不定积分的性质与基本积分公式
定积分和不定积分的计算方法总结
定积分和不定积分的计算方法总结一、不定积分的定义和基本性质不定积分是函数积分的一种形式，表示为∫f(x)dx，其中f(x)为被积函数，dx表示自变量。
1.不定积分的定义不定积分是求导运算的逆运算。
如果F(x)是f(x)的一个原函数，那么F(x) + C也是f(x)的一个原函数，其中C为常数。
因此，∫f(x)dx = F(x) + C。
2.基本性质(1) 常数因子法则：若c是常数，则有∫cf(x)dx = c∫f(x)dx。
(2) 线性法则：若f(x)和g(x)都有原函数，则有∫(f(x) ±g(x))dx = ∫f(x)dx ± ∫g(x)dx。
(3) 逐项积分法则：若f(x)的原函数为F(x)，g(x)的原函数为G(x)，则有∫(f(x) ± g(x))dx = F(x) ± G(x)。
(4) 分部积分法则：若f(x)和g(x)都具有原函数，则有∫f(x)g(x)dx = F(x)g(x) - ∫(F(x)g'(x))dx，其中F(x)为f(x)的一个原函数，g'(x)为g(x)的导数。
二、定积分的定义和计算方法定积分是计算函数在一个有限区间上的面积的数值，表示为∫[a,b]f(x)dx，其中f(x)为被积函数，[a,b]为积分区间。
1.定积分的定义设f(x)在区间[a,b]上有定义，将[a,b]分为n个小区间，长度为Δx，选择每个小区间上一点ξi，记为Δx = (b-a)/n，ξi = a + iΔx (i = 0,1,2,...,n)。
定义Riemann和为S(f, Δx, ξ) = Σf(ξi)Δx =f(ξ1)Δx + f(ξ2)Δx + ... + f(ξn)Δx。
当n趋于无穷大时，Riemann和的极限称为函数f(x)在区间[a,b]上的定积分，记为∫[a,b]f(x)dx。
2.计算方法(1)几何意义：定积分表示函数f(x)在区间[a,b]上曲线与x轴之间的面积。
不定积分的15个基本公式
不定积分的15个基本公式不定积分是微积分中的一个重要概念，它是对一个函数的不定积分时求出它的原函数。
在计算不定积分时，有一些基本公式可以帮助我们简化计算。
下面是关于不定积分的15个基本公式：1. 常数公式：对于任意常数k，∫kdx = kx + C，其中C为任意常数。
2. 幂函数公式：对于任意常数n，∫x^n dx = (x^(n+1))/(n+1) + C，其中C为任意常数。
3. 倒数公式：∫1/x dx = ln|x| + C，其中C为任意常数。
4. 正弦函数公式：∫sin(x) dx = -cos(x) + C，其中C为任意常数。
5. 余弦函数公式：∫cos(x) dx = sin(x) + C，其中C为任意常数。
6. 正切函数公式：∫tan(x) dx = -ln|cos(x)| + C，其中C为任意常数。
7. 余切函数公式：∫cot(x) dx = ln|sin(x)| + C，其中C为任意常数。
8. 指数函数公式：∫e^x dx = e^x + C，其中C为任意常数。
9. 对数函数公式：∫ln(x) dx = xln(x) - x + C，其中C为任意常数。
10. 反正弦函数公式：∫arcsin(x) dx = xarcsin(x) + sqrt(1-x^2) + C，其中C为任意常数。
11. 反余弦函数公式：∫arccos(x) dx = xarccos(x) - sqrt(1-x^2) + C，其中C为任意常数。
12. 反正切函数公式：∫arctan(x) dx = xarctan(x) - ln|1+x^2| + C，其中C为任意常数。
13. 反余切函数公式：∫arccot(x) dx = xarccot(x) + ln|1+x^2| + C，其中C为任意常数。
14. 双曲正弦函数公式：∫sinh(x) dx = cosh(x) + C，其中C为任意常数。
15. 双曲余弦函数公式：∫cosh(x) dx = sinh(x) + C，其中C为任意常数。
不定积分的概念与性质及基本积分公式
2 tan xdx
x sin 2 dx
2
sec x(tan x sec x)dx
四、 小结
F ( x ) f ( x ) 原函数的概念：
不定积分的概念： f ( x )dx F ( x ) C
基本积分表(1)
求微分与求积分的互逆关系
三、 y ln x C .
arctan x ln x C .
1 2x dx . 例7 求积分 2 2 x (1 x )
解
2
1 2x 1 x2 x2 x 2 (1 x 2 )dx x 2 (1 x 2 ) dx
2
1 1 2 dx dx 2 x 1 x 1 arctan x C . x
等式成立.
（此性质可推广到有限多个函数之和的情况）
(3)
kf (x)dx k f ( x )dx .
