有理数

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有理数的性质：列举三个有理数的性质并解释其含义。

有理数的性质：列举三个有理数的性质并
解释其含义。

有理数的性质：列举三个有理数的性质并解释其含义
有理数是可以表示为两个整数之比的数，包括整数、分数和负数。

有理数具有以下几个性质：
1. 有理数的封闭性：有理数的加法、减法、乘法和除法运算结果仍然是有理数。

这个性质意味着在有理数集合中，任意两个有理数进行加减乘除运算，结果仍然是有理数。

例如，对于任意的有理数a和b，a + b、a - b、a * b、a / b的结果也都是有理数。

这个性质使得有理数在数学运算中具有闭合性和稳定性。

2. 有理数的比较性：任意两个有理数都可以进行大小比较。

有理数的比较性质允许我们对任意两个有理数进行大小比较，即可以判断出它们的大小关系。

对于任意的有理数a和b，我们可
以使用大于（>）、小于（<）或等于（=）的关系符号来判断它们的大小关系。

这个性质使得比较和排序有理数成为可能。

3. 有理数的无穷性：在有理数之间，总能找到其他有理数。

有理数的无穷性意味着在任意两个有理数之间，总是可以找到其他无数个有理数。

无论有理数多接近于某个数，都可以通过适当的操作得到另一个有理数。

因此，有理数在数轴上是连续分布的，没有空隙。

这个性质使得有理数集合成为一个无穷集合。

这些性质使得有理数在数学中具有重要的作用。

通过了解和运用这些性质，我们可以更好地理解和处理有理数的相关问题。

第一讲有理数的相关概念

第一讲有理数的相关概念【知识要点及巩固】一、有理数基本概念1、正数：像3、1、+0.33等的数，叫做正数。

在小学学过的数，除0外都是正数。

正数都大于0。

2、负数：像-1、-3.12、-2012等在正数前加上“-”（读作负）号的数，叫做负数。

负数都小于0。

0既不是正数，也不是负数。

如果正数表示某种意义，那么负数表示它的相反的意义。

注意：正数和负数是表示相反意义的量。

如：南为正方向，向南km3表示为km-。

31表示为km1+，那么向北km3、有理数：整数与分数统称为有理数。

4、无理数：无限不循环小数，如π。

5.有理数的分类：6.几个重要概念：注意：⑴正数和零统称为非负数；⑵负数和零统称为非正数；⑶正整数和零统称为非负整数；⑷负整数和零统称为非正整数。

例1：判断下列说法正确与否⑴一个有理数不是整数就是分数（）⑵一个有理数不是正数就是负数（）⑶一个整数不是正的，就是负的（）⑷一个分数不是正的，就是负的（）例2：1、（2016山东德州）把下列各数填入表示相应集合的大括号中：-7.2，43，-9, 1.4，0, 3.14，π，5412，-2.5， 121121112.0，36整数集合{ } 正数集合{ } 分数集合{ } 有理数集合{ } 非正数集合{ } 负分数集合{ } 想一想：a +一定是正数吗？a -一定是负数吗？例3：（2014七中嘉祥）将一串有理数按下列规律排列，回答下列问题：（1）在A 处的数是正数还是负数？（2）负数排在A 、B 、C 、D 中的什么位置？（3）第2014个数是正数还是负数？排在对应于A 、B 、C 、D 中的什么位置？例4：（2014七中嘉祥）观察下面依次排列的一列数，它的排列有什么规律？请根据你探索的规律接着写出后面的3个数，并尝试写出第100个数、第301个数。

1、6151-4131-211、、、、、-，_____,_______,_________，...；第100个数是_________，第301个数是________。

1.2.1 有理数(教师版)

1.2 有理数1.2.1有理数知识点1：有理数的概念1.概念：有理数也叫可比数，是指能够写成两个整数比的比例数。

因而，整数和分数统称有理数.2.整数：正整数、零和负整数统称为整数。

自然数：正整数和零。

3.分数：正分数和负分数统称为分数。

⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩有限小数小数无限循环小数无限小数无限不循环小数注意：有限小数和无限循环小数都可以化为分数，它们都是有理数。

