理》教学实录及其反思

（学生阅读教材后，举手请求回答问题）
生ｌ：课本是 “ 用面积法 ”列出等式来证明勾股定利理的。做８全等的直角三角形，设它们的两条直角边长个分别为ａ，斜边长为ｃ、ｂ，再做３个边长分别为ａ、ｃ、ｂ的正方形，把它们如图那样拼成两个正方形。这两个正方形的边长都是ａｂ＋，它们的面积相等。即
Ｅ
师：非常好！请小组内派出一位代表来叙述，把其并
证明过程写到黑板上。
★ 自主探索和网ｋ协作
师：请同学们４人组成一组，浏览（（勾股定理的主
题网站后，把所搜索的内容填写在记录卡上。（生群情激昂，分组上机操作ｌ分钟）学５（着上面问题，生浏览了（带学（勾股定理主题网站，了解了勾股定理的其他证明方法及古希腊数学家毕达哥拉斯和美国总统等对勾股定理的研究。生在通过人机协作学进行自主探索的同时，可以通过网络进行协作学习，如同学之间的协作、学生与教师之间的协作等，发挥自己的聪明才智，解决前面提出的各个问题）
★提出课题
师：我们已经学习了勾股定理的内容，现在请大家带
着两个问题把课本中勾股定理的证明部分阅读一遍。１课本是怎么证明勾股定理的？．
２你对课本的证明有什么想法？．
程，励学生的自主探索与合作交流，以学生自主探索为鼓主，强调同桌之间的合作与交流，强化应用意识，培养并学生的多方面能力。

数学必修2第三章知识点小结及典型习题

第三章直线与方程1、直线倾斜角的概念：当直线l 与x 轴相交时, 取x 轴作为基准, x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角.特别地,当直线l 与x 轴平行或重合时, 规定α= 0°.2、倾斜角α的取值范围： 0°≤α＜180°. 当直线l 与x 轴垂直时, α= 90°.3、直线的斜率:⑴一条直线的倾斜角α(α≠90°)的正切值叫做这条直线的斜率,常用小写字母k 表示,也就是 k = tan α。

①当直线l 与x 轴平行或重合时, α=0°, k = tan0°=0;②当直线l 与x 轴垂直时, α= 90°, k 不存在.当[) 90,0∈α时，0≥k ，k 随着α的增大而增大；当() 180,90∈α时，0<k ，k 随着α的增大而增大；当 90=α时，k 不存在。

由此可知, 一条直线l 的倾斜角α一定存在,但是斜率k 不一定存在.⑵过两点),(),(222111y x P y x P 、的直线的斜率公式：)(211212x x x x y y k ≠--= 注意下面四点：(1)当21x x =时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为90°；(2)k 与21P P、的顺序无关； (3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得；(4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率，再求倾斜角。

※三点共线的条件：如果所给三点中任意两点的连线都有斜率且都相等，那么这三点共线；反之，三点共线，任意两点连线的斜率不一定相等。

解决此类问题要先考虑斜率是否存在。

4、直线方程（注意各种直线方程之间的转化）①直线的点斜式方程：)(00x x k y y -=-，k 为直线的斜率，且过点()00,y x ，适用条件是不垂直x 轴。

注意：当直线的斜率为0°时，k=0，直线的方程是0y y =。

初中几何第二册第三章汇总

初中几何第二册第三章第五单元直角三角形一.教法建议【抛砖引玉】本单元向同学们介绍勾股定理这个古老的数学问题，2000多年前我们的祖先对其就有专门研究，并取辉煌成就。

这是中华民族自毫，炎黄子孙的骄傲，今天我们又来学习这个问题──勾股定理，它是几何中最重要的定理之一，勾股定理反映了一个直角三角形三边之间关系，所以它也是直角三角形的一条重要性质，同时，由勾股定理及逆定理，能够把形的特征（三角形中一个角是直角）转化成数量关系（三边之间满足c 2=a 2+b 2）。

它把形与数密切地联系起来，拓宽了视野。

勾股定理是解直角三角形的主要根据之一，在生产生活实际中用处很大，它不仅在数学中，而且在其他自然科学中也被广泛地应用。

为此，我们对它进行专门的学习与研究，并向同学们介绍一种面积证法，即同一种图形用两种面积关系式表示，列出关系式，使问题得到解决。

例如：直角三角形两直角边长分别为a 、b ，斜边及斜边上的高分别c 、h ，其面积为s △ ，则有s ab ch ab ch ∆==⇒=1212这个问题同学们在小学已不陌生，应用这种面积思维几何问题又熠熠生辉。

我们祖先发现：图形割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变，利用计算可以证明几何命题，而且是一种常用的证明方法，也是我国古代证明几何题常用方法。

如何掌握及应用面积法，要认真观察图形，发现它的图形整体特征及分割后的图形特征或拼凑（割补）成不同图形的特征，分别用面积公式表示出来，再找出面积相等关系，列出等式，计算一下，便达目的。

教学必须紧紧扣住这一点，用面积法证明勾股定理就迎刃而解。

再通过生产生活实际问题引导同学们用勾股定理去解决，以强化勾股定理的应用。

把勾股定理的题设和结论交换（一对一的交换），可以得到它的逆命题，能够证明这个命题是真命题，即“勾股定理的逆定理”，它是判定一个三角形是直角三角形的重要方法，与前面学过的判定方法（直角三角形定义或两直角边互相垂直）不同，它需要通过代数方法“算”出来。

初中几何第二册

初中几何第二册第四章四边形4.4平行四边形的判定(2)冯毅教学目标：（1）会证明平行四边形的判定定理4。

能直接运用平行四边形的判定4.（2）能正确选择包括定义在内的平行四边形的五种判定方法判定一个四边形是不是平行四边形.能根据判定方法画出平行四边形.教学重点：平行四边形的判定定理4及应用。

