课程编号 002201 课程中文名称 实变函数论 48学时 2学分
《实变函数》课程大纲
备注说明：
1.带*内容为必填项。
2.课程简介字数为300-500字；课程大纲以表述清楚教学安排为宜，字数不限。
专业必修课
授课对象
（Audience）
数学系本科生
授课语言
(Language of
Instruction)
中文或英文
*开课院系
（School）
数学系
先修课程
（tructor）
课程网址
(Course Webpage)
无
*课程简介（Description）
*课程简介（Description）
The Course is one of the core courses for the above majors. It is required for all math majors. The following topics are covered in this course:
《实变函数》课程简介
每周3学时，共16周。
1． 集与点集（10学时）
集及其运算； 映射，集的对等，可列集； 一维开集，闭集及其性质 ；开集的造 ； 集的势，序集 ；习题课。
2． 勒贝格测度（10学时）
有界点集的内、外测度，可测集；可测集的性质；关于测度的几点评注； 环与环上定义的测度；习题课。
鸟欲高飞先振翅，人求上进先读书。——李苦禅
《实变函数》课程简介
06110190 实变函数 3
The function theory of real variables 3-0
预修课程： 数学分析
面向对象：数学系本科生
《实变函数》的内容包含五大部分：第一部分为集与点集，包括朴素集合论与点集拓扑的基本知识；第二部分为勒贝格测度，包括勒贝格测度的引人，内测度，外测度，可测集的性质；第三部分为可测函数，包括可测函数的基本性质，可测函数的收敛性，可测函数的构造；第四部分为勒贝格积分，包括勒贝格积分的引人，积分性质，积分序列的极限，R积分L积分的比较等；第五部分为函数空间。
3．可测函数（10学时）
可测函数的基本性质； 可测函数的收敛性；可测函数的构造；习题课。
4．勒贝格积分（13学时）
勒贝格积分的引入；积分的性质；积分序列的极限 ；R积分与L积分的比较； 乘积测度与傅比尼定理；习题课。
5．函数空间（6学时）
空间，完备性；空间的可分性；付里叶变式概要。
6．复习课（3学时）
三、教学方式：
课堂讲授
四、相关教学环节安排：
1． 每章2学时习题课；
2. 每周布置作业，量为3-5小时。
五、考试方式及要求：闭卷。
六、推荐教材或主要参考书：
数学与统计学院数学与应用数学专业课程教学大纲实变函数论教学
数学与统计学院数学与应用数学专业课程教学大纲实变函数论教学大纲（试行草案）（ 2008年8月试行）一、说明（一）课程性质《实变函数论》是数学与应用数学专业、信息与计算科学、统计学等专业的一门专业必修课．实变函数论是现代分析数学的基础理论之一，主要采用集合分析的方法研究实函数的性质，它的建立使人们扩大与深化了对实函数的认识，其结果在概率论、泛函分析、拓扑学、微分方程等许多数学分支中有广泛的应用.（二））教学目标及要求通过本课程的学习，可以使学生了解与掌握近代抽象分析的基本思想，有助于发展学生分析论证和逻辑思维的能力，同时可以加深对数学分析知识的理解.（三）教学内容本课程教学内容主要有：集合与基数，R n 中的点集、测度、可测函数、Lebesgue 积分论.（四）教学时数及学分72学时，学分：4分.二、本文一 集合与基数(12学时)[[教教学学要要点点]]1、集合及其代数与极限运算.2、映射，集合的对等与基数，基数的比较.3、可数集，可数集的性质与判断，典型可数集（有理数集等）.4、不可数集，[0，1]的不可数性，不可数集的判断.[[教教学学内内容容]]1、 集合及其运算集合的概念；集合的代数运算（并、交、差、余）与集合的极限运算（上、下限集、极限集）2、对等与基数映射、1—1对应.与对等；基数概念.，基数的比较，Bernstein 定理.．3、可数集合可数集的概念；可数集的性质；一些典型的可数集．4、不可数集合不可数集的概念；区间[a ，b]及1R 、mR 、∞E 的基数.；最大基数的不存在性. 二 R n 中的点集(10学时)[[教教学学要要点点]]1、R n 中点集的拓扑性质及判断.2、R n 中有界点集的性质，聚点定理，有限复盖定理.3、直线上开集、闭集与完备集的构造，Cantor 集的构造与性质.[[教教学学内内容容]]1． 聚点、内点、界点度量空间、n 维欧氏空间；聚点、内点、边界点的定义及性质，聚点定理．2． 开集、闭集与完备集开集、闭集的定义；开集、闭集的性质；有限复盖定理；完备集．3． 直线上开集、闭集与完备集的构造直线上开集的构造；直线上闭集与完备集的构造，Cantor 三分集.．三 Lebesgue 测度论(14学时)[[教教学学要要点点]]1、外测度的定义及性质.2、卡氏条件，可测集的定义及性质.3、可测集类，Borel 集，δG 集、σF 集.[[教教学学内内容容]]1、外测度外测度概念；外测度的性质2、可测集卡氏条件与可测集定义；. 可测集的性质.3、可测集类区间、开集、闭集的可测性；.σ—代数与Borel 集.；δG 与σF 型集；可测集的构造；不可测集 四 可测函数(16学时)[[教教学学要要点点]]1、可测函数的定义及其等价形式，典型的可测函数（连续函数、单调函数、简单函数等）2、可测函数的性质，可测函数关于四则运算及极限运算的封闭性.3、可测函数列的构造，依测度收敛与几乎处处收敛的概念及其关系，Egoroff 定理，Riesz 定理、Lebesgue 定理.4、可测函数的构造，Lusin 定理.[[教教学学内内容容]]1、可测函数及其性质可测函数定义及其等价形式；可测函数的性质（四则运算、极限运算、可测函数与简单函数的关系）；.