江苏省苏州市常熟市九年级数学质量调研测试(一模)试题
常熟数学一模试卷初三
一、选择题（每题4分，共40分）1. 已知函数f(x) = x^2 - 4x + 3，则函数f(x)的对称轴为（）A. x = 2B. x = -2C. y = 2D. y = -22. 下列各式中，正确的是（）A. 3a^2b^2 = (3ab)^2B. (a + b)^2 = a^2 + b^2C. (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2D. (a - b)^3 = a^3 - b^33. 在△ABC中，∠A = 30°，∠B = 45°，则∠C的度数是（）A. 45°B. 60°C. 75°D. 90°4. 已知数列{an}中，a1 = 1，an = an-1 + 2（n≥2），则数列{an}的通项公式是（）A. an = 2n - 1B. an = 2nC. an = n^2D. an = n5. 下列各图中，满足条件“圆的半径为5cm，圆心角为60°”的是（）（图片略）6. 若直线y = kx + b与x轴、y轴的交点坐标分别为（a，0）、（0，b），则k 和b的关系为（）A. k = bB. k = -bC. k + b = 0D. k - b = 07. 已知一元二次方程x^2 - 4x + 3 = 0的两个根分别为m和n，则m + n的值为（）A. 4B. 3C. 2D. 18. 下列各数中，是无理数的是（）A. √9B. √16C. √25D. √369. 在平面直角坐标系中，点A（3，4）关于直线y = x的对称点B的坐标为（）A.（4，3）B.（-4，-3）C.（-3，4）D.（3，-4）10. 已知一次函数y = kx + b（k≠0）的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，且OA = 3，OB = 4，则该函数图象经过的象限是（）A. 第一、二、三象限B. 第一、二、四象限C. 第一、三、四象限D. 第一、二、四象限二、填空题（每题4分，共40分）11. 已知数列{an}中，a1 = 3，an = 2an-1 - 1（n≥2），则a3的值为______。
江苏省常熟市2025届九年级数学第一学期期末调研模拟试题含解析
江苏省常熟市2025届九年级数学第一学期期末调研模拟试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。
写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题（每题4分，共48分）1．关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0的两个实数根分别为﹣2和3，则( )A．b＝1，c＝﹣6 B．b＝﹣1，c＝﹣6C．b＝5，c＝﹣6 D．b＝﹣1，c＝62．已知x1，x2是关于x的方程x2＋ax－2b＝0的两个实数根，且x1＋x2＝－2，x1·x2＝1，则b a的值是( ) A．B．－C．4 D．－13．如图，MN所在的直线垂直平分线段AB，利用这样的工具，可以找到圆形工件的圆心，如果使用此工具找到圆心，最少使用次数为（）.A．1 B．2 C．3 D．44．在一个不透明的袋子里装有5个红球和若干个白球，它们除颜色外其余完全相同，通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.2附近，则估计袋中的白球大约有( )个A．10 B．15 C．20 D．255．下列事件中，属于必然事件的是（）A．小明买彩票中奖B．投掷一枚质地均匀的骰子，掷得的点数是奇数aC．等腰三角形的两个底角相等D．a是实数，06．把边长相等的正六边形ABCDEF和正五边形GHCDL的CD边重合，按照如图所示的方式叠放在一起，延长LG交AF于点P，则∠APG＝（）A ．141°B ．144°C ．147°D ．150°7．如图的几何体，它的主视图是（ ）A ．B ．C ．D ．8．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，AD ＝8，DB ＝4，AE ＝6，则EC 的长为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．49．抛物线y ＝3x 2向右平移一个单位得到的抛物线是（ ）A ．y ＝3x 2+1B ．y ＝3x 2﹣1C ．y ＝3（x+1）2D ．y ＝3（x ﹣1）210．正八边形的中心角为（ ）A ．45°B ．60°C ．80°D ．90°11．如图，已知抛物线211:(2)22y l x =--与x 轴分别交于O 、A 两点，将抛物线1l 向上平移得到2l ，过点A 作AB x ⊥轴交抛物线2l 于点B ，如果由抛物线1l 、2l 、直线AB 及y 轴所围成的阴影部分的面积为16，则抛物线2l 的函数表达式为（ ）A ．21(2) 2 2y x =-+ B ．21(2) 3 2y x =-+ C ．21(2)42y x =-+ D ．21(2)12y x =-+ 12．如图，一个可以自由转动的转盘被平均分成7个大小相同的扇形，每个扇形上分别写有“中”、“国”、“梦”三个字指针的位置固定，转动转盘停止后，指针指向“中”字所在扇形的概率是（ ）A ．47B ．37C ．17D ．13二、填空题（每题4分，共24分）13．已知二次函数2y ax bx c =++的自变量x 与函数y 的部分对应值列表如下： x …－3 －2 －1 0 … y… 0 －3 －4 －3 … 则关于x 的方程20ax bx c ++=的解是______.14．如图，四边形ABCD 中，AB ∥CD ，∠C ＝90°，AB ＝1，CD ＝2，BC ＝3，点P 为BC 边上一动点，若AP ⊥DP ，则BP 的长为_____．15．如图，在半径AC 为2，圆心角为90°的扇形内，以BC 为直径作半圆，交弦AB 于点D ，连接CD ，则图中阴影部分的面积是 ．16．分解因式：x 3y ﹣xy 3=_____．17．如图，在扇形OAB 中，∠AOB=90°，半径OA=1．将扇形OAB 沿过点B 的直线折叠．点 O 恰好落在延长线上点D 处，折痕交OA 于点C ，整个阴影部分的面积_____．18．如图，,PA PB 是O 的两条切线，,A B 为切点，点,,D E F 分别在线段,,AB BP AP 上，且AD =0,,58BE BD AF P =∠=，则EDF ∠=__________．三、解答题（共78分）19．（8分）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，以AB 为直径的⊙O 与边BC ，AC 分别交于D ，E 两点，过点D 作DH ⊥AC 于点H ．（1）求证：BD ＝CD ；（2）连结OD 若四边形AODE 为菱形，BC ＝8，求DH 的长．20．（8分）如图，二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象与x 轴相交于点A (﹣1，0)、B (5，0)，与y 轴相交于点C (053)． （1）求该函数的表达式；（2）设E 为对称轴上一点，连接AE 、CE ；①当AE +CE 取得最小值时，点E 的坐标为 ；②点P 从点A 出发，先以1个单位长度/的速度沿线段AE 到达点E ，再以2个单位长度的速度沿对称轴到达顶点D ．当点P 到达顶点D 所用时间最短时，求出点E 的坐标．21．（8分）如图,在△ABC 中,D 为BC 边上的一点,且∠CAD=∠B,CD=4，BD=2,求AC 的长22．（10分）解下列方程:（1）22610x x -+=；（2）()2121x x -=+. 23．（10分）如图，在ABC 中，,40=∠=︒AB AC A ，求B 的度数.24．（10分）如图，AC 是⊙O 的直径，BC 是⊙O 的弦，点P 是⊙O 外一点，连接PB 、AB ，∠PBA=∠C ，（1）求证：PB 是⊙O 的切线；（2）连接OP ，若OP ∥BC ，且OP=8，⊙O 的半径为22 ，求BC 的长．25．（12分）如图，AC 、BD 交于点E ，BC CD =，且BD 平分ABC ∠．（1）求证：AEB CED ∆∆；（2）若6BC =，3EC =，2AE =，求AB 的长．26．如图，一渔船由西往东航行，在A 点测得海岛C 位于北偏东60°的方向，前进30海里到达B 点，此时，测得海岛C 位于北偏东30°的方向，求海岛C 到航线AB 的距离CD 的长（结果保留根号）．参考答案一、选择题（每题4分，共48分）1、B【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得到﹣2+3＝﹣b ，﹣2×3＝c ，即可得到b 与c 的值. 【详解】由一元二次方程根与系数的关系得：﹣2+3＝﹣b ，﹣2×3＝c ， ∴b ＝﹣1，c ＝﹣6故选：B.【点睛】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，掌握一元二次方程ax 2+bx+c ＝0的两个根12x x ，满足1212,b c x x x x a a+=-⋅= ，是解题的关键. 2、A【解析】根据根与系数的关系和已知x1+x2和x1•x2的值，可求a、b的值，再代入求值即可．【详解】解：∵x1，x2是关于x的方程x2+ax﹣2b=0的两实数根，∴x1+x2=﹣a=﹣2，x1•x2=﹣2b=1，解得a=2，b=，∴b a=（）2=．故选A．3、B【分析】根据垂径定理可知，MN所在直线是直径的位置，而两条直径的交点即为圆心，故最少使用2次就可以找到圆形工件的圆心．【详解】根据垂径定理可知，MN所在直线是直径的位置，而两条直径的交点即为圆心，如图所示，使用2次即可找到圆心O，故选B.