经典几何中线段和差最值(含答案)
中考数学复习之线段和差最值之阿氏圆问题,附练习题含参考答案
中考数学复习线段和差最值系列之阿氏圆问题在前面的“胡不归”问题中,我们见识了“kP A+PB ”最值问题,其中P 点轨迹是直线,而当P 点轨迹变为圆时,即通常我们所说的“阿氏圆”问题.所谓“阿氏圆”,是指由古希腊数学家阿波罗尼奥斯提出的圆的概念,在平面内,到两个定点距离之比等于定值(不为1)的点的集合叫做圆.如下图,已知A 、B 两点,点P 满足PA :PB=k (k ≠1),则满足条件的所有的点P 构成的图形为圆.下给出证明法一:首先了解两个定理(1)角平分线定理:如图,在△ABC 中,AD 是∠BAC 的角平分线,则AB DBAC DC=.证明:ABD ACDS BD SCD =,ABD ACDS AB DE AB SAC DF AC ⨯==⨯,即AB DBAC DC=(2)外角平分线定理:如图,在△ABC 中,外角CAE 的角平分线AD 交BC 的延长线于点D ,则AB DBAC DC=.证明:在BA 延长线上取点E 使得AE=AC ,连接BD ,则△ACD ≌△AED (SAS ),CD=ED 且AD 平分∠BDE ,则DB AB DE AE =,即AB DBAC DC=.接下来开始证明步骤:FEDCBAABCDE如图,PA :PB=k ,作∠APB 的角平分线交AB 于M 点,根据角平分线定理,MA PAk MB PB ==,故M 点为定点,即∠APB 的角平分线交AB 于定点;作∠APB 外角平分线交直线AB 于N 点,根据外角平分线定理,NA PAk NB PB==,故N 点为定点,即∠APB 外角平分线交直线AB 于定点;又∠MPN=90°,定边对定角,故P 点轨迹是以MN 为直径的圆.法二:建系不妨将点A 、B 两点置于x 轴上且关于原点对称,设A (-m ,0),则B (m ,0),设P (x ,y ),PA=kP B ,即:()()()()()()22222222222222222122102201x m y k x m k y kx y m k m x k m m k mx y x m k ++=-+-+-++-=++-+=-解析式满足圆的一般方程,故P 点所构成的图形是圆,且圆心与AB 共线. 那么这个玩意和最值有什么关系呢?且来先看个例子:例:如图,在Rt △ABC 中,∠C=90°,AC=4,BC=3,以点C 为圆心,2为半径作圆C ,分别交AC 、BC 于D 、E 两点,点P 是圆C 上一个动点,则12PA PB +的最小值为__________.EABC DP【分析】这个问题最大的难点在于转化12PA ,此处P 点轨迹是圆,故转化方法与之前有所不同,如下,提供两种思路. 法一:构造相似三角形注意到圆C 半径为2,CA=4,连接CP ,构造包含线段AP 的△CPA ,在CA 边上取点M 使得CM=2,连接PM ,可得△CPA ∽△CMP ,故PA :PM=2:1,即PM=12PA .问题转化为PM+PB 最小值,直接连BM 即可. 【问题剖析】(1)这里为什么是12PA ?答:因为圆C 半径为2,CA=4,比值是1:2,所以构造的是12PA ,也只能构造12PA .(2)如果问题设计为PA+kPB 最小值,k 应为多少? 答:根据圆C 半径与CB 之比为2:3,k 应为23. 【小结】此类问题都是构造好的图形搭配恰当的比例,构造相似转化线段即可解决. 法二:阿氏圆模型对比一下这个题目的条件,P 点轨迹是圆,A 是定点,我们需要找出另一个定点M 使得PM:PA=1:2,这不就是把“阿氏圆”的条件与结论互换了一下嘛!而且这种问题里,给定的圆的位置、定点A 的位置、线段的比例等,往往都是搭配好的! P 点轨迹圆的圆心C 点和A 点在直线AC 上,故所求M 点在AC 边上,考虑到PM :PA=1:2,不妨让P 点与D 点重合,此时DM=12DA =1,即可确定M 点位置.已知PA 、圆确定PB已知PA 、PB 之比确定圆如果对这个结果不是很放心,不妨再取个特殊的位置检验一下,如下图,此时PM=3,PA=6,亦满足PM:PA=1:2.【小结】法二其实是开了上帝视角,在已知其是阿氏圆的前提下,通过特殊点找出所求M 点位置,虽不够严谨,却很实用.练习题1.如图,在ABC∆中,∠ACB=90°,BC=12,AC=9,以点C为圆心,6为半径的圆上有一个动点D.连接AD、BD、CD,则2AD+3BD的最小值是.2.如图,已知正方ABCD的边长为4,圆B的半径为2,点P是圆B上的一个动点,则12 PD PC-的最大值为_______.3.如图,已知菱形ABCD的边长为8,∠B=60°,圆B的半径为4,点P是圆B上的一个动点,则PD﹣12PC的最大值为.A BCDAB CDP4.如图,在△ABC中,CB=4,AB=2AC,则△ABC面积的最大值为.5.如图所示,∠ACB=60°,半径为2的圆O内切于∠ACB.P为圆O上一动点,过点P作PM、PN分别垂直于∠ACB的两边,垂足为M、N,则PM+2PN的取值范围为.6.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6,BC=8,D、E分别是边BC、AC上的两个动点,且DE=4,P是DE的中点,连接P A,PB,则P A+14PB的最小值为.7.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=9,BC=4,以点C为圆心,3为半径做⊙C,分别交AC,BC于D,E两点,点P是⊙C上一个动点,则13P A+PB的最小值为.8.如图,正方形ABCD的边长为4,E为BC的中点,以B为圆心,BE为半径作⊙B,点P是⊙B上一动点,连接PD、PC,则PD+12PC的最小值为.9.如图,扇形AOB中,∠AOB=90°,OA=6,C是OA的中点,D是OB上一点,OD=5,P是弧AB上一动点,则PC+12PD的最小值为.10.如图所示的平面直角坐标系中,A(0,4),B(4,0),P是第一象限内一动点,OP=2,连接AP、BP,则BP+12AP的最小值是.11.如图,边长为4的正方形,内切圆记为圆O,P为圆O上一动点,则P A+PB的最小值为.12.如图,P为菱形ABCD内一点,且P到A、B两点的距离相等,若∠C=60°,CD=4,则PB+12PD的最小值为.13.如图,在⊙O 中,点A 、点B 在⊙O 上,∠AOB =90°,OA =6,点C 在OA 上,且OC =2AC ,点D 是OB 的中点,点M 是劣弧AB 上的动点,则CM +2DM 的最小值为 .14. 如图,已知抛物线y=ax 2+bx+c(a≠0)过A 、B 两点,OA=1,OB=5,抛物线与y 轴交于点C ,点C 的纵坐标与点B 的横坐标相同,抛物线的顶点为D.(1) 抛物线的解析式为_________________,顶点D 的坐标为__________.(2) 如图,已知⊙A 的半径为2,点M 是⊙A 上一动点,连接CM 、MB ,则13CM+BM 是否存在最小值?若存在,说明在何处取得最小值;若不存在,请说明理由.参考答案2.5 4.1635.6-6.2 8.5 9.13214.(1)y=x 2-6x+5 D(3,-4)(2)AH=13AM ,当H 、M 、B 13CM+BM 取最小值.。
最新初中几何中线段和差的最大值与最小值典型分析(最全)
初中几何中线段和(差)的最值问题一、两条线段和的最小值。
基本图形解析:(对称轴为:动点所在的直线上)一)、已知两个定点:1、在一条直线m 上,求一点P ,使PA+PB 最小; (1)点A 、B 在直线m 两侧:(2)点A 、B 在直线同侧:A 、A ’ 是关于直线m 的对称点。
2、在直线m 、n 上分别找两点P 、Q ,使PA+PQ+QB 最小。
(1)两个点都在直线外侧:(2)一个点在内侧,一个点在外侧:(3)两个点都在内侧:mmm mA Bmn m nn m nnm B(4)、台球两次碰壁模型变式一:已知点A 、B 位于直线m,n 的内侧,在直线n 、m 分别上求点D 、E 点,使得围成的四边形ADEB 周长最短.填空:最短周长=________________变式二:已知点A 位于直线m,n 的内侧, 在直线m 、n 分别上求点P 、Q 点PA+PQ+QA 周长最短.二)、一个动点,一个定点: (一)动点在直线上运动:点B 在直线n 上运动,在直线m 上找一点P ,使PA+PB 最小(在图中画出点P 和点B )1、两点在直线两侧:2、两点在直线同侧:m nmnm nm(二)动点在圆上运动点B 在⊙O 上运动,在直线m 上找一点P ,使PA+PB 最小(在图中画出点P 和点B ) 1、点与圆在直线两侧:2、点与圆在直线同侧:三)、已知A 、B 是两个定点,P 、Q 是直线m 上的两个动点,P 在Q 的左侧,且PQ 间长度恒定,在直线m 上要求P 、Q 两点,使得PA+PQ+QB 的值最小。
(原理用平移知识解) (1)点A 、B 在直线m 两侧:过A 点作AC ∥m,且AC 长等于PQ 长,连接BC,交直线m 于Q,Q 向左平移PQ 长,即为P 点,此时P 、Q 即为所求的点。
(2)点A 、B 在直线m 同侧:mmmmQ Q练习题1.如图,∠AOB =45°,P 是∠AOB 内一点,PO =10,Q 、R 分别是OA 、OB 上的动点,求△PQR周长的最小值为 .2、 如图1,在锐角三角形ABC 中,AB=4,∠BAC=45°,∠BAC 的平分线交BC 于点D ,M,N 分别是AD 和AB 上的动点,则BM+MN 的最小值为 . 3、如图,在锐角三角形ABC 中 ,AB=52,∠BAC=45,BAC 的平分线交BC 于D ,M 、N 分别是AD 和AB 上的动点,则BM+MN 的最小值是多少?4、如图4所示,等边△ABC 的边长为6,AD 是BC 边上的中线,M 是AD 上的动点,E 是AC 边上一点.若AE=2,EM+CM 的最小值为 .5、如图3,在直角梯形ABCD 中,∠ABC =90°,AD ∥BC ,AD =4,AB =5,BC =6,点P 是AB 上一个动点,当PC +PD 的和最小时,PB 的长为__________.6、 如图4,等腰梯形ABCD 中,AB=AD=CD=1,∠ABC=60°,P 是上底,下底中点EF 直线上的一点,则PA+PB 的最小值为 . Q7、如图5菱形ABCD中,AB=2,∠BAD=60°,E是AB的中点,P是对角线AC上的一个动点,则PE+PB的最小值为.8、如图,菱形ABCD的两条对角线分别长6和8,点P是对角线AC上的一个动点,点M、N分别是边AB、BC的中点,则PM+PN的最小值是9、如图,圆柱形玻璃杯,高为12cm,底面周长为18cm,在杯内离杯底3cm的点C处有一滴蜂蜜,此时一只蚂蚁正好在杯外壁,离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处,则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为________cm.10、如图,菱形ABCD中,AB=2,∠A=120°,点P,Q,K分别为线段BC,CD,BD上的任意一点,则PK+QK的最小值为11、如图,正方形ABCD的边长为2,E为AB的中点,P是AC上一动点.