高中数学知识应用竞赛初赛试题及参考答案
高中数学竞赛试题及答案
高中数学竞赛试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 下列哪个数是无理数？A. 2B. πC. 0.5D. √4答案：B2. 已知函数f(x) = x^2 - 4x + 4，求f(2)的值。
A. 0B. 4C. -4D. 8答案：A3. 一个等差数列的前三项分别为1, 4, 7，求第四项的值。
A. 10B. 11C. 13D. 15答案：A4. 计算复数z = 1 + i的模。
A. √2B. 2C. 1D. √3答案：A二、填空题（每题5分，共20分）5. 已知等比数列的公比为2，首项为1，求第5项的值。
答案：326. 已知向量a = (3, -4)，向量b = (-2, 3)，求向量a与向量b的点积。
答案：-67. 计算函数y = x^3 - 6x^2 + 11x - 6在x = 2处的导数值。
答案：18. 已知圆的方程为(x - 2)^2 + (y - 3)^2 = 9，求圆心坐标。
答案：(2, 3)三、解答题（每题10分，共60分）9. 求证：对于任意正整数n，n^2 + 3n + 2总是能被3整除。
证明：设n = 3k, 3k + 1, 3k + 2，其中k为整数。
当n = 3k时，n^2 + 3n + 2 = 9k^2 + 9k + 2 = 3(3k^2 + 3k + 1)，能被3整除。
当n = 3k + 1时，n^2 + 3n + 2 = 9k^2 + 6k + 1 + 9k + 3 + 2 =3(3k^2 + 5k + 2)，能被3整除。
当n = 3k + 2时，n^2 + 3n + 2 = 9k^2 + 12k + 4 + 9k + 6 + 2 = 3(3k^2 + 7k + 4)，能被3整除。
因此，对于任意正整数n，n^2 + 3n + 2总是能被3整除。
10. 已知函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x，求f(x)的单调区间。
解：首先求导数f'(x) = 3x^2 - 6x + 2。
中学数学竞赛初赛试题及答案
中学数学竞赛初赛试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 已知函数\( f(x) = 3x^2 - 2x + 1 \)，求\( f(-1) \)的值。
A. 0B. 4C. 6D. 82. 一个圆的半径是5，那么它的面积是多少？A. 25πB. 50πC. 75πD. 100π3. 一个直角三角形的两条直角边分别是3和4，斜边的长度是多少？A. 5B. 6C. 7D. 84. 一个数的平方根是4，这个数是多少？A. 16B. -16C. 8D. -8二、填空题（每题4分，共16分）1. 一个长方体的长、宽、高分别是2cm、3cm、4cm，它的体积是________cm³。
2. 一个数列的前三项是2, 4, 6，如果这是一个等差数列，那么第四项是________。
3. 一个正六边形的内角是________度。
4. 一个分数的分子是7，分母是14，化简后是________。
三、解答题（每题12分，共48分）1. 证明：对于任意正整数\( n \)，\( 1^3 + 2^3 + 3^3 + ... +n^3 = (1 + 2 + 3 + ... + n)^2 \)。
2. 一个圆的直径是14cm，求它的周长和面积。
3. 解方程：\( 2x^2 - 5x + 2 = 0 \)。
4. 一个直角三角形的斜边长是13cm，一条直角边是5cm，求另一条直角边的长度。
四、证明题（每题16分，共16分）1. 证明：在一个直角三角形中，如果斜边的中点与一个顶点相连，那么这条线段的长度等于斜边长度的一半。
答案一、选择题1. B. 4（将-1代入\( f(x) \)得到\( 3(-1)^2 - 2(-1) + 1 = 3 + 2 + 1 = 6 \)，但题目要求\( f(-1) \)，所以是4。
）2. B. 50π（面积公式为\( πr^2 \)，代入\( r=5 \)得到\( 25π \)，但题目要求的是圆的面积，所以是\( 50π \)。
数学竞赛试题及答案高中生
数学竞赛试题及答案高中生试题一：代数问题题目：已知\( a, b \) 是方程 \( x^2 + 5x + 6 = 0 \) 的两个实根，求 \( a^2 + 5a + 6 \) 的值。
解答：根据韦达定理，对于方程 \( x^2 + bx + c = 0 \)，其根\( a \) 和 \( b \) 满足 \( a + b = -b \) 和 \( ab = c \)。
因此，对于给定的方程 \( x^2 + 5x + 6 = 0 \)，我们有 \( a + b =-5 \) 和 \( ab = 6 \)。
由于 \( a \) 是方程的一个根，我们可以将 \( a \) 代入方程得到 \( a^2 + 5a + 6 = 0 \)。
所以 \( a^2 + 5a + 6 = 0 \)。
试题二：几何问题题目：在一个直角三角形中，已知直角边长分别为 3 厘米和 4 厘米，求斜边的长度。
解答：根据勾股定理，直角三角形的斜边长度 \( c \) 可以通过直角边 \( a \) 和 \( b \) 计算得出，公式为 \( c = \sqrt{a^2 + b^2} \)。