【点睛】本题考查利用垂径定理确定圆心，熟练掌握弦的垂直平分线经过圆心是解题的关键.4、C【分析】由摸到红球的频率稳定在0.2附近得出口袋中得到红色球的概率，进而求出白球个数即可．【详解】设白球个数为x个，∵摸到红色球的频率稳定在0.2左右，∴口袋中得到红色球的概率为0.2，∴50.2 5x=+，解得：x=20，经检验x=20是原方程的根，故白球的个数为20个．故选C．【点睛】此题主要考查了利用频率估计概率，根据大量反复试验下频率稳定值即概率得出是解题关键．5、C【分析】由题意根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可判断选项．【详解】解：A. 小明买彩票中奖，是随机事件；B. 投掷一枚质地均匀的骰子，掷得的点数是奇数，是随机事件；C. 等腰三角形的两个底角相等，是必然事件；D. a是实数，0a<，是不可能事件；故选C.【点睛】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．6、B【解析】先根据多边形的内角和公式分别求得正六边形和正五边形的每一个内角的度数，再根据多边形的内角和公式求得∠APG的度数．【详解】(6﹣2)×180°÷6＝120°，(5﹣2)×180°÷5＝108°，∠APG＝(6﹣2)×180°﹣120°×3﹣108°×2＝720°﹣360°﹣216°＝144°，故选B．【点睛】本题考查了多边形内角与外角，关键是熟悉多边形内角和定理：(n﹣2)•180 (n≥3)且n为整数)．7、A【解析】从正面看所得到的图形，进行判断即可．【详解】解：主视图就是从正面看到的图形，因此A图形符合题意，故选：A．【点睛】此题主要考查三视图，解题的关键是熟知三视图的定义．8、C【分析】根据平行线所截的直线形成的线段的比例关系,可得AD AEBD EC=,代数解答即可.【详解】解:由题意得,AD AEBD EC=,864EC=,解得3EC=.【点睛】本题考查了平行线截取直线所得的对应线段的比例关系,理解掌握该比例关系列出比例式是解答关键.9、D【解析】先确定抛物线y＝3x1的顶点坐标为（0，0），再利用点平移的坐标变换规律得到点（0，0）平移后对应点的坐标为（1，0），然后根据顶点式写出平移后的抛物线的解析式．【详解】y＝3x1的顶点坐标为（0，0），把点（0，0）右平移一个单位所得对应点的坐标为（1，0），所以平移后的抛物线解析式为y＝3（x﹣1）1．故选D．【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．10、A【分析】根据中心角是正多边形的外接圆相邻的两个半径的夹角，即可求解.【详解】∵360°÷8＝45°，∴正八边形的中心角为45°，故选：A．【点睛】本题主要考查正八边形的中心角的定义，理解正八边形的外接圆相邻的两个半径的夹角是中心角，是解题的关键. 11、A【分析】利用二次函数图象上点的坐标特征求出抛物线与x轴交点的横坐标，由阴影部分的面积等于矩形OABC的面积可求出AB的长度，再利用平移的性质“左加右减，上加下减”，即可求出抛物线2l的函数表达式．【详解】当y＝0时，有12（x−2）2−2＝0，解得：x1＝0，x2＝1，∴OA＝1．∵S阴影＝OA×AB＝16，∴AB＝1，∴抛物线2l 的函数表达式为y ＝12（x−2）2−2＋1＝21(2) 2 2y x =-+ 故选A ．【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点、矩形的面积以及二次函数图形与几何变换，观察图形，找出阴影部分的面积等于矩形OABC 的面积是解题的关键．12、B【分析】直接利用概率公式计算求解即可．【详解】转动转盘停止后，指针指向“中”字所在扇形的概率是37，故选：B ． 【点睛】本题考查概率的计算，解题的关键是熟练掌握概率的计算公式.二、填空题（每题4分，共24分）13、13x =-，21x =【分析】首先根据x 与函数y 的部分对应值求出二次函数解析式，然后即可得出一元二次方程的解.【详解】将（0，-3）（-1，-4）（-3,0）代入二次函数，得 34930c a b c a b c =-⎧⎪-+=-⎨⎪-+=⎩解得123a b c =⎧⎪=⎨⎪=-⎩∴二次函数解析式为223y x x =+-∴方程为2230x x +-= ()()130x x -+=∴方程的解为13x =-，21x =故答案为13x =-，21x =.【点睛】此题主要考查二次函数与一元二次方程的综合应用，熟练掌握，即可解题.14、1或2【分析】设BP=x ，则PC=3-x ，根据平行线的性质可得∠B=90°，根据同角的余角相等可得∠CDP=∠APB ，即可证明△CDP ∽△BPA ，根据相似三角形的性质列方程求出x 的值即可得答案．【详解】设BP=x ，则PC=3-x ，∵AB ∥CD ，∠C ＝90°，∴∠B=180°-∠C=90°，∴∠B=∠C ，∵AP ⊥DP ，∴∠APB+∠DPC=90°，∵∠CDP+∠DPC=90°，∴∠CDP=∠APB ，∴△CDP ∽△BPA ， ∴AB PB PC CD=， ∵AB ＝1，CD ＝2，BC ＝3， ∴132x x =-， 解得：x 1=1，x 2=2，∴BP 的长为1或2，故答案为：1或2【点睛】此题考查的是相似三角形的判定及性质，掌握相似三角形的对应边成比例列方程是解题的关键．15、π﹣1．【详解】解：在Rt △ACB 中，=，∵BC 是半圆的直径，∴∠CDB=90°，在等腰Rt △ACB 中，CD 垂直平分AB ，∴D 为半圆的中点，S 阴影部分=S 扇形ACB ﹣S △ADC =22112(2)42π⨯-⨯=π﹣1． 故答案为π﹣1．考点：扇形面积的计算．16、xy （x+y ）（x ﹣y ）． 【解析】分析：首先提取公因式xy ，再对余下的多项式运用平方差公式继续分解．详解：x 3y ﹣xy 3=xy （x 2﹣y 2）=xy （x+y ）（x ﹣y ）．点睛：本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式，要首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．17、9π﹣123．【详解】解：连接OD 交BC 于点E ，∠AOB=90°，∴扇形的面积=2164π⨯⨯=9π， 由翻折的性质可知：OE=DE=3，在Rt △OBE 中，根据特殊锐角三角函数值可知∠OBC=30°，在Rt △COB 中，CO=23，∴△COB 的面积=13，∴阴影部分的面积为=9π﹣123．故答案为9π﹣123．【点睛】本题考查翻折变换（折叠问题）及扇形面积的计算，掌握图形之间的面积关系是本题的解题关键．18、61°【分析】根据切线长定理，可得PA=PB ，然后根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理即可求出∠FAD=∠DBE=61°，利用SAS 即可证出△FAD ≌△DBE ，从而得出∠AFD=∠BDE ，然后根据三角形外角的性质即可求出∠EDF ．【详解】解：∵,PA PB 是O 的两条切线，∠P=58°∴PA=PB∴∠FAD=∠DBE=12（180°－∠P ）=61° 在△FAD 和△DBE 中AD BE FAD DBE AF BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△FAD ≌△DBE∴∠AFD=∠BDE ，∵∠BDF=∠BDE ＋∠EDF =∠AFD ＋∠FAD∴∠EDF =∠FAD =61°故答案为：61°【点睛】此题考查的是切线长定理、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理、全等三角形的判定及性质和三角形外角的性质，掌握切线长定理、等边对等角和全等三角形的判定及性质是解决此题的关键．三、解答题（共78分）19、（1）见解析；（2）DH ＝23．【分析】（1）连接AD ，根据直径所对的圆周角是直角，即可求出∠ADB ＝90°，从而得出AD ⊥BC ，最后根据三线合一即可证出结论；（2）连接OE ，根据菱形的性质可得OA ＝OE ＝AE ，从而证出△AOE 是等边三角形，从而得出∠A ＝60°，然后根据等边三角形的判定即可证出△ABC 是等边三角形，从而求出∠C ，根据（1）的结论即可求出CD ，最后根据锐角三角函数即可求出DH.【详解】（1）证明：如图，连接AD ．∵AB 是直径，∴∠ADB ＝90°，∴AD ⊥BC ，∵AB ＝AC ，∴BD ＝CD ．（2）解：如图，连接OE ．∵四边形AODE 是菱形，∴OA ＝OE ＝AE ，∴△AOE 是等边三角形，∴∠A ＝60°，∵AB ＝AC ，∴△ABC 是等边三角形，∴∠C ＝60°，∵CD ＝BD=142BC =， ∴DH ＝CD •sinC ＝3【点睛】此题考查的是圆周角定理推论、等腰三角形的性质、菱形的性质、等边三角形的判定及性质和解直角三角形，掌握直径所对的圆周角是直角、三线合一、菱形的性质、等边三角形的判定及性质和利用锐角三角函数解直角三角形是解决此题的关键.20、（1）234353333y x x =-++；（2）①(23；②点E (23． 【分析】（1）抛物线的表达式为：y ＝a (x +1)(x ﹣5)＝a (x 2﹣4x ﹣5)，故﹣5a ＝33，解得：a ＝﹣33，即可求解； （2）①点A 关于函数对称轴的对称点为点B ，连接CB 交函数对称轴于点E ，则点E 为所求，即可求解； ②t ＝AE +22DE ，t ＝AE +22DE ＝AE +EH ，当A 、E 、H 共线时，t 最小，即可求解． 