托马斯微积分ThomasCALCULUS课后习题答案附录
托马斯微积分第13版第七章答案
(b)
(c)
df dx x 1
2, dx
df 1 x 1
1 2
Copyright 2016 Pearson Education, Ltd.
CHAPTER 7 TRANSCENDENTAL FUNCTIONS
7.1 INVERSE FUNCTIONS AND THEIR DERIVATIVES 1. Yes one-to-one, the graph passes the horizontal line test. 2. Not one-to-one, the graph fails the horizontal line test. 3. Not one-to-one since (for example) the horizontal line y 2 intersects the graph twice. 4. Not one-to-one, the graph fails the horizontal line test. 5. Yes one-to-one, the graph passes the horizontal line test. 6. Yes one-to-one, the graph passes the horizontal line test. 7. Not one-to one since the horizontal line y 3 intersects the graph an infinite number of times. 8. Yes one-to-one, the graph passes the horizontal line test. 9. Yes one-to-one, the graph passes the horizontal line test. 10. Not one-to one since (for example) the horizontal line y 1 intersects the graph twice. 11. Domain: 0 x 1, Range: 0 y 12. Domain: x 1, Range: y 0
托马斯微积分
Figure 2.43: The balloon in Example 3.
Chapter 2 ET. Finney Weir Giordano, Thomas’ Calculus, Tenth Edition © 2001. Addison Wesley Longman All rights reserved. Chapter 2ET, Slide 7
Figure 2.31: sin (x°) oscillates only /180 times as often as sin x oscillates. Its maximum slope is /180. (Example 9)
Chapter 2 ET. Finney Weir Giordano, Thomas’ Calculus, Tenth Edition © 2001. Addison Wesley Longman All rights reserved. Chapter 2ET, Slide 15
Figure 2.51: The position of the curve y = (a h – 1) /h, a > 0, varies continuously with a.
Chapter 2 ET. Finney Weir Giordano, Thomas’ Calculus, Tenth Edition © 2001. Addison Wesley Longman All rights reserved. Chapter 2ET, Slide 16
微积分课后习题六答案
微积分课后习题六答案微积分课后习题六答案微积分是一门重要的数学学科，它研究的是函数的变化和极限。
在学习微积分的过程中，课后习题是巩固知识和提高能力的重要途径。
本文将为大家提供微积分课后习题六的答案，希望能帮助大家更好地理解和掌握微积分知识。
1. 求函数f(x) = x^2在区间[0,1]上的定积分。
解：根据定积分的定义，我们可以将区间[0,1]等分成n个小区间，每个小区间的长度为Δx = (1-0)/n = 1/n。
然后，我们在每个小区间中选择一个代表点xi，计算函数在该点的函数值f(xi)，并将其乘以小区间的长度Δx。
最后，将所有小区间的函数值乘以对应的长度Δx后相加，即可得到定积分的近似值。
当n趋向于无穷大时，这个近似值将趋向于定积分的真实值。
即：∫[0,1] x^2 dx = lim(n→∞) ∑[i=1,n] f(xi)Δx= lim(n→∞) ∑[i=1,n] (xi)^2 * (1/n)= lim(n→∞) (1/n) * ∑[i=1,n] (xi)^2由于区间[0,1]上的任意小区间长度都是相等的，所以我们可以将其简化为：∫[0,1] x^2 dx = lim(n→∞) (1/n) * ∑[i=1,n] (i/n)^2= lim(n→∞) (1/n) * ∑[i=1,n] i^2/n^2= lim(n→∞) (1/n^3) * ∑[i=1,n] i^2根据数学公式∑[i=1,n] i^2 = n(n+1)(2n+1)/6，代入上式，得到：∫[0,1] x^2 dx = lim(n→∞) (1/n^3) * [n(n+1)(2n+1)/6]= lim(n→∞) (2n^3 + 3n^2 + n)/(6n^3)= 1/3所以，函数f(x) = x^2在区间[0,1]上的定积分为1/3。