将给定的边长代入公式，我们得到 \( c = \sqrt{3^2 + 4^2} =\sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \) 厘米。
试题三：数列问题题目：一个等差数列的首项 \( a_1 = 3 \)，公差 \( d = 2 \)，求第 10 项 \( a_{10} \) 的值。
解答：等差数列的通项公式为 \( a_n = a_1 + (n - 1)d \)，其中\( n \) 是项数。
将给定的值代入公式，我们得到 \( a_{10} = 3 + (10 - 1) \times 2 = 3 + 9 \times 2 = 3 + 18 = 21 \)。
试题四：组合问题题目：从 10 个不同的球中选取 5 个球，求不同的选取方式有多少种。
竞赛数学高中试题及答案
竞赛数学高中试题及答案试题一：多项式问题题目：已知多项式 \( P(x) = x^3 - 3x^2 + 2x - 5 \)，求 \( P(2) \) 的值。
解答：将 \( x = 2 \) 代入多项式 \( P(x) \) 中，得到：\[ P(2) = 2^3 - 3 \times 2^2 + 2 \times 2 - 5 = 8 - 12 + 4 -5 = -5 \]试题二：几何问题题目：在直角三角形 ABC 中，角 C 是直角，若 \( AB = 10 \) 且\( AC = 6 \)，求斜边 BC 的长度。
解答：根据勾股定理，直角三角形的斜边 \( BC \) 可以通过以下公式计算：\[ BC = \sqrt{AB^2 - AC^2} = \sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8 \]试题三：数列问题题目：给定数列 \( a_n = 2n - 3 \)，求数列的前 5 项。
解答：根据数列公式 \( a_n = 2n - 3 \)，我们可以计算出前 5 项：\[ a_1 = 2 \times 1 - 3 = -1 \]\[ a_2 = 2 \times 2 - 3 = 1 \]\[ a_3 = 2 \times 3 - 3 = 3 \]\[ a_4 = 2 \times 4 - 3 = 5 \]\[ a_5 = 2 \times 5 - 3 = 7 \]数列的前 5 项为：-1, 1, 3, 5, 7。
试题四：概率问题题目：一个袋子里有 5 个红球和 3 个蓝球，随机抽取 2 个球，求抽到一个红球和一个蓝球的概率。
解答：首先计算总的可能组合数，即从 8 个球中抽取 2 个球的组合数：\[ \text{总组合数} = \binom{8}{2} = \frac{8 \times 7}{2} = 28 \]然后计算抽到一个红球和一个蓝球的组合数：\[ \text{有利组合数} = \binom{5}{1} \times \binom{3}{1} = 5 \times 3 = 15 \]所以，抽到一个红球和一个蓝球的概率为：\[ P = \frac{\text{有利组合数}}{\text{总组合数}} =\frac{15}{28} \]试题五：函数问题题目：若函数 \( f(x) = x^2 - 4x + 4 \)，求 \( f(x) \) 的最小值。
北京市高中数学知识应用竞赛初赛试题及参考答案
北京市高中数学知识应用竞赛初赛试题及参考答案
参考答案：
四、解要估算2000年18岁的人口数．由于2000年的统计资料我们还不能按集到，我们根据以往的统计数据进行推算．即根据2Q00年以前，如 1999年、1998年、…、1990年、…、等年份的数据进行推
算。
这里给出两种估算方法．一种是用年总人口数除以平均寿命，再根据人口分布情况进行调节，从而推算出18岁的人口数。
另一种我们以1998年的人口统计数据为依据，即根据1998年16岁的人口数来估算2000年18岁的人口数． 1998年中国人口统计年鉴中全国分年龄、性别的人口数表显示：1998年全国16岁人口总数为22010千人．全国分年龄、性别的死亡人口状况表显示：1998年16岁到17岁、17岁到18岁人口的死亡率分别为1.21％，1.16％。
假设每年的死亡率是个常数，则我们可以做如下的估算：
1999年17岁的人口数等于1998年16岁的人口数减去这些人成长到17岁的过程中死亡的人数．这些死亡人数由1998年16岁的人口数乘以17岁的死亡率得到．
即22010-22010×I．21％=21983（千人）．
2000年18岁的人口数等于1999年17岁的人口数减去这些人成长到18岁的过程中死亡的人数。
这些死亡人数由1999年17岁的人口数乘以18岁的死亡率得到．
即21983-21983×1.16％o=21957（千人）．
2000年18岁的人口数为21957千人．
注：从不同的资料中收集到的数据差异可能很大．只要说清楚资料的来源，并且数据处理方式合理，就可以认为答案正确，得满分．如果自己假设一些数据作为资料来源，最多给5分；若仅是数据处理方式不当，可以给7分。
2005-09-26。
数学竞赛初赛试题及答案详解
数学竞赛初赛试题及答案详解试题一：代数基础题题目：若\( a \)，\( b \)，\( c \)是实数，且满足\( a^2 + b^2 + c^2 = 1 \)，求证：\( a^4 + b^4 + c^4 \leq 1 \)。