【详解】（1）抛物线的表达式为：y ＝a (x +1)(x ﹣5)＝a (x 2﹣4x ﹣5)，故﹣5a 53，解得：a ＝﹣3故抛物线的表达式为：234353333y x x =-++； （2）①函数的对称轴为：x ＝2，点A 关于函数对称轴的对称点为点B ，连接CB 交函数对称轴于点E ，则点E 为所求，由点B 、C 的坐标得，BC 的表达式为：y ＝﹣33x +533， 当x ＝2时，y ＝3，故答案为：(2，3)；②t ＝AE +12DE ， 过点D 作直线DH ，使∠EDH ＝30°，作HE ⊥DH 于点H ，则HE ＝12DE ，t ＝AE +12DE ＝AE +EH ，当A 、E 、H 共线时，t 最小， 则直线A (E )H 的倾斜角为：30°，直线AH 的表达式为：y 3(x +1) 当x ＝2时，y 3故点E (23．【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，掌握二次函数的性质以及解析式、对称的性质是解题的关键．21、6AC =【分析】根据相似三角形的判定定理可得△CAD ∽△CBA ，列出比例式即可求出AC.【详解】解：∵CD=4，BD=2,∴BC=CD ＋BD=6∵∠CAD=∠B,∠C=∠C∴△CAD ∽△CBA ∴AC DC BC AC= ∴26424AC BC CD =•=⨯=解得：AC =或-即AC =【点睛】此题考查的是相似三角形的判定及性质，掌握有两组对应角相等的两个三角形相似和相似三角形的对应边成比例是解决此题的关键.22、（1）1x =，2x =（2）11x =-，23x =, 【分析】（1）利用求根公式法解方程；（2）移项，然后利用因式分解法解方程．【详解】（1）解：2a =，6b =-，1c =24280b ac ∆=-=>∴63242b x a -±±±===∴1x =，2x = （2）解：()()()11210x x x +--+=∴()()130x x +-=∴10x +=或30x -=∴11x =-，23x =．【点睛】本题考查了解一元二次方程-因式分解法和公式法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．23、70°【分析】根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理即可求得.【详解】AB AC =B C ∴∠=∠180,40A B C A ∠+∠+∠=︒∠=︒402180B ∴︒+∠=︒70B ∴∠=︒故B 的度数为70︒.【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、三角形的内角和定理，根据等腰三角形的性质：等边对等角得出B C ∠=∠是解题关键.24、（1）证明见解析；（1）BC=1.【解析】试题分析：（1）连接OB ，由圆周角定理得出∠ABC=90°，得出∠C+∠BAC=90°，再由OA=OB ，得出∠BAC=∠OBA ，证出∠PBA+∠OBA=90°，即可得出结论；（1）证明△ABC ∽△PBO ，得出对应边成比例，即可求出BC 的长．试题解析：（1）证明：连接OB ，如图所示：∵AC 是⊙O 的直径，∴∠ABC=90°，∴∠C+∠BAC=90°，∵OA=OB ，∴∠BAC=∠OBA ，∵∠PBA=∠C ，∴∠PBA+∠OBA=90°，即PB ⊥OB ，∴PB 是⊙O 的切线；（1）解：∵⊙O 的半径为，∴，，∵OP ∥BC ，∴∠C=∠BOP ，又∵∠ABC=∠PBO=90°，∴△ABC ∽△PBO ， ∴BC AC OB OP=，即42822BC =， ∴BC=1．考点：切线的判定25、（1）见解析；（2）4AB =【分析】⑴根据题意依据(AA)公理证明即可．⑵根据相似三角形性质对应边成比例求解即可．【详解】证明：（1）BC CD =，DBC D ∴∠=∠BD 平分ABC ∠，DBC DBA ∴∠=∠D DBA ∴∠=∠又AEB CED ∠=∠ AEB CED ∴∆∆（2）AEB CED ∆∆AB AE CD EC ∴= 又6BC CD ==，3EC =，2AE =，263AB ∴= 4AB ∴=【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质．26、153【分析】根据方向角的定义及余角的性质求出∠CAD=1°，∠CBD=60°，再由三角形外角的性质得到∠CAD=1°=∠ACB ，根据等角对等边得出AB=BC=1，然后解Rt △BCD ，求出CD 即可．【详解】解：∵DA ⊥AD ，∠DAC=60°，∴∠1=1°．∵EB⊥AD，∠EBC=1°，∴∠2=60°．∴∠ACB=1°．∴BC = AB=1．在Rt△ACD中，∵∠CDB=90°，∠2=60°，∴tan∠2=CD BC，∴tan60°=3 302 CD，∴CD=153．考点：解直角三角形的应用-方向角问题．。
常熟中考一模数学试卷
一、选择题（每题3分，共30分）1. 若实数x满足方程x^2 - 4x + 3 = 0，则x的值为（）A. 1，3B. -1，3C. 1，-3D. -1，-32. 在直角坐标系中，点A（2，3）关于y轴的对称点的坐标为（）A.（-2，3）B.（2，-3）C.（-2，-3）D.（2，3）3. 若sinα = 1/2，则α的值为（）A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°4. 下列函数中，是反比例函数的是（）A. y = 2x + 3B. y = x^2C. y = 1/xD. y = 3x5. 已知等差数列{an}的首项a1 = 2，公差d = 3，则第10项an = （）A. 27B. 30C. 33D. 366. 在△ABC中，若∠A = 30°，∠B = 45°，则∠C的度数为（）A. 105°B. 120°C. 135°D. 150°7. 若平行四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，且AC = 8，BD = 12，则对角线AB的长度为（）A. 10B. 12C. 14D. 168. 下列不等式中，正确的是（）A. 2x + 3 > 5B. 3x - 2 < 1C. -2x + 4 > 2D. x - 3 < 09. 若x + y = 5，x - y = 1，则x的值为（）A. 3B. 2C. 1D. 010. 下列数列中，是等比数列的是（）A. 1，2，4，8，16B. 1，3，9，27，81C. 2，4，8，16，32D. 3，6，12，24，48二、填空题（每题3分，共30分）11. 已知函数f(x) = x^2 - 2x + 1，则f(3) = _______。
12. 若sinθ = 3/5，且θ为锐角，则cosθ = _______。
13. 在△ABC中，若AB = 6，AC = 8，BC = 10，则△ABC是 _______三角形。
2024年中考数学第一次模拟考试(苏州卷)(全解全析)
2024年中考第一次模拟考试（苏州卷）数学·全解全析第Ⅰ卷一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）1．2 的绝对值是（）A ．2B ．2C ．12D ．12 【答案】A【分析】本题主要考查了求一个数的绝对值，熟知正数和0的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数是解题的关键．【详解】解：2 的绝对值是2，即22 ．故选：A ．2．若分式1x x 有意义，则x 的取值范围是（）A ．0x B ．1x C ．1x D ．1x 且0x 【答案】B 【分析】本题考查了分式有意义的条件，熟练掌握分式的分母不能为0是解题关键．根据分式的分母不能为0求解即可得．【详解】解：∵分式1x x 有意义，10x ，解得1x ，故选：B ．3．下列计算正确的是（）A ．342a a a B ． 339a a C ．33()ab a b D ．824a a a 【答案】B【分析】本题主要考查同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方及同底数幂的除法，熟练掌握同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方及同底数幂的除法是解题的关键．根据同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方及同底数幂的除法可进行排除选项．【详解】A ．34a a a ，原计算错误，故不符合题意；B ． 339a a ，原计算正确，故符合题意；C ．333()ab a b ，原计算错误，故不符合题意；D ．826a a a ，原计算错误，故不符合题意；故选：B ．4．某轮滑队所有队员的年龄只有12，13，14，15，16（岁）五种情况，其中部分数据如图所示，若队员年龄的唯一的众数与中位数相等，则这个轮滑队队员人数最少是（）A ．10B ．11C ．12D ．13【答案】C 【分析】本题考查了条形统计图，中位数，众数，熟悉条形统计图，掌握中位数，众数的相关概念是解答本题的关键．根据题目，利用众数和中位数的定义，得到这组数据的中位数为：14，众数是14，由此得到答案．【详解】解：由题图中数据可知：小于14的人有4人，大于14的人也有4人，这组数据的中位数为：14，∵队员年龄的唯一的众数与中位数相等，众数是14，即年龄为14的人最多，14岁的队员最少有4人，故选：C ．5．如图，在ABC 中，以顶点B 为圆心，适当长为半径画弧，交BA 于点M ，交BC 于点N ，再分别以M 、N 为圆心，大于12MN 的长为半径画弧，两弧在ABC 内部交于点P ，过点P 作射线BP 交AC 于点D ，过点D 作DE BC ∥，交AB 于点E ，若65A ，195 ，则ADE （）A ．85°B ．75°C ．60°D ．55°【答案】D 【分析】本题考查作图-基本作图、平行线的性质，㠇练掌握平行线的性质是解答本题的关键．由题意可得BP 为ABC 的角平分线，DE BC ∥，则,,,ABD CBD AED ABC EDB EBD 可得,ABD CBD EDB 根据三角形外角性质可得2AED EDB ，平角性质可得18095,ADE EDB 再结合三角形内角和定理可列出方程，进而可得出答案．