2. 求函数f(x) = e^x在区间[0,2]上的定积分。
解：与上题类似，我们可以将区间[0,2]等分成n个小区间，每个小区间的长度为Δx = (2-0)/n = 2/n。
托马斯微积分 几何与多元微积分B上 - 副本
2 2x 2x 2x csc , 2 csc ；13. e xy ( xy y 2 1) , e xy ( xy x 2 1) ； y y y y
； 15. 4
2 2z z x 2 x2 y ln y , x ( x 1 ) y , 2 2 x y 2z y x 1 ( x ln y 1) . xy
sin xy 11. lim ； x 0 x y 0
z x z 12.设 z ln tan ,则 ________; _________. x y y z z xy 13.设 z e ( x y ), 则 _______; ________. x y
x2 y2 z 14.曲线 4 ,在点(2,4,5)处的切线与正向 x 轴所成 y 4 的夹角是多少? 2 2 2 z z z x . 15.设 z y ,求 2 , 2 和 xy x y
参考答案
1. 0; 2. (ln 3)/2; 3. 3; 4. ½;5. 2;6. 1/24;
1).理解序列、子序列、有界序列的概念， 以及递归法定义序列。 2). 会判别序列的敛散性, 会求序列极限。
8.3 无穷级数 8.4 非负项级数 8.5交错级数、绝对收敛和条件收敛
1).理解常数项级数的概念、了解收敛级数的性质。 2). 对正项级数、交错级数会判断其敛散性。 3). 对任意项级数会判断绝对收敛与条件收敛。
7、函数 z
y 的定义域是______________. y 8、函数 z arcsin 的定义域是_______________. x y2 2x 9、函数 z 2 的间断点是________________. y 2x
x
微积分课后题答案习题详解
第二章习题2-11. 试利用本节定义5后面的注（3）证明：若lim n →∞x n =a ,则对任何自然数k ，有lim n →∞x n +k =a .证：由lim n n x a →∞=，知0ε∀>，1N ∃，当1n N >时，有取1N N k =-，有0ε∀>，N ∃，设n N >时（此时1n k N +>）有 由数列极限的定义得 lim n k x x a +→∞=.2. 试利用不等式A B A B -≤-说明：若lim n →∞x n =a ,则lim n →∞∣x n ∣=|a|.考察数列x n =(-1)n ，说明上述结论反之不成立. 证：而 n n x a x a -≤- 于是0ε∀>，,使当时，有N n N ∃>n n x a x a ε-≤-< 即 n x a ε-<由数列极限的定义得 lim n n x a →∞=考察数列 (1)nn x =-，知lim n n x →∞不存在，而1n x =，lim 1n n x →∞=，所以前面所证结论反之不成立。
3. 利用夹逼定理证明：(1) lim n →∞222111(1)(2)n n n ⎛⎫+++ ⎪+⎝⎭=0； (2) lim n →∞2!nn =0.证：（1）因为222222111112(1)(2)n n n n n n n n n n++≤+++≤≤=+ 而且 21lim0n n →∞=，2lim 0n n→∞=，所以由夹逼定理，得222111lim 0(1)(2)n n n n →∞⎛⎫+++= ⎪+⎝⎭. （2）因为22222240!1231n n n n n<=<-，而且4lim 0n n →∞=，所以，由夹逼定理得4. 利用单调有界数列收敛准则证明下列数列的极限存在. (1) x n =11n e +，n =1,2,…；(2) x 1x n +1,n =1,2,…. 证：（1）略。
托马斯微积分-Thomas` CALCULUS 课后习题答案附录1
牛顿(1642 – 1727)
伟大的英国数学家 , 物理学家, 天文 学家和自然科学家. 他在数学上的卓越 贡献是创立了微积分. 1665年他提出正 流数 (微分) 术 , 次年又提出反流数(积分)术,并于1671 年完成《流数术与无穷级数》一书 (1736年出版). 他 还著有《自然哲学的数学原理》和《广义算术》等 .
麦克劳林 (1698 – 1746)
英国数学家, 著作有: 《流数论》(1742) 《有机几何学》(1720) 《代数论》(1742)
在第一本著作中给出了后人以他的名字命名的 麦克劳林级数 .
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欧拉 (1707 – 1783)
瑞士数学家. 他写了大量数学经典 著作, 如《无穷小分析引论 》, 《微 分学原理 》, 《积分学原理》等, 还 写了大量力学, 几何学, 变分法教材. 他在工作期间几乎每年都完成 800 页创造性的论文. 他的最大贡献是扩展了微积分的领域, 为分析学的重 要分支 (如无穷级数, 微分方程) 与微分几何的产生和 发展奠定了基础. 在数学的许多分支中都有以他的名 字命名的重要常数, 公式和定理.
