高中数学知识应用竞赛试题

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高中数学竞赛题目解析与解题技巧

高中数学竞赛题目解析与解题技巧引言数学是一门广泛应用于各个领域的学科，它的应用不仅限于解决实际问题，还包括在数学竞赛中展示才华。

高中数学竞赛是对学生数学能力的综合考验，不仅需要深厚的数学知识，还需要良好的解题技巧和思维能力。

本文将介绍高中数学竞赛题目的一些常见类型，并提供解题技巧，帮助读者更好地应对数学竞赛。

数列与序列等差数列等差数列是高中数学竞赛中经常出现的题型之一。

对于给定的等差数列，求解其中某一项或求解前n项和是常见的考点。

解题技巧包括使用通项公式和求和公式来快速求解。

此外，还需要注意将等差数列问题转化为已知条件，利用已知条件推导出所求的未知量。

等比数列等比数列是另一个常见的数列类型。

与等差数列类似，求解等比数列的通项或前n项和也是考点之一。

解题技巧包括使用通项公式和求和公式进行求解。

此外，还需要注意等比数列的特点，如首项、公比以及递推关系等，利用这些特点进行解题分析。

数列极限数列极限是高中数学竞赛中较为复杂和抽象的题目之一。

要求求解数列的极限值，需要运用极限的定义和性质进行分析。

解题技巧包括使用夹逼定理和数列收敛性的判定方法，以及灵活运用数列极限的性质，如极限运算法则、极限不等式和极限的唯一性等。

几何与三角形平面几何平面几何是高中数学竞赛中的一个重要部分。

常见的几何题目包括线段、角度、三角形、四边形和圆等。

解题技巧包括使用几何图形的性质和定理进行分析，灵活运用平行线、垂直线、相似三角形、角平分线和圆的性质等。

此外，还需要注意对等式和不等式进行推导和证明。

三角函数三角函数是高中数学竞赛中的另一个重要内容。

常见的三角函数题目包括求解三角方程、三角恒等式、三角函数图像和三角函数性质等。

解题技巧包括运用三角函数的定义和性质进行分析，灵活运用三角函数的周期性、奇偶性和对称性，以及运用三角函数的图像进行推导和求解。

三角形三角形是几何学的基本要素之一，也是高中数学竞赛中的重要内容。

常见的三角形题目包括求解三角形的面积、周长、角度和边长等。

2023年高中数学建模应用能力展示活动决赛试题

2023年高中数学建模应用能力展示活动决赛试题在2023年的高中数学建模应用能力展示活动决赛试题中，学生们将面临着一系列挑战，需要运用数学知识和建模技能来解决现实问题。

本次活动的试题涵盖了数学的广度和深度，考察了学生们的逻辑思维能力、数学运用能力以及实际问题的建模能力。

在这篇文章中，我将从简到繁地探讨2023年高中数学建模应用能力展示活动决赛试题，并共享一些个人观点和理解。

一、试题简介在2023年的高中数学建模应用能力展示活动决赛试题中，学生将面对多个与现实生活相关的问题，涉及领域广泛，包括但不限于经济、环境、科技等。

这些问题不仅需要学生具备扎实的数学基础知识，还需要他们具备良好的建模能力和解决问题的能力。

通过解答这些试题，学生将展现出他们的数学运用能力和创新意识。

二、试题分析1. 考察的数学知识广度和深度本次试题将涉及到数学的多个领域，包括但不限于微积分、概率论、统计学、线性代数等。

学生需要灵活运用这些数学知识来解决现实问题，这既考验了他们对数学知识的掌握程度，也考验了他们的数学运用能力。

2. 实际问题建模能力的考察本次活动的试题将涉及到多个现实问题，学生需要将这些问题抽象为数学模型，并进行求解。

这既考验了学生的建模能力，也考验了他们对现实问题的理解和分析能力。

某一试题可能会涉及到环境保护、资源分配等问题，学生需要将这些问题转化为数学模型，并给出合理的解决方案。

三、个人观点和理解高中数学建模应用能力展示活动对学生的综合能力有着很高的要求。

在解答试题的过程中，学生需要不仅需要具备扎实的数学知识，还需要具备良好的逻辑思维能力和实际问题的分析能力。

这对于学生的综合素质提出了更高的要求，也促使他们在平时的学习中更加注重数学知识的应用和实际问题的分析能力的培养。

总结回顾通过本次活动的试题，学生将能够更全面、深刻地理解数学在现实生活中的应用，提高他们的数学建模能力和实际问题的解决能力。

不仅如此，本次试题还将激发学生对数学的兴趣，促使他们在数学学习中更加主动和积极地探索。

人教A版高中必修二试题高一年级数学基础知识竞赛试题.docx

高中数学学习材料唐玲出品高一年级数学基础知识竞赛试题第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，每题只有一个正确答案，请把你认为正确的答案填在答题卡上．．．．．．．．，答在试卷上的一律无效．．．．．．．．．．.） 1 ．已知{}{}∅≠-<<+=≤≤-=121,72m x m x B x x A ，若A B A = ，则（）A ．43≤≤-mB ．43<<-mC ．42<<mD ．42≤<m2 ．设集合12{|,19}My y x x ==≤≤，2{|log (2)}N x y x ==-，则图中阴影部分表示的集合为（）A ．{|23}x x ≤≤B ．{|12}x x ≤≤C ．{|13}x x ≤≤D ．∅3 ．设 1.13.13log 7,2,0.8a b c ===，则（）A ．b a c <<B ．c a b <<C ．c b a <<D ．a c b <<4 ．一束光线自点)1,1,1(P 发出，遇到xOy 平面被反射，到达点)6,3,3(Q 被吸收，那么光所走的路程是（）A ．37B ．47C ．33D ．575 ．设函数211log (2),1,()2,1,x x x f x x -+-<⎧=⎨≥⎩，2(2)(log 12)f f -+= （）A ．3B ．6C ．9D ．126 ．已知两个不同的平面αβ、和两个不重合的直线,m n ，有下列四个命题:①若//,m n m n αα⊥⊥，则； ②若,,//m m αβαβ⊥⊥则； ③若,//,,m m n n αβαβ⊥⊂⊥则； ④若//,//m n m n ααβ⋂=，则. 其中正确命题的个数是（）A ．0B ．1C ．2D ．37 ．函数()2183f x x x =--的最大值为（）A ．10B ．32C ．12D ．158 ．已知半径为1的动圆与圆16)7()5(22=++-y x 相切，则动圆圆心的轨迹方程是（）A ．25)7()5(22=++-y x B ．17)7()5(22=++-y x 或15)7()5(22=++-y x C ．9)7()5(22=++-y xD ．25)7()5(22=++-y x 或9)7()5(22=++-y x9 ．已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积为（）A ．43πB ．163π C ．1912πD ．193π 10．若实数,x y 满足012222=+--+y x y x ，42--y x 的取值范围为（）A ．30,4⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．4,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ C ．⎥⎦⎤ ⎝⎛-∞-34, D ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡-0,3411．已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面垂直，体积为94，底面是边长为3的正三角形.若P 为底面111A B C 的中心，则PA 与平面111A B C 所成角的大小为（）A ．512πB ．3πC ．4πD ．6π12．已知偶函数()f x 满足(1)(1)f x f x +=-，且当[0,1]x ∈时，2()f x x =，则关于x 的方程||()10x f x -=在1010[,]33-上根的个数是（）A ．4个B ．6个C ．8个D ．10第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分. 请把你认为正确的答案填在答题卡上．．．．．．．．，答在试卷上的一律无效．．．．．．．．．．.）13．经过两条直线032=--y x 和0534=--y x 的交点，并且与直线0532=++y x 垂直的直线方程为 .14．已知)11(x x f -+=2211x x +-，则()f x 的解析式为____ ___． 15．一个几何体的三视图如图所示，其侧(左)视图是一个等边三角形，则这个几何体的体积是____________ .2俯视图3321侧视图正视图11 116．若函数2()log (2)a f x x ax =-+对于任意的12,x x ，当122ax x <≤时，恒有12()()f x f x >成立，则a 的取值范围是 .三、解答题（本大题共6小题，共70分.答案写在答题卡上．．．．．．．．，答在试卷上的一律无效．．．．．．．．．．，解答过程应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17．已知集合21|1,1x A x x R x -⎧⎫=≤∈⎨⎬+⎩⎭，集合{}1,B x x a x R =-≤∈. (1)求集合A ； (2)若R B A B =ð，求实数a 的取值范围.18．不用计算器求下列各式的值:(1)()()()12230229279.6 1.5448π-⎛⎫⎛⎫---++-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；(2)2log 155437725.0log 10log 2327log -+++.19．直棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是直角梯形，90BAD ADC ∠=∠=︒，222AB AD CD ===．（1）求证：AC ⊥平面11BB C C ；（2）若P 为11A B 的中点，求证：//DP 平面1BCB ，且//DP 平面1ACB ．20．已知,x y R ∈有()()()f x y f x f y +=+．(1)判断()f x 的奇偶性；(2)若0x >时，()0f x >，证明:()f x 在R 上为增函数；(3)在条件(2)下，若()12f =，解不等式:()()21254f x f x +-+<．21．在三棱锥ABC S -中，ABC ∆是边长为2的正三角形，平面⊥SAC 平面ABC ，3SA SC ==，FE ,分别为SB AB ,的中点.(1)证明:SB AC ⊥；(2)求锐二面角B CE F --的余弦值．22．已知圆22:2440C xy x y +-+-=．(Ⅰ)若过定点(2,0-)的直线与圆C 相切，求直线的方程；(Ⅱ)若过定点(1,0-)且倾斜角为6π的直线与圆C 相交于,A B 两点，求线段AB 的中点P 的坐标； (Ⅲ) 问是否存在斜率为的直线，使被圆C 截得的弦为EF ，且以EF 为直径的圆经过原点?若存在，请写出求直线的方程；若不存在，请说明理由.陆川县中学2015级高一（下）基础知识竞赛试题参考答案一、选择题 1. D2. A 解析:图中阴影部分表示的集合为()U C N M .2{|log (2)}(,2)N x y x ==-=-∞，[2,)U C N ∴=+∞，又12{|,[1,9]}[1,3]M y y x x ==∈=，故()[2,3]U C N M =．3. B 解析：22,29log 7log 3log 111333>==<=<=b a ，18.08.001.3=<=c b a c <<∴，故答案为B.4. D 解析：设Q 点关于平面xOy 的对称点为Q '，则所求路程为Q P '的长．由题意知)6,3,3(-'Q ．222||(13)(13)(16)57PQ '∴=-+-++=．5. C 解析:由已知得2(2)1log 43f -=+=，又2log 121>，所以22log 121log 62(log 12)226f -===，故2(2)(log 12)9f f -+=，故选C.6. D. 解析：对于①，因为α⊥m ，所以直线m 与平面α所成的角为090，又因为m ∥n ，所以直线n 与平面α所成的角也为090，即α⊥n 命题成立，故正确；对于②，若α⊥m ，β⊥m ，则经过m 作平面γ，设a =⋂αγ，b =⋂βγ，又因为α⊂a ，β⊂b ，所以在平面γ内，a m ⊥，b n ⊥，所以直线a 、b 是平行直线.因为β⊄a ，β⊂b ，a ∥b ，所以a ∥β.经过m 作平面θ，设c =⋂αθ，d =⋂βθ，用同样的方法可以证出c ∥β.因为a 、c 是平面α内的相交直线，所以α∥β，故正确；对于③，因为α⊥n ，m ∥n ，所以α⊥n .又因为β⊂n ，所以βα⊥，故正确；对于④，因为m ∥β，n =⋂βα，当直线m 在平面β内时，m ∥n 成立，但题设中没有m 在平面β内这一条件，故不正确.综上所述，其中正确命题的个数是3个，应选D.7. C 解析：设1830x -≥，得6x ≤，又函数()f x 在定义域上显然是增函数，所以当6x =时，()f x 取最大值(6)12f =，选C.8. D 解析：设动圆的圆心为(,)x y .若两圆外切，则圆心距等于两圆半径之和，所以有22(5)(7)145x y -++=+=，即22(5)(7)25x y -++=；若两圆内切，则圆心距等于两圆半径之差，所以有22(5)(7)413x y -++=-=，即22(5)(7)9x y -++=.故选D9. D 解析：由三视图可知此几何体为正三棱柱，其中底面边长为2，高为1，则外接球的半径2221231919()(),423123R S R ππ=+=∴==球，选D. 10. A 解析：令42--y x =t ，即ty-x-4t+2=0，表示一条直线，又方程 012222=+--+y x y x 化为22(1)(1)1x y -+-=表示圆心为(1，1)半径为1的圆，由题意直线与圆有公共点，∴圆心(1，1)到直线ty-x-4t+2=0的距离214211t t d r t --+=≤=+，∴2430t t -≤，∴304t ≤≤，又t≠0，故304t <≤，即42--y x 的取值范围为，故选A 11. B 解析：如图所示，∵1AA ⊥底面111A B C ，∴1APA ∠为PA与平面111A B C 所成角，∵平面ABC ∥平面111A B C ，∴1APA ∠为PA 与平面ABC 所成角，∵()1112333344A B C S ∆=⨯=，∴133944V AA ==，解得13AA =，又P为底面正三角形111A B C 的中心，∴1122331332PA A D ==⨯⨯=在1Rt APA ∆中，111t a n 3AA APA PA ∠==，∴13APA π∠=，故选B.12. B 解析：由题意可得，(2)()f x f x +=.即函数()f x 为周期为2的周期函数，又()f x 是偶函数，所以，在同一坐标系内，画出函数()f x ，||||110()10x x y -==的图象，观察它们在区间1010[,]33-的交点个数，就是方程||()10x f x -=在1010[,]33-上根的个数，结合函数图象的对称性，在y 轴两侧，各有3个交点，故选B .二、填空题13. 0423=--y x 解析：由⎩⎨⎧=--=-053403-2y x y x 解得⎩⎨⎧==12y x ，则两直线的交点为()1,2直线0532=++y x 的斜率为32-，则所求的直线的斜率为23故所求的直线为()2231-=-x y 即0423=--y x 14. 12)(2+=x xx f 解析：这是复合函数的解析式求原来函数的解析式，应该首选换元法令t x x =-+11，则11+-=t t x ，∴ 12)(2+=t t t f .∴12)(2+=x x x f . 故应填212x x + 15. 43833π+解析:观察三视图可知，该几何体是圆锥的一半与一个四棱锥的组合体，圆锥底半径为2，四棱锥底面边长分别为3,4，它们的高均为2244()232-=，所以，该几何体体积为21112234323233π⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=43833π+. 16. 解析：当122a x x <≤时，函数22u x ax =-+单调递减，而此时2()log (2)a f x x ax =-+也是单调递减，故2112280a a a >⎧⇒<<⎨∆=-<⎩.三、解答题17.解析:(1)由2111x x -≤+，得201x x -≤+ 所以(]1,2A =- (2)(](),12,R A =-∞-+∞ð []1,1B a a =-+由R BA B =ð，得R B A ⊆ð 所以11a +≤-或12a ->所以a 的范围为(](),23,-∞-+∞18. 解:(1)原式4)23()827(14923221-++--=--π）（π-++--=-⨯-⨯4)23()3(1)23(2323212 ππ-=-++--=--294)23()23(12322. (2)()2log 1543377725.0100log 33log ÷+⨯+= 42127241275log 3log 25413=++-=++=-.19.证明：（Ⅰ）直棱柱1111ABCD A B C D -中，BB1⊥平面ABCD ，∴BB1⊥AC ．……2分又∠BAD ＝∠ADC ＝90°，222AB AD CD ===，∴2AC =，∠CAB ＝45°，∴2BC =，∴ BC ⊥AC ． ………… 5分[ 又1BB BC B =，1,BB BC ⊂平面BB1C1C ，∴ AC ⊥平面BB1C1C ．………… 7分（Ⅱ）证明：由P 为A1B1的中点，有PB1‖AB ，且PB1＝12AB ．…………2分又∵DC ‖AB ，DC ＝12AB ，∴DC ∥PB1，且DC ＝ PB1，…4分∴DC B1P 为平行四边形，从而CB1∥DP ．又CB1⊂面ACB1，DP ⊄面ACB1，∴DP ‖面ACB1…6分同理，DP ‖面BCB1． …………7分20. 解:1),x y R ∈有()()()f x y f x f y +=+令0x y ==得()00f =又令y x =-得即2260x x --< 解得1717x -<<+21. 解：(1)证明:取AC 中点O ，连结SO ，BO .∵SA SC AB AC ==,, ∴AC SO ⊥且AC BO ⊥,∴AC ⊥平面SOB ，又SB ⊂平面SOB ，∴AC SB ⊥ . (2)设OB 与C E 交于点G ，取OB 中点为M ，作MH C E 交CE 于点H ，连结FM ，FG. 平面⊥S A C 平面ABC 且AC SO ⊥，ABC SO 平面⊥∴FMSO // ，BCEFM 平面⊥∴，CE FM ⊥∴，从而FMH CE 平面⊥.FH CE ⊥∴，FHM ∠∴是二面角B CE F --的平面角.P HMG OEFCBAS精心制作仅供参考唐玲出品由GEB GHM ∆∆~得41=HM ，在FMH Rt ∆中22=FM ，43=FH ， 31cos ==∠∴FH HM FHM ，故锐二面角B CE F --的余弦值为31 . 22. 解析:(Ⅰ)根据题意，设直线的方程为:2x my =- 联立直线与圆的方程并整理得:()()2214640m y m y ++-+= 22048m m ∆=-所以2121220480,0,5m m m m -===从而，直线的方程为:2512100x x y =--+=或(Ⅱ)根据题意，设直线的方程为:31x y =- 代入圆C 方程得:()2441310y y +--=，显然0∆>，设()()1122,,,A x y B x y 则121231,13y y x x +=-+=- 所以点P 的坐标为1331,22⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭(Ⅲ)假设存在这样的直线:y x b =+联立圆的方程并整理得:()22222440x b x b b ++++-= 当()2469b b ∆=-+-0,332323b >⇒--<<-设()()3344,,,E x y F x y 则()()2343411,442x x b x x b b +=-+=+- 所以()2341242y y b b =+- 因为以EF 为直径的圆经过原点，所以()()3344,,,,0OE x y OF x y OE OF ==∙= 23444120,3401,4x x y y b b b b ∴+=+-=∴==-即均满足332323b --<<-.所以直线的方程为:1040x y x y -+=--=或(Ⅲ)法二:可以设圆系方程()222440x y x y x y b λ+-+-+-+= 则圆心坐标24,22λλ--⎛⎫-⎪⎝⎭，圆心在直线y x b =+上，且该圆过原点.易得b 的值.。