教学难点：平行四边形的判定定理与性质定理的灵活应用。

教学过程：一、复习：1、我们已经学过的判定一个四边形的方法有种方法，它们分别是：（1）平行四边形的定义：两组对边的四边形是平行四边形。

（2）平行四边形的判定定理1：两组对角的四边形是平行四边形。

（3）平行四边形的判定定理2：两组对边分别的四边形是平行四边形。

（4）平行四边形的判定定理3：对角线互相的四边形。

2、平行四边形的判定定理1、2、3、分别与平行四边形的性质定理1、2、3互为定理。

3、在题目的证明过程中在什么情况下用平行四边形的性质定理，什么情况下用平行四边形的判定定理？4、请同学们完成下列证明过程：（1） ∵∠A=∠C∠B=∠D （已知） ∴ 四边形ABCD 是平行四边形( )（2） ∵ 四边形ABCD 是平行四边形 (已知)∴ AB=CD AD=BC (（3）∵ AO= ,BO= ,(已知) ∴四边形ABCD 是平行四边形 ( )二、新课：1、平行四边形的对边平行且相等。

这个命题的逆命题是一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

已知：如图，在四边形ABCD 中，AB ∥CD,AB=CD 。

求证：四边形ABCD 是平行四边形。

证明：连结AC 。

∵ AB ∥CD. ∴∠1=∠2.∵AB=CD ,AC=CA, ∴△ABC ≌△CDA.∴BC=AD.∴四边形ABCD 是平行四边形(两组对边分别平行的四边形是平行四边形).想一想：还可以用其他方法证明上面定理吗？经过证明这个逆命题是一个真命题,因此得到平行四边形的一个判定定理.平行四边形的判定定理4:一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.例2、已知： ABCD 中，E 、F 分别是边AD 、BC 边的中点。

三角形全等的判定

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初中几何第二册第三章
三角形全等的判定
第一课时
执教人：王臣栋
教学目的
1.了解判定全等三角形的意义，掌握边、角、边公
理的内容，会用边、角、边公理证明两个三角形全等.
2.通过全等三角形判定条件的学习，使学生认识事物之间的因果关系.
重点、难点、关键
重点.:三角形全等的判定：边角边公理难点 : 准确理解全等三角形的判定
这两个条件够吗?
A
B
还要什么条件呢? 还要一条边
D
例1
已知: 如图,AC=AD ,∠CAB=∠DAB. 求证: △ACB ≌ △ADB.
它既是△ACB
C
看看线段AB
的一条边,

江阴市夏港中学必修第二册第三单元《立体几何初步》测试题(答案解析)

