期末练习题1-4

4.计算曲面积分 I =
∫∫ 2 xz dydz + y(z
2 Σ
2
+ 1 dzdx + 9 − z 3 dxdy ,其中 Σ 为曲面为
)
(
)
z = x 2 + y 2 + 1 (1 ≤ z ≤ 2) 取下侧．
5.计算三重积分 三．解答题 1. = 设z
∫∫∫ ( x + z )dxdydz ，
Ω
= z Ω 是由
10.设 Ω 是由 = z ln 复习题一参考答案 一．1. α + β + γ ；2. e sec
2 2 2
1 x xy 2 y x
（2） Ω 的表面积 A ． x2 + y 2 与 z 0, z 1 所围成的立体．求（1） Ω 的体积 V ； = =
+ xe tan ；3.
xy y x
(1 + ) f ′ ( x + ) ;4. 0 ；5.16R − f (x + )
∫∫∫ z ( x
Ω 2
x y z + 2 + 2 = 1( z ≤ 0 ) 的上侧． 2 a b c
5.计算三重积分 三．解答题
+ y 2 )dxdydz ，其中 Ω 是圆锥体 x 2 + y 2 ≤ z ≤ 1 ．
0 ，确定函数 z = z ( x, y ) 其中 ϕ ( u , v ) 可微，求 dz ． 1.（1）设方程 ϕ ( z − y, z − x ) =
x 2 + y 2 和 z = 1 所围成，将三重积分
．
I = ∫∫∫ f ( x, y, z )dv 化为柱面坐标系下的三次积分有 I =
Ω
7.设 L 是 x 2 + y 2 = 9 的逆时针方向,则 8．设 L 为圆周 x 2 + y 2 = 9 ，则
∫
L
2 y ( x − 1)dx + x ( x − 4 ) dy = _______ .
∞
z y , ，其中 k 是常数，函数 F 具有连续的一阶偏导数． x x ∂u ∂u ∂u 试求 x ． +y +z ∂x ∂y ∂z ax + y x− y+b 4.选取 a ， b ，使 2 dy 成为某一函数 u ( x, y ) 的全微分，并求 u ( x, y ) ． dx − 2 2 x + y2 x +y 10 x + 2 y − 2 z = 27 5.过直线 作曲面 3 x 2 + y 2 − z 2 = 27 的切平面，求此切平面的方程． x + y − z = 0
2 2
5. 已知曲面 z =4 − x − y 上的点 P 处的切平面平行于平面 2 x + 2 y + z − 1 = 0 ，则点 P 的坐标 是 ________ .
6.曲线
x = y2 上点 (1, −1,1) 处的法平面方程是 ________________ . 2 z = x
7．交换累次积分的顺序 8.
结论． 6.求过原点且与直线 7.求微分方程
0 x + 2 y + 3z + 4 = 垂直相交的直线方程． 0 2 x + 3 y + 4 z + 5 =
dy = xe y − 2 x 的通解. dx
= f ( x) 8.设连续函数 f ( x ) 满足方程
∫
3x
0
f
( 3t )dt + e2 x ,求 f ( x ) ．
∫ (x
L L
2
________ . + y 2 )ds =
2
9.设平面曲线 L : x 2 + y 2 = 1 ，则
∫ ( 2x
− xy + 3 y 2 )ds = _______ ． ___________ . ∫∫ ( x + y + z )dS =
S
∞
10.设 Σ 是平面 x + y + z = 1 在第一卦限部分，则
L
10．设幂级数
∞
∑ an x n 的收敛半径为 R1 ，幂级数 ∑ bn x n 的收敛半径为 R2 ，且 0 < R1 < R2 < +∞ ，
n =0 n =0 n
则幂级数
∞
∑ (a
n =0
+ bn )x n 的收敛半径为 ________ .
n +1
11.设
∑ an ( x − 1)
n =0
的收敛域为 [ −2, 4 ) ，则级数
3/9
∑ na ( x − 1)
n =0 n
∞
n
的收敛区间为 ______ .