初高中数学衔接知识测试题

初高中数学衔接知识测试题根式、二次方程、不等式基础知识测试题数学时间60分钟，满分100分）班级：______________ 姓名：______________知识熟记a^2=$_____。

$a^3-b^3=$______.a\times b=$______。

$(a+b)(a-b)=$______.一、选择题（每小题3分，共15分）1.下列二次根式中，最简二次根式是（）A。

$\frac{1}{5}$ B。

$\sqrt{5}$ C。

$5$ D。

$50$2.将多项式$x^3-xy^2$分解因式，结果正确的是（）A。

$x(x^2-y^2)$ B。

$x(x-y)^2$ C。

$x(x+y)^2$ D。

$x(x+y)(x-y)$3.下列各式中一定是二次根式的是（）A。

$3$ B。

$x$ C。

$x^2-1$ D。

$x-1$4.下列运算中，正确的是（）A。

$2+3=5$ B。

$a^2\cdot a=a^3$ C。

$(a^3)^3=a^6$ D。

$327=-3$5.下列四个多项式，哪一个是$2x^2+5x-3$的因式（）A。

$2x-1$ B。

$2x-3$ C。

$x-1$ D。

$x-3$二.填空题（每小题3分，共12分）6.$8a^4b^2c^{-3}a^3b^2c^3+5a^6b^3c^2$的公因式是______.7.将$4(2x-5)+x(5-2x)$分解因式为______.8.当$a<1$时，$|1-a|+2=$______.9.$(a-b)^2=(a+b)^2-$______。

$a^2+b^2=(a+b)^2-$______.三.解答题（共61分）10.下列式子有意义，求$x$的取值范围（每小题3分，共12分）1）$y=\frac{2}{x^2-4}$2）$y=3+x$3）$y=\frac{1}{x}+x$4）$y=x-1+4-x$11.化简下列二次根式（每小题3分，共9分）1）$\sqrt{11-6\sqrt{2}}$2）$\frac{2}{\sqrt{5}+3}$3）$(\pi-4)^2$12.用十字相乘法将下列因式分解（每小题3分，共6）1）$x^2-11x-60$2）$-x^2-2x+35$13.先化简再求值（4分）n^2(m+n)+(m+n)^2(m-n)-m^2$，其中$m=2$；$n=-2$.14.解下列方程（要有必要的过程，每小题3分，共12分）1）$x^2+4x-1=0$2）$x^2-6x-7=0$3）$2x^2+6x+7=0$4）$4x^2-4=0$15.解下列不等式（每小题3分，共18分）1）$2x^2+x>3-x$2）$x^2+12>7x$3）$x^2+4x+6>-4x-10$4）$-x^2-5x+6<\frac{3}{2}$5）$|-4x+9|<5$6）$\frac{x}{x+1}>1$四.应用题（共12分）16.已知不等式$2x^2+px+q<0$的解是$-2<x<1$，求$p,q$的值。

高中数学竞赛专题1-7

专题一数学竞赛中的数列问题东北育才学校张雷数学竞赛中的数列问题可以分为以下三类(1) 递推数列问题：其中二阶递归数列是数学竞赛中非常重要的内容.既是高考中递归数列的延伸，又是数学竞赛的基础知识.其形式为n n n qa pa a +=++12（p 、q 为常数）.且已知1a 和.2a 求}{n a 的通项公式.我们通常采用特征方程法.即设βα,为方程q px x +=2的二根.则βα≠时，.n n n B A a βα+=其中A 、B 为待定系数，由1a 和2a 确定；如果βα=，则.)(1-+=n n n B A a α其中A 、B 为待定系数，由1a 和2a 确定. 除此之外，还有不动点法等.(2) 数列不等式问题（3）数列综合应用问题：数列问题丰富多彩，常与不等式、数论、组合、函数方程等相结合，这需要我们灵活的解题能力和全面的数学知识.【范例选讲】一、递推数列问题1. （2008年东南竞赛）设数列{}n a 满足：111,2(12),1,2,3,n n n a a a n n +==+⋅+=.试求通项n a 的表达式.解：将所给递推关系的两边同时除以12n +，得111,2222n n n n n a a n n+++=++ 即111,2222n n n n n a a n n+++-=+ 所以 1111112222nn ni ii ii i i i a a ii +++===⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭∑∑∑， 111111(1)2242n n n i i a a n n i+++=+-=+∑，即 111(1)112.4222n n n n i i n n i a ++=+⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦∑令12n n i i i S ==∑，则1122nn i i i S -==∑， 11111112122222nn n n n n n i i i i i i i i i i i i S S S +---====-=-=-=-∑∑∑∑111111211112222n n i i i n i i -+---=+--⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭∑1121112111()222212nn n i n i n n --=⎡⎤=-+=-+-⎢⎥⎣⎦-∑112112222n n nn n -+=-+-=-故 111(1)1123(1)222(1)4222242n n n n n n n n n n n a n +++⎡++⎤++⎛⎫⎡⎤=++-=+-≥ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦，从而 222(6)1(2)n n a n n n n -=-+--≥.2．（2009年高中数学联赛）已知p ，q （0q ≠）是实数，方程20x px q -+=有两个实根α，β，数列{}n a 满足1a p =，22a p q =-，12n n n a pa qa --=-（n =3，4，…）．（I ）求数列{}n a 的通项公式（用α，β表示）；（II ）若1p =，14q =，求{}n a 的前n 项和．【解析】方法一：(Ⅰ)由韦达定理知0q αβ⋅=≠，又p αβ+=，所以()1212n n n n n a px qx a a αβαβ------=+-，()345n =，，，整理得()112n n n n a a a a βαβ----=- 令1n n n b a a β+=-，则()112n n b b n α+==，，．所以{}n b 是公比为α的等比数列．数列{}n b 的首项为：()()222121b a a p q p ββαβαββαβα=-=--=+--+=．所以21n n n b ααα-+=⋅=，即11n n n a a βα++-=()12n =，，．所以11n n n a a βα++=+()12n =，，．①当240p q ∆=-=时，0αβ=≠，12a p ααα==+=，11n n n a a βα++=+()12n =，，变为11n n n a a αα++=+()12n =，，．整理得，111n nn na a αα++-=，()12n =，，．所以，数列n n a α⎧⎫⎨⎬⎩⎭成公差为1的等差数列，其首项为122a ααα==．所以()2111nna n n α=+-=+．于是数列{}n a 的通项公式为()1n n a n α=+；……………………………………………………………………………5分②当240p q ∆=->时，αβ≠，11n n n a a βα++=+1n n a βαβαβα+-=+-11n n n a βαβααβαβα++=+---()12n =，，．整理得211n n n n a a ααββαβα+++⎛⎫+=+ ⎪--⎝⎭，()12n =，，．所以，数列1n n a αβα+⎧⎫+⎨⎬-⎩⎭成公比为β的等比数列，其首项为2221a ααβαββαβαβα+=++=---．所以121n n n a αβββαβα+-+=--．于是数列{}n a 的通项公式为11n n n a βαβα++-=-．………………………………………………10分(Ⅱ)若1p =，14q =，则240p q ∆=-=，此时12αβ==．由第(Ⅰ)步的结果得，数列{}n a 的通项公式为()11122nn n n a n +⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，所以，{}n a 的前n 项和为231234122222n n n n n s -+=+++++234112341222222n n n n s n ++=+++++以上两式相减，整理得1133222n n n s ++=-所以332n n n s +=-．……………………………………………………………………………15分方法二：(Ⅰ)由韦达定理知0q αβ⋅=≠，又p αβ+=，所以1a αβ=+，222a αβαβ=++．特征方程20p q λλ-+=的两个根为α，β． ①当0αβ=≠时，通项()()1212n n a A A n n α=+=，，由12a α=，223a α=得()()122212223A A A A αααα+=⎧⎪⎨+=⎪⎩ 解得121A A ==．故()1n n a n α=+．……………………………………………………5分 ②当αβ≠时，通项()1212n n n a A A n αβ=+=，，．由1a αβ=+，222a αβαβ=++得12222212A A A A αβαβαβαβαβ+=+⎧⎪⎨+=++⎪⎩ 解得1A αβα-=-，2A ββα=-．故1111n n n n n a αββαβαβαβα++++--=+=---．…………………………………………………………10分 (Ⅱ)同方法一．3. （2000年全国高中数学联赛）设数列}{n a 和{b n }满足10=a ，00=b ，且,2,1,0 47836711=⎩⎨⎧-+=-+=++n b a b b a a n n n n n n 证明：n a ),,2,1,0( =n 是完全平方数．分析我们能否得到}{n a 的递推关系，先求出通项看一看. 证明由于6371+-=+n n n a a b 则.637121+-=+++n n n a a b 代入下式整理得： 61412--=++n n n a a a 即).21()21(142112---=-++n n n a a a 又10=a ，.41=a 则由特征方程法可求得： n n a )347(41+=21)347(41+-+n . 由于 7±43=（2±2)3 ，所以 2])32(21)32(21[n n n a -++=设n n n c )32(21)32(21-++=，则10=c ，.21=c由特征方程法可知：}{n c 满足递推关系.412n n n c c c -=++故由0c ，1c 为整数可推得：n c 为整数，于是n a 为完全平方数. 二．数列不等式问题4、（2007年全国高中数学联赛）设∑=-+=nk n k n k a 1)1(1，求证：当正整数2≥n 时，n n a a <+1.证明由于)111(11)1(1k n k n k n k -+++=-+，因此∑=+=n k n kn a 1112，于是，对任意的正整数2≥n ，有∑∑+==++-+=-1111121111)(21n k n k n n k n k n a a0)11()2)(1(1)2)(1(11)2111(11>-++=++-+-+=∑∑==nk n k kn n n n k n n ，即n n a a <+1 5.（2003年女子竞赛）数列{}n a 定义如下：2112,1,1,2,n n n a a a a n +==-+=，证明：20031220031111112003a a a -<+++< 证：由题设得11(1)n n n a a a +-=-111111n n na a a +∴=---122003122320032004120042004111111111()()()1111111111111a a a a a a a a a a a a ∴+++=-+-++-------=-=----易知数列{}n a 是严格递增的，20041a >，故1220031111a a a +++<为了证明不等式左边成立，只需证明2003200412003a -> 由已知用归纳法可得1111n n n a a a a +-=+，及11,(1)n n n a a a n n ->≥从而结论成立。