命题的a.e.成立.2、Egoroff 定理Egoroff 定理及其证明.3、可测函数的结构，Lusin 定理Lusin 定理及证明；Lusin 定理的意义4、依测度收敛依测度收敛的定义； Riesz 定理、Lebesgue 定理五 积分理论(20学时)[[教教学学要要点点]]1、有界函数的L 积分，一般L 可积函数的定义、性质及判定，积分的绝对连续性及应用.2、积分极限定理及应用.3、L 积分与R 积分的关系.4、Fubini 定理5、有界变差函数6、不定积分与绝对连续函数7、L 积分的N —L 公式，分部积分法[[教教学学内内容容]]1、L 积分的定义R 可积的等价条件，R 积分的缺陷；L 上、下积分，L 可积的定义及可积条件； L 积分与R 积分的关系.2、L 积分的性质L 积分的线性性质，积分不等式性质.3、积分的绝对连续性非负函数情形；一般函数情形；一般L 积分的性质．4、积分极限定理L 控制收敛定理；Levi 定理；Fatou 定理5、Fubini 定理截面定理；Fubini 定理6、有界变差函数有界变差函数的定义；有界变差函数的性质7、不定积分不定积分的定义；绝对连续函数概念；L 积分的N —L 公式，分部积分公式．.三、参考教材1、程其襄等．实变函数与泛函分析基础．北京：高等教育出版社，1983．2、江泽坚，吴智泉．实变函数论．北京：高等教育出版社，1994．3、郑维行，王声望．实变函数与泛函分析概要．北京：高等教育出版社，2003．注：*为选讲内容。
课程编号002201课程中文名称实变函数论48学时2学分讲解
课程编号 002201 课程中文名称实变函数论48学时/ 2学分英文译名：Real Variable Functions适用领域：数学、力学、计算机、控制理论等开课单位：理学院任课教师：杨海欧教学目的：把现代分析学中的要点测度论与积分学介绍给博士生，这些内容是现代分析数学的基础，是深入研究微分方程、泛函分析、概率等内容不可或缺的工具。
目的是让学生接受严格的数学思维训练，引导学生掌握这些知识并使他们可以阅读理解当代文献预备知识或先修课程要求：微积分（数学分析）、线性代数、偏微分方程（数学物理方程）、概率论与数理统计教学方式及学时分配：课堂授课40学时，讨论8学时教学主要内容以及对学生的要求：第一章集合与势1.理解集合的概念2.会进行集合运算3.理解对等与基概念4.理解（不）可列集概念，了解常见（不）可列集5.掌握实数定理，了解开、闭集关系与康托集第二章勒贝格测度1．理解内外测度的概念，掌握其性质2. 理解可测集概念，掌握可测集性质3．了解无界可测集第三章勒贝格可测函数1. 理解可测函数的概念，掌握可测函数的性质2. 理解叶果洛夫定理，并会运用它3. 掌握函数列的收敛性4．了解可测集的构造5. 理解鲁津定理，法都定理并会运用6. 掌握几乎处处收敛、依测度收敛和近一致收敛的概念和相关结论第四章勒贝格积分1. 了解黎曼积分的概念2. 理解勒贝格积分的概念，了解性质与黎曼积分的关系3 理解一般可积函数概念，了解它们的性质4. 理解积分的极限定理，并会运用5. 了解勒贝格积分的几何意义，理解Fubini定理6. 了解有界变差函数的概念及性质7. 了解斯蒂阶积分的概念8. 了解勒贝格-斯蒂阶积分的概念9. 掌握R积分与L积分的区别内容摘要：自从20世纪初Lebesgue在Borel测度基础上建立了Lebesgue测度和Lebesgue积分以来，在数学的许多领域中，如在实分析、复分析、调和分析、泛函分析、微分方程、及偏微分方程中，都产生了极大影响，它还有助于概率理论的建立，对于上世纪末才发展的分形几何也起着引导作用。
《实变函数》教学大纲
《实变函数》教学大纲一、课程名称：《实变函数论》二、课程性质：数学与应用数学专业必修课，信息与计算科学专业选修课先修课程：数学分析、高等代数、复变函数论、常微分方程等课程三、课程的地位及教学目的《实变函数》是在数学分析的基础上发展起来的一门学科，是数学专业的一门重要的专业基础课。
其内容主要是以n维欧氏空间上的实值函数为对象，介绍勒贝格测度和勒贝格积分理论。
《实变函数》这一课程无论在思想方法上，还是在理论上都把数学分析往前推进了一步，在经典数学与现代数学之间起着承前启后的作用。
教学目的是通过对该课程的学习，使学生掌握《实变函数》的基本理论和基本方法，特别是勒贝格测度理论和勒贝格积分理论，进一步充实、拓宽和加深已经学过的数学基础知识和分析功底，提高对数学概念和数学方法的认识水平，同时也提高学生分析抽象问题和解决应用问题的能力，为今后从事《分析学》领域的研究工作打下坚实的基础。
四、教学原则与教学方法按照数学学科的特点和规律，《实变函数》这一课程应采取精讲、讨论与自学相结合的手段。
考虑到《实变函数》这一课程具有高度的抽象性，在教学过程中应主要采用精讲的方式，个别内容可以进行讨论或留给学生自学。
采取教师讲授、师生互动讨论式和问题式的教学方法，充分调动学生的学习积极性，达到教学目的。
五、总学时68课时（含复习考试）六、课程教学内容要点及建议学时分配第一章集合（10学时）一、教学目的与要求通过对这一章内容的学习，让学生理解和掌握（1）集合的运算，重点是无穷集合的运算及集合的极限运算；（2）掌握基数概念，理解并较熟练应用伯恩斯坦定理；（3）掌握可数集和不可数集的基本知识。
二、教学原则与教学方法综合运用线性代数，数学分析的相关知识，将集合的运算推广到无穷多个集合上；引入集合间的对等概念进而给出基数概念，进而讨论与此有关的一系列相关问题，如集合列的收敛性、可数集、不可数集的性质的讨论等。
教学方法以讲解和讨论为主。
1.1 集合的概念1.2* 集合的运算（2课时）1.3* 对等与基数（4课时）1.4* 可数集与不可数集（4课时）1.5 半序集与Zorn引理（简单介绍）作业要求：完成13~15道基础性练习题，1~2提高性练习题。