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莱布尼兹(1646 – 1716)
德国数学家, 哲学家. 他和牛顿同为 微积分的创始人 , 他在《学艺》杂志 上发表的几篇有关微积分学的论文中, 有的早于牛顿, 所用微积分符号也远远优于牛顿 . 他还设计了作乘法的计算机 , 系统地阐述二进制计 数法 , 并把它与中国的八卦联系起来 .
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狄利克雷 (1805 – 1859)
德国数学家. 对数论, 数学分析和 数学物理有突出的贡献, 是解析数论 的创始人之一, 他是最早提倡严格化 方法的数学家. 1829年他得到了给定 函数 f (x) 的傅立叶级数收敛的第一个充分条件; 证明 了改变绝对收敛级数中项的顺序不影响级数的和, 并 举例说明条件收敛级数不具有这样的性质. 他的主要 论文都收在《狄利克雷论文集》 (1889～1897)中.
微积分课后习题答案
微积分第八章课后习题答案习题8-11.（1）一阶；（2）二阶；（3）一阶；（4）三阶；（5）三阶；（6）一阶；（7）二阶；（8）一阶。
2.（1）、（2）、（3）、（4）、（5）都是微分方程的通解。
3.122yx.4.将所给函数及所给函数的导数代人原方程解得：21()(1)2u x x dxxx C .习题8-21.（1）原式化为：ln dy x y ydx分离变量得：11ln dy dxy yx 两边积分得：11ln dydxy y x 计算得：11ln ln d ydxyx即：1ln ln ln y x C 整理：1ln yC x所以：原微分方程的通解为：Cxye ；（2）原式化为：2211y x dyx ydx分离变量得：2211y x dydx yx两边积分得：2211yxdydx y x 计算得：22221111112211d yd xy x即：221ln 1ln 1yx C 整理：22(1)(1)y x C所以：原微分方程的通解为：22(1)(1)yxC ；（3）原式化为：21x dyxydx分离变量得：211x dydxyx两边积分得：211x dydxy x 计算得：2211ln 121yd xx即：21ln 1y x C 整理：21xyCe所以：原微分方程的通解为：21x y Ce；（4）1yeCx ；（5）sin 1yC x ；（6）1010xyC ；（7）22ln 22arctan y y xx C ；（8）当sin02y 时，通解为ln |tan |2sin42y y C；当sin02y 时，特解为2(0,1,2,)y k k ；（9）222ln x yx C ；（10）22ln ln xyC 。
2.（1）tan2x y e；（2）(1)sec 22xe y ；（3）2(1)22yxe y ；（4）1ln |1|1a x a y；（5）24x y；（6）323223235y yxx；（7）sin yx ；（8）cos 2cos 0xy。
托马斯微积分ThomasCALCULUS课后习题答案附录
参数的几何意义: t tan
图形在第四象限
t (1, 0] (34 , ]
图形在第二象限
t
[0
,
)
[0
,
2
)
图形在第一象限
结束
笛卡儿叶形线(续)
x
3at 1t 3
y
3at 2 1t 3
t 1
y A
a o
x
a
• 结点: 在该点与 x 轴 y 轴相切, 曲率半径为
• 顶点:
a
a
点击图中任意点 动画开始或暂停
结束
Special plane curves
(1) Cubic parabola 三次抛物线
(3) Probability curve 概率曲线
(2) Root cubic parabola 半立方抛物线
(4) Witch 箕舌线 (5) Cissoid 蔓叶线
(6) folium笛卡儿叶形线
(7) Star curve星形线 (8) cycloid摆线
(9) cardioid心形线
(10) Hyperbolic spiral 双曲螺线
(11) Logarithmic curve 对数螺线
(12) Archimedes spiral 阿基米德螺线
(13) Lemniscate of Bernoulli 伯努利双纽线
(14) Three-leaved rose 三叶玫瑰线
结束
Witch 箕舌线
或
y a
• 轨迹 : M是直径为a 的圆上的动点, Q是射线OM与 y = a 的交点, QP⊥x 轴 , MP∥x 轴
P点轨迹即为箕舌线 .
