2009年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛

2009年全国高中数学联赛试题及答案

全国高中数学联赛全国高中数学联赛一试命题范围不超出教育部《全日制普通高级中学数学教学大纲》中所规定的教学要求和内容，但在方法的要求上有所提高。

主要考查学生对基础知识和基本技能的掌握情况，以及综合和灵活运用的能力。

全国高中数学联赛加试命题范围与国际数学奥林匹克接轨，在知识方面有所扩展，适当增加一些竞赛教学大纲的内容。

全卷包括 4 道大题，其中一道平面几何题 .一试一、填空（每小题 7 分，共 56 分）1．若函数 f x x x 2 且 f( n ) x f f f f x ，则 f 99 1 ．1 n2．已知直线 L : x y9 0 和圆M : 2 x 2 2 y 2 8x 8y 1 0 ，点 A 在直线 L 上， B ，C 为圆 M 上两点，在 ABC 中， BAC 45 ， AB 过圆心 M ，则点 A 横坐标范围为．y≥ 0．在坐标平面上有两个区域 M 和 N ， M 为 y ≤ x ， N 是随 t 变化的区域，它由3y≤ 2 x不等式 t ≤ x ≤ t 1 所确定， t 的取值范围是 0 ≤ t ≤ 1 ，则 M 和 N 的公共面积是函数f t ．4．使不等式 1 1 1 a 2007 1 对一切正整数 n 都成立的最小正整数n 1 n 2 2n 1 3a 的值为．2 25．椭圆 x y 1 a b 0 上任意两点 P ，Q ，若 OP OQ ，则乘积 OP OQ 的最a 2 b2小值为．6．若方程 lg kx 2lg x 1 仅有一个实根，那么 k 的取值范围是．第一行是前则最后一行的数是（可以用指数表示） 8．某车站每天 8∶00 ~ 9∶00 ， 9∶00 ~ 10∶00 都恰有一辆客车到站，但到站的时刻是随机的，且两者到站的时间是相互独立的，其规律为到站时刻 8∶10 8∶30 8∶50 9∶10 9∶30 9∶50 概率 1 1 1 6 2 3 一旅客 8∶20 到车站，则它候车时间的数学期望为（精确到分）．二、解答题 1．（ 14 分）设直线 l : y kx m （其中 k ， m 为整数）与椭圆 x 2 y 2 16 1交于不同两 x 2 y 2 12 点 A ， B ，与双曲线 1 交于不同两点 C ， D ，问是否存在直线 l ，使得向量 4 12AC BD 0 ，若存在，指出这样的直线有多少条？若不存在，请说明理由． 162．（ 15 分）已知 p ，q q 0 是实数，方程 x2 px q 0 有两个实根，，数列 an 满足 a1 p ， a2 p 2 q ， an pan 1 qan 2 n 3，4 ，(Ⅰ )求数列a n的通项公式（用，表示）；(Ⅱ )若 p 1 ， q 1 ，求 a n的前 n 项和．43．（ 15 分）求函数y x 27 13 x x 的最大和最小值．加试一、填空（共 4 小题，每小题50 分，共 200 分）9．如图， M ， N 分别为锐角三角形 ABC （AB ）的外接圆中点．过点 C 作 PC ∥ MN 交圆于 P 点， I 为ABC 的内心，连接PI⑴求证： MP MT NP NT ；⑵在弧 AB （不含点 C ）上任取一点Q （ Q ≠ A ，T ， B ），记上弧BC 、AC 的并延长交圆于 T ．AQC ，△QCB 的内心分别为 I1， I 2，P CN MI BAT Q1610．求证不等式：nk ln n ≤1，n1 ，2，⋯12k 1 k 1 211．设 k ， l 是给定的两个正整数．证明：有无穷多个正整数m≥ k ，使得 C k m与 l 互素．16\-16。

2009年全国高中数学联合竞赛试题及解答.

2009年全国高中数学联合竞赛一试一、填空题：本大题共8个小题，每小题7分，共56分。

2009*1、函数21)(x x x f +=，且fn n x f f f f x f个)]]([[)()(=，则=)1()99(f◆答案：101★解析：由题意得2)1(1)()(xxx f x f+==，2)2(21)]([)(xx x f f x f+==，······2)99(991)(x x x f +=.故 101)1()99(=f .2009*2、已知直线09:=-+y x L 和圆018822:22=---+y x y x M ，点A 在直线L 上，点C B ,为圆M 上两点，在ABC ∆中，045=∠BAC ，直线AB 过圆心M ，则点A 横坐标的取值范围为 ◆答案：[]6,3★解析：设A （a ，9-a ），则圆心M 到直线AC 的距离d =AM sin ︒45，由直线AC 与圆M 相交，得 234≤d .解得 63≤≤a .2009*3、在坐标平面上有两个区域M 和N ，M 为⎪⎩⎪⎨⎧-≤≤≥x y x y y 20，N 是随t 变化的区域，它由不等式1+≤≤t x t 所确定，t 的取值范围是10≤≤t ，则M 和N 的公共面积是函数=)(t f◆答案：212++-t t ★解析：由题意知阴影部分面积s t f =)( =BEF OCD AOB S S S ∆∆∆--=212++-t t2009*4、若不等式3120071212111<++++++n n n 对一切正整数n 都成立，则最小正整数a 的值为 ◆答案：2009 ★解析：设121...2111)(++++++=n n n n f .显然)(n f 单调递减.则由)(n f 的最大值312007)1(-<a f ，可得2009=a .2009*5、椭圆12222=+by a x （0>>b a ）上任意两点Q P ,，若OQ OP ⊥，则OQ OP ⋅的最小值为◆答案：.22222ba b a + ★解析：设)sin ,cos (θθOP OP P ，)).2sin(),2cos((πθπθ±±OQ OQ Q由Q P 、在椭圆上，有22222sin cos 1b a OP θθ+=（1）， 22222cos sin 1b a OQθθ+=（2）（1）+（2）得.11112222b a OQOP+=+于是当 22222ba b a OQ OP +==时，OQ OP 达到最小值.22222b a b a +2009*6、若关于x 的方程)1lg(2lg +=x kx 仅有一个实根，则实数k 的取值范围为 ◆答案：0<k 或4=k★解析：由题意，方程等价于⎪⎩⎪⎨⎧+=>+>2)1(010x kx x kx ，当且仅当 0>kx （1）；01>+x （2）；01)2(2=+-+x k x （3）对（3）由求根公式得]42[21,221k k k x x -±-= （4）又0042≤⇒≥-=∆k k k 或4≥k)(i 当0<k 时，由（3）得⎩⎨⎧>=<-=+01022121x x k x x ，所以21x x 同为负根。

2009年全国高中数学联赛一、二试及详细答案和评分标准(A卷)

