2014.中考,二次函数

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2014年全国各地中考数学真题分类解析汇编(13)二次函数

二次函数一、选择题1. （2014•广东，第10题3分）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图，关于该二次函数，下列说法错误的是（）A．函数有最小值B．对称轴是直线x=C．当x＜，y随x的增大而减小D．当﹣1＜x＜2时，y＞0考点：二次函数的性质．分析：根据抛物线的开口方向，利用二次函数的性质判断A；根据图形直接判断B；根据对称轴结合开口方向得出函数的增减性，进而判断C；根据图象，当﹣1＜x＜2时，抛物线落在x轴的下方，则y＜0，从而判断D．解答：解：A、由抛物线的开口向下，可知a＜0，函数有最小值，正确，故本选项不符合题意；B、由图象可知，对称轴为x =，正确，故本选项不符合题意；C、因为a＞0，所以，当x ＜时，y随x的增大而减小，正确，故本选项不符合题意；D、由图象可知，当﹣1＜x＜2时，y＜0，错误，故本选项符合题意．故选D．点评：本题考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是利用数形结合思想解题．2. （2014•广西贺州，第10题3分）已知二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，且a≠0）的图象如图所示，则一次函数y=cx +与反比例函数y =在同一坐标系内的大致图象是（）A．B．C．D．考点：二次函数的图象；一次函数的图象；反比例函数的图象．分析：先根据二次函数的图象得到a＞0，b＜0，c＜0，再根据一次函数图象与系数的关系和反比例函数图象与系数的关系判断它们的位置．解答：解：∵抛物线开口向上，∴a＞0，∵抛物线的对称轴为直线x=﹣＞0，∴b＜0，∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，∴c＜0，∴一次函数y=cx+的图象过第二、三、四象限，反比例函数y=分布在第二、四象限．故选B．点评：本题考查了二次函数的图象：二次函数y=ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）的图象为抛物线，当a＞0，抛物线开口向上；当a＜0，抛物线开口向下．对称轴为直线x=﹣；与y轴的交点坐标为（0，c）．也考查了一次函数图象和反比例函数的图象．3．(2014年四川资阳，第10题3分)二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，给出下列四个结论：①4ac﹣b2＜0；②4a+c＜2b；③3b+2c＜0；④m（am+b）+b＜a（m≠﹣1），其中正确结论的个数是（）A．4个B．3个C．2个D．1个考点：二次函数图象与系数的关系．分析：利用二次函数图象的相关知识与函数系数的联系，需要根据图形，逐一判断．解答：解：∵抛物线和x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，∴4ac﹣b2＜0，∴①正确；∵对称轴是直线x﹣1，和x轴的一个交点在点（0，0）和点（1，0）之间，∴抛物线和x轴的另一个交点在（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，∴把（﹣2，0）代入抛物线得：y=4a﹣2b+c＞0，∴4a+c＞2b，∴②错误；∵把（1，0）代入抛物线得：y=a+b+c＜0，∴2a+2b+2c＜0，∵b=2a，∴3b，2c＜0，∴③正确；∵抛物线的对称轴是直线x=﹣1，∴y=a﹣b+c的值最大，即把（m，0）（m≠0）代入得：y=am2+bm+c＜a﹣b+c，∴am2+bm+b＜a，即m（am+b）+b＜a，∴④正确；即正确的有3个，故选B．点评：此题主要考查了二次函数图象与系数的关系，在解题时要注意二次函数的系数与其图象的形状，对称轴，特殊点的关系，也要掌握在图象上表示一元二次方程ax2+bx+c=0的解的方法．同时注意特殊点的运用．4．(2014年天津市，第12 题3分)已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，且关于x 的一元二次方程ax2+bx+c﹣m=0没有实数根，有下列结论：①b2﹣4ac＞0；②abc＜0；③m＞2．其中，正确结论的个数是（）A．0 B．1C．2D．3考点：二次函数图象与系数的关系．分析：由图象可知二次函数y=ax2+bx+c与x轴有两个交点，进而判断①；先根据抛物线的开口向下可知a＜0，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，根据对称轴在y轴右侧得出b与0的关系，然后根据有理数乘法法则判断②；一元二次方程ax2+bx+c﹣m=0没有实数根，则可转化为ax2+bx+c=m，即可以理解为y=ax2+bx+c和y=m没有交点，即可求出m的取值范围，判断③即可．解答：解：①∵二次函数y=ax2+bx+c与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，故①正确；②∵抛物线的开口向下，∴a＜0，∵抛物线与y轴交于正半轴，∴c＞0，∵对称轴x=﹣＞0，∴ab＜0，∵a＜0，∴b＞0，∴abc＜0，故②正确；③∵一元二次方程ax2+bx+c﹣m=0没有实数根，∴y=ax2+bx+c和y=m没有交点，由图可得，m＞2，故③正确．故选D．点评：本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．5．（2014•新疆，第6题5分）对于二次函数y=（x﹣1）2+2的图象，下列说法正确的是（）﹣，的顶点坐标是（﹣，6．（2014•舟山，第10题3分）当﹣2≤x≤1时，二次函数y=﹣（x﹣m）2+m2+1有最大值4，则实数m的值为（）或C或或﹣或，．y=2x2，y=﹣2x2，共有的性质是（）=＜﹣＞﹣﹣＜﹣＞﹣﹣8.（2014•孝感，第12题3分）抛物线y=ax2+bx+c的顶点为D（﹣1，2），与x轴的一个交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，其部分图象如图，则以下结论：①b2﹣4ac＜0；②a+b+c＜0；③c﹣a=2；④方程ax2+bx+c﹣2=0有两个相等的实数根．其中正确结论的个数为（）=1=1﹣9．（2014·台湾，第26题3分）已知a、h、k为三数，且二次函数y＝a(x﹣h)2＋k在坐标平面上的图形通过(0，5)、(10，8)两点．若a＜0，0＜h＜10，则h之值可能为下列何者？() A．1 B．3 C．5 D．7分析：先画出抛物线的大致图象，根据顶点式得到抛物线的对称轴为直线x＝h，由于抛物线过(0，5)、(10，8)两点．若a＜0，0＜h＜10，则点(0，5)到对称轴的距离大于点(10，8)到对称轴的距离，所以h﹣0＞10﹣h，然后解不等式后进行判断．解：∵抛物线的对称轴为直线x＝h，而(0，5)、(10，8)两点在抛物线上，∴h﹣0＞10﹣h，解得h＞5．故选D．点评：本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小，当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置，当a与b同号时(即ab＞0)，对称轴在y轴左；当a与b异号时(即ab＜0)，对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点．抛物线与y 轴交于(0，c )；抛物线与x 轴交点个数由△决定，△＝b 2﹣4ac ＞0时，抛物线与x 轴有2个交点；△＝b 2﹣4ac ＝0时，抛物线与x 轴有1个交点；△＝b 2﹣4ac ＜0时，抛物线与x 轴没有交点．10．（2014·浙江金华，第9题4分）如图是二次函数2y x 2x 4=-++的图象，使y 1≤成立的x 的取值范围是【】A ．1x 3-≤≤B ．x 1≤-C ．x 1≥D ．x 1≤-或x 3≥【答案】D ．【解析】试题分析：由图象可知，当y 1≤时，x 1≤-或x 3≥. 故选D ．考点：1.曲线上点的坐标与方程的关系；2.数形结合思想的应用11．（2014•浙江宁波，第12题4分）已知点A （a ﹣2b ，2﹣4ab ）在抛物线y =x 2+4x +10上，则点A 关于抛物线对称轴的对称点坐标为（）﹣=12.（2014•菏泽第8题3分）如图，Rt△ABC中，AC=BC=2，正方形CDEF的顶点D、F分别在AC、BC边上，C、D两点不重合，设CD的长度为x，△ABC与正方形CDEF重叠部分的面积为y，则下列图象中能表示y与x之间的函数关系的是（）．．．．，13.（2014•济宁，第8题3分）“如果二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个公共点，那么一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根．”请根据你对这句话的理解，解决下面问题：若m、n（m＜n）是关于x的方程1﹣（x﹣a）（x﹣b）=0的两根，且a＜b，则a、b、m、n的大小关系是（）14．（2014年山东泰安，第17题3分）已知函数y=（x﹣m）（x﹣n）（其中m＜n）的图象如图所示，则一次函数y=mx+n与反比例函数y=的图象可能是（）A．B C D．分析：根据二次函数图象判断出m＜﹣1，n=1，然后求出m+n＜0，再根据一次函数与反比例函数图象的性质判断即可．解：由图可知，m＜﹣1，n=1，所以，m+n＜0，所以，一次函数y=mx+n经过第二四象限，且与y轴相交于点（0，1），反比例函数y=的图象位于第二四象限，纵观各选项，只有C选项图形符合．故选C．点评：本题考查了二次函数图象，一次函数图象，反比例函数图象，观察二次函数图象判断出m、n的取值是解题的关键．15.（2014年山东泰安，第20题3分）二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）中的x与y的部分对应值如下表：下列结论：（1）ac＜0；（2）当x＞1时，y的值随x值的增大而减小．（3）3是方程ax2+（b﹣1）x+c=0的一个根；（4）当﹣1＜x＜3时，ax2+（b﹣1）x+c＞0．其中正确的个数为（）A．4个B．3个C．2个D．1个分析：根据表格数据求出二次函数的对称轴为直线x=1.5，然后根据二次函数的性质对各小题分析判断即可得解．解：由图表中数据可得出：x=1时，y=5值最大，所以二次函数y=ax2+bx+c开口向下，a ＜0；又x=0时，y=3，所以c=3＞0，所以ac＜0，故（1）正确；∵二次函数y=ax2+bx+c开口向下，且对称轴为x==1.5，∴当x＞1.5时，y的值随x 值的增大而减小，故（2）错误；∵x=3时，y=3，∴9a+3b+c=3，∵c=3，∴9a+3b+3=3，∴9a+3b=0，∴3是方程ax2+（b ﹣1）x+c=0的一个根，故（3）正确；∵x=﹣1时，ax2+bx+c=﹣1，∴x=﹣1时，ax2+（b﹣1）x+c=0，∵x=3时，ax2+（b﹣1）x+c=0，且函数有最大值，∴当﹣1＜x＜3时，ax2=（b﹣1）x+c＞0，故（4）正确．故选B．点评：本题考查了二次函数的性质，二次函数图象与系数的关系，抛物线与x轴的交点，二次函数与不等式，有一定难度．熟练掌握二次函数图象的性质是解题的关键．16.（2014•滨州，第9题3分）下列函数中，图象经过原点的是（）==二.填空题1. （2014•安徽省,第12题5分）某厂今年一月份新产品的研发资金为a元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x，则该厂今年三月份新产品的研发资金y（元）关于x的函数关系式为y=a（1+x）2．考点：根据实际问题列二次函数关系式．分析：由一月份新产品的研发资金为a元，根据题意可以得到2月份研发资金为a×（1+x），而三月份在2月份的基础上又增长了x，那么三月份的研发资金也可以用x表示出来，由此即可确定函数关系式．解答：解：∵一月份新产品的研发资金为a元，2月份起，每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x，∴2月份研发资金为a×（1+x），∴三月份的研发资金为y=a×（1+x）×（1+x）=a（1+x）2．故填空答案：a（1+x）2．点评：此题主要考查了根据实际问题二次函数列解析式，此题是平均增长率的问题，可以用公式a（1±x）2=b来解题．2．(2014年云南，第16题3分)抛物线y=x2﹣2x+3的顶点坐标是．考点：二次函数的性质．专题：计算题．分析：已知抛物线的解析式是一般式，用配方法转化为顶点式，根据顶点式的坐标特点，直接写出顶点坐标．解答：解：∵y=x2﹣2x+3=x2﹣2x+1﹣1+3=（x﹣1）2+2，∴抛物线y=x2﹣2x+3的顶点坐标是（1，2）．点评：此题考查了二次函数的性质，二次函数y=a（x﹣h）2+k的顶点坐标为（h，k），对称轴为x=h，此题还考查了配方法求顶点式．3．（2014•浙江湖州，第16题4分）已知当x1=a，x2=b，x3=c时，二次函数y=x2+mx对应的函数值分别为y1，y2，y3，若正整数a，b，c恰好是一个三角形的三边长，且当a＜b＜c 时，都有y1＜y2＜y3，则实数m的取值范围是．分析：根据三角形的任意两边之和大于第三边判断出a最小为2，再根据二次函数的增减性和对称性判断出对称轴在2、3之间偏向2，即不大于2.5，然后列出不等式求解即可．解：∵正整数a，b，c恰好是一个三角形的三边长，且a＜b＜c，∴a最小是2，∵y1＜y2＜y3，∴﹣＜2.5，解得m＞﹣．故答案为：m＞﹣．点评：本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，三角形的三边关系，判断出a最小可以取2以及对称轴的位置是解题的关键．4. （2014•株洲，第16题，3分）如果函数y=（a﹣1）x2+3x+的图象经过平面直角坐标系的四个象限，那么a的取值范围是a＜﹣5．=＜﹣轴的正半轴相交．因此5. （2014年江苏南京，第16题，2分）已知二次函数y=ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如表：则当y＜5时，x的取值范围是．考点：二次函数与不等式分析：根据表格数据，利用二次函数的对称性判断出x=4时，y=5，然后写出y＜5时，x的取值范围即可．解答：由表可知，二次函数的对称轴为直线x=2，所以，x=4时，y=5，所以，y＜5时，x的取值范围为0＜x＜4．故答案为：0＜x＜4．点评：本题考查了二次函数与不等式，观察图表得到y=5的另一个x的值是解题的关键．6. （2014•扬州，第16题，3分）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）的对称轴是过点（1，0）且平行于y轴的直线，若点P（4，0）在该抛物线上，则4a﹣2b+c的值为0．（第3题图）7．（2014•菏泽，第12题3分）如图，平行于x轴的直线AC分别交抛物线y1=x2（x≥0）与y2=（x≥0）于B、C两点，过点C作y轴的平行线交y1于点D，直线DE∥AC，交y2于点E，则= _______．，，的横坐标相同，为2=3，，﹣=﹣．8. （2014•珠海，第9题4分）如图，对称轴平行于y轴的抛物线与x轴交于（1，0），（3，0）两点，則它的对称轴为直线x=2．=三.解答题1. （2014•安徽省,第22题12分）若两个二次函数图象的顶点、开口方向都相同，则称这两个二次函数为“同簇二次函数”．（1）请写出两个为“同簇二次函数”的函数；（2）已知关于x的二次函数y1=2x2﹣4mx+2m2+1和y2=ax2+bx+5，其中y1的图象经过点A （1，1），若y1+y2与y1为“同簇二次函数”，求函数y2的表达式，并求出当0≤x≤3时，y2的最大值．考点：二次函数的性质；二次函数的最值．专题：新定义．分析：（1）只需任选一个点作为顶点，同号两数作为二次项的系数，用顶点式表示两个为“同簇二次函数”的函数表达式即可．（2）由y1的图象经过点A（1，1）可以求出m的值，然后根据y1+y2与y1为“同簇二次函数”就可以求出函数y2的表达式，然后将函数y2的表达式转化为顶点式，在利用二次函数的性质就可以解决问题．解答：解：（1）设顶点为（h，k）的二次函数的关系式为y=a（x﹣h）2+k，当a=2，h=3，k=4时，二次函数的关系式为y=2（x﹣3）2+4．∵2＞0，∴该二次函数图象的开口向上．当a=3，h=3，k=4时，二次函数的关系式为y=3（x﹣3）2+4．∵3＞0，∴该二次函数图象的开口向上．∵两个函数y=2（x﹣3）2+4与y=3（x﹣3）2+4顶点相同，开口都向上，∴两个函数y=2（x﹣3）2+4与y=3（x﹣3）2+4是“同簇二次函数”．∴符合要求的两个“同簇二次函数”可以为：y=2（x﹣3）2+4与y=3（x﹣3）2+4．（2）∵y1的图象经过点A（1，1），∴2×12﹣4×m×1+2m2+1=1．整理得：m2﹣2m+1=0．解得：m1=m2=1．∴y1=2x2﹣4x+3=2（x﹣1）2+1．∴y1+y2=2x2﹣4x+3+ax2+bx+5=（a+2）x2+（b﹣4）x+8∵y1+y2与y1为“同簇二次函数”，∴y1+y2=（a+2）（x﹣1）2+1=（a+2）x2﹣2（a+2）x+（a+2）+1．其中a+2＞0，即a＞﹣2．∴．解得：．∴函数y2的表达式为：y2=5x2﹣10x+5．∴y2=5x2﹣10x+5=5（x﹣1）2．∴函数y2的图象的对称轴为x=1．∵5＞0，∴函数y2的图象开口向上．①当0≤x≤1时，∵函数y2的图象开口向上，∴y2随x的增大而减小．∴当x=0时，y2取最大值，最大值为5（0﹣1）2=5．②当1＜x≤3时，∵函数y2的图象开口向上，∴y2随x的增大而增大．∴当x=3时，y2取最大值，最大值为5（3﹣1）2=20．综上所述：当0≤x≤3时，y2的最大值为20．点评：本题考查了求二次函数表达式以及二次函数一般式与顶点式之间相互转化，考查了二次函数的性质（开口方向、增减性），考查了分类讨论的思想，考查了阅读理解能力．而对新定义的正确理解和分类讨论是解决第二小题的关键．2. （2014•福建泉州，第22题9分）如图，已知二次函数y=a（x﹣h）2+的图象经过原点O（0，0），A（2，0）．（1）写出该函数图象的对称轴；（2）若将线段OA绕点O逆时针旋转60°到OA′，试判断点A′是否为该函数图象的顶点？OA OB（+的图象经过原点OA=，﹣的顶点．）的顶点坐标为（﹣），对称轴直线x=﹣，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：＜﹣时，﹣取得最小值，即顶＜﹣时，时，3. （2014•福建泉州，第25题12分）如图，在锐角三角形纸片ABC中，AC＞BC，点D，E，F分别在边AB，BC，CA上．（1）已知：DE∥AC，DF∥BC．①判断四边形DECF一定是什么形状？②裁剪当AC=24cm，BC=20cm，∠ACB=45°时，请你探索：如何剪四边形DECF，能使它的面积最大，并证明你的结论；（2）折叠请你只用两次折叠，确定四边形的顶点D，E，C，F，使它恰好为菱形，并说明你的折法和理由．=12=12====6 =124. （2014•广东，第25题9分）如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥AB于点D，BC=10cm，AD=8cm．点P从点B出发，在线段BC上以每秒3cm的速度向点C匀速运动，与此同时，垂直于AD的直线m从底边BC出发，以每秒2cm的速度沿DA方向匀速平移，分别交AB、AC、AD于E、F、H，当点P到达点C时，点P与直线m同时停止运动，设运动时间为t 秒（t＞0）．（1）当t=2时，连接DE、DF，求证：四边形AEDF为菱形；（2）在整个运动过程中，所形成的△PEF的面积存在最大值，当△PEF的面积最大时，求线段BP的长；（3）是否存在某一时刻t，使△PEF为直角三角形？若存在，请求出此时刻t的值；若不存在，请说明理由．考点：相似形综合题．分析：（1）如答图1所示，利用菱形的定义证明；（2）如答图2所示，首先求出△PEF的面积的表达式，然后利用二次函数的性质求解；（3）如答图3所示，分三种情形，需要分类讨论，分别求解．解答：（1）证明：当t=2时，DH=AH=2，则H为AD的中点，如答图1所示．又∵EF⊥AD，∴EF为AD的垂直平分线，∴AE=DE，AF=DF．∵AB=AC，AD⊥AB于点D，∴AD⊥BC，∠B=∠C．∴EF∥BC，∴∠AEF=∠B，∠AFE=∠C，∴∠AEF=∠AFE，∴AE=AF，∴AE=AF=DE=DF，即四边形AEDF为菱形．（2）解：如答图2所示，由（1）知EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∴，即，解得：EF=10﹣t．S△PEF=EF•DH=（10﹣t）•2t=﹣t2+10t=﹣（t﹣2）2+10∴当t=2秒时，S△PEF存在最大值，最大值为10，此时BP=3t=6．（3）解：存在．理由如下：①若点E为直角顶点，如答图3①所示，此时PE∥AD，PE=DH=2t，BP=3t．∵PE∥AD，∴，即，此比例式不成立，故此种情形不存在；②若点F为直角顶点，如答图3②所示，此时PE∥AD，PF=DH=2t，BP=3t，CP=10﹣3t．∵PF∥AD，∴，即，解得t=；③若点P为直角顶点，如答图3③所示．过点E作EM⊥BC于点M，过点F作FN⊥BC于点N，则EM=FN=DH=2t，EM∥FN∥AD．∵EM∥AD，∴，即，解得BM=t，∴PM=BP﹣BM=3t﹣t=t．在Rt△EMP中，由勾股定理得：PE2=EM2+PM2=（2t）2+（t）2=t2．∵FN∥AD，∴，即，解得CN=t，∴PN=BC﹣BP﹣CN=10﹣3t﹣t=10﹣t．在Rt△FNP中，由勾股定理得：PF2=FN2+PN2=（2t）2+（10﹣t）2=t2﹣85t+100．在Rt△PEF中，由勾股定理得：EF2=PE2+PF2，即：（10﹣t）2=（t2）+（t2﹣85t+100）化简得：t2﹣35t=0，解得：t=或t=0（舍去）∴t=．综上所述，当t=秒或t=秒时，△PEF为直角三角形．点评：本题是运动型综合题，涉及动点与动线两种运动类型．第（1）问考查了菱形的定义；第（2）问考查了相似三角形、图形面积及二次函数的极值；第（3）问考查了相似三角形、勾股定理、解方程等知识点，重点考查了分类讨论的数学思想．5. （2014•珠海，第22题9分）如图，矩形OABC的顶点A（2，0）、C（0，2）．将矩形OABC绕点O逆时针旋转30°．得矩形OEFG，线段GE、FO相交于点H，平行于y轴的直线MN分别交线段GF、GH、GO和x轴于点M、P、N、D，连结MH．（1）若抛物线l：y=ax2+bx+c经过G、O、E三点，则它的解析式为：y=x2﹣x；（2）如果四边形OHMN为平行四边形，求点D的坐标；（3）在（1）（2）的条件下，直线MN与抛物线l交于点R，动点Q在抛物线l上且在R、E两点之间（不含点R、E）运动，设△PQH的面积为s，当时，确定点Q的横坐标的取值范围．OF点右边时，所求三角形为两三角形的差．得关系式再代入，=2，=3=，，，x=﹣，，，，﹣x﹣，x＜．①当﹣，﹣••••••[x（x（﹣+时，，﹣•）﹣•．．，＜﹣x+，解得﹣＜＜，＜．6. 2014•广西贺州，第26题12分）二次函数图象的顶点在原点O，经过点A（1，14）；点F（0，1）在y轴上．直线y=﹣1与y轴交于点H．（1）求二次函数的解析式；（2）点P是（1）中图象上的点，过点P作x轴的垂线与直线y=﹣1交于点M，求证：FM 平分∠OFP；（3）当△FPM是等边三角形时，求P点的坐标．考点：二次函数综合题．专题：综合题．分析：（1）根据题意可设函数的解析式为y=ax2，将点A代入函数解析式，求出a的值，继而可求得二次函数的解析式；（2）过点P作PB⊥y轴于点B，利用勾股定理求出PF，表示出PM，可得PF=PM，∠PFM=∠PMF，结合平行线的性质，可得出结论；（3）首先可得∠FMH=30°，设点P的坐标为（x，14x2），根据PF=PM=FM，可得关于x的方程，求出x的值即可得出答案．解答：（1）解：∵二次函数图象的顶点在原点O，∴设二次函数的解析式为y=ax2，将点A（1，14）代入y=ax2得：a=14，∴二次函数的解析式为y=14x2；（2）证明：∵点P在抛物线y=14x2上，∴可设点P的坐标为（x，14x2），过点P作PB⊥y轴于点B，则BF=14x2﹣1，PB=x，∴Rt△BPF中，PF==14x2+1，∵PM⊥直线y=﹣1，∴PM=14x2+1，∴PF=PM，∴∠PFM=∠PMF，又∵PM∥x轴，∴∠MFH=∠PMF，∴∠PFM=∠MFH，∴FM平分∠OFP；（3）解：当△FPM是等边三角形时，∠PMF=60°，∴∠FMH=30°，在Rt△MFH中，MF=2FH=2×2=4，∵PF=PM=FM，∴14x2+1=4，解得：x=±2，∴14x2=14×12=3，∴满足条件的点P的坐标为（2，3）或（﹣2，3）．点评：本题考查了二次函数的综合，涉及了待定系数法求函数解析式、角平分线的性质及直角三角形的性质，解答本题的关键是熟练基本知识，数形结合，将所学知识融会贯通．7. （2014•广西玉林市、防城港市，第26题12分）给定直线l：y=kx，抛物线C：y=ax2+bx+1．（1）当b=1时，l与C相交于A，B两点，其中A为C的顶点，B与A关于原点对称，求a 的值；（2）若把直线l向上平移k2+1个单位长度得到直线r，则无论非零实数k取何值，直线r与抛物线C都只有一个交点．①求此抛物线的解析式；②若P是此抛物线上任一点，过P作PQ∥y轴且与直线y=2交于Q点，O为原点．求证：OP=PQ．=0中，若不能使其结果为﹣x），∴顶点（﹣，﹣=1﹣．==，==0=xx xx==﹣（﹣x8．(2014年四川资阳，第22题9分)某商家计划从厂家采购空调和冰箱两种产品共20台，空调的采购单价y1（元/台）与采购数量x1（台）满足y1=﹣20x1+1500（0＜x1≤20，x1为整数）；冰箱的采购单价y2（元/台）与采购数量x2（台）满足y2=﹣10x2+1300（0＜x2≤20，x2为整数）．（1）经商家与厂家协商，采购空调的数量不少于冰箱数量的，且空调采购单价不低于1200元，问该商家共有几种进货方案？（2）该商家分别以1760元/台和1700元/台的销售单价售出空调和冰箱，且全部售完．在（1）的条件下，问采购空调多少台时总利润最大？并求最大利润．考点：二次函数的应用；一元一次不等式组的应用．分析：（1）设空调的采购数量为x台，则冰箱的采购数量为（20﹣x）台，然后根据数量和单价列出不等式组，求解得到x的取值范围，再根据空调台数是正整数确定进货方案；（2）设总利润为W元，根据总利润等于空调和冰箱的利润之和整理得到W与x的函数关系式并整理成顶点式形式，然后根据二次函数的增减性求出最大值即可．解答：解：（1）设空调的采购数量为x台，则冰箱的采购数量为（20﹣x）台，由题意得，，解不等式①得，x≥11，解不等式②得，x≤15，所以，不等式组的解集是11≤x≤15，∵x为正整数，∴x可取的值为11、12、13、14、15，所以，该商家共有5种进货方案；（2）设总利润为W元，y2=﹣10x2+1300=﹣10（20﹣x）+1300=10x+1100，则W=（1760﹣y1）x1+（1700﹣y2）x2，=1760x﹣（﹣20x+1500）x+（1700﹣10x﹣1100）（20﹣x），=1760x+20x2﹣1500x+10x2﹣800x+12000，=30x2﹣540x+12000，=30（x﹣9）2+9570，当x＞9时，W随x的增大而增大，∵11≤x≤15，∴当x=15时，W最大值=30（15﹣9）2+9570=10650（元），答：采购空调15台时，获得总利润最大，最大利润值为10650元．点评：本题考查了二次函数的应用，一元一次不等式组的应用，（1）关键在于确定出两个不等关系，（2）难点在于用空调的台数表示出冰箱的台数并列出利润的表达式．9．(2014年四川资阳，第24题12分)如图，已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴的一个交点为A （3，0），与y轴的交点为B（0，3），其顶点为C，对称轴为x=1．（1）求抛物线的解析式；（2）已知点M为y轴上的一个动点，当△ABM为等腰三角形时，求点M的坐标；（3）将△AOB沿x轴向右平移m个单位长度（0＜m＜3）得到另一个三角形，将所得的三角形与△ABC重叠部分的面积记为S，用m的代数式表示S．考点：二次函数综合题．分析：（1）根据对称轴可知，抛物线y=ax2+bx+c与x轴的另一个交点为（﹣1，0），根据待定系数法可得抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3．（2）分三种情况：①当MA=MB时；②当AB=AM时；③当AB=BM时；三种情况讨论可得点M的坐标．（3）平移后的三角形记为△PEF．根据待定系数法可得直线AB的解析式为y=﹣x+3．易得直线EF的解析式为y=﹣x+3+m．根据待定系数法可得直线AC的解析式．连结BE，直线BE交AC于G，则G（，3）．在△AOB沿x轴向右平移的过程中．分二种情况：①当0＜m≤时；②当＜m＜3时；讨论可得用m的代数式表示S．解答：解：（1）由题意可知，抛物线y=ax2+bx+c与x轴的另一个交点为（﹣1，0），则，解得．故抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3．（2）①当MA=MB时，M（0，0）；②当AB=AM时，M（0，﹣3）；③当AB=BM时，M（0，3+3）或M（0，3﹣3）．所以点M的坐标为：（0，0）、（0，﹣3）、（0，3+3）、（0，3﹣3）．（3）平移后的三角形记为△PEF．设直线AB的解析式为y=kx+b，则，解得．则直线AB的解析式为y=﹣x+3．△AOB沿x轴向右平移m个单位长度（0＜m＜3）得到△PEF，易得直线EF的解析式为y=﹣x+3+m．设直线AC的解析式为y=k′x+b′，则，解得．则直线AC的解析式为y=﹣2x+6．连结BE，直线BE交AC于G，则G（，3）．在△AOB沿x轴向右平移的过程中．①当0＜m≤时，如图1所示．设PE交AB于K，EF交AC于M．则BE=EK=m，PK=P A=3﹣m，联立，解得，即点M（3﹣m，2m）．故S=S△PEF﹣S△P AK﹣S△AFM=PE2﹣PK2﹣AF•h=﹣（3﹣m）2﹣m•2m=﹣m2+3m．②当＜m＜3时，如图2所示．设PE交AB于K，交AC于H．因为BE=m，所以PK=P A=3﹣m，又因为直线AC的解析式为y=﹣2x+6，所以当x=m时，得y=6﹣2m，所以点H（m，6﹣2m）．故S=S△P AH﹣S△P AK=P A•PH﹣P A2=﹣（3﹣m）•（6﹣2m）﹣（3﹣m）2=m2﹣3m+．综上所述，当0＜m≤时，S=﹣m2+3m；当＜m＜3时，S=m2﹣3m+．点评：考查了二次函数综合题，涉及的知识点有：抛物线的对称轴，待定系数法求抛物线的解析式，待定系数法求直线的解析式，分类思想的应用，方程思想的应用，综合性较强，有一定的难度．10．（2014•温州，第21题10分）如图，抛物线y=﹣x2+2x+c与x轴交于A，B两点，它的对称轴与x轴交于点N，过顶点M作ME⊥y轴于点E，连结BE交MN于点F，已知点A的坐标为（﹣1，0）．（1）求该抛物线的解析式及顶点M的坐标．（2）求△EMF与△BNE的面积之比．=））11．（2014•舟山，第22题10分）实验数据显示，一般成人喝半斤低度白酒后，1.5小时内其血液中酒精含量y（毫克/百毫升）与时间x（时）的关系可近似地用二次函数y=﹣200x2+400x 刻画；1.5小时后（包括1.5小时）y与x可近似地用反比例函数y=（k＞0）刻画（如图所示）．（1）根据上述数学模型计算：①喝酒后几时血液中的酒精含量达到最大值？最大值为多少？②当x=5时，y=45，求k的值．（2）按国家规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20毫克/百毫升时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路．参照上述数学模型，假设某驾驶员晚上20：00在家喝完半斤低度白酒，第二天早上7：00能否驾车去上班？请说明理由．，则=12．（2014•舟山，第24题12分）如图，在平面直角坐标系中，A是抛物线y=x2上的一个动点，且点A在第一象限内．AE⊥y轴于点E，点B坐标为（0，2），直线AB交x轴于点C，点D与点C关于y轴对称，直线DE与AB相交于点F，连结BD．设线段AE的长为m，△BED 的面积为S．（1）当m=时，求S的值．（2）求S关于m（m≠2）的函数解析式．（3）①若S=时，求的值；②当m＞2时，设=k，猜想k与m的数量关系并证明．=====k，代入即可得出k的值；②可得====22；=，即的面积为，，===========13.（2014年广东汕尾，第25题10分）如图，已知抛物线y=x2﹣x﹣3与x轴的交点为A、D（A在D的右侧），与y轴的交点为C．（1）直接写出A、D、C三点的坐标；（2）若点M在抛物线上，使得△MAD的面积与△CAD的面积相等，求点M的坐标；（3）设点C关于抛物线对称轴的对称点为B，在抛物线上是否存在点P，使得以A、B、C、P四点为顶点的四边形为梯形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．分析：（1）令y=0，解方程x2﹣x﹣3=0可得到A点和D点坐标；令x=0，求出y=﹣3，可确定C点坐标；（2）根据抛物线的对称性，可知在在x轴下方对称轴右侧也存在这样的一个点；再根据三角形的等面积法，在x轴上方，存在两个点，这两个点分别到x轴的距离等于点C到x轴的距离；（3）根据梯形定义确定点P，如图所示：①若BC∥AP1，确定梯形ABCP1．此时P1与D点重合，即可求得点P1的坐标；②若AB∥CP2，确定梯形ABCP2．先求出直线CP2的解析式，再联立抛物线与直线解析式求出点P2的坐标．解：（1）∵y=x2﹣x﹣3，∴当y=0时，x2﹣x﹣3=0，解得x1=﹣2，x2=4．当x=0，y=﹣3．∴A点坐标为（4，0），D点坐标为（﹣2，0），C点坐标为（0，﹣3）；（2）∵y=x2﹣x﹣3，∴对称轴为直线x==1．∵AD在x轴上，点M在抛物线上，∴当△MAD的面积与△CAD的面积相等时，分两种情况：①点M在x轴下方时，根据抛物线的对称性，可知点M与点C关于直线x=1对称，∵C点坐标为（0，﹣3），∴M点坐标为（2，﹣3）；。