第二十一届北京高中数学知识应用竞赛决赛试题及参考解答

在城市里有一个地区，其中的相邻道路恰可近似地用过直角坐标系内格点（坐标为整数的点）的平行线表示，如图１．
（１）求到点ｏ（０，０）的曼距为５的点构成的图形．
（２）该地区内有两个火警高危点Ａ（一３，一２）和Ｂ（２，２），为了这两处的安全，预在某个格点位置设立一个消防站（格点位置四通八达），问：这个消防站设在哪儿好？
第三个方案：３个报警器中，不止一个报警器报警时才采取抢救措施．
当灾难发生时，如果３个报警器都不报警或其中只有一个报警时，才不会采取抢救措施．这些事件发生的概率是０．０００１３＋３×０．９９９９× ０．０００１２ｄＯ．０００１．换句话说，灾难发生时，没采取抢救措施的概率比原来只有一个报警器的情况要小．
（２）如果安装三个报警器，能否设计一种方案，使得两种错误发生的概率都会降低．如果能，请给出具体的设计；如果不能，请说明道理．
解（１）对于方案１，只要有报警器报警就采取抢救措施．即只有两个报警器都不报警，才不会去抢救．
当灾难发生时，两个报警器都不报警的概率是０．０００１２＜Ｏ．０００１．也就是说，发生灾难不能及时抢救的概率降低了，比原来只有一个报警器时要好．
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圈１
解（１）设点Ｐ（ｚ，ｙ）满足ｄｐｏ—Ｉｚ一０Ｉ＋ｌｙ—ｏ｜一５，由于城市道路上的点Ｐ（ｘ，ｙ）中的，２７和Ｙ至少一个是整数，所以当ＩｚＩ＋ＩＹＩ一５时，Ｘ和了均是整数，即Ｐ（ｘ，ｙ）为格点．穷举可得Ｐ点的集合为｛（０，一５），（１，一４），（２，一３），（３，一２），（４，一１），（５，０），（４，１），（３，２），（２，３），