例：0.333……可以化为.知识点2：有理数的分类知识点3：四非数①正整数、0统称为非负整数（也叫自然数）②负整数、0统称为非正整数③正有理数、0统称为非负有理数④负有理数、0统称为非正有理数考点梳理·新认知考点1 有理数的辨别例1在-,π,0,-0.74四个数中,有理数的个数是()A.1B.2C.3D.4【解析】-,0,-0.74是有理数,而π是无限不循环小数,不是有理数,故选C.总结：1.整数和分数统称为有理数.凡是能写成（p,q为整数，且q≠0）形式的数，都是有理数.2.有限小数与无限循环小数都能表示成分数形式，无限不循环小数不是有理数，如π不是有理数．考点2 有理数的分类例2把下列各数填在相应的集合中：－7，3.5，－3.14，0，1713，0.03%，－314，10．自然数集合：{ …}；整数集合：{ …}；负数集合：{ …}；正分数集合：{ …}；正有理数集合：{ …}．【解析】解：在所给的所有数中，①自然数集合为{0，10…}；②整数集合为{-7，0，10…}；③负数集合为{-7，-3.14，－314…}；④正分数集合为{3.5，1713，0.03%…}；⑤正有理数集合为{0.03%，1713，3.5，10…}．总结:对有理数进行分类，首先要理解以下数的概念：1.正数：像3,1.8%,3.5这样大于0的数叫做正数．正数的前面可以加上正号（即加号）“+”来表示2.负数：在正数前加上“-”的数叫做负数；3.整数：像-2，-1，0，1，2这样的数叫做整数；4.分数：把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数叫做分数．考点3 带非字的数例3﹣5，0，﹣3.14，，﹣12，0.1010010001…,+1．99，﹣（1）非负数集合：{ …}（2）非负整数数集合：{ …}（3）非正数集合：{ …}（4）非正整数数集合：{ …}【解析】解：在所给的所有数中，（1）非负数集合：{ 0，，0.1010010001…,+1．99，…}（2）非负整数数集合：{ 0 …}（3）非正数集合：{﹣5，﹣3.14，﹣12，﹣…}（4）非正整数数集合：{ ﹣5，﹣12，…}总结：1.有理数分为正数、0和负数三类，正数和0统称非负数；负数和0统称非正数．2.一个数不是0，则它可能是正数或负数；若一个数不是正数，则它可能是负数或者0；若一个数不是负数，则它可能是正数或者0.基础训练1．下列各数：-1，，4.112134，0，，3.14，其中有理数有（）A ．6个B ．5个C ．4个D ．3个【解析】解：在-1，2π ，4.112134，0，227 ，3.14中不是有理数是2π：故选B ．2. 在下列数，，2.010010001…，25%，3.1415926，0， …中，属于分数的有（）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【解析】解：属于分数的有25%，3.1415926，-0.222…，故选B ． 3. 下列表述中，正确的是（）A ．有理数有最大的数，也有最小的数B ．有理数有最大的数，但没有最小的数C ．有理数有最小的数，但没有最大的数D ．有理数既没有最大的数，也没有最小的数【解析】解：有理数既没有最大的数，也没有最小的数．故选D ． 4. 下列说法正确的是（）A ．一个有理数不是整数就是分数B ．正整数和负整数统称为整数C ．正整数、负整数、正分数、负分数统称为有理数D ．0不是有理数【解析】解：A 、一个有理数不是整数就是分数，故本选项正确； B 、正整数和负整数和0统称为整数，故本选项错误； C 、正整数、负整数、正分数、负分数和0统称为有理数，故本选项错误； D 、0是有理数，故本选项错误；故选A ．5.下列说法：①-2.5既是负数、分数，也是有理数；②-7既是负数也是整数，但不是自然数；③0既不是正数也不是负数；④0是非负数．其中正确的个数是（） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【解析】解：①-2.5既是负数、分数，也是有理数，正确；②-7既是负数也是整数，但不是自然数，，正确；③0既不是正数也不是负数，正确；④0是非负数，正确，则正确的个数是4，故选D ．6. 把下列各数填在相应的大括号内:5，7-8，-10，0，2.4，+3，227，-3.01.正数集合{…};非负数集合{…};整数集合{…};负分数集合{…}.【解析】正数集合,.,,,…;非负数集合,,.,,,…; 整数集合{5,-10,0,+3,…};负分数集合-,-.,….能力晋升1．设三个互不相等的有理数，既可表示为1、a+b、a的形式，又可表示为0、ba、b的形式，则b的值为（）A．0 B．-1 C．1 D．2【解析】解：由题意可知：a+b，a中有一个为0，且ba，b中有一个为1，当a=0时，则ba没有意义，不成立；∴b=1．故选C．2.下列判断正确的个数是（）①一个有理数不是整数就是分数②一个有理数不是正数就是负数③一个整数不是正数就是负数④一个分数不是正数就是负数⑤一个偶数不是正偶数就是负偶数A．1 B．2 C．3 D．4【解析】解：①一个有理数不是整数就是分数，正确；②一个有理数不是正数就是负数，错误，也可能是0；③一个整数不是正数就是负数，错误，也可能是0；④一个分数不是正数就是负数，正确；⑤一个偶数不是正偶数就是负偶数，错误，也可能是0；故选B．3. 在有理数集合中，最小的正整数是，最大的负整数是．【解析】解：在有理数集合中，最小的正整数是1，最大的负整数是-1．故答案为1；-1．4. 在-2，1.5，+，0，27，100，-2.1，18，-，-30中,是非负整数的是.【解析】0，27，100，18.5. 在-2，5，-，0.63，0，7，-0.05，-6，9，，，1中,正分数有个,负分数有个,自然数有个,整数有个.【解析】正分数是0.63，，，有3个;负分数是-，-0.05，有2个;自然数是5，0，7，9，1，有5个;整数是-2，5，0，7，-6，9，1，有7个.6.把下列各数分别填入相应的集合内：-2，-3.14，0.3，0，，，-0.1212212221…．（1）正数集合：{ }；（2）负数集合：{ }；（3）分数集合：{ }；（4）有理数集合：{ }．【解析】解：（1）正数集合：{0.3，，}；（2）负数集合：{ -2，-3.14，-0.1212212221…}；（3）分数集合：{ -3.14，0.3，}；（4）有理数集合：{ -2，-3.14，0.3，0，}．同步检测·新导向1．（2019•武汉模拟）下列各数中，属于正有理数的是（）A．π B．0 C．-1 D．2【解析】解：由题意得：π是无理数，故选项A错误；0是有理数，但不是正数，故选项B错误；-1是负有理数，故选项C错误；2是正有理数，故选项D正确；故选D．2.（2019•沙坪坝区校级模拟）下列四个数中，是正整数的是（）A．-2 B．-1 C．1 D．1 2【解析】解：A、-2是负整数，故选项错误；B、-1是负整数，故选项错误；C、1是正整数，故选项正确；D、12是非正整数，故选项错误．故选C．3．（2019•渝中区校级模拟）下列各数中是负整数的是（）A．-2 B．5 C．12D．2-5【解析】解：A、-2为负整数，故选项正确；B、5为正整数，故选项错误；C、12为正分数，故选项错误；D、2-5为负分数，故选项错误．故选A．4．（2018秋•沈河区期末）在-4，227，0，2，3.14159，1.3，0.1010010001…有理数的个数有（）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【解析】解：2，0.1010010001…不是有理数，故选D ．5．（2018秋•卢龙县期末）下列说法正确的是（） A ．0是最小的有理数 B ．一个有理数不是正数就是负数 C ．分数不是有理数 D ．没有最大的负数【解析】解：A 、没有最小的有理数，故本选项错误；B 、一个有理数不是正数就是负数或0，故本选项错误；C 、分数是有理数，故本选项错误；D 、没有最大的负数，故本选项正确；故选D ．6.（2018秋•门头沟区期末）在有理数-0.2，-3，0，132，-5，1中，非负整数有．【解析】解：非负整数有0，1，故答案为：0，1．7．（2018秋•仪征市期中）有三个有理数，分别是-1、a 、a +b ，或者写成0、-b a、b ，那么数b 的值是．【解析】解：由题意可知：a +b ，a 中有一个为0，且-b a ，b 中有一个为-1，当a =0时，则-b a没有意义，不成立；∴b =-1．故答案为：-1． 8. （2018秋•武邑县校级月考）在数1-13，20%，227，0.3，0，-1.7，21，-2，1.0101001…，+6，π中，分数有个．【解析】解：分数有1-13，20%，227，0.3，-1.7，故答案为：5。