解答：首先，我们可以利用平方和不等式，即对于任意实数\( x \)和\( y \)，有\( (x+y)^2 \geq 4xy \)。
将\( x = a^2 \)和\( y = b^2 \)代入，得到：\[ (a^2 + b^2)^2 \geq 4a^2b^2 \]\[ 1 - c^2 \geq 4a^2b^2 \]\[ 1 \geq c^2 + 4a^2b^2 \]由于\( a^2 + b^2 + c^2 = 1 \)，我们可以得出：\[ a^4 + b^4 \leq 1 - c^2 \]类似地，我们可以证明：\[ a^4 + c^4 \leq 1 - b^2 \]\[ b^4 + c^4 \leq 1 - a^2 \]将这三个不等式相加，我们得到：\[ 2(a^4 + b^4 + c^4) \leq 3 - (a^2 + b^2 + c^2) \]\[ 2(a^4 + b^4 + c^4) \leq 2 \]\[ a^4 + b^4 + c^4 \leq 1 \]证明完毕。
试题二：几何问题题目：在直角三角形ABC中，∠C是直角，若AB=5，AC=3，求BC的长度。
解答：根据勾股定理，直角三角形的斜边的平方等于两直角边的平方和。
设BC的长度为\( x \)，则有：\[ AB^2 = AC^2 + BC^2 \]\[ 5^2 = 3^2 + x^2 \]\[ 25 = 9 + x^2 \]\[ x^2 = 16 \]\[ x = 4 \]所以，BC的长度为4。
试题三：组合问题题目：有5个不同的球和3个不同的盒子，将这些球放入盒子中，每个盒子至少放一个球，有多少种不同的放法？解答：首先，我们需要将5个球分成3组，每组至少一个球。
高中数学竞赛初赛试题(含答案)
高中数学竞赛初赛试题(含答案)高中数学竞赛初赛试题(含答案)一、选择题1. 设函数 f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 2ax + b，如果 f(1) = 3 且 f'(1) = 4，那么常数 a 和 b 的值分别是多少？A) a = 2, b = 4 B) a = 2, b = 3 C) a = 3, b = 4 D) a = 3, b = 32. 在平面直角坐标系中，点 P(-3,4) 和点 Q(1,-2) 的连线所在直线的斜率是多少？A) -1/4 B) 2/3 C) 2 D) -3/23. 若 a, b, c 是等差数列的前三项，且 a + b + c = 9，那么 a 的值是多少？A) 1 B) 3/2 C) 2 D) 34. 若函数 f(x) = 2x^3 + ax^2 + bx + 2 的图像经过点 (2, 8)，那么常数a 和b 的值之和为多少？A) 6 B) 8 C) 10 D) 125. 已知等比数列的首项为 4，公比为 2，前 n 项和为 S_n。
下列哪个等式是正确的？A) S_n = 4(2^n - 1) B) S_n = 2(2^n - 1) C) S_n = 2^n + 2 D) S_n = 2^n二、填空题1. 若 3/4 张纸能折成 2^7 层，那么一张纸最多能折成多少层？答案：2^10 层2. 若 1/3 张纸能折成 2^8 层，那么一张纸最多能折成多少层？答案：3 × 2^8 层3. 一条长杆分成三段，第一段比第二段长 2cm，第二段比第三段长4cm，三段的长度之和是 50cm。
请分别求出第一段、第二段和第三段的长度。
答案：第一段：12cm，第二段：14cm，第三段：24cm4. 若 a 和 b 是互质的整数，并且 a × b = 147，那么 a 和 b 的值分别是多少？答案：a = 1，b = 147 或 a = 147，b = 15. 在平面直角坐标系中，顶点为 (0,0)，椭圆的长轴在 x 轴上，短轴在 y 轴上，且长轴长为 8，短轴长为 6。
第十五届应用竞赛初赛试题及参考解答
第十五届北京高中数学知识应用竞赛初赛试题及参考解答一、（满分20分）在测量课上，老师交给的任务是测量楼前旗杆的高度。
小王灵机一动，想出了如下的测量法：请同学小李当“参照物”站在旗杆下，在离旗杆较近的地方，用手机拍下小李和旗杆的照片，如图所示。
然后把照片放在计算机的屏幕上，量出旗杆有6.3个小李的高度，小李的身高为1.65米，于是得到旗杆的高度约为6.3 1.65=10.4（米）(1) 你认为这种测量方法如何？如认为正确，请说明理由以及这种方法的优点；如认为有问题，请说明问题出在何处，结果偏大还是偏小?(2) 你认为测量中如何做就能减少误差，得到正确的结果？参考解答：(1) 这个方法虽然操作简单易行，但却是有问题的，这样得到的结果，与实际真实的结果相比，偏小。
照相者离旗杆越近，误差越大。
事实上，从这张照片上可以看到，同样大小的窗户框，其高度在照片上看，四层的只有一层的70%，这符合“近大远小”的视觉规律。
因此旗杆下面的“一人高”和旗杆顶端的“一人高”对应的真实高度是不一样的，小王却把它当成一样的计算了。
而顶端的“一人高”比下端的一人高所对应的实际尺寸要大，故小王的结果偏小了。
(2) 减少误差的思路有两种，一是远离旗杆，用长焦镜头拍照。
这时摄影者到旗杆底部和到旗杆顶部的距离差会缩小，从而减少误差。
但也要注意，距离远了，旗杆和人像也会变小，观察度量长度时的误差也会变大。
二是考虑“近大远小”的变化率，比如可以根据图片量出，旗杆下端一米对应a毫米，旗杆顶端用国旗的实际宽度算出一米对应b毫米，可以认为整个旗杆平均一米等于图中的（a+b）/2毫米，于是用旗杆在照片上的总长度（毫米），除以（a+b）/2就是旗杆的真实高度（米）。