2009年全国高中数学联合竞赛一试试题参考答案及评分标准说明：1．评阅试卷时，请依据本评分标准，填空题只设7分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不要增加其他中间档次．2．如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中至少4分为一个档次，不要增加其他中间档次．一、填空（共8小题，每小题7分，共56分）1．若函数()f x ()()()n nf x f f f f x ⎡⎤=⎡⎤⎣⎦⎣⎦，则()()991f = ．【答案】 110【解析】 ()()()1f x f x ==， ()()()2f x f f x ==⎡⎤⎣⎦……()()99f x =故()()991110f =．2．已知直线:90L x y +-=和圆22:228810M x y x y +---=，点A 在直线L 上，B ，C 为圆M 上两点，在ABC ∆中，45BAC ∠=︒，AB 过圆心M ，则点A 横坐标范围为．【答案】 []36，【解析】设()9A a a -，，则圆心M 到直线AC 的距离sin 45d AM =︒，由直线AC 与圆M 相交，得d 解得36a ≤≤．3．在坐标平面上有两个区域M 和N ，M 为02y y x y x ⎧⎪⎨⎪-⎩≥≤≤，N 是随t 变化的区域，它由不等式1t x t +≤≤所确定，t 的取值范围是01t ≤≤，则M 和N 的公共面积是函数()f t = ．【答案】 212t t -++【解析】由题意知 ()f t S =阴影部分面积A OB OCD BS S S ∆∆∆=-- ()22111122t t =---212t t =-++4．使不等式1111200712213a n n n +++<-+++对一切正整数n 都成立的最小正整数a 的值为．【答案】 2009【解析】设()1111221f n n n n =++++++．显然()f n 单调递减，则由()f n 的最大值()1120073f a <-，可得2009a =．5．椭圆22221x y a b +=()0a b >>上任意两点P ，Q ，若OP OQ ⊥，则乘积OP OQ ⋅的最小值为．【答案】 22222a ba b+【解析】设()cos sin P OP OP θθ，，ππcos sin 22Q OQ OQ θθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫±± ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，．由P ，Q 在椭圆上，有 222221cos sin a b OP θθ=+ ① 222221sin cos a b OQ θθ=+ ② ①+②得22221111a b OP OQ+=+．于是当OP OQ ==OP OQ 达到最小值22222a b a b+．6．若方程()lg 2lg 1kx x =+仅有一个实根，那么k 的取值范围是．【答案】 0k <或4k = 【解析】 ()20101kx x kx x ⎧>⎪⎪+>⎨⎪=+⎪⎩当且仅当0kx > ① 10x +>② ()2210x k x +-+=③对③由求根公式得1x，2122x k ⎡=-⎣ ④2400k k k ∆=-⇒≥≤或4k ≥．(ⅰ)当0k <时，由③得 12122010x x k x x +=-<⎧⎨=>⎩ 所以1x ，2x 同为负根．又由④知121010x x +>⎧⎨+<⎩所以原方程有一个解1x ．(ⅱ)当4k =时，原方程有一个解112kx =-=． (ⅲ)当4k >时，由③得12122010x x k x x +=->⎧⎨=>⎩所以1x ，2x 同为正根，且12x x ≠，不合题意，舍去．综上可得0k <或4k =为所求．7．一个由若干行数字组成的数表，从第二行起每一行中的数字均等于其肩上的两个数之和，最后一行仅有一个数，第一行是前100个正整数按从小到大排成的行，则最后一行的数是（可以用指数表示）【答案】 981012⨯ 【解析】易知：(ⅰ)该数表共有100行；(ⅱ)每一行构成一个等差数列，且公差依次为11d =，22d =，232d =，…，98992d =(ⅲ)100a 为所求．设第()2n n ≥行的第一个数为n a ，则 ()22111222n n n n n n a a a a -----=++=+3222222n n n a ---⎡⎤=++⎣⎦24223222222n n n n a ----⎡⎤=++⨯+⎣⎦323232n n a --=+⨯……()121212n n a n --=+-⨯ ()212n n -=+故981001012a =⨯．8．某车站每天800~900∶∶，900~1000∶∶都恰有一辆客车到站，但到站的时刻是随机的，且两者到站一旅客820∶到车站，则它候车时间的数学期望为（精确到分）【答案】 27 【解析】旅客候车的分布列为候车时间的数学期望为1111110305070902723361218⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=二、解答题1．（本小题满分14分）设直线:l y kx m =+（其中k ，m 为整数）与椭圆2211612x y +=交于不同两点A ，B ，与双曲线221412x y -=交于不同两点C ，D ，问是否存在直线l ，使得向量0AC BD +=，若存在，指出这样的直线有多少条？若不存在，请说明理由．【解析】由2211612y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 化简整理得()2223484480k xkmx m +++-=设()11A x y ，，()22B x y ，，则122834kmx x k +=-+()()()222184344480km k m ∆=-+-> ① ………………………………………………4分由221412y kx m x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩消去y 化简整理得()22232120k xkmx m ----=设()34C x y ，，()44D x y ，，则34223kmx x k+=- ()()()2222243120km k m ∆=-+-+> ② ………………………………………………8分因为0AC BD +=，所以()()42310x x x x -+-=，此时()()42310y y y y -+-=．由1234x x x x +=+得2282343km kmk k -=+-．所以20km =或2241343k k -=+-．由上式解得0k =或0m =．当0k =时，由①和②得m -<m 是整数，所以m 的值为3-，2-，1-，0，1，2，3．当0m =，由①和②得k ．因k 是整数，所以1k =-，0，1．于是满足条件的直线共有9条．………14分2．（本小题15分）已知p ，()0q q ≠是实数，方程20x px q -+=有两个实根α，β，数列{}n a 满足1a p =，22a p q =-，()1234n n n a pa qa n --=-=，，(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式（用α，β表示）；(Ⅱ)若1p =，14q =，求{}n a 的前n 项和．【解析】方法一：(Ⅰ)由韦达定理知0q αβ⋅=≠，又p αβ+=，所以()1212n n n n n a px qx a a αβαβ------=+-，()345n =，，，整理得()112n n n n a a a a βαβ----=- 令1n n n b a a β+=-，则()112n n b b n α+==，，．所以{}n b 是公比为α的等比数列．数列{}n b 的首项为：()()222121b a a p q p ββαβαββαβα=-=--=+--+=．所以211n n n b ααα-+=⋅=，即11n n n a a βα++-=()12n =，，．所以11n n n a a βα++=+()12n =，，．①当240p q ∆=-=时，0αβ=≠，12a p ααα==+=，11n n n a a βα++=+()12n =，，变为11n n n a a αα++=+()12n =，，．整理得，111n nn na a αα++-=，()12n =，，．所以，数列n n a α⎧⎫⎨⎬⎩⎭成公差为1的等差数列，其首项为122a ααα==．所以()2111nna n n α=+-=+．于是数列{}n a 的通项公式为()1n n a n α=+；……………………………………………………………………………5分②当240p q ∆=->时，αβ≠， 11n n n a a βα++=+1n n a βαβαβα+-=+-11n n n a βαβααβαβα++=+---()12n =，，．整理得211n n n n a a ααββαβα+++⎛⎫+=+ ⎪--⎝⎭，()12n =，，．所以，数列1n n a αβα+⎧⎫+⎨⎬-⎩⎭成公比为β的等比数列，其首项为2221a ααβαββαβαβα+=++=---．所以121n n n a αβββαβα+-+=--．于是数列{}n a 的通项公式为11n n n a βαβα++-=-．………………………………………………10分(Ⅱ)若1p =，14q =，则240p q ∆=-=，此时12αβ==．由第(Ⅰ)步的结果得，数列{}n a 的通项公式为()11122nn n n a n +⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，所以，{}n a 的前n 项和为231234122222n n n n n s -+=+++++234112341222222n n n n s n ++=+++++以上两式相减，整理得1133222n n n s ++=-所以332n n n s +=-．……………………………………………………………………………15分方法二：(Ⅰ)由韦达定理知0q αβ⋅=≠，又p αβ+=，所以1a αβ=+，222a αβαβ=++．特征方程20p q λλ-+=的两个根为α，β． ①当0αβ=≠时，通项()()1212n n a A A n n α=+=，，由12a α=，223a α=得()()122212223A A A A αααα+=⎧⎪⎨+=⎪⎩ 解得121A A ==．故 ()1n n a n α=+．……………………………………………………5分 ②当αβ≠时，通项()1212n n n a A A n αβ=+=，，．由1a αβ=+，222a αβαβ=++得12222212A A A A αβαβαβαβαβ+=+⎧⎪⎨+=++⎪⎩ 解得1A αβα-=-，2A ββα=-．故1111n n n n n a αββαβαβαβα++++--=+=---．…………………………………………………………10分 (Ⅱ)同方法一．3．（本小题满分15分）求函数y=【解析】函数的定义域为[]013，.因为y=当0x =时等号成立．故y的最小值为．……………………………………………5分又由柯西不等式得 22y =()()()11122731312123x x x ⎛⎫+++++-= ⎪⎝⎭≤所以11y ≤． ………………………………………………………………………………10分由柯西不等式等号成立的条件，得()491327x x x =-=+，解得9x =．故当9x =时等号成立．因此y 的最大值为11．…………………………………………………………………………………15分2009年全国高中数学联合竞赛加试试题参考答案及评分标准（A 卷）说明：1．评阅试卷时，请严格按照本评分标准的评分档次给分．2．如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，10分为一个档次，不要增加其他中间档次．一、填空（共4小题，每小题50分，共200分）9．如图，M ，N 分别为锐角三角形ABC ∆（A B ∠<∠）的外接圆Γ上弧BC 、AC 的中点．过点C 作PC MN ∥交圆Γ于P 点，I 为ABC ∆的内心，连接PI 并延长交圆Γ于T ． ⑴求证：MP MT NP NT ⋅=⋅；⑵在弧AB （不含点C ）上任取一点Q （Q A ≠，T ，B ），记AQC ∆，QCB △的内心分别为1I ，2I ，B求证：Q ，1I ，2I ，T 四点共圆．【解析】 ⑴连NI ，MI ．由于PC MN ∥，P ，C ，M ，N 共圆，故PCMN 是等腰梯形．因此NP MC =，PM NC =．ABCMNPTI连AM ，CI ，则AM 与CI 交于I ，因为MIC MAC ACI MCB BCI MCI ∠=∠+∠=∠+∠=∠，所以MC MI =．同理NC NI =．于是NP MI =，PM NI =．故四边形MPNI 为平行四边形．因此PMT PNT S S =△△（同底，等高）．又P ，N ，T ，M 四点共圆，故180TNP PMT ∠+∠=︒，由三角形面积公式1sin 2PMT S PM MT PMT =⋅∠△1s i n 2PNT S PN NT PNT ==⋅∠△1s i n 2P N N T P MT =⋅∠ 于是PM MT PN NT ⋅=⋅．⑵因为1111NCI NCA ACI NQC QCI CI N ∠=∠+∠=∠+∠=∠，B所以1NC NI =，同理2MC MI =．由MP MT NP NT ⋅=⋅得NT MTMP NP=．由⑴所证MP NC =，NP MC =，故 12NT MTNI MI =．又因12I NT QNT QMT I MT ∠=∠=∠=∠，有12I NT I MT ∆∆∽．故12NTI MTI ∠=∠，从而1212I QI NQM NTM I TI ∠=∠=∠=∠．因此Q ，1I ，2I ，T 四点共圆． 10．求证不等式：2111ln 12n k k n k =⎛⎫-<- ⎪+⎝⎭∑≤，1n =，2，… 【解析】证明：首先证明一个不等式： ⑴ln(1)1x x x x<+<+，0x >．事实上，令()ln(1)h x x x =-+，()ln(1)1xg x x x=+-+．则对0x >，1()101h x x '=->+，2211()01(1)(1)x g x x x x '=-=>+++．于是()(0)0h x h >=，()(0)0g x g >=．在⑴中取1x n=得⑵111ln 11n n n⎛⎫<+< ⎪+⎝⎭．令21ln 1nn k k x n k ==-+∑，则112x =，121ln 111n n n x x n n -⎛⎫-=-+ ⎪+-⎝⎭ 211n n n<-+210(1)n n=-<+因此1112n n x x x -<<<=．又因为111ln (ln ln(1))(ln(1)ln(2))(ln 2ln1)ln1ln 1n k n n n n n k -=⎛⎫=--+---++-+=+ ⎪⎝⎭∑．从而12111ln 11nn n k k k x k k -==⎛⎫=-+ ⎪+⎝⎭∑∑12211ln 111n k k n k k n -=⎛⎫⎛⎫=-++ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭∑12111n k kk k -=⎛⎫>- ⎪+⎝⎭∑1211(1)n k k k -==-+∑111(1)n k k k -=-+∑≥111n=-+>-．11．设k ，l 是给定的两个正整数．证明：有无穷多个正整数m k ≥，使得C k m 与l 互素．【解析】证法一：对任意正整数t ，令(!)m k t l k =+⋅⋅．我们证明()C 1k m l =，．设p 是l 的任一素因子，只要证明：C k m p Œ．若!p k Œ，则由 1!C ()kkmi k m k i ==-+∏1[((!)]k i i t l k =≡+∏ 1ki i =≡∏()1!m o d k p α+≡．及|!p k α，且1!p k α+Œ，知|!C k m p k α且1!C k m p k α+Œ．从而C k m p Œ．证法二：对任意正整数t ，令2(!)m k t l k =+⋅⋅，我们证明()C 1k m l =，．设p 是l 的任一素因子，只要证明：C k m p Œ．若!p k Œ，则由1!C ()kkmi k m k i ==-+∏21[((!)]ki i t l k =≡+∏ 1ki i =≡∏()!m o dk p ≡．即p 不整除上式，故C k m p Œ．若|!p k ，设1α≥使|!p k α，但1!p k α+Œ．12|(!)p k α+．故由 11!C ()k kmi k m k i -==-+∏21[((!)]ki i t l k =≡+∏ 1ki i =≡∏()1!mod k p α+≡及|!p k α，且1!p k α+Œ，知|!C k m p k α且1!C k m p k α+Œ．从而C k m p Œ．12．在非负数构成的39⨯数表111213141516171212223242526272829313233343536373839x x x x x x x x x P x x x x x x x x x x x x x x x x x x⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ 中每行的数互不相同，前6列中每列的三数之和为1，1728390x x x ===，27x ，37x ，18x ，38x ，19x ，29x 均大于．如果P 的前三列构成的数表111213212223313233x x x S x x x x x x ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭满足下面的性质()O ：对于数表P 中的任意一列123k k k x x x ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭（1k =，2，…，9）均存在某个{}123i ∈，，使得⑶{}123min ik i i i i x u x x x =≤，，．求证：（ⅰ）最小值{}123min i i i i u x x x =，，，1i =，2，3一定自数表S 的不同列．（ⅱ）存在数表P 中唯一的一列***123k k k x x x ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，*1k ≠，2，3使得33⨯数表***111212122231323k k k x x x S x x x x x x ⎛⎫ ⎪'= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ 仍然具有性质()O ．【解析】（ⅰ）假设最小值{}123min i i i i u x x x =，，，1i =，2，3不是取自数表S 的不同列．则存在一列不含任何i u ．不妨设2i i u x ≠，1i =，2，3．由于数表P 中同一行中的任何两个元素都不等，于是2i i u x <，1i =，2，3．另一方面，由于数表S 具有性质()O ，在⑶中取2k =，则存在某个{}0123i ∈，，使得002i i x u ≤．矛盾．（ⅱ）由抽届原理知{}1112min x x ，，{}2122min x x ，，{}3132min x x ，中至少有两个值取在同一列．不妨设 {}212222min x x x =，，{}313232min x x x =，．由前面的结论知数表S 的第一列一定含有某个i u ，所以只能是111x u =．同样，第二列中也必含某个i u ，1i =，2．不妨设222x u =．于是333u x =，即i u 是数表S 中的对角线上数字．111213212223313233x x x S x x x x x x ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭记{}129M =，，，，令集合 {}{}12|min 13ik i i I k M x x x i =∈>=，，，．显然{}111332|k k I k M x x x x =∈>>，且1，23I ∉．因为18x ，38111x x >≥，32x ，所以8I ∈．故I ∅≠．于是存在*k I ∈使得{}*22max |k k x x k I =∈．显然，*1k ≠，2，3．下面证明33⨯数表 ***111212122231323k k k x x x S x x x x x x ⎛⎫ ⎪'= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭具有性质()O ．从上面的选法可知{}{}*1212:min min i i i i i ik u x x x x x '==，，，，(13)i =，．这说明 {}*111211min k x x x u >，≥，{}*313233min k x x x u >，≥．又由S 满足性质()O ．在⑶中取*k k =，推得*22k x u ≤，于是{}**2212222min k k u x x x x '==，，．下证对任意的k M ∈，存在某个1i =，2，3使得i ik u x '≥．假若不然，则{}12min ik i i x x x >，，1i =，3且*22k k x x >．这与*2k x 的最大性矛盾．因此，数表S '满足性质()O ．下证唯一性．设有k M ∈使得数表 111212122231323k k k x x x S x x x x x x ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭具有性质()O ，不失一般性，我们假定 {}111121311m i n u x x x x ==，， ⑷{}221222322min u x x x x ==，，{}331323333m i n u x x xx ==，，3231x x <．由于3231x x <，2221x x <及（ⅰ），有{}11112111min k u x x x x ==，，．又由（ⅰ）知：或者()a {}3313233min k k u x x x x ==，，，或者{}2212222()min k k b u x x x x ==，，．如果()a 成立，由数表S 具有性质()O ，则 {}11112111m i n ku x x x x ==，，， ⑸{}22122222min k u x x x x ==，，， {}3313233m i n k k u x x x x ==，，．由数表S 满足性质()O ，则对于3M ∈至少存在一个{}123i ∈，，使得*i ik u x ≥．由*k I ∈及⑷和⑹式知，*1111k x x u >=，*3323k x x u >=．于是只能有*222k k x u x =≤．类似地，由S '满足性质()O 及k M ∈可推得*222k k x u x '=≤．从而*k k =．。