（k 是常数，k 0 )
3 2 )dx . 例5 求积分 ( 2 2 1 x 1 x 3 2 解 ( )dx 2 2 1 x 1 x 1 1 3 dx 2 dx 2 2 1 x 1 x 3 arctan x 2 arcsin x C
由c(0) 20
c 19
c(x) ex 19
例5 设f(x)的导数为sinx,且f(0)=0,则f(x)=____) (A) 1 sinx; (B) 1-sinx; (C) 1 cosx ;(D) 1-cosx
例6 若 f(x)dx x 2 e 2 x c, 则f ( x) _____ 例7 若f x 的一个原函数是 cos x , 则 f ' x dx _____
不定积分常用的16个基本公式
不定积分常用的16个基本公式近年来，随着数学研究的深入发展，不定积分及其应用在许多领域发挥着重要作用。
它不仅可以在数学方面发挥重要作用，而且可以在工程，物理，经济学等多个学科中得到应用。
不定积分可以根据它的定义和它的公式来求解，其中有16个主要的基本公式。
首先，不定积分的定义是什么？它是用来表示一个函数的增量的定义，就是说，它是一个函数f（x）的“梯形”，得到这个梯形的面积，可以用不定积分法来进行计算。
其中，有16个主要的基本公式，分别是：1）不定积分公式：intf（x）dx=f（x）+ c2）乘积公式：intu（x）v（x）dx=intu（x）dx intv（x）dx 3）反函数公式：int（1/U）dx=ln|U（x）|+c4）倍拆公式：int（f（x）+g（x））dx=intf（x）dx+intg（x）dx5）定积分公式：int_a^bf（x）dx=intf（x）dx|_a^b6）分部积分公式：intf（x）dx=f（x）intf（x）dx+c7）牛顿-洛克（N）公式：int_a^bf（x）dx=intf（x）dx|_a^b + (b-a) intf（x）dx|_a^b8）级数积分：int[f（x）+ fi（x）]dx= intf（x）dx+ intf （x）dx|_a^b9）变量变换：intu（x）dx= intu（u）du10）定积分变换：int_a^bf（x）dx= int_a^bf（u）du11）约瑟夫-马尔科夫（J-M）公式：intf（x）dx=intf（x）dx+f （x） intf（x）dx|_a^b12）奇拆公式：intf（x）dx=intf（x）dx+f（x） intf（x）dx|_a^b 13）展开与积分公式：intu（x）v（x）dx= intu（x）dx intv （x）dx+intv（x）dx intu（x）dx14）矩形公式：int_a^bf（x）dx=frac{f（a）+f（b）}{2} int_a^b1dx 15）双曲函数公式：intfrac{1}{u（x）}dx=intfrac{1}{u（x）}dx+c 16）椭圆曲线公式：intfrac{1}{u（x）v（x）}dx= intfrac{1}{u （x）}dx+ intfrac{1}{v（x）}dx上述16个基本公式，构成了不定积分的基础，是解决不定积分问题不可缺少的重要部分。
不定积分与定积分
不定积分与定积分积分是数学分析中重要的概念和工具，在微积分中具有广泛的应用。
其中不定积分和定积分是常见的两种类型。
它们分别具有不同的定义和性质，对于解决实际问题和求解函数的面积等概念都有着重要的作用。
一、不定积分1.1 定义不定积分是函数的原函数的集合。
给定一个连续函数f(x)，其不定积分可以表示为∫f(x)dx = F(x) + C，其中F(x)是f(x)的一个原函数，C为常数。
1.2 性质不定积分具有线性性质，即∫[af(x) + bg(x)]dx = a∫f(x)dx + b∫g(x)dx，其中a、b为常数。
同时，不定积分满足微积分基本定理，即对于函数f(x)的原函数F(x)，有∫f'(x)dx = F(x) + C。
1.3 计算方法求解不定积分的方法有很多，最常用的方法是换元法和分部积分法。
换元法是通过引入新的变量替代原变量，将原函数转换成更容易积分的形式。
分部积分法则是通过对乘积的两个函数进行积分，得到原函数的表达式。
二、定积分2.1 定义定积分是对函数在一个闭区间上的积分。
给定函数f(x)在[a, b]区间上连续，定积分可以表示为∫[a, b]f(x)dx。
定积分表示函数在该区间上的面积或曲线与x轴所围成的面积。
2.2 性质定积分具有线性性质和可加性质，即对于函数f(x)和g(x)，有∫[a, b][f(x) ± g(x)]dx = ∫[a, b]f(x)dx ± ∫[a, b]g(x)dx。
同时，定积分也满足中值定理，即在区间[a, b]上存在一个点c，使得∫[a, b]f(x)dx = f(c)·(b - a)。
2.3 计算方法计算定积分可以使用几何意义的面积计算法、代数意义的换元法和分段函数积分法等。
其中，面积计算法是将曲线区间划分成若干个小矩形，再对这些小矩形的面积求和。
而换元法和分段函数积分法则是通过转换变量或分别对函数在不同区间求积分。
不定积分基本公式
不定积分基本公式不定积分是微积分中的一个重要概念，它是函数的定义域上的一族原函数。
在计算不定积分时，我们使用的是不定积分的基本公式，也叫做不定积分的运算法则，下面是一些常用的不定积分基本公式。
1.一次幂函数的不定积分公式：∫x^n dx = 1/(n+1) * x^(n+1) + C，其中n不等于-12.常数函数的不定积分公式：∫a dx = ax + C，其中a是常数。
3.幂函数的不定积分公式：∫(a^x) dx = 1/(lna) * a^x + C，其中a是正常数且不等于14.指数函数的不定积分公式：∫e^x dx = e^x + C。
5.对数函数的不定积分公式：∫(1/x) dx = ln，x， + C，其中x不等于0。
