二次根式综合提高

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二次根式综合提高

二次根式综合提高

===……二次根式单元综合提高一、选择题1、下列各式中,不是二次根式的是( )ABD2、若a =,5b =,则a b 、两数的关系是( ) A .a b 、互为相反数 B .a b 、互为倒数 C .5ab = D .a b =3、下列各数分别与(2)相乘,结果为有理数的是( )AB.2+ C.2 D.2-+4、计算:( )(不用计算器) A. B. CD.5)A .1x ;≥B .1x -;≥C .x -;1≤≤1 D .11x x -或≥≥. 6、正方形的面积为4,则正方形的对角线长为( )AB. C..4二、填空7、请你写出一个能与合并的最简二次根式 .8、当0a <时,a 的值是 . 9、已知1y =,则y x = 。

10你发现了什么规律,请用含n (n 是正整数)的式子来表示: .三、计算(1)(2-(2)-(3) (4)+(5)(1)(2)+ (6))÷(7)))2011201222⋅四、综合练习11、已知:22a b ==,,分别求下列代数式的值: (1)22a b ab -; (2)22aab b ++.C D A B F E C A DB12、由两个等腰直角三角形拼成的四边形(如图),已知AB =3,求:(1)四边形ABCD 的周长;(2)四边形ABCD 的面积.13、如图,扶梯AB 的坡比为4:3,滑梯CD 的坡比为1:2,设AE =40米,BC =30米,一男孩从扶梯底走到滑梯的顶部,然后从滑梯滑下,共经过了多少路程?14、如图所示,有一边长为8米的正方形大厅,它是由黑白完全相同的方砖密铺 而成。

求一块方砖的边长。

15、①已知的值。

求:22,32,32y xy x y x +++=-= ②已知12+=x ,求112--+x x x 的值.16、已知:|a-4|+09=-b ,计算22222b a ab a b ab a --⋅+的值。

17、若x x x x -⋅-=--32)3)(2(成立。

二次根式能力拓展题(提高篇)

二次根式能力拓展题(提高篇)

二次根式能力拓展题(提高篇)1、已知$m$是$2$的小数部分,求$m^2+\frac{1}{m^2}-2$的值。

2、化简:begin{enumerate}item $(1-x)^2-x^2-8x+16$item $\frac{32x^3+2x^2-x^2}{x}$item $4a-4b+(a-b)^3-a^3-a^2b$,其中$a>0$end{enumerate}3、当$x=2-\sqrt{3}$时,求$(7+4\sqrt{3})x^2+(2+3x)+3$的值。

4、先化简,再求值:$\frac{2a^3ab^3-b}{6\sqrt[3]{27a^3b^3}+2ab^4}$,其中$a=\frac{1}{9},b=3$。

5、计算:frac{1}{2+1}+\frac{1}{3+2}+\frac{1}{4+3}+\cdots+\frac{1 }{2005+2004}$$6、已知$a=2-\sqrt{3}$,先化简$\frac{a^2-2a+1}{a-2}+\frac{a^2-a}{a^2-4}$,再求值。

7、已知:$a=\frac{1}{2}+\frac{3}{2},b=\frac{1}{2}-\frac{3}{2}$,求$\frac{2-3a+2b}{1-2a+2b}$的值。

8、已知:$a=3+2,b=3-2$,求代数式$a^2-3ab+b^2$的值。

9、已知$1\leq x\leq 3$,化简$x^2+x^2-6x+9$。

10、已知$a=2-\sqrt{3}$,化简求值$\frac{1-2a+a^2}{a^2-2a+1}-\frac{a^2-a}{a-1}-\frac{a}{a^2-a}$。

11、begin{enumerate}item 已知$x=2-\sqrt{3},y=2+\sqrt{3}$,求$x^2+xy+y^2$的值。

item 已知$x=2+\frac{1}{x-1}$,求$x+\frac{1}{x}$的值。

二次根式混合运算提高题

二次根式混合运算提高题

二次根式混合运算提高题
小试牛刀
(1)( 2+1)( 2-1);
(2)( 2- 3)2 .
再试一把: 2 + ?1 2 -1
1- 5 . 1+ 5
二次根式运算 (提高篇)
三更灯火五更鸡,正是男儿读书时; 黑发不知勤学早,白首方悔读书迟。
一:二次根式混合运算
例1、计算
(1)(3 2-1)(1+3 2)-(2 2-1)2
23
x y x y
( 2 )已 知 : a =1,b =1 ,求 a 2 2 a b b 2 7 的 值 5 2 5 2
三:注意二次根式运算中隐含条件
例3
已知:a=2+1

3

a2-1 a+1

a2-2a+1 a2-a
的值.
老师忠告
三解更题灯 示火范五—更—鸡规(,范1正步)是骤题男,目儿该读得中书的时分的;一分隐不丢含!条件为a= 1
(2)( 10-3)2010·( 10+3)2010
解题示范——规范步骤,该得的分一分不丢!
迁移:
(1) 62- 18-120;
(2)(-3)2- 4+12-1.
(3)已知 10 的整数部分为a,小数部分 为b,求a2-b2的值.
二:二次根式运算中的技巧
例 4 、 ( 1 ) 当 x = 1 ,y 1 时 , 求 代 数 式x y的 值
(1)题目中的隐含条件为a= <1,所以

2+
<1,所以 3
a2-2a+1 =
三三三更更更灯 灯 灯火火火五五五更更更鸡鸡鸡,,,正正正a是是是-男男男儿儿儿1读读读书书书2 =时时时;;;|a-1|=1-a,而不是a-1;

八年级数学第9讲.二次根式综合化简.提高班.教师版

八年级数学第9讲.二次根式综合化简.提高班.教师版

9二次根式的综合化简满分晋级代数式 10 级二次根式的观点及运算代数式 11 级暑期班第九讲分式恒等变形代数式 12 级二次根式的综合化简秋天班第八讲秋天班第九讲漫画释义考试后记知识互联网题型一:二次根式的化简与求值思路导航二次根式的化简求值,是中考以及各级各种比赛中的常有题目,其常用的方法有约分法,裂项法,取倒法等等.典题精练【例 1】化简以下二次根式1. (1111)(20111).21324320112010【分析】n1n n1n22n1n 1 .n 1n说明n1n 和 n1n 互为倒数,故1n1n .n1n原式213243201120102011120111201112122010 201110141521 2.141521 1010 14 15 21 5( 2 3) 7( 2 3) 2 3 【分析】1415215( 23)7( 23)22 6 51033.4 2 34 2 322【分析】 4 2 3 4 2 3 3 2 3 1 3 2 3 13 1 3 12 3【评论】 本题是复合二次根式的化简,在初三的锐角三角函数中会波及,老师还可练习8 4 3 ,此类题型的步骤为: ⑴ 将二次根式化简为a 2b 的形式⑵ 将 a 拆成 x+y , b 拆成 xy 的形式⑶ a 2 bx2y【例 2】 1. 已知 x3 1 , y3 1,求 x 2xyy 2 和 x 3 y xy 3 .【分析】 2xy 2y 222 6 ;xyx xy2x 3y xy3xy x2y2xy y x22 xy 2 222 2 162.已知 x3 2 , y 3 2 ,求 y x 的值.32 3 2xy【分析】 y3 2 ( 3 2) 25 26 , x3 2 ( 3 2) 25 2 63232x y 10 , xy1 , x y x 2y 2(x y)2 2 xy98y xxyxy3.已知 a b 6 , ab4 且 a b ,求ab的值.ab【分析】a 2a b24ab 6244 20b∵a b∴ab 2 5原式 a 2 ab b5= a b54.此中 x 23 , y23 ,求 x xyxy y的值.xy y x xy【分析】 原式x( xy) y ( x y )x y4 .y ( xy)x( xy )xy例 2 精讲: a b 、 a b 或a b 、a b 的应用共轭根式:形如 x a b , y a b 的两个根式互称为共轭根式.假如 x 和 y 互为共轭根式,那么x y 和xy都是有理式.(此中 a , b 为有理数)往常状况下,将含有一个二次根式的代数式有理化的方法是乘以它的共轭根式.解决根式问题,应当视状况将分母或分子进行有理化.推行: x a b 、 y a b 固然不是共轭二次根式,可是xy 相同是有理式,所以也能够用来帮助分母或分子有理化.研究 1、分母有理化【变式1】计算:1322【分析】原式322322 ;(322)(322)研究 2、分子有理化【变式2】已知 c 1 , x c c 1 , y c1 c , z c2c 1 ,比较x,y, z 的大小.【分析】分子有理化可直接获得答案,易得z y x .研究 3、利用共轭根式x y 和xy来化简求值【变式3】已知 x 1(75) , y1(75) ,求以下各式的值2xy2x y 22. ⑴ x y;⑵.y x【分析】∵ x 175) , y1( 75) ,∴ x y1 (27 , xy. 22⑴ x2xy y2(x y) 2 3 xy ( 7) 231 5 1 .22x y x 2y2(x y)22 xy(7) 221⑵1212 .y x xy xy2研究 4、结构共轭根式进行配对【变式4】已知x 3 451 3 45 1 ,则 x 312 x 的值是.【分析】设3 451a,3 451 b ;则 x a b ,a3 b 34514518 ,ab 3 4513451 3 451451 3 445151 3 444 4 ,原式312333123312128a b a b a b a b a b a b a b.ab a b研究 5、共轭根式求值【变式 5】已知2521522 .则252152的值为 __________.x x x x【分析】注意到2521522521522522x x x x x 15 x10 ,所以,25 2 15 x 2x 5.【例 3】 1.已知 x 2 10 ,求 x 2 4 x 6 的值.2【分析】 直接把 x2 10 代入代数式求值明显计算很繁琐,可适合变形 24x x 6 x 2 10 0 .2.已知 a23 ,求 2a 3 8a 2 3a1的值.a【分析】 ∵ a 2 3 ,∴ a 2 3 ,∴ a 2 4a 1 0 , a 24a 1 ,则 a 3 4 a 2 a 2a 3 8a 23a 18a 2 2a 8a 23a1 a 1 a 21 4a 1 1 4aaaaa题型二:二次根式的综合应用思路导航二次根式的综合应用包含比较大小,实质应用问题等等.典题精练【例 4】比较以下各式的大小( 填“ >”“ <”或“ =”)① 3 ______ 2 2 ② 5 7 6 5③11④ 20022001 ________ 200120007553232 9 ,【分析】① (平方)两个正数,其平方大的大, 2 2 8 ,则 3 2 2 .② (被开方数) 5 7175 , 6 5180 ,∵ 180175 ,故175 180 ,即 5 76 5 .③ (分母有理化) 17 5757 57 575 752227515353 5353 53 5322253∵ 75 , 53 , ∴ 7553 , ∴1 1.7553④ 法一(分子有理化)2002200120022001 2002 20011200220012002 200120012000200120002001200012001200020012000∵ 2002200120012000 ,∴2002200120012000 .法二(倒数法)200220011, 200120001,2002200120012000 2002200120012000【例 5】已知a、 b 均为有理数,并知足等式4332a,求 a 、b的值. 3a b232a b 4 03, b 1 .【分析】由已知条件可得 (2a b 4) ( a) 30 ,所以a 3,即 a2202【例 6】若 a 0 , b 0 , c 0 ,求证:a2b2b2c2c2a2≥ 2 a b c .【分析】待证不等式左侧的根式,让人联想起直角三角形中斜边的表达式;而其右侧为 a b c 的 2 倍,又与正方形的对角线相关.我们借助几何图形赐予证明.作出以 a b c 为边长的正方形ABCD,分别在两边上截取线段 a 、b、 c ,如图,则AE222222a b , EF b c, FCc a ,而 AC 2 a b c ,明显,由AE EF FC ≥ AC ,可得原不等式建立.D C acb E FA a b c B思想拓展训练 ( 选讲 )训练 1.已知 xy1, y z12 22xyxz yz 的值.2,求 xyz323【分析】 ∵ xy123,23y z1 23 ,23∴ x z x y y z 4∴ x2y2z2xy xz yz =1x y22y z2x z15 .2训练 2. 已知 x2 2 1 ,求 x3 11x 15 的值.【分析】 直接代入必定麻烦,先对已知条件进行变形.28 , x 2 2x 18 ,即 x 27 2x .x 1 2 2 , x 1下边采纳降幂(次) :x 3 11x 15 x 72 x 11x 15 2x 24 x 15 2 7 2 x 4x 15 1 .训练 3.已知 a1 4 0 a 1 ,求a 1 及 a 1 的值.aa a1 211 1【分析】aa6 ,∵ a ∴ a6a2 0 aaa∵ 0 a 1∴ a 1<02a11又 ∵a2aa2a∴ a1 2a训练 4.设三所学校 A 、 B 、 C 分别位于一个等边三角形的三个极点处,现是网络时代,要在三个学校之间铺设通信电缆,小张同学设计了三种连结方案,如下图,方案甲: AB BC ;方案 乙: AD BC ( D 为 BC 中点);方案丙: AOBOCO ( O 为三角形三条高的交点) ,请你帮助计算一下哪一种方案线路最短?A AAOB甲C BDCBD C乙丙【分析】 设 ABa ,则 BDa, AD3 △ BDO 中,DBO 303a ,在 Rt , BOa .223方案甲: AB BC2a 22a ;方案乙: AD332 2BCa a2a ;2333方案丙: AO BO CO3a3a a32所以, AO BO CO AD BC AB BC .复习稳固题型一二次根式的化简与求值稳固练习【练习 1】已知 x5 2 ,求 x2x5的值.(四中期中)【分析】当 x5 2 时,原式(52) 2( 52)5945525745 .【练习 2】若 a2,求1a 3a 2a 2 的值312【分析】由 a2得 a31 ,即 a1 3 ,两边平方,得a22a20 31,∴原式 = 1a a22a 2 2 2 2题型二二次根式的综合应用稳固练习【练习 3】已知 n 是一个正整数,135n 是整数,则 n 的最小值是()A . 3B. 5C. 15D. 25【分析】 C【练习 4】某电力企业为了改良乡村用电电费过高的问题,准备在各地乡村进行电网改造,富康乡有四个乡村 A , B ,C, D 正好位于一个正方形的四个极点,现计划在四个乡村结合架设一条线路,有四种架设方案,如图中的实线部分,请你帮助计算一下,哪一种架设方案最省电线.(以下数据可供参照:2 1.414 , 3 1.732 , 5 2.236 )A D A D A D A H 'D30° 30°EO FB B B B 30°30°C C C H C(1)(2)(3)(4)【分析】方案 4 最省钱.【练习 5】若 x表示不超出 x 的最大整数(如3, 2 23 等),则3111_________________.212323200120002001【分析】 2000课后测测试 1.已知 a32 ,b 322; ⑵ 112 ,求 ⑴ a b ab a2b2 .【分析】 由题意得 a b2 3 ,ab 1ab 2 2ab⑴ 原式 ab ab2 3⑵ 原式210ab测试 2. 先化简,再求值:a 2a b 2ab2,此中 a23 , bb3a 【分析】2a b 2a b 3a 22b22ab22ab .a b a 2ab 2ab3a当 a23 , b 3 2 时,原式 = 233 2 =1测试 3.试比较 5 1 与73的大小.5 1 7322【分析】5 1 516 2 57 37310 2 215 144,344.7明显,5 1 7 3 .5 173(宣武期末)3 2 .11第十五种品行:创新创新思想相传中国古代有名军事家孙膑的老师鬼谷子在教课中极擅长培育学生的创新思想。