第01届北京高中数学知识应用竞赛及解题思路和答案

3．8 第一届北京市高中数学知识应用竞赛(1997)第一届北京市高中数学知识应用竞赛初赛于1997年12月举行．【初赛试题】1．乘夏利出租汽车，行程不超过4公里时，车费为10.40元，行程大于4公里但不超过15公里时，超出4公里部分，每公里车费1.60元．行程大于15公里后，超出15公里的部分，每公里车费2.40元，途中因红灯等原因而停车等候，每等候5分钟收车费1.60元，又计程器每半公里计一次价，例如，当行驶路程x(公里)满足12≤x＜12.5时，按12.5公里计价；当12.5≤x＜13时，按13公里计价．等候时间每2.5分钟计一次价，例如，等候时间t(分钟)满足2.5≤t＜5时，按2.5分钟计价；当5≤t＜7.5时，按5分钟计价．请回答下列问题．(1)若行驶12公里，停车等候3分钟，应付多少车费？(2)若行驶23.7公里，停车等候7分钟，应付多少车费？(3)若途中没有停车等候，所付车费y(元)就是行程x(公里)的函数y ＝f(x)，画出y＝f(x)(0＜x＜7)的图象．2．某罐装饮料厂为降低成本要将制罐材料减少到最小，假设罐装饮料筒为正圆柱体(视上、下底为平面)，上下底半径为r，高为h．若体积为V，上下底厚度分别是侧面厚度的2倍，试问当r与h之比是多少时用料最少？(你可以到市场上做一下调查，看看哪些罐装饮料大体上符合你的计算结果．)3．中国人民银行前不久公布银行存款利率从97年10月23日起下调，调整后的整存整取年利率如下表：现有一位刚升入初一的学生，家长欲为其存1万元，以供6年后上大学使用．若此期间利率不变，问采用怎样的存款方案，可使6年所获收益最大？最大收益是多少？4．有一隧道内设双行线公路，其截面由一长方形和一抛物线构成，如图3—111所示，为保证安全，要求行驶车辆顶部(设为平顶)与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有0.5米，若行车道总宽度AB为6米，请计算车辆通过隧道时的限制高度是多少米？(精确到0.1米)5．“人口问题”是我国最大社会问题之一，估计人口数量和发展趋势是我们制定一系列相关政策的基础，由人口统计年鉴，可查得我国从1949年至1994年人口数据资料如下：试估计我国1999年的人口数．6．如图3—107所示，有一条河MN，河岸的一侧有一很高建筑物AB．一人位于河岸另一侧P处，手中有一个测角器(可以测仰角)和一个可以测量长度的皮尺(测量长度不超过5米)．请你设计一种测量方案(不允许过河)，并给出计算建筑物的高度AB 及距离PA的公式．希望在你的方案中被测量数据的个数尽量少．7．一房间的门宽为0.9米，墙厚为0.28米．今有一家具其水平截面如图3—108，问能否把此家具水平地移入房间内(说明理由)．8．现有一批长方体金属原料，其长宽高的规格为12×3×3.1(长度单位：米)．某车间要用这些原料切割出两种长方体，其长宽高的规格第一种为3×2.4×1，第二种为4×1.5×0.7．若这两种长方体各需900个，假设忽略切割损耗，问至少需多少块金属长方体原料？如何切割？此时材料的利用率是多少？(计算到小数点后面3位)9．改革开放以来，土地承包制成为基本政策，经常会遇到类似下面的阿题．北京怀柔县某村一农民承包了100亩(中低产)地．土地租用费50元/年、亩，农业税10元/年、亩；根据当地气候条件，可以种植小麦、玉米和花生，其种植周期是：10月份(秋天)收玉米后可种冬小麦，第二年6月(夏天)收割小麦，6月份收割小麦后可种玉米，10月份收割玉米，4月份种花生，10月份收割花生，收割花生后可种冬小麦．有关冬小麦、花生、玉米三种作物的收支价格及产量如下表所示．这位农民每年必须完成20000公斤小麦公粮，每年留足全家1000公斤口粮，另外根据市场预测1996年花生种植面积不宜超过20亩，1997年不宜再种花生．试问：这位农民应如何安排从1995年10月秋种至1997年10月秋收的两年生产计划，使他既能完成公粮征购任务，又能留够口粮，并且在100亩土地上取得最大收益？(为了便于计算，不妨假定从1995～1997年内各种价格不变，产量也不变，并且不计承包人自己的工资，假定卖公粮价与卖余粮价相同．)10．1997年11月8日电视正在播放十分壮观的长江三峡工程大江截流的实况．截流从8∶55开始，当时龙口的水面宽40米，水深60米．11∶50时，播音员报告宽为34.4米，到13∶00时，播音员又报告水面宽为31米．这时，电视机旁的小明说，现在可以估算下午几点合龙．从8∶55到11∶50，进展的速度每小时宽度减少1.9米，从11∶50到13∶00，每小时宽度减少2.9米，小明认为回填速度是越来越快的，近似地每小时速度加快1米．从下午1点起，大约要5个多小时，即到下午6点多才能合龙．但到了下午3点28分，电视里传来了振奋人心的消息：大江截流成功！小明后来想明白了，他估算的方法不好．现在请你根据上面的数据，设计一种较合理的估算方法(建立一种较合理的数学模型)进行计算，使你的计算结果更切合实际．【初赛试题解答要点与参考答案】1．(1)行驶12公里，由题设按12.5公里计价，车费为10.4＋1.6×(12.5－4)＝24(元)，等候3分钟，由题设按2.5分钟计价，等候费为合计 24＋0.8＝24.8(元)．………………………………(5分)(2)行驶23.7公里，按24公里计价．车费为10.4＋1.6×(15－4)＋2.4×(24－15)＝49.6(元)，等候7分钟，按5分钟计价．等候费为合计 49.6＋1.6＝51.2(元)．……………………………(10分)(3)据题设可得如下x与y的关系，其函数图象为图3—110．…………………………………(15分)2．易知V＝πr2h，设材料比重为ρ，侧面材料厚度为b，则用料为A＝2πr×h×b×ρ＋2πr2×2b×p…………………………………………………………(10分)这样，r与h之比是1∶4时，用料最少．………(15分)(市场上可口可乐，百事可乐等很多罐装饮料都大体符合这一结果．)此段不计分．3．解法一一年期存两次(按复利计算)获利金额为(四舍五入精确到分)P1×2＝104(1＋5.67％)2－104＝1166.15元．两年期存一次获利金额为P2＝2×104×5.94％＝1188.00元．∴ P2＞P1×2……………………………………………(5分)存一次一年期再存一次两年期的获利金额为P1＋2 ＝104(1＋5.67％)(1＋2×5.94％)－104＝1822.36元．三年期存一次获利金额为P3＝3×104×6.21％＝1863．00元．∴ P3＞P1＋2．又存一次二年期再存一次三年期的获利金额为P2+3＝104(1＋2×5.94％)(1＋3×6.21％)－104＝3272.32元．五年期存一次的获利金额为P5＝5×10 4×6.66％＝3330.00元．∴ p5＞P2+3．三年期存两次的获利金额为P3×2＝P3+3＝104(1＋3×6.21％)2－104＝4073.08元．两年期存三次的获利金额为P2×3＝104(1＋2×5.94％)3－104＝4004.17(元)∴ P3×2＞P2×3．存一次五年期再存一次一年期的获利金额为P5+1＝104(1＋5×6.66％)(1＋5.67％)－104＝4085.81(元)．∴ P5+1＞P3+3．∵ P n+m＝P m+n，(m，n∈N)∴由上述计算推知：存一次五年期一次一年期所获收益最大．为4085.81(元)．……………………………………………………(15分)解法二直接计算P1×6，P1×4+2，P1×2+2×2，P2×3，P1×3+3，P1+2+3，P3×2，P1+5进行比较，得出P1+5最大．4．以AB为x轴正方向，AB的中点为原点，建立直角坐标系，于是过点P(4，2)，Q(0，6)的抛物线在该坐标系中的方程为令x＝3，得因此货车限高＝3.75－0.5＝3.25≈3.2(米)．答：货车的限高为3.2米．………………………………………(15分)(注：答3.3米也算对)5．第一步：在直角坐标系上做出人口数的图形．…………………………………………………………………(5分)第二步：估计出这图形近似地可以看做一条直线．…………………………………………………………………(8分)第三步：用以下几种方法之一确定直线方程，并算出1999年人口数，在12.4～12.6亿之间均算正确答案．……………………………………………………………………(15分)方法一：选择能反映直线变化的两个点，例如 (1949，541.67)，(1984，1034.75)二点确定一条直线，方程为：N＝14.088t－26915.842代入t＝1999，N＝1246.07≈12.46(亿)．方法二：可以多取几组点对，确定几条直线方程，将t＝1999代入，分别求出人口数，再取其算术平均值．方法三：可采用最通用的“最小二乘法”求出直线方程．这里简单地介绍一下最小二乘法．设(x1，y1)，(x2，y2)，…(x k，y k)是平面直角坐标系下给出的一组数据，若x1＜x2＜…＜x k，我们亦可以把这组数据看做是一个离散的函数．根据观察，如果这组数据图象“很像”一条直线(不是直线)，我们的问题是确定一条直线y＝bx＋a，使得它能最好地反映出这组数据的变化．这样可以使第一项、第二项分别取最小，第一项是b的一元二次函由于系数是常数，不妨令l1＝Σ(x i－x)2，l2＝Σ(y i－y)(x i－x)，l3＝Σ(y i－y)2，通过配方有用最小二乘法可以求出N＝14.51006t－27753.54649，代入t＝1999，得N≈12.52亿．…………………………………………(15分)6．常见有两种测量方案．方案1 P位于开阔地域，则测量方案如下图3—112所示，被测量的数据为PC(测角器的高)和PQ(Q为在PA水平直线上选取的另一测量点)的长度，仰角α和β．……………………………………(5分)设AB为x，PA为y，则计算公式为方案2 若P处也是一可攀登建筑物(如楼房)，则可在同一垂线上选两个测量点(见图3—113)，被测数据为PC和CD的长度，仰角α和β．……………………………………………………………(5分)设AB＝x，PA＝y，则计算公式为说明：无论哪个方案都至少要测4个数据．7．解法一如图3—114，墙厚CD＝0.28米，家具的一边AB中只要h不超过门宽0.9米，则家具可水平地搬入屋内．………(5分)从图中可见h＝AEsinθ，又AE＝AG＋GF＋FE，其中AG＝0.48，GF＝CDcosθ＝0.28cosθ，FE＝FCctgθ＝0.48ctgθ．因此h＝AEsinθ＝(0.48＋0.28cosθ＋0.48ctgθ)sinθ………………………………………………………………(10分)＝0.48(sinθ＋cosθ)＋0.28cosθsinθ…………………………………………………………………(15分)解法二在搬运家具时，为了顺利过门，家具的两个边KM、 KN紧贴C、 D，点K的运动轨迹是以CD为直径的半圆周， A点到CD的距离始终不大于AK＋KO(O是CD中点)．而AK＋KO≈0.82＜0.9．…………………………………(15分)8．把原料切割出所需的两种长方体而没有余料，只有两种切法，见图3—115(Ⅰ)和(Ⅱ)．切法(Ⅰ)切割出12个第一种长方体和6个第二种长方体，切法(Ⅱ)切割出5个第一种长方体和18个第二种长方体．…………………………………………………………………(6分)取3块原料，2块按切法(Ⅰ)切割，1块按切法(Ⅱ)切割．得到29个第一种长方体和30个第二种长方体．因此，取90块原料，其中60块按切法(Ⅰ)切割， 30块按切法(Ⅱ)切割，共得到 870个第一种长方体和900个第二种长方体．至此，没产生任何余料，但还差30个第一种长方体．再取2块原料，按切法(Ⅲ)切割(见图)，得30个第一种长方体．每块原料剩下12×3×0.1的余料．因此，为了得到这两种长方体各 900个，至少需 90＋2＝92块原料．…………………………………………………………………(13分)此时，材料的利用率为………………………………………………………………………(15分)9．第一步：承包两年土地共需缴纳土地租用费和农业税费为2×(50＋60)×100＝12000元．第二步根据给定数据计算出每种作物收支费用表如下：第三步：两年内只能有以下两种种植模式．………………(5分)Ⅰ 1995年秋种冬小麦→夏收完种玉米→秋收完再种冬小麦→夏收完再种玉米→1997年秋收玉米．Ⅱ 1995年不种→1996年春种花生→秋收后种冬小麦→夏收后再种玉米→1997年秋收玉米．按模式Ⅰ每亩地两年纯收入1096元/亩，按模式Ⅱ每亩地两年纯收入1153元/亩．第四步：设按模式Ⅰ种x1亩，模式Ⅱ种x2亩，总收入应该为y＝f(x1，x2)＝1096x1＋1153x2－12000－2×1.68×1000．其中x1和x2应受到如下条件的限制：(1)x1≥0，x2≥0，(2)x2≤20，(3)x1＋x2＝100，(4)300x1≥21000(缴纳公粮和口粮)．………………(12分)第五步：由于模式Ⅱ获利多，所以在满足条件(3)和(4)的前提下应该尽量多地采用模式(Ⅱ)．所以只要计算一下x2＝20时，能否满足条件(4)即可．∵300×80＞21000，∴令x1＝80，x2＝20可取得最大收益．y max＝1096×80＋1153×20－12000－1680×2＝87600＋23060－12000－1680×2＝95300(元)．………………………………………………………………………(15分)(像第8题，第9题这类问题在数学上称做规划问题或整数规划问题．)10．说明：建模的合理性有以下两个评价要点：(1)回填速度应以每小时多少立方米填料计算；这样，能否建立合理的回填速度计算模型便成为第一个评价要点．(2)注意到回填速度是在逐渐加快；水流截面越大，水越深，回填时填料被冲走的就越多，相应的进展速度就越慢，反之就越快．在模型中对回填速度越来越快这一点如何作出较合理的假设，这是第二个评价要点．下面的计算模型可供参考．为简便计，回填体积可用龙口水流的截面面积代替，假设截面为等经175分钟回填后，龙口宽为34.4米．设此时截面与原截面相似(如图3—109)．则此时的水深h1满足故h1＝51.6(m)．此时尚待回填的面积A1＝17.2×51.6＝887.52(m2)到13∶00尚待回填的面积A2＝15.5×(15.5×3)＝720.75(m2)．从11∶50到13∶00回填的平均速度为比以前的速度加快了．在回填过程中，回填速度是越来越快的．可建立各种模型进行计算，下面举出两种算法．下午1∶00～2∶00，回填面积为143×1.336＝191.048．2∶00～3∶00 回填面积为143×1.336 2＝255.24．此时，待填面积为720.75－(191.048＋255.24)＝274.462．需个小时，即在下午3点48分龙口即可合龙．……………………(15分)方法二：假设回填速度v与水深l成反比．因为水深与待填面积Sm2/小时，故回填面积为224.67m2．所以下午4∶00，待填面积仅为720.75－192.36－224.67－296.33＝7.39，可认为已经合龙；也就是说，按这一模型估算，下午4点龙口即可合龙．………………………………………………………(15分)【复赛试题】1．(14分)年初小王承包了一个小商店，一月初向银行贷款10000元做为投入资金用于进货．每月月底可售出全部货物，获得毛利(当月销售收入与投入资金之差)是该月月初投入资金的20％．每月月底需要支出税款等费用共占该月毛利的60％．此外小王每月还要支出生活费300元．余款作为下月投入资金用于进货．如此继续，问到年底小王拥有多少资金？若贷款年利率为10.98％，问小王的纯收入为多少？2．(14分)某铝制品厂在边长为40cm的正方形铝板上割下四个半径为20厘米的圆形(如图3—116的阴影部分)．为节约铝材，该厂打算用余下部分制作底面直径和高相等的圆柱形包装盒．(接缝用料忽略不计)问：(1)包装盒的最大直径是多少？(精确到0.01厘米)(2)画出你设计的剪裁图．3．(14分)一底面积为S(分米)2，高为H分米，重量为M千克重的有盖圆柱形容器，内盛液面高度为h分米的水．设容器的质地是均匀的且薄厚相同(包括盖)，问h为多少时使容器和水整体的重心最低．4．(12分)中国邮政贺年(有奖)明信片，每张明信片附有一个由六个数组成的号码，97、98年公布的获奖号码(其尾数)如下：97年98年特等奖 400656 一等奖 963639一等奖 877175 二等奖 07594二等奖 50725，20460 三等奖 7655，6839，4754三等奖 2463，5502 四等奖 090，433四等奖 626 803，796五等奖 84 624纪念奖 3 五等奖 9试问：(1)哪一年获奖的概率大？(注：发行100张明信片有5张中奖，则称获奖概率为5％)(2)若不考虑97年的纪念奖，98年的五等奖，这两年的获奖概率相差多少？5．(12分)家具厂的沙发框架装配流水线可以把锯、刨好的木料装配成沙发框架．主要有四道工序：打磨抛光，喷涂保护层，装配，贴厂名标签．按照工艺流程的要求，喷涂保护层不能安排在打磨抛光之前，而贴厂名标签必须在喷涂保护层之后进行．已知：贴标签需要1分钟；抛光需要5分钟，但装配之后再抛光则只需3分钟；喷涂需要8分钟，但装配之后再喷涂只需6分钟；如果喷涂前装配需要6分钟，否则只需4分钟．试为这条流水线安排一个加工顺序，使总加工时间最短．6．(12分)现有甲乙两个服装厂生产同一种服装，甲厂每月产成衣900套，生产上衣和裤子的时间比是2∶1，乙厂每月产成衣1200套，生产上衣和裤子的时间比是3∶2．若两厂分工合作，请安排一生产方案，其产量超过原两厂生产能力之和，求出每月生产多少套成衣？7．(污水处理问题)(12分)沿河有三城镇1、2和3，其地理位置如图3—117所示，污水需处理后方可排入河中．用Q表示污水量(吨/秒)，L 表示管道长度(公里)，按照经验公式，建污水处理厂的费用为P1＝73Q0.712(千元)，铺设管道的费用为P2＝0.66Q0.51L(千元)，已知三城镇的污水量分别为Q1＝5，Q2＝3，Q3＝5，L的数值如图所示．三城镇既可以单独建立污水处理厂，也可以联合建厂，用管道送污水集中处理只能由河流的上游城镇向下游城镇输送．试问：(1)从节约总投资的角度出发，请给出一种最优的污水处理方案；(2)如果联合建厂，各城镇所分担的污水处理费用遵循下面建议：联合建厂费按污水量之比分担；管道费用根据谁用谁投资的原则，如果联合使用则按污水量之比分担．试计算在上述建议下，各城镇所分担的费用，并讨论其合理性；(3)请你试着给出一个分担污水处理费用的合理建议．并计算各城镇的费用．8．(10分)中国足球甲级队比赛，分成甲A和甲B两组，进行主客场双循环制，1997年足协决定：12只甲B球队的前四名将升入甲A，球队排序的原则如下：(1)胜一场积3分，平一场积1分，负一场积0分；(2)球队的名次按积分多少排序，积分高的队排名在前；(3)积分相同的球队，按净胜球的多少排序，净胜球(踢进球数减被踢入球数)多的队排名在前．(4)若积分相同、净胜球数也相同，则按进球数排序，踢进球总数多的队排在前．以下是甲B联赛(共赛22轮)第19轮后的形势：队名胜平负得失球积分武汉雅琪 10 6 3 29/18 36深圳平安 9 5 5 34/27 32深圳金鹏 8 5 6 32/38 29河南建业 8 5 6 20/18 29广州松日 7 7 5 27/19 28沈阳海狮 7 7 5 28/23 28佛山佛斯弟 8 2 9 26/28 26辽宁双星 7 4 8 20/19 25上海浦东 7 4 8 28/23 25上海豫园 6 5 8 23/29 23天津万科 5 7 7 22/23 22火车头杉杉 2 3 14 14/48 9还剩三轮，对阵表如下：上海浦东——深圳平安广州松日——河南建业深圳平安——辽宁双星河南建业——上海浦东深圳平安——沈阳海狮上海豫园——河南建业深圳金鹏——上海豫园武汉雅琪——佛斯弟沈阳海狮——深圳金鹏天津万科——佛斯弟辽宁双星——深圳金鹏佛斯弟——杉杉杉杉——广州松日广州松日——天津万科辽宁双星——天津万科沈阳海狮——杉杉上海豫园——武汉雅琪武汉雅琪——上海浦东试问：武汉雅琪队是否一定可以提前三轮晋升甲A？说明理由．【复赛试题解答要点与参考答案】1．设第n个月月底的资金为a n元，贷款金额为a0，则a n+1＝a n·(1＋20％)－a n·20％·60％－300＝1.08a n－300，……………………………………5分又a0＝10000元，于是a1＝10500元．依题意，b＝10500，c＝1.08，d＝－300，纯收入为a12－10000(1＋10.98％)＝8390.6元．……………14分答：小王年底有资金19488.6元，纯收入为8390.6元．2．如图3—118建立直角坐标系：………………………………………………………………………3分依题意，若使圆柱底面直径最大，应如图所示剪裁．设底面半径为r，由于2r为圆柱的高，故AD＝2r，AB＝2πr，………………………………………6分于是A点的坐标为(πr，r)．⊙O′的方程为：(x－20)2＋(y－20)2＝20 2．(2) ………………………………………………………………………10分将(1)代入(2)得(πy－20)2＋(y－20)2＝20 2，求解得y1≈3.01(cm)，y2≈12.23(cm)(舍去)．……………………………………………………………………12分∴r≈3.01(cm)．于是O″(0，6.02)，O′(20，20)，而 r＋20＝23.01＜24.41，所以，在裁下矩形ABCD后，可在余下部分裁下两个半径为3.01的圆(⊙O″)．这样，每块余料做一圆柱形(直径与高相等)的包装盒，底面最大直径是6.02(cm)．………………………………………14分3．解法一容器质地均匀且薄厚相同(包括盖)，故其重心高度为设容器和水整体的重心高度为x分米，则x满足以下方程：它恰好等于水面高度h．………………………………………………………………………6分整理得 Sh2－2Shx＋MH－2Mx＝0，由于h是非负实数，所以，x2S2－M(H－2x)≥0．(2)………………………8分使重心位置最低的x一定是使(4)成立的x最小非负值．由二次不等式可知，使(2)成立的x值为因此，x的最小值为4．设发行了n张明信片，其中k张获奖，则任买一张，获奖概率为1997、1998两年明信片号码均为六个数组成，可以认为发行了10 6张．…………2分(1)由于两年发行明信片数均为n＝10 6，为了比获奖概率大小，只须比较获奖明信片张数的多少．1997年获奖明信片张数为1＋1＋20＋200＋1000＋10000＋100000＝111222．1998年获奖明信片张数为1＋10＋300＋5000＋100000＝105311．故 1997年获奖概率大于 1998年获奖概率．…… 8分相差为1.12％－0.53％＝ 0.59％……………………………12分5．我们用字母来表示工序：S—抛光；P—喷涂保护层；A—组装；N —贴厂名标签．解法一按题目的工艺流程要求，全部可能的生产流程及所用的时间可由图3—119给出．图中箭头所示方向为工艺的流程，每个箭头下方的字母为所执行的工序，上方为该工序所用的时间，方括号内为已完成的工序．………………………………………………………………………10分所有可能的流程共四条：ASPN、SAPN、SPAN、SPNA，所用的时间分别为16分钟、18分钟、18分钟、18分钟，生产流程ASPN所用时间最少．即为了使加工时间最短，应先组装，然后抛光，再喷涂保护层，最后贴厂名标签．……………………………………………12分解法二将生产流程图画成“树”(画出流程图10分，计算出时间12分)解法三按工艺流程的要求，S、P、N三个工序，只能有顺序S→P→N，而A可以在这三者前后的任意位置上，于是就得到所有可能的生产流程A→S→P→NS→A→P→NS→P→A→NS→P→N→A…………………………………………………10分计算各流程所用时间，得出最优流程．………………………12分6．甲厂只生产上衣1350件/月，甲厂只生产裤子2700件/月；乙厂只生产上衣2000件/月，乙厂只生产裤子3000件/月．………………………………………………………………………4分我们的目的是设计一种方案使总产量超过原总产量900＋1200＝2100．发挥乙厂生产上衣的优势，让乙厂全部生产上衣，共2000件，让甲这样的生产方案可生产2233套成衣，超过原总产量133套．……………………………12分7．设C i为城镇i单独建污水厂所需费用(i＝1，2，3)，则C1＝73×50.712≈230(千元)，C2＝73×30.712≈160(千元)，C3＝C1≈230(千元)．若城镇i，j合作在城镇j建厂，设C ij(i＜j)为从城i到城j铺设管道的费用(i，j＝1，2，3)，则C12＝73×(5＋3)0.712＋0.66×50.51×20＝350(千元)，C13＝73×(5＋5)0.712＋0.66×50.51×(20＋38)＝463(千元)，C23＝73×(5＋3)0.712＋0.66×30.51×38＝365(千元)．(1)按题设三城镇的污水处理只有五种方案．方案1 各城分别建厂处理污水，总费用C1＋C2＋C3＝230＋160＋230＝620(千元)……………1分方案2 城1，城2合作处理污水，城3单独处理污水，总费用C12＋C3＝350＋230＝580(千元)……………………2分方案3 城1，城3合作处理污水，城2单独处理污水，总费用C13＋C2＝463＋160＝623(千元)………………3分方案4 城2，城3合作处理污水，城1单独处理污水，总费用C23＋C1＝365＋230＝595(千元)……………………4分方案5 三厂合作在城3建厂，并铺设城1及城2到城3的管道，总费用为73×(5＋3＋5)0.712＋0.66×50.51×20＋0.66×(5＋3)0.51×38＝453.4＋30＋72.4＝555.8(千元)………………………5分方案5所用费用最少，三厂合作在城3建厂并铺设管道是最优方案．(2)三城合作建污水厂费用为73×(5＋3＋5)0.712＝453.4(千元)．按三城镇污水量的比例5∶3∶5来分担这一费用，城1，104.6(千元)，174.4(千元)．城1到城2的管道费0.66×50.51×20＝30(千元)应由城1负担，城 2到城 3的管道费0.66×(5＋3)0.51×38＝72.4(千元)按城1，城2污水量的比例5∶3，由城1，因此，城1负担费用为174.4＋30＋45.25＝249.65(千元)………………………………………………………………………6分城2负担费用为104.6＋27.15＝131.75(千元)，城3负担费用为174.4(千元)，三城总负担费用249.65＋131.75＋174.4＝555.8(千元)……………………………………………………………………… 8分但由于249.65＞230＝C1，即此时城1负担的费用比它单独建污水厂所付费用还多，这对城1是不公平的，分配方案有不合理之处．………………………………………………………………………10分(3)这小题没有标准答案，答案是开放性的，比如把总费用555.8(干元)按C1，C2，C3的比例分别负担等，只要能设计出“合理”的方案均可．………………………………………………………………12分8．使用排除法．排除法的目的是确定“是否存在一种使雅琪队无法出线的比赛结果”．排除的原则是“排除那些有利于雅琪队出线的情况，仅考虑尽量少的不利雅琪队出线的情况”．这个思想明确，可以清楚地确定出以下原则：原则1：设后三轮雅琪队均以大比分告负；原则2：除了雅琪队其余各队分为二类：第一类队在后三轮即使全胜，其积分也少于36分；第二类队后三轮全胜积分可以达到或超过36分．原则3：使第二类中尽量多的队积分达到或超过36分，为此可以任意决定第一类队的比赛结果．根据以上三原则施行如下步骤：1°根据原则2，第一类队包括排在第七位(佛斯第队)以后的各队，第二类队包括：平安队、金鹏队、建业队、松日队和海狮队．2°设第二类的队与第一类队或雅琪队的比赛中均以大比分取胜，其结果为：平安队胜浦东队和双星队，积36分；金鹏队胜豫园队和双星队，积35分；建业队胜豫园队和浦东队，积35分；松日队胜万科队和杉杉队，积34分；海狮队胜杉杉队，积31分．3°设平安队积36分便可以净胜球排在雅琪队之前，这样，平安队即使负于海狮队亦可排在雅琪队之前．这样可使海狮队从平安队处得3分．积34分．4°这样，还有两场比赛即：金鹏对海狮，松日对建业，其中金鹏积35分，海狮积34分；松日积34分，建业积35分．显然，在金鹏与海狮之间，松日与建业之间，至多有一个队可达到或超过36分．这就是说，第二类队中至多有三个队排在雅琪队之前，而甲B有四支队可晋升甲A，故雅琪队一定可以晋升甲A．注解决这类问题，还可以使用穷举法，罗列出后三轮的所有可能的比赛结果，每一种比赛的结果都可以得到一种球队的排序，如果存在着一种比赛结果的排序使雅琪队被列在第五位或低于第五位，则说明雅琪队不能“一定晋升”．否则的话，就说明无论后三轮怎样的比赛结果的排序中雅琪队都在前四名，故雅琪队“一定晋升”．这种方法是可行的方法，尤其是比赛球队不多的情况下，穷举法的核心是要保证列举出“所有可能”，做到这一点并非容易，常常借助于计算机，给出“列出所有可能”的程序，由计算机来完成罗列和判别．一般说这种方法过于繁杂，在球队很多时，即使用计算机亦难于实现．例如此题：仅就积分结果来说，还须比赛18场，每场两个结果(或分胜负，或平)，共计218种！人为列举是无法实现的，计算机也要工作一段时间．。