有理数相关知识点

有理数1.有理数：(1)凡能写成)0p q ,p (pq ≠为整数且形式的数，都是有理数.正整数、0、负整数统称整数；正分数、负分数统称分数；整数和分数统称有理数.注意：0即不是正数，也不是负数；-a 不一定是负数，+a 也不一定是正数；π不是有理数；(2)有理数的分类: ① ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧负分数负整数负有理数零正分数正整数正有理数有理数 ② ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧负分数正分数分数负整数零正整数整数有理数(3)注意：有理数中，1、0、-1是三个特殊的数，它们有自己的特性；这三个数把数轴上的数分成四个区域，这四个区域的数也有自己的特性；(4)自然数⇔ 0和正整数；a ＞0 ⇔ a 是正数；a ＜0 ⇔ a 是负数；a ≥0 ⇔ a 是正数或0 ⇔ a 是非负数；a ≤ 0 ⇔ a 是负数或0 ⇔ a 是非正数.2．数轴：数轴是规定了原点、正方向、单位长度的一条直线.3．相反数：(1)只有符号不同的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数；0的相反数还是0；(2)注意： a-b+c 的相反数是-a+b-c ；a-b 的相反数是b-a ；a+b 的相反数是-a-b ；(3)相反数的和为0 a+b=0 a 、b 互为相反数.4.绝对值：(1)正数的绝对值是其本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数；注意：绝对值的意义是数轴上表示某数的点离开原点的距离；(2) 绝对值可表示为：⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=)0a (a )0a (0)0a (a a 或⎩⎨⎧<-≥=)0a (a )0a (a a ；绝对值的问题经常分类讨论； (3) 0a 1a a >⇔= ； 0a 1a a<⇔-=；(4) |a|是重要的非负数，即|a|≥0；注意：|a|·|b|=|a ·b|, ba b a =. 5.有理数比大小：（1）正数的绝对值越大，这个数越大；（2）正数永远比0大，负数永远比0小；（3）正数大于一切负数；（4）两个负数比大小，绝对值大的反而小；（5）数轴上的两个数，右边的数总比左边的数大；（6）大数-小数＞ 0，小数-大数＜ 0.6. 乘积为1的两个数互为倒数；注意：0没有倒数；若 a ≠0，那么a 的倒数是a1；倒数是本身的数是±1；若ab=1⇔ a 、b 互为倒数；若ab=-1⇔ a 、b 互为负倒数.7. 有理数加法法则：（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；（2）异号两数相加，取绝对值较大的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；（3）一个数与0相加，仍得这个数.8．有理数加法的运算律：（1）加法的交换律：a+b=b+a ；（2）加法的结合律：（a+b ）+c=a+（b+c ）.9．有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数；即a-b=a+（-b ）.10 有理数乘法法则：（1）两数相乘，同号为正，异号为负，并把绝对值相乘；（2）任何数同零相乘都得零；（3）几个数相乘，有一个因式为零，积为零；各个因式都不为零，积的符号由负因式的个数决定.11 有理数乘法的运算律：（1）乘法的交换律：ab=ba ；（2）乘法的结合律：（ab ）c=a （bc ）；（3）乘法的分配律：a （b+c ）=ab+ac .12．有理数除法法则：除以一个数等于乘以这个数的倒数；注意：零不能做除数，无意义即0a . 13．有理数乘方的法则：（1）正数的任何次幂都是正数；（2）负数的奇次幂是负数；负数的偶次幂是正数；注意：当n 为正奇数时: (-a)n =-a n 或(a -b)n =-(b-a)n ,当n 为正偶数时: (-a)n =a n 或 (a-b)n =(b-a)n .14．乘方的定义：（1）求相同因式积的运算，叫做乘方；（2）乘方中，相同的因式叫做底数，相同因式的个数叫做指数，乘方的结果叫做幂；（3）a 2是重要的非负数，即a 2≥0；若a 2+|b|=0 ⇔ a=0,b=0；（4）据规律 ⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅===100101101.01.0222底数的小数点移动一位，平方数的小数点移动二位. 15．科学记数法：把一个大于10的数记成a ×10n 的形式，其中a 是整数数位只有一位的数，这种记数法叫科学记数法.16.近似数的精确位：一个近似数，四舍五入到那一位，就说这个近似数的精确到那一位.17.有效数字：从左边第一个不为零的数字起，到精确的位数止，所有数字，都叫这个近似数的有效数字.18.混合运算法则：先乘方，后乘除，最后加减；注意：怎样算简单，怎样算准确，是数学计算的最重要的原则.19.特殊值法：是用符合题目要求的数代入，并验证题设成立而进行猜想的一种方法,但不能用于证明.。

有理数知识点梳理

有理数知识点梳理有理数是指可以表示为两个整数的比值的数，包括整数、分数、小数等。

在数学中，了解和掌握有理数的概念和性质是非常重要的。

本文将对有理数的知识点进行梳理，帮助读者更好地理解和应用有理数。

一、有理数的定义和表示有理数是指可以表示为两个整数的比值的数。

有理数包括整数、分数和小数。

1. 整数：整数是没有小数部分的数，可以是正数、负数或零，如-3、0、5等。

2. 分数：分数是整数与整数之间的比值，它由分子和分母两部分组成，分子表示被分成的份数，分母表示整体被分成的总份数。

分数可以是正数、负数或零，如2/3、-1/4、0等。

3. 小数：小数是不能化为整数比值的有理数，小数有有限小数和无限循环小数两种形式。

有限小数是指小数部分有限位数的数，如0.5、-3.14等；无限循环小数是指小数部分有无限多位数并且有规律地重复的数，如1/3=0.333...、2/7=0.285714285714...等。