《二次根式》提高练习题(含答案)

《二次根式》提高练习题(含答案)

《二次根式》提高训练题(一)判断题:1.ab 2)2(-=-2ab . ( ) 2.3-2的倒数是3+2. ( ) 3.2)1(-x =2)1(-x . ( ) 4.ab 、31b a 3、bax 2-是同类二次根式. ( ) 5.x 8,31,29x +都不是最简二次根式. ( ). (二)填空题:6.当x __________时,式子31-x 有意义. 7.化简-81527102÷31225a =___________. 8.a -12-a 的有理化因式是__________. 9.当1<x <4时,|x -4|+122+-x x =__________. 10.方程2(x -1)=x +1的解是____________. 11.比较大小:-721______-341.12.已知a 、b 、c 为正数,d 为负数,化简2222dc abd c ab +-=_________.13.化简:(7-52)2000·(-7-52)2001=______________. 14.若1+x +3-y =0,则(x -1)2+(y +3)2=____________.15.x ,y 分别为8-11的整数部分和小数部分,则2xy -y 2=____________.(三)选择题:16.已知233x x +=-x 3+x ,则………………………………………………( )(A )x ≤0 (B )x ≤-3 (C )x ≥-3 (D )-3≤x ≤017.若x <y <0,则222y xy x +-+222y xy x ++=……………………………( )(A )2x (B )2y (C )-2x (D )-2y18.若0<x <1,则4)1(2+-x x -4)1(2-+xx 等于……………………………( )(A )x 2 (B )-x2(C )-2x (D )2x19.化简aa 3-(a <0)得……………………………………………………………( ) (A )a - (B )-a (C )-a - (D )a20.当a <0,b <0时,-a +2ab -b 可变形为………………………………………( )(A )2)(b a + (B )-2)(b a - (C )2)(b a -+- (D )2)(b a ---(四)在实数范围内因式分解:21.9x 2-5y 2; 22.4x 4-4x 2+1.(五)计算题:(每小题6分,共24分)23.(235+-)(235--); 24.1145--7114--732+;25.20102009)23()23(+∙-; 26.(a 2m n -m abmn +m nn m )÷a 2b 2mn (六)求值:27.已知a -1a求a +1a 的值。

二次根式计算及化简练习题.doc

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二次根式的计算与化简练习题(提高篇)1、已知m是 2 的小数部分,求m21 2 的值。

m22、化简( 1)(1 x)2 x2 8x 16 ( 2)132x 3 2xxx 250 2 2 x( 3)4a 4b( a b) 3a3a2b(a0)3、当 x 2 3 时,求(7 4 3) x2(23)x 3 的值。

4、先化简,再求值:2a 3ab3b27a3b3 2ab3ab ,其中 a1, b 3 。

6 4 96、已知aa2 2a 1 a 1 4a2 16 4a2 8a2 1,先化简2 a a2 2a 1 a2 4a 4,再求值。

a a 27、已知: a1 ,b 1 ,求a2 b 22 2a 的值。

2 3 3 2b 9、已知0x 3 ,化简x2x26x910、已知a 2 3 ,化简求值1 2aa2 a 2 2a 1 1a 1 a2 a a11、①已知x23, y 23, 求: x2xy y2的值。

x 2②已知 x 2 1 ,求 x 1的值.x 1③ 4 y 2 6 y2 ( 7 x 5 x 2 ) ④ ( 3a 3 27a 3 ) ax 9 312、计算及化简:22⑴.11aaa a⑷.a 2ab baa ba ab ba b a b 2 ab⑵.bababaabbab13、已知: a1 1 10 ,求 a 2a12a的值。

x 3yx 291的值。

14、已知20,求x x 3 y 1二次根式提高测试一、判断题:(每小题 1 分,共 5 分)1. ( 2)2ab =- 2ab. ()2.3- 2 的倒数是3+ 2.() 3. (x 1)2 = ( x 1) 2. ()1 a 3b 、2 a4.ab 、 3 xb是同类二次根式.()1x 25. 8x,3 , 9 都不是最简二次根式. ()二、填空题:(每小题 2 分,共 20 分)16.当 x__________时,式子x 3有意义.15 2 10257.化简-827 ÷ 12 a 3 = _.8.a - a21的有理化因式是 ____________ .9.当 1< x <4 时, |x - 4| + x 2 2x 1= ________________.10.方程2( x -1)= x + 1 的解是 ____________.ab c 2 d 211.已知 a 、 b 、 c 为正数, d 为负数,化简abc 2d 2 = ______.1112.比较大小:- 2 7_________ -4 3.13.化简: (7- 5 2)2000 (·- 7-52)2001= ______________.14.若 x 1 +y3= 0,则 (x - 1)2+(y + 3)2= ____________.15. x , y 分别为 8- 11的整数部分和小数部分,则 2xy - y2= ____________.三、选择题:(每小题 3 分,共 15 分)16.已知 x33x 2=- x x3,则( )(A )x ≤ 0( B ) x ≤- 3( C ) x ≥- 3( D )- 3≤ x ≤017.若 x < y <0,则x22xy y2 + x 22xy y 2 = ()(A )2x( B )2y (C )- 2x ( D )- 2y( x 1 )2 4(x1 )2 418.若 0< x <1,x -x 等于 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯()22(A ) x(B )- x(C )- 2x( D ) 2xa 319.化a(a < 0)得 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯()(A )a( B )-a( C )-a( D )a20.当 a <0, b < 0 ,- a + 2ab- b 可 形 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯()(A ) ( ab)2(B )-( ab )2 (C )(ab ) 2( D )(ab) 2四、在 数范 内因式分解: (每小 3 分,共 6 分)21. 9x 2- 5y 2 ;22. 4x 4- 4x 2+ 1.五、 算 :(每小 6 分,共 24 分)23.(532)(5 32);5 4224. 411 - 117 - 37 ;n ab n m n25.( a2m-mmn +mn)÷ a2b2 m ;26.(a +b aba b )÷(aab b +bab a -a bab )( a≠b).(六)求值:(每小题 7 分,共 14 分)3 2 3 2 x3 xy 227.已知 x=3 2, y= 3 2 ,求x4y 2x3 y2 x2 y3 的值.x 2x x2 a2 128.当 x= 1- 2 时,求 x2 a2 x x2 a2 + x2 x x2 a2 +x2 a2 的值.七、解答题:(每小题 8 分,共 16 分)1 1 1 129.计算( 2 5+ 1)(12 + 23 + 34 ++ 99 100 ).1 x2 y x 2 y30.若 x, y 为实数,且 y=14x +4x 1 + 2 y x -yx的值..求《二次根式》提高测试(一)判断题: (每小题 1 分,共 5 分)1. ( 2) 2ab =- 2 ab . ()【提示】( 2)2 = | -2| = 2.【答案】×.2. 3 - 2 的倒数是 3 + 2.()【提示】1 2 = 32=-( 3 +2).【答3 3 4案】×. 1)2 x 1)2. (x 1) 2 = ( x . ( )【提示】 (x 1) 2 = | x - 1| , ( = - 1 3x ( x ≥1).两式相等,必须 x ≥ 1.但等式左边 x 可取任何数. 【答案】×. 4. ab 、 1a 3b 、 2a是同类二次根式.()【提示】 1a 3b 、 2 a3 x b3x b化成最简二次根式后再判断. 【答案】√.5. 8x ,1, 9 x 2 都不是最简二次根式. ()9 x 2 是最简二次根式.【答3案】×.(二)填空题: (每小题 2 分,共 20 分)6.当 x__________ 时,式子1 有意义.【提示】x 何时有意义 x ≥ 0.分式何时x3有意义分母不等于零. 【答案】 x ≥ 0 且 x ≠ 9.7.化简- 152 10 ÷25 = _.【答案】- 2a a .【点评】注意除法法则和积的82712a 3算术平方根性质的运用.8. a - a 21 的有理化因式是 ____________ .【提示】( a - a2 1 )( ________)=a 2- ( a 2 1) 2 . a + a 2 1 .【答案】 a + a 2 1 ..当< < 4 时,- +x22 x1 = ________________ .91 x| x 4|【提示】 x 2- 2x + 1=( ) 2, x - 1.当 1 <x < 4 时, x - 4, x -1 是正数还是负数x - 4 是负数, x -1 是正数.【答案】 3. 10.方程 2 (x - 1)= x + 1 的解是 ____________ .【提示】把方程整理成 ax = b 的形式后, a 、 b 分别是多少2 1 , 2 1.【答案】 x = 3+ 2 2 .11.已知 a 、b 、c 为正数, d 为负数,化简ab c 2 d 2 = ______.【提示】 c 2 d 2 =ab c 2d 2| cd| =- cd .【答案】 ab + cd .【点评】∵ ab = ( ab )2 ( ab > 0),∴ ab -c 2d 2=(ab cd )( ab cd ).12.比较大小:-1 _________- 1 .【提示】2 7 = 28 ,43 = 48 .2 7 4 3【答案】<.【点评】先比较 28 , 48 的大小,再比较 1 1的大小,最后 ,48 28 比较- 1 与- 1 的大小.284813.化简: (7-52 )2000·(-7-5 2 )2001=______________.【提示】 (- 7-5 2 )2001=(- 7- 5 2 )2000·( _________) [- 7- 5 2 . ] ( 7- 5 2 ) ·(- 7- 5 2 )= [1. ]【答案】- 7- 5 2 .【点 】注意在化 程中运用 的运算法 和平方差公式. 14.若 x 1 + y 3= 0, (x -1)2+(y + 3)2= ____________.【答案】 40.【点 】x 1 ≥0, y3 ≥ 0.当x1 + y 3=0 , x + 1=0, y - 3= 0.15. x , y 分 8- 11 的整数部分和小数部分,2xy - y 2= ____________. 【提示】 ∵3< 11 < 4,∴ _______< 8- 11 < __________.[4,5].由于 8- 11介于 4 与 5 之 , 其整数部分 x =小数部分y = [x = 4, y = 4- 11 ]【答案】 5. 【点 】 求二次根式的整数部分和小数部分 ,先要 无理数 行估算. 在明确了二次 根式的取 范 后,其整数部分和小数部分就不 确定了. (三) : (每小3 分,共 15 分)16.已知x 33x 2 =- x x3 , ⋯ ⋯⋯⋯⋯⋯()(A )x ≤ 0( B )x ≤- 3(C )x ≥- 3( D )- 3≤ x ≤ 0【答案】 D .【点 】本 考 的算 平方根性 成立的条件,( A )、( C )不正确是因 只考 了其中一个算 平方根的意 .17.若 x < y < 0,x 22xy y 2 + x 2 2xy y2=⋯ ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯()(A )2x ( B )2y(C )- 2x( D )- 2y【提示】∵x < y < 0,∴ x - y < 0, x + y < 0.∴x 2 2xy y 2 = ( x y)2 =| x -y| = y - x .x 2 2xy y 2 = ( x y) 2 = | x + y| =- x -y .【答案】 C .【点 】本 考 二次根式的性a 2 = | a| .18.若 0< x < 1,(x1 )2 4 - ( x 1 )2 4 等于 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯( )x x(A )2(B )-2( C )- 2xxx【提示】 (x -1 2+4= (x + 1 21 2= (x -1 x )x ) , (x + x ) - 4 x( D ) 2x)2.又∵0< x < 1,∴ x + 1>0 ,x - 1< 0.【答案】 D .x x【点 】本 考 完全平方公式和二次根式的性 . ( A )不正确是因 用性 没有注意当 0< x < 1 , x - 1< 0.x19.化a 3( a < 0 ) 得 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯()a(A ) a(B )- a( C )-a( D ) a【提示】a 3 = a a 2 = a · a 2 = | a|a =- a a .【答案】 C .20.当 a <0, b < 0 ,- a + 2 ab -b 可 形 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯()(A ) b ) 2 ( B )- ( a b) 2 ( C )( a b) 2( D )( ab ) 2( a【提示】∵ a < 0, b < 0,∴ - a > 0,- b > 0.并且- a = (a )2 ,-b = ( b)2 ,ab = ( a)( b) .【答案】 C .【点 】本 考 逆向运用公式( a ) 2 = a ( a ≥ 0)和完全平方公式.注意( A )、( B )不正确是因为 a < 0, b < 0 时, a 、 b 都没有意义. (四)在实数范围内因式分解: (每小题 3 分,共 6 分)21.9x 2-5y 2;【提示】用平方差公式分解, 并注意到 5y 2= ( 5y) 2 .【答案】( 3x + 5 y ) ( 3x - 5 y ).22. 4x 4- 4x 2+1.【提示】先用完全平方公式,再用平方差公式分解. 【答案】 ( 2 x +1)2( 2 x - 1)2. 6 分,共 24 (五)计算题: (每小题 分)23.( 5 3 2 )( 5 3 2 );【提示】将53 看成一个整体,先用平方差公式,再用完全平方公式.【解】原式= ( 5 3 )2- ( 2) 2= 5 - 2 15 + - = - 15 .3 2 6 224. 5 - 4 - 2 ;【提示】先分别分母有理化,再合并同类二次根11 1177 43式.【解】原式=5( 411) - 4( 11 7) - 2(3 7 )= 4+ 11 -11 - 7 - 3+16 11 11 79 7 7 = 1.25.( a2n - ab mn +nm)÷ a 2b 2n ;mmm nm【提示】先将除法转化为乘法,再用乘法分配律展开,最后合并同类二次根式. 【解】原式=( a2n - ab mn +n m ) · 1 mm mmna 2b 2n= 1n m -1 mn m+ n m mb 2m nmab n ma 2b 2n n= 1 - 1 + 1= a 2ab 1 .b 22ba 2b 2ab a226.( a +bab)÷(a+ b - a b)(a ≠b ).abab b ab aab 【提示】本题应先将两个括号内的分式分别通分,然后分解因式并约分. 【解】原式=aab bab ÷ a a ( ab) b b ( a b ) (a b)( a b)==ab a b ÷a 2 a ab b ab a bab( a b )( a b · ab( a b )( a abab (a b)ab ( a b )( a b ) b 2 a 2 b 2a b )b ) =- ab .【点评】本题如果先分母有理化,那么计算较烦琐. (六)求值: (每小题 7 分,共 14 分)27.已知 x =32, y =3 2,求x 3 xy 2 x 2 y 3 的值.323 2x 4 y 2x 3 y 2 【提示】先将已知条件化简,再将分式化简最后将已知条件代入求值. 【解】∵x =32=(32) 2 = 5+ 2 6 ,32y =3 2= ( 32) 2 = 5- 2 6 .32∴ x + y =10, x - y =4 6 , xy = 52-(26 )2=1.x 3xy 2x 2 y 3 = x( x y)( x y) = x y = 46 = 26 .x 4 y 2x 3 y 2 x 2 y( x y) 2 xy( x y) 1 10 5【点评】 本题将 x 、y 化简后, 根据解题的需要, 先分别求出 “ x + y ”、“ x - y ”、“ xy ”.从而使求值的过程更简捷.28.当 x = 1-2 时,求x 2a 2x a 2 + 2xx 2 a 2 +1 的值.x x 2x 2x x 2 a 2 x 2 a 2【提示】注意: x 2+ a 2 = ( x 2 a 2 ) 2 ,∴ x 2+ a 2- x x 2 a 2 = x 2 a 2( x 2 a 2 - x ),x 2- x x 2 a 2 =- x ( x 2a 2- x ).【解】原式=x-2 xx 2 a 21x 2 a 2 ( x 2 a 2x( x2a 2+x 2 a 2x)x)= x 2x 2a 2 (2x x 2a 2 ) x( x 2a 2x)x x 2a 2 ( x 2a 2x)=x 2 2x x 2a 2 ( x 2 a 2 ) 2 x x 2 a 2 x 2=( x 2 a 2 )2 x x 2 a 2 =x x 2 a 2 ( x 2 a 2 x)x x 2a 2 ( x 2 a 2x)x 2 a 2 ( x 2 a 2x)x x 2a 2 ( x 2 a 2 x)= 1.当 x =1- 2 时,原式=1 1 =- 1-2 .【点评】本题如果将前两个“分式”x2分拆成 两个“分式” 之差,那 么化简会更简 便.即原 式=x-x 2 a 2 ( x 2 a 21x)2x x 2 a 2+22x( x 2 a 2 x)x a= (11 ) -( x 2 1 x1) +1 a2 = 1. x 2a 2 x x 2 a 2a 2 xx 2 x七、解答题: (每小题 8 分,共 16 分)29.计算( 2 5 + 1)( 1+1+1+ +1).23991 234100【提示】先将每个部分分母有理化后,再计算.【解】原式=( 25 + 1)( 2 1 + 3 2 + 43+ + 100 99 ) 2 1 3 2 4 3100 99= ( 2 5 + 1 ) [ ( 2 1 ) + ( 3 2 ) + ( 4 3 ) + + ( 10099 ) ]=( 2 5 + 1)( 100 1)= 9( 2 5 + 1).【点评】本题第二个括号内有 99 个不同分母,不可能通分.这里采用的是先分母有理 化,将分母化为整数,从而使每一项转化成两数之差,然后逐项相消. 这种方法也叫做裂项相消法.30.若 x ,y 为实数,且 y = 14x + 4x 1 + 1.求 x 2 y - x2 y 的2 y x y x值.1 4 x 0x14 ]【提示】要使 y 有意义,必须满足什么条件[] 你能求出 x ,y 的值吗 [4x 1 0.y 1 .21 4xx14 ∴ x = 1 .当 x = 1时, y = 1.【解】要使 y 有意义,必须 [,即4x 1 0x 1 . 4424又∵x 2y - x y =(xy 2 -xy2y x y2y)()xxy x = | xy| - | xy| ∵ x = 1, y = 1,∴x < y .yxyx42yx∴原式= xy - y x= 2 x 当 x = 1, y = 1时,yxxyy4 21原式= 2 4 =2 .【点评】解本题的关键是利用二次根式的意义求出x 的值,进12而求出 y 的值.。