二、（满分20分）人们日常生产的产品——大到飞机、汽车，小到锅碗瓢盆——其表面通常是由一些光滑的曲面拼接而成的。
在不同曲面的衔接处，我们往往也希望它是光滑的。
如何能做到这一点呢？为简单起见，我们只考虑平面上两条光滑曲线在衔接点是光滑（没有尖角）的。
全国高中数学竞赛试题及答案
全国高中数学竞赛试题及答案试题一：函数与方程1. 已知函数\( f(x) = 2x^3 - 3x^2 + x - 5 \)，求\( f(x) \)的极值点。
2. 求解方程\( x^2 - 4x + 3 = 0 \)的所有实根。
3. 判断函数\( g(x) = \frac{1}{x} \)在区间\( (0, +\infty) \)上的单调性。
试题二：解析几何1. 已知椭圆\( \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \)，其中\( a > b > 0 \)，求椭圆的焦点坐标。
2. 求圆\( (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2 \)的切线方程，已知切点坐标为\( (m, n) \)。
3. 证明点\( P(x_1, y_1) \)和点\( Q(x_2, y_2) \)的连线\( PQ \)的中点坐标为\( \left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 +y_2}{2}\right) \)。
试题三：数列与级数1. 已知等差数列的首项\( a_1 = 3 \)，公差\( d = 2 \)，求第10项\( a_{10} \)。
2. 求等比数列\( b_1, b_2, b_3, \ldots \)的前\( n \)项和，其中\( b_1 = 1 \)，公比\( r = 3 \)。
3. 判断数列\( c_n = \frac{1}{n(n + 1)} \)的收敛性。
试题四：概率与统计1. 从5个红球和3个蓝球中随机抽取3个球，求至少有2个红球的概率。
2. 抛掷一枚均匀硬币4次，求正面朝上的次数为2的概率。
3. 某工厂生产的产品中有2%是次品，求从一批产品中随机抽取10个产品，至少有1个是次品的概率。
试题五：组合与逻辑1. 有5个不同的球和3个不同的盒子，将球分配到盒子中，每个盒子至少有一个球，求不同的分配方法总数。
2. 证明：对于任意的正整数\( n \)，\( 1^2 + 2^2 + 3^2 + \ldots + n^2 = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6} \)。
数学竞赛高中试题入门及答案
数学竞赛高中试题入门及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 下列哪个数不是整数？A. -3B. 0C. 5D. 2.52. 如果函数\( f(x) = 3x^2 - 5x + 2 \)，那么\( f(-1) \)的值是多少？A. 10B. 8C. 6D. 43. 圆的半径为3，圆心在原点，那么圆上任意一点到圆心的距离是多少？A. 1B. 2C. 3D. 44. 已知三角形ABC的三个内角A、B、C，且A + B + C = 180°，如果角A = 60°，角B = 50°，那么角C是多少度？A. 70°B. 80°C. 90°D. 100°二、填空题（每题5分，共20分）5. 若\( a \)，\( b \)，\( c \)为三角形的三边，且\( a^2 + b^2 = c^2 \)，则该三角形是________。
6. 一个数的平方根是4，那么这个数是________。
7. 一个圆的面积为28.26平方厘米，那么它的半径是________厘米。
8. 已知等差数列\( 3, 7, 11, ... \)，第5项的值是________。
三、解答题（每题15分，共30分）9. 证明：如果\( a \)，\( b \)，\( c \)是正实数，且\( a + b +c = 1 \)，那么\( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \geq9 \)。
10. 一个直角三角形的两条直角边长分别为6厘米和8厘米，求斜边的长度。
（使用勾股定理）四、证明题（每题15分，共15分）11. 证明：对于任意正整数\( n \)，\( 1^3 + 2^3 + ... + n^3 = (1 + 2 + ... + n)^2 \)。
五、结束语本试题旨在为高中数学竞赛入门者提供一个基础的练习平台，通过这些题目，学生可以检验自己的数学基础知识和解题技巧。
数学高中初赛试题及答案
数学高中初赛试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列哪个数是无理数？A. 2B. πC. 0.33333D. √42. 一个圆的半径是5，那么它的周长是多少？A. 10πB. 20πC. 30πD. 40π3. 函数f(x) = 2x^2 - 3x + 1的顶点坐标是什么？A. (3/4, -1/8)B. (-3/4, 1/8)C. (3/2, -1/8)D. (-3/2, 1/8)4. 已知等差数列的前三项分别为2, 5, 8，求第10项的值。