一、选择题1．平面α⊥平面 β，A ∈α，B ∈β，AB 与两平面α，β所成的角分别为4π和6π，过 A 、B 分别作两平面交线的垂线，垂足为 ,A B ''，则:AB A B ''等于( )．A ．3∶2B ．3∶1C ．2∶1D ．4∶32．在正四面体ABCD 中，异面直线AB 与CD 所成的角为α，直线AB 与平面BCD 所成的角为β，二面角C AB D --的平面角为γ，则α，β，γ的大小关系为（） A ．βαγ<< B ．αβγ<< C ．γβα<< D ．βγα<< 3．用长度分别是2，3，5，6，9（单位：cm ）的五根木棒连接（只允许连接，不允许折断），组成共顶点的长方体的三条棱，则能够得到的长方体的最大表面积为（） A ．2258cm B ．2414cm C ．2416cm D ．2418cm 4．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，若,,,E F G H 分别是棱111111,,,A B BB CC C D 的中点，则必有（）A ．1//BD GHB ．//BD EFC ．平面//EFGH 平面ABCDD ．平面//EFGH 平面11A BCD5．已知三棱锥A BCD -中，侧面ABC ⊥底面BCD ，ABC 是边长为3的正三角形，BCD 是直角三角形，且90BCD ∠=︒，2CD =，则此三棱锥外接球的体积等于() A ．3π B ．323π C ．12π D ．643π6．下列说法正确的是（）A ．直线l 平行于平面α内的无数条直线，则l ∥αB ．若直线a 在平面α外，则a ∥αC ．若直线a b φ⋂=，直线b α⊂，则a ∥αD ．若直线a ∥b ，b α⊂，那么直线a 就平行于平面α内的无数条直线7．菱形ABCD 的边长为3，60B ∠=，沿对角线AC 折成一个四面体，使得平面ACD ⊥平面ABC ，则经过这个四面体所有顶点的球的表面积为（）A ．15πB ．12πC ．8πD ．6π8．一个圆柱和一个圆锥的轴截面分别是边长为a 的正方形和正三角形，则他们的表面积之比为（）A ．1：1B ．2：1C ．1：2D ．3：19．在下列关于直线,l m 与平面,αβ的所述中，正确的是（）A ．若l β⊥且αβ⊥，则//l α；B ．若m αβ=且//l m ，则//l α；C ．,l m 是α内两条直线，且l β//，//m β，则//αβ；D ．αβ⊥，m αβ=，l m ⊥，l α⊂，则l β⊥. 10．一个透明封闭的正四面体容器中，恰好盛有该容器一半容积的水，任意转动这个正四面体，则水面在容器中的形状可能是：①正三角形②直角三形③正方形⑤梯形，其中正确的个数有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个11．已知,a b 是两条直线，,αβ是两个平面，则a b ⊥的一个充分条件是（） A ．a α⊥，b β//，αβ⊥B ．a α⊥，b β⊥，//αβC ．a α⊂，b β⊥，//αβD ．a α⊂，b β//，αβ⊥12．若用与球心距离为1的平面去截球，所得截面圆的面积为π，则球的表面积为（）A ．8πB ．323πC ．93πD ．313．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，4AC BC ==，AC BC ⊥，15CC =，D 、E 分别是AB 、11B C 的中点，则异面直线BE 与CD 所成的角的余弦值为（）A ．3B ．13C ．58D ．387 14．已知三棱锥S ABC -的体积为4，且4AC =，2224SA BC +=，30ACB ∠=︒，则三棱锥S ABC -的表面积为（）A ．103B ．123C ．76或123D ．96或103二、解答题15．如图，已知三棱柱111ABC A B C -的侧面11BCC B 为矩形，2AB AC ==，2BC =，D ，E 分别为BC 、11B C 的中点，过BC 作平面α分别交11A B 、1A E 、11A C 于点M 、F 、N ．（1）求证：平面BCNM ⊥平面1AA ED ．（2）若Q 为线段AD 上一点，3AD AQ =，1//A Q 平面BCNM ，则当1A Q 为何值时直线BM 与平面1AA ED 所成角的正弦值为13（请说明理由）． 16．如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中（底面是正方形的直四棱柱），底面正方形ABCD 的边长为1，侧棱1AA 的长为2，E 、M 、N 分别为11A B 、11B C 、1BB 的中点．（1）求证：1//AD 平面EMN ；（2）求异面直线1AD 与BE 所成角的余弦值．17．如图，在三棱锥V-ABC 中，VC ⊥底面ABC ，AC BC ⊥，D 是棱AB 的中点，且AC BC VC ==.（1）证明：平面VAB ⊥平面VCD ；（2）若22AC =，且棱AB 上有一点E ，使得线VD 与平面VCE 所成角的正弦值为1515，试确定点E 的位置，并求三棱锥C-VDE 的体积. 18．在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，90,,60ADP PD AD PDC ∠==∠=，E 为PD 的中点．（1）证明：CE ⊥平面PAD ．（2）求三棱锥E ABC -外接球的体积．19．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥面ABC ，2AC BC ==，22AB =，14CC =，M 是棱1CC 上一点．（1）若,M N 分别是1CC ，AB 的中点，求证：//CN 面1AB M ；（2）若132C M =，求二面角1A B M C --的大小． 20．如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，2PA AD ==，22BD =（1）求证：BD ⊥平面PAC ；（2）求平面PCD 与平面CDB 所成夹角余弦值的大小；（3）求点C 到平面PBD 的距离21．如图，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 为菱形，60BAD ∠=︒，PAD ∆为正三角形，平面PAD ⊥平面ABCD ，且E ，F 分别为AD ，PC 的中点.（1）求证：//DF 平面PEB ；（2）求直线EF 与平面PDC 所成角的正弦值.22．如图，在三棱锥D -ABC 中，已知△BCD 是正三角形，AB ⊥平面BCD ，AB =BC =a ，E 为BC 中点，F 在棱AC 上，且AF =3FC .（1）求三棱锥D -ABC 的体积；（2）求证：AC ⊥平面DEF ；（3）若M 为DB 中点，N 在棱AC 上，且3,8CN CA求证：MN //平面DEF . 23．如图，在空间几何体A -BCDE 中，底面BCDE 是梯形，且CD //BE ，CD =2BE =4，∠CDE =60°，△ADE 是边长为2的等边三角形.（1）若F 为AC 的中点，求证：BF //平面ADE ；（2）若AC =4，求证：平面ADE ⊥平面BCDE .24．