线性代数性质公式整理

线性代数性质公式整理-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1线性代数第一章 行列式一、相关概念1.行列式——n 阶行列式|a 11a 12···a 1n a 21a 22···a 2n············a n1a n2···a nn|是所有取自不同行不同列的n 个元素的乘积a 1j 1a 2j 2···a nj n的代数和，这里j 1j 2···j n 是1，2，···n 的一个排列。

当j 1j 2···j n 是偶排列时，该项的前面带正号；当j 1j 2···j n 是奇排列时，该项的前面带负号，即|a 11a 12···a 1n a 21a 22···a 2n············a n1a n2···a nn |=∑(−1)τj 1j 2···j n j 1j 2···j n a 1j 1a 2j 2···a nj n (1.1) 这里∑ j 1j 2···j n 表示对所有n 阶排列求和。

式(1.1)称为n 阶行列式的完全展开式。

2.逆序与逆序数——一个排列中，如果一个大的数排列在小的数之前，就称这两个数构成一个逆序。

一个排列的逆序总是称为这个排列的逆序数。

用τj 1j 2···j n 表示排列j 1j 2···j n 的逆序数。

3.偶排列与奇排列——如果一个排列的逆序数是偶数，则称这个排列为偶排列，否则称为奇排列。

4.2阶与3阶行列式的展开——|a bc d|=ad −bc，|a 11a 12a 13a 21a 22a 23a 31a 32a 33|=a 11a 22a 33+a 12a 23a 31+a 13a 21a 32−a 13a 22a 31−a 12a 21a 33−a 11a 23a 325.余子式与代数余子式——在n 阶行列式|a 11a 12···a 1n a 21a 22···a 2n············a n1a n2···a nn |中划去a ij 所在的第i 行，第j 列的元素，剩下的元素按原来的位置排法构成的一个n-1阶的行列式||a 11···a 1,j−1a 1,j+1···a 1n ··················a i−1,1···a i−1,j−1a i−1,j+1···a i−1,n a i+1,1···a i+1,j−1a i+1,j+1···a i+1,n ··················a n1···a n,j−1a n,j+1···a nn||称为a ij 的余子式，记为M ij ；称(−1)i+j M ij 为a ij 的代数余子式，记为A ij ，即A ij =(−1)i+j M ij 。

6.伴随矩阵——由矩阵A 的行列式|A|所有的代数余子式所构成的形如[A 11A 21···A n1A 12A 22···A n2············A 1n A 2n ···A nn]，称为A 的伴随矩阵，记作A ∗。