完整版八年级数学二次根式提高题常考题与培优题含解析

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二次根式提高题与常考题型压轴题(含解析)一.选择题〔共13小题〕1.二次根式中x的取值范围是〔〕A.x>3 B.x≤3且x≠0C.x≤3D.x<3且x≠02.计算:﹣,正确的选项是〔〕A.4 B.C.2 D.3.如图,在长方形 ABCD中无重叠放入面积分别为16cm2和12cm2的两张正方形纸片,那么图中空白局部的面积为〔〕cm2.A.16﹣8 B.﹣12+8 C.8﹣4 D.4﹣24.假设1<x<2,那么的值为〔〕A.2x﹣4 B.﹣2C.4﹣2x D.25.以下计算正确的选项是〔〕A.=2 B.= C.=x D.=x6.以下各式变形中,正确的选项是〔〕A.x2?x3=x6B.= |x|C.〔x2﹣〕÷x=x﹣1D.x2﹣x+1=〔x﹣〕2+7.以下二次根式中,与是同类二次根式的是〔〕A.B.C.D.8.化简+﹣的结果为〔〕A.0B.2C.﹣2D.29.,ab>0,化简二次根式a的正确结果是〔〕A.B.C.﹣D.﹣.10.a的小数局部,b的小数局部.的〔〕A.+ 1 B.+1 C.1D.++111.把中根号外面的因式移到根号内的果是〔〕A.B.C.D.12.如果=2a 1,那么〔〕A.a B.a≤C.a D.a≥13.:a=,b=,a与b的关系是〔〕A.ab=1B.a+b=0 C.a b=0D.a2=b2二.填空〔共17小〕14.如果代数式有意,那么x的取范.15.在数上表示数 a的点如所示,化+|a 2|的果.16.算:=.17.察以下等式:第1个等式:a1=,=1第2个等式:a2=,=第3个等式:a3=2,=第4个等式:a4=,=2按上述律,答复以下:〔1〕写出第n个等式:a n=;2〕a1+a2+a3+⋯+a n=.18.算2的果是.19.算〔+〕〔〕的果等于..20.化简:〔0<a<1〕=.21.如果最简二次根式与可以合并,那么使有意义的x的取值范围是.22.a,b是正整数,且满足是整数,那么这样的有序数对〔a,b〕共有对.23.对正实数a,b作定义a*b=﹣a,假设2*x=6,那么x=..x+y=,x﹣y=4﹣y4=.24,那么x 25.=﹣〔x,y为有理数〕,那么x﹣y=.26.是正整数,那么实数n的最大值为.27.三角形的三边长分别为3、m、5,化简﹣=.28.假设实数m满足=m+1,且0<m<,那么m的值为.29.计算以下各式的值:;;;.观察所得结果,总结存在的规律,应用得到的规律可得=.30.观察以下各式:=11+3×1+1,=22+3×2+1,=32+3×3+1,猜测:=.三.解答题〔共10小题〕31.计算〔1〕﹣4+÷〔2〕〔1﹣〕〔1+〕+〔1+〕2.32.假设1<a<2,求+的值.33.x,y都是有理数,并且满足,求的值.34.先化简,再求值:,其中x=﹣3﹣〔π﹣3〕0..35.〔1〕|2021﹣x|+=x,求x﹣20212的值;〔2〕a>0,b>0且〔+〕=3〔+5〕.求的值.36.观察以下各式及其验证过程:〔1〕按照上述两个等式及其验证过程的根本思路,猜测的变形结果并进行验证;2〕针对上述各式反响的规律,写出用n〔n为任意自然数,且n≥2〕表示的等式,并说明它成立.37.先化简,再求值:〔+〕÷,其中a=+1.38.求不等式组的整数解.39.阅读与计算:请阅读以下材料,并完成相应的任务.古希腊的几何学家海伦在他的?度量?一书中给出了利用三角形的三边求三角形面积的“海伦公式〞:如果一个三角形的三边长分别为a、b、c,设p=,那么三角形的面积S=.我国南宋著名的数学家秦九韶,曾提出利用三角形的三边求面积的“秦九韶公式〞〔三斜求积术〕:如果一个三角形的三边长分别为a、b、c,那么三角形的面积S=.〔1〕假设一个三角形的三边长分别是5,6,7,那么这个三角形的面积等于.〔2〕假设一个三角形的三边长分别是,求这个三角形的面积..40.:y=++,求﹣的值..二次根式提高题与常考题型压轴题(含解析)参考答案与试题解析一.选择题〔共13小题〕1.〔2021春?启东市月考〕二次根式中x的取值范围是〔〕A.x>3B.x≤3且x≠0C.x≤3D.x<3且x≠0【分析】根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件得出3﹣x≥0且x≠0,求出即可.【解答】解:要使有意义,必须3﹣x≥0且x≠0,解得:x≤3且x≠0,应选B.【点评】此题考查了二次根式有意义的条件和分式有意义的条件等知识点,能根据题意得出3﹣x≥0且x≠0是解此题的关键.2.〔2021春?萧山区校级月考〕计算:﹣,正确的选项是〔〕A.4B.C.2D.【分析】直接化简二次根式进而合并求出答案.【解答】解:﹣=2﹣=.应选:D.【点评】此题主要考查了二次根式的加减运算,正确化简二次根式是解题关键.3.〔2021春?嵊州市月考〕如图,在长方形ABCD中无重叠放入面积分别为16cm2和12cm2的两张正方形纸片,那么图中空白局部的面积为〔〕cm2.A.16﹣8B.﹣12+8C.8﹣4D.4﹣2.【分析】根据正方形的面积求出两个正方形的边长,从而求出AB、BC,再根据空白局部的面积等于长方形的面积减去两个正方形的面积列式计算即可得解.【解答】解:∵两张正方形纸片的面积分别为16cm2和12cm2,∴它们的边长分别为=4cm,=2 cm,AB=4cm,BC=〔2+4〕cm,∴空白局部的面积=〔2+4〕×4﹣12﹣16,=8 +16﹣12﹣16,=〔﹣12+8〕cm2.应选B.【点评】此题考查了二次根式的应用,算术平方根的定义,解题的关键在于根据正方形的面积求出两个正方形的边长.4.〔2021?呼伦贝尔〕假设1<x<2,那么的值为〔〕A.2x﹣4 B.﹣2C.4﹣2x D.2【分析】1<x<2,可判断x﹣3<0,x﹣1>0,根据绝对值,二次根式的性质解答.【解答】解:∵1<x<2,x﹣3<0,x﹣1>0,原式=|x﹣3|+=|x﹣3|+|x﹣1|=3﹣x+x﹣1=2.应选D.【点评】解答此题,要弄清以下问题:1、定义:一般地,形如〔a≥0〕的代数式叫做二次根式.当a>0时,表示a的算术平方根;当a=0时,=0;当a小于0时,非二次根式〔假设根号下为负数,那么无实数根〕.2、性质:=|a|..5.〔2021?南充〕以下计算正确的选项是〔〕A.=2B.=C.=x D.=x【分析】直接利用二次根式的性质分别化简求出答案.【解答】解:A、=2,正确;B、=,故此选项错误;C、=﹣x,故此选项错误;D、=|x|,故此选项错误;应选:A.【点评】此题主要考查了二次根式的化简,正确掌握二次根式的性质是解题关键.6.〔2021?杭州〕以下各式变形中,正确的选项是〔〕A.x2?x3=x6B.=|x|C.〔x2﹣〕÷x=x﹣1D.x2﹣x+1=〔x﹣〕2+【分析】直接利用二次根式的性质以及同底数幂的乘法运算法那么和分式的混合运算法那么分别化简求出答案.【解答】解:A、x2?x3=x5,故此选项错误;B、=|x|,正确;C、〔x2﹣〕÷x=x﹣,故此选项错误;D、x2﹣x+1=〔x﹣〕2+,故此选项错误;应选:B.【点评】此题主要考查了二次根式的性质以及同底数幂的乘法运算和分式的混合运算等知识,正确掌握相关运算法那么是解题关键.7.〔2021?巴中〕以下二次根式中,与是同类二次根式的是〔〕A.B.C.D..【分析】直接利用同类二次根式的定义分别化简二次根式求出答案.【解答】解:A、=3,与不是同类二次根式,故此选项错误;B、=,与,是同类二次根式,故此选项正确;C、=2,与不是同类二次根式,故此选项错误;D、==,与不是同类二次根式,故此选项错误;应选:B.【点评】此题主要考查了同类二次根式,正确化简二次根式是解题关键.8.〔2021?营口〕化简+﹣的结果为〔〕A.0B.2C.﹣2D.2【分析】根据根式的开方,可化简二次根式,根据二次根式的加减,可得答案.【解答】解:+﹣=3 +﹣2=2,应选:D.【点评】此题考查了二次根式的加减,先化简,再加减运算.9.〔2021?安徽校级自主招生〕,ab>0,化简二次根式 a的正确结果是〔〕A.B.C.﹣D.﹣【分析】直接利用二次根式的性质进而化简得出答案.【解答】解:∵ab>0,∴a=a×=﹣.应选:D.【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简,正确应用二次根式的性质是解题关键.10.〔2021?邯郸校级自主招生〕设a为﹣的小数局部,b为.﹣的小数局部.那么﹣的值为〔〕A. +﹣1B.﹣+1 C.﹣﹣1D.++1【分析】首先分别化简所给的两个二次根式,分别求出a、b对应的小数局部,然后代、化简、运算、求值,即可解决问题.【解答】解:∵﹣=﹣==,∴a的小数局部=﹣1;∵﹣==,∴b的小数局部=﹣2,∴﹣====.应选B.【点评】该题主要考查了二次根式的化简与求值问题;解题的关键是灵活运用二次根式的运算法那么来分析、判断、解答.11.〔2021?柘城县校级一模〕把中根号外面的因式移到根号内的结果是〔〕A.B.C.D.【分析】先根据被开方数大于等于0判断出a是负数,然后平方后移到根号内约.分即可得解.【解答】解:根据被开方数非负数得,﹣>0,解得a<0,﹣a==.应选A.【点评】此题考查了二次根式的性质与化简,先根据被开方数大于等于0求出a的取值范围是解题的关键,也是此题最容易出错的地方.12.〔2021?杨浦区三模〕如果=2a﹣1,那么〔〕A.a B.a≤C.a D.a≥【分析】由二次根式的化简公式得到1﹣2a为非正数,即可求出a的范围.【解答】解:∵=|1﹣2a|=2a﹣1,1﹣2a≤0,解得:a≥.应选D【点评】此题考查了二次根式的性质与化简,熟练掌握二次根式的化简公式是解此题的关键.13.〔2021?临朐县一模〕:a=,b=,那么a与b的关系是〔〕A.ab=1B.a+b=0C.a﹣b=0D.a2=b2【分析】先分母有理化求出a、b,再分别代入求出ab、a+b、a﹣b、a2、b2,求出每个式子的值,即可得出选项.【解答】解:a===2+,b===2﹣,A、ab=〔2+〕×〔2﹣〕=4﹣3=1,故本选项正确;B、a+b=〔2+〕+〔2﹣〕=4,故本选项错误;.C、a﹣b=〔2+〕﹣〔2﹣〕=2,故本选项错误;D、∵a2=〔2+〕2=4+4+3=7+4,b2=〔2﹣〕2=4﹣4+3=7﹣4,a2≠b2,故本选项错误;应选A.【点评】此题考查了分母有理化的应用,能求出每个式子的值是解此题的关键.二.填空题〔共17小题〕14.〔2021?静安区一模〕如果代数式有意义,那么x的取值范围为x>﹣.【分析】根据二次根式有意义的条件、分式有意义的条件列出不等式,解不等式即可.【解答】解:由题意得,x+2>0,解得,x>﹣2,故答案为:x>﹣2.【点评】此题考查的是二次根式有意义的条件,掌握二次根式中的被开方数必须是非负数是解题的关键.15.〔2021?乐山〕在数轴上表示实数a的点如下图,化简+|a﹣2|的结果为3.【分析】直接利用二次根式的性质以及绝对值的性质分别化简求出答案.【解答】解:由数轴可得:a﹣5<0,a﹣2>0,那么+|a﹣2|=5﹣a+a﹣2=3.故答案为:3.【点评】此题主要考查了二次根式的性质以及绝对值的性质,正确掌握掌握相关性质是解题关键..16.〔2021?聊城〕算:=12.【分析】直接利用二次根式乘除运算法化求出答案.【解答】解:=3×÷=3=12.故答案:12.【点】此主要考了二次根式的乘除运算,正确化二次根式是解关.17.〔2021?黄石〕察以下等式:第1个等式:a1==1,第2个等式:a2==,第3个等式:a3=2,=第4个等式:a4=,=2按上述律,答复以下:〔1〕写出第n个等式:a n==;;〔2〕a123⋯n1.+a+a++a=【分析】〔1〕根据意可知,a1==,2=,3=2 1a=a=,a4==,⋯由此得出第n个等式:n=;2a=〔2〕将每一个等式化即可求得答案.【解答】解:〔1〕∵第1个等式:a1=,=1第2个等式:a2=,=第3个等式:a3=2,=第4个等式:a4=,=2 .