实变函数课程基本信息
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实变函数课程基本信息
目录
• 课程简介 • 实变函数的定义与性质 • 实变函数的积分与微分 • 实变函数的极限与连续性 • 实变函数的学习方法与建议
01
课程简介
课程背景
01
实变函数是数学专业的一门重要 课程，是进一步学习泛函分析、 概率论等课程的基础。
02
该课程主要介绍实变函数的定义 、性质、积分、微分等基本概念 和定理，以及其在数学分析中的 应用。
03
微分计算
实变函数的微分可以通过导数 的基本公式、链式法则、乘积 法则等计算方法进行计算。
04
微分应用
实变函数的微分在求函数极值 、优化问题、近似计算等领域 有着广泛的应用。
实变函数积分与微分的关系
微积分基本定理
实变函数的积分和微分之间存在密切的联系 ，微积分基本定理是它们之间的桥梁。
导数的积分
连续的性质
连续函数具有局部有界性、局部保序 性、介值定理和零点定理等性质。
实变函数极限与连续性的关系
1
极限与连续的关联
实变函数的极限和连续性是密切相关的 概念。函数的连续性可以由其极限性质 推导出来，而函数的极限性质也可以通 过连续性来研究。
2
连续不一定有极限
虽然连续函数在其定义域内每一点都存 在极限，但并不是所有函数都满足这一 性质。例如，狄利克雷函数在某些点处 不具有极限。
如果一个函数在某区间上可积，那么它的积 分函数在该区间上的导数等于原函数在该区
间上的值。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
积分的导数
如果一个函数在某区间上可导，那么它的导 数在该区间上的积分等于原函数在该区间上 的增量。
微分与积分的关系
课程编号003201课程中文名称数学物理方法48学时3学分-理学院
课程编号：003201课程中文名称：数学物理方法48学时/ 3学分英文译名：Mathematics method in physics适用领域：工程技术及自然科学各领域开课单位：理学院任课教师：罗跃生，于涛教学目的：使学生掌握解决实际问题的这一有力的手段，并提高利用数学物理方法解决科学技术领域出现的问题的能力。
预备知识或先修课程要求：高等数学、常微分方程、线性代数、复变函数。
教学主要内容及对学生的要求：复变函数及应用，积分变换，求解偏微分方程的分离变数法及特殊函数方法，格临函数法等。
要求学生掌握复变函数的微分、解析、级数、积分等理论，并学会利用复变函数理论来研究函数的性质，分析微分方程的解。
求解较复杂的实积分等问题的方法，掌握拉普拉斯变换，傅里叶变换的概念、性质及应用方法。
学会利用分离变数法及特殊函数求解偏偏微分方程的方法，学会利用格临函数法、积分变换法等方法求解偏微分方程的技巧。
内容摘要：数学物理方法是解决物理学、力学、工程技术等领域中问题的有力数学手段，利用数学物理方法可以更科学、更准确地描述自然界和科学技术领域中出现的很多现象，并能更精确地计算出相应的结果。
主要内容包括：复数的基本概念、解析函数、初等函数、复数积分、级数、单值函数的孤立奇点、残数理论及其在积分上的应用、含参数的积分、拉普拉斯变换及傅里叶变换、线性常微分方程的级数解法和积分解法、偏微分方程的导出及定解问题导数的实际例子、分离变数法、特殊函数、格临函数等。
考核方式：开卷，笔试。
课程主要教材：数学物理方法．郭敦仁．人民教育出版社，1983主要参考书目：[1]数学物理方法．管平,计国君,黄骏．高等教育出版社，2003[2]数学物理方法．胡嗣柱,倪光炯．高等教育出版社，2002[3]数学物理方法．陆全康,赵慧芬．高等教育出版社，2002[4]数学物理方法．刘连寿,王正清．高等教育出版社，2002课程编号003202课程中文名称数值计算32学时/ 2学分英文译名：Numerical Computation适用领域：自然科学各领域开课单位：理学院数学系任课教师：沈艳教学目的：通过本课程的学习使学生了解数值计算是随着计算机产生发展而建立的一个重要数学分支，它是一门研究适合于在计算机上使用、实际可行、理论可靠、求取复杂的数学问题的数值解的方法、过程和理论。
《实变函数论》课程教学标准
《实变函数论》课程教学标准第一部分：课程性质、课程目标与要求《实变函数论》课程，是我院数学与应用数学本科专业的必修课程，是数学分析课程的继续和提高，也是进—步学习其他课程(例如概率论、泛函分析、傅立叶分析等)的基础,是系统地培养数学及其应用人才的重要的专业主干课程之一。
本课程的目的是培养学生具有抽象思维能力、逻辑推理能力和综合运用所学的知识分析和解决问题的能力。
通过系统的学习与严格的训练，使学生全面掌握实变函数论的基本理论知识,掌握实变函数论的基本方法，使学生在实分析方面具有较强的分析和解决问题的能力。
实变函数论的教学除体现本课程严格的逻辑体系外，也要反映现代数学的发展趋势，吸收和采用现代数学的思想观点与先进的处理方法，提高学生的数学修养。
在实变函数论的教学中，应强化实变函数论与相邻学科之间的联系，强调应用背景，充实理论的应用性内容。
教学时间应安排在第五学期。
建议在条件允许的情况下，介绍利用常用的数学软件解决数学问题的基本方法和技能，使学生初步体会计算机在解决数学及其应用问题的重要作用，增强使用数学方法和计算机解决问题的意识和能力。
第二部分：教材与学习参考书本课程拟采用由华中科技大学胡适当耕等人编写的、高等教育出版社1999年出版的《实变函数论》一书，作为本课程的主教材。