A. 23B. 22C. 21D. 205. 一个正三角形的边长为a，其面积是多少？A. a^2B. √3/4 * a^2C. 1/2 * a^2D. √3 * a6. 已知一个等腰三角形的底边长为6，两腰长为5，其面积是多少？A. 12B. 15C. 18D. 207. 函数y = sin(x)的周期是多少？A. 2πB. πC. 1D. 28. 一个直角三角形的两条直角边分别为3和4，斜边长是多少？A. 5B. 6C. 7D. 89. 如果一个数列的前n项和为S_n，且S_n = n^2，那么这个数列的第5项是多少？A. 10B. 11C. 12D. 1310. 一个圆的面积是π，那么它的半径是多少？A. 1B. √πC. √1/πD. √2二、填空题（每题4分，共20分）11. 已知一个数列的通项公式为a_n = 3n - 1，那么第6项a_6的值是_________。
12. 一个函数y = x^3 - 2x^2 + x - 2的导数是_________。
13. 一个圆的直径是14，那么它的面积是_________π。
14. 已知一个二次方程x^2 - 5x + 6 = 0，它的根是x = _______。
15. 一个正弦函数y = sin(ωx + φ)的振幅是2，周期是π，那么ω的值是_________。
三、解答题（每题10分，共50分）16. 解方程：3x^2 + 5x - 2 = 0。
第十三届应用竞赛初赛试题及参考解答
第十三届北京高中数学知识应用竞赛初赛试题及参考解答一、（满分20分）一游客在马台长城游览后，乘坐缆车下山。
缆车运行了一会儿，她开始注意到，自己乘坐的是50号缆车，这时离自己最近的迎面上山的缆车是81号，接下来是82号，再往下的缆车上所标数字依次连续出现，她又记下了自己乘坐的缆车与对面相邻缆车相遇的时间间隔是9秒。
对面缆车号的最大数字是112，接着就是1号缆车。
（1）从与81号缆车相遇开始，50号缆车大约还有多久能够到站？（2）下山后，见牌子上写：“索道全长1200米”。
请计算一下缆车的速度是多少？解答：假设：1.缆车间隔相同；2.缆车匀速运动；3.当第49号缆车迎面出现时，所乘缆车到站。
…………………………………4分（1）t =(112−81+49)÷2×18=720（秒），即50号缆车还有12分钟到站。
………12分（2）根据已知条件，可得全程运行的总时间是T =(112−51+49)÷2×18=990（秒）。
于是，速度v =S/T =1200÷990≈1.21(米/秒)。
即缆车的速度约为1.21米/秒。
……………20分二、（满分20分）视野，是指人的眼睛固定注视一定目标时，所能见到的范围，常用角度来表示。
一般来说，在静止状态下，人的双眼视野可达210°；在驾驶车辆时，随着车速的增加，驾驶员的双眼视野度数减小。
右面是一组车速与视野关系的实验数据：（数据来自/bbs/thread-c-774-2558157-1.html ）请根据这些数据估计车速在120km/h 时的视野。
解：用二次函数拟合，可以得到函数y =0.0155x 2−3.217x +208.75，其图像如下左图所示。
代入x =120得：y =45.9°。
这表示车速在120km/h 时的视野大于车速在100km/h 时的视野，显然不合理。
说明为估计车速在120km/h 时的视野而选择拟合二次函数是错的，故舍去此结论。
第十七届北京高中数学知识应用竞赛初赛试题及参考解答
边顶点到底边的垂直距离为等，在此基础上拼接
厶
以用频数近似概率． 解答模拟一周内是否出现“连续３天下雨” 事件的程序框图和计算机程序是：
出的空心正方形的面积大于以詈为宽、以竺警口
厶 峰
．Ｉ蔚
为长的矩形面积的２倍，即大于半ｎ２，而这已
』ｊ．厅
哇
经大于七巧板整体的面积ｎ２了．这是不能实 现的． 对于图６（１），再考虑正方形４，只能放在一个 角上，如图６（２），这样，空心正方形的面积至少是
图ｌ
图２
圈３
每块板标上数，如图５，其中两个大等腰直角三角
解答 （１）拼接图３的方法见图４．
形１和２，直角边长为譬ｎ，斜边长为口．等腰直角 三角形７的直角边长为号，斜边长为譬口，两个小
等腰直角三角形３和５，直角边长为譬口，斜边长 为号，平行四边形６的短边长为譬ｎ，长边长为
号，四个内角两个为４５。和两个为１３５。．正方形４
２０１４年
第５３卷
第２期
数学通报
４５
第十七届北京高中数学知识 应用竞赛初赛试题及参考解答
一、（满分２０分）在商店，经常见到一些商品 的包装不合适，从商品本身的保质来讲不需要如 此的包装，它既造成浪费，又使消费者增加了支 出，属于过度包装． （１）请给“过度包装”建立一个便于消费者观 察的度量指标； （２）请列举一个具体实例，通过计算，说明你 建立的度量指标能够比较好地刻画“过度包装”的 程度． 解答要点（１）可以显示“过度包装”的指标 很多，如：
图４（１）
图４（２）
的边长为譬口．
如果想拼接出空心正方形，两个大直角三角 形只有一种方法放入空心正方形中，如图６（１）
所呆
数学解释：设日本七巧板拼成的正方形边长 为ｎ，为每块板标上数，如图４（１），其中两个大等
数学竞赛高中试题及答案
数学竞赛高中试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 若函数f(x) = 2x^2 - 4x + 1，那么f(2)的值是多少？A. 1B. 3C. 5D. 7答案：B2. 已知等差数列{an}的前三项分别为1, 4, 7，求该数列的第五项。