2014中考含答案二次函数的综合问题

二次函数的综合问题【教学目标】(一)培养学生灵活掌握和运用二次函数知识的能力；(二)提高分析问题和解决问题的能力．【重点、难点】重点：使学生初步会把二次函数概念和性质综合在一起灵活运用；熟悉数与形的相互联系，相辅相成．难点：善于选择恰当的解法；善于把问题与函数的有关性质联系起来．【知识要点】1．二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的顶点坐标是____．2．y＝ax2＋bx＋c图象的顶点坐标公式．3．y＝ax2＋bx＋c图象的画法．4．用待定系数法求二次函数的解析式．5．图象法解ax2＋bx＋c＞0的几何意义．6．有关二次函数的最大值、最小值问题【经典例题】例1．已知y=x2-4x-9(1)把它配方成y＝a(x＋h)2＋k形式；(2)写出它的开口方向、顶点M的坐标、对称轴方程和最值；(3)求出图象与y轴、x轴的交点坐标；(4)作出函数图象；(5)x取什么值时y＞0，y＜0；(6)设图象交x轴于A，B两点，求△AMB面积．例2.已知图22是二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象，判断以下各式的值是正值还是负值．(1)a；(2)b；(3)c；(4)b2-4ac；(5)2a＋b；(6)a＋b＋c；(7)a-b＋c．例3 .k取什么值时，对于任意实数x，二次不等式(4-k)x2-3x＋k＋4＞0都成立．例4 .k取什么值时，对于任意实数x，二次不等式(4-k)x2-3x＋k＋4＞0都成立．例5．如图32有一个半径为R的圆的内接等腰梯形，其下底是圆的直径．(1)写出周长y与腰长x的函数关系及自变量x的范围；(2)腰长为何值时周长最大，最大值是多少？例6．抛物线c+=2与x轴交于A、B两点,抛物线的顶点为P.axbxy+(1)若ABP∆为等边三角形,则∆= ．(2)若ABP∆为等腰直角三角形,则∆= ．例7．如图所示，ABC ∆为直角三角形，D AC BC C ,4,3,90==︒=∠为AC 上任意一点，E 在BC 上，G 、F 在AB 上，四边形DEFG 为矩形，设x CD =，四边形DEFG 的面积为y ，则y 与x 的函数关系式为．例8．如图，抛物线2812y mx mx n =++与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左边），在第二象限内抛物线上的一点C ，使△OCA ∽△OBC ，且:AC B C =，若直线AC 交y 轴于P 。

2014中考含答案二次函数y=ax2的图象

二次函2ax y =的图象【教学目标】1．会用描点法画出二次函数()02≠=a ax y 的图象，知道抛物线的有关概念； 2．了解抛物线()02≠=a ax y 的顶点、对称轴的概念； 3．理解二次函数()02≠=a ax y 的最值；4．了解二次函数()02≠=a ax y ，函数值y 随自变量x 变化的变化规律.【重点、难点】重点：会用描点法画出二次函数()02≠=a ax y 的图象．难点：由抛物线的图象直观得到二次函数()02≠=a ax y 的有关性质.【知识要点】1．二次函数2x y =的图象．用描点法画出二次函数2x y =的图象，如图，它是一条关于y 轴对称的曲线，这样的曲线叫做抛物线.2．二次函数2x y =的有关性质.因为抛物线2x y =关于y 轴对称，所以y 轴是这条抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是抛物线的顶点，从图上看，抛物线2x y =的顶点是图象的最低点，因为抛物线2x y =有最低点，所以函数2x y =有最小值，它的最小值就是最低点的纵坐标. 3．二次函数2ax y =的图象画法.用描点画二次函数2ax y =的图象时，应在顶点的左、右两侧对称地选取自变量x 的值，然后计算出对应的y 值，这样的对应值选取越密集，描出的图象越准确。

4．二次函数2ax y =的性质.2（2）．抛物线2ax y =的对称轴是y 轴，顶点是原点，当0>a 时，抛物线开口向上，在对称轴左侧部分，y 随x 的增大而减小；在对称轴右侧部分，y 随x 的增大而增大.当0<a 时，抛物线开口向下，在对称轴左侧部分，y 随x 的增大而增大；在对称轴右侧部分，y 随x 的增大而减小；a 的大小决定抛物线2ax y =的开口大小，a 越大，抛物线开口越小；a 越小，抛物线开口越大.【典型例题】例1 画图.在同一坐标系内，画出下列函数的图象（1）y=2x 2 （2）y=－2x 2例2 填空1．函数y=31x 2的图象开口，顶点坐标为，对称轴为，当x=时，y 有最值。

2014年中考二次函数综合

二次函数综合板块一：旋转、翻折、平移1、点P为抛物线y=x2-2mx+m2（m为常数，m＞0）上任一点，将抛物线绕顶点G逆时针旋转90°后得到的新图象与y轴交于A、B两点（点A 在点B的上方），点Q为点P旋转后的对应点．（1）当m=2，点P横坐标为4时，求Q点的坐标；（2）设点Q（a，b），用含m、b的代数式表示a；（3）如图，点Q在第一象限内，点D在x轴的正半轴上，点C为OD的中点，QO平分∠AQC，AQ=2QC，当QD=m时，求m的值．2、已知抛物线L1：23212-+=x x y 的顶点为C ，与x 轴交于A 、B ，将抛物线L1沿x 轴翻折得到抛物线L2（1）求抛物线L2的解析式及顶点M 的坐标. （2）点P 为y 轴右侧的抛物线L2上一点点Q 为抛物线L1上一点若以M 、C 、P 、Q 为顶点的四边形为矩形求点P 、Q 的坐标.（3）N 点在抛物线L2上以MN 为斜边作等腰直角三角形其直角顶点E 正好在x 轴上求N 点坐标.3、如图，直线33y x b =+经过点B(3-，2)，且与x 轴交于点A ．将抛物线213y x=沿x 轴作左右平移，记平移后的抛物线为C ，其顶点为P ．（1）求∠BAO 的度数；（2）抛物线C 与y 轴交于点E ，与直线AB 交于两点，其中一个交点为F ．当线段EF ∥x 轴时，求平移后的抛物线C 对应的函数关系式；（3）在抛物线213y x=平移过程中，将△PAB 沿直线AB 翻折得到△DAB ，点D 能否落在抛物线C 上？如能，求出此时抛物线C 顶点P 的坐标；如不能，说明理由．OABxyOABxy213y x =4、已知抛物线C1：y=-x2-2x+3与x轴的正半轴交于B，交y轴于C，将C1绕平面内的一点旋转180得到抛物线C2，且所得抛物线经过B，C两点.（1）求C2的解析式（2）将C2沿x轴平移得到抛物线C3，设C2的顶点为D，C3的顶点为E，抛物线 C3与C2交于M，若△MDE为等腰直角三角形。

2014年重庆市中考数学《二次函数》第12题选择题(教师版)