为了更好地理解和学习课程内容，建议学习者可以进一步阅读以下几本重要的参考书：1.实变函数，周民强，北京大学出版社，1996年第二版2.实变函数论，江泽坚、吴智泉，高等教育出版社，1994年第二版3.实变函数与泛函分析基础，程其襄、张奠宙等，高等教育出版社，1988年第二版4.实变函数与泛函分析（上册），夏道行、严绍宗等，高等教育出版社，1985年第二版5.实变函数论，那汤松，高等教育出版社，1958年第三部分：教学内容纲要和课时安排第一章集与点集本章介绍集合的概念及其运算，应用集的对等引进了集的基数的概念，在中引进几种重要类型的点，并引进几种重要类型的点集，阐明它们的本质特征以及彼此之间的区别与联系，给出开集（闭集）的结构定理.通过这一章的学习，学习者要学会求集合列的上、下极限；判断两集合的对等，求集合的基数，判断集合的可数性，掌握开集、闭集、完备集、稠集、疏集、Gδ型集和Fσ型集的概念及其性质，会求一个点集的内部、导集、闭包、边界；掌握Cantor集P的结构和性质.本章的主要教学内容（教学时数安排：14学时）：§1.1集合及其运算§1.2映射§1.3基数与可数性§1.4n R中的点集§1.5开集的结构、连续性§1.6关于n维点集的基本定理第二章测度与可测函数本章引进Lebesgue测度与抽象测度的概念，给出测度的主要性质；引进可测函数的概念，讨论可测函数的性质；讨论可测函数与连续函数之间的关系，给出可测函数的结构；讨论可测函数列的几种不同类型的收敛性概念及其相互关系。
大学数学《实变函数》电子教案
《实变函数》电子教案（重庆邮电大学数理学院邓志颖）课程名称：实变函数学时/学分：48/3.0教材名称：实变函数与泛函分析基础（第三版）出版社：高等教育出版社编著者：程其襄等适用专业：数学与应用数学专业(大三上学期)序言： 实变函数简介微积分发展的三个阶段：•创立（17世纪）：Newton （力学）Leibniz （几何）(无穷小)•严格化（19世纪）: Cauchy, Riemann, Weierstrass(极限理论(ε-N, ε-δ语言)，实数理论)•外微分形式（20世纪初）：Grassmann, Poincare, Cartan （微积分基本定理如何在高维空间得到体现）微积分继续发展的三个方向：•外微分形式 (整体微分几何)（微积分基本定理如何在高维空间得到体现）•复数域上的微积分（复变函数）•微积分的深化和拓展（实变函数）1.Riemann 积分回顾：(1) Riemann 积分的定义||||01()()lim()nbiiaT i R f x dx f x ξ→==∆∑⎰ 其中11,ii i i i i xx x x x ξ--∆=-≤≤积分与分割、介点集的取法无关.几何意义（非负函数）：函数图象下方图形的面积。
(2) Riemann 可积的充要条件()f x 在[,]a b 上Riemann 可积||||01()limnbiiaT i f x dx M x →=⇔=∆∑⎰||||01lim ()nbiiaT i m x f x dx →==∆=∑⎰其中：11sup{():}inf{():}i i i i i i M f x x x x m f x x x x --=≤≤=≤≤0,ε⇔∀>∃分划T ，使得1ni i i x ωε=∆≤∑0,εη⇔∀>∃，分划T ，使得所有振幅i ωη≥的小区间i ∆的总长度不超过ε.例：Dirichlet 函数不Riemann 可积.1[0,1]()0[0,1]x QD x x Q∈⋂⎧=⎨∈-⎩ 因为上积分为||||01()lim1nbiiaT i f x dx M x→==∆=∑⎰下积分为||||01()lim0nbiiaT i f x dx m x→==∆=∑⎰所以对于∀分划T ，有11niii xω=∆=∑所以Dirichlet 函数不Riemann 可积. （3)Riemann 积分的局限性)a 微积分基本定理定理：若'()F x 在[,]a b 上连续，则()'()()()xaR F t dt F x F a =-⎰1881年Volterra 作出一可微函数，导函数有界但不Riemann 可积；)b 积分与极限交换次序（一般要求一致收敛）例：设{}n r 为[0,1]中全体有理数(因为其为可数集，故可把它排成序列)，作[0,1]上的函数列1231231{,,,,}()1,2,3,0[0,1]{,,,,}n n n x r r r r f x n x r r r r ∈⎧==⎨∈-⎩则{()}n f x 在[,]a b 上Riemann 可积,但1[0,1]lim ()()0[0,1]n n x Qf x D x x Q →∞∈⋂⎧==⎨∈-⎩不Riemann 可积. 故对一般收敛函数列，在Riemann 积分意义下极限运算与积分运算不一定可交换次序，即：lim ()lim ()bbn n aan n f x dx f x dx →∞→∞=⎰⎰不一定成立.2.Lebesgue 积分思想简介：为使()f x 在[,]a b 上Riemann 可积，按Riemann 积分思想，必须使得分划后在多数小区间上的振幅足够小，这迫使在较多地方振动的函数不可积.Lebesgue 提出，不从分割定义域入手，而从分割值域入手；即采取对值域作分划，相应得到对定义域的分划（每一块不一定是区间），使得在每一块上的振幅都很小，即按函数值的大小对定义域的点加以归类对此Lebesgue 自己曾经作过一个比喻，他说：● 假如我欠人家一笔钱，现在要还，此时按钞票的面值的大小分类，然后计算每一类的面额总值，再相加，这就是Lebesgue 积分思想；● 如不按面额大小分类，而是按从钱袋取出的先后次序来计算总数，那就是Riemann积分思想 即：0,δ∀> 作分划012n m y y y y M =<<<<=其中1,()i i y y m f x M δ--<≤<作点集1{:()}i i i E x y f x y -=≤<()f x 在i E 上的振幅不会大于δ. 