2019-清华大学热工基础课件工程热力学加传热学10第九章-导热、稳态导热、非稳态、数值解法-文档资料

(4)纯金属的热导率大于它的合金 ；
(5)对于各向异性物体, 热导率的数值与方向有关 ；
(6)对于同一种物质, 晶体的热导率要大于非定形态物 体的热导率。
热导率数值的影响因素较多, 主要取决于物质的 种类、物质结构与物理状态, 此外温度、密度、湿度 等因素对热导率也有较大的影响。其中温度对热导率 的影响尤为重要。
合金
12～120 W/ /(m·K)
非金属固体
1～40 W/ /(m·K)
液体(非金属) 0.17～0.7 W/ /(m·K)
绝热材料
0.03～0.12 W/ /(m·K)
气体
0.007～0.17 W/ /(m·K)
16
4. 导热问题的数学描述（数学模型）
建立数学模型的目的：求解温度场 tf x,y,z,
内热源的分布规律，给出热物性参数(、、c、a等)的
数值及其特点等。
3)时间条件 说明导热过程时间上的特点, 是稳态导热还是非稳
态导热。对于非稳态导热, 应该给出过程开始时物体内 部的温度分布规律（称为初始条件）：
t0 f(x,y,z)
25
4)边界条件
说明导热物体边界上的热状态以及与周围环境之间的 相互作用。例如,边界上的温度、热流密度分布以及边界 与周围环境之间的热量交换情况等。
8
标量形式的傅里叶定律表达式为
q t
n
对于各向同性材料, 各方向上的热导率相等,
qqxiqyjqzk
gradttit jtk x y z
qxt iyt jzt k
qx
t x
qy
t y
qz
t z
由傅里叶定律可知, 要计算导热热流量, 需要知道
材料的热导率, 还必须知道温度场。所以,求解温度场
是导热分析的主要任务。 9
单位时间内微元体内热源的生成热： dVdxdydz
单位时间内微元热 力学能的增加：
dUct dxdydz
导热微分 方程式
根据微元体的热平衡表达式 d + dV = dU 可得
c t x x t y y t z z t 19
导热微分方程式建立了导热过程中物体的温度随时间
t 、 t 、 t 分别为x、y、z 方向的偏导数; i、j、k 分 x y z 别为x、y、z 方向的单位矢量。
（4）热流密度 (heat flux)
q d dA
热流密度的大小和方向可以
用热流密度矢量q 表示
nt
dA q
d
q d n
dA
热流密度矢量的方向指向温度降低的方向。
7
在直角坐标系中，热流密度矢量可表示为
t lim t
x
x
x 0
很明显, 等温面法线方向
的温度变化率最大，温度变化
最剧烈。
温度梯度：等温面法线方向的温度变化率矢量：
gradt t n n
温度梯度是矢量，指 向温度增加的方向。
n—等温面法线方向的单位矢量，指向温度增加的方向。 6
在直角坐标系中，温度梯度可表示为
gradttit jtk x y z
17
导热过程中微元体的热平衡：
单位时间内，净导入微元体
的热流量d与微元体内热源 的生成热dV之和等于微元体
热力学能的增加dU, 即
d + dV = dU
d = dx + dy + dz
dx = dx － dx+dx = qx dydz － qx+dx dydz
qxdydzqxqxxdxdydz
qx x
导热数学模型的组成： 导热微分方程式+单值性条件
（1）导热微分方程式的导出
依据：能量守恒和傅里叶定律。
假设：1）物体由各向同性的连续介质组成；
2）有内热源，强度为 ，表示单位时间、单位 体积内的生成热，单位为W/m3 。
步骤：1）根据物体的形状选择坐标系, 选取物体中的 微元体作为研究对象；
2）根据能量守恒, 建立微元体的热平衡方程式； 3）根据傅里叶定律及已知条件, 对热平衡方程式 进行归纳、整理，最后得出导热微分方程式。
1. 导热的基本概念
（1） 温度场(temperature field)
在 时刻，物体内所有各点的温度分布称
为该物体在该时刻的温度场。
3
一般温度场是空间坐标和时间的函数，在直 角坐标系中，温度场可表示为
tf x,y,z,
非稳态温度场 ：温度随时间变化的温度场， 其中的导热称为非稳态导热。
稳态温度场 ：温度不随时间变化的温度场， 其中的导热称为稳态导热。
如果为常数：
t 2t 1t 12t 2t a r2rrr22z2 c
22
球坐标系下的导热微分方程式
c t r 1 2 r r 2 r t r 2 s 1 i n s i n t r 2 s i 1 n 2 t