6.三角函数的不定积分公式：∫sin(x) dx = -cos(x) + C∫cos(x) dx = sin(x) + C∫tan(x) dx = -ln，cos(x)， + C∫cot(x) dx = ln，sin(x)， + C∫sec(x) dx = ln，sec(x) + tan(x)， + C∫csc(x) dx = ln，csc(x) - cot(x)， + C7.反三角函数的不定积分公式：∫arcsin(x) dx = x*arcsin(x) + sqrt(1-x^2) + C∫arccos(x) dx = x*arccos(x) - sqrt(1-x^2) + C∫arctan(x) dx = x*arctan(x) - 1/2ln(1+x^2) + C∫arccot(x) dx = x*arccot(x) + 1/2ln(1+x^2) + C∫arcsec(x) dx = x*arcsec(x) + ln，sec(x)+tan(x)， + C∫arccsc(x) dx = x*arccsc(x) - ln，csc(x)+cot(x)， + C8.双曲函数的不定积分公式：∫sinh(x) dx = cosh(x) + C∫cosh(x) dx = sinh(x) + C∫tanh(x) dx = ln，cosh(x)， + C∫coth(x) dx = ln，sinh(x)， + C∫sech(x) dx = arcsin(e^x) + C∫csch(x) dx = ln，tanh(x/2)， + C以上是一些常用的不定积分基本公式，但请注意，不定积分是一个广义的概念，有很多特殊函数的不定积分无法用基本公式表示，需要通过其他的方法进行求解，比如换元法、分部积分法、特殊函数等。
不定积分24个基本公式
不定积分24个基本公式一、原函数不定积分的概念原函数的定义：如果区间I上，可导函数F(x)的导函数为f'(x),即对任一x∈I都有 F'(x)=f(x) 或 dF(x)=f(x) dx 那么函数F(x)就称为f(x)(或 f(x) dx)在区间 I 内的一个原函数。
原函数存在定理：如果函数f(x)在区间 I 上连续，那么在区间 I 上存在可导函数F(x)，使对任一x∈I都有 F'(x)=f(x).简单地说：连续函数一定有原函数。
不定积分的定义：在区间 I 上，函数f(x)的带有任意常数项的的原函数称为f(x)( f(x)dx ) 在区间 I 上的不定积分，记作∫ f(x)dx . 其中记号∫ 称为积分号，f(x)称为被积函数 f(x)dx 称为被积表达式，x 称为积分变量。
二、基本积分公式三、不定积分的性质设函数f(x)及g(x)的原函数存在，则∫ [ f(x) ± g(x)]dx= ∫ f(x) dx ± ∫ g(x) dx 。
记：合拢的加减积分可以分开加减积分2. 设函数f(x)及g(x)的原函数存在，k为非零常数，则∫ k f(x) dx=k ∫ f(x) dx记者:非零常数乘以积分，可以把常数拿出来，乘以不定积分。
四、第一类换元积分法设f(u)具有原函数，u=φ(x)可导，则有换元公式：也叫做凑微分法五、第二类换元积分法设x=ψ(t)是单调的可导函数，并且ψ'(t)≠0，又设f[ψ(t)]ψ'(t)具有原函数，则有换元公式是x=ψ(x)的反函数。
三种常见的换元公式(注：利用三角形理解去记)利用第二种换元积分法解出的常见的积分公式：六、分部积分法设函数u=u(x)及v=v(x)具有连续导数，则两个函数乘积的导数公式为 (uv)'=u'v+uv',移项，得： u v'=(u v)'-u' v对这个等式两边求积分∫ u v' dx=u v- ∫ u' v dx 称为分部积分公式按零件的集成顺序集成:反对力量指的是三，意思是从后面集成容易，先集成那个。
不定积分的性质与基本积分公式
不定积分的性质与基本积分公式一、不定积分的性质：1.线性性质：设f(x)和g(x)是R上的两个函数，k1、k2是常数，则有∫(k1*f(x) + k2*g(x))dx = k1*∫f(x)dx + k2*∫g(x)dx2.区间可加性：如果函数f(x)在[a,b]上可积，而c是[a,b]上的一个点，则有∫(a到b)f(x)dx = ∫(a到c)f(x)dx + ∫(c到b)f(x)dx3.分部积分公式：设u(x)和v(x)是具有连续导数的函数，则有∫u(x)v'(x)dx = u(x)v(x) - ∫v(x)u'(x)dx4.递推公式：设F(x)是f(x)的一个原函数，则对于正整数n，有∫f(x)^(n)dx = F(x)f(x)^(n-1) - ∫(F(x)f(x)^(n-1))'dx其中^(n)表示f(x)的n次方5.替换积分变量：如果函数f(x)是R上的可积函数，x=g(t)是可导的一一映射，则有∫f(g(t))g'(t)dt = ∫f(x)dx6.对称性：如果函数f(x)在区间[a,b]上可积，则有∫(a到b)f(x)dx = -∫(b到a)f(x)dx7.常数项可提出：对于常数c，有∫c*f(x)dx = c*∫f(x)dx二、基本积分公式：1.基本初等函数的不定积分：∫dx = x + C（C为常数）∫x^a dx = (x^(a+1))/(a+1) + C（a≠-1，C为常数）∫e^x dx = e^x + C（C为常数）∫a^x dx = (a^x)/ln(a) + C（a>0且a≠1，C为常数）∫sin(x) dx = -cos(x) + C（C为常数）∫cos(x) dx = sin(x) + C（C为常数）∫sec^2(x) dx = ta n(x) + C（C为常数）∫csc^2(x) dx = -cot(x) + C（C为常数）∫sec(x)tan(x) dx = sec(x) + C（C为常数）∫csc(x)cot(x) dx = -csc(x) + C（C为常数）∫1/(1+x^2) dx = arctan(x) + C（C为常数）∫1/(a^2+x^2) dx = (1/a)*arctan(x/a) + C（a>0，C为常数）∫1/(√(a^2-x^2)) dx = arcsin(x/a) + C（a>0，C为常数）∫1/(√(x^2-a^2)) dx = arccos(x/a) + C（a>0，C为常数）2.基本初等函数的合成函数的不定积分：∫f'(x)f(x)g(f(x))dx = (1/2)g^2(f(x)) + C（C为常数）∫f'(x)f(x)^n g(f(x))dx = (1/(n+1))g(f(x))^(n+1) + C（n≠-1，C为常数）这些性质和基本积分公式是我们进行不定积分过程中经常使用的工具，根据这些性质和公式，我们可以更加方便地求解各种函数的不定积分。
4.2 基本积分公式与不定积分的性质
2
7
x2
7
c.