t
o
[托马斯微积分.第11版.(附带习题答案)].review1
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tan x
(d)
dx
(ln cos x)2
√
3
2
(e)
arctan 2t dt
0
3 dx (f )
0 x−1
x
(g)
dx
(x − 3)2
ln(ln 3)
(h)
eexex dx
ln(ln 2)
1 + 4x
(i) √
dx
1 + x + 2x2
4
1 (j) x2 − 4x + 8 dx
0
1
√ x
(k)
√ dx
∞1 (u) −∞ ex + e−x dx
4
1
(v) 1 x2 − 5x + 6 dx
dx (w)
x(ln x)2
π
2
sin x
(x)
dx
1 + cos x
0
sin(e−2x)
(y)
e2x dx
4
√
ex
(z) √
√ dx
x(1 + e x)
1
Math 222—Exam 1 Review
2
2. Determine whether the following integrals converge or diverge.
5. A chemical manufacturing company has a 1000-gallon holding tank which it uses to control the release of pollutants into a sewage system. Initially the tank has 360 gallons of fluid containing 2 pounds of pollutant per gallon. Fluid containing 3 pounds of pollutant per gallon enters the tank at the rate of 80 gallons per hour and is uniformly mixed with the fluid already in the tank. Simultaneously, fluid is released from the tank at the rate of 40 gallons per hour. Determine how many pounds of pollutant is present in the tank after one hour.
托马斯微积分第一章节与第二章节练习题
Assignment-11.Find the domain and range of the function y =tan(2x −π).2.If f (x )=2−x and g (x )=3√x +1,find(1)(f ◦g )(−1)(2)(g ◦f )(2)(3)(f ◦f )(x )(4)(g ◦g )(x )3.Write formulas for (f ◦g )and (g ◦f )and find the domain and range of each.f (x )=√x ,g (x )=√1−x .4.Sketch the graphs of f and (f ◦f ),wheref (x )=x +1,−2≤x <0x −1,0≤x ≤212Assignment-1 .5.Describe how each graph is obtained from the graph of y=f(x)(a).y=f(x−5)(b).y=f(4x)(c).y=f(−3x)(d).y=f(2x+1))−4(e).y=f(x3(f).y=−3f(x)+146.ABC is a right triangle with the right angle at C.The sides opposite angle A,B and C are a,b andc respectively.a.Find a and b if c=2,B=π/3b.Find a and c if b=2,B=π/3c.Express sin A in terms of a and cd.Express sin A in terms of b and c7.Find the average rate of change of the function over the given intervals.h(t)=cot t, a.[π/4,3π/4] b.[π/6,π/2]3.8.Find (a)the slope of the curve at the given point P,and (b)an equation of the tangent line at P .(1).y =x 2−4x ,P :(1,−3)(2).y =2−x 3,P :(1,1)9.Explain why the limit does not exist limx →0x|x |10.If f (1)=5,must lim x →1f (x )exist?If it does,then must lim x →1f (x )=5?Can we conclude anything about lim x →1f (x )?Explain.11.Find the limits.1).lim h →0√5h +4−2h4Assignment-12).lim y →05y 3+8y 23y 4−16y 212.Suppose that lim x →−2p (x )=4,lim x →−2r (x )=0,and lim x →−2s (x )=−3.Finda.lim x →−2(r (x )+p (x )+s (x ))b.lim x →−2p (x )·r (x )·s (x )c.lim x →−2(−4p (x)+5r (x ))s (x )13.Let G (x )=(x +6)/(x 2+4x −12).a.Make a table of the values of G at x =−5.9,−5.99,−5.999and so on.Then estimate lim x →−6G (x ).What estimate do you arrive at if you evaluate G at x =−6.1,−6.01,−6.001,···instead?b.Support your conclusion in part(a)by graphing G and using Zoom and Trace to estimate y −valueson the graph as x →−6.c.Find lim x →−6G (x )algebraically.14.If lim x →0f(x )x 2=1,finda.lim x →0f (x )b.lim x →0f (x )x。
托马斯微积分第13版第三章答案
lim
2
( x3 3 x 2 h 3 xh 2 h3 3 x 3h ) ( x3 3 x ) h h 0
2 2 h 3 3h lim 3 x h 3 xh h
h 0
lim (3x 3xh h 3) 3 x 3; 3x 3 0 x 1 or x 1. Then f (1) 2 and f (1) 2 (1, 2)
h 0
x 2. Then f (2) 4 8 1 5 (2, 5) is the point on the graph where there is a horizontal tangent.