2014年中考数学总复习《二次函数》选择题参考答案与试题解析一．选择题（共30小题）3．（2013•重庆）一次函数y=ax+b（a≠0）、二次函数y=ax2+bx和反比例函数y=（k≠0）在同一直角坐标系中的图象如图所示，A点的坐标为（﹣2，0），则下列结论中，正确的是（）A．b=2a+k B．a=b+k C．a＞b＞0 D．a＞k＞0考点：二次函数的图象；一次函数的图象；反比例函数的图象．专题：压轴题．分析：根据函数图象知，由一次函数图象所在的象限可以确定a、b的符号，且直线与抛物线均经过点A，所以把点A的坐标代入一次函数或二次函数可以求得b=2a，k的符号可以根据双曲线所在的象限进行判定．解答：解：∵根据图示知，一次函数与二次函数的交点A的坐标为（﹣2，0），∴﹣2a+b=0，∴b=2a．∵由图示知，抛物线开口向上，则a＞0，∴b＞0．∵反比例函数图象经过第一、三象限，∴k＞0．A、由图示知，双曲线位于第一、三象限，则k＞0∴2a+k＞2a，即b＜2a+k．故本选项错误；B、∵b=2a，∴a=﹣k，则k＜﹣k．∴k＜0．这与k＞0相矛盾，∴a=b+k不成立．故本选项错误；C、∵a＞0，b=2a，∴b＞a＞0．故本选项错误；D、观察二次函数y=ax2+bx和反比例函数y=（k≠0）图象知，当x=﹣=﹣=﹣1时，y=﹣k＞﹣=﹣=﹣a，即k＜a，∵a＞0，k＞0，∴a＞k＞0．故本选项正确；故选D．点评：本题综合考查了一次函数、二次函数以及反比例函数的图象．解题的关键是会读图，从图中提取有用的信息．1．（2013•遵义）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图如图所示，若M=a+b﹣c，N=4a﹣2b+c，P=2a﹣b．则M，N，P中，值小于0的数有（）A．3个B．2个C．1个D．0个考点：二次函数图象与系数的关系．专题：计算题；压轴题．分析：根据图象得到x=﹣2时对应的函数值小于0，得到N=4a﹣2b+c的值小于0，根据对称轴在直线x=﹣1右边，利用对称轴公式列出不等式，根据开口向下得到a小于0，变形即可对于P作出判断，根据a，b，c的符号判断得出a+b﹣c的符号．解答：解：∵图象开口向下，∴a＜0，∵对称轴在y轴左侧，∴a，b同号，∴a＜0，b＜0，∵图象经过y轴正半轴，∴c＞0，∴M=a+b﹣c＜0当x=﹣2时，y=4a﹣2b+c＜0，∴N=4a﹣2b+c＜0，∵﹣＞﹣1，∴＜1，∴b＞2a，∴2a﹣b＜0，∴P=2a﹣b＜0，则M，N，P中，值小于0的数有M，N，P．故选：A．点评：此题主要考查了二次函数图象与系数的关系，根据图象判断出对称轴以及a，b，c的符号是解题关键．2．（2013•淄博）如图，Rt△OAB的顶点A（﹣2，4）在抛物线y=ax2上，将Rt△OAB绕点O顺时针旋转90°，得到△OCD，边CD与该抛物线交于点P，则点P的坐标为（）A．（，）B．（2，2）C．（，2）D．（2，）考点：二次函数综合题．专题：综合题．分析：首先根据点A在抛物线y=ax2上求得抛物线的解析式和线段OB的长，从而求得点D的坐标，根据点P的纵坐标和点D的纵坐标相等得到点P的坐标即可；解答：解：∵Rt△OAB的顶点A（﹣2，4）在抛物线y=ax2上，∴4=a×（﹣2）2，解得：a=1∴解析式为y=x2，∵Rt△OAB的顶点A（﹣2，4），∴OB=OD=2，∵Rt△OAB绕点O顺时针旋转90°，得到△OCD，∴CD∥x轴，∴点D和点P的纵坐标均为2，∴令y=2，得2=x2，解得：x=±，∵点P在第一象限，∴点P的坐标为：（，2）故选：C．点评：本题考查了二次函数的综合知识，解题过程中首先求得直线的解析式，然后再求得点D的纵坐标，利用点P的纵坐标与点D的纵坐标相等代入函数的解析式求解即可．6．（2013•义乌市）如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），顶点坐标为（1，n），与y轴的交点在（0，2）、（0，3）之间（包含端点），则下列结论：①当x＞3时，y＜0；②3a+b＞0；③﹣1≤a≤﹣；④3≤n≤4中，正确的是（）A．①②B．③④C．①④D．①③考点：二次函数图象与系数的关系．专题：计算题；压轴题．分析：①由抛物线的对称轴为直线x=1，一个交点A（﹣1，0），得到另一个交点坐标，利用图象即可对于选项①作出判断；②根据抛物线开口方向判定a的符号，由对称轴方程求得b与a的关系是b=﹣2a，将其代入（3a+b），并判定其符号；③根据两根之积=﹣3，得到a=﹣，然后根据c的取值范围利用不等式的性质来求a的取值范围；④把顶点坐标代入函数解析式得到n=a+b+c=c，利用c的取值范围可以求得n的取值范围．解答：解：①∵抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），对称轴直线是x=1，∴该抛物线与x轴的另一个交点的坐标是（3，0），∴根据图示知，当x＞3时，y＜0．故①正确；②根据图示知，抛物线开口方向向下，则a＜0．∵对称轴x=﹣=1，∴b=﹣2a，∴3a+b=3a﹣2a=a＜0，即3a+b＜0．故②错误；③∵抛物线与x轴的两个交点坐标分别是（﹣1，0），（3，0），∴﹣1×3=﹣3，∴=﹣3，则a=﹣．∵抛物线与y轴的交点在（0，2）、（0，3）之间（包含端点），∴2≤c≤3，∴﹣1≤﹣≤﹣，即﹣1≤a≤﹣．故③正确；④根据题意知，a=﹣，﹣=1，∴b=﹣2a=，∴n=a+b+c=c．∵2≤c≤3，∴≤c≤4，即≤n≤4．故④错误．综上所述，正确的说法有①③．故选D．点评：本题考查了二次函数图象与系数的关系．二次函数y=ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个数确定．7．（2013•泰安）对于抛物线y=﹣（x+1）2+3，下列结论：①抛物线的开口向下；②对称轴为直线x=1；③顶点坐标为（﹣1，3）；④x＞1时，y随x的增大而减小，其中正确结论的个数为（）A．1B．2C．3D．4考点：二次函数的性质．分析：根据二次函数的性质对各小题分析判断即可得解．解答：解：①∵a=﹣＜0，∴抛物线的开口向下，正确；②对称轴为直线x=﹣1，故本小题错误；③顶点坐标为（﹣1，3），正确；④∵x＞﹣1时，y随x的增大而减小，∴x＞1时，y随x的增大而减小一定正确；综上所述，结论正确的个数是①③④共3个．故选C．点评：本题考查了二次函数的性质，主要利用了抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标，以及二次函数的增减性．8．（2013•深圳）已知二次函数y=a（x﹣1）2﹣c的图象如图所示，则一次函数y=ax+c的大致图象可能是（）A．B．C．D．考点：二次函数的图象；一次函数的图象．分析：首先根据二次函数图象得出a，c的值，进而利用一次函数性质得出图象经过的象限．解答：解：根据二次函数开口向上则a＞0，根据﹣c是二次函数顶点坐标的纵坐标，得出c＞0，故一次函数y=ax+c的大致图象经过一、二、三象限，故选：A．点评：此题主要考查了二次函数的图象以及一次函数的性质，根据已知得出a，c的值是解题关键．4．（2013•张家界）若正比例函数y=mx（m≠0），y随x的增大而减小，则它和二次函数y=mx2+m的图象大致是（）A．B．C．D．考点：二次函数的图象；正比例函数的图象．专题：压轴题．分析：根据正比例函数图象的性质确定m＜0，则二次函数y=mx2+m的图象开口方向向下，且与y轴交于负半轴．解答：解：∵正比例函数y=mx（m≠0），y随x的增大而减小，∴该正比例函数图象经过第二、四象限，且m＜0．∴二次函数y=mx2+m的图象开口方向向下，且与y轴交于负半轴．综上所述，符合题意的只有A选项．故选A．点评：本题考查了二次函数图象、正比例函数图象．利用正比例函数的性质，推知m＜0是解题的突破口．5．（2013•岳阳）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，对于下列结论：①a＜0；②b＜0；③c＞0；④b+2a=0；⑤a+b+c＜0．其中正确的个数是（）A．1个B．2个C．3个D ．4个考点：二次函数图象与系数的关系．分析：由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．解答：解：如图，①抛物线开口方向向下，则a＜0．故①正确；②∵对称轴x=﹣=1，∴b=﹣2a＞0，即b＞0．故②错误；③∵抛物线与y轴交于正半轴，∴c＞0．故③正确；④∵对称轴x=﹣=1，∴b+2a=0．故④正确；⑤根据图示知，当x=1时，y＞0，即a+b+c＞0．故⑤错误．综上所述，正确的说法是①③④，共有3个．故选C．点评：本题考查了二次函数图象与系数的关系．二次函数y=ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个数确定．9．（2013•日照）如图，已知抛物线y1=﹣x2+4x和直线y2=2x．我们约定：当x任取一值时，x对应的函数值分别为y1、y2，若y1≠y2，取y1、y2中的较小值记为M；若y1=y2，记M=y1=y2．下列判断：①当x＞2时，M=y2；②当x＜0时，x值越大，M值越大；③使得M大于4的x值不存在；④若M=2，则x=1．其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个考点：二次函数的性质．专题：压轴题．分析：若y1=y2，记M=y1=y2．首先求得抛物线与直线的交点坐标，利用图象可得当x＞2时，利用函数图象可以得出y2＞y1；当0＜x＜2时，y1＞y2；当x＜0时，利用函数图象可以得出y2＞y1；然后根据当x任取一值时，x对应的函数值分别为y1、y2．若y1≠y2，取y1、y2中的较小值记为M；即可求得答案．解答：解：∵当y1=y2时，即﹣x2+4x=2x时，解得：x=0或x=2，∴当x＞2时，利用函数图象可以得出y2＞y1；当0＜x＜2时，y1＞y2；当x＜0时，利用函数图象可以得出y2＞y1；∴①错误；∵抛物线y1=﹣x2+4x，直线y2=2x，当x任取一值时，x对应的函数值分别为y1、y2．若y1≠y2，取y1、y2中的较小值记为M；∴当x＜0时，根据函数图象可以得出x值越大，M值越大；∴②正确；∵抛物线y1=﹣x2+4x的最大值为4，故M大于4的x值不存在，∴③正确；∵如图：当0＜x＜2时，y1＞y2；当M=2，2x=2，x=1；x＞2时，y2＞y1；当M=2，﹣x2+4x=2，x1=2+，x2=2﹣（舍去），∴使得M=2的x值是1或2+，∴④错误；故选B．点评：此题主要考查了二次函数与一次函数综合应用．注意掌握函数增减性是解题关键，注意数形结合思想与方程思想的应用．10．（2013•黔西南州）如图所示，二次函数y=ax2+bx+c的图象中，王刚同学观察得出了下面四条信息：（1）b2﹣4ac＞0；（2）c＞1；（3）2a﹣b＜0；（4）a+b+c＜0，其中错误的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个考点：二次函数图象与系数的关系．专题：压轴题．分析：由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．解答：解：（1）图象与x轴有2个交点，依据根的判别式可知b2﹣4ac＞0，正确；（2）图象与y轴的交点在1的下方，所以c＜1，错误；（3）∵对称轴在﹣1的右边，∴﹣＞﹣1，又a＜0，∴2a﹣b＜0，正确；（4）当x=1时，y=a+b+c＜0，正确；故错误的有1个．故选：A．点评：本题主要考查二次函数图象与系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．12．（2013•平凉）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，在下列五个结论中：①2a﹣b＜0；②abc＜0；③a+b+c＜0；④a﹣b+c＞0；⑤4a+2b+c＞0，错误的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个考点：二次函数图象与系数的关系．专题：压轴题．分析：由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，利用图象将x=1，﹣1，2代入函数解析式判断y的值，进而对所得结论进行判断．解答：解：①∵由函数图象开口向下可知，a＜0，由函数的对称轴x=﹣＞﹣1，故＜1，∵a＜0，∴b＞2a，所以2a﹣b＜0，①正确；②∵a＜0，对称轴在y轴左侧，a，b同号，图象与y轴交于负半轴，则c＜0，故abc＜0；②正确；③当x=1时，y=a+b+c＜0，③正确；④当x=﹣1时，y=a﹣b+c＜0，④错误；⑤当x=2时，y=4a+2b+c＜0，⑤错误；故错误的有2个．故选：B．点评：此题主要考查了图象与二次函数系数之间的关系，将x=1，﹣1，2代入函数解析式判断y的值是解题关键．13．（2013•攀枝花）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则函数y=与y=bx+c在同一直角坐标系内的大致图象是（）A．B．C．D．考点：二次函数的图象；一次函数的图象；反比例函数的图象．专题：压轴题．分析：根据二次函数的图象得出a，b，c的符号，进而利用一次函数与反比例函数得出图象经过的象限．解答：解：∵二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象开口向下，∴a＜0，∵对称轴经过x的负半轴，∴a，b同号，图象经过y轴的正半轴，则c＞0，∵函数y=，a＜0，∴图象经过二、四象限，∵y=bx+c，b＜0，c＞0，∴图象经过一、二、四象限，故选；B．点评：此题主要考查了二次函数的图象以及一次函数和反比例函数的性质，根据已知得出a，b，c的值是解题关键．14．（2013•南宁）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列说法错误的是（）A．图象关于直线x=1对称B．函数y=ax2+bx+c（a≠0）的最小值是﹣4C．﹣1和3是方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根D．当x＜1时，y随x的增大而增大考点：二次函数的性质．分析：根据对称轴及抛物线与x轴交点情况，结合二次函数的性质，即可对所得结论进行判断．解答：解：A、观察图象，可知抛物线的对称轴为直线x=1，则图象关于直线x=1对称，正确，故本选项不符合题意；B、观察图象，可知抛物线的顶点坐标为（1，﹣4），又抛物线开口向上，所以函数y=ax2+bx+c（a≠0）的最小值是﹣4，正确，故本选项不符合题意；C、由图象可知抛物线与x轴的一个交点为（﹣1，0），而对称轴为直线x=1，所以抛物线与x轴的另外一个交点为（3，0），则﹣1和3是方程ax2+bx+c（a≠0）的两个根，正确，故本选项不符合题意；D、由抛物线的对称轴为x=1，所以当x＜1时，y随x的增大而减小，错误，故本选项符合题意．故选D．点评：此题考查了二次函数的性质和图象，解题的关键是利用数形结合思想解题．15．（2013•南昌）若二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴有两个交点，坐标分别为（x1，0），（x2，0），且x1＜x2，图象上有一点M（x0，y0）在x轴下方，则下列判断正确的是（）A．a＞0 B．b2﹣4ac≥0 C．x1＜x0＜x2D．a（x0﹣x1）（x0﹣x2）＜0考点：抛物线与x轴的交点．专题：压轴题．分析：根据抛物线与x轴有两个不同的交点，根的判别式△＞0，再分a＞0和a＜0两种情况对C、D选项讨论即可得解．解答：解：A、二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴有两个交点无法确定a的正负情况，故本选项错误；B、∵x1＜x2，∴△=b2﹣4ac＞0，故本选项错误；C、若a＞0，则x1＜x0＜x2，若a＜0，则x0＜x1＜x2或x1＜x2＜x0，故本选项错误；D、若a＞0，则x0﹣x1＞0，x0﹣x2＜0，所以，（x0﹣x1）（x0﹣x2）＜0，∴a（x0﹣x1）（x0﹣x2）＜0，若a＜0，则（x0﹣x1）与（x0﹣x2）同号，∴a（x0﹣x1）（x0﹣x2）＜0，综上所述，a（x0﹣x1）（x0﹣x2）＜0正确，故本选项正确．故选D．点评：本题考查了二次函数与x轴的交点问题，熟练掌握二次函数图象以及图象上点的坐标特征是解题的关键，C、D选项要注意分情况讨论．11．（2013•齐齐哈尔）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（x1，0）、（2，0），且﹣2＜x1＜﹣1，与y轴正半轴的交点在（0，2）的下方，则下列结论：①abc＜0；②b2＞4ac；③2a+b+1＜0；④2a+c＞0．则其中正确结论的序号是（）A．①②B．②③C．①②④D．①②③④考点：二次函数图象与系数的关系．分析：由于抛物线过点（x1，0）、（2，0），且﹣2＜x1＜﹣1，与y轴正半轴相交，则得到抛物线开口向下，对称轴在y轴右侧，于是可判断a＜0，b＞0，c＞0，所以abc＜0；利用抛物线与x轴有两个交点得到b2﹣4ac＞0，即b2＞4ac；由于x=2时，y=0，即4a+2b+c=0，变形得2a+b+=0，则根据0＜c＜2得2a+b+1＞0；根据根与系数的关系得到2x1=，即x1=，所以﹣2＜＜﹣1，变形即可得到2a+c＞0．解答：解：如图，∵二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（x1，0）、（2，0），且﹣2＜x1＜﹣1，与y轴正半轴相交，∴a＜0，c＞0，对称轴在y轴右侧，即x=﹣＞0，∴b＞0，∴abc＜0，所以①正确；∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，即b2＞4ac，所以②正确；当x=2时，y=0，即4a+2b+c=0，∴2a+b+=0，∵0＜c＜2，∴2a+b+1＞0，所以③错误；∵二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（x1，0）、（2，0），∴方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根为x1，2，∴2x1=，即x1=，而﹣2＜x1＜﹣1，∴﹣2＜＜﹣1，∵a＜0，∴﹣4a＞c＞﹣2a，∴2a+c＞0，所以④正确．故选C．点评：本题考查了二次函数的图象与系数的关系：二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象为抛物线，当a ＞0，抛物线开口向上；对称轴为直线x=﹣；抛物线与y 轴的交点坐标为（0，c ）；当b 2﹣4ac＞0，抛物线与x 轴有两个交点；当b 2﹣4ac=0，抛物线与x 轴有一个交点；当b 2﹣4ac ＜0，抛物线与x 轴没有交点．16．（2013•牡丹江）抛物线y=ax 2+bx+c （a ＜0）如图所示，则关于x 的不等式ax 2+bx+c ＞0的解集是（）A ． x ＜2B ． x ＞﹣3C ． ﹣3＜x ＜1D ． x ＜﹣3或x ＞1考点：二次函数与不等式（组）．分析：根据函数图象，写出x 轴上方部分的x 的取值范围即可．解答：解：∵抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴的交点坐标为（﹣3，0）（1，0），∴关于x 的不等式ax 2+bx+c ＞0的解集是﹣3＜x ＜1．故选C ．点评：本题考查了二次函数与不等式，利用数形结合的思想求解是此类题目的特点．17．（2013•聊城）二次函数y=ax 2+bx 的图象如图所示，那么一次函数y=ax+b 的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．考点：二次函数的图象；一次函数的图象．专题：数形结合．分析：根据二次函数图象的开口方向向下确定出a ＜0，再根据对称轴确定出b ＞0，然后根据一次函数图象解答即解答：解：∵二次函数图象开口方向向下，∴a＜0，∵对称轴为直线x=﹣＞0，∴b＞0，∴一次函数y=ax+b的图象经过第二四象限，且与y轴的正半轴相交，C选项图象符合．故选C．点评：本题考查了二次函数的图象，一次函数的图象，根据图形确定出a、b的正负情况是解题的关键．18．（2013•济南）如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点（0，﹣2），与x轴交点的横坐标分别为x1，x2，且﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2，下列结论正确的是（）D．4ac﹣b2＜﹣8aA．a＜0 B．a﹣b+c＜0 C．﹣考点：二次函数图象与系数的关系；抛物线与x轴的交点．分析：由开口方向，可确定a＞0；由当x=﹣1时，y=a﹣b+c＞0，可确定B错误；由对称轴在y轴右侧且在直线x=1左侧，可确定x=﹣＜1；由二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点（0，﹣2），对称轴在y轴右侧，a＞0，可得最小值：＜﹣2，即可确定D正确．解答：解：A、∵开口向上，∴a＞0，故本选项错误；B、∵当x=﹣1时，y=a﹣b+c＞0，故本选项错误；C、∵对称轴在y轴右侧且在直线x=1左侧，∴x=﹣＜1，故本选项错误；D、∵二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点（0，﹣2），对称轴在y轴右侧，a＞0，∴最小值：＜﹣2，∴4ac﹣b2＜﹣8a．故本选项正确．故选D．点评：此题考查了图象与二次函数系数之间的关系．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．19．（2013•河池）已知二次函数y=﹣x2+3x﹣，当自变量x取m对应的函数值大于0，设自变量分别取A．y1＞0，y2＞0 B．y1＞0，y2＜0 C．y1＜0，y2＞0 D．y1＜0，y2＜0考点：二次函数图象上点的坐标特征．专题：数形结合．分析：根据二次函数的性质得到二次函数y=﹣x2+3x﹣的图象的对称轴为x=，抛物线与y轴的交点为（0，﹣），则可得到抛物线与x轴两交点之间的距离小于3，所以当x=m时，y＞0；当x=m﹣3时，y1＜0；当x=m+3时，y2＜0．解答：解：如图，∵二次函数y=﹣x2+3x﹣的图象的对称轴为x=﹣=，而抛物线与y轴的交点为（0，﹣），∴抛物线与x轴两交点之间的距离小于3，∵当x=m时，y＞0，∴当x=m﹣3时，y1＜0；当x=m+3时，y2＜0．故选D．点评：本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足二次函数的解析式y=ax2+bx+c （a≠0）．20．（2013•广安）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴是直线x=1．下列结论：①abc＞O，②2a+b=O，③b2﹣4ac＜O，④4a+2b+c＞O其中正确的是（）A．①③B．只有②C．②④D．③④考点：二次函数图象与系数的关系．专题：压轴题．分析：由抛物线开口向上，得到a＞0，再由对称轴在y轴右侧，得到a与b异号，可得出b＜0，又抛物线与y轴交于正半轴，得到c大于0，可得出abc小于0，选项①错误；由抛物线与x轴有2个交点，得到根的判别﹣2b+c小于0，最后由对称轴为直线x=1，利用对称轴公式得到b=﹣2a，得到选项④正确，即可得到正确结论的序号．解答：解：∵抛物线的开口向上，∴a＞0，∵﹣＞0，∴b＜0，∵抛物线与y轴交于正半轴，∴c＞0，∴abc＜0，①错误；∵对称轴为直线x=1，∴﹣=1，即2a+b=0，②正确，∵抛物线与x轴有2个交点，∴b2﹣4ac＞0，③错误；∵对称轴为直线x=1，∴x=2与x=0时的函数值相等，而x=0时对应的函数值为正数，∴4a+2b+c＞0，④正确；则其中正确的有②④．故选C．点评：此题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），a的符号由抛物线开口方向决定；b 的符号由对称轴的位置及a的符号决定；c的符号由抛物线与y轴交点的位置决定；抛物线与x轴的交点个数，决定了b2﹣4ac的符号，此外还要注意x=1，﹣1，2及﹣2对应函数值的正负来判断其式子的正确与否．21．（2013•常州）二次函数y=ax2+bx+c（a、b、c为常数且a≠0）中的x与y的部分对应值如下表：x ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 5y 12 5 0 ﹣3 ﹣4 ﹣3 0 5 12给出了结论：（1）二次函数y=ax2+bx+c有最小值，最小值为﹣3；（2）当时，y＜0；（3）二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个交点，且它们分别在y轴两侧．则其中正确结论的个数是（）A．3B．2C．1D．0考点：二次函数的最值；抛物线与x轴的交点．专题：压轴题．分析：根据表格数据求出二次函数的对称轴为直线x=1，然后根据二次函数的性质对各小题分析判断即可得解．解答：解；由表格数据可知，二次函数的对称轴为直线x=1，所以，当x=1时，二次函数y=ax2+bx+c有最小值，最小值为﹣4；故（1）小题错误；根据表格数据，当﹣1＜x＜3时，y＜0，所以，﹣＜x＜2时，y＜0正确，故（2）小题正确；二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个交点，分别为（﹣1，0）（3，0），它们分别在y轴两侧，故（3）小题正确；综上所述，结论正确的是（2）（3）共2个．故选B．点评：本题考查了二次函数的最值，抛物线与x轴的交点，仔细分析表格数据，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．22．（2013•滨州）如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且对称轴为x=1，点B坐标为（﹣1，0）．则下面的四个结论：①2a+b=0；②4a﹣2b+c＜0；③ac＞0；④当y＜0时，x＜﹣1或x＞2．其中正确的个数是（）A．1B．2C．3D．4考点：二次函数图象与系数的关系．专题：压轴题．分析：根据对称轴为x=1可判断出2a+b=0正确，当x=﹣2时，4a﹣2b+c＜0，根据开口方向，以及与y轴交点可得ac＜0，再求出A点坐标，可得当y＜0时，x＜﹣1或x＞3．解答：解：∵对称轴为x=1，∴x=﹣=1，∴﹣b=2a，∴①2a+b=0，故此选项正确；∵点B坐标为（﹣1，0），∴当x=﹣2时，4a﹣2b+c＜0，故此选项正确；∵图象开口向下，∴a＜0，∵图象与y轴交于正半轴上，∴c＞0，∴ac＜0，故ac＞0错误；∵对称轴为x=1，点B坐标为（﹣1，0），∴A点坐标为：（3，0），∴当y＜0时，x＜﹣1或x＞3．，故④错误；故选：B．点评：此题主要考查了二次函数与图象的关系，关键掌握二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；IaI还可以决定开口大小，IaI越大开口就越小．②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置．当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）③．常数项c决定抛物线与y轴交点．抛物线与y轴交于（0，c）．④抛物线与x轴交点个数．△=b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．23．（2013•百色）在反比例函数y=中，当x ＞0时，y 随x 的增大而增大，则二次函数y=mx 2+mx 的图象大致是图中的（） A ．B ．C ．D ．考点：二次函数图象与系数的关系；反比例函数的性质．分析：根据反比例函数图象的性质确定出m ＜0，则二次函数y=mx 2+mx 的图象开口方向向下，且与y 轴交于负半轴，即可得出答案．解答：解：∵反比例函数y=，中，当x＞0时，y 随x 的增大而增大，∴根据反比例函数的性质可得m ＜0；该反比例函数图象经过第二、四象限，∴二次函数y=mx 2+mx 的图象开口方向向下，且与y 轴交于负半轴． ∴只有A 选项符合．故选A ．点评：本题考查了二次函数图象、反比例函数图象．利用反比例函数的性质，推知m ＜0是解题的关键，体现了数形结合的思想．24．（2013•鞍山）如图所示的抛物线是二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象，则下列结论： ①abc ＞0；②b+2a=0；③抛物线与x 轴的另一个交点为（4，0）；④a+c ＞b ；⑤3a+c ＜0．其中正确的结论有（）A ． 5个B ． 4个C ． 3个D ． 2个考点：二次函数图象与系数的关系．专题：压轴题．分析：由开口方向、与y 轴交于负半轴以及对称轴的位置，即可确定a ，b ，c 的正负；由对称轴x=﹣=1，可得b+2a=0；由抛物线与x 轴的一个交点为（﹣2，0），对称轴为：x=1，可得抛物线与x 轴的另一个交点为（4，0）；当x=﹣1时，y=a ﹣b+c ＜0；a ﹣b+c ＜0，b+2a=0，即可得3a+c ＜0．解答：解：∵开口向上，∴a ＞0，∵与y 轴交于负半轴，∵对称轴x=﹣＞0，∴b＜0，∴abc＞0；故①正确；∵对称轴x=﹣=1，∴b+2a=0；故②正确；∵抛物线与x轴的一个交点为（﹣2，0），对称轴为：x=1，∴抛物线与x轴的另一个交点为（4，0）；故③正确；∵当x=﹣1时，y=a﹣b+c＜0，∴a+c＜b，故④错误；∵a﹣b+c＜0，b+2a=0，∴3a+c＜0；故⑤正确．故选B．点评：主要考查图象与二次函数系数之间的关系．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．25．（2013•鄂尔多斯）下列说法中，正确的有（）（1）的平方根是±5．（2）五边形的内角和是540°．（3）抛物线y=3x2﹣x+4与x轴无交点．（4）等腰三角形两边长为6cm和4cm，则它的周长是16cm．（5）若⊙O1与⊙O2的半径分别是方程x2﹣4x+3=0的两根，且O1O2=3，则两圆相交．A．2个B．3个C．4个D．5个考点：圆与圆的位置关系；平方根；解一元二次方程-因式分解法；抛物线与x轴的交点；三角形三边关系；等腰三角形的性质；多边形内角与外角．分析：（1）首先化简，可得=5，继而求得的平方根；（2）根据多边形的内角和公式：（n﹣2）×180°，即可求得答案；（3）根据抛物线与x轴交点的关系，即可求得答案；（4）分别从6cm为腰长，4cm为底边长与6cm为底边长，4cm为腰长去分析求解即可求得答案；（5）由圆与圆的位置关系的性质求解即可求得答案．解答：解：（1）的平方根是±，故错误；（2）五边形的内角和是540°，故正确；（3）∵△=b2﹣4ac=1﹣4×3×4=﹣47＜0，∴抛物线y=3x2﹣x+4与x轴无交点；故正确；（4）等腰三角形两边长为6cm和4cm，则它的周长是16cm或14cm，故错误；（5）∵若⊙O1与⊙O2的半径分别是方程x2﹣4x+3=0的两根，∴⊙O1与⊙O2的半径分别为：1，3，∴半径和为4，差为2，∴两圆相交，故正确．故选B．点评：此题考查了圆与圆的位置关系、等腰三角形的性质、平方根以及抛物线与一元二次方程的关系．此题难度不大，注意熟记定理是解此题的关键．26．（2013•内江）若抛物线y=x2﹣2x+c与y轴的交点为（0，﹣3），则下列说法不正确的是（）A．抛物线开口向上B．抛物线的对称轴是x=1C．当x=1时，y的最大值为﹣4 D．抛物线与x轴的交点为（﹣1，0），（3，0）考点：二次函数的性质．分析：A根据二次函数二次项的系数的正负确定抛物线的开口方向．B利用x=﹣可以求出抛物线的对称轴．C利用顶点坐标和抛物线的开口方向确定抛物线的最大值或最小值．D当y=0时求出抛物线与x轴的交点坐标．解答：解：∵抛物线过点（0，﹣3），∴抛物线的解析式为：y=x2﹣2x﹣3．A、抛物线的二次项系数为1＞0，抛物线的开口向上，正确．B、根据抛物线的对称轴x=﹣=﹣=1，正确．C、由A知抛物线的开口向上，二次函数有最小值，当x=1时，y的最小值为﹣4，而不是最大值．故本选项错误．D、当y=0时，有x2﹣2x﹣3=0，解得：x1=﹣1，x2=3，抛物线与x轴的交点坐标为（﹣1，0），（3，0）．正确．故选C．点评：本题考查的是二次函数的性质，根据a的正负确定抛物线的开口方向，利用顶点坐标公式求出抛物线的对称轴和顶点坐标，确定抛物线的最大值或最小值，当y=0时求出抛物线与x轴的交点坐标．27．（2013•龙岩）若二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列选项正确的是（）A．a＞0 B．c＞0 C．a c＞0 D．b c＜0考点：二次函数图象与系数的关系．专题：计算题．分析：由抛物线开口向下得到a小于0，再根据对称轴在y轴左侧得到a与b同号得到b大于0，由抛物线与y轴交点在负半轴得到c小于0，即可作出判断．解答：解：根据图象得：a＜0，c＜0，b＜0，则ac＞0，bc＞0，故选C．点评：此题考查了二次函数图象与系数的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间28．（2013•济宁）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论中正确的是（）A．a＞0 B．当﹣1＜x＜3时，y＞0C．c＜0 D．当x≥1时，y随x的增大而增大考点：二次函数图象与系数的关系．分析：由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．解答：解：A、抛物线的开口方向向下，则a＜0．故本选项错误；B、根据图示知，抛物线的对称轴为x=1，抛物线与x轴的一交点的横坐标是﹣1，则抛物线与x轴的另一交点的横坐标是3，所以当﹣1＜x＜3时，y＞0．故本选项正确；C、根据图示知，该抛物线与y轴交与正半轴，则c＞0．故本选项错误；D、根据图示知，当x≥1时，y随x的增大而减小，故本选项错误．故选B．点评：本题考查了二次函数图象与系数的关系．二次函数y=ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个数确定．29．（2013•哈尔滨）把抛物线y=（x+1）2向下平移2个单位，再向右平移1个单位，所得到的抛物线是（）A．y=（x+2）2+2 B．y=（x+2）2﹣2 C．y=x2+2 D．y=x2﹣2考点：二次函数图象与几何变换．分析：先写出平移前的抛物线的顶点坐标，然后根据向下平移纵坐标减，向右平移横坐标加求出平移后的抛物线的顶点坐标，再利用顶点式解析式写出即可．解答：解：抛物线y=（x+1）2的顶点坐标为（﹣1，0），∵向下平移2个单位，∴纵坐标变为﹣2，∵向右平移1个单位，∴横坐标变为﹣1+1=0，∴平移后的抛物线顶点坐标为（0，﹣2），∴所得到的抛物线是y=x2﹣2．故选D．。