2
-6-
二、不定积分的性质
性质1
(1) [ f (x)d x] f (x) 或 d f (x)dx f (x) dx . (2) F(x) dx F(x) c 或 d F(x) F(x) c. 性质2 k f (x) dx k f (x)dx (k 0) . 性质3 [ f (x) g(x)] dx f (x)dx g(x) d x .
-9-
注: 在分项积分后，虽然中间的几个不定积分都分 别含有任意常数， 但由于其代数和仍为任意常数，
则只要在最后总的加上一个任意常数即可.
例4 求积分
1 x x2 x(1 x2 )
dx.
解
1 x x2 dx x(1 x2 )
x (1 x2 ) x(1 x2 ) dx
1
1 x2
1 x
(10) sec x tan xdx sec x c;
(11) csc x cot xdx csc x c;
(12)
dx
1 x2
arctan x c
或 arccot x c;
(13)
dx arcsin x c
1 x2
或
arccos x c;
-4-
说明:
(3)
dx x
ln
x
c;
的一个原函数
是( B ).
(A) 1 sin x; (B) 1 sin x;
(C) 1 cos x; (D) 1 cos x .
提示: 已知 求 即
f (x) sin x, ( ? ) f (x), ( ? ) sin x.
或由题意 f (x) cos x c1 , 其原函数为
不定积分常用公式
不定积分常用公式
1.不定积分的基本公式：。
∫f(x)dx = F(x) + C 。
其中，f(x)是待积函数，F(x)是关于x的变量的一次积分，C是关于常数的常量。
2.单变量的不定积分公式：。
∫ax^n+bx^(n-1)+cx^(n-2)+...dx =
(1/(n+1))x^(n+1)+b/(n)x^n+c/(n-1)x^(n-1)+...+C 。
3.高阶不定积分公式：。
∫d[ax^n+bx^(n-1)+cx^(n-2)+...](dx) =
ax^(n+1)/(n+1)+bx^n/(n)+cx^(n-1)/(n-1)+...+C 。
4.一般不定积分公式：。
∫f(x)dx = F(x)+C，其中f(x)不依赖于x的常数，F(x)由不同的变量构成。
5.合变量不定积分公式：。
∫f(x, y)dxdy = F(x,y)+C，其中f(x,y)是两个变量的函数，F(x,y)是两个变量的积分函数及常数C。
6.二重不定积分公式：。
∫∫f(x, y)dxdy = F(x,y)+C，其中f(x,y)表示二重变量的函数，
F(x,y)表示二重变量的积分函数，C是常量。
7.三重不定积分公式：。
∫∫∫f(x, y, z)dxdy dz = F(x,y,z)+C，其中f(x,y,z)表示三重变量的函数，F(x,y,z)表示三重变量的积分函数，C是常量。
不定积分的性质与基本积分公式
2
= arctan x + C
=
−arccot x + C.
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由导数线性运算法则可得到不定积分的线性运算
法则. 定理 8.3 (不定积分的线性运算法则)
若函数 f 与 g 在区间 I 上都存在原函数, k1, k2为
任意常数, 则 k1 f + k2g 在 I上也存在原函数, 且
∫ ∫ ∫ ( k1 f ( x) + k2g( x) )dx = k1 f ( x)dx + k2 g( x)dx.
∫ s (t ) = v0 dt = v0 t + C .
若 t0 时刻质点在 s0 处, 且速度为 v0, 则有 s (t ) = v0(t − t0 ) + s0 .
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四、基本积分表
由基本求导公式可得以下基本积分公式:
1. ∫ 0dx = C.
2. ∫1dx = ∫dx =x + C. ∫3. xαdx = xα+1 + C (α ≠ −1, x > 0).
dx 所以(1)式成立.