则PB+PE的最小值是12、如图6所示,已知正方形ABCD的边长为8,点M在DC上,且DM=2,N是AC上的一个动点,则DN+MN的最小值为.13、如图,正方形ABCD的边长是2,∠DAC的平分线交DC于点E,若点P、Q分别是AD和AE上的动点,则DQ+PQ的最小值为.14、如图7,在边长为2cm的正方形ABCD中,点Q为BC边的中点,点P为对角线AC上一动点,连接PB、PQ,则△PBQ周长的最小值为cm.(结果不取近似值).15、如图,⊙O的半径为2,点A、B、C在⊙O上,OA⊥OB,∠AOC=60°,P是OB上一动点,则P A+PC的最小值是.16、如图8,MN是半径为1的⊙O的直径,点A在⊙O上,∠AMN=30°,B为AN弧的中点,P是直径MN上一动点,则PA+PB的最小值为( )(A)2 (B) (C)1 (D)2解答题1、如图9,正比例函数y=x的图象与反比例函数y=(k≠0)在第一象限的图象交于A点,过A点作x轴的垂线,垂足为M,已知三角形OAM的面积为1.(1)求反比例函数的解析式;(2)如果B为反比例函数在第一象限图象上的点(点B与点A不重合),且B点的横坐标为1,在x轴上求一点P,使PA+PB最小.2、如图,一元二次方程x2+2x-3=0的二根x1,x2(x1<x2)是抛物线y=ax2+bx+c 与x轴的两个交点B,C的横坐标,且此抛物线过点A(3,6).(1)求此二次函数的解析式;(2)设此抛物线的顶点为P,对称轴与AC相交于点Q,求点P和点Q的坐标;(3)在x轴上有一动点M,当MQ+MA取得最小值时,求M点的坐标.3、如图10,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(1,),△AOB的面积是.(1)求点B的坐标;(2)求过点A、O、B的抛物线的解析式;(3)在(2)中抛物线的对称轴上是否存在点C,使△AOC的周长最小?若存在,求出点C的坐标;若不存在,请说明理由;4.如图,抛物线y =35x 2-185x +3和y 轴的交点为A ,M 为OA 的中点,若有一动点P ,自M 点处出发,沿直线运动到x 轴上的某点(设为点E ),再沿直线运动到该抛物线对称轴上的某点(设为点F ),最后又沿直线运动到点A ,求使点P 运动的总路程最短的点E ,点F 的坐标,并求出这个最短路程的长.5.如图,已知在平面直角坐标系xOy 中,直角梯形OABC 的边OA 在y 轴的正半轴上,OC 在x 轴的正半轴上,OA =AB =2,OC =3,过点B 作BD ⊥BC ,交OA 于点D .将∠DBC 绕点B 按顺时针方向旋转,角的两边分别交y 轴的正半轴、x 轴的正半轴于点E 和F . (1)求经过A 、B 、C 三点的抛物线的解析式;(2)当BE 经过(1)中抛物线的顶点时,求CF 的长; (3)在抛物线的对称轴上取两点P 、Q (点Q 在点P 的上方),且PQ =1,要使四边形BCPQ 的周长最小,求出P 、Q 两点的坐标.6.如图,已知平面直角坐标系,A,B两点的坐标分别为A(2,-3),B(4,-1)若C(a,0),D(a+3,0)是x轴上的两个动点,则当a为何值时,四边形ABDC的周长最短.7、如图11,在平面直角坐标系中,矩形的顶点O在坐标原点,顶点A、B分别在x 轴、y轴的正半轴上,OA=3,OB=4,D为边OB的中点.(1)若E为边OA上的一个动点,当△CDE的周长最小时,求点E的坐标;(2)若E、F为边OA上的两个动点,且EF=2,当四边形CDEF的周长最小时,求点E、F的坐标.二、求两线段差的最大值问题 (运用三角形两边之差小于第三边) 基本图形解析:1、在一条直线m 上,求一点P ,使PA 与PB 的差最大; (1)点A 、B 在直线m 同侧:解析:延长AB 交直线m 于点P ,根据三角形两边之差小于第三边,P ’A —P ’B <AB ,而PA —PB=AB 此时最大,因此点P 为所求的点。
初中几何中线段和差的最大值与最小值典型分析(最全)
初中几何中线段和差的最大值与最小值典型分析(最全)-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN初中几何中线段和(差)的最值问题一、两条线段和的最小值。
基本图形解析:(对称轴为:动点所在的直线上)一)、已知两个定点:1、在一条直线m 上,求一点P ,使PA+PB 最小; (1)点A 、B 在直线m 两侧:(2)点A 、B 在直线同侧:A 、A ’ 是关于直线m 的对称点。
2、在直线m 、n 上分别找两点P 、Q ,使PA+PQ+QB 最小。
(1)两个点都在直线外侧:(2)一个点在内侧,一个点在外侧: (3)两个点都在内侧:mm A Bm B mA Bmnmnnmn(4)、台球两次碰壁模型变式一:已知点A 、B 位于直线m,n 的内侧,在直线n 、m 分别上求点D 、E 点,使得围成的四边形ADEB 周长最短.填空:最短周长=________________变式二:已知点A 位于直线m,n 的内侧, 在直线m 、n 分别上求点P 、Q 点PA+PQ+QA 周长最短.二)、一个动点,一个定点: (一)动点在直线上运动:n点B 在直线n 上运动,在直线m 上找一点P ,使PA+PB 最小(在图中画出点P 和点B ) 1、两点在直线两侧:2、两点在直线同侧:(二)动点在圆上运动点B 在⊙O 上运动,在直线m 上找一点P ,使PA+PB 最小(在图中画出点P 和点B )1、点与圆在直线两侧:2、点与圆在直线同侧:m nmnmnmmm三)、已知A 、B 是两个定点,P 、Q 是直线m 上的两个动点,P 在Q 的左侧,且PQ 间长度恒定,在直线m 上要求P 、Q 两点,使得PA+PQ+QB 的值最小。
(原理用平移知识解)(1)点A 、B 在直线m 两侧:过A 点作AC ∥m,且AC 长等于PQ 长,连接BC,交直线m 于Q,Q 向左平移PQ 长,即为P 点,此时P 、Q 即为所求的点。
初中几何中线段和差的最大值与最小值模型解析
初中几何中线段和(差)的最值问题一、两条线段和的最小值。
基本图形解析:一)已知两个定点:1、在一条直线m 上,求一点P ,使PA+PB 最小; (1)点A 、B 在直线m 两侧:(2)点A 、B 在直线同侧:A 、A ’ 是关于直线m 的对称点。
2、在直线m 、n 上分别找两点P 、Q ,使PA+PQ+QB 最小。
(1)两个点都在直线外侧:(2)一个点在内侧,一个点在外侧:(3)两个点都在内侧:mm B mA Bmn mnnmnnnm(4)台球两次碰壁模型变式一:已知点A 、B 位于直线m,n 的内侧,在直线n 、m 分别上求点D 、E 点,使得围成的四边形ADEB 周长最短.填空:最短周长=________________变式二:已知点A 位于直线m,n 的内侧, 在直线m 、n 分别上求点P 、Q 点PA+PQ+QA 周长最短.二)一个动点,一个定点:(一)动点在直线上运动:点B 在直线n 上运动,在直线m 上找一点P ,使PA+PB 最小(在图中画出点P 和点B ) 1、两点在直线两侧:2、两点在直线同侧:(二)动点在圆上运动点B 在⊙O 上运动,在直线m 上找一点P ,使PA+PB 最小(在图中画出点P 和点B ) 1、点与圆在直线两侧:m nmnm nmm2、点与圆在直线同侧:(三)已知A 、B 是两个定点,P 、Q 是直线m 上的两个动点,P 在Q 的左侧,且PQ 间长度恒定,在直线m 上要求P 、Q 两点,使得PA+PQ+QB 的值最小。
(原理用平移知识解) (1)点A 、B 在直线m 两侧:过A 点作AC ∥m,且AC 长等于PQ 长,连接BC,交直线m 于Q,Q 向左平移PQ 长,即为P 点,此时P 、Q 即为所求的点。
(2)点A 、B 在直线m 同侧:二、求两线段差的最大值问题 (运用三角形两边之差小于第三边) 基本图形解析:1、在一条直线m 上,求一点P ,使PA 与PB 的差最大;(1)点A 、B 在直线m 同侧:解析:延长AB 交直线m 于点P ,根据三角形两边之差小于第三边,P ’A —P ’B <AB ,而PA —PB=AB 此时最大,因此点P 为所求的点。
线段和差最值问题之对称,中考复习专题附练习题含参考答案
中考复习专题之线段(和差)最值问题之对称对称问题,指的是通过对称的方式求得线段(和差)最值的问题类型,包含一次对称即将军饮马问题、二次对称、过河修桥问题等. 1.将军饮马问题“白日登山望烽火,黄昏饮马傍交河”,这是唐代诗人李颀《古从军行》里的一句诗。
而由此却引申出一系列非常有趣的数学问题,通常称为“将军饮马”。
如图,将军在图中点A 处,现在他要带马去河边喝水,之后返回军营,问:将军怎么走能使得路程最短?如图,在直线上找一点P 使得PA+PB 最小?这个问题的难点在于PA+PB 是一段折线段,通过观察图形很难得出结果,关于最小值,我们知道“两点之间,线段最短”、“点到直线的连线中,垂线段最短”等,所以此处,需转化问题,将折线段变为直线段.作点A 关于直线的对称点A',连接PA',则PA'=PA ,所以PA+PB=PA'+PB当A'、P 、B 三点共线的时候,PA'+PB =A'B ,此时为最小值(两点之间线段最短) 作端点(点A 或点B )关于折点(上图P 点)所在直线的对称,化折线段为直线段.2.二次对称问题在OA 、OB 上分别取点M 、N ,使得△PMN 周长最小.AB 将军军营河此处M 、N 均为折点,分别作点P 关于OA (折点M 所在直线)、OB (折点N 所在直线)的对称点,化折线段PM +MN +NP 为P'M +MN +NP ’’,当P'、M 、N 、P''共线时,△PMN 周长最小. 3.过河修桥问题已知人在图中点A 村庄,现要过河去往B 村,桥必须垂直于河岸建造,问:桥建在何处能使路程最短?考虑MN 长度恒定,只要求AM +NB 最小值即可.问题在于AM 、NB 彼此分离,所以首先通过平移,使AM 与NB 连在一起,将AM 向下平移使得M 、N 重合,此时A 点落在A ’位置.问题化为求A'N +NB 最小值,显然,当A'、N 、B 共线时,AM+MN+BN 的值最小,并得出桥应建的位置. 【问题扩展1】已知将军在图中点A 处,现要过两条河去往B 点的军营,桥必须垂直于河岸建造,问:桥建在何处能使路程最短?BB考虑PQ 、MN 均为定值,所以路程最短等价于AP +QM +NB 最小,对于这彼此分离的三段,可以通过平移使其连接到一起.AP 平移至A'Q ,NB 平移至MB ’,化AP +QM +NB 为A'Q +QM +MB'.当A'、Q 、M 、B ’共线时,A'Q +QM +MB'取到最小值,再依次确定P 、N 位置. 【问题扩展1】如图,将军在A 点处,现在将军要带马去河边喝水,并沿着河岸走一段路,再返回军营,问怎么走路程最短?已知A 、B 两点,MN 长度为定值,求确定M 、N 位置使得AM +MN +NB 值最小?【分析】考虑MN 为定值,故只要AM +BN 值最小即可.将AM 平移使M 、N 重合,AM =A'N ,将AM +BN 转化为A'N +NB .构造点A 关于MN 的对称点A'',连接A''B ,可依次确定N 、M 位置,可得路线.军营BBB军营河练习题1.如图,点P 是∠AOB 内任意一点,∠AOB =30°,OP =8,点M 和点N 分别是射线OA 和射线OB 上的动点,则△PMN 周长的最小值为___________.2.