山东省滨州市北镇中学2023-2024学年高一上学期第一届高中学科素养知识竞赛数学试题

三、填空题
13．若a
Î
æ çè
0,
ππö 2 ÷ø
,
b
Î
æ çè
0,
2
ö ÷ø
，且
(1+
cos2a )(1+ sinb
)
=
sin 2a cosb
，则 4a
- 2b
=
.
( ) 14．已知函数 f ( x) = ln 1+ x2 + x + ax + 4(a Î R ), f (ln (log2e)) = 5 ，则 f (ln (ln2)) 的
=
176 + 44 S
=
220 S
答案第11 页，共22 页
【解析】根据题中函数关系式，令 v = 0 和1.5 ，分别求出对应的 Q ，即可得出结果.
【详解】因为鲑鱼的游速(单位：
m/s
)可以表示为
v
=
1 2
log3
Q 100
，其中
Q
表示鲑鱼的耗氧量
的单位数，
当一条鲑鱼静止时，
v
=
0
，此时
0
=
1 2
log3
Q1 100
，则 Q1 100
p2：∀x∈R，当 x＜0 时，x+|x|＝0，故该命题为假命题；
p3：∀x∈Z，|x|是非负整数，故|x|∈N，该命题为真命题；
p4：∃x∈R，由于 x2﹣2x+3＝0 中△＝4﹣12＝﹣8＜0，故不存在实根，故该命题为假命题；
故选：C 2．B 【解析】解对数不等式得集合 A ，现根据新定义计算．
(2)在（1）的条件下，若对于任意 x Î[1, +¥] ，都有

高中数学竞赛全解题库

高中数学竞赛全解题库篇一：2015年全国高中数学联赛试题(B)卷(扫描版,解析版) 2015年高中数学联赛试题(B)卷篇二：全国高中数学竞赛二试模拟训练题(82)加试模拟训练题（82）1 如图，四边形ABCD内接于圆，AB，DC延长线交于E，AD、BC延长线交于F，P为圆上任意一点，PE，PF分别交圆于R，S. 若对角线AC与BD相交于T. 求证：R，T，S三点共线。

E2.对于每个实数x1，由xn+1=xn（xn+1/n），n≥1，构成序列x1，x2，?，证明：存在唯一的x1，使得0＜xn＜xn+1＜1（n=1，2，?）．3.九条直线中的每一条直线都把正方形分成面积比为2:3的两个四边形．证明：这九条直线F中至少有三条经过同一点．4. 已知49个正整数的集合M，M中的每个数的质因数不大于10，证明：M中有4个互不相同的元素，它们的乘积等于某个整数的四次方。

加试模拟训练题（82）1 如图，四边形ABCD内接于圆，AB，DC延长线交于E，AD、BC延长E线交于F，P为圆上任意一点，PE，PF分别交圆于R，S. 若对角线AC与BD相交于T. 求证：R，T，S三点共线。

先证两个引理。

引理1:A1B1C1D1E1F1为圆内接六边形，若A1D1，B1E1，C1F1交于一点，则有A1B1C1D1E1F11. B1C1D1E1F1A1如图，设A1D1，B1E1，C1F1交于点O，根据圆内接多边形的性质易知△OA1B1∽△OE1D1，△OB1C1∽△OF1E1，△OC1D1∽△OA1F1，从而有△A1B1B1OEFFOCDDO，11?1，11?1. D1E1D1OB1C1B1OF1A1F1OABCDEF将上面三式相乘即得11?11?11?1，B1C1D1E1F1A1A1B11D1引理2：圆内接六边形A1B1C1D1E1F1，若满足A1B1C1D1E1F11 B1C1D1E1F1A111则其三条对角线A1D1，B1E1，C1F1交于一点。

阿里巴巴数学竞赛决赛试题

阿里巴巴数学竞赛决赛试题一、选择题1、在以下哪个选项中，等式√x = 2x的解是正数？A. x = 4B. x = 9C. x = 16D. x = 202、如果一个矩形的长和宽分别为 a和 b，那么它的面积最大值是：A.当 a = b时B.当 a > b时C.当 a < b时D.与 a和 b的值无关3、若 x + 4y = 0，且 x和 y均为非负数，则 (x - 4y)²的值可能是：A. 16B. 15C. 9D. 0二、填空题4、一个六边形的内角和为____。

41、在一个等差数列中，前四项的和为 40，第五项到第九项的和为135，则整个等差数列的和为____。

411、在一个三角形中，如果最大的角小于 90度，那么这个三角形是____。

4111、如果一个正方形的面积是 100平方厘米，那么它的周长是____厘米。

本文在一个长方体中，如果它的长、宽和高分别为 a、b和 c，那么它的表面积是____。

本文如果 x² + xy = 20，且 y是 x的 4倍，则 x =____。

本文在一个正方形中，如果一条对角线的长度为 8厘米，那么这个正方形的面积是____平方厘米。

三、解答题11.求方程 x³ + y³ = 25的所有实数解。

12.一个圆柱体的高度是 10厘米，底面半径是 r厘米。

如果圆柱体的侧面积等于其表面积，求底面半径 r的值。

13.求下列数列的前 n项和：Sn=1+1/2+1/3+…+1/n。

全国化学奥林匹克竞赛是一项旨在培养学生化学兴趣、提高化学素养的竞赛活动。

经过初赛、省级选拔赛和全国决赛等多个环节，最终选拔出优秀的学生代表中国参加国际化学奥林匹克竞赛。

而全国化学奥林匹克竞赛决赛理论试题作为竞赛的重要组成部分，对于参赛学生的成绩有着重要影响。

本文将对近10年全国化学奥林匹克竞赛决赛理论试题进行分析，并探讨对我们的启示和建议。

对于近10年全国化学奥林匹克竞赛决赛理论试题的分析，我们可以从以下几个方面展开：难度：从近10年的试题来看，全国化学奥林匹克竞赛决赛理论试题的难度逐渐增加，特别是在有机化学、分析化学和物理化学等知识点上，需要对基础知识有更深入的理解和运用。

高中数学竞赛基本知识集锦

高中数学竞赛基本知识集锦一、三角函数常用公式由于是讲竞赛，这里就不再重复过于基础的东西，例如六种三角函数之间的转换，两角和与差的三角函数，二倍角公式等等。

但是由于现在的教材中常用公式删得太多，有些还是不能不写。

先从最基础的开始（这些必须熟练掌握）：半角公式2cos 12sinαα-±= 2cos 12cosαα+±= αααααααcos 1sin sin cos 1cos 1cos 12tan+=-=+-±=积化和差()()[]βαβαβα-++=sin sin 21cos sin ()()[]βαβαβα--+=sin sin 21sin cos ()()[]βαβαβα-++=cos cos 21cos cos ()()[]βαβαβα--+-=cos cos 21sin sin 和差化积2cos 2sin 2sin sin βαβαβα-+=+2sin2cos2sin sin βαβαβα-+=-2cos2cos2cos cos βαβαβα-+=+2sin2sin2cos cos βαβαβα-+-=-万能公式ααα2tan 1tan 22sin +=ααα22tan 1tan 12cos +-=ααα2tan 1tan 22tan -=三倍角公式()()αααααα+-=-= 60sin sin 60sin 4sin 4sin 33sin 3 ()()αααααα+-=-= 60cos cos 60cos 4cos 3cos 43cos 3二、某些特殊角的三角函数值除了课本中的以外，还有一些三、三角函数求值给出一个复杂的式子，要求化简。

这样的题目经常考，而且一般化出来都是一个具体值。

要熟练应用上面的常用式子，个人认为和差化积、积化和差是竞赛中最常用的，如果看到一些不常用的角，应当考虑用和差化积、积化和差，一般情况下直接使用不了的时候，可以考虑先乘一个三角函数，然后利用积化和差化简，最后再把这个三角函数除下去举个例子求值：76cos 74cos 72cosπππ++ 提示：乘以72sin2π，化简后再除下去。