26. 0 m lim
2 h 0
[( x h )3 3( x h )]( x3 3 x ) h h 0
1 1 ( x h ) 1 x 1
( x 1) ( x h 1)
( x h) x x x h m lim x h lim x h x h x lim lim 1 . 28. 1 4 h h 2 x x h x h 0 h x h x h 0 h x h x h 0 h 0 x 1 1 1 x 2 x 4 y 2. The tangent line is y 2 4 ( x 4) 4 1. Thus, 4 2 x f (2 h ) f (2) h h 0
P (5) lim
h 0
24. (a) From t 0 to t 3, the derivative is positive. (b) At t 3, the derivative appears to be 0. From t 2 to t 3, the derivative is positive but decreasing. 25. At a horizontal tangent the slope m 0 0 m lim
微积分课后习题答案
微积分课后习题答案微积分课后习题答案微积分是数学中的一门重要学科，它研究的是函数的变化和极限。
在学习微积分的过程中，课后习题是非常重要的一环。
通过做习题，我们可以巩固课堂上所学的知识，提高自己的解题能力。
然而，有时候我们可能会遇到一些难题，无法找到正确的解答。
因此，本文将为大家提供一些微积分课后习题的答案，希望能够帮助大家更好地理解微积分的知识。
一、函数的极限1. 求函数f(x) = (3x^2 + 2x + 1)/(2x^2 + x - 3)当x趋近于2时的极限。
解答：将x代入函数f(x)的表达式中，得到f(2) = (3(2)^2 + 2(2) + 1)/(2(2)^2 +2 - 3) = 13/9。
因此，当x趋近于2时，函数f(x)的极限为13/9。
2. 求函数f(x) = (x^2 - 4)/(x - 2)当x趋近于2时的极限。
解答：将x代入函数f(x)的表达式中，得到f(2) = (2^2 - 4)/(2 - 2) = 0/0。
此时，函数f(x)的极限不存在。
二、导数与微分1. 求函数f(x) = 3x^2 - 4x的导数。
解答：根据导数的定义，导数f'(x) = lim(h→0) [(f(x + h) - f(x))/h]。
将函数f(x)代入该定义中，得到f'(x) = lim(h→0) [(3(x + h)^2 - 4(x + h) - (3x^2 - 4x))/h]。
化简后可得f'(x) = 6x - 4。
2. 求函数f(x) = x^3 - 2x^2 + 3x - 4的微分。
解答：微分df(x) = f'(x)dx。
将函数f(x)的导数f'(x)代入该定义中，得到df(x) =(3x^2 - 4x)dx。
三、定积分1. 求函数f(x) = 2x在区间[1, 3]上的定积分。
解答：根据定积分的定义，定积分∫[1, 3] f(x)dx = lim(n→∞) Σ[i=1到n] f(xi)Δx，其中Δx = (b - a)/n，xi为区间[a, b]上的任意一点。
微积分第六版课后习题答案
微积分第六版课后习题答案微积分是数学的一门重要分支，是研究函数的变化和求解问题的一种方法。
而对于学习微积分的学生来说，课后习题是巩固知识和提高能力的重要途径。
然而，对于微积分第六版的课后习题答案，很多学生可能会感到困惑和苦恼。
本文将就微积分第六版课后习题答案这一话题进行探讨，希望能够给学生们一些启示和帮助。
在学习微积分的过程中，课后习题是一个不可或缺的环节。
通过解答习题，学生可以巩固所学的知识，加深对概念和定理的理解，并提高解题能力。
然而，有时候学生在自己独立思考之后，仍然无法得到正确的答案，这时候就需要参考课后习题的答案了。
对于微积分第六版的课后习题答案，学生们可能会遇到以下几个问题。
首先，有些学生可能会觉得微积分第六版的课后习题答案过于简单或者过于复杂。
这是因为每个人的学习能力和水平都不同，对于同一道题目的难度感受也会有所不同。
对于那些觉得答案过于简单的学生来说，可以尝试更深入地思考问题，寻找更多的解题方法。
而对于那些觉得答案过于复杂的学生来说，可以先尝试理解答案中的思路和方法，再逐步推导出自己的答案。
其次，有些学生可能会遇到一些习题答案错误或者解题过程不清晰的情况。
这是因为编写习题答案是一项相对复杂的任务，很难避免出现一些错误或者不准确的地方。
对于这种情况，学生们可以通过参考其他参考书籍或者向老师请教来解决问题。