2009年全国高中数学联赛一试(试题参考答案及评分标准)

2009年全国高中数学联合竞赛一试试题参考答案及评分标准说明：1．评阅试卷时，请依据本评分标准，填空题只设7分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不要增加其他中间档次．2．如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中至少4分为一个档次，不要增加其他中间档次．一、填空（共8小题，每小题7分，共56分） 1．若函数()f x =且()()()n nf x f f f f x ⎡⎤=⎡⎤⎣⎦⎣⎦ ，则()()991f = ．【答案】110【解析】 ()()()1f x f x ==，()()()2fx f f x ==⎡⎤⎣⎦……()()99fx =故()()991110f =．2．已知直线:90L x y +-=和圆22:228810M x y x y +---=，点A 在直线L 上，B ，C 为圆M 上两点，在A B C ∆中，45BAC ∠=︒，AB 过圆心M ，则点A 横坐标范围为．【答案】 []36，【解析】设()9A a a -，，则圆心M 到直线A C 的距离sin 45d AM =︒，由直线A C 与圆M 相交，得2d ≤解得36a ≤≤．3．在坐标平面上有两个区域M 和N ，M 为02y y x y x ⎧⎪⎨⎪-⎩≥≤≤，N 是随t 变化的区域，它由不等式1t x t +≤≤所确定，t 的取值范围是01t ≤≤，则M 和N 的公共面积是函数()f t = ．【答案】 212t t -++【解析】由题意知()f t S =阴影部分面积AOB OCD BEF S S S ∆∆∆=-- ()22111122t t =---212t t =-++4．使不等式1111200712213a n n n +++<-+++ 对一切正整数n 都成立的最小正整数a 的值为．【答案】 2009 【解析】设()1111221f n n n n =++++++ ．显然()f n 单调递减，则由()f n 的最大值()1120073f a <-，可得2009a =．5．椭圆22221x y ab+=()0a b >>上任意两点P ，Q ，若OP OQ ⊥，则乘积OP OQ ⋅的最小值为．【答案】22222a ba b+【解析】设()cos sin P O P O P θθ，，ππcos sin 22Q OQ OQ θθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫±± ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，．由P ，Q 在椭圆上，有 222221cos sin abO Pθθ=+① 222221sin cos abO Qθθ=+②①+②得 22221111abOPOQ+=+．于是当OP OQ ==OP OQ 达到最小值22222a ba b+．6．若方程()lg 2lg 1kx x =+仅有一个实根，那么k 的取值范围是．【答案】0k <或4k = 【解析】 ()20101kx x kx x ⎧>⎪⎪+>⎨⎪=+⎪⎩ 当且仅当kx > ① 10x +> ② ()2210x k x +-+=③对③由求根公式得1x，2122x k ⎡=-±⎣④2400k k k ∆=-⇒≥≤或4k ≥．(ⅰ)当0k <时，由③得12122010x x k x x +=-<⎧⎨=>⎩ 所以1x ，2x 同为负根．又由④知121010x x +>⎧⎨+<⎩所以原方程有一个解1x ．(ⅱ)当4k =时，原方程有一个解112k x =-=．(ⅲ)当4k >时，由③得12122010x x k x x +=->⎧⎨=>⎩所以1x ，2x 同为正根，且12x x ≠，不合题意，舍去．综上可得0k <或4k =为所求．7．一个由若干行数字组成的数表，从第二行起每一行中的数字均等于其肩上的两个数之和，最后一行仅有一个数，第一行是前100个正整数按从小到大排成的行，则最后一行的数是（可以用指数表示）【答案】 981012⨯ 【解析】易知：(ⅰ)该数表共有100行；(ⅱ)每一行构成一个等差数列，且公差依次为11d =，22d =，232d =，…，98992d =(ⅲ)100a 为所求．设第()2n n ≥行的第一个数为n a ，则 ()22111222n n n n n n a a a a -----=++=+3222222n n n a ---⎡⎤=++⎣⎦24223222222n n n n a ----⎡⎤=++⨯+⎣⎦ 323232n n a --=+⨯……()121212n n a n --=+-⨯()212n n -=+故981001012a =⨯．8．某车站每天800~900∶∶，900~1000∶∶都恰有一辆客车到站，但到站的时刻是随一旅客820∶到车站，则它候车时间的数学期望为（精确到分）．【答案】 27 【解析】旅候车时间的数学期望为1111110305070902723361218⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=二、解答题1．（本小题满分14分）设直线:l y kx m =+（其中k ，m 为整数）与椭圆2211612xy+=交于不同两点A ，B ，与双曲线221412xy-=交于不同两点C ，D ，问是否存在直线l ，使得向量0AC BD +=，若存在，指出这样的直线有多少条？若不存在，请说明理由．【解析】由2211612y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 化简整理得()2223484480k xkmx m +++-=设()11A x y ，，()22B x y ，，则122834km x x k+=-+()()()222184344480km km∆=-+->① ………………………………………………4分由221412y kx m x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩消去y 化简整理得()22232120k xkmx m ----=设()34C x y ，，()44D x y ，，则34223km x x k+=-()()()2222243120km km∆=-+-+>② ………………………………………………8分因为0A C B D +=，所以()()42310x x x x -+-=，此时()()42310y y y y -+-=．由1234x x x x +=+得 2282343km km kk-=+-．所以20km =或2241343kk-=+-．由上式解得0k =或0m =．当0k =时，由①和②得m -<因m 是整数，所以m 的值为3-，2-，1-，0，1，2，3．当0m =，由①和②得k <<．因k 是整数，所以1k =-，0，1．于是满足条件的直线共有9条．………14分2．（本小题15分）已知p ，()0q q ≠是实数，方程20x px q -+=有两个实根α，β，数列{}n a 满足1a p =，22a p q =-，()1234n n n a pa qa n --=-= ，， (Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式（用α，β表示）； (Ⅱ)若1p =，14q =，求{}n a 的前n 项和．【解析】方法一：(Ⅰ)由韦达定理知0q αβ⋅=≠，又p αβ+=，所以()1212n n n n n a px qx a a αβαβ------=+-，()345n = ，，，整理得()112n n n n a a a a βαβ----=-令1n n n b a a β+=-，则()112n n b b n α+== ，，．所以{}n b 是公比为α的等比数列．数列{}n b 的首项为：()()222121b a a p q p ββαβαββαβα=-=--=+--+=．所以21n n n b ααα-+=⋅=，即11n n n a a βα++-=()12n = ，，．所以11n n n a a βα++=+()12n = ，，．①当240p q ∆=-=时，αβ=≠，12a p ααα==+=，11n n n a a βα++=+()12n = ，，变为11n n n a a αα++=+()12n = ，，．整理得，111n nn na a αα++-=，()12n = ，，．所以，数列n n a α⎧⎫⎨⎬⎩⎭成公差为1的等差数列，其首项为122a ααα==．所以()2111nna n n α=+-=+．于是数列{}n a 的通项公式为()1nn a n α=+；……………………………………………………………………………5分②当240p q ∆=->时，αβ≠， 11n n n a a βα++=+1n n a βαβαβα+-=+-11n n n a βαβααβαβα++=+---()12n = ，，．整理得211n n n n a a ααββαβα+++⎛⎫+=+ ⎪--⎝⎭，()12n = ，，．所以，数列1n n a αβα+⎧⎫+⎨⎬-⎩⎭成公比为β的等比数列，其首项为2221a ααβαββαβαβα+=++=---．所以121n n n a αβββαβα+-+=--．于是数列{}n a 的通项公式为11n n n a βαβα++-=-．………………………………………………10分(Ⅱ)若1p =，14q =，则240p q ∆=-=，此时12αβ==．由第(Ⅰ)步的结果得，数列{}n a 的通项公式为()11122nn n n a n +⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，所以，{}n a 的前n 项和为231234122222n n nn n s -+=+++++ 234112341222222n n nn s n ++=+++++以上两式相减，整理得1133222n n n s ++=-所以332n nn s +=-．……………………………………………………………………………15分方法二：(Ⅰ)由韦达定理知0q αβ⋅=≠，又p αβ+=，所以1a αβ=+，222a αβαβ=++．特征方程20p q λλ-+=的两个根为α，β．①当0αβ=≠时，通项()()1212n n a A A n n α=+= ，，由12a α=，223a α=得()()122212223A A A A αααα+=⎧⎪⎨+=⎪⎩ 解得121A A ==．故()1nn a n α=+．……………………………………………………5分②当αβ≠时，通项()1212n n n a A A n αβ=+= ，，．由1a αβ=+，222a αβαβ=++得12222212A A A A αβαβαβαβαβ+=+⎧⎪⎨+=++⎪⎩ 解得1A αβα-=-，2A ββα=-．故1111n n n n n a αββαβαβαβα++++--=+=---．…………………………………………………………10分 (Ⅱ)同方法一．3．（本小题满分15分）求函数y =的最大和最小值．【解析】函数的定义域为[]013，.因为y =≥=当0x =时等号成立．故y的最小值为13分又由柯西不等式得22y =()()()11122731312123x x x ⎛⎫+++++-= ⎪⎝⎭≤ 所以11y ≤． ………………………………………………………………………………10分由柯西不等式等号成立的条件，得()491327x x x =-=+，解得9x =．故当9x =时等号成立．因此y 的最大值为11． (15)分。