∴第n个等式:a n==;2〕a1+a2+a3+⋯+a n=〔1〕+〔〕+〔2〕+〔2〕+⋯+〔〕1.故答案=;1.【点】此考数字的化律以及分母有理化,要求学生首先分析意,找到律,并行推得出答案.18.〔2021?哈〕算2的果是2.【分析】先将各个二次根式化成最二次根式,再把同二次根式行合并求解即可.【解答】解:原式=2×33= 2,故答案:2.【点】本考了二次根式的加减法,解答本的关在于掌握二次根式的化与同二次根式合并.19.〔2021?天津〕算〔+〕〔〕的果等于2.【分析】先套用平方差公式,再根据二次根式的性算可得.【解答】解:原式=〔〕2〔〕2=53=2,故答案:2.【点】本考了二次根式的混合运算的用,熟掌握平方差公式与二次根式的性是关..20.〔2021?博野县校级自主招生〕化简:〔0<a<1〕=﹣a.【分析】结合二次根式的性质进行化简求解即可.【解答】解:==|a﹣|.0<a<1,∴a2﹣1<0,∴a﹣=<0,∴原式=|a﹣|=﹣〔a﹣〕=﹣a.故答案为:﹣a.【点评】此题考查了二次根式的性质与化简,解答此题的关键在于熟练掌握二次根式的性质及二次根式的化简.21.〔2021?绵阳校级自主招生〕如果最简二次根式与可以合并,那么使有意义的x的取值范围是x≤10.【分析】根据二次根式可合并,可得同类二次根式,根据同类二次根式,可得a 的值,根据被开方数是非负数,可得答案.【解答】解:由最简二次根式与可以合并,得3a﹣8=17﹣2a.解得a=5.由有意义,得20﹣2x≥0,解得x≤10,故答案为:x≤10.【点评】此题考查了同类二次根式,利用同类二次根式得出关于a的方程是解题关键..22.〔2021?温州校级自主招生〕a,b是正整数,且满足是整数,那么这样的有序数对〔a,b〕共有7对.【分析】A,B只能是15n2,然后分别讨论及的取值,最终可确定有序数对的个数.【解答】解:15只能约分成3,5那么A,B只能是15n2先考虑A这边:①,那么B可以这边可以是1或者,此时有:〔15,60〕,〔15,15〕,〔60,15〕,②,只能B这边也是,此时有:〔60,60〕,③,那么B这边也只能是,∴2×〔+〕=1,此时有:〔240,240〕④的话,那么B这边只能是,那么2〔+〕=1,此时有:〔135,540〕,〔540,135〕.综上可得共有7对.故答案为:7.【点评】此题考查二次根式的化简求值,难度较大,关键是根据题意分别讨论及的取值.23.〔2021?福州自主招生〕对正实数a,b作定义a*b=﹣a,假设2*x=6,那么x=.【分析】根据定义把2*x=6化为普通方程,求解即可.【解答】解:.∵a*b=﹣a,∴2*x=﹣2,∴方程2*x=6可化为﹣2=6,解得x=32,故答案为:32【点评】此题主要考查二次根式的化简,利用新定义把方程化为普通方程是解题的关键.24.〔2021?黄冈校级自主招生〕x+y=,x﹣y=,那么x4﹣y4=.【分析】把所给式子两边平方再相加可先求得x2+y2,再求得x2﹣y2,可求得答案.【解答】解:∵x+y=,x﹣y=,∴〔x+y〕22+2xy+y2〔〕2+,〔﹣〕22﹣2xy+y2=x==x y=x=〔〕2=﹣,∴x2+y2=,又x2﹣y2=〔x+y〕〔x﹣y〕=〔〕〔〕==1,∴x4﹣y4〔2+y2〕〔x2﹣y2〕=,=x故答案为:.【点评】此题主要考查二次根式的化简,利用乘法公式分别求得x2+y2和x2﹣y2的值是解题的关键.25.〔2021?黄冈校级自主招生〕=﹣〔x,y为有理数〕,那么x﹣y=1.【分析】把条件两边平方,整理可得到x+y﹣2,结合x、y均为有理数,可求得x、y的值,可求得答案.【解答】解:.∵=,∴〔〕2=〔〕2,即23= x+ y 2,∴x+y 2=2= +2,∵x,y有理数,x+y=+,xy=×,由条件可知x>y,x=,y=,xy=1,故答案:1.【点】本主要考二次根式的化,由条件求得x、y的是解的关.26.〔2021春?固始期末〕是正整数,数n的最大 11.【分析】根据二次根式的意可知12n≥0,解得n≤12,且12n开方后是正整数,符合条件的12n的有1、4、9⋯,其中1最小,此n的最大.【解答】解:由意可知12n是一个完全平方数,且不0,最小1,所以n的最大121=11.【点】主要考了二次根式有意的条件,二次根式的被开方数是非数.27.〔2021?山西模〕三角形的三分3、m、5,化=2m 10.【分析】先利用三角形的三关系求出m的取范,再化求解即可.【解答】解:∵三角形的三分3、m、5,2<m<8,∴=m 2〔8 m〕=2m 10.故答案:2m 10.【点】本主要考了二次根式的性与化及三角形三关系,解的关是熟三角形的三关系..28.〔2021?武侯区模拟〕假设实数m满足=m+1,且0<m<,那么m的值为.【分析】直接利用二次根式的性质化简进而得出关于m的等式即可得出答案.【解答】解:∵=m+1,且0<m<,2﹣m=m+1,解得:m=.故答案为:.【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简,正确开平方是解题关键.29.〔2021?龙岩模拟〕计算以下各式的值:;;;.观察所得结果,总结存在的规律,应用得到的规律可得=102021.【分析】直接利用数据计算得出结果的变化规律进而得出答案.【解答】解:=10;=100=102;=1000=103;=10000=104,可得=102021.故答案为:102021.【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简,正确得出结果变化规律是解题关键.30.〔2021?丹东模拟〕观察以下各式:=11+3×1+1,=22+3×2+1,=32+3×3+1,猜测:=20212+3×2021+1..【分析】根据题意得出数字变换规律进而得出答案.【解答】解:由题意可得:=20212+3×2021+1.故答案为:20212+3×2021+1.【点评】此题主要考查了二次根式的化简,正确得出数字变化规律是解题关键.三.解答题〔共10小题〕31.〔2021春?临沭县校级月考〕计算〔1〕﹣4+÷〔2〕〔1﹣〕〔1+〕+〔1+〕2.【分析】〔1〕先进行二次根式的除法运算,然后化简后合并即可;2〕利用完全平方公式和平方差公式计算.【解答】解:〔1〕原式=3﹣2+=3 ﹣2+2=3;〔2〕原式=1﹣5+1+2+5=2+2.【点评】此题考查了二次根式的混合运算:先把各二次根式化简为最简二次根式,然后进行二次根式的乘除运算,再合并即可.32.〔2021春?沂源县校级月考〕假设1<a<2,求+的值.【分析】根据a的范围即可确定a﹣2和a﹣1的符号,然后根据算术平根的意义进行化简求值.【解答】解:∵1<a<2,a﹣2<0,a﹣1>0.那么原式=+.+=﹣1+1=0.【点评】此题考查了二次根式的化简求值,正确理解算术平方根的意义,理解=|a|是关键.33.〔2021春?启东市月考〕x,y都是有理数,并且满足,求的值.【分析】观察式子,需求出x,y的值,因此,将等式变形:,x,y都是有理数,可得,求解并使原式有意义即可.【解答】解:∵,∴.x,y都是有理数,∴x2+2y﹣17与y+4也是有理数,∴解得∵有意义的条件是x≥y,∴取x=5,y=﹣4,∴.【点评】此类问题求解,或是转换式子,求出各个未知数的值,然后代入求解.或是将所求式子转化为值的式子,然后整体代入求解.34.〔2021?锦州〕先化简,再求值:,其中x=﹣3﹣〔π﹣3〕0.【分析】先根据分式混合运算的法那么把原式进行化简,再把化简后x的值代入进.行计算即可.【解答】解:,=÷,=×,=.x=﹣3﹣〔π﹣3〕0,×4﹣﹣1,=2 ﹣﹣1,﹣1.把x=﹣1代入得到:==.即=.【点评】此题考查的是分式的化简求值,在解答此类题目时要注意通分及约分的灵活应用.35.〔2021?湖北校级自主招生〕〔1〕|2021﹣x|+=x,求x﹣20212的值;〔2〕a>0,b>0且〔+〕=3〔+5〕.求的值.【分析】〔1〕由二次根式有意义的条件可知x≥2021,然后化简得=2021,由算术平方根的定义可知:x﹣2021=20212,最后结合平方差公式可求得答案.〔2〕根据单项式乘多项式的法那么把〔+〕=3〔+5〕进行整理,得出a﹣2﹣15b=0,再进行因式分解得出〔﹣5〕〔+3〕=0,然后∴根据a>0,b>0,得出﹣5=0,求出a=25b,最后代入要求的式子约分即可得出答案.【解答】解:〔1〕∵x﹣2021≥0,x≥2021.x﹣2021+=x..∴=2021.x﹣2021=20212.x=20212+2021.x﹣20212=20212﹣20212+2021=﹣〔2021+2021〕+2021=﹣2021.〔2〕∵〔+〕=3〔+5〕,∴a+=3+15b,a﹣2﹣15b=0,∴〔﹣5〕〔+3〕=0,a>0,b>0,∴﹣5=0,∴a=25b,∴原式===2.【点评】此题主要考查的是二次根式的混合运算,用到的知识点是二次根式有意义的条件、绝对值的化简、算术平方根的性质、平方差公式的应用,第〔1〕题求得x﹣2021=20212,第〔2〕求出a=25b是解题的关键.36.〔2021?山西模拟〕观察以下各式及其验证过程:〔1〕按照上述两个等式及其验证过程的根本思路,猜测的变形结果并进行验证;.2〕针对上述各式反响的规律,写出用n〔n为任意自然数,且n≥2〕表示的等式,并说明它成立.【分析】根据观察,可得规律,根据规律,可得答案.【解答】解:〔1〕5=验证:5====;〔2〕n=,证明:n====.【点评】此题考查了二次根式的性质与化简,运用n=的规律是解题关键.37.〔2021?仙游县校级模拟〕先化简,再求值:〔+〕÷,其中a=+1.【分析】利用通分、平方差公式等将原式化简为,代入a的值即可得出结论.【解答】解:原式=〔+〕÷,=?,=?,.当a= +1时,原式==.【点评】此题考查了分式的化简求值,解题的关键是将原式化简成.此题属于根底题,难度不大,解决该题型题目时,先将原代数式进行化简,再代入数据求值是关键..38.〔2021?高邮市一模〕求不等式组的整数解.【分析】首先解不等式组,注意系数化“1时〞,这两个不等式的系数为负数,不等号的方向要改变.还要注意题目的要求,按要求解题.【解答】解:整理不等式组,得∴∴∴;∴不等式组的整数解为﹣2,﹣1,0.【点评】此题考查了一元一次不等式组的解法.要注意系数化“1时〞,系数是正还是负,正不等号的方向不变,负不等号的方向改变.还要注意审题,根据题意解题.39.〔2021?太原一模〕阅读与计算:请阅读以下材料,并完成相应的任务.古希腊的几何学家海伦在他的?度量?一书中给出了利用三角形的三边求三角形面积的“海伦公式〞:如果一个三角形的三边长分别为a、b、c,设p=,那么三角形的面积S=.我国南宋著名的数学家秦九韶,曾提出利用三角形的三边求面积的“秦九韶公式〞〔三斜求积术〕:如果一个三角形的三边长分别为a、b、c,那么三角形的面积S=.〔1〕假设一个三角形的三边长分别是5,6,7,那么这个三角形的面积等于6.〔2〕假设一个三角形的三边长分别是,求这个三角形的面积..【分析】〔1〕把a、b、c的长代入求出S2,再开方计算即可得解;〔2〕把a、b、c的长代入求出S2,再开方计算即可得解.【解答】解:〔1〕p===9,S===6.答:这个三角形的面积等于6.2〕S====.答:这个三角形的面积是.故答案为:6.【点评】此题考查了二次根式的应用,难点在于对各项整理利用算术平方根的定义计算.40.〔2021春?饶平县期末〕:y=++,求﹣的值.【分析】首先根据二次根式中的被开方数必须是非负数,求出x的值是多少,进而求出y的值是多少;然后把求出的x、y的值代入化简后的算式即可.【解答】解:∵+有意义,.∴,解得x=8,∴y=++=++=0+0+=∴﹣=﹣=﹣=﹣﹣=【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件,要熟练掌握,解答此题的关键是要明确:二次根式中的被开方数必须是非负数,否那么二次根式无意义.单纯的课本内容,并不能满足学生的需要,通过补充,到达内容的完善教育之通病是教用脑的人不用手,不教用手的人用脑,所以一无所能。

