组合图形面积教学探究

组合图形面积教学探究
在小学阶段中，空间与图形是数学的一个重要组成部分，其中面积是空间与图形的重点，而组合图形则是面积教学中的难点。

组合图形变化多端，解题方法灵活多样。

教师在教学中难教，学生难以掌握，更难以灵活运用。

所以培养学生数学思想和空间想象力是解决组合图形面积的关键，可以分几个步骤进行：
一、基本图形的面积
基本图形面积是组合图形的基础。

学生只有掌握了基本图形的面积计算，才能来学组合图形的面积。

基本图形不仅包含我们学过的规则图形：如三角形、正方形、长方形、平行四边形、梯形和圆，还包含没有正式学习的扇形，以及组合图形中有规律可寻，能用公式表达的一些图形。

如：
从图1中可以分化出图1-1和图2-2，图1-1的面积为；图2-2的面积为s正－。

图2与图2-1相同，可以分化出图2-2和图2-3，图2-2的面积为－s三角形；图2-3的面积等于2s图2-2。

像图1-1、图1-2、图2-2、图2-3等图形的面积，可以用公式表示出来，只要知道相应数据，就可以求出面积，所以把他们归为基本图形。

所以教学中，引导学生会推导并掌握这些图形的面积公式，对解决组合图形面积有很大的帮助。

二、培养学生空间想象力与解题的几种思想。

（一）直接根据公式找条件。

1、在一些组合图形中，存在基本图形。

求面积时，不要被组合所误导，直接找基本图形的条件。

如：
图3-1中阴影部分为三角形，不要受到两个正方形的影响，可以直接找底和高，都是4；图3-2，是我们前面介绍过的图2-2的组合，它的面积等于图2-2的面积的4倍。

2、有时不能找到公式中具体的条件，但我们可以找出公式中的部分条件。

如s圆=πr2，我们有时不知道r，但我们可以找到r2的值，如长方体的体积公式为v=abh，有时我们不知道a、b、h的数值，但我们可以找到ab的值等。

我们用下面的例子来说明：（1）已知图3-3阴影部分的面积是10平方厘米，求圆的面积是多少？
（2）已知图3-4的阴影部分的面积为25平方厘米，求圆环的面积是多少？
图3-3求圆的面积，学生第一想到的就是求半径，学生也知道半径就是正方形的边长，r×r=10，可r等于多少呢?学生无法用已有的知识经验求出半径，这时学生思维短路了。

这里引导学生，在s 圆=πr2中，可以把r2看成一个整体，已经知道r2了，为什么一定要去求r呢？把r2的值代入公式不就行了吗？r×r=10，即
r2=10，代入s圆=πr2即可求出圆的面积。

同理，图3-4求圆环的面积，公式为大圆面积减小圆面积，可是大圆小圆半径不知道，怎么求圆的面积呢？我们只知道阴影部分的面积，所以要从阴影部分下手。

阴影部分的面积等于大三角形减小
三角形的面积，用公式表示为即，这不就是我们圆环面积公式中的一个部分吗？。

（二）割补法（转化思想）
组合图形中，大多是不规则图形，但通过割补，可以将其转化为规则图形。

如：
图4-1、图4-3是典型的用割补求面积的题目，图4-1把三角形以外的部分割补在中间空白部分，便转化成了一个三角形（图4-2），图4-3将左边的阴影扇形割补到右边空白扇形，阴影部分就转化成了正方形（图4-4）。

割补法中最关键就是怎么作辅助线，辅助线做对了，问题就能解决。

因此教学中多找一些这类题目，培养学生的转化思想，提高动手作辅助线的能力。

转化思想不仅对解决组合图形面积有很大的帮助，也为将来初、高中学习几何打下很好的基础。

（三）整体减部分（逆转思维）
在一些组合图形中，有些很难直接求出阴影部分面积，此时我们的思路就不要再往阴影部分考虑。

转一个角度，找出组合图形中部分与整体之间的关系，通过整体减部分，求出阴影部分的面积。

如：图5-1阴影部分虽然是三角形，但是我们没有办法找到它的底和高。

图5-2是不规则图形，用割补法也没有办法把它转化成规则图形。

此时，我们不要把思维放在阴影部分上。

换一个角度思考，空白部分的面积很容易求出，找出它与整体之间的关系，用整体减去
空白部分就得出阴影部分面积。

当然，这种思想下，有多种方法。

如图5-1可以用s正agde+s
梯bcdg — s三abc — s三ade；也可以用s三agd + s梯bcdg —s三abc；还可以作辅助线把图形补成长方形（如图5-3），用s长abie — s三abc — s三ade — s三cid；还可以用s正agde+s 正bchg +s三cdh— s三abc— s三ade等等。

在这一类题目中，有一些关系不容易找出，需要我们细心观察、分析才能发现。

如图5-4，虽然阴影部分和空白部分都是不规则的，但是通过观察、分析会发现，两个半圆的面积之和减去三角形的面积，就得到阴影部分的面积。

因为两个半圆的面积之和，多算了一次中间阴影部分，所以减去三角形，刚好剩下三角形中的阴影部分和三角形外面的阴影部分。

（四）等量转化
在转化思想中，有一些图形没有办法用割补法，我们可以用等量代换，将其转化成规则图形。

如下图，已知平行四边abcd中，三角形的底是12，高是4，求图中阴影部分的面积。

虽然阴影部分都是规则的三角形，但我们只能找到三角形bfc的底和高，其余两个三角形的底和高没有办法找到。

用割补法不能转化成规则图形，用整体减部分也不能解决，此时可以考虑等量转化。

因为图abcd是平行四边形，所以三角形bcg与平行四边形abcd 等底等高。

所以有
三、思想与方法
在组合图形面积的解决问题中，有些题目可能只有一种思想一种方法能解决，有的则有多种思想、方法可以解决，同一种思想下也会有不同的方法。

如逆转思维中，就介绍了几种方法。

当一种思想、方法行不通时，就考虑其他的思想方法。

如图5-1和图5-2中，除了用逆转思想以外，我们还可以用等量代换，把图5-1阴影部分转化成三角形agd。

因为s三agd=(3+4)32 。

s梯bcdg=(3+4)32 。

所以s三agd =s梯bcdg。

s三agd－s梯bcfg=s梯bcdg－s梯bcfg。

所以s三agf=s三cdf。

同理，把图5-2阴影部分转化成。

在培养学生解决组合图形面积的过程中，重点要培养学生的思想，就是要让学生明白并且会说他是怎么想的。

有时，学生会产生这样的疑问——“你是怎么想到的”。

思维训练达到了，自然能想到。

因此，教学中不是教一个题的解题方法，而是教这一类题的解题思想与方法，达到举一反三的目的。