2009年全国高中数学联合竞赛试题答案

2009年全国高中数学联合竞赛一试试题参考答案及评分标准一、填空（共8小题，每小题7分，共56分）1．若函数()21xf x x=+且()()()n nf x f f f f x ⎡⎤=⎡⎤⎣⎦⎣⎦，则()()991f = ．【答案】 110【解析】 ()()()121x f x f x x==+， ()()()2212xf x f f x x==⎡⎤⎣⎦+……()()992199xf x x=+．故()()991110f =．2．已知直线:90L x y +-=和圆22:228810M x y x y +---=，点A 在直线L 上，B ，C 为圆M 上两点，在ABC ∆中，45BAC ∠=︒，AB 过圆心M ，则点A 横坐标范围为．【答案】 []36，【解析】设()9A a a -，，则圆心M 到直线AC 的距离sin 45d AM =︒，由直线AC 与圆M 相交，得342d ≤．解得36a ≤≤．3．在坐标平面上有两个区域M 和N ，M 为02y y x y x ⎧⎪⎨⎪-⎩≥≤≤，N 是随t 变化的区域，它由不等式1t x t +≤≤所确定，t 的取值范围是01t ≤≤，则M 和N 的公共面积是函数()f t = ．【答案】 212t t -++【解析】由题意知()f t S =阴影部分面积 AOB OCD BEF S S S ∆∆∆=--()22111122t t =--- 212t t =-++4．使不等式1111200712213a n n n +++<-+++对一切正整数n 都成立的最小正整数a 的值为．F ED CB A O yx【答案】 2009 【解析】设()1111221f n n n n =++++++．显然()f n 单调递减，则由()f n 的最大值()1120073f a <-，可得2009a =．5．椭圆22221x y a b+=()0a b >>上任意两点P ，Q ，若O P O Q ⊥，则乘积OP OQ ⋅的最小值为．【答案】 22222a b a b+【解析】设()cos sin P OP OP θθ，，ππcos sin 22Q OQ OQ θθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫±± ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，．由P ，Q 在椭圆上，有 222221cos sin a b OP θθ=+ ① 222221sin cos a b OQ θθ=+ ② ①+②得22221111a b OP OQ+=+．于是当22222a b OP OQ a b ==+时，OP OQ 达到最小值22222a b a b+．6．若方程()lg 2lg 1kx x =+仅有一个实根，那么k 的取值范围是．【答案】 0k <或4k =【解析】 ()20101kx x kx x ⎧>⎪⎪+>⎨⎪=+⎪⎩当且仅当0kx > ① 10x +> ② ()2210x k x +-+=③对③由求根公式得1x ，221242x k k k ⎡⎤=-±-⎣⎦ ④2400k k k ∆=-⇒≥≤或4k ≥． (ⅰ)当0k <时，由③得 12122010x x k x x +=-<⎧⎨=>⎩ 所以1x ，2x 同为负根．又由④知121010x x +>⎧⎨+<⎩所以原方程有一个解1x ．(ⅱ)当4k =时，原方程有一个解112kx =-=． (ⅲ)当4k >时，由③得12122010x x k x x +=->⎧⎨=>⎩所以1x ，2x 同为正根，且12x x ≠，不合题意，舍去．综上可得0k <或4k =为所求．7．一个由若干行数字组成的数表，从第二行起每一行中的数字均等于其肩上的两个数之和，最后一行仅有一个数，第一行是前100个正整数按从小到大排成的行，则最后一行的数是（可以用指数表示）【答案】 981012⨯ 【解析】易知：(ⅰ)该数表共有100行；(ⅱ)每一行构成一个等差数列，且公差依次为11d =，22d =，232d =，…，98992d =(ⅲ)100a 为所求．设第()2n n ≥行的第一个数为n a ，则 ()22111222n n n n n n a a a a -----=++=+3222222n n n a ---⎡⎤=++⎣⎦24223222222n n n n a ----⎡⎤=++⨯+⎣⎦323232n n a --=+⨯……()121212n n a n --=+-⨯ ()212n n -=+故981001012a =⨯．8．某车站每天800~900∶∶，900~1000∶∶都恰有一辆客车到站，但到站的时刻是随机的，且两者到站的时间是相互独立的，其规律为到站时刻810∶ 910∶ 830∶ 930∶ 850∶950∶ 概率16 12 13一旅客820∶到车站，则它候车时间的数学期望为（精确到分）．【答案】 27 【解析】旅客候车的分布列为候车时间（分） 10 30 50 70 90概率12 131166⨯ 1126⨯ 1136⨯ 候车时间的数学期望为1111110305070902723361218⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=二、解答题1．（本小题满分14分）设直线:l y kx m =+（其中k ，m 为整数）与椭圆2211612x y +=交于不同两点A ，B ，与双曲线221412x y -=交于不同两点C ，D ，问是否存在直线l ，使得向量0AC BD +=，若存在，指出这样的直线有多少条？若不存在，请说明理由．【解析】由2211612y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 化简整理得()2223484480k xkmx m +++-=设()11A x y ，，()22B x y ，，则122834kmx x k +=-+()()()222184344480km k m ∆=-+->① ………………………………………………4分由221412y kx m x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩消去y 化简整理得()22232120k xkmx m ----=设()34C x y ，，()44D x y ，，则34223kmx x k +=- ()()()2222243120km k m ∆=-+-+>② ………………………………………………8分因为0AC BD +=，所以()()42310x x x x -+-=，此时()()42310y y y y -+-=．由1234x x x x +=+得 2282343km kmk k-=+-．所以20km =或2241343k k -=+-．由上式解得0k =或0m =．当0k =时，由①和②得2323m -<<．因m 是整数，所以m 的值为3-，2-，1-，0，1，2，3．当0m =，由①和②得33k -<<．因k 是整数，所以1k =-，0，1．于是满足条件的直线共有9条．………14分2．（本小题15分）已知p ，()0q q ≠是实数，方程20x px q -+=有两个实根α，β，数列{}n a 满足1a p =，22a p q =-，()1234n n n a pa qa n --=-=，，(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式（用α，β表示）； (Ⅱ)若1p =，14q =，求{}n a 的前n 项和．【解析】方法一：(Ⅰ)由韦达定理知0q αβ⋅=≠，又p αβ+=，所以()1212n n n n n a px qx a a αβαβ------=+-，()345n =，，，整理得()112n n n n a a a a βαβ----=- 令1n n n b a a β+=-，则()112n n b b n α+==，，．所以{}n b 是公比为α的等比数列．数列{}n b 的首项为：()()222121b a a p q p ββαβαββαβα=-=--=+--+=．所以21n n n b ααα-+=⋅=，即11n n n a a βα++-=()12n =，，．所以11n n n a a βα++=+()12n =，，．①当240p q ∆=-=时，0αβ=≠，12a p ααα==+=，11n n n a a βα++=+()12n =，，变为11n n n a a αα++=+()12n =，，．整理得，111n n n na a αα++-=，()12n =，，．所以，数列n n a α⎧⎫⎨⎬⎩⎭成公差为1的等差数列，其首项为122a ααα==．所以()2111nna n n α=+-=+．于是数列{}n a 的通项公式为()1n n a n α=+；……………………………………………………………………………5分②当240p q ∆=->时，αβ≠， 11n n n a a βα++=+1n n a βαβαβα+-=+-11n n n a βαβααβαβα++=+---()12n =，，．整理得211n n n n a a ααββαβα+++⎛⎫+=+ ⎪--⎝⎭，()12n =，，．所以，数列1n n a αβα+⎧⎫+⎨⎬-⎩⎭成公比为β的等比数列，其首项为2221a ααβαββαβαβα+=++=---．所以121n n n a αβββαβα+-+=--．于是数列{}n a 的通项公式为11n n n a βαβα++-=-．………………………………………………10分(Ⅱ)若1p =，14q =，则240p q ∆=-=，此时12αβ==．由第(Ⅰ)步的结果得，数列{}n a 的通项公式为()11122nn n n a n +⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，所以，{}n a 的前n 项和为231234122222n n n n n s -+=+++++234112341222222n n n n s n ++=+++++以上两式相减，整理得1133222n n n s ++=-所以332n n n s +=-．……………………………………………………………………………15分方法二：(Ⅰ)由韦达定理知0q αβ⋅=≠，又p αβ+=，所以1a αβ=+，222a αβαβ=++．特征方程20p q λλ-+=的两个根为α，β． ①当0αβ=≠时，通项()()1212n n a A A n n α=+=，，由12a α=，223a α=得()()122212223A A A A αααα+=⎧⎪⎨+=⎪⎩ 解得121A A ==．故()1n n a n α=+．……………………………………………………5分 ②当αβ≠时，通项()1212n n n a A A n αβ=+=，，．由1a αβ=+，222a αβαβ=++得12222212A A A A αβαβαβαβαβ+=+⎧⎪⎨+=++⎪⎩ 解得1A αβα-=-，2A ββα=-．故1111n n n n n a αββαβαβαβα++++--=+=---．…………………………………………………………10分 (Ⅱ)同方法一．3．（本小题满分15分）求函数2713y x x x =++-+的最大和最小值．【解析】函数的定义域为[]013，.因为 ()27132713213y x x x x x x =+++-=+++-2713+≥ 3313=+当0x =时等号成立．故y 的最小值为3313+．……………………………………………5分又由柯西不等式得()222713y x x x=+++-()()()11122731312123x x x ⎛⎫+++++-= ⎪⎝⎭≤所以11y ≤． ………………………………………………………………………………10分由柯西不等式等号成立的条件，得()491327x x x =-=+，解得9x =．故当9x =时等号成立．因此y的最大值为1．…………………………………………………………………………………15分。