作和：1ni ii s mEξ==∑i mE 表示i E 的“长度，1i i i y y ξ-≤<取极限：[,]1()()lim ni i a b i L f x dx mE δξ→==∑⎰3.Lebesgue 积分构思产生的问题：● （1） 先介绍集合i E （第一章集合，第二章点集） ● （2） 集合i E 的“长度”如何定义（第三章 测度论）； ● （3） 怎样的函数可使i E 都有“长度”（第四章 可测函数）；● （4） 定义Lebesgue 积分并研究其性质（第五章 积分论）；● （5） 将牛顿—莱布尼兹公式加以推广（第六章 微分与不定积分）● 教材：实变函数论与泛函分析基础（第三版）,程其襄等编, 高等教育出版社，2010年6月.参考文献：● 实变函数论（第二版）,江泽坚,吴智泉编, 高等教育出版社，2003年7月. ● 周民强，实变函数(论)，北京大学出版社，1995.6(2001) ● 周性伟，实变函数，科学出版社，1998.9 ● 胡适耕，实变函数，高等教育出版社，1999.7● 徐森林，实变函数论，中国科学技术大学出版社，2002● 郑维行等，实变函数论与泛函分析概要，高等教育出版社,1987 ● 夏道行等，实变函数论与泛函分析，高等教育出版社，1983.2 ● Halmos ，测度论(Measure theory)● Rudin , 实分析与复分析(Real and complex analysis).教时安排：第一章 集合 6学时，第二章 点集 6学时，第三章 测度论 8学时，第四章 可测函数 10学时，第四章 积分论 12学时，第六章 微分与不定积分 6学时，共六章 48学时。
《实变函数》课程教学大纲
课程教学大纲《实变函数》（适用于数学与应用数学专业）数学系2007年8月课程编号：04024212《实变函数》课程教学大纲（Real variable function）适用专业：数学与应用数学，本科总学时：72 (均为理论) 学分：4制定单位：数学系执笔者：张菊芳审核人：高巧琴编写日期：2007年8月20日一、课程性质、目的和任务《实变函数论》是高等师范院校数学与应用数学专业的一门必修课程。
它主要应用点集分析的方法建立n维欧氏空间中点集的Lebesgue测度理论和点集上定义的Lebesgue 积分理论。
通过这门课程的教学应使学生掌握近代抽象分析的基本思想，系统掌握Lebesgue测度和Lebesgue 积分理论，着重培养学生的思维能力和逻辑推理能力，为进一步钻研现代数学理论打下基础。
该课程的内容可归结为三大论：集合论、测度论、积分论,主要讲解Cantor 开创的集合的基论，Lebesgue 关于集合测度、函数的可测性、可测函数积分的理论。
一元函数的Lebesgue 积分是核心内容。
二、课程教学的基本要求第一章集合1．重点：集合的基本概念、集合的基数（特别是可数基数与连续基数）、一一映射和Bernstein定理。
2．难点：上、下限集概念及做一一映射和判定集合的势。
注意区别有限集与无限集，能否与真子集对等是区别两者的关键。
3．教学基本要求§ 1.1 集合弄清集合的基本概念。
§ 1.2集合的运算熟练掌握集合的并、交、差等运算，正确地运用De.Morgan公式，熟悉上下极限集的并交表达式，掌握单调集列的极限集。
§ 1.3 映射、对等和集合的基数理解映射、对等和基数的概念，理解一一对应的思想，理解并能应用伯恩斯坦定理，掌握验证二集对等的基本方法。
§ 1.4 可数集合深刻理解可数集及其基数的定义，理解可数集是最小的无限集，掌握本节中几个定理及其证明方法，并能运用它们证明一个集合为可数集。
实变函数论教学大纲
218.114.1实变函数论教学大纲(Functions of Real Variable)学分数 3 周学时 3+1一、说明1、课程名称：实变函数论（一学期课程）学时：（3+1）×182、教学目的和要求（1）课程性质：本课程是数学系基础课，为数学系本科学生所必修。
（2）基本内容：本课程主要是以n维Euclid空间及其上实值函数为背景，运用点集分析的方法建立测度与积分的理论，具体内容包括：集合、映射，R n中点集的拓朴，可测集和可测函数，积分理论，微分和不定积分。
（3）基本要求：通过本课程的学习，学生应熟练掌握关于可测集、可测函数的概念和性质，深刻理解并掌握Lebesgue积分的理论，并在学习过程中形成抽象思维能力和逻辑推理能力的一个飞跃。
3、教学方式：课堂讲授+习题课训练4、考试方式：闭卷笔试5、教材：《实变函数论与泛函分析》（上册），夏道行等编，高等教育出版社，1984《实变函数与泛函分析》，自编讲义参考书：《实变函数论》，那汤松，高等教育出版社，1958《Real and Abstract Analysis》, Hewitt E., Stromberg K., Springer-Verlag,1975.二、讲授纲要（其中学时数不包括习题课时间）第一章集合和R n中的点集（10学时）§1 集和集的运算（2学时）§2 映射和势（4学时）§3 R n中的点集（4学时）本章教学要求熟练掌握集合的代数运算和极限运算，能应用Bernstein定理确定一些集合的势，熟悉R n的点集拓扑中关于开集、闭集、稠密与疏朗等基本概念。
第二章测度（12学时）§1 外测度与可测集（4学时）§2 测度及其性质（4学时）§3 可测集类（4学时）本章教学要求：掌握外测度的概念，正确理解Caratheudory条件，熟练掌握测度及其性质，熟悉一些重要的可测集类，理解不可测集的典型例子。
课程编号 002201 课程中文名称 实变函数论 48学时 2学分