第03届北京高中数学知识应用竞赛初赛及解题

第三届北京高中数学知识应用竞赛初赛试题1.根据国家版权局?书籍稿酬暂行规定?,书籍稿酬由根本稿酬和印数稿酬组成.根本稿酬的标准为：〔1〕著作稿酬每千字10至30元,确有学术价值的,可适当提升,但每千字不超过40元；〔2〕词书稿有两种计酬方法：其一是按一般著作稿标准另加15%至20%计算〔词条书目〕；其二是按每千字20元至30元计算,另增加20%至30%的根本稿酬〔百科全书词条〕.印数稿酬的标准为：〔1〕一般书籍,印数在一万册以内的,以一万册计算付根本稿酬的8%.印数超过一万册的,其超过局部每千册付根本稿酬的0.8%.〔2〕确有学术价值而印数较少的专著,印数在一万册以内的,以一万册计算付根本稿酬的30%,印数超过一万册的,计算方法同〔1〕.根据以上内容,解答以下问题.〔1〕假设印x 千册,试写出每千字最高稿酬f(x) 和每千字最低稿酬g(x) 的函数关系式；〔2〕假设王教授出版了一本25.4万字的书,印数1.8万册,试计算他可获得的最高稿酬和最低稿酬.2．小童的父亲要到美国访问,受人之托希望多带点东西.中国民航的?国际旅客须知?中有关规定："计件免费行李额"中规定"适用中美、中加国际航线上的行李运输…….经济和旅游折扣票价,免费交运的行李数为两件,每件箱体三边之和不超过62英寸〔158厘米〕,但两件之和不得超过107英寸〔273厘米〕,每件最大重量不得超过32公斤."试问这两个箱子的长、宽、高各为多少可达最大体积？请到市场上看看,商店出售的行李箱的尺寸与你计算所得结果是否近似？为什么？3．今年年初由中国建设银行北京市分行印发的?个人住房贷款简介?的小册子中介绍了有关个人住房贷款的有关问题.其中指明贷款额最高为拟购置住房费用总额的70%；贷款期限最长为20年.个人住房贷款利率如附表1所示.借款人在借款期内每月以相等的月均还款额归还银行贷款本金和利息.附表2列出了不同贷款期限下的月均还款额、还款总额和利息负担总和.试给出公式说明附表2中后三列数是如何算出来的.近年来国务院批准,中国人民银行决定从1999年9月21日起,延长个人住房贷款期限并降低利率以支持城镇居民购房.各商业银行个人住房贷款的最长期限由现行的20年延长到30年.每笔贷款年限由商业银行依据借款个人的年龄、工作年限、还款水平等因素与借款人协商确定.个人住房款年利率最高水平降为5.88%.并根据贷款期限划分为两个档次：5年以下〔含5年〕为年利率5.31,5年以上为年利率5.88%.请你根据新规定计算5年期、20年期的月均还款额、还款总额和利息负担总和,并与原附表2中的同期贷款的负担情况比拟,住房贷款的负担各降低了多少.附表2 中国建设银行北京分行个人住房贷款1~20年月均还款金额表〔借款额为壹万元〕单位：元自1998年12月7化工厂从今年一月起,假设不改善生产环境,按现状生产,每月收入为70万元,同时将受到环保部门的处分,第一个月.如果从今年一月起投资500万元增加回收净化设备〔改造设备时间不计〕,一方面可以改善环境,另一方面也可以大后的前5个月中的累计净收入是生产时间 n〔以月为单位〕的二次函数,生产前1、前2、前3个月的累计收入分别可万元,以后稳定在第5个月的水平.同时该厂不但不受罚,而且还将得到环保部门一次性100万元的奖励.问经过多少个后的纯收入多于不改造时的纯收入.世界人口组织公布,地球上的人口在公元元年为2.5亿,1600年为5亿,1830年为10亿,1930年为20亿,1960年为50亿,到1999年底,地球上的人口数到达了60亿.请你根据20世纪人口增长规律推测,到哪年世界人口将到达100少人口？庆庆典活动的中央广场有数万名学生手持圆花组成大型图案方阵,方阵前排距观礼台120米,方阵纵列95人,每列长大能到达满意的观礼效果？某1000个人中有10个人患有一种病,现要通过验血把这10个病人查出来,假设采用逐个人化验的方法需化验999次坏情况下化验次数,如果碰巧,可能首先化验的10个人全是病人,10次化验就够了.下面讨论的化验次数均指最坏情少化验次数,人们采用分组化验的方法,即把几个人的血样混在一起,先化验一次,假设化验合格,那么这几个人全部正明这几个人中有病人,再对它们重新化验〔逐个化验,或再分成小组化验〕.一种分组化验方法使其化验次数尽可能地小,不超过100次.参考解答〕此时x=18,f(18)=65.472,g(18)=11.44 ,因此此书25.4万字〔254千字〕,所以最高稿酬为16629.888≈16629.89〔元〕,最低稿酬为11.44×254=2095.76 〔元〕解设长、宽、高分别为a,b,c 显然a>0,b>0,c>0. 假设a+b+c 一定〔≤158〕,,当且仅当a=b=c 时等号成立,因此箱子为正方体时体积最大.个正方体箱子的边长分别为a,b,(a>0,b>0). 由条件知3(a+b)≤273,,为求最大取等号,故得a+b=91代入b=91-a ,那么显然,当时, 有最小值,且题意及上述,要在且a+b=91 ,即 ,的条件下求f(a) 的最大值,而,于是得箱子的边长分别为厘米和厘米时,其体积之和为最大.即为：调查思考：商店出售的箱子三边长与计算所得误差很大,原因：〕正方体箱子不易携带.〕正方体箱子容量大,但易超重.很多货运箱的形状与手提行李箱相比,近似于正方体,由于货运箱可更多地考虑其容积问题.解设贷款额〔本金〕为A〔元〕,货款期限为n〔月〕,月利率为 ,月均还款额为B,令利金额,那么=n 时,,于是贷款期5年时,元,得总额 60B=11784.60,利息负担总额60B-A=1784.60 ,得到附表2上相应的值.货款利率后,还款款 60B=11408.4,总利息60B-A=1408.4 ,与原附表2中的同期货款的负提相比,每月少交6.27 元.一共n>60〔10年〕,, 同理可得,月均还款69.24,总还款16617.6,总利息6617.6,与原来比,每月省11.69元,共省2805.6元.解设不改造设备,按原条件生产,n 个月累计收入为a(n),改造设备后生产,n个月累计收入为b(n).由条于是101=b(1)=a+b+c204=b(2)=4a+2b+c309=b(3)=9a+3b+c方程组,得到a=1, b=100, c=0 于是简单计算可以发现,5个月内投资不能见效.这是由于b(5)-500+100=125<315=a(5)-[3+5+7+9+11],b(n)-500+100>a(n)-[3n+2n(n-1))/2] , (n>5),, 化简得时时,经过9个月投资才可见效.题目中的数据均为大致时间,粗略估计的量,带有较多的误差.因此寻找人口增长规律时不需要,也不应吻合.数据中20世纪以前的人口资料更加粗略,况且人口的预报准确程度主要受到20世纪人口增长规律时,不必要考虑20世纪以前的数据资料,在20世纪人口增长速度是逐渐变快的,因此用直线变化〔匀速的；做为人口增长的模型,一般可以使用指数关系 ,其中N(t) 为t 时人口数,a,r 为式取对数可得它是关于t 的线性模型,这里 ln为以e底的对数.利用1930~199 8.33,r=0.0162,(亿) (1930≤t≤1999)的拟合效果为〔人口单位：亿〕代1930 1960 1974 1987 1999数20 30 40 50 60数19.49 31.70 39.78 49.11 56.61,可用于预报.t)=100 ,可求出t=2030.84 ,故可知如果照此规律大约在2031年世界人口将到达100亿,而于2100年解下面给出一个简单的解法,但它是较粗糙的,不过也实用.满意,可以认为从观礼位置看到的纵列上每个花的局部是一样的.礼者居高a 米,从观礼位置看到的纵列上每个花的局部高度为b 米.意,每列从第一个人到最后一个人〔第95人〕有94个间空,列长192米,那么每列相邻二人平均间距约单起见,不妨设位于192米长的队列中点前后的两人间隔是2米,那么一、二排间距为 x米,那么〔米〕解我们给出如下的方法：00人中任取64人,把他们的血样混合化验〔一般地,n 个人中有k 个病人,令s 使,那么从人一组,当n=1000 ,k=10 时,这64人混合血样合格〔化验是阴性〕,那么这64个人正常,可排除,无需再化验,再从剩下未化验的人中.这64人混合血样不合格〔化验呈阳性〕,说明这64人中有病人.把这64个人,分为两组,每组32人.一组的混合血化验,即可确定有病人的一组.〔即只需化验一次,假设化验的这组血样成阴性,那么病人在样成阳性,这组有病人,但此时,另一组也可能有病人〕.作为最坏的可能情形,我们无法保证另一组的32人的一组后,把另一组人退回到未化验的人群中去.病人的这组32人,再分为两组,每组16人,重复上述过程.即化验一次,确定有病人的一组,把另一组退回下去,直到找到一个病人为止.至此一共化验了7次.未化验的人中任取64人重复上述过程.,对每次64人混合血化验成阳性的,通过7次化验可找到1个病人,由于共有10个病人,因此,这样的情形次.对每次64人混合血化验成阴性的,由于1000=15×64+40 ,化验次数不超过15次.的化验次数不超过70+15=85次.。

高中数学竞赛专题讲座---同余理论及其应用(二)