如图，在直三棱柱111ABC A B C －中，E ，F 分别为11A C 和BC 的中点．（1）求证：//EF 平面11AA B B ；（2）若13AA ＝，23AB =，求EF 与平面ABC 所成的角．25．如图所示，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD DC =，E 是PC 的中点，过E 点作EF PB ⊥交PB 于点F .求证：（1）//PA 平面EDB ；（2）PB ⊥平面EFD .26．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 上的动点.（1）确定E 的位置，使//PB 平面AEC ；（2）设1==PA AB ，3PC =，根据（1）的结论，求点E 到平面PAC 的距离.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【分析】结合题意分别在直角三角形中求出各边之间的数量关系，从而计算出结果【详解】在Rt ABB '∆中，2cos 42AB AB AB π'=⋅= 在Rt ABA '∆中，1sin62AA AB AB π'=⋅=, 在Rt AA B ''∆中，2212A B AB AA AB ''''=-=, 所以:2:1AB A B ''=故选C【点睛】本题运用线面角来解三角形的边长关系，较为基础2．D解析：D【分析】在正四面体ABCD 中易证AB CD ⊥,即90α=，然后作出直线AB 与平面BCD 所成的角，二面角C AB D --的平面角，在将之放到三角形中求解比较其大小.【详解】在正四面体ABCD 中,设棱长为2,设O 为底面三角形BCD 是中心，则AO ⊥平面BCD .取CD 边的中点E ，连结,AE BE , 如图.则易证,AE CD BE CD ⊥⊥,又AE BE E =.所以CD ⊥平面ABE ,又AB ⊆平面ABE ，所以AB CD ⊥.所以异面直线AB 与CD 所成的角为90α=.又AO ⊥平面BCD .所以直线AB 与平面BCD 所成的角为β=ABO ∠在ABO 中,2233BO BE ==,2AB =所以cos 3BO ABO AB ∠==. 取边AB 的中点F ，连结,CF FD ，则有,CF AB FD AB ⊥⊥，所以二面角C AB D --的平面角为CFD γ=∠,在CFD △中，2CF FD CD === 由余弦定理有：2221cos 23CF FD CD CFD CF FD +-∠==⨯⨯,即1=90cos cos =3αβγ=>，，所以βγα<<，故选：D.【点睛】本题考查异面直线成角，线面角，二面角的求法，关键是在立体图中作出相应的角，也可以用向量法，属于中档题. 3．C解析：C【分析】设出长方体的三条棱的长度为,,a b c ，根据表面积公式()2S ab bc ac =++求解出,,a b c 在何种条件下取得最大值，由此考虑长方体棱的长度，并计算出对应的长方体的最大表面积.【详解】设长方体的三条棱的长度为,,a b c ，所以长方体表面积()()()()2222S ab bc ac a b b c a c =++≤+++++，取等号时有a b c ==，又由题意可知a b c ==不可能成立，所以考虑当,,a b c 的长度最接近时，此时对应的表面积最大，此时三边长：8,8,9，用2和6连接在一起形成8，用3和5连接在一起形成8，剩余一条棱长为9，所以最大表面积为：()22888989416cm ⨯+⨯+⨯=. 故选C.【点睛】本题考查基本不等式与长方体表面积最大值的综合，难度一般.求解()0,0ab a b >>的最2a b +≤可知最大值为2a b +⎛⎫ ⎪⎝⎭，此时要注意取等号的条件a b =是否成立，若取等号的条件不成立，则满足条件的,a b 相差最小时可取得最大值.4．D解析：D【分析】根据“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”来判断AB 选项的正确性，根据平行直线的性质判断C 选项的正确性，根据面面平行的判定定理判断D 选项的正确性.【详解】选项A:由中位线定理可知：1//GH D C ，因为过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，所以1,BD GH 不可能互相平行，故A 选项是错误的；选项B: 由中位线定理可知：1//EF A B ，因为过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，所以,BD EF 不可能互相平行，故B 选项是错误的；选项C: 由中位线定理可知：1//EF A B ，而直线1A B 与平面ABCD 相交，故直线EF 与平面ABCD 也相交，故平面EFGH 与平面ABCD 相交，故C 选项是错误的；选项D:由三角形中位线定理可知：111//,//EF A B EH A D ，EF ⊄平面11A BCD ，1A B ⊂平面11A BCD ，EH ⊄平面11A BCD ，11A D ⊂平面11A BCD ,所以有//EF 平面11A BCD ，//EH 平面11A BCD ，而EF EH E =，因此平面//EFGH 平面11A BCD .所以D 选项正确.故本选：D【点睛】本小题主要考查面面平行的判定定理，考查线线平行的性质，属于中档题.5．B解析：B【分析】把三棱锥放入长方体中，根据长方体的结构特征求出三棱锥外接球的半径，再计算三棱锥外接球的体积．【详解】三棱锥A BCD -中，侧面ABC ⊥底面BCD ，把该三棱锥放入长方体中，如图所示；且333AM AB ==设三棱锥外接球的球心为O ，则2233333AG AM ===112OG CD ==，所以三棱锥外接球的半径为22221(3)2R OA OG AG =+=+=，所以三棱锥外接球的体积为3344232333R V πππ===．故选：B ．【点睛】本题考查了三棱锥外接球的体积计算问题，也考查了数形结合与转化思想，是中档题．6．D解析：D 【分析】根据直线与平面平行的判定及相关性质，一一验证各选项即可得出答案. 【详解】解：A 项，若直线l 平行于平面α内的无数条直线，则l 可能平行于平面α，也可能位于平面α内，故A 项错误；B 项，直线a 在平面α外，则直线a 与平面α可能平行，也可能相交，故B 错误；C 项，直线,a b b φα⋂=⊂，所以a 可能与平面α相交或与平面α平行,故C 项错误；D 项，直线a ∥b ,b α⊂,当a ∥α时,直线a 与平面α内所有与直线b 平行的直线平行；当a α⊂时,除了直线a 本身,直线a 与平面α内所有与直线b 平行的直线平行,因此直线a 平行于平面α内的无数条直线,故D 项正确. 故选：D. 【点睛】本题主要考查直线与平面平行的判定及相关性质，属于基础题型.7．A解析：A 【分析】首先根据已知条件找到四面体外接球的球心，再求出半径，即可得到球体的表面积. 【详解】如图所示，1O ，2O 分别为ABC 和DAC △的外接圆圆心，因为菱形ABCD ，60B ∠=，所以ABC 和DAC △为等边三角形. 