如图,正方形ABCD 的边长是4,M 在DC 上,且DM =1, N 是AC 边上的一动点,则△DMN 周长的最小值是___________.3.如图,在Rt △ABO 中,∠OBA =90°,A (4,4),点C 在边AB 上,且AC :CB =1:3,点D 为OB 的中点,点P 为边OA 上的动点,当点P 在OA 上移动时,使四边形PDBC 周长最小的点P 的坐标为( ) A .(2,2)B .5(2,5)2C .8(3,8)3D .(3,3)4.如图,在△ABC 中,AC =BC ,∠ACB =90°,点D 在BC 上,BD =3,DC =1,点P 是AB 上的动点,则PC +PD 的最小值为( ) A .4B .5C .6D .75.如图,在等边△ABC 中,AB =6, N 为AB 上一点且BN =2AN , BC 的高线AD 交BC 于点D ,M 是AD 上的动点,连结BM ,MN ,则BM +MN 的最小值是___________.6.如图,在Rt △ABD 中,AB =6,∠BAD =30°,∠D =90°,N 为AB 上一点且BN =2AN , M 是AD 上的动点,连结BM ,MN ,则BM +MN 的最小值是___________.7.如图,在Rt △ABC 中,∠ACB =90°,AC =6.AB =12,AD 平分∠CAB ,点F 是AC 的中点,点E 是AD 上的动点,则CE +EF 的最小值为( ) A .3B .4C.D.8.如图,在锐角三角形ABC 中,BC =4,∠ABC =60°, BD 平分∠ABC ,交AC 于点D ,M 、N 分别是BD ,BC 上的动点,则CM +MN 的最小值是( ) AB .2C.D .49.如图,在菱形ABCD 中,AC=BD =6,E 是BC 的中点,P 、M 分别是AC 、AB 上的动点,连接PE 、PM ,则PE +PM 的最小值是( )A .6B.C.D .4.5P OBAMNNMD CBAPDCBAA BCDMNN M D BAE AFCDBNM DCBA10.如图,矩形ABOC 的顶点A 的坐标为(-4,5),D 是OB 的中点,E 是OC 上的一点,当△ADE 的周长最小时,点E 的坐标是( ) A .4(0,)3B .5(0,)3C .(0,2)D .10(0,)311.如图,在矩形ABCD 中,AB =6,AD =3,动点P 满足13PAB ABCD S S ∆=矩形,则点P 到A 、B 两点距离之和P A +PB 的最小值为( )A.B.C.D12.如图,矩形ABCD 中,AB =10,BC =5,点E 、F 、G 、H 分别在矩形ABCD 各边上,且AE =CG ,BF =DH ,则四边形EFGH 周长的最小值为( ) A.B.C.D.13.如图,∠AOB =60°,点P 是∠AOB 内的定点且OPM 、N 分别是射线OA 、OB 上异于点O 的动点,则△PMN 周长的最小值是( )ABC .6D .314. 如图,∠AOB 的边OB 与x 轴正半轴重合,点P 是OA 上的一动点,点N (3,0)是OB 上的一定点,点M 是ON 的中点,∠AOB =30°,要使PM +PN 最小,则点P 的坐标为 . 15.如图,已知正比例函数y =kx (k >0)的图像与x 轴相交所成的锐角为70°,定点A 的坐标为(0,4),P 为y 轴上的一个动点,M 、N 为函数y =kx (k >0)的图像上的两个动点,则AM +MP +PN 的最小值为____________.16.如图,在平面直角坐标系中,矩形ABCD 的顶点B 在原点,点A 、C 在坐标轴上,点D 的坐标为(6,4),E 为CD 的中点,点P 、Q 为BC 边上两个动点,且PQ =2,要使四边形APQE 的周长最小,则点P 的坐示应为______________.17.如图,矩形ABCD 中,AD =2,AB =4,AC 为对角线,E 、F 分别为边AB 、CD 上的动点,且EF ⊥AC 于点M ,连接AF 、CE ,求AF +CE 的最小值.EPDCBAMDCBAPHFGEDCB AA BMOPN18.如图,在平面直角坐标系中,Rt△OAB 的直角顶点A 在x 轴的正半轴上,顶点B的坐标为(3),点C 的坐标为(12,0),点P 为斜边OB 上一动点,则PA+PC 的最小值为___________. 19.如图,△ AOB=30 °,点 M 、 N 分别在边 OA 、OB 上,且 OM=1 ,ON=3,点 P 、Q 分别在边 OB 、OA 上,则 MP+PQ+QN 的最小值 _________20.如图,在矩形ABCD 中,AB=4,BC=8,E 为CD 边的中点.若P ,Q 为BC 边上的两动点,且PQ=2,则当BP=___时,四边形APQE 的周长最小.21.如图在河的两侧有两个村庄,A 离河为60米,B 离河是30米,AB 的水平距离为120米,河的宽度为30米,问桥修在何处会使得从A 经过桥到B 的路程最小,最小值为多少?参考答案1.82.63.C4.B5.6. 7.C 8.C 9.C 10.B 11.A 12.B 13.D14.3(215. 16.8(,0)3 17.520.2+ 21.180A B CDEFMyxPCBAO Q P ED CB A。
初中几何中线段和差的最大值与最小值典型分析(最全)
初中几何中线段和(差)的最值问题一、两条线段和的最小值。
基本图形解析:(对称轴为:动点所在的直线上)一)、已知两个定点:1、在一条直线m 上,求一点P ,使PA+PB 最小; (1)点A 、B 在直线m 两侧:(2)点A 、B 在直线同侧:A 、A ’ 是关于直线m 的对称点。
2、在直线m 、n 上分别找两点P 、Q ,使PA+PQ+QB 最小。
(1)两个点都在直线外侧:(2)一个点在内侧,一个点在外侧:m m mmABmn m nnmn(3)两个点都在内侧:(4)、台球两次碰壁模型变式一:已知点A 、B 位于直线m,n 的内侧,在直线n 、m 分别上求点D 、E 点,使得围成的四边形ADEB 周长最短.填空:最短周长=________________变式二:已知点A 位于直线m,n 的内侧, 在直线m 、n 分别上求点P 、Q 点PA+PQ+QA 周长最短.二)、一个动点,一个定点: (一)动点在直线上运动:点B 在直线n 上运动,在直线m 上找一点P ,使PA+PB 最小(在图中画出点P 和点B ) 1、两点在直线两侧:nnm Bnn2、两点在直线同侧:(二)动点在圆上运动点B 在⊙O 上运动,在直线m 上找一点P ,使PA+PB 最小(在图中画出点P 和点B ) 1、点与圆在直线两侧:2、点与圆在直线同侧:三)、已知A 、B 是两个定点,P 、Q 是直线m 上的两个动点,P 在Q 的左侧,且PQ 间长度恒定,在直线m 上要求P 、Q 两点,使得PA+PQ+QB 的值最小。
(原理用平移知识解) (1)点A 、B 在直线m 两侧:mnmmmmm过A 点作AC ∥m,且AC 长等于PQ 长,连接BC,交直线m 于Q,Q 向左平移PQ 长,即为P 点,此时P 、Q 即为所求的点。
(2)点A 、B 在直线m 同侧: 练习题1.如图,∠AOB =45°,P 是∠AOB 内一点,PO =10,Q 、R 分别是OA 、OB 上的动点,求△PQR 周长的最小值为 .2、 如图1,在锐角三角形ABC 中,AB=4,∠BAC=45°,∠BAC 的平分线交BC 于点D ,M,N 分别是AD 和AB 上的动点,则BM+MN 的最小值为 . 3、如图,在锐角三角形ABC 中 ,AB=52,∠BAC=45,BAC 的平分线交BC 于D ,M 、N 分别是AD 和AB 上的动点,则BM+MN 的最小值是多少mABB'EQ PmABQPQ4、如图4所示,等边△ABC的边长为6,AD是BC边上的中线,M是AD上的动点,E是AC边上一点.若AE=2,EM+CM的最小值为.5、如图3,在直角梯形ABCD中,∠ABC=90°,AD∥BC,AD=4,AB=5,BC=6,点P是AB 上一个动点,当PC+PD的和最小时,PB的长为__________.6、如图4,等腰梯形ABCD中,AB=AD=CD=1,∠ABC=60°,P是上底,下底中点EF直线上的一点,则PA+PB的最小值为.7、如图5菱形ABCD中,AB=2,∠BAD=60°,E是AB的中点,P是对角线AC上的一个动点,则PE+PB的最小值为.8、如图,菱形ABCD的两条对角线分别长6和8,点P是对角线AC上的一个动点,点M、N分别是边AB、BC的中点,则PM+PN的最小值是9、如图,圆柱形玻璃杯,高为12cm,底面周长为18cm,在杯内离杯底3cm的点C处有一滴蜂蜜,此时一只蚂蚁正好在杯外壁,离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处,则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为________cm.10、如图,菱形ABCD中,AB=2,∠A=120°,点P,Q,K分别为线段BC,CD,BD上的任意一点,则PK+QK的最小值为11、如图,正方形ABCD的边长为2,E为AB的中点,P是AC上一动点.则PB+PE的最小值是12、如图6所示,已知正方形ABCD的边长为8,点M在DC上,且DM=2,N是AC上的一个动点,则DN+MN的最小值为.13、如图,正方形ABCD的边长是2,∠DAC的平分线交DC于点E,若点P、Q分别是AD和AE上的动点,则DQ+PQ的最小值为.14、如图7,在边长为2cm的正方形ABCD中,点Q为BC边的中点,点P为对角线AC上一动点,连接PB、PQ,则△PBQ周长的最小值为cm.(结果不取近似值).15、如图,⊙O的半径为2,点A、B、C在⊙O上,OA⊥OB,∠AOC=60°,P是OB上一动点,则PA+PC的最小值是.16、如图8,MN是半径为1的⊙O的直径,点A在⊙O上,∠AMN=30°,B为AN弧的中点,P是直径MN上一动点,则PA+PB的最小值为( )(A)2 (B) (C)1 (D)2解答题1、如图9,正比例函数y=x的图象与反比例函数y=(k≠0)在第一象限的图象交于A 点,过A点作x轴的垂线,垂足为M,已知三角形OAM的面积为1.(1)求反比例函数的解析式;(2)如果B为反比例函数在第一象限图象上的点(点B与点A不重合),且B点的横坐标为1,在x轴上求一点P,使PA+PB最小.2、如图,一元二次方程x2+2x-3=0的二根x1,x2(x1<x2)是抛物线y=ax2+bx+c 与x轴的两个交点B,C的横坐标,且此抛物线过点A(3,6).(1)求此二次函数的解析式;(2)设此抛物线的顶点为P,对称轴与AC相交于点Q,求点P和点Q的坐标;(3)在x轴上有一动点M,当MQ+MA取得最小值时,求M点的坐标.3、如图10,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(1,),△AOB的面积是.(1)求点B的坐标;(2)求过点A、O、B的抛物线的解析式;(3)在(2)中抛物线的对称轴上是否存在点C,使△AOC的周长最小若存在,求出点C的坐标;若不存在,请说明理由;4.如图,抛物线y =35x 2-185x +3和y 轴的交点为A ,M 为OA 的中点,若有一动点P ,自M点处出发,沿直线运动到x 轴上的某点(设为点E ),再沿直线运动到该抛物线对称轴上的某点(设为点F ),最后又沿直线运动到点A ,求使点P 运动的总路程最短的点E ,点F 的坐标,并求出这个最短路程的长.5.