2012 级高等数学（下）期末复习
12.微分方程 y + x 3 dx − 2 xdy = 0 满足 y |x =1 = 二.计算下列积分 1.计算二重积分
2
(
)
6 5
的特解为 _____________ .
∫∫ (x + y )dxdy
3. 设 z =
1 f (x +
x y
)
，其中 f ( u ) 可导，则
∂z = _________ . ∂x
2
4.设区域 = D
{( x, y ) | ( x + y ) ≤ x − y , x, y ∈ R} ，则 ∫∫ xy dxdy = _________ .
2 2 2 2 2
D
5. 两个圆柱体 y 2 + z 2 ≤ R 2 , z 2 + x 2 ≤ R 2 公共部分的表面积 S 等于 _______ . 6．设空间区域 Ω 由曲面 = z
∑ ( −1)
n =1
∞
n
sin
1 的绝对收敛性或条件收敛性． n
1 4.将函数 2 展开为 ( x − 2 ) 的幂级数，并求出收敛区间． x ∞ ∞ u u 5.设正项级数 ∑ un 、 ∑ vn 满足 n ≥ n +1 ( n = 1, 2,) ，试讨论这两个级数收敛性之间的关系并证明你的 vn vn +1 n =1 n =1
(
)
= dz 三．1.（1）
ϕ2′ ϕ1′ +ϕ2′
dx + ϕ ′ϕ+1ϕ ′ dy ； （2） z x =
1 2
′
1 2z
( −2 x + f −
y x
f′
)
2/9
2012 级高等数学（下）期末复习
= y = 2. x
6.
3
2v , z =
1 3 2
2v ;3.条件收敛；4. ∑
n =1
∞
( −1)
2
n −1
n
n +1
( x − 2)
n −1
, x ∈ ( 0, 4 ) 5.略；
x y z x ;8. f ( = x ) 3e3 x − 2e 2 x ； ；7. y = = = − ln +1 e −2 x ( 2 4 ) + C −2 1 4 x2 x2 x3 π 2 9.（1） s′ ( x ) = （2） s ( x ) = xs ( x ) + , s ( 0 ) = 0； − + e 2 − 1 ；10. V = ( e − 1) ， 2 2 2
2 2
(
)
cos 2 x 的连续函数 f ( x ) . ∫ f ( t ) sin tdt =
0
2
x
9.求曲面
x y z + 2 + 2 = 1( a > 0, b > 0, c > 0 ) 在第一卦限的切平面，使该切平面与三个坐标面围成的四面 2 a b c
体的体积为最小，并写出该四面体的体积. 10.求 f ( x, y, z ) = 复习题二参考答案 一 ． 1. − 3 2 ； 2. 1 ； 3. dx − 2dy ； 4. 7.
2012 级高等数学（下）期末复习
复习题（一） 一．填空题 1．设 a, b, c 是两两互相垂直的单位向量，且 p = α α + β β + γ c （其中 α , β , γ 是常数） ， 则 p = ________ . 2．设 z = e xy tan
∂z y ，则 = ________ . x ∂y
1+ e = A π e 2 + e 1 + e 2 − 2 + 1 + ln e + 1+ 2
(
2
)．
复习题（二） 一．填空题
________ . 1．设 a 、 b 、 c 都是单位向量，且满足 a + b + c = 0 ，则 a ⋅ b + b ⋅ c + c ⋅ a =
2．设 z = ln x + y
∫ dx ∫ f ( x, y ) dy = ________ .
0 x2
1
x
x 2 + y 2 ≤1
∫∫ ( x
2
+ y 2 ) dxdy = ________ .
1 3
9．设 L 是从 A (1, 0 ) 到 B ( −1, 2 ) 的线段，则曲线积分
∞ ∞
________ . ∫ ( x + y)ds =
1 y x y 2 x y
2
;
6.
∫
2π
0
dθ ∫ ρ d ρ ∫ f ( ρ cos θ , ρ sin θ , z )dz ；7. −18π ; 8. 54π ；9. 5π ；10.