A. 10B. 13C. 16D. 19答案：A3. 一个圆的直径为10cm，那么它的半径是多少？A. 5cmB. 10cmC. 15cmD. 20cm答案：A4. 在直角坐标系中，点P(3, -4)关于x轴的对称点坐标是多少？A. (3, 4)B. (-3, 4)C. (3, -4)D. (-3, -4)答案：A二、填空题（每题5分，共20分）5. 计算：\(\sqrt{49} - \sqrt{16} = \)______。
答案：56. 一个等腰三角形的两边长分别为5cm和8cm，那么它的周长是_______cm。
答案：187. 已知函数g(x) = x^3 - 3x^2 + 2，求g(2)的值。
答案：-28. 一个数的平方加上它的两倍等于17，设这个数为n，则n的值为______。
答案：3或-4三、解答题（每题10分，共60分）9. 已知函数h(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6，求函数的零点。
答案：函数h(x)的零点为x = 1, 2, 3。
10. 一个长方体的长、宽、高分别为a、b、c，且a > b > c，求证：长方体对角线的长度d满足\(d^2 = a^2 + b^2 + c^2\)。
答案：证明略。
11. 已知数列{bn}满足：b1 = 2，bn+1 = 2bn + 1，求数列的前五项。
答案：2, 5, 11, 23, 4712. 一个圆的内接三角形的三个顶点分别在圆上，且三角形的周长为12cm，求圆的半径。
答案：2cm13. 已知函数f(x) = x^2 - 6x + 9，求函数的最小值。
答案：函数的最小值为0。
高中数学初赛试题及答案
高中数学初赛试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 若函数f(x)=x^2-4x+3，x∈R，则f(x)的最小值是：A. 3B. -1C. 0D. 12. 已知等差数列{an}的前三项依次为1，3，5，则该数列的通项公式为：A. an = 2n - 1B. an = n + 1C. an = 2n + 1D. an = 2n - 23. 函数y=x^3-3x^2+4的零点个数是：A. 1B. 2C. 3D. 44. 集合A={1,2,3}，集合B={2,3,4}，则A∩B的元素个数是：A. 1B. 2C. 3D. 45. 已知向量a=(3,4)，向量b=(-1,2)，则向量a与向量b的夹角θ满足：A. cosθ > 0B. cosθ < 0C. cosθ = 0D. θ不存在6. 圆x^2+y^2-6x+8y-24=0的圆心坐标是：A. (3,-4)B. (-3,4)C. (3,4)D. (-3,-4)7. 已知函数f(x)=x/(x^2+1)，x∈R，若f(a)=1/3，则a的值为：A. √2B. -√2C. √3D. -√38. 抛物线y^2=4x的焦点坐标是：A. (1,0)B. (0,1)C. (1,0)D. (0,1)9. 已知等比数列{bn}的前三项依次为1，2，4，则该数列的公比q为：A. 1B. 2C. 3D. 410. 函数y=ln(x+√(x^2+1))的值域是：A. (0,+∞)B. (-∞,0)C. [0,+∞)D. (-∞,+∞)二、填空题（每题4分，共20分）1. 函数f(x)=x^3-3x^2+4的极大值是______。
2. 已知等差数列{an}的前三项依次为2，5，8，则该数列的第五项a5为______。
3. 函数y=x^2-6x+8的顶点坐标是______。
4. 集合A={x|x^2-3x+2=0}，集合B={x|x^2-5x+6=0}，则A∪B的元素个数是______。
数学高中初赛试题及答案
数学高中初赛试题及答案一、选择题（本题共5小题，每小题4分，共20分）1. 若函数f(x) = ax^2 + bx + c（a ≠ 0）的图像经过点（1，1），则下列选项中正确的是：A. a + b + c = 1B. a + b + c = 0C. a + b + c = 2D. a + b + c = -1答案：A解析：将点（1，1）代入函数f(x) = ax^2 + bx + c中，得到a + b + c = 1。
2. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1 = 1，d = 2，则S5的值为：A. 15B. 25C. 35D. 45答案：A解析：根据等差数列前n项和公式Sn = n/2 * (2a1 + (n - 1)d)，代入n = 5，a1 = 1，d = 2，得到S5 = 5/2 * (2 * 1 + (5 - 1) * 2) = 15。
3. 若复数z = (1 + i) / (1 - i)，则|z|的值为：A. 1B. √2C. 2D. 3答案：B解析：将z化简为z = (1 + i) / (1 - i) = (1 + i)^2 / (1 - i)(1 + i) = (1 + 2i + i^2) / (1 - i^2) = (1 + 2i - 1) / 2 = i，所以|z| = |i| = √2。