2014二次函数中考题

二次函数2014中考题16．（2014•安徽）若两个二次函数图象的顶点、开口方向都相同，则称这两个二次函数为“同簇二次函数”．（1）请写出两个为“同簇二次函数”的函数；（2）已知关于x的二次函数y1=2x2﹣4mx+2m2+1和y2=ax2+bx+5，其中y1的图象经过点A（1，1），若y1+y2与y1为“同簇二次函数”，求函数y2的表达式，并求出当0≤x≤3时，y2的最大值．17．（2014•绍兴）如果二次函数的二次项系数为l，则此二次函数可表示为y=x2+px+q，我们称[p，q]为此函数的特征数，如函数y=x2+2x+3的特征数是[2，3]．（1）若一个函数的特征数为[﹣2，1]，求此函数图象的顶点坐标．（2）探究下列问题：①若一个函数的特征数为[4，﹣1]，将此函数的图象先向右平移1个单位，再向上平移1个单位，求得到的图象对应的函数的特征数．②若一个函数的特征数为[2，3]，问此函数的图象经过怎样的平移，才能使得到的图象对应的函数的特征数为[3，4]？18．（2014•孝感）已知关于x的方程x2﹣（2k﹣3）x+k2+1=0有两个不相等的实数根x1、x2．（1）求k的取值范围；（2）试说明x1＜0，x2＜0；（3）若抛物线y=x2﹣（2k﹣3）x+k2+1与x轴交于A、B两点，点A、点B到原点的距离分别为OA、OB，且OA+OB=2OA•OB﹣3，求k的值．19．（2014•大庆）关于x的函数y=（m2﹣1）x2﹣（2m+2）x+2的图象与x轴只有一个公共点，求m的值．20．（2014•舟山）实验数据显示，一般成人喝半斤低度白酒后，1.5小时内其血液中酒精含量y（毫克/百毫升）与时间x（时）的关系可近似地用二次函数y=﹣200x2+400x刻画；1.5小时后（包括1.5小时）y与x可近似地用反比例函数y=（k＞0）刻画（如图所示）．（1）根据上述数学模型计算：①喝酒后几时血液中的酒精含量达到最大值？最大值为多少？②当x=5时，y=45，求k的值．（2）按国家规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20毫克/百毫升时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路．参照上述数学模型，假设某驾驶员晚上20：00在家喝完半斤低度白酒，第二天早上7：00能否驾车去上班？请说明理由．21．（2014•台州）某公司经营杨梅业务，以3万元/吨的价格向农户收购杨梅后，分拣成A、B两类，A类杨梅包装后直接销售；B类杨梅深加工后再销售．A类杨梅的包装成本为1万元/吨，根据市场调查，它的平均销售价格y（单位：万元/吨）与销售数量x（x≥2）之间的函数关系如图；B类杨梅深加工总费用s（单位：万元）与加工数量t（单位：吨）之间的函数关系是s=12+3t，平均销售价格为9万元/吨．（1）直接写出A类杨梅平均销售价格y与销售量x之间的函数关系式；（2）第一次，该公司收购了20吨杨梅，其中A类杨梅有x吨，经营这批杨梅所获得的毛利润为w万元（毛利润=销售总收入﹣经营总成本）．①求w关于x的函数关系式；②若该公司获得了30万元毛利润，问：用于直销的A类杨梅有多少吨？（3）第二次，该公司准备投入132万元资金，请设计一种经营方案，使公司获得最大毛利润，并求出最大毛利润．22．（2014•成都）在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用28m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD（篱笆只围AB，BC两边），设AB=xm．（1）若花园的面积为192m2，求x的值；（2）若在P处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是15m和6m，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），求花园面积S的最大值．23．（2014•青岛）某企业设计了一款工艺品，每件的成本是50元，为了合理定价，投放市场进行试销．据市场调查，销售单价是100元时，每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，每天就可多售出5件，但要求销售单价不得低于成本．（1）求出每天的销售利润y（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；（2）求出销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？（3）如果该企业要使每天的销售利润不低于4000元，且每天的总成本不超过7000元，那么销售单价应控制在什么范围内？（每天的总成本=每件的成本×每天的销售量）24．（2014•铁岭）某商场在1月至12月份经销某种品牌的服装，由于受到时令的影响，该种服装的销售情况如下：销售价格y1（元/件）与销售月份x（月）的关系大致满足如图的函数，销售成本y2（元/件）与销售月份x（月）满足y2=，月销售量y3（件）与销售月份x（月）满足y3=10x+20．（1）根据图象求出销售价格y1（元/件）与销售月份x（月）之间的函数关系式；（6≤x≤12且x为整数）（2）求出该服装月销售利润W（元）与月份x（月）之间的函数关系式，并求出哪个月份的销售利润最大？最大利润是多少？（6≤x≤12且x为整数）25．（2014•天津）已知⊙O的直径为10，点A，点B，点C在⊙O上，∠CAB的平分线交⊙O于点D．（Ⅰ）如图①，若BC为⊙O的直径，AB=6，求AC，BD，CD的长；（Ⅱ）如图②，若∠CAB=60°，求BD的长．26．（2014•萝岗区一模）如图，在半径为的扇形AOB中，∠AOB=120°，点C是弧AB上的一个动点（不与点A、B重合），OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分别为D、E．（1）当BC=4时，求线段OD的长；（2）在△DOE中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度；如果不存在，请说明理由．27．（2014•高邮市模拟）如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点M在⊙O上，∠M=∠D．（1）判断BC、MD的位置关系，并说明理由；（2）若AE=16，BE=4，求线段CD的长；（3）若MD恰好经过圆心O，求∠D的度数．28．（2013•萧山区模拟）如图，l1、l2、l3是一组距离不相等的平行线，作等边△ABC，使A、B在l1上，C在l3上，BC交l2于点M，△ACM的外接圆交l3于点N，试判断△AMN的形状并证明．。

二次函数中考历年真题

1：（2014北京）在平面直角坐标系中，抛物线y=2x²+mx+n经过点A(0,—2），B（3,4）（1）求抛物线的表达式及对称轴（2）设点B关于原点的对称点C，点D是抛物线对称轴上一动点，记抛物线在A,B,之间的部分为图像G（包含A,B两点）若直线CD与图像G有公共点，结合函数图像，求点D纵坐标t的取值范围。

2（2013北京）在平面直角坐标系中抛物线y=mx²-2mx-2（m≠0）与y轴交于点A,其对称轴与x轴交于点B(1)求A,B的坐标(2)设直线l与直线AB关于该抛物线的对称轴对称，求直线l的解析式；(3)若该抛物线在—2＜x＜—1这一段位于l的上方并且在2＜x＜3这一段位于直线AB的下方，求该抛物线的解析式考1：已知二次函数y=ax²+bx+c的图像与x轴交于点A(—1,0)，B（3,0）与y轴交于C(0,—3)。

求该二次函数的解析式考点一：抛物线沿x轴翻折与平移直线的交点问题：将二次函数的图像在x轴下方的部分沿x轴翻折，其余部分保持不变，另得到一个新的图像，请你结合新图像回答，直线y=x+n与新图像的交点情况。

考点二：抛物线沿x轴翻折与旋转直线交点的问题：将二次函数的图像在x轴下方的部分沿x轴翻折，其余部分不变得到一个新图像，请你结合图像回答，直线y=kx-3（k≠0）于新图像的交点情况。

考点三：抛物线沿平行于x轴的动直线翻折与平移的交点问题将二次函数的图像在y=-b下方的部分沿y=-b翻折，其余部分保持不变，得到一个新的图象，请你新图象回答直线y=x+b与新图象交点的情况。

考点四：抛物线沿x轴翻转后再平移与定直线的交点情况将二次函数图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，其余部分保持不变，得到一个新的图象G,再将G向上平移n个单位，若图像G与过（0,5）且与x轴平行的直线4的交点，直接写出n的取值范围；考点五：抛物线部分沿y轴翻折与平移直线的交点问题将二次函数y轴左侧的部分沿y轴翻折，其余部分保持不变，得到一个新的图象，庆你结合新图象回答，直线y=x+n与新图像有两个交点时，n的取值范围考点六：抛物线部分沿y轴翻折与旋转直线的交点问题保留二次函数的图象y轴右侧的部分，同时将其关于y轴作轴对称，得到新图象为G,若一次函数y=—kx-3与图像G有三个公共点，求m的取值范围考点七：抛物线部分沿平行于y轴的直线翻折与平移直线的交点问题过C点作y轴的垂线l，将抛物线在y轴左侧的部分翻折到直线l下方，构成鑫的图象G，若一次函数y=x+m与图像G有两个公共点，求m的值考点八：过定点的动直线和部分抛物线的交点问题若D（—2，d）在二次函数图象上，过点E（2，—7）的一次函数为y=kx+m，记抛物线在C,D两点的部分为G，若一次函数与图像G有公共点，求m的取值范围。