数论定理一. 知识要点1. 欧拉定理和费尔马小定理缩系的定义：设m 为正整数，一个模m 的剩余类称为与模m 互素的余类，如果它中的数与m 互素．在与模m 互素的各个剩余类中分别取一个代表所构成的集合称为模m 的一组缩系．很显然，缩系具有以下性质：（1）模m 的缩系中含有ϕ（m ）个数（ϕ（m ）是小于m 的正整数中且与m 互素的个数）．（2）设()m r r ϕ ,1是ϕ（m ）个与m 互素的整数，则()m r r ϕ ,1模m 两两不同余．（3）设()1,=m a ，且()m r r ϕ ,1是模m 的一组缩系，则()m ar ar ar ϕ,,,21 是模m 的一组缩系．欧拉（Euler ）定理：设m 是大于1的整数，a 为整数，且()1,=m a ，则()()m a m mod 1≡ϕ．For personal use only in study and research; not for commercial use解：设()m x x x ϕ,,,21 是模m 的缩系．因为()1,=m a ，所以()m ax ax ax ϕ,,,21 也是模m 的缩系．这两个缩系分别乘起来得()()()m x x x ax ax ax m m mod ·2121ϕϕ ≡，且()()1,21=m x x x m ϕ ．从而()()m a m mod 1≡ϕ )()m a m mod 1≡ϕ．特别地，取m 为质数p ，有费尔马（Fermat ）小定理：设p 为质数，a 为整数，p a ，则()p a p mod 11≡-．它也常常写成()p a a p mod ≡．这里不需假定p a ，但p 应为素数．For personal use only in study and research; not for commercial use2. 中国剩余定理（孙子定理）中国剩余定理：设k m m m ,,21是两两互质的正整数，k a a a ,,,21 是任意整数，则同余方程组()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≡=≡.mod ,mod ,mod 2211k k m a x m a x m a x 对模k m m m 21有唯一解．解：设()k i m m m m M iki ,,2,121 ==．依题设，有()1,=i i m M ，由裴蜀定理知，存在整数i b ，使得()i i i m b M mod 1≡，k i ,2,1=．对k k k M b a M b a M b a x +++= 222111，其中i i i M b a 能被k i i m m m m ,,,,111+-整除，而被i m 除的余数恰为i a ．从而∑==ki i i i M b a x 1是同余方程组的解．又设x ，y 均为同余方程组的解，则有y x m -1，y x m -2，…，y x m k -，即y x m m m k - 21，亦即()k m m m y x 21mod ≡．所以同余方程组对模k m m m 21有唯一解．3. 威尔逊（wilson ）定理威尔逊（wilson ）定理：设p 为质数，则()()p p mod 1!1-≡-．解：对于任意整数a ，且1≤a ≤p －1，由裴蜀定理知，存在整数a ’，使得()p aa mod 1'≡．称a ’为a 的数论倒数，且不妨设1≤a ’≤p －1．若有整数b ，满足()p ba mod 1'≡，则将此式两边同乘以a ，有()p a b mod ≡．这说明对于不同整数a ，1≤a ≤p －1，对应着不同的数论倒数a ’．又若整数a 的数论倒数是它自身，则()p a a mod 1≡⋅，亦即()()()p a a mod 011≡-+，故1≡a 或()p mod 1-．当2=p 时，显然有()()p p mod 1!1-≡-．当p ＞2时，有2，3，…，p －2这p －3个数恰好配成互为数论倒数的23-p 对数，故它们的积()()p p p mod 1123223≡≡-⨯⨯⨯- ．于是()()()p p p mod 1111!1-≡-⨯⨯≡-．4. 拉格朗日定理设p 为质数，n 是非负整数，多项式()01a x a x a x f n n +++= 是一个模p 为n 次的整系数多项式（即p a n ），则同余方程()()p x f mod 0≡ （※），至多有n 个解（在模p 的意义下）．证明：我们对n 用归纳法．当0=n 时，()0a x f =，因为p a 0，故同余方程（※）无解，命题成立．设当l n =时命题成立，则当1+=l n 时，若命题不成立，即同余方程（※）至少有2+l 个解，设为()p c c c x l mod ,,,221+≡ ①，我们考虑多项式()()()()()11111111c x a c x a c x a c f x f l l l l l l -++-+-=-+++ )()111c x a c l l-++- ()()()()x h c x x a c x l l 111-=+-=+ ②，其中()x h 是l 次多项式并且首项系数1+l a ，满足1+l a p ，从而由归纳假设知l 次同余方程()()p x h mod 0≡ ③，至多有个l 个解，但由①，②可知同余方程③至少有l ＋1个解．()p c c c x l mod ,,,232+≡ ，矛盾！故当1+=l n 时命题成立．综上所述，命题得证．二. 典型例题例1. 已知正整数k ≥2，k p p p ,,,21 为奇质数，且()1,21=k p p p a ．证明：()()()111121----k p p p a 有不同于k p p p ,,21的奇质因数．证明：由()1,21=k p p p a ，有()1,1=p a ．由费尔马小定理，()11mod 11p ap ≡-．又k ≥2，p p p ,,,32 k p p p ,,,32 为奇质数，则()()()211121---k p p p 为正整数，从而()()()()12111mod 121p ak p p p ≡--- ，即()()()12111121----k p p p ap .同理，()()()1211121--⋯--k p p p a能被P 2，P 3，…P k 整除，从而()()()1211121+-⋯--k p p p a不能被k p p p p ,,,,321 整除．注意到()()()211121---k p p p 是一个偶数，则()()()0211121≡---k p p p a或1（mod4），因此4不整除()()()1211121+---k p p p a，故()()()1211121+---k p p p a异于k p p p ,,,21 的奇质因数．所以()()()()()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-------1121111112121k k p p p p p p a a()()()⎪⎪⎭⎫⎝⎛+---1211121k p pp a有异于k p p p ,,,21 的奇质因数．例2. 对于自然数n ，如果对于任何整数a ，只要1-n a n ，就有12-na n ，则称n 具有性质P ．（34届IMO预）（1）求证：每个素数n 都具有性质P ．（2）求证：有无穷多个合数也都具有性质P ．证：（1）设p n =为素数且1-p a p ，于是()1,=p a ．由费尔马小定理知11--p a p ，而()()1111-+-=--a a a a p p ．故1-a p ，即()p a m o d 1≡．因此，()p a i mod 1≡，1,,2,1,0-=p i ．上述p 个同余式累和，得()p p a a a p p mod 0121≡≡++++-- ．故()()11212++++---a a a a p p p ，即12-pa p ．（2）设n 是具有性质P 的合数．若1-na n ，则()1,=a n ．由欧拉定理，有()()n a n mod 1≡ϕ，又因()n a n mod 1≡，由阶的性质知，()()()n a n n mod 1,≡ϕ．如果()()1,=n n ϕ，则()n a mod 1≡，于是利用（1）中证明可得12-na n ．因此，问题化为求无穷多个合数n ，使()()1,=n n ϕ．对任何素数p ≥5，取p －2的素因数q ，并令pq n =．这时()()()11--=q p n ϕ．因为()2-p q ，所以q (p －1)．又因q ≤p －2＜p ，故p (q －1)．因此，有()()1,=n n ϕ．对于每个这样的合数n ，若()1-na n ，则()1-a n ，因而()n a k mod 1≡，,2,1,0=k ．故()12-n a n ．因为对于每个素数p ≥5都可按上述程序得到具有性质P 的相应合数()p n ，且p ＜()p n ＜p 2，所以，有无穷多个合数n 具有性质P ．例3. 求所有整数n ≥2，满足：对所有的整数a ，b ，且()()1,,==n b n a ，()n b a mod ≡的充分必要条件是()n ab mod 1≡．（第41届IMO 预选题）解：若n 有奇素因子p ，设n p a||，记1n p n a⋅=，N a ∈．由中国剩余定理知，存在Z x ∈，使()n x mod 1≡，()a p x mod 2≡，则()1,=n x ．取x b a ==，即知()n x mod 12≡，从而()a p mod 14≡，故3=p ，且1=a ．因此()1,5=n ．取5==b a ，即知()n mod 125≡，从而24n ，故,12,8,6,4,3,2=n 24,12,8,6,4,3,2．下证：当n 取上述值时，满足条件．注意到，当2 a 时，有()8mod 12≡a ；当3 a 时，有()3mod 12≡a ，又24n ，32243⨯=，故必有()n a mo d 12≡（因为()1,=n a ）．对Z b a ∈,，且()()1,,==n b n a ，()n b a mod ≡，则()n ab mod 1≡．对Z b a ∈,，且()()1,,==n b n a ， ()n ab mod 1≡，则()n ab a mod 12≡≡．从而()a b a n -又()1,=n a ，有()b a n -，即()n b a mod ≡．综上，所求n 的值为2，3，4，6，8，12，24．例4. 求所有正整数n ，满足对所有的正整数n ，存在一个整数m ，使12-n是92+m 的因子．（第39届IMO 预选题）解：引理1：若p 为4k －1（k ≥2）型质数，则不存在Z m ∈，使()p m mod 92-≡．证明：设)p m m mod 31≡()p m m mod 31≡（∵()13,=p ，∴m 1存在），N m ∈1．又∵()p m mod 912-≡, ∴)(mod 121p m -≡．由费马小定理知，()()()p m m p p p mod 11121212111-=-≡=≡---，矛盾．引理2：当1≤i ＜j 时，有()112,1222=++ji )112,12=++j，且()13,122=+i ．证明：∵()()()()12mod 211121222222+≡+-≡+=+--i i j ij ij ，∴()()12,1212,12222=+=++ij i )()12,1212,122=+=++i j．又∵()()3mod 2111222≡+-≡+i i ，∴()()13,23,122==+i．对于原题，若()()9122+-m n，n ≥2．设t n S ⋅=2，2 t ．若t ≥3，则()()1212-+n t ，从而()()9122+-m t ．又必存在4k －1型素数p ，且3≠p ，()12-tp （否则，()4mod 1111121≡⨯⨯⨯≡-≡- t ，矛盾）．此时()92+m p ，与引理1矛盾．故t =1，从而S n 2=，且()()()1212123121212222+++⋅=--S S．由引理2及中国剩余定理知，存在N m ∈1，使()()12m o d 22211+≡-ii m ，i =1，2，…，s －1．故()((2m o d0121222211≡+≡+-i m )()()12mod 0122221+≡+≡-ii ．令13m m =，有()()()12mod 013922122-≡+=+Sm m ．因此，()()9122+-m n ．综上，所求正整数n 为2的幂次2i （i =1，2，…）．数论中存在性问题是最常见的，除了运用数论存在性定理来解决外，还需要有直接构造的能力．例5. 证明：每个正有理数能被表示成3333d c b a ++的形式，且其中a ，b ，c ，d 是正整数．（40届IMO 预选题）证明：设该正有理数为p ．（1）当⎪⎭⎫⎝⎛∈2,21p 时，()()()()333321121p p p p p -++-++=，其中2p －1，2－p ，p ＋1+∈Q ．（2）当p ≥2时，由于⎪⎭⎫ ⎝⎛∈⎪⎭⎫ ⎝⎛1,41323，故有N n ∈，使⎪⎭⎫ ⎝⎛∈⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛2,21323p n，由（1）有333333333322132132213223⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛=p p p p p n n n n n ．（3）当⎥⎦⎤ ⎝⎛∈21,0p 时，由于()4,1233∈⎪⎭⎫ ⎝⎛，故有N n ∈，使⎪⎭⎫ ⎝⎛∈⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛2,21233p n ，由（1）有333333333232123123212332⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛=p p p p p n n n n n ．综上，总有+∈Q d c b a m 1111,,,,，使()()31313131313131313d c mb ma d c b a m p ++=++⋅=,设ma 1，mb 1，c 1，d 1的分母公倍数为n ，则取N mna a ∈=1，N mnb b ∈=，N nc c ∈=1，N nd d ∈=1，且3333dc b a p ++=．结论成立．说明：这里是直接构造证明，首先发现恒等式()()()()333321121p p p p p -++-++=，进一步对p ≥2，或0＜p ≤21构造．例6. 证明：不存在非负整数k 和m ，使得()mk k ！14848+=+．证明：注意到0=k 或0=m 时，上述不定方程无解，于是，可设满足上述方程的k ，m 为正整数．（1）若1+k 为合数，设pq k =+1，2≤p ≤q ，注意到，应有48 | k ！．故k≥6，于是1＜2p ≤k ，故（1+k ）| k ！，进而（1+k ）| 48，结合1+k ≥7，可知1+k =8，12，24或48，分别代入，两边约去48后，可得矛盾．（2）若1+k 为质数，由威尔逊定理，可知k ！()1mod 1+-≡k ，于是，1+k | 47，进而1+k =47，这要求46！＋48=48×47m ①，从而m ＞1，两边除以48可知m 47148!46=+，两边模4，可知()()4mod 11≡-m ，故m 为偶数．设m =2k ，则由①可知2()()14714748!46+-=k k ，由232 |48!46，而()23mod 2147≡+k，故232 | 147-k，利用二项式定理()()223mod 146123247+≡+⨯=k k，从而23 | k ，进而m ≥46，这时，①式右边比左边大．矛盾．注：一般地，若n ＞4，且n 为合数，则n |（n －1）！，依此可以证明威尔逊定理的逆定理也成立．例7. 设p 是质数，证明：存在一个质数q ，使得对任意整数n ，数p n p-不是q 的倍数．（第44届IMO 试题）证明：由于()212mod 1111p p p p p p p p p +≡++++=--- ．则11--p p p 中至少有一个质因子q ，满足q 对2p 的模不等于1。

趣味数学知识竞赛试题

趣味数学知识竞赛试题趣味数学知识竞赛试题数学是一门充满趣味和挑战的学科，不仅可以锻炼我们的思维，还可以培养我们的解决问题的能力。

为了激发大家对数学的兴趣，我们精心策划了一场趣味数学知识竞赛。

以下是本次竞赛的部分试题，让我们一起来感受数学的魅力吧！一、填空题1、在一个正方形的池子中，青蛙跳到了一个角落上，它需要跳几次才能跳出池子？2、有一个长度为n的数组，其中每个元素的值都是1或-1。

请问，这个数组中相邻两个元素的乘积有多少种可能的取值？3、一个球的半径为r，将它放入一个圆柱形容器中，容器的高度也是r。

容器的底面积是S，那么球在容器中的最大高度是多少？二、选择题1、以下哪个函数是奇函数？ A. f(x) = x^2 B. f(x) = 2x C. f(x) = x+1 D. f(x) = sin x2、一个6位的二进制数，能被3整除的个数是多少？ A. 2个 B. 4个 C. 6个 D. 8个3、一个正六边形的半径为r，那么它的面积为多少？ A. 3/2πr^2 B. 3πr^2 C. 6/2πr^2 D. 6πr^2三、解答题1、求 (1+i)^8 的实部和虚部。

2、将1,2,3,...,n这n个整数放入一个数组中，使得相邻两个元素的差的绝对值最大。

求这个最大值。

3、一个球在一个坡道上进行滚动，球的速度v与球的中心到坡道平面的垂直距离h满足关系：v = gh/2v_0，其中g是重力加速度，v_0是球在水平面上滚动时的速度。

求球在坡道上滚动的加速度与球在水平面上滚动的加速度的比值。

四、应用题一个农民想要用篱笆围成一个长方形菜园，菜园的一侧是墙，篱笆的总长度为L。

菜园的两条短边的长度之和是x，长边的长度是y。

如何确定x和y的值，才能使得菜园的面积最大？请用数学方法解答此问题。

以上就是本次趣味数学知识竞赛的部分试题，希望大家能够积极参与，共同感受数学的魅力！趣味历史知识竞赛试题题目：趣味历史知识竞赛关键词：历史，知识竞赛，趣味，古代文明，历史人物，历史事件亲爱的读者们，你们好！今天，我们将一起踏上一段充满趣味和探索的历史之旅。

2005年全国高中数学联赛试题及参考答案

二○○五年全国高中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准说明：1．评阅试卷时，请依据本评分标准。

选择题只设6分和0分两档，填空题只设9分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准规定的评分档次给分，不要再增加其它中间档次。

2．如果考生的解题方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，5分为一个档次，不要再增加其他中间档次。

一、选择题（本题满分36分，每小题6分）本题共有6小题，每小题均给出A ，B ，C ，D 四个结论，其中有且仅有一个是正确的。

请将正确答案的代表字母填在题后的括号内。

每小题选对得6分；不选、选错或选出的代表字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分。

1．使关于x 的不等式36x x k -+-≥有解的实数k 的最大值是（） A ．63- B ．3 C ．63+ D ．6 解：令36,36,y x x x =-+-≤≤则2(3)(6)2(3)(6)2[(3)y x x x x x =-+-+--≤-(6)] 6.x +-=06,y k ∴<≤∴实数的最大值为6。

选D 。

2．空间四点A 、B 、C 、D 满足,9||,11||,7||,3||====DA CD BC AB 则BD AC ⋅的取值（）A ．只有一个B ．有二个C ．有四个D ．有无穷多个解：注意到,9711301132222+==+由于,0 =+++DA CD BC AB 则22DA DA ==-=⋅+⋅+⋅+++=++22222)(2)(AB AB CD CD BC BC AB CD BC AB CD BC AB +++-=⋅+⋅+⋅+++AB CD BC AB AB CD CD BC BC AB BC CD BC (2)(2222222),()CD BC BC +⋅即BD AC CD AB BC AD BD AC ⋅∴=--+=⋅,022222只有一个值得0，故选A 。