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第一换元积分法亦称为凑微分法, 即
∫ g(ϕ( x))ϕ′( x)dx = ∫ g(ϕ( x))dϕ( x) = G(ϕ( x)) + C,
其中 G′(u) = g(u). 常见的凑微分形式有
(1) adx = d(ax);
(2) dx = d( x + a);
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§2 换元积分法与分部积分法
不定积分是求导运算的逆运算, 相应 于复合函数求导数的链式法则和乘法 求导公式, 不定积分有换元积分法和分 部积分法.
不定积分的性质与基本积分公式
不定积分的性质与基本积分公式不定积分是微积分中一个重要的概念，用于求解给定函数的原函数。
在实际应用中，不定积分可以用于求解曲线的长度、曲线下的面积、物体的质心等问题。
本文将介绍不定积分的性质和基本积分公式。
1.不定积分的定义不定积分是对函数进行积分运算的过程。
设函数f(x)在区间[a, b]上可导。
称满足F′(x) = f(x)的函数F(x)为f(x)在区间[a, b]上的一个原函数。
记为F(x) = ∫f(x)dx + C，其中C为常数。
这里的F(x)就是f(x)的一个原函数，符号∫f(x)dx称为不定积分。
2.不定积分的运算性质（1）线性性质：若F(x)和G(x)都是f(x)在区间[a,b]上的原函数，则c1F(x)+c2G(x)也是f(x)在区间[a,b]上的原函数，其中c1和c2为常数。
（2）积分和导数的关系：若F(x)是f(x)在区间[a,b]上的一个原函数，则F(x)+C也是f(x)的一个原函数，其中C为常数。
即：（F(x)+C）'=F'(x)=f(x)。
（3）换元法则：设u = g(x)是一个可导函数，f(u)在区间[a, b]上连续，且f(g(x))g′(x)在[a, b]上连续，则∫f(g(x))g′(x)dx =∫f(u)du。
（4）分部积分法则：设u = u(x)和v = v(x)是可导函数，且u′(x)和v′(x)在[a, b]上连续，则∫u′(x)v(x)dx = u(x)v(x) -∫v′(x)u(x)dx。
（1）常数函数：∫kdx = kx + C，其中C为常数。
（2）幂函数：∫x^ndx = (x^(n+1))/(n+1) + C，其中C为常数，n≠-1（3）指数函数：∫e^xdx = e^x + C，其中C为常数。
（4）三角函数：∫sinxdx = -cosx + C，∫cosxdx = sinx + C，∫sec^2xdx = tanx + C，其中C为常数。
不定积分基本公式及运算法则
不定积分基本公式及运算法则
不定积分的基本公式包括幂函数、一次二项式、二次二项式、三角函数等类型的积分公式。
例如，不定积分的幂函数公式包括∫
x^ndx=x^(n+1)/(n+1)+C，其中n≠-1，以及∫1/xdx=ln|x|+C。
对于含有一次二项式的积分，有∫x/(a+bx)dx=(bx-aln|a+bx|)/b^2+C，以及∫x^2/(a+bx)dx=(-bx(2a-bx)/2+a^2ln|a+bx|)/b^3+C等公式。
此外，不定积分的运算法则包括常数倍法则、代换法则、分部积分法则和恒等变形法则等。
这些法则可以帮助我们更好地进行不定积分计算，需要根据情况选择合适的方法，结合基本积分公式进行计算。
最后，在进行不定积分计算时，需要注意一些常见的陷阱和错误，例如忽视函数的定义域、混淆不定积分和定积分的概念、忽视原函数的唯一性等。
因此，在计算不定积分时需要认真审题、明确概念、掌握基本公式和运算法则，并注意检查答案的正确性和合理性。
商务数学52__不定积分的性质及基本积分公式
第五章不定积分Indefinite Integral§2 不定积分的性质及基本积分公式2.1 不定积分的性质Properties 1（See p.109）不定积分的导数等于被积函数或不定积分的微分等于被积表达式，即()[]()x f dx x f dxd=⎰或()()dx x f dx x f d =⎰.证明 设()x F 是()x f 的一个原函数，则()()x f x F ='，所以()[]()[]()()x f x F C x F dx x f dxd ='='+=⎰，()()[]()()dx x f dx x F C x F d dx x f d ='=+=⎰（最后一个式子也可这样来证：()()[]()dx x f dx dx x f dx x f d ='=⎰⎰）.Properties 2（See p.109）一个函数的导数（或微分）的不定积分等于这个函数加上任意常数，即()()C x f dx x f +='⎰或()()C x f x df +=⎰.证明 因为()x f 是()x f '的一个原函数，所以()()C x f dx x f +='⎰ 或()()()C x f dx x f x df +='=⎰⎰. 【Note 】 Properties 1＆2告诉我们，求导数或微分的运算（简称微分运算[differential operation ]，以记号“d ”表示）与求不定积分的运算（简称积分运算[integral operation ]，以记号“⎰”表示）是互逆的（即微分运算与积分运算互为逆运算[inverse operation ]）.当记号“⎰”与“d ”连在一起时，或者抵消，或者抵消后差一个常数.()x f⎰()dxx f ⎰d()x f积分运算微分运算()x fd()x f '⎰()C x f +微分运算积分运算()x df⎰()⎰x df d()x df积分运算微分运算()x fd()x df⎰()C x f +微分运算积分运算Properties 3（See p.110）被积函数中的非零常数因子可以提到积分号外，即()()dx x f k dx x kf ⎰⎰=（k 为非零常数）.