二次根式提高复习

二次根式提高复习

二次根式(提高)1.二次根式:式子a(a≥0)叫做二次根式。

2.最简二次根式:必须同时满足下列条件:⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式;⑵被开方数中不含分母;⑶分母中不含根式。

3.同类二次根式:二次根式化成最简二次根式后,若被开方数相同,则这几个二次根式就是同类二次根式。

4.二次根式的性质:(1)(a)2=a(a≥0);(2)==aa25.分母有理化6.二次根式的运算:(1)因式的外移和内移:如果被开方数中有的因式能够开得尽方,那么,就可以用它的算术根代替而移到根号外面;如果被开方数是代数和的形式,那么先解因式,•变形为积的形式,再移因式到根号外面,反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面.(2)二次根式的加减法:先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式.(3)二次根式的乘除法:二次根式相乘(除),将被开方数相乘(除),所得的积(商)仍作积(商)的被开方数并将运算结果化为最简二次根式.(a≥0,b≥0);a>0).(4)有理数的加法交换律、结合律,乘法交换律及结合律,•乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式,都适用于二次根式的运算.【典型例题】1、概念与性质例1下列各式1其中是二次根式的是_________(填序号).例2、求下列二次根式中字母的取值范围(1)xx--+315;(2)22)-(x例3、在根式)A.1) 2) B.3) 4) C.1) 3) D.1) 4)例4、已知:的值。

求代数式22,211881-+-+++-+-=xyyxxyyxxxy=a(a>0)a-(a<0)0 (a=0);例5、已知数a,b=b-a,则 ( )A. a>bB. a<bC. a≥bD. a≤b2、二次根式的化简与计算1.化简:(1__ ;(2=___ (3___ _;(40,0)x y≥≥=___ _;(5)_______420=-。

(6=_________。

例1. 将根号外的a移到根号内,得 ( )A. ;B. -;C. -;D.例2.把(a-b)-1a-b化成最简二次根式例3、计算:例4、先化简,再求值:,其中例5、如图,实数a、b在数轴上的位置,化简:11()ba b b a a b++++4、比较数值(1)、根式变形法当0,0a b >>时,①如果a b >,>②如果a b <,<例1、比较与的大小。

二次根式提高练习题(含答案)

二次根式提高练习题(含答案)

一.计算题:1. (235+-)(235--);2. 1145--7114--732+;3.(a2mn-mab mn +mn nm )÷a 2b2mn ;4.(a +ba ab b +-)÷(b ab a ++aab b--ab b a +)(a ≠b ).二.求值:1.已知x =2323-+,y =2323+-,求32234232y x y x y x xyx ++-的值.2.当x =1-2时,求2222ax x a x x+-++222222ax x x a x x +-+-+221ax +的值.三.解答题:1.计算(25+1)(211++321++431++…+100991+).2.若x ,y 为实数,且y =x 41-+14-x +21.求xy y x ++2-xyy x +-2的值. 计算题: 1、【提示】将35-看成一个整体,先用平方差公式,再用完全平方公式.【解】原式=(35-)2-2)2(=5-215+3-2=6-215.2、【提示】先分别分母有理化,再合并同类二次根式.【解】原式=1116)114(5-+-711)711(4-+-79)73(2--=4+11-11-7-3+7=1.3、【提示】先将除法转化为乘法,再用乘法分配律展开,最后合并同类二次根式.【解】原式=(a2mn-m ab mn+mnnm)·221b a nm=21bnm m n ⋅-mab 1nmmn ⋅+22b ma n nmn m ⋅ =21b-ab 1+221b a =2221b a ab a +-.4、【提示】本题应先将两个括号内的分式分别通分,然后分解因式并约分.【解】原式=ba ab b ab a +-++÷))(())(()()(b a b a ab b a b a b a b b b a a a -+-+-+--=ba ba ++÷))((2222b a b a ab b a b ab b ab a a -++----=ba b a ++·)())((b a ab b a b a ab +-+-=-b a +.【点评】本题如果先分母有理化,那么计算较烦琐. 求值: 1.、【提示】先将已知条件化简,再将分式化简最后将已知条件代入求值.【解】∵ x =2323-+=2)23(+=5+26,y =2323+-=2)23(-=5-26.∴ x +y =10,x -y =46,xy =52-(26)2=1.32234232y x y x y x xy x ++-=22)())((y x y x y x y x x +-+=)(y x xy y x +-=10164⨯=652. 【点评】本题将x 、y 化简后,根据解题的需要,先分别求出“x +y ”、“x -y ”、“xy ”.从而使求值的过程更简捷. 2、【提示】注意:x 2+a 2=222)(a x +,∴ x 2+a 2-x 22ax +=22ax +(22ax +-x ),x 2-x22ax +=-x (22a x +-x ).【解】原式=)(2222x a x a x x-++-)(22222x a x x a x x -++-+221ax +=)()()2(22222222222x a x a x x x a x x a x x a x x -++-+++-+- =)()(22222222222222x a x a x x x a x x a x a x x x -++-+++++-=)()(222222222x a x a x x a x x a x -+++-+=)()(22222222x a x a x x x a x a x -++-++ =x 1.当x =1-2时,原式=211-=-1-2.【点评】本题如果将前两个“分式”分拆成两个“分式”之差,那么化简会更简便.即原式=)(2222x a x a x x-++-)(22222x a x x a x x -++-+221ax +=)11(2222ax x a x +--+-)11(22x x a x --++221a x +=x1.解答题: 1、【提示】先将每个部分分母有理化后,再计算.【解】原式=(25+1)(1212--+2323--+3434--+…+9910099100--)=(25+1)[(12-)+(23-)+(34-)+…+(99100-)]=(25+1)(1100-)=9(25+1).【点评】本题第二个括号内有99个不同分母,不可能通分.这里采用的是先分母有理化,将分母化为整数,从而使每一项转化成两数之差,然后逐项相消.这种方法也叫做裂项相消法.2、【提示】要使y 有意义,必须满足什么条件?].014041[⎩⎨⎧≥-≥-x x 你能求出x ,y 的值吗?].2141[⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==y x【解】要使y 有意义,必须⎩⎨⎧≥-≥-014041[x x ,即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤.4141x x ∴ x =41.当x =41时,y =21. 又∵xyy x ++2-xyy x +-2=2)(x y y x+-2)(xy y x - =|xy y x+|-|x yyx -|∵ x =41,y =21,∴ yx <xy .∴ 原式=xy y x +-yx xy +=2yx 当x =41,y =21时,原式=22141=2.【点评】解本题的关键是利用二次根式的意义求出x 的值,进而求出y 的值.。

精品 八年级数学下册 二次根式基础+综合提高题

精品 八年级数学下册 二次根式基础+综合提高题

B. a ab
C.a ab
3
Da . ab
八年级数学下册 同步提高练习
8.估算
50 2 3 的值( 2
) C.在 6 和 7 之间 D.在 7 和 8 之间
A.在 4 和 5 之间
m 1
B.在 5 和 6 之间
9.若 m 1 有意义,则 m 的取值范围是 10.已知 x 1 1 x 有意义,则 x _____________ .
D.点 N
1 有意义,那么,直角坐标系中点 P(m,n)的位置在 - mn
B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
8
八年级数学下册 同步提高练习
6.下面说法正确的是(
C. 2 与

B. 8 与 80 是同类二次根式 D.同类二次根式是根指数为 2 的根式
A.被开方数相同的二次根式一定是同类二次根式
能力提高: 1.如果 0<a< a ,那么 a 的取值范围是______ 2.计算
1 1 3 1 3 5 1 5 7 …… 1 2n 1 2n 1
的结果是_________
3.已知 a b 2 3 , b c 2 3 ,那么 a 2 b2 c2 ab bc ac 的值是_______ 4.已知 a, b 为实数,且 1 a b 1 1 b 0 ,求 a 2005 b 2006 的值。
5.已知: x 3 2 , y 3 2 ,求
3 2 3 2
x 3 xy 2 的值。 x 4 y 2 x3 y 2 x 2 y 3
7
八年级数学下册 同步提高练习
6.若
1 17 - 12 2
的整数部分是 a。小数部分是 b,那么 a2-ab+b2 的值。

九年级数学二次根式综合提高知识精讲

九年级数学二次根式综合提高知识精讲

初三数学二次根式综合提高【本讲主要内容】二次根式综合提高1. 本章知识网络、重点、难点2. 解有关二次根式题中的数学思想方法与本章学法建议3. 二次根式与勾股定理、解直角三角形、函数等知识的综合题4. 与根式有关的数学竞赛题举例【知识掌握】【知识点精析】本章的重点是二次根式的运算,二次根式的有关概念和性质是进行二次根式运算的基础,正确理解和运用二次根式的有关概念和性质是二次根式运算的关键,深刻理解和运用公式a a a a a a 200==≥-<⎧⎨⎩||()()是本章的难点.二. 解有关二次根式题中的数学思想方法与本章学法建议1. 二次根式四则运算的主导思想是利用二次根式的概念和性质转化成有理式的运算化简求解.常用到的方法有配方法、换元法、待定系数法等.基本方法如代入法、比较法、裂项法、特殊值判别法等等.2. 本章学法建议(l )抓对比,明确概念 本章概念多,容易混淆.学习时要抓住它们各自的特点进行对比,搞清概念间的联系和区别,如画出网络图建立二次根式与同类二次根式的联系和区别;这是获得知识、训练能力的有效方法.(2)抓类比,发展联想美国数学教育学家波利亚说:“类比就是一种相似,相似的对象在某个方面彼此一致,类比的对象则其相应部分在某些关系上相似.”学习二次根式时可以同算术平方根的符号、性质类比,这样学习数学就能逐步提高思维能力. (3)抓审题,提高素质由于前面分析过的难点,就使得学习时容易出现错误,特别在解题时,如不仔细审题,就容易用错概念,或挖掘不出隐含在题意或符号、算式中的关系和条件,所以在审题时要细心观察,善于联想,去伪存真,巧妙转化;再有,二次根式运算的题目往往比较繁杂,计算时要学会调控自己的情绪,沉着冷静,切忌浮躁,养成“审题、检查、反思”的学习习惯,培养良好的心理素质,提高自身综合素质. (4)抓“化简”,落实双基本章学习要抓住二次根式的运算这条主线,而二次根式的化简又是运算的表现形式,因此,要通过“化简”把算术平方根和二次根式的概念、性质,以至多项式的运算、多项式的因式分解等等知识有机地结合起来,并通过“化简”做到“明白算理,运算熟练,结果正确.”三. 二次根式与勾股定理、解直角三角形、函数等知识的综合题与勾股定理、解直角三角形、函数等知识的综合题常用到根式的运算.四. 与根式有关的数学竞赛题举例1. 基础知识是解答竞赛题的出发点和推理依据;2. 基本方法是解答竞赛问题的工具.【解题方法指导】例1. (2004,某某)若42b a |1b a |+++-与互为相反数,则=+2004)b a (_______. 解析:42b a |1b a |+++-与 互为相反数,42b a 0,|1b -a |04b 2a |1b a ≥++≥+=++++-∴|而⎩⎨⎧=++=+-∴04b 2a ,01b a ⎩⎨⎧-=-=∴1b 2a20042004200420043)3()12()b a (=-=--=+∴点评:绝对值、算术平方根、完全平方数为非负数.即:0|a |≥,0a ,0a 2≥≥.非负数有一个重要的性质,即若干个非负数的和等于零,那么每一个非负数分别为零.即:0b ,0a 0b |a |==⇒=+;0c ,0a 0c |a |2==⇒=+;0c ,0b 0c b 2==⇒=+;0c ,0b ,0a 0c b |a |2===⇒=++例2. 在实数X 围内分解因式. (1)3x 42-;(2)4y 94- 解:(1)原式)3x 2)(3x 2(-+=(2)原式)2y 3)(2y 3)(2y 3()2y 3)(2y 3(222-++=-+=例3. 比较下列数值的大小.(2001)(1) 3.4554与;(2)225103++与分析:为了比较两个数的大小,本题要用乘法运算的逆向思维法解决. 解:(1)4545805345348522=⨯==⨯=,.. 由8580<,得4.3554<(2)30213103213)103(2+=⋅+=+40213225213)225(2+=⋅+=+由4021330213+<+,得225103+<+ 考点:无理数大小比较的常用方法.例4.6的整数部分是_________,小数部分是________.分析:因为6是无理数,即无限不循环小数,所以把6分成整数部分a 和小数部分b ,其中a 是小于6且最靠近6的整数,而1b 0<≤,这样就可以从1a 60<-≤中先求出a ,再求出b .解:964<< ,即22362<<,362<<∴,即1260<-<又6 是无限不循环小数.6∴的整数部分是2,小数部分是26-.点评:通常把数x 的“不超过x 的最大整数”简称为“x 的整数部分”,常用“高斯记号”表示为[x],并且[x]满足条件:(i )[x]是整数;[ii]1]x [x ]x [+<≤.而x 的小数部分则记为[x],即]x [x ]x [-=.求[x]的方法常用估值法,如本题中由964<<推出362<<,立即得到2]6[=例5. 已知15a21231321211-=+++++++,则a =_________ 分析:把已知式的前三项分母有理化后,解出a . 解:已知式化为15a21322312-=++-+-+- 25a21-=+∴251a 2-=+,25a 2+=+, 5a =∴点评:因a21+之前的各项分母有理化后,“环环相扣,前后相消”,仅留2,就好求a 了.进一步看到,若把2看成4,则514a =+=.发展:已知1101a 10110991231321211-=+++⋯++++++,则a =______.(答案:a 101=)【考点突破】【考点指要】二次根式的概念及其运算在中考说明中是C 级知识点,它们常与整式、分式、解直角三角形、函数等知识综合在一起,以选择题、填空题、计算题等题型出现在中考题中,大约占有4—8分左右.解决这类问题需熟练掌握二次根式的概念和运算法则,并能灵活应用,掌握其中的数学思想方法.【典型例题分析】例1. (1)(2002年某某省某某市中考题)当251m -=时,求代数式m1m +的值. (2)(2002年某某省中考题)已知12y ,12x +=-=,求xyy x +的值. (3)(2002年某某省内江市中考加试题)已知8ab ,8b a =-=+,求baa ab b +的值. (4)(2002年某某省中考题)填空题:已知3xy =,那么yxy x y x+的值是_______. (5)已知6a1a =+,求a 1a -的值.分析:把已知条件的变形与“目标”的变形结合起来考虑.解:(1) 25251m +=-=,25m 1-=,522525m1m =-++=+∴(2)12y ,12x +=-= ,1xy ,22y x ==+∴∴原式62)22(xyxy2)y x (xy y x 2222=-=-+=+=(3)08b a ,08ab <-=+>= ,∴b a 、同号,且都为负. ∴原式2222baba a ab b b ab a a ab b⋅+⋅=+=abab ab 2)b a (abab b a ab )b a a b (ab baab a b ab |b |a ab |a |b 222⋅-+-=+-=⋅+-=-+-=+=212881664-=--=点评:本题难点是由0ab >,且0b a <+确定a 、b 都是负数,从而为化简2a 和2b 创造了条件.(4)原式22y xyy x xy x+= xy )|y |y |x |x(y xy y x xy x 22+=⋅+⋅=03x y >= y x 、∴同号.当0y ,0x >>时,原式=32; 当32,0y ,0x -=<<原式时. 因此,yx y x y x+的值等于32±. 注意:此题与上题不同之处在于少一个条件,所以只能得出x 、y 同号的结论,从而必须对x 、y 同为正或同为负分别求出结果.(5)解法1:6a1a =+, 24a 1a 1a 2a 4a1a 6)a 1a (22222-=+⋅⋅-∴=+∴=+∴ 即2)a 1a (2=-∴2a1a ±=-解法2:设x a 1a =-,则22x )a1a (=-①由6a 1a =+,得6)a 1a (2=+②②①-,得 46x 2-=-2a1a 2x 2x 2±=-∴±==∴即 点评:解法2是由于目标与已知条件结构基本相同(只差一个符号)并在解法1的启发下得到的,这个解法实际上是换元法.所以在解题时应让思维X 开联想的翅膀,也许就会发现好解法.★归纳一猜想一证明例2. (2000年某某省中考题)观察下列各式及其验证过程:①223223=+,验证:2232322221332==-+-()=-+-=+22122122322()②338338=+,验证:3383833331332==-+-()=-+-=+33133133822() (1)按照上述两个等式及其验证过程的基本思路,猜想4415的变形过程,并进行验证; (2)针对上述各式反映的规律,写出用n (n 是任意自然数,且n ≥2)表示的等式,并给予证明. 分析:(1)观察题中所给两个式子及其验证过程,容易看出规律:左边的根号外的数与根号内的分子相同,分母是分子的平方减1,右边是根号外的数移进根号内,加上左边根号内的分数;(2)把(1)中的语言叙述改为用n 表示的等式.解:(1)猜想:44154415=+. 验证:441541544441441441441533222==-+-=-+-=+().(2)猜想:nn n n nn 2211-=+-(n 为任意自然数,且n ≥2). 证明: n nn n n n n nn 23232111-=-=-+-()=-+-=+-2n n n n n nn ()11122, ∴-=+-nn n n nn 2211. (2004年某某省中考题)观察下列各式:113213214314+=+=,,315415+=,……. (1)请你将猜想到的规律用含自然数n n ()≥1的代数式表示出来是_______; (2)请用数学知识说明你所写式子的正确性.答案:(1)n n n n ++=++12112()(n 是自然数,n ≥1). (2)n n n n n n n n n ++=+++=++=++122121211222()().点评:本题既是阅读理解题,又是结论探索题,第(1)小题给出两个例子,并在验证中提示了解决问题的信息,这些信息足以引起数字规律的联想,指导猜想的定向,作出结论.这种题的解题思维过程可概括为:观察—归纳—猜想—验证—证明.此题构思新颖,难度适中,可以较好地考查学生的阅读理解能力、观察比较能力、类比迁移能力、归纳猜想能力和探究能力.可以预料,随着素质教育的深化和“新课标”的实施,这类新型题目将会更普遍地出现在各地的中考试题之中.★巧解竞赛题例 3. (1)(2002年全国初中数学联赛试题)选择题:已知a b =-=-21226,,c =-62,那么a b c 、、的大小关系是()A. a b c <<B. b a c <<C. c b a <<D. c a b << (2)(第7届美国数学邀请赛试题)计算:282930311⨯⨯⨯+. (1)分析:直接比较(求差法、求商法)或平方后比较都不好判断;“山穷水尽”之际,想想利用分母有理化比较倒数的大小,或许能“柳暗花明”. 解:显然a b c 、、都是正数.112121a =-=+, 112262262262b =-=+=+, 1162622162c=-=+=+. 643>>,∴=>⋅=>=222232262421,∴+>+>+26221621,于是,1110b a c>>>.∴<<b a c .故选B .点评:在许多常用方法无法解决的时候,想想不常用的比较倒数大小方法,或许能够解决大问题.本法就是一个成功的例子.用分母有理化就解决了竞赛难题.(2)分析:这些计算题虽然很繁杂,但或者可用字母代数以简化算式,或者利用已知条件简化算式. 解:(1)设n =30,则原式=--++=---+()()()()()n n n n n n n n 21112122=---+=--=--=--=()()()||||n n n n n n n n 2222222211130301869点评:本题先用字母代换数(换元法),创造了应用代数式恒等变形的条件,在作多项式乘法时,采用第1、4两个因式相乘,第2、3两个因式相乘,目的是得出第三个等号后面根号内的完全平方式.这个题目的解决综合应用了换元法、配方法.例4. 某船在点O 处测得一小岛上的电视塔A 在北偏西60︒的方向,船向西航行20海里到达B 处,测得电视塔在船的西北方向.问再向西航行多少海里,船离电视塔最近(结果可保留根号)?分析:首先,根据题意绘出示意图,如图.∠=︒∠=︒=AOB ABC OB 304520,,海里,作AC OB ⊥的延长线于C ,AC 即为船与电视塔的最近距离,这样问题就归结为求BC 的长是多少海里.解:如图,过点A 作AC OB ⊥的延长线于点C .∵∠=︒AOC 30,∴AC OA =12. 又∵∠=︒ABC 45,∴AC BC =.设BC x =海里,则AC x =海里,OA x =2海里. 在Rt OAC ∆中,由勾股定理得 AC OC OA 222+=, x OC x 2222+=(),∴OC x =3, ∴x x x +==-=+203203110310,().答:再向西航行()10310+海里,船离电视塔最近.点评:本例是一道测量问题,首先须正确理解方位角、方向角等概念的含义,最后运用勾股定理、二次根式的运算去求解.【综合测试】一. 选择题:1. 计算:13912x x x x-的结果是() A.xB. x x x ()12-C. x x x 21()-D. 02. 化简---x x x31的正确结果是() A. ()x x --1 B. ()1--x x C. ()1-x xD. ()x x -13. (2002年某某省某某市中考题)已知xy <0,则x y 2化简后为() A. x yB. -x yC. x y -D. --x y4. 若最简根式m n m n m n m n ++-+-+-71433423与是同类二次根式,则()A. m n ==104,B. m n ==187,C. m n ==21,D. m n ==64,5. 当a <-4时,|()|222-+a 等于()A. 4+aB. -aC. --4aD. a6. (2001年某某市中考题)多项选择题:下列多项式中,能在实数X 围内分解因式的是()A. x 24+B. x 22-C. x x 21--D. x x 21++二. 化简:x y x yx y xyx y--++++2三. 求代数式的值: 1. 已知a b =+-=-+31313131,,求aa b ba b -++的值.2. 已知a b =-=+152152,,求b a ab ++2. 3. 设0116<<+=a a a ,且,求a a -1的值.4. 已知x x x x =+-+-23326272,求的值.5. 已知x =+23,求x x x 428431--+的值.四. 正误辨析1. 指出下式中的错误,说明理由,并予以改正: a b a b 22+=+2. (2000年某某省中考题)对于题目“化简并求值:11222a a a ++-,其中a =15”,甲、乙两人的解答不同. 甲的解答是:11211222a a a a a a ++-=+-() =+-=-=112495a a a a a . 乙的解答是: 11211222a a a a a a ++-=+-() =+-==1115a a a a 谁的解答是错误的?为什么?五. 计算:36333635363936413636363638⨯⨯⨯+-⨯六. (1994年市数学竞赛初二试题)若实数m 适合关系式35223199199x y m x y m x y x y +--++-=-+⋅--,求m 的值.七. 某号台风中心位于O 地,台风中心以25千米/时的速度向西北方向移动,在半径为240千米的X 围内将受影响.城市A 在O 地正西方向与O 地相距320千米处,试问A 市是否会遭受此台风的影响?若受影响,将有多少小时?综合测试答案一. 选择题: 1. D解:由90x ≥且10x>,得x >0. ∴原式=⋅-⋅=-=-=1330222x x x x xx x x x x x x x x故选D .点评:本题由两个根式的隐含条件90x ≥且10x>,得到整个代数式隐含条件x >0. 2. B 由-≥x 30且->10x,得x <0, ∴原式=-⋅--=⋅--⋅-x x x x x x x xx x 22||||=--+-=--x x x x x ()1.故选B . 3. B 由xy x y <≥⎧⎨⎩002得x y <>⎧⎨⎩0 ∴原式==-||x y x y ,故选B .点评:本题的条件由题设条件和二次根式的隐含条件组成;由xy <0得出x 和y 异号,即x y ><00,或x y <>00,;由x y 20≥,x 20≥,得y ≥0.综合xy <0的情况,得出y >0,从而x <0.故本题的情况比较复杂,需要综合题设条件和隐含条件才能确定原式中x ,y的符号,这样才得出唯一的结果.4. C分析:注意题干中所说的“同类二次根式”. 解:由同类二次根式的定义,得34233427143m n m n m n m n m n -=+--=++=-+⎧⎨⎪⎩⎪,,.①②③ 由①、②解得m n ==⎧⎨⎩21 把m n ==21,代入③,也是③的解.∴==m n 21,是这个方程组的解.故选C .5. C解: a <-4,∴+<+<-<a a 40220,∴+=+=-+()||()2222a a a∴-+=++=+=--|()|||||2222442a a a a故选C .6. B 、C解:(1)x x x x 2222222-=-=+-()()()x x x x x 2222114541252--=-+-=--()()() =---+()()x x 152152又x 24+和x x 21++在实数X 围内不能分解因式,故选B 、C .二. 解:原式=--+++⋅+()()()()x y x y x y x y x y22222 =+--+++()()()x y x y x yx y x y 2 =+++=+x y x yx y 2()三. 1. 分析:①a b ,互为倒数关系,并可把a b ,化简;②所求代数式也可简化. 解:a b =+=+=+=-(),312423223232 原式=+-+--=-+-=+a a b a b b a b a b a b ab a b ()()223223=+=+3133332. 分析:a b ,互为倒数,ab =-+=152521()()a b ,有理化后的和为a b +=++-=525225 解:原式=++=+==b a ab ab a b ab 2222225120()() 考点:最简二次根式的概念,分式及根式的计算.3. 分析:目标与已知条件在结构上基本相同,可以考虑如上面的解法2那样用换元法. 解:设a ax -=1,则 ()a ax -=122, ∴=+-=-=x a a212624 01<<a∴<<01a ,∴>11a. ∴=-<x a a10. ∴=-x 2 即a a-=-12. 4. 分析:一种方法是把x 的值代入原式直接求值;另一种方法是抓住已知式与原式的联系,把已知式变形,让已知式及其变形向原式靠拢. 解:由x =+23,得x -=23,∴-=()x 232,∴=-x x 241∴原式=--+-=+-=-++-=+-3412627103275273532753827()()x x x x x x x x =++-=+-=++-=+5382237538233538233129437633()(). 5. 解法1:由x =+23,得x -=32,两边平方,得x x 22332-+=∴+=x x 2123 两边平方,得x x x 4222112++=,∴-+=x x 421010∴原式=-++-+-()()x x x x 42210122312=+⨯-=-02022解法2:原式=--+x x x 228431()=---+=-+()()23123943112243102x x x x x210x 32412x 32410x 324)1x 32(12-=+--=+--=四. 1. 分析:对字母的值要分正、负、零的情况进行讨论.解:原式的错误是把a b ,都看成了非负数.但是,按算术平方根的定义,应有:当a ≥0时,a a a 2==||;当a <0时,a a a 2==-||因此改正如下:(i )当a b ≥≥00,时,a b a b a b 22+=+=+||||;(ii )当a b ≥<00,时,a b a b a b 22+=+=-||||;(iii )当a b <≥00,时,a b a b a b 22+=+=-+||||;(iv )当0b ,0a ≤≤时,a b a b a b 22+=+=--||||; 点评:分类讨论时,对分类的要求是“不重复,不遗漏”.2. 分析:紧扣a a a a a a 200==≥-<⎧⎨⎩||(),(). 解:乙的解答是错误的,因为当a =15时,1510a a a=-<,,所以()a a a a -≠-112,而应该是a a1)a 1a (2-=-.五. 设n =3639,则 原式=--++---()()()()()n n n n n n 6423631=---+---()()()()n n n n n n 2241243631=---+---()()()()n n n n n n 22241243631=-----()()()n n n n 224631=----+=---+-=-||()n n n n n n n n 2222464346439点评:本题虽然是含有四个4位数的乘法,但一经换元,繁难程度立即降低到如同上一题,也同样轻松地解决了.六. 分析:根据非负实数a 中的字母a 的取值X 围:a ≥0,可以得出已知式中有关数的X围;两个非负数之和为零,则每个非负数必为零.解:由已知关系式的右边,得x y -+≥1990,且1990--≥x y ,即x y +≥199且x y +≤199,∴+=x y 199于是,原关系式变为352230x y m x y m +--++-=.∴+--=+-=⎧⎨⎩3520230x y m x y m ①② ②①⨯-2,得x y m ++-=20,∴=++=+=m x y 21992201.点评:本例所给关系式中含三个字母x 、y 、m ,要从中求出m ,似乎不可能.但是仅仅利用了二次根式的非负性(被开方数非负和算术平方根非负),得出x y +≥199且x y +≤199,使x y +“左右为难”,只好取“=”号;再由非负数之和为零得出等式①和②,使问题得到解决.七. 解:在O 点建立方位图,如图所示,由题意,OA=320千米,∠=︒145作AP OP ⊥,由于AP OP OA AP OA 222222+==,,得OA AP AP OA ==⋅212,=<1602240,所以A 市将遭受台风影响.又设台风到B 处开始影响A 市,到B'处结束对A 市的影响,即AB AB =='240,因此 BB BP AB AP '()==-=-22224016022222=160所以,影响的时间为t BB v ==='.台1602564(小时) 说明:由本例看到,我们只要收集到台风中心移动的速度、移动方向及台风影响的X 围,即可推知是否受台风影响及影响的时间,以早作抗灾准备.。

二次根式加减(提高版).

二次根式加减(提高版).

比较大小: 2+2 3和 6+2 2
2009 2008与 2007 2006
求证:
( n n 1)( n n 1) 1
则有:
n n1
1
n n1
n n1
1
n n1
求值:
1

1

2

1 2
... 3
1 2009
2010

8.若x 3 2,则(x 1)2 2(x 1) 2
x
x
的值为( )
提高题
比较根式的大小.
6 14和 7 13
解:∵( 6 14)2 6+2√ 84 +14=20+2√ 84
( 7 13 )2 20+2 91
又 ∵ 6 14 0
7 13 0
6 14 7 13
钢架,大约需要多少米钢材(精确到0.1
米)?
B
2m
A
4m
解: 根据勾股定理得:
D C
1m
AB AD2 BD2 42 22 20 2 5
BC BD2CD2 22 12 5 所需钢材的长度为: AB BC AC BD.
3 5 7 13.7
练习2:
如图,两个圆的圆心相同,它们的面 积分别是8cm2和18cm2,求圆环的宽度 d(两圆半径之差).
解:R r S s 18 8

R-r
3 2 2 2 2



答:圆环的宽度d为 2 cm.
练习1.已知x 5, y 3 2, 求: 1 1 的值。

二次根式综合提高(完整资料).doc

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【最新整理,下载后即可编辑】二次根式综合提高1.下列二次根式中,是最简二次根式的是( ) A .xy 2 B .2ab C .21D .422x x y +2.下列二次根式中,的取值范围是3x ≥的是( )A .3x -B .62x +C .26x -D .13x -3.若2(21)12a a -=-,则()A .<12B.≤12C.>12D.≥124.已知x =,y =,则x 2+xy +y 2的值为( )A .2B .4C .5D .75.下列二次根式,不能与12合并的是( )A .48B .18C .311D .75- 6.化简aa --3的结果是( )A .a B .a - C .a -D .a --7.若m 203,则估计m 的值所在的范围是( )A . 2<m <3B . 1<m <2C .3<m <4D .4<m <58.已知211a aa a--=,则a 的取值范围是( )A .0a ≤B .0a <C .01a <≤D .0a >9.计算1333÷⨯的结果为( ) A .3B .9C .1D .3310.已知3()(221)3m =-⨯-,则有( ) A .5<m <6 B .4<m <5C .-5<m <-4D .-6<m <-511.如果ab >0,a +b <0,那么下面各式:①a a bb=,②1a bb a=,③aab b b÷=-,其中正确的是( ) A .①② B .②③C .①③D .①②③12.计算(232)(323)--的结果是( )A .666-B .6663626--+C .6D .6662636+--13.实数a 在数轴上的位置如图所示,则22(4)(11)a a -+-化简后为( )A .7B .-7C .2a -15D .无法确定14.若1983-的整数部分是a ,小数部分是b ,那么2a+b 的值是( )A.3 B.3- C.23+ D.23-15.若y =++2,则=_____________. 1624n n 的最小值是 .17.把1(2)2a a--的根外的因式(2)a -移到根号内得 .18.当1<x <4时,|x -4|+122+-x x =________________. 19.把1x x-根号外的因式移入根号内,结果化简为_________.21.已知a ,b 为有理数,m,n 分别表示57-的整数部分和小数部分,且21amn bn +=,则2a b += . 22.若两个连续整数x y ,满足51x y <+<,则x y +的值是.23.若3288x x x x +=-+,则x 的取值范围是 . 24.36333635363936413636363638⨯⨯⨯+-⨯= .25.设m,x,y 均为正整数,且y x m -=-28,则x+y+m= . 26.当x ________时,式子4||35--x x 有意义.27.已知0 < x < 1,化简2212x x +-=______________.28.计算:(321)(321)+--+=______________.30.化简:2115141075++++31.先化简,再求值:÷(2+1),其中=2-1.32.已知:6a b +=-,8=ab .求+b a a b的值.33.已知5216812-=+---x x x x ,求x 的取值范围.34.解方程:2(123)3x y z x y z ++=---+.35.因为223)12(2-=-,所以12223-=-,因为223)12(2+=+,所以12223+=+, 因为347)32(2-=-,所以32347-=-,请你根据以上规律,化简下列各式:(1)625-; (2)36.已知2a =-4328161a a a a -+-+的值.37.如果a +b =1-a +b 3,求ab 的值.。