设E 为AC 的中点，连接DE ，BE ，则DE AC ⊥，BE AC ⊥，又因为平面ACD ⊥平面ABC AC =，所以DE ⊥平面ABC . 分别过1O ，2O 作垂直平面ABC 和平面ACD 的直线，则交点O 为四面体ABCD 外接球的球心.因为2233332⎛⎫==-= ⎪⎝⎭EB DE ，四边形12OO EO 为矩形，所以123==O B DO 1213===O E O E OO ()223153=2⎛⎫+⎪ ⎪⎝⎭15π. 故选：A 【点睛】本题主要考查四面体外接球的表面积，根据题意确定外接球的球心为解题关键，属于中档题.8．B解析：B 【分析】分别计算圆柱和圆锥的表面积，相比得到答案. 【详解】圆柱的表面积2213222a S a a a πππ⎛⎫=⋅+⋅= ⎪⎝⎭；圆锥的表面积22213224a S a a a πππ⎛⎫=⋅+= ⎪⎝⎭，故1221S S =. 故选：B . 【点睛】本题考查了圆柱和圆锥的表面积，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.9．D解析：D 【分析】对于A . //l α或l α⊂;对于B . //l α或l α⊂;对于C .当//m l 时，推不出//αβ；对于D .由面面垂直推线面垂直得判定定理可得，故得解. 【详解】对于A .若l β⊥且αβ⊥，则//l α或l α⊂，错误；对于B . 若m αβ=且//l m ，则//l α或l α⊂，错误；对于C . ,l m 是α内两条直线，且l β//，//m β，当//m l 时，推不出//αβ，错误；对于D .由面面垂直的性质定理可得正确. 故选：D 【点睛】本题考查了空间中的平行垂直关系，考查了学生逻辑推理，空间想象能力，属于基础题.10．C解析：C 【分析】根据已知，任意转动这个正四面体，则水面在容器中的形状即为作一截面将正四面体截成体积相等的两部分，根据截面性质作图即可得到答案．【详解】解：根据已知，任意转动这个正四面体，则水面在容器中的形状即为作一截面将正四面体截成体积相等的两部分，根据对称性和截面性质作图如下：观察可知截面不可能出现直角三角形. 故选：C【点睛】本题考查的知识点是棱锥的结构特征，本题是一道以截面的概念、性质和截面图形的作法等基础知识为依托，反映现实生活的一道综合能力题．解答本题须具备较强的空间想图、识图、作图能力．11．C解析：C 【分析】在A 中，a 与b 可以成任意角；在B 中a 与b 是平行的；在C 中，可得b α⊥，从而得到a b ⊥；在D 中，可得a 与b 可以成任意角，从而得到正确结果.【详解】由a ，b 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，在A 中，a α⊥，b β//，αβ⊥，因为b 的方向不确定，则a 与b 可以成任意角，故A 错误；在B 中，a α⊥，b β⊥，//αβ，根据对应的性质可知，可知a 与b 是平行的，故B 错误；在C 中，由a α⊂，b β⊥，//αβ，可知b α⊥，由线面垂直的性质可知a b ⊥，故C 正确；在D 中，a α⊂，b β//，αβ⊥，可得a 与b 可以成任意角，故D 错误．故选：C. 【点睛】该题考查线线垂直的充分条件的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，在解题的过程中，注意结合图形去判断，属于中档题目．12．A解析：A 【分析】设截面圆的半径为r ，球的半径为R ，根据题设条件，求得1r =，结合球的截面圆的性质，求得2R =，利用球的表面积公式，即可求解.【详解】作轴截面，如图所示，根据球的性质，可得11OO =，设截面圆的半径为r ，球的半径为R ，因为截面圆的面积为π，可得2r ππ=，解得1r =，又由22212R OO r =+=，所以2R =，所以球的表面积为2=48S R ππ=球. 故选：A.【点睛】本题主要考查了球的表面积的计算，以及球的截面圆的性质的应用，着重考查运算与求解能力，属于基础题.13．C解析：C 【分析】取11A C 的中点F ，连接DF 、EF 、CF ，推导出四边形BDFE 为平行四边形，可得出//BE DF ，可得出异面直线BE 与CD 所成的角为CDF ∠，通过解CDF ，利用余弦定理可求得异面直线BE 与CD 所成的角的余弦值. 【详解】取11A C 的中点F ，连接DF 、EF 、CF .易知EF 是111A B C △的中位线，所以11//EF A B 且1112EF A B =. 又11//AB A B 且11AB A B =，D 为AB 的中点，所以11//BD A B 且1112BD A B =，所以//EF BD 且EF BD =.所以四边形BDFE 是平行四边形，所以//DF BE ，所以CDF ∠就是异面直线BE 与CD 所成的角.因为4AC BC ==，AC BC ⊥，15CC =，D 、E 、F 分别是AB 、11B C 、11A C 的中点，所以111122C F AC ==，111122B E BC ==且CD AB ⊥. 由勾股定理得22442AB =+=2242AC BC CD AB ⋅=== 由勾股定理得2222115229CF CC C F =+=+=2222115229DF BE BB B E ==+=+=.在CDF 中，由余弦定理得((22229222958cos 2922922CDF +-∠==⨯⨯.故选：C. 【点睛】本题考查异面直线所成角的余弦值的计算，一般利用平移直线法找出异面直线所成的角，考查计算能力，属于中等题.14．B解析：B 【分析】设h 为底面ABC 上的高，,SA m BC n ==，根据体积可得12nh =，结合222m n mn +≥及基本不等式等号成立条件，可得12m n h ===，进而可得SA ⊥面ABC ，再通过计算求出每个面的面积即可. 【详解】解：如图：h 为底面ABC 上的高，设,SA m BC n ==，则1114sin 304332S ABC ABCV S h n h -==⨯⨯⨯⨯︒⨯=，得12nh =，,12m h mn ≥∴≥，又22242m n mn =+≥，得12mn ≤，所以12mn =，故12m n h ===，SA ∴⊥面ABC ，在ABC 中22341224124AB =+-⨯=，则2AB =，在Rt ABS 中22124SB =+=，在Rt ACS 中121628SC =+=所以在SBC 中，222SC SB BC =+，则SBC 为直角三角形，三棱锥S ABC -的表面积11111=223+423+423+423=12322222S ⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 故选：B. 【点睛】本题考查棱锥表面积的计算，关键是通过基本不等式的等号成立条件得到SA ⊥面ABC ，是中档题.二、解答题15．