二、有理数的四则运算掌握有理数的四则运算是深入理解和应用有理数的基础。

1. 加法：有理数的加法是指两个有理数相加的运算。

对于同号的有理数，将它们的绝对值相加，并保持它们的符号不变；对于异号的有理数，将它们的绝对值相减，并取绝对值大的数的符号。

2. 减法：有理数的减法是指两个有理数相减的运算。

减去一个有理数等于加上这个有理数的相反数。

3. 乘法：有理数的乘法是指两个有理数相乘的运算。

两个有理数相乘，乘积的符号由这两个有理数的符号决定，绝对值相乘。

4. 除法：有理数的除法是指两个有理数相除的运算。

除数不为零时，两个有理数相除，商的符号由这两个有理数的符号决定，绝对值相除。

三、有理数的比较和大小关系了解不同有理数之间的大小关系，可以帮助我们进行正确的数值比较和排序。

1. 相等：两个有理数相等意味着它们的值相同。

两个有理数相等的充分必要条件是它们的分子、分母比值相等。

2. 大于和小于：对于两个正数，分子较大的数大于分子较小的数；对于两个负数，分子绝对值较小的数大于分子绝对值较大的数。

有理数

1亿=108
-3和-5哪个大？-3和-1.5哪个大？
两个负数，绝对值小的反而大。
例题
比较下列各数的大小
（1）-3与-100
（2） 2 与- 3 35
练习
比较下列各数的大小
21与31 32
0.1与 0.9
与3.14
0.67与 2 3
两个有理数的比较
2.3 2.5
①两个正数：绝对值大的数大
(4) 3 4，(因为 3 3＝21,| 4 | 4 = 20 ,故 21 20 ,即3 4，所以 3 4 .）
57
5 5 35 7 7 35 35 35 5 7
57
说明：两个负数比较，绝对值大的反而小.
3. 在数轴上画出表示下列各数的点，并且把这些数用“<”号连接起来:
1, 3
BC距离： I-1.5-0I=1.5
AD距离： I-3-4I=7
（1）
A
B
C
-6
-5
-4 -3
-2 -1
0
1
D
2
34
5
6
（2）1.5，7
（3） 1, 1 ,0,1 1 ,5 1 2 22
有理数
正有理数
0
正整数正分数
负有理数
正整数负整数
例1：下列判断正确的是（）
A,所有的整数都是正数
与表示-4的点距离为5个单位的点所表示的数是
。
2、（1）-5的相反数是
；
（3）
和-3.5互为相反数；
（5）+5.2的绝对值是
；
（7）0.5的绝对值是
；
1. +2和 -2 1和-9 ； 2. 5 -1 3.5 0 5.2 10 0.5 7/3