课程编号 002201 课程中文名称实变函数论48学时/ 2学分英文译名：Real Variable Functions适用领域：数学、力学、计算机、控制理论等开课单位：理学院任课教师：杨海欧教学目的：把现代分析学中的要点测度论与积分学介绍给博士生，这些内容是现代分析数学的基础，是深入研究微分方程、泛函分析、概率等内容不可或缺的工具。
目的是让学生接受严格的数学思维训练，引导学生掌握这些知识并使他们可以阅读理解当代文献预备知识或先修课程要求：微积分（数学分析）、线性代数、偏微分方程（数学物理方程）、概率论与数理统计教学方式及学时分配：课堂授课40学时，讨论8学时教学主要内容以及对学生的要求：第一章集合与势1.理解集合的概念2.会进行集合运算3.理解对等与基概念4.理解（不）可列集概念，了解常见（不）可列集5.掌握实数定理，了解开、闭集关系与康托集第二章勒贝格测度1．理解内外测度的概念，掌握其性质2. 理解可测集概念，掌握可测集性质3．了解无界可测集第三章勒贝格可测函数1. 理解可测函数的概念，掌握可测函数的性质2. 理解叶果洛夫定理，并会运用它3. 掌握函数列的收敛性4．了解可测集的构造5. 理解鲁津定理，法都定理并会运用6. 掌握几乎处处收敛、依测度收敛和近一致收敛的概念和相关结论第四章勒贝格积分1. 了解黎曼积分的概念2. 理解勒贝格积分的概念，了解性质与黎曼积分的关系3 理解一般可积函数概念，了解它们的性质4. 理解积分的极限定理，并会运用5. 了解勒贝格积分的几何意义，理解Fubini定理6. 了解有界变差函数的概念及性质7. 了解斯蒂阶积分的概念8. 了解勒贝格-斯蒂阶积分的概念9. 掌握R积分与L积分的区别内容摘要：自从20世纪初Lebesgue在Borel测度基础上建立了Lebesgue测度和Lebesgue积分以来，在数学的许多领域中，如在实分析、复分析、调和分析、泛函分析、微分方程、及偏微分方程中，都产生了极大影响，它还有助于概率理论的建立，对于上世纪末才发展的分形几何也起着引导作用。
实变函数课程简介
实变函数课程简介一、课程在本专业的定位《实变函数》是我校数学类各专业的一门重要专业基础课，它不仅是学习后继课程的一种工具，而且是一种思维模式；不仅是一种知识，而且是一种素养. 同时它也是报考研究生的入学考试科目. 因此，实分析教学的好坏直接影响到21世纪人才的培养，进而影响到我国的科技发展水平与现代化进程.实变函数论是现代数学的重要基础，人们常以实变函数理论的出现作为现代数学的主要分支---现代分析数学诞生的标志。
实变函数的中心任务是建立一种较之旧的积分---黎曼积分更为灵便的积分---勒贝格（Lebesgue）积分理论。
采用集合论的思想方法研究数学分析中的问题是实变函数的主要特点。
目前，实变函数理论已渗透到现代数学的许多分支，它在数学各个分支的应用成为现代数学的显著特征。
实变函数论是数学类各专业的一门重要专业基础课，它直接影响到该专业的许多后续课程，例如泛函分析、概率论、数理统计、测度论、计算方法、偏微分方程、分形几何、小波分析、调和分析、随机过程和随机分析等课程。
由于思想方法独特，它的许多理论比起经典的分析学要深刻得多，应用起来也便利得多。
例如函数黎曼可积的充分必要条件是函数几乎处处连续；积分与极限交换不再要求一致收敛；重积分化为累次积分只需函数是可积的，等等。
另外，许多初等数学的基本概念和内容也需要实变函数的理论才能解释清楚。
二、本课程的目标：1.了解近代抽象分析的基本思想；掌握集合测度的基本思想、基本方法；掌握可测函数的概念与基本性质；了解可测函数列的收敛性、可测函数与连续函数的关系；掌握Lebesgue积分的基本思想、基本性质以及积分极限定理及其应用；能较深刻理解测度和Lebesgue积分的必要性，掌握建立测度和Lebesgue积分的步骤；了解重积分与累次积分的关系；掌握有界变差函数与绝对连续函数的基本性质，了解微积分学基本定理在Lebesgue积分情形下的推广等等，为进一步学习和研究现代数学理论打下初步的基础；2.培养学生抽象思维、空间想象、逻辑推理和熟练地运算能力；3.掌握学习方法，培养自学能力；4.应用数学方法解决实际问题的能力。
实变函数与泛函分析I课程教学大纲
实变函数与泛函分析I课程教学大纲（总学时数：48，学分数：3）一、课程的性质、任务和目的实变函数是数学专业必修课之一，是近代分析数学领域的基础。
本课程数学思想与方法密集，是进一步掌握现代数学理论，开展理论和应用研究必不可少的基础课程。
通过本课程的学习，使学生掌握实变函数的基本理论、基本知识与基本方法，为以后进一步的深入学习打下坚实的基础。
二、课程基本内容和要求（一）集合1.集合（1）集合的概念（理解）（2）集合的表示（掌握）（3）集合的运算（掌握）2.对等与基数（1）集合的对等（理解）（2）集合的基数（理解）（3）Bernstein定理（掌握）3.可数集合（1）可数集合的概念（理解）（2）可数集合的性质（掌握）（3）常见的可数集合（掌握）4.不可数集合（1）不可数集合的概念（理解）（2）常见的不可数集合（了解）重点：对等、基数、可数集合、不可数集合难点：对等（二）点集1.度量空间（1）距离的概念（理解）（2）度量空间的概念（理解）（3）邻域及性质（掌握）（4）n维欧氏空间（掌握）2.聚点、内点、界点（1）聚点的概念（理解）（2）内点的概念（理解）（3）界点的概念（理解）3.开集、闭集、完备集（1）开集的概念（理解）（2）闭集的概念（理解）（3）完备集的概念（理解）（4）有限覆盖定理（掌握）4. 直线上开集、闭集及完备集的构造（1）直线上开集的构造（掌握）（2）直线上闭集及完备集的构造（掌握）（3）康托尔三分集（了解）重点：聚点、内点、界点、开集、闭集难点：完备集（三）测度论1.外测度（1）外测度的概念（理解）（2）外测度的性质（掌握）2.可测集（1）可测集的概念（理解）（2）可测集的性质（掌握）3.可测集类重点：外测度、可测集的概念及相关理论难点：不可测集的构造。