如图,已知在平面直角坐标系xOy 中,直角梯形OABC 的边OA 在y 轴的正半轴上,OC 在x 轴的正半轴上,OA =AB =2,OC =3,过点B 作BD ⊥BC ,交OA 于点D .将∠DBC 绕点B 按顺时针方向旋转,角的两边分别交y 轴的正半轴、x 轴的正半轴于点E 和F . (1)求经过A 、B 、C 三点的抛物线的解析式; (2)当BE 经过(1)中抛物线的顶点时,求CF 的长;(3)在抛物线的对称轴上取两点P 、Q (点Q 在点P 的上方),且PQ =1,要使四边形BCPQ 的周长最小,求出P 、Q 两点的坐标.6.如图,已知平面直角坐标系,A,B两点的坐标分别为A(2,-3),B(4,-1)若C(a,0),D(a+3,0)是x轴上的两个动点,则当a为何值时,四边形ABDC的周长最短.7、如图11,在平面直角坐标系中,矩形的顶点O在坐标原点,顶点A、B分别在x 轴、y轴的正半轴上,OA=3,OB=4,D为边OB的中点.(1)若E为边OA上的一个动点,当△CDE的周长最小时,求点E的坐标;(2)若E、F为边OA上的两个动点,且EF=2,当四边形CDEF的周长最小时,求点E、F的坐标.v1.0 可编辑可修改二、求两线段差的最大值问题 (运用三角形两边之差小于第三边) 基本图形解析:1、在一条直线m 上,求一点P ,使PA 与PB 的差最大; (1)点A 、B 在直线m 同侧:解析:延长AB 交直线m 于点P ,根据三角形两边之差小于第三边,P ’A —P ’B <AB ,而PA —PB=AB 此时最大,因此点P 为所求的点。
经典几何中线段和差最值(含答案)(2)
几何中线段和,差最值问题一、解决几何最值问题的通常思路两点之间线段最短;直线外一点与直线上所有点的连线段中,垂线段最短;三角形两边之和大于第三边或三角形两边之差小于第三边(重合时取到最值)是解决几何最值问题的理论依据,根据不同特征转化是解决最值问题的关键.通过转化减少变量,向三个定理靠拢进而解决问题;直接调用基本模型也是解决几何最值问题的高效手段.几何最值问题中的基本模型举例一般处理方法:平移转化使点在线异使点在线同使目标线段与定常用定理:两点之间,线段最短(已知两个定点时) 垂线段最短(已知一个定点、一条定直线时)三角形三边关系(已知两边长固定或其和、差固定时)二、典型题型1.如图:点P 是∠AOB 内一定点,点M 、N 分别在边OA 、OB 上运动,若∠AOB =45°,OP=PMN 的周长的最小值为 6 .PA +PB最小,Bl2.如图,当四边形PABN 的周长最小时,a =47.3.如图,A 、B 两点在直线的两侧,点A 到直线的距离AM =4,点B 到直线的距离BN =1,且MN =4,P 为直线上的动点,|PA ﹣PB |的最大值为 5 .D PB′N BMA4.动手操作:在矩形纸片ABCD 中,AB =3,AD =5.如图所示,折叠纸片,使点A 落在BC 边上的A ′处,折痕为PQ ,当点A ′在BC 边上移动时,折痕的端点P 、Q 也随之移动.若限定点P 、Q 分别在AB 、AD 边上移动,则点A ′在BC 边上可移动的最大距离为 2 .5.如图,直角梯形纸片ABCD,AD⊥AB,AB=8,AD=CD=4,点E、F分别在线段AB、AD上,将△AEF沿EF翻折,点A的落点记为P.当P 落在直角梯形ABCD内部时,PD的最小值等于8-54.6.如图,∠MON=90°,矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM,ON上,当B在边ON上运动时,A随之在OM上运动,矩形ABCD的形状保持不变,其中AB=2,BC=1,运动过程中,点D到点O的最大距离为2 .17.如图,线段AB的长为4,C为AB上一动点,分别以AC、BC为斜边在AB的同侧作等腰直角△ACD和等腰直角△BCE,那么DE长的最小值是 2 .8.如图,菱形ABCD中,AB=2,∠A=120°,点P,Q,K分别为线段BC,CD,BD上的任意一点,则PK+QK的最小值为3.9.如图所示,正方形ABCD的边长为1,点P为边BC上的任意一点(可与B、C重合),分别过B、C、D作射线AP的垂线,垂足分别为B′、C′、D′,则BB′+CC′+DD′的取值范围是≤2BB′+CC′+DD′2≤.10.如图,菱形ABCD中,∠A=60°,AB=3,⊙A、⊙B的半径分别为2和1,P、E、F分别是边CD、⊙A和⊙B上的动点,则PE+PF的最小值是 3 .11.点A、B均在由面积为1的相同小矩形组成的网格的格点上,建立平面直角坐标系如图所示.若P是x轴上使得PA PB-的值最大的点,Q是y轴上使得QA+QB的值最小的点,则OP OQ⋅= 3 .第11题图第12题图12.如图,在△ABC中,AB=6,AC=8,BC=10,P为边BC上一动点,PE⊥AB 于E,PF⊥AC于F,M为EF中点,则AM的最小值为.13.如图,点P在第一象限,△ABP是边长为2的等边三角形,当点A 在x轴的正半轴上运动时,点B随之在y轴的正半轴上运动,运动过xOAByAB CEFM程中,点P 到原点的最大距离是_13+_______.若将△ABP 中边PA 的长度改为22,另两边长度不变,则点P 到原点的最大距离变为___15+______.14.动手操作:在矩形纸片ABCD 中,AB =3,AD =5.如图所示,折叠纸片,使点A 落在BC 边上的A ′处,折痕为PQ ,当点A ′在BC 边上移动时,折痕的端点P 、Q也随之移动.若限定点P 、Q 分别在AB 、AD 边上移动,则点A ′在BC 边上可移动的最大距离为 2 .解答题:1. 如图,直角梯形纸片ABCD ,AD ⊥AB ,AB =8,AD =CD =4,点E 、F 分别在线段AB 、AD 上,将△AEF 沿EF 翻折,点A 的落点记为P . (1)当P 落在线段CD 上时,PD PD 4≤ ; (2)当P 落在直角梯形ABCD 内部时,PD 的最小值等于多少AB C D P FE D CBA A BCD EFP AD CBP Q A'2. 如图,四边形ABCD 是正方形,△ABE 是等边三角形,M 为对角线BD (不含B 点)上任意一点,将BM 绕点B 逆时针旋转60°得到BN ,连接EN 、AM 、CM .(1)当M 点在何处时,AM +CM 的值最小;中点(2)当M 点在何处时,AM +BM +CM 的值最小,并说明理由.EC 与BD 的交点为M连接MN ,则三角形BMN 为等边三角形,∆BMC ≅ ∆BMA ≅∆BNE,所以MC=MA=EN,即AM +BM +CM=EN+MN+MC,AM +BM +CM 的值最小时,E,N,M,C 四点在同一直线上ABCDEM NABCDEM N3. 如图,已知平面直角坐标系中A ,B 两点的坐标分别为A (2,-3),B(4,-1).(1)若P (p ,0)是x 轴上的一个动点,则当p =_27_______时,△PAB 的周长最短;(2)若C (a ,0),D (a +3,0)是x 轴上的两个动点,则当a =__45______时,四边形ABDC 的周长最短;(3)设M ,N 分别为x 轴和y 轴上的动点,请问:是否存在这样的点M (m ,0),N (0,n ),使四边形ABMN 的周长最短若存在,请写出m 和n 的值;若不存在,请说明理由.x x x m=25,n=35-课堂作业: 几何中的最值问题1. 如图,在梯形ABCD 中,AB ∥CD ,∠BAD =90°,AB =6,对角线AC平分∠BAD ,点E 在AB 上,且AE =2(AE <AD ),点P 是AC 上的动点,则PE +PB 的最小值是____102______.第1题图 第2题图 第3题图 第4题图 第5题图2. 在边长为2cm 的正方形ABCD 中,点Q 为BC 边的中点,点P 为对角线AC 上一动点,连接PB 、PQ ,则△PBQ 周长的最小值为________15+____cm (结果不取近似值).3. 如图,一副三角板拼在一起,O 为AD 的中点,AB =a .将△ABO 沿BO 对折于△A ′BO ,点M 为BC 上一动点,则A ′M 的最小值为a )(42-46 . 4. 如图,在锐角△ABC 中,AB =∠BAC =45°,∠BAC 的平分线交BC 于点D ,点M ,N 分别是AD 和AB 上的动点,则BM +MN 的最小值为______4_____.CD QPBA PEDC B A60°A'45°MO DBA NMABDC C'CQP BA5. 在Rt△ACB 中,∠ACB =90°,AC =6,BC =8,P 、Q 两点分别是边AC 、BC 上的动点,将△PCQ 沿PQ 翻折,C 点的对应点为C',连接A C',则A C'的最小值是_2________.6. 如图,在△ABC 中,∠ACB =90°,AC =4,BC =2,点A 、C 分别在x轴、y 轴上,当点A 在x 轴上运动时,点C 随之在y 轴上运动,在运动过程中,点B 到原点的第6题图7. 一次函数y 1=kx -2与反比例函数y 2=m x(m <0)的图象交于A ,B点,其中点A 的坐标为(-6,2)(1)求m ,k 的值;m=-12,k=-32(2)点P 为y 轴上的一个动点,当点P 在什么位置时|PA -PB | 的值最大并求出最大值.538. 已知点A (3,4),点B 为直线x =-1上的动点,设B (-1,y ).(1)如图1,若点C (x ,0)且-1<x <3,BC ⊥AC ,求y 与x 之间的函数关系式;y=43242++-x x(2)如图2,当点B 的坐标为(-1,1)时,在x 轴上另取两点E ,F ,且EF =1.线段EF 在x 轴上平移,线段EF 平移至何处时,四边形ABEF(53图1 图2B (-。
线段和差的最值问题
▪ ——求线段和差的最值
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1.常见的几何最值问题有:线段最值问 题, 线段和差最值问题,周长最值问题、 面积 最值问题等;
2.几何最值问题的基本原理。 ①两点之间线段最短 ②垂线段最短 ③三角形两边之差小于第三边 ④利用函数关系求最值
练习:已知二次函数图像的顶点坐 标为C(3,-2),且在x轴上截得的线 段AB的长为4,在y轴上有一点P,使 △APC的周长最小,求P点坐标。
A/ O PA B C
3.如图,∠AOB=45,角内有一动点 P ,PO=10,在AO,BO上有两动点Q, R,求△PQR周长的最小值。
D
B
R P
O
Q
A
E
最大
典型例题
1.(2016•安徽)如图,Rt△ABC中, AB⊥BC,AB=6,BC=4,P是△ABC内部的 一个动点,且满足∠PAB=∠PBC,则线段CP 长的最小值为(B )
B .2
C、
D、
A、
如图,在边长为2的菱形ABCD中,∠A=60°M是AD 边的中点,N是AB边上的一动点,将△AMN沿MN 所在直线翻折得△A′MN,连接A′C,则A′C长度的 最小值是多少
例4:在矩形ABCD中,F是BC的三等分点,E是
AB的二等分点,在x轴、y轴上是否分别存在 点M、N,使得四边形MNFE的周长最小如果存
在,求出周长的最小值;如果不存在,请说明 理由.
第一步 寻找、构造几何模型
要求四边形MNFE F/
F
的周长最小
N
E
M
E/
把三条线段转移 到同一条直线上 就好了
第二步 计算——勾股定理
初中几何中线段和差的最大值与最小值模型解析
初中几何中线段和(差)的最值问题一、两条线段和的最小值。
基本图形解析:一)已知两个定点:1、在一条直线m 上,求一点P ,使PA+PB 最小; (1)点A 、B 在直线m 两侧:(2)点A 、B 在直线同侧:A 、A ’ 是关于直线m 的对称点。
2、在直线m 、n 上分别找两点P 、Q ,使PA+PQ+QB 最小。
(1)两个点都在直线外侧:(2)一个点在内侧,一个点在外侧:(3)两个点都在内侧:mm B mA Bmn mnnmnnnm(4)台球两次碰壁模型变式一:已知点A 、B 位于直线m,n 的内侧,在直线n 、m 分别上求点D 、E 点,使得围成的四边形ADEB 周长最短.填空:最短周长=________________变式二:已知点A 位于直线m,n 的内侧, 在直线m 、n 分别上求点P 、Q 点PA+PQ+QA 周长最短.二)一个动点,一个定点:(一)动点在直线上运动:点B 在直线n 上运动,在直线m 上找一点P ,使PA+PB 最小(在图中画出点P 和点B ) 1、两点在直线两侧:2、两点在直线同侧:(二)动点在圆上运动点B 在⊙O 上运动,在直线m 上找一点P ,使PA+PB 最小(在图中画出点P 和点B ) 1、点与圆在直线两侧:m nmnm nmm2、点与圆在直线同侧:(三)已知A 、B 是两个定点,P 、Q 是直线m 上的两个动点,P 在Q 的左侧,且PQ 间长度恒定,在直线m 上要求P 、Q 两点,使得PA+PQ+QB 的值最小。
(原理用平移知识解) (1)点A 、B 在直线m 两侧:过A 点作AC ∥m,且AC 长等于PQ 长,连接BC,交直线m 于Q,Q 向左平移PQ 长,即为P 点,此时P 、Q 即为所求的点。
(2)点A 、B 在直线m 同侧:二、求两线段差的最大值问题 (运用三角形两边之差小于第三边) 基本图形解析:1、在一条直线m 上,求一点P ,使PA 与PB 的差最大;(1)点A 、B 在直线m 同侧:解析:延长AB 交直线m 于点P ,根据三角形两边之差小于第三边,P ’A —P ’B <AB ,而PA —PB=AB 此时最大,因此点P 为所求的点。
中考复习之线段和差最值之费马点问题-附练习题含参考答案
ABCP中考数学复习线段和差最值系列之费马点皮耶·德·费马,17世纪法国数学家,有“业余数学家之王”的美誉,之所以叫业余并非段位不够,而是因为其主职是律师,兼职搞搞数学.费马在解析几何、微积分等领域都有卓越的贡献,除此之外,费马广为人知的是以其名字命名的“费马小定理”、“费马大定理”等.言归正传,今天的问题不是费马提出来的,是他解决的,故而叫费马点. 问题:在△ABC 内找一点P ,使得P A +PB +PC 最小.【分析】在之前的最值问题中,我们解决的依据有:两点之间线段最短、点到直线的连线中垂线段最短、作对称化折线段为直线段、确定动点轨迹求最值等.以上依据似乎都用不上,怎么办?若点P 满足∠PAB=∠BPC=∠CPA=120°,则PA+PB+PC 值最小,P 点称为该三角形的费马点.一、如何作费马点问题要从初一学到的全等说起:(1)如图,分别以△ABC 中的AB 、AC 为边,作等边△ABD 、等边△ACE . (2)连接CD 、BE ,即有一组手拉手全等:△ADC ≌△ABE .(3)记CD 、BE 交点为P ,点P 即为费马点.(到这一步其实就可以了)(4)以BC 为边作等边△BCF ,连接AF ,必过点P ,有∠P AB =∠BPC =∠CP A =120°.在图三的模型里有结论:(1)∠BPD =60°;(2)连接AP ,AP 平分∠DPE .有这两个结论便足以说明∠P AB =∠BPC =∠CP A =120°.但是在这里有个小小的要求,细心的同学会发现,这个图成立的一个必要条件是∠BAC <120°,若120BAC ∠≥︒ ,这个图就不是这个图了,会长成这个样子:EB ACAB CDE此时CD 与BE 交点P 点还是我们的费马点吗?显然这时候就不是了,显然P 点到A 、B 、C 距离之和大于A 点到A 、B 、C 距离之和.所以,是的,你想得没错,此时三角形的费马点就是A 点!当然这种情况不会考的,就不多说了.二、为什么是这个点为什么P 点满足∠P AB =∠BPC =∠CP A =120°,P A +PB +PC 值就会最小呢?归根结底,还是要重组这里3条线段:P A 、PB 、PC 的位置,而重组的方法是构造旋转!在上图3中,如下有△ADC ≌△ABE ,可得:CD =BE .类似的手拉手,在图4中有3组,可得:AF =BE =CD .巧的,它们仨的长度居然一样长!更巧的是,其长度便是我们要求的P A +PB +PC 的最小值,这一点是可以猜想得到的,毕竟最小值这个结果,应该也是个特别的值! 接下来才是真正的证明:考虑到∠APB =120°,∴∠APE =60°,则可以AP 为边,在PE 边取点Q 使得PQ =AP ,则△APQ 是等边三角形.△APQ 、△ACE 均为等边三角形,且共顶点A ,故△APC ≌△AQE ,PC =QE . 以上两步分别转化P A =PQ ,PC =QE ,故P A +PB +PC =PB +PQ +QE =BE .没有对比就没有差别,我们换个P 点位置,如下右图,同样可以构造等边△APQ ,同样有△APC ≌△AQE ,转化P A =PQ ,PC =QE ,显然,P A +PB +PC =PB +PQ +QE >BE .还剩下第3个问题!如果说费马点以前还算是课外的拓展内容,那现在,已经有人把它搬上了中考舞台!【中考再现】问题背景:如图1,将△ABC 绕点A 逆时针旋转60°得到△ADE ,DE 与BC 交于点P ,可推出结论:P A +PC =PE .问题解决:如图2,在△MNG 中,MN =6,∠M =75°,MG=O 是△MNG 内一点,则点O 到△MNG 三个顶点的距离和的最小值是______.【分析】本题的问题背景实际上是提示了解题思路,构造60°的旋转,当然如果已经了解了费马点问题,直接来解决就好了!如图,以MG 为边作等边△MGH ,连接NH ,则NH 的值即为所求的点O 到△MNG 三个顶点的距离和的最小值.(此处不再证明)过点H 作HQ ⊥NM 交NM 延长线于Q 点,根据∠NMG =75°,∠GMH =60°,可得∠HMQ =45°,∴△MHQ 是等腰直角三角形, ∴MQ =HQ =4,∴NH== 练习题1.如图,在△ABC 中,△ACB=90°,AB=AC=1,P 是△ABC 内一点,求P A +PB +PC 的最小值.2. 如图,已知矩形ABCD ,AB =4,BC =6,点M 为矩形内一点,点E 为BC 边上任意一点,则MA +MD +ME 的最小值为______.NG图2图1ABCD EPHGN M464Q HGN MABCDME3.如图,矩形ABCD中,AB=10,BC=15,现在要找两点E、F,则EA+EB+EF+FC+FD的最小值为__________4.如图,等腰Rt∆ABC中,AB=4,P为∆ABC内部一点,则PA+PB+PC的最小值为_______5.如图,∆ABC中,AB=4,,∠ABC=75°,P为∆ABC内的一个动点,连接PA、PB、PC,则PA+PB+PC的最小值为________6.如图,P为正方形ABCD对角线BD上一动点,若AB=2,则PA+PB+PC的最小值为______7.在Rt∆ABC中,∠ACB=90°,AC=1,,点O为Rt∆ABC内一点,连接AO、BO、CO,且∠AOC=∠COB=∠BOA=120°,则OA+OB+OC=_______8.如图,在四边形ABCD中,∠B=60°,AB=BC=3,AD=4,∠BAD=90°,点P是四边形内部一点,则PA+PB+PD的最小值是______9.如图,点P是矩形ABCD对角线BD上的一个动点,已知AB=2,,则PA+PB+PC 的最小值为_______10.如图,菱形ABCD的对角线AC上有一动点P,BC=6,∠ABC=150°,则PA+PB+PD的最小值为__________11.已知,在∆ABC中,∠ACB=30°点P是ABC内一动点,则PA+PB+PC的最小值为__________12.如图,设点P到等边三角形ABC两顶点A、B的距离分别为2则PC的最大值为______13.如图,设点P到正方形ABCD两顶点A、D的距离为2PC的最大值为________14.如图,设点P到正方形ABCD两顶点A、D的距离为2则PO的最大值为_________.15.如图,在Rt∆ABC中,∠BAC=90⁰,AB=AC,点D是BC边上一动点,连接AD,把AD 绕点A逆时针旋转90⁰,得到AE,连接CE、DE,点F是DE的中点,连接CF问题:在点D运动的过程中,在线段AD上存在一点P,使PA+PB+PC的值最小,当PA+PB+PC 取最小值时,AP的长为m,用含有m的式子表示CE的长.参考答案1.7.8.7 9.3 10. 12.2+13.2+1 15.32m +。
经典几何中线段和差最值含答案2
• 答案:解:先求出三角形ABC的三边长度,再求出它们的长度之差,最后求出最大值。
• 题目:已知四边形ABCD的四个顶点分别为A(1,2),B(-2,-1),C(4,3),D(x,y),且|AB|=|CD|,求|AD|与 |BC|的长度之差的最大值。 答案:解:先利用已知条件求出点D的坐标,再分别求出|AD|和|BC|的长度, 最后求出它们的长度之差的最大值。
线段和差最值问题的定义
定义及问题描述
线段和差最值问题的定义:给定一定长度的线段,求出其中若干线段之和的最大值或最小值。
问题描述:在平面几何中,线段和差最值问题是一个经典的数学问题,其求解过程涉及到不等式、 函数、几何等数学领域的知识。
求解思路:通过构造辅助线、运用不等式性质、利用函数极值等手段,求出线段和差的最值。
参数法
定义:参数法是一种通过引入参数来表示问题中的变量,从而简化问题的方法。
应用场景:在几何问题中,常常需要求解线段和差的最值问题,此时可以通过引入参数来表示线 段的长度,从而将问题转化为参数的函数关系。
解题步骤:首先确定参数,然后根据几何关系建立参数的函数关系,最后求出该函数的最大值或 最小值即可得到线段和差的最值。
答案:M的坐标为(-0.5,0.5)
题目:已知点A(3,5),B(-4,-2),C(x,-3),D(y, 3),且AB平行于CD,求x和y的值。 答案:x=-1, y=6
答案:x=-1, y=6
题目:已知点A(1,2),B(-2,-1),求线段AB的中点M的坐标。 答案:M的坐标为(-0.5,0.5)
初级中学几何中线段和差的最大值与最小值典型分析(完整)
初中几何中线段和(差)的最值问题一、两条线段和的最小值。
基本图形解析:(对称轴为:动点所在的直线上)一)、已知两个定点:1、在一条直线m 上,求一点P ,使PA+PB 最小; (1)点A 、B 在直线m 两侧:(2)点A 、B 在直线同侧:A 、A ’ 是关于直线m 的对称点。
2、在直线m 、n 上分别找两点P 、Q ,使PA+PQ+QB 最小。
(1)两个点都在直线外侧:(2)一个点在内侧,一个点在外侧:(3)两个点都在内侧:mm ABm B mA Bmn m nn m nnnm B(4)、台球两次碰壁模型变式一:已知点A 、B 位于直线m,n 的内侧,在直线n 、m 分别上求点D 、E 点,使得围成的四边形ADEB 周长最短.填空:最短周长=________________变式二:已知点A 位于直线m,n 的内侧, 在直线m 、n 分别上求点P 、Q 点PA+PQ+QA 周长最短.二)、一个动点,一个定点: (一)动点在直线上运动:点B 在直线n 上运动,在直线m 上找一点P ,使PA+PB 最小(在图中画出点P 和点B )1、两点在直线两侧:2、两点在直线同侧:m nmnmnm(二)动点在圆上运动点B 在⊙O 上运动,在直线m 上找一点P ,使PA+PB 最小(在图中画出点P 和点B ) 1、点与圆在直线两侧:2、点与圆在直线同侧:三)、已知A 、B 是两个定点,P 、Q 是直线m 上的两个动点,P 在Q 的左侧,且PQ 间长度恒定,在直线m 上要求P 、Q 两点,使得PA+PQ+QB 的值最小。
(原理用平移知识解) (1)点A 、B 在直线m 两侧:过A 点作AC ∥m,且AC 长等于PQ 长,连接BC,交直线m 于Q,Q 向左平移PQ 长,即为P 点,此时P 、Q 即为所求的点。
(2)点A 、B 在直线m 同侧:mmmmQ Q练习题1.如图,∠AOB =45°,P 是∠AOB 内一点,PO =10,Q 、R 分别是OA 、OB 上的动点,求△PQR 周长的最小值为 .2、 如图1,在锐角三角形ABC 中,AB=4,∠BAC=45°,∠BAC 的平分线交BC 于点D ,M,N 分别是AD 和AB 上的动点,则BM+MN 的最小值为 . 3、如图,在锐角三角形ABC 中 ,AB=52,∠BAC=45,BAC 的平分线交BC 于D ,M 、N 分别是AD 和AB 上的动点,则BM+MN 的最小值是多少?4、如图4所示,等边△ABC 的边长为6,AD 是BC 边上的中线,M 是AD 上的动点,E 是AC 边上一点.若AE=2,EM+CM 的最小值为 .5、如图3,在直角梯形ABCD 中,∠ABC =90°,AD ∥BC ,AD =4,AB =5,BC =6,点P 是AB 上一个动点,当PC +PD 的和最小时,PB 的长为__________.6、 如图4,等腰梯形ABCD 中,AB=AD=CD=1,∠ABC=60°,P 是上底,下底中点EF 直线上的一点,则PA+PB 的最小值为 .Q7、如图5菱形ABCD中,AB=2,∠BAD=60°,E是AB的中点,P是对角线AC上的一个动点,则PE+PB的最小值为.8、如图,菱形ABCD的两条对角线分别长6和8,点P是对角线AC上的一个动点,点M、N分别是边AB、BC的中点,则PM+PN的最小值是9、如图,圆柱形玻璃杯,高为12cm,底面周长为18cm,在杯内离杯底3cm的点C处有一滴蜂蜜,此时一只蚂蚁正好在杯外壁,离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处,则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为________cm.10、如图,菱形ABCD中,AB=2,∠A=120°,点P,Q,K分别为线段BC,CD,BD上的任意一点,则PK+QK的最小值为11、如图,正方形ABCD的边长为2,E为AB的中点,P是AC上一动点.则PB+PE的最小值是12、如图6所示,已知正方形ABCD的边长为8,点M在DC上,且DM=2,N是AC上的一个动点,则DN+MN的最小值为.13、如图,正方形ABCD的边长是2,∠DAC的平分线交DC于点E,若点P、Q分别是AD和AE上的动点,则DQ+PQ的最小值为.14、如图7,在边长为2cm的正方形ABCD中,点Q为BC边的中点,点P为对角线AC上一动点,连接PB、PQ,则△PBQ周长的最小值为cm.(结果不取近似值).15、如图,⊙O的半径为2,点A、B、C在⊙O上,OA⊥OB,∠AOC=60°,P是OB上一动点,则P A+PC的最小值是.16、如图8,MN是半径为1的⊙O的直径,点A在⊙O上,∠AMN=30°,B为AN弧的中点,P是直径MN上一动点,则PA+PB的最小值为( )(A)2 (B) (C)1 (D)2解答题1、如图9,正比例函数y=x的图象与反比例函数y=(k≠0)在第一象限的图象交于A点,过A点作x轴的垂线,垂足为M,已知三角形OAM的面积为1.(1)求反比例函数的解析式;(2)如果B为反比例函数在第一象限图象上的点(点B与点A不重合),且B点的横坐标为1,在x轴上求一点P,使PA+PB最小.2、如图,一元二次方程x2+2x-3=0的二根x1,x2(x1<x2)是抛物线y=ax2+bx+c 与x轴的两个交点B,C的横坐标,且此抛物线过点A(3,6).(1)求此二次函数的解析式;(2)设此抛物线的顶点为P,对称轴与AC相交于点Q,求点P和点Q的坐标;(3)在x轴上有一动点M,当MQ+MA取得最小值时,求M点的坐标.3、如图10,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(1,),△AOB的面积是.(1)求点B的坐标;(2)求过点A、O、B的抛物线的解析式;(3)在(2)中抛物线的对称轴上是否存在点C,使△AOC的周长最小?若存在,求出点C的坐标;若不存在,请说明理由;4.如图,抛物线y =35x 2-185x +3和y 轴的交点为A ,M 为OA 的中点,若有一动点P ,自M 点处出发,沿直线运动到x 轴上的某点(设为点E ),再沿直线运动到该抛物线对称轴上的某点(设为点F ),最后又沿直线运动到点A ,求使点P 运动的总路程最短的点E ,点F 的坐标,并求出这个最短路程的长.5.如图,已知在平面直角坐标系xOy 中,直角梯形OABC 的边OA 在y 轴的正半轴上,OC 在x 轴的正半轴上,OA =AB =2,OC =3,过点B 作BD ⊥BC ,交OA 于点D .将∠DBC 绕点B 按顺时针方向旋转,角的两边分别交y 轴的正半轴、x 轴的正半轴于点E 和F . (1)求经过A 、B 、C 三点的抛物线的解析式;(2)当BE 经过(1)中抛物线的顶点时,求CF 的长; (3)在抛物线的对称轴上取两点P 、Q (点Q 在点P 的上方),且PQ =1,要使四边形BCPQ 的周长最小,求出P 、Q 两点的坐标.6.如图,已知平面直角坐标系,A,B两点的坐标分别为A(2,-3),B(4,-1)若C(a,0),D(a+3,0)是x轴上的两个动点,则当a为何值时,四边形ABDC的周长最短.7、如图11,在平面直角坐标系中,矩形的顶点O在坐标原点,顶点A、B分别在x 轴、y轴的正半轴上,OA=3,OB=4,D为边OB的中点.(1)若E为边OA上的一个动点,当△CDE的周长最小时,求点E的坐标;(2)若E、F为边OA上的两个动点,且EF=2,当四边形CDEF的周长最小时,求点E、F的坐标.二、求两线段差的最大值问题 (运用三角形两边之差小于第三边) 基本图形解析:1、在一条直线m 上,求一点P ,使PA 与PB 的差最大; (1)点A 、B 在直线m 同侧:解析:延长AB 交直线m 于点P ,根据三角形两边之差小于第三边,P ’A —P ’B <AB ,而PA —PB=AB 此时最大,因此点P 为所求的点。
初中几何中线段和与差最值问题
初中几何中线段和(差)的最值问题一、两条线段和的最小值。
基本图形解析: 一)、已知两个定点:1、在一条直线m 上,求一点P ,使PA+PB 最小; (1)点A 、B 在直线m 两侧:(2)点A 、B 在直线同侧:2、在直线m 、n 上分别找两点P 、Q ,使PA+PQ+QB 最小。
(1)两个点都在直线外侧:m m BmABmm(2)一个点在内侧,一个点在外侧:(3)两个点都在内侧:nmnnnmB(4)、台球两次碰壁模型变式一:已知点A 、B 位于直线m,n 的内侧,在直线n 、m 分别上求点D 、E 点,使得围成的四边形ADEB 周长最短.变式二:已知点A 位于直线m,n 的内侧, 在直线m 、n 分别上求点P 、Q 点PA+PQ+QA 周长最短.二)、一个动点,一个定点: (一)动点在直线上运动:点B 在直线n 上运动,在直线m 上找一点P ,使PA+PB 最小(在图中画出点P 和点B )1、两点在直线两侧:2、两点在直线同侧:(二)动点在圆上运动点B 在⊙O 上运动,在直线m 上找一点P ,使PA+PB 最小(在图中画出点P 和点B ) 1、点与圆在直线两侧:m nmnmnmmm2、点与圆在直线同侧:三)、已知A 、B 是两个定点,P 、Q 是直线m 上的两个动点,P 在Q 的左侧,且PQ 间长度恒定,在直线m 上要求P 、Q 两点,使得PA+PQ+QB 的值最小。
(原理用平移知识解) (1)点A 、B 在直线m 两侧:作法:过A 点作AC ∥m,且AC 长等于PQ 长,连接BC,交直线m 于Q,Q 向左平移PQ 长,即为P 点,此时P 、Q 即为所求的点。
(2)点A 、B 在直线m 同侧:mmQ基础题1.如图1,∠AOB=45°,P是∠AOB内一点,PO=10,Q、R分别是OA、OB上的动点,求△PQR周长的最小值为.mABEQPmABQ2、如图2,在锐角三角形ABC中,AB=4,∠BAC=45°,∠BAC的平分线交BC于点D,M,N分别是AD和AB上的动点,则BM+MN 的最小值为.3、如图3,在锐角三角形ABC中,AB=52,∠BAC=45,BAC的平分线交BC于D,M、N分别是AD和AB上的动点,则BM+MN的最小值是。
完整word版,初中几何中线段和与差最值问题
初中几何中线段和(差)的最值问题一、两条线段和的最小值。
基本图形解析: 一)、已知两个定点:1、在一条直线m 上,求一点P ,使PA+PB 最小; (1)点A 、B 在直线m 两侧:(2)点A 、B 在直线同侧:2、在直线m 、n 上分别找两点P 、Q ,使PA+PQ+QB 最小。
(1)两个点都在直线外侧:(2)一个点在内侧,一个点在外侧:(3)两个点都在内侧:mm B mA Bmn mnn mnnn m(4)、台球两次碰壁模型变式一:已知点A 、B 位于直线m,n 的内侧,在直线n 、m 分别上求点D 、E 点,使得围成的四边形ADEB 周长最短.变式二:已知点A 位于直线m,n 的内侧, 在直线m 、n 分别上求点P 、Q 点PA+PQ+QA 周长最短.二)、一个动点,一个定点: (一)动点在直线上运动:点B 在直线n 上运动,在直线m 上找一点P ,使PA+PB 最小(在图中画出点P 和点B ) 1、两点在直线两侧:2、两点在直线同侧:(二)动点在圆上运动点B 在⊙O 上运动,在直线m 上找一点P ,使PA+PB 最小(在图中画出点P 和点B ) 1、点与圆在直线两侧:m nmnm nmm2、点与圆在直线同侧:三)、已知A 、B 是两个定点,P 、Q 是直线m 上的两个动点,P 在Q 的左侧,且PQ 间长度恒定,在直线m 上要求P 、Q 两点,使得PA+PQ+QB 的值最小。
(原理用平移知识解) (1)点A 、B 在直线m 两侧:作法:过A 点作AC ∥m,且AC 长等于PQ 长,连接BC,交直线m 于Q,Q 向左平移PQ 长,即为P 点,此时P 、Q 即为所求的点。
(2)点A 、B 在直线m 同侧:练习题 1.如图1,∠AOB =45°,P 是∠AOB 内一点,PO =10,Q 、R 分别是OA 、OB 上的动点,求△PQR 周长的最小值为.2、如图2,在锐角三角形ABC 中,AB=4,∠BAC=45°,∠BAC 的平分线交BC 于点D ,M,N分别是AD 和AB 上的动点,则BM+MN 的最小值为 .3、如图3,在锐角三角形ABC 中 ,AB=52,∠BAC=45,BAC 的平分线交BC 于D ,M 、N 分别是AD 和AB 上的动点,则BM+MN 的最小值是 。
几何图形中线段和差的最值问题课件
第一步 寻找、构造几何模型
要求△PBC 的周长最小? 只要PB+PC最小就好了!
11
段 和 自 气 路 是匹角 是 页 第二步 计算——勾股定理
把PB+PC 转化为PA+PC !
当P 运动到H 时, PA+PC最小
12
檗鹬考物
圆
墨图角军是
09内江27
对于动点Q(1,n), 求PQ+QB的最小值 .
· ( Ⅱ ) 若E、F为边OA上的两个动点,且EF=2, 当 四边形的周长最小时,求点E、F的坐标.
28
解: (I) 如图,作点D 关 于x 轴的对称点D', 连 接CD '与x 轴交于点E, 连 接DE. 若在边OA 上任取点E' ( 与 点E 不重合),连接CE' 、DE' 、D'E'. 由DE'+CE'=D'E'+CE'>CD'=D'E+CE=DE+CE,
如何去解?
来
化归
源
引申、条件变换、背景转换、 增加解题层次性等
课本例题或常见题
考题
1.分清定点、动点、对称轴 2.利用对称性构造三点共线
9
巨受禾日老年白身
全无 甲籍
亭 是题角解是页
09济南24
已知在对抛物线的称轴上存在一点P, 使得△PBC 的周长最小, 精求出点P 的坐标 .
10
段
积
自
是题解 是
直线A'′B'′ 的解析式为 ·
要使A'D+DB'′ 最短,点D应在直线A′′B'′ 上,将点D(-4,0) 代入直线 A¹ B'′ 的解析式,解得
2024年中考数学二轮专题复习:线段和差的最大值与最小值(拔高)(含答案)
中考二轮复习:线段和(差)的最值问题一、两条线段和的最小值。
基本图形解析: 一)、已知两个定点:1、在一条直线m 上,求一点P ,使PA+PB 最小; (1)点A 、B 在直线m 两侧:(2)点A 、B 在直线同侧:A 、A ’ 是关于直线m 的对称点。
2、在直线m 、n 上分别找两点P 、Q ,使PA+PQ+QB 最小。
(1)两个点都在直线外侧:(2)一个点在内侧,一个点在外侧:(3)两个点都在内侧:(4)、台球两次碰壁模型mm AB mA B mnnnm nnnm变式一:已知点A 、B 位于直线m,n 的内侧,在直线n 、m 分别上求点D 、E 点,使得围成的四边形ADEB 周长最短.填空:最短周长=________________变式二:已知点A 位于直线m,n 的内侧, 在直线m 、n 分别上求点P 、Q 点PA+PQ+QA 周长最短.二)、一个动点,一个定点: (一)动点在直线上运动:点B 在直线n 上运动,在直线m 上找一点P ,使PA+PB 最小(在图中画出点P 和点B ) 1、两点在直线两侧:2、两点在直线同侧:(二)动点在圆上运动点B 在⊙O 上运动,在直线m 上找一点P ,使PA+PB 最小(在图中画出点P 和点B )1、点与圆在直线两侧:m n mnm n m2、点与圆在直线同侧:三)、已知A、B是两个定点,P、Q是直线m上的两个动点,P在Q的左侧,且PQ间长度恒定,在直线m上要求P、Q两点,使得PA+PQ+QB的值最小。
(原理用平移知识解)(1)点A、B在直线m两侧:过A点作AC∥m,且AC长等于PQ长,连接BC,交直线m于Q,Q向左平移PQ长,即为P点,此时P、Q即为所求的点。
(2)点A、B在直线m同侧:二、求两线段差的最大值问题(运用三角形两边之差小于第三边)基本图形解析:1、在一条直线m上,求一点P,使PA与PB的差最大;(1)点A、B在直线m同侧:m mQQPB(2)点A 、B 在直线m 异侧:对应训练: 一、填空题:1.如图,正方形ABCD 的边长为2,E 为AB 的中点,P 是AC 上一动点.则PB +PE 的最小值是 . 2.如图,⊙O 的半径为2,点A 、B 、C 在⊙O 上,OA ⊥OB ,∠AOC =60°,P 是OB 上一动点,则PA +PC 的最小值是 .3.如图,在锐角△ABC 中,AB =42,∠BAC =45°,∠BAC 的平分线交BC 于点D ,M 、N 分别是AD 和AB 上的动点,则BM +MN 的最小值是 .4.如图,在四边形ABCD 中,∠ABC =90°,AD ∥BC ,AD =4,AB =5,BC =6,点P 是AB 上一个动点,当PC +PD 的和最小时,PB 的长为__________.5.已知A (-2,3),B (3,1),P 点在x 轴上,若PA +PB 长度最小,则最小值为 .若PA —PB 长度最大,则最大值为 .6.如图,MN 是半径为1的⊙O 的直径,点A 在⊙O 上,∠AMN =30°,B 为AN 弧的中点,P 是直径MN 上一动点,则PA +PB 的最小值为 .7、如图,菱形ABCD 中,AB=2,∠A=120°,点P ,Q ,K分别为线段BC ,CD ,BD 上的任意一点,则PK+QK的最小值为8、如图,正方形ABCD 的边长是2,∠DAC 的平分线交DC 于点E ,若点P 、Q 分别是AD 和AE 上的动点,则第1题 第2题 第3题 第4题 mB'PP'DQ+PQ 的最小值为 .二、综合题:1.如图,∠AOB =45°,P 是∠AOB 内一点,PO =10,Q 、R 分别是OA 、OB 上的动点,求△PQR 周长的最小值.2.如图,已知平面直角坐标系,A ,B 两点的坐标分别为A (2,-3),B (4,-1)设M ,N 分别为x 轴和y 轴上的动点,请问:是否存在这样的点M (m ,0),N (0,n ),使四边形ABMN 的周长最短?若存在,请求出m =______,n = ______(不必写解答过程);若不存在,请说明理由.中考赏析:1.著名的恩施大峡谷(A )和世界级自然保护区星斗山(B )位于笔直的沪渝高速公路X 同侧,AB =50km 、B 到直线X 的距离分别为10km 和40km ,要在沪渝高速公路旁修建一服务区P ,向A 、B 两景区运送游客.小民设计了两种方案,图(1)是方案一的示意图(AP 与直线X 垂直,垂足为P ),P 到A 、B 的距离之和S 1=PA +PB ,图(2)是方案二的示意图(点A 关于直线X 的对称点是A',连接BA'交直线X 于点P ),P 到A 、B 的距离之和S 2=PA +PB .(1)求S 1、S 2,并比较它们的大小; (2)请你说明S 2=PA +PB 的值为最小;(3)拟建的恩施到张家界高速公路Y 与沪渝高速公路垂直,建立如图(3)所示的直角坐标系,B 到直线Y 的距离为30km ,请你在X 旁和Y 旁各修建一服务区P 、Q ,使P 、A 、B 、Q 组成的四边形的周长最小.并求出这个最小值.2.如图,抛物线y =35x 2-185x +3和y 轴的交点为A ,M 为OA 的中点,若有一动点P ,自M 点处出发,沿直线运动到x 轴上的某点(设为点E ),再沿直线运动到该抛物线对称轴上的某点(设为点F ),最后又沿直线运动到点A ,求使点P 运动的总路程最短的点E ,点F 的坐标,并求出这个最短路程的长.3、在x轴的正半轴上,OA=AB=2,OC=3,过点B作BD⊥BC,交OA于点D.将∠DBC绕点B按顺时针方向旋转,角的两边分别交y轴的正半轴、x轴的正半轴于点E和F.(1)求经过A、B、C三点的抛物线的解析式;(2)当BE经过(1)中抛物线的顶点时,求CF的长;(3)在抛物线的对称轴上取两点P、Q(点Q在点P的上方),且PQ=1,要使四边形BCPQ的周长最小,求出P、Q两点的坐标.4.如图,已知平面直角坐标系,A,B两点的坐标分别为A(2,-3),B(4,-1)若C(a,0),D(a+3,0)是x 轴上的两个动点,则当a为何值时,四边形ABDC的周长最短.5、如图11,在平面直角坐标系中,矩形的顶点O在坐标原点,顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上,OA=3,OB=4,D为边OB的中点.(1)若E为边OA上的一个动点,当△CDE的周长最小时,求点E的坐标;(2)若E、F为边OA上的两个动点,且EF=2,当四边形CDEF的周长最小时,求点E、F的坐标.二、求两线段差的最大值问题(运用三角形两边之差小于第三边)1.直线2x-y-4=0上有一点P,它与两定点A(4,-1)、B(3,4)的距离之差最大,则P点的坐标是.2.已知A、B两个村庄的坐标分别为(2,2),(7,4),一辆汽车(看成点P)在x轴上行驶.试确定下列情况下汽车(点P)的位置:(1)求直线AB的解析式,且确定汽车行驶到什么点时到A、B两村距离之差最大?y x CB AD OE y (2)汽车行驶到什么点时,到A 、B 两村距离相等?3. 如图,抛物线y =-14x 2-x +2的顶点为A ,与y 轴交于点B . (1)求点A 、点B 的坐标;(2)若点P 是x 轴上任意一点,求证:PA -PB ≤AB ; (3)当PA -PB 最大时,求点P 的坐标.4. 如图,已知直线y =21x +1与y 轴交于点A ,与x 轴交于点D ,抛物线y =21x 2+bx +c 与直线交于A 、E 两点,与x 轴交于B 、C 两点,且B 点坐标为(1,0). (1)求该抛物线的解析式;(3)在抛物线的对称轴上找一点M ,使|AM -MC |的值最大,求出点M的坐标.5. 如图,直线y =-3x +2与x 轴交于点C ,与y 轴交于点B ,点A 为y 轴正半轴上的一点,⊙A 经过点B 和点O ,直线BC 交⊙A 于点D . (1)求点D 的坐标;(2)过O ,C ,D 三点作抛物线,在抛物线的对称轴上是否存在一点P ,使线段PO 与PD 之差的值最大?若存在,请求出这个最大值和点P 的坐标.若不存在,请说明理由.三、其它非基本图形类线段和差最值问题1、求线段的最大值与最小值需要将该条线段转化到一个三角形中,在该三角形中,其他两边是已知的,则所求线段的最大值为其他两线段之和,最小值为其他两线段之差。
抛物线与线段和差最值问题(含答案)
抛物线与线段和差最值问题(含答案)线段和差最值问题是数学中常见的优化问题,需要运用一些基本的数学知识和技巧来解决。
下面分别给出四道相关的例题。
一、如图,抛物线$y=\frac{1}{2}x+bx-2$与$x$轴交于$A$、$B$两点,与$y$轴交于点$C$,且$A(-1,\frac{1}{2})$。
1)求抛物线的解析式以及顶点$D$的坐标;2)判断$\triangle ABC$的形状,证明你的结论;3)点$M(m,0)$是$x$轴上的一个动点,当$MC+MD$的值最小时,求$m$的值。
二、如图,在平面直角坐标系中,抛物线$y=ax^2+bx+c$经过$A(-2,-4)$、$B(2,0)$、$O(0,0)$三点。
1)求抛物线$y=ax^2+bx+c$的解析式;2)若点$M$是该抛物线对称轴上的一点,求$AM+OM$的最小值。
三、如图,已知直线$y=\frac{1}{12}x+1$与$y$轴交于点$A$,与$x$轴交于点$D$,抛物线$y=x+bx+c$与直线交于$A$、$E$两点,与$x$轴交于$B$、$C$两点,且$B$点坐标为$(1,0)$。
1)求该抛物线的解析式;2)在抛物线的对称轴上找一点$M$,使$|AM-MC|$的值最大,求出点$M$的坐标。
四、已知抛物线$y=\frac{1}{2}x+bx$经过点$A(4,\frac{5}{2})$,设点$C(1,-3)$,请在抛物线的对称轴上确定一点$D$,使得$AD-CD$的值最大,则$D$点的坐标为。
解题思路:1、对于第一题,先求出抛物线的解析式,再通过求导得到顶点的坐标,最后利用勾股定理求出最小值点的坐标。
2、对于第二题,先利用三点求解得到抛物线的解析式,再通过对称性求出对称轴,最后利用距离公式求解最小值。
3、对于第三题,先求解抛物线的解析式,再通过求导得到对称轴和顶点的坐标,最后利用距离公式求解最大值点的坐标。
4、对于第四题,先求解抛物线的解析式,再通过对称性求出对称轴和顶点的坐标,最后利用距离公式求解最大值点的坐标。
初中几何中线段和差最大值最小值典型分析最全
初中几何中线段和(差)的最值问题一、两条线段和的最小值。
基本图形解析:(对称轴为:动点所在的直线上)一)、已知两个定点:1、在一条直线m上,求一点P,使PA+PB最小;(1)点A、B在直线m两侧:(2)点A、B在直线同侧:A、A’是关于直线m的对称点。
2、在直线m、n上分别找两点P、Q,使PA+PQ+QB最小。
(1)两个点都在直线外侧:(2)一个点在内侧,一个点在外侧:(3)两个点都在内侧:(4)、台球两次碰壁模型变式一:已知点A、B位于直线m,n 的内侧,在直线n、m分别上求点D、E点,使得围成的四边形ADEB周长最短.填空:最短周长=________________变式二:已知点A位于直线m,n 的内侧, 在直线m、n分别上求点P、Q点PA+PQ+QA 周长最短.二)、一个动点,一个定点:(一)动点在直线上运动:点B在直线n上运动,在直线m上找一点P,使PA+PB最小(在图中画出点P和点B)1、两点在直线两侧:2、两点在直线同侧:(二)动点在圆上运动点B在⊙O上运动,在直线m上找一点P,使PA+PB最小(在图中画出点P和点B)1、点与圆在直线两侧:2、点与圆在直线同侧:三)、已知A、B是两个定点,P、Q是直线m上的两个动点,P在Q的左侧,且PQ间长度恒定,在直线m上要求P、Q两点,使得PA+PQ+QB的值最小。
(原理用平移知识解)(1)点A、B在直线m两侧:过A点作AC∥m,且AC长等于PQ长,连接BC,交直线m于Q,Q向左平移PQ长,即为P 点,此时P、Q即为所求的点。
(2)点A、B在直线m同侧:练习题1.如图,∠AOB=45°,P是∠AOB内一点,PO=10,Q、R分别是OA、OB上的动点,求△PQR 周长的最小值为.2、如图1,在锐角三角形ABC中,AB=4,∠BAC=45°,∠BAC的平分线交BC于点D,M,N 分别是AD和AB上的动点,则BM+MN的最小值为.3、如图,在锐角三角形ABC中,AB=BAC=45,BAC的平分线交BC于D,M、N分别是AD和AB上的动点,则BM+MN的最小值是多少4、如图4所示,等边△ABC的边长为6,AD是BC边上的中线,M是AD上的动点,E是AC边上一点.若AE=2,EM+CM的最小值为.5、如图3,在直角梯形ABCD中,∠ABC=90°,AD∥BC,AD=4,AB=5,BC=6,点P是AB 上一个动点,当PC+PD的和最小时,PB的长为__________.Q6、如图4,等腰梯形ABCD中,AB=AD=CD=1,∠ABC=60°,P是上底,下底中点EF直线上的一点,则PA+PB的最小值为.7、如图5菱形ABCD中,AB=2,∠BAD=60°,E是AB的中点,P是对角线AC上的一个动点,则PE+PB的最小值为.8、如图,菱形ABCD的两条对角线分别长6和8,点P是对角线AC上的一个动点,点M、N分别是边AB、BC的中点,则PM+PN的最小值是9、如图,圆柱形玻璃杯,高为12cm,底面周长为18cm,在杯内离杯底3cm的点C处有一滴蜂蜜,此时一只蚂蚁正好在杯外壁,离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处,则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为________cm.10、如图,菱形ABCD中,AB=2,∠A=120°,点P,Q,K分别为线段BC,CD,BD上的任意一点,则PK+QK的最小值为11、如图,正方形ABCD的边长为2,E为AB的中点,P是AC上一动点.则PB+PE的最小值是12、如图6所示,已知正方形ABCD的边长为8,点M在DC上,且DM=2,N是AC上的一个动点,则DN+MN的最小值为.13、如图,正方形ABCD的边长是2,∠DAC的平分线交DC于点E,若点P、Q分别是AD和AE上的动点,则DQ+PQ的最小值为.14、如图7,在边长为2cm的正方形ABCD中,点Q为BC边的中点,点P为对角线AC上一动点,连接PB、PQ,则△PBQ周长的最小值为cm.(结果不取近似值).15、如图,⊙O的半径为2,点A、B、C在⊙O上,OA⊥OB,∠AOC=60°,P是OB上一动点,则PA+PC的最小值是.16、如图8,MN是半径为1的⊙O的直径,点A在⊙O上,∠AMN=30°,B为AN弧的中点,P是直径MN上一动点,则PA+PB的最小值为( )(A)2 (B) (C)1 (D)2解答题1、如图9,正比例函数y=x的图象与反比例函数y=(k≠0)在第一象限的图象交于A点,过A点作x轴的垂线,垂足为M,已知三角形OAM的面积为1.(1)求反比例函数的解析式;(2)如果B为反比例函数在第一象限图象上的点(点B与点A不重合),且B点的横坐标为1,在x轴上求一点P,使PA+PB最小.2、如图,一元二次方程x2+2x-3=0的二根x1,x2(x1<x2)是抛物线y=ax2+bx+c 与x轴的两个交点B,C的横坐标,且此抛物线过点A(3,6).(1)求此二次函数的解析式;(2)设此抛物线的顶点为P,对称轴与AC相交于点Q,求点P和点Q的坐标;(3)在x轴上有一动点M,当MQ+MA取得最小值时,求M点的坐标.3、如图10,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(1,),△AOB的面积是.(1)求点B的坐标;(2)求过点A、O、B的抛物线的解析式;(3)在(2)中抛物线的对称轴上是否存在点C,使△AOC的周长最小若存在,求出点C的坐标;若不存在,请说明理由;4.如图,抛物线y =35x 2-185x +3和y 轴的交点为A ,M 为OA 的中点,若有一动点P ,自M 点处出发,沿直线运动到x 轴上的某点(设为点E ),再沿直线运动到该抛物线对称轴上的某点(设为点F ),最后又沿直线运动到点A ,求使点P 运动的总路程最短的点E ,点F 的坐标,并求出这个最短路程的长.5.如图,已知在平面直角坐标系xOy 中,直角梯形OABC 的边OA 在y 轴的正半轴上,OC 在x轴的正半轴上,OA=AB=2,OC=3,过点B作BD⊥BC,交OA于点D.将∠DBC绕点B按顺时针方向旋转,角的两边分别交y轴的正半轴、x轴的正半轴于点E和F.(1)求经过A、B、C三点的抛物线的解析式;(2)当BE经过(1)中抛物线的顶点时,求CF的长;(3)在抛物线的对称轴上取两点P、Q(点Q在点P的上方),且PQ=1,要使四边形BCPQ 的周长最小,求出P、Q两点的坐标.6.如图,已知平面直角坐标系,A,B两点的坐标分别为A(2,-3),B(4,-1)若C(a,0),D(a+3,0)是x轴上的两个动点,则当a为何值时,四边形ABDC的周长最短.7、如图11,在平面直角坐标系中,矩形的顶点O在坐标原点,顶点A、B分别在x轴、y 轴的正半轴上,OA=3,OB=4,D为边OB的中点.(1)若E为边OA上的一个动点,当△CDE的周长最小时,求点E的坐标;(2)若E、F为边OA上的两个动点,且EF=2,当四边形CDEF的周长最小时,求点E、F的坐标.二、求两线段差的最大值问题 (运用三角形两边之差小于第三边)基本图形解析:1、在一条直线m上,求一点P,使PA与PB的差最大;(1)点A、B在直线m同侧:解析:延长AB交直线m于点P,根据三角形两边之差小于第三边,P’A—P’B<AB,而PA —PB=AB此时最大,因此点P为所求的点。
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几何中线段和,差最值问题
一、解决几何最值问题的通常思路
两点之间线段最短;
直线外一点与直线上所有点的连线段中,垂线段最短;
三角形两边之和大于第三边或三角形两边之差小于第三边(重合时取到最值)
是解决几何最值问题的理论依据,根据不同特征转化是解决最值问题的关键.通过转化减少变量,向三个定理靠拢进而解决问题;直接调用基本模型也是解决几何最值问题的高效手段.
一般处理方法:
常用定理:
两点之间,线段最短(已知两个定点时)
垂线段最短(已知一个定点、一条定直线时)
三角形三边关系(已知两边长固定或其和、差固定时)
二、典型题型 1.如图:点P 是∠AOB 内一定点,点M 、N 分别在边OA 、OB 上运动,若∠AOB =45°,OP =32,则△PMN 的周长的最小值为 6 .
2.如图,当四边形P ABN 的周长最小时,a =
4
7
.
线段和(周长)最小 转化
构造三角形 两点之间,线段最短 垂线段最短 P A +PB 最小, 需转化,
使点在线异侧
|P A -PB |最大, 需转化,使点在线同侧 线段差最大 线段最大(小)值 三角形三边关系定理 三点共线时取得最值 平移 对称 旋转 使点在线异侧
(如下图) 使点在线同侧 (如下图) 使目标线段与定长线段构成三角形 平移 对称 旋转 l B'A B
P l B'B
A P
3.如图,A、B两点在直线的两侧,点A到直线的距离AM=4,点B到直线的距离BN=1,且MN=4,P为直线上的动点,|P A﹣PB|的最大值为5.
D
P
B′
N
B
M
A
4.动手操作:在矩形纸片ABCD中,AB=3,AD=5.如图所示,折叠纸片,使点A落在BC边上的A′处,折痕为PQ,当点A′在BC边上移动时,折痕的端点P、Q也随之移动.若限定点P、Q分别在AB、AD边上移动,则点A′在BC边上可移动的最大距离为 2 .
5.如图,直角梯形纸片ABCD,AD⊥AB,AB=8,AD=CD=4,点E、F分别在线段AB、AD上,将△AEF沿EF翻折,点A的落点记为P.当P落在直角梯形ABCD 内部时,PD的最小值等于8-
5
4.
6.如图,∠MON=90°,矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM,ON上,当B在边ON上运动时,A随之在OM上运动,矩形ABCD的形状保持不变,其中AB=2,BC=1,运动过程中,点D到点O的最大距离为1
2 .
7.如图,线段AB的长为4,C为AB上一动点,分别以AC、BC为斜边在AB
的同侧作等腰直角△ACD和等腰直角△BCE,那么DE长的最小值是
2 .
8.如图,菱形ABCD中,AB=2,∠A=120°,点P,Q,K分别为线段BC,CD,BD上的任意一点,则PK+QK的最小值为3.
9.如图所示,正方形ABCD的边长为1,点P为边BC上的任意一点(可与B、C重合),分别过B、C、D作射线AP的垂线,垂足分别为B′、C′、D′,则BB′+CC′+DD′的取值范围是≤
2BB′+CC′+DD′2
≤.
10.如图,菱形ABCD中,∠A=60°,AB=3,⊙A、⊙B的半径分别为2和1,P、E、F分别是边CD、⊙A和⊙B上的动点,则PE+PF的最小值是 3 .11.点A、B均在由面积为1的相同小矩形组成的网格的格点上,建立平面直角坐标系如图所示.若P是x轴上使得PA PB
-的值最大的点,Q是y轴上使得QA+QB的值最小的点,则OP OQ
⋅=3.
第12题图
12.如图,在△ABC中,AB=6,AC=8,BC=10,P为边BC上一动点,PE⊥AB于E,PF⊥AC于F,M为EF中点,则AM的最小值为__2.4_______.
13.如图,点P在第一象限,△ABP是边长为2的等边三角形,当点A在x轴的正半轴上运动时,点B随之在y轴的正半轴上运动,运动过程中,点P到原点的最大距离是_1
3+_______.若将△ABP中边PA的长度改为2
2,另两边长度不x
O
A
B
y
A
B C
E
F
M
变,则点P 到原点的最大距离变为___15+______.
14.动手操作:在矩形纸片ABCD 中,AB =3,AD =5.如图所示,折叠纸片,使点A 落在BC 边上的A ′处,折痕为PQ ,当点A ′在BC 边上移动时,折痕的端点P 、Q 也随之移动.若限定点P 、Q 分别在AB 、AD 边上移动,则点A ′在BC 边上可移动的最大距离为 2 .
1. 如图,直角梯形纸片ABCD ,AD ⊥AB ,AB =8,AD =CD =4,点E 、F 分别在线
段AB 、AD 上,将△AEF 沿EF 翻折,点A 的落点记为P .
(1)当P 落在线段CD 上时,PD 的取值范围为 ≤34-8PD 4≤ ; (2)当P 落在直角梯形ABCD 内部时,PD 的最小值等于多少? 8-54
2. 如图,四边形ABCD 是正方形,△ABE 是等边三角形,M 为对角线BD (不含
B 点)上任意一点,将BM 绕点B 逆时针旋转60°得到BN ,连接EN 、AM 、CM .
(1)当M 点在何处时,AM +CM 的值最小;中点
A
B C D P F
E D C
B
A A B
C
D E
F
P A
D
C
B P
Q A'
(2)当M 点在何处时,AM +BM +CM 的值最小,并说明理由.EC 与BD 的交点为M
连接MN ,则三角形BMN 为等边三角形,∆BMC ≅ ∆BMA ≅∆BNE,所以MC=MA=EN,即AM +BM +CM=EN+MN+MC,AM +BM +CM 的值最小时,E,N,M,C 四点在同一直线上
3. 如图,已知平面直角坐标系中A ,B 两点的坐标分别为A (2,-3),B (4,-1).
(1)若P (p ,0)是x 轴上的一个动点,则当p =_2
7
_______时,△P AB 的
周长最短;
(2)若C (a ,0),D (a +3,0)是x 轴上的两个动点,则当a =__4
5
______
时,四边形ABDC 的周长最短; (3)设M ,N 分别为x 轴和y 轴上的动点,请问:是否存在这样的点M (m ,0),N (0,n ),使四边形ABMN 的周长最短?若存在,请写出m 和n 的值;若不存在,请说明理由
.
x x x m=25,n=3
5
-
A
B
C
D
E
M N
A
B
C
D
E
M N
课堂作业:
几何中的最值问题
1. 如图,在梯形ABCD 中,AB ∥CD ,∠BAD =90°,AB =6,对角线AC 平分∠BAD ,
点E 在AB 上,且AE =2(AE <AD ),点P 是AC 上的动点,则PE +PB 的最小值是____102______.
第1题图 第2题图 第3题图 第4题图
第5题图
2. 在边长为2cm 的正方形ABCD 中,点Q 为BC 边的中点,点P 为对角线AC
上一动点,连接PB 、PQ ,则△PBQ 周长的最小值为________15+____cm (结果不取近似值).
3. 如图,一副三角板拼在一起,O 为AD 的中点,AB =a .将△ABO 沿BO 对折
于△A ′BO ,点M 为BC 上一动点,则A ′M 的最小值为
a )(
4
2-46 . 4. 如图,在锐角△ABC 中,AB =∠BAC =45°,∠BAC 的平分线交BC
于点D ,点M ,N 分别是AD 和AB 上的动点,则BM +MN 的最小值为______4_____.
5. 在Rt △ACB 中,∠ACB =90°,AC =6,BC =8,P 、Q 两点分别是边AC 、BC 上
的动点,将△PCQ 沿PQ 翻折,C 点的对应点为C',连接A C',则A C'的最小值是_2________.
6. 如图,在△ABC 中,∠ACB =90°,AC =4,BC =2,点A 、C 分别在x 轴、y 轴
上,当点A 在x 轴上
运动时,点C 随之在y 轴上运动,在运动过程中,点B 到原点的最大距离
C
D
Q
P
B
A P
E
D C B A
60°
A'45°
M
O
D
B
A
N
M
A
B
D
C
C'
C
Q
P B
A
第6题图
7. 一次函数y 1=kx -2与反比例函数y 2=m
x
(m <0)的图象交于A ,B 两点,其中
点A 的坐标为(-6,2)
(1)求m ,k 的值;m=-12,k=-
3
2 (2)点P 为y 轴上的一个动点,当点P 在什么位置时|P A -PB | 的值最大?并求出最大值.53
8. 已知点A (3,4),点B 为直线x =-1上的动点,设B (-1,y ).
(1)如图1,若点C (x ,0)且-1<x <3,BC ⊥AC ,求y 与x 之间的函数关
系式;y=4
3
242++-x x
(2)如图2,当点B 的坐标为(-1,1)时,在x 轴上另取两点E ,F ,且EF =1.线段EF 在x 轴上平移,线段EF 平移至何处时,四边形ABEF 的周长最小?求
出此时点E
图1 图2
B (-。