证明 因为()[]()[]()x kf dx x f k dx x f k ='='⎰⎰,由不定积分定义，得()()dx x f k dx x kf ⎰⎰=.Properties 4（See p.110）两个函数代数和的不定积分等于这两个函数不定积分的代数和，即()()[]()()dx x g dx x f dx x g x f ⎰⎰⎰±=±.证明 因为()()[]'±⎰⎰dx x g dx x f ()[]()[]()()x g x f dx x g dx x f ±='±'=⎰⎰.由不定积分定义，有()()[]()()dx x g dx x f dx x g x f ⎰⎰⎰±=±.【Note 】此性质可以推广到有限多个函数代数和的情形，即()()()[]dx x f x f x f n21⎰±±±()()()dx x f dx x f dx x f n21⎰⎰⎰±±±=2.2 基本积分公式如前所述，由于求不定积分的积分运算与求导数的微分运算互为逆运算，所以不定积分的基本公式可由导数的基本公式直接写出：⑴ ()0C =′ （C 为常数）C dx 0=⎰⑵ αααx x 111='⎪⎭⎫ ⎝⎛++ （1-≠α）⑶ ()1x ='C x dx 1+=⎰⑷ ()x 1x ln =′⑸ x x a a ln a =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛′ （a ＞0，1a ≠）⑹ ()xx e e =′C e dx e x x +=⎰⑺ ()x sin x cos =-′C x cos dx x sin +-=⎰⑻ ()x cos x sin =′C x sin dx x cos +=⎰⑼()x sec xcos 1x tan 22==′⑽ ()x csc x sin 1x cot 22==-′⑾ ()x tan x sec x sec ⋅=′C x sec dx x tan x sec +=⋅⎰⑿ ()x cot x csc x csc ⋅=-′C x csc dx x cot x csc +-=⋅⎰ ⒀()2x11x arcsin -=′（x ＜1） ()2x11x arccos -=-′（x ＜1）⒁()2x 11x arctan +=′()2x11x cot arc +=-′⒂ ()1x x 1x sec arc 2-=′（x ＞1） ()1x x 1x csc arc 2-=-′（x ＞1）【Note 】我们作如下说明：显然，当x ＞0时，有()()x1lnx x ln ='='；而当x ＜0时，有()()[]()x 11x 1x ln x ln =-⋅-='-='.总之，不论x ＞0或x ＜0，恒有()x1x ln =′，故C x ln dx x 1+=⎰. 我们知道，求导数的工具有二：基本导数公式和求导数的法则（四则运算求导法则、复合运算求导法则）.现在，也许有的同学会想，我们已经有了基本积分公式，要是再掌握了求积分的法则（四则运算求积分法则、复合运算求积分法则）不就可以求出任何一个函数的不定积分了吗？真要是这样就好了，可惜这是做不到的.第一是没有通用的求积分的法则（没有两函数之积[商]的求积分法则也没有复合运算的求积分法则）.第二是有些函数的不定积分是算不出来的.这里所说的“算不出来”（can not be calculated ）是指函数()x f 的原函数()x F 存在（从而()()C x F dx x f +=⎰）但()x F 不能表为有限形式（can not form a limited form of ,即()x F 不是初等函数）.比如由于函数2x e-是初等函数，从而dx e 2x ⎰-存在，但数学上可以证明2x e -的原函数不是初等函数，所以dx e 2x ⎰-是“算不出来”的（还有很多形式上看并不复杂的积分，如dx x ln 1⎰，dx x x sin ⎰，dx x x cos ⎰，dx x sin 2⎰，dx x cos 2⎰等，也都是“算不出来”的）.这样看来，积分运算比微分运算要难得多（就像减法运算比加法运算难、除法运算比乘法运算难、开方运算比乘方运算难）.原因就在于“⎰”是“d”的逆运算（就像“-”是“+”的逆运算、“÷”是“⨯”的逆运算、“n”()n”的逆运算，逆运算都比原是“运算难）.那么，为什么逆运算比原运算要难呢？其实，根本原因在于，加法运算、乘法运算、乘方运算、微分运算这些原运算的定义都是构造性的（constructive[不仅告诉“是什么”，而且告诉“怎样求”]），而减法运算、除法运算、开方运算、积分运算这些逆运算的定义都是非构造性的（non constructive[仅仅告诉“是什么”，而未告诉“怎样求”]）.比如，“导数”的定义就是构造性的：()()()00x x 0x x x f x f lim x f 0--='→，定义不仅告诉我们什么是导数，同时还告诉我们如何求导数；而“不定积分”的定义则是非构造性的：如果()()x f x F ='，那么()()⎰+=C x F dx x f ，定义本身只是告诉我们什么是不定积分（所有原函数），而并未告诉我们如何求不定积分（即如何求原函数）.积分运算由于其定义的非构造性，先天性地决定了它比微分运算这种定义为构造性的运算要难得多，复杂得多，对此我们要有足够的心理准备.当然，尽管难，我们也不必太“畏难”，我们还是有很多办法来求不定积分的.在下一节中，我们将学习到不定积分的基本运算方法.这里先告诉大家，在本课程中，我们不会遇到“算不出来”的不定积分.特别需要提醒大家的是，做为逆运算，积分学的熟练程度在很大程度上取决于微分学的熟练程度——就像25 就不可能会知道不知道322325=一样，不知道()x cos x sin ='也就不可能会知道C x sin xdx cos +=⎰.所以，即使我们现在已开始学习积分学的内容，大家还是要进一步熟悉微分学的内容.最后要强调一点，不仅孤立地看，“不定积分”是本课程的一个重点内容，而且它对后续内容（Chapter 6，即“定积分”）的学习也至关重要.。