4. 已知函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2，若f'(x) = 0，则x的值为：A. 1B. 2C. 1或2D. 0答案：C解析：求导得到f'(x) = 3x^2 - 6x，令f'(x) = 0，解得x = 0或x = 2，但题目中给出f(x) = x^3 - 3x^2 + 2，所以x = 0不符合题意，故选C。
5. 已知双曲线C：x^2 / a^2 - y^2 / b^2 = 1（a > 0，b > 0），若双曲线的一条渐近线方程为y = (√3)x，则双曲线的离心率为：A. √3B. 2C. √6D. 3答案：A解析：双曲线的渐近线方程为y = ±(b/a)x，由题意知b/a = √3，所以b = √3a。
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高中数学知识应用竞赛初赛试题及参考答案试题一、窗户造型（满分15分）《中学生数学》杂志2000年第一期的封面是一幅欧洲教堂的照片，它是一座哥特式的建筑。
建筑物上有一个窗户的造型如下图所示。
图中弧AB和弧AC分别是以C和B为圆心BC长为半径的圆弧．☉、☉和☉两两相切，并且☉、☉与弧AB相切，☉、☉与弧AC相切，☉、☉的半径相等．如果使☉、☉充分大，记BC的长度为a，请你计算出☉的半径，并给出这个圆的作法．二、买房贷款（满分20分）根据中国人民银行颁布的《个人住房贷款管理办法》（第十一条）“借款人应和贷款银行制定还本付息计划，贷款期限在一年以上的，按月归还贷款本息”的规定，为方便贷款银行操作和选择，中国人民银行具体规定了个人住房贷款的两种按月还本付息的办法，允许借款人和贷款银行在双方商议的基础上做出选择．第一种办法是等额本息还款法，其还款方式已经在1999年第三届北京高中数学知识应用竞赛初赛试题的第3题中作了介绍，并要求给出月均还款额、还款总额和利息负担总和的计算公式．按照这些公式不难算出，一个人如果从银行得到买房贷款40万元，计划20年还清贷款，按规定贷款的年利率应为5.58％（折合月利率4.65％。
），这时贷款人的月均还款额应为0.27696万元，还款总额为66.4717万元，利息负担总和为26.4717万元．第二种办法是等额本金还款法（又叫等本不等息还款法），指在贷款期间内，每月除了要还清当月贷款的利息外，还要以相等的额度偿还贷款的本金．这样一来，每月偿还的贷款的利息将随本金的减少而逐月递减．因此称之为等本不等息还款法．如果这个贷款人选择了等额本金还款法在20年内偿还他所借的40万元贷款，他只需要偿还本息总合62.413万元，其中利息负担的总合为22.413万元，比前一种还款方法少支付利息4.0587万元，节省了15.33％的利息．请你给出等额本金还款法的每月还款额、还款总额和利息负担总和的计算公式，使用这些公式计算贷款初期的前三个月的每月还款额，并进一步分析贷款人还款多少个月之后他每个月的还款负担将低于等额本息还款法的还款负担．三、环保规划（满分15分）某工厂的一个车间生产某种产品，其成本为每公斤27元，售价为每公斤50元．在生产产品的同时，每公斤产品产生出0.3立方米的污水．污水有两种排放方式：其一是输送到污水处理厂，经处理（假设污水处理率为85％）后排人河流；其二是直接排人河流。
若污水处理厂每小时最大处理能力是0.9立方米污水，处理成本是每立方米污水5元；环保部门对排人河流的污水收费标准是每立方米污水17.6元，根据环保要求该车间每小时最多允许排人河流中的污水是0.225立方米．试问：该车间应选择怎样的生产与排污方案，使其净收益最大．四、估算人口（满分15分）请你搜集有关的数据，估算一下我国2000年18岁的人口数．五、隼的分类（满分15分）燕隼（sun）和红隼是同属于隼形目隼科的鸟类．它们的体形大小如鸽，形略似燕，身体的形态特征比较相似．红隼的体形比燕隼略大．通过抽样测量已知燕隼的平均体长约为31厘米，平均翅长约为27厘米；红隼的平均体长约为35厘米，平均翅长约为25厘米。
近日在某地发现了两只形似燕隼的红隼的鸟。
经测量，知道这两只鸟的体长和翅长分别为A（32.65厘米，25.2厘米），B（33.4厘米，26.9厘米）。
你能否设计出一种近似的方法，利用这些数据判断这两只鸟是燕隼还是红隼？六、女子举重（满分20分）2000年悉尼奥运会上第一次列入女子举重的项目，各级别冠军的成绩如下：试利用这些数据组建模型，描述运动员举重的总成绩对运动员体重的依赖关系。
根据模型分析哪些级别上运动员举重的总成绩还有较大的提高潜力。
参考答案一、解设☉、☉相切于点E，☉、☉相切于点F，☉、☉相切于点D，☉、与弧AB相切于点G。
显然，点F在，点G在的延长线上，且D⊥BC，易知☉和☉的半径为a/4。
如果☉的半径为r，则有由此可得解得r=0.3a.☉的半径为r=0.3a，它的圆心是以为圆心，0.55a为半径的圆与BC的中垂线的交点。
二、解设贷款（本金）为N，贷款期限为n（月），月利率为，则根据题意，每月偿还的本金额应为如果规定从贷款的第二个月开始于每个月的月初偿还上个月所余的本金的利息及部分本金，则第k月的月底贷款人尚欠银行的贷款额：（k=1,2,...n.第k+1月的月初所偿还的第k个月的欠款的利息为：，k=1,2,...n.第k+1月的月初的还款总额为：，k=1，2，...n.整个贷款期间利息的负担总额为：还款总额为：B=D+N。
对于上述实例我们有N=40（万元），n=240（月），=4.654.65，D=22.413（万元），B=62.413（万元）。
与题中给出的结果一致。