【详解】由题意可得BP 为ABC 的角平分线，DE BC ∥，,,,ABD CBD AED ABC EDB BDC ,ABD CBD EDB 2AED ABC EDB ，65A ∵，195 ，18095,ADE EDB 65218095180A AED ADE EDB EDB30,EDB 180953055ADE ，故选：D ．6．一个圆锥的底面半径为3，侧面展开图是半圆，则圆锥的侧面积是（）A ．9B ．18C ．27D ．36【答案】B【分析】本题考查了求圆锥侧面积；利用圆锥侧面展开图的弧长 底面周长，可求得圆锥的底面周长以及圆锥母线长，那么圆锥的侧面积 底面周长 母线长2 ．【详解】解：底面半径为3，则底面周长6 ，侧面展开图是半圆，则母线长6226 ，圆锥的侧面积是16π618π2故选：B ．7．如图在平面直角坐标系中，OA AB ，且90OAB ， 13A ，则点B 的坐标是（）A ．(14)，B ．(24)，C ．(34)，D ．(44)，【答案】B【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质．过点B 作BC y 轴于点C ，过点A 作AD x 轴于点D ，AD 、BC 相交于点E ，证明 AAS ODA AEB ≌，据此求解即可．【详解】解：过点B 作BC y 轴于点C ，过点A 作AD x 轴于点D ，AD 、BC 相交于点E．∵ 13A ，，∴13OD AD ，，∵90BAO ，∴19023 ，在ODA V 和AEB △中，9031OA AB ODA E，∴ AAS ODA AEB ≌，∴31BE AD OD AE ，，∴134312DE BC ，，∴点B 的坐标是 24，，故选：B ．8．如图，四边形ABCD 是菱形，边长为45A ．点P 从点A 出发，沿A D C 个单位长度的速度运动，同时点Q 沿射线BA 的方向以每秒1个单位长度的速度运动，当点P 运动到达点C 时，点Q 也立刻停止运动，连接PQ ．APQ △的面积为y ，点P 运动的时间为()08x x 秒，则能大致反映y 与x 之间的函数关系的图像是（）A ．B ．C ．D ．【答案】B【分析】本题考查函数的图象与解析之间的联系，解决问题的关键在于弄清图形的变化情况，结合勾股定理，给出面积的表达式，即可解题．【详解】解：①当P 在AD 上时，作PE AQ ，如图所示：由题知AP ，AQ x ，45A ∵，45APE A ，PE AE ，则222222AE PE PE x ，解得PE x ，故 2122APQ x xS x 04x ，②当P 在D 上时，即4x 时，14482APQ S △，③当P 在CD 上不与D 重合，且Q 在AB 上时，作DF AQ ，如图所示：45A ∵，AD 4DF ，AP x ∵则 1422APQ S x x 4x ，④当Q 在AB 延长线上时，1422APQ S x x △8x ．故选：B ．第Ⅱ卷二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）9．稀土是制造国防、军工等工业品不可或缺的原料．据有关数据表明，我国已探明稀土储量约4400万吨，居世界第一位，将数4400万用科学记数法可表示为．【答案】74.410 【分析】本题考查了绝对值大于1的科学记数法的表示，解题的关键在于确定a n ，的值．根据绝对值大于1的数，用科学记数法表示为10n a ，其中110a ，n 的值为整数位数少1．【详解】解：4400万即44000000大于1，用科学记数法表示为10n a ，其中 4.4a ，7n ，∴4400万用科学记数法表示为74.410 ，故答案为：74.410 ．10．比较大小：7227 （填“ ”“ ”或“ ”）【答案】【分析】此题主要考查了有理数大小，有理数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可．【详解】解：77||22 ，22||77，∵7227，2772 ．故答案为： ．11．分解因式321025x x x．【答案】 25x x 【分析】题目主要考查因式分解，熟练掌握提取公因式及完全平方公式分解因式是解题关键．【详解】解： 32225.1025(1025)x x x x x x x x 故答案为： 25x x ．12．如图，一次函数y ax b 与y mx n 的图象交于点(1,2)P ，则关于x 的方程ax b mx n 的解是．【答案】1x = 【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程，根据图象的交点的横坐标就是方程ax b mx n 的解即可求解，熟练掌握基础知识是解题的关键．【详解】解：由图象得：方程ax b mx n 的解是1x = ，故答案为：1x = ．13．中国邮政集团公司曾发行《二十四节气》特殊版式小全张（图1），其中的24枚邮票大小相同，上面绘制了代表二十四节气风貌的图案，这24枚邮票组成了一个圆环，传达了四季周而复始、气韵流动的理念和中国传统文化中圆满、圆融的概念，以“大雪”节气单枚邮票为例（图2），该邮票的“上圆弧”的长为l ，“直边长”为d ，“下圆弧”的长为x ，则x （用含l ，d 的式子表示）．【答案】π12l d 【分析】本题考查弧长公式，根据题意，作出图形，数形结合，利用弧长公式表示出l ，d ，找到两者之间的关系即可得到答案，熟记弧长公式是解决问题的关键．【详解】解：根据题意，作出图形，如图所示：3601524BOC，15π2π36012l OC OC ； 15π2π36012x OC d OC d ， πππ121212x OC d l d ，故答案为：π12l d．14．如图，已知3AB AC DC DE ，180A D ，ABC 与CDE 的面积和为10，则BE 的长为．【答案】【分析】本题考查三角形的面积，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．如图，过点A 作AH BC 于点H ，过点D 作DK CE 于点K ．证明 AAS AHC AKD ≌，推出，AH CK CH DK ，设AH CK x ，CH DK y ，构建方程组求出x y ，可得结论．【详解】解：如图，过点A 作AH BC 于点H ，过点D 作DK CE 于点K ．3AB AC DC DE ∵，，AH BC DK CE ，1122BH CH BC CK KE CE ，，12BAH CAH BAC ，12CDK EDK CDE ，180BAC CDE ∵，90CAH CDK ，90CAH ACH ∵，ACH CDK ，又，90AC CD AHC CKD ∵，AAS AHC CKD ≌，，AH CK CH DK ，设，AH CK x CH DK y ，22BC y,CE xABC ∵ 与CDE 的面积和为10，即1111·····2··2·102222BC AH CE DK y x x y ，5xy ，在Rt CDK △中，222CK DK CD ,即229x y ，则有2259xy x y ，x y ，22BE BC CE CH CK x y ．故答案为：15．如图，在边长相同的小正方形网格中，点A 、B 、C 、D 都在这些小正方形的顶点上，AB 与CD 相交于点M ，则cos BMD 的值为．【分析】本题考查了求余弦，连接,CE DE ，根据勾股定理和勾股定理逆定理，推出45DCE ，再证明四边形ACEB 是平行四边形，则45BMD DCE ，即可求解．【详解】解：连接,CE DE ，∵CD DE CE ，∴222CD DE CD DE CE ，，∴90CDE ，∴45DCE ，∵1,AC BE AC BE ∥，∴四边形ACEB 是平行四边形，∴AB CE ∥，∴45BMD DCE ，∴cos cos 452BMD，故答案为：22．16．如图，已知二次函数223y x x 的图象与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，P 点为该图象在第一象限内的一点，过点P 作直线BC 的平行线，交x 轴于点M ．若点P 从点C 出发，沿着抛物线运动到点B ，则点M 经过的路程为．【答案】92【分析】根据题意，可以先求出点、、A B C 的坐标，从而可以得到直线BC 的解析式，再根据PM BC ∥，点P 在抛物线上，可以写出点P 的坐标和对应的直线PM 的解析式，再根据题意，可以得到点M 横坐标的最大值，从而可以得到点M 经过的路程．【详解】解：∵二次函数 22331y x x x x ，∴当0y 时1213x x ，，，当0x 时，3y ，∴点A 的坐标为 10 ，，点B 的坐标为 3,0，点C 的坐标为 0,3，设直线BC 的函数解析式为y kx b ，31303b k k b b ，解得，即直线BC 的函数解析式为3y x ，∵PM BC ∥，点P 在抛物线上且在第一象限，∴设点P 的坐标为223m m m （，），设直线PM 的解析式为y x c ，223m m m c ，解得233c m m ，∴直线PM 的解析式为233y x m m ，令223323x m m x x 且Δ0 ，解得32m ，此时直线PM 的解析式为214y x，当0y 时214x ，∴点M 横坐标最大值是214，∴点M 经过的路程为：2193242 ，故答案为：92．三、解答题（本大题共11个小题，共82分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）（4分）17．计算：036(20231)|2| ．【详解】原式18123212421（4分）18．解方程：31122x x ．【详解】解：31122x x，去分母，化为整式方程得： 321x ，即321x ，解得6x ，经检验，6x 是原分式方程的解．（8分）19．解方程组和不等式组，并把不等式组的解集在数轴上表示出来：(1)321022x y x y (2)解不等式组 2142115x x x【详解】（1）解：321022x y x y①②，2 ②得：424x y ③，①+③得：714x ，解得：2x ，把2x 代入②得：42y ，解得：=2y ，∴原方程组的解为：22x y ；（2）解： 2142115x x x①②解不等式①，得，3x 解不等式②，得2x把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：所以原不等式组解集为23x ．（8分）20．某校为了解本校七年级学生对自己视力保护的重视程度，随机在校内调查了部分学生，调查结果分为“非常重视”“重视”“比较重视”“不重视”四类，并将结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图，根据图中信息，解答下列问题：(1)此次调查中样本容量为_______；在扇形统计图中，“非常重视”所占的圆心角的度数为_______；(2)补全条形统计图；(3)该校七年级共有学生400人，请估计该校七年级学生对视力保护“比较重视”的学生人数．【详解】（1）解：由题知，1620%80 （人），48036018，故答案为：80，18 ．（2）解：804361624 （人），（3）解：3640018080（人），答：七年级学生对视力保护“比较重视”的学生人数约为180人．（8分）21．北京时间2023年12月27日14时50分，我国在酒泉卫星发射中心使用快舟一号甲运载火箭，成功将天目一号气象星座19-22星发射升空，卫星顺利进入预定轨道，发射任务获得圆满成功．小明和小亮对航天知识都非常感兴趣，他们在中国载人航天网站上了解到，航天知识分为“梦圆天路”“飞天英雄”“探秘太空”“巡天飞船”等模块．他们决定从“梦圆天路”“飞天英雄”“探秘太空”“巡天飞船”四个模块中各自随机选择一个进行学习，设这四个模块依次为A 、B 、C 、D ．(1)小明选择学习“梦圆天路”模块的概率为_____；(2)请用画树状图或列表的方法，求小明和小亮选择不同模块的概率．【详解】（1）解：小明选择学习“梦圆天路”模块的概率为14P ，故答案为：14；（2）树状图如下：共有16种等可能的结果，其中小明和小亮选择不同模块的结果有12种，小明和小亮选择不同模块的概率123164．（8分）22．如图，矩形EFGH 的顶点E ，G 分别在菱形ABCD 的边AD ，BC 上，顶点F ，H 在菱形ABCD的对角线BD 上．(1)求证：BG DE ；(2)若E 为AD 中点，=2AB ，求FH 的长．【详解】（1）∵四边形EFGH 是矩形，EH FG ，EH FG ∥，GFH EHF ．180BFG GFH ∵，180DHE EHF ，BFG DHE ．∵四边形ABCD 是菱形，AD BC ∥，GBF EDH ，(AAS)BGF DEH △△，BG DE ；（2）连接EG ，∵四边形ABCD 是菱形，AD BC ，AD BC ∥．E ∵为AD 中点，AE ED ．BG DE ∵，AE BG ，AE BG ∥，四边形ABGE 是平行四边形，AB EG ．∵四边形EFGH 是矩形，EG FH ，2AB ，2FH ．（8分）23．如图，反比例函数2y x的图象与一次函数y kx b 的图象交于点A 、B ，点A 、B 的横坐标分别为1，2 ，一次函数图象与y 轴的交于点C ，与x 轴交于点D ．(1)求一次函数的解析式；(2)对于反比例函数2y x，当1y 时，写出x 的取值范围；(3)点P 是第三象限内反比例图象上的一点，若点P 满足S △BDP ＝12S △ODA ，请求出点P 的坐标．【详解】（1）解：∵反比例函数2y x的图象与一次函数y kx b 的图象交于点A 、B ，点A 、B 的横坐标分别为1，﹣2；∴A 1,2，B 2,1 ；把A 、B 的坐标代入y kx b 得221k b k b；解得11k b；∴一次函数的解析式为1y x ．（2）∵ 2,1B ；由图象可知，当20x 时，1y ．（3）∵一次函数为1y x ；∴D 1,0 ；∵A 1,2，∴1212ODA S V ；∴1122BDP ODA S S V V ，设点P 的坐标为：2,x x，0x ；∴ON x ，2PN x；当P 在直线下方时，如图1，则；121211=1212112222BDP BDM PDNBMNP S S S S x x x x 梯形；解得x ∴点P ．当P 在直线AB 的上方时，如图2，则；1211112211122222BDF BDM PDNBMNP S S S S x x x x 梯形；解得1x ；∴点P 1 ；综上可得：点P的坐标为：或 1．（8分）24．如图，AB 是O 的直径，点C 在O 上，点M 在O 外，连接MC ，若MCA B；(1)求证：CM 是O 的切线；(2)已知，点D 是OA 的中点，过点D 作DE AB ，交CM 于点E ，若O 的半径为10，3tan 4A，求CE 的长.【详解】（）证明：连接OC ，∵AB 是O 的直径，∴90BCA ，∴90BAC ABC ，∵OC OA ，∴OCA OAC ，∵MCA B ，∴90OCA MCA ，即90OCM ，∵OC 是半径，∴CM 是O 的切线；（2）解：设AC 与DE 相交于点F ，过点E 作EG AC 于点G ，如图所示：∵DE AB ，10OA ，点D 是OA 的中点，∴90,5,20ADE OD DA AB ，∴90A DFA A B GFE GEF ，∵,GFE AFD MCA B ，∴,GEF A GFE MCA B ，∴CE EF ，由3tan 4A 可设3,4BC x AC x ，根据勾股定理可知5AB x ，∴520x ，即4x ，∴12,16BC AC ，∴3sin sin 5AC A GEF AB ，∴15tan 4DF AD A，∴25sin 4DF AF A ，∴394CF AC AF，∵,CE EF EG AC ，∴13928CG GF CF，∴65sin 8GF EF CE GEF ．（8分）25．杭州亚运会于2023年9月23日至10月8日举行，作为今年我国举办的最为盛大的赛事，是向世界展示中国形象、传播中国文化的重要窗口．宁夏枸杞作为几千年来备受推崇、药食同源的滋补上品，小小的红果凝聚和传承着宁夏这片土地上，珍贵的历史记忆和宝贵的精神财富，已然成为宁夏独特的地域符号、主导产业和文化象征，不但为宁夏社会经济发展作出了积极贡献，也为助力“健康中国”跑出了“加速度”．在宁夏一特产专卖店销售某种枸杞，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售可增加20千克，若该专卖店销售这种枸杞要想平均每天获利2240元，请回答：(1)为尽可能让利于顾客，赢得市场，每千克枸杞应降价多少元？(2)根据市场需求，该店将售价定为多少出售，每天可获取最大利润，最大利润是多少？【详解】（1）解：设每千克枸杞应降价x 元，根据题意，得 60401002022402x x，化简，得210240x x ，解得1246x x ，．∵为尽可能让利于顾客，赢得市场，6x ，答：每千克枸杞应降价6元；（2）设每千克枸杞应降价x 元，每天获得利润为y 元，根据题意得：2260401002010100200010522502()()()x y x x x x ，100∵ ，当5x 时，y 有最大值，最大值为2250，此时售价为60555( 元)，该店将售价定为55元出售，每天可获取最大利润，最大利润是2250元．（8分）26．已知抛物线212y x bx c与x 轴交于A B 、两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，直线6y x 经过点A 与点C ．(1)求抛物线的表达式；(2)点P 在线段AC 下方的抛物线上，过点P 作BC 的平行线交线段AC 于点D ，交y 轴于点E ．①如果C F 、两点关于抛物线的对称轴对称，联结DF ，当DF CF 时，求PDF 的正切值；②如果:3:5PD DE ，求点P 的坐标．【详解】（1）解：∵直线6y x 经过点A 与点C则当06x y ，；06y x ，∴ 6060A C ，，，∴60186c b c ，，解得62c b 21262y x x ；（2）解：①如图：∵ 6060A C ，，，，且C F 、两点关于抛物线21262y x x 的对称轴对称，∴6F c y y ，221222b x a 则4F x ∵DF CF∴DF y ∥轴则FDC OCA∵过点P 作BC 的平行线交线段AC 于点D ，交y 轴于点E ．∴PE BC PDF ACB，则PDF OCB∵21262y x xx 轴交于A B 、两点（点A 在点B 的左侧），∴210262x x ∴6x ，2x ∴ 20B ，∵PDF OCB则PDF 的正切值等于21tan 63OB OCB OC ；②设21262P p p p，，BC 的解析式为y mx n ∴把 0620C B ，，，代入y mx n 得602n m n解得63n m ∵过点P 作BC 的平行线交线段AC 于点D ，交y 轴于点E ∴设PE 的解析式为3y x b把21262P p p p，代入3y x b 得2162p p b ∴21623y x p p 令0x ，2162p p y即21062E p p，当261362y x y x p p 解得21184x p p 则把21184x p p 代入21623y x p p 得211684y p p ∴22111168484D p p p p，∵过点P 作PM y 轴，过点D 作DN y轴，∴EDN EPM∽∴EN DE EM EP∵:3:5PD DE ∴58EN EM ∶∶∵21062E p p ，，22111168484D p p p p ，，21262P p p p ，∴222111336628484EN p p p p p p，2211626322EM p p p p p ∴23358348p p p ∶∶解得1103p p ，∵点P 在线段AC 下方的抛物线上，∴10p （舍去）∴3p ．把3p 代入21262y p p∴19241592362222y ∴点P 的坐标1532，（10分）27．【问题初探】（1）在数学活动课上，李老师给出如下问题：如图1，在ABC 中，60BAC ，D 为AC 上的动点，当AD AB 时，连接BD ，将线段BD 绕点B 逆时针旋转60 得到线段BE ，且BE 在边AB 的右侧，连接AE ，你能得到哪些结论呢？①小明说：“在点D 的运动过程中，只要保证BE 在边AB 的右侧，BAE 的度数是固定的，我能求出BAE 的度数”；小强说：“在点D 的运动过程中，只要保证BE 在边AB 的右侧，我能得到从点A 发出的三条线段,,AB AE AD 的数量关系”．②小涛说：“我利用60BAC ，如图2，在AD 上截取AF AB ，连接BF ，再利用旋转的性质，就可以得到小明和小强的结论”．请你根据小涛的思路，求BAE 的度数，并探究线段,,AB AE AD 的数量关系．【类比分析】（2）李老师发现同学们都利用了转化的思想，转化角，转化线段，为了帮助同学们更好地感悟转化思想，李老师将图1进行变换，并提出下面问题，请你解答．如图3，在ABC 中，60,BAC D 为AC 上的动点，当AD AB 时，连接BD ，将线段BD 绕点B 逆时针旋转60 得到线段BE ，且BE 在边AB 的左侧，连接AE ，过B 作BG AD 于点G ，求证：2AD AE AG ．【学以致用】（3）如图4，在ABC 中，60,BAC D 为AC 上的动点，当AD AB 时，连接BD ，将线段BD 绕点B 逆时针旋转60 得到线段BE ，且BE 在边AB 的右侧，连接,AE DE ，过B 作BM AD 于M ，线段DE 的中点为N ，连接MN ，若4,AB MN ABDE 的面积．【详解】解：（1）在AD 上截取AF AB ，连接BF ．如图1，60,BAC AB AF ∵．ABF 是等边三角形，,60AB BF ABF AFB ．∵线段BD 绕点B 逆时针旋转60 得到线段BE ，60,B BD E BD E ，ABF EBD ，ABE EBF FBD EBF ，即ABE FBD ．在ABE 和FBD 中，AB BF ABE FBD BE BD，(SAS)ABE FBD △≌△．,BAE BFD AE FD ，60AFB∵120BFD ．120BAE ．=AD AF FD ∵，AD AB AE ．（2）证明：在AC 上截取AH AB ，连接BH ．如图2，60,BAC AB AH ∵．ABH 是等边三角形，,60AB BH ABH ．∵线段BD 绕点B 逆时针旋转60 得到线段BE ，,60BD BE DBE ．ABE ABD ABD HBD ，即ABE HBD在ABE 和HBD △中，,,,AB HB ABE HBD BE BDSAS ABE HBD △≌△，AE HD ．又ABH ∵△为等边三角形BG AH ，2AH AG ．AH AD DH AD AE ∵，2AG AD AE ．（3）解：连接BN ，如图3．∵线段BD 绕点B 逆时针旋转60 得到线段BE ．,60BD BE DBE ，BDE 是等边三角形．60BEN ，N Q 为DE 中点，1,302BN DE EBN EBD ．在Rt BNE 中，sin sin602BN BEN BE ，60BAC ∵，BM AC 于M ．sin sin 60BM BAM AB，BN BM BE AB．又906030ABM ∵，ABM EBNABE EBM EBM MBN ，即ABE MBN ，ABE MBN △∽△，MN BM AE AB MN ∵2AE ．在AD 上截取AH AB ，由（1）得ABH 是等边三角形，ABE HBD △≌△．4,2,120AH AB AE DH BAE BHD ，6AD AH DH ．过E 作EQ AD 于Q ，120,60BAE BAC∵60EAQ ．sin 602EQ AE2BM AB ∵，4AB ，BM四边形ABDE 的面积1111662222ADE ADB S S AD EQ AD BM △△。
2023年昆山、太仓、常熟、张家港四市初三数学一模试题(解析)
2023年初三中考适应性考试试卷数学2023.5注意事项:1.本试卷共27小题，满分130分，考试时间120分钟.2.答题前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在答题卷相应位置上;3.答选择题必须用2B铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，请用橡皮擦干海后，再选涂其他答案;答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卷指定的位置上，不在答题区域内的答案一律无效，不得用其他笔答题;4.考生答题必须答在答题卷上，保持卷面清洁，不要折叠，不要弄破，答在试卷和草稿纸上一律无效.一、选择题:本大题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请将选择题的答案用2B铅笔涂在答题卷相应位置上.的结果是()1.化简1÷-12A.2B.-2C.32D.-32【答案】B2.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是()【答案】C3.下列运算正确的是()A.m2+m3=m5B.2m2-m2=1C.(m2)3=m5D.m6÷m2=m4【答案】D4.函数y=1x-1中自变量x的取值范围是()A.x>1B.x≥1C.x<1D.x≠1【答案】A5.如图，AB ∥CD ，以A 为圆心，任意长为半径画弧，分别交AB ，AC 于点M ，N ，再分别以M ，N 为圆心，大于12MN 长为半径画弧，两弧相交于点P ，画射线AP ，交CD 于E .若∠C =70°，则∠AED 的度数为()A.140°B.130°C.125°D.110°【答案】C6.如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，若∠BCD =2∠BOD ，则∠A 的度数是()A.30°B.36°C.45°D.60°【答案】B7.在中国传统数学著作《九章算术》中有这样一个问题:“今有二马、一牛价过一万，如半马之价.一马、二牛价不满一万，如半牛之价.问牛、马价各几何？“译文:”今有2匹马、1头牛的总价超过10000钱，其超出的钱数相当于12匹马的价格.1匹马、2头牛的总价不足10000钱，所差的钱数相当于12头牛的价格.问每头牛、每匹马的价格各是多少？“设每匹马的价格为x 钱，每头牛的价格为y 钱，则依据条件可列方程组为()A.x +2y =10000+12x ,2x +y =10000-12y .B.2x +y =10000+12x ,x +2y =10000-12y .C.2x +y =10000+12yx +2y =10000-12xD.x +2y =10000+12y ,2x +y =10000-12x .【答案】B8.数学实验是学习数学的一种重要方式，有益于我们深人思考问题.一次，数学兴趣小组的同学拿出如图所示的矩形纸片ABCD ，其中AB BC=56，他们将纸片对折使AD ，BC 重合，展开后得折痕MN ;又沿BM 折叠使点C落在C ′处，展开后又得到折痕BM ;再沿BE 折叠使点A 落在BM 上的A ′处，大家发现了很多有趣的结论.就这个图形，请你探究DEAE的值()A.57B.56C.45D.34【答案】CABCDO（第6题图）A BCDEM NP（第5题图）A BCD MNAEABCD M N A BCDM N CA B CD M N (第8题图)二、填空题:本大题共8小题，每小题3分，共24分.把答案直接填写在答题卷相应位置上 .9.cos30°=.【答案】3210.2023年春节假日期间，苏州市共接待游客7083000人次，7083000用科学计数法表示为.【答案】7.083×10611.如图，在4×4的正方形网格飞镖游戏板中，每块小正方形除颜色外都相同，小正方形的顶点称为格点.假设飞镖击中游戏板的每一处是等可能的(击中边界或没有击中游戏板，则重投一次)，任意投掷飞镖一次，飞镖击中阴影部分的概率是.【答案】1412.如果关于x 的方程x 2-8x +m =0有两个相等的实数根，那么关于x 的多项式x 2-8x +m 因式分解的结果是.【答案】(x -4)213.如图，已知在平面直角坐标系中，A (-1，0)、B (2，0)，菱形ABCD 的顶点C 在y 轴正半轴上，则点D 的坐标为.【答案】(-3,5)14.如图，正方形ABCD 的边长是1，延长AB 到E ，以A 为圆心，AE 为半径的弧恰好经过正方形的顶点C ，则CE的长为.【答案】24π15.从小明家到奶奶家的路线上有一个公园.一天小明从家里出发沿这条路线骑行.他从家出发0.5小时后到达该公园，游玩一段时间后继续按原速骑车前往奶奶家.小明离家1小时20分钟后，爸爸驾车沿相同路线直接前往奶奶家，如图是他们离家的路程y (km )与小明离家时间x (h )的函数图像.已知爸爸驾车的速度是小明骑行速度的3倍，爸爸比小明早到10分钟，根据图像可以推算小明家到奶奶家的路程为______km .【答案】30ABCDE（第14题图）AB CDOxy (第13题图)（第11题图）ABCDBC(第16题图)Ox(h)y(km)100.5143(第15题图)16.如图，已知△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，将△ABC绕点A逆时针旋转得△AB′C′，当AB′第一次与BC平行时,连接并延长BC′交AC于点D,则tan∠CBD=.【答案】311三、解答题:本大题共11小题，共82分.把解答过程写在答题卷相应位置上，解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明.作图时用2B铅笔或黑色墨水签字笔.17.(本题满分5分)计算:(2-1)0+(13)-2-327.【答案】718.(本题满分5分)解方程组:3x-2y=8, 2x+y=3.【答案】x=2 y=-119.(本题满分6分)先化简，再求值:a-2a-a-1 a+2÷(a-4)，其中a满足a-2a=-2.【答案】化简为=1a2+2a,a-2a=-2.⇒a2=-2a+2代入=1 220.(本题满分6分)如图，某校食堂实行统一配餐，为方便学生取餐，食堂开设了4个窗口，分别记为①、②、③、④，学生可以从这4个窗口中任意选取一个窗口取餐.(1)若小明去食堂用餐时4个窗口都没有人，则小明选择在②号窗口取餐的概率是;(2)若小红和小丽一起去食堂用餐时4个窗口都没有人，求小红和小丽在相邻窗口取餐的概率.(请用画树状图或列表等方法说明理由)【答案】（1）P=1 4(2)如图所示，共12种情况，满足条件的共6种。