不定积分的基本公式和直接积分法
不定积分的基本公式和直接积分法不定积分是微积分中的一个重要概念，用于求一个函数的原函数。
在求解不定积分时，可以使用基本公式和直接积分法。
一、基本公式基本公式是指一些常见函数的不定积分公式，它们是通过求导的反向过程来得到的。
以下是一些常见的基本公式：1. 常数函数的不定积分：∫k dx = kx + C，其中k为常数，C为常数项。
2. x的幂函数的不定积分：∫x^n dx = 1/(n+1) x^(n+1) + C，其中n不等于-13. e^x函数的不定积分：∫e^x dx = e^x + C。
4. 对数函数的不定积分：∫1/x dx = ln，x， + C，其中x不等于0。
5.三角函数的不定积分：- ∫sin(x) dx = -cos(x) + C。
- ∫cos(x) dx = sin(x) + C。
- ∫sec^2(x) dx = tan(x) + C。
- ∫csc^2(x) dx = -cot(x) + C。
6.反三角函数的不定积分：- ∫1/√(1-x^2) dx = arcsin(x) + C。
- ∫1/√(1+x^2) dx = arctan(x) + C。
- ∫1/x dx = ln，x， + C。
直接积分法是通过一些变换和方法来求解不定积分。
以下是几种常用的直接积分法：1. 换元法：通过进行变量代换，将不定积分转化为容易求解的形式。
例如，当遇到∫f(g(x))g'(x) dx的形式时，可以令u = g(x)，从而将不定积分转化为∫f(u) du。
2.部分分式法：将一个有理函数拆分为若干个分式的和，并分别对每个分式进行积分。
这通常用于分解分母是多项式的情况。
3. 分部积分法：将复杂函数的积分转化为简单函数的积分。
根据分部积分公式∫u dv = uv - ∫v du，选择一个函数作为u，另一个函数作为dv，并计算∫v du。
4. 微分与积分的互换：有时候，我们可以通过对函数进行微分来简化不定积分的求解。
定积分公式和不定积分公式
定积分公式和不定积分公式定积分公式和不定积分公式数学中，积分是一个非常重要的概念。
根据积分的算法分类，可以分为定积分和不定积分两种类型。
在这两种类型之间，有着一系列的公式存在，下面将会对定积分公式和不定积分公式进行详细讨论。
一、定积分公式定积分公式是求解定积分时需要用到的一种数学公式。
在定积分的基础上，使用定积分公式可以极大的方便计算的过程，加快处理的速度。
常见的定积分公式有：（1）基本积分公式指数函数积分：$$\int e^xdx=e^x+C$$幂函数积分：$$\int x^ndx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$$三角函数积分：$$\int \sin x dx=-\cos x+C$$$$\int \cos x dx=\sin x+C$$$$\int \tan x dx=\ln |\sec x|+C$$$$\int \cot x dx=\ln |\sin x|+C$$（2）换元积分公式逆元未知法：$$\int f(g(x))g'(x)dx=F(g(x))+C$$公式法：$$\int f(x)dx=\int \frac{f(ax+b)}{a}dx$$二、不定积分公式不定积分公式是一个求解不定积分的方法。
使用不定积分公式可以把不定积分转化为已知函数与常数的和。
常见的不定积分公式有：（1）基本积分公式指数函数积分：$$\int e^xdx=e^x+C$$幂函数积分：$$\int x^ndx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$$三角函数积分：$$\int \sin x dx=-\cos x+C$$$$\int \cos x dx=\sin x+C$$（2）分部积分公式$$\int udv=uv-\int vdu,$$其中 $u$ 和 $v$ 分别为积分中的两个函数。
通过这样的分部积分，可以将一个较难求的积分，将其转化为两个较容易求的积分。
（3）三角代换公式$$\int R(\sin x,\cos x)dx$$此处，$R(\sin x,\cos x)$ 是一个使用 $\sin x$ 和 $\cos x$ 组成的有理函数。
05不定积分的概念与性质
于是有
(3x－1)2008dx
u
20081 3
du
=
1 3
u
2008du
1 3
1 2009
u
2009
C
1 (3x 1)2009 C. 6027
例3 求
1 dx. 3 2x
解 令u 3 2x,得du 2dx，得dx 1 du，于是有 2
3
1
2x
dx
1 u
1 2
du
=
1 2
1 du u
[f (x) g(x)]dx f (x)dx g(x)dx
性质2可以推广到有限多个函数的情形，即
[
f
(x)
1
f
(x)
2
f (x)]dx n
f
(x)dx
1
f
(x)dx
2
f
(x)dx
n
例6 求 (2x3 5 x2 4x 3)dx. 解 (2x3 5 x2 4x 3)dx
1
xdx x3 dx
1
1
1
x 13 1
C
3 4
x
4 3
C.
3
(2)
1 dx x
x1 2
dx
1 1
1
x11 2
C
2
x C.