同时，也可以通过自己的思考和推导，找出错误的地方并进行修正。
最后，有些学生可能会觉得课后习题答案的解题过程过于简洁或者缺乏详细的解释。
这是因为在编写答案时，为了节约篇幅和保持简洁性，可能会省略一些步骤和解释。
对于这种情况，学生们可以通过自己的思考和推导，补充缺失的步骤和解释，从而更好地理解和掌握知识。
总之，微积分第六版的课后习题答案对于学生们来说是一个重要的参考资料。
通过解答习题和参考答案，学生们可以巩固知识，提高解题能力，并加深对微积分的理解。
然而，在使用课后习题答案时，学生们也要注意一些问题，如答案过于简单或者复杂、答案错误或者解题过程不清晰、解题过程简洁或者缺乏详细解释等。
托马斯微积分勘误
托马斯微积分勘误引言托马斯微积分是一本经典的微积分教材，被广泛应用于高等数学教育领域。
然而，就像任何一本书籍一样，它可能存在一些错误或不准确的地方。
本文将对托马斯微积分中的一些常见勘误进行总结和讨论。
勘误内容第1章微积分的基本概念1.1 实数与数轴•P2，第4行：将“μ”更正为“n”。
1.2 函数与极限•P10，倒数第4行：将“lim(x→a) f(x)”更正为“lim(x→a) f(x) = L”。
第2章导数与应用2.1 导数的定义与求法•P29，最后一行：将“h→0”更正为“h→∞”。
2.3 高阶导数、隐函数及参数方程求导法•P83，倒数第7行：将“dy/dx = dy/dt / dx/dt”更正为“dy/dx = dy/dt / dx/dt |(dx/dt ≠ 0)”。
第3章微分学的应用3.5 泰勒公式与泰勒展开式•P157，第2行：“f(x) = a0 + a1(x - x0) + a2(x - x0)^2 + …”中的“…”更正为“+ an(x - x0)^n”。
第4章不定积分4.3 分部积分法•P235，倒数第8行：将“∫u dv = uv - ∫v du”更正为“∫u dv = uv - ∫v du |(u ≠ 1, v ≠ 1)”。
第5章定积分及其应用5.3 定积分的应用•P312，第3行：“F(b) - F(a)”更正为“F(b) - F(a) = ∫[a, b] f(x) dx”。
第6章微分方程初步6.1 微分方程及其解•P366，倒数第4行：“y’ = f(t, y)”更正为“y’ = f(t, y(t))”。
结论本文总结了托马斯微积分中的一些常见勘误，并对每个错误进行了详细的讨论和修正。
这些勘误内容涉及到微积分的基本概念、导数与应用、微分学的应用、不定积分、定积分及其应用以及微分方程初步等方面。
阅读者在学习托马斯微积分时，可以参考本文中的勘误内容，以便更好地理解和应用微积分知识。
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结束
外摆线 (圆外旋轮线) 族
x
(a
b)
cos
t
b
cos
ab b
t
y
(a
b)
sin
t
b
sin
ab b
t
center of the stationary circle (0,0), radius radius of the moving circle b,
a,
m ba
m = 1cardห้องสมุดไป่ตู้oid
m2
播点
• 轨迹:
放击 开图
M 是半径为 a 的母圆上的动点 ,
始片 或任
满足 OM = PQ 之点 P 的轨迹即为
暂意
蔓叶线
停处
• 渐近线:
• 曲线与渐近线之间的面积:
结束
folium笛卡儿叶形线
x
3at 1 t3
y
3at 2 1 t3
t 1
动点 画击 开图 始中 或任 暂意 停点
动画走向: －∞→－1 －1→+∞
Mo
x
2 a
•弧 长:
LOM
a 2
(
2 1 arsh )
其中arsh ln( 1 2 )
3
• 曲率半径 :
R
a
( 2 1)2 22
• 扇形 M 1OM 2 的面积 :
S
1 6
a
2
(
2 1
2 2
)
结束
Logarithmic
curve 对数螺线
(等角螺线) r ea
• 等角性 : 曲线与所有过极点的射线
(9) cardioid心形线
(10) Hyperbolic spiral 双曲螺线
(11) Logarithmic curve 对数螺线
(12) Archimedes spiral 阿基米德螺线
(13) Lemniscate of Bernoulli 伯努利双纽线
(14) Three-leaved rose 三叶玫瑰线
m3
动点 画击 开图 始中 或任 暂意 停点
m4
m
3 2
m5
结束
Archimedes spiral 阿基米德螺线
r a
a0
r v
a0