2009年全国高中数学联赛试题及答案

2009年全国高中数学联赛一试一、填空（每小题7分，共56分）1．若函数()f x =且()()()n nf x f f f f x ⎡⎤=⎡⎤⎣⎦⎣⎦，则()()991f = ．2．已知直线:90L x y +-=和圆22:228810M x y x y +---=，点A 在直线L 上，B ，C 为圆M上两点，在ABC ∆中，45BAC ∠=︒，AB 过圆心M ，则点A 横坐标范围为．3．在坐标平面上有两个区域M 和N ，M 为02y y x y x ⎧⎪⎨⎪-⎩≥≤≤，N 是随t 变化的区域，它由不等式1t x t +≤≤所确定，t 的取值范围是01t ≤≤，则M 和N 的公共面积是函数()f t = ．4．使不等式1111200712213a n n n +++<-+++对一切正整数n 都成立的最小正整数a 的值为．5．椭圆22221x y a b+=()0a b >>上任意两点P ，Q ，若OP OQ ⊥，则乘积OP OQ ⋅的最小值为．6．若方程()lg 2lg 1kx x =+仅有一个实根，那么k 的取值范围是．7．一个由若干行数字组成的数表，从第二行起每一行中的数字均等于其肩上的两个数之和，最后一行仅有一个数，第一行是前100个正整数按从小到大排成的行，则最后一行的数是（可以用指数表示）8．某车站每天800~900∶∶，900~1000∶∶都恰有一辆客车到站，但到站的时刻是随机的，且一旅客820∶到车站，则它候车时间的数学期望为（精确到分）．二、解答题1．（14分）设直线:l y kx m =+（其中k ，m 为整数）与椭圆2211612x y +=交于不同两点A ，B ，与双曲线221412x y-=交于不同两点C ，D ，问是否存在直线l ，使得向量0AC BD +=，若存在，指出这样的直线有多少条？若不存在，请说明理由．2．（15分）已知p ，()0q q ≠是实数，方程20x px q -+=有两个实根α，β，数列{}n a 满足1a p =，22a pq =-，()1234n n n a pa qa n --=-=，，(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式（用α，β表示）；(Ⅱ)若1p =，14q =，求{}n a 的前n 项和．3．（15分）求函数y 的最大和最小值．加试一、填空（共4小题，每小题50分，共200分）9．如图，M ，N 分别为锐角三角形ABC ∆（A B ∠<∠）的外接圆Γ上弧BC 、AC 的中点．过点C 作PC MN ∥交圆Γ于P 点，I 为ABC ∆的内心，连接PI 并延长交圆Γ于T ．⑴求证：MP MT NP NT ⋅=⋅；⑵在弧AB （不含点C ）上任取一点Q （Q A ≠，T ，B ），记A Q C ∆，QCB △的内心分别为1I ，2I ，B求证：Q ，1I ，2I ，T 四点共圆．10．求证不等式：2111ln 12n k k n k =⎛⎫-<- ⎪+⎝⎭∑≤，1n =，2，… 11．设k ，l 是给定的两个正整数．证明：有无穷多个正整数m k ≥，使得C k m 与l 互素． 12．在非负数构成的39⨯数表111213141516171212223242526272829313233343536373839x x x x x x x x x P x x x x x x x x x x x x x x x x x x⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ 中每行的数互不相同，前6列中每列的三数之和为1，1728390x x x ===，27x ，37x ，18x ，38x ，19x ，29x 均大于．如果P 的前三列构成的数表111213212223313233x x x S x x x x x x ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭满足下面的性质()O ：对于数表P 中的任意一列123k k k x x x ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭（1k =，2，…，9）均存在某个{}123i ∈，，使得⑶{}123min ik i i i i x u x x x =≤，，．求证：（ⅰ）最小值{}123min i i i i u x x x =，，，1i =，2，3一定自数表S 的不同列．（ⅱ）存在数表P 中唯一的一列***123k k k x x x ⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，*1k ≠，2，3使得33⨯数表***111212122231323k k k x x x S x x x x x x ⎛⎫ ⎪'= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭仍然具有性质()O ．\。

湖北省百所重点中学2009届高三联合考试(理)

湖北省百所重点中学 2009 届高三联合考试数学试题（理科）考生注意：1．本试卷共150分，考试时间120分钟。

2．请将各题答案填在试卷后面的答题卷上。

3．本试卷主要考试内容：集合与简易逻辑、函数、数列（约占70%），排列、组合、二项式定理、概率、以及选修II 的概率与统计、极限、数学归纳法、导数、复数（约占30%）。

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）1．设A 、B 是非空数集，定义：{|,}A B a b a A b B ⊕=+∈∈，若{1,2,3}A =、{4,5,6}B =，则B A ⊕的非空真子集个数为DA ．64B ．32C ．31D ．30 2．已知x 、y R ∈，i 为虚数单位，且(2)1x i y i --=-+，则(1)x y i ++的值为B A ．4 B ．4- C ．44i + D ．2i 3．已知函数()1log (01)a f x x a a =+>≠且，1()f x -是()f x 的反函数，若1()f x - 的图象过点的图象过点(3,4)，则a 等于DA ．2B ．3C ．33D ．24．若函数(1)f x +的定义域为[0,1]，则函数(22)xf -的定义域为BA ．[0,1]B ．]2,3[log 2C ．]3log ,1[2D ．[1,2] 5．如果函数2()f x x bx c =++对于任意的实数x ，都有(1)()f x f x +=-成立，那么A A ．)2()2()0(-<<f f f B ．)2()2()0(f f f <-< C ．)2()0()2(-<<f f f D ．)2()0()2(f f f <<- 6．如果随机变量2~(,)N ξμσ，且3E ξ=、1D ξ=，那么(24)P ξ<≤等于（其中2(,)N μσ在(,)μσμσ-+内的取值的概率为0.683；在(2,2)μσμσ-+ 内的取值的概率为内的取值概率为0.954；在)3,3(σμσμ+-内的取值概率为0.997）BA ．0.5B ．0.683C ．0.954D ．0.9977．若函数122(1)()log (1)x x f x x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，则(1)y f x =-的图象可以是CA ．B ．C ．D ．8．函数()y f x =与()y g x =有相同的定义域，且对于定义域内的任意x ，都有()()0f x f x -+=、()()1g x g x ⋅-=，且(0)1g =，则函数2()()()()1f x F x f xg x =+-是BA ．奇函数B ．偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．非奇非偶函数 9．已知函数)(x f 是以2为周期的偶函数，且当(0,1)x ∈时，()21x f x =-，则2(log 10)f 的值为AA ．53B ．58C ．83-D ．35 10．函数244(1)()43(1)x x f x x x x -≤⎧⎪=⎨-+>⎪⎩的图象和函数2()log g x x =的图象的交点个数为CA ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分。

2009答案

2， an1 an n1 n 1，

n 1

n
2， 1 ， n 1，
．所以，数列
an 成 n
公差为 1 的等差数列，其首项为
2 1 n 1 n 1 ． n 于是数列 an 的通项公式为 an

2 ．所以
n 1 2n 2
故 a100 101 298 ． 8．
∶ 00 ~ 9 ∶ 00 ， 9 ∶ 00 ~ 10 ∶ 00 都恰有一辆客车到站，但到站的时刻是随机的，且两某车站每天 8
者到站的时间是相互独立的，其规律为到站时刻
8 ∶ 10 9 ∶ 10 8 ∶ 30 9 ∶ 30 8 ∶ 50 9 ∶ 50
n 1 n 1，2 ，
．
．
整理得 n2 n 1 2， an 1 an ， n 1，
n 1 所以，数列 an 成公比为的等比数列，其首项为 2 2 2 n 1 2 ．所以 an a1 n 1 ．
．
2．
已知直线 L : x y 9 0 和圆 M : 2 x2 2 y 2 8x 8 y 1 0 ，点 A 在直线 L 上， B ， C 为圆 M 上两点，在 ABC 中， BAC 45 ， AB 过圆心 M ，则点 A 横坐标范围为．
【解析】
3 ，6 9 a ，则圆心 M 到直线 AC 的距离 d 设 A a ，
1 2
1 3 （精确到分）．
50 1 1 6 6
70 1 1 2 6
90 1 1 3 6

2009年全国高中数学联合竞赛试题及解答.