（四）可测函数1.可测函数及性质（1）可测函数的概念（理解）（2）可测函数的性质（掌握）2.叶果洛夫定理（掌握）3.可测函数的构造（掌握）4.依测度收敛（1）依测度收敛的概念（理解）（2）依测度收敛的性质（掌握）重点：可测函数、依测度收敛难点：可测函数的构造（五）积分论1.非负简单函数的勒贝格积分（1）非负简单函数勒贝格积分的概念（理解）（2）非负简单函数勒贝格积分的性质（掌握）2.非负可测函数的勒贝格积分（1）非负可测函数勒贝格积分的定义（理解）（2）非负可测函数勒贝格积分的性质（掌握）（3）Levi定理（掌握）（4）Foutou引理（掌握）3.可测函数的勒贝格积分（1）可测函数勒贝格积分的概念（理解）（2）可测函数勒贝格积分的性质（掌握）（3）Lebesgue积分的绝对连续性（掌握）（4）Lebesgue控制收敛定理（掌握）重点：非负函数的积分的定义，可积函数的性质难点：一般可积函数的积分定义、性质。
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课程编号 002201 课程中文名称实变函数论48学时/ 2学分英文译名：Real Variable Functions适用领域：数学、力学、计算机、控制理论等开课单位：理学院任课教师：杨海欧教学目的：把现代分析学中的要点测度论与积分学介绍给博士生，这些内容是现代分析数学的基础，是深入研究微分方程、泛函分析、概率等内容不可或缺的工具。
目的是让学生接受严格的数学思维训练，引导学生掌握这些知识并使他们可以阅读理解当代文献预备知识或先修课程要求：微积分（数学分析）、线性代数、偏微分方程（数学物理方程）、概率论与数理统计教学方式及学时分配：课堂授课40学时，讨论8学时教学主要内容以及对学生的要求：第一章集合与势1.理解集合的概念2.会进行集合运算3.理解对等与基概念4.理解（不）可列集概念，了解常见（不）可列集5.掌握实数定理，了解开、闭集关系与康托集第二章勒贝格测度1．理解内外测度的概念，掌握其性质2. 理解可测集概念，掌握可测集性质3．了解无界可测集第三章勒贝格可测函数1. 理解可测函数的概念，掌握可测函数的性质2. 理解叶果洛夫定理，并会运用它3. 掌握函数列的收敛性4．了解可测集的构造5. 理解鲁津定理，法都定理并会运用6. 掌握几乎处处收敛、依测度收敛和近一致收敛的概念和相关结论第四章勒贝格积分1. 了解黎曼积分的概念2. 理解勒贝格积分的概念，了解性质与黎曼积分的关系3 理解一般可积函数概念，了解它们的性质4. 理解积分的极限定理，并会运用5. 了解勒贝格积分的几何意义，理解Fubini定理6. 了解有界变差函数的概念及性质7. 了解斯蒂阶积分的概念8. 了解勒贝格-斯蒂阶积分的概念9. 掌握R积分与L积分的区别内容摘要：自从20世纪初Lebesgue在Borel测度基础上建立了Lebesgue测度和Lebesgue积分以来，在数学的许多领域中，如在实分析、复分析、调和分析、泛函分析、微分方程、及偏微分方程中，都产生了极大影响，它还有助于概率理论的建立，对于上世纪末才发展的分形几何也起着引导作用。
正因为如此，我们说实变函数的研究内容、研究方法均为现代分析的基础，并渗透到数学各分支. 《实变函数论》把研究对象扩大到定义在可测集上的可测函数，并运用集合论的观点对函数及其定义域作更加细致的剖析。
这使得实分析处理问题的思想方法更加活跃，可使微积分在较宽松的环境中加以运用。
实变函数论和古典数学分析不同，它是一种比较高深精细的理论，是数学的一个重要分支，它的应用广泛，它在数学各个分支的应用是现代数学的特征．课程编号002202 课程中文名称高级统计学32学时/ 2学分英文译名：Advanced Statistics适用领域：自然科学、社会科学、工程技术等领域开课单位：理学院任课教师：王锋教学目的：高级统计学主要介绍的是多元统计分析的内容。
多元统计分析是统计学中内容十分丰富、应用性极强的一个重要分支，它在自然科学、工程技术、社会科学和经济学等领域都得到了广泛的应用，是一种非常重要和实用的多元数据处理方法。
开设这门课程的目的是使学生系统地了解多元统计分析的基本概念和基本原理，掌握一些常用的多元统计思想和统计方法，培养其分析自然科学、工程技术、社会科学及经济问题，构建相关统计模型，并运用相关统计软件（SPSS、Eviews、SAS）加以解决的实际能力。
预备知识或先修课程要求：高等数学，概率论与数理统计，线性代数教学主要内容及对学生的要求：要求学生理解、掌握多元正态总体的参数估计和检验，判别分析，聚类分析，主成分分析，因子分析，典型相关分析的基本原理和方法，并会用于实际问题。
内容摘要：该课程的主要内容有：多元正态分布、多元正态总体的统计推断、判别分析、聚类分析、主成分分析、因子分析、典型相关分析。
其各章要求如下：第一章绪论及矩阵代数了解多元统计分析方法与传统分析方法的区别，以及能够适用的范围和解决的问题；掌握多元统计所需要的矩阵理论。
第二章随机向量掌握随机向量定义、密度函数、分布函数、随机向量的数字特征的概念及性质。
第三章多元正态分布掌握多元正态分布的含义和基本性质。
第四章多元正态总体的统计推断了解单个、两个及多个总体的均值的检验，均值分量间结构关系的检验，两总体均值的比较检验，两总体均值分量间结构关系的检验，多元方差分析（多个总体均值的比较检验），总体相关系数的检验的方法。
第五章判别分析掌握判别分析的原理，判别函数和新样品类别的判断。
第六章聚类分析掌握聚类分析的原理，模型以及判断方法。
第七章主成分分析了解主成份分析的原理，以及主成份分析法的用途。
第八章因子分析掌握因子分析的原理，因子的提取和分析，因子分析在实际问题的应用。
第九章典型相关分析: 掌握典型相关分析的原理、用途，了解典型相关分析在实践中的应用。