（1）证明见解析（2）122AQ =,理由见解析【分析】（1）先根据直线与平面垂直的判定定理证明BC ⊥平面1AA ED ，再根据平面与平面垂直的判定定理证明平面BCNM ⊥平面1AA ED ；（2）连DF ，可推得1A Q 与DF 平行且相等，在线段BD 上取点H ，使BH FM ==23，连FH ，可推得HFD ∠为直线BM 与平面1AA ED 所成角，利用正弦值可求得DF 的值，即可得1A Q 的值. 【详解】（1）因为AB AC =，BD DC =，所以BC AD ⊥，又D ，E 分别为BC 、11B C 的中点，所以1//DE BB ，因为侧面11BCC B 为矩形，所以1BC BB ⊥，所以BC DE ⊥，又AD DE D ⋂=，所以BC ⊥平面1AA ED ，因为BC ⊂平面BCNM ，所以平面BCNM ⊥平面1AA ED . （2）因为2AB AC ==，2BC =，所以222AB AC BC +=，所以AB AC ⊥，又D 为BC 的中点，112AD BC ==，因为3AD AQ =，所以13AQ =，23QD =，连接DF ，因为1//AQ 平面BCNM ，平面1A ADE 平面BCNM DF =，所以1//A Q DF ，因为1A A 与1B B 平行且相等，1B B 与DE 平行且相等，所以1A A 与DE 平行且相等，所以四边形1A ADE 为平行边形，所以1A F 与QD 平行且相等，所以四边形1A QDF 为平行四边形，所以1A Q 与DF 平行且相等，因为123A F QD ==，所以13EF =，所以2233FM BD ==，在线段BD 上取点H ，使BH FM ==23，则21133DH =-=，连FH ，则四边形FMBH 为平行四边形，所以FH 与BM 平行且相等，因为BD ⊥平面1AA ED ，所以HFD ∠为直线BM 与平面1AA ED 所成角，所以1sin 3HFD ∠=，即13DH HF =，所以31HF DH ==，所以2212219DF FH DH =-=-=，所以1223A Q DF ==. 【点睛】关键点点睛：（1）证明面面垂直的关键是找到线面垂直，利用直线与平面垂直的判定定理可证BC ⊥平面1AA ED ；（2）解题关键是找到直线BM 与平面1AA ED 所成角，通过计算可知，在线段BD 上取点H ，使BH FM ==23，连FH ，则HFD ∠为直线BM 与平面1AA ED 所成角. 16．（1）证明见解析（2）88585【分析】（1）通过证明1//AD MN 可证1//AD 平面EMN ；（2）由（1）知11//AD BC ,所以1EBC ∠（或其补角）为异面直线1AD 与BE 所成的角，根据余弦定理计算可得结果. 【详解】（1）连1BC ，1EC ，如图：因为//AB CD ，AB CD =，且11//CD C D ，11CD C D =，所以11//AB C D ，11AB C D =，所以四边形11ABC D 为平行四边形，所以11//AD BC ，因为M 、N 分别为11B C 、1BB 的中点，所以1//MN BC ，所以1//AD MN ，因为1AD ⊄平面EMN ，MN ⊄平面EMN ，所以1//AD 平面EMN .（2）由（1）知11//AD BC ，所以1EBC ∠（或其补角）为异面直线1AD 与BE 所成的角，依题意知12BB =，112EB =，111B C =，所以22211117444BE BB EB =+=+=，2221111415BC BB B C =+=+=，222111115144EC EB B C =+=+=，所以2221111cos 2BE BC EC EBC BE BC +-∠==⋅1755+-85=. 【点睛】思路点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下：（1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；（2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；（3）计算：求该角的值，常利用解三角形；（4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是0,2π⎛⎤⎥⎝⎦，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．17．（1）证明见解析；（2）点E 位于线段AD 的中点或线段BD的中点；3. 【分析】（1）易得CD AB ⊥，再根据VC ⊥底面ABC ，得到 VC AB ⊥，进而AB ⊥平面VCD ，再利用面面垂直的判定定理证明.（2）过点D 在平面ABC 内作DF CE ⊥于F ，DF ⊥平面VCE ，则DVF ∠就是直线VD 与平面VCE 所成的角，在Rt VFD中，由sin 15DF DVF VD ∠==，求得DF ，然后在Rt DCE 中，求出1DE =，然后由三棱锥C-VDE 的体积为13CDE V S VC =⋅⋅求解.【详解】（1）因为AC BC =，D 是AB 的中点，所以CD AB ⊥. 又VC ⊥底面ABC ，AB 平面ABC ，所以VC AB ⊥，而VC CD C ⋂=，所以AB ⊥平面VCD . 又AB平面VAB ，所以平面VAB ⊥平面VCD .（2）过点D 在平面ABC 内作DF CE ⊥于F ，则由题意知DF ⊥平面VCE .，连接VF ，于是DVF ∠就是直线VD 与平面VCE 所成的角.在Rt VFD 中，1515DF VD =. 又因为3VD =55DF =. 在Rt DCE 中，1DE =.故知点E 位于线段AD 的中点或线段BD 的中点，三棱锥C-VDE 的体积为1112221223323CDE S VC ⋅⋅=⨯⨯⨯⨯=. 【点睛】方法点睛：(1)证明平面和平面垂直的方法：①面面垂直的定义；②面面垂直的判定定理(a ⊥β，a ⊂α⇒α⊥β)．(2)已知两平面垂直时，一般要用性质定理进行转化，在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直． 18．（1）证明见解析；（282π 【分析】（1）由已知条件知AD ⊥面DPC ，即有AD CE ⊥，由PDC △为等边三角形有CE DP ⊥，结合线面垂直的判定有CE ⊥平面PAD ．（2）由勾股定理可证AEC 为直角三角形，且ABC 为等腰直角三角形，即可知AC 的中点O 为外接球的球心，进而得到半径求球的体积. 【详解】（1）由90ADP ∠=知：AD DP ⊥，底面ABCD 是正方形有AD DC ⊥，又DP DC D =，∴AD ⊥面DPC ，而CE ⊂面DPC ，即AD CE ⊥，∵PD AD DC ==，60PDC ∠=，∴PDC △为等边三角形，E 为PD 的中点，故CE DP ⊥， ∵DP AD D ⋂=， ∴CE ⊥平面PAD ．（2）由（1）知：ABC 为等腰直角三角形且2AB BC == ，有22AC = 在AEC 中3,5CE AE ==，即222AC CE AE =+，故AE CE ⊥，∴由上知：ABC 、AEC 都是以AC 为斜边的直角三角形，由直角三角形斜边中点O 到三顶点距离相等知：OE OC OA OB ===，即O 为三棱锥E ABC -外接球的球心， ∴外接球的半径为22AC =，所以三棱锥E ABC -外接球的体积为3482(2)3V ππ=⨯=. 