2014年中考全国考题二次函数的图象和性质汇编

2014年中考全国数学试题二次函数的图象和性质专题一、选择题1. （2012重庆市4分）已知二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象如图所示对称轴为21-=x 。

下列结论中，正确的是【】 A ．0abc > B ．0a b += C ．20b c >+ D ．42a c b +<2. （2012浙江衢州3分）已知二次函数y=﹣x 2﹣7x+，若自变量x 分别取x 1，x 2，x 3，且0＜x 1＜x 2＜x 3，则对应的函数值y 1，y 2，y 3的大小关系正确的是【】A ．y 1＞y 2＞y 3B ．y 1＜y 2＜y 3C ．y 2＞y 3＞y 1D ．y 2＜y 3＜y 13. （2012浙江义乌3分）如图，已知抛物线y 1=﹣2x 2+2，直线y 2=2x+2，当x 任取一值时，x 对应的函数值分别为y 1、y 2．若y 1≠y 2，取y 1、y 2中的较小值记为M ；若y 1=y 2，记M=y 1=y 2．例如：当x=1时，y 1=0，y 2=4，y 1＜y 2，此时M=0．下列判断：①当x ＞0时，y 1＞y 2； ②当x ＜0时，x 值越大，M 值越小；③使得M 大于2的x 值不存在； ④使得M=1的x 值是或．其中正确的是【】A ．①②B ．①④C ．②③D ．③④4. （2012江苏常州2分）已知二次函数()()2y=a x 2+c a 0>-，当自变量x 分别取2，3，0时，对应的值分别为123y y y ，，，则123y y y ，，的大小关系正确的是【】A. 321y y y <<B. 123y y y <<C. 213y y y <<D. 312y y y <<5. （2012江苏镇江3分）关于x 的二次函数()()y=x+1x m -，其图象的对称轴在y 轴的右侧，则实数m 的取值范围是【】A. m<1-B. 1<m<0-C. 0<m<1D. m>15. （2012湖北天门、仙桃、潜江、江汉油田3分）已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，它与x 轴的两个交点分别为（﹣1，0），（3，0）．对于下列命题：①b ﹣2a=0；②abc ＜0；③a ﹣2b+4c ＜0；④8a+c ＞0．其中正确的有【】A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个6. （2012湖北宜昌3分）已知抛物线y=ax 2﹣2x+1与x 轴没有交点，那么该抛物线的顶点所在的象限是【】A ．第四象限B ．第三象限C ．第二象限D ．第一象限7. （2012湖南郴州3分）抛物线2y x 12=-+（）的顶点坐标是【】 A ．（－1，2） B ．（－1，－2） C ．（1，－2） D ．（1，2）8. （2012湖南衡阳3分）如图为二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象，则下列说法：①a ＞0 ②2a+b=0 ③a+b+c ＞0 ④当﹣1＜x ＜3时，y ＞0其中正确的个数为【】A ．1B ．2C ．3D ．49. （2012湖南株洲3分）如图，已知抛物线与x 轴的一个交点A （1，0），对称轴是x=﹣1，则该抛物线与x 轴的另一交点坐标是【】A ．（﹣3，0）B ．（﹣2，0）C ．x=﹣3D ．x=﹣210. （2012四川乐山3分）二次函数y=ax 2+bx+1（a≠0）的图象的顶点在第一象限，且过点（﹣1，0）．设t=a+b+1，则t 值的变化范围是【】A ．0＜t ＜1B ．0＜t ＜2C ．1＜t ＜2D ．﹣1＜t ＜111. （2012四川广元3分）若二次函数22y ax bx a 2=++-（a ，b 为常数）的图象如图，则a 的值为【】A. 1B. 2C. 2-D. -212. （2012四川德阳3分）设二次函数2y x bx c =++，当x 1≤时，总有y 0≥，当1x 3≤≤时，总有y 0≤，那么c 的取值范围是【】A.c 3=B.c 3≥C.1c 3≤≤D.c 3≤13. （2012四川巴中3分）对于二次函数y 2(x 1)(x 3)=+-，下列说法正确的是【】A. 图象的开口向下B. 当x>1时，y 随x 的增大而减小C. 当x<1时，y 随x 的增大而减小D. 图象的对称轴是直线x=－114. （2012辽宁鞍山3分）如图，二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，点B 坐标（﹣1，0），下面的四个结论：①OA=3；②a+b+c ＜0；③ac ＞0；④b 2﹣4ac ＞0．其中正确的结论是【】A ．①④B ．①③C ．②④D ．①②15. （2012山东滨州3分）抛物线234y x x =--+ 与坐标轴的交点个数是【】 A ．3 B ．2 C ．1 D ．016. （2012山东济南3分）如图，二次函数的图象经过（－2，－1），（1，1）两点，则下列关于此二次函数的说法正确的是【】A ．y 的最大值小于0B ．当x=0时，y 的值大于1C ．当x=－1时，y 的值大于1D ．当x=－3时，y 的值小于017. （2012山东日照4分）二次函数y=ax 2＋bx ＋c(a≠0)的图象如图所示，给出下列结论：① b 2－4ac>0；② 2a ＋b<0；③ 4a －2b ＋c=0；④ a ︰b ︰c= －1︰2︰3.其中正确的是【】(A) ①② (B) ②③ (C) ③④ (D)①④18. （2012山东泰安3分）二次函数2y ax bx =+的图象如图，若一元二次方程20ax bx m ++=有实数根，则m 的最大值为【】 A ．3- B ．3 C ．6- D ．919. （2012山东泰安3分）设A 1(2)y -，，B 2(1)y ，，C 3(2)y ，是抛物线2(1)y x a =-++上的三点，则1y ，2y ，3y 的大小关系为【】A ．213y y y >>B ．312y y y >>C ．321y y y >>D ．312y y y >>20. （2012山东威海3分）已知二次函数()2y=ax +bx+c a 0≠的图象如图所示，下列结论错误的是【】A.abc ＞0B.3a ＞2bC.m （am ＋b ）≤a －bD.4a －2b ＋c ＜021. （2012山东烟台3分）已知二次函数y=2（x ﹣3）2+1．下列说法：①其图象的开口向下；②其图象的对称轴为直线x=﹣3；③其图象顶点坐标为（3，﹣1）；④当x ＜3时，y 随x 的增大而减小．则其中说法正确的有【】A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个22. （2012山东枣庄3分）抛物线2y ax bx 3=+-经过点（2，4），则代数式8a 4b 1++的值为【】A ．3B ．9C ．15D ．15-23. （2012河北省3分）如图，抛物线y 1=a （x ＋2）2－3与y 2=12（x －3）2＋1交于点A （1，3），过点A 作x 轴的平行线，分别交两条抛物线于点B ，C ．则以下结论：①无论x 取何值，y 2的值总是正数；②a=1；③当x=0时，y 2－y 1=4；④2AB=3AC ；其中正确结论是【】A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④24. （2012甘肃白银3分）二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则函数值y 0<时x 的取值范围是【】A ．x 1<-B ．x ＞3C ．－1＜x ＜3D ．x 1<-或x ＞325. （2012甘肃兰州4分）抛物线y ＝－2x 2＋1的对称轴是【】A ．直线1x=2 B ．直线1x=2- C ．y 轴 D ．直线x ＝2 26. （2012甘肃兰州4分）已知二次函数y ＝a(x ＋1)2－b(a≠0)有最小值，则a ，b 的大小关系为【】A ．a ＞bB ．a ＜bC ．a ＝bD ．不能确定27. （2012青海西宁3分）如图，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象过点(－1，1)、(2，－1)．下列关于这个二次函数的叙述正确的是【】A ．当x ＝0时，y 的值大于1B ．当x ＝3时，y 的值小于0C ．当x ＝1时，y 的值大于1D ．y 的最大值小于028. （2012黑龙江黑河、齐齐哈尔、大兴安岭、鸡西3分）已知二次函数y=ax 2+bx+c(a≠O)的图象如图所示，现有下列结论：①abc>0 ②b 2－4ac<0 ⑤c<4b ④a ＋b>0，则其中正确结论的个数是【】 A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个29. （2012黑龙江牡丹江3分）抛物线2y ax bx c =++与x 轴的交点坐标是(－l ，0)和(3，0)，则这条抛物线的对称轴是【】．A ．直线x=－1 8．直线x=0 C ．直线x=1 D ．直线x= 3二、填空题1. （2012广东深圳3分）二次函数622+-=x x y 的最小值是．2. （2012江苏苏州3分）已知点A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2）在二次函数y=（x －1）2+1的图象上，若x 1＞x 2＞1，则y 1 y 2.3. （2012江苏无锡2分）若抛物线y=ax 2+bx+c 的顶点是A （2，1），且经过点B （1，0），则抛物线的函数关系式为．4. （2012湖北咸宁3分）对于二次函数2y x 2mx 3=--，有下列说法：①它的图象与x 轴有两个公共点；②如果当x ≤1时y 随x 的增大而减小，则m 1=；③如果将它的图象向左平移3个单位后过原点，则m 1=-；④如果当x 4=时的函数值与x 2008=时的函数值相等，则当x 2012=时的函数值为3-．其中正确的说法是．（把你认为正确说法的序号都填上）5. （2012湖北孝感3分）二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)的图象的对称轴是直线x ＝1，其图象的一部分如图所示．下列说法正确的是 (填正确结论的序号)．①abc ＜0；②a －b ＋c ＜0；③3a ＋c ＜0；④当－1＜x ＜3时，y ＞0．6. （2012辽宁营口3分）二次函数n x x y +-=62的部分图像如图所示，若关于x 的一元二次方程062=+-n x x 的一个解为11=x ，则另一个解2x = ．7. （2012山东枣庄4分）二次函数2y x 2x 3=--的图象如图所示．当y ＜0时，自变量x 的取值范围是．8. （2012新疆区5分）当x= 时，二次函数y=x 2+2x ﹣2有最小值．9. （2012吉林长春3分）如图，在平面直角坐标系中，点A 是抛物线()2y=a x 3+k -与y 轴的交点，点B 是这条抛物线上的另一点，且AB ∥x 轴，则以AB 为边的等边三角形ABC 的周长为 .10. （2012黑龙江牡丹江3分）若抛物线2y ax bx c =++经过点(－1，10)，则a b c -+= ．11. （2012黑龙江大庆3分）已知二次函数y=－x 2－2x ＋3的图象上有两点A(－7，1y )，B(－8，2y )，则1y 2y .（用>、<、=填空）．三、解答题1. （2012北京市7分）已知二次函数23y (t 1)x 2(t 2)x 2=++++在x 0=和x 2=时的函数值相等。

2014年中考数学二次函数综合试题

2014中考数学二次函数综合训练1、如图1，已知二次函数图象的顶点坐标为C(1,0)，直线mxy+=与该二次函数的图象交于A、B两点，其中A点的坐标为(3,4)，B点在轴y上.（1）求m的值及这个二次函数的关系式；（2）P为线段AB上的一个动点（点P与A、B不重合），过P作x轴的垂线与这个二次函数的图象交于点E点，设线段PE的长为h，点P的横坐标为x，求h与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；AB上是否存在一点P，使得四边形DCEP是平行四边P点的坐标；若不存在，请说明理由.2、如图2，已知二次函数24y ax x c=-+的图像经过点A和点B．（1）求该二次函数的表达式；（2）写出该抛物线的对称轴及顶点坐标；m＞0），且这两点关于抛物线的对称轴对称，求m的值及点Q 到x轴的图13、如图3，已知抛物线c x b x a y ++=2经过O(0,0)，A(4,0),B(3,3)三点，连结AB ，过点B 作BC ∥x 轴交该抛物线于点C.（1）求这条抛物线的函数关系式.（2）两个动点P 、Q 分别从O 、A 两点同时出发,以每秒1个单位长度的速度运动. 其中，点P 沿着线段0A 向A 点运动，点Q 沿着折线A →B →C 的路线向C 点运动. 设这两个动点运动的时间为t （秒) (0＜t ＜4)，△PQA 的面积记为S.① 求S 与t 的函数关系式； ② 当t 为何值时，S 有最大值，最大值是多少？并指出此时△PQA 的形状；③ 是否存在这样的t 值，使得△PQA 是直角三角形?若存在，请直接写出此时P 、Q 两点的坐标；若不存在，请说明理由.4、某公司推出了一种高效环保型除草剂，年初上市后，公司经历了从亏损到盈利的过程. 图4的二次函数图象（部分）刻车了该公司年初以来累积利润S （万元）与时间t （月）之间的关系（即前t 个月的利润总和S 与t 之间的关系）. 根据图象提供信息，解答下列问题：（1）公司从第几个月末开始扭亏为盈；（2）累积利润S 与时间t 之间的函数关系式；（3）求截止到几月末公司累积利润可达30万元；（4）求第8个月公司所获利是多少元？5、如图5，已知抛物线cxbxay++=2的顶点坐标为E（1,0），与y轴的交点坐标为（0,1）.（1）求该抛物线的函数关系式.（2）A、B是x轴上两个动点，且A、B间的距离为AB=4，A在B的左边，过A作AD⊥x轴交抛物线于D，过B作BC⊥x 轴交抛物线于C. 设A点的坐标为（t,0），四边形ABCD的面积为S.P，使得△PAE的周长最小，若存在，请求出点.图5 备用图6)如图6，抛物线223y x x =--与x 轴交A 、B 两点（A 点在B 点左侧），直线l 与抛物线交于A 、C 两点，其中C 点的横坐标为2。

二次函数图像与性质中考真题(含详细答案和分析)