有理数知识点总结

有理数知识点总结有理数是数学中的一个重要概念，它是整数和分数的统称。

有理数的学习对于我们理解数学运算、解决实际问题都具有重要意义。

接下来，让我们一起详细地总结一下有理数的相关知识点。

一、有理数的定义有理数包括正整数、零、负整数和正分数、负分数。

可以写成两个整数之比的数就是有理数。

例如，5 可以写成 5/1，－3/4 等都是有理数。

需要注意的是，无限不循环小数不是有理数，比如圆周率π。

二、有理数的分类（一）按定义分类1、整数：包括正整数、零和负整数。

例如 3、0、－5 等。

2、分数：包括正分数和负分数。

比如 1/2、－7/8 等。

（二）按性质分类1、正有理数：包括正整数和正分数。

像2、3/4 等。

2、零：单独的一个数字 0。

3、负有理数：包括负整数和负分数。

例如－1、－5/6 等。

三、有理数的数轴表示数轴是一条规定了原点、正方向和单位长度的直线。

任何一个有理数都可以在数轴上找到对应的点。

例如，数字 2 在原点右边 2 个单位长度的位置，－3 则在原点左边 3 个单位长度的位置。

数轴上，右边的数总比左边的数大。

正数都大于0，负数都小于0，正数大于负数。

四、有理数的相反数只有符号不同的两个数叫做互为相反数。

例如，5 的相反数是－5，－1/3 的相反数是 1/3。

0 的相反数是 0。

互为相反数的两个数之和为 0。

即如果 a 和 b 互为相反数，那么 a＋ b ＝ 0 。

五、有理数的绝对值绝对值的定义：数轴上表示数 a 的点与原点的距离叫做数 a 的绝对值，记作｜a| 。

一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是 0 。

即：如果 a ＞ 0，那么｜a| ＝ a ；如果 a ＝ 0，那么｜a| ＝ 0 ；如果 a ＜ 0，那么｜a| ＝ a 。

绝对值具有非负性，即｜a| ≥ 0 。

六、有理数的比较大小1、正数大于 0，0 大于负数，正数大于负数。

2、两个负数比较大小，绝对值大的反而小。

有理数及相关概念

1.若│2x+1│+│y-5│=o,则2x+y 等于 y 2.若3│x-2│+│y+3│=0,则 x 的值是 3已知│x│=2003,│y│=2002,且x>0,y＜0，求x+y的值 4.若│x│=3,│y│=2,且│x-y│=y-x,求x+y的值 5.计算│3-x│+│x-1│ （x>5）
绝对值（1）绝对值的几何意义：一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离，数a的绝对值记做│a│ （2）绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0
注：（1）任何一个数a的绝对值都是非负数，即│a│≥0 （2）去绝对值时，一定要注意绝对值里面的符号，若绝对值里面是非负数，去掉绝对值等于它本身：若绝对值里面是负数，去掉绝对值等于它的相反数。即去绝对值口诀为 “非负为本身，负数为相反”
1.下列说法中正确的有 ①有理数不是正数就是负数； ②绝对值等于本身的数是正数； ③最小的自然数是1，最大的负整数是-1； ④不存在最小的正有理数，也不存在绝对值最小的数； ⑤整数和分数统称有理数； ⑥整数就是正整数和负整数，分数就是正分数和负分数； ⑦倒数等于它本身的数是1或0； ⑧非负有理数就是指正有理数 2.下列说法; ①-2.5既是负数、分数，也是有理数； ②-22既是负数，整数，也是自然数； ③0既不是正数，也不是负数，但是整数； ④0是非负数其中正确的有（）个 A.1 B.2 C.3 D.4 3.下列说法中正确的有（）个 ①若两数差为正数，则这两个数都是正; ②在数轴上与原点距离越远的点表示的数越大； ③0减去任何一个有理数，其差是该数的相反数； ④任何数的绝对值一定是正数 ⑤正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，任何数都有倒数 A.0 B.1 C.2 D.3 4.在-(-8),(-1)2007,-32,-│-1│,-│0│,-2.131131113..., 2 2 π ,中负有理数有（）个， A.4 B.3 C.2 D.1 5 3 5 1 4 . 19 ，， 1 , 120 % ， 29 , 0 ， 3 ， - 0.97中，非负数有 5.在数（）个 6 3 A.3 B.4 C.5 D.6

有理数知识点及习题

第一章有理数一、有理数1.有理数的概念⑴正整数、0、负整数统称为整数（0和正整数统称为自然数）⑵正分数和负分数统称为分数⑶正整数，0，负整数，正分数，负分数都可以写成分数的形式，这样的数称为有理数。

理解：只有能化成分数的数才是有理数。

①π是无限不循环小数，不能写成分数形式，不是有理数。

②有限小数和无限循环小数都可化成分数，都是有理数。

注意：引入负数以后，奇数和偶数的范围也扩大了，像-2,-4,-6,-8…也是偶数，-1,-3,-5…也是奇数。

2.有理数的分类⑴按有理数的意义分类⑵按正、负来分正整数正整数整数0 正有理数负整数正分数有理数有理数0 （0不能忽视）正分数负整数分数负有理数负分数负分数二、数轴⒈数轴的概念规定了原点，正方向，单位长度的直线叫做数轴。

数轴的作用：所有的有理数都可以用数轴上的点来表达。

注意：⑴数轴是一条向两端无限延伸的直线；⑵原点、正方向、单位长度是数轴的三要素；⑶同一数轴上的单位长度要统一；(4)所有的有理数都可以用数轴上的点表示出来，但数轴上的点不都表示有理数，也就是说，有理数与数轴上的点不是一一对应关系。

3.利用数轴表示两数大小⑴在数轴上数的大小比较，右边的数总比左边的数大；⑵正数都大于0，负数都小于0，正数大于负数；⑶两个负数比较，距离原点远的数比距离原点近的数小。

4.数轴上点的移动规律根据点的移动，向左移动几个单位长度则减去几，向右移动几个单位长度则加上几，从而得到所需的点的位置。

三、相反数⒈相反数只有符号不同的两个数叫做互为相反数，其中一个是另一个的相反数，0的相反数是0。

注意：⑴相反数是成对出现的；⑵相反数只有符号不同，若一个为正，则另一个为负；⑶0的相反数是它本身。

2.相反数的性质与判定⑴任何数都有相反数，且只有一个；(2)互为相反数的两数和为0，即a，b互为相反数，则a+b=03.相反数的几何意义在数轴上与原点距离相等的两点表示的两个数，是互为相反数。

说明：在数轴上，表示互为相反数的两个点关于原点对称。

有理数的一般性质

有理数的一般性质有理数是数学中一类重要的数，其包括整数、分数以及它们之间的运算结果。

有理数具有许多特点和性质，本文将介绍有理数的一般性质。

一、有理数的定义和表示方式有理数可以用分数的形式表示，即一个整数除以一个非零的整数，例如1/2、3/4等。

有理数还可以用小数表示，如0.5、0.75。

有理数的表示方式多种多样，能够通过分数与小数相互转换。

二、有理数的比较关系有理数的大小关系可以通过其对应的小数形式进行比较。

对于两个有理数a和b，如果它们对应的小数形式a'和b'中，a'大于b'，那么a 大于b；如果a'小于b'，那么a小于b；如果a'等于b'，那么a等于b。

通过小数的比较可以帮助我们更好地理解和运用有理数。

三、有理数的加法和减法性质有理数之间的加法和减法运算满足交换律、结合律和对称律。

即对于任意的有理数a、b和c，有以下性质：- 加法交换律：a + b = b + a- 加法结合律：(a + b) + c = a + (b + c)- 加法对称律：a + (-a) = 0，其中- a表示a的相反数- 减法定义：a - b = a + (-b)四、有理数的乘法和除法性质有理数之间的乘法和除法运算也满足交换律、结合律和对称律。

对于任意的有理数a、b和c（其中b和c不为0），有以下性质：- 乘法交换律：a * b = b * a- 乘法结合律：(a * b) * c = a * (b * c)- 乘法对称律：a * (1/a) = 1，其中1/a表示a的倒数- 除法定义：a / b = a * (1/b)，其中b不为0五、有理数的分配性质有理数的加法和乘法之间满足分配律。

对于任意的有理数a、b和c，有以下性质：- 加法和乘法的分配律：a * (b + c) = a * b + a * c六、有理数的乘方性质有理数的乘方也具有一些特殊的性质。