为常数时
傅里叶定律的适用条件：
（1）傅里叶定律只适用于各
向同性物体。对于各向异性物体， 热流密度矢量的方向不仅与温度
qy
梯度有关,还与热导率的方向性
有关, 因此热流密度矢量与温度 y y
梯度不一定在同一条直线上。
n
qx
q
x
x
（2）傅里叶定律适用于工程技术中的一般稳态和 非稳态导热问题，对于极低温（接近于0K）的导热问 题和极短时间产生极大热流密度的瞬态导热过程, 如 大功率、短脉冲(脉冲宽度可达10-12～10-15s)激光瞬态 加热等, 傅里叶定律不再适用。
t n w
=
0
物体内部的等温面或等温线 与该绝热表面垂直相交。
(c) 第三类边界条件
给出了与物体表面进行对流换热的
流体的温度tf及表面传热系数h 。
根据边界面的热平衡，由傅里叶
qw
定律和牛顿冷却公式可得
nt w htwtf
h ,tf
第三类边界条件建立了物体内部温度在边界处的变
化率与边界处对流换热之间的关系，也称为对流换热边
t f x,y,z
一维温度场 t f x,
t f x
二维温度场 t f x,y, t f x, y
三维温度场 tf x,y,z, t f x,y,z
4
（2）等温面与等温线
在同一时刻，温度场中温度相同的点连成的线或 面称为等温线或等温面。
等温面上任何一条线都是 等温线。如果用一个平面和一组 等温面相交, 就会得到一组等温 线。温度场可以用一组等温面或 等温线表示。
10
3. 热导率（导热系数）
热导率表明物质导热能力的大小。根据傅里叶定
律表达式
q
grad t
绝大多数材料的热导率值都可以通过实验测得。
11
物质的热导率在数值上具有下述特点:
(1) 对于同一种物质, 固态的热导率值最大,气态的热 导率值最小； (2)一般金属的热导率大于非金属的热导率 ；
(3)导电性能好的金属, 其导热性能也好 ；
❖ 导热微分方程式与单值性条件一起构成具体导热 过程完整的数学描述。
❖ 单值性条件一般包括：几何条件、物理条件、 时间条件、边界条件。
24
1)几何条件 说明参与导热物体的几何形状及尺寸。几何条件决定 温度场的空间分布特点和分析时所采用的坐标系。
2)物理条件 说明导热物体的物理性质, 例如物体有无内热源以及
常见的边界条件分为以下三类:
(a) 第一类边界条件
给出边界上的温度分布及其随时间的变化规律：
twf,x,y,z
(b) 第二类边界条件
给出边界上的热流密度分布及
其随时间的变化规律：
t
w
qw
n
26
用电热片加热物体表面可实现第二类边界条件。
如果物体的某一表面是绝热的, 即qw = 0 , 则
等温面与等温线的特征：
同一时刻，物体中温度不同的等温面或等温线不能 相交；在连续介质的假设条件下，等温面（或等温线） 或者在物体中构成封闭的曲面（或曲线），或者终止于 物体的边界，不可能在物体中中断。
5
（3）温度梯度(temperature gradient)
在温度场中，温度沿x方
向的变化率(即偏导数)
其大小反映物体被瞬态加热或冷却时温度变化的快慢。 20
导热微分方程式的简化
(1) 物体无内热源： = 0
t a 2t
(2) 稳态导热：
t 0
a 2t 0 c
(3)稳态导热、无内热源：
2t = 0，即
2t x2
y2t2
z2t2
0
21
圆柱坐标系下的导热微分方程式
c t 1 r r r r t r 1 2 t z z t
t a 1 r 2 r r 2 t r 2 s 1 in s in t r 2 s i 1 n 2 2 t 2 c
23
（2）单值性条件
❖ 导热微分方程式推导过程中没有涉及导热过程的 具体特点, 适用于无穷多个导热过程, 也就是说有无 穷多个解。
❖ 为完整地描写某个具体的导热过程，必须说明 导热过程的具体特点, 即给出导热微分方程的单值 性条件（或称定解条件），使导热微分方程式具有 唯一解。
qqxiqyjqzk
qx、qy、qz分别表示q在三个坐标方向的分量的大小。
2. 导热的基本定律
傅里叶（ Fourier）于1822年提出了著名的导热基本 定律，即傅里叶定律，指出了导热热流密度矢量与温度 梯度之间的关系。
对于各向同性物体, 傅里叶定律表达式为
qgradt t n
n
傅里叶定律表明, 导热热流密度的大小与温度梯度的 绝对值成正比，其方向与温度梯度的方向相反。
12
温度对热导率的影响：
一般地说, 所有物质的热 导率都是温度的函数,不同 物质的热导率随温度的变化 规律不同。