人教数学八年级下册《二次根式》的巩固与提升分专题例谈 .docx

人教数学八年级下册《二次根式》的巩固与提升分专题例谈                 .docx

初中数学试卷桑水出品《二次根式》的巩固与提升分专题例谈赵化中学 郑宗平在数式相关的题型中,含二次根式的题是同学们感到比较头疼的,特别是其综合解答题的正确率也比较低;二次根式涵盖知识点多,解答的技巧性强;不但在代数中占据很重要的位置,而且有时在几何计算中也常能发挥很关键的作用,二次根式是很能考查同学们在初中阶段的数学素养的;下面我“分类”例举的一部分题型是对二次根式的巩固与提升,让我们来共同探究. 一、善于挖掘隐含条件,准确的“移进”和“移出”. 例( )A.--D.分析:a 0≤的条件.这是因为根据二次根式的定义可知3a 0-≥,所以a 0≤==- C.例2.把(a 1- .分析:(a 1-101a>-的条件,所以1a 0->,可得a 1<,所以a 10-<;所以 ()a 11a -=--=(a 1-.点评:关于二次根式的根号内外的“移进”和“移出”,关键是要抓住二次根式的被开方数是非负数这个特点,先确定字母的隐含的取值范围,a 进行“移进”和“移出”的变形化简;这类题在考试中常出现在考题的填空和选择题中,是正确率比较低的热点考题. 追踪练习:1.把下列各式化简:①;②.2.把根号外的因式“移入”根号内:①...(x 1-;④.-二、利用二次根式中的算术平方根的双重非负数性[ )a 0≥有a 00≥]巧解题 例1.x y 、6y -,求1x y -的值?分析:根据式子有13x 03x 10-≥⎧⎨-≥⎩,从中可求得x 的值,进一步求得y 的值,使问题得以解决.略解:根据题意可知:13x 03x 10-≥⎧⎨-≥⎩ 解得:1x 3=;把1x 3=6y =-有:6y -,解得:y 6= 所以111x y 636183--⎛⎫=⨯=⨯= ⎪⎝⎭.例2.已知:2a 12a =,求20151ab 2⎛⎫⎪⎝⎭的值?分析:2a 2a 10-+=()2a 10-=,利用非负数的性质可求得ab 、的值.略解:2a 2a 10-+= ,进一步可得()2a 10-=0,()2a 10-≥∴ ()2a 10⎧-=⎪= ∴a 10a b 10-=⎧⎨++=⎩ 解得:a 1b 2=⎧⎨=-⎩∴()()20152015201511ab 121122⎛⎫⎡⎤=⨯⨯-=-=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦.例3.分析:本题显得比较抽象,似乎难以找到突破口,但题中有二次根式这一重要特点,所以抓住从被23a 0-≥,可求得a 0=. 略解:23a 0-≥,可得a 0≤ ;又∵a 0≥ ∴a 0= ∴原式32106+++=.点评:二次根式的算术平方根的双重非负数性是属于考试中的高频考点,这个知识点容易与其它知识点联姻构成有一定含金量的综合题,而双重非负数性在其中扮演的往往是关键角色,上面的几道例题就是要抓住算术平方根及其被开方数都是非负数的破题;比如很多同学对于例3这类题不知从何入手,但只要抓住本题是二次根式构建的,从被开方数是非负数这点入手,就可以隐藏在其中的a 的值挖出来,从而使问题得以解决. 追踪练习:1.已知y=2.已知a 40-,化简并求22222a ab a abb a b+-+-的值? 3.若2m6m 9-+xy 的值?4.的值?5.已知2014a a -+,试求2a2014-的值? 三、逆用()2aa 0=≥即()2a a 0=≥巧化简.例1.化简:+ 分析:根据题中式子可知,a 0b 0≥≥,∴,22a b==∴22a b -=-=,等,即逆用()2a a0=≥可以巧化简.略解:原式=()()222222⎛⎫-⎪+⎪⎪⎝⎭=22⎛⎫=ab⋅ab ab=ab ab--=a bab+-例2.分析:本题按常规可以把分母中根号化去,但若用()2a a=≥可以进行巧算,更简捷.分子分别有)231=,22253=-=-=.略解:原式=21==-=点评:逆用()2a a0=≥即()2a a0=≥来化简、计算或分解因式等往往能起到“四两破千斤”的作用.比如例2的计算化简(主要把分母中的根号化去,即分母有理化),按常规方法要分子和分母要同时乘以有理化因式,在计算中是容易出错的,但用()2a a0=≥进行巧算,可以做到快速准确.追踪练习:1.-.2.化简:⎫3.已知:y18=的值?a=计算或化简.例1.若0m1<<111m1m⎛⎫+⨯⎪+⎝⎭.分析:本题关键是含二次根号的部分化简.的221m2m+-可以借助因式分解的方法化成21mm⎛⎫-⎪⎝⎭a=来可将根号化去.略解:∵0m1<<2111mm mm m m-=-=-=∴原式=()()21m1m1m11m11m1m m1m m m11m1m+---⎛⎫⨯+⨯=⨯⨯=⎪++++⎝⎭.例2.若ab c、、为ABC的三边.分析:a的部分的正负情况是本题的关键,根据三角形三边之间的关系可以搞定.略解:∵a b c、、为ABC的三边∴,,a0b0c0>>>;a b c-<;b c a+>;c b a-<.∴,,,a b c0a b c0b c a0c b a0++>--<+->--<∴原式=a b c a b c b a c c b a+++--+-+---=a b c a b c b a c c b a++-+++-++--=2a2b4c-++例3.分析:双重二次根式的计算或化简往往是同学们感到比较抽象的.其实关键也是把被开方数部分化成“平方”的形式,本题比较抽象的是被开方数部分是两“项”,但我们若用“拆项”的技巧,可以使问题得以解决.也就是2532-=-=-,此时被开方数可以化成2a=来可将外层根号化去.===点评:a=也是属于考试中的高频考点,这个知识点更容易与其它知识点联姻构成的综合题,本专题的前面两道例题就这方面的题型. 《二次根式》一章“几乎所有”涉及计算或化a =的这个二次根式的性质.a 抓住这几个环节:首先想办法把被开方数写成2aa ;最后根据绝对值的代数意义[ 即 ()()a a 0a a a 0⎧≥⎪=⎨-≤⎪⎩ ] 来化简. 追踪练习:1.计算:①(()211---+;②2. 实数m n 、 如图所示:请化简3. 1= a ? 五、利用幂的运算法则、乘法公式等进行二次根式的计算或化简例.计算:1. ))2015201544; 2.(21-; 3..分析:本例的3道小题都是幂的运算法则、乘法公式在二次根式中的稍难运算的运用.1小题逆用积的乘方的法则和平方差公式进行计算;2小题可以把括号的其中两项看成一个整体,然后里利用完全平方公式计算;3小题抓住两个括号里的“项”相同..和互为相反数.....的特征,利用平方差公式可以进行简便运算.略解:1.原式)()()222201520152444151611⎡⎤⎡⎤==-=-=-=-⎢⎥⎣⎦⎣⎦;2.原式((2221116⎡==++==-⎣3.原式22235⎡⎡=+-=-=+-=⎣⎣点评:二次根式的运算中,以前学习过的法则、运算律以及乘法公式同样适用.本专题的三个例子都是同学们感到有一定难度的计算题,但是我们运用幂的运算法则、乘法公式使其运算过程大大简化了;运用幂的运算法则、乘法公式要注意两点:其一.运算式子有没有符合法则和公式的结构特征;其二.要有整体的思想. 追踪练习: 1.计算: ①.;②.2⎝⎭;③.2;④.(21;⑤.))2015201622;⑥. (11-. 2. .计算:22-.六、含二次根式的代数式的整数部分与小数部分例.已知a 是1-b 5的小数部分,c abc 的值? 分析:由..,14014123<<<可得:,,61575823-<--<<<<.由此根据题中的条件可以分别确定题中a b c 、、的值. 略解:∵..,14014123<<<∴,,61575823-<--<<<< ∴,,a 5b 572c 2=-=-== ∴())()()()22abc 522522256450⎡⎤=-=--+=--=⎢⎥⎣⎦点评:含二次根式的代数式的值的整数部分与小数部分的确定,关键是确定根式部分值的范围,然后在此基础上确定整个代数式的值的范围,使其整数部分与小数部分得以确定;特别要注意其小数部分往往是一个含二次根式的式子,它是整个式子减去整数,比如上面b c 、的值的确定:,b 572c 2=-==,除非题有要求,小数部分不要写成一个近似的小数,而是一个含二次根式的式子,这正是这类题的“魅力”所在,是众命题人青睐和关注的原因. 追踪练习:1.若x y 、分别是822xy y -的值?2.已知a b 、分别为62a b -的值?3.5+a ,5的小数部分是b ,求ab 5b +的值?4.的整数部分为a ,小数部分为b ,求22a b +的值?5.已知x 是6y 2的小数部分,z 是)12-的整数部分,求22x z y z -的值? 6. 周六,小华的妈妈和小华作了一个小游戏.小华的妈妈说:“你现在学习了二次根式,若m 表示n 表示它的小数部分,我这个钱包里的钱数是)m n ⋅元,你猜一下这个钱包的钱数是多少?若猜对了,钱包里的钱就由你支配.”你能运用数学知识帮小华获得支配权吗? 七、整体代换·巧变求值.例1. 已知x 5y 5=-=+,求223x 5xy 3y ++的值?分析:从要求值的式子特征来看,若直接代入求值计算过程比较繁琐;若从223x 5xy 3y ++变形即()2223x 6xy 3y xy 3x y xy ++-=+-,从已知整体求出xy 和x y +的值,整体代入过程便变得简捷了. 略解:∵x 5y 5=-=+∴(((,xy 5525241x y 5510=-+=-=+=-++= ∴原式()22223x 6xy 3y xy 3x y xy 31013001299=++-=+-=⨯-=-= 例2.已知a b =2a b +的值.分析:从要求值的式子特征来看,是以ab 和a b +为架构的;恰巧a b 、互为倒数,所以我们可以先整体求出ab 和a b +的值,在此基础上求代数式的值便轻松了.11-m n略解:∵a b==∴()(,22ab1a b232434314==+==++=++-=2a b11961961196195++==--点评:上面两道题如果直接代入求值,计算量比较大,而且容易出错,通过观察已知和要求的值的式子,发现都可以变形和化简,若运用整体的代换的思想,“两头凑”,也就比较容易求出式子的值.追踪练习:1.若x2=2x4x6--的值?2. 已知:,11a b22==,求:①.22a ab b-+的值;②.a bb a+的值.3.已知:x y y z--=222x y z xy xzyz++---的值?八、稍复杂的含二次根式的代数式值的大小比较例..分析:我们采用“倒数法”,倒数值大的反而小,问题便可以解决.略解:设m n==m n====>∴m n>∴11m n<点评:平时我们常用“近似数法”、“平方法”和“比差法”等来比较含二次根式的代数式值的大小,但稍微复杂的,这些方法就不管用了,所以必须突破常规才能解决问题.比如本题采用“倒数法”,通过分母有理化分别求出原式的倒数值,比较其倒数的大小,从而比较原式值的大小.追踪练习:1.比较大小:()--(填“>”或“<”或“=”)2.()(填“>”或“<”或“=”)3.的大小.4.设a>b>c>d>0且,x y z===x、y、z的大小关系.九、解含无理系数的方程(组)和不等式(组)例1.解x1>+分析:本题关键是未知数的系数含有无理数,在系数化为1的时候要特别注意系数的正负情况,同时要注意将结果中分母中的根号化去,即分母有理化.略解:由x1+得x1>∴(1x1>∵1∴x=∴x1=-例2.解方程组:2y++分析:解二元一次方程组的方法消元.关键是本题未知数的系数含有无理数,这种特点的方程组若采用代入消元法,过程较为繁琐,一般采用加减法消元.略解:①3y+=③③-②得:y=将y=+=解得:x=∴原方程组的解是xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩点评:解含无理系数的方程(组)和不等式(组)都要注意结果要把分母中的根号化去(即分母有理化),解含无理系数的方程(组)一般采用加减法更简捷,而解含无理系数的不等式(组)要注意的是系数化为1时系数的正负性.追踪练习:1.1>+;2.解方程组:11+==十、几何计算中的二次根式运算或化简例1.若一个矩形的的周长为cm,一边长为cm,求另一边长和此矩形的面积?分析:根据矩形的的周长可以先求出两邻边的和(即长与宽的和),再用两邻边的和减去已知的一边长;根据矩形的面积公式可求得矩形的面积.略解:根据题意和矩形的周长公式可知另一边为:1111122222-==⨯⨯==矩形的面积为:66=-=故矩形另一边长为(cm,而矩形的面积为2cm例2.如图,在方格纸中的小正方形的面积为1,ABC的三个顶点都在小正方形的格点上,小刚通过观察探究得出如下结论:①.△ABC 的形状是等腰三角形;②.△ABC的周长是③.△ABC 的面积是5;④.点C 到AB⑤.直线EF 是线段BC 的垂直平分线.你认为刚观察的结论正确的序号有 .解析:结合图形和已知条件可以求出方格纸中的小正方形的边长为1,再根据勾股定理可计算出ABC 的三边长分别为,故①正确,②错误;ABC 的面积由间接计算得到:11333122422⨯-⨯⨯-⨯⨯=,故③错误;利用三角形的等积法:1AB h 42⋅=h 4=,解得h 故④正确;根据垂直平分线的判定并结合图象可知EF 是线段BC 的垂直平分线,⑤正确.故选①④⑤.点评:几何的相关计算中往往要通过二次根式的计算或化简来解决不在少数,是中考和各类考试的热点考题;这类题型把二次根式的计算或化简和勾股定理即其它几何知识很好结合在一起考察,是数形结合等思想方法较好体现.追踪练习:1.如图在四边形ABCD 中,,,1AB BC DC BC AE CD BC 4⊥⊥==求四边形ABCD 的周长和面积?2.如图一块长方形场地ABCD 的长AB 与宽AD 1,DE ⊥AC于点E ,BF ⊥AC 于点F ,连结BE 、DF ;现计划在四边形DEBF 区域内 (阴影部分)种植花草,求四边形DEBF 与长方形ABCD 的面积之比.3.已知边长为1的正方形OABC 在直角坐标系中,B C 、 两点在第二象限内,OA 与x 轴的夹角为60°,求出点B 点坐标.。

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二次根式综合提高
1.下列二次根式中,是最简二次根式的是( )
A .xy 2
B .2ab
C .2
1 D .422x x y + 2.下列二次根式中,的取值范围是3x ≥的是( )
A .3x -
B .62x +
C .26x -
D .
13x - 3.若2(21)12a a -=-,则( )
A .<12 B.≤12 C.>12 D. ≥12
4.已知x =
,y =,则x 2+xy +y 2的值为( ) A .2 B .4 C .5 D .7
5.下列二次根式,不能与12合并的是( )
A .48
B .18
C .3
11 D .75- 6.化简a
a --3
的结果是( )A .a B .a - C .a - D .a -- 7.若m 203,则估计m 的值所在的范围是( ) A . 2<m <3 B . 1<m <2 C .3<m <4 D .4<m <5
8211a a a a
--=,则a 的取值范围是( ) A .0a ≤
B .0a <
C .01a <≤
D .0a > 9.计算333 ) A .3 B .9 C .1 D .3310.已知3((221)3m =-
⨯-,则有( ) A .5<m <6 B .4<m <5 C .-5<m <-4 D .-6<m <-5
11.如果ab >0,a +b <0a a b b =1a b b a =a ab b b =-,其中正确的是( )
A .①②
B .②③
C .①③
D .①②③
12.计算(232)(323)--的结果是( ) A .666- B .6663626--+ C .6 D .6662636+--
13.实数a 在数轴上的位置如图所示,则22(4)(11)a a -+-化简后为( )
A .7
B .-7
C .2a -15
D .无法确定 14.若1983-的整数部分是a ,小数部分是b ,那么2a+b 的值是( ) A.3 B.3- C.23+ D.23-
15.若y =++2,则=_____________.
16.已知24n 是整数,则正整数n 的最小值是 .
17.把1(2)2a a
--的根外的因式(2)a -移到根号内得 . 18.当1<x <4时,|x -4|+122+-x x =________________.
19.把1x x
-根号外的因式移入根号内,结果化简为_________.
21.已知a ,b 为有理数,m,n 分别表示57的整数部分和小数部分,且21amn bn +=,
则2a b += .
22.若两个连续整数x y ,满足51x y <,则x y +的值是 .
233288x x x x +=-+,则x 的取值范围是 .
2436333635363936413636363638⨯⨯⨯+⨯= .
25.设m,x,y 均为正整数,且y x m -=
-28,则x+y+m= . 26.当x ________时,式子4
||35--x x 有意义. 27.已知0 < x < 1,化简2212x
x +-=______________. 28.计算:(321)(321)=______________.
30.化简:2115141075++++
31.先化简,再求值:
÷(2+1),其中=2-1.
32.已知:6a b +=-,8=ab .求b a b a b 的值.
33.已知5216812-=+---x x x x
,求x 的取值范围.
34.解方程:2(123)3x y z x y z ++=---+.
35.因为223)12(2-=-,所以12223-=-,
因为223)12(2+=+,所以12223+=+,
因为347)32(2-=-,所以32347-=-,
请你根据以上规律,化简下列各式:
(1)625-; (2)
31-2
36.已知25a =-,求4328161a a a a -+-+的值.
37.如果a +b =1-a +b 3,求ab 的值.。

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