二次函数图像与性质中考真题一．填空题（共26小题）1．（2014•天津）抛物线y=x2﹣2x+3的顶点坐标是_________．2．（2014•长沙）抛物线y=3（x﹣2）2+5的顶点坐标是_________．3．（2014•大连）函数y=（x﹣1）2+3的最小值为_________．4．已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴的公共点是（﹣4，0），（2，0），则这条抛物线的对称轴是直线_________5．（2014•温州一模）二次函数y=（x+3）2﹣5的对称轴是直线_________．6．（2014•奉贤区二模）二次函数y=x2+3图象的顶点坐标是_________．7．（2014•青浦区一模）函数y=（x+5）（2﹣x）图象的开口方向是_________．8．（2014•金山区一模）抛物线y=x2+2x的对称轴是_________．9．（2014•杨浦区二模）抛物线y=2x2+4x﹣2的顶点坐标是_________．10．如果二次函数y=（2k﹣1）x2﹣3x+1的图象开口向上，那么常数k的取值范围是_________．11．（2014•天河区二模）二次函数y=x2﹣4x的顶点坐标是_________．12．（2014•泰兴市二模）二次函数y=2（x+1）（x﹣3）图象的顶点坐标为_________．13．（2014•崇明县一模）抛物线y=x2﹣4x+5的对称轴是直线_________．14．（2014•成都高新区一模）抛物线y=x2﹣12x+9的顶点坐标是_________．15．（2014•和平区一模）求抛物线y=﹣2x2+8x﹣8的开口方向、对称轴及顶点坐标．16．（2014•鄂托克旗模拟）抛物线y=﹣x2+4x﹣5的顶点坐标是_________．17．（2014•奉贤区一模）二次函数y=﹣2（x﹣2）2的图象在对称轴左侧部分是_________．“上升或下降”18．（2014•历城区一模）抛物线y=2（x﹣3）2+1的顶点坐标是_________．19．（2014•青浦区一模）如果二次函数y=x2+2kx+k﹣4图象的对称轴为x=3，那么k=_________．20．（2014•奉贤区一模）抛物线y=3x2﹣1的顶点坐标为_________．21．抛物线y=﹣（x﹣1）2+1在对称轴的右侧的部分是_________的．（从“上升”或“下降”中选择）22．（2014•黄浦区一模）若抛物线y=（x+m）2+m﹣1的对称轴是直线x=1，则它的顶点坐标是_________．23．（2014•安徽模拟）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出以下结论：①a+b+c＜0；②a﹣b+c＜0；③b+2a＜0；④abc＞0．其中所有正确结论的序号是_________．24．（2014•靖江市模拟）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列7个代数式ab，ac，bc，b2﹣4ac，a+b+c，a﹣b+c，2a+b中，其值为正的式子的个数为_________个．25．二次函数y=a（x+m）2+n的图象如图，则一次函数y=mx+n的图象经过_________象限．26．（2014•长宁区一模）已知抛物线y=mx2+4x+m（m﹣2）经过坐标原点，则实数m的值是二．解答题（共4小题）27．（2012•宿迁模拟）已知抛物线的顶点坐标为M（1，﹣2），且经过点N（2，3），求此二次函数的解析式．28．（2009•衡阳）已知二次函数的图象过坐标原点，它的顶点坐标是（1，﹣2），求这个二次函数的关系式．29．（2009•临沂）如图，抛物线经过A（4，0），B（1，0），C（0，﹣2）三点．求出抛物线的解析式；30．（2008•镇江）推理运算：二次函数的图象经过点A（0，﹣3），B（2，﹣3），C（﹣1，0）．（1）求此二次函数的关系式；（2）求此二次函数图象的顶点坐标；（3）填空：把二次函数的图象沿坐标轴方向最少平移_________个单位，使得该图象的顶点在原点．参考答案与试题解析一．填空题（共26小题）1．（2014•天津）抛物线y=x2﹣2x+3的顶点坐标是（1，2）．考点：二次函数的性质．专题：计算题．分析：已知抛物线的解析式是一般式，用配方法转化为顶点式，根据顶点式的坐标特点，直接写出顶点坐标．解答：解：∵y=x2﹣2x+3=x2﹣2x+1﹣1+3=（x﹣1）2+2，∴抛物线y=x2﹣2x+3的顶点坐标是（1，2）．点评：此题考查了二次函数的性质，二次函数y=a（x﹣h）2+k的顶点坐标为（h，k），对称轴为x=h，此题还考查了配方法求顶点式．2．（2014•长沙）抛物线y=3（x﹣2）2+5的顶点坐标是（2，5）．考点：二次函数的性质．分析：由于抛物线y=a（x﹣h）2+k的顶点坐标为（h，k），由此即可求解．解答：解：∵抛物线y=3（x﹣2）2+5，∴顶点坐标为：（2，5）．故答案为：（2，5）．点评：此题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握抛物线y=a（x﹣h）2+k的顶点坐标为（h，k）．3．（2014•大连）函数y=（x﹣1）2+3的最小值为3．专题：常规题型．分析：根据顶点式得到它的顶点坐标是（1，3），再根据其a＞0，即抛物线的开口向上，则它的最小值是3．解答：解：根据非负数的性质，（x﹣1）2≥0，于是当x=1时，函数y=（x﹣1）2+3的最小值y等于3．故答案为：3．点评：本题考查了二次函数的最值的求法．求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法．4．（2014•南通）已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴的公共点是（﹣4，0），（2，0），则这条抛物线的对称轴是直线x=﹣1．考点：抛物线与x轴的交点．专题：待定系数法．分析：因为点（﹣4，0）和（2，0）的纵坐标都为0，所以可判定是一对对称点，把两点的横坐标代入公式x=求解即可．解答：解：∵抛物线与x轴的交点为（﹣4，0），（2，0），∴两交点关于抛物线的对称轴对称，则此抛物线的对称轴是直线x==﹣1，即x=﹣1．故答案是：x=﹣1．点评：本题考查了抛物线与x轴的交点，以及如何求二次函数的对称轴，对于此类题目可以用公式法也可以将函数化为顶点式来求解，也可以用公式x=求解，即抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点是（x1，0），（x2，0），则抛物线的对称轴为直线x=．5．（2014•温州一模）二次函数y=（x+3）2﹣5的对称轴是直线x=﹣3．考点：二次函数的性质．分析：对照顶点式y=a（x﹣h）2+k的对称轴是x=h，求本题中二次函数的对称轴．解答：解：因为二次函数y=（x+3）2﹣5的顶点坐标是（﹣3，﹣5），故对称轴是直线x=﹣3．点评：顶点式y=a（x﹣h）2+k，顶点坐标是（h，k），对称轴是x=h，此题考查了学生的应用能力．6．（2014•奉贤区二模）二次函数y=x2+3图象的顶点坐标是（0，3）．考点：二次函数的性质．分析：根据二次函数的性质，利用顶点式直接得出顶点坐标即可．解答：解：∵二次函数y=x2+3，∴二次函数y=x2+3图象的顶点坐标是：（0，3）．点评：此题主要考查了利用二次函数顶点式求顶点坐标，此题型是中考中考查重点，同学们应熟练掌握．7．（2014•青浦区一模）函数y=（x+5）（2﹣x）图象的开口方向是向下．考点：二次函数的性质．分析：首先将二次函数化为一般形式，然后根据二次项系数的符号确定开口方向．解答：解：y=（x+5）（2﹣x）=﹣x2+3x+10，∵a=﹣1＜0，∴开口向下，故答案为：向下．点评：本题考查了二次函数的性质，解题的关键是正确的化为一般形式．8．（2014•金山区一模）抛物线y=x2+2x的对称轴是直线x=﹣1．考点：二次函数的性质．专题：计算题．分析：先把一般式配成顶点式，根据二次函数的性质即可得到抛物线的对称轴．解答：解：y=x2+2x=（x2+2x+1）﹣1=（x+1）2﹣1，抛物线的对称轴为直线x=﹣1．故答案为直线x=﹣1．点评：本题考查了二次函数的性质：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象为抛物线，当a＞0，抛物线开口向上；对称轴为直线x=﹣；抛物线与y轴的交点坐标为（0，c）；当b2﹣4ac＞0，抛物线与x轴有两个交点；当b2﹣4ac=0，抛物线与x轴有一个交点；当b2﹣4ac＜0，抛物线与x轴没有交点．9．（2014•杨浦区二模）抛物线y=2x2+4x﹣2的顶点坐标是（﹣1，﹣4）．考点：二次函数的性质．分析：利用顶点的公式首先求得横坐标，然后把横坐标的值代入解析式即可求得纵坐标．解答：解：x=﹣=﹣1，把x=﹣1代入得：y=2﹣4﹣2=﹣4．则顶点的坐标是（﹣1，﹣4）．故答案是：（﹣1，﹣4）．点评：本题考查了二次函数的顶点坐标的求解方法，可以利用配方法求解，也可以利用公式法求解．10．（2014•嘉定区一模）如果二次函数y=（2k﹣1）x2﹣3x+1的图象开口向上，那么常数k的取值范围是k＞．考点：二次函数的性质．分析：根据二次函数的开口向上列出关于k的不等式，求出k的取值范围即可．2∴2k﹣1＞0，解得k＞．故答案为：k＞．点评：本题考查的是二次函数的性质，熟知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），当a＞0时，抛物线的开口向上是解答此题的关键．11．（2014•天河区二模）二次函数y=x2﹣4x的顶点坐标是（2，﹣4）．考点：二次函数的性质．分析：用配方法将抛物线的一般式转化为顶点式，确定顶点坐标即可．解答：解：∵y=x2﹣4x=（x﹣2）2﹣4，∴抛物线顶点坐标为（2，﹣4）．故本题答案为：（2，﹣4）．点评：本题考查了抛物线解析式与顶点坐标的关系，求顶点坐标可用配方法，也可以用顶点坐标公式．12．（2014•泰兴市二模）二次函数y=2（x+1）（x﹣3）图象的顶点坐标为（1，﹣8）．考点：二次函数的性质．分析：根据函数解析式的相互转化，可得顶点式解析式，根据顶点式解析式，可得答案．解答：解：y=2（x+1）（x﹣3）转化成y=2（x﹣1）2﹣8，故答案为：（1，﹣8）．点评：本题考查了二次函数的性质，转化成顶点式解析式是解题关键．13．（2014•崇明县一模）抛物线y=x2﹣4x+5的对称轴是直线x=2．考点：二次函数的性质．专题：数形结合．分析：首先把y=x2﹣4x+5进行配方，然后就可以确定抛物线的对称轴，也可以利用公式x=﹣确定．解答：解：y=x2﹣4x+5，=x2﹣4x+4+1，=（x﹣2）2+1，∴对称轴是直线x=2．故答案为：x=2．点评：此题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是会配方法或对称轴的公式x=﹣．14．（2014•成都高新区一模）抛物线y=x2﹣12x+9的顶点坐标是（6，﹣27）．考点：二次函数的性质．分析：把抛物线解析式整理成顶点式形式，然后写出顶点坐标即可．解答：解：y=x2﹣12x+9=（x﹣6）2﹣27，故答案为：（6，﹣27）．点评：本题考查了二次函数的性质，把抛物线解析式整理成顶点式形式求解更简便．15．（2014•和平区一模）求抛物线y=﹣2x2+8x﹣8的开口方向、对称轴及顶点坐标．考点：二次函数的性质．分析：根据二次项系数得出抛物线的开口方向，将一般式转化为顶点式即可得出对称轴和顶点坐标．解答：解：y=2x2+8x﹣8，∵a=﹣2＜0，∴抛物线开口向下．∵y=﹣2x2+8x﹣8=﹣2（x2﹣4x+4）=﹣2（x﹣2）2，∴对称轴为直线x=﹣2，顶点坐标为（2，0）．点评：本题考查了二次函数的性质及配方法的应用，用到的知识点：二次函数y=a（x﹣h）2+k，当a ＞0时，抛物线开口向上；对称轴是直线x=h，顶点坐标是（h，k）．利用配方法将一般式转化为顶点式是解题的关键．16．（2014•鄂托克旗模拟）抛物线y=﹣x2+4x﹣5的顶点坐标是（2，﹣1）．考点：二次函数的性质．分析：根据所给的二次函数，把a=﹣1、b=4、c=﹣5代入顶点公式即可求．解答：解：∵y=﹣x2+4x﹣5∴，．故答案为：（2，﹣1）．点评：本题考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数顶点公式．17．（2014•奉贤区一模）二次函数y=﹣2（x﹣2）2的图象在对称轴左侧部分是上升．“上升或下降”考点：二次函数的性质．分析：直接根据二次函数的性质进行解答即可．解答：解：∵二次函数y=﹣2（x﹣2）2中，a=﹣2＜0，∴抛物线开口向下，∴函数图象在对称轴左侧部分是上升．故答案为：上升．点评：本题考查的是二次函数的性质，熟知当a＜0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜﹣时，y随x的增大而增大是解答此题的关键．18．（2014•历城区一模）抛物线y=2（x﹣3）2+1的顶点坐标是（3，1）．考点：二次函数的性质．分析：已知抛物线解析式为顶点式，可直接求出顶点坐标．解答：解：由抛物线解析式可知，抛物线顶点坐标为（3，1），点评：本题考查了二次函数的性质，将解析式化为顶点式y=a（x﹣h）2+k，顶点坐标是（h，k），对称轴是x=h．19．（2014•青浦区一模）如果二次函数y=x2+2kx+k﹣4图象的对称轴为x=3，那么k=﹣3．考点：二次函数的性质．分析：直接利用对称轴公式求解即可．解答：解：∵二次函数y=x2+2kx+k﹣4图象的对称轴为x=3，∴对称轴为：x=﹣=3，解得：k=﹣3，故答案为：﹣3点评：本题主要考查二次函数的性质，解此题的关键是对二次函数的性质的理解和掌握，知对称轴．20．（2014•奉贤区一模）抛物线y=3x2﹣1的顶点坐标为（0，﹣1）．考点：二次函数的性质．分析：根据形如y=ax2+k的顶点坐标为（0，k），据此可以直接求顶点坐标．解答：解：∵抛物线的解析式为y=3x2﹣1，∴其顶点坐标为（0，﹣1）．故答案为：（0，﹣1）．点评：本题考查了二次函数的性质．二次函数的顶点式方程y=a（x﹣k）2+h的顶点坐标是（k，h），对称轴方程是x=k．21．（2014•嘉定区一模）抛物线y=﹣（x﹣1）2+1在对称轴的右侧的部分是下降的．（从“上升”或“下降”中选择）考点：二次函数的性质．分析：根据a＜0，知抛物线开口向下，则在对称轴右侧的部分呈下降趋势．解答：解：∵a＜0，∴抛物线开口向下，∴对称轴右侧的部分呈下降趋势．故答案为：下降．点评：考查了二次函数的性质，能够根据抛物线的开口方向分析对称轴左右两侧的变化规律．22．（2014•黄浦区一模）若抛物线y=（x+m）2+m﹣1的对称轴是直线x=1，则它的顶点坐标是（1，﹣2）．考点：二次函数的性质．分析：首先根据对称轴是直线x=1，从而求得m的值，然后根据顶点坐标公式直接写出顶点坐标；解答：解：∵抛物线y=（x+m）2+m﹣1的对称轴是直线x=1，∴m=﹣1，∴解析式y=（x﹣1）2﹣2，∴顶点坐标为：（1，﹣2），点评：本题主要考查了二次函数的性质，熟练掌握顶点式是解题的关键，难度适中．23．（2014•安徽模拟）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出以下结论：①a+b+c＜0；②a﹣b+c＜0；③b+2a＜0；④abc＞0．其中所有正确结论的序号是②③．考点：二次函数图象与系数的关系．专题：压轴题．分析：由x=1时，y=a+b+C＞0，即可判定①错误；由x=﹣1时，y=a﹣b+c＜0，即可判定②正确；由抛物线的开口向下知a＜0，与y轴的交点为在y轴的正半轴上得到c＞0，又对称轴为x=＜1，得到2a+b＜0，由此可以判定③正确；由对称轴为x=＞0即可判定④错误．解答：解：①当x=1时，y=a+b+C＞0，∴①错误；②当x=﹣1时，y=a﹣b+c＜0，∴②正确；③由抛物线的开口向下知a＜0，与y轴的交点为在y轴的正半轴上，∴c＞0，∵对称轴为x=＜1，∴﹣b＞2a，∴2a+b＜0，∴③正确；④对称轴为x=＞0，∴a、b异号，即b＞0，∴abc＜0，∴④错误．∴正确结论的序号为②③．故填空答案：②③．点评：二次函数y=ax2+bx+c系数符号的确定：（1）a由抛物线开口方向确定：开口方向向上，则a＞0；否则a＜0；（2）b由对称轴和a的符号确定：由对称轴公式x=判断符号；（3）c由抛物线与y轴的交点确定：交点在y轴正半轴，则c＞0；否则c＜0；（4）当x=1时，可以确定y=a+b+C的值；当x=﹣1时，可以确定y=a﹣b+c的值．24．（2014•靖江市模拟）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列7个代数式ab，ac，bc，2考点：二次函数图象与系数的关系．分析：由抛物线开口向上，得到a＞0，再由对称轴在y轴右侧，得到a与b异号，可得出b＜0，又抛物线与y轴交于正半轴，得到c大于0，可得出ab＜0，ac＞0，由抛物线与x轴有2个交点，得到根的判别式b2﹣4ac＞0，当x=1时，y=a+b+c＜0，x=﹣1时，y=a﹣b+c＞0，由﹣=1得b+2a=0．解答：解：∵抛物线的开口向上，∴a＞0，∵﹣＞0，∴b＜0，∵抛物线与y轴交于正半轴，∴c＞0，∴ab＜0，ac＞0，bc＜0∵抛物线与x轴有2个交点，∴b2﹣4ac＞0∵x=1时的函数值小于0，∴y=a+b+c＜0又∵x=﹣1时的函数值大于0∴y=a﹣b+c＞0∵对称轴为直线x=1，∴﹣=1，即2a+b=0，所以一共有3个式子的值为正．故答案为：3．点评：此题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），a的符号由抛物线开口方向决定；b的符号由对称轴的位置及a的符号决定；c的符号由抛物线与y轴交点的位置决定；抛物线与x轴的交点个数，决定了b2﹣4ac的符号，此外还要注意x=1，﹣1对应函数值的正负来判断其式子的正确与否．25．（2014•平原县二模）二次函数y=a（x+m）2+n的图象如图，则一次函数y=mx+n的图象经过二、三、四象限．分析：根据抛物线的顶点在第四象限，得出n＜0，m＜0，即可得出一次函数y=mx+n的图象经过二、三、四象限．解答：解：∵抛物线的顶点（﹣m，n）在第四象限，∴﹣m＞0，n＜0，∴m＜0，∴一次函数y=mx+n的图象经过二、三、四象限，故答案是：二、三、四．点评：此题考查了二次函数的图象，用到的知识点是二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质，关键是根据抛物线的顶点在第四象限，得出n、m的符号．26．（2014•长宁区一模）已知抛物线y=mx2+4x+m（m﹣2）经过坐标原点，则实数m的值是2．考点：二次函数图象上点的坐标特征．分析：把原点坐标代入函数解析式进行计算即可得解．解答：解：∵抛物线y=mx2+4x+m（m﹣2）经过坐标原点，∴m（m﹣2）=0，解得m1=0，m2=2，当m=0时，函数为一次函数，不是抛物线，所以，m≠0，因此，实数m的值是2．故答案为：2．点评：本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，要注意二次项系数不等于0．二．解答题（共4小题）27．（2012•宿迁模拟）已知抛物线的顶点坐标为M（1，﹣2），且经过点N（2，3），求此二次函数的解析式．考点：待定系数法求二次函数解析式．分析：因为抛物线的顶点坐标为M（1，﹣2），所以设此二次函数的解析式为y=a（x﹣1）2﹣2，把点（2，3）代入解析式即可解答．解答：解：已知抛物线的顶点坐标为M（1，﹣2），设此二次函数的解析式为y=a（x﹣1）2﹣2，把点（2，3）代入解析式，得：a﹣2=3，即a=5，∴此函数的解析式为y=5（x﹣1）2﹣2．点评：本题考查了用待定系数法求函数解析式的方法．若题目给出了二次函数的顶点坐标，则采用顶点式求解简单．28．（2009•衡阳）已知二次函数的图象过坐标原点，它的顶点坐标是（1，﹣2），求这个二次函数的关系式．考点：待定系数法求二次函数解析式．分析：此题告诉了二次函数的顶点坐标，采用顶点式比较简单．解答：解：设这个二次函数的关系式为y=a（x﹣1）2﹣2，∵二次函数的图象过坐标原点，∴0=a（0﹣1）2﹣2解得：a=2故这个二次函数的关系式是y=2（x﹣1）2﹣2，即y=2x2﹣4x．点评：本题考查了用待定系数法求函数解析式的方法，设解析式时要根据具体情况选择适当形式．29．（2009•临沂）如图，抛物线经过A（4，0），B（1，0），C（0，﹣2）三点．（1）求出抛物线的解析式；（2）P是抛物线上一动点，过P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在P点，使得以A，P，M为顶点的三角形与△OAC相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在直线AC上方的抛物线上有一点D，使得△DCA的面积最大，求出点D的坐标．考点：二次函数综合题．专题：压轴题．分析：（1）已知抛物线经过A（4，0），B（1，0），可设抛物线解析式的交点式，再把C（0，﹣2）代入即可；（2）∵△OAC是直角三角形，以A，P，M为顶点的三角形与其相似，由于点P可能在x轴的上方，或者下方，分三种情况，分别用相似比解答；（3）过D作y轴的平行线交AC于E，将△DCA分割成两个三角形△CDE，△ADE，它们的底相同，为DE，高的和为4，就可以表示它们的面积和，即△DCA的面积，运用代数式的变形求最大值．解答：解：（1）∵该抛物线过点C（0，﹣2），设该抛物线的解析式为y=ax2+bx﹣2．将A（4，0），B（1，0）代入，得，解得，∴此抛物线的解析式为y=﹣x2+x﹣2．（2）存在．如图，设P点的横坐标为m，则点P的纵坐标为，当1＜m＜4时，AM=4﹣m，PM=，又∵∠COA=∠PMA=90°，∴①当==2时，△APM∽△ACO，∴=2，即|4﹣m|=2（），∴4﹣m=m2+5m﹣4，∴m2﹣6m+8=0，∴（m﹣2）（m﹣4）=0，解得：m1=2，m2=4（舍去）∴P（2，1）②当，△APM∽△CAO，那么有：2|4﹣m|=，∴2（4﹣m）=﹣m2+m﹣2，∴m2﹣9m+20=0，∴（m﹣4）（m﹣5）=0，解得：m1=4（舍去），m2=5（舍去），∴当1＜m＜4时，P（2，1），类似地可求出当m＞4时，P（5，﹣2），当m＜1时，P（﹣3，﹣14），当P，C重合时，△APM≌△ACO，P（0，﹣2）．综上所述，符合条件的点P为（2，1）或（5，﹣2）或（﹣3，﹣14）或（0，﹣2）；（3）如图，设D点的横坐标为t（0＜t＜4），则D点的纵坐标为﹣t2+t﹣2．过D作y轴的平行线交AC于E．由题意可求得直线AC的解析式为y=x﹣2．∴E点的坐标为（t，t﹣2）．∴DE=﹣t2+t﹣2﹣（t﹣2）=﹣t2+2t．∴S△DAC=×（﹣t2+2t）×4=﹣t2+4t=﹣（t﹣2）2+4．∴当t=2时，△DAC面积最大．∴D（2，1）．点评：本题综合考查了抛物线解析式的求法，抛物线与相似三角形的问题，坐标系里表示三角形的面积及其最大值问题，要求会用字母代替长度，坐标，会对代数式进行合理变形．30．（2008•镇江）推理运算：二次函数的图象经过点A（0，﹣3），B（2，﹣3），C（﹣1，0）．（1）求此二次函数的关系式；（2）求此二次函数图象的顶点坐标；（3）填空：把二次函数的图象沿坐标轴方向最少平移5个单位，使得该图象的顶点在原点．考点：待定系数法求二次函数解析式；二次函数的性质；二次函数图象与几何变换．分析：（1）可用一般式来求二次函数的关系式；（2）把二次函数的关系式整理为顶点式即可求得顶点；（3）应看顶点坐标是如何经过最短距离之和到达原点．解答：解：（1）设y=ax2+bx﹣3，（1分）把点（2，﹣3），（﹣1，0）代入得，（2分）解方程组得∴y=x2﹣2x﹣3；（3分）（也可设y=a（x﹣1）2+k）（2）y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，（4分）∴函数的顶点坐标为（1，﹣4）；（5分）（3）|1﹣0|+|﹣4﹣0|=5．（6分）点评：一般用待定系数法来求函数解析式；抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）通过配方，将一般式化为y=a（x ﹣h）2+k的形式，可确定其顶点坐标为（h，k）．进一步考查了平移的知识．。