有理数的定义及相关概念

拓展题
0是整数吗?自然数一定是整数吗?0一定是正整数吗?整数一定是自然数吗?
2、下列说法正确的是（） A.正整数和正分数统称为正有理数。 B.正整数和负分数统称为整数。 C.正整数、负整数、正分数、负分数统称为有理数。 D.0不是有理数。
3、既不是正数又不是整数的有理数是（）
A.0和正分数
B.只有负分数
C.负整数和负分数
D.正整数和正分数
4、下列不是有理数的有（）
1、数集可以用大括号表示，也可以用圆圈表示。
2、一个数集内的数有无限多个时，我们不能全部写出，要用“…”，如非负整数集{0，1，2，3，4…}。
3、一个数集内不能有两个一样的数。 4、所有的有理数组成的数集叫做有理数集；
那么，什么叫做整数集,正数集, 自然数集，非负整数集?
知 1、把下列各数填入相应的集合
A.3.1415926 B.0
C.0.666……
D.π
5、下列说法错误的是（ A.自然数一定是有理数 C.自然数一定是非负数
） B.自然数一定是整数 D.整数一定是自然数
6．说出下列生活情景中用到的数所属的集合. ⑴摩托车的里程表上读出的数；
⑵中央电视台播放的天气预报中，播报各地的气温所用到的数； ⑶老师批改试卷时用到的数； ⑷烤鸭店的柜台上的电子秤上读出的数； ⑸表示某关概念整数和分数统称为有理数。
正整数、零和负整数统称为整数，正分数和负分数统称为分数。
非负数：大于等于0的数叫非负数即a≥0 非正数：小于等于0的数叫非正数即a≤0
非正整数：小于等于0的整数；非负整数：大于等于0的整数
2:数的分类
按定义来分
正整数
整数零
…0.…67

什么是有理数

什么是有理数有理数（Rational Number）是指可以表示为两个整数的比值的数，包括正有理数、负有理数和零。

在数学中，有理数是整数和分数的统称，是实际生活中最常见的一类数。

有理数的定义从数学的角度来看，有理数是由整数和分数组成的集合。

其中，整数是没有小数部分的数，可以是正数、负数和零。

而分数则由整数除以非零整数得到，它由分子和分母两部分构成，分子是整数，分母是非零整数。

有理数可以用分数形式、小数形式、百分数形式等方式表示。

有理数的特点1. 有理数之间可以进行四则运算，并仍然得到有理数。

例如，若a 和b是有理数，则a+b、a-b、a×b、a÷b（b≠0）仍然是有理数。

2. 有理数之间可以进行比较大小。

例如，若a和b是有理数，则a>b、a<b、a≥b、a≤b等比较关系成立。

3. 有理数的绝对值是非负数。

例如，若a是有理数，则|a|≥0。

4. 有理数的小数表示是有规律的。

有理数可以有有限位小数表示，也可以有无限循环小数表示。

5. 有理数集合是可数的。

也就是说，有理数可以一一对应到自然数集合或整数集合。

应用领域有理数在实际生活中应用广泛，尤其在计量、金融、科学等领域。

1. 计量：有理数常被用于度量和计数。

例如，衣物的尺码、食品的重量、长度的测量等都使用有理数。

2. 金融：有理数在金融领域中有着重要地位。

例如，利率、股票价格、货币兑换等都涉及到有理数的概念。

3.科学：科学中的各种测量过程都涉及到有理数的运用。

例如，物理学中的速度、力等大小都可以用有理数来表示。

4. 统计学：统计学中的各种数据分析都是以有理数为基础的。

例如，平均数、中位数、众数等都是基于有理数的计算。

总结有理数是一类可以表示为两个整数比值的数，包括正有理数、负有理数和零。

其特点是可以进行四则运算，并仍然得到有理数；可以进行大小比较；绝对值是非负数；小数表示有规律；集合可数。

有理数在计量、金融、科学等领域有广泛应用。

有理数和无理数

有理数和无理数
有理数和无理数分别指的是：
1、有理数：
有理数是整数（正整数、0、负整数）和分数的统称，是整数和分数的集合。

整数也可看做是分母为一的分数。

不是有理数的实数称为无理数，即无理数的小数部分是无限不循环的数。

2、无理数：
无理数，也称为无限不循环小数，不能写作两整数之比。

若将它写成小数形式，小数点之后的数字有无限多个，并且不会循环。

常见的无理数有非完全平方数的平方根、π和e（其中后两者均为超越数）等。

有理数和无理是“数与代数”领域中的重要内容之一，在现实生活中有广泛的应用，是继续学习实数、代数式、方程、不等式、直角坐标系、函数、统计等数学内容以及相关学科知识的基础。

有理数的加法运算：
1、同号两数相加，取与加数相同的符号，并把绝对值相加。

2、异号两数相加，若绝对值相等则互为相反数的两数和为0；若绝对值不相等，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。