【点睛】关键点点睛：（1）由90°及正方形有线面垂直：AD ⊥面DPC ，再由等边三角形的性质和线面垂直的判定证明CE ⊥平面PAD ；（2）由勾股定理说明AEC 是以AC 为斜边的直角三角形，同样ABC 也是AC 为斜边的直角三角形，即可确定三棱锥E ABC -外接球的球心，进而求体积.19．（1）证明见解析；（2）4π. 【分析】（1）连接A 1B 交AB 1于P ，根据平行四边形AA 1B 1B 的性质，结合三角形中位线定理，可得NP 与CM 平行且相等，从而四边形MCNP 是平行四边形，可得CN ∥MP ，再结合线面平行的判定定理，得到CN ∥平面AB 1M ；（2）以C 为原点，CA ，CB ，CC 1分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系如图，根据题意得到C 、A 、、B 1、M 各点的坐标，从而得到向量AB 、1B M 的坐标，再利用垂直向量数量积为零的方法，列方程组可求出平面AMB 1的法向量n =（5，﹣3，4），结合平面MB 1C 的一个法向量CA =（2，0，0），利用空间两个向量的夹角公式，得到n 与CA 的夹角，即得二面角A ﹣MB 1﹣C 的大小．【详解】（1）连结A 1B 交AB 1于P ．因为三棱柱ABC -A 1B 1C 1，所以P 是A 1B 的中点．因为M ，N 分别是CC 1，AB 的中点，所以NP // CM ，且NP = CM ，所以四边形MCNP 是平行四边形，所以CN //MP ．因为CN ⊄平面AB 1M ，MP ⊂平面AB 1M ，所以CN //平面AB 1M ．（2）因为AC =BC =2，22AB = 所以由勾股定理的逆定理知BC ⊥AC ．又因为CC 1⊥平面ABC ，以C 为原点，CA ，CB ，CC 1分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系C-xyz ．因为132C M =，所以C (0,0,0)，A (2,0,0)，B 1(0,2,4)，5(0,0,)2M ，5(2,0,)2AM =-，13(0,2,)2BM =--．设平面1AMB 的法向量(,,)n x y z =，则0n AM ⋅=，10n B M ⋅=．即5(2,0,)(,,)=023(0,2,)(,,)=0.2x y z x y z ⎧-⋅⎪⎪⎨⎪--⋅⎪⎩，，令5x =，则3,4y z =-=，即(5,3,4)n =-．又平面MB 1C 的一个法向量是=(2,0,0)CA ，所以2cos ,>=||||n CA n CA n CA ⋅<=．由图可知二面角A-MB 1-C 为锐角，所以二面角A-MB 1-C 的大小为4π．【点睛】关键点睛：解题关键在于由勾股定理的逆定理知BC ⊥AC ．又因为CC 1⊥平面ABC ，进而以C 为原点，CA ，CB ，CC 1分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，进而利用法向量计算二面角，难度属于中档题20．（1）证明见解析（2）4π（323 【分析】（1）只需证明BD AC ⊥，PA BD ⊥即可证明BD ⊥平面PAC ；（2）通过证明,AD CD PD CD ⊥⊥可知PDA ∠是平面PCD 与平面CDB 所成角的平面角，根据PA AD =可得结果；（3）利用等体积法可求得结果.【详解】（1）在直角三角形BAD 中，22842AB BD AD -=-=，所以底面ABCD 为正方形，所以BD AC ⊥，因为PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以PA BD ⊥，因为PA AC A =，所以BD ⊥平面PAC .（2）因为ABCD 是矩形，所以AD CD ⊥，因为PA ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，所以PA CD ⊥，因为PA AD A ⋂=，所以CD ⊥平面PAD ，即CD PD ⊥，所以PDA ∠是平面PCD 与平面CDB 所成角的平面角，在直角三角形PAD 中，因为PA AD =，所以PDA ∠4π=（3）由题意可知点C 到平面PBD 的距离等于点A 到平面PBD 的距离，设为d ，由（1）可得22PB BD PD ，所以24PBD S =⨯=△由P ABD A PBD V V --=得1133ABD PBD PA S d S ⨯⨯=⋅△△，即111222323d ⨯⨯⨯⨯=⨯所以d =，所以点C 到平面PBD 【点睛】关键点点睛：第（3）问利用等体积法求点面距是解题关键.21．（1）证明见解析；（2）5. 【分析】（1）取PB 中点G ，推出//FG BC ，证明四边形DEGF 是平行四边形，得到//DF EG ，然后证明//DF 平面PEB .（2）以E 为原点，EA ，EB ，EP 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，求出平面PDC 的法向量，求出EF ，利用空间向量的数量积求解EF 与平面PDC 所成角的正弦值.【详解】（1）证明：取PB 中点G ，因为F 是PC 中点， //FG BC ∴，且12FG BC =， E 是AD 的中点，则//DE BC ，且12DE BC =， //FG DE ∴，且FG DE =，∴四边形DEGF 是平行四边形，//DF EG ∴，又DF ⊂/平面PEB ，EG ⊂平面PEB ，//DF ∴平面PEB .（2）因为E 是正三角形PAD 边为AD 的中点，则PE AD ⊥.因为平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD 平面ABCD AD =，PE ⊂平面PAD ， PE ∴⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为菱形，60BAD ∠=︒，∴正三角形BAD 中，BE AD ⊥，以E 为原点，EA ，EB ，EP 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，不妨设菱形ABCD 的边长为2，则1AE ED ==，2PA =，3PE =，223BE AB AE =-= 则点33(0,0,0),(1,0,0),(3,0),3),(E D C P F ---， ∴(1DC =-30)，(1DP =，03)，设平面PDC 的法向量为(n x =，y ，)z ，则·0·0n DC n DP ⎧=⎨=⎩，即3030x z x ⎧=⎪⎨-+=⎪⎩，解得33x x z⎧=⎪⎨=⎪⎩，不妨令1z =，得(3n =-，1-，1)；又33(1,2EF =-，设EF 与平面PDC 所成角为θ， ∴36sin |cos |555?2EF n θ=<>=⋅=，.所以EF 与平面PDC 6. 【点睛】对于线面角可以转化为直线的方向向量与平面的法向量的夹角运算，对于证明线线关系，线面关系，面面关系等方面的问题，必须在熟练掌握有关的定理和性质的前提下，再利用已知来进行证明.22．（133a ；（2）证明见解析；（3）证明见解析．