2014年全国各地中考数学试卷解析版分类汇编二次函数讲解

二次函数一、选择题1. （2014•上海，第3题4分）如果将抛物线y=x2向右平移1个单位，那么所得的抛物线的表达式是（）2. （2014•四川巴中，第10题3分）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图，则下列叙述正确的是（）A．abc＜0B．﹣3a+c＜0 C．b2﹣4ac≥0D．将该函数图象向左平移2个单位后所得到抛物线的解析式为y=ax2+c 考点：二次函数的图象和符号特征．分析：A．由开口向下，可得a＜0；又由抛物线与y轴交于负半轴，可得c＜0，然后由对称轴在y轴右侧，得到b与a异号，则可得b＞0，故得abc＞0．B．根据图知对称轴为直线x=2，即=2，得b=﹣4a，再根据图象知当x=1时，y＜0，即可判断；C．由抛物线与x轴有两个交点，可得b2﹣4ac＞0；D．把二次函数y=ax2+bx+c化为顶点式，再求出平移后的解析式即可判断．解答：A．由开口向下，可得a＜0；又由抛物线与y轴交于负半轴，可得c＜0，然后由对称轴在y轴右侧，得到b与a异号，则可得b＞0，故得abc＞0，故本选项错误；B．根据图知对称轴为直线x=2，即=2，得b=﹣4a，再根据图象知当x=1时，y=a+b+c=a ﹣4a+c=﹣3a+c＜0，故本选项正确；C．由抛物线与x轴有两个交点，可得b2﹣4ac＞0，故本选项错误；D．y=ax2+bx+c=，∵=2，∴原式=，向左平移2个单位后所得到抛物线的解析式为，故本选项错误；故选：B．点评：本题考查了二次函数图象与系数的关系．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个数确定．3. （2014•山东威海，第11题3分）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，则下列说法：①c=0；②该抛物线的对称轴是直线x=﹣1；③当x=1时，y=2a；④am2+bm+a＞0（m≠﹣1）．其中正确的个数是（）该抛物线的对称轴是：4. （2014•山东枣庄，第11题3分）已知二次函数y=ax2+bx+c的x、y的部分对应值如下表：则该二次函数图象的对称轴为（）=5. （2014•山东烟台，第11题3分）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x=2，下列结论：①4a+b=0；②9a+c＞3b；③8a+7b+2c＞0；④当x＞﹣1时，y的值随x值的增大而增大．其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个考点：二次函数的图象与性质．解答：根据抛物线的对称轴为直线x=﹣=2，则有4a+b=0；观察函数图象得到当x=﹣3时，函数值小于0，则9a﹣3b+c＜0，即9a+c＜3b；由于x=﹣1时，y=0，则a﹣b+c=0，易得c=﹣5a，所以8a+7b+2c=8a﹣28a﹣10a=﹣30a，再根据抛物线开口向下得a＜0，于是有8a+7b+2c＞0；由于对称轴为直线x=2，根据二次函数的性质得到当x＞2时，y随x 的增大而减小．解答：∵抛物线的对称轴为直线x=﹣=2，∴b=﹣4a，即4a+b=0，所以①正确；∵当x=﹣3时，y＜0，∴9a﹣3b+c＜0，即9a+c＜3b，所以②错误；∵抛物线与x轴的一个交点为（﹣1，0），∴a﹣b+c=0，而b=﹣4a，∴a+4a+c=0，即c=﹣5a，∴8a+7b+2c=8a﹣28a﹣10a=﹣30a，∵抛物线开口向下，∴a＜0，∴8a+7b+2c＞0，所以③正确；∵对称轴为直线x=2，∴当﹣1＜x＜2时，y的值随x值的增大而增大，当x＞2时，y随x的增大而减小，所以④错误．故选B．点评：本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小，当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置，当a 与b 同号时（即ab ＞0），对称轴在y 轴左；当a 与b 异号时（即ab ＜0），对称轴在y 轴右；常数项c 决定抛物线与y 轴交点．抛物线与y 轴交于（0，c ）；抛物线与x 轴交点个数由△决定，△=b 2﹣4ac ＞0时，抛物线与x 轴有2个交点；△=b 2﹣4ac =0时，抛物线与x 轴有1个交点；△=b 2﹣4ac ＜0时，抛物线与x 轴没有交点．6.（2014山东济南，第15题，3分）二次函数的图象如图，对称轴为1=x ．若关于x 的一元二次方程02=-+t bx x （为实数）在41<<-x 的范围内有解，则的取值范围是A ．1-≥tB ．31<≤-tC ．81<≤-tD ．83<<t【解析】由对称轴为1=x ，得2-=b ，再由一元二次方程022=--t x x 在41<<-x 的范围内有解，得)4()1(y t y <≤，即81<≤-t ，故选C ．7. （2014•山东聊城，第12题，3分）如图是二次函数y =ax 2+bx +c （a ≠0）图象的一部分，x =﹣1是对称轴，有下列判断：①b ﹣2a =0；②4a ﹣2b +c ＜0；③a ﹣b +c =﹣9a ；④若（﹣3，y 1），（，y 2）是抛物线上两点，则y 1＞y 2，其中正确的是（）=8．(2014年贵州黔东南9．（3分）)已知抛物线y=x2﹣x﹣1与x轴的一个交点为（m，0），则代数式m2﹣m+2014的值为（）A．2012 B．2013 C．2014 D． 2015考点：抛物线与x轴的交点．菁优网分析：把x=m代入方程x2﹣x﹣1=0求得m2﹣m=1，然后将其整体代入代数式m2﹣m+2014，并求值．解答：解：∵抛物线y=x2﹣x﹣1与x轴的一个交点为（m，0），∴m2﹣m﹣1=0，解得m2﹣m=1．∴m2﹣m+2014=1+2014=2015．故选：D．点评：本题考查了抛物线与x轴的交点．解题时，注意“整体代入”数学思想的应用，减少了计算量．9. (2014年贵州黔东南9．（4分）)如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列4个结论：①abc＜0；②b＜a+c；③4a+2b+c＞0；④b2﹣4ac＞0其中正确结论的有（）A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④考点：二次函数图象与系数的关系．菁优网分析：由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点得出c的值，然后根据抛物线与x轴交点的个数及x=﹣1时，x=2时二次函数的值的情况进行推理，进而对所得结论进行判断．解答：解：由二次函数的图象开口向上可得a＞0，根据二次函数的图象与y轴交于正半轴知：c＞0，由对称轴直线x=2，可得出b与a异号，即b＜0，则abc＜0，故①正确；把x=﹣1代入y=ax2+bx+c得：y=a﹣b+c，由函数图象可以看出当x=﹣1时，二次函数的值为正，即a+b+c＞0，则b＜a+c，故②选项正确；把x=2代入y=ax2+bx+c得：y=4a+2b+c，由函数图象可以看出当x=2时，二次函数的值为负，即4a+2b+c＜0，故③选项错误；由抛物线与x轴有两个交点可以看出方程ax2+bx+c=0的根的判别式b2﹣4ac＞0，故④D选项正确；故选B．点评：本题考查二次函数图象与二次函数系数之间的关系，二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．会利用特殊值代入法求得特殊的式子，如：y=a+b+c，y=4a+2b+c，然后根据图象判断其值．10.11. （2014•江苏苏州,第8题3分）二次函数y=ax2+bx﹣1（a≠0）的图象经过点（1，1），则代数式1﹣a﹣b的值为（）12. (2014•年山东东营,第9题3分)若函数y=mx2+（m+2）x+m+1的图象与x轴只有一个交点，那么m的值为（）A．0 B．0或2 C．2或﹣2 D．0，2或﹣2考点：抛物线与x轴的交点．菁优网分析：分为两种情况：函数是二次函数，函数是一次函数，求出即可．解答：解：分为两种情况：①当函数是二次函数时，∵函数y=mx2+（m+2）x+m+1的图象与x轴只有一个交点，∴△=（m+2）2﹣4m（m+1）=0且m≠0，解得：m=±2，②当函数时一次函数时，m=0，此时函数解析式是y=2x+1，和x轴只有一个交点，故选D．点评：本题考查了抛物线与x轴的交点，根的判别式的应用，用了分类讨论思想，题目比较好，但是也比较容易出错．13. （2014•山东临沂,第14题3分）在平面直角坐标系中，函数y=x2﹣2x（x≥0）的图象为C1，C1关于原点对称的图象为C2，则直线y=a（a为常数）与C1、C2的交点共有（）14. （2014•山东淄博,第8题4分）如图，二次函数y=x2+bx+c的图象过点B（0，﹣2）．它与反比例函数y=﹣的图象交于点A（m，4），则这个二次函数的解析式为（）A．y=x2﹣x﹣2 B．y=x2﹣x+2 C．y=x2+x﹣2 D．y=x2+x+2考点：待定系数法求二次函数解析式；反比例函数图象上点的坐标特征．菁优网专题：计算题．分析：将A坐标代入反比例解析式求出m的值，确定出A的坐标，将A与B坐标代入二次函数解析式求出b与c的值，即可确定出二次函数解析式．解答：解：将A（m，4）代入反比例解析式得：4=﹣，即m=﹣2，∴A（﹣2，4），将A（﹣2，4），B（0，﹣2）代入二次函数解析式得：，解得：b=﹣1，c=﹣2，则二次函数解析式为y=x2﹣x﹣2．故选A．点评：此题考查l待定系数法求二次函数解析式，以及反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．15. （2014•山东淄博,第12题4分）已知二次函数y=a（x﹣h）2+k（a＞0），其图象过点A（0，2），B（8，3），则h的值可以是（）A． 6 B． 5 C． 4 D． 3考点：二次函数的性质．菁优网专题：计算题．分析：根据抛物线的顶点式得到抛物线的对称轴为直线x=h，由于所给数据都是正数，所以当对称轴在y轴的右侧时，比较点A和点B都对称轴的距离可得到h＜4．解答：解：∵抛物线的对称轴为直线x=h，∴当对称轴在y轴的右侧时，A（0，2）到对称轴的距离比B（8，3）到对称轴的距离小，∴x=h＜4．故选D．点评：本题考查了二次函数的性质：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（﹣，），对称轴直线x=﹣，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：①当a＞0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜﹣时，y随x的增大而减小；x＞﹣时，y随x的增大而增大；x=﹣时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点．②当a＜0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜﹣时，y随x的增大而增大；x＞﹣时，y随x的增大而减小；x=﹣时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点．16．（2014•四川南充，第10题，3分）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象如图，下列结论：①abc＞0；②2a+b=0；③当m≠1时，a+b＞am2+bm；④a﹣b+c＞0；⑤若ax12+bx1=ax22+bx2，且x1≠x2，x1+x2=2．其中正确的有（）A．①②③B．②④C．②⑤D．②③⑤分析：根据抛物线开口方向得a＜0，由抛物线对称轴为直线x=﹣=1，得到b=﹣2a＞0，即2a+b=0，由抛物线与y轴的交点位置得到c＞0，所以abc＜0；根据二次函数的性质得当x=1时，函数有最大值a+b+c，则当m≠1时，a+b+c＞am2+bm+c，即a+b＞am2+bm；根据抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点在（﹣1，0）的右侧，则当x=﹣1时，y＜0，所以a﹣b+c＜0；把ax12+bx1=ax22+bx2先移项，再分解因式得到（x1﹣x2）[a（x1+x2）+b]=0，而x1≠x2，则a（x1+x2）+b]=0，即x1+x2=﹣，然后把b=﹣2a代入计算得到x1+x2=2．解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵抛物线对称轴为性质x=﹣=1，∴b=﹣2a＞0，即2a+b=0，所以②正确；∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，∴c＞0，∴abc＜0，所以①错误；∵抛物线对称轴为性质x=1，∴函数的最大值为a+b+c，∴当m≠1时，a+b+c＞am2+bm+c，即a+b＞am2+bm，所以③正确；∵抛物线与x轴的一个交点在（3，0）的左侧，而对称轴为性质x=1，∴抛物线与x轴的另一个交点在（﹣1，0）的右侧∴当x=﹣1时，y＜0，∴a﹣b+c＜0，所以④错误；∵ax12+bx1=ax22+bx2，∴ax12+bx1﹣ax22﹣bx2=0，∴a（x1+x2）（x1﹣x2）+b（x1﹣x2）=0，∴（x1﹣x2）[a（x1+x2）+b]=0，而x1≠x2，∴a（x1+x2）+b]=0，即x1+x2=﹣，∵b=﹣2a，∴x1+x2=2，所以⑤正确．故选D．点评：本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小，当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置，当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点．抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定，△=b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2﹣4ac＜0时，抛物线与x 轴没有交点．17.（2014•甘肃白银、临夏,第9题3分）二次函数y=x2+bx+c，若b+c=0，则它的图象一定过点（）18．（2014•甘肃兰州,第6题4分）抛物线y=（x﹣1）2﹣3的对称轴是（）19．（2014•甘肃兰州,第11题4分）把抛物线y=﹣2x2先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度后，所得函数的表达式为（）20．（2014•甘肃兰州,第14题4分）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴是直线x=1，则下列四个结论错误的是（），得二、填空题1. （2014•浙江杭州，第15题，4分）设抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）过A（0，2），B（4，3），C三点，其中点C在直线x=2上，且点C到抛物线的对称轴的距离等于1，则抛物线的函数解析式为y=x2﹣x+2或y=﹣x2+x+2．=+2. *(2014年河南9．（4分）)已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于A、B两点．若点A的坐标为（－2,0)，抛物线的对称轴为直线x=2．则线段AB的长为.答案：8.解析：根据点A到对称轴x=2的距离是4，又点A、点B关于x=2对称，∴AB=8.3. (2014年湖北咸宁15．（3分）)科学家为了推测最适合某种珍奇植物生长的温度，将这种植物分别放在不同温度的环境中，经过一定时间后，测试出这种植物高度的增长情况，部分数据如表：温度t/℃﹣4 ﹣2 0 1 4植物高度增长量l/mm41 49 49 46 25科学家经过猜想、推测出l与t之间是二次函数关系．由此可以推测最适合这种植物生长的温度为﹣1℃．考点：二次函数的应用．菁优网分析：首先利用待定系数法求二次函数解析式解析式，在利用二次函数最值公式求法得出即可．解答：解：设y=ax2+bx+c（a≠0），选（0，49），（1，46），（4，25）代入后得方程组，解得：，所以y与x之间的二次函数解析式为：y=﹣x2﹣2x+49，当x=﹣=﹣1时，y有最大值50，即说明最适合这种植物生长的温度是﹣1℃．故答案为：﹣1．点评：此题主要考查了二次函数的应用以及待定系数法求二次函数解析式，得出二次函数解析式是解题关键．3.4.5.6.7.8.三、解答题1. （2014•上海，第24题12分）在平面直角坐标系中（如图），已知抛物线y=x2+bx+c与x 轴交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴交于点C（0，﹣2）．（1）求该抛物线的表达式，并写出其对称轴；（2）点E为该抛物线的对称轴与x轴的交点，点F在对称轴上，四边形ACEF为梯形，求点F的坐标；（3）点D为该抛物线的顶点，设点P（t，0），且t＞3，如果△BDP和△CDP的面积相等，求t的值．，2. （2014•山东威海，第25题12分）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过A（﹣1，0），B（4，0），C（0，2）三点．（1）求这条抛物线的解析式；（2）E为抛物线上一动点，是否存在点E使以A、B、E为顶点的三角形与△COB相似？若存在，试求出点E的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若将直线BC平移，使其经过点A，且与抛物线相交于点D，连接BD，试求出∠BDA 的度数．=．×==，．，，=4. （2014•山东枣庄，第25题10分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2﹣2x﹣3的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，连接BC，点D为抛物线的顶点，点P是第四象限的抛物线上的一个动点（不与点D重合）．（1）求∠OBC的度数；（2）连接CD、BD、DP，延长DP交x轴正半轴于点E，且S△OCE=S四边形OCDB，求此时P点的坐标；（3）过点P作PF⊥x轴交BC于点F，求线段PF长度的最大值．．=，解得，5. （2014•山东潍坊，第24题13分）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠O）与y轴交于点C(O，4)，与x轴交于点A和点B，其中点A的坐标为（－2,0），抛物线的对称轴x=1与抛物线交于点D，与直线BC交于点E．(1)求抛物线的解析式；(2)若点F是直线BC上方的抛物线上的一个动点，是否存在点F使四边形ABFC的面积为17，若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由；(3)平行于DE的一条动直线Z与直线BC相交于点P，与抛物线相交于点Q，若以D、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的坐标。

2014年新观察中考数学二次函数

例、如图，已知直线y＝kx与抛物线交于点A（3，6）．若点B为抛物线上对称轴右侧的点，点E在线段OA上（与点0、A不重合），且满足∠BAO＝∠AOD．（1）求B点的坐标；（2）若D（n，0），∠DEB＝∠AOD，且符合条件的E点只有一个，求n．1、如图，已知抛物线y＝＋2x＋8与x轴交于点A、B两点，与y轴交于点C，D为抛物线的顶点，直线CD交x轴于E，过点B作x轴的垂线，交直线CD于点F，将抛物线沿其对称轴平移，使抛物线与线段EF总有公共点，试探究：抛物线向上最多可平移多少个单位长度？向下最多可平移多少个单位长度？2、已知抛物线y＝a—6ax＋5a与x轴交于A、B两点（A左、B右）。

（1）若抛物线与直线y＝2x的最近点之间的距离为，求a的值；（2）若抛物线不通过直线y＝2x上方的点，求抛物线顶点纵坐标的取值范围。

（2）若抛物线不通过直线y＝2x上方的点，求抛物线顶点纵坐标的取值范围。

例、如图，点P是直线l：y＝—2x—2上的点，过点P的另一条直线优交抛物线y＝于A、B两点．试证明：对于直线l上任意给定的一点P，在抛物线上都能找到点A，使得P A＝AB成立。

1、已知二次函数y＝a（x2—6x＋8）（a＞0）的图象与x轴分别交于点A、B，与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点，对称轴交x轴于M点，如图，当点P在抛物线对称轴上时，设点P的纵坐标t是大于3的常数，试问：是否存在一个正数a，使得四条线段P A、PB、PC、PD与一个平行四边形的四条边对应相等（即这四条线段能构成平行四边形）？请说明理由。

2、如图，抛物线y＝a（x—1）2＋4 与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，D是抛物线的顶点，已知CD＝．在抛物线上共有三个点到直线BC的距离为m，求m的值。

例、已知关于x的二次函数y＝x2—2mx＋m2＋m的图象与关于x的函数y＝kx＋1的图象交于两点A（x1，y1）、B（x2，y2）；（x1＜x2）。

（1）当k＝1，m为任何值时，猜想AB的长是否不变？并证明你的猜想．（2）当m＝0，无论k为何值时，猜想△AOB的形状．证明你的猜想．（2）当m＝0，无论k为何值时，猜想△AOB的形状．证明你的猜想．1、如图，抛物线y＝—2x—3与坐标轴交于A、B、C三点，直线y＝kx—1与抛物线交于P、Q两点，且y轴平分△CPQ的面积，求k的值。

辽宁中考--二次函数-2014

1．函数y=（x-1）2+3的最小值为2．将抛物线y=（x-3）2+1先向上平移2个单位，再向左平移1个单位后，得到的抛物线解析式为3．如图，平面直角坐标系中，点M 是直线y=2与x 轴之间的一个动点，且点M 是抛物线y=21x 2+bx+c 的顶点，则方程21x 2+bx+c=1的解的个数是（） A ．0或2B ．0或1C ．1或2D ．0，1或24．二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0，a ，b ，c 为常数）的图象如图，ax 2+bx+c=m 有实数根的条件是（）A ．m≥-2B ．m≥5C ．m≥0D ．m ＞45．如图，二次函数y=ax 2+bx+3的图象经过点A （-1，0），B （3，0），那么一元二次方程ax 2+bx=0的根是6．如图1，抛物线y=ax 2+bx-1经过A （-1，0）、B （2，0）两点，交y 轴于点C ．点P 为抛物线上的一个动点，过点P 作x 轴的垂线交直线BC 于点D ，交x 轴于点E ．（1）请直接写出抛物线表达式和直线BC 的表达式．（2）如图1，当点P 的横坐标为32时，求证：△OBD ∽△ABC ．（3）如图2，若点P 在第四象限内，当OE=2PE 时，求△POD 的面积．（4）当以点O、C、D为顶点的三角形是等腰三角形时，请直接写出动点P的坐标．7．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A（6，0），C（-4，0）两点，与y轴交于点B（0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）点D、点E同时从点O出发以每秒1个单位长度的速度分别沿x轴正半轴，y轴正半轴向点A、点B方向移动，当点D运动到点A时，点D、E同时停止移动．过点D作x轴的垂线交抛物线于点F，交AB于点G，作点E关于直线DF的对称点E′，连接FE′，射线DE′交AB于点H．设运动时间为t秒．①t为何值时点E′恰好在抛物线上，并求此时△DE′F与△ADG重叠部分的面积；②点P是平面内任意一点，若点D在运动过程中的某一时刻，形成以点A、E′、D、P为顶点的四边形是菱形，那么请直接写出点P的坐标．8．如图，抛物线y=a（x-m）2+2m-2（其中m＞1）与其对称轴l相交于点P，与y轴相交于点A（0，m-1）．连接并延长PA、PO，与x轴、抛物线分别相交于点B、C，连接BC．点C关于直线l的对称点为C′，连接PC′，即有PC′=PC．将△PBC绕点P逆时针旋转，使点C与点C′重合，得到△PB′C′．（1）该抛物线的解析式为（用含m的式子表示）；（2）求证：BC∥y轴；（3）若点B′恰好落在线段BC′上，求此时m的值．9．如图1，在平面直角坐标系中，二次函数122742+-=x y 的图象与y 轴交于点A ，与x 轴交于B ，C 两点（点B 在点C 的左侧），连接AB ，AC ．（1）点B 的坐标为，点C 的坐标为；（2）过点C 作射线CD ∥AB ，点M 是线段AB 上的动点，点P 是线段AC 上的动点，且始终满足BM=AP （点M 不与点A ，点B 重合），过点M 作MN ∥BC 分别交AC 于点Q ，交射线CD 于点N （点 Q 不与点P 重合），连接PM ，PN ，设线段AP 的长为n ． ①如图2，当n ＜21AC 时，求证：△PAM ≌△NCP ； ②直接用含n 的代数式表示线段PQ 的长；③若PM 的长为97，当二次函数122742+-=x y 的图象经过平移同时过点P 和点N 时，请直接写出此时的二次函数表达式．10．如图，直线y=x-4与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，抛物线y=31x 2+bx+c 经过A 、B 两点，与x 轴的另一个交点为C ，连接BC ．（1）求抛物线的解析式及点C 的坐标；（2）点M 在抛物线上，连接MB ，当∠MBA+∠CBO=45°时，求点M 的坐标；（3）点P 从点C 出发，沿线段CA 由C 向A 运动，同时点Q 从点B 出发，沿线段BC 由B 向C 运动，P 、Q 的运动速度都是每秒1个单位长度，当Q 点到达C 点时，P 、Q 同时停止运动，试问在坐标平面内是否存在点D ，使P 、Q 运动过程中的某一时刻，以C 、D 、P、Q为顶点的四边形为菱形？若存在，直接写出点D的坐标；若不存在，说明理由．11．如图，抛物线y=-x2+bx+c交x轴于点A，交y轴于点B，已知经过点A，B的直线的表达式为y=x+3．（1）求抛物线的函数表达式及其顶点C的坐标；（2）如图①，点P（m，0）是线段AO上的一个动点，其中-3＜m＜0，作直线DP⊥x轴，交直线AB于D，交抛物线于E，作EF∥x轴，交直线AB于点F，四边形DEFG为矩形．设矩形DEFG的周长为L，写出L与m的函数关系式，并求m为何值时周长L最大；（3）如图②，在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使点A，B，Q构成的三角形是以AB为腰的等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．12．在机器调试过程中，生产甲、乙两种产品的效率分别为y1、y2（单位：件/时），y1、y2与工作时间x（小时）之间大致满足如图所示的函数关系，y1的图象为折线OABC，y2的图象是过O、B、C三点的抛物线一部分．（1）根据图象回答：•调试过程中，生产乙的效率高于甲的效率的时间x（小时）的取值范围是；说明线段AB的实际意义是．（2）求出调试过程中，当6≤x≤8（3）时，生产甲种产品的效率y1（件/时）与工作时间x （小时）之间的函数关系式．（3）调试结束后，一台机器先以图中甲的最大效率生产甲产品m 小时，再以图中乙的最大效率生产乙产品，两种产品共生产6小时，求甲、乙两种产品的生产总量Z （件）与生产甲所用时间m （小时）之间的函数关系式．13．如图，平行四边形ABCO 在平面直角坐标系中，点A 的坐标为（-2，0），点B 的坐标为（0，4），抛物线y=-x 2+mx+n 经过点A 和C ．（1）求抛物线的解析式．（2）该抛物线的对称轴将平行四边形ABCO 分成两部分，对称轴左侧部分的图形面积记为S 1，右侧部分图形的面积记为S 2，求S 1与S 2的比．（3）在y 轴上取一点D ，坐标是（0，27），将直线OC 沿x 轴平移到O′C′，点D 关于直线O′C′的对称点记为D′，当点D′正好在抛物线上时，求出此时点D′坐标并直接写出直线O′C′的函数解析式．13．如图，抛物线y=ax 2+23x+c 与x 轴交于点A （4，0）、B （-1，0），与y 轴交于点C ，连接AC ，点M 是线段OA 上的一个动点（不与点O 、A 重合），过点M 作MN ∥AC ，交OC 于点N ，将△OMN 沿直线MN 折叠，点O 的对应点O′落在第一象限内，设OM=t ，△O′MN 与梯形AMNC 重合部分面积为S ．（1）求抛物线的解析式；（2）①当点O′落在AC 上时，请直接写出此时t 的值；②求S 与t 的函数关系式；（3）在点M 运动的过程中，请直接写出以O 、B 、C 、O′为顶点的四边形分别是等腰梯形和平行四边形时所对应的t 值．14．已知：抛物线y=ax 2+bx+c （a≠0）经过点A （1，0），B （3，0），C （0，-3）．（1）求抛物线的表达式及顶点D 的坐标；（2）如图①，点P 是直线BC 上方抛物线上一动点，过点P 作y 轴的平行线，交直线BC 于点E ．是否存在一点P ，使线段PE 的长最大？若存在，求出PE 长的最大值；若不存在，请说明理由；（3）如图②，过点A 作y 轴的平行线，交直线BC 于点F ，连接DA 、DB ．四边形OAFC 沿射线CB 方向运动，速度为每秒1个单位长度，运动时间为t 秒，当点C 与点B 重合时立即停止运动．设运动过程中四边形OAFC 与四边形ADBF 重叠部分面积为S ，请求出S 与t 的函数关系式．15．如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，顶点A 、C 的坐标分别为（-1，2），（3，2），点B 在x 轴上，点B 的坐标为（3，0），抛物线y=-x 2+bx+c 经过A 、C 两点．（1）求该抛物线所对应的函数关系式；（2）点P 是抛物线上的一点，当S △PAB =45S △ABC 时，求点P 的坐标；（3）若点N 由点B 出发，以每秒56个单位的速度沿边BC 、CA 向点A 移动，31秒后，点M 也由点B 出发，以每秒1个单位的速度沿线段BO 向点O 移动，当其中一个点到达终点时另一个点也停止移动，点N 的移动时间为t 秒，当MN ⊥AB 时，请直接写出t 的值，不必写出解答过程．16．如图，在平面直角坐标系中，将抛物线y=33x 2先向右平移1个单位，再向下平移334个单位，得到新的抛物线y=ax 2+bx+c ，该抛物线与y 轴交于点B ，与x 轴正半轴交于点C ．（1）求点B 和点C 的坐标；（2）如图1，有一条与y 轴重合的直线l 向右匀速平移，移动的速度为每秒1个单位，移动的时间为t 秒，直线l 与抛物线y=ax 2+bx+c 交于点P ，当点P 在x 轴上方时，求出使△PBC 的面积为23的t 值；（3）如图2，将直线BC 绕点B 逆时针旋转，与x 轴交于点M （1，0），与抛物线y=ax 2+bx+c 交于点A ，在y 轴上有一点D （0，332），在x 轴上另取两点E ，F （点E 在点F 的左侧），EF=2，线段EF 在x 轴上平移，当四边形ADEF 的周长最小时，先简单描述如何确定此时点E 的位置？再直接写出点E 的坐标．17．如图，平面直角坐标系中，抛物线y=ax 2+bx+4经过点D （2，4），且与x 轴交于A （3，0），B （-1，0）两点，与y 轴交于点C ，连接AC ，CD ，BC（1）直接写出该抛物线的解析式（2）点P 是所求抛物线上的一个动点，过点P 作x 轴的垂线l ，l 分别交x 轴于点E ，交直线AC 于点M ．设点P 的横坐标为m ．①当0≤m≤2时，过点M 作MG ∥BC ，MG 交x 轴于点G ，连接GC ，则m 为何值时，△GMC 的面积取得最大值，并求出这个最大值②当-1≤m≤2时，试探求：是否存在实数m，使得以P，C，M为顶点的三角形和△AEM相似？若存在，求出相应的m值；若不存在，请说明理由．。

2014中考数学二次函数应用(难)

72x =B(0,4) A(6,0)EFxyO 二次函数与四边形1、抛物线y=ax 2+bx+c 与y 轴交于点C （0，﹣2），与直线y=x 交于点A （﹣2，﹣2），B （2，2）．（1）求抛物线的解析式；（2）如图，线段MN 在线段AB 上移动（点M 与点A 不重合，点N 与点B 不重合），且MN=错误！未找到引用源。

，若M 点的横坐标为m ，过点M 作x 轴的垂线与x 轴交于点P ，过点N 作x 轴的垂线与抛物线交于点Q ．以点P ，M ，Q ，N 为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，请求出m 的值；若不能，请说明理由．2、已知：抛物线2(2)y a x b =-+ (0)ab <的顶点为A ，与x 轴的交点为B ，C （点B 在点C 的左侧）.(1)直接写出抛物线对称轴方程；（2）若抛物线经过原点，且△ABC 为直角三角形，求a ，b 的值；（3）若D 为抛物线对称轴上一点，则以A ，B ，C ，D 为顶点的四边形能否为正方形？若能，请写出a ，b 满足的关系式；若不能，说明理由.3、如图，二次函数y=x 2+bx+c 的图象与x 轴交于A 、B 两点，且A 点坐标为（-3,0），经过B 点的直线交抛物线于点D （-2，-3）.（1）求抛物线的解析式和直线BD 解析式；（2）过x 轴上点E （a ，0）（E 点在B 点的右侧）作直线EF ∥BD ,交抛物线于点F ,是否存在实数a 使四边形BDFE 是平行四边形？如果存在，求出满足条件的a ；如果不存在，请说明理由.4、如图，对称轴为直线72x =的抛物线经过点A （6，0）和 B （0，4）．（1）求抛物线解析式及顶点坐标；（2）设点E （x ，y ）是抛物线上一动点，且位于第四象限，四边形OEAF 是以OA 为对角线的平行四边形．求平行四边形OEAF 的面积S 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； ①当平行四边形OEAF 的面积为24时，请判断平行四边形OEAF 是否为菱形？ ②是否存在点E ，使平行四边形OEAF 为正方形？若存在，求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由．二次函数最大利润问题O xyAB CE1、某电子厂商投产一种新型电子厂品，每件制造成本为18元，试销过程中发现，每月销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的关系可以近似地看作一次函数y=﹣2x+100．（利润=售价﹣制造成本）（1）写出每月的利润z（万元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；（2）当销售单价为多少元时，厂商每月能获得3502万元的利润？当销售单价为多少元时，厂商每月能获得最大利润？最大利润是多少？（3）根据相关部门规定，这种电子产品的销售单价不能高于32元，如果厂商要获得每月不低于350万元的利润，那么制造出这种产品每月的最低制造成本需要多少万元？2、一学校为了绿化校园环境，向某园林公司购买力一批树苗，园林公司规定：如果购买树苗不超过60棵，每棵售价120元；如果购买树苗超过60棵，每增加1棵，所出售的这批树苗每棵售价均降低0.5元，但每棵树苗最低售价不得少于100元，该校最终向园林公司支付树苗款8800元，请问该校共购买了多少棵树苗？3、某电子厂商投产一种新型电子厂品，每件制造成本为18元，试销过程中发现，每月销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的关系可以近似地看作一次函数y=﹣2x+100．（利润=售价﹣制造成本）（1）写出每月的利润z（万元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；（2）当销售单价为多少元时，厂商每月能获得3502万元的利润？当销售单价为多少元时，厂商每月能获得最大利润？最大利润是多少？（3）根据相关部门规定，这种电子产品的销售单价不能高于32元，如果厂商要获得每月不低于350万元的利润，那么制造出这种产品每月的最低制造成本需要多少万元？4、一学校为了绿化校园环境，向某园林公司购买力一批树苗，园林公司规定：如果购买树苗不超过60棵，每棵售价120元；如果购买树苗超过60棵，每增加1棵，所出售的这批树苗每棵售价均降低0.5元，但每棵树苗最低售价不得少于100元，该校最终向园林公司支付树苗款8800元，请问该校共购买了多少棵树苗？二次函数最大面积1、如图，抛物线y=ax2+bx﹣4与x轴交于A（4，0）、B（﹣2，0）两点，与y轴交于点C，点P是线段AB上一动点（端点除外），过点P作PD∥AC，交BC于点D，连接CP．（1）求该抛物线的解析式；（2）当动点P运动到何处时，BP2=BD•BC；（3）当△PCD的面积最大时，求点P的坐标．2、如图，矩形ABCD的两边长AB=18cm，AD=4cm，点P、Q分别从A、B同时出发，P在边AB上沿AB 方向以每秒2cm的速度匀速运动，Q在边BC上沿BC方向以每秒1cm的速度匀速运动．设运动时间为x 秒，△PBQ的面积为y（cm2）.（1）求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；（2）求△PBQ的面积的最大值.3、我们常见的炒菜锅和锅盖都是抛物线面，经过锅心和盖心的纵断面是两端抛物线组合而成的封闭图形，不妨简称为“锅线”，锅口直径为6dm，锅深3dm，锅盖高1dm（锅口直径与锅盖直径视为相同），建立直接坐标系如图①所示，如果把锅纵断面的抛物线的记为C1，把锅盖纵断面的抛物线记为C2．（1）求C1和C2的解析式；（2）如图②，过点B作直线BE：y=13x﹣1交C1于点E（﹣2，﹣53），连接OE、BC，在x轴上求一点P，使以点P、B、C为顶点的△PBC与△BOE相似，求出P点的坐标；（3）如果（2）中的直线BE保持不变，抛物线C1或C2上是否存在一点Q，使得△EBQ的面积最大？若存在，求出Q的坐标和△EBQ面积的最大值；若不存在，请说明理由．二次函数相似问题xyF-2-4-6 A CEPDB52124 6 G1、设抛物线22y ax bx =+-与x 轴交于两个不同的点A(一1，0)、B(m ，0)，与y 轴交于点C .且∠ACB=90°． (1)求m 的值和抛物线的解析式；(2)已知点D(1，n )在抛物线上，过点A 的直线1y x =+交抛物线于另一点E ．若点P 在x 轴上，以点P 、B 、D 为顶点的三角形与△AEB 相似，求点P 的坐标． (3)在(2)的条件下，△BDP 的外接圆半径等于________________．2、已知抛物线2y ax bx c =++经过点A （5，0）、B （6，-6）和原点. （1）求抛物线的函数关系式；（2）若过点B 的直线y kx b '=+与抛物线相交于点C （2，m ），请求出∆OBC 的面积S 的值. （3）过点C 作平行于x 轴的直线交y 轴于点D ，在抛物线对称轴右侧位于直线DC 下方的抛物线上，任取一点P ，过点P 作直线 PF 平行于y 轴交x 轴于点F ，交直线DC 于点E . 直线PF 与直线 DC 及两坐标轴围成矩形OFED （如图），是否存在点P ，使得∆OCD 与∆CPE 相似？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.3、如图，抛物线的顶点为A （2，1），且经过原点O ，与x 轴的另yxOAB一个交点为B．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线上求点M，使△MOB的面积是△AOB面积的3倍；（3）连结OA，AB，在x轴下方的抛物线上是否存在点N，使△OBN与△OAB相似？若存在，求出N点的坐标；若不存在，说明理由．6、如图1，抛物线y=ax2+bx+3与x轴相交于点A（-3，0），B（-1，0），与y轴相交于点C，⊙O1为△ABC的外接圆，交抛物线于另一点D．（1）求抛物线的解析式；（2）求cos∠CAB的值和⊙O1的半径；（3）如图2，抛物线的顶点为P，连接BP，CP，BD，M为弦BD中点，若点N在坐标平面内，满足△BMN∽△BPC，请直接写出所有符合条件的点N的坐标．二次函数与三角形1、如图，在矩形OABC 中，点O 为原点，点A 的坐标为(0，8)，点C 的坐标为(6，0)．抛物线24=9y x bx c -++ 经过点A 、C ，与AB 交于点D ． (1)求抛物线的函数解析式；(2)点P 为线段BC 上一个动点(不与点C 重合)，点Q 为线段AC 上一个动点，AQ ＝CP ，连接PQ ，设CP ＝m ，△CPQ 的面积为S ． ①求S 关于m 的函数表达式；②当S 最大时，在抛物线24=9y x bx c -++的对称轴l 上，若存在点F ，使△DFQ 为直角三角形，请直接．．写出所有符合条件的点F 的坐标；若不存在，请说明理由．2、已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过A(－1，0)、B(3，0)、C(0，3)三点，直线l 是抛物线的对轴．(1)求抛物线的函数关系式；(2)设点P 是直线l 上的一个动点，当△PAC 的周长最小时，求点P 的坐标；(3)在直线l 上是否存在点M ，使△MAC 为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由．。

二次函数、中考题集

2
15
解：（1）当 x=0 时，y=-2， ∴A（0，-2），抛物线的对称轴为直线 x=-−2m /2m =1， ∴B（1，0）；（2）易得 A 点关于对称轴直线 x=1 的对称点 A′（2，-2），则直线 l 经过 A′、B，设直线 l 的解析式为 y=kx+b（k≠0），则 2k+b＝−2 ，k+b＝0 ，解得 k＝−2 , b＝2 ，所以，直线 l 的解析式为 y=-2x+2；（3）∵抛物线的对称轴为直线 x=1， ∴抛物线在 2＜x＜3 这一段与在-1＜x＜0 这一段关于对称轴对称，结合图象可以观察到抛物线在-2＜x＜-1 这一段位于直线 l 的上方，在-1＜x＜0 这一段位于直线 l 的下方， ∴抛物线与直线 l 的交点的横坐标为-1，当 x=-1 时，y=-2×（-1）+2=4，所以，抛物线过点（-1，4），当 x=-1 时，m+2m-2=4，解得 m=2， 2 ∴抛物线的解析式为 y=2x -4x-2．
2.（2014•潍坊）如图，已知矩形 ABCD 的长 AB 为 5，宽 BC 为 4，E 是 BC 边上的一个动点， AE⊥EF，EF 交 CD 于点 F．设 BE=x，FC=y，则点 E 从点 B 运动到点 C 时，能表示 y 关于 x 的函数关系的大致图象是（）
A．
B．
C．
D．
1
3.（2014•牡丹江）如图，点 P 是菱形 ABCD 边上一动点，若∠A=60°，AB=4，点 P 从点 A 出发，以每秒 1 个单位长的速度沿 A→B→C→D 的路线运动，当点 P 运动到点 D 时停止运动，那么△APD 的面积 S 与点 P 运动的时间 t 之间的函数关系的图象是（）

2014中考含答案二次函数y=ax2+bx+c的图象

二次函数y=ax 2+bx+c 的图象【教学目标】1、使学生会用公式求抛物线y=ax 2+bx+c 的对称轴与顶点。

2、了解抛物线的另一种形式y=a （x-x 1）（x-x 2）【重点、难点】重点：用公式求抛物线y=ax 2+bx+c 的对称轴与顶点坐标；难点：抛物线y=ax 2+bx+c 的对称轴与顶点的求法及有关性质。

【知识要点】1．二次函数解析式的一般形式是2(0)y ax bx c a =++≠经过配方得到：22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中对称轴为直线2b x a =-，顶点坐标为（2b a -，244ac b a -），当已知顶点坐标或对称轴时，可设顶点为2()(0),(,)y a x h k a h k =-+≠是顶点坐标。

2．当240b ac -≥，图象与x 轴有交点，其中12,x x 是方程20(0)ax bx c a ++=≠的两个根，于是二次函数解析式又可写为2212()()b c y ax bx c a x x a x x x x a a ⎛⎫=++=++=-- ⎪⎝⎭即12()()y a x x x x =--，即两根式。

【典型例题】例1．指出下列抛物线的开口方向、求出它的对称轴、顶点坐标、与y 轴的交点坐标、与x 轴的交点坐标。

（1）322++-=x x y （2） 1432-+=x x y（3） 852+-=x x y （4）1542-+-=x x y例2．已知抛物线12212+-=x x y ， (1)当x 为何值时 y>0, y=0, y<0?(2)当x 为何值时，函数y 随x 的增大而增大？(3)当x 为何值时，函数y 随x 的增大而减小？(4)当x 为何值时，函数y 有最大值或最小值？是多少？例3.已知二次函数的图象经过（-1，10），（1，4），（2，7）三点，求二次函数解析式例4已知二次函数的图象的顶点坐标是（-1，2），且过点（2，-3），求二次函数解析式例5.已知二次函数的图象与x轴交点的横坐标分别是-4，6，且过点（2，2），求二次函数解析式例6.已知二次函数的图象与x轴交点坐标分别（-2，0），（5，0），在y轴上的截距是-2，求二次函数解析式例7 已知二次函数2=++的最大值为2，顶点在直线1y ax bx c=+上，并且图象经过点（3，y x－6），求解析式。

2014年中考二次函数专题复习

二次函数专题复习考点1：二次函数的图象和性质一、考点讲解： 1．二次函数的定义：形如c bx ax y ++=2（a ≠0，a ，b ，c 为常数）的函数为二次函数．2．二次函数的图象及性质：⑴ 二次函数y=ax 2 (a ≠0）的图象是一条抛物线，其顶点是原点，对称轴是y 轴；当a ＞0时，抛物线开口向上，顶点是最低点；当a ＜0时，抛物线开口向下，顶点是最高点；a 越小，抛物线开口越大．y=a(x －h)2＋k 的对称轴是x=h ，顶点坐标是（h ，k ）。

⑵ 二次函数c bx ax y ++=2的图象是一条抛物线．顶点为（－2b a ，244ac b a -），对称轴x=－2b a ；当a ＞0时，抛物线开口向上，图象有最低点，且x ＞－2b a ，y 随x 的增大而增大，x ＜－2ba ，y 随x 的增大而减小；当a ＜0时，抛物线开口向下，图象有最高点，且x ＞－2b a ，y 随x 的增大而减小，x ＜－2b a ，y 随x 的增大而增大．注意：分析二次函数增减性时，一定要以对称轴为分界线。

首先要看所要分析的点是否是在对称轴同侧还是异侧，然后再根据具体情况分析其大小情况。

解题小诀窍：二次函数上两点坐标为（y x ,1），（y x ,2），即两点纵坐标相等，则其对称轴为直线221x x x +=。

⑶ 当a ＞0时，当x=－2b a 时，函数有最小值244ac b a -；当a ＜0时，当 x=－2b a 时，函数有最大值244ac b a -。

3．图象的平移：将二次函数y=ax 2 (a ≠0）的图象进行平移，可得到y=ax 2＋c ，y=a(x －h)2，y=a(x －h)2＋k 的图象．⑴ 将y=ax 2的图象向上(c ＞0）或向下(c< 0）平移|c|个单位，即可得到y=ax 2＋c 的图象．其顶点是（0,c ），形状、对称轴、开口方向与抛物线y=ax 2相同．⑵ 将y=ax 2的图象向左（h<0）或向右(h ＞0）平移|h|个单位，即可得到y=a(x －h)2的图象．其顶点是（h ，0），对称轴是直线x=h ，形状、开口方向与抛物线y=ax 2相同．⑶ 将y=ax 2的图象向左（h<0）或向右(h ＞0）平移|h|个单位，再向上(k>0)或向下(k<0)平移|k|个单位，即可得到y=a(x －h)2 +k 的图象，其顶点是（h ，k ），对称轴是直线x=h ，形状、开口方向与抛物线y=ax 2相同．注意：二次函数y=ax 2 与y =－ax 2 的图像关于x 轴对称。