3、互为相反数的两数相加得0。

4、一个数同0相加仍得这个数。

5、互为相反数的两个数，可以先相加。

6、符号相同的数可以先相加。

7、分母相同的数可以先相加。

8、几个数相加能得整数的可以先相加。

有理数的认识与运算方法总结与解析

有理数的认识与运算方法总结与解析有理数是数学中的一类数字，可以通过分数的形式表示，其中包括整数和分数。

理解和掌握有理数的认识与运算方法对于数学的学习至关重要。

本文将总结与解析有理数的认识与运算方法。

一、有理数的认识有理数是可以表示为两个整数之比的数，包括正数、负数和零。

例如，2、-3、1/2、-5/3等都是有理数。

有理数在数轴上可用有向线段表示，以0为中心，向右为正，向左为负。

二、有理数的运算方法1. 有理数的加法和减法有理数的加法可以分为同号相加和异号相减两种情况。

对于同号相加，只需将绝对值相加，并保持相同的符号；对于异号相减，可以转化为同号相加的形式，即减去一个数等于加上这个数的相反数。

例如，(-5) + (-3) = -8，(-4) - (2) = -6。

2. 有理数的乘法和除法有理数的乘法和除法满足相应的运算法则。

同号相乘得正，异号相乘得负；除法可以转化为乘法的倒数形式。

例如，(-2) * (-3) = 6，(-8) / (4) = -2。

3. 有理数的乘方运算有理数的乘方运算可以通过多次相乘的方式实现。

对于正数的乘方，底数前的符号不变，指数相乘；对于负数的乘方，可以转化为倒数的乘法形式，再进行乘方运算。

例如，(-2)^3 = -8。

4. 有理数的平方根和立方根有理数的平方根和立方根都属于特殊的乘方运算。

平方根是指一个数的二次方等于该数的正数，称为平方根；立方根是指一个数的三次方等于该数的正数，称为立方根。

例如，√9 = 3，³√27 = 3。

三、有理数的应用有理数在日常生活中有广泛的应用，例如在温度计上表示温度的正负，银行账户中表示存款的增减等。

掌握有理数的认识与运算方法有助于我们解决实际问题。

四、有理数的性质有理数具有以下性质：1. 有理数的加法和乘法满足交换律、结合律和分配律。

2. 有理数的减法和除法可以转化为加法和乘法进行计算。

3. 有理数的乘法具有零因子性质，即任何数与0相乘等于0。

有理数有理数知识点归纳

0000<=>⎪⎩⎪⎨⎧-=a a a a a a一、有理数1. 0和正整数叫做自然数，也叫非负整数.2. 有理数的分类： (1) ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧负分数正分数分数负整数正整数整数有理数0 (2) ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧负分数负整数负有理数负整数正整数正有理数有理数0二、数轴1．规个定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴.2. 任意一个有理数，都可以用数轴上的一个点表示，但数轴上的任意一点却不一定表示一个有理数，正有理数用原点右边的点表示，负有理数用原点左边的点表示.3. 利用数轴比较有理数的大小，数轴上右边的点表示的数总大于左边的点表示的数.三、相反数1. 只有符号不同的两个数叫做互为相反数.0的相反数仍是0.2. 在数轴上，表示一对相反数的点分别位于原点两侧，并且到原点的距离相等，它们关于原点对称.3. 互为相反数的两个数的和为0，即a 与b 互为相反数.四、绝对值1. 数轴上表示数a 的点与原点的距离叫做数a 的绝对值，记做a .2. 绝对值的性质：（1）一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.（2）绝对值具有非负性，即有理数a 的绝对值a >0.（3）利用绝对值可以比较两个负数的大小，两个负数绝对值大的反而小. 五、倒数乘积是1的两个数互为倒数.倒数是成对的，互为倒数的两个数同号；0没有倒数.六、乘方求n 个相同的因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂.在na 中，a 叫做底数，n 叫做指数.乘方的运算法则：(1)负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数.(2)正数的任何次幂都是正数，0的任何任何正整数次幂都是0.七、科学记数法1. 把一个大于10的数表示成n a 10⨯的形式（其中a 的整数数位只有一位的数，n 是正整数）. 有理数知识点归纳2. 精确度：近似数四舍五人到哪一位，就精确到哪一位.3. 有效数字：从一个数的左边第一个非0数字起，到末位数字止，所有数字都是这个数的有效数字.4. (1)科学记数法中a 应满足101<≤a ，n 等于原数的整数位数减1，一个负数的科学记数法只要在n a 10⨯前面加上“一”即可.(2) 用科学记数法表示的数na 10⨯，精确度由还原后的数字中a 的末位字所在的数位决定.(3) 用科学记数法表示的数n a 10⨯，有效数字与n 10无关，只与a 有关，当近似数后面有单位是，有效数字与单位无关，只与单位前面的数有关.八、有理数的混合运算(1)先乘方，在乘除，最后加减.（2）同级运算，从做到右进行.(3) 如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行.考点分析1. 用正负数表示具有相反意义的量；2. 有理数相关概念；3. 数轴、相反数、绝对值、倒数；4．有理数的大小比较及运算；5. 有理数的乘方；6. 科学记数法.两个负数比较大小有两个步骤：①先分别求出这两个负数的绝对值，并比较绝对值大小．②根据“两个负数，绝对值大的反而小”得出结论．。

第一章有理数

第一章有理数知识框架知识要点1.正数和负数正数：像3、1、+0.33等的数，叫做正数。

负数：像-1、-3.12、-2008等在正数前加上“ - ”（读作负）号的数，叫做负数。

0既不是正数，也不是负数。

生活中到处都存在具有相反意义的量，我们把某一意义的量规定为正，那么其相反意义的量就是负。

2.有理数:整数和分数统称有理数。

()⎧⎧⎫⎪⎬⎪⎨⎭⎪⎪⎪⎨⎩⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正整数自然数整数零有理数按定义分类负整数正分数分数负分数 ()()⎧⎧⎨⎪⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩⎩正整数正有理数正分数有理数按符号分类零零既不是正数,也不是负数负整数负有理数负分数负数 <0 <正数3.数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。

作用：（1）用数轴上的点表示数；（2）用数轴来比较两个数的大小；（3）用数轴表示相反数和绝对值的几何意义。

4.相反数：像2和2-，4和4-这样，只有符号不同的两个数叫作互为相反数。

一般来说，a 的相反数是a -，0的相反数是0。

数轴上互为相反数的两个点关于原点对称。

当0>a 时，0<-a （正数的相反数是负数）；当0<a 时，0>-a （负数的相反数是正数）；当0=a 时，0=-a （0的相反数是0） 5.绝对值：几何意义：一个数a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点与原点的距离.数a 的绝对值记作a .⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=)0()0(0)0(a a a a a a绝对值的性质：（1）0≥a （2）a a -= （3）a a ≥，a a -≥ （4）222a a a ==6.倒数：若a 与b 的乘积是1，则称a 与b 互为倒数；反之，若a 与b 互为倒数，则1=ab7.有理数运算：有理数加法法则：（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；（2）异号两数相加，取绝对值较大的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；（3）一个数与0相加，仍得这个数. 有理数加法的运算律：（1）加法的交换律：a+b=b+a ；（2）加法的结合律：（a+b ）+c=a+（b+c ）. 有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数；即a-b=a+（-b ）. 有理数乘法法则：（1）两数相乘，同号为正，异号为负，并把绝对值相乘。

