专题67 费马点中三线段模型与最值问题(解析版)

专题67 费马点中三线段模型与最值问题

【专题说明】

费马点”是指位于三角形内且到三角形三个顶点距高之和最短的点。

主要分为两种情况：

（1）当三角形三个内角都小于120°的三角形，通常将某三角形绕点旋转60度，从而将“不等三爪图”中三条线段转化在同一条直线上，利用两点之间线段最短解决问题。

（2）当三角形有一个内角大于120°时，费马点就是此内角的顶点.

费马点问题解题的核心技巧：

旋转60° 构造等边三角形将“不等三爪图”中三条线段转化至同一直线上利用两点之间线段最短求解问题

【模型展示】

问题：在△ABC内找一点P，使得P A+PB+PC最小．

A

P

B C

【分析】在之前的最值问题中，我们解决的依据有：两点之间线段最短、点到直线的连线中垂线

段最短、作对称化折线段为直线段、确定动点轨迹求最值等．

（1）如图，分别以△ABC中的AB、AC为边，作等边△ABD、等边△ACE．

（2）连接CD、BE，即有一组手拉手全等：△ADC≌△ABE．

（3）记CD、BE交点为P，点P即为费马点．（到这一步其实就可以了）

（4）以BC 为边作等边△BCF ，连接AF ，必过点P ，有∠P AB =∠BPC =∠CP A =120°．

在图三的模型里有结论：（1）∠BPD =60°；（2）连接AP ，AP 平分∠DPE ．

有这两个结论便足以说明∠P AB =∠BPC =∠CP A =120°．原来在“手拉手全等”就已经见过了呀，只是相逢何必曾相识！

【精典例题】

1、如图，四边形ABCD 是菱形，AB=4，且∠ABC=∠ABE=60°，G 为对角线BD （不含B 点）上任意一点，将∠ABG 绕点B 逆时针旋转60°得到∠EBF ，当AG+BG+CG 取最小值时EF 的长（ ）

A ． 2

B ．

C ． 3

D ． 3

【答案】D

【详解】

解：如图，

∠将∠ABG绕点B逆时针旋转60°得到∠EBF，

∠BE=AB=BC，BF=BG，EF=AG，

∠∠BFG是等边三角形．

∠BF=BG=FG，．

∠AG+BG+CG=FE+GF+CG．

根据“两点之间线段最短”，

∠当G点位于BD与CE的交点处时，AG+BG+CG的值最小，即等于EC的长，过E点作EF∠BC交CB的延长线于F，

∠∠EBF=180°-120°=60°，

∠BC=4，

∠BF=2，，在Rt∠EFC中，

∠EF2+FC2=EC2，

∠∠CBE=120°，

∠∠BEF=30°，

∠∠EBF=∠ABG=30°，

∠EF=BF=FG，

∠EF=13， 故选：D ．

2、如图，将ABC ∆绕点A 逆时针旋转60°得到ADE ∆，DE 与BC 交于点P ，可推出结论：PA PC PE +=

问题解决：如图，在MNG ∆中，6MN =，75M ∠=︒，MG =O 是MNG ∆内一点，则点O 到MNG ∆三个顶点的距离和的最小值是___________

【答案】【详解】

如图，将∠MOG 绕点M 逆时针旋转60°，得到∠MPQ ，

显然∠MOP 为等边三角形，

∠，OM ＋OG ＝OP ＋PQ ，

∠点O 到三顶点的距离为：ON ＋OM ＋OG ＝ON ＋OP ＋PQ ，

∠当点N 、O 、P 、Q 在同一条直线上时，有ON ＋OM ＋OG 最小，

此时，∠NMQ ＝75°+60°＝135°，

过Q 作QA∠NM 交NM 的延长线于A ，则∠MAQ=90°，

∠∠AMQ ＝180°-∠NMQ=45°，

∠MQ ＝MG ＝

∠AQ ＝AM ＝MQ•cos45°=4，

∠NQ ==

故答案为：

3、如图，四边形 ABCD 是菱形，A B =6，且∠ABC =60° ，M 是菱形内任一点，连接AM ，BM ，CM ，则AM +BM +CM 的最小值为________．

【答案】【详解】

将∠BMN 绕点B 顺时针旋转60度得到∠BNE ，∠BM =BN ，∠MBN =∠CBE =60°，∠MN=BM

∠MC=NE∠AM +MB +CM =AM +MN +NE ．当A 、M 、N 、E 四点共线时取最小值AE ．

∠AB =BC =BE =6，∠ABH =∠EBH =60°，∠BH ∠AE ，AH =EH ，∠BAH =30°，∠BH =

12

AB =3，AH =

∠AE =2AH =

故答案为

4、如图，∠ABC中，∠BAC＝30°且AB＝AC，P是底边上的高AH上一点．若AP+BP+CP的最小值为，则BC＝_____．

【详解】

如图将∠ABP绕点A顺时针旋转60°得到∠AMG．连接PG，CM．

∠AB=AC，AH∠BC，

∠∠BAP=∠CAP ，

∠PA=PA ，

∠∠BAP∠∠CAP （SAS ），

∠PC=PB ，

∠MG=PB ，AG=AP ，∠GAP=60°，

∠∠GAP 是等边三角形，

∠PA=PG ，

∠PA+PB+PC=CP+PG+GM ，

∠当M ，G ，P ，C 共线时，PA+PB+PC 的值最小，最小值为线段CM 的长，

∠AP+BP+CP 的最小值为，

∠∠BAM=60°，∠BAC=30°，

∠∠MAC=90°，

∠AM=AC=2，

作BN∠AC 于N ．则BN=12

AB=1，CN=2

5、如图，四边形ABCD 是正方形，∠ABE 是等边三角形，M 为对角线BD （不含B 点）上任意一点，将BM 绕点B 逆时针旋转60°得到BN ，连接EN 、AM 、CM.