2
1
(3)
dx
x2
x2dx
x 1
21 C 1 C.
2 1
x
例5 计算下列积分
(1) 2xdx.
(2)
(
1 2
)
x
d x.
(3) exdx.
解 (1) 2x d x 2x C
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第一个问题由以下定理回答. 定理8.1 (原函数存在性定理) 若函数 f 在区间 I 上连续, 则 f 在 I 上存在原函 数 F, 即
若 F ( x) 是 f ( x) 的一个原函数, 则由定理 8.2,
∫ f (x) d x ={ F(x)+C C ∈R}.
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为方便起见, 我们记 ∫ f ( x)dx = F ( x) + C. 其中
C 为任意常数.
由此, 从例 1(ii) (iii) (iv)可得:
∫ x2dx = 1 x3 + C,
2
= arctan x + C
=
−arccot x + C.
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由导数线性运算法则可得到不定积分的线性运算
法则. 定理 8.3 (不定积分的线性运算法则)
若函数 f 与 g 在区间 I 上都存在原函数, k1, k2为
任意常数, 则 k1 f + k2g 在 I上也存在原函数, 且
∫ ∫ ∫ ( k1 f ( x) + k2g( x) )dx = k1 f ( x)dx + k2 g( x)dx.
则称 f 为 F 在区间 I 上的一个原函数.
例1 (i) 路程函数 s(t) 是速度函数 v(t) 的一个原函
数:
s′(t) = v(t).
(ii) x3 是 x2 的一个原函数:
3
⎛ ⎜ ⎝
x3 3
⎞′ ⎟ ⎠
=
x2.
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(iii)ln( x + 1 + x2 ) 是 1 的一个原函数: 1+ x2
10. ∫ csc2 xdx = −cot x + C .
11. ∫sec x ⋅ tan xdx = sec x + C.
12. ∫csc x ⋅ cot xdx = −csc x + C .
13. ∫
dx = arcsin x + C = −arccos x + C. 1− x2
14.
∫
1
dx +x
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证 (i) 由 (F ( x) + C )′ = F′( x) = f ( x), 知 F ( x) + C 也是 f ( x) 在 I 上的原函数. (ii) 设 F(x) 和 G(x) 是 f (x) 在 I 上的任意两个原 函数, 则
(F ( x) − G( x))′ = F ′( x) − G′( x) = f ( x) − f ( x) = 0.
( ) ln( x + 1 + x2 ) ′ = 1 . 1+ x2
( ) (iv)
1 2
x
1 − x2 + arcsin x 是
1 − x2 的一个原函数 :
( ) ⎡1
⎢⎣ 2
x
1−
x2
+ arcsin x
⎤ ⎥⎦
′
=
1− x2 .
从(iii) (iv)可以看出, 尽管象
1 和 1− x2 1+ x2
由第六章拉格朗日中值定理的推论, 即知 F(x) − G(x) ≡ C.
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二、不定积分
定义2 函数 f 在区间 I 上的全体原函数称为 f
在 I 上的不定积分, 记作
∫ f ( x)dx ,
其中称 x 为积分变量, f ( x) 为被积函数,
f ( x)dx 为积分表达式,∫ 为积分号.
α +1
4. ∫ 1xdx = ln | x | +C.
∫5. exdx = ex + C . ∫6. a xdx = a x + C .
ln a
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7. ∫ cos xdx = sin x + C.
8. ∫ sin xdx = −cos x + C.
9. ∫ sec2 xdx = tan x + C .
3
∫ dx = ln( x + 1 + x2 ) + C, 1+ x2
( ) ∫ 1 − x2dx = 1 x 1 − x2 + arcsin x + C. 2 前页 后页 返回
三、不定积分的几何意义
若F (x)是 f (x) 的一个原函数, 则称 y = F (x) 的图
像是 f (x) 的一条积分曲线.
§1 不定积分概念与 基本积分公式
不定积分是求导运算的逆运算.
一、原函数 二、不定积分 三、不定积分的几何意义 四、基本积分表
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一、原函数
微分运算的逆运算是由已知函数 f (x), 求函数F(x), 使
F ′( x) = f ( x). 例如 已知速度函数 v(t ), 求路程函数 s(t ). 即求
所有的积分曲线都是
y
y = F(x)+ C
由其中一条积分曲线 沿纵轴方向平移而得 到的.
y = F(x) i ( x0 , y0 )
O
x
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满足条件 F ( x0 ) = y0 的原函数正是在积分曲线中 通过点( x0 , y0 )的那一条积分曲线. 例如, 质点以匀速 v0 运动时, 其路程函数
F ′( x) = f ( x). 在第九章中将证明此定理.
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定理8.2 (原函数族的结构性定理) 设 F ( x) 是 f ( x) 在区间 I 上的一个原函数, 则 (i) F (x) + C 也是 f (x) 在 I 上的原函数, 其中 C 为任意常数. (ii) f (x) 在 I 上的任意两个原函数之间, 只可能相差 一个常数.
∫ s (t ) = v0 dt = v0 t + C .
若 t0 时刻质点在 s0 处, 且速度为 v0, 则有 s (t ) = v0(t − t0 ) + s0 .
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四、基本积分表
由基本求导公式可得以下基本积分公式:
1. ∫ 0dx = C.
2. ∫1dx = ∫dx =x + C. ∫3. xαