2020年高考数学二轮复习训练专题15解析几何小题部分

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2020届山东省新高考平面解析几何二轮复习;直线与方程练习

直线与方程一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知直线1的斜率与直线3x﹣2y＝6的斜率相等，且直线l在x轴上的截距比在y轴上的截距大1，则直线1的方程为（）A．15x﹣10y﹣6＝0 B．15x﹣10y+6＝0C．6x﹣4y﹣3＝0 D．6x﹣4y+3＝02．已知直线kx﹣y+2＝0和以M（3，﹣2），N（2，5）为端点的线段相交，则实数k的取值范围为（）A．k B．kC．k D．k或k3．直线x y﹣5＝0的倾斜角为（）A．30°B．60°C．120°D．150°4．直线x+2ay﹣2＝0与（a﹣1）x﹣ay+3＝0平行，则a的值为（）A．1 B．或 0 C．D．05．已知A（2，﹣3），（3，﹣2），则点B和线段AB的中点M坐标分别为（）A．B（5，﹣5），M（0，0）B．B（5，﹣5），M（）C．B（1，1），M（0，0）D．B（1，1），M（）6．在平面直角坐标系xOy中，已知角θ的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边落在直线y＝2x上，则（）A．B．C．D．7．在直角坐标系中，已知A（1，0），B（4，0），若直线x+my﹣1＝0上存在点P，使得|PA|＝2|PB|，则正实数m的最小值是（）A．B．3 C．D．8．在平面直角坐标系xOy中，设定点A（a，a），P是函数y（x＞0）图象上一动点．若点P，A之间的最短距离为2，则满足条件的实数a的所有值为（）A．B．a＝±C．a＝3或a＝﹣1 D．a或a＝﹣1二、多项选择题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的的0分．9．若三条直线l1：ax+y+1＝0，l2：x+ay+1＝0，l3：x+y+a＝0不能围成三角形，则a的取值为（）A．a＝1 B．a＝﹣1 C．a＝﹣2 D．a＝210．下列说法中，正确的是（）A．直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为tanαB．一条直线的倾斜角为﹣30°C．若直线的倾斜角为α，则sinα≥0D．任意直线都有倾斜角α，且α≠90°时，斜率为tanα11．下面说法中错误的是（）A．经过定点P（x0，y0）的直线都可以用方程y﹣y0＝k（x﹣x0）表示B．经过定点P（x0，y0）的直线都可以用方程x﹣x0＝m（y﹣y0）表示C．经过定点A（0，b）的直线都可以用方程y＝kx+b表示D．不经过原点的直线都可以用方程表示E．经过任意两个不同的点P1（x1，y1），P2（x2，y2）的直线都可以用方程（y﹣y1）（x2﹣x1）＝（x﹣x1）（y2﹣y1）表示12．S＝{直线l|x y＝1，m，n为正常数，θ∈[0，2π）}，下列结论中错误的结论是（）A．当θ时，S中直线的斜率为B．S中所有直线均经过同一个定点C．当m＞n时，S中的两条平行线间的距离的最小值为2nD．S中的所有直线可覆盖整个直角坐标平面三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知直线的点斜式方程是y﹣2＝x﹣1，那么此直线的斜率是，倾斜角是．14．已知直线l1：ax+2y﹣3＝0和直线l2：（1﹣a）x+y+1＝0．若l1⊥l2，则实数a的值为；若l1∥l2，则实数a的值为．15．直线3x﹣4y+5＝0关于点M（2，﹣3）对称的直线的方程为．16．在平面直角坐标系中，已知点A（0，1），B（1，1），P为直线AB上的动点，A关于直线OP的对称点记为Q，则线段BQ的长度的最大值是．四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．判断下列各对直线的位置关系．如果相交，求出交点的坐标：（1）2x﹣y+7＝0，x+y＝1；（2）x﹣3y﹣10＝0，y；（3）3x﹣5y+10＝0，9x﹣15y+30＝0．18．设直线1的方程为（a+1）x+y﹣5﹣2a＝0（a∈R）．（1）求证：不论a为何值，直线l必过一定点P；（2）若直线1分别与x轴正半轴，y轴正半轴交于点A（x A，0），B（0，y B），当△AOB面积最小时，求△AOB的周长；（3）当直线1在两坐标轴上的截距均为整数时，求直线l的方程．19．已知平面直角坐标系内两点A（8，﹣6），B（2，2）．（1）求线段AB的垂直平分线l2的方程．．（2）直线l1过点P（2，﹣3），且A、B两点到直线l1的距离相等，求直线l1的方程．20．已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过点P（2，0）的直线交抛物线C于A（x1，y1）和B（x2，y2）两点．（1）当x1+x2＝4时，求直线AB的方程；（2）若过点P且垂直于直线AB的直线l与抛物线C交于C，D两点，记△ABF与△CDF的面积分别为S1，S2，求S1S2的最小值．21．已知△ABC的顶点A（5，1），AB边上的中线CM所在直线方程为2x﹣y﹣5＝0，AC边上的高BH所在直线方程为x﹣2y﹣5＝0．求：（1）顶点C的坐标；（2）直线BC的方程．22．已知直线l的方程为2x﹣y+1＝0（Ⅰ）求过点A（3，2），且与直线l垂直的直线l1方程；（Ⅱ）求与直线l平行，且到点P（3，0）的距离为的直线l2的方程．题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A C D D B C D D AB CD ABCD ABD 难题详细过程：8．（难题）设P（x，），则．令∴令f（t）＝t2﹣2at+2a2﹣2，t≥2．该函数对称轴t＝a①a≤2时，f（t）递增，f（t）min＝f（2）＝2a2﹣4a+2＝8解得a＝﹣1或3（舍）②①a＞2时，f（t）min＝f（a）＝a2﹣2＝8解得a或（舍）．综上，a的取值为﹣1或．12．当θ时，sinθ＝cosθ，S中直线的斜率为，故A不正确；根据x y＝1，可知S中所有直线不可能经过一个定点，B不正确；当m＞n时，S中的两条平行直线间的距离为d2n，即最小值为2n，C 正确；（0，0）不满足方程，∴S中的所有直线不可覆盖整个平面，D不正确；13._____ 1，45°______14.____ ﹣1或2，．_______15._____ 3x﹣4y﹣41＝0．________16.根据题意，点A（0，1），B（1，1），如图，A、Q关于直线OP对称，则|OA|＝|OQ|＝1，则Q的轨迹为以（0，0）为圆心，半径r＝|OA|＝1的圆，连接OQ、QB，分析可得：当O、Q、B三点共线时，|BQ|最大，此时|BQ|＝1，17． 1）直线2x﹣y+7＝0的斜率为2，直线x+y＝1的斜率为﹣1，故两直线相交，联立方程，解得，即交点坐标为（﹣2，3）；（2）直线x﹣3y﹣10＝0的斜率为，纵截距为，直线的斜率为，纵截距为，故两直线平行；（3）直线3x﹣5y+10＝0的斜率为，纵截距为2，直线9x﹣15y+30＝0的斜率为，纵截距为2，故两直线重合．18．（1）直线1的方程为（a+1）x+y﹣5﹣2a＝0（a∈R）．整理可得：a（x﹣2）+x+y﹣5＝0，当x﹣2＝0时不论a为何值，x+y﹣5＝0，即x＝2，y＝3，可证当不论a为何值，直线恒过定点（2，3）；（2）x＝0时，y＝2a+5，即y B＝2a+5，因为a＝﹣1时，直线与x轴无交点，所以a≠﹣1，令y＝0时x，即A（，0），B（0，2a+5），x轴正半轴，y轴正半轴，所以2a+5＞0，且a+1＞0，所以a＞﹣1，所以|AB|，O到直线的距离d，所以S△AOB••[4|a+1|+||+12][212]＝12，当且仅当|a+1|2，即a+1面积最小即a，所以A（4，0），B（0，6），所以这时周长为|OA|+|OB|+|AB|＝4+610+2；（3）因为直线1在两坐标轴上的截距均为整数，即2a+5，都是整数，且直线恒过定点（2，3），而2，所以a＝﹣4，﹣2，0，2，又当a，直线过原点也符合题意，所以直线方程分别为：3x﹣y﹣3＝0，x﹣y+1＝0，x+y﹣5＝0，3x+y﹣9＝0，3x﹣2y＝0．19．（1）根据题意，A（8，﹣6），B（2，2），则AB的中点坐标为（5，﹣2），且．则线段AB的垂直平分线斜率为，故AB的中垂线方程为，变形可得3x﹣4y﹣23＝0即线段l2的方程为3x﹣4y﹣23＝0．（2）当l1∥AB时，由点斜式得，即4x+3y+1＝0；当l1过AB中点时，由两点式得，即x﹣3y﹣11＝0，所以，直线l1的方程为4x+3y+1＝0或x﹣3y﹣11＝0．20．（1）由直线AB过定点P（2，0），可设直线方程为x＝my+2．联立消去x，得y2﹣4my﹣8＝0，由韦达定理得y1+y2＝4m，y1y2＝﹣8，所以．因为x1+x2＝4．所以4m2+4＝4，解得m＝0．所以直线AB的方程为x＝2．（2）由（1），知△ABF的面积为．因为直线CD与直线AB垂直，且当m＝0时，直线AB的方程为x＝2，则此时直线l的方程为y＝0，但此时直线l与抛物线C没有两个交点，所以不符合题意，所以m≠0．因此，直线CD的方程为．同理，△CDF的面积．所以，当且仅当，即m2＝1，亦即m＝±1时等号成立．21．（1）设C（m，n），∵AB边上的中线CM所在直线方程为2x﹣y﹣5＝0，AC边上的高BH所在直线方程为x﹣2y﹣5＝0．∴，解得．∴C（4，3）．（2）设B（a，b），则，解得．∴B（﹣1，﹣3）．∴k BC∴直线BC的方程为y﹣3（x﹣4），化为6x﹣5y﹣9＝0．22．（Ⅰ）设与直线l：2x﹣y+1＝0垂直的直线l1的方程为：x+2y+m＝0，把点A（3，2）代入可得，3+2×2+m＝0，解得m＝﹣7．∴过点A（3，2），且与直线l垂直的直线l1方程为：x+2y﹣7＝0；（Ⅱ）设与直线l：2x﹣y+1＝0平行的直线l2的方程为：2x﹣y+c＝0，∵点P（3，0）到直线l2的距离为．∴，解得c＝﹣1或﹣11．∴直线l2方程为：2x﹣y﹣1＝0或2x﹣y﹣11＝0．。

2020高考数学(理科)二轮专题复习课标通用版跟踪检测：解析几何含答案

(2)过点A(1,0)且斜率不为0的直线l与椭圆交于M，N两点，记MN中点为B，坐标原点为O，直线BO交椭圆于P，Q两点，当四边形MPNQ的面积为时，求直线l的方程．
解析(1)设椭圆的焦距为2c，则＝，又a2＝b2＋c2，所以b＝c＝ .因为4× ×b× b＝2 ，所以b＝1，a＝，故所求椭圆的标准方程为＋y2＝1.
所以弦长|PQ|＝2 ＝2 .
不妨设点M在直线OB：y＝－ x上方，点N在直线OB：y＝－ x下方，即 x1＋y1>0， x2＋y2<0.
所以点M(x1，y1)到直线PQ的距离为d1＝＝＝，点N(x2，y2)到直线PQ的距离为d2＝＝－ .
所以d1＋d2＝
＝＝2 .
所以面积S＝ |PQ|·(d1＋d2)＝ ·2 ·2 ＝2 ＝ ⇒m＝±2.
(2)设A ，B ，S(xS，yS)．
因为－＝－＝，所以＝2，所以y3－y4＝8，
因为线段AB的中点的纵坐标为8，所以y3＋y4＝16，
联立解得y3＝12，y4＝4，所以A(36,12)，B(4,4)．
设直线SA的斜率为k，则直线SA的方程为y－12＝k(x－36)，
由消去x得－与y轴负半轴的交点，经过F的直线l与椭圆交于点M，N，经过B且与l平行的直线与椭圆交于点A，若|MN|＝ |AB|，求直线l的方程．
解析(1)设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，
依题意知，c＝1，e＝＝，所以a＝，b2＝a2－c2＝1，
所以所求椭圆的标准方程为＋y2＝1.
A． B．
C．2D．
D解析抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，准线l的方程为x＝－1，所以|OF|＝1，又双曲线的渐近线方程为y＝± x，不妨设A ，B ，所以|AB|＝＝4|OF|＝4，所以b＝2a，所以e＝＝＝ .故选D项．

2020年山东高考小题专项训练——解析几何答案

小题专题练(五) 解析几何参考答案1．解析：选D.设双曲线C 的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，则由题意，得c ＝ 5.双曲线C 的渐近线方程为y ＝±b a x ，即bx ±ay ＝0，所以5b b 2＋a2＝2，又c 2＝a 2＋b 2＝5，所以b ＝2，所以a ＝c 2－b 2＝1，所以双曲线C 的渐近线方程为y ＝±2x ，故选D.2．解析：选D.由椭圆的定义，知|AF 1|＋|AF 2|＝2a ，|BF 1|＋|BF 2|＝2a ，所以△AF 1B 的周长为|AF 1|＋|AF 2|＋|BF 1|＋|BF 2|＝4a ＝12，所以a ＝3.因为椭圆的离心率e ＝c a ＝23，所以c ＝2，所以b 2＝a 2－c 2＝5，所以椭圆C 的方程为x 29＋y 25＝1，故选D. 3．解析：选B.因为过点(3，1)作圆(x －1)2＋y 2＝r 2的切线有且只有一条，所以点(3，1)在圆(x －1)2＋y 2＝r 2上，因为圆心与切点连线的斜率k ＝1－03－1＝12，所以切线的斜率为－2，则圆的切线方程为y －1＝－2(x －3)，即2x ＋y －7＝0.故选B.4．解析：选D.通解：设圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0)，因为圆C 经过点(－1，0)和(2，3)，所以⎩⎪⎨⎪⎧（a ＋1）2＋b 2＝r 2（a －2）2＋（b －3）2＝r 2，所以a ＋b －2＝0 ①，又圆C 截两坐标轴所得的弦长相等，所以|a |＝|b | ②，由①②得a ＝b ＝1，所以圆C 的半径为5，故选D.优解：因为圆C 经过点M (－1，0)和N (2，3)，所以圆心C 在线段MN 的垂直平分线y ＝－x ＋2上，又圆C 截两坐标轴所得的弦长相等，所以圆心C 到两坐标的距离相等，所以圆心C 在直线y ＝±x 上，因为直线y ＝－x 和直线y ＝－x ＋2平行，所以圆心C 为直线y ＝x 和直线y ＝－x ＋2的交点(1，1)，所以圆C 的半径为5，故选D.5．解析：选D.两圆方程相减，得直线MN 的方程为x －2y ＋4＝0，圆x 2＋y 2＋2x －8＝0的标准形式为(x ＋1)2＋y 2＝9，所以圆x 2＋y 2＋2x －8＝0的圆心为(－1，0)．半径为3，圆心(－1，0)到直线MN 的距离d ＝35，所以线段MN 的长为2 32－⎝⎛⎭⎫352＝1255.故选D. 6．解析：选B.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，根据抛物线的定义可知|AB |＝－(x 1＋x 2)＋p ＝8.又AB 的中点到y 轴的距离为2，所以－x 1＋x 22＝2，所以x 1＋x 2＝－4，所以p ＝4，所以所求抛物线的方程为y 2＝－8x .故选B.7．解析：选B.由题意可知椭圆的左、右焦点坐标分别为F 1(－1，0)，F 2(1，0)，设E (x ，y )(－3≤x ≤3)，则EF 1→＝(－1－x ，－y )，EF 2→＝(1－x ，－y )，所以EF 1→·EF 2→＝x 2－1＋y 2＝x 2－1＋8－89x 2＝x 29＋7，所以当x ＝0时，EF 1→·EF 2→有最小值7，当x ＝±3时，EF 1→·EF 2→有最大值8，故选B.8．解析：选D.设抛物线C ：y 2＝8x 的准线为l ，易知l ：x ＝－2，直线y ＝k (x ＋2)恒过定点P (－2，0)，如图，过A ，B 分别作AM ⊥l 于点M ，BN ⊥l 于点N ，由|F A |＝2|FB |，知|AM |＝2|BN |，所以点B 为线段AP 的中点，连接OB ，则|OB |＝12|AF |，所以|OB |＝|BF |，所以点B 的横坐标为1，因为k ＞0，所以点B 的坐标为(1，22)，所以k ＝22－01－（－2）＝223.故选D. 9．解析：选A.因为点A 在椭圆上，所以|AF 1|＋|AF 2|＝2a ，对其平方，得|AF 1|2＋|AF 2|2＋2|AF 1||AF 2|＝4a 2，又AF 1⊥AF 2，所以|AF 1|2＋|AF 2|2＝4c 2，则2|AF 1||AF 2|＝4a 2－4c 2＝4b 2，即|AF 1|·|AF 2|＝2b 2，所以S △AF 1F 2＝12|AF 1||AF 2|＝b 2＝2.又△AF 1F 2是直角三角形，∠F 1AF 2＝90°，且O 为F 1F 2的中点，所以|OA |＝12|F 1F 2|＝c ，由已知不妨设A 点在第一象限，则∠AOF 2＝30°，所以A (32c ，12c )，则S △AF 1F 2＝12|F 1F 2|·12c ＝12c 2＝2，c 2＝4，故a 2＝b 2＋c 2＝6，所以椭圆方程为x 26＋y 22＝1，故选A. 10．解析：选B.由题意可得，抛物线E 的焦点为(0，1)，圆M 的圆心为(0，1)，半径为4，所以圆心M (0，1)为抛物线的焦点，故|NM |等于点N 到准线y ＝－1的距离，又PN ∥y 轴，故|PN |＋|NM |等于点P 到准线y ＝－1的距离，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝4y x 2＋（y －1）2＝16，得y ＝3，又点P 为劣弧AB ︵上不同于A ，B 的一个动点，所以点P 到准线y ＝－1的距离的取值范围是(4，6)，又|PM |＝4，所以△PMN 的周长的取值范围是(8，10)，选B.11．解析：选AD.在椭圆x 29＋y 24＝1中，c ＝9－4＝ 5.因为双曲线C 与椭圆x 29＋y 24＝1有相同的焦距，且一条渐近线方程为x －2y ＝0，所以可设双曲线方程为x 24－y 2＝λ(λ≠0)，化为标准方程为x 24λ－y 2λ＝1.当λ＞0时，c ＝λ＋4λ＝5，解得λ＝1，所以双曲线C 的方程为x 24－y 2＝1；当λ＜0时，c ＝－λ－4λ＝5，解得λ＝－1，所以双曲线C 的方程为y 2－x 24＝1.综上，双曲线C 的方程为x 24－y 2＝1或y 2－x 24＝1，故选AD. 12．解析：选ACD.等轴双曲线C ：y 2－x 2＝1的渐近线方程为y ＝±x ，故A 正确．由双曲线的方程可知|F 1F 2|＝22，所以以F 1F 2为直径的圆的方程为x 2＋y 2＝2，故B 错误．点P (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝2上，不妨设点P (x 0，y 0)在直线y ＝x 上，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 20＋y 20＝2，y 0＝x 0，解得|x 0|＝1，则点P 的横坐标为±1，故C 正确．由上述分析可得△PF 1F 2的面积为12×22×1＝2，故D 正确．故选ACD.13.解析：选AC.如图，连接FQ ，FM ，因为M ，N 分别为PQ ，PF 的中点，所以MN ∥FQ .又PQ ∥x 轴，∠NRF ＝60°，所以∠FQP＝60°.由抛物线定义知，|PQ |＝|PF |，所以△FQP 为等边三角形，则FM ⊥PQ ，|QM |＝2，等边三角形FQP 的边长为4，|FP |＝|PQ |＝4，|FN |＝12|PF |＝2，则△FRN 为等边三角形，所以|FR |＝2.故选AC.14．解析：由题意，知圆C 1与抛物线C 2的一个交点为原点，不妨记为B ，设A (m ，n )．因为|AB |＝855，所以⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋n 2＝855，m 2＋（n －2）2＝4，解得⎩⎨⎧m ＝85，n ＝165，即A ⎝⎛⎭⎫85，165.将点A 的坐标代入抛物线方程得⎝⎛⎭⎫1652＝2p ×85，所以p ＝165，所以抛物线C 2的方程为y 2＝325x . 答案：y 2＝325x 15．解析：化双曲线的方程为x 22－y 22＝1，则a ＝b ＝2，c ＝2，因为|PF 1|＝2|PF 2|，所以点P 在双曲线的右支上，则由双曲线的定义，知|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝22，解得|PF 1|＝42，|PF 2|＝22，根据余弦定理得cos ∠F 1PF 2＝（22）2＋（42）2－162×22×42＝34. 答案：3416．解析：由已知|PM |·|PN |＝(R －|OP |)(R ＋|OP |)＝R 2－|OP |2＝a 2＋4－|OP |2，|OP |2＝|OP →|2＝14(PF 1→＋PF 2→)2＝14(|PF 1→|2＋|PF 2→|2＋2|PF 1→||PF 2→|cos ∠F 1PF 2)＝12(|PF 1→|2＋|PF 2→|2)－14(|PF 1→|2＋|PF 2→|2－2|PF 1→||PF 2→|cos ∠F 1PF 2)＝12[(2a )2－2|PF 1||PF 2|]－14×(2c )2＝a 2－2，所以|PM |·|PN |＝(a 2＋4)－(a 2－2)＝6.答案：617．解析：如图，六边形ABF 1CDF 2为正六边形，直线OA ，OB 是双曲线的渐近线，则△AOF 2是正三角形．所以直线OA 的倾斜角为π3，所以其斜率k＝|n||m|＝3，所以双曲线N的离心率e1＝1＋n2m2＝1＋3＝2.连接F1A.因为正六边形的边长为c，所以|F1A|＝3c.由椭圆定义得|F1A|＋|F2A|＝2a，即c＋3c＝2a，所以椭圆M的离心率e2＝ca＝21＋3＝3－1.答案：3－1 2。

2020年上海市高三数学二模分类汇编：解析几何(16区全)

3（2020闵行二模）. 若直线10ax by ++=的方向向量为(1,1)，则此直线的倾斜角为 3（2020松江二模）. 已知动点P 到定点(1,0)的距离等于它到定直线:1l x =-的距离，则点P 的轨迹方程为4（2020黄浦二模）. 若直线1:350l ax y +-=与2:210l x y +-=互相垂直，则实数a 的值为4（2020宝山二模）. 已知双曲线2222:1x y C a b-=(0,0)a b >>的实轴与虚轴长度相等，则C的渐近线方程是4（2020奉贤二模）. 已知P 为双曲线22:1412x y Γ+=上位于第一象限内的点，1F 、2F 分别为Γ的两焦点，若12F PF ∠是直角，则点P 坐标为5（2020闵行二模）. 已知圆锥的母线长为10，母线与轴的夹角为30°，则该圆锥的侧面积为5（2020青浦二模）. 双曲线22144x y -=的一个焦点到一条渐近线的距离是6（2020金山二模）. 已知双曲线2221x y a-=(0)a >的一条渐近线方程为20x y -=，则实数a =7（2020黄浦二模）. 已知双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的一条渐近线平行于直线:210l y x =+，双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为8（2020徐汇二模）. 已知直线(2)(1)30a x a y ++--=的方向向量是直线(1)(23)20a x a y -+++=的法向量，则实数a 的值为8（2020浦东二模）. 已知双曲线的渐近线方程为y x =±，且右焦点与抛物线24y x =的焦点重合，则这个双曲线的方程是9（2020闵行二模）. 已知直线1:l y x =，斜率为q （01q <<）的直线2l 与x 轴交于点A ，与y 轴交于点0(0,)B a ，过0B 作x 轴的平行线，交1l 于点1A ，过1A 作y 轴的平行线，交2l 于点1B ，再过1B 作x 轴的平行线交1l 于点2A ，⋅⋅⋅，这样依次得线段01B A 、11A B 、12B A 、22A B 、⋅⋅⋅、1n n B A -、n n A B ，记n x 为点n B 的横坐标，则lim n n x →∞=9. 一个水平放置的等轴双曲线型的拱桥桥洞如图所示，已知当前拱桥的最高点离水面5米时，量得水面宽度30AB =米，则当水面升高1米后，水面宽度为米（精确到0.1米）10（2020虹口二模）. 已知1F 、2F 是椭圆222:13x y C a +=（3a >点O 且倾斜角为60°的直线与椭圆C 的一个交点为M ，若1212||||MF MF MF MF +=-uuu r uuu u r uuu r uuu u r ，则椭圆C 的长轴长为10（2020金山二模）. 若点集22{(,)|1}A x y x y =+≤，{(,)|22,11}B x y x y =-≤≤-≤≤，则点集12121122{(,)|,,(,),(,)}Q x y x x x y y y x y A x y B ==+=+∈∈所表示的区域的面积是 11（2020青浦二模）. 已知正三角形ABC 的三个顶点均在抛物线2x y =上，其中一条边所2ABC 的三个顶点的横坐标之和为12（2020奉贤二模）. 在平面直角坐标系内有两点(,1)A m -，(2,1)B -，2m <，点A 在抛物线22y px =上，F 为抛物线的焦点，若2||||6AB AF +=，则m =12（2020普陀二模）. 设双曲线222:1x y aΓ-=（0a >）的左、右焦点分别为1F 、2F ，点M 在Γ的右支上，向量是(1,)d a =u r 是直线1F M 的一个方向向量，若124F MF π∠=，则Γ的焦距为12（2020金山二模）. 设n ∈*N ，n a 为(2)(1)n n x x +-+的展开式的各项系数之和，162m t =-+，t ∈R ，1222[][][]333n n n na a a b =++⋅⋅⋅+（[]x 表示不超过实数x 的最大整数），则22()()n t b m -+-的最小值为12（2020杨浦二模）. 已知抛物线1Γ与2Γ的焦点均为点(2,1)F ，准线方程分别为0x =与5120x y +=，设两抛物线交于A 、B 两点，则直线AB 的方程为12（2020黄浦二模）. 点A 是曲线22y x =+（2y ≤）上的任意一点，(0,2)P -，(0,2)Q ，射线QA 交曲线218y x =于B 点，BC 垂直于直线3y =，垂足为点C ，则下列结论：（1）||||AP AQ -为定值2 （2）||||QB BC +为定值5；（3）||||||PA AB BC ++为定值52；其中正确结论的序号是13（2020静安二模）. 方程222980x xy y -+=的曲线C 所满足的性质为（） ① 不经过第二、四象限；② 关于x 轴对称；③ 关于原点对称；④ 关于直线y x =对称； A. ①③ B. ②③ C. ①④ D. ①②13（2020普陀二模）. 对于抛物线，“方程24y x =”是“焦点到准线的距离等于2”的（） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件13（2020虹口二模）. 已知抛物线24y x =上的点M 到它的焦点的距离为5，则点M 到y 轴的距离为（）A. 2B. 4C. 5D. 613（2020松江二模）. 若O 为坐标原点，P 是直线20x y -+=上的动点，则||OP 的最小值为（）A.B. C. D. 213（2020宝山二模）. 抛物线24y x =的准线方程是（）A. 2x =-B. 1x =-C. 18y =- D. 116y =-13（2020金山二模）. 已知直角坐标平面上两条直线的方程分别为1111:0l a x b y c ++=，2222:l a x b y c ++0=，那么“11220a b a b =”是“两直线1l 、2l 平行”的（） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件14（2020崇明二模）. 若抛物线28y x =的焦点F 与双曲线2213x y n-=的一个焦点重合，则n 的值为（）A. 1-B. 1C. 2D. 1315（2020闵行二模）. 已知抛物线的方程为24y x =，过其焦点F 的直线交此抛物线于M 、N 两点，交y 轴于点E ，若1EM MF λ=uuu r uuu r ，2EN NF λ=uuu r uuu r，则12λλ+=（） A. 2- B. 12-C. 1D. 1- 15（2020杨浦二模）. 设1F 、2F 是椭圆22194x y +=的两焦点，A 与B 分别是该椭圆的右顶点与上顶点，P 是该椭圆上的一个动点，O 是坐标原点，记2122s OP F P F P =-⋅uu u r uuu r uuu r，在动点P 在第一象限内从A 沿椭圆向左上方运动到B 的过程中，s 的大小的变化情况为（）A. 逐渐变大B. 逐渐变小C. 先变大后变小D. 先变小后变大15（2020青浦二模）. 记椭圆221441x ny n +=+围成的区域（含边界）为n Ω（1,2,n =⋅⋅⋅），当点(,)x y 分别在1Ω，2Ω，⋅⋅⋅上时，x y +的最大值分别是1M ，2M ，⋅⋅⋅，则lim n n M →∞=（）A. 2B. 4C. 3D. 16（2020闵行二模）. 关于x 的实系数方程2450x x -+=和220x mx m ++=有四个不同的根，若这四个根在复平面上对应的点共圆，则m 的取值范围是（）A. {5}B. {1}-C. (0,1)D. (0,1){1}-U17（2020静安二模）. 已知抛物线2:4y x Γ=的焦点为F ，若△ABC 的三个顶点都在抛物线Γ上，且0FA FB FC ++=uu r uu r uu u r r，则称该三角形为“核心三角形”.（1）是否存在“核心三角形”，其中两个顶点的坐标分别为(0,0)和(1,2)？请说明理由；（2）设“核心三角形”ABC 的一边AB 所在直线的斜率为4，求直线AB 的方程；（3）已知△ABC 是“核心三角形”，证明：点A 的横坐标小于2.20（2020闵行二模）. 在平面直角坐标系中，A 、B 分别为椭圆22:12x y Γ+=的上、下顶点，若动直线l 过点(0,)P b （1b >），且与椭圆Γ相交于C 、D 两个不同点（直线l 与y 轴不重合，且C 、D 两点在y 轴右侧，C 在D 的上方），直线AD 与BC 相交于点Q . （1）设Γ的两焦点为1F 、2F ，求12F AF ∠的值；（2）若3b =，且32PD PC =uu u r uu u r，求点Q 的横坐标；（3）是否存在这样的点P ，使得点Q 的纵坐标恒为13？若存在，求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由.20. 已知直线:l y kx m =+和椭圆22:142x y Γ+=相交于点),(11y x A ，),(22y x B .（1）当直线l 过椭圆Γ的左焦点和上顶点时，求直线l 的方程；（2）点(2,1)C 在Γ上，若0m =，求△ABC 面积的最大值；（3）如果原点O 到直线l 的距离是233，证明：△AOB 为直角三角形.20（2020松江二模）. 如图，已知椭圆2222:1x y M a b+=（0a b >>）经过圆22:(1)4N x y ++=与轴的两个交点和与y 轴正半轴的交点.（1）求椭圆M 的方程；（2）若点P 为椭圆M 上的动点，点Q 为圆N 上的动点，求线段PQ 长的最大值；（3）若不平行于坐标轴的直线l 交椭圆M 于A 、B 两点，交圆N 于C 、D 两点，且满足AC DB =uuu r uu u r，求证：线段AB 的中点E 在定直线上.20（2020青浦二模）. 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别是1F 、2F ，其长轴长是短轴长的2倍，过1F 且垂直于x 轴的直线被椭圆C 截得的线段长为1. （1）求椭圆C 的方程；（2）点P 是椭圆C 上除长轴端点外的任一点，过点P 作斜率为k 的直线l ，使得l 与椭圆C 有且只有一个公共点，设直线1PF 、2PF 的斜率分别为1k 、2k ，若0k ≠，证明：1211kk kk + 为定值，并求出这个定值；（3）点P 是椭圆C 上除长轴端点外的任一点，设12F PF ∠的角平分线PM 交椭圆C 的长轴于点(,0)M m ，求m 的取值范围.20（2020普陀二模）. 已知椭圆22:194x y Γ+=的左、右焦点分别1F 、2F ，上顶点为M ，过点M 且斜率为1-的直线与Γ交于另一点N ，过原点的直线l 与Γ交于P 、Q 两点.（1）求△2PQF 周长的最小值；（2）是否存在这样的直线l ，使得与直线MN 平行的弦的中点都在l 上？若存在，求出直线l 的方程，若不存在，请说明理由；（3）直线l 与线段MN 相交，且四边形MPNQ 的面积1083613[,]13S ∈，求直线l 的斜率k的取值范围.20（2020嘉定二模）. 已知椭圆2222:1x y a bΓ+=（0a b >>）过点(0,2)P ，且它的一个焦点与抛物线28y x =的焦点相同，直线l 过点(1,0)Q ，且与椭圆Γ相交于A 、B 两点.（1）求椭圆Γ的方程；（2）若直线l 的一个方向向量为(1,2)d =u r，求△OAB 的面积（其中O 为坐标原点）；（3）试问：在x 轴上是否存在点M ，使得MA MB ⋅uuu r uuu r为定值？若存在，求出点M 的坐标和定值，若不存在，请说明理由.20（2020黄浦二模）. 已知点A 、B 分别是椭圆2222 :1(0)x y C a b a b+=>>的右顶点与上顶点，坐标原点O 到直线AB 的距离为6，且点A 是圆222:(2)x y r Γ-+=（0r >）的圆心，动直线:l y kx =与椭圆交于P 、Q 两点. （1）求椭圆C 的方程；（2）若点S 在线段AB 上，OS OP λ=uu r uu u r（λ+∈R ），且当λ取最小值时直线l 与圆Γ相切，求r 的值；（3）若直线l 与圆Γ分别交于G 、H 两点，点G 在线段PQ 上，且||||QG PH =，求r 的取值范围.20（2020杨浦二模）. 已知双曲线222:1y H x b-=（0b >），经过点(2,0)D 的直线l 与该双曲线交于M 、N 两点.（1）若l 与x 轴垂直，且||6MN =，求b 的值；（2）若2b =，且M 、N 的横坐标之和为4-，证明：90MON ∠=︒；（3）设直线l 与y 轴交于点E ，EM MD λ=⋅uuu r uuu r ，EN ND μ=⋅uuu r uuu r，求证：λμ+为定值.20（2020徐汇二模）. 已知椭圆2222:1(0) x ya babΓ+=>>的长轴长为22，右顶点到左焦点的距离为21+，1F、2F分别为椭圆Γ的左、右两个焦点.（1）求椭圆Γ的方程；（2）已知椭圆Γ的切线l（与椭圆Γ有唯一交点）的方程为y kx m=+，切线l与直线1x=和直线2x=分别交于点M、N，求证：22||||MFNF为定值，并求此定值；（3）设矩形ABCD的四条边所在直线都和椭圆Γ相切（即每条边所在直线与椭圆Γ有唯一交点），求矩形ABCD的面积S的取值范围.20（2020虹口二模）. 设双曲线2222:1x yCa b+=的左顶点为D，且以点D为圆心的圆222:(2)D x y r++=（0r>）与双曲线C分别相交于点A、B，如图所示.（1）求双曲线C的方程；（2）求DA DB⋅uu u r uu u r的最小值，并求出此时圆D的方程；（3）设点P为双曲线C上异于点A、B的任意一点，且直线PA、PB分别与x轴相交于点M、N，求证：||||OM ON⋅为定值（其中O为坐标原点）.20（2020金山二模）. 已知动直线l与椭圆22:12yC x+=交于11(,)P x y、22(,)Q x y两不同点，且△OPQ的面积22OPQS=V，其中O为坐标原点.（1）若动直线l 垂直于x 轴，求直线l 的方程；（2）证明2212x x +和2212y y +均为定值；（3）椭圆C 上是否存在点D 、E 、G ，使得三角形面积2ODE ODG OEG S S S ===V V V ？若存在，判断△DEG 的形状，若不存在，请说明理由.20（2020奉贤二模）. 直线1:0L y +-=上的动点P 到点1(9,0)T 的距离是它到点(1,0)T 的距离的3倍.（1）求点P 的坐标；（2）设双曲线22221x y a b-=的右焦点是F ，双曲线经过动点P ，且10PF TT ⋅=uu u r uur ，求双曲线的方程；（3）点(1,0)T 关于直线0x y +=的对称点为Q ，试问能否找到一条斜率为k （0k ≠）的直线L 与（2）中的双曲线22221x y a b-=交于不同的两点M 、N ，且满足||||QM QN =，若存在，求出斜率k 的取值范围，若不存在，请说明理由.20（2020崇明二模）. 已知椭圆22:12x y Γ+=的右焦点为F ，直线x t =（(t ∈）与该椭圆交于点A 、B （点A 位于x 轴上方），x 轴上一点(2,0)C ，直线AF 与直线BC 交于点P .（1）当1t =-时，求线段AF 的长；（2）求证：点P 在椭圆Γ上；（3）求证：PAC S ≤V .20（2020浦东二模）. 在平面直角坐标系xOy 中，1F 、2F 分别是椭圆222:1x y aΓ+=（0a >）的左、右焦点，直线l 与椭圆交于不同的两点A 、B ，且12||||AF AF +=. （1）求椭圆Γ的方程；（2）已知直线l 经过椭圆的右焦点2F ，P 、Q 是椭圆上两点，四边形ABPQ 是菱形，求直线l 的方程；（3）已知直线l 不经过椭圆的右焦点2F ，直线2AF 、l 、2BF 的斜率依次成等差数列，求直线l 在y 轴上截距的取值范围.。

2020高考数学二轮复习刷题训练-平面解析几何

一、典例剖析例1 1、过点P (2,3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为 3x －2y ＝0或x ＋y －5＝0 . 2、直线l 1：(3＋m )x ＋4y ＝5－3m ，l 2：2x ＋(5＋m )y ＝8，则“m ＝－1或m ＝－7”是“l 1∥l 2”的( B ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件3、若直线(3a ＋2)x ＋(1－4a )y ＋8＝0与(5a －2)x ＋(a ＋4)y －7＝0垂直，则a ＝___0或1_____.4、已知点(a,2)(a >0)到直线l ：x －y ＋3＝0的距离为1，则a 等于( C ) A. 2 B.2－ 2 C.2－1 D.2＋15、直线2x ＋2y ＋1＝0，x ＋y ＋2＝0之间的距离是__324____.6、直线2x －y ＋3＝0关于直线x －y ＋2＝0对称的直线方程是_____x －2y ＋3＝0_________.7、已知三条直线l 1：4x ＋y ＝1，l 2：x －y ＝0，l 3：2x －my ＝3，若l 1关于l 2对称的直线与l 3垂直，则实数m 的值是( D ) A.－8B.－12C.8D.12例2 1、在平面直角坐标系中，经过三点(0，0)，(1，1)，(2，0)的圆的方程为___x 2＋y 2－2x ＝0_______. 2、已知圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，点M (0，5)在圆C 上，且圆心到直线2x －y ＝0的距离为455，则圆C 的方程为________.解析∵圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，设C (a ，0)，且a >0. 则圆心C 到直线2x －y ＝0的距离d ＝|2a －0|5＝455，解得a ＝2.∴圆C 的半径r ＝|CM |＝（2－0）2＋（0－5）2＝3，因此圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝9.3、已知直线l ：y ＝k (x ＋3)和圆C ：x 2＋(y －1)2＝1，若直线l 与圆C 相切，则k ＝( D ) A.0B. 3C.33或0 D.3或04、若过点(2，0)有两条直线与圆x 2＋y 2－2x ＋2y ＋m ＋1＝相切，则实数m 的取值范围是________. 解析由题意过点(2，0)有两条直线与圆x 2＋y 2－2x ＋2y ＋m ＋1＝0相切，则点(2，0)在圆外，即22－2×2＋m ＋1>0，解得m >－1；由方程x 2＋y 2－2x ＋2y ＋m ＋1＝0表示圆，则(－2)2＋22－4(m ＋1)>0，解得m <1.综上，实数m 的取值范围是(－1，1).5、已知圆C 的圆心在直线x ＋y ＝0上，圆C 与直线x －y ＝0相切，且在直线x －y －3＝0上截得的弦长为6，则圆C 的方程为________.解析∵所求圆的圆心在直线x ＋y ＝0上，2020年高考数学二轮刷题训练-平面解析几何∴设所求圆的圆心为(a ，－a ).又∵所求圆与直线x －y ＝0相切，∴半径r ＝2|a |2＝2|a |.又所求圆在直线x －y －3＝0上截得的弦长为6，圆心(a ，－a )到直线x －y －3＝0的距离d ＝|2a －3|2，∴d 2＋⎝⎛⎭⎫622＝r 2，即（2a －3）22＋32＝2a 2，解得a ＝1，∴圆C 的方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝2.6、在平面直角坐标系xOy 中，已知过点M (1，1)的直线l 与圆(x ＋1)2＋(y －2)2＝5相切，且与直线ax ＋y －1＝0垂直，则实数a ＝_____12___.7、过点A (1，3)，作圆x 2＋y 2＝2的两条切线，切点为B ，C ，O 为坐标原点，则四边形OBAC 的面积为________. 解析由切线的性质，△AOB 为直角三角形，且S 四边形OBAC ＝2S △OAB . ∵|OA |＝12＋32＝10，|OB |＝2，∴|AB |＝|OA |2－|OB |2＝22，则S 四边形OBAC ＝2S △OAB ＝2×12×22×2＝4.8、已知直线l ：y ＝kx ＋1与圆C ：x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0相交于A ，B 两点，若|AB |＝2，则实数k ＝________. 解析圆C 的标准方程为(x －1)2＋(y －1)2＝1，圆心C (1，1)，半径r ＝1.又圆心C (1，1)到直线l 的距离d ＝|k |k 2＋1，且|AB |＝ 2.因此⎝ ⎛⎭⎪⎫|k |k 2＋12＋⎝⎛⎭⎫222＝1，解得k ＝±1.9、已知圆C 的方程是x 2＋y 2－8x －2y ＋8＝0，直线l ：y ＝a (x －3)被圆C 截得的弦长最短时，直线l 方程为________________.解析：圆C 的标准方程为(x －4)2＋(y －1)2＝9，∴圆C 的圆心C (4，1)，半径r ＝3.又直线l ：y ＝a (x －3)过定点P (3，0)，则当直线l 与直线CP 垂直时，被圆C 截得的弦长最短.因此a ·k CP ＝a ·1－04－3＝－1，∴a ＝－1.故所求直线l 的方程为y ＝－(x －3)，即x ＋y －3＝0.10、若圆x 2＋y 2＝4与圆x 2＋y 2＋ax ＋2ay －9＝0(a >0)相交，公共弦的长为22，则a ＝________.解析联立两圆方程⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝4，x 2＋y 2＋ax ＋2ay －9＝0，可得公共弦所在直线方程为ax ＋2ay －5＝0，故圆心(0，0)到直线ax ＋2ay －5＝0的距离为|－5|a 2＋4a 2＝5a (a >0).故222－⎝⎛⎭⎫5a 2＝22，解得a 2＝52，因为a >0，所以a ＝102.例31、已知椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为63，焦距为2 2.斜率为求椭圆M 2、已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的短轴长等于23，椭圆上的点到右焦点F 最远距离为3.(1)求椭圆C 的3、在直角坐标系xOy 中，椭圆C ：y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)的上焦点为F 1，椭圆C 的离心率为12，且过点⎝⎛⎭⎫1，263.(1)求椭圆C 的方程； y 24＋x 23＝1.4、过点(3，－5)，且与椭圆y 225＋x 29＝1有相同焦点的椭圆的标准方程为( C )A.x 220＋y 24＝1B.x 225＋y 24＝1C.y 220＋x 24＝1D.x 24＋y 225＝15、已知F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，点P 在椭圆C 上，且|PF 1|＝3|PF 2|，若线段PF 1的中点恰在y 轴上，则椭圆的离心率为( C ) A.33B.36C.22D.12解析由于|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，且|PF 1|＝3|PF 2|，所以|PF 2|＝a 2，|PF 1|＝3a2，因为线段PF 1的中点在y 轴上，且O 为F 1F 2的中点，所以PF 2∥y 轴，得∠PF 2F 1＝90°，所以⎝⎛⎭⎫a 22＋(2c )2＝⎝⎛⎭⎫3a 22，则a ＝2c ，故e ＝22. 6、已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，C 与过原点的直线相交于A ，B 两点，连接AF ，BF .若|AB |＝10，|BF |＝8，cos ∠ABF ＝45，则C 的离心率为( B )A.35B.57C.45D.67 7、如图，设椭圆的中心为原点O ，长轴在x 轴上，上顶点为A ，左、右焦点分别为F 1，F 2，线段OF 1，OF 2的中点分别为B 1，B 2，且△AB 1B 2是面积为4的直角三角形.(1)求该椭圆的离心率和标准方程；解设所求椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，右焦点为F 2(c ，0).因为△AB 1B 2是直角三角形，且|AB 1|＝|AB 2|，所以∠B 1AB 2＝90°，因此|OA |＝|OB 2|，得b ＝c2.由c 2＝a 2－b 2得4b 2＝a 2－b 2，故a 2＝5b 2，c 2＝4b 2，所以离心率e ＝c a ＝255.在Rt △AB 1B 2中，OA ⊥B 1B 2，故S △AB 1B 2＝12·|B 1B 2|·|OA |＝|OB 2|·|OA |＝c2·b ＝b 2.由题设条件S △AB 1B 2＝4得b 2＝4，所以a 2＝5b 2＝20.因此所求椭圆的标准方程为x 220＋y 24＝1.例41、在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线x 2－y 2b 2＝1(b >0)经过点(3，4)，则该双曲线的渐近线方程是___ _y ＝±2x .____.2、已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的焦距为45，渐近线方程为2x ±y ＝0，则双曲线的方程为( A )A.x 24－y 216＝1B.x 216－y 24＝1C.x 216－y 264＝1D.x 264－y 216＝13、设双曲线C ：x 28－y 2m ＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与双曲线C 交于M ，N 两点，其中M在左支上，N 在右支上.若∠F 2MN ＝∠F 2NM ，则|MN |＝( C ) A.8B.4C.8 2D.4 2解析由∠F 2MN ＝∠F 2NM ，知|F 2M |＝|F 2N |，由双曲线定义可知，|MF 2|－|MF 1|＝42，|NF 1|－|NF 2|＝42，两式相加，得|NF 1|－|MF 1|＝82，故|MN |＝|NF 1|－|MF 1|＝8 2.4、在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点F (c ，0)到一条渐近线的距离为32c ，则其离心率的值是____2____.解析不妨设双曲线的一条渐近线方程为y ＝b a x ，即bx －ay ＝0，所以|bc |a 2＋b 2 ＝b ＝c 2－a 2＝32c ，得c ＝2a ，所以双曲线的离心率e ＝ca＝2.5、已知F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，P 是C 上一点，若|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，且△PF 1F 2最小内角的大小为30°，则双曲线C 的渐近线方程是( A )A.2x ±y ＝0B.x ±2y ＝0C.x ±2y ＝0D.2x ±y ＝0解析由题意，不妨设|PF 1|>|PF 2|，则根据双曲线的定义得，|PF 1|－|PF 2|＝2a ，又|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，解得|PF 1|＝4a ，|PF 2|＝2a .在△PF 1F 2中，|F 1F 2|＝2c ，而c >a ，所以有|PF 2|<|F 1F 2|，所以∠PF 1F 2＝30°，所以(2a )2＝(2c )2＋(4a )2－2·2c ·4a cos 30°，得c ＝3a ，所以b ＝c 2－a 2＝2a .所以双曲线的渐近线方程为y ＝±bax ＝±2x ，即2x ±y ＝0.6、已知直线l 为双曲线：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线，直线l 与圆(x －c )2＋y 2＝a 2(其中c 2＝a 2＋b 2，c >0)相交于A ，B 两点，若|AB |＝a ，则双曲线C 的离心率为___72_____. 解：由题意知双曲线的渐近线方程为bx ±ay ＝0，圆(x －c )2＋y 2＝a 2的圆心为(c,0)，半径为a .因为直线l 为双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线，与圆(x －c )2＋y 2＝a 2(其中c 2＝a 2＋b 2，c >0)相交于A ，B 两点，且|AB |＝a ，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫|bc |a 2＋b 22＋⎝⎛⎭⎫a 22＝a 2，即4b 2＝3a 2，即4(c 2－a 2)＝3a 2，即c 2a 2＝74，所以e ＝72. 7、在平面直角坐标系xOy 中，双曲线C ：y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线与(x －2)2＋(y －1)2＝1相切，则ba ＝( B ) A.43B.34C.169D.9168、已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点.设A ，B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d 1和d 2，且d 1＋d 2＝6，则双曲线的方程为( C ) A.x 24－y 212＝1 B.x 212－y 24＝1 C.x 23－y 29＝1D.x 29－y 23＝1 例51、抛物线y ＝－14x 2的焦点坐标是( A )A ．(0，－1)B ．(0，1)C ．(1，0)D ．(－1，0)2、顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过点P (－4，－2)的抛物线的标准方程是( D )A ．y 2＝－xB ．x 2＝－8yC ．y 2＝－8x 或x 2＝－yD ．y 2＝－x 或x 2＝－8y3、已知直线l 是抛物线y 2＝2px (p >0)的准线，半径为3的圆过抛物线顶点O 和焦点F 与直线l 相切，则抛物线的方程为___y 2＝8x _____.4、已知抛物线y 2＝2px (p >0)上一点M 到焦点F 的距离等于2p ，则直线MF 的斜率为( D )A ．±33 B ．±34C ．±1D ．± 3 5、已知F 是抛物线y 2＝x 的焦点，A ，B 是该抛物线上的两点，且|AF |＋|BF |＝3，则线段AB 的中点到y 轴的距离为( C )A.34 B ．1 C.54D.746、已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，准线为l ，l 与x 轴的交点为P ，点A 在抛物线C 上，过点A 作AA ′⊥l ，垂足为A ′，若四边形AA ′PF 的面积为14，且cos ∠F AA ′＝35，则抛物线C 的方程为( C )A.y 2＝xB.y 2＝2xC.y 2＝4xD.y 2＝8x解：作出图形如图所示，过点F 作FF ′⊥AA ′，垂足为F ′.设|AF ′|＝3x ，因为cos ∠F AA ′＝35，故|AF |＝5x ，|FF ′|＝4x .由抛物线定义知|AF |＝|AA ′|＝5x ，则|A ′F ′|＝2x ＝p ，故x ＝p 2.因此四边形AA ′PF 的面积S ＝12(|PF |＋|AA ′|)·|P A ′|＝⎝⎛⎭⎫p ＋52p p ＝14. 所以p ＝2，故抛物线C 的方程为y 2＝4x .二、强化精练1、直线3x －y ＋a ＝0(a 为常数)的倾斜角为( B ) A.30° B.60° C.150°D.120°2、过点(2,1)且倾斜角比直线y ＝－x －1的倾斜角小π4的直线方程是( A )A.x ＝2B.y ＝1C.x ＝1D.y ＝2 3、如图中的直线l 1，l 2，l 3的斜率分别为k 1，k 2，k 3，则 ( D )A.k 1<k 2<k 3B.k 3<k 1<k 2C.k 3<k 2<k 1D.k 1<k 3<k 24、直线MN 的斜率为2，其中点N (1，－1)，点M 在直线y ＝x ＋1上，则( B ) A.M (5,7) B.M (4,5) C.M (2,1) D.M (2,3)5、已知直线l 1：x ＋2ay －1＝0，l 2：(a ＋1)x －ay ＝0，若l 1∥l 2，则实数a 的值为( C ) A.－32 B.0 C.－32或0D.26、已知直线l 1：x ＋my ＋7＝0和l 2：(m －2)x ＋3y ＋2m ＝0互相平行，则实数m 等于( A ) A.－1或3 B.－1 C.－3D.1或－37、“ab ＝4”是“直线2x ＋ay －1＝0与直线bx ＋2y －2＝0平行”的( C )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件8、已知直线l 1：2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0与直线l 2：mx ＋3y －2＝0垂直，则m 的值为( C ) A.2或－3 B.2 C.－35D.359、直线2x ＋y ＋m ＝0和x ＋2y ＋n ＝0的位置关系是( C )A.平行B.垂直C.相交但不垂直D.不能确定10、已知过点A (－2，m )和B (m,4)的直线为l 1，直线2x ＋y －1＝0为l 2，直线x ＋ny ＋1＝0为l 3.若l 1∥l 2，l 2⊥l 3，则实数m ＋n 的值为( A )A.－10B.－2C.0D.8 11、过点M (－3,2)，且与直线x ＋2y －9＝0平行的直线方程是( D )A.2x －y ＋8＝0B.x －2y ＋7＝0C.x ＋2y ＋4＝0D.x ＋2y －1＝0 12、若直线l 1：x ＋ay ＋6＝0与l 2：(a －2)x ＋3y ＋2a ＝0平行，则l 1与l 2间的距离为( B )A.2 B ．823 C ．3 D ．83313、已知直线l 1过点(－2,0)且倾斜角为30°，直线l 2过点(2,0)且与直线l 1垂直，则直线l 1与直线l 2的交点坐标为( C )A ．(3，3)B ．(2，3)C ．(1，3)D ．(1，32) 14、若方程x 2＋y 2＋mx －2y ＋3＝0表示圆，则m 的取值范围是( B ) A.(－∞，－2)∪(2，＋∞) B.(－∞，－22)∪(22，＋∞) C.(－∞，－3)∪(3，＋∞) D.(－∞，－23)∪(23，＋∞) 15、点(3，－1)为圆心，并且与直线3x ＋4y ＝0相切的圆的方程是( A )A.(x －3)2＋(y ＋1)2＝1B.(x －3)2＋(y －1)2＝1C.(x ＋3)2＋(y －1)2＝1D.(x ＋3)2＋(y ＋1)2＝1 16、若圆C 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x －3y ＝0和x 轴都相切，则该圆的标准方程是( A) A.(x －2)2＋(y －1)2＝1 B.(x －2)2＋(y ＋1)2＝1 C.(x ＋2)2＋(y －1)2＝1 D.(x －3)2＋(y －1)2＝1 17、已知圆E 经过三点A (0,1)，B (2,0)，C (0，－1)，且圆心在x 轴的正半轴上，则圆E 的标准方程为( C) A.⎝⎛⎭⎫x －322＋y 2＝254 B.⎝⎛⎭⎫x ＋342＋y 2＝2516 C.⎝⎛⎭⎫x －342＋y 2＝2516 D.⎝⎛⎭⎫x －342＋y 2＝254 18、已知点A (1，－1)，B (－1,1)，则以线段AB 为直径的圆的方程是 ( A ) A.x 2＋y 2＝2 B.x 2＋y 2＝ 2 C.x 2＋y 2＝1D.x 2＋y 2＝419、以(a,1)为圆心，且与两条直线2x －y ＋4＝0,2x －y －6＝0同时相切的圆的标准方程为( A ) A.(x －1)2＋(y －1)2＝5 B.(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝5 C.(x －1)2＋y 2＝5 D.x 2＋(y －1)2＝5 20、圆心在y 轴上，且过点(3,1)的圆与x 轴相切，则该圆的方程是( B )A.x 2＋y 2＋10y ＝0B.x 2＋y 2－10y ＝0C.x 2＋y 2＋10x ＝0D.x 2＋y 2－10x ＝021、已知圆C 1：(x ＋1)2＋(y －1)2＝4，圆C 2与圆C 1关于直线x －y －1＝0对称，则圆C 2的方程为( B ) A.(x ＋2)2＋(y －2)2＝4 B.(x －2)2＋(y ＋2)2＝4 C.(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝4 D.(x －2)2＋(y －2)2＝4 22、过点P (1，－2)作圆C ：(x －1)2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则AB 所在直线的方程为( B) A.y ＝－34 B.y ＝－12 C.y ＝－32D.y ＝－1423、圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0上的点到直线x －y ＝2的距离的最大值是( A ) A.1＋ 2 B.2 C.1＋22D.2＋2 224、若直线x －y ＋1＝0与圆(x －a )2＋y 2＝2有公共点，则实数a 的取值范围是( C ) A.[－3，－1] B.[－1,3] C.[－3,1] D.(－∞，－3]∪[1，＋∞)25、若直线l ：x －y ＋m ＝0与圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0恒有公共点，则m 的取值范围是( D ) A.[－2，2] B.[－22，22] C.[－2－1，2－1] D.[－22－1,22－1]26、圆(x ＋2)2＋y 2＝4与圆(x －2)2＋(y －1)2＝9的位置关系为( B ) A.内切 B.相交 C.外切 D.相离27、已知点M (a ，b )在圆O ：x 2＋y 2＝1外，则直线ax ＋by ＝1与圆O 的位置关系是( B ) A.相切 B.相交 C.相离 D.不确定28、直线x ＋y ＋2＝0截圆x 2＋y 2＝4所得劣弧所对圆心角为( C )A.π6 B ．π3 C ．2π3 D ．5π629、直线y ＝kx ＋3被圆(x －2)2＋(y －3)2＝4截得的弦长为23，则直线的倾斜角为( A )A.π6或5π6 B ．－π3或π3 C ．－π6或π6 D ．π630、设直线x －y －a ＝0与圆x 2＋y 2＝4相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，若△AOB 为等边三角形，则实数a 的值为( B )A ．±3B ．±6C ．±3D ．±931、已知圆M ：x 2＋y 2－2ay ＝0(a >0)截直线x ＋y ＝0所得线段的长度是22，则圆M 与圆N ：(x －1)2＋(y －1)2＝1的位置关系是( B )A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离32、⊙C 1：(x －1)2＋y 2＝4与⊙C 2：(x ＋1)2＋(y －3)2＝9相交弦所在直线为l ，则l 被⊙O ：x 2＋y 2＝4截得弦长为( D )A.13 B ．4 C ．43913 D ．8391333、已知圆M ：x 2＋y 2－2ay ＝0(a >0)截直线x ＋y ＝0所得线段的长度是22，则圆M 与圆N ：(x －1)2＋(y －1)2＝1的位置关系是( B )A.内切B.相交C.外切D.相离34、圆x 2＋y 2＋4x －12y ＋1＝0关于直线ax －by ＋6＝0(a >0，b >0)对称，则2a ＋6b 的最小值是( C )A.2 3B.203C.323D.16335、已知动点M 到两个定点A (－2，0)，B (2，0)的距离之和为6，则动点M 的轨迹方程为( D )A.x 29＋y 2＝1B.y 29＋x 25＝1C.y 29＋x 2＝1 D.x 29＋y 25＝1 36、已知椭圆C ：x 2a 2＋y 24＝1的一个焦点为()2，0，则C 的离心率为( C )A.13 B ．12 C ．22D ．22337、已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F (1，0)，离心率等于12，则C 的方程是( D )A.x 23＋y 24＝1B.x 24＋y 23＝1C.x 24＋y 22＝1D.x 24＋y 23＝138、若直线x －2y ＋2＝0经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的标准方程为( C )A.x 25＋y 2＝1B.x 24＋y 25＝1C.x 25＋y 2＝1或x 24＋y 25＝1 D ．以上答案都不对 39、已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个焦点是圆x 2＋y 2－6x ＋8＝0的圆心，且短轴长为8，则椭圆的左顶点为( D )A ．(－3，0)B ．(－4，0)C ．(－10，0)D ．(－5，0)40、若椭圆x 236＋y 216＝1上一点P 与椭圆的两个焦点F 1，F 2的连线互相垂直，则△PF 1F 2的面积为( B )A ．36B ．16C ．20D ．2441、已知正数m 是2和8的等比中项，则圆锥曲线x 2＋y 2m＝1的焦点坐标为( B ) A ．(±3，0) B ．(0，±3) C ．(±3，0)或(±5，0) D ．(0，±3)或(±5，0) 42、曲线x 2169＋y 2144＝1与曲线x 2169－k ＋y 2144－k＝1(k <144)的( D )A ．长轴长相等B ．短轴长相等C ．离心率相等D ．焦距相等43、已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为23，过F 2的直线l 交C 于A ，B两点，若△AF 1B 的周长为12，则C 的方程为( D )A.x 23＋y 2＝1B.x 23＋y 22＝1C.x 29＋y 24＝1D.x 29＋y 25＝1 解析：由椭圆的定义，知|AF 1|＋|AF 2|＝2a ，|BF 1|＋|BF 2|＝2a ，所以△AF 1B 的周长为|AF 1|＋|AF 2|＋|BF 1|＋|BF 2|＝4a ＝12，所以a ＝3.因为椭圆的离心率e ＝c a ＝23，所以c ＝2，所以b 2＝a 2－c 2＝5，所以椭圆C 的方程为x 29＋y 25＝1，故选D.44、已知椭圆x 24＋y 23＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2且垂直于长轴的直线交椭圆于A ，B 两点，则△ABF 1内切圆的半径为( D )A.43 B ．1 C.45D.34解析：选D.法一：不妨设A 点在B 点上方，由题意知：F 2(1，0)，将F 2的横坐标代入方程x 24＋y 23＝1中，可得A 点纵坐标为32，故|AB |＝3，所以内切圆半径r ＝2S C ＝68＝34，其中S 为△ABF 1的面积，C 为△ABF 1的周长4a ＝8.法二：由椭圆的通径公式可得|AB |＝2b 2a ＝3，则S ＝2×3×12＝3，C ＝4a ＝8，则r ＝68＝34.45、已知椭圆C：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F ，直线l ：2x －y ＝0交椭圆C 于A ，B 两点，且|AF |＋|BF |＝6，若点F 到直线l 的距离不小于2，则椭圆C 的离心率e 的取值范围是( B )A.⎝⎛⎭⎫53，1 B.⎣⎡⎭⎫53，1 C.⎣⎡⎭⎫12，1 D.⎝⎛⎦⎤0，53 解析：选B.设F 1是椭圆的左焦点，由于直线l ：2x －y ＝0过原点，因此A ，B 两点关于原点对称，所以四边形AF 1BF 是平行四边形，所以|BF 1|＋|BF |＝|AF |＋|BF |＝6，即2a ＝6，a ＝3，点F (c ，0)到直线l 的距离d ＝|2c |5≥2，所以c ≥5，又c <a ，即5≤c <3，所以e ＝c a ＝c 3∈⎣⎡⎭⎫53，1.46、P 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上的一点，A 为左顶点，F 为右焦点，PF ⊥x 轴，若tan ∠P AF ＝12，则椭圆的离心率e 为( D )A.23 B.22 C.33D.12解析：选D.如图，不妨设点P 在第一象限，因为PF ⊥x 轴，所以x P ＝c ，将x P ＝c 代入椭圆方程得y P ＝b 2a ，即|PF |＝b 2a ，则tan ∠P AF ＝|PF ||AF |＝b 2a a ＋c ＝12，结合b 2＝a 2－c 2，整理得2c 2＋ac －a 2＝0，两边同时除以a 2得2e 2＋e －1＝0，解得e ＝12或e ＝－1(舍去)．故选D.47、如图，已知椭圆C 的中心为原点O ，F (－5，0)为椭圆C 的左焦点，P 为椭圆C 上一点，满足|OP |＝|OF |且|PF |＝6，则椭圆C 的方程为( C )A.x 236＋y 216＝1B.x 240＋y 215＝1C.x 249＋y 224＝1D.x 245＋y 220＝1 解析：选C.由题意知，c ＝5，设右焦点为F ′，连接PF ′，由|OP |＝|OF |＝|OF ′|知，∠PFF ′＝∠FPO ，∠OF ′P ＝∠OPF ′，所以∠PFF ′＋∠OF ′P ＝∠FPO ＋∠OPF ′，所以∠FPO ＋∠OPF ′＝90°，即PF ⊥PF ′.在Rt △PFF ′中，由勾股定理得|PF ′|＝|FF ′|2－|PF |2＝8，又|PF |＋|PF ′|＝2a ＝6＋8＝14，所以a ＝7，所以b 2＝a 2－c 2＝24，所以椭圆C 的方程为x 249＋y 224＝1，故选C.48、设F 1，F 2分别是双曲线x 2－y 29＝1的左、右焦点．若点P 在双曲线上，且|PF 1|＝6，则|PF 2|＝( D ) A ．6 B ．4 C ．8 D ．4或849、设双曲线x 2－y 28＝1的两个焦点为F 1，F 2，P 是双曲线上的一点，且|PF 1|∶|PF 2|＝3∶4，则△PF 1F 2的面积等于( C )A ．103B ．83C ．8 5D ．16 5【解析】依题意|F 1F 2|＝6，|PF 2|－|PF 1|＝2，因为|PF 1|∶|PF 2|＝3∶4，所以|PF 1|＝6，|PF 2|＝8，所以等腰三角形PF 1F 2的面积S ＝12×8×62－⎝⎛⎭⎫822＝8 5. [迁移探究] (变条件)若本例中“|PF 1|∶|PF 2|＝3∶4”变为“PF 1⊥PF 2”，其他条件不变，如何求解．解：设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋n 2＝36，m 2＋n 2－2mn ＝4，解得mn ＝16，所以S △PF 1F 2＝12mn ＝8.50、若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为( D )A.73 B ．54 C.43D ．5351、若a >1，则双曲线x 2a2－y 2＝1的离心率的取值范围是( C )A ．(2，＋∞)B ．(2，2 )C ．(1，2)D ．(1,2) 52、一个焦点为(26，0)且与双曲线y 24－x 29＝1有相同渐近线的双曲线方程是( B )A.y 218－x 28＝1 B ．x 218－y 28＝1 C.x 216－y 210＝1 D ．y 216－x 210＝153、若双曲线x 2a －y 2b ＝1(a >0，b >0)和椭圆x 2m ＋y 2n ＝1(m >n >0)有共同的焦点F 1，F 2，P 是两条曲线的一个交点，则|PF 1|·|PF 2|＝ ( D )A ．m 2－a 2B ．m －a C.12(m －a )D ．m －a54、若双曲线C 1：x 22－y 28＝1与C 2：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线相同，且双曲线C 2的焦距为45，则b＝( B )A ．2B ．4C ．6D ．8解析：选B.由题意得，ba ＝2⇒b ＝2a ，C 2的焦距2c ＝45⇒c ＝a 2＋b 2＝25⇒b ＝4，故选B.55、已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线的右支上，若|PF 1|－|PF 2|＝4b ，且双曲线的焦距为25，则该双曲线的方程为( A )A.x 24－y 2＝1B.x 23－y 22＝1 C ．x 2－y 24＝1 D.x 22－y 23＝156、已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2作x 轴的垂线与双曲线交于B ，C两点，且∠BF 1C ＝60°，则该双曲线的离心率为( C )A.2B.5C. 3D ．2解析：选C.不妨设点B 在x 轴的上方，则点B 的坐标为⎝⎛⎭⎫c ，b 2a ，由于∠BF 1C ＝60°，则b 2a 2c ＝tan 30°＝33，得3e 2－2e －3＝0，即(3e ＋1)(e －3)＝0，得e ＝ 3.故选C. 57、当双曲线M ：x 2m 2－y 22m ＋6＝1(－2≤m <0)的焦距取得最小值时，双曲线M 的渐近线方程为( C )A ．y ＝±2xB ．y ＝±22x C ．y ＝±2xD ．y ＝±12x解析：选C.由题意可得c 2＝m 2＋2m ＋6＝(m ＋1)2＋5，当m ＝－1时，c 2取得最小值，即焦距2c 取得最小值，此时双曲线M 的方程为x 2－y 24＝1，所以渐近线方程为y ＝±2x .故选C. 58、已知圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝1，C 2：(x －3)2＋y 2＝9，动圆M 同时与圆C 1和圆C 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为( C )A ．x 2－y 28＝1 B. x 28－y 2＝1 C ．x 2－y 28＝1(x ≤－1) D ．x 2－y 28＝1(x ≥1) 59、过点F (0，3)且和直线y ＋3＝0相切的动圆圆心的轨迹方程为( D )A ．y 2＝12xB ．y 2＝－12xC ．x 2＝－12yD ．x 2＝12y60、已知抛物线C 与双曲线x 2－y 2＝1有相同的焦点，且顶点在原点，则抛物线C 的方程是( D )A ．y 2＝±22xB ．y 2＝±2xC ．y 2＝±4xD ．y 2＝±42x61、抛物线y ＝ax 2(a <0)的准线方程是( B )A ．y ＝－12aB ．y ＝－14aC ．y ＝12aD ．y ＝14a62、设抛物线y 2＝8x 上一点P 到y 轴的距离是4，则点P 到该抛物线焦点的距离是( B ) A.4 B.6 C.8 D.1263、已知点M 是抛物线C ：y 2＝2px (p >0)上一点，F 为C 的焦点，MF 的中点坐标是(2，2)，则p 的值为( D )A ．1B ．2C ．3D ．464、已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，点A (0，－3)．若线段F A 与抛物线C 相交于点M ，则|MF |＝( A )A.43B.53C.23D.3365、直线l 过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，且与抛物线交于A ，B 两点，若线段AB 的长是8，AB 的中点到y 轴的距离是2，则此抛物线方程是( B )A ．y 2＝12xB ．y 2＝8xC ．y 2＝6xD ．y 2＝4x解析：选B.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，根据抛物线定义，x 1＋x 2＋p ＝8，因为AB 的中点到y 轴的距离是2，所以x 1＋x 22＝2，所以p ＝4；所以抛物线方程为y 2＝8x .故选B.66、抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点M 在C 上，|MF |＝5，若以MF 为直径的圆过点(0,2)，则C 的标准方程为( C )A.y 2＝4x 或y 2＝8xB.y 2＝2x 或y 2＝8xC.y 2＝4x 或y 2＝16xD.y 2＝2x 或y 2＝16x67、如图所示，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线交抛物线于点A ，B ，交其准线l 于点C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝3，则此抛物线的标准方程为( D )A.y 2＝32xB.y 2＝9xC.y 2＝92x D.y 2＝3x解析分别过点A ，B 作AA 1⊥l ，BB 1⊥l ，且垂足分别为A 1，B 1，由已知条件|BC |＝2|BF |，得|BC |＝2|BB 1|，所以∠BCB 1＝30°.又|AA 1|＝|AF |＝3，所以|AC |＝2|AA 1|＝6，所以|CF |＝|AC |－|AF |＝6－3＝3，所以F 为线段AC 的中点.故点F 到准线的距离为p ＝12|AA 1|＝32，故抛物线的标准方程为y 2＝3x .68、过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 且倾斜角为120°的直线l 与抛物线在第一、四象限分别交于A ，B 两点，则|AF ||BF |的值等于( A ) A.13 B.23 C.34 D.4369、已知抛物线x 2＝4y 上一动点P 到x 轴的距离为d 1，到直线l ：x ＋y ＋4＝0的距离为d 2，则d 1＋d 2的最小值是( D )A.552＋2B.522＋1C.522－2D.522－1解析：选D.抛物线x 2＝4y 的焦点F (0，1)，由抛物线的定义可得d 1＝|PF |－1，则d 1＋d 2＝|PF |＋d 2－1，而|PF |＋d 2的最小值等于焦点F 到直线l 的距离，即(|PF |＋d 2)min ＝52＝522，所以d 1＋d 2的最小值是522－1.70、若点(3，1)是抛物线y 2＝2px (p ＞0)的一条弦的中点，且这条弦所在直线的斜率为2，则p 的值是( B)A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B.设过点(3，1)的直线交抛物线y 2＝2px (p ＞0)于A 、B 两点，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝2px 1 ①y 22＝2px 2 ②，由①－②得y 21－y 22＝2p (x 1－x 2)，即y 1－y 2x 1－x 2＝2p y 1＋y 2，由题意知k AB ＝2，且y 1＋y 2＝2，故k AB ＝2py 1＋y 2＝2，所以p ＝y 1＋y 2＝2. 71、如图所示，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线交抛物线于点A ，B ，交其准线l 于点C ，若F 是AC 的中点，且|AF |＝4，则线段AB 的长为( C )A.5B.6C.163D.203解析方法一如图所示，设l 与x 轴交于点M ，过点A 作AD ⊥l 并交l 于点D ，由抛物线的定义知，|AD |＝|AF |＝4，由F 是AC 的中点，知|AF |＝2|MF |＝2p ，所以2p ＝4，解得p ＝2，所以抛物线的方程为y 2＝4x .设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AF |＝x 1＋p 2＝x 1＋1＝4，所以x 1＝3，又x 1x 2＝p 24＝1，所以x 2＝13，所以|AB |＝x 1＋x 2＋p＝163.故选C. 方法二如图所示，设l 与x 轴交于点M ，过点A 作AD ⊥l 并交l 于点D ，由抛物线的定义知，|AD |＝|AF |＝4，由F 是AC 的中点，知|AF |＝2|MF |＝2p ，所以2p ＝4，解得p ＝2，所以抛物线的方程为y 2＝4x .因为1|AF |＋1|BF |＝2p ，|AF |＝4，所以|BF |＝43，所以|AB |＝|AF |＋|BF |＝4＋43＝163.故选C. 72、直线y ＝kx －k ＋1与椭圆x 29＋y 24＝1的位置关系为( A )A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定解析：选A.直线y ＝kx －k ＋1＝k (x －1)＋1恒过定点(1，1)，又点(1，1)在椭圆内部，故直线与椭圆相交． 73、若直线y ＝kx 与双曲线x 29－y 24＝1相交，则k 的取值范围是( C )A.⎝⎛⎭⎫0，23B.⎝⎛⎭⎫－23，0C.⎝⎛⎭⎫－23，23D.⎝⎛⎭⎫－∞，－23∪⎝⎛⎭⎫23，＋∞ 解析：选C.双曲线x 29－y 24＝1的渐近线方程为y ＝±23x ，若直线与双曲线相交，数形结合，得k ∈⎝⎛⎭⎫－23，23.74、直线y ＝kx ＋2与抛物线y 2＝8x 有且只有一个公共点，则k 的值为( D )A ．1B ．1或3C ．0D ．1或0解析：选D.由——y ＝kx ＋2，y 2＝8x ，得k 2x 2＋(4k －8)x ＋4＝0，若k ＝0，则y ＝2，符合题意．若k ≠0，则Δ＝0，即64－64k ＝0，解得k ＝1，所以直线y ＝kx ＋2与抛物线y 2＝8x 有且只有一个公共点时，k ＝0或1. 75、直线kx －4y －k ＝0与抛物线y 2＝4x 交于A ，B 两点，若|AB |＝8，则弦AB 的中点到直线x ＋1＝0的距离等于( C )A ．1B ．2C ．4D ．8解析：选C.kx －4y －k ＝0，即y ＝14k (x －1)，即直线kx －4y －k ＝0过抛物线y 2＝4x 的焦点F (1，0)，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝x 1＋x 2＋2＝8，故x 1＋x 2＝6，则弦AB 的中点的横坐标是3，所以弦AB 的中点到直线x ＋1＝0的距离是4.76、直线l 与双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)交于A ，B 两点，M 是线段AB 的中点，若l 与OM (O 是原点)的斜率的乘积等于1，则此双曲线的离心率为( D )A ．3B ．2 C. 3 D. 2解析：选 D.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x 0，y 0)，代入双曲线的方程，得⎩⎨⎧x 21a 2－y 21b2＝1，x 22a 2－y22b 2＝1，两式相减得（x 1＋x 2）（x 1－x 2）a 2－（y 1＋y 2）（y 1－y 2）b 2＝0，又⎩⎨⎧x 0＝x 1＋x 22，y 0＝y 1＋y22，所以xa 2＝y 0（y 1－y 2）b 2（x 1－x 2），所以b 2a 2＝y 0（y 1－y 2）x 0（x 1－x 2）＝k OM k l＝1，所以e 2＝1＋b 2a 2＝2，所以e ＝2，故选D.77、直线kx ＋y ＋2＝－k ，当k 变化时，所有的直线都过定点 (－1，－2) .解析 kx ＋y ＋2＝－k 可化为y ＋2＝－k (x ＋1)，根据直线方程的点斜式可知，此类直线恒过定点(－1，－2). 78、已知三角形的三个顶点A (－5,0)，B (3，－3)，C (0,2)，则BC 边上中线所在的直线方程为 x ＋13y ＋5＝0 .79、经过点A (4,2)，且在x 轴上的截距等于在y 轴上的截距的3倍的直线l 的方程的一般式为 x ＋3y －10＝0或x －2y ＝0 .解析当截距为0时，设直线方程为y ＝kx ，则4k ＝2，∴k ＝12，∴直线方程为x －2y ＝0.当截距不为0时，设直线方程为x 3a ＋y a ＝1，由题意得，43a ＋2a ＝1，∴a ＝103.∴x ＋3y －10＝0.综上，直线l 的一般式方程为x ＋3y －10＝0或x －2y ＝0.80、已知直线l 1：ax ＋y －1＝0，直线l 2：x －y －3＝0，若直线l 1的倾斜角为π4，则a ＝__-1____；若l 1⊥l 2，则a ＝____1__；若l 1∥l 2，则两平行直线间的距离为___ 22_____.81、设点A (－1,0)，B (1,0)，直线2x ＋y －b ＝0与线段AB 相交，则b 的取值范围是 [－2,2] . 解析 b 为直线y ＝－2x ＋b 在y 轴上的截距，如图，当直线y ＝－2x ＋b 过点A (－1,0)和点B (1,0)时，b 分别取得最小值－2和最大值2.∴b 的取值范围是[－2,2].82、已知l 1，l 2是分别经过A (1，1)，B (0，－1)两点的两条平行直线，当l 1，l 2间的距离最大时，则直线l 1的方程是________.解析当直线AB 与l 1，l 2垂直时，l 1，l 2间的距离最大.∵A (1，1)，B (0，－1)，∴k AB ＝－1－10－1＝2.∴两平行直线的斜率k ＝－12.∴直线l 1的方程是y －1＝－12(x －1)，即x ＋2y －3＝0.83、已知直线：12x －5y ＝3与圆x 2＋y 2－6x －8y ＋16＝0相交于A ，B 两点，则|AB |＝____42____. 84、圆x 2＋y 2＋4x －4y －1＝0与圆x 2＋y 2＋2x －13＝0相交于P ，Q 两点，则直线PQ 的方程为___ x －2y ＋6＝0___________.85、已知圆心在x 轴上，半径为5的圆位于y 轴右侧，且截直线x ＋2y ＝0所得弦的长为2，则圆的方程为______ (x －25)2＋y 2＝5____.解析根据题意，设圆的圆心坐标为(a,0)(a >0)，则圆的标准方程为(x －a )2＋y 2＝5(a >0)，则圆心到直线x ＋2y ＝0的距离d ＝|a ＋2×0|12＋22＝55a .又该圆截直线x ＋2y ＝0所得弦的长为2，所以可得12＋⎝⎛⎭⎫55a 2＝5，解得a ＝2 5.故圆的方程为(x －25)2＋y 2＝5.86、已知直线l ：x ＋my －3＝0与圆C ：x 2＋y 2＝4相切，则m ＝__±52__.87、若直线3x －4y ＋5＝0与圆x 2＋y 2＝r 2(r >0)相交于A ，B 两点，且∠AOB ＝120°(O 为坐标原点)，则r ＝__2__.[解析] 直线3x －4y ＋5＝0与圆x 2＋y 2＝r 2(r ＞0)交于A ，B 两点，O 为坐标原点，且∠AOB ＝120°，则圆心(0,0)到直线3x －4y ＋5＝0的距离为12r ，即532＋42＝12r ，∴r ＝2.88、一个圆经过椭圆x 216＋y 24＝1的三个顶点，且圆心在x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为__(x －32)2＋y 2＝254__. 89、过点(3,1)作圆(x －2)2＋(y －2)2＝4的弦，其中最短弦的长为__ 22______.90、过点P (2,4)引圆(x －1)2＋(y －1)2＝1的切线，则切线方程为__ x ＝2或4x －3y ＋4＝0________________. 91、过点C (3,4)作圆x 2＋y 2＝5的两条切线，切点分别为A ，B ，则点C 到直线AB 的距离为__4__.[解析] 以OC 为直径的圆的方程为(x －32)2＋(y －2)2＝(52)2，AB 为圆C 与圆O ：x 2＋y 2＝5的公共弦，所以AB 的方程为x 2＋y 2－[(x －32)2＋(y －2)2]＝5－254，化简得3x ＋4y －5＝0，所以C 到直线AB 的距离d ＝|3×3＋4×4－5|32＋42＝4.92、在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若sin 2A ＋sin 2B ＝12sin 2C ，则直线ax －by ＋c ＝0被圆x 2＋y 2＝9所截得弦长为[解析] 由正弦定理得a 2＋b 2＝12c 2，∴圆心到直线距离d ＝|c |a 2＋b 2＝c12c 2＝2， ∴弦长l ＝2r 2－d 2＝29－2＝27.93、若椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的短轴长等于焦距，则椭圆的离心率为___22_____．94、若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，短轴长为4，则椭圆的标准方程为___x 216＋y 24＝1_____．95、若方程x 25－k ＋y 2k －3＝1表示椭圆，则k 的取值范围是___(3，4)∪(4，5)_____．解析：由已知得⎩⎪⎨⎪⎧5－k >0，k －3>0，5－k ≠k －3，解得3<k <5且k ≠4.96、椭圆C ：x 225＋y 216＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2的直线交椭圆C 于A 、B 两点，则△F 1AB 的周长为____20____．解析：△F 1AB 的周长为|F 1A |＋|F 1B |＋|AB |＝|F 1A |＋|F 2A |＋|F 1B |＋|F 2B |＝2a ＋2a ＝4a . 在椭圆x 225＋y 216＝1中，a 2＝25，a ＝5，所以△F 1AB 的周长为4a ＝20.97、已知椭圆C 的中心在原点，一个焦点F (－2，0)，且长轴长与短轴长的比是2∶3，则椭圆C 的方程是____x 216＋y 212＝1____．解析：设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)．由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝b 2＋c 2，a ∶b ＝2∶3，c ＝2，解得a 2＝16，b 2＝12.所以椭圆C 的方程为x 216＋y 212＝1.98、已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点P 1(6，1)，P 2(－3，－2)，则该椭圆的方程为_____x 29＋y 23＝1___．解析：设椭圆方程为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，且m ≠n )．因为椭圆经过P 1，P 2两点，所以P 1，P 2点坐标适合椭圆方程，则⎩⎪⎨⎪⎧6m ＋n ＝1，①3m ＋2n ＝1，②①②两式联立，解得⎩⎨⎧m ＝19，n ＝13.所以所求椭圆方程为x 29＋y 23＝1.99、（1）已知F 1、F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的两个焦点，P 为椭圆C 上的一点，且PF 1⊥PF 2，若△PF 1F 2的面积为9，则b ＝________．【解析】设|PF 1|＝r 1，|PF 2|＝r 2，则⎩⎪⎨⎪⎧r 1＋r 2＝2a ，r 21＋r 22＝4c 2，所以2r 1r 2＝(r 1＋r 2)2－(r 21＋r 22)＝4a 2－4c 2＝4b 2，所以S △PF 1F 2＝12r 1r 2＝b 2＝9，所以b ＝3. （2）本例(1)中增加条件“△PF 1F 2的周长为18”，其他条件不变，求该椭圆的方程．解：由原题得b 2＝a 2－c 2＝9，又2a ＋2c ＝18，所以a －c ＝1，解得a ＝5，故椭圆的方程为x 225＋y 29＝1.100、已知△ABC 的顶点A (－3，0)和顶点B (3，0)，顶点C 在椭圆x 225＋y 216＝1上，则5sin Csin A ＋sin B＝_____3___．解析：由椭圆方程知a ＝5，b ＝4，所以c ＝a 2－b 2＝3，所以A ，B 为椭圆的焦点．因为点C 在椭圆上，所以|AC |＋|BC |＝2a ＝10，|AB |＝2c ＝6.所以5sin C sin A ＋sin B ＝5|AB ||BC |＋|AC |＝5×610＝3.101、已知椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，A ，B 分别是椭圆长轴的两个端点，M ，N 是椭圆上关于x 轴对称的两点，直线AM ，BN 的斜率分别为k 1，k 2，若|k 1·k 2|＝14，则椭圆的离心率为__32______．解析：设M (x 0，y 0)，则N (x 0，－y 0)，|k 1·k 2|＝⎪⎪⎪⎪y 0x 0＋a ·y 0a －x 0＝y 20a 2－x 20＝b 2⎝⎛⎭⎫1－x 20a 2a 2－x 20＝b 2a 2＝14，从而e ＝1－b 2a 2＝32. 102、已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的一条弦所在的直线方程是x －y ＋5＝0，弦的中点坐标是M (－4,1)，则椭圆的离心率是32。

新课标2020版高考数学二轮复习专题五解析几何练习理新人教A版

第1讲直线与圆一、选择题1．已知直线l 1过点(－2，0)且倾斜角为30°，直线l 2过点(2，0)且与直线l 1垂直，则直线l 1与直线l 2的交点坐标为( )A ．(3，3)B ．(2，3)C ．(1，3)D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32 解析：选C ．直线l 1的斜率k 1＝tan 30°＝33，因为直线l 2与直线l 1垂直，所以直线l 2的斜率k 2＝－1k 1＝－3，所以直线l 1的方程为y ＝33(x ＋2)，直线l 2的方程为y ＝－3(x －2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝33(x ＋2)，y ＝－3(x －2)，解得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝3，即直线l 1与直线l 2的交点坐标为(1，3)．2．圆C 与x 轴相切于T (1，0)，与y 轴正半轴交于A 、B 两点，且|AB |＝2，则圆C 的标准方程为( )A ．(x －1)2＋(y －2)2＝2 B ．(x －1)2＋(y －2)2＝2 C ．(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝4 D ．(x －1)2＋(y －2)2＝4解析：选A ．由题意得，圆C 的半径为1＋1＝2，圆心坐标为(1，2)，所以圆C 的标准方程为(x －1)2＋(y －2)2＝2，故选A ．3．已知圆M ：x 2＋y 2－2ay ＝0(a >0)截直线x ＋y ＝0所得线段的长度是22，则圆M 与圆N ：(x －1)2＋(y －1)2＝1的位置关系是( )A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离解析：选B ．圆M ：x 2＋y 2－2ay ＝0(a >0)可化为x 2＋(y －a )2＝a 2，由题意，M (0，a )到直线x ＋y ＝0的距离d ＝a2，所以a 2＝a 22＋2，解得a ＝2.所以圆M ：x 2＋(y －2)2＝4，所以两圆的圆心距为2，半径和为3，半径差为1，故两圆相交．4．(2019·皖南八校联考)圆C 与直线2x ＋y －11＝0相切，且圆心C 的坐标为(2，2)，设点P 的坐标为(－1，y 0)．若在圆C 上存在一点Q ，使得∠CPQ ＝30°，则y 0的取值范围是( )A ．[－12，92]B ．[－1，5]C ．[2－11，2＋11]D ．[2－23，2＋23]解析：选C ．由点C (2，2)到直线2x ＋y －11＝0的距离为|4＋2－11|5＝5，可得圆C 的方程为(x －2)2＋(y －2)2＝5.若存在这样的点Q ，当PQ 与圆C 相切时，∠CPQ ≥30°，可得sin ∠CPQ ＝CQ CP＝5CP≥sin 30°，即CP ≤25，则9＋(y 0－2)2≤25，解得2－11≤y 0≤2＋11.故选C ．5．在平面直角坐标系内，过定点P 的直线l ：ax ＋y －1＝0与过定点Q 的直线m ：x －ay ＋3＝0相交于点M ，则|MP |2＋|MQ |2＝( )A ．102B ．10C ．5D ．10解析：选D ．由题意知P (0，1)，Q (－3，0)，因为过定点P 的直线ax ＋y －1＝0与过定点Q 的直线x －ay ＋3＝0垂直，所以MP ⊥MQ ，所以|MP |2＋|MQ |2＝|PQ |2＝9＋1＝10，故选D ．6．(一题多解)(2019·河南郑州模拟)在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，直线x －ky ＋1＝0与圆C ：x 2＋y 2＝4相交于A ，B 两点，OM →＝OA →＋OB →，若点M 在圆C 上，则实数k 的值为( )A ．－2B ．－1C ．0D ．1解析：选C ．法一：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x －ky ＋1＝0，x 2＋y 2＝4得(k 2＋1)y 2－2ky －3＝0，则Δ＝4k 2＋12(k 2＋1)>0，y 1＋y 2＝2k k 2＋1，x 1＋x 2＝k (y 1＋y 2)－2＝－2k 2＋1，因为OM →＝OA →＋OB →，故M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2k 2＋1，2k k 2＋1，又点M 在圆C 上，故4(k 2＋1)2＋4k 2(k 2＋1)2＝4，解得k ＝0.法二：由直线与圆相交于A ，B 两点，OM →＝OA →＋OB →，且点M 在圆C 上，得圆心C (0，0)到直线x －ky ＋1＝0的距离为半径的一半，为1，即d ＝11＋k2＝1，解得k ＝0.二、填空题7．过点(2，0)引直线l 与曲线y ＝1－x 2相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，当△AOB 的面积取最大值时，直线l 的斜率等于________．解析：令P (2，0)，如图，易知|OA |＝|OB |＝1，所以S △AOB ＝12|OA |·|OB |·sin ∠AOB ＝12sin ∠AOB ≤12，当∠AOB ＝90°时，△AOB 的面积取得最大值，此时过点O 作OH ⊥AB 于点H ，则|OH |＝22，于是sin ∠OPH ＝|OH ||OP |＝222＝12，易知∠OPH 为锐角，所以∠OPH ＝30°，则直线AB 的倾斜角为150°，故直线AB 的斜率为tan 150°＝－33. 答案：－338．已知圆O ：x 2＋y 2＝4到直线l ：x ＋y ＝a 的距离等于1的点至少有2个，则实数a 的取值范围为________．解析：由圆的方程可知圆心为(0，0)，半径为2.因为圆O 到直线l 的距离等于1的点至少有2个，所以圆心到直线l 的距离d <r ＋1＝2＋1，即d ＝|－a |12＋12＝|a |2<3，解得a ∈(－32，32)．答案：(－32，32)9．(2019·高考浙江卷)已知圆C 的圆心坐标是(0，m )，半径长是r .若直线2x －y ＋3＝0与圆C 相切于点A (－2，－1)，则m ＝________，r ＝________．解析：法一：设过点A (－2，－1)且与直线2x －y ＋3＝0垂直的直线方程为l ：x ＋2y ＋t ＝0，所以－2－2＋t ＝0，所以t ＝4，所以l ：x ＋2y ＋4＝0.令x ＝0，得m ＝－2，则r ＝(－2－0)2＋(－1＋2)2＝ 5.法二：因为直线2x －y ＋3＝0与以点(0，m )为圆心的圆相切，且切点为A (－2，－1)，所以m ＋10－(－2)×2＝－1，所以m ＝－2，r ＝(－2－0)2＋(－1＋2)2＝ 5. 答案：－2 5三、解答题10．已知点M (－1，0)，N (1，0)，曲线E 上任意一点到点M 的距离均是到点N 的距离的3倍．(1)求曲线E 的方程；(2)已知m ≠0，设直线l 1：x －my －1＝0交曲线E 于A ，C 两点，直线l 2：mx ＋y －m ＝0交曲线E 于B ，D 两点．当CD 的斜率为－1时，求直线CD 的方程．解：(1)设曲线E 上任意一点的坐标为(x ，y )，由题意得(x ＋1)2＋y 2＝3·(x －1)2＋y 2，整理得x 2＋y 2－4x ＋1＝0，即(x －2)2＋y 2＝3为所求．(2)由题意知l 1⊥l 2，且两条直线均恒过点N (1，0)．设曲线E 的圆心为E ，则E (2，0)，设线段CD 的中点为P ，连接EP ，ED ，NP ，则直线EP ：y ＝x －2.设直线CD ：y ＝－x ＋t ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －2，y ＝－x ＋t ，解得点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋22，t －22，由圆的几何性质，知|NP |＝12|CD |＝|ED |2－|EP |2，而|NP |2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋22－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫t －222，|ED |2＝3，|EP |2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫|2－t |22，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫t 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫t －222＝3－(t －2)22，整理得t 2－3t ＝0，解得t ＝0或t ＝3，所以直线CD 的方程为y ＝－x 或y ＝－x ＋3.11．在平面直角坐标系xOy 中，曲线y ＝x 2＋mx －2与x 轴交于A ，B 两点，点C 的坐标为(0，1)，当m 变化时，解答下列问题：(1)能否出现AC ⊥BC 的情况？说明理由；(2)证明过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值．解：(1)不能出现AC ⊥BC 的情况，理由如下：设A (x 1，0)，B (x 2，0)，则x 1，x 2满足x 2＋mx －2＝0，所以x 1x 2＝－2.又C 的坐标为(0，1)，故AC 的斜率与BC 的斜率之积为－1x 1·－1x 2＝－12，所以不能出现AC ⊥BC的情况．(2)证明：BC 的中点坐标为(x 22，12)，可得BC 的中垂线方程为y －12＝x 2(x －x 22)．由(1)可得x 1＋x 2＝－m ，所以AB 的中垂线方程为x ＝－m2.联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－m 2，y －12＝x 2(x －x 22)，又x 22＋mx 2－2＝0，可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－m 2，y ＝－12.所以过A ，B ，C 三点的圆的圆心坐标为(－m2，－12)，半径r ＝m 2＋92.故圆在y 轴上截得的弦长为2r 2－(m2)2＝3，即过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值．12．在平面直角坐标系xOy 中，点A (0，3)，直线l ：y ＝2x －4，设圆C 的半径为1，圆心在直线l 上．(1)若圆心C 也在直线y ＝x －1上，过点A 作圆C 的切线，求切线的方程； (2)若圆C 上存在点M ，使|MA |＝2|MO |，求圆心C 的横坐标a 的取值范围．解：(1)因为圆心在直线l ：y ＝2x －4上，也在直线y ＝x －1上，所以解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －4，y ＝x －1，得圆心C (3，2)，又因为圆C 的半径为1，所以圆C 的方程为(x －3)2＋(y －2)2＝1，又因为点A (0，3)，显然过点A ，圆C 的切线的斜率存在，设所求的切线方程为y ＝kx ＋3，即kx －y ＋3＝0，所以|3k －2＋3|k 2＋12＝1，解得k ＝0或k ＝－34，所以所求切线方程为y ＝3或y ＝－34x ＋3，即y －3＝0或3x ＋4y －12＝0.(2)因为圆C 的圆心在直线l ：y ＝2x －4上，所以设圆心C 为(a ，2a －4)，又因为圆C 的半径为1，则圆C 的方程为(x －a )2＋(y －2a ＋4)2＝1. 设M (x ，y )，又因为|MA |＝2|MO |，则有x 2＋(y －3)2＝2x 2＋y 2，整理得x 2＋(y ＋1)2＝4，其表示圆心为(0，－1)，半径为2的圆，设为圆D ，所以点M 既在圆C 上，又在圆D 上，即圆C 与圆D 有交点，所以2－1≤a 2＋(2a －4＋1)2≤2＋1，解得0≤a ≤125，所以圆心C 的横坐标a 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，125.第2讲圆锥曲线的定义、方程与性质一、选择题1．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的焦点到渐近线的距离为3，且离心率为2，则该双曲线的实轴的长为( )A ．1B ． 3C ．2D ．2 3解析：选C ．由题意知双曲线的焦点(c ，0)到渐近线bx －ay ＝0的距离为bca 2＋b 2＝b ＝3，即c 2－a 2＝3，又e ＝c a＝2，所以a ＝1，该双曲线的实轴的长为2a ＝2.2．若抛物线y 2＝4x 上一点P 到其焦点F 的距离为2，O 为坐标原点，则△OFP 的面积为( ) A ．12 B ．1 C ．32D ．2解析：选B ．设P (x 0，y 0)，依题意可得|PF |＝x 0＋1＝2，解得x 0＝1，故y 20＝4×1，解得y 0＝±2，不妨取P (1，2)，则△OFP 的面积为12×1×2＝1.3．(2019·高考全国卷Ⅲ)双曲线C ：x 24－y 22＝1的右焦点为F ，点P 在C 的一条渐近线上，O 为坐标原点．若|PO |＝|PF |，则△PFO 的面积为( )A ．324B ．322C ．2 2D ．3 2解析：选A ．不妨设点P 在第一象限，根据题意可知c 2＝6，所以|OF |＝ 6. 又tan ∠POF ＝b a ＝22，所以等腰三角形POF 的高h ＝62×22＝32，所以S △PFO ＝12×6×32＝324.4．(2019·昆明模拟)已知F 1，F 2为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点，B 为C 的短轴的一个端点，直线BF 1与C 的另一个交点为A ，若△BAF 2为等腰三角形，则|AF 1||AF 2|＝( )A ．13B ．12C ．23D ．3解析：选A ．如图，不妨设点B 在y 轴的正半轴上，根据椭圆的定义，得|BF 1|＋|BF 2|＝2a ，|AF 1|＋|AF 2|＝2a ，由题意知|AB |＝|AF 2|，所以|BF 1|＝|BF 2|＝a ，|AF 1|＝a 2，|AF 2|＝3a2.所以|AF 1||AF 2|＝13.故选A ．5．已知F 是抛物线x 2＝4y 的焦点，直线y ＝kx －1与该抛物线在第一象限内交于点A ，B ，若|AF |＝3|FB |，则k 的值是( )A ． 3B ．32C ．33D ．233解析：选D ．显然k ＞0.抛物线的准线l ：y ＝－1，设其与y 轴交于点F ′，则直线y ＝kx －1过点F ′.分别过点A ，B 作l 的垂线，垂足分别为A ′，B ′，根据抛物线定义，得|AF |＝|AA ′|，|BF |＝|BB ′|，根据已知，得|AF ||BF |＝|AA ′||BB ′|＝3.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|F ′A ′||F ′B ′|＝x 1x 2＝|AA ′||BB ′|＝3，即x 1＝3x 2①.联立抛物线方程与已知直线方程，消元得x 2－4kx ＋4＝0，则x 1＋x 2＝4k ②，由①②得x 1＝3k ，x 2＝k ，又x 1x 2＝4，所以3k ·k ＝4，即k 2＝43，解得k ＝233(负值舍去)．6．(2019·湖南湘东六校联考)已知椭圆Γ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的长轴长是短轴长的2倍，过右焦点F 且斜率为k (k >0)的直线与Γ相交于A ，B 两点．若AF →＝3FB →，则k ＝( )A ．1B ．2C ． 3D ． 2解析：选D ．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，因为AF →＝3FB →，所以y 1＝－3y 2.因为椭圆Γ的长轴长是短轴长的2倍，所以a ＝2b ，设b ＝t ，则a ＝2t ，故c ＝3t ，所以x 24t 2＋y 2t2＝1.设直线AB的方程为x ＝sy ＋3t ，代入上述椭圆方程，得(s 2＋4)y 2＋23sty －t 2＝0，所以y 1＋y 2＝－23st s 2＋4，y 1y 2＝－t 2s 2＋4，即－2y 2＝－23st s 2＋4，－3y 22＝－t 2s 2＋4，得s 2＝12，k ＝2，故选D ．二、填空题7．已知P (1，3)是双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)渐近线上的点，则双曲线C 的离心率是________．解析：双曲线C 的一条渐近线的方程为y ＝b a x ，P (1，3)是双曲线C 渐近线上的点，则b a＝3，所以离心率e ＝ca＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2a2＝2. 答案：28．(2019·高考全国卷Ⅲ)设F 1，F 2为椭圆C ：x 236＋y 220＝1的两个焦点，M 为C 上一点且在第一象限．若△MF 1F 2为等腰三角形，则M 的坐标为________．解析：不妨令F 1，F 2分别为椭圆C 的左、右焦点，根据题意可知c ＝36－20＝4.因为△MF 1F 2为等腰三角形，所以易知|F 1M |＝2c ＝8，所以|F 2M |＝2a －8＝4.设M (x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x 236＋y 220＝1，|F 1M |2＝(x ＋4)2＋y 2＝64，x >0，y >0，得⎩⎨⎧x ＝3，y ＝15，所以M 的坐标为(3，15)．答案：(3，15)9．(2019·洛阳尖子生第二次联考)过抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线与抛物线C 交于A ，B 两点，且AF →＝3FB →，抛物线C 的准线l 与x 轴交于点E ，AA 1⊥l 于点A 1，若四边形AA 1EF 的面积为63，则p ＝________．解析：不妨设点A 在第一象限，如图，作BB 1⊥l 于点B 1，设直线AB 与l 的交点为D ，由抛物线的定义及性质可知|AA 1|＝|AF |，|BB 1|＝|BF |，|EF |＝p .设|BD |＝m ，|BF |＝n ，则|BD ||AD |＝|BB 1||AA 1|＝|BF ||AF |＝13，即m m ＋4n ＝13，所以m ＝2n .又|BB 1||EF |＝|BD ||DF |，所以n p ＝m m ＋n ＝23，所以n ＝2p3，因为|DF |＝m ＋n ＝2p ，所以∠ADA 1＝30°.又|AA 1|＝3n ＝2p ，|EF |＝p ，所以|A 1D |＝23p ，|ED |＝3p ，所以|A 1E |＝3p ，所以直角梯形AA 1EF 的面积为12(2p ＋p )·3p ＝63，解得p ＝2.答案：2 三、解答题10．(2019·高考天津卷)设椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，上顶点为B .已知椭圆的短轴长为4，离心率为55. (1)求椭圆的方程；(2)设点P 在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点M 为直线PB 与x 轴的交点，点N 在y 轴的负半轴上，若|ON |＝|OF |(O 为原点)，且OP ⊥MN ，求直线PB 的斜率．解：(1)设椭圆的半焦距为c ，依题意，2b ＝4，c a ＝55，又a 2＝b 2＋c 2，可得a ＝5，b ＝2，c ＝1. 所以，椭圆的方程为x 25＋y 24＝1.(2)由题意，设P (x p ，y p )(x p ≠0)，M (x M ，0)．设直线PB 的斜率为k (k ≠0)，又B (0，2)，则直线PB 的方程为y ＝kx ＋2，与椭圆方程联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，x 25＋y 24＝1，整理得(4＋5k 2)x 2＋20kx ＝0，可得x p ＝－20k4＋5k2，代入y ＝kx ＋2得y p ＝8－10k24＋5k2，进而直线OP 的斜率为y p x p ＝4－5k 2－10k.在y ＝kx ＋2中，令y ＝0，得x M ＝－2k.由题意得N (0，－1)，所以直线MN 的斜率为－k2.由OP ⊥MN ，得4－5k 2－10k ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－k 2＝－1，化简得k 2＝245，从而k ＝±2305.所以，直线PB 的斜率为2305或－2305.11．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，短轴长为2.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆C 交于M ，N 两点，O 为坐标原点，若k OM ·k ON ＝54，求原点O 到直线l 的距离的取值范围．解：(1)由题知e ＝c a ＝32，2b ＝2，又a 2＝b 2＋c 2，所以b ＝1，a ＝2，所以椭圆C 的标准方程为x 24＋y 2＝1.(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y 2＝1，得(4k 2＋1)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0，依题意，Δ＝(8km )2－4(4k 2＋1)(4m 2－4)＞0，化简得m 2＜4k 2＋1，① x 1＋x 2＝－8km 4k 2＋1，x 1x 2＝4m 2－44k 2＋1，y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2，若k OM ·k ON ＝54，则y 1y 2x 1x 2＝54，即4y 1y 2＝5x 1x 2，所以4k 2x 1x 2＋4km (x 1＋x 2)＋4m 2＝5x 1x 2，所以(4k 2－5)·4(m 2－1)4k 2＋1＋4km ·(－8km 4k 2＋1)＋4m 2＝0，即(4k 2－5)(m 2－1)－8k 2m 2＋m 2(4k 2＋1)＝0，化简得m 2＋k 2＝54，②由①②得0≤m 2＜65，120＜k 2≤54，因为原点O 到直线l 的距离d ＝|m |1＋k2，所以d 2＝m 21＋k 2＝54－k 21＋k 2＝－1＋94(1＋k 2)，又120＜k 2≤54，所以0≤d 2＜87，所以原点O 到直线l 的距离的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，2147.12．(2019·成都市第二次诊断性检测)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的短轴长为42，离心率为13.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设椭圆C 的左、右焦点分别为F 1，F 2，左、右顶点分别为A ，B ，点M ，N 为椭圆C 上位于x 轴上方的两点，且F 1M ∥F 2N ，直线F 1M 的斜率为26，记直线AM ，BN 的斜率分别为k 1，k 2，求3k 1＋2k 2的值．解：(1)由题意，得2b ＝42，c a ＝13.又a 2－c 2＝b 2，所以a ＝3，b ＝22，c ＝1. 所以椭圆C 的标准方程为x 29＋y 28＝1.(2)由(1)可知A (－3，0)，B (3，0)，F 1(－1，0)．据题意，直线F 1M 的方程为y ＝26(x ＋1)．记直线F 1M 与椭圆C 的另一个交点为M ′.设M (x 1，y 1)(y 1>0)，M ′(x 2，y 2)．因为F 1M ∥F 2N ，所以根据对称性，得N (－x 2，－y 2)．联立⎩⎨⎧8x 2＋9y 2＝72y ＝26(x ＋1)，消去y ，得14x 2＋27x ＋9＝0.由题意知x 1>x 2，所以x 1＝－37，x 2＝－32，k 1＝y 1x 1＋3＝26(x 1＋1)x 1＋3＝469，k 2＝－y 2－x 2－3＝26(x 2＋1)x 2＋3＝－263，所以3k 1＋2k 2＝3×469＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－263＝0，即3k 1＋2k 2的值为0.第3讲圆锥曲线中的最值、范围、证明问题1．已知F 为椭圆C ：x 24＋y 23＝1的右焦点，M 为C 上的任意一点．(1)求|MF |的取值范围；(2)P ，N 是C 上异于M 的两点，若直线PM 与直线PN 的斜率之积为－34，证明：M ，N 两点的横坐标之和为常数．解：(1)依题意得a ＝2，b ＝3，所以c ＝ a 2－b 2＝1，所以椭圆C 的右焦点F 的坐标为(1，0)，设椭圆C 上的任意一点M 的坐标为(x M ，y M )，则x 2M 4＋y 2M3＝1，所以|MF |2＝(x M －1)2＋y 2M ＝(x M －1)2＋3－34x 2M＝14x 2M －2x M ＋4＝14(x M －4)2，又－2≤x M ≤2，所以1≤|MF |2≤9，所以1≤|MF |≤3，所以|MF |的取值范围为[1，3]．(2)证明：设P ，M ，N 三点的坐标分别为(x P ，y P )，(x M ，y M )，(x N ，y N )，设直线PM ，PN 的斜率分别为k 1，k 2，则直线PM 的方程为y －y P ＝k 1(x －x P )，联立方程，得⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y －y P ＝k 1(x －x P )，消去y ，得(3＋4k 21)x 2－8k 1(k 1x P －y P )x ＋4k 21x 2P －8k 1x P y P ＋4y 2P －12＝0，由根与系数的关系可得x M ＋x P ＝8k 1(k 1x P －y P )3＋4k 21，所以x M ＝8k 1(k 1x P －y P )3＋4k 21－x P ＝4k 21x P －8k 1y P －3x P3＋4k 21，同理可得x N ＋x P ＝8k 2(k 2x P －y P )3＋4k 22，又k 1·k 2＝－34，故x N ＋x P ＝8k 2(k 2x P －y P )3＋4k 22＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫－34k 1⎝ ⎛⎭⎪⎫－34k 1x P －y P 3＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫－34k 12＝6x P ＋8k 1y P4k 21＋3，则x N ＝6x P ＋8k 1y P 4k 21＋3－x P ＝－4k 21x P －8k 1y P －3x P3＋4k 21＝－x M ，从而x N ＋x M ＝0，即M ，N 两点的横坐标之和为常数．2．(2019·郑州市第二次质量预测)椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，A为椭圆上一动点(异于左、右顶点)，△AF 1F 2的周长为4＋23，且面积的最大值为 3.(1)求椭圆C 的方程；(2)设B 是椭圆上一动点，线段AB 的中点为P ，OA ，OB (O 为坐标原点)的斜率分别为k 1，k 2，且k 1k 2＝－14，求|OP |的取值范围．解：(1)由椭圆的定义及△AF 1F 2的周长为4＋23，可得2(a ＋c )＝4＋23，所以a ＋c ＝2＋3①.当A 在上(或下)顶点时，△AF 1F 2的面积取得最大值，即bc ＝3②，由①②及a 2＝c 2＋b 2，得a ＝2，b ＝1，c ＝3，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)当直线AB 的斜率不存在时，k 1＝－k 2，因为k 1k 2＝－14，所以k 1＝±12，不妨取k 1＝12，则直线OA 的方程为y ＝12x ，不妨取点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，22，则B ⎝⎛⎭⎪⎫2，－22，P (2，0)，所以|OP |＝ 2. 当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y ＝kx ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋mx 2＋4y 2＝4可得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0，Δ＝64k 2m 2－4(4k 2＋1)(4m 2－4)＝16(4k 2＋1－m 2)>0①，所以x 1＋x 2＝－8km 1＋4k 2，x 1x 2＝4m 2－41＋4k 2.因为k 1k 2＝－14，所以4y 1y 2＋x 1x 2＝0，所以4(kx 1＋m )(kx 2＋m )＋x 1x 2＝(4k 2＋1)x 1x 2＋4km (x 1＋x 2)＋4m 2＝4m 2－4－32k 2m 21＋4k2＋4m 2＝0，化简得2m 2＝1＋4k 2(满足①式)，所以m 2≥12.设P (x 0，y 0)，则x 0＝x 1＋x 22＝－4km 1＋4k 2＝－2k m ，y 0＝kx 0＋m ＝12m. 所以|OP |2＝x 20＋y 20＝4k2m2＋14m 2＝2－34m 2∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，2，所以|OP |∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，2.综上，|OP |的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，2. 3．(2019·长春模拟)已知椭圆D ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为e ＝22，点(－2，1)在椭圆D 上．(1)求椭圆D 的方程；(2)过椭圆D 内一点P (0，t )的直线l 的斜率为k ，且与椭圆D 交于M ，N 两点，设直线OM ，ON (O 为坐标原点)的斜率分别为k 1，k 2，若对任意k ，存在实数λ，使得k 1＋k 2＝λk ，求实数λ的取值范围．解：(1)椭圆D 的离心率e ＝a 2－b 2a ＝22，所以a ＝2b ，又点(－2，1)在椭圆D 上，所以2a 2＋1b 2＝1，得a ＝2，b ＝2，所以椭圆D 的方程为x 24＋y 22＝1.(2)由题意得，直线l 的方程为y ＝kx ＋t .由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 22＝1y ＝kx ＋t，消元可得(2k 2＋1)x 2＋4ktx ＋2t 2－4＝0. 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－4kt 2k 2＋1，x 1x 2＝2t 2－42k 2＋1，k 1＋k 2＝y 1x 1＋y 2x 2＝kx 1＋t x 1＋kx 2＋t x 2＝2k ＋t (x 1＋x 2)x 1x 2＝2k ＋t ·－4kt 2k 2＋1·2k 2＋12t 2－4＝－4kt 2－2.由k 1＋k 2＝λk ，得－4kt 2－2＝λk ，因为此等式对任意的k 都成立，所以－4t 2－2＝λ，即t 2＝2－4λ.因为点P (0，t )在椭圆内，所以0≤t 2<2，即0≤2－4λ<2，解得λ≥2.所以实数λ的取值范围是[2，＋∞)．4．(2019·重庆七校联考)椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为12，其左焦点到点P (2，1)的距离为10.不经过原点O 的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，且线段AB 被直线OP 平分．(1)求椭圆C 的方程；(2)求△ABP 的面积取最大值时，直线l 的方程．解：(1)依题意知，e ＝c a ＝12，左焦点(－c ，0)到点P (2，1)的距离d 0＝(2＋c )2＋12＝10，得a 2＝4，c 2＝1，所以b 2＝3，故椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)易得直线OP 的方程为y ＝12x ，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 的中点R (x 0，y 0)(y 0≠0)，其中y 0＝12x 0.因为A ，B 在椭圆C 上，所以x 214＋y 213＝1，x 224＋y 223＝1，两式相减得x 224－x 214＋y 223－y 213＝0，即(x 2－x 1)·2x 04＋(y 2－y 1)·2y 03＝0，故k AB ＝y 2－y 1x 2－x 1＝－34·x 0y 0＝－32. 由题意可设直线l 的方程为y ＝－32x ＋m (m ≠0)，代入x 24＋y 23＝1中，消去y 并整理得3x2－3mx ＋m 2－3＝0，由Δ＝(3m )2－4×3(m 2－3)＝3(12－m 2)>0，得－23<m <23且m ≠0. 由根与系数的关系，得x 1＋x 2＝m ，x 1x 2＝m 2－33，所以|AB |＝1＋94|x 1－x 2| ＝132(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝39612－m 2. 又点P (2，1)到直线l 的距离d ＝|8－2m |13＝2|4－m |13，所以△ABP 的面积S △ABP ＝12·|AB |·d ＝36(4－m )2(12－m 2)，其中－23<m <23且m ≠0.令f (m )＝(4－m )2(12－m 2)(－23<m <23且m ≠0)，则f ′(m )＝－4(m －4)(m 2－2m －6)＝－4(m －4)(m －1－7)(m －1＋7)，令f ′(m )＝0，得m ＝1－7(4和1＋7不满足－23<m <23且m ≠0，舍去)，当m ∈(－23，1－7)时，f ′(m )>0，当m ∈(1－7，23)且m ≠0时，f ′(m )<0，所以当m ＝1－7时，S △ABP 取得最大值，此时直线l 的方程为3x ＋2y ＋27－2＝0.第4讲圆锥曲线中的定点、定值、存在性问题1．(2019·安徽省考试试题)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的上顶点为P ，右顶点为Q ，直线PQ 与圆x 2＋y 2＝45相切于点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫25，45.(1)求椭圆C 的方程；(2)若不经过点P 的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，且PA →·PB →＝0，求证：直线l 过定点．解：(1)由已知得直线OM (O 为坐标原点)的斜率k OM ＝2，则直线PQ 的斜率k PQ ＝－1k OM ＝－12，所以直线PQ 的方程为y －45＝－12⎝ ⎛⎭⎪⎫x －25，即x ＋2y ＝2.可求得P (0，1)，Q (2，0)，故a＝2，b ＝1，故椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)证明：当直线l 的斜率不存在时，显然不满足条件．当直线l 的斜率存在时，设l 的方程为y ＝kx ＋n (n ≠1)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1y ＝kx ＋n，消去y 整理得(4k 2＋1)x 2＋8knx ＋4(n 2－1)＝0， Δ＝(8kn )2－4×4(4k 2＋1)(n 2－1)＝16(4k 2＋1－n 2)>0，得4k 2＋1>n 2.①设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8kn 4k 2＋1，x 1x 2＝4(n 2－1)4k 2＋1.②由PA →·PB →＝0，得(x 1，y 1－1)·(x 2，y 2－1)＝0，又y 1＝kx 1＋n ，y 2＝kx 2＋n ，所以(k 2＋1)x 1x 2＋k (n －1)(x 1＋x 2)＋(n －1)2＝0，③ 由②③得n ＝1(舍)，或n ＝－35，满足①.此时l 的方程为y ＝kx －35，故直线l 过定点⎝⎛⎭⎪⎫0，－35. 2．(2019·南昌市第一次模拟测试)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为12，P 是C 上的一个动点，且△F 1PF 2面积的最大值为4 3.(1)求C 的方程；(2)设C 的左、右顶点分别为A ，B ，若直线PA ，PB 分别交直线x ＝2于M ，N 两点，过点F 1作以MN 为直径的圆的切线，证明：切线长为定值，并求该定值．解：(1)设P (x 0，y 0)，椭圆的半焦距为c . 因为S △F 1PF 2＝12|F 1F 2|·|y 0|≤12·2c ·b ＝bc ，所以bc ＝4 3.又e ＝c a ＝12，a 2＝b 2＋c 2，所以a ＝4，b ＝23，c ＝2，所以C 的方程为x 216＋y 212＝1.(2)由(1)可知A (－4，0)，B (4，0)，F 1(－2，0)．由题可知，x 0≠2，且x 0≠±4.设直线PA ，PB 的斜率分别为k 1，k 2，则直线PA 的方程为y ＝k 1(x ＋4)，令x ＝2得y ＝6k 1，故M (2，6k 1)．直线PB 的方程为y ＝k 2(x －4)，令x ＝2得y ＝－2k 2，故N (2，－2k 2)．记以MN 为直径的圆为圆D ，则D (2，3k 1－k 2)．如图，过点F 1作圆D 的一条切线，切点为T ，连接F 1D ，DT ，则|F 1T |2＝|F 1D |2－|DT |2，所以|F 1T |2＝16＋(3k 1－k 2)2－(3k 1＋k 2)2＝16－12k 1k 2，又k 1＝y 0x 0＋4，k 2＝y 0x 0－4，所以k 1·k 2＝y 0x 0＋4·y 0x 0－4＝y 20x 20－16，由x 2016＋y 2012＝1，得y 20＝－34(x 20－16)，所以k 1·k 2＝－34，则|F 1T |2＝16－12k 1k 2＝16－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－34＝25，所以|F 1T |＝5. 故切线长为定值5.3．(2019·广州市调研测试)已知动圆C 过定点F (1，0)，且与定直线x ＝－1相切． (1)求动圆圆心C 的轨迹E 的方程；(2)过点M (－2，0)的任一条直线l 与轨迹E 交于不同的两点P ，Q ，试探究在x 轴上是否存在定点N (异于点M )，使得∠QNM ＋∠PNM ＝π？若存在，求点N 的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)法一：依题意知，动圆圆心C 到定点F (1，0)的距离，与到定直线x ＝－1的距离相等，由抛物线的定义，可得动圆圆心C 的轨迹E 是以F (1，0)为焦点，x ＝－1为准线的抛物线，其中p ＝2.所以动圆圆心C 的轨迹E 的方程为y 2＝4x .法二：设动圆圆心C (x ，y )，依题意得(x －1)2＋y 2＝|x ＋1|，化简得y 2＝4x ，即为动圆圆心C 的轨迹E 的方程．(2)假设存在点N (x 0，0)满足题设条件．由∠QNM ＋∠PNM ＝π可知，直线PN 与QN 的斜率互为相反数，即k PN ＋k QN ＝0.①易知直线PQ 的斜率必存在且不为0，设直线PQ ：x ＝my －2，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x x ＝my －2，得y 2－4my ＋8＝0.由Δ＝(－4m )2－4×8>0，得m >2或m <－ 2. 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝8. 由①得k PN ＋k QN ＝y 1x 1－x 0＋y 2x 2－x 0＝y 1(x 2－x 0)＋y 2(x 1－x 0)(x 1－x 0)(x 2－x 0)＝0，所以y 1(x 2－x 0)＋y 2(x 1－x 0)＝0，即y 1x 2＋y 2x 1－x 0(y 1＋y 2)＝0. 消去x 1，x 2，得14y 1y 22＋14y 2y 21－x 0(y 1＋y 2)＝0，即14y 1y 2(y 1＋y 2)－x 0(y 1＋y 2)＝0. 因为y 1＋y 2≠0，所以x 0＝14y 1y 2＝2，所以存在点N (2，0)，使得∠QNM ＋∠PNM ＝π.4．(2019·福州市质量检测)已知抛物线C 1：x 2＝2py (p ＞0)和圆C 2：(x ＋1)2＋y 2＝2，倾斜角为45°的直线l 1过C 1的焦点，且l 1与C 2相切．(1)求p 的值；(2)动点M 在C 1的准线上，动点A 在C 1上，若C 1在A 点处的切线l 2交y 轴于点B ，设MN →＝MA →＋MB →，求证：点N 在定直线上，并求该定直线的方程．解：(1)依题意，设直线l 1的方程为y ＝x ＋p2，因为直线l 1与圆C 2相切，所以圆心C 2(－1，0)到直线l 1：y ＝x ＋p2的距离d ＝|－1＋p 2|12＋(－1)2＝2，即|－1＋p2|2＝2，解得p ＝6或p ＝－2(舍去)．所以p ＝6.(2)法一：依题意设M (m ，－3)，由(1)知抛物线C 1的方程为x 2＝12y ，所以y ＝x 212，所以y ′＝x6，设A (x 1，y 1)，则以A 为切点的切线l 2的斜率为k ＝x 16，所以切线l 2的方程为y ＝16x 1(x －x 1)＋y 1.令x ＝0，则y ＝－16x 21＋y 1＝－16×12y 1＋y 1＝－y 1，即B 点的坐标为(0，－y 1)，所以MA →＝(x 1－m ，y 1＋3)，MB →＝(－m ，－y 1＋3)，所以MN →＝MA →＋MB →＝(x 1－2m ，6)，所以ON →＝OM →＋MN →＝(x 1－m ，3)，设N 点坐标为(x ，y )，则y ＝3，所以点N 在定直线y ＝3上．法二：设M (m ，－3)，由(1)知抛物线C 1的方程为x 2＝12y ，①设l 2的斜率为k ，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1，112x 21，则以A 为切点的切线l 2的方程为y ＝k (x －x 1)＋112x 21，② 联立①②得，x 2＝12[k (x －x 1)＋112x 21]，因为Δ＝144k 2－48kx 1＋4x 21＝0，所以k ＝x 16，所以切线l 2的方程为y ＝16x 1(x －x 1)＋112x 21，令x ＝0，得B 点坐标为(0，－112x 21)，所以MA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1－m ，112x 21＋3，MB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－m ，－112x 21＋3，所以MN →＝MA →＋MB →＝(x 1－2m ，6)，所以ON →＝OM →＋MN →＝(x 1－m ，3)，所以点N 在定直线y ＝3上．。

2020届高三数学二轮复习解析几何专题检测试题(五) 理北师大版.doc

专题检测(五) 解析几何(本卷满分150分，考试用时120分钟)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共计60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．过点(－2,0)且垂直于直线x －2y ＋3＝0的直线方程为 A ．2x ＋y ＋4＝0 B ．－2x ＋y －4＝0 C ．x －2y ＋2＝0D ．－x ＋2y －2＝0解析易知所求直线的斜率为－2，所以方程为y －0＝－2(x ＋2)，即2x ＋y ＋4＝0. 答案 A2．(2011·中山模拟)若抛物线y 2＝2px 的焦点与椭圆x 26＋y 22＝1的右焦点重合，则p 的值为A ．－2B ．2C ．－4D ．4解析据题意p2＝2，∴p ＝4.答案 D3．下列曲线中离心率为62的是 A.x 24＋y 22＝1 B.x 24－y 22＝1 C.x 24＋y 210＝1D.x 24－y 210＝1 解析选项A 、B 、C 、D 中曲线的离心率分别是22、62、155、142. 答案 B4．已知抛物线C ：y 2＝x 与直线l ：y ＝kx ＋1，“k ≠0”是“直线l 与抛物线C 有两个不同的交点”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝x y ＝kx ＋1得ky 2－y ＋1＝0，当k ≠0时，Δ＝1－4k ＞0，得k ＜14.即若直线l 与抛物线C 有两个不同的交点，则k ＜14且k ≠0，故选D.答案 D5．已知圆C 与直线x －y ＝0及x －y －4＝0都相切，圆心在直线x ＋y ＝0上，则圆C 的方程为A ．(x ＋1)2＋(y －1)2＝2 B ．(x －1)2＋(y ＋1)2＝2 C ．(x －1)2＋(y －1)2＝2D ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2解析设圆心坐标为(a ，－a )，∴r ＝|2a |2＝|2a －4|2，解得a ＝1，∴r ＝2，故所求的方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝2. 答案 B6．若曲线x 2＋y 2＋2x －6y ＋1＝0上相异两点P 、Q 关于直线kx ＋2y －4＝0对称，则k 的值为A ．1B ．－1 C.12D ．2解析曲线方程可化为(x ＋1)2＋(y －3)2＝9，由题设知直线过圆心，即k ×(－1)＋2×3－4＝0，∴k ＝2.故选D. 答案 D7．已知椭圆x 24＋y 23＝1的两个焦点分别为F 1，F 2，P 为椭圆上一点，满足∠F 1PF 2＝30°，则△F 1PF 2的面积为A ．3(2＋3)B ．3(2－3)C ．2＋ 3D ．2－ 3解析由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝4，|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|·cos 30° ＝|F 1F 2|2＝4，所以|PF 1|·|PF 2|＝12(2－3)，所以S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|·sin 30°＝3(2－3)．答案 B8．直线ax －y ＋2a ＝0(a ≥0)与圆x 2＋y 2＝9的位置关系是 A ．相离 B ．相交 C ．相切D ．不确定解析圆x 2＋y 2＝9的圆心为(0,0)，半径为3. 由点到直线的距离公式d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B2得该圆圆心(0,0)到直线ax －y ＋2a ＝0的距离d ＝2aa 2＋－12＝2aa 2＋12，由基本不等式可以知道2a ≤a 2＋12，从而d ＝2aa 2＋12≤1＜r＝3，故直线ax －y ＋2a ＝0与圆x 2＋y 2＝9的位置关系是相交．答案 B9．(2011·大纲全国卷)已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，直线y ＝2x －4与C 交于A ，B 两点，则cos ∠AFB ＝A.45 B.35 C ．－35D ．－45解析解法一由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －4，y 2＝4x ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝4.令B (1，－2)，A (4,4)，又F (1,0)，∴由两点间距离公式得|BF |＝2，|AF |＝5，|AB |＝3 5.∴cos ∠AFB ＝|BF |2＋|AF |2－|AB |22|BF |·|AF |＝4＋25－452×2×5＝－45.解法二由解法一得A (4,4)，B (1，－2)，F (1,0)， ∴FA →＝(3,4)，FB →＝(0，－2)， ∴|FA →|＝32＋42＝5，|FB →|＝2.∴cos ∠AFB ＝FA →·FB →|FA →|·|FB →|＝3×0＋4×－25×2＝－45.答案 D10．已知椭圆x 23m 2＋y 25n 2＝1和双曲线x 22m 2－y 23n2＝1有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程是A ．x ＝±152yB ．y ＝±152x C ．x ＝±34yD ．y ＝±34x 解析由双曲线方程判断出公共焦点在x 轴上， ∴椭圆的右焦点(3m 2－5n 2，0)，双曲线的右焦点(2m 2＋3n 2，0)， ∴3m 2－5n 2＝2m 2＋3n 2，∴m 2＝8n 2，即|m |＝22|n |， ∴双曲线的渐近线为y ＝±3·|n |2·|m |x ＝±34x ，即y ＝±34x . 答案 D11．(2010·课标全国卷)已知双曲线E 的中心为原点，F (3,0)是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为N (－12，－15)，则E 的方程为A.x 23－y 26＝1B.x 24－y 25＝1C.x 26－y 23＝1D.x 25－y 24＝1 解析 ∵k AB ＝0＋153＋12＝1，∴直线AB 的方程为y ＝x －3.由于双曲线的焦点为F (3,0)，∴c ＝3，c 2＝9.设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，则x 2a 2－x －32b 2＝1.整理，得(b 2－a 2)x 2＋6a 2x －9a 2－a 2b 2＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝6a 2a 2－b 2＝2×(－12)，∴a 2＝－4a 2＋4b 2，∴5a 2＝4b 2.又a 2＋b 2＝9，∴a 2＝4，b 2＝5. ∴双曲线E 的方程为x 24－y 25＝1.答案 B12．如图所示，F 1和F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的两个焦点，A 和B 是以O 为圆心，以|OF 1|为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△F 2AB 是等边三角形，则离心率为A.3＋12B.3－1C.3－12D.3＋1解析设F 2(c,0)，则圆O 的方程是x 2＋y 2＝c 2.与双曲线方程联立，消掉y 得x 2a 2－c 2－x 2b2＝1，解得x ＝－a b 2＋c 2c(舍去正值)．由于O 是正三角形F 2AB 的外接圆的圆心，也是其重心，故F 2到直线AB 的距离等于32|OF 2|＝3c2，即c ＋a b 2＋c 2c ＝3c 2，即2a b 2＋c 2＝c 2.将b 2＝c 2－a 2代入上式，并平方得4a 2(2c 2－a 2)＝c 4，整理，得c 4－8a 2c 2＋4a 4＝0，两端同时除以a 4，得e 4－8e 2＋4＝0. 解方程得e 2＝4±23，由于e 2＞1，故e 2＝4＋23，所以e ＝3＋1. 答案 D二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共计16分．把答案填在题中的横线上)13．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝2x 2上一点M ，点M 的横坐标是2，则M 到抛物线焦点的距离是________．解析因为点M 的横坐标是2，故其纵坐标为8，又p 2＝18，所以M 到抛物线焦点的距离为8＋18＝658.答案65814．点P 为双曲线x 24－y 2＝1上一动点，O 为坐标原点，M 为线段OP 中点，则点M 的轨迹方程是________．解析设P (x 0，y 0)，M (x ，y )，则x 0＝2x ，y 0＝2y ，代入双曲线方程得x 2－4y 2＝1. 答案 x 2－4y 2＝115．已知椭圆的中心在原点，离心率e ＝32，且它的一个焦点与抛物线x 2＝－43y 的焦点重合，则此椭圆的方程为________．解析抛物线的焦点为(0，－3)，椭圆的中心在原点，则所求椭圆的一个焦点为(0，－3)，半焦距c ＝3，又离心率e ＝c a ＝32，所以a ＝2，b ＝1，故所求椭圆的方程为x 2＋y 24＝1.答案 x 2＋y 24＝116．已知a ＝(6,2)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－4，12，直线l 过点A (3，－1)，且与向量a ＋2b 垂直，则直线l 的一般方程是________．解析 ∵a ＋2b ＝(6,2)＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫－4，12＝(－2,3)， ∴与向量a ＋2b 平行的直线的斜率为－32，又l 与向量a ＋2b 垂直，∴l 的斜率k ＝23.又l 过点A (3，－1)，∴直线l 的方程为y ＋1＝23(x －3)，化成一般式为2x －3y －9＝0. 答案 2x －3y －9＝0三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(12分)(2011·福建)如图，直线l ：y ＝x ＋b 与抛物线C ：x 2＝4y 相切于点A .(1)求实数b 的值；(2)求以点A 为圆心，且与抛物线C 的准线相切的圆的方程．解析 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋b ，x 2＝4y 得x 2－4x －4b ＝0.(*)因为直线l 与抛物线C 相切，所以Δ＝(－4)2－4×(－4b )＝0，解得b ＝－1. (2)由(1)可知b ＝－1，故方程(*)即为x 2－4x ＋4＝0，解得x ＝2.将其代入x 2＝4y ，得y ＝1. 故点A (2,1)．因为圆A 与抛物线C 的准线相切，所以圆A 的半径r 等于圆心A 到抛物线的准线y ＝－1的距离，即r ＝|1－(－1)|＝2，所以圆A 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4.18．(12分)(2011·安徽)设直线l 1：y ＝k 1x ＋1，l 2：y ＝k 2x －1，其中实数k 1，k 2满足k 1k 2＋2＝0.(1)证明：l 1与l 2相交；(2)证明：l 1与l 2的交点在椭圆2x 2＋y 2＝1上．证明 (1)假设l 1与l 2不相交，则l 1与l 2平行，有k 1＝k 2，代入k 1k 2＋2＝0，得k 21＋2＝0，这与k 1为实数的事实相矛盾，从而k 1≠k 2，即l 1与l 2相交．(2)解法一由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1x ＋1，y ＝k 2x －1解得交点P 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2k 2－k 1，k 2＋k 1k 2－k 1，而2x 2＋y 2＝2⎝⎛⎭⎪⎫2k 2－k 12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2＋k 1k 2－k 12＝8＋k 22＋k 21＋2k 1k 2k 22＋k 21－2k 1k 2＝k 21＋k 22＋4k 21＋k 22＋4＝1.此即表明交点P (x ，y )在椭圆2x 2＋y 2＝1上．解法二交点P 的坐标(x ，y )满足⎩⎪⎨⎪⎧y －1＝k 1x ，y ＋1＝k 2x .故知x ≠0.从而⎩⎪⎨⎪⎧k 1＝y －1x ，k 2＝y ＋1x .代入k 1k 2＋2＝0，得y －1x ·y ＋1x＋2＝0. 整理后，得2x 2＋y 2＝1，所以交点P 在椭圆2x 2＋y 2＝1上．19．(12分)(2011·开封模拟)如图所示，已知圆O ：x 2＋y 2＝4，直线m ：kx －y ＋1＝0.(1)求证：直线m 与圆O 有两个相异交点；(2)设直线m 与圆O 的两个交点为A 、B ，求△AOB 面积S 的最大值．解析 (1)证明直线m ：kx －y ＋1＝0可化为y －1＝kx ，故该直线恒过点(0,1)，而(0,1)在圆O ：x 2＋y 2＝4内部，所以直线m 与圆O 恒有两个不同交点． (2)圆心O 到直线m 的距离为d ＝11＋k2，而圆O 的半径r ＝2，故弦AB 的长为|AB |＝2r 2－d 2＝24－d 2，故△AOB 面积S ＝12|AB |×d ＝12×24－d 2×d＝4d 2－d 4＝－d 2－22＋4.而d 2＝11＋k 2，因为1＋k 2≥1，所以d 2＝11＋k2∈(0,1]，显然当d 2∈(0,1]时，S 单调递增，所以当d 2＝1，即k ＝0时，S 取得最大值3，此时直线m 的方程为y －1＝0.20．(12分)已知圆C 的方程为x 2＋y 2＝4.(1)直线l 过点P (1,2)，且与圆C 交于A 、B 两点，若|AB |＝23，求直线l 的方程； (2)过圆C 上一动点M (不在x 轴上)作平行于x 轴的直线m ，设m 与y 轴的交点为N ，若向量OQ →＝OM →＋ON →，求动点Q 的轨迹方程，并说明此轨迹是什么曲线．解析 (1)当直线l 垂直于x 轴时，直线方程为x ＝1，l 与圆的两个交点坐标为(1，3)和(1，－3)，其距离为23，满足题意．若直线l 不垂直于x 轴，设其方程为y －2＝k (x －1)，即kx －y －k ＋2＝0.设圆心到此直线的距离为d ，则23＝24－d 2，得d ＝1. 所以|－k ＋2|k 2＋1＝1，解得k ＝34，故所求直线方程为3x －4y ＋5＝0.综上所述，所求直线方程为3x －4y ＋5＝0或x ＝1. (2)设点M 的坐标为(x 0，y 0)(y 0≠0)，Q 点坐标为(x ，y )，则N 点坐标是(0，y 0)．因为OQ →＝OM →＋ON →，所以(x ，y )＝(x 0,2y 0)，即x 0＝x ，y 0＝y2.又因为M 是圆C 上一点，所以x 20＋y 20＝4，所以x 2＋y 24＝4(y ≠0)，所以Q 点的轨迹方程是x 24＋y 216＝1(y ≠0)，这说明轨迹是中心在原点，焦点在y 轴，长轴为8、短轴为4的椭圆，除去短轴端点．21．(12分)(2011·上海)已知椭圆C ：x 2m2＋y 2＝1(常数m ＞1)，P 是曲线C 上的动点，M 是曲线C 的右顶点，定点A 的坐标为(2,0)．(1)若M 与A 重合，求曲线C 的焦点坐标； (2)若m ＝3，求|PA |的最大值与最小值；(3)若|PA |的最小值为|MA |，求实数m 的取值范围．解析 (1)由题意知m ＝2，椭圆方程为x 24＋y 2＝1，c ＝4－1＝3，∴左、右焦点坐标分别为(－3，0)，(3，0)． (2)m ＝3，椭圆方程为x 29＋y 2＝1，设P (x ，y )，则|PA |2＝(x －2)2＋y 2＝(x －2)2＋1－x 29＝89⎝ ⎛⎭⎪⎫x －942＋12(－3≤x ≤3)，∴当x ＝94时，|PA |min ＝22；当x ＝－3时，|PA |max ＝5. (3)设动点P (x ，y )，则|PA |2＝(x －2)2＋y 2＝(x －2)2＋1－x 2m 2＝m 2－1m 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2m 2m 2－12－4m 2m 2－1＋5(－m ≤x ≤m )．∵当x ＝m 时，|PA |取最小值，且m 2－1m2＞0，∴2m2m 2－1≥m 且m ＞1，解得1＜m ≤1＋ 2. 22．(14分)如图所示，曲线C 1是以原点O 为中心，F 1，F 2为焦点的椭圆的一部分，曲线C 2是以O 为顶点，F 2为焦点的抛物线的一部分，A 是曲线C 1和C 2的交点且∠AF 2F 1为钝角，若|AF 1|＝72，|AF 2|＝52，(1)求曲线C 1和C 2所在的椭圆和抛物线方程；(2)过F 2作一条与x 轴不垂直的直线，分别与曲线C 1、C 2依次交于B 、C 、D 、E 四点，若G 为CD 的中点，H 为BE 的中点，问|BE ||CD |·|GF 2||HF 2|是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由．解析 (1)解法一设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，则2a ＝|AF 1|＋|AF 2|＝72＋52＝6，得a ＝3.设A (x ，y )，F 1(－c,0)，F 2(c,0)，则(x ＋c )2＋y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫722，(x －c )2＋y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫522，两式相减，得xc ＝32，由抛物线定义可知|AF 2|＝x ＋c ＝52，则c ＝1，x ＝32或x ＝1，c ＝32(因∠AF 2F 1为钝角，故舍去)．所以椭圆方程为x 29＋y 28＝1，抛物线方程为y 2＝4x . 解法二设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，抛物线方程为y 2＝2px .如图所示，过F 1作垂直于x 轴的直线x ＝－c ，即抛物线的准线，过A 作AN 垂直于该准线于点N ，作AM ⊥x 轴于点M ，则由抛物线的定义，得|AF 2|＝|AN |，所以|AM |＝|AF 1|2－|F 1M |2＝|AF 1|2－|AN |2＝|AF 1|2－|AF 2|2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫722－⎝ ⎛⎭⎪⎫522＝ 6. |F 2M |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫522－6＝12，得|F 1F 2|＝52－12＝2，所以c ＝1.由p2＝c 得p ＝2.由2a ＝|AF 1|＋|AF 2|＝6，得a ＝3.b 2＝a 2－c 2＝8. 所以椭圆方程为x 29＋y 28＝1，抛物线方程为y 2＝4x .(2)设B (x 1，y 1)，E (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)，直线y ＝k (x －1)，由题意知k ≠0，代入x 29＋y 28＝1，得8⎝ ⎛⎭⎪⎫y k＋12＋9y 2－72＝0，即(8＋9k 2)y 2＋16ky －64k 2＝0，则y 1＋y 2＝－16k 8＋9k 2，y 1y 2＝－64k28＋9k 2.同理，将y ＝k (x －1)代入y 2＝4x ，得ky 2－4y －4k ＝0，则y 3＋y 4＝4k，y 3y 4＝－4.所以|BE |·|GF 2||CD |·|HF 2|＝|y 1－y 2||y 3－y 4|·12|y 3＋y 4|12|y 1＋y 2|＝y 1－y 22y 1＋y 22·y 3＋y 42y 3－y 42＝y 1＋y 22－4y 1y 2y 1＋y 22·y 3＋y 42y 3＋y 42－4y 3y 4＝16k28＋9k22＋4×64k28＋9k216k28＋9k22·⎝ ⎛⎭⎪⎫4k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫4k 2＋16＝3，为定值．。

2020高考数学(理科)二轮专题复习课标通用版跟踪检测：解析几何含答案 (2)

2020高考数学（理科）二轮专题复习课标通用版跟踪检测：解析几何含答案 (2)
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一部分专题5第3讲
题型
对应题号
1.圆锥曲线中的定点与定值问题
5,9,10
2.圆锥曲线中的最值与范围问题
1,2,3,4,6,7,8,11
因为点R(x0，y0)在椭圆C上，所以＋＝1，
所以k1k2＝＝＝－ .
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，所以|OP|＝ ·|x1|，
点Q到直线OP的距离d＝＝＝，又因为P，Q在椭圆C上，
所以
所以|x1|＝，|x2|＝，
所以△OPQ的面积S＝ |OP|·d＝ |x1|· ＝ |x1x2|·|k1－k2|＝ · · ＝3 ＝ .
答案3
8．已知抛物线y2＝4x，过焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，过A，B分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为C，D，则|AC|＋|BD|的最小值为________.
解析不妨设A(x1，y1)(y1>0)，B(x2，y2)(y2<0)．则|AC|＋|BD|＝y1＋x2＝y1＋ .又y1y2＝－p2＝－4.
4．(20xx·全国卷Ⅰ)设A，B是椭圆C：＋＝1长轴的两个端点．若C上存在点M满足∠AMB＝120°，则m的取值范围是( )
A．(0,1]∪[9，＋∞)
B．(0， ]∪[9，＋∞)
C．(0,1]∪[4，＋∞)
D．(0， ]∪[4，＋∞)
A解析若焦点在x轴上，依题意得0<m<3，且 ≥tan ＝，所以0<m<3且m≤1，则0<m≤1；若焦点在y轴上，依题意得m>3，且 ≥tan ＝，所以m≥9.综上，m的取值范围是(0,1]∪[9，＋∞)．故选A项．

高考数学二轮复习专题15 周期性、单调性、奇偶性、对称性的灵活运用(精讲精练)(解析版)

专题15周期性、单调性、奇偶性、对称性的灵活运用【命题规律】从近五年的高考情况来看，本节是高考的一个重点，函数的单调性、奇偶性、周期性是高考的必考内容，重点关注单调性、奇偶性结合在一起，与函数图像、函数零点和不等式相结合进行考查，解题时要充分运用转化思想和数形结合思想．【核心考点目录】核心考点一：函数单调性的综合应用核心考点二：函数的奇偶性的综合应用核心考点三：已知()f x =奇函数M +核心考点四：利用轴对称解决函数问题核心考点五：利用中心对称解决函数问题核心考点六：利用周期性和对称性解决函数问题核心考点七：类周期函数核心考点八：抽象函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性核心考点九：函数性质的综合【真题回归】1．（2022·全国·统考高考真题）已知函数()f x 的定义域为R ，且()()()(),(1)1f x y f x y f x f y f ++-==，则221()k f k ==∑（）A ．3-B ．2-C ．0D ．1【答案】A【解析】[方法一]：赋值加性质因为()()()()f x y f x y f x f y ++-=，令1,0x y ==可得，()()()2110f f f =，所以()02f =，令0x =可得，()()()2f y f y f y +-=，即()()f y f y =-，所以函数()f x 为偶函数，令1y =得，()()()()()111f x f x f x f f x ++-==，即有()()()21f x f x f x ++=+，从而可知()()21f x f x +=--，()()14f x f x -=--，故()()24f x f x +=-，即()()6f x f x =+，所以函数()f x 的一个周期为6．因为()()()210121f f f =-=-=-，()()()321112f f f =-=--=-，()()()4221f f f =-==-，()()()5111f f f =-==，()()602f f ==，所以一个周期内的()()()1260f f f +++= ．由于22除以6余4，所以()()()()()221123411213k f k f f f f ==+++=---=-∑．故选：A ．[方法二]：【最优解】构造特殊函数由()()()()f x y f x y f x f y ++-=，联想到余弦函数和差化积公式()()cos cos 2cos cos x y x y x y ++-=，可设()cos f x a x ω=，则由方法一中()()02,11f f ==知2,cos 1a a ω==，解得1cos 2ω=，取3πω=，所以()2cos3f x x π=，则()()()()2cos 2cos 4cos cos 333333f x y f x y x y x y x y f x f y ππππππ⎛⎫⎛⎫++-=++-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()2cos 3f x x π=符合条件，因此()f x 的周期263T ππ==，()()02,11f f ==，且()()()()()21,32,41,51,62f f f f f =-=-=-==，所以(1)(2)(3)(4)(5)(6)0f f f f f f +++++=，由于22除以6余4，所以()()()()()221123411213k f k f f f f ==+++=---=-∑．故选：A ．【整体点评】法一：利用赋值法求出函数的周期，即可解出，是该题的通性通法；2．（2022·全国·统考高考真题）已知函数(),()f x g x 的定义域均为R ，且()(2)5,()(4)7f x g x g x f x +-=--=．若()y g x =的图像关于直线2x =对称，(2)4g =，则()221k f k ==∑（）A ．21-B ．22-C ．23-D ．24-【答案】D【解析】因为()y g x =的图像关于直线2x =对称，所以()()22g x g x -=+，因为()(4)7g x f x --=，所以(2)(2)7g x f x +--=，即(2)7(2)g x f x +=+-，因为()(2)5f x g x +-=，所以()(2)5f x g x ++=，代入得[]()7(2)5f x f x ++-=，即()(2)2f x f x +-=-，所以()()()()35212510f f f +++=-⨯=- ，()()()()46222510f f f +++=-⨯=- ．因为()(2)5f x g x +-=，所以(0)(2)5f g +=，即()01f =，所以()(2)203f f =--=-．因为()(4)7g x f x --=，所以(4)()7g x f x +-=，又因为()(2)5f x g x +-=，联立得，()()2412g x g x -++=，所以()y g x =的图像关于点()3,6中心对称，因为函数()g x 的定义域为R ，所以()36g =因为()(2)5f x g x ++=，所以()()1531f g =-=-．所以()()()()()()()()221123521462213101024()k f f f f f f f f f k =+++++++++=----=-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦=∑ ．故选：D3．（多选题）（2022·全国·统考高考真题）已知函数()f x 及其导函数()f x '的定义域均为R ，记()()g x f x '=，若322f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，(2)g x +均为偶函数，则（）A ．(0)0f =B ．102g ⎛⎫-= ⎪⎝⎭C ．(1)(4)f f -=D ．(1)(2)g g -=【答案】BC【解析】[方法一]：对称性和周期性的关系研究对于()f x ，因为322f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭为偶函数，所以332222f x f x ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即3322f x f x ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭①，所以()()3f x f x -=，所以()f x 关于32x =对称，则(1)(4)f f -=，故C 正确；对于()g x ，因为(2)g x +为偶函数，(2)(2)g x g x +=-，(4)()g x g x -=，所以()g x 关于2x =对称，由①求导，和()()g x f x '=，得333333222222f x f x f x f x g x g x ''⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫''-=+⇔--=+⇔--=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦，所以()()30g x g x -+=，所以()g x 关于3(,0)2对称，因为其定义域为R ，所以302g ⎛⎫= ⎪⎝⎭，结合()g x 关于2x =对称，从而周期34222T ⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭，所以13022g g ⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎝⎭⎝⎭，()()()112g g g -==-，故B 正确，D 错误；若函数()f x 满足题设条件，则函数()f x C +（C 为常数）也满足题设条件，所以无法确定()f x 的函数值，故A 错误．故选：BC ．[方法二]：【最优解】特殊值，构造函数法．由方法一知()g x 周期为2，关于2x =对称，故可设()()cos πg x x =，则()()1sin ππf x x c =+，显然A ，D 错误，选BC ．故选：BC ．[方法三]：因为322f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，(2)g x +均为偶函数，所以332222f x f x ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即3322f x f x ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，(2)(2)g x g x +=-，所以()()3f x f x -=，(4)()g x g x -=，则(1)(4)f f -=，故C 正确；函数()f x ，()g x 的图象分别关于直线3,22x x ==对称，又()()g x f x '=，且函数()f x 可导，所以()()30,32g g x g x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，所以()(4)()3g x g x g x -==--，所以()(2)(1)g x g x g x +=-+=，所以13022g g ⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()()112g g g -==-，故B 正确，D 错误；若函数()f x 满足题设条件，则函数()f x C +（C 为常数）也满足题设条件，所以无法确定()f x 的函数值，故A 错误．故选：BC ．【整体点评】方法一：根据题意赋值变换得到函数的性质，即可判断各选项的真假，转化难度较高，是该题的通性通法；方法二：根据题意得出的性质构造特殊函数，再验证选项，简单明了，是该题的最优解．4．（2022·全国·统考高考真题）若()1ln 1f x a b x++-=是奇函数，则=a _____，b =______．【答案】12-；ln 2．【解析】[方法一]：奇函数定义域的对称性若0a =，则()f x 的定义域为{|1}x x ≠，不关于原点对称a ∴≠若奇函数的1()||1f x ln a b x =++-有意义，则1x ≠且101a x+≠-1x ∴≠且11x a≠+，函数()f x 为奇函数，定义域关于原点对称，111a ∴+=-，解得12a =-，由(0)0f =得，102ln b +=，2b ln ∴=，故答案为：12-；2ln ．[方法二]：函数的奇偶性求参111()111a ax ax a f x ln a b ln b ln b x x x-+--=++=+=+---1()1ax a f x lnb x++-=++ 函数()f x 为奇函数11()()2011ax a ax a f x f x lnln b x x--++∴+-=++=-+2222(1)201a x a lnb x -+∴+=-22(1)1210112a a a a +∴=⇒+=⇒=-1222241,22b ln b ln a b ln ln-==-⇒=∴=-=[方法三]：因为函数()1ln 1f x a b x++-=为奇函数，所以其定义域关于原点对称．由101a x+≠-可得，()()110x a ax -+-≠，所以11a x a +==-，解得：12a =-，即函数的定义域为()()(),11,11,-∞-⋃-⋃+∞，再由()00f =可得，ln 2b =．即()111ln ln 2ln 211xf x x x+=-++=--，在定义域内满足()()f x f x -=-，符合题意．故答案为：12-；ln 2．【方法技巧与总结】1、单调性技巧（1）证明函数单调性的步骤①取值：设1x ，2x 是()f x 定义域内一个区间上的任意两个量，且12x x <；②变形：作差变形（变形方法：因式分解、配方、有理化等）或作商变形；③定号：判断差的正负或商与1的大小关系；④得出结论．（2）函数单调性的判断方法①定义法：根据增函数、减函数的定义，按照“取值—变形—判断符号—下结论”进行判断．②图象法：就是画出函数的图象，根据图象的上升或下降趋势，判断函数的单调性．③直接法：就是对我们所熟悉的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等，直接写出它们的单调区间．（3）记住几条常用的结论：①若()f x是增函数，则()f x-为减函数；若()f x是减函数，则()f x-为增函数；②若()f x和()g x均为增（或减）函数，则在()f x和()g x的公共定义域上()()f xg x+为增（或减）函数；③若()0f x>且()f x为增函数，则函数为增函数，1()f x为减函数；④若()0f x>且()f x为减函数，则函数为减函数，1()f x为增函数．2、奇偶性技巧（1）函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称．（2）奇偶函数的图象特征．函数()f x是偶函数⇔函数(f x的图象关于y轴对称；函数()f x是奇函数⇔函数()f x的图象关于原点中心对称．（3）若奇函数()y f x=在0x=处有意义，则有(0)0f=；偶函数()y f x=必满足()(||)f x f x=．（4）偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反；奇函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相同．（5）若函数()f x的定义域关于原点对称，则函数()f x能表示成一个偶函数与一个奇函数的和的形式．记1()[()()]2g x f x f x=+-，1()[()()]2h x f x f x=--，则()()()f xg xh x=+．（6）运算函数的奇偶性规律：运算函数是指两个（或多个）函数式通过加、减、乘、除四则运算所得的函数，如()(),()(),()(),()()f xg x f x g x f x g x f x g x+-⨯÷．对于运算函数有如下结论：奇±奇=奇；偶±偶=偶；奇±偶=非奇非偶；奇()⨯÷奇=偶；奇()⨯÷偶=奇；偶()⨯÷偶=偶．（7）复合函数[()]y f g x=的奇偶性原来：内偶则偶，两奇为奇．（8）常见奇偶性函数模型奇函数：①函数1()()01x x a f x m x a +=≠-()或函数1()()1x x a f x m a -=+．②函数()()x x f x a a -=±-．③函数2()log log (1aa x m m f x x m x m +==+--或函数2()log log (1)a a x m m f x x m x m-==-++④函数()log )a f x x =+或函数()log )a f x x =．注意：关于①式，可以写成函数2()(0)1x m f x m x a =+≠-或函数2()()1x mf x m m R a =-∈+．偶函数：①函数()()x x f x a a -=±+．②函数()log (1)2mx a mxf x a =+-．③函数(||)f x 类型的一切函数．④常数函数3、周期性技巧4、函数的的对称性与周期性的关系（1）若函数()y f x =有两条对称轴x a =，()x b a b =<，则函数()f x 是周期函数，且2()T b a =-；（2）若函数()y f x =的图象有两个对称中心(,),(,)()a c b c a b <，则函数()y f x =是周期函数，且2()T b a =-；（3）若函数()y f x =有一条对称轴x a =和一个对称中心(,0)()b a b <，则函数()y f x =是周期函数，且4()T b a =-．5、对称性技巧（1）若函数()y f x =关于直线x a =对称，则()()f a x f a x +=-．（2）若函数()y f x =关于点()a b ，对称，则()()2f a x f a x b ++-=．（3）函数()y f a x =+与()y f a x =-关于y 轴对称，函数()y f a x =+与()y f a x =--关于原点对称．【核心考点】核心考点一：函数单调性的综合应用【典型例题】例1．（2023春·江西鹰潭·高三贵溪市实验中学校考阶段练习）已知函数()224,1,1,1x ax x f x x x⎧-++⎪=⎨>⎪⎩ 是1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭上的减函数，则a 的取值范围是（）A ．11,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦B ．(],1-∞-C ．11,2⎡⎫--⎪⎢⎣⎭D ．(),1-∞-【答案】A【解析】显然当1x >时，()1f x x=为单调减函数，()()11f x f <=当1x时，()224f x x ax =-++，则对称轴为()221ax a =-=⨯-，()123f a =+若()f x 是1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭上减函数，则12231a a ⎧≤-⎪⎨⎪+≥⎩解得11,2a ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦，故选：A ．例2．（2023·全国·高三专题练习）设函数()()11sin 1e e 4x xf x x x --=-+--+，则满足()()326f x f x +-<的x 的取值范围是（）A ．()3,+∞B ．()1,+∞C ．(),3-∞D ．(),1-∞【答案】B【解析】假设()sin e e ,R x xg x x x x -=+--∈，所以()()sin e e x xg x x x --=-+-+，所以()()0g x g x +-=，所以()g x 为奇函数，而()()()11sin 1e e 13x xf x x x --=-+---+是()g x 向右平移1个单位长度，向上平移3个单位长度，所以()f x 的对称中心为()1,3，所以()()62f x f x =+-，由()()11sin 1e e 4x xf x x x --=-+--+求导得()()()11111cos 1e e 1e +cos 11e x x x xf x x x ----'=-++-=+--因为111e 2e x x --+≥=，当且仅当111ee x x --=即1x =，取等号，所以()0,f x '≥所以()f x 在R 上单调递增，因为()()()()3262f x f x f x f x +-<=+-得()()322f x f x -<-所以322x x -<-，解得1x >，故选：B例3．（2023·全国·高三专题练习）已知02,1,1b a b a b <<<≠≠，且满足log b a a b =，则下列正确的是（）A ．1ab >B ．1(1)b a a b +<+C ．11a b a b a a b b ++->-D ．52+>a b 【答案】B【解析】由log b a a b =，可得1log log log b a b a b a==，所以log 1b a =，或log 1b a =-，∴b a =（舍去），或1b a=，即1ab =，故A 错误；又02b a b <<<，故120a a a<<<，∴1a <<，对于函数(11y x x x=+<<，则2221110x y x x-'=-=>，函数(11y x x x =+<<单调递增，∴1a b a a ⎛+=+∈ ⎝⎭，故D 错误；∵02b a b <<<，11a b<=<∴1212a b b <<<+<，令()()ln 12x g x x x=<<，则()21ln 0xg x x -'=>，∴函数()()ln 12xg x x x=<<单调递增，∴()ln 1ln 1b a a b +<+，即()()1ln ln 1b a a b +<+，∴()1ln ln 1ab a b +<+，即1(1)b a a b +<+，故B 正确；∵011b a b <<<<+，∴函数,x x y a y b ==-单调递增，故函数x x y a b =-单调递增，∴11a a b b a b a b ++-<-，即11a b a b a a b b ++-<-，故C 错误．故选：B ．核心考点二：函数的奇偶性的综合应用【典型例题】例4．（2023·全国·高三专题练习）已知定义在R 上的函数()f x 在(],3-∞上单调递增，且()3f x +为偶函数，则不等式()()12f x f x +>的解集为（）A ．51,3⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．()5,1,3⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭C ．(),1-∞D ．()1,+∞【答案】B【解析】∵()3f x +为偶函数，∴()()33f x f x -+=+，即函数()f x 关于3x =对称，又函数()f x 在(],3-∞上单调递增，∴函数()f x 在[)3,+∞上单调递减，由()()12f x f x +>，可得1323x x +-<-，整理得，23850x x -+>，解得1x <或53x >．故选：B ．例5．（2023·全国·高三专题练习）设()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x ≥时，()2f x x =，不等式()()24f x f x ≥的解集为（）A ．(][),04,-∞+∞UB ．[]0,4C ．(][),02,-∞⋃+∞D ．[]0,2【答案】C【解析】根据题意，当0x ≥时，()2f x x =，所以()f x 在[0,)+∞上为增函数，因为()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()f x 在R 上为增函数，因为20x ≥，所以24()f x x =，24124xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以221()42x f x f ⎛⎫=⎪⎝⎭，所以不等式()()24f x f x ≥可化为2()2x f f x ⎛⎫≥⎪⎝⎭，所以22x x ≥，解得0x ≤或2x ≥，所以不等式()()24f x f x ≥的解集为(][),02,-∞⋃+∞，故选：C例6．（2023·全国·高三专题练习）已知偶函数()f x 的定义域为R ，且当0x ≥时，()11x f x x -=+，则使不等式()2122f a a -<成立的实数a 的取值范围是（）A ．()1,3-B ．()3,3-C ．()1,1-D ．(),3-∞【答案】A【解析】当0x ≥时，()()12121111x x f x x x x +--===-+++，所以()f x 在[)0,∞+上单调递增，且()132f =，不等式()2122f a a -<即为()()223f a a f -<．又因为()f x 是偶函数，所以不等式()()223f a a f -<等价于()()223f a a f -<，则223a a -<，所以，222323a a a a ⎧-<⎨->-⎩，解得13a -<<．综上可知，实数a 的取值范围为()1,3-，故选：A ．例7．（2023·全国·高三专题练习）定义在R 上的奇函数()f x 在(,0]-∞上单调递增，且(2)2f -=-，则不等式1(lg )lg 4f x f x ⎛⎫-> ⎪⎝⎭的解集为（）A ．10,100⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,100⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．(0,100)D ．(100,)+∞【答案】D【解析】因为函数()f x 为奇函数，所以()()f x f x -=-，又(2)2f -=-，(2)2f =，所以不等式1(lg )lg 4f x f x ⎛⎫-> ⎪⎝⎭，可化为()2(lg )422f x f >=，即()(lg )2f x f >，又因为()f x 在(,0]-∞上单调递增，所以()f x 在R 上单调递增，所以lg 2x >，解得100x >．故选：D ．例8．（2023春·广西·高三期末）()f x 是定义在R 上的函数，1122f x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭为奇函数，则()()20232022f f +-=（）A ．－1B ．12-C ．12D ．1【答案】A【解析】()f x 是定义在R 上的函数，1122f x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭为奇函数，则1111111222222f x fx f x f x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-++=-++⇒-+++=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦．∴()()40451404512023202212222f f f f ⎛⎫⎛⎫+-=++-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．故选：A例9．（2023春·甘肃兰州·高三兰化一中校考阶段练习）若函数f （x ）=e e sin x x x x --+-，则满足()()22ln 102x f a x f ⎛⎫-++≥⎪⎝⎭恒成立的实数a 的取值范围为（）A ．12ln 2,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭B ．1(ln 2,)4-+∞C ．[7,)4+∞D ．[3,)2+∞【答案】A【解析】因为()e e sin ()x x f x x x f x ---=-+=-，所以()f x 是R 上的奇函数，由()e +e cos 1x x f x x -'=+-cos 11cos 0x x ≥-=+≥，所以()f x 是R 上的增函数，所以2(2ln(1))02x f a x f ⎛⎫-++≥ ⎪⎝⎭等价于：22(2ln(1))22x x f a x f f ⎛⎫⎛⎫-+≥-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即22ln(1)2x a x -+≥-，所以22ln(1)2x a x ≥-++，令2()2ln(1)2x g x x =-++，则问题转化为：max ()a g x ≥，因为()()g x g x -=且定义域为R ，所以()g x =22ln(1)2xx -++是R 上的偶函数，所以只需求()g x 在()0,∞+上的最大值即可．当[)0,x ∈+∞时，2()2ln(1)2x g x x =-++，()()22122()111x x x x g x x x x x +---+'=-+==-+++，则当()0,1x ∈时，()0g x '>；当()1,x ∈+∞时，()0g x '<；所以()g x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减，可得：max 1()(1)2ln 22g x g ==-，即12ln 22a ≥-，故选：A ．核心考点三：已知()f x =奇函数+M 【典型例题】例10．（2022·重庆一中高三阶段练习）已知()34f x ax =+（a ，b 为实数），()3lg log 102022f =，则()lg lg3f =______．【答案】-2014【解析】()()3lg log 10lg lg32022f f =-=，因为()()34g x f x ax =-=+所以()()lg lg3lg lg3g g -=-，其中()()lg lg3lg lg342018g f -=--=，所以()()lg lg34lg lg32018g f -=-=，解得：()lg lg32014f =-故答案为：-2014例11．（2022·河南·西平县高级中学模拟预测（理））已知函数()2sin 414x xf x x -=++，且()5f a =，则()f a -=（）A ．2B ．3C ．－2D ．－3【答案】D 【解析】设()2sin 44x x g x x -=+，因为()()()()()22sin 4sin 444x x x x g x g x x x -----==-=-+-+，所以()g x 为奇函数，因为()()14g a f a =-=，所以()()14g a f a -=--=-，则()3f a -=-．故选：D ．例12．（2022·福建省福州第一中学高二期末）若对,x y R ∀∈，有()()()4f x y f x f y +=+-，函数2sin ()()cos 1xg x f x x =++在区间[2021,2021]-上存在最大值和最小值，则其最大值与最小值的和为（）A ．4B ．8C ．12D ．16【答案】B 【解析】由题设，()(0)()()4f x x f f x f x -==+--且(0)()()(0)4f x f x f x f +==+-，∴(0)4f =，则()()8f x f x +-=，∴()()4m x f x =-为奇函数，令2sin ()cos 1()()4xm h x g x x x =-++=，∴2sin()2sin ()()()()cos()1cos 1x xh x m x m x h x x x --=+-=--=--++，即()h x 是奇函数，∴()h x 在[2021,2021]-上的最小、最大值的和为0，即max min ()4()40g x g x -+-=，∴max min ()()8g x g x +=．故选：B核心考点四：利用轴对称解决函数问题【典型例题】例13．（2022·全国·高三专题练习）若1x 满足25x x =-，2x 满足2log 5x x +=，则12x x +等于（）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】D【解析】由题意1152xx -=，故有2225log x x -=故1x 和2x 是直线5y x =-和曲线2x y =、曲线2log y x =交点的横坐标．根据函数2x y =和函数2log y x =互为反函数，它们的图象关于直线y x =对称，故曲线2x y =和曲线2log y x =的图象交点关于直线y x =对称．即点（x 1，5﹣x 1）和点（x 2，5﹣x 2）构成的线段的中点在直线y =x 上，即12125522x x x x +-+-=，求得x 1+x 2=5，故选：D ．例14．（2021春·高一单元测试）设函数()21228log (1)31f x x x =+++，则不等式212(log )(log )2f x f x +≥的解集为（）A ．（0，2]B ．1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．[2，＋∞）D ．10,2⎛⎤⎥⎝⎦∪[2，＋∞）【答案】B【解析】由题意，函数()21228log (1)31f x x x =+++的定义域为R ，且()()2211222288log [()1]log (1)3()131f x x x f x x x -=-++=++=-++，所以函数()f x 为R 的偶函数，且在[0,)+∞上为单调递减函数，令2log t x =，可得12log x t =-，则不等式212(log )(log )2f x f x +≥可化为()()2f t f t +-≥，即()22f t ≥，即()1f t ≥，又因为()1281log 2131f =+=+，且()f x 在[0,)+∞上单调递减，在R 为偶函数，所以11t -≤≤，即21log 1x -≤≤，解得122x ≤≤，所以不等式的解集为1[,2]2．故选：B ．例15．（2021春·西藏拉萨·高三校考阶段练习）已知函数()()11332cos 1x x x f x --+=+--，则()()0.52310.5log 9log 2f f f -⎛⎫ ⎪⎝⎭、、的大小关系（）A ．()()0.5231log 9log 0.52f f f -⎛⎫>> ⎪⎝⎭B ．0.5321(log )(0.5)(log 9)2f f f ->>C ．0.5321(0.5)(log (log 9)2f f f ->>D ．0.5231(log 9)(0.5)(log 2f f f ->>【答案】A【解析】令()(1)332cos x x g x f x x -=+=+-，()()g x g x -=，所以()g x 是偶函数；()ln 3(33)2sin x x g x x -'=-+，当(0,)x π∈时，()0g x '>，()g x 在(0,)π上是增函数，将()g x 图像向右平移一个单位得到()f x 图像，所以()f x 关于直线1x =对称，且在(1,1)π+单调递增．∵23log 94<<，0.50.5-=()3312log 2log 22,32-=+∈，∴0.52314log 92log 0.512->>->>，∴()()0.5231log 92log 0.52f f f -⎛⎫>-> ⎪⎝⎭，又∵()f x 关于直线1x =对称，∴3311log 2log 22f f ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴()()0.5231log 9log 0.52f f f -⎛⎫>> ⎪⎝⎭．故选：A核心考点五：利用中心对称解决函数问题【典型例题】例16．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()f x 是R 上的偶函数，且()f x 的图象关于点()1,0对称，当[]0,1x ∈时，()22x f x =-，则()()()()0122022f f f f +++⋅⋅⋅+的值为（）A ．2-B ．1-C ．0D ．1【答案】C【解析】()f x 图象关于点()1,0对称，()()2f x f x ∴=--，又()f x 为R 上的偶函数，()()f x f x ∴=-，()()()22f x f x f x ∴=--=--，()()()()42f x f x f x f x ∴+=-+=--=⎡⎤⎣⎦，()f x \是周期为4的周期函数，()()()311220f f f ∴=-==-=，又()01f =，()()201f f =-=-，()()()()()()()()()012202250501232020f f f f f f f f f ∴+++⋅⋅⋅+=+++++⎡⎤⎣⎦()()()()()()2021202250510100121010f f f f f +=⨯+-++++=+-=．故选：C ．例17．（2021春·安徽六安·高三校考阶段练习）已知函数()()()33sin cos tan 1221sin 2sin x x x f x x xππππ⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=++-+，函数()1y g x =-为奇函数，若函数()y f x =与()y g x =图象共有6个交点为()11,x y 、()22,x y 、L 、()66,x y ，则()61i i i x y =+=∑（）A ．0B ．6C ．12D ．24【答案】B【解析】因为()()()cos sin tan 111sin 1sin sin sin x x x f x x xx x-⋅-=++=++，函数()f x 的定义域为,Z 2k x x k π⎧⎫≠∈⎨⎬⎩⎭，()()()11sin 1sin 1sin sin f x x x x x-=-++=--+-，所以，()()2f x f x +-=，故函数()f x 的图象关于点()0,1对称，因为函数()1y g x =-为奇函数，则()()110g x g x --+-=，即()()2g x g x +-=，故函数()g x 的图象也关于点()0,1对称，函数()y f x =与()y g x =图象共有6个交点为()11,x y 、()22,x y 、L 、()66,x y ，且这六个点也关于点()0,1对称，所以，()610236i i i x y =+=+⨯=∑．故选：B ．例18．（2021春·贵州黔东南·高一凯里一中校考期中）已知函数()1f x -是奇函数，若函数11y x=+与()y f x =图象的交点分别为()11,x y ，()22,x y ，…，()66,x y ，则交点的所有横坐标和纵坐标之和为（）A ．12B ．10C ．8D ．6【答案】D【解析】由题可得()f x 关于点(0,1)对称，11y x=+的图象也关于点(0,1)对称，即若点()11,x y 为交点，则点()11,2x y --也为交点，同理若()22,x y 为交点，则点()22,2x y --也为交点，……则交点的所有横坐标和纵坐标之和为()()()112266x y x y x y ++++⋅⋅⋅++=()()()111122122x y x y x y ⎡++-+-++⎣()()()226666226x y x y x y ⎤+-+-+⋯+++-+-=⎦，故选：D ．例19．（2022春·湖北恩施·高一恩施市第一中学校考阶段练习）已知定义在R 上的奇函数()f x 的图象与x 轴交点的横坐标分别为1x ，2x ，3x ，L ，2023x ，且122023x x x m +++= ，则不等式23(2)1x m x m -+-≤的解集为（）A ．1,13⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．[]0,3C ．(),0∞-D ．∅【答案】A【解析】因为函数()f x 是定义在R 上的奇函数，则()00f =，且函数()f x 的图象与x 轴交点关于原点对称，不妨设1232023x x x x <<<< ，则()202401,2,32023i i x x i -+== ，所以1220230m x x x =+++= ，则不等式23(2)1x m x m -+-≤，即为23210x x --≤，解得113x -≤≤，所以不等式23(2)1x m x m -+-≤的解集为1,13⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．故选：A ．例20．（2021春·四川绵阳·高一四川省绵阳南山中学校考阶段练习）已知函数())()3sin lnf x x x x x R =++∈，函数()g x 满足()()()20g x g x x R +-=∈，若函数()()()1h x f x g x =--恰有2021个零点，则所有这些零点之和为（）A ．2018B ．2019C ．2020D ．2021【答案】D【解析】函数()g x 满足()(2)0g x g x +-=，则函数()g x 的图象关于点(1,0)对称，且g （1）0=，函数())3sin lnf x x x x =+++，则))33()()sin()lnsin ln ()f x x x x x x x f x ⎡⎤-=-+-+=-+=-⎢⎥⎣⎦，所以函数()f x 为奇函数，其图象关于点(0,0)对称，又函数(1)=-y f x 是由函数()y f x =向右平移一个单位得到的函数，故函数(1)=-y f x 的图象关于点(1,0)对称，令()(1)()0h x f x g x =--=，则(1)()f x g x -=，因为函数()g x 与(1)f x -的图象都关于点(1,0)对称，所以两个函数图象的交点也关于点(1,0)对称，因为函数()(1)()h x f x g x =--恰有2021个零点，所以2021个零点除1x =之外的个零点关于(1,0)对称，则所有这些零点之和为20202120212⨯+=．故选：D ．核心考点六：利用周期性和对称性解决函数问题【典型例题】例21．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()f x 的定义域为R ，()22f x +为偶函数，()1f x +为奇函数，且当[]0,1x ∈时，()f x ax b =+．若()41f =，则3112i f i =⎛⎫+= ⎪⎝⎭∑（）A ．12B ．0C ．12-D ．1-【答案】C【解析】因为()22f x +为偶函数，所以()()2222f x f x -+=+，用1122x +代替x 得：()()13f x f x -+=+，因为()1f x +为奇函数，所以()()11f x f x -+=-+，故()()31f x f x +=-+①，用2x +代替x 得：()()53f x f x +=-+②，由①②得：()()51f x f x +=+，所以函数()f x 的周期4T =，所以()()401f f ==，即1b =，因为()()11f x f x -+=-+，令0x =得：()()11f f =-，故()10f =，()10f a b =+=，解得：1a =-，所以[]0,1x ∈时，()1f x x =-+，因为()()11f x f x -+=-+，令12x =，得2123f f ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其中1111222f ⎛⎫=-+=⎪⎝⎭，所以3122f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，因为()()2222f x f x -+=+，令14x =得：12214422f f ⎛⎫⎛⎫-⨯+=⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即235212f f ⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为4T =，所以7714222f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，因为()()11f x f x -+=-+，令32x =得：151222f f ⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故2721f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，311111122235722222i f i f f f =⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=--+=-⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑．故选：C例22．（2023·四川资阳·统考模拟预测）已知函数()f x 的定义域为R ，()2f x -为偶函数，()()20f x f x -+-=，当[]2,1x ∈--时，()14xf x ax a =--（0a >且1a ≠），且()24f -=．则()131k f k ==∑（）A ．16B ．20C ．24D ．28【答案】C【解析】因为()2f x -是偶函数，所以()2(2)f x f x --=-，所以()(4)f x f x =--，所以函数()f x 关于直线2x =-对称，又因为()()20f x f x -+-=，所以()()2f x f x --=-，所以()(2)f x f x =---，所以()f x 关于点(1,0)-中心对称，由()(4)f x f x =--及()(2)f x f x =---得(4)(2)f x f x --=---所以(4)(2)()f x f x f x --=---=-所以函数()f x 的周期为4，因为当[]2,1x ∈--时，()14x f x ax a=--（0a >且1a ≠），且()24f -=，所以21424a a -=+-，解得：2a =或4a =-，因为0a >且1a ≠，所以2a =．所以当[]2,1x ∈--时，()1()242xf x x =--，所以(2)4,(1)0f f -=-=，(3)(1)0f f -=-=，(0)(2)4f f =--=-，(1)(14)(3)0f f f =-=-=，(2)(2)4f f =-=，(3)(1)0f f =-=，(4)(0)4f f ==-，所以(1)(2)(3)(4)8f f f f +++=，所以()131(1)+3824k f k f ==⨯=∑，故选：C ．例23．（2023·山东济宁·高三嘉祥县第一中学校考阶段练习）已知定义在R 上的偶函数()f x 满足()()11f x f x -=+，且当01x ≤≤时，()21f x x =-．若直线y x a =+与曲线()y f x =恰有三个公共点，那么实数a 的取值的集合为（）A ．51,4k k ⎛⎫++ ⎪⎝⎭（Z k ∈）B ．521,24k k ⎛⎫++ ⎪⎝⎭（Z k ∈）C ．52,214k k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭（Z k ∈）D ．5,14k k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭（Z k ∈）【答案】B【解析】定义在R 上的偶函数()f x 满足()()11f x f x -=+，所以()f x 的图像关于1x =对称，且()f x 为周期是2的偶函数，当11x -≤≤时，()21f x x =-，所以画出函数图像如下图所示：①当1a =±时，结合图像可知y x a =+与()21f x x =-（[)1,1x ∈-）有两个公共点；②当y x a =+与()21f x x =-（[)1,1x ∈-）相切时，满足21x a x +=-，即210x x a ++-=，令()1410a ∆=--=，解得54a =．当54a =时，结合图像可知y x a =+与()y f x =（x R ∈）有两个公共点；由图像可知，51,4a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，直线y x a =+与()y f x =（x R ∈）有三个公共点；又因为()f x 周期2T =，可知521,24a k k ⎛⎫∈++ ⎪⎝⎭（Z k ∈）．故选：B ．例24．（2023·全国·高三专题练习）已知定义在R 上的函数()f x 满足()()2f x f x +=，且当[)1,1x ∈-时，()2f x x =，若函数()log 1a g x x =+图象与()f x 的图象恰有10个不同的公共点，则实数a 的取值范围为（）A ．()4,+∞B ．()6,+∞C ．()1,4D ．()4,6【答案】D【解析】因为函数()f x 满足()()2f x f x +=，所以函数()f x 是周期为2的周期函数，又函数()log 1a g x x =+的图象可由函数log a y x =的图象向左平移一个单位可得，所以函数()log 1a g x x =+的图象的对称轴为=1x -，当[)1,1x ∈-时，()2f x x =，所以函数()f x 的图象也关于=1x -对称，在平面直角坐标系中作出函数()y f x =与()y g x =在=1x -右侧的图象，数形结合可得，若函数()log 1a g x x =+图象与()f x 的图象恰有10个不同的公共点，则由函数图象的对称性可得两图象在=1x -右侧有5个交点，则()()13log 415log 61a a a g g ⎧>⎪=<⎨⎪=>⎩，解得()4,6a ∈．故选：D ．例25．（2023春·江西鹰潭·高三贵溪市实验中学校考阶段练习）已知()f x 是定义在R 上的奇函数，x ∀∈R ，恒有(4)()f x f x +=-，且当[2,0)x ∈-时，()f x x =--1，则(0)(1)(2)(2020)(2021)f f f f f +++++= （）A ．1B ．-1C ．0D ．2【答案】B【解析】因为(4)(),(8)(4)()f x f x f x f x f x +=-+=-+=，所以()f x 的最小正周期是8，因为(0)0,(2)(2)1,(3)(1)0f f f f f ==--=-=--=，(4)(0)0,(1)(3)f f f f =-==--=(3)0f =，(5)(1)0f f =-=，(6)(2)1f f =-=，(7)(3)0,(8)(4)0f f f f =-==-=，又()f x 是周期为8的周期函数，所以(0)(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)f f f f f f f f +++++++==(2008)(2009)(2010)(2011)(2012)(2013)(2014)(2015)0f f f f f f f f +++++++=，(2016)(2017)(2018)(2019)(2020)(2021)(0)(1)(2)(3)(4)(5)f f f f f f f f f f f f +++++=+++++00(1)0001=++-+++=-，所以(0)(1)(2)(2020)(2021)1f f f f f +++++=- ．故选：B例26．（2023·山东济宁·高三嘉祥县第一中学校考阶段练习）已知定义在R 上的偶函数()f x 满足()()11f x f x -=+，且当01x ≤≤时，()21f x x =-．若直线y x a =+与曲线()y f x =恰有三个公共点，那么实数a 的取值的集合为（）A ．51,4k k ⎛⎫++ ⎪⎝⎭（Z k ∈）B ．521,24k k ⎛⎫++ ⎪⎝⎭（Z k ∈）C ．52,214k k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭（Z k ∈）D ．5,14k k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭（Z k ∈）【答案】B【解析】定义在R 上的偶函数()f x 满足()()11f x f x -=+，所以()f x 的图像关于1x =对称，且()f x 为周期是2的偶函数，当11x -≤≤时，()21f x x =-，所以画出函数图像如下图所示：①当1a =±时，结合图像可知y x a =+与()21f x x =-（[)1,1x ∈-）有两个公共点；②当y x a =+与()21f x x =-（[)1,1x ∈-）相切时，满足21x a x +=-，即210x x a ++-=，令()1410a ∆=--=，解得54a =当54a =时，结合图像可知y x a =+与()y f x =（x R ∈）有两个公共点；由图像可知，51,4a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，直线y x a =+与()y f x =（x R ∈）有三个公共点；又因为()f x 周期2T =，可知521,24a k k ⎛⎫∈++ ⎪⎝⎭（Z k ∈）．故选：B ．例27．（2023·全国·高三专题练习）已知定义在R 上的函数()f x 满足()()2f x f x +=，且当[)1,1x ∈-时，()2f x x =，若函数()log 1a g x x =+图象与()f x 的图象恰有10个不同的公共点，则实数a 的取值范围为（）A ．()4,+∞B ．()6,+∞C ．()1,4D ．()4,6【答案】D【解析】因为函数()f x 满足()()2f x f x +=，所以函数()f x 是周期为2的周期函数，又函数()log 1a g x x =+的图象可由函数log a y x =的图象向左平移一个单位可得，所以函数()log 1a g x x =+的图象的对称轴为=1x -，当[)1,1x ∈-时，()2f x x =，所以函数()f x 的图象也关于=1x -对称，在平面直角坐标系中作出函数()y f x =与()y g x =在=1x -右侧的图象，数形结合可得，若函数()log 1a g x x =+图象与()f x 的图象恰有10个不同的公共点，则由函数图象的对称性可得两图象在=1x -右侧有5个交点，则()()13log 415log 61a a a g g ⎧>⎪=<⎨⎪=>⎩，解得()4,6a ∈．故选：D ．例28．（2023春·江西鹰潭·高三贵溪市实验中学校考阶段练习）已知()f x 是定义在R 上的奇函数，x ∀∈R ，恒有(4)()f x f x +=-，且当[2,0)x ∈-时，()f x x =--1，则(0)(1)(2)(2020)(2021)f f f f f +++++= （）A ．1B ．-1C ．0D ．2【答案】B【解析】因为(4)(),(8)(4)()f x f x f x f x f x +=-+=-+=，所以()f x 的最小正周期是8，因为(0)0,(2)(2)1,(3)(1)0f f f f f ==--=-=--=，(4)(0)0,(1)(3)f f f f =-==--=(3)0f =，(5)(1)0f f =-=，(6)(2)1f f =-=，(7)(3)0,(8)(4)0f f f f =-==-=，又()f x 是周期为8的周期函数，所以(0)(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)f f f f f f f f +++++++==(2008)(2009)(2010)(2011)(2012)(2013)(2014)(2015)0f f f f f f f f +++++++=，(2016)(2017)(2018)(2019)(2020)(2021)(0)(1)(2)(3)(4)(5)f f f f f f f f f f f f +++++=+++++00(1)0001=++-+++=-，所以(0)(1)(2)(2020)(2021)1f f f f f +++++=- ．故选：B核心考点七：类周期函数【典型例题】例29．（2022·天津一中高三月考）定义域为R 的函数()f x 满足()()22f x f x +=，当[]0,2x 时，()[)[)232,0,11,1,22x x x x f x x -⎧-∈⎪⎪=⎨⎛⎫-∈⎪ ⎪⎪⎝⎭⎩，若当[)4,2x ∈--时，不等式()2142m f x m ≥-+恒成立，则实数m 的取值范围是（）A ．[]2,3B ．[]1,3C ．[]1,4D ．[]2,4【答案】B 【解析】因为当[)4,2x ∈--时，不等式()2142m f x m ≥-+恒成立，所以()2min 142m f x m ≥-+，当[)[)4,2,40,2x x ∈--+∈时，()()()112424f x f x f x =+=+()()[)[)2342144,40,1411,41,242x x x x x +-⎧⎡⎤+-++∈⎪⎣⎦⎪=⎨⎛⎫⎪-+∈ ⎪⎪⎝⎭⎩当[)40,1x +∈时，()()()211114444416f x x x ⎡⎤=+-+≥-⨯=-⎣⎦，当[)41,2x +∈时，()342111424x f x +-⎛⎫=-≥-⎪⎝⎭，因此当[)4,2x ∈--时，()2min 1113442m f x m m =-≥-+∴≤≤，选B ．例30．（2022·浙江·杭州高级中学高三期中）定义域为R 的函数()f x 满足(2)3()f x f x +=，当[0,2]x ∈时，2()2f x x x =-，若[4,2]x ∈--时，13()()18≥-f x t t恒成立，则实数t 的取值范围是（）A ．(](],10,3-∞- B．((,-∞ C ．[)[)1,03,-+∞ D．))⎡+∞⎣ 【答案】C 【解析】因为[]4,2x ∈--，所以[]40,2x +∈，因为[]0,2x ∈时，()22f x x x =-，所以()()()22442468f x x x x x +=+-+=++，因为函数()f x 满足()() 23f x f x +=，所以()()()4329f x f x f x +=+=，所以()()()21146899f x f x x x =+=++，[]4,2x ∈--，又因为[]4,2x ∈--，()13t 18f x t ⎛⎫≥- ⎪⎝⎭恒成立，故()131t 189minf x t ⎛⎫-≤=- ⎪⎝⎭，解不等式可得t 3≥或1t 0-≤<．例31．（2022山西省榆林市高三二模理科数学试卷）定义域为R 的函数()f x 满足()()22f x f x +=，当[)0,2x ∈时，()[)[)2213,0,1{ln ,1,2x x x f x x x x -+∈=∈，若当[)4,2x ∈--时，函数()22f x t t ≥+恒成立，则实数t 的取值范围为A ．30t -≤≤B ．31t -≤≤C ．20t -≤≤D ．01t ≤≤【答案】C 【解析】当[)0,2x ∈时，()min 0f x =，又()()22f x f x +=，因此当[)4,2x ∈--时，函数()min 0f x =，从而20220t t t ≥+⇒-≤≤，选C ．核心考点八：抽象函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性【典型例题】例32．（2023·广东·高三统考学业考试）已知函数()f x 对任意,R x y ∈，都有()()()f x y f x f y +=+成立．有以下结论：①()00f =；②()f x 是R 上的偶函数；③若()22f =，则()11f =；④当0x >时，恒有()0f x <，则函数()f x 在R 上单调递增．则上述所有正确结论的编号是________【答案】①③【解析】对于①令0x y ==，则()()()0000f f f +=+，解得()00f =，①正确；对于②令y x =-，则()()()00f f x f x =+-=，∴()()f x f x -=-，∴()f x 是R 上的奇函数，②错误；对于③令1x y ==，则()()()()211212f f f f =+==，∴()11f =，③正确；对于④设12x x >，则120x x ->，∴()()()12120f x x f x f x -=+-<，则()()()122f x f x f x <--=，∴()f x 在R 上单调递减，④错误．故答案为：①③．例33．（2022·山东聊城·二模）已知()f x 为R 上的奇函数，()22f =，若对1x ∀，()20,x ∈+∞，当12x x >时，都有()()()1212210f x f x x x x x ⎡⎤--<⎢⎥⎣⎦，则不等式()()114x f x ++>的解集为（）A ．()3,1-B ．()()3,11,1---C ．()(),11,1-∞--D ．()(),31,-∞-⋃+∞【答案】B 【解析】由()()121221()[0f x f x x x x x --<，得()()11221212()[0x f x x f x x x x x --<，因为121200x x x x ->>，，所以()()11220x f x x f x -<，即()()1122x f x x f x <，设()()g x xf x =，则()g x 在()0,∞+上单调递减，而()()()()()1114222g x x f x f g +=++>==，则012x <+<，解得：11x -<；因为()f x 为R 上的奇函数，所以()()()()g x xf x xf x g x -=--==，则()g x 为R 上的偶函数，故()g x 在(,0)-∞上单调递增，()()()()11142g x x f x g +=++>=-，则210x -<+<，解得：31x -<<-；综上，原不等式的解集为(),111)3(,--- ．故选：B ．例34．（2022·全国·模拟预测（理））已知定义在R 上的奇函数()f x 的图象关于直线1x =对称，且()y f x =在[]0,1上单调递增，若()3a f =-，12b f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()2c f =，则a ，b ，c的大小关系为（）A ．c b a <<B ．b a c<<C ．b c a<<D ．c a b<<【答案】C 【解析】。

2020版高考数学大二轮复习专题解析几何增分强化练理

增分强化练一、选择题1．直线(1－2a )x －2y ＋3＝0与直线3x ＋y ＋2a ＝0垂直，则实数a 的值为( ) A ．－52B.72C.56D.16解析：∵直线(1－2a )x －2y ＋3＝0与直线3x ＋y ＋2a ＝0垂直，∴3(1－2a )－2＝0，∴a ＝16，故选D. 答案：D2．过点(1，－1)且与直线x －2y ＋1＝0平行的直线方程为( ) A ．x －2y －1＝0 B ．x －2y ＋1＝0 C ．x －2y －3＝0D ．2x ＋y －1＝0解析：由题意得所求直线的斜率为12，又直线过点(1，－1)，故所求直线的方程为y ＋1＝12(x－1)，即x －2y －3＝0.故选C. 答案：C3．已知直线l 1：(3＋m )x ＋4y ＝5－3m ，l 2：2x ＋(5＋m )y ＝8平行，则实数m 的值为( ) A ．－7 B ．－1 C ．－1或－7D.133解析：当m ＝－3时，两条直线分别化为：2y ＝7，x ＋y ＝4，此时两条直线不平行；当m ＝－5时，两条直线分别化为：x －2y ＝10，x ＝4，此时两条直线不平行；当m ≠－3，－5时，两条直线分别化为：y ＝－3＋m 4x ＋5－3m 4，y ＝－25＋m x ＋85＋m ，∵两条直线平行，∴－3＋m 4＝－25＋m ，5－3m 4≠85＋m ，解得m ＝－7.综上可得：m ＝－7.故选A. 答案：A4．在直线3x －4y －27＝0上到点P (2,1)距离最近的点的坐标是( ) A ．(5，－3) B ．(9,0) C ．(－3,5)D ．(－5,3)解析：根据题意可知：所求点即为过P 点垂直于已知直线的直线与已知直线的交点，因为已知直线3x －4y －27＝0的斜率为34，所以过P 点垂直于已知直线的斜率为－43，又P (2,1)，则该直线的方程为：y －1＝－43(x －2)即4x ＋3y －11＝0，与已知直线联立得⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋3y －11＝0 ①3x －4y －27＝0 ②①×4＋②×3得25x ＝125，解得x ＝5，把x ＝5代入①解得y ＝－3，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5y ＝－3，所以直线3x －4y －27＝0上到点P (2,1)距离最近的点的坐标是(5，－3)．故选A. 答案：A5．圆x 2＋y 2＝8与圆x 2＋y 2＋4x －16＝0的公共弦长为( ) A ．8 B ．4 C ．2D ．1解析：两圆方程作差得x ＝2，当x ＝2时，由x 2＋y 2＝8得y 2＝8－4＝4，即y ＝±2，即两圆的交点坐标为A (2,2)，B (2，－2)，则|AB |＝2－(－2)＝4，故选B. 答案：B6．过点(2,1)的直线中被圆(x －1)2＋(y ＋2)2＝5截得的弦长最大的直线方程是( )A ．3x －y －5＝0B ．3x ＋y －7＝0C ．x ＋3y －5＝0D ．x －3y ＋5＝0解析：∵过点(2,1)的直线中被圆(x －1)2＋(y ＋2)2＝5截得的弦长最大的直线方程经过圆心， ∴其直线方程为过点(2,1)和圆心(1，－2)的直线， ∴其方程为：y ＋2x －1＝1＋22－1，整理，得3x －y －5＝0. 故选A. 答案：A7．圆C ：x 2＋y 2－2x ＝0被直线y ＝3x 截得的线段长为( ) A ．2 B. 3 C ．1D. 2解析：圆C ：x 2＋y 2－2x ＝0的圆心为(1,0)，半径为1，圆心到直线y ＝3x 的距离为d ＝|3|(3)2＋1＝32，弦长为2·1－⎝⎛⎭⎪⎫322＝1，故选C. 答案：C8．已知直线l ：y ＝kx ＋1与圆O ：x 2＋y 2＝2相交于A ，B 两点，则 “k ＝1”是“∠AOB ＝120°”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：由题意得圆心(0,0)到直线l ：y ＝kx ＋1的距离为d ＝11＋k2，若∠AOB ＝120°，则有11＋k2＝2·12，该方程等价于k 2＝1即k ＝±1，若k ＝1时，则∠AOB ＝120°，但∠AOB ＝120°时，k ＝－1或k ＝1，故选A. 答案：A9．(2019·青岛模拟)已知圆C ：x 2＋y 2＝1和直线l ：y ＝k (x ＋2)，在(－3，3)上随机选取一个数k ，则事件“直线l 与圆C 相交”发生的概率为( ) A.15 B.14 C.13D.12解析：直线l 方程为kx －y ＋2k ＝0，当直线l 与圆C 相切时可得|2k |k 2＋1＝1，解得k ＝±33，∴直线l 与圆C 相交时，k ∈⎝⎛⎭⎪⎫－33，33， ∴所求的概率P ＝23323＝13.故选C. 答案：C10．(2019·威海模拟)已知圆(x －2)2＋y 2＝1上的点到直线y ＝3x ＋b 的最短距离为3，则b 的值为( )A ．－2或2B ．2或43＋2C ．－2或43＋2D ．－43－2或2解析：由圆(x －2)2＋y 2＝1，可得圆心坐标为(2,0)，半径r ＝1，设圆心(2,0)到直线y ＝3x ＋b 的距离为d ，则d ＝|23＋b |3＋1，因为圆(x －2)2＋y 2＝1上的点到直线y ＝3x ＋b 的最短距离为3，所以d －r ＝3，即|23＋b |3＋1－1＝3，解得b ＝2或b ＝－43－2，故选D.答案：D11．圆C 1：(x －1)2＋(y －3)2＝9和C 2：x 2＋(y －2)2＝1，M ，N 分别是圆C 1，C 2上的点，P 是直线y ＝－1上的点，则|PM |＋|PN |的最小值是( ) A ．52－4 B.17－1 C ．6－2 2D.17解析：圆C 1关于y ＝－1的对称圆的圆心坐标A (1，－5)，半径为3，圆C 2的圆心坐标(0,2)，半径为1，由图象(图略)可知当P ，C 2，A ，三点共线时，|PM |＋|PN |取得最小值，|PM |＋|PN |的最小值为圆A 与圆C 2的圆心距减去两个圆的半径和，即|AC 2|－3－1＝1＋49－4＝52－4.故选A. 答案：A12．设过点P (－2,0)的直线l 与圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0的两个交点为A ，B ，若8PA →＝5AB →，则|AB |＝( ) A.855 B.463 C.665D.453解析：由题意，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线AB 的方程为x ＝my －2，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0x ＝my －2，得(m 2＋1)y 2－(8m ＋2)y ＋13＝0，则y 1＋y 2＝8m ＋2m 2＋1，y 1y 2＝13m 2＋1，又8PA →＝5AB →，所以8(x 1＋2，y 1)＝5(x 2－x 1，y 2－y 1)，故8y 1＝5(y 2－y 1)，即y 2＝135y 1，代入y 1y 2＝13m 2＋1得：y 21＝5m 2＋1，故y 22＝16925×5m 2＋1，又(y 1＋y 2)2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫8m ＋2m 2＋12，即y 21＋y 22＋2y 1y 2＝19425×5m 2＋1＋26m 2＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫8m ＋2m 2＋12，整理得：m 2－40m ＋76＝0，解得m ＝2或m ＝38，又|AB |＝1＋m 2·(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝23m 2＋8m －12m 2＋1，当m ＝2时，|AB |＝855；当m ＝38时，|AB |＝855.综上，|AB |＝855.故选A. 答案：A 二、填空题13．若直线(a ＋2)x ＋(1－a )y －3＝0与(a －1)x ＋(2a ＋3)y ＋2＝0互相垂直，则a 为________．解析：∵直线(a ＋2)x ＋(1－a )y －3＝0与(a －1)x ＋(2a ＋3)y ＋2＝0互相垂直， ∴(a ＋2)(a －1)＋(1－a )(2a ＋3)＝0， ∴(a －1)(a ＋2－2a －3)＝0， ∴(a －1)(a ＋1)＝0， ∴a ＝1或a ＝－1. 答案：±114．已知圆C 与y 轴相切，圆心在x 轴的正半轴上，并且截直线x －y ＋1＝0所得的弦长为2，则圆C 的标准方程是________．解析：设圆心为(t,0)，且t >0, ∴半径为r ＝|t |＝t ，∵圆C 截直线x －y ＋1＝0所得的弦长为2,∴圆心到直线x －y ＋1＝0的距离d ＝|t －0＋1|2＝t 2－1，∴t 2－2t －3＝0， ∴t ＝3或t ＝－1(舍)，故t ＝3， ∴(x －3)2＋y 2＝9. 答案：(x －3)2＋y 2＝915．已知圆x 2＋y 2＝9被直线mx ＋y －2m －1＝0所截得弦长为32，则实数m 的值为________．解析：因为圆x 2＋y 2＝9的圆心是(0,0)，半径为3，根据弦长为32，所以圆心到直线的距离为d ＝9－⎝⎛⎭⎪⎫3222＝322，所以d ＝|－2m －1|m 2＋1＝322，解得m ＝1或m ＝7.答案：1或716．已知点P (－1,2)及圆(x －3)2＋(y －4)2＝4，一光线从点P 出发，经x 轴上一点Q 反射后与圆相切于点T ，则|PQ |＋|QT |的值为________．解析：点P 关于x 轴的对称点为P ′(－1，－2)，由反射的对称性可知，P ′Q 与圆相切于点T ，|PQ |＋|QT |＝|P ′T |， ∵圆(x －3)2＋(y －4)2＝4的圆心坐标为A (3,4)，半径r ＝2， ∴|AP ′|2＝(－1－3)2＋(－2－4)2＝52， |AT |＝r ＝2，∴|PQ |＋|QT |＝|P ′T |＝|AP ′|2－|AT |2＝4 3. 答案：4 3增分强化练考点一圆锥曲线的定义及标准方程1．(2019·榆林模拟)已知抛物线y 2＝2px (p >0)上的点M 到其焦点F 的距离比点M 到y 轴的距离大12，则抛物线的标准方程为( )A ．y 2＝x B ．y 2＝2x C ．y 2＝4xD ．y 2＝8x解析：由抛物线y 2＝2px (p ＞0)上的点M 到其焦点F 的距离比点M 到y 轴的距离大12，根据抛物线的定义可得p 2＝12，∴p ＝1，所以抛物线的标准方程为y 2＝2x .故选B.答案：B2．(2019·株洲模拟)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的一条渐近线l 的倾斜角为π3，且C 的一个焦点到l 的距离为3，则双曲线C 的方程为( ) A.x 212－y 24＝1 B.x 24－y 212＝1 C.x 23－y 2＝1 D ．x 2－y 23＝1解析：由x 2a 2－y 2b 2＝0可得y ＝±b a x ，即渐近线的方程为y ＝±bax ，又一条渐近线l 的倾斜角为π3，所以b a ＝tan π3＝ 3.因为双曲线C 的一个焦点(c,0)到l 的距离为3，所以|bc |a 2＋b 2＝b ＝3，所以a ＝1，所以双曲线的方程为x 2－y 23＝1.故选D. 答案：D3．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为12，且椭圆C 的长轴长与焦距之和为6，则椭圆C的标准方程为( ) A.4x 225＋y26＝1 B.x 24＋y 22＝1 C.x 22＋y 2＝1 D.x 24＋y 23＝1 解析：依题意椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为12得c a ＝12，椭圆C 的长轴长与焦距之和为6,2a ＋2c ＝6，解得a ＝2，c ＝1，则b ＝3，所以椭圆C 的标准方程为：x 24＋y 23＝1，故选D.答案：D4．设F 1，F 2是椭圆E ：x 225＋y 216＝1的左右焦点，P 是椭圆E 上的点，则|PF 1|·|PF 2|的最小值是________．解析：由椭圆方程可知a ＝5，c ＝3，根据椭圆的定义，有|PF 2|＝2a －|PF 1|＝10－|PF 1|，故|PF 1|·|PF 2|＝|PF 1|·(10－|PF 1|)，由于|PF 1|∈[a －c ，a ＋c ]＝[2,8]注意到二次函数y ＝x (10－x )的对称轴为x ＝5，故当x ＝2，x ＝8时，都是函数的最小值，即最小值为2×8＝16. 答案：16考点二圆锥曲线的性质1．已知椭圆C ：16x 2＋4y 2＝1，则下列结论正确的是( ) A ．长轴长为12B ．焦距为34 C ．短轴长为14D ．离心率为32解析：由椭圆方程16x 2＋4y 2＝1化为标准方程可得x 2116＋y 214＝1 ，所以a ＝12，b ＝14，c ＝34，长轴为2a ＝1 ，焦距2c ＝32，短轴2b ＝12，离心率e ＝c a ＝32.故选D. 答案：D2．(2019·九江模拟)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ，b >0)的右顶点A 和右焦点F 到一条渐近线的距离之比为1∶2，则C 的渐近线方程为( ) A ．y ＝±x B ．y ＝±2x C ．y ＝±2xD ．y ＝±3x解析：由双曲线方程可得渐近线为：y ＝±bax ，A (a,0)，F (c,0)，则点A 到渐近线距离d 1＝|ab |a 2＋b2＝ab c，点F 到渐近线距离d 2＝|bc |a 2＋b2＝bcc＝b ， ∴d 1∶d 2＝ab c∶b ＝a ∶c ＝1∶2，即c ＝2a ，则b a ＝c 2－a 2a ＝a a＝1， ∴双曲线渐近线方程为y ＝±x . 故选A. 答案：A3．已知双曲线C ：x 2－y 2＝1，则点(4,0)到C 的渐近线的距离为________．解析：双曲线C ：x 2－y 2＝1(a ＞b ＞0)的渐近线方程y ＝±x ，点(4,0)到C 的渐近线的距离为|±4|2＝2 2. 答案：2 24．(2019·株洲模拟)已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左右焦点，B 是短轴的一个端点，线段BF 2的延长线交椭圆C 于点D ，若△F 1BD 为等腰三角形，则椭圆C 的离心率为________．解析：如图，不妨设点B 是椭圆短轴的上端点，则点D 在第四象限内，设点D (x ，y )．由题意得△F 1BD 为等腰三角形，且|DF 1|＝|DB |.由椭圆的定义得|DF 1|＋|DF 2|＝2a ，|BF 1|＝|BF 2|＝a ，又|DF 1|＝|DB |＝|DF 2|＋|BF 2|＝|DF 2|＋a ， ∴(|DF 2|＋a )＋|DF 2|＝2a ，解得|DF 2|＝a2.作DE ⊥x 轴于E ，则有|DE |＝|DF 2|sin ∠DF 2E ＝|DF 2|sin ∠BF 2O ＝a 2×b a ＝b2，|F 2E |＝|DF 2|cos ∠DF 2E ＝|DF 2|cos ∠BF 2O ＝a 2×c a ＝c 2，∴|OE |＝|OF 2|＋|F 2E |＝c ＋c 2＝3c2，∴点D 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫3c 2，－b 2.又点D 在椭圆上，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫3c 22a2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 22b2＝1，整理得3c 2＝a 2，所以e ＝c a ＝33. 答案：33考点三直线与圆锥曲线的相关问题1．(2019·内江模拟)设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左右焦点分别为F 1、F 2，上下顶点分别为A 、B ，直线AF 2与该椭圆交于A 、M 两点．若∠F 1AF 2＝120°，则直线BM 的斜率为( )A.14B.34C.32D. 3解析：由题意，椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，且满足∠F 1AF 2＝120°，如图所示，则在△AF 2O 中，|OA |＝b ，|AF 2|＝a ，且∠OAF 2＝60°，所以a ＝2b ，不妨设b ＝1，则a ＝2，所以c ＝a 2－c 2＝3，则椭圆的方程为x 24＋y 2＝1，又由A (0,1)，F 2(3，0)，所以kAF 2 ＝－33，所以直线AF 2的方程为y ＝－33x ＋1，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－33x ＋1x 24＋y 2＝1，整理得7x 2－83x ＝0，解得x ＝0或x ＝837，把x ＝837代入直线y ＝－33x ＋1，解得y ＝－17，即M ⎝ ⎛⎭⎪⎫837，－17 ，又由点B (0，－1)，所以BM 的斜率为k BM ＝－17－(－1)837－0＝34，故选B.答案：B2．已知直线l ：y ＝2x ＋b 被抛物线C ：y 2＝2px (p >0)截得的弦长为5，直线l 经过C 的焦点，M 为C 上的一个动点，设点N 的坐标为(3,0)，则MN 的最小值为________．解析：(1)∵⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋by 2＝2px ⇒4x 2＋(4b －2p )x ＋b 2＝0,则52＝(1＋22)⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫2b －p 22－4×b 42，又直线l 经过C 的焦点，则－b 2＝p 2，∴b ＝－p ，由此解得p ＝2, 抛物线方程为y 2＝4x ，M (x 0，y 0)，∴y 20＝4x 0，则|MN |2＝(x 0－3)2＋y 20＝(x 0－3)2＋4x 0＝(x 0－1)2＋8, 故当x 0＝1时，|MN |min ＝2 2. 答案：2 23．已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上的动点到其左焦点距离的最大值是最小值的3倍，且点P ⎝⎛⎭⎪⎫1，32在椭圆上．(1)求椭圆E 的标准方程；(2)过点G (0,1)作直线l 与曲线交于A ，B 两点，求△ABO 面积的最大值．解析：(1)由题意得，⎩⎪⎨⎪⎧a ＋c ＝3(a －c )a 2＝b 2＋c21a 2＋94b2＝1，解得a ＝2，b ＝3，∴椭圆的标准方程为x 24＋y 23＝1. (2)易知直线l 的斜率存在．设直线l 的方程为y ＝kx ＋1，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1x 24＋y23＝1，消去y 得(3＋4k 2)x 2＋8kx －8＝0，则x 1＋x 2＝－8k 3＋4k 2，x 1x 2＝－83＋4k2，∴|x 1－x 2|＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝46·1＋2k23＋4k2d ＝1k 2＋1，∴S △ABO ＝12×d ×1＋k 2|x 1－x 2|＝26·1＋2k 23＋4k 2，令 1＋2k 2＝t ，∵k 2≥0，∴t ≥1， ∴S △ABO ＝26t 2t 2＋1＝262t ＋1t，易证y ＝2t ＋1t 在[1，＋∞)上单调递增，∴2t ＋1t≥3，∴S △ABO ≤263，∴△ABO 面积的最大值为263.增分强化练考点一直线的方程1．直线mx ＋y －m ＋2＝0恒经过定点( ) A ．(1，－1) B ．(1,2) C ．(1，－2)D ．(1,1)解析：直线mx ＋y －m ＋2＝0，化为：m (x －1)＋y ＋2＝0，可知直线经过定点(1，－2)．故选C. 答案：C2．(2019·南昌模拟)唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为x 2＋y 2≤1，若将军从点A (2,0)处出发，河岸线所在直线方程为x ＋y ＝3，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为( ) A.10－1 B ．22－1 C ．2 2D.10解析：设点A 关于直线x ＋y ＝3的对称点A ′(a ，b )，AA ′的中点为⎝⎛⎭⎪⎫a ＋22，b 2，k AA ′＝b a －2，故⎩⎪⎨⎪⎧ba －2·(－1)＝－1a ＋22＋b 2＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3b ＝1，所以A ′(3,1)．要使从点A 到军营总路程最短，即为点A ′到军营最短的距离，“将军饮马”的最短总路程为32＋12－1＝10－1，故选A. 答案：A3．过点(－2,4)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线的一般方程为________．解析：①当在坐标轴上截距为0时，所求直线方程为：y ＝－2x ，即2x ＋y ＝0； ②当在坐标轴上截距不为0时，∵在坐标轴上截距互为相反数， ∴x －y ＝a ，将A (－2,4)代入得，a ＝－6， ∴此时所求的直线方程为x －y ＋6＝0. 答案：2x ＋y ＝0或 x －y ＋6＝04．平行线5x ＋12y －10＝0和mx ＋6y ＋2＝0的距离是________解析：由题意，两直线5x ＋12y －10＝0和mx ＋6y ＋2＝0平行，可得5m ＝126，解得m ＝52，即5x ＋12y ＋4＝0，由两平行直线之间的距离公式，可得d ＝|－10－4|52＋122＝1413. 答案：1413考点二圆的方程1．方程x 2＋y 2＋x ＋y －m ＝0表示一个圆，则m 的取值范围是( ) A ．m >－12B ．m <－12C ．m ≤－12D ．m ≥－12解析：因为方程x 2＋y 2＋x ＋y －m ＝0要表示一个圆，所以2＋4m >0 解得：m >－12，故选A.答案：A2．点M ，N 是圆x 2＋y 2＋kx ＋2y －4＝0上的不同两点，且点M ，N 关于直线x －y ＋1＝0对称，则该圆的半径等于( ) A ．2 2 B. 2 C ．1D ．3解析：圆x 2＋y 2＋kx ＋2y －4＝0的圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－k2，－1，因为点M ，N 在圆x 2＋y 2＋kx ＋2y －4＝0上，且点M ，N 关于直线l ：x －y ＋1＝0对称，所以直线l ：x －y ＋1＝0经过圆心，所以－k2＋1＋1＝0，k ＝4. 所以圆的方程为：x 2＋y 2＋4x ＋2y －4＝0，圆的半径为：12 42＋22－4×(－4)＝3. 故选D.答案：D3．已知圆C ：(x －6)2＋(y ＋8)2＝4，O 为坐标原点，则以OC 为直径的圆的方程为( ) A ．(x －3)2＋(y ＋4)2＝100 B ．(x ＋3)2＋(y －4)2＝100 C ．(x －3)2＋(y ＋4)2＝25 D ．(x ＋3) 2＋(y －4)2＝25解析：由题意可知：O (0,0)，C (6，－8)，则圆心坐标为(3，－4)，圆的直径为62＋(－8)2＝10，据此可得圆的方程为(x －3)2＋(y ＋4)2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1022，即(x －3)2＋(y ＋4)2＝25.故选C.答案：C4．已知圆C 的圆心是直线x －y ＋1＝0与x 轴的交点，且圆C 与直线x ＋y ＋3＝0相切，则圆C 的方程是( )A ．(x ＋1)2＋y 2＝2 B ．(x ＋1)2＋y 2＝8 C ．(x －1)2＋y 2＝2 D ．(x －1)2＋y 2＝8解析：直线x －y ＋1＝0与x 轴的交点坐标为(－1,0)，因为圆C 与直线x ＋y ＋3＝0相切，所以半径为圆心到切线的距离，即r ＝d ＝|－1＋0＋3|12＋12＝2，则圆C 的方程为(x ＋1)2＋y 2＝2，故选A. 答案：A考点三直线与圆的位置关系1．圆O 1：x 2＋y 2－2x ＝0和圆O 2：x 2＋y 2－4y ＝0的公切线条数是( ) A ．4条 B ．3条 C ．2条D ．1条解析：圆O 1：x 2＋y 2－2x ＝0的圆心(1,0)半径为1；圆O 2：x 2＋y 2－4y ＝0的圆心(0,2)半径为2，O 1O 2＝12＋22＝5，∵1＜5＜3，∴两个圆相交，所以圆O 1：x 2＋y 2－2x ＝0和圆O 2：x 2＋y 2－4y ＝0的公切线条数2.故选C.答案：C2．(2019·南宁模拟)已知直线l ：3x －4y －15＝0与圆C ：x 2＋y 2－2x －4y ＋5－r 2＝0(r >0)相交于A ，B 两点，若|AB |＝6，则圆C 的标准方程为( ) A ．(x －1)2＋(y －2)2＝25 B ．(x －1)2＋(y －2)2＝36 C ．(x －1)2＋(y －2)2＝16 D ．(x －1)2＋(y －2)2＝49解析：圆C ：x 2＋y 2－2x －4y ＋5－r 2＝0可化为(x －1)2＋(y －2)2＝r 2，设圆心(1,2)到直线l 的距离为d ，则d ＝|3－8－15|5＝4，又|AB |＝6，根据r 2＝32＋42＝25，所以圆C 的标准方程为(x －1)2＋(y －2)2＝25.故选A. 答案：A3．(2019·汕头模拟)已知直线l 与圆x 2＋y 2－4y ＝0相交于A ，B 两点，且线段AB 的中点P 的坐标为(－1,1)，则直线l 的方程为________．解析：因为圆x 2＋y 2－4y ＝0的圆心坐标为C (0,2)，又点P 坐标为(－1,1)，所以直线CP 的斜率为k CP ＝2－10＋1＝1；又因为AB 是圆的一条弦，P 为AB 的中点，所以AB ⊥CP ，故k AB ＝－1，即直线l 的斜率为－1，因此，直线l 的方程为y －1＝－(x ＋1)，即x ＋y ＝0. 答案：x ＋y ＝04．直线2x ＋y －3＝0与圆x 2＋y 2－2x －2y ＝0相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则|OA →＋OB →|＝________.解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 的中点为M ，联立直线方程与圆的方程⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－2x －2y ＝0y ＝－2x ＋3，整理可得5x 2－10x ＋3＝0，故x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝(－2x 1＋3)＋(－2x 2＋3)＝－2(x 1＋x 2)＋6＝2，据此可得M (1,1)，|OM →|＝1＋1＝2，结合平面向量的运算法则有|OA →＋OB →| ＝|2OM →| ＝2 2. 答案：2 2增分强化练1．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，P ，Q 是椭圆C 上的两个动点，且线段PQ 长度的最大值为4. (1)求椭圆C 的标准方程；(2)若OP ⊥OQ ，求△OPQ 面积的最小值．解析：(1)∵y 2＝4x 的焦点为(1,0)， ∴椭圆C 的右焦点F 为(1,0)，即c ＝1，又|PQ |的最大值为4，因此|PQ |＝2a ＝4， ∴a 2＝4，b 2＝a 2－c 2＝4－1＝3，所以椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)①当P ，Q 为椭圆顶点时，易得△OPQ 的面积为12×2×3＝3，②当P ，Q 不是椭圆顶点时，设直线OP 的方程为y ＝kx (k ≠0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx x 24＋y23＝1，得x 2＝123＋4k 2，所以|OP |＝k 2＋1 123＋4k2，由OP ⊥OQ ，得直线OQ 的方程为：y ＝－1kx ，所以|OQ |＝1k2＋1123＋41k 2＝ 1＋k 2123k 2＋4，所以S △OPQ ＝12|OP |·|OQ |＝6(k 2＋1)2(3＋4k 2)(3k 2＋4)＝6(k 2＋1)212k 4＋25k 2＋12＝6 112＋k 2(k 2＋1)2，(k 2＋1)2k2＝k 2＋1k2＋2≥4，当且仅当k 2＝1时等号成立，所以0<k 2(k 2＋1)2≤14，所以127≤S △OPQ <3，综上，△OPQ 面积的最小值为127.2．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，F 1，F 2分别为椭圆C 的左、右焦点，点P (263，33)满足PF →1·PF →2＝0. (1)求椭圆C 的方程；(2)直线l 经过椭圆C 的右焦点与椭圆相交于M ，N 两点，设O 为坐标原点，直线OM ，直线l ，直线ON 的斜率分别为k 1，k ，k 2，且k 1，k ，k 2成等比数列，求k 1·k 2的值．解析：(1)依题意F 1(－c,0)， ∴PF →1·PF →2＝－c 2＋3＝0，即c ＝3， ∵e ＝c a ＝32， ∴a ＝2， ∴b 2＝a 2－c 2＝1，∴椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)设直线l 的方程为y ＝k (x －3)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1y ＝k (x －3)，得(1＋4k 2)x 2－83k 2x ＋4(3k 2－1)＝0，则x 1＋x 2＝83k 21＋4k 2，x 1x 2＝12k 2－41＋4k 2，∵k 1，k ，k 2成等比数列，∴k 1·k 2＝k 2＝y 1y 2x 1x 2＝k 2(x 1－3)(x 2－3)x 1x 2，则3(x 1＋x 2)＝3，即83k21＋4k 2＝3，解得k 2＝14，故k 1k 2＝14.3．已知抛物线C ：y 2＝2px (0<p <1)上的点P (m,1)到其焦点F 的距离为54.(1)求C 的方程；(2)已知直线l 不过点P 且与C 相交于A ，B 两点，且直线PA 与直线PB 的斜率之积为1，证明：l 过定点．解析：(1)由题意，得2pm ＝1，即m ＝12p.由抛物线的定义，得|PF |＝m －(－p 2)＝12p ＋p2.由题意，知12p ＋p 2＝54，解得p ＝12或p ＝2(舍去)．所以C 的方程为y 2＝x . (2)证明：由(1)得P (1,1)．设l ：x ＝ny ＋t ，由于直线l 不过点P (1,1)，所以n ＋t ≠1.由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝x ，x ＝ny ＋t消去x 并整理得y 2－ny －t ＝0.由题意，判别式Δ＝n 2＋4t >0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝n ，①y 1y 2＝－t ，②则k PA k PB ＝y 1－1x 1－1·y 2－1x 2－1＝y 1－1y 21－1·y 2－1y 22－1＝1y 1y 2＋(y 1＋y 2)＋1. 由题意，得y 1y 2＋(y 1＋y 2)＋1＝1，即y 1y 2＋(y 1＋y 2)＝0，③将①②代入③得－t ＋n ＝0，即t ＝n .所以l ：x ＝n (y ＋1)．显然l 过定点(0，－1)．4．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，焦距为2，长轴的长为4.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设过点F 1的直线l 与椭圆C 交于E ，D 两点，试问：在x 轴上是否存在定点M ，使得直线ME ，MD 的斜率之积为定值？若存在，求出该定值及定点M 的坐标；若不存在，请说明理由．解析：(1)因为椭圆C 的焦距为2，长轴的长为4，所以2c ＝2,2a ＝4，解得c ＝1，a ＝2，所以b 2＝a 2－c 2＝3，所以椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)设E (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，M (m,0)．易知F 1(－1,0)，当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)．联立方程，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋1)，x 24＋y23＝1，得(4k 2＋3)x 2＋8k 2x ＋4k 2－12＝0，则x 1＋x 2＝－8k 24k 2＋3，x 1x 2＝4k 2－124k 2＋3.又y 1y 2＝k 2(x 1＋1)(x 2＋1)＝k 2(x 1x 2＋x 1＋x 2＋1)＝k 2(4k 2－124k 2＋3－8k 24k 2＋3＋1)＝－9k24k 2＋3，直线ME ，MD 的斜率k ME ＝y 1x 1－m，k MD ＝y 2x 2－m，则k ME ·k MD ＝y 1x 1－m ·y 2x 2－m ＝y 1y 2(x 1－m )(x 2－m )＝y 1y 2x 1x 2－m (x 1＋x 2)＋m 2＝－9k 24k 2＋34k 2－124k 2＋3－m (－8k 24k 2＋3)＋m 2＝－9k24k 2＋34k 2－12＋8mk 2＋4m 2k 2＋3m24k 2＋3 ＝－9k2(4m 2＋8m ＋4)k 2＋3m 2－12. 要使直线ME ，MD 的斜率之积为定值，需3m 2－12＝0，解得m ＝±2.当m ＝2时，k ME ·k MD ＝－9k 2(4m 2＋8m ＋4)k 2＝－9k 236k 2＝－14；当m ＝－2时，k ME ·k MD ＝－9k 2(4m 2＋8m ＋4)k 2＝－9k 24k 2＝－94.当直线l 的斜率不存在时，不妨设E (－1，32)，D (－1，－32)，此时，当m ＝2时，M (2,0)，k ME ·k MD ＝－14；当m ＝－2时，M (－2,0)，k ME ·k MD ＝－94.综上，在x 轴上存在两个定点M ，使得直线ME ，MD 的斜率之积为定值．当定点M 的坐标为(2,0)时，直线ME ，MD 的斜率之积为定值－14；当定点M 的坐标为(－2,0)时，直线ME ，MD 的斜率之积为定值－94.增分强化练一、选择题1．双曲线x 23－y 29＝1的渐近线方程是( )A ．y ＝±3xB ．y ＝±13xC ．y ＝±3xD ．y ＝±33x 解析：因为x 23－y 29＝1，所以a ＝3，b ＝3，渐近线方程为y ＝±b ax ，即为y ＝±3x ，故选C. 答案：C2．已知双曲线my 2－x 2＝1(m ∈R)与抛物线x 2＝8y 有相同的焦点，则该双曲线的渐近线方程为( ) A ．y ＝±3x B ．y ＝±3x C ．y ＝±13xD ．y ＝±33x 解析：∵抛物线x 2＝8y 的焦点为(0,2)，∴双曲线的一个焦点为(0,2)，∴1m ＋1＝4，∴m ＝13，∴双曲线的渐近线方程为y ＝±3x ，故选A. 答案：A3．已知双曲线C ：x 2m 2－y 23＝1的离心率为2，则C 的焦点坐标为( )A ．(±2,0)B ．(±2，0)C ．(0，±2)D ．(0，±2)解析：由双曲线C ：x 2m 2－y 23＝1，离心率为2，可得m 2＋3m＝2，∴m 2＝1, 则c ＝m 2＋3＝2，故双曲线C 的焦点坐标是(±2,0)．故选A. 答案：A4．(2019·呼和浩特模拟)已知双曲线C 1：x 24－y 2k ＝1与双曲线C 2：x 2k －y 29＝1有相同的离心率，则双曲线C 1的渐近线方程为( ) A ．y ＝±32x B ．y ＝±62x C ．y ＝±34x D ．y ＝±64x 解析：由双曲线方程可知k >0，双曲线C 1：x 24－y 2k ＝1的离心率为4＋k2，双曲线C 2：x 2k －y 29＝1的离心率为k ＋9k，由题意得4＋k 2＝k ＋9k ，解得k ＝6, 双曲线C 1为x 24－y26＝1，则渐近线方程为y ＝±62x ，故选B. 答案：B5．已知双曲线C 的一个焦点坐标为(3，0)，渐近线方程为y ＝±22x ，则C 的方程是( ) A ．x 2－y 22＝1 B.x 22－y 2＝1 C.y 22－x 2＝1 D ．y 2－x 22＝1解析：因为双曲线C 的一个焦点坐标为(3，0)，所以c ＝3，又因为双曲线C 的渐近线方程为y ＝±22x ，所以有b a ＝22⇒a ＝2b ，c ＝3，而c ＝a 2＋b 2，所以解得a ＝2，b ＝1，因此双曲线方程为x 22－y 2＝1，故选B.答案：B6．(2019·岳阳模拟)过抛物线x 2＝4y 的焦点F 作直线，交抛物线于P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)两点，若y 1＋y 2＝6，则|P 1P 2|＝( ) A ．5 B ．6 C ．8D ．10解析：x 2＝4y 的焦点为(0,1)，准线为y ＝－1，因为P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)两点是过抛物线焦点的直线与抛物线的交点，所以P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)两点到准线的距离分别是y 1＋1，y 2＋1，所以由抛物线的定义知|P 1P 2|＝|P 1F |＋|P 2F |＝y 1＋1＋y 2＋1＝y 1＋y 2＋2＝6＋2＝8，故选C. 答案：C7．(2019·洛阳、许昌质检)若双曲线x 2－y 2b2＝1 (b >0)的一条渐近线与圆x 2＋(y －2)2＝1至多有一个交点，则双曲线离心率的取值范围是( ) A ．(1,2] B ．[2，＋∞) C ．(1，3]D ．[3，＋∞)解析：双曲线x 2－y 2b2＝1(b >0)的一条渐近线方程是bx －y ＝0，由题意圆x 2＋(y －2)2＝1的圆心(0,2)到bx －y ＝0的距离不小于1，即2b 2＋1≥1，则b 2≤3，那么离心率e ∈(1,2]，故选A. 答案：A8．(2019·咸阳模拟)已知椭圆、双曲线均是以直角三角形ABC 的斜边AC 的两端点为焦点的曲线，且都过B 点，它们的离心率分别为e 1，e 2，则1e 21＋1e 22＝( )A.32 B ．2 C.52D ．4解析：以AC 边所在的直线为x 轴，AC 中垂线所在的直线为y 轴建立直角坐标系(图略)，设椭圆方程为x 2a 21＋y 2b 21＝1，设双曲线方程为x 2a 22－y 2b 22＝1，焦距都为2c不妨设|AB |>|BC |，椭圆和双曲线都过点B ，则|AB |＋|BC |＝2a 1，|AB |－|BC |＝2a 2，所以|AB |＝a 1＋a 2，|BC |＝a 1－a 2，又因为△ABC 为直角三角形，|AC |＝2c ，所以(a 1＋a 2)2＋(a 1－a 2)2＝(2c )2，即a 21＋a 22＝2c 2，所以a 21c 2＋a 22c 2＝2，即1e 21＋1e 22＝2.故选B. 答案：B9．(2019·乌鲁木齐质检)已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，直线l 过焦点F 与抛物线C 分别交于A ，B 两点，且直线l 不与x 轴垂直，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点P (10,0)，则△AOB 的面积为( ) A ．4 3 B ．4 6 C ．8 2D ．8 6解析：设直线l ：x ＝ty ＋2，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝8x x ＝ty ＋2可以得到y 2－8ty －16＝0，所以AB 的中点M (4t 2＋2,4t )，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点P (10,0)，故t ≠0. 所以AB 的中垂线的方程为y ＝－1t (x －4t 2－2)＋4t ＝－1t ·x ＋8t ＋2t，令y ＝0可得x ＝8t 2＋2，解方程10＝8t 2＋2得t ＝±1. 此时AB ＝ 1＋t 2|y 1－y 2|＝81＋t 2t 2＋1＝16，O 到AB 的距离为d ＝21＋t2＝2，所以S ΔOAB ＝12×16×2＝8 2.故选C. 答案：C10．(2019·滨州模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点为F ，短轴的一个端点为P ，直线l ：4x －3y ＝0与椭圆C 相交于A ，B 两点．若|AF |＋|BF |＝6，点P 到直线l 的距离不小于65，则椭圆离心率的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，59 B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，32 C.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，53 D.⎝ ⎛⎦⎥⎤13，32 解析：如图所示，设F ′为椭圆的左焦点，连接AF ′，BF ′，则四边形AFBF ′是平行四边形，∴6＝|AF |＋|BF |＝|AF ′|＋|AF |＝2a ，∴a ＝3.取P (0，b )，∵点P 到直线l ∶4x ＋3y ＝0的距离不小于65，∴|3b |16＋9≥65，解得b ≥2. ∴c ≤9－4＝5，∴0<c a ≤53. ∴椭圆E 的离心率范围是⎝⎛⎦⎥⎤0，53. 故选C. 答案：C11．(2019·济宁模拟)已知直线l 过抛物线C ：y 2＝3x 的焦点F ，交C 于A ，B 两点，交C 的准线于点P ，若AF →＝FP →，则|AB |＝( ) A ．3 B ．4 C ．6D ．8解析：如图所示：不妨设A 在第一象限，由抛物线C ：y 2＝3x 可得F ⎝ ⎛⎭⎪⎫34，0，准线DP ：x ＝－34.因为AF →＝FP →，所以F 是AP 的中点，则AD ＝2CF ＝3.所以可得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫94，332，则k AF ＝3，所以直线AP 的方程为：y ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －34，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －34y 2＝3x，整理得：x 2－52x ＋916＝0所以x 1＋x 2＝52，则|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝52＋32＝4.故选B.答案：B12．(2019·晋城模拟)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，直线l 经过点F 且与双曲线的一条渐近线垂直，直线l 与双曲线的右支交于不同两点A ，B ，若AF →＝3FB →，则该双曲线的离心率为( ) A.52 B.62C.233D. 3解析：由题意得直线l 的方程为x ＝b ay ＋c ，不妨取a ＝1，则x ＝by ＋c ，且b 2＝c 2－1.将x ＝by ＋c 代入x 2－y 2b2＝1，(b ＞0)，得(b 4－1)y 2＋2b 3cy ＋b 4＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝－2b 3c b 4－1，y 1y 2＝b4b 4－1.由AF →＝3FB →，得y 1＝－3y 2，所以⎩⎪⎨⎪⎧－2y 2＝－2b 3cb 4－1－3y 22＝b 4b 4－1，得3b 2c 2＝1－b 4，解得b 2＝14，所以c＝b 2＋1＝54＝52，故该双曲线的离心率为e ＝c a ＝52，故选A. 答案：A 二、填空题13．(2019·合肥质检)抛物线x 2＝8y 的焦点坐标为________．解析：由抛物线方程x 2＝8y 知，抛物线焦点在y 轴上，由2p ＝8，得p2＝2，所以焦点坐标为(0,2)．答案：(0,2)14．已知过P (1,1)的直线l 与双曲线C ：x 2－y 2＝1只有一个公共点，则直线l 的条数为________．解析：双曲线C ：x 2－y 2＝1的渐近线方程y ＝±x ，其中一条渐近线y ＝x 过点P (1,1)，所以过点P (1,1)的直线x ＝1与双曲线右支相切，只有一个公共点，过P (1,1)与y ＝－x 平行的直线y ＝－x ＋2和双曲线右支相交，只有一个公共点，综上共有2条直线符合要求．答案：215．(2019·泰安模拟)抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，动点P 在抛物线C 上，点A (－1,0)，当|PF ||PA |取得最小值时，直线AP 的方程为________．解析：设P 点的坐标为(4t 2,4t )， ∵F (1,0)，A (－1,0)，∴|PF |2＝(4t 2－1)2＋16t 2＝16t 4＋8t 2＋1， |PA |2＝(4t 2＋1)2＋16t 2＝16t 4＋24t 2＋1， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫|PF ||PA |2＝16t 4＋8t 2＋116t 4＋24t 2＋1＝1－16t 216t 4＋24t 2＋1＝1－1616t 2＋1t2＋24≥1－16216t 2·1t2＋24＝1－1632＝12，当且仅当16t 2＝1t 2，即t ＝±12时取等号，此时点P 坐标为(1,2)或(1，－2)，此时直线AP 的方程为y ＝±(x ＋1)，即x ＋y ＋1＝0或x －y ＋1＝0. 答案：x ＋y ＋1＝0或x －y ＋1＝016．抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为A ，其准线与x 轴的交点为B ，如果在直线3x ＋4y ＋25＝0上存在点M ，使得∠AMB ＝90°，则实数p 的取值范围是________．解析：由题得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p2，0， ∵M 在直线3x ＋4y ＋25＝0上，设点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，－3x －254，∴AM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，－3x －254， BM →＝⎝⎛⎭⎪⎫x ＋p 2，－3x －254，又∠AMB ＝90°，∴AM →·BM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋p 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－3x －2542＝0，即25x 2＋150x ＋625－4p 2＝0， ∴Δ≥0，即1502－4×25×(625－4p 2)≥0，解得p ≥10或p ≤－10，又p >0，∴p 的取值范围是[10，＋∞)．答案：[10，＋∞) 三、解答题17．已知椭圆的焦点F 1(－4,0)，F 2(4,0)，过点F 2并垂直于x 轴的直线与椭圆的一个交点为B ，并且|F 1B |＋|F 2B |＝10，椭圆上不同的两点A (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)满足条件：|F 2A |，|F 2B |，|F 2C |成等差数列． (1)求椭圆的方程； (2)求弦AC 中点的横坐标．解析：(1)由题意可知2a ＝|F 1B |＋|F 2B |＝10. 所以a ＝5，又c ＝4，所以b ＝a 2－c 2＝3，所以椭圆方程为：x 225＋y 29＝1.(2)由点B (4，y B )在椭圆上，得|F 2B |＝|y B |＝95.由|F 2A |，|F 2B |，|F 2C |成等差数列，得 (x 1－4)2＋y 21＋ (x 2－4)2＋y 22＝2×95，①点A (x 1，y 1)在椭圆x 2125＋y 219＝1上，得y 21＝925(25－x 21)，所以 (x 1－4)2＋y 21 ＝x 21－8x 1＋16＋925(25－x 21)＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫5－45x 12＝15(25－4x 1)，② 同理可得 (x 2－4)2＋y 22＝15(25－4x 2)，③将②③代入①式，得15(25－4x 1)＋15(25－4x 2)＝185，所以x 1＋x 2＝8，设AC 中点坐标为(x 0，y 0)，则横坐标x 0＝x 1＋x 22＝4.18．(2019·合肥质检)已知F 1，F 2分别为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左，右焦点，点P ⎝⎛⎭⎪⎫1，22在椭圆C 上，且△PF 1F 2的面积为22. (1)求椭圆C 的方程；(2)设过点F 1的直线l 交椭圆于A ，B 两点，求F 2A →·F 2B →的取值范围．解析：(1)由椭圆C 经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，22，且△PF 1F 2的面积为22，得1a 2＋12b 2＝1，且12×2c ×22＝22，即c ＝1. 又a 2－b 2＝c 2＝1，解得a 2＝2，b 2＝1. 所以椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)由(1)知F 1(－1,0)，F 2(1,0)．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．若直线l 的斜率不存在，可得点A ，B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，22，⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－22，则F 2A →·F 2B →＝72.当直线l 的斜率存在时，设l ：y ＝k (x ＋1)，代入椭圆方程得(1＋2k 2)x 2＋4k 2x ＋2(k 2－1)＝0. 则Δ＝16k 4－8(1＋2k 2)(k 2－1)＝8k 2＋8>0恒成立．所以x 1＋x 2＝－4k 21＋2k 2，x 1x 2＝2(k 2－1)1＋2k 2.所以F 2A →·F 2B →＝(x 1－1)(x 2－1)＋y 1y 2 ＝(1＋k 2)x 1x 2＋(k 2－1)(x 1＋x 2)＋k 2＋1＝7k 2－11＋2k 2＝72－92(1＋2k 2). 又k 2≥0，则F 2A →·F 2B →＝72－92(2k 2＋1)∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，72. 综上可知，F 2A →·F 2B →的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，72.增分强化练(三十一)考点一范围、最值问题(2019·大连模拟)已知抛物线C ：x 2＝2py (p >0)，其焦点到准线的距离为2，直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，过A ，B 分别作抛物线C 的切线l 1，l 2，l 1与l 2交于点M . (1)求p 的值；(2)若l 1⊥l 2，求△MAB 面积的最小值．解析：(1)由题意知，抛物线焦点为：⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2，准线方程为：y ＝－p2，焦点到准线的距离为2，即p ＝2. (2)抛物线的方程为x 2＝4y ，即y ＝14x 2，所以y ′＝12x ，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，l 1：y －x 214＝x 12(x －x 1)，l 2：y －x 224＝x 22(x －x 2)，由于l 1⊥l 2，所以x 12·x 22＝－1，即x 1x 2＝－4.设直线l 方程为y ＝kx ＋m ，与抛物线方程联立，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m x 2＝4y ，所以x 2－4kx －4m ＝0，Δ＝16k 2＋16m >0，x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4m ＝－4，所以m ＝1.即l ：y ＝kx ＋1，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 12x －x 214y ＝x 22x －x224，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2k y ＝－1，即M (2k ，－1)，M 点到直线l 的距离d ＝|k ·2k ＋1＋1|1＋k 2＝2|k 2＋1|1＋k 2， |AB |＝(1＋k 2)[](x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝4(1＋k 2)，所以S ＝12×4(1＋k 2)×2|k 2＋1|1＋k 2＝4(1＋k 2)32≥4，当k ＝0时，△MAB 面积取得最小值4. 考点二定点、定值问题(2019·南昌模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，点M 在C 的长轴上运动，过点M 且斜率大于0的直线l 与C 交于P ，Q 两点，与y 轴交于N 点．当M 为C 的右焦点且l 的倾斜角为π6时，N ，P 重合，|PM |＝2. (1)求椭圆C 的方程；(2)当N ，P ，Q ，M 均不重合时，记NP →＝λNQ →，MP →＝μMQ →，若λμ＝1，求证：直线l 的斜率为定值．解析：(1)因为当M 为C 的右焦点且l 的倾斜角为π6时，N ，P 重合，|PM |＝2，所以a ＝|PM |＝2，故b c ＝tan π6＝33，因为a 2＝b 2＋c 2，因此c ＝3，b ＝1，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)证明：设l ：x ＝ty ＋m (m ≠0)，所以M (m,0)，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－m t ，所以k l ＝1t .因为斜率大于0，所以t >0，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则NP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1，y 1＋m t ，NQ →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，y 2＋m t ，由NP →＝λNQ →得，x 1＝λx 2，①同理可得y 1＝μy 2，②①②两式相乘得，x 1y 1＝λμx 2y 2，又λμ＝1，所以x 1y 1＝x 2y 2，所以(ty 1＋m )y 1＝(ty 2＋m )y 2，即t (y 21－y 22)＝m (y 2－y 1)，即(y 2－y 1)[]m ＋t (y 1＋y 2)＝0，由题意k l >0，知y 1－y 2≠0，所以m ＋t (y 1＋y 2)＝0.联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝ty ＋m x 24＋y 2＝1，得(t 2＋4)y 2＋2tmy ＋m 2－4＝0，依题意，y 1＋y 2＝－2tmt 2＋4，所以m －2t 2mt 2＋4＝0，又m ≠0，所以t 2＝4，因为t >0，故得t ＝2，所以k l ＝1t ＝12，即直线l 的斜率为12.考点三存在性问题已知抛物线y 2＝4x ，过点P (8，－4)的动直线l 交抛物线于A ，B 两点．(1)当P 恰为AB 的中点时，求直线l 的方程；(2)抛物线上是否存在一个定点Q ，使得以弦AB 为直径的圆恒过点Q ？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．解析：(1)设A ，B 两点坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，当P 恰为AB 的中点时，显然x 1≠x 2，故k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2，又y 1＋y 2＝－8，故k AB ＝－12，则直线l 的方程为y ＝－12x . (2)假设存在定点Q ，设Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 204，y 0，当直线l 斜率存在时，设l ：y ＝k (x －8)－4(k ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧ y 2＝4x y ＝k (x －8)－4，整理得ky 2－4y －32k －16＝0，Δ>0，y 1＋y 2＝4k ，y 1y 2＝－32－16k，由以弦AB 为直径的圆恒过点Q 知QA →·QB →＝0，即⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1－y 204⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－y 204＋(y 1－y 0)(y 2－y 0)＝0，即⎝ ⎛⎭⎪⎫y 214－y 204⎝ ⎛⎭⎪⎫y 224－y 204＋(y 1－y 0)(y 2－y 0)＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤(y 1＋y 0)(y 2＋y 0)16＋1(y 1－y 0)(y 2－y 0)＝0，故(y 1＋y 0)(y 2＋y 0)＝－16，即y 1y 2＋y 0(y 1＋y 2)＋y 20＋16＝0，整理得(y 20－16)k ＋4(y 0－4)＝0，即当y 0＝4时，恒有QA →·QB →＝0，故存在定点Q (4,4)满足题意；当直线l 斜率不存在时，l ：x ＝8，不妨令A (8,42)，B (8，－42)，Q (4,4)，也满足QA →·QB→＝0，综上所述，存在定点Q (4,4)，使得以弦AB 为直径的圆恒过点Q .。

2020届江苏高考数学二轮复习微专题：解析几何

解析几何1.直线的倾斜角α与斜率k(1)倾斜角α的范围为[0，π).(2)直线的斜率①定义：k ＝tan α⎝⎛⎭⎪⎫α≠π2；倾斜角为π2的直线没有斜率；②斜率公式：经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)(x 1≠x 2)的直线的斜率为k ＝y 1－y 2x 1－x 2(x 1≠x 2)；③直线的方向向量a ＝(1，k ).[回顾问题1] 直线x cos θ＋3y －2＝0的倾斜角的范围是________.答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫5π6，π 2.直线的方程(1)点斜式：y －y 0＝k (x －x 0)，它不包括垂直于x 轴的直线.(2)斜截式：y ＝kx ＋b ，它不包括垂直于x 轴的直线.(3)两点式：y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1，它不包括垂直于坐标轴的直线. (4)截距式：x a ＋y b ＝1，它不包括垂直于坐标轴的直线和过原点的直线.(5)一般式：任何直线均可写成Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为0)的形式.[回顾问题2] 已知直线过点P (1，5)，且在两坐标轴上的截距相等，则此直线的方程为________.答案 5x －y ＝0或x ＋y －6＝03.点到直线的距离及两平行直线间的距离(1)点P (x 0，y 0)到直线Ax ＋By ＋C ＝0的距离为d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B2； (2)两平行线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0，l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0(C 1≠C 2)间的距离d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2. [回顾问题3] 直线3x ＋4y ＋5＝0与6x ＋8y －7＝0的距离为________.答案 17104.两直线的平行与垂直①l 1：y ＝k 1x ＋b 1，l 2：y ＝k 2x ＋b 2(两直线斜率存在，且不重合)，则有l 1∥l 2⇔k 1＝k 2；l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1.②l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，则有l 1∥l 2⇔A 1B 2－A 2B 1＝0且B 1C 2－B 2C 1≠0；l 1⊥l 2⇔A 1A 2＋B 1B 2＝0.[回顾问题4] “a ＝15”是“直线2ax ＋(a －1)y ＋2＝0与直线(a ＋1)x ＋3ay ＋3＝0垂直”的________条件.(从“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”中选取一个填写)答案充分不必要5.圆的方程(1)圆的标准方程：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r ＞0).(2)圆的一般方程：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F ＞0)，只有当D 2＋E 2－4F＞0时，方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0才表示圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E 2，半径为 12D 2＋E 2－4F 的圆. [回顾问题5] 若方程a 2x 2＋(a ＋2)y 2＋2ax ＋a ＝0表示圆，则a ＝________. 答案－16.直线、圆的位置关系(1)直线与圆的位置关系直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0和圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r ＞0)有相交、相离、相切三种位置关系.可从代数和几何两个方面来判断：①代数方法(判断直线与圆方程联立所得方程组的解的情况)：Δ＞0⇔相交；Δ＜0⇔相离；Δ＝0⇔相切；②几何方法(比较圆心到直线的距离与半径的大小)：设圆心到直线的距离为d ，则d ＜r ⇔相交；d ＞r ⇔相离；d ＝r ⇔相切.(2)圆与圆的位置关系已知两圆的圆心分别为O 1，O 2，半径分别为r 1，r 2，则①当O 1O 2＞r 1＋r 2时，两圆外离；②当O 1O 2＝r 1＋r 2时，两圆外切；③当|r 1－r 2|＜O 1O 2＜r 1＋r 2时，两圆相交；④当O 1O 2＝|r 1－r 2|时，两圆内切；⑤当0≤O 1O 2＜|r 1－r 2|时，两圆内含. 若两圆相交把两圆x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＝0与x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2＝0方程相减即得相交弦所在直线方程：(D 1－D 2)x ＋(E 1－E 2)y ＋(F 1－F 2)＝0.[回顾问题6] 已知圆C 与圆x 2＋y 2＋10x ＋10y ＝0相切于原点，且过点A (0，－6)，则圆C 的标准方程为________.答案 (x ＋3)2＋(y ＋3)2＝187.对圆锥曲线的定义要做到抓住关键词，例如椭圆中定长大于定点之间的距离，双曲线定义中是到两定点距离之差的“绝对值”，否则只是双曲线的其中一支.[回顾问题7] 方程（x ＋3）2＋y 2＋（x －3）2＋y 2＝6表示的曲线是________.答案线段y ＝0(－3≤x ≤3)8.求椭圆、双曲线的标准方程，一般遵循先定位，再定型，后定量的步骤，即先确定焦点的位置，再设出其方程，求出待定系数.(1)椭圆标准方程：焦点在x 轴上，x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)；焦点在y 轴上，y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0).(2)双曲线标准方程：焦点在x 轴上，x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)；焦点在y 轴上，y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0).(3)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)具有共同渐近线的双曲线系为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0).[回顾问题8] (2019·如皋市高三年级第二学期语数英学科模拟(二)，3)已知双曲线x 2m －y 2＝1(m ＞0)的一条渐近线方程为x ＋3y ＝0，则m ＝________.答案 99.(1)在把圆锥曲线与直线联立求解时，消元后得到的方程中要注意二次项的系数是否为零，利用解情况可判断位置关系.有两解时相交；无解时相离；有唯一解时，在椭圆中相切，在双曲线中需注意直线与渐近线的关系.(2)直线与圆锥曲线相交时的弦长问题斜率为k 的直线与圆锥曲线交于两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，则所得弦长P 1P 2＝1＋k 2|x 1－x 2|＝（1＋k 2）[（x 1＋x 2）2－4x 1x 2]或P 1P 2＝1＋1k 2|y 1－y 2|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1k 2[（y 1＋y 2）2－4y 1y 2]. [回顾问题9] 在平面直角坐标系xOy 中，已知直线y ＝kx 被圆x 2＋y 2－2mx －23。

2020年高考数学二轮专题复习解析几何习题精选精品

2020年高考数学二轮专题复习解析几何习题精选一、选择题：1、直线3y 3x =+的倾斜角是＿＿＿＿＿＿。

A ．6πB ．3πC ．32πD ．65π2、直线m 、l 关于直线x = y 对称，若l 的方程为1x 2y +=，则m 的方程为＿＿＿＿＿。

A ．21x 21y +-= B ．21x 21y --= C ．21x 21y +=D ．21x 21y -=3、已知平面内有一长为4的定线段AB ，动点P 满足|PA|—|PB|=3，O 为AB 中点，则|OP|的最小值为＿＿＿＿＿＿。

A ．1B ．23C ．2D ．34、点P 分有向线段21P P 成定比λ，若λ∈()1,-∞-，则λ所对应的点P 的集合是＿＿＿。

A ．线段21P PB ．线段21P P 的延长线C ．射线21P PD ．线段21P P 的反向延长线5、已知直线L 经过点A ()0,2-与点B ()3,5-，则该直线的倾斜角为＿＿＿＿＿＿。

A ．150°B ．135°C ．75°D ．45°6、经过点A ()1,2且与直线04y x 3=+-垂直的直线为＿＿＿＿＿＿。

A ．05y 3x =++B ．05y 3x =-+C ．05y 3x =+-D ．05y 3x =--7、经过点()0,1且与直线x 3y =所成角为30°的直线方程为＿＿＿＿＿＿。

A ．01y 3x =-+ B ．01y 3x =--或1y =C ．1x =D ． 01y 3x =--或1x =8、已知点A ()3,2-和点B ()2,3--，直线m 过点P ()1,1且与线段AB 相交，则直线m 的斜率k的取值范围是＿＿＿＿＿＿。

A ．4k 43k -≤≥或 B ．43k 4≤≤- C ．51k -< D ．4k 43≤≤- 9、两不重合直线0n y mx =-+和01my x =++相互平行的条件是＿＿＿＿＿＿。

衡水中学2020届高考数学二轮复习15 解析几何中的综合问题

衡水中学2020届高考数学二轮复习15 解析几何中的综合问题1．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的内接矩形的面积最大值为________．解析：设P (x ，y )为矩形的一个顶点，则x 2a 2＋y 2b 2＝1≥2x 2y 2a 2b 2＝2|xy |ab，所以S ＝4|xy |≤2ab ，当且仅当x 2a 2＝y 2b 2＝12时等号成立．答案：2ab2．两点A (3,0)，B (0,4)，动点P (x ，y )在线段AB 上运动，则xy 的最大值为________．解析：由题意得x 3＋y 4＝1(x >0，y >0)所以1＝x 3＋y4≥2xy 12即xy ≤3，当且仅当x 3＝y 4＝12时等号成立．答案：33．和圆(x －3)2＋(y －1)2＝36关于直线x ＋y ＝0对称的圆的方程是________．解析：圆心(3,1)关于直线x ＋y ＝0的对称点的坐标为(－1，－3)，半径不变，方程为(x ＋1)2＋(y ＋3)2＝36.答案：(x ＋1)2＋(y ＋3)2＝364．若实数x ，y 满足x 2＋y 2－2x ＝0，则x 2＋y 2的取值范围是________．解析：由y 2＝2x －x 2≥0得0≤x ≤2，所以x 2＋y 2＝2x ∈[0,4]．答案：[0,4]5．设A (x 1，y 1)，B ⎝⎛⎭⎫4，95，C (x 2，y 2)是右焦点为F 的椭圆x 225＋y29＝1上三个不同的点，若AF ，BF ，CF 成等差数列，则x 1＋x 2＝________.解析：根据圆锥曲线的共同性质可知A ，B ，C 到右准线x ＝254的距离成等差数列，则2⎝⎛⎭⎫254－4＝254－x 1＋254－x 2，即x 1＋x 2＝8. 答案：8[典例1]已知i ，j 是x ，y 轴正方向的单位向量，设a ＝(x －3)i ＋y j ，b ＝(x ＋3)i ＋y j ，且满足|a |＋|b |＝4.(1)求点P (x ，y )的轨迹C 的方程；(2)如果过点Q (0，m )且方向向量为c ＝(1,1)的直线l 与点P 的轨迹交于A ，B 两点，当△AOB 的面积取到最大值时，求m 的值．[解] (1)∵a ＝(x －3)i ＋y j ，b ＝(x ＋3)i ＋y j ，且|a |＋|b |＝4.∴点P (x ，y )到点(3，0)，(－3，0)的距离之和为4，故点P 的轨迹方程为x 24＋y 2＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，依题意直线AB 的方程为y ＝x ＋m . 代入椭圆方程，得5x 2＋8mx ＋4m 2－4＝0，则x 1＋x 2＝－85m ，x 1·x 2＝45(m 2－1)．因此，S △AOB ＝12AB ·d ＝25(5－m 2)m 2≤25×52＝1.当5－m 2＝m 2时，即m ＝±102时，S max ＝1.(1)本题以向量为载体考查椭圆的定义、标准方程、直线与椭圆的位置关系及最值问题． (2)求解解析几何中的最值问题，一般要先建立目标函数，再求最值，求最值的方法主要是配方法和利用基本不等式．[演练1]已知点A (－22，0)，B (－2，0)，动点P 满足AP ·AB ＝2|AB |·|BP |，若动点P 的轨迹记作曲线C 1.(1)求曲线C 1的方程；(2)已知曲线C 1交y 轴正半轴于点Q ，过点D ⎝⎛⎭⎫0，－23作斜率为k 的直线l 交曲线C 1于M 、N 点，求证：无论k 如何变化，以MN 为直径的圆过点Q .解：(1)设P (x ，y )，则有AP ＝(x ＋22，y )，AB ＝(2，0)，BP ＝(x ＋2，y )．∵AP ·AB ＝2·|AB |·|BP |， ∴2x ＋4＝2·2· (x ＋2)2＋y 2.化简得x 24＋y 22＝1.故曲线C 1的方程为x 24＋y 22＝1.(2)证明：由x 24＋y 22＝1，得Q (0，2)．设直线l 的方程为y ＝kx －23，代入x 24＋y 22＝1得(1＋2k 2)x 2－423kx －329＝0.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则QM ＝(x 1，y 1－2)，QN ＝(x 2，y 2－2)． ∴x 1＋x 2＝42k 3(1＋2k 2)，x 1·x 2＝－329(1＋2k 2). ∴QM ·QN ＝x 1x 2＋⎝⎛⎭⎫kx 1－423⎝⎛⎭⎫kx 2－423 ＝x 1x 2(1＋k 2)－423k (x 1＋x 2)＋329＝－329(1＋k 2)1＋2k 2－423k ·42k 3(1＋2k 2)＋329＝0.∴QM ⊥QN .即点Q 在以MN 为直径的圆上． [典例2]已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点M (0,2)是椭圆的一个顶点，△F 1MF 2是等腰直角三角形．(1)求椭圆的方程；(2)过点M 分别作直线MA ，MB 交椭圆于A ，B 两点，设两直线的斜率分别为k 1，k 2，且k 1＋k 2＝8，证明：直线AB 过定点⎝⎛⎭⎫－12，－2. [解] (1)因为b ＝2，△F 1MF 2是等腰直角三角形，所以c ＝2，所以a ＝22，故椭圆的方程为x 28＋y 24＝1.(2)证明：①若直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为y ＝kx ＋m ，A 点坐标为(x 1，y 1)，B 点坐标为(x 2，y 2)，联立方程得，⎩⎪⎨⎪⎧x 28＋y 24＝1，y ＝kx ＋m ，消去y ，得(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－8＝0，则x 1＋x 2＝－4km1＋2k 2，x 1x 2＝2m 2－81＋2k 2.由题知k 1＋k 2＝y 1－2x 1＋y 2－2x 2＝8，所以kx 1＋m －2x 1＋kx 2＋m －2x 2＝8，即2k ＋(m －2)x 1＋x 2x 1x 2＝8.所以k －mk m ＋2＝4，整理得m ＝12k －2.故直线AB 的方程为y ＝kx ＋12k －2，即y ＝k ⎝⎛⎭⎫x ＋12－2. 所以直线AB 过定点⎝⎛⎭⎫－12，－2. ②若直线AB 的斜率不存在，设直线AB 的方程为x ＝x 0，A (x 0，y 0)，B (x 0，－y 0)，则由题知y 0－2x 0＋－y 0－2x 0＝8，得x 0＝－12.此时直线AB 的方程为x ＝－12，显然直线AB 过点⎝⎛⎭⎫－12，－2. 综上可知，直线AB 过定点⎝⎛⎭⎫－12，－2.(1)本题主要考查椭圆的标准方程，直线方程及圆锥曲线中定值问题的证明． (2)证明直线过定点时，可先用参数表示出直线方程，再根据方程的特点去证明． (3)证明函数式为定值时，一般是写出其表达式，消去参数，从而证明为定值．[演练2]如图，已知椭圆的两个焦点F 1、F 2在y 轴上，短轴长为22，离心率为22，点P 是椭圆上一点，且在第一象限内，1PF ·2PF ＝1，过点P 作关于直线PF 1对称的两条直线P A 、PB ，分别交椭圆于A 、B 两点．(1)求点P 的坐标；(2)求证：直线AB 的斜率为定值．解：(1)设椭圆方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)．因为椭圆的短轴长为22，离心率为22，所以2b ＝22，c a ＝22，解得a ＝2，b ＝2，c ＝2，所以椭圆的方程为y 24＋x 22＝1.所以F 1(0，2)，F 2(0，－2)．设P (x 0，y 0)(x 0>0，y 0>0)，则1PF ＝(－x 0，2－y 0)，2PF ＝(－x 0，－2－y 0)，所以1PF ·2PF ＝x 20－(2－y 20)＝1.又点P (x 0，y 0)在椭圆上，则x 202＋y 204＝1，所以x 20＝4－y 202，从而4－y 202－(2－y 20)＝1，解得y 0＝2或y 0＝－2(舍去)，则点P 的坐标为(1，2)．(2)证明：由(1)知PF 1∥x 轴，所以直线P A 、PB 的斜率互为相反数．设直线PB 的斜率为k ，不妨令k >0，则直线PB 的方程为y －2＝k (x －1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y －2＝k (x －1)，x 22＋y 24＝1，得(2＋k 2)x 2＋2k (2－k )x ＋(2－k )2－4＝0.设B (x B ，y B )，则x B ＝(2－k )2－42＋k 2＝k 2－22k －22＋k 2，同理可得x A ＝k 2＋22k －22＋k 2.所以x A －x B ＝42k2＋k 2，y A －y B ＝－k (x A －1)－k (x B －1)＝8k2＋k 2.所以直线AB 的斜率k AB ＝y A －y Bx A －x B ＝2为定值．[典例3]已知中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为22的椭圆C 经过点(6，1)． (1)求椭圆C 的标准方程；(2)若过椭圆的一个焦点且互相垂直的直线l 1、l 2分别与椭圆交于A ，B 和C ，D ，那么是否存在常数λ使得AB ＋CD ＝λ·AB ·CD ？若存在，求出实数λ的值；若不存在，请说明理由．[解] (1)设椭圆C 的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，由离心率e ＝c a ＝22，c 2＝a 2－b 2，可得a 2－b 2a 2＝12，从而a 2＝2b 2，故椭圆C 的标准方程为x 22b 2＋y 2b 2＝1，将点(6，1)代入椭圆方程可得b 2＝4，易知a 2＝8，则椭圆C 的标准方程为x 28＋y 24＝1.(2)原问题等价于1AB ＋1CD ＝λ(λ为常数)．不妨取椭圆C 的右焦点(2,0)， ①当直线AB 的斜率存在且不为0时，设直线AB 的方程为y ＝k (x －2)，将其代入椭圆方程得(1＋2k 2)x 2－8k 2x ＋8k 2－8＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝8k 21＋2k 2，x 1x 2＝8k 2－81＋2k 2.根据弦长公式易得AB ＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝1＋k 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫8k 21＋2k 22－4·8k 2－81＋2k 2＝42(1＋k 2)1＋2k 2，从而易知，CD ＝42(1＋k 2)2＋k 2，所以1AB ＋1CD ＝328，AB ＋CD ＝328AB ·CD .②当直线AB 斜率不存在或为0时，AB 、CD 中一个是长轴的长度，另一个是通径的长度．易得AB ＋CD ＝328AB ·CD .综上所述，存在常数λ＝328，使得AB ＋CD ＝λAB ·CD .本题主要考查椭圆的标准方程和几何性质及圆锥曲线中的探索性问题．本题(2)的解法中将等式巧妙变形，即把问题转化为弦长的计算问题，体现了化归思想的重要作用．[演练3]已知A 、B 为椭圆x 24＋y 23＝1的左、右顶点，F 为椭圆的右焦点，P 是椭圆上异于A 、B的任意一点，直线AP 、BP 分别交直线l ：x ＝m (m >2)于M 、N 两点，l 交x 轴于C 点．(1)当PF ∥l 时，求点P 的坐标；(2)是否存在实数m ，使得以MN 为直径的圆过点F ？若存在，求出实数m 的值；若不存在，请说明理由．解：(1)∵a 2＝4，b 2＝3，∴c ＝a 2－b 2＝1.连结PF ，当PF ∥l 时，将x ＝1代入x 24＋y 23＝1，得y ＝±32，则P ⎝⎛⎭⎫1，±32. (2)设椭圆上任意一点P (x 0，y 0)，易得直线AM 的方程为y ＝y 0x 0＋2(x ＋2)，由⎩⎨⎧ y ＝y 0x 0＋2(x ＋2)，x ＝m ，得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫m ，(m ＋2)y 0x 0＋2.直线BN 的方程为y ＝y 0x 0－2(x －2)，由⎩⎨⎧y ＝y 0x 0－2(x －2)，x ＝m ，得N ⎝⎛⎭⎪⎫m ，(m －2)y 0x 0－2.∵点P (x 0，y 0)在椭圆x 24＋y 23＝1上，∴x 204＋y 203＝1，变形得y 20x 20－4＝－34， ∴k MF ·k NF ＝(m ＋2)y 0x 0＋2m －1·(m －2)y 0x 0－2m －1＝(m 2－4)y 20(m －1)2(x 20－4)＝m 2－4(m －1)2·⎝⎛⎭⎫－34＝－3(m 2－4)4(m －1)2. 要使以MN 为直径的圆过点F ，即要满足MF ⊥NF ，则k MF ·k NF ＝－1，解得m ＝4. 所以存在m ＝4，使得以MN 为直径的圆过点F . [专题技法归纳] 1．定点定值问题的求解策略： (1)从一般的情形进行论证．(2)运用从特殊到一般的思想来解决问题，即先求出特殊情形下的值，如直线的斜率不存在的情况，再论证该特殊值对一般情形也成立．2．求解最值问题应注意：(1)如果建立的函数是关于斜率k 的函数，要增加考虑斜率不存在的情况；(2)如果建立的函数是关于点的坐标x ，y 的函数，可以考虑用代入消元、基本不等式、三角换元或几何解法来解决问题．1.(2012·陕西高考)右图是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2米，水面宽4米．水位下降1米后，水面宽______米．解析：以抛物线的顶点为原点，对称轴为y 轴建立直角坐标系，设抛物线的方程为x 2＝－2py ，则点(2，－2)在抛物线上，代入可得p ＝1，所以x 2＝－2y .当y ＝－3时，x 2＝6，所以水面宽为2 6.答案：2 62．(2012·江西高考)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别是A ，B ，左、右焦点分别是F 1，F 2.若|AF 1|，|F 1F 2|，|F 1B |成等比数列，则此椭圆的离心率为____________．解析：依题意得|F 1F 2|2＝|AF 1|·|BF 1|，即4c 2＝(a －c )·(a ＋c )＝a 2－c 2，整理得5c 2＝a 2，得e ＝c a ＝55. 答案：553.(2012·湖北高考)如图，双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ，b ＞0)的两顶点为A 1，A 2，虚轴两端点为B 1，B 2，两焦点为F 1，F 2.若以A 1A 2为直径的圆内切于菱形F 1B 1F 2B 2，切点分别为A ，B ，C ，D .则(1)双曲线的离心率e ＝________；(2)菱形F 1B 1F 2B 2的面积S 1与矩形ABCD 的面积S 2的比值S 1S 2＝________.解析：(1)由题意可得ab 2＋c 2＝bc ，则a 4－3a 2c 2＋c 4＝0，即e 4－3e 2＋1＝0，解得e 2＝3＋52，故e ＝1＋52.(2)设∠B 2F 1A 2＝θ，则sin θ＝b b 2＋c2，cos θ＝c b 2＋c2，S 1S 2＝2bc 4a 2sin θcos θ＝2bc4a 2·bc b 2＋c 2＝b 2＋c 22a 2＝e 2－12＝2＋52. 答案：(1)1＋52 (2)2＋524．(2012·北京高考)在直角坐标系xOy 中，直线l 过抛物线y 2＝4x 的焦点F ，且与该抛物线相交于A ，B 两点，其中点A 在x 轴上方．若直线l 的倾斜角为60°，则△OAF 的面积为________．解析：直线l 的方程为y ＝3(x －1)，即x ＝33y ＋1，代入抛物线方程，得y 2－433y －4＝0，解得y A ＝433＋ 163＋162＝23(y B ＜0，舍去)，故△OAF 的面积为12×1×23＝ 3.答案： 35．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左顶点为A ，上顶点为B ，右焦点为F .设线段AB 的中点为M ，若2 MA ·MF ＋2BF ≥0，则该椭圆离心率的取值范围为________．解析：由题意得A (－a,0)，B (0，b )，M ⎝⎛⎭⎫－a 2，b 2，F (c,0)，则MA ＝⎝⎛⎭⎫－a 2，－b2，MF ＝⎝⎛⎭⎫c ＋a 2，－b 2.由2 MA ·MF ＋2BF ≥0可得c 2＋2ac －2a 2≤0，解得e ∈[－1－3，－1＋ 3 ]．又e ∈(0,1)，所以椭圆离心率的取值范围为(0，3－1]．答案：(0，3－1]6．若三角形三边所在直线方程分别为x ＋2y －5＝0，y －2＝0，x ＋y －4＝0，则能够覆盖此三角形且面积最小的圆的方程为________．解析：由已知条件可得三角形的三个顶点是(1,2)，(2,2)和(3,1)，作出图形可知该三角形为钝角三角形．而能够覆盖钝角三角形的面积最小的圆是以钝角的对边(最长边)为直径的圆，而最长边的两个端点坐标分别为(1,2)，(3,1)，故圆心坐标为⎝⎛⎭⎫2，32，半径为52，则所求圆的方程为(x －2)2＋⎝⎛⎭⎫y －322＝54. 答案：(x －2)2＋⎝⎛⎭⎫y －322＝547．(2011·浙江高考)设F 1，F 2分别为椭圆x 23＋y 2＝1的左，右焦点，点A ，B 在椭圆上，若1F A ＝52F B ，则点A 的坐标是________．解析：根据题意设A 点坐标为(m ，n )，B 点坐标为(c ，d )．F 1、F 2分别为椭圆的左、右焦点，其坐标分别为(－2，0)，(2，0)，可得1F A ＝(m ＋2，n )，2F B ＝(c －2，d )．∵1F A ＝52F B ，∴c ＝m ＋625，d ＝n 5. ∵点A 、B 都在椭圆上，∴m 23＋n 2＝1，⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋62523＋⎝⎛⎭⎫n 52＝1.解得m ＝0，n ＝±1，故点A 坐标为(0，±1)．答案：(0，±1)8．已知F 1、F 2分别为双曲线C ：x 29－y 227＝1的左、右焦点，点A ∈C ，点M 的坐标为(2,0)，AM 为∠F 1AF 2的平分线，则AF 2＝________.解析：根据角平分线的性质，AF 2AF 1＝MF 2MF 1＝12. 又AF 1－AF 2＝6，故AF 2＝6.答案：69．已知F 是抛物线y 2＝x 的焦点，A ，B 是该抛物线上的两点，AF ＋BF ＝3，则线段AB 的中点到y 轴的距离为________．解析：如图，过A ，B 分别作准线l 的垂线AD ，BC ，垂足分别为D ，C ，M 是线段AB 的中点，MN 垂直准线l 于N ，由于MN 是梯形ABCD的中位线，所以MN ＝AD ＋BC 2.由抛物线的定义知AD ＋BC ＝AF ＋BF ＝3，所以MN ＝32，又由于准线l 的方程为x ＝－14，所以线段AB 中点到y 轴的距离为32－14＝54. 答案：5410．已知直线l 过抛物线C 的焦点，且与C 的对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，AB ＝12，P 为C 的准线上一点，则△ABP 的面积为________．解析：设抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，则焦点F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，A ⎝⎛⎭⎫p 2，p ，B ⎝⎛⎭⎫p 2，－p ，所以AB ＝2p ＝12，所以p ＝6.又点P 到AB 边的距离为p ＝6，所以S △ABP ＝12×12×6＝36. 答案：3611．(2012·陕西高考)已知椭圆C 1：x 24＋y 2＝1，椭圆C 2以C 1的长轴为短轴，且与C 1有相同的离心率．(1)求椭圆C 2的方程；(2)设O 为坐标原点，点A ，B 分别在椭圆C 1和C 2上，OB ＝2OA ，求直线AB 的方程．解：(1)由已知可设椭圆C 2的方程为y 2a 2＋x 24＝1(a >2)，其离心率为32，故a 2－4a ＝32，则a ＝4，故椭圆C 2的方程为y 216＋x 24＝1. (2)法一：A ，B 两点的坐标分别记为(x A ，y A )，(x B ，y B )，由OB ＝2OA 及(1)知，O ，A ，B 三点共线且点A ，B 不在y 轴上，因此可设直线AB 的方程为y ＝kx .将y ＝kx 代入x 24＋y 2＝1中，得(1＋4k 2)x 2＝4，所以x 2A ＝41＋4k2. 将y ＝kx 代入y 216＋x 24＝1中，得(4＋k 2)x 2＝16，所以x 2B ＝164＋k2. 又由OB ＝2OA ，得x 2B ＝4x 2A ，即164＋k 2＝161＋4k2，解得k ＝±1，故直线AB 的方程为y ＝x 或y ＝－x .法二：A ，B 两点的坐标分别记为(x A ，y A )，(x B ，y B )，由OB ＝2OA 及(1)知，O ，A ，B 三点共线且点A ，B 不在y 轴上，因此可设直线AB 的方程为y ＝kx .将y ＝kx 代入x 24＋y 2＝1中，得(1＋4k 2)x 2＝4，所以x 2A ＝41＋4k 2. 由OB ＝2OA ，得x 2B ＝161＋4k 2，y 2B ＝16k 21＋4k 2. 将x 2B ，y 2B 代入y 216＋x 24＝1中，得4＋k 21＋4k 2＝1，即4＋k 2＝1＋4k 2，解得k ＝±1，故直线AB 的方程为y ＝x 或y ＝－x .12．给定椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，称圆心在原点O ，半径为a 2＋b 2的圆是椭圆C 的“准圆”．若椭圆C 的一个焦点为F (2，0)，且其短轴上的一个端点到F 的距离为 3.(1)求椭圆C 的方程和其“准圆”方程；(2)点P 是椭圆C 的“准圆”上的一个动点，过动点P 作直线l 1，l 2，使得l 1，l 2与椭圆C 都只有一个交点，试判断l 1，l 2是否垂直，并说明理由．解：(1)由题意可知c ＝2，b 2＋c 2＝(3)2，则a ＝3，b ＝1，所以椭圆方程为x 23＋y 2＝1. 易知准圆半径为(3)2＋12＝2，则准圆方程为x 2＋y 2＝4.(2)①当l 1，l 2中有一条直线的斜率不存在时，不妨设l 1的斜率不存在，因为l 1与椭圆只有一个公共点，则其方程为x ＝±3，当l 1的方程为x ＝3时，此时l 1与准圆交于点(3，1)，(3，－1)，此时经过点(3，1)或(3，－1)且与椭圆只有一个公共点的直线是y ＝1或y ＝－1，即l 2为y ＝1或y ＝－1，显然直线l 1，l 2垂直；同理可证直线l 1的方程为x ＝－3时，直线l 1，l 2也垂直．②当l 1，l 2的斜率都存在时，设点P (x 0，y 0)，其中x 20＋y 20＝4.设经过点P (x 0，y 0)与椭圆只有一个公共点的直线为y ＝t (x －x 0)＋y 0，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝tx ＋y 0－tx 0，x 23＋y 2＝1，消去y ，得 (1＋3t 2)x 2＋6t (y 0－tx 0)x ＋3(y 0－tx 0)2－3＝0.由Δ＝0化简整理得，(3－x 20)t 2＋2x 0y 0t ＋1－y 20＝0.因为x 20＋y 20＝4，所以有(3－x 20)t 2＋2x 0y 0t ＋x 20－3＝0. 设直线l 1，l 2的斜率分别为t 1，t 2，因为l 1，l 2与椭圆只有一个公共点，所以t 1，t 2满足方程(3－x 20)t 2＋2x 0y 0t ＋x 20－3＝0，所以t 1·t 2＝－1，即l 1，l 2垂直．综合①②知，l 1，l 2垂直．。

2020江苏高考理科数学二轮练习：解答题专题练解析几何含解析

化简得(a2－r2)y－2t(ax－r2)＋t2y＝0.
所以直线PQ的方程为(a2－r2)y－2t(ax－r2)＋t2y＝0.令y＝0得x＝，故直线PQ过定点 .
x2，y2)，
因为斜率为k(k＞0)的直线l与椭圆C：＋＝1交于A，B两点，且OA⊥OB，
直线PQ的方程为y－＝ · .
令y＝0得x＝，是一个与t无关的常数，
故直线PQ过定点 .
法二：由题设得A1(－r，0)，A2(r，0)．
设M(a，t)，则直线MA1的方程为y＝ (x＋r)，直线MA2的方程为y＝ (x－r)，则直线MA1与圆C的交点为P(x1，y1)，直线MA2与圆C的交点为Q(x2，y2)．
所以∠AOB＝90°，所以 · ＝0，
所以x1x2＋(kx1＋t)(kx2＋t)＝0，
所以(1＋k2)x1x2＋kt(x1＋x2)＋t2＝0，(*)
联立，消去y得x2＋3(kx＋t)2＝9，即(1＋3k2)x2＋6ktx＋3t2－9＝0，则x1＋x2＝－，x1x2＝，且Δ＞0，代入(*)，
得(1＋k2)(3t2－9)－6k2t2＋t2(1＋3k2)＝0，所以3t2－9－9k2＋t2＝0，
同理(x －8)k －2x0y0k2＋y －8＝0.
所以k1，k2是方程(x －8)k2－2x0y0k＋y －8＝0的两个不相等的实数根，k1k2＝ .
因为＋＝1，所以y ＝12－ x .
所以k1k2＝＝－，
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
则 · ＝－，所以y y ＝ x x ，
因为，所以，
所以＝ x x ，
所以x ＋x ＝24，y ＋y ＝12，
所以OP2＋OQ2＝36.
(ii)当直线OP，OQ落在坐标轴上时，显然有OP2＋OQ2＝36，

2020高考数学(理)二轮分项训练《解析几何》

(五)解析几何1.(2019·成都诊断)已知a∈R且为常数，圆C：x2＋2x＋y2－2ay＝0，过圆C内一点(1,2)的直线l与圆C相交于A，B两点，当弦AB最短时，直线l的方程为2x－y＝0，则a的值为() A.2 B.3 C.4 D.5答案 B解析圆C：x2＋2x＋y2－2ay＝0，化简为(x＋1)2＋(y－a)2＝a2＋1，圆心坐标为C(－1，a)，半径为a2＋1.如图，由题意可得，当弦AB最短时，过圆心与点(1,2)的直线与直线2x－y＝0垂直.则a－2－1－1＝－12，即a＝3.2.(2019·毛坦厂中学联考)已知F1，F2两点是中心为原点的双曲线C的焦点，F1(0,5)，P是该双曲线上一点，||PF1|－|PF2||＝6，则该双曲线的渐近线为()A.3x±5y＝0B.5x±3y＝0C.4x±3y＝0D.3x±4y＝0答案 D解析由题意知，该双曲线焦点在y轴上，c ＝5,2a ＝6，即a ＝3，∴b ＝c 2－a 2＝4，则双曲线C 的渐近线方程为y ＝±34x ，即3x ±4y ＝0. 3.(2019·抚顺模拟)已知斜率为－1的直线过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，且与该抛物线交于A ，B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为－2，则该抛物线的准线方程为( )A.x ＝2B.x ＝1C.x ＝－2D.x ＝－1答案 D解析由题意，直线AB ：y ＝－x ＋p 2并代入y 2＝2px ，并整理得：y 2＋2py －p 2＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝－2p ，∴y 1＋y 22＝－p ＝－2，解得p ＝2. 所以该抛物线的准线方程为x ＝－p 2＝－1. 4.(2019·南昌适应性测试)若椭圆Γ：x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)的离心率为13，A ，F 分别为椭圆的左、右焦点，B 为右顶点，过右焦点F 作垂直于x 轴的直线交椭圆于点C ，则cos ∠ACB 等于( ) A.35 B.57 C.327 D.725答案 D解析因为椭圆的离心率为13，所以a ＝3c ，b ＝22c ，因为过右焦点F 作垂直于x 轴的直线交椭圆于点C ，所以得点C ⎝⎛⎭⎫c ，±b 2a ，即C ⎝⎛⎭⎫c ，±83c ，从而A (－c ,0)，B (3c ,0)，在△ABC 中，|AC |＝103c ，|BC |＝103c ，|AB |＝4c ， cos ∠ACB ＝1009×c 2×2－16c 21009×c 2×2＝725. 5.设抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过点M (5，0)的直线与抛物线相交于A ，B 两点，与抛物线的准线相交于C 点，|BF |＝3，则△BCF 与△ACF 的面积之比S △BCF S △ACF等于( ) A.34 B.45 C.56 D.67答案 D解析设点A 在第一象限，点B 在第四象限，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线AB 的方程为x ＝my ＋ 5.由y 2＝4x 得p ＝2，因为|BF |＝3＝x 2＋p 2＝x 2＋1，所以x 2＝2，则y 22＝4x 2＝4×2＝8，所以y 2＝－22，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，x ＝my ＋5，得y 2－4my －45＝0，由根与系数的关系，得y 1y 2＝－45，所以y 1＝10，由y 21＝4x 1，得x 1＝52. 过点A 作AA ′垂直于准线x ＝－1，垂足为A ′(图略)，过点B 作BB ′垂直于准线x ＝－1，垂足为B ′，易知△CBB ′∽△CAA ′，所以S △BCF S △ACF ＝|BC ||AC |＝|BB ′||AA ′|. 又|BB ′|＝|BF |＝3，|AA ′|＝x 1＋p 2＝52＋1＝72，所以S △BCF S △ACF ＝372＝67. 6.(2019·凯里模拟)已知F 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点，A 是椭圆短轴的一个端点，若F 为过AF 的椭圆的弦的三等分点，则椭圆的离心率为( )A.13B.33C.12D.32答案 B解析延长AF 交椭圆于点B ，设椭圆左焦点为F ′，连接AF ′，BF ′.根据题意|AF |＝b 2＋c 2＝a ，|AF |＝2|FB |，所以|FB |＝a 2，根据椭圆定义|BF ′|＋|BF |＝2a ，所以|BF ′|＝3a 2. 在△AFF ′中，由余弦定理得cos ∠F ′AF ＝|F ′A |2＋|F A |2－|F ′F |22|F ′A |·|F A |＝2a 2－4c 22a 2，在△AF ′B 中，由余弦定理得cos ∠F ′AB ＝|F ′A |2＋|AB |2－|BF ′|22|F ′A |·|AB |＝13，所以2a 2－4c 22a 2＝13，解得a ＝3c ，所以椭圆离心率为e ＝c a ＝33. 7.(2019·凯里模拟)已知A 为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右顶点，P 为双曲线右支上一点，若点P 关于双曲线中心O 的对称点Q 满足k AP × k AQ ＝14，则双曲线的离心率为( ) A.5＋1 B.52 C. 5 D.5－1 答案 B解析设P (x ，y )，Q (－x ，－y )，A (a ,0)，因为k AP × k AQ ＝14，所以y －0x －a ·－y －0－x －a ＝y －0x －a ·y －0x ＋a ＝y 2x 2－a 2＝14，因为x 2a 2－y 2b2＝1，所以y 2＝b 2a 2(x 2－a 2)，所以b 2a 2(x 2－a 2)x 2－a 2＝14，所以a ＝2b ，所以a 2＝4b 2＝4(c 2－a 2)，所以5a 2＝4c 2，所以e ＝52. 8.(2019·汉中质检)已知抛物线y 2＝8x 的焦点为F ，过点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，交准线于点C ，若|BC |＝2|BF |，则|AB |等于( )A.12B.14C.16D.28答案 C解析抛物线y 2＝8x ，p ＝4，分别过A ，B 作准线的垂线，垂足为M ，N ，如图：由抛物线的定义可知：|AM |＝|AF |，|BN |＝|BF |，∵BN ∥x 轴，∴|BN |p ＝|BC ||CF |， ∵|BC |＝2|BF |，∴有|BF |p ＝2|BF |2|BF |＋|BF |，解得|BF |＝8－4 2.∴|CF |＝|CB |＋|BF |＝4 2.∵AM ∥x 轴，所以p |AM |＝|CF ||CA |，∴p |AF |＝4242＋|AF |， ∴|AF |＝8＋42，所以|AB |＝16.9.已知点P 在抛物线y 2＝x 上，点Q 在圆⎝⎛⎭⎫x ＋122＋(y －4)2＝1上，则|PQ |的最小值为( ) A.352－1 B.332－1 C.23－1D.10－1答案 A解析设抛物线上点的坐标为P (m 2，m ).圆心⎝⎛⎭⎫－12，4与抛物线上的点的距离的平方 d 2＝⎝⎛⎭⎫m 2＋122＋(m －4)2＝m 4＋2m 2－8m ＋654. 令f (m )＝m 4＋2m 2－8m ＋654，则f ′(m )＝4(m －1)(m 2＋m ＋2)，由导函数与原函数的关系可得函数f (m )在区间(－∞，1)上单调递减，在区间(1，＋∞)上单调递增，函数f (m )的最小值为f (1)＝454，由几何关系可得|PQ |的最小值为454－1＝352－1. 10.(2019·东北三省三校模拟)已知直线y ＝2x ＋m 与椭圆C ：x 25＋y 2＝1相交于A ，B 两点，O 为坐标原点.当△AOB 的面积取得最大值时，|AB |等于( )A.54221B.21021C.2427D.3427答案 A解析由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋m ，x 25＋y 2＝1，得21x 2＋20mx ＋5m 2－5＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－20m 21，x 1x 2＝5m 2－521， |AB |＝1＋22(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝520(21－m 2)21＝1021－m 221. 又O 到直线AB 的距离d ＝|m |5，则△AOB 的面积S ＝12d ·|AB | ＝5m 2(21－m 2)21≤5×m 2＋21－m 2221＝52，当且仅当m 2＝21－m 2，即m 2＝212时， △AOB 的面积取得最大值. 此时|AB |＝1021－m 221＝54221. 11.(2017·全国Ⅰ)设A ，B 是椭圆C ：x 23＋y 2m＝1长轴的两个端点.若C 上存在点M 满足∠AMB ＝120°，则m 的取值范围是( )A.(0,1]∪[9，＋∞)B.(0，3]∪[9，＋∞)C.(0,1]∪[4，＋∞)D.(0，3]∪[4，＋∞) 答案 A解析方法一设椭圆焦点在x 轴上，则0<m <3，点M (x ，y ).过点M 作x 轴的垂线，交x 轴于点N ，则N (x ,0).故tan ∠AMB ＝tan(∠AMN ＋∠BMN ) ＝3＋x |y |＋3－x |y |1－3＋x |y |·3－x |y |＝23|y |x 2＋y 2－3. 又tan ∠AMB ＝tan 120°＝－3，且由x 23＋y 2m ＝1，可得x 2＝3－3y 2m，则23|y |3－3y 2m ＋y 2－3＝23|y |⎝⎛⎭⎫1－3m y 2＝－ 3.解得|y|＝2m3－m.又0<|y|≤m，即0<2m3－m≤m，结合0<m<3解得0<m≤1.对于焦点在y轴上的情况，同理亦可得m≥9. 则m的取值范围是(0,1]∪[9，＋∞).方法二当0<m<3时，焦点在x轴上，要使C上存在点M满足∠AMB＝120°，则ab≥tan 60°＝3，即3m≥3，解得0<m≤1.当m>3时，焦点在y轴上，要使C上存在点M满足∠AMB＝120°，则ab≥tan 60°＝3，即m3≥3，解得m≥9.故m的取值范围为(0,1]∪[9，＋∞).12.已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P为双曲线右支上一点(异于右顶点)，△PF1F2的内切圆与x轴切于点(2,0).过F2作直线l与双曲线交于A，B两点，若使|AB|＝b2的直线l恰有三条，则双曲线离心率的取值范围是()A.(1，2)B.(1,2)C.(2，＋∞)D.(2，＋∞)答案 C解析|F1F2|＝2c(c2＝a2＋b2)，设△PF1F2的内切圆分别与PF1，F1F2，PF2切于点G，H，I，则|PG|＝|PI|，|F1G|＝|F1H|，|F2H|＝|F2I|.由双曲线的定义知2a＝|PF1|－|PF2|＝|F1G|－|F2I|＝|F1H|－|F2H|，又|F1H|＋|F2H|＝|F1F2|＝2c，故|F 1H |＝c ＋a ，|F 2H |＝c －a ，所以H (a ,0)，即a ＝2.注意到这样的事实：若直线l 与双曲线的右支交于A ，B 两点，则当l ⊥x 轴时，|AB |有最小值2b 2a＝b 2；若直线l 与双曲线的两支各交于一点(A ，B 两点)，则当l ⊥y 轴时，|AB |有最小值2a ，于是，由题意得b 2>2a ＝4，b >2，c ＝a 2＋b 2>22，所以双曲线的离心率e ＝c a > 2. 13.(2019·靖远模拟)在平面直角坐标系xOy 中，双曲线C ：y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线与圆(x －2)2＋(y －1)2＝1相切，则b a＝________. 答案 34解析双曲线C 的渐近线方程为by ±ax ＝0，画出图象(图略)可知，与圆相切的只可能是by －ax ＝0，由|b －2a |a 2＋b 2＝1，得3a ＝4b ，故b a ＝34. 14.(2019·上海市交大附中模拟)过直线l ：x ＋y ＝2上任一点P 向圆C ：x 2＋y 2＝1作两条切线，切点分别为A ，B ，线段AB 的中点为Q ，则点Q 到直线l 的距离的取值范围为________.答案 ⎣⎡⎭⎫22，2 解析设点P (x 0,2－x 0)，则直线AB 的方程为x 0x ＋(2－x 0)y ＝1(注：由圆x 2＋y 2＝r 2外一点E (x 0，y 0)向该圆引两条切线，切点分别为F ，G ，则直线FG 的方程是x 0x ＋y 0y ＝r 2)，注意到直线AB ：x 0x ＋(2－x 0)y ＝1，即x 0(x －y )＋(2y －1)＝0，直线x －y ＝0与2y －1＝0的交点为N ⎝⎛⎭⎫12，12.又OQ →·QN →＝0，因此点Q 的轨迹是以ON 为直径的圆(除去原点)，其中该圆的圆心坐标是⎝⎛⎭⎫14，14，半径是12|ON |＝24.又线段ON 的中点⎝⎛⎭⎫14，14到直线x ＋y －2＝0的距离等于⎪⎪⎪⎪14＋14－22＝324，因此点Q 到直线l 的距离的取值范围是⎣⎡⎭⎫324－24，324＋24＝⎣⎡⎭⎫22，2. 15.(2019·沈阳郊联体模拟)已知椭圆x 24＋y 23＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线l 1与过F 2的直线l 2交于点M ，设M 的坐标为(x 0，y 0)，若l 1⊥l 2，则下列结论序号正确的有________. ①x 204＋y 203<1；②x 204＋y 203>1；③x 04＋y 03<1；④4x 20＋3y 20>1. 答案 ①③④解析 F 1(－1,0)，F 2(1,0)，因为l 1⊥l 2，MF 1→·MF 2→＝0，所以(－1－x 0)×(1－x 0)＋(－y 0)×(－y 0)＝0，即x 20＋y 20＝1，M 在圆x 2＋y 2＝1上，它在椭圆的内部，故x 204＋y 203<1，故①正确，②错误； O 到直线x 4＋y 3＝1的距离为3×45＝125>1， O 在直线x 4＋y 3＝1的下方，故圆x 2＋y 2＝1在其下方，即x 04＋y 03<1，故③正确； 4x 20＋3y 20≥x 20＋y 20＝1，但4x 20＝x 20，3y 20＝y 20不同时成立，故4x 20＋3y 20>x 20＋y 20＝1，故④成立.16.(2019·成都诊断)已知F 为抛物线C ：x 2＝4y 的焦点，过点F 的直线l 与抛物线C 相交于不同的两点A ，B ，抛物线C 在A ，B 两点处的切线分别是l 1，l 2，且l 1，l 2相交于点P ，则|PF |＋32|AB |的最小值是________. 答案 6解析设直线l 的方程为：y ＝kx ＋1，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2).联立⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ＋1，x 2＝4y ，化为x 2－4kx －4＝0，可得x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4，|AB |＝y 1＋y 2＋p ＝k (x 1＋x 2)＋4＝4k 2＋4.对x 2＝4y 两边求导可得：y ′＝12x ，可得切线P A 的方程为y －y 1＝x 12(x －x 1)，切线PB 的方程为y －y 2＝x 22(x －x 2)，联立解得x ＝12(x 1＋x 2)＝2k ，y ＝14x 1x 2＝－1. ∴P (2k ，－1).∴|PF |＝4k 2＋4. ∴|PF |＋32|AB |＝4k 2＋4＋324k 2＋4，令4k 2＋4＝t ≥2.则|PF |＋32|AB |＝t ＋32t 2＝f (t )， f ′(t )＝1－64t 3＝(t －4)(t 2＋4t ＋16)t 3，当t >4，f ′(t )>0；2≤t <4，f ′(t )<0，可得t ＝4时，函数f (t )取得极小值即最小值f (4)＝6. 当且仅当k ＝±3时取等号.。

2020届二轮复习- 解析几何教师版

数学1．椭圆：定义：02221>>=+caPFPF离心率：221abace-==椭圆焦点在x轴上时有：焦半径：PexaPF+=1，PexaPF-=2焦点三角形：1221212121sin tan22PF F PF PFS PF PF F PF b c y∠=∠==△弦中点：),(yx为椭圆弦中点，则弦所在直线方程斜率22yxabk⋅-=2．双曲线：知识与技巧的梳理专题九解析几何双曲线焦点在x 轴上时有：焦半径：a ex PF P +=1，a ex PF P -=2 焦点三角形：1221212121sin 2tan 2PF F P b S PF PF F PF c y F PF =∠==∠△弦中点：),(00y x 为椭圆弦中点，则弦所在直线方程斜率022y x a b k ⋅=3．抛物线设AB 是过抛物线)0(22>=p px y 的焦点F 的弦，若11(,)A x y ，22(,)B x y ，则：①4221p x x =，221p y y -=；②弦长α221sin 2pp x x AB =++=(α为直线AB 的倾斜角)； ③pFB FA 211=+； ④以弦AB 为直径的圆与准线相切．1．椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点分别是1F 、2F ，以2F 为圆心的圆过椭圆的中心，且与椭圆交于点P ，若直线1PF 恰好与圆2F 相切于点P ，则椭圆的离心率为（）A ．312+ B ．31-C ．22D ．512- 【答案】B【解析】由1PF 恰好与圆2F 相切于点P ，可知2||PF c =，且12PF PF ⊥，又12||||2PF PF a +=，可知1||2PF a c =-，在12PF F Rt △中，222(2)4a c c c -+=，即2222a ac c -= 所以2220,(0,1)e e e +-=∈，解得212312e -+==-． 2．设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两个焦点分别是1F 、2F ，以线段12F F 为直径的圆交双曲线于A 、B 、C 、D 四点，若A 、B 、C 、D 、1F 、2F 恰为正六边形的六个顶点，则双曲线的离心率等于_____．【答案】31+ 【解析】如图所示：A 、B 、2F 、D 、C 、1F 恰为正六边形的六个顶点，12||2F F c =，可得正六边形的边长为c ，2211||2()32BF c c c c c =+-⋅⋅-=，由双曲线的定义可得12||||2BF BF a -=，限时训练（45分钟）经典常规题即32c c a -=，即有3131c e a ===+-． 3．已知点A 在平行于y 轴的直线l 上，且l 与x 轴的交点为(4,0)-，动点P 满足AP 平行于x 轴，且OA OP ⊥．（1）求出P 点的轨迹方程；（2）设点(1,0)M ，(6,3)N ，求PM PN +的最小值，并写出此时P 点的坐标；（3）过点(4,0)C 的直线与P 点的轨迹交于G 、H 两点，求证G 、H 两点的横坐标乘积为定值．【答案】（1）24y x =；（2）最小值为7，P 点坐标为9(,3)4；（3）证明见解析．【解析】（1）设动点(,)P x y ，则由已知有(4,)A y -，故OA =(4,)y -，(,)OP x y =，因为OA OP ⊥，所以0OA OP ⋅=，所以240x y -+=，即24y x =．（2）由题意，点(1,0)M 为抛物线24y x =的焦点，故PM 即为点P 到准线1x =-的距离，所以P 、M 、N 三点共线时PM PN +的值最小，即为点(6,3)N 到准线1x =-的距离，所以最小值为7，此时点P 的纵坐标为点(6,3)N 的纵坐标3y =，代入24y x =，94x =，所以所求最小值为7，此时点P 的坐标为9(,3)4．（3）由题意可设点11(,)G x y 、22(,)H x y 过点(4,0)C 的直线为4x my =+与24y x =联立得24160y my --=，所以1216y y =-，所以222121212()164416y y y y x x =⋅==，所以G 、H 两点的横坐标乘积为定值16．1．已知点A 是抛物线24x y =的对称轴与准线的交点，点F 为抛物线的焦点，点P 在抛物线上且满足PA m PF =，若m 取最大值时，点P 恰好在以,A F 为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为（）A ．31+B ．21+C ．51+ D ．212+ 【答案】B高频易错题【解析】过P 作准线的垂线，垂足为N ，则由抛物线的定义可得||||PN PB =，∵||||m PA PB =，∴||||m PA PN =，∴1PNm PA=，设PA 的倾斜角为α，则1sin mα=，当m 取得最大值时，sin α最小，此时直线PA 与抛物线相切，设直线PA 的方程为1y kx =-，代入24x y =，可得24(1)x kx =-，即2440x kx +=-， ∴216160Δk -==，∴1k =±，∴(2,1)P ，∴双曲线的实轴长为1)PA PB -=1=．2．把半椭圆()221043x y x +=≥与圆弧22(1)4(0)x y x -+=<合成的曲线称作“曲圆”，其中F 为半椭圆的右焦点，A 是圆弧22(1)4(0)x y x -+=<与x 轴的交点，过点F 的直线交“曲圆”于,P Q 两点，则APQ △的周长取值范围为______．【答案】(]6,8 【解析】显然直线PQ 的斜率不能为0，设直线PQ 的倾斜角为θ，()0,θπ∈，由半椭圆方程为()221043x y x +=≥，可得()1,0F ，圆弧方程为22(1)4(0)x y x -+=<的圆心为()1,0，半径为2，且()1,0A -恰为椭圆的左焦点，24PA PF a +==，与y 轴的两个交点为(0,B ，C ，当直线PQ 经过B 时，tan PQ k θ==3πθ=；当直线PQ 经过C 时，tan PQ k θ==23πθ=． ①当πθ(0,)3时，Q P 、分别在圆弧22(1)4(0)x y x -+=<，半椭圆()221043x y x +=≥上，AFQ △为腰为2的等腰三角形，则2sin4sin 22AQ QF θθ==，APQ △的周长()4sin2464sin 6,822L QA QF PF AP θθ=+++=++=+∈； ②当2(,)3πθπ∈时，P Q 、分别在圆弧22(1)4(0)x y x -+=<，半椭圆()221043x y x +=≥上， APF △为腰为2的等腰三角形，且2sin(90)4cos 22AP FP θθ=︒-=，APQ △的周长()4264cos 6,82L QA QF PF AP AP θ=+++=++=+∈；③当2[,]33ππθ∈时，P Q 、在半椭圆()221043x y x +=≥上， APQ △的周长428L QA QF PF AP =+++=⨯=．综上可得，APQ △的周长取值范围为(]6,8．3．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左右顶点分别为,A B ，()2,0A -．直线:1l x =和两条渐近线交于点,E F ，点E 在第一象限且EF =，P 是双曲线上的任意一点．（1）求双曲线的标准方程；（2）是否存在点P 使得OEP △为直角三角形？若存在，求出点P 的个数；（3）直线PA ，PB 与直线l 分别交于点,M N ，证明：以MN 为直径的圆必过定点．【答案】（1）221412x y -=；（2）4个；（3）证明见解析．【解析】（1）因为()2,0A -，所以2a =，双曲线的渐近线方程为2by x =±，由题意可知：(1,)2b E ，(1,)2b F -，而EF =，所以b =，因此双曲线的标准方程为221412x y -=．（2）因为直线OE，所以与直线OE垂直的直线的斜率为-设P 点的坐标为00(,)x y ，则有22001412x y -=，当OE OP ⊥时，所以003y x =-且22001412x y -=，解得00x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或00x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，此时存在2个P 点；当OE EP ⊥时，所以0013y x =--且22001412x y -=，200290y -+=，解得032x =或032x =，此时存在2个P 点；当PE OP ⊥时，此时P 点是以线段OE 为直径圆上，圆的方程为221()(12x y -+=，与双曲线方程联立，无实数解，综上所述：点P 的个数为4个．（3）设P 点的坐标为(,)m n ，22312m n -=．因为,,P A M 三点共线，所以直线,PA PM 的斜率相等，即3232M M y n n y m m =⇒=++，因为,,P B N 三点共线，所以直线,PB BN 的斜率相等，即212M N y n ny m m=⇒=---，所以MN 的中点坐标为24(1,)4n nmm--，244||4n nm MN m -=-，数学所以以MN 为直径的圆的方程为22222422(1)()()44n nm n nm x y m m---+-=--，即226(4)(1)90m x y y n--++-=，令04y x =⇒=或2x =-，因此该圆恒过(2,0),(4,0)-两点．1．已知双曲线C 的焦点在y 轴上，离心率为7，点P 是抛物线24y x =上的一动点，P 到双曲线C 的上焦点1(0,)F c 的距离与到直线1x =-的距离之和的最小值为22，则该双曲线的方程为（） A ．22143x y -=B ．22143y x -=C ．22134x y -=D ．22134y x -=【答案】B【解析】设F 为抛物线24y x =的焦点，则(1,0)F ，拋物线24y x =，准线方程为1x =-，因此P 到双曲线C 的上焦点1(0,)F c 的距离与到直线1x =-的距离之和等于1PF PF +，因为11PF PF F F +≥，所以122F F =，即2122c +=，∴7c =，又7c a =，∴24a =，23b =，即双曲线的方程为22143y x -=．2．如图，设抛物线22y px =的焦点为F ，过x 轴上一定点(2,0)D 作斜率为2的直线l 与抛物线相交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，记BCF △面积为1S ，ACF △面积为2S ，若1214S S =，则抛物线的标准方程为（）A ．22y x =B ．28y x =C ．24y x =D ．2y x =【答案】C精准预测题【解析】因为直线斜率为2，经过定点()2,0D ，所以直线方程为()22y x =-，即240x y --=，作BM y ⊥轴，AN y ⊥轴，因为1214S S =，即14CB CA =，所以14BM AN =．联立方程22402x y y px--=⎧⎨=⎩，化简得()22880x p x -++=，根据一元二次方程的求根公式，得x =，所以1)A y，2)B y ，因为14BM AN =14=，化简得216360p p +-=，即()()1820p p +-=，因为0p >，所以2p =，即24y x =．3．已知抛物线2:2(0)C y mx m =>，焦点为(0,1)F ，定点(0,2)P -．若点,M N 是抛物线C 上的两相异动点，,M N 不关于y 轴对称，且满足0PM PN k k +=，则直线MN 恒过的定点的坐标为_________．【答案】(0,2)【解析】抛物线C 的标准方程为22y x m =，焦点为1(0,)8m，所以118m =，18m =，所以24x y =．设211(),4x M x ，222(,)4x N x ，则22121222440PM PNx x k k x x +++=+=，整理得()()121280x x x x ++=，由于,M N 不关于y 轴对称，所以恒有128x x =-，直线MN 的方程为()221121211124444x x x x x x x x y x x x ++-=-=+-，即121244x x x x y x +=-，即1224x xy x +=+即所以过定点(0,2)． 4．设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1(,0)F c -、2(,0)F c ，点P 在椭圆上，O 为原点．（1）若PO c =，23F OP π∠=，求椭圆的离心率；（2）若椭圆的右顶点为A ，短轴长为2，且满足22113eOF OA F A+=（e 为椭圆的离心率）． ①求椭圆的方程；②设直线l ：2y kx =-与椭圆相交于P 、Q 两点，若POQ △的面积为1，求实数k 的值．【答案】（11；（2）①2214x y +=，②k =±【解析】（1）连接1PF ，因为2OP OF c ==，23F OP π∠=，所以2POF △是等边三角形，所以2PF c =，23PF O π∠=．又21OP OF OF ==，所以12PF PF ⊥，所以1PF =．于是，有)1221a PF PF c =+=，所以1c e a ===1．（2）①由22113e OF OA F A +=，得()113cc a a a c +=-，整理，得223c b =．又因为22b =，所以1b =，23c =，2224a b c =+=．故所求椭圆的方程为2214x y +=．②依题意，设点()11,P x y ，()22,Q x y ，联立方程组22214y kx x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，并整理得()224116120k x kx +-+=．则()()222256484116430Δk k k =-+=->，（*）且1221641k x x k +=+，1221241x x k =+，所以12PQ x =-==．又点O 到直线l的距离为d =所以2211224141POQS PQ d k k =⋅=⨯=++△．因为1POQS=△，所以2141k =+，解得k =经验证k =*）式．。

专题解析几何-2020年高考数学(理)二轮专项复习

专题08 解析几何平面解析几何主要介绍用代数知识研究平面几何的方法．为此，我们要关注：将几何问题代数化，用代数语言描述几何要素及其关系，将几何问题转化为代数问题，处理代数问题，分析代数结果的几何含义，最终解决几何问题．在此之中，要不断地体会数形结合、函数与方程及分类讨论等数学思想与方法．要善于应用初中平面几何、高中三角函数和平面向量等知识来解决直线、圆和圆锥曲线的综合问题．§8－1 直角坐标系【知识要点】1．数轴上的基本公式设数轴的原点为O ，A ，B 为数轴上任意两点，OB ＝x 2，OA ＝x 1，称x 2－x 1叫做向量AB 的坐标或数量，即数量AB ＝x 2－x 1；数轴上两点A ，B 的距离公式是d (A ，B )＝|AB ｜＝|x 2－x 1|．2．平面直角坐标系中的基本公式设A ，B 为直角坐标平面上任意两点，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A ，B 两点之间的距离公式是.)()(||),.(212212y y x x AB B A d -+-==A ，B 两点的中点M (x ，y )的坐标公式是⋅+=+=2,22121y y y x x x 3．空间直角坐标系在空间直角坐标系O －xyz 中，若A (x 1，y 1，z 1)，B (x 2，y 2，z 2)，A ，B 两点之间的距离公式是.)()()(||),(212212212z z y y x x AB B A d -+-+-==【复习要求】1．掌握两点间的距离公式，中点坐标公式；会建立平面直角坐标系，用坐标法(也称为解析法)解决简单的几何问题．2．了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标系刻画点的位置，并掌握两点间的距离公式．【例题分析】例1 解下列方程或不等式：(1)｜x－3｜＝1；(2)|x－3｜≤4；(3)1＜|x－3｜≤4．略解：(1)设直线坐标系上点A，B的坐标分别为x，3，则｜x－3｜＝1表示点A到点B的距离等于1，如图8－1－1所示，图8－1－1所以，原方程的解为x＝4或x＝2．(2)与(1)类似，如图8－1－2，图8－1－2则｜x－3｜≤4表示直线坐标系上点A到点B的距离小于或等于4，所以，原不等式的解集为{x｜－1≤x≤7}．(3)与(2)类似，解不等式1＜｜x－3｜，得解集{x|x＞4，或x＜2｝，将此与不等式|x－3｜≤4的解集{x|－1≤x≤7｝取交集，得不等式1＜|x－3｜≤4的解集为{x｜－1≤x＜2，或4＜x≤7｝．【评析】解绝对值方程或不等式时，如果未知数x的次数和系数都为1，那么可以利用绝对值的几何意义来解绝对值方程或不等式．｜x－a｜的几何意义：表示数轴(直线坐标系)上点A(x)到点B(a)的距离．例2 已知矩形ABCD及同一平面上一点P，求证：PA2＋PC2＝PB2＋PD2．解：如图8－1－3，以点A为原点，以AB为x轴，向右为正方向，以AD为y轴，向上为正方向，建立平面直角坐标系．图8－1－3设AB ＝a ，AD ＝b ，则 A (0，0)，B (a ，0)，C (a ，b )，D (0，b )，设P (x ，y )，则22222222))()(()(b y a x y x PC PA -+-++=+＝x 2＋y 2＋(x －a )2＋(y －b )2， 22222222))(())((b y x y a x PD PB -+++-=+＝x 2＋y 2＋(x －a )2＋(y －b )2，所以PA 2＋PC 2＝PB 2＋PD 2．【评析】坐标法是解析几何的一个基本方法,非常重要．坐标法中要注意坐标系的建立，理论上，可以任意建立坐标系，但是坐标系的位置会影响问题解决的复杂程度，适当的坐标系可以使解题过程较为简便．例3 已知空间直角坐标系中有两点A (1，2，－1)，B (2，0，2)．(1)求A ，B 两点的距离；(2)在x 轴上求一点P ，使｜PA |＝｜PB |；(3)设M 为xOy 平面内的一点，若|MA ｜＝｜MB ｜，求M 点的轨迹方程．解：(1)由两点间的距离公式，得.14)21()02()21(||222=--+-+-=AB(2)设P (a ，0，0)为x 轴上任一点，由题意得222)10()20()1(++-+-a，即a 2－2a ＋6＝a 2－4a ＋8，解得a ＝1，所以P (1，0，0)．40)2(2++-=a(3)设M (x ，y ，0)，则有整理可得x －2y －1＝0．所以，M 点的轨迹方程为x －2y －1＝0．【评析】由两点间的距离公式建立等量关系，体现了方程思想的应用．练习8－1一、选择题1．数轴上三点A ，B ，C 的坐标分别为3，－1，－5，则AC ＋CB 等于( )A ．－4B ．4C ．－12D ．12 2．若数轴上有两点A (x )，B (x 2)(其中x ∈R)，则向量的数量的最小值为( )A ．B ．0C ．D ． 3．在空间直角坐标系中，点(1，－2，3)关于yOz 平面的对称点是( )A ．(1，－2，－3)B ．(1，2，3)C ．(－1，－2，3)D ．(－1，2，3)4．已知平面直角坐标内有三点A (－2，5)，B (1，－4)，P (x ，y )，且｜AP |＝｜BP |，则实数x ，y 满足的方程为( )A ．x ＋3y －2＝0B ．x －3y ＋2＝0C ．x ＋3y ＋2＝0D ．x －3y －2＝0二、填空题5．方程｜x ＋2｜＝3的解是______；不等式｜x ＋3｜≥2的解为______．6．点A (2，3)关于点B (－4，1)的对称点为______．7．方程｜x ＋2｜－｜x －3｜＝4的解为______．8．如图8－1－4，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，|DA |＝3，|DC ｜＝4，|DD 1|＝2，A 1C 的中点为M ，则点B 1的坐标是______，点M 的坐标是______，M 关于点B 1的对称点为______． ,4)0()2()10()2()1(22222+-+-=++-+-y x y x AB 214141-图8－1－4三、解答题9．求证：平行四边形ABCD满足AB2＋BC2＋CD2＋DA2＝AC2＋BD2．10．求证：以A(4，3，1)，B(7，1，2)，C(5，2，3)三点为顶点的三角形是一个等腰三角形．11．在平面直角坐标系中，设A(1，3)，B(4，5)，点P在x轴上，求|PA|＋｜PB｜的最小值．§8－2 直线的方程【知识要点】1．直线方程的概念如果以一个方程的解为坐标的点都在某条直线上，且这条直线上点的坐标都是这个方程的解，那么这个方程叫做这条直线的方程．．．．．．．．．．．，这条直线叫做这个方程的直线2．直线的倾斜角和斜率x 轴正向与直线向上的方向所成的角叫做这条直线的倾斜角．．．．并规定，与x 轴平行或重合的直线的倾斜角为零度角．因此，倾斜角α 的取值范围是0°≤α ＜180°．我们把直线y ＝kx ＋b 中的系数k 叫做这条直线的斜率．．．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)为直线y ＝kx ＋b 上任意两点，其中x 1≠x 2，则斜率倾斜角为90°的直线的斜率不存在，倾斜角为α 的直线的斜率k ＝tan α (α ≠90°)．3．直线方程的几种形式点斜式：y －y 1＝k (x －x 1)；斜截式：y ＝kx ＋b ；两点式：一般式：Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)．4．两条直线相交、平行与重合的条件设直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，则(1)l 1与l 2相交A 1B 2－A 2B 1≠0或 (2)l 1与l 2平行(3)l 1与l 2重合当直线l 1与l 2的斜率存在时，设斜率分别为k 1，k 2，截距分别为b 1，b 2，则l 1与l 2相交k 1≠k 2；l 1∥l 2k 1＝k 2，b 1≠b 2；l 1与l 2重合k 1＝k 2，b 1＝b 2．5．两条直线垂直的条件⋅--=1212x x yy k );,(2121121121y y x x x x x x y y y y =/=/--=--⇔)0(222121=/=/B A B B A A ⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=/=/=≠-≠-=-).0(;00,0222212121211221211221C B A C C B B A A C A C A B C C B B A B A 或或而⇔⎪⎩⎪⎨⎧=/==≠===).0();0(,,222212*********C B A C C B B A A C C B B A A 或λλλλ⇔⇔⇔设直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，则l 1⊥l 2A 1A 2＋B 1 B 2＝0．当直线l 1与l 2的斜率存在时，设斜率分别为k 1，k 2，则l 1⊥l 2k 1k 2＝－1．6．点到直线的距离点P (x 1，y 1)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d 的计算公式【复习要求】1．理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式．根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的几种形式：点斜式、两点式及一般式，体会斜截式与一次函数的关系．2．掌握两条直线平行与垂直的条件，点到直线的距离公式．能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系，能用解方程组的方法求两直线的交点坐标．【例题分析】例1(1)直线的斜率是______，倾斜角为______；(2)设A (2，3)，B (－3，2)，C (－1，－1)，过点C 且斜率为k 的直线l 与线段AB 相交，则斜率k 的取值范围为______．略解：(1)直线可以化简为所以此直线的斜率为，倾斜角 (2)如图8－2－1，设直线AC 的倾斜角为α ，图8－2－1因为此直线的斜率为，所以 ⇔⇔⋅+++=2211||B A C By Ax d 082=-+y x 082=-+y x ，22822+-=x y 22-;22tan arc π-=α341213=++=AC k ;34tan =α设直线BC 的倾斜角为β ，因为此直线的斜率为所以因为直线l 与线段AB 相交，所以直线l 的倾斜角θ 满足α ≤θ ≤β ，由正切函数图象，得tan θ ≥tan α 或tan θ≤tan β，故l 斜率k 的取值范围为．【评析】(1)求直线的斜率常用方法有三种：①已知直线的倾斜角α，当α≠90°时，k ＝tan α； ②已知直线上两点的坐标(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，当x 1≠x 2时，k ＝； ③已知直线的方程Ax ＋By ＋C ＝0，当B ≠0时，k ＝． (2)已知直线的斜率k 求倾斜角α 时，要注意当k >0时，α ＝arctan k ；当k <0时，α ＝π－arctan|k |．例2 根据下列条件求直线方程：(1)过点A (2，3)，且在两坐标轴上截距相等；(2)过点P (－2，1)，且点Q (－1，－2)到直线的距离为1．解：(1)设所求直线方程为y －3＝k (x －2)，或x ＝2(舍)，令y ＝0，得x ＝2－(k ≠0)；令x ＝0，得y ＝3－2k ，由题意，得2－＝3－2k ，解得k ＝或k ＝－1，所以，所求直线方程为3x －2y ＝0或x ＋y －5＝0；(2)设所求直线方程为y －1＝k (x ＋2)或x ＝－2，当直线为y －1＝k (x ＋2)，即kx —y ＋(2k ＋1)＝0时，由点Q (－1，－2)到直线的距离为1，得＝1，解得， ,231312-=+-+=BC k ⋅-=23tan β]23,[],34[-∞+∞∈Y k 1212x x y y --BA -k3k 3231|122|2++++-k k k 34-=k所以，直线，即4x ＋3y ＋5＝0符合题意；当直线为x ＝－2时，检验知其符合题意．所以，所求直线方程为4x ＋3y ＋5＝0或x ＝－2．【评析】求直线方程，应从条件出发，合理选择直线方程的形式，并注意每种形式的适应条件．特别地，在解题过程中要注意“无斜率”，“零截距”的情况．例3 已知直线l 1：(m －2)x ＋(m ＋2)y ＋1＝0，l 2：(m 2－4)x —my －3＝0，(1)若l 1∥l 2，求实数m 的值；(2)若l 1⊥l 2，求实数m 的值．解法一：(1)因为l 1∥l 2，所以(m －2)(－m )＝(m ＋2)(m 2－4)，解得m ＝2或m ＝－1或m ＝－4，验证知两直线不重合，所以m ＝2或m ＝－1或m ＝－4时，l 1∥l 2；(2)因为l 1⊥l 2，所以(m －2)(m 2－4)＋(－m )(m ＋2)＝0，解得m ＝－2或m ＝1或m ＝4．解法二：当l 1斜率不存在，即m ＝－2时，代入直线方程，知l 1⊥l 2；当l 2斜率不存在，即m ＝0时，代入直线方程，知l 1与l 2既不平行又不垂直；当l 1，l 2斜率存在，即m ≠0，m ≠－2时，可求l 1，l 2，如的斜率分别为k 1＝－，k 2＝，截距b 1＝－，b 2＝，若l 1∥l 2，由k 1＝k 2，b 1≠b 2，解得m ＝2或m ＝－1或m ＝－4，若l 1⊥l 2，由k 1k 2＝－1，解得m ＝1或m ＝4综上，(1)当m ＝2或m ＝－1或m ＝－4时，l 1∥l 2；(2)当m ＝－2或m ＝1或m ＝4时，l 1⊥l 2．【评析】两条直线平行与垂直的充要条件有几个，但各有利弊．简洁的(如解法一)相互之间易混淆，好记的要注意使用条件(如解法二，易丢“无斜率”的情况)，解题过程中要注03534=---y x 22－+m m m m 42-21+m m3-意正确使用．例4 已知直线l 过两直线l 1：3x －y －1＝0与l 2：x ＋y －3＝0的交点，且点A (3，3)和B (5，2)到l 的距离相等，求直线l 的方程．【分析】所求直线l 有两种情况：一是l 与AB 平行；二是点A ，B 在l 的两侧，此时l 过线段AB 的中点．解：解方程组得交点(1，2)，由题意，当①l 与AB 平行；或②l 过A ，B 的中点时．可以使得点A ，B 到l 的距离相等． ①当l ∥AB 时，因为，此时，即x ＋2y －5＝0； ②当l 过AB 的中点时，因为AB 的中点坐标为所以即l ：x －6y ＋11＝0．综上，所求的直线l 的方程为x ＋2y －5＝0或l ：x －6y ＋11＝0．例5 已知直线l 1：y ＝kx ＋2k 与l 2：x ＋y ＝5的交点在第一象限，求实数k 的取值范围．解法一：解方程组，得交点由题意，得，解得解法二：如图8－2－2，由l 1：y ＝k (x ＋2)，知l 1过定点P (－2，0)，⎩⎨⎧=-+=--03013y x y x 215323-=--=AB k )1(212:--=-x y l ),25,4(M ,1412252:--=--x y l ⎩⎨⎧=++=52y x k kx y ),1255,125(+--+-k k k k ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+-->+-012550125k k k k ⋅<<250k图8－2－2由l 2：x ＋y ＝5，知l 2坐标轴相交于点A (0，5)，B (5，0)，因为由题意，得【评析】在例4，例5中，要充分利用平面几何知识解决问题，体会数形结合的思想与方法；要会联立两个曲线(直线)的方程，解方程得到曲线的交点，体会方程思想．例6 如图8－2－3，过点P (4，4)的直线l 与直线l 1：y ＝4x 相交于点A (在第一象限)，与x 轴正半轴相交于点B ，求△ABO 面积的最小值．图8－2－3解：设B (a ，0)，则将y ＝4x 代入直线l 的方程，得点A 的坐标为则△ABO 的面积所以当a ＝6时，△ABO 的面积S 取到最小值24．练习8－2一、选择题1．若直线l 的倾斜角的正弦为，则l 的斜率k 是( ) ,0,252005==+-=BP AP k k ⋅<<250k ),4(4044:---=-x a y l ),3)(34,3(>--a a a a a ,121)611(3234212+--=-⨯⨯=a a a a S 53A ．B ．C ．或D ．或 2．点P (a ＋b ，ab )在第二象限内，则bx ＋ay －ab ＝0直线不经过的象限是( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 3．“”是“直线(m ＋2)x ＋3my ＋1＝0与直线(m －2)x ＋(m ＋2)y －3＝0相互垂直”的( )A ．充分必要条件B ．充分而不必要条件C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件 4．若直线与直线2x ＋3y －6＝0的交点位于第一象限，则l 的倾角的取值范围( )A ．B ．C ．D ．二、填空题5．已知两条直线l 1：ax ＋3y －3＝0，l 2：4x ＋6y －1＝0，若l 1∥l 2，则a ＝_______．6．已知点A (3，0)，B (0，4)，则过点B 且与A 的距离为3的直线方程为_______．7．若点P (3，4)，Q (a ，b )关于直线x －y －1＝0对称，则a ＋2b ＝_______．8．若三点A (2，2)，B (a ，0)，C (0，b )，(ab ≠0)共线，则的值等于_______．三、解答题9．已知点P 在直线2x ＋3y －2＝0上，点A (1，3)，B (－1，－5)．(1)求｜PA ｜的最小值；(2)若|PA |＝|PB |，求点P 坐标．10．若直线l 夹在两条直线l 1：x －3y ＋10＝0与l 2：2x ＋y －8＝0之间的线段恰好被点P (0，1)平分，求直线l 的方程． 43-4343-433434-21=m 3:-=kx y l )3π,6π[)2π,3π()2π,6π(]2π,6π[ba 11+211．已知点P到两个定点M(－1，0)、N(1，0)距离的比为，点N到直线PM的距离为1．求直线PN的方程．§8－3 简单的线性规划问题【知识要点】1．二元一次不等式(组)所表示的平面区域(1)一般地，二元一次不等式Ax＋By＋C＞0在平面区域中表示直线Ax＋By＋C＝0某一侧的所有点组成的平面区域(开半平面)，且不含边界线．不等式Ax＋By＋C≥0所表示的平面区域包括边界线(闭半平面)．(2)由几个不等式组成的不等式组所表示的平面区域，是指各个不等式组所表示的平面区域的公共部分．(3)可在直线Ax＋By＋C＝0的某一侧任取一点，一般地取特殊点(x0，y0)，从Ax0＋By0＋C的正(或负)来判断Ax＋By＋C＞0(或Ax＋By＋C＜0)所表示的区域．当C≠0时，常把原点(0，0)作为特殊点．(4)也可以利用如下结论判断区域在直线哪一侧：①y＞kx＋b表示直线上方的半平面区域；y＜kx＋b表示直线下方的半平面区域．②当B＞0时，Ax＋By＋C＞0表示直线上方区域，Ax＋By＋C＜0表示直线下方区域．2．简单线性规划(1)基本概念目标函数：关于x，y的要求最大值或最小值的函数，如z＝x＋y，z＝x2＋y2等．约束条件：目标函数中的变量所满足的不等式组．线性目标函数：目标函数是关于变量的一次函数．线性约束条件：约束条件是关于变量的一次不等式(或等式)．线性规划问题：在线性约束条件下，求线性目标函数的最大值或最小值问题．最优解：使目标函数达到最大值或最小值的点的坐标，称为问题的最优解．可行解：满足线性约束条件的解(x ，y )叫可行解．可行域：由所有可行解组成的集合叫可行域．(2)用图解法解决线性规划问题的一般步骤：①分析并将已知数据列出表格；②确定线性约束条件；③确定线性目标函数；④画出可行域；⑤利用线性目标函数，求出最优解；⑥实际问题需要整数解时，应适当调整确定最优解．【复习要求】1．了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组．2．能从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决．【例题分析】例1 (1)若点(3，1)在直线3x －2y ＋a ＝0的上方，则实数a 的取值范围是______；(2)若点(3，1)和(－4，6)在直线3x －2y ＋a ＝0的两侧，则实数a 的取值范围是______．解：(1)将直线化为由题意，得，解得a ＜－7． (2)由题意，将两点代入直线方程的左侧所得符号相反，则(3×3－2＋a )[3×(－4)－12＋a ]＜0，即(a ＋7)(a －24)＜0，所以，实数a 的取值范围是(－7，24)．例2 (1)如图8－3－1，写出能表示图中阴影部分的不等式组；,223a x y +=23231a +⨯>图8－3－1(2)如果函数y ＝ax 2＋bx ＋a 的图象与x 轴有两个交点，试在aOb 坐标平面内画出点(a ，b )表示的平面区域．略解：(1) (2)由题意，得b 2－4a 2＞0，即(2a ＋b )(2a －b )＜0，所以或，点(a ，b )表示的平面区域如图8－3－2．图8－3－2【评析】除了掌握二元一次不等式表示平面区域外，还应关注给定平面区域如何用不等式表示这个逆问题．例3 已知x ，y 满足求：(1)z 1＝x ＋y 的最大值；(2)z 2＝x －y 的最大值；(3)z 3＝x 2＋y 2的最小值；，02210⎪⎩⎪⎨⎧≥+-->≤y x y x ⎩⎨⎧<->+0202b a b a ⎩⎨⎧>-<+0202b a ba ⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥+-≥-+.033,042,022y x y x y x(4)的取值范围(x ≠1)．略解：如图8－3－3，作出已知不等式组表示的平面区域．图8－3－3易求得M (2，3)，A (1，0)，B (0，2)．(1)作直线x ＋y ＝0，通过平移，知在M 点，z 1有最大值5；(2)作直线x －y ＝0，通过平移，知在A 点，z 2有最大值1；(3)作圆x 2＋y 2＝r 2，显然当圆与直线2x ＋y －2＝0相切时，r 2有最小值，即z 3有最小值 (4)可看作(1，0)与(x ，y )两点连线的斜率，所以z 4的取值范围是(－∞，－2]∪[3，＋∞)．【评析】对于非线性目标函数在线性约束条件下的最值问题，要充分挖掘其目标函数z 的几何意义．z 的几何意义常见的有：直线的截距、斜率、圆的半径等．例4 某公司招收男职员x 名，女职员y 名，x 和y 须满足约束条件则z ＝10x ＋10y 的最大值是( )(A)80 (B)85 (C)90 (D)95略解：由题意，根据已知不等式组及可得到点(x ，y )的可行域．14-=x yz 2)52(;541-x y ⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+-≥-.112,932,22115x y x y x ⎩⎨⎧≥≥00y x如图8－3－4．图8－3－4作直线x ＋y ＝0，通过平移，知在M 点，z ＝10x ＋10y 有最大值，易得又由题意，知x ，y ∈N ，作适当调整，知可行域内点(5，4)可使z 取最大值，所以，z max ＝10×5＋10×4＝90，选C ．【评析】实际问题中，要关注是否需要整数解．例5 某工厂用两种不同原料生产同一产品，若采用甲种原料，每吨成本1000元，运费500元，可得产品90千克；若采用乙种原料，每吨成本1500元，运费400元，可得产品100千克．今预算每日原料总成本不得超过6000元，运费不得超过2000元，问此工厂每日采用甲、乙两种原料各多少千克，才能使产品的日产量最大?解：设此工厂每日需甲种原料x 吨，乙种原料y 吨，则可得产品z ＝90x ＋100y (千克)．由题意，得上述不等式组表示的平面区域如图8－3－5所示，阴影部分(含边界)即为可行域．图8－3－5作直线l ：90x ＋100y ＝0，并作平行于直线l的一组直线与可行域相交，其中有一条直),29,211(M ⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤+≤+⇒⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤+≤+.0,0,2045,1232.0,0，2000400500，600015001000y x y x y x y x y x yx线经过可行域上的M 点，且与直线l 的距离最大，此时目标函数达到最大值．这里M 点是直线2x ＋3y ＝12和5x ＋4y ＝20的交点，容易解得M ，此时z 取到最大值答：当每天提供甲原料吨，乙原料吨时，每日最多可生产440千克产品．例6 设函数f (x )＝ax 2＋bx ，且1≤f (－1)≤2，2≤f (1)≤4．(1)在平面直角坐标系aOb 中，画出点(a ，b )所表示的区域；(2)试利用(1)所得的区域，求f (－2)的取值范围．解：(1)∵f (－1)＝a －b ，f (1)＝a ＋b ，∴即如图8－3－6，在平面直角坐标系aOb 中，作出满足上述不等式组的区域，阴影部分(含边界)即为可行域．图8－3－6(2)目标函数f (－2)＝4a －2b ．在平面直角坐标系aOb 中，作直线l ：4a －2b ＝0，并作平行于直线l 的一组直线与可行域相交，其中有一条直线经过可行域上的B 点，且与直线l 的距离最大，此时目标函数达到最大值．这里B 点是直线a －b ＝2和a ＋b ＝4的交点，容易解得B (3，1)，此时f (－2)取到最大值4×3－2×1＝10．)720,712(71290⨯.440720100=⨯+712720⎩⎨⎧≤+≤≤-≤.42,21b a b a ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+≥+≤-≥-.4,2,2,1b a b a b a ba同理，其中有一条直线经过可行域上的C 点，此时目标函数达到最小值．这里C 点是直线a －b ＝1和a ＋b ＝2的交点，容易解得此时f (－2)取到最小值所以5≤f (－2)≤10．【评析】线性规划知识是解决“与二元一次不等式组有关的最值(或范围)问题”的常见方法之一．练习8－3一、选择题1．原点(0，0)和点(1，1)在直线x ＋y －a ＝0的两侧，则a 的取值范围是 ( )A ．a ＜0或a ＞2B ．a ＝0或a ＝2C ．0＜a ＜2D ．0≤a ≤22．若x ≥0，y ≥0，且x ＋y ≤1，则z ＝x －y 的最大值是( )A ．－1B ．1C ．2D ．－23．已知x 和y 是正整数，且满足约束条件则z ＝2x ＋3y 的最小值是( )A ．24B ．14C ．13D ．11.54．根据程序设定，机器人在平面上能完成下列动作：先从原点O 沿正东偏北α 方向行走－段时间后，再向正北方向行走一段时间，但α 的大小以及何时改变方向不定．如图8－3－7．假定机器人行走速度为10米/分钟，设机器人行走2分钟时的可能落点区域为S ，则S 可以用不等式组表示为( )图8－3－7),21,23(C .5212234=⨯-⨯⎪⎩⎪⎨⎧≥≤-≤+.72,2,10x y x y x )2π0(≤≤αA ．B ．C ．D ．二、填空题 5．在平面直角坐标系中，不等式组表示的平面区域的面积是______．6．若实数x 、y 满足，则的取值范围是______． 7．点P (x ，y )在直线4x ＋3y ＝0上，且满足－14≤x －y ≤7，则点P 到坐标原点距离的取值范围是______．8．若当实数x ，y 满足时，z ＝x ＋3y 的最小值为－6，则实数a 等于______．三、解答题9．如果点P 在平面区域内，点Q (2，2)，求|PQ |的最小值．10．制定投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损．某投资人打算投资甲、乙两个项目，根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100％和50％()，可能的最大亏损率分别为30％和10％( ⎩⎨⎧≤≤≤≤200200y x ⎩⎨⎧≥+≤+2040022y x y x ⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤+0040022y x y x ⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≥+202020y x y x ⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+-≥-+20202x y x y x ⎪⎩⎪⎨⎧≤>≤+-2001x x y x x y ⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≥+-a x y x y x 005⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≤-+≥+-0102022y x y x y x %100⨯=投资额盈利额盈利率投资额亏损额亏损率=)，投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过 1.8万元．问投资人对甲、乙两个项目各投多少万元，才能使可能的盈利最大?11．设a ，b ∈R ，且b (a ＋b ＋1)＜0，b (a ＋b －1)＜0．(1)在平面直角坐标系aOb 中，画出点(a ，b )所表示的区域； (2)试利用(1)所得的区域，指出a 的取值范围．§8－4 圆的方程【知识要点】1．圆的方程(1)标准方程：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r ＞0)，其中点(a ，b )为圆心，r 为半径． (2)一般方程：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F ＞0)，其中圆心为，半径为2．点和圆的位置关系设圆的半径为r ，点到圆的圆心距离为d ，则d ＞r 点在圆外； d ＝r 点在圆上； d ＜r 点在圆内．3．直线与圆的位置关系(1)代数法：联立直线与圆的方程，解方程组，消去字母y ，得关于x 的一元二次方程，则%100⨯)2,2(ED --21.422F E D -+⇔⇔⇔＞0方程组有两解直线和圆相交；＝0方程组有一解直线和圆相切；＜0方程组无解直线和圆相离．(2)几何法(重点)：计算圆心到直线的距离d ，设圆的半径为r ，则d ＜r 直线和圆相交； d ＝r 直线和圆相切； d ＞r 直线和圆相离．4．圆与圆的位置关系设两圆的半径分别为R ，r (R ≥r )，两圆的圆心距为d (d ＞0)，则d ＞R ＋r 两圆相离； d ＝R ＋r 两圆外切； R －r ＜d ＜R ＋r 两圆相交； d ＝R －r 两圆内切； d ＜R －r 两圆内含．【复习要求】1．掌握圆的标准方程与一般方程，能根据条件，求出圆的方程．2．能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系，解决一些简单问题．【例题分析】例1根据下列条件，求圆的方程：(1)一条直径的端点是A (3，2)，B (－4，1)；(2)经过两点A (1，－1)和B (－1，1)，且圆心在直线x ＋y －2＝0上； (3)经过两点A (4，2)和B (－1，3)，且在两坐标轴上的四个截距之和为2．【分析】求圆的方程，可以用待定系数法．若已知条件与圆心、半径有关，则设圆的标准方程，如第(2)问．若已知条件与圆心、半径关系不大，则设圆的一般方程，如第(3)问．∆⇔⇔∆⇔⇔∆⇔⇔⇔⇔⇔⇔⇔⇔⇔⇔解：(1)由题意圆心为AB 的中点M ，即，因为所以圆的半径所以，所求圆的方程为 (2)方法一：设圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r ＞0)，则，解得所以，所求圆的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝4．方法二：由圆的几何性质可知，圆心一定在弦AB 的垂直平分线上．易得AB 的垂直平分线为y ＝x ．由题意，解方程组，得圆心C 为(1，1)，于是，半径r ＝｜AC |＝2，所以，所求圆的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝4． (3)设所求圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，因为圆过点A ，B ，所以 4D ＋2E ＋F ＋20＝0，① －D ＋3E ＋F ＋10＝0，②在圆的方程中，令y ＝0，得x 2＋Dx ＋F ＝0，设圆在x 轴上的截距为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝－D ．在圆的方程中，令x ＝0，得y 2＋Ey ＋F ＝0，设圆在y 轴上的截距为y 1，y 2，则y 1＋y 2＝－E ．)212,243(+-)23,21(-M ,50)12()43(||22=-++=AB ⋅==250||21AB r ⋅=-++225)23()21(22y x ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-+--=--+-=-+222222)1()1()1()1(02r b a r b a b a ⎪⎩⎪⎨⎧===2,11r b a ⎩⎨⎧=-+=02y x xy由题意，得－D ＋(－E )＝2，③解①②③，得D ＝－2，E ＝0，F ＝－12，所以，所求圆的方程为x 2＋y 2－2x －12＝0．【评析】①以A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)为一直径端点的圆的方程是(x －x 1)(x －x 2)＋(y －y 1)(y －y 2)＝0．②求圆的方程时，要注意挖掘题中圆的几何意义(如第(2)问)；③待定系数法求圆的方程时，要恰当选择的圆的方程(如第(3)问)，这样有时能大大减少运算量．例2 (1)点P (a ，b )在圆C ：x 2＋y 2＝r 2(r ＞0)上，求过点P 的圆的切线方程； (2)若点P (a ，b )在圆C ：x 2＋y 2＝r 2(r ＞0)内，判断直线ax ＋by ＝r 2与圆C 的位置关系．解：(1)方法一：因为切线l 与半径OP 垂直，又可求出直线OP 的斜率，所以可得切线l 的斜率，再由点斜式得到切线方程．但要注意斜率是否存在(详细过程略)．方法二：设Q (x ，y )为所求切线上任一点，则，即(x －a ，y －b )·(a ，b )＝0．整理得ax ＋by ＝a 2＋b 2，又因为P 在圆上，所以a 2＋b 2＝r 2，故所求的切线方程为ax ＋by ＝r 2． (2)由已知，得a 2＋b 2＜r 2，则圆心O (0，0)到直线ax ＋by ＝r 2的距离所以此直线与圆C 相离．【评析】随着点P (a ，b )与圆C ：x 2＋y 2＝r 2的位置关系的变化，直线l ：ax ＋by ＝r 2与圆C 的位置关系也在变化．①当点P 在圆C 上时，直线l 与圆C 相切；②当点P 在圆C 内时，直线l 与圆C 相离；③当点P 在圆外时，直线l 与圆C 相交．例3 已知点A (a ，3)，圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝4． (1)设a ＝3，求过点A 且与圆C 相切的直线方程；(2)设a ＝4，直线l 过点A 且被圆C 截得的弦长为2，求直线l 的方程；(3)设a ＝2，直线l 1过点A ，求l 1被圆C 截得的线段的最短长度，并求此时l 1的方程．0=⋅.||22222r rr ba r d =>+=3解：(1)如图8－4－1，此时A (3，3)，图8－4－1设切线为y －3＝k (x －3)或x ＝3，验证知x ＝3符合题意；当切线为y －3＝k (x －3)，即kx －y －3k ＋3＝0时，圆心(1，2)到切线的距离解得所以，切线方程为3x ＋4y －21＝0或x ＝3． (2)如图8－4－2，此时A (4，3)，图8－4－2设直线l 为y －3＝k (x －4)或x ＝4(舍)，设弦PQ 的中点为M ，则｜CP |＝r ＝2，,21|332|2=++--=k k k d ,43-=k ,3||=PM所以，即圆心到直线l 的距离为1，于是，解得k ＝0或，所以，直线l 的方程为或y ＝3． (3)如图8－4－3，此时A (2，3)，设所截得的线段为DE ，圆心到直线l 1的距离为d ，图8－4－3则，即因为直线l 1过点A ，所以圆心到直线l 1的距离为d ≤|CA｜＝故当d ＝时，，此时AC ⊥l 1，因为所以＝－1，故直线l 1方程为y －3＝－(x －2)，即x ＋y －5＝0．【评析】(1)用点斜式设直线方程时，要注意斜率是否存在；(2)涉及直线与圆的位置关系问题时，用与圆有关的几何意义解题较为方便，常见的有：①比较圆心到直线的距离与半径的大小；②如图8－4－2，在由弦心距、半径及弦组成的Rt △CMP 中，有｜CM |2＋｜MP |2＝｜CP ｜2，CM ⊥MP 等；③如图8－4－1，由切线段、半径组成的Rt △AB C ．,1||||||22=-=PM CP CM 11|342|2=++--=k k k d 43x y 43=222|)|21(r d DE =+,42||2d DE -=,2222||min =DE ,11223=--=AC k 1l k例4 已知圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝25，直线l ：mx ＋y ＋m ＝0．求证：不论m 取何值，直线l 与圆C 恒交于两点．【分析】要证明直线l 与圆C 恒交于两点，可以用圆心到直线的距离小于半径，也可以联立直线和圆的方程，消去y 后用判别式大于零去证明，但此题这两种方法计算量都很大．如果能说明直线l 恒过圆内一定点，那么直线l 与圆C 显然有两个交点．解：因为直线l ：mx ＋y ＋m ＝0可化为y ＝－m (x ＋1)，所以直线l 恒过点A (－1，0)，又圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝25的圆心为(1，2)，半径为5，且点A 到圆C 的圆心的距离等于所以点A 为圆C 内一点，则直线l 恒过圆内一点A ，所以直线l 与圆C 恒交于两点．例5 四边形ABCD 的顶点A (4，3)，B (0，5)，C (－3，－4)，D O 为坐标原点． (1)此四边形是否有外接圆，若有，求出外接圆的方程，若没有，请说明理由； (2)记△ABC 的外接圆为W ，过W 上的点E (x 0，y 0)(x 0＞0，y 0＞0)作圆W 的切线l ，设l 与x 轴、y 轴的正半轴分别交于点P 、Q ，求△OPQ 面积的最小值．【分析】判断四点是否共圆，初中的方法是证明一组对角之和为180°，此题此法不易做．如何用所学知识解决问题是此题的关键，如果想到三点共圆，那么可以求出过三点的圆的方程，然后再判断第四点是否在圆上，问题就迎刃而解．解：(1)设△ABC 的外接圆为W ，圆心M (a ，b )，半径为r (r ＞0)．则W 为：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2．由题意，得，解得，所以W ：x 2＋y 2＝25．将点D 的坐标代入W 的方程，适合．所以点D 在△ABC 的外接圆W 上，故四边形ABCD 有外接圆，且外接圆的方程为x 2＋y 2＝25． (2)设切线l 的斜率为k ，直线ME (即OE )的斜率为k 1，,522)2()11(22<=-+--).1,62(⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=--+--=-+-=-+-222222222)4()3()5()0()3()4(r b a r b a r b a ⎪⎩⎪⎨⎧===500r b a∵圆的切线l 垂直于过切点的半径，∴∴切线，整理得而，∵点E (x 0，y 0)在圆W 上，即，∴切线l ：x 0x ＋y 0y ＝25．在l 的方程中，令x ＝0，得，同理 ∴△OPQ 的面积 ∵，(其中x 0＞0，y 0＞0)∴当且仅当时，等号成立．即当时，△OPQ 的面积有最小值25．练习8－4一、选择题1．以点(2，－1)为圆心且与直线3x －4y ＋5＝0相切的圆的方程为( ) A ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝3 B ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝3C ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝9 D ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝92．圆x 2＋y 2－4x ＋4y ＋6＝0截直线x －y －5＝0所得的弦长等于( ) A ．B ．C ．1D ．5,11k k -=Θ,,00001y xk x y k -=∴=)(:0000x x y xy y l --=-202000y x y y x x +=+252020=+y x )25,0(,2500y Q y y ∴=).0,25(0x P ,26252525210000y x y x S OPQ ==⋅⋅∆002020225y x y x ≥=+.2525625262500=≥=∆y x S OPQ 22500==y x )225225(，E 62253．若直线与圆x 2＋y 2＝1有公共点，则( ) A ．a 2＋b 2≤1B ．a 2＋b 2≥1C ．D ．4．圆(x ＋2)2＋y 2＝5关于点(1，2)对称的圆的方程为( ) A ．(x ＋4)2＋(y －2)2＝5 B ．(x －4)2＋(y －4)2＝5C ．(x ＋4)2＋(y ＋4)2＝5 D ．(x ＋4)2＋(y ＋2)2＝5 二、填空题5．由点P (－1，4)向圆x 2＋y 2－4x －6y ＋12＝0所引的切线长是______． 6．若半径为1的圆分别与y 轴的正半轴和射线相切，则这个圆的方程为______．7．圆x 2＋y 2＋2x ＋4y －3＝0上到直线x ＋y ＋1＝0的距离为的点共有______个．8．若不等式x 2＋2x ＋a ≥－y 2－2y 对任意的实数x 、y 都成立，则实数a 的取值范围是______．三、解答题9．已知直线l ：x －y ＋2＝0与圆C ：(x －a )2＋(y －2)2＝4相交于A 、B 两点． (1)当a ＝－2时，求弦AB 的垂直平分线方程； (2)当l 被圆C 截得弦长为时，求a 的值．10．已知圆满足以下三个条件：①截y 轴所得的弦长为2；②被x 轴分成两段圆弧，其弧长的比为3∶1；③圆心到直线l ：x －2y ＝0的距离为．求该圆的方程．1=+bya x 11122≤+ba 11122≥+ba )0(33≥=x x y 2325511．已知圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝25，直线l ：mx ＋y ＋m ＝0．求直线l 被圆C 截得的线段的最短长度，以及此时l 的方程．§8－5 曲线与方程【知识要点】1．轨迹方程一般地，一条曲线可以看成动点运动的轨迹，曲线的方程又常称为满足某种条件的点的轨迹方程．2．曲线与方程在平面直角坐标系中，如果曲线C 与方程F (x ，y )＝0之间有如下关系： (1)曲线C 上点的坐标都是方程F (x ，y )＝0的解； (2)以方程F (x ，y )＝0的解为坐标的点都在曲线C 上．那么，曲线C 叫做方程F (x ，y )＝0的曲线，方程F (x ，y )＝0叫做曲线C 的方程． 3．曲线的交点已知两条曲线C 1和C 2的方程分别是F (x ，y )＝0，G (x ，y )＝0，那么求两条曲线C 1和C 2的交点坐标，只要求方程组的实数解就可以得到．【复习要求】1．了解曲线与方程的对应关系，体会数形结合的思想、方程思想． 2．会求简单的轨迹方程；能根据方程研究曲线的简单性质．【例题分析】例1 已知点A (－1，0)，B (2，0)，动点P 到点A 的距离与它到点B 的距离之比为2，⎩⎨⎧==0),(0),(y x G y x F。

2020届高考数学二轮复习之解析几何小题

高考数学二轮复习之解析几何小题一、直线斜率与倾斜角及三角函数关系、直线方程相关知识点（截距、对称、距离、距离最值）二、圆方程的求法、圆的性质、圆与圆、直线与圆的位置关系、隐性圆问题三、圆锥曲线方程、离心率的求法：平面几何性质、解三角形、解析几何性质法四、小题难度系数不大，但涉及知识面广，比较灵活，注意常见题型的积累和罕见变形题的归纳例：1、直线2x cos α－y －3＝0⎝ ⎛⎭⎪⎫α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3的倾斜角的取值范围是( )2、(2019·合肥模拟)直线l ：x sin 30°＋y cos 150°＋1＝0的斜率是( )3、直线l 过点P (1,0)且以A (2,1)，B (0，3)为端点的线段有公共点，则直线l 斜率的取值范围为________．4、已知直线l 过点(1,0)，且倾斜角为直线l 0：x －2y －2＝0的倾斜角的2倍，求直线l 的方程。

5、(2018·揭阳一模)若直线l 1：x －3y ＋2＝0与直线l 2：mx －y ＋b ＝0关于x 轴对称，则m ＋b ＝( )6、(2019·银川模拟)方程|y |－1＝1－(x －1)2表示的曲线是( )A ．一个椭圆B ．一个圆C ．两个圆D ．两个半圆7、已知a ∈R ，若方程a 2x 2＋(a ＋2)y 2＋4x ＋8y ＋5a ＝0表示圆，则此圆的圆心坐标为( ) 8、(2019·成都摸底)已知圆C ：x 2＋y 2－2x －4y ＋1＝0上存在两点关于直线l ：x ＋my ＋1＝0对称，经过点M (m ，m )作圆C 的切线，切点为P ，则|MP |＝________.9、(2019·重庆一中模拟)若圆x 2＋y 2＋2x －6y ＋6＝0上有且仅有三个点到直线x ＋ay ＋1＝0的距离为1，则实数a 的值为( )10、(2018·嘉定二模)过点P (1，－2)作圆C ：(x －1)2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则AB 所在直线的方程为( )11、（2018·高考全国卷Ⅲ)直线x ＋y ＋2＝0分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆(x －2)2＋y 2＝2上，则△ABP 面积的取值范围是( )12、在平面直角坐标系xOy 中，设直线x ＋y －m ＝0与圆O ：x 2＋y 2＝8交于不同的两点A ，B ，若圆上存在点C ，使得△ABC 为等边三角形，则实数m 的值为( )13、已知坐标原点关于直线l 1：x －y ＋1＝0的对称点为A ，设直线l 2经过点A ，则当点B (2，－1)到直线l 2的距离最大时，直线l 2的方程为( )14、已知圆C ：(x －2)2＋y 2＝4，直线l 1：y ＝3x ，l 2：y ＝kx －1.若直线l 1，l 2被圆C 所截得的弦的长度之比为1∶2，则k 的值为( )15、设抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l .已知点C 在l 上，以C 为圆心的圆与y 轴的非负半轴相切于点A .若∠FAC ＝120°，则圆的方程为________．16、已知圆C 1：x 2＋y 2＋2ax ＋a 2－4＝0和圆C 2：x 2＋y 2－4by －1＋4b 2＝0恰有三条公切线，若a ∈R ，b ∈R ，且ab ≠0，则1a 2＋1b2的最小值为( )17、已知圆C的圆心在x轴的非负半轴上，且y轴和直线x－3y＋2＝0均与圆C相切．(1)求圆C的标准方程；(2)设点P(0,1)，若直线y＝x＋m与圆C相交于M，N两点，且∠MPN为锐角，求实数m的取值范围．18、已知P(x，y)是直线kx＋y＋4＝0(k＞0)上一动点，PA，PB是圆C：x2＋y2－2y＝0的两条切线，A，B分别是切点，若四边形PACB的面积的最小值是2，则k的值为( )19、在圆x2＋y2＝4上任取一点，则该点到直线x＋y－22＝0的距离d∈[0,1]的概率为________．20、当a为任意实数时，直线(a－1)x－y＋a＋1＝0恒过定点C，则以C为圆心，5为半径的圆的方程为( )21、(2019·赣州七校联考)已知圆C：x2＋y2－2ax－2by＋a2＋b2－1＝0(a＜0)的圆心在直线3x－y＋3＝0上，且圆C上的点到直线3x＋y＝0的距离的最大值为1＋3，则a2＋b2的值为()22、已知圆C：x2＋y2＝16，直线l：y＝x，则在圆上任取一点A到直线l的距离大于2的概率是( )23、已知圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝2与y轴在第二象限所围区域的面积为S，直线y＝2x＋b将圆C 分为两部分，其中一部分的面积也为S，则b＝( )24、在平面直角坐标系xOy中，设直线y＝－x＋2与圆x2＋y2＝r2(r＞0)交于A，B两点，O为坐标原点．若圆上一点C满足OC→＝54OA→＋34OB→，则r＝( )25、已知直线x＋y－k＝0(k>0)与圆x2＋y2＝4交于不同的两点A，B.O是坐标原点，且有|OA→＋OB→|≥33|AB→|，那么k的取值范围是( )26、已知a∈R，直线l1：x＋2y＝a＋2和直线l2：2x－y＝2a－1分别与圆E：(x－a)2＋(y－1)2＝9相交于A，C和B，D，则四边形ABCD的面积为________．27、如图，已知椭圆C的中心为原点O，F(－5,0)为C的左焦点，P为C上一点，满足|OP|＝|OF|且|PF|＝6，则椭圆C的方程为( )28、(2017·山东卷)在平面直角坐标系xOy中，双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的右支与焦点为F的抛物线x2＝2py(p＞0)交于A，B两点．若AF＋BF＝4OF，则该双曲线的渐近线方程为________．29、(2017·全国卷Ⅰ)已知F是双曲线C：x2－y23＝1的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是(1，3)，则△APF的面积为________．30、(2018·南宁摸底联考)已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的一条弦所在的直线方程是x－y＋5＝0，弦的中点坐标是M(－4,1)，则椭圆的离心率是()31、(2019·高考全国卷Ⅰ)已知椭圆C的焦点为F1(－1,0)，F2(1,0)，过F2的直线与C交于A，B两点．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则C的方程为( )32、已知直线l 过抛物线y 2＝4x 的焦点F ，交抛物线于A ，B 两点，且点A ，B 到y 轴的距离分别为m ，n ，则m ＋n ＋2的最小值为________．33、分别过椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的左、右焦点F 1，F 2所作的两条互相垂直的直线l 1，l 2的交点在椭圆上，则此椭圆的离心率的取值范围是________．34、已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1作圆x 2＋y 2＝a 2的切线，交双曲线右支于点M ，若∠F 1MF 2＝45°，则双曲线的渐近线方程为( )35、已知直线l ：y ＝kx ＋2过双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左焦点F 和虚轴的上端点B (0，b )，且与圆x 2＋y 2＝8交于点M ，N ，若|MN |≥25，则双曲线的离心率e 的取值范围是( )36、(2018·全国卷Ⅱ)已知F 1，F 2是椭圆C 的两个焦点，P 是C 上的一点．若PF 1⊥PF 2，且∠PF 2F 1＝60°，则C 的离心率为( )37、(2019·高考全国卷Ⅰ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点．若F 1A →＝AB →，F 1B →·F 2B →＝0，则C 的离心率为________． 38、如图，过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 的直线交抛物线于点A ，B ，交其准线l 于点C ，若F 是AC 的中点，且|AF |＝4，则线段AB 的长为( )39、设△ABC 是等腰三角形，∠ABC ＝120°，则以A ，B 为焦点且过点C 的双曲线的离心率为________．40、等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线y 2＝16x 的准线交于A ，B 两点，|AB |＝43，则C 的实轴长为( )41、已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F ，点A 在双曲线的渐近线上，△OAF 是边长为2的等边三角形(O 为原点)，则双曲线的方程为( )42、已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，M 、N 为双曲线上关于原点对称的两点，P 为双曲线上的点，且直线PM 、PN 的斜率分别为k 1、k 2，若k 1·k 2＝54，则双曲线的离心率为( )43、已知F 为抛物线y 2＝43x 的焦点，过点F 的直线交抛物线于A ，B 两点(点A 在第一象限)，若AF →＝3FB →，则以AB 为直径的圆的标准方程为( )44、(2018·长春二测)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线的右支上，且|PF 1|＝4|PF 2|，则双曲线离心率的取值范围是( )45、已知F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，过点F 1，F 2分别作x 轴的垂线，交渐近线于点M ，N ，且点M ，N 在x 轴的同侧，若四边形MNF 2F 1为正方形，则该双曲线的离心率为( )46、过椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点作x 轴的垂线，交C 于A ，B 两点，直线l 过C 的左焦点和上顶点．若以AB 为直径的圆与l 存在公共点，则C 的离心率的取值范围是( )47、过抛物线y 2＝4x 的焦点F 作倾斜角为α的直线l ，l 与抛物线及其准线从上到下依次交于A 、B 、C 点，令|AF ||BF |＝λ1，|BC ||BF |＝λ2，则当α＝π3时，λ1＋λ2的值为( )48、已知双曲线x 29－y 2b 2＝1(b ＞0)的左顶点为A ，虚轴长为8，右焦点为F ，且⊙F 与双曲线的渐近线相切，若过点A 作⊙F 的两条切线，切点分别为M ，N ，则|MN |＝________. 49、(2019·吉林百校联盟联考)如图，双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，直线l 过点F 1且与双曲线C 的一条渐近线垂直，与两条渐近线分别交于M ，N 两点，若|NF 1|＝2|MF 1|，则双曲线C 的渐近线方程为( )50、已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)．矩形ABCD 的四个顶点在E 上，AB ，CD 的中点为E 的两个焦点，且2|AB |＝3|BC |，则E 的离心率是________．51、已知圆M ：x 2＋y 2－2x ＋a ＝0，若AB 为圆M 的任意一条直径，且OA →·OB →＝－6(其中O 为坐标原点)，求圆M 的半径．52、(2017·南通中学模考)已知圆心在直线2x －y －7＝0上的圆C 与y 轴交于两点A(0，－4)，B(0，－2)，则圆C 的方程为__________________．53、已知点M(a ，b)在圆O ：x 2＋y 2＝4外，则直线ax ＋by ＝4与圆O 的位置关系是________． 54、在平面直角坐标系xOy 中，已知圆O ：x 2＋y 2＝1，O 1：(x －4)2＋y 2＝4，动点P 在直线x ＋3y －b ＝0上，过P 点分别作圆O ，O 1的切线，切点分别为A ，B.若满足PB ＝2PA 的点P 有且只有两个，则实数b 的取值范围是________55、(2017·启东中学检测)在平面直角坐标系xOy 中，点A(－1，0)，B(1，0)．若动点C 满足AC ＝2BC ，则△ABC 的面积的最大值是________．56、在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：(x －a)2＋(y －a ＋2)2＝1，点A(0，2)．若圆C 上存在点M ，满足MA 2＋MO 2＝10，则实数a 的取值范围是________．57、已知线段AB 的长为2，动点C 满足CA →·CB →＝λ(λ<0)，且点C 总不在以点B 为圆心，12为半径的圆内，则负数λ的最大值是________．58、在平面直角坐标系中，已知A(t ，0)(t>0)，B(0，－3)，O 为坐标原点．若存在点P ，使PO ＝2PA且∠PBO＝45°，则实数t的取值范围是________．59、(2016·天津六校期末)已知圆C：(x－2)2＋y2＝1，若直线y＝k(x＋1)上存在点P，使得过P向圆C作两条切线所成的角为π3，则实数k的取值范围是________．60、已知点A，B关于坐标原点O对称，|AB|＝4，⊙M过点A，B且与直线x＋2＝0相切．(1)若A在直线x＋y＝0上，求⊙M的半径；(2)是否存在定点P，使得当A运动时，|MA|－|MP|为定值？并说明理由．。