【分析】（1）根据三棱锥的体积公式计算；（2）证明AC 与EF 和DF 垂直，然后可得线面垂直；（3）连接CM 交DE 于点H ，证明//MN FH 即可得线面平行．【详解】（1）由题意234BCD S a =△，231133·33412D ABC A DBC DBC V V S AB a a a --===⨯⨯=；（2）由AB ⊥平面BCD ，得,AB BC AB BD ⊥⊥，AB BC a ==，则2AC AD a ==，如图，在ADC 中，取CD 中点G ，连接AG ，则AG DC ⊥，∵3AF FC =，∴24CF a =，又12CG a =， ∴CF CD CG CA=，C ∠公用，∴CDF ∽CAG ，∴90CFD CGA ∠=∠=︒，即AC DF ⊥，取AC 中点K ，连接BK ，则BK AC ⊥，又由3AF FC =得12CF CK =，而12CE CB =，∴//EF BK ，∴EF AC ⊥，EF DF F =，∴AC ⊥平面DEF ；（3）连接CM 交DE 于点H ，∵,M E 分别是,BD BC 中点，∴H 是DBC △的重心， 23CH CM =，又38CN AC =，14CF AC =，∴23CF CN =，即CF CH CN CM =， ∴//HF MN ，HF ⊂平面DEF ，MN ⊄平面DEF ， ∴//MN 平面DEF ．【点睛】关键点点睛：本题考查求棱锥的体积，考查证明线在垂直与线面平行，掌握线面平行与垂直的判定定理是解题关键．证明时定理的条件缺一不可，一般都需一一证明列举出来，才能得出相应的结论．23．（1）证明见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）取DA 的中点G ，连接FG ，GE ，推导出四边形BFGE 为平行四边形，从而BF //EG ，由此能证明BF //平面ADE.（2）取DE 的中点H ，连AH ，CH ，推导出AH ⊥DE ，AH ⊥HC ，从而AH ⊥平面BCDE ，由此能证明平面ADE ⊥BCDE .【详解】（1）如图所示，取DA 的中点G ，连接FG ，GE.∵F 为AC 的中点，∴GF //DC ，且GF =12DC .又DC //BE ，CD =2BE =4， ∴EB //GF ，且EB =GF∴四边形BFGE 是平行四边形，∴BF //EG .∵EG ⊂平面ADE ，BF ⊄平面ADE ，∴BF //平面ADE .（2）取DE 的中点H ，连接AH ，CH .∵△ADE 是边长为2的等边三角形，∴AH ⊥DE ，且AH 3.在△DHC 中，DH =1，DC =4，∠HDC =60°根据余弦定理可得HC 2=DH 2+DC 2-2DH ·DCcos 60°=12+42-2×1×4×12=13，即HC 13 在△AHC 中，AH 3HC 13AC =4.所以AC 2=AH 2+HC 2，即AH ⊥HC .因为AH DE ⊥，AH HC ⊥，DE HC H ⋂= AH ∴⊥平面BCDE∵AH ⊂平面ADE ，∴平面ADE ⊥平面BCDE .【点睛】方法点睛：要证线面平行，一般需要证明（1）线线平行（2）面面平行两种方法，在平行的证明中，线线平行一般需要考虑中位线、平行四边形，平行线分线段成比例的逆定理.24．（1）证明见解析；（2）60°．【分析】（1）取AB 中点D ，连结1A D 、DF ，推导出四边形1DFEA 是平行四边形，从而1//A D EF ，由此能证明//EF 平面AA 11B B ．（2）取AC 中点H ，连结HF ，则EFH ∠为EF 与面ABC 所成角，由此能求出EF 与平面ABC 所成的角．【详解】（1）取AB 中点D ，连结1A D 、DF ，在ABC ∆中，D 、F 为中点，1//2DF AC =∴，又11//A C AC ，且11112A E AC =，1//DF A E =∴， ∴四边形1DFEA 是平行四边形，1//A D EF ∴，1A D ∴⊂平面11AA B B ，EF ⊂/平面11AA B B ，//EF ∴平面AA 11B B ．（2）取AC 中点H ，连结HF ，1//EH AA ，1AA ⊥面ABC ，EH ∴⊥面ABC ，EFH ∴∠为EF 与面ABC 所成角，在Rt EHF ∆中，3FH =，13EH AA ==，tan 3tan 603HFE ∴∠===︒，60HFE ∴∠=︒，EF ∴与平面ABC 所成的角为60︒．【点睛】本题考查线面平行的证明，考查线面角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、空间想象能力、数形结合思想，是中档题． 25．（1）证明见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）连结AC 、BD ，交于点O ，连结OE ，通过//OE PA 即可证明；（2）通过PD BC ⊥， CD BC ⊥可证BC ⊥平面PDC ，即得DE BC ⊥，进而通过DE ⊥平面PBC 得DE PB ⊥，结合EF PB ⊥即证.【详解】证明：（1）连结AC 、BD ，交于点O ，连结OE ，底面ABCD 是正方形，∴O 是AC 中点，点E 是PC 的中点，//OE PA ∴.OE ⊂平面EDB ， PA ⊄平面EDB ，∴//PA 平面EDB .（2）PD DC =，点E 是PC 的中点，DE PC ∴⊥.底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，∴PD BC ⊥， CD BC ⊥，且 PD DC D ⋂=，∴BC ⊥平面PDC ，∴DE BC ⊥，又PC BC C ⋂=，∴DE ⊥平面PBC ，∴DE PB ⊥，EF PB ⊥，EF DE E ⋂=，PB ∴⊥平面EFD .【点睛】本题考查线面平行和线面垂直的证明，属于基础题.26．（1）E 为PD 的中点；（22. 【分析】（1）E 为PD 的中点，连接BD 交AC 于点O ，连接OE ，则//OE PB ，故而//PB 平面AEC ；（2）点E 到平面PAC 距离等于点D 到平面PAC 距离的12倍，由1122E PAC D PAC P ACD V V V ---==可得答案.【详解】（1）E 为PD 的中点.证明：连接BD ，使AC 交BD 于点O ，取PD 的中点为E ，连接EO ， ∵O ，E 分别为BD ，PD 的中点，∴//OE PB .又OE ⊂平面AEC ，PB ⊄平面AEC ，∴//PB 平面AEC .（2）222AC PC PA =-=∴222AB BC AC +=，∴AB BC ⊥，即菱形ABCD 为正方形.又点E 到平面PAC 距离等于点D 到平面PAC 距离的12倍，设点E 到平面PAC 的距离为h ， ∴1122E PAC D PAC P ACD V V V ---==， 111111211132322h ⎛⎛⎫⨯⨯⨯⋅=⨯⨯⨯⨯⨯ ⎪⎝⎝⎭解得2h =. 【点睛】本题考查了线面平行的判定，等体积法求棱锥的高，属于基础题．。

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