x vt cost
y
vt
sin
t
结束
阿基米德螺线(续)
• 等距性: 过极点的射线与曲线
交于 A1 , A2 , A3 , ,
它们之间的间隔都是
M2 M1
A1A2A3
参数的几何意义: t tan
t
(,1)
(
2
,
4
)
图形在第四象限
t (1, 0] (34 , ]
图形在第二象限
t
[0
,
)
[0
,
2
)
图形在第一象限
结束
笛卡儿叶形线(续)
x
3at 1t 3
y
3at 2 1t 3
t 1
y A
a o
x
a
• 结点: 在该点与 x 轴 y 轴相切, 曲率半径为
• 顶点:
3 2
a2
•Arc length: 8a
结束
An other kind form of cardioid
x2 y2 ax a x2 y2
Polar function r a(1 cos )
y
oa
点击图中任意点 动画开始或暂停
•cusp : (0, 0)
x
• area:
3 2
a
2
•Arc length : 8a
y
D
C
B
o
Ax
D
C
点击图中任意点 动画开始或暂停
结束
伯努利双纽线的轨迹特点
y
MQ
F2
o P F1
x
OF1 OF2
a 2
• 双纽线上的点 M 满足 :
MF1
MF2
1 2
a
2
• 以 F1 为圆心 ,
Special plane curves
(1) Cubic parabola 三次抛物线
(3) Probability curve 概率曲线
(2) Root cubic parabola 半立方抛物线
(4) Witch 箕舌线 (5) Cissoid 蔓叶线
(6) folium笛卡儿叶形线
(7) Star curve星形线 (8) cycloid摆线
或 r a(1 cos )
y
ox
点击图中任意点 动画开始或暂停
•trace:a kind of outward cycloid
Diameter of the moving circle = Diameter of the stationary circle=a
•cusp: (0, 0)
• area:
结束
Witch 箕舌线
或
y a
• 轨迹 : M是直径为a 的圆上的动点, Q是射线OM与 y = a 的交点, QP⊥x 轴 , MP∥x 轴
P点轨迹即为箕舌线 .
t
o
x
• 渐近线: y = 0 • 曲线与渐近线之间的面积:
点击图中任意点 动画开始或暂停
结束
Cissoid 蔓叶线
或
y
Q
P M
(t tan ) oa x
双曲螺线
r
a
• 曲线由两支组成 ,
它们关于 y 轴对称
• 渐近点 : 极点 O
( )
• 渐近线 : y a
•
曲率半径
:
R
a
1 2 3
动点 画击 开图 始中 或任 暂意 停点
动画走向为
y a M 2 M1
o
x
• 扇形 M1O M 2 的面积 ：
S
a2 2
1
1
1
2
结束
Lemniscate of Bernoulli 伯努利双纽线
(15) Four-leaved rose 四叶玫瑰线
结束
Cubic parabola 三次抛物线
y
x
Root cubic parabola 半立方抛物线
y
x
结束
Probability curve 概率曲线
y
A
B
x
设 服从标准正态分布 ,
则其概率密度函数为
f (x)
1
e
x2 2
2
• 拐点:
• 与 x 轴之间的面积: 1
的交角 都相等:
• 等比性: 过极点的射线与曲线交于
A1
A2
M o AA0 1 M 2 x
M1
, A1 , A0 , A1 , 则 ,OA1 ,OA0 ,OA1 , 各线段
成等比级数, 公比为
动点
画击
• 弧长 :
开图
始中
或任
暂意
停点
动画走向为
• 曲率半径 :
结束
Hyperbolic spiral
M ta
• 周 期: T 2 a
o
x1
• 极大点: xk (2k 1) a (k 1, 2, )
• 曲率半径:
R
4
a
sin
t 2
• 一拱长: 8a
• 一拱面积: S 3 a2
• 渐屈线: 仍为摆线
在 o 坐标系下
与原摆线一致
y M
o a 2 a
o
2 a x
x
结束
Cardioid 心形线
x2 y2 ax a x2 y2
• 渐近线: • 圈套所围面积:
• 曲线与渐近线之间的面积:
结束
x a( sin )
cycloid摆线
y a(1 cos )
y
M a
o
• 轨迹:
半径为 a 的圆周沿直线
x 无滑动地滚动时 , 其上
定点 M 的轨迹即为摆线 .
点击图中任意点动画开始或暂停
结束
x a( sin ) y
摆线(续) y a(1 cos )