有理数是什么

有理数是什么01有理数为正整数、负整数、正分数、负分数以及零的统称。

数学上，可以表达为两个整数比的数被定义为有理数。

有理数是“数与代数”领域中的重要内容之一，在现实生活中有广泛的应用，是继续学习实数、代数式、方程、不等式、直角坐标系、函数、统计等数学内容以及相关学科知识的基础。

数学上，有理数是一个整数a和一个正整数b的比，例如3/8，通则为a/b。

0也是有理数。

有理数是整数和分数的集合，整数也可看做是分母为一的分数。

有理数的小数部分是有限或为无限循环的数。

不是有理数的实数称为无理数，即无理数的小数部分是无限不循环的数。

有理数集可以用大写黑正体符号Q代表。

但Q并不表示有理数，有理数集与有理数是两个不同的概念。

有理数集是元素为全体有理数的集合，而有理数则为有理数集中的所有元素。

词源有理数在希腊文中原意是“成比例的数”，英文取其意，以ratio为字根，在字尾加上-nal构成形容词，全名为rationalnumber，直译成汉语即是“可比数”。

对应地，无理数则为“不可比数”。

明末数学家徐光启和学者利玛窦翻译《几何原本》前6卷时的底本是拉丁文。

他们将这个词译为“理”，这个“理”指的是“比值”。

日本在明治维新以前，欧美数学典籍的译本多半采用中国文言文的译本。

日本学者将中国文言文中的“理”直接翻译成了理，而不是文言文所解释的“比值”。

后来，日本学者直接用错误的理解翻译出了“有理数”和“无理数”。

（文言文中理字没有比值的意思）当有理数从日本传回中国时又延续错误。

清末中国派留学生到日本，将此名词传回中国，以至现在中日两国都用“有理数”和“无理数”的说法。

可见，由于当年日本学者对中国文言文的理解不到位，才出现了今天的误译。

有理数的概念和运算法则

有理数的概念和运算法则一、有理数的概念1.有理数的定义：有理数是可以表示为两个整数比的数，包括正整数、负整数、0、正分数和负分数。

2.整数：正整数、负整数和0。

3.分数：正分数和负分数，分子和分母都是整数，且分母不为0。

4.真分数：分子小于分母的分数。

5.假分数：分子大于或等于分母的分数。

6.带分数：由一个整数和一个真分数组成的数。

二、有理数的运算法则1.加法法则：a.同号相加，取相同符号，并把绝对值相加。

b.异号相加，取绝对值较大的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。

c.0加任何数等于任何数。

d.任何数加0等于任何数。

2.减法法则：a.减去一个数等于加上这个数的相反数。

b.减法可以转化为加法，即减去一个数等于加上这个数的相反数。

3.乘法法则：a.同号相乘，取相同符号，并把绝对值相乘。

b.异号相乘，取相反符号，并把绝对值相乘。

c.0乘任何数等于0。

d.任何数乘0等于0。

4.除法法则：a.同号相除，取相同符号，并把绝对值相除。

b.异号相除，取相反符号，并把绝对值相除。

c.除以0没有意义，除数不能为0。

5.乘方法则：a.正数的任何正整数次幂都是正数。

b.负数的任何正整数次幂都是负数。

c.正数的任何负整数次幂都是正数。

d.负数的任何负整数次幂都是正数。

e.0的任何正整数次幂都是0。

f.0的任何负整数次幂都没有意义。

三、有理数的混合运算1.运算顺序：a.先算乘方。

b.再算乘除。

c.最后算加减。

d.同级运算，从左到右依次进行。

e.如果有括号，先算括号里面的。

2.运算律：a.加法结合律：三个数相加，可以先算任意两个数的和，结果不变。

b.乘法结合律：三个数相乘，可以先算任意两个数的积，结果不变。

c.加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，结果不变。

d.乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，结果不变。

e.分配律：一个数乘以两个数的和，等于这个数分别乘以这两个加数，然后把乘积相加。

四、有理数的应用1.化简：将复杂的分数或带分数化为简化形式。

有理数知识点

理解：只有能化成分数的数才是有理数。

①π是无限不循环小数，不能写成分数形式，不是有理数。

②有限小数和无限循环小数都可化成分数，都是有理数。

注意：引入负数以后，奇数和偶数的范围也扩大了，像-2,-4,-6,-8…也是偶数，-1,-3,-5…也是奇数。

数轴的作用：所有的有理数都可以用数轴上的点来表达。

4.数轴上点的移动规律根据点的移动，向左移动几个单位长度则减去几，向右移动几个单位长度则加上几，从而得到所需的点的位置。

三、相反数⒈相反数只有符号不同的两个数叫做互为相反数，其中一个是另一个的相反数，0的相反数是0。

注意：⑴相反数是成对出现的；⑵相反数只有符号不同，若一个为正，则另一个为负；⑶0的相反数是它本身。

说明：在数轴上，表示互为相反数的两个点关于原点对称。

有理数的有关概念

有理数的有关概念
有理数是数学中重要的概念之一，它包括整数和分数。

有理数可
以表示为两个整数的比值，其中分母不能为零。

整数是有理数的一种特殊情况，它们可以表示为分母为 1 的分数。

整数包括正整数、零和负整数。

分数是有理数的另一种形式，它们可以表示为两个整数的比值，
其中分母不能为零。

分数可以分为真分数和假分数，真分数的分子小
于分母，假分数的分子大于或等于分母。

有理数还可以按照正负性分为正数、负数和零。

正数是大于零的
有理数，负数是小于零的有理数，零是既不是正数也不是负数的有理数。

有理数可以进行加、减、乘、除运算，并且遵循一定的运算法则。

例如，两个有理数相加或相减时，它们的分母相同，分子相加或相减；两个有理数相乘或相除时，它们的分子乘以分子，分母乘以分母。

有理数在数学中具有重要的地位，它们在实数系中是连续的，可以进行无限逼近和精确计算。

有理数的概念和运算法则是数学基础中的重要部分，对于学习其他数学概念和应用具有重要的作用。