湖南省高中数学竞赛试题

2010年湖南省高中数学竞赛试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．若()f x 是R 上周期为5的奇函数，且满足()18f =，则()()20102009f f -=（）.A ．6B ．7C ．8D ．92．对于非零向量,a b 有两个命题有两个命题. . 命题甲：a b ⊥；命题乙：函数()()()f x xa b xb a =+⋅-为一次函数为一次函数. . 则甲是乙的（）条件）条件. .A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充分必要D ．既不充分也不必要3．如图，若Ω是长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1被平面EFGH 截去几何体EFGHB 1C 1后得到的几何体，其中E 为线段A 1B 1上异于B 1的点，F 为线段BB 1上异于B 1的点，且EH ∥A 1D 1，则下列结论中不正确的是A ．EH ∥FGB ．四边形EFGH 是矩形C ．Ω是棱柱D ．Ω是棱台4．如图，在半径为1r =的圆内作内接正六边形，再作正六边形的内切圆，又在此内切圆内作内接正六边形，如此无限继续下去，设n S 为前n 个圆的面积之和个圆的面积之和. . . 取正数取正数9933π4ξ⎛⎫= ⎪⎝⎭. . 若若4πn S ξ-<，则n 的取值为（）.A ．大于100的所有自然数的所有自然数B ．大于100的有限个自然数的有限个自然数C ．不大于100的所有自然数的所有自然数D ．不大于100的有限个自然数的有限个自然数 5．设直线2x =与双曲线22:14xy Γ-=的渐近线交于点1E 、2E ，记11OE e =，22OE e =，任取双曲线Γ上的点P . . 若若()12OP ae be a b =+∈R 、，则（，则（））. A ．2201a b <+< B ．22102a b <+< C ．221a b +≥ D ．2212a b +≥6．一厂家有一批长40cm 40cm、宽、宽30cm 的矩形红布的矩形红布. . . 现该厂家要将每块矩形红布剪一次后现该厂家要将每块矩形红布剪一次后拼成一面三角形旗子拼成一面三角形旗子. . . 则红布可以拼成三角形旗子的种数是（则红布可以拼成三角形旗子的种数是（则红布可以拼成三角形旗子的种数是（））. A ．1 B ．2 C ．3 D ．4二、填空题7．设定义在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上的函数6cos y x =的图象与5tan y x =的图象交于点P ，过点P 作x 轴的垂线，垂足为1P ，直线1PP 与函数sin y x =的图象交于点2P ，则线段12PP 的长为________.8．在等比数列{}n a 中，11a =，20104a =，函数()()()()122010f x x x a x a x a =--⋅⋅⋅-.则函数()y f x =在点()0,0处的切线方程为______.9．如果执行图所示的程序，输入正整数n 、()m n m ≥，那么，输出的p 等于______.10．已知y =f f((x x))为区间[0,10,1]]上的连续函数，且恒有0≤f f((x x))≤1，可以用随机模拟方法近似计算积分∫f (x )10d x . . 先产生两组（每组先产生两组（每组N 个）区间[0,1]上的均匀随机数x 1,x 2,⋅⋅⋅,x N 和y 1,y 2,⋅⋅⋅,y N ，由此得到N 个点(x i ,y i )(i =1,2,⋅⋅⋅,N )；再数出其中满足y i ≤f f((x i )()(i i =1,2,⋅⋅⋅,N N))的点数N 1. . 那么，由随机模拟方法可得积分那么，由随机模拟方法可得积分∫f f((x x))d x 10的近似值为______.11．设n a 是()()32,3,nxn -=⋅⋅⋅的二项展开式中x 的系数的系数.. . 则则1823nn n a ==∑______. 12．若三个非零的实数()()()x y z y z x z y x ---，，成等比数列，则其公比是______.13．设函数()2π4sin sin cos 242x f x x x ⎛⎫=⋅++ ⎪⎝⎭．若()2f x m -<成立的充分条件是π2π63x ≤≤，则实数m 的取值范围是______．14．空间有五个点，任意四点不共面．空间有五个点，任意四点不共面. . . 若连了若干条线段而图中不存在四面体，则图中若连了若干条线段而图中不存在四面体，则图中三角形个数的最大值为______.三、解答题15．已知当[]1,e x ∈时，不等式()21ln 12a x x a x ≤-++恒成立恒成立. . . 试求实数试求实数a 的取值范围范围. .16．如图，1O 、2O 在O 内滚动且始终保持与O 内切，切点分别为P 、Q ，MN是1O 和2O 的外公切线的外公切线. . . 已知已知1O 、2O 、O 的半径分别为1r 、2r 、R . . 求证：求证：22MNPQ为定值为定值. .17．设椭圆22122:1x y C a b +=，22222:1x yC m n +=，过原点O 引射线分别与椭圆1C 、2C 交于点A 、B ，P 为线段AB 上一点上一点. .（1）求证：OA 、OP 、OB 成等比数列的充要条件点P 的轨迹方程为222232222:1xy x y C a b m n ⎛⎫⎛⎫++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.（2）试利用合情推理，将（1）的结论类比到双曲线得出相应的正确结论（不要求证明）. 18．设12,,,n a a a ⋅⋅⋅是整数1，2，…，n 的一个排列，且满足的一个排列，且满足（1）11a =；（2）()121,2,,1i i a a i n +-≤=⋅⋅⋅-.记上述排列的个数为()f n . . 试求试求()2010f 被3除的余数除的余数. .参考答案1．C 【解析】【详解】由()f x 是R 上周期为5的奇函数，则()()()()()()2010200901018f f f f f f -=--=+=. 故答案为:C 2．B 【解析】【解析】【详解】注意到222()()f x a bx b a x a b =⋅+--⋅，a b ⊥⇔0a b ⋅=. 而0a b ⋅=时，()f x 可能是常数函数，不一定为一次函数可能是常数函数，不一定为一次函数. .而f(x)f(x)是一次函数，必有是一次函数，必有0a b ⋅=. 所以甲是乙的必要不充分条件所以甲是乙的必要不充分条件. . 故答案为B 3．D 【解析】若FG 不平行于EH ，则FG 与EH 相交，交点必然在B 1C 1上，与EH ∥B 1C 1矛盾，所以FG ∥EH ；由EH ⊥平面A 1ABB 1，得到EH ⊥EF ，可以得到四边形EFGH 为矩形，将Ω从正面看过去，就知道是一个五棱柱，C 正确；D 没能正确理解棱台的定义与题中的图形．没能正确理解棱台的定义与题中的图形． 4．A 【解析】【详解】记第n 个圆的半径为n r . 易知，132n n r r -=，圆面积134n n a a -=，211ππa r ==.则213134π4π13414nn n S r ⎛⎫- ⎪⎡⎤⎛⎫⎝⎭=⋅=-⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-. 由99334π4π3π44nn S ⎛⎫⎛⎫-=< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得1003310044nn ⎛⎫⎛⎫⇒ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故答案为:A 5．D 【解析】【解析】【详解】【详解】易求得()12,1E ，()22,1E -.则()1222,OP ae be a b a b =+=+-.由点P 在双曲线上得()()222214a b a b +--=，化简得41ab =.故22122a b ab +≥=.故答案为D 6．D 【解析】【详解】【详解】如图所示，共有四种不同的拼法如图所示，共有四种不同的拼法. .故答案为：D 7．23. 【分析】【分析】画出函数6cos y x =，5tan y x =，sin y x =在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上的图象，如图所示上的图象，如图所示. .观察图象可知，线段12PP 的长即为满足6cos 5tan x x =时对应的sin x 的值，再求出sin x 的值即得解值即得解. . 【详解】画出函数6cos y x =，5tan y x =，sin y x =在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上的图象，如图所示上的图象，如图所示. .观察图象可知，线段12PP 的长即为满足6cos 5tan x x =时对应的sin x 的值，的值，所以sin 6cos 5tan =5cos xx x x=⋅，所以26cos 5sin x x = 因为22sin cos 1x x +=，0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，0sin 1x ∴<<，则26sin 5sin 60x x +-=，所以2sin 3x =，故线段12PP的长为23. 故答案为：23.【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，考查同角的三角函数关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 8．20102y x =【解析】【详解】【详解】令()()()()122010g x x a x a x a =--⋅⋅⋅-.则()()f x xg x =.因为()()()f x g x xg x ='+'，所以，()()()20102010212201012010002f g a a a a a ==⋅⋅⋅=='.故在点()0,0处的切线方程为20102y x =.故答案为：20102y x =9．m nA 【解析】【详解】由图可知由图可知()()12mn P n m n m n A =-+-+⋅⋅⋅=.故答案为：mn A10．N 1N【解析】因为0≤f(x)≤1且由积分的定义知：∫f(x)10dx 是由直线x ＝0，x ＝1及曲线y ＝f(x)与x 轴所围成的面积，又产生的随机数对在如图所示的正方形内，正方形面积为1，且满足y i ≤f(x i )的有N 1个点，即在函数f(x)的图象上及图象下方有N 1个点，所以用几何概型的概率公式得：f(x)在x ＝0到x ＝1上与x轴围成的面积为N 1N ×1＝N 1N ，即∫f(x)10dx ＝N 1N .考点：定积分的定义、几何概型. 11．17 【解析】【详解】因为223Cn nn a -=，所以，()()23218311nn a n n n n =⨯=--. 从而，()1818223118171nn n n a n ====-∑∑.故答案为：1712．152±【解析】【解析】【详解】注意到()()()x y z y z x z y x -+-=-,所以，所以，()()()()()()()()1y z x z y x y z x z y x xy z x y z x y z y z x ----+==⋅---- 即21q q += (q 为公比）为公比）. .解得152q ±=. 13．()1,4【解析】【详解】【详解】()()2π1cos 24sin cos22sin 1sin 12sin 12sin 2x f x x x x x x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=⋅+=++-=+．当π2π63x ≤≤时，()2f x m -<恒成立，即()()22f x m f x -<<+恒成立．恒成立．故有()()()()maxmin22f x m f x -<<+．易知()max 3f x=，()min 2f x =．故14m <<．14．4 【解析】【解析】【详解】首先构造下左图首先构造下左图..已知其符合条件且恰有四个三角形已知其符合条件且恰有四个三角形. . 下面假设存在某种情况使三角形的个数不少于五个下面假设存在某种情况使三角形的个数不少于五个. .若仅有两条线段未连，则这两条线段必无公共端点（如下左图），否则存在四面体，否则存在四面体. . . 但仅有但仅有四个三角形，矛盾四个三角形，矛盾. .若至少有三条线段未连，当有某条线段作为三个三角形的边时，如上右图，仅有三个三角形；当每条线段至多作为两个三角形的边时，则至多有()25C 3243⎡⎤-⨯⎢⎥=⎢⎥⎣⎦个三角形个三角形.. 故答案为：故答案为：4 4 15．(())()2e 2ee 2e 1a g -≥=-【解析】【解析】【详解】不等式可化为()2ln 2xa x x x -≥-.因为[]1,e x ∈，所以，ln 0x x ->.于是，不等式化为22ln xx a x x-≥-.设()[]()221,eln x x g x x x x -=∈-. . 注意到注意到()()()211ln 20ln xx x g x x x⎛⎫-+- ⎪⎝⎭=>-'，其中，()1,e x ∈，且()g x 在1x =和e x =处连续，所以，()g x 在[]1,e x ∈上为增函数上为增函数. .故()()2e 2e e 2e 1a g -≥=-.16．见解析．见解析【解析】【解析】【详解】设12O OO θ∠=，易知，1O 、2O 分别在线段OP 、OQ 上，且1O M MN ⊥，2O N MN ⊥. 则()2221212MN O O r r =--. ① 在12O OO 中，由余弦定理得中，由余弦定理得 ()()()()2221212122cos O O R r R r R r R r θ=-+----()()()()2121221cos r r R r R r θ=-+---. 将上式代入式①得将上式代入式①得()()()21221cos MN R r R r θ=---.又()2221cos PQ R θ=-，故()()21222R r R r MN PQ R--=为定值为定值. . 17．（1）见解析；（2）见解析）见解析【解析】【详解】【详解】（1）设射线OA 的参数方程为()02π,0x tcos t y tsin θθθ=⎧≤≤>⎨=⎩. 设()11cos ,sin A t t θθ，()22cos ,sin B t t θθ，()33cos ,sin P t t θθ. 将点A 的坐标代入1C 的方程，整理得2222211cos sin t a b θθ=+. 再将3sin y t θ=，3cos x t θ=，代入上式化简得2222221311x y t t a b ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. 同理，2222222311x y t t m n ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. 故OA 、OP 、OB 成等比数列成等比数列2123224123111t t t t t t ⇔=⇔⋅= 222222221x y x y a b m n⎛⎫⎛⎫⇔++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭. （2）设双曲线1C 、2C 的方程分别为()222210,0x y a b a b -=>>和()222210,0x ym n m n -=>>. 过原点O 引射线分别与曲线1C 、2C 交于点A 、B ，P 为线段AB 上一点，则OA 、OP 、OB 成等比数列的充要条件是点P 的轨迹方程为222232222:1x y x y C a b m n ⎛⎫⎛⎫--= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.18．见解析．见解析【解析】【解析】【详解】可验证()11f =，()21f =，()32f =. 设4n ≥. . 则则22a =或3.对于22a =，排列数是()1f n -. . 这是因为通过删除第一项，这是因为通过删除第一项，这是因为通过删除第一项，且以后所有项都减且以后所有项都减1，可以建立一一对应的数列立一一对应的数列. .对于23a =，若有32a =，则44a =，这样排列数为()3f n -；若32a ≠，则2一定排在4的后面，由此得出所有奇数顺序排列的后面是所有偶数的倒序排列的后面，由此得出所有奇数顺序排列的后面是所有偶数的倒序排列. . 因此，()()()131f n f n f n =-+-+. 设()r n 是()f n 除以3的余数的余数. . 则(())(())121r r ==，(())32r =. 当4n ≥时，()()()()131mod3r n r n r n ⎡⎤≡-+-+⎣⎦. 由此得(){}r n 构成周期为8的数列：的数列：11，1，2，1，0，0，2，0，….，…. 因(())20102mod8≡，所以，(())20101r =，即(())2010f 被3除的余数为1.。