二、行列式的性质1.经过转置行列式的值不变，即|A T |=|A |→行列式行的性质与列的性质是对等的。

2.两行互换位置，行列式的值变号。

特别地，两行相同(或两行成比例)，行列式的值为0.3.某行如有公因子k ，则可把k 提出行列式记号外。

4.如果行列式某行(或列)是两个元素之和，则可把行列式拆成两个行列式之和：|a 1+b 1a 2+b 2a 3+b 3c 1c 2c 3d 1d 2d 3|=|a 1a 2a 3c 1c 2c 3d 1d 2d 3|+|b 1b 2b 3c 1c 2c 3d 1d 2d 3| 5.把某行的k 倍加到另一行，行列式的值不变：|a 1a 2a 3b 1b 2b 3c 1c 2c 3|=|a 1a 2a 3b 1+ka 1b 2+ka 2b 3+ka 3c 1c 2c 3| 6.代数余子式的性质——行列式 任一行元素 与 另一行元素的代数余子式 乘积之和为0三、行列式展开公式n 阶行列式的值等于它的任何一行(列)元素，与其对应的代数余子式乘积之和，即|A |=a i1A i1+a i2A i2+···+a in A in =∑a ik A ik n k=1 |A|按i 行展开的展开式 |A |=a 1j A 1j +a 2j A 2j +···+a nj A nj =∑a kj A kj n k=1 |A|按j 列展开的展开式 四、行列式的公式1.上(下)三角形行列式的值等于主对角线元素的乘积；2.关于副对角线的n 阶行列式的值|A |=(−1)n(n−1)2a 1n a 2,n−1···a n13.两个特殊的拉普拉斯展开式：如果A 和B 分别是m 阶和n 阶矩阵，则|A ∗O B |=|A O ∗B |=|A |·|B | |O A B ∗|=|O A B ∗|=(−1)mn |A |·|B |4.范德蒙行列式 |11···1x 1x 2···x n x 12x 22···x n 2······ ···x 1n−1x 2n−1···x nn−1|=∏(x i −x j )1≤j≤i≤n 5.抽象n 阶方阵行列式公式 (矩阵)若A 、B 都是n 阶矩阵，A ∗是A 的伴随矩阵，若A 可逆，λi (i =1,2…,n)是A 的特征值：|A T |=|A |； |kA |=k n |A |； |AB|=|A||B|； |A 2|=|A |2； |A ∗|=|A |n−1 |A −1|=1|A |； |A |=∏λi n i=1； 若A~B ，则|A |=|B |，且特征值相同。

AA ∗=A ∗A =|A |E一般情况下：|A ±B|≠|A|±|B| 五、行列式的计算 1.数字型行列式将行列式化为上下三角，再按行或列展开；化简技巧：①将每列(行)都加到同一列(行)，或者将每列(行)k i 倍都加到同一列(行)。

②逐行(或逐列)相加③利用范德蒙公式或特殊的拉普拉斯展开式数学归纳法——①验证n=1时命题正确；假设n=k 时命题正确；证明n=k+1时，命题正确。

②验证n=1和n=2时命题都正确，假设n<k 命题正确，证明n=k ，命题正确。

③对于n 阶的三对角行列式，通常可用数学归纳法。

2.抽象型行列式——通常与矩阵一起考，利用行列式的性质(倍加、提公因数k 、拆项)等来恒等变形；也可能利用矩阵的运算、公式、法则、特征值、相似。

☆利用单位矩阵 E =AA −1=A −1A 恒等变形来计算|A+B|形式的行列式。

3.行列式|A|是否为0的判定看特征值是否为0；④反证法；⑤若|A|=k|A|，且k ≠1时也能得出|A|=0 4.代数余子式求和①按定义直接计算求和；②用行列式的按行或列展开的公式。

由于A ij 的值与a ij 的值没有关系，故可以构造一个新的行列式|B|，通过求新行列式的代数余子式间接求出原行列式的代数余子式。

P205例20③利用行列式 任一行元素 与 另一行元素的代数余子式 乘积之和为0的性质④根据伴随矩阵A ∗的定义，通过求A ∗再来求和。

第二章 矩阵一、矩阵的概念及运算矩阵——m ×n 个数排成如下m 行n 列的一个表格[a 11a 12···a 1n a 21a 22···a 2n············a m1a m2···a mn]称为是一个m ×n 矩阵，当m=n 时，矩阵A 称为n 阶矩阵或n 阶方阵。

如果一个矩阵所有元素都是0，则称为零矩阵，记作O 。

两个矩阵A =[a ij ]m×n ，B =[b ij ]s×t，如果m=s ，n=t ，则称A 与B 是同型矩阵两个同型矩阵如果对应的元素都相等，则称矩阵A 与B 相等，记作A=B 。

矩阵A 是一个表格，而行列式|A|是一个数。

二、矩阵的运算1.(加法) 设A 、B 是同型矩阵，则A +B =[a ij ]m×n +[b ij ]m×n=[a ij +b ij ]m×n2.(数乘) kA =k[a ij ]m×n =[ka ij ]m×n3.(乘法) 若A 为m ×s 矩阵，B 为s ×n 矩阵，则A 、B 可乘，且乘积AB 是一个m ×n 矩阵。