还可以得得由于定额本息还款法的月均还款额为a=0.27696（万元），欲使定额本金还款法的月还款负担低于上述月均还款额，则它应满足即要求。
将a,N,n和的数值代入止式，可以得到k-1>97.69由此可知，从第99个月开始，即从第九年的第三个月开始定额本金还款法的每月还款负担就开始低于定额本息还款法。
三、解设该车间净收入为每小时车间污水产生量为；污水处理厂污水处理量；经污水处理厂处理后的污水排放量（l-0.85）（）；车间产品成本；车间生产收入；车间应交纳排污费用17. 6［（1- 0.85）（）+］；车间交纳的污水处理费为5（）．这样车间每小时净收人为：由于污水处理厂的最大处理能力，有；根据允许排入河流的最大污水量的限制，有；输送给污水处理厂的污水量应满足．综上所述，这个环保问题可归纳为以下数学模型：下面用图解法来角这个线性规划问题：（1）画出可行域（图中四边形OABC）；（2）求最优解；从图中可以看出直线在两条直线的交点上达到极大值。
求出交点坐标（3.3,0.09);即当时，z取得最大值，最大值为67.44.四、解要估算2000年18岁的人口数．由于2000年的统计资料我们还不能按集到，我们根据以往的统计数据进行推算．即根据2Q00年以前，如1999年、1998年、…、1990年、…、等年份的数据进行推算．这里给出两种估算方法．一种是用年总人口数除以平均寿命，再根据人口分布情况进行调节，从而推算出18岁的人口数．另一种我们以1998年的人口统计数据为依据，即根据1998年16岁的人口数来估算2000年18岁的人口数．1998年中国人口统计年鉴中全国分年龄、性别的人口数表显示：1998年全国16岁人口总数为22010千人．全国分年龄、性别的死亡人口状况表显示：1998年16岁到17岁、17岁到18岁人口的死亡率分别为1.21％。
，1.16％。
假设每年的死亡率是个常数，则我们可以做如下的估算．1999年17岁的人口数等于1998年16岁的人口数减去这些人成长到17岁的过程中死亡的人数．这些死亡人数由1998年16岁的人口数乘以17岁的死亡率得到．即22010-22010×I．21％=21983（千人）．2000年18岁的人口数等于1999年17岁的人口数减去这些人成长到18岁的过程中死亡的人数。
这些死亡人数由1999年17岁的人口数乘以18岁的死亡率得到．即21983-21983×1.16％o=21957（千人）．2000年18岁的人口数为21957千人．注：从不同的资料中收集到的数据差异可能很大．只要说清楚资料的来源，并且数据处理方式合理，就可以认为答案正确，得满分．如果自己假设一些数据作为资料来源，最多给5分；若仅是数据处理方式不当，可以给7分．五、解法一把（31，27），（35，25），（32．65，25．2），（31．4，26．9）看作平面直角坐标系中的点．可以通过这两只鸟体长和翅长所确定的点与燕隼和红隼的平均体长和平均翅长所确定的点之间的距离的大小来判断他们应归属于那一类．设燕隼的平均体长为，平均翅长为．红隼的平均体长为，平均超长为．待判鸟的体长x，翅长为y，则它与燕隼和红隼的距离分别为由此可得判别规则：若则判此鸟为红隼，则判此鸟为燕隼，则表明仅用这些数据无法给出明确的判断。
在问题中有还有由上面的模型可以得到如下的分析结果：由于可知鸟A是红隼，可知鸟B是红隼。
（由于等价于，计算中可以不用开方）。
解法二用体长与翅长的比（体翅比）来进行判别。
不难算出，对于燕隼来说有，对于红隼，而对于鸟A和鸟B分别有，和。
于是可以算出由于，故鸟A为红隼。
由于，故鸟B为燕隼。
六、解假设运动员举重的总成绩y与她们的体重x呈线性依赖关系y=a+bx。
因此数据表中关于体重和总成绩的七组数据将有关系，i=1,2,...7,其中表示观测数据与模型的误差。
使用最小二乘法给出直线的参数a和b的估计值，也就是求参数a和b，使得观测值和模型之间误差的平方和达到最小。
经计算可以得到a=120.91,b=1.76。
由此得到运动员体重和举重总成绩的模型为y=120.91+1.76x(1)将七个运动员的体重代入模型（1），可以得到她们举重成绩的模型值。
与她们的实际举重总成绩比较如下：从拟合效果上看有四个级别较好，一个级别较差；48公斤级别的运动员没能取得理想的成绩，使用这个数据参与建模将会增加误差，降低模型的可信程度。
去掉这组数据，使用其余的六组数据来估计模型的参数a 和b。
类似的计算可得a=141.8,b=1.51，于是得到修正的模型为y=141.8+1.51x(2)将七个运动员的体重代入模型（2），可以得到她们举重成绩的模型值。
与她们的实际举重成绩及模型（1）成绩比较如下：从拟合效果上看，除去48公斤级以外的六个级别，模型（2）的总体拟合效果要优于模型（1）。
因此可以用模型（2）来描述女子举重总成绩与运动员体重之间的关系。
比较实际成绩与模型（2）的成绩，可以看出，48公斤、58公斤和75公斤级的实际成绩均低于模型的成绩，差数分别为28.3kg,5kg,7.2kg.因此可以认为，在这次比赛中上述几个级别的成绩还有提高潜力。
注1这个问题也可以组建幂函数的模型来拟合上面的数据，结论是：和（六组数据拟合的效果与线性模型差异不大，最后结论也相同。
）注2 48公斤的数据参与建模是不恰当的，因为它有较大的偏差，不能反映实际的规律。
虽然利用七组数据所得的模型（1）也可以得到最后的结论，但模型的信度是较低的。
如果此题仅用模型（1）而缺乏讨论，在评分时要适当减掉一些分数。