考核方式：闭卷笔试占40%，论文占20%，课堂讨论占20%，平时作业占20%课程主要教材：应用多元统计，王学民，上海：上海财经大学出版社，2005主要参考书目：[1]多元统计分析．何晓群．中国人民大学出版社，2004[2]实用多元统计分析．方开泰．华东师范大学出版社，1989[3]多元统计分析引论．张尧庭、方开泰．科学出版社，1997[4]SPSS统计分析实例精选．蔡建琼、于惠芳、朱志洪．清华大学出版社2006年课程编号：002203 课程中文名称：高等应用数学48学时/ 2学分英文译名：Altitude applied mathematics适用领域：数学、自然科学各领域开课单位：理学院任课教师：罗跃生教学目的：使学生掌握解决实际问题的一些有力的手段，并提高利用近代数学方法解决科学技术领域出现的问题的能力。
预备知识或先修课程要求：高等数学、常微分方程、线性代数、复变函数、实变函数等。
教学主要内容及对学生的要求：教学主要内容为积分方程、广义函数、特殊函数、变分法等。
要求学生会求解最基本的积分方程，掌握广义函数的基本理论，并会利用广义函数的基本理论解决简单的应用问题。
会利用常见的特殊函数解决微分方程等数学问题。
会利用变分法解决工程和科学技术中的一些问题。
具体要求：了解空间与算子、积分方程的核；K空间、广义函数的定义；泛函的极值问题、变分等基本概念。
掌握第一、第二种弱奇性积分方程、Abel积分方程、具有退化核的Fredholm积分方程求解方法。
掌握广义函数的基本运算、广义函数的Fourier变换、广义函数的卷积的方法。
熟悉Γ函数与β函数、勒让德多项式、贝塞尔函数等特殊函数。
基本掌握泛函的极值问题极其必要条件、泛函的条件极值问题。
内容摘要：高等应用数学综合了积分方程、广义函数、特殊函数、变分法等多种近代应用数学理论和方法，是解决物理学、力学、工程技术等领域中问题的有力数学手段。
高等应用数学中讲授的各种方法可以更科学、更准确地描述自然界和科学技术领域中出现的很多现象，并为更精确地计算出相应的结果提供理论保证。
（300-500字）、第一、第二种弱奇性积分方程、Abel积分方程、卷积型积分方程、V olterra积分方程组、非线性V olterra方程、具有退化核的Fredholm 积分方程、核的分解豫解核的半纯性质、择一原理、弱奇性核的积分方程；K空间、广义函数的定义、广义函数的运算、广义函数的Fourier变换、广义函数的卷积；Γ函数与β函数、勒让德多项式、贝塞尔函数；泛函的极值问题极其必要条件、泛函的条件极值问题、变分法的应用。
考核方式：开卷，笔试。
课程主要教材：简明泛函分析.罗跃生，杜维华．哈尔滨工程大学出版社，2003主要参考书目：［1］泛函分析讲义．张恭庆等．北京大学出版社，2003[2]数学物理方法．郭敦仁．人民教育出版社，1983[3]积分方程．张石生．重庆出版社，2002[4]实变函数论与泛函分析．夏道行等．人民教育出版社，2004[5]变分法．哈尔滨工业大学数学教研室．哈尔滨工业大学出版社，1996课程编号：002204课程中文名称：现代工程数学48学时/ 3学分英文译名：Modern Engineering Mathematics适用领域：自然科学各领域开课单位：理学院任课教师：林锰教学目的：现代工程数学是工科各专业博士研究生的学位课程。
主要采用极为有力的表述形式和高度抽象的观点、方法，理论阐明空间的集合结构、性质等，其内容包括实变函数、拓扑学、抽象代数、线性空间理论，具有广泛联系各种实际事物的可能性。
因此，现代工程数学的理论和方法可以广泛地应用到工程技术的各个分支上，而且在自然科学和其它科学领域的许多学科诸如电路网络，理论物理，计算机，控制论等都具有广泛的应用。
因此，学习该课程不仅使学生掌握基本的基础理论及方法，而且为学生未来发展奠定良好的基础，并能增强学生的抽象思维和逻辑思维能力和分析问题和解决问题的手段和方法。
预备知识或先修课程要求：线性代数、实变函数、拓扑学、抽象代数教学方式及学时分配：课堂授课44学时，课堂讨论4学时教学主要内容及对学生的要求：（1）要求学生掌握运用点集分析的方法建立测度与积分的理论，具体内容包括：集合、映射，R n中点集、可测集和可测函数，Lebesgue积分理论，（2）要求学生掌握拓扑空间，连续映射的基本概念，乘积空间，商空间等重要而常用的概念以及它们的性质。
（3）要求学生掌握线性空间与线性变换的基本概念，掌握几个特殊的线性空间，并掌握响应的矩阵理论。
内容摘要：主要采用极为有力的表述形式和高度抽象的观点、方法，理论阐明空间的集合结构、性质等，具有广泛联系各种实际事物的可能性。
因此，现代工程数学的理论和方法可以广泛地应用到工程技术的各个分支上，而且在自然科学和其它科学领域的许多学科诸如电路网络，理论物理，计算机，控制论等都具有广泛的应用。
学习该课程不仅使学生掌握基本的基础理论及方法，而且为学生未来发展奠定良好的基础，并能增强学生的抽象思维和逻辑思维能力和分析问题和解决问题的手段和方法。
该课程主要内容包括：集合和R n中的点集，测度与可测函数，Lebesgue积分，拓扑空间与连续映射，拓扑性质与同胚，线性空间与线性变换，特殊的线性空间和特殊的线性变换等。
考核方式：闭卷，笔试课程主要教材：点集拓扑讲义. 熊金城等. 高等教育出版社，2001主要参考书目：[1] 实变函数与泛函分析. 曹广福. 高等教育出版社，2004[2] 线性空间引论. 叶明训. 武汉大学出版社，2002[3] 矩阵论. 卜长江. 哈尔滨工程大学出版社，2003课程编号 002205 课程中文名称：偏微分方程数值解32学时/ 2学分英文译名：Numerical Solution of Differential Equations适用领域：工科各领域。