九年级数学4月调研测试题(一模)
江苏省苏州常熟市届九年级数学4月调研测试题（一模）本试卷由填空题、选择题和解答题三大题组成.共28小题，满分130分.考试时间120分钟. 注意事项:1.答题前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、考试号、考场号、座位号，用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在答题纸相对的位置上，并认真核对;2.答题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题纸指定的位置上，不在答题区域内的答案一律无效，不得用其他笔答题;3.考生答题必须答在答题纸上，保持纸面清洁，不要折叠，不一要弄破，答在试卷和草稿纸上一律无效.一、选择题 本大题共l0小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将选择题的答案填在答题卷相应的位置上. 1. 2的相反数是A.－2B. 2C.D. 2.下列运算正确的是A. B. C. D. 3.近年来，随着居民收入的持续增加，人们的消费支出也不断增长，据统计，2016全市城镇居民人均生活消费支出为31520元.将31520用科学计数法表示为A ．0.3152×105 B. 3.152×104 C. 3.152×105 D.31.52×104 4.函数中，自变量的取值范围是 A. B. C. D. 5.如图，直线的两条直角边分别与 直线、相交于点、、、.若， 则的度数为A.62°B.52°C.42°D.38°6.如图，数轴上的四个点、、、分别对应四个实数、、、.若，则、、、四个实数中，绝对值最小的一个是12-12325()a a =325a a a +=32()a a a a -÷=351a a ÷=y =x 2x ≥-2x ≠-2x >-2x ≤-//,90,a b O O ∠=︒∠a b A B C D 138∠=︒2∠A B C D a b c d 0a c +=a b c dA .B .C .D .7.某校为了了解全校1600名学生到校上学的方式，在全校随机抽取了若干名学生进行问卷调查.问卷给出了五种上学方式供学生选择，规定每人必须并且只能选一项.将调查得到的结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图.在这次调查中，样本容量为，通过样本估计全校所有学生中有人乘坐公交车上学.则、的值分别是A .80，26B .1600，26C .80，520 D.1600，520 8.已知关于的一元二次方程是常数)的一个实数根是1，则二次函数的图像与轴的交点坐标为A. (1,0)、(－1,0)B.(1,0)、(－6,0)C.(1,0)、(5,0)D.(1,0) 、(4,0)9.如图，小山坡上有一根垂直于地面的电线杆，小明从地面上的处测得电线杆顶端点的仰角是45°,后他正对电线杆向前走6米到达处，测得电线杆顶端点和电线杆底端点的仰角分别是60°和30°.那么电线杆的高度是a b c d m n m n x 250(x x p p -+=25y x x p =-+x CD A C B C D CD10.如图，边长为2的菱形纸片中，，将纸片折叠，点、分别落在、处，且经过点为折痕，当时，的值为B. C.D . 二、填空题本大题共8小题，每小题3分，共24分.把答案直接填在答题卷相应的位置上. 11.分解因式:= . 12.当=时，分式的值为0. 13.已知一组数据:2 ,2,,3 ,3 ,4.若众数是2，则中位数是 .14.一圆锥的母线长为6cm ，它的侧面展开图的圆心角为120°，则这个圆锥的底面半径为 cm.15.若一次函数与反比例函数交于点(2，－3)，则代数式的值为.16.如图，切⊙于点，弦，则图中阴影部分的面积为 .ABCD 60A ∠=︒A D A 'D 'A D '',B EF D F CD '⊥CF 1224-24m -x 331x x -+x r y kx b =-my x=2m k b -+AB O ,3B OA AB ==//BC OA17.如图，在四边形中， ，对角线平分，且，点、分别是、的中点，连接、、，则的长为 .18.如图，在中， ，以点为圆心，4为半径的圆上有一个动点.连接、、，则的最小值是 . 三、解答题本大题共10小题，共76分.把解答过程写在答题卷相应的位置上，解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明.19.(本题满分5分)计算20.(本题满分5分)解不等式组:21.(本题满分6分)先化简，再求值:,其中.22.(本题满分6分)某中学开学初用4500元购进A 、B 两种品牌的足球共75个，其中A 种品牌的足球每个50元，B 种品牌的足球每个80元.求该学校购买A 种品牌、B 种品牌的足ABCD 90,60ADC BAD ∠=︒∠=︒AC BAD ∠4AB AC ==E F AC BC DE EF DF DF ABC ∆90,8,6ACB BC AC ∠=︒==C D AD BD CD 12BD AD +0112sin 45(2)()3π-︒+--121233(1)54x x x x --⎧<⎪⎨⎪+≥+⎩2121(1)22x x x x -++÷--1x =球各多少个?23.(本题满分8分)在一个不透明的布袋中装有三个小球，小球上分别标有数字－2、l 、2，它们除了数字不同外，其它都完全相同.(1)随机地从布袋中摸出一个小球，则摸出的球为标有数字l 的小球的概率为 . (2)小红先从布袋中随机摸出一个小球，记下数字作为的值，再把此球放回袋中搅匀，由小亮从布袋中随机摸出一个小球，记下数字作为的值，请用树状图或表格列出、的所有可能的值，并求出直线不经过第四象限的概率.24.(本题满分8分)如图，在Rt 中，，斜边的垂直平分线分别交、于点、，过点作，交于点. (1)求证:四边形是菱形;(2)若，求菱形的周长。
常熟数学模考初三试卷
1. 下列哪个数是奇数？A. 2B. 3C. 4D. 52. 已知等差数列的前三项分别是1、3、5，则第四项是：A. 7B. 8C. 9D. 103. 一个等差数列的公差是3，首项是5，求该数列的第10项：A. 33B. 34C. 35D. 364. 在△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，则∠C的大小为：A. 105°B. 120°C. 135°D. 150°5. 已知一次函数y=kx+b的图象经过点（2，3）和（4，6），则k和b的值分别为：A. k=1，b=2B. k=1，b=3C. k=2，b=1D. k=2，b=36. 下列哪个图形是轴对称图形？A. 圆B. 正方形C. 等腰三角形D. 等边三角形7. 若x²-3x+2=0，则x的值为：A. 1B. 2C. 1或2D. 无解8. 已知一元二次方程ax²+bx+c=0的判别式Δ=b²-4ac，若Δ<0，则该方程：A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根C. 无实数根D. 无法确定9. 下列哪个数是质数？A. 18B. 19C. 20D. 2110. 若等腰三角形底边长为6，腰长为8，则该三角形的周长为：A. 22B. 24C. 26D. 28二、填空题（每题4分，共20分）11. 1+3+5+...+2n-1的和是________。
12. 在△ABC中，若∠A=60°，∠B=45°，则sinC的值为________。
13. 已知一次函数y=kx+b的图象经过点（-1，2），则该函数的解析式为________。
14. 等差数列{an}中，a1=2，公差d=3，则第10项an的值为________。
15. 若x²+2x-3=0，则x的值为________。
三、解答题（每题20分，共40分）16. （1）求证：等差数列{an}中，an+1-an=常数d。
常熟数学模考初三试卷答案
常熟市初三数学模拟考试试卷答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列数中，属于有理数的是：A. √3B. πC. -1/2D. 0.1010010001…答案：C2. 如果a < b，那么下列不等式中一定成立的是：A. a - 2 < b - 2B. a + 2 > b + 2C. 2a < 2bD. a^2 > b^2答案：A3. 一个等腰三角形的底边长为6cm，腰长为8cm，那么这个三角形的周长是：A. 20cmB. 22cmC. 24cmD. 26cm答案：C4. 下列函数中，在定义域内是单调递增的是：A. y = -x^2 + 2x - 1B. y = 2x - 3C. y = x^3D. y = √x答案：C5. 如果一个等比数列的前三项分别是a, ar, ar^2，那么公比r等于：A. aB. 1/aC. 1D. -1答案：B二、填空题（每题3分，共30分）6. 0.001的指数形式是______。
答案：10^-37. 分数3/4的倒数是______。
答案：4/38. 下列方程中，x=2是它的解的是______。
答案：x - 2 = 09. 圆的半径为5cm，那么它的直径是______cm。
答案：10cm10. 一个长方体的长、宽、高分别是3cm、4cm、5cm，那么它的体积是______cm³。
答案：60cm³三、解答题（共40分）11. （10分）解下列方程：(1) 2x - 5 = 3x + 1(2) 5(x - 2) = 2(3x + 1)答案：(1) x = -6(2) x = -312. （10分）已知一个等差数列的前三项分别是3, 5, 7，求该数列的第四项。
答案：913. （10分）已知一个等腰三角形的底边长为8cm，腰长为10cm，求该三角形的面积。
答案：40cm²14. （10分）函数y = -2x + 3的图像与x轴、y轴各交于一点，求这两点的坐标。
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江苏省苏州市常熟市2018届九年级数学质量调研测试（一模）试题
本试卷由选择题、填空题和解答题三大题组成.共28小题,满分130分,考试时间120分钟. 注意事项:
1.答题前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、考试号、考场号、座位号，用0. 5毫米黑色墨水签字笔填写在答题卷相时应的位里上，并认真核对;
2.答题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卷指定的位置上，不在答题区域内的答案一律无效，不得用其它笔答题;
3.考生答题必须答在答题卷上，保持纸面清洁，不要折叠，不要弄破，答在试卷和草稿纸上一律无效，
一、选择题本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的，请将选择题的答案填在答题卷相应的位置上．．．．．．．．．.． 1.1
93
-⨯
的结果是 A.3- B.3 C.13-
D.13
2.据统计，2017年我市实现地区生产总值2279. 55亿元，用四舍五入法将2279. 55精确到0.1的近似值为
A. 2280. 0
B. 2279. 6 C . 2279. 5 D. 2279 3.下列运算结果等于5
a 的是
A.23
()a B.23a a + C.102a
a
÷ D.23
a a g
4.如图，已知，//AB CD ，点E 在CD 上，AE 平 分BAC ∠，110C ∠=︒，则AED ∠的度数为 A.35º B.70º C.145º D. 155º
5.关于x 的方程2
(1)210m x x --+=有两个不相等 的实数根，则实数m 的取值范围是
A.2m <
B.2m ≤
C.2m <且1m ≠
D.2m >且1m ≠ 6.甲若点(A a ，)b 在一次函数21y x =-的图像上，则代数式423a b -+的值为 A.1 B. 2 C. 4 D. 5 7.某班体育委员调查了本班学生一周的体育锻炼时间，统计数据如下表所示:
则该班学生一周的体育锻炼时间的众数和中位数分别是
A. 9，9. 5
B. 9，9
C. 8，9
D.8，9. 5
8.已知关于x 的方程2
20ax -=的一个实数根是2x =，则二次函数2
(1)2y a x =+-与x
轴的交点坐标是
A.(3,0)-、(1,0)
B.(2,0)-、(2,0)
C.(1,0)-、(1,0)
D.(1,0)-、(3,0)
9.一艘渔船从港口A 沿北偏东60º方向航行至C 处时突然发生故障，在C 处等待救援.有一救
援艇位于港口A 正东方向1)海里的B 处，接到求救信号后，立即沿北偏东45º方向以30海里/小时的速度前往C 处救援.则救援艇到达C 处所用的时间为
A.
3小时 B.2
3
小时 C.3小时 D.23+小时
10.如图，在ABC ∆中，A B A C =，120BAC ∠=︒，点D 、E 在边BC 上，且60DAE ∠=︒.将ADE ∆沿AE 翻折，点D 的对应点是'D ，连接'CD ，若4BD =，5CE =，则DE 的长为
A.
9
2
二、填空题本大题共8小题，每小题3分，共24分.把答案直接填在答题卷相应的位置上．．．．．．．．．.． 11.2
3
-
的绝对值是 . 12.因式分解:2
242a a -+= .
13.函数y =
x 的取值范围是 . 14.为了解某市创建全国文明城市的效果满意度，设置了“满意、基本满意、不满意、说不清楚”四种意见。
现从某校所有1200名学生中随机征求了100名学生的意见，其中持“基本满意”的有14名学生，持“不满意”和“说不清楚”的共有6名学生，估计全校持“满意”意见的学生人数约为 .
15.小明用一张扇形纸片做一个圆锥的侧面，已知该扇形的半径是5cm ，弧长是6πcm 2
，那么这个圆锥的高是 cm.
16.某市规定了每月用水不超过l8立方米和超过18立方米两种不同的收费标准，该市用户每月应交水费y (元)是用水x (立方米)的函数，其图像如图所示.已知小丽家3月份交了水费102元，则小丽家这个月用水量为 立方米.
17.如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是⊙O 的弦，过点B 的切线交AC 的延长线于点D .若
2A D ∠=∠
，BD =，则图中阴影部分的面积为 .
18.如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，6BC =，8AC =.点D 、E 分别是边AB 、BC 的中点，连接DE ，将BDE ∆绕点B 按顺时针方向旋转一定角度(这个角度小于90º)后，点D 的对应点'D 和点E 的对应点'E 以及点A 三个点在一直线上，连接'CE ，则
'CE = .
三、解答题本大题共10小题，共76分，把解答过程写在答题卷相应的位置上．．．．．．．．．
，解答时应写出必要,的计算过程、推演步骤或文字说明.
19.(本题满分5分) 计算
:02
2
()sin 6043
π---︒+-.
20.(本题满分5分)解不等式组:31
2223(1)6
x x x -⎧<-⎪
⎨⎪--≤⎩.
21.(本题满分6分)先化简，再求值:21()236
x x
x x x -+÷--
，其中x =
22.(本题满分6分)一客运公司有60座和45座两种型号的客车可供租用，60座客车每辆每天的租金比45座的贵200元.某校七年级师生在这个客运公司租了5辆60座和3辆45座的客车去沙家浜参加社会实践活动，一天的租金共计5000元.该客运公司60座和45座的客车每辆每天的租金分别是多少元?
23.(本题满分8分)我市在各校推广大阅读活动，初二(1)班为了解2月份全班学生课外阅读的情况，调查了全班学生2月份读书的册数，并根据调查结果绘制了如下不完整的条形统计图和扇形统计图:
根据以上信息解决下列问题:
(1)参加本次问卷调查的学生共有 人，其中2月份读书2册的学生有 人; (2)补全条形统计图，并求扇形统计图中读书3册所对应扇形的圆心角度数;
(3)在读书4册的学生中恰好有2名男生和2名女生，现要在这4名学生中随机选取2名学生参加学校的阅读分享沙龙，请用列举法(画树状图或列表)求所选取的这2名学生恰好性别相同的概率.
24.(本题满分8分)如图，在ABCD Y 中，点E 是边BC 的中点，连接AE 并延长，交DC 的延长线于点F .连接AC 、BF . (1)求证: ABE FCE ∆≅∆;
(2)当四边形ABFC 是矩形时，若80AEC ∠=︒，求D ∠的度数.
25.(本题满分8分)如图，在ABC ∆中，AB AC =，BC x ⊥轴，垂足为D ，边AB 所在直线分别交x 轴、y 轴于点E 、F ，且AF EF =
，反比 例函数12
y x
=
的图像经过、C 两点，已知点(2,)A n . (1)求AB 所在直线对应的函数表达式; (2)求点C 的坐标.
26.(本题满分10分)如图，已知ABC ∆内接于⊙O ，直径AD 交BC 于点E ，连接OC ，过点C 作CF AD ⊥，垂足为F .过点D 作 ⊙O 的切线，交AB 的延长线于点G . (1)若50G ∠=︒，求ACB ∠的度数;
(2)若AB AE =，求证:BAD COF ∠=∠; (3)在(2)的条件下，连接OB ，设AOB ∆ 的面积为1S ，ACF ∆的面积为2S ，若
128
9
S S =，求tan CAF ∠的值
27.(本题满分10分)如图，四边形ABCD 是矩形，点P 是对角线AC 上一动点(不与A 、C 重合)，连接PB ，过点P 作PE PB ⊥，交射线DC 于点E ，已知3AD =，3
sin 5
BAC ∠=.设AP 的长为x .
(1)AB = ;当1x =时，PE
PB
= ; (2)①试探究:
PE
PB
否是定值?若是，请求出这个值;若不是，请说明理由; ②连接BE ，设PBE ∆的面积为S ，求S 的最小值. (3)当PCE ∆是等腰三角形时.请求出x 的值;
28.(本题满分10分)如图1，抛物线2222
(1)333
y x m x m =
---(0)m >与x 轴交于A 、B 两点(点A 在点B 的左侧)，与y 轴交于点C ，且3OB OA =.
(1)求该抛物线的函数表达式;
(2)动点D 在线段BC 下方的抛物线上.
①连接AC 、BC ，过点D 作x 轴的垂线，垂足为E ，交BC 于点F .过点F 作
FG AC ⊥，垂足为G .设点D 的横坐标为t ，线段FG 的长为d ，用含t 的代数式表示d ;
②过点D 作DH BC ⊥，垂足为H ，连接CD .是否存在点D ，使得CDH ∆中的一个
角恰好等于ABC ∠的2倍?如果存在，求出点D 的横坐标;如果不存在，请说明理由.。