2009年全国高中数学联合竞赛一试一、填空题：本大题共8个小题，每小题7分，共56分。

2009*1、函数21)(x x x f +=，且fn n x f f f f x f个)]]([[)()(=，则=)1()99(f◆答案：101★解析：由题意得2)1(1)()(xxx f x f+==，2)2(21)]([)(xx x f f x f+==，······2)99(991)(x x x f +=.故 101)1()99(=f .2009*2、已知直线09:=-+y x L 和圆018822:22=---+y x y x M ，点A 在直线L 上，点C B ,为圆M 上两点，在ABC ∆中，045=∠BAC ，直线AB 过圆心M ，则点A 横坐标的取值范围为 ◆答案：[]6,3★解析：设A （a ，9-a ），则圆心M 到直线AC 的距离d =AM sin ︒45，由直线AC 与圆M 相交，得 234≤d .解得 63≤≤a .2009*3、在坐标平面上有两个区域M 和N ，M 为⎪⎩⎪⎨⎧-≤≤≥x y x y y 20，N 是随t 变化的区域，它由不等式1+≤≤t x t 所确定，t 的取值范围是10≤≤t ，则M 和N 的公共面积是函数=)(t f◆答案：212++-t t ★解析：由题意知阴影部分面积s t f =)( =BEF OCD AOB S S S ∆∆∆--=212++-t t2009*4、若不等式3120071212111<++++++n n n 对一切正整数n 都成立，则最小正整数a 的值为 ◆答案：2009★解析：设121...2111)(++++++=n n n n f .显然)(n f 单调递减.则由)(n f 的最大值312007)1(-<a f ，可得2009=a .2009*5、椭圆12222=+by a x （0>>b a ）上任意两点Q P ,，若OQ OP ⊥，则OQ OP ⋅的最小值为◆答案：.22222ba b a + ★解析：设)sin ,cos (θθOP OP P ，)).2sin(),2cos((πθπθ±±OQ OQ Q由Q P 、在椭圆上，有22222sin cos 1b a OP θθ+=（1）， 22222cos sin 1b a OQθθ+=（2）（1）+（2）得.11112222b a OQOP+=+于是当 22222ba b a OQ OP +==时，OQ OP 达到最小值.22222b a b a +2009*6、若关于x 的方程)1lg(2lg +=x kx 仅有一个实根，则实数k 的取值范围为 ◆答案：0<k 或4=k★解析：由题意，方程等价于⎪⎩⎪⎨⎧+=>+>2)1(010x kx x kx ，当且仅当 0>kx （1）；01>+x （2）；01)2(2=+-+x k x （3）对（3）由求根公式得]42[21,221k k k x x -±-= （4）又0042≤⇒≥-=∆k k k 或4≥k)(i 当0<k 时，由（3）得⎩⎨⎧>=<-=+01022121x x k x x ，所以21x x 同为负根。

全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题参考答案高二年级

全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题参考答案（高二年级）说明：评阅试卷时，请依据本评分标准。

填空题只设8分和0分两档；解答题的评阅，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分。

一、填空题（本题满分64分，每小题8分。

直接将答案写在横线上。

）1．函数741)(2+++=x x x x f的值域为． 2．已知1sin 2sin 322=+βα，1)cos (sin 2)cos (sin 322=+-+ββαα，则=+)(2cos βα13-． 3．已知数列}{n a 满足：1a 为正整数，⎪⎩⎪⎨⎧+=+,,13,,21为奇数为偶数n n n nn a a a a a 如果29321=++a a a ，则=1a 5 ．4．设集合}12,,3,2,1{Λ=S ，},,{321a a a A =是S 的子集，且满足321a a a <<，523≤-a a ，那么满足条件的子集A 的个数为 185 ．5．过原点O 的直线l 与椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 交于N M ,两点，P 是椭圆C 上异于N M ,的任一点．若直线PN PM ,的斜率之积为31-，则椭圆C6．在△ABC 中，2==BC AB ，3=AC ．设O 是△ABC 的内心，若q p +=，则q p的值为32． 7．在长方体1111D C B A ABCD -中，已知p AB C B AC ===11,2,1，则长方体的体积最大时，p为． 8．设][x 表示不超过x 的最大整数，则2012120122[]2kk k +=+=∑ 2012 ．二、解答题（本大题满分56分，第9题16分，第10题20分，第11题20分）9．已知正项数列}{n a=11a =，28a =，求}{n a 的通项公式．解在已知等式两边同时除以1+n n a a ，得3141112++=++++nn n n a aa a ，所以11)=． ------------------------------------------4分令111++=+nn n a a b ,则n n b b b 4,411==+，即数列}{n b 是以1b ＝4为首项,4为公比的等比数列，所以nn n b b 4411=⋅=-.------------------------------------------8分所以n nn a a 4111=+++,即nn n a a ]1)14[(21--=+.------------------------------------------12分于是，当1>n 时,22221121]1)14[(]1)14[(]1)14[(-------⋅--=--=n n n n n n a a a∏∏-=--=---=--==112111121]1)14[(]1)14[(n k k n k k a Λ ，因此,⎪⎩⎪⎨⎧≥--==∏-=-.2,]1)14[(,1,11121n n a n k k n ------------------------------------------16分10．已知正实数b a ,满足122=+b a ，且333)1(1++=++b a m b a ，求m 的取值范围．解令cos ,sin a b θθ==，02πθ<<，则322333)1sin (cos 1)sin sin cos )(cos sin (cos )1sin (cos 1sin cos ++++-+=++++=θθθθθθθθθθθθm ．----------------------------------------5分令θθsin cos +=x ，则 ]2,1()4sin(2∈+=πθx ，且21sin cos 2-=x θθ．------------------------------10分于是21)1(23)1(22)1(22)1(232)1(1)211(223332-+=+-=+-+=+-+=++--=x x x x x x x x x x x x m ． ------------------------------15分因为函数21)1(23)(-+=x x f 在]2,1(上单调递减，所以)1()2(f m f <≤．又2423)2(,41)1(-==f f ，所以)41,2423[-∈m ． --------------------------------------20分11．已知点),(n m E 为抛物线)0(22>=p px y 内一定点，过E 作斜率分别为21,k k 的两条直线交抛物线于D C B A ,,,，且N M ,分别是线段CD AB ,的中点．（1）当0=n 且121-=⋅k k 时，求△EMN 的面积的最小值；（2）若λ=+21k k （λλ,0≠为常数），证明：直线MN 过定点．解 AB 所在直线的方程为m n y t x +-=)(1，其中111k t =，代入px y 22=中，得 2112220y pt y pt n pm -+-=，设1122(,),(,)A x y B x y ，则有1212pt y y =+，从而1211211(2)2(22)2x x t y y n m t pt n m +=+-+=-+．则2111(,)M pt nt m pt -+．CD 所在直线的方程为m n y t x +-=)(2，其中221k t =，同理可得2222(,)N pt nt m pt -+． ------------------------------------------5分（1）当0=n 时，(,0)E m ，211(,)M pt m pt +，222(,)N pt m pt +，2111||||t pt EM +=，2221||||t pt EN +=．又121-=⋅k k ，故121-=⋅t t ，于是△EMN 的面积221211||||||222p S EM EN p t t =⋅==222p p ≥=，当且仅当1||||21==t t 时等号成立．所以，△EMN的面积的最小值为2p .------------------------------------------10分（2）p nt t t t n t t p t t p k MN -+=----=)(1)()()(2121222121，MN 所在直线的方程为]([)(1121211m nt pt x pn t t pt y +--⋅-+=-，即m x t pt pnt t y -=--+2121)(． ------------------------------------------15分又λ=+=+212111t t k k ，即λ2121t t t t +=，代入上式，得1212()t t n y t t p x m p λ++--⋅=-，即 m pnyx p y t t -+=-+))((21λ．当0=-λp y 时，有0=-+m p ny x ，即⎪⎩⎪⎨⎧-==λλn m x p y 为方程的一组解，所以直线MN 恒过定点),(λλpn m -． ------------20分。

2009年全国高中数学联赛加试题另解

12
赛题新解
中等数学
2009年全国高中数学联赛加试题另解
第一题如图 1, M 、N 分别为锐角 △ABC ( A < B ) 的外接圆圆 Γ 上
弧 B C、AC的中点.
过点 C作 PC∥MN
交圆 Γ 于点 P, I
为 △ABC 的内心 ,
联结 PI并延长交
圆 Γ于点 T. 求证 :
f ( x) = ln ( 1 + x) - x, g ( x) = ln ( 1 + x) - x + x2 .
2
则
f
′( x)
=
1
1 +
x
-
1
=
-x 1 +x
<
0,
g′( x) = 1 - 1 + x = x2 > 0.
1 +x
1 +x
从而 ,当 x > 0时 ,
f ( x) < f (0) , g ( x) > g (0) ,
图1
(1)M P·M T =N P·N T;
(2)在弧 AB (不含点 C ) 上任取一点 Q
(Q ≠A、T、B ) ,记 △AQC、△QCB 的内心分别
为 I1 、I2 ,则 Q、I1 、I2 、T四点共圆.
证法 1:为了证明该题 ,先给出一个引理.
引理设 I为 △AB C 内一点 , A I所在直
与 l互质.
证法 1:若质数 p与 Cmk 互质 ,由于 Cmk 中质
∞
因数 p的次数为
t =1
m
k m-k
pt - pt -
pt
,
因此 ,

2009年全国高中数学联赛试题及答案

2009年全国高中数学联赛一试一、填空（每小题7分，共56分）1．若函数()f x =且()()()n nf x f f f f x ⎡⎤=⎡⎤⎣⎦⎣⎦，则()()991f = ． 2．已知直线:90L x y +-=和圆22:228810M x y x y +---=，点A 在直线L 上，B ，C 为圆M 上两点，在ABC ∆中，45BAC ∠=︒，AB 过圆心M ，则点A 横坐标范围为．3．在坐标平面上有两个区域M 和N ，M 为02y y x y x ⎧⎪⎨⎪-⎩≥≤≤，N 是随t 变化的区域，它由不等式1t x t +≤≤所确定，t 的取值范围是01t ≤≤，则M 和N 的公共面积是函数()f t = ．4．使不等式1111200712213a n n n +++<-+++对一切正整数n 都成立的最小正整数a 的值为．5．椭圆22221x y a b+=()0a b >>上任意两点P ，Q ，若OP OQ ⊥，则乘积OP OQ ⋅的最小值为．6．若方程()lg 2lg 1kx x =+仅有一个实根，那么k 的取值范围是．7．一个由若干行数字组成的数表，从第二行起每一行中的数字均等于其肩上的两个数之和，最后一行仅有一个数，第一行是前100个正整数按从小到大排成的行，则最后一行的数是（可以用指数表示）8．某车站每天800~900∶∶，900~1000∶∶都恰有一辆客车到站，但到站的时刻是随一旅客820∶到车站，则它候车时间的数学期望为（精确到分）．二、解答题1．（14分）设直线:l y kx m =+（其中k ，m 为整数）与椭圆2211612x y +=交于不同两点A ，B ，与双曲线221412x y -=交于不同两点C ，D ，问是否存在直线l ，使得向量0AC BD +=，若存在，指出这样的直线有多少条？若不存在，请说明理由．2．（15分）已知p ，()0q q ≠是实数，方程20x px q -+=有两个实根α，β，数列{}n a 满足1a p =，22a p q =-，()1234n n n a pa qa n --=-=，，(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式（用α，β表示）；(Ⅱ)若1p =，14q =，求{}n a 的前n 项和．3．（15分）求函数y =的最大和最小值．加试一、填空（共4小题，每小题50分，共200分）9．如图，M ，N 分别为锐角三角形ABC ∆（A B ∠<∠）的外接圆Γ上弧BC 、AC 的中点．过点C 作PC MN ∥交圆Γ于P 点，I 为ABC ∆的内心，连接PI 并延长交圆Γ于T ．⑴求证：MP MT NP NT ⋅=⋅；⑵在弧AB （不含点C ）上任取一点Q （Q A ≠，T ，B ），记AQC ∆，QCB △的内心分别为1I ，2I ，B求证：Q ，1I ，2I ，T 四点共圆．10．求证不等式：2111ln 12n k k n k =⎛⎫-<- ⎪+⎝⎭∑≤，1n =，2，…11．设k ，l 是给定的两个正整数．证明：有无穷多个正整数m k ≥，使得C k m 与l 互素．12．在非负数构成的39⨯数表111213141516171819212223242526272829313233343536373839x x x x x x x x x P x x x x x x x x x x x x x x x x x x ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭中每行的数互不相同，前6列中每列的三数之和为1，1728390x x x ===，27x ，37x ，18x ，38x ，19x ，29x 均大于．如果P 的前三列构成的数表111213212223313233x x x S x x x x x x ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭满足下面的性质()O ：对于数表P 中的任意一列123k k k x x x ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭（1k =，2，…，9）均存在某个{}123i ∈，，使得⑶{}123min ik i i i i x u x x x =≤，，．求证：（ⅰ）最小值{}123min i i i i u x x x =，，，1i =，2，3一定自数表S 的不同列．（ⅱ）存在数表P 中唯一的一列***123k k k x x x ⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，*1k ≠，2，3使得33⨯数表***111212122231323k k k x x x S x x x x x x ⎛⎫ ⎪'= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭仍然具有性质()O ．\。

全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题2008-2011

一、填空题1、已知集合21{|23},{|,0}A y y x x B y y x x x==+−==+<，则A B =I _ . 2、设数列{}n a 满足：1111,(1)21n n na a a n a ++==≥−，则2008a = _ _. 3、函数44sin 2sin cos cos y x x x x =++的最小值为 _ _.4、已知正三棱锥P ABC −的底面正三角形的边长为1，其外接球的球心O 满足0OA OB OC ++=uuu r uuu r uuu r r，则这个正三棱锥的体积为 _ _.5、设H 为锐角△ABC 的垂心，已知30,3A BC ∠=°=，则AH = _ _.6、在等腰梯形ABCD 中，AB//CD ，且AB ＞CD. 设以A ，B 为焦点且过点D 的双曲线的离心率为1e ，以C ，D 为焦点且过点A 的椭圆的离心率为2e ，则12e e = _ _.7、设2621201212(22)(2)(2)(2)x x a a x a x a x +−=+++++++L ，其中(0,1,2,,12)i a i =L 为实常数，则0123122312a a a a a +++++=L _ _.8、有六张分别写有数字1，2，3，4，5，6的卡片，每次从中抽取一张，记下上面的数字，然后放回. 这样抽取了4次，则抽到的最大数与最小数的差等于5的概率为 _ _.9、设[]x 表示不超过x 的最大整数，则2222[log 1][log 2][log 3][log 500]++++=L _ _. 10、已知三个正整数a ，b ，c 满足223,3()5a b c a b a a c b ≤+≤≤+≤，则2b ca−的最小值是 _ _. 二、解答题11、设P 为椭圆22143x y +=上的一个动点，过点P 作椭圆的切线与22:12O x y += 相交于M ，N 两点，⊙O 在M ，N 两点处的切线相交于点Q.（1）求点Q 的轨迹方程；（2）若P 是第一象限的点，求△OPQ 的面积的最大值.12、设数列{}n a 满足：22112211,2,(1).1n n n n a a a a n a a +++===≥+ （1）求1n a +与n a 之间的递推关系式1();n n a f a += （2）证明：20086378.a <<13、如果正整数n 可以写成b a （其中,,2,2a b N a b ∈≥≥）的形式，则称n 为“好数”. 在与2的正整数次幂相邻的正整数中，试找出所有的“好数”.1一、填空题（本题满分56分，每小题7分。

09全国高中那个数学联赛二试试题答案

2009年全国高中数学联合竞赛加试试题参考答案及评分标准（A 卷）说明：1．评阅试卷时，请严格按照本评分标准的评分档次给分．2．如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，10分为一个档次，不要增加其他中间档次．一、填空（共4小题，每小题50分，共200分）1．如图，M ，N 分别为锐角三角形A B C ∆（A B ∠<∠）的外接圆Γ上弧 B C 、 A C 的中点．过点C 作P C M N ∥交圆Γ于P 点，I 为A B C ∆的内心，连接P I 并延长交圆Γ于T ．⑴求证：M P M T N P N T ⋅=⋅；⑵在弧 A B （不含点C ）上任取一点Q （Q A≠，T ，B ），记A Q C ∆，Q C B △的内心分别为1I ，2I ，B求证：Q ，1I ，2I ，T 四点共圆．【解析】 ⑴连N I ，M I ．由于P C M N ∥，P ，C ，M ，N 共圆，故P C M N 是等腰梯形．因此N P M C =，P M N C =．ABCMNPTI连A M ，C I ，则A M 与C I 交于I ，因为M IC M A C A C I M C B B C I M C I∠=∠+∠=∠+∠=∠，所以M CM I=．同理N C N I=．于是N P M I=，P M N I =．故四边形M P N I 为平行四边形．因此P M TP N TS S =△△（同底，等高）．又P ，N ，T ，M 四点共圆，故180T N PP M T ∠+∠=︒，由三角形面积公式1sin 2P M T S P M M T P M T=⋅∠△1s i n 2P N TS P N N T P NT ==⋅∠△1s i n 2P N N T P MT =⋅∠ 于是P M M T P N N T⋅=⋅．⑵因为1111N C I N C A A C I N Q C Q C I C I N∠=∠+∠=∠+∠=∠，B所以1N CN I =，同理2M C M I =．由M P M T N P N T⋅=⋅得N T M T M PN P=．由⑴所证M PN C=，N PM C=，故12N T M T N I M I =．又因12I N T Q N T Q M T I M T∠=∠=∠=∠，有12I N T I M T∆∆∽．故12N T I M T I ∠=∠，从而1212I Q I N Q M N T M I T I ∠=∠=∠=∠．因此Q ，1I ，2I ，T 四点共圆． 2．求证不等式：2111ln 12nk k n k =⎛⎫-<- ⎪+⎝⎭∑≤，1n =，2，…【解析】证明：首先证明一个不等式：⑴ln (1)1x x xx<+<+，0x>．事实上，令()ln (1)h x x x =-+，()ln (1)1x g x x x =+-+．则对0x>，1()101h x x'=->+，2211()1(1)(1)x g x xx x '=-=>+++．于是()(0)0h x h >=，()(0)0g x g >=．在⑴中取1xn=得⑵111ln 11n n n ⎛⎫<+< ⎪+⎝⎭．令21ln 1nnk k x nk==-+∑，则112x =，121ln 111n n nx x nn -⎛⎫-=-+ ⎪+-⎝⎭211n n n<-+210(1)n n=-<+因此1112n n x x x -<<<=．又因为111ln (ln ln (1))(ln (1)ln (2))(ln 2ln 1)ln 1ln 1n k n n n n n k -=⎛⎫=--+---++-+=+⎪⎝⎭∑ ．从而12111ln 11nn n k k k x kk -==⎛⎫=-+ ⎪+⎝⎭∑∑12211ln 111n k k n kk n -=⎛⎫⎛⎫=-++ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭∑12111n k k k k -=⎛⎫>- ⎪+⎝⎭∑1211(1)n k kk-==-+∑111(1)n k k k-=-+∑≥111n=-+>-．3．设k ，l 是给定的两个正整数．证明：有无穷多个正整数m k≥，使得C k m 与l 互素．【解析】证法一：对任意正整数t ，令(!)mk t l k =+⋅⋅．我们证明()C 1k ml =，．设p 是l 的任一素因子，只要证明：C kmpŒ．若!p k Œ，则由1!C ()kkm i k m k i ==-+∏1[((!)]ki i t l k =≡+∏1ki i =≡∏()1!m o d k pα+≡．及|!p k α，且1!pk α+Œ，知|!C kmpk α且1!C kmp k α+Œ．从而C kmpŒ．证法二：对任意正整数t ，令2(!)mk t l k =+⋅⋅，我们证明()C 1k ml =，．设p 是l 的任一素因子，只要证明：C kmpŒ．若!p k Œ，则由1!C ()kkm i k m k i ==-+∏21[((!)]ki i t l k =≡+∏1ki i =≡∏()!m o d k p ≡．即p 不整除上式，故C kmp Œ．若|!pk ，设1α≥使|!p k α，但1!p k α+Œ．12|(!)pk α+．故由11!C ()k km i k m k i -==-+∏21[((!)]ki i t l k =≡+∏1ki i =≡∏()1!m o d k pα+≡及|!p k α，且1!p k α+Œ，知|!C kmp k α且1!C kmp k α+Œ．从而C kmpŒ．4．在非负数构成的39⨯数表111213141516171212223242526272829313233343536373839x xx x x x xxx P xx x x xxxx x x xxxx x xx x ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ 中每行的数互不相同，前6列中每列的三数之和为1，1728390x x x ===，27x ，37x ，18x ，38x ，19x ，29x 均大于．如果P 的前三列构成的数表111213212223313233x xx S xx x x xx ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭满足下面的性质()O ：对于数表P 中的任意一列123k kkx x x ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭（1k =，2，…，9）均存在某个{}123i ∈，，使得 ⑶{}123m in ik i i i i x u x x x =≤，，．求证：（ⅰ）最小值{}123m in ii i i u x x x =，，，1i =，2，3一定自数表S 的不同列．（ⅱ）存在数表P 中唯一的一列***123k k k x x x ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，*1k ≠，2，3使得33⨯数表***111212122231323k kk x x xS x x x x x x ⎛⎫⎪'= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭仍然具有性质()O ．【解析】（ⅰ）假设最小值{}123m in ii i i u x x x =，，，1i =，2，3不是取自数表S 的不同列．则存在一列不含任何i u ．不妨设2i i u x ≠，1i =，2，3．由于数表P 中同一行中的任何两个元素都不等，于是2i i u x <，1i =，2，3．另一方面，由于数表S 具有性质()O ，在⑶中取2k=，则存在某个{}123i ∈，，使得02iix u ≤．矛盾．（ⅱ）由抽届原理知{}1112m in x x ，，{}2122m in x x ，，{}3132m in x x ，中至少有两个值取在同一列．不妨设{}212222m in x x x =，，{}313232m in x x x =，．由前面的结论知数表S 的第一列一定含有某个i u ，所以只能是111x u =．同样，第二列中也必含某个i u ，1i =，2．不妨设222x u =．于是333u x =，即i u 是数表S中的对角线上数字．111213212223313233x x x S x x x xx x ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭记{}129M = ，，，，令集合{}{}12|m in 13ik i i I k Mx x x i =∈>=，，，．显然{}111332|k k I k M x x x x =∈>>，且1，23I ∉．因为18x ，38111x x >≥，32x ，所以8I ∈．故I ∅≠．于是存在*k I ∈使得{}*22m a x |k k x x k I =∈．显然，*1k ≠，2，3．下面证明33⨯数表***111212122231323k kk x x xS x x x x x x ⎛⎫⎪'= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭具有性质()O ．从上面的选法可知{}{}*1212:m in m in i i i i i ik u x x xxx '==，，，，(13)i =，．这说明{}*111211m in k xx x u >，≥，{}*313233m in kx x x u >，≥．又由S满足性质()O ．在⑶中取*k k =，推得*22k xu ≤，于是{}**2212222m in k k u x x x x'==，，．下证对任意的k M ∈，存在某个1i =，2，3使得i iku x '≥．假若不然，则{}12m in ik i i x x x >，，1i =，3且*22kk x x>．这与*2k x 的最大性矛盾．因此，数表S '满足性质()O ．下证唯一性．设有k M ∈使得数表111212122231323k kkx x x S x x x xx x ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭具有性质()O ，不失一般性，我们假定 {}111121311m i n u x x x x ==，，⑷{}221222322m in u x x x x ==，，{}331323333m i n u x x x x ==，，3231x x<．由于3231x x <，2221x x <及（ⅰ），有 {}11112111m in k u x x x x ==，，．又由（ⅰ）知：或者()a {}3313233m in k k u x x x x ==，，，或者 {}2212222()m in k kb u x x x x ==，，．如果()a 成立，由数表 S具有性质()O ，则{}11112111m i n ku x x x x ==，，， ⑸ {}22122222m in k u x x x x ==，，，{}3313233m i n kku x x xx==，，．由数表S 满足性质()O ，则对于3M∈至少存在一个{}123i ∈，，使得*i ik u x ≥．由*k I ∈及⑷和⑹式知， *1111k x x u >=， *3323kx x u >=．于是只能有*222kk xu x =≤．类似地，由S '满足性质()O 及k M ∈可推得*222kk x u x '=≤．从而*k k=．。

2009高中数学联赛

2009高中数学联赛介绍：2009年的高中数学联赛是一场备受关注的盛会，吸引了来自全国各地的优秀数学学子参与。

这场竞赛不仅是学生们展示数学才能的舞台，也是学习和交流的机会。

本文将就2009年高中数学联赛的组织过程、赛事特点以及对参赛学生的影响进行详细介绍。

组织过程：2009年高中数学联赛是在各省市的支持下组织的，旨在提高学生的数学素养和解决问题的能力。

各地学校都积极响应，并派出学生代表参与比赛。

这场比赛由高级数学教师组成的专业团队负责组织，并制定了一系列细则和规定。

比赛的题目从基础知识到难度逐渐加大，涵盖了高中数学的各个领域。

赛事特点：2009年高中数学联赛有几个鲜明的特点。

首先，这场比赛注重考察学生运用数学知识解决实际问题的能力。

其次，比赛不仅要求学生答题准确，还注重解题过程的逻辑性和严谨性。

第三，比赛时间紧凑，要求学生迅速反应和高效解题。

最后，为了更好地展示学生的综合能力，比赛不仅有选择题，还有填空题和解答题。

对参赛学生的影响：参与2009年高中数学联赛对学生的影响是深远的。

首先，这场比赛为学生创造了一个展示自己才华的机会。

通过参与竞赛，学生们能够展示他们在数学上的优秀能力，增强自信心。

其次，比赛能够激发学生对数学的热情和兴趣。

在比赛中遇到的挑战，可以促进学生深入思考和学习更多数学知识。

最后，比赛也为学生提供了一个交流和学习的平台。

学生们可以与来自不同地区的同学交流解题思路和经验，互相学习。

总结：2009年高中数学联赛作为一场重要的竞赛活动，为广大学生提供了一次展示才华、提高数学能力的机会。

这场比赛的组织过程严谨，特点鲜明，对学生产生了积极的影响。

参与这场比赛的学生们通过比赛展示了自己独特的数学才能，并在解题过程中提高了自己的解决问题的能力。

同时，比赛也促进了学生们之间的交流和学习。

可以说，2009年高中数学联赛为我国高中数学教育的发展做出了积极贡献。

希望未来会有更多的数学比赛举行，为学生们提供更多展示才华的平台。

2009年全国高中数学联赛试题

0 / 1 2009年全国高中数学联合竞赛一试试题一、填空题：本大题共8小题，每小题7分，共56分.1.若函数()21x x x f +=且()()()n nf x f f f f x ⎡⎤=⎡⎤⎣⎦⎣⎦，则()()991f =____________. 2.已知直线:90L x y +-=和圆22:228810M x y x y +---=，点A 在直线L 上，B ，C 为圆M 上两点，在ABC ∆中，45BAC ∠=︒，AB 过圆心M ，则点A 横坐标范围为____________.3.在坐标平面上有两个区域M 和N ，M 为02y y x y x ⎧⎪⎨⎪-⎩≥≤≤，N 是随t 变化的区域，它由不等式1t x t +≤≤所确定，t 的取值范围是01t ≤≤，则M 和N 的公共面积是函数()f t =____________.4.使不等式1111200712213a n n n +++<-+++对一切正整数n 都成立的最小正整数a 的值为__________. 5.椭圆22221x y ab +=()0a b >>上任意两点P ，Q ，若OP OQ ⊥，则乘积OP OQ ⋅的最小值为____________. 6.若方程()lg 2lg 1kx x =+仅有一个实根，那么k 的取值范围是____________. 7.一个由若干行数字组成的数表，从第二行起每一行中的数字均等于其肩上的两个数之和，最后一行仅有一个数，第一行是前100个正整数按从小到大排成的行，则最后一行的数是___________（可以用指数表示）8.某车站每天800~900∶∶，900~1000∶∶都恰有一辆客车到站，但到站的时刻是随机的，且两者到站的时一旅客820∶到车站，则它候车时间的数学期望为____________（精确到分）．二、解答题：本大题共3小题，共44分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.9.（本小题满分14分）设直线:l y kx m =+（其中k ，m 为整数）与椭圆2211612x y +=交于不同两点A ，B ，与双曲线221412x y -=交于不同两点C ，D ，问是否存在直线l ，使得向量0AC BD +=，若存在，指出这样的直线有多少条？若不存在，请说明理由．10.（本小题15分）已知p ，()0q q ≠是实数，方程20x px q -+=有两个实根α，β，数列{}na 满足1a p =，22a p q =-，()1234n n n a pa qa n --=-=，，(1)求数列{}n a 的通项公式（用α，β表示）；(2)若1p =，14q =，求{}n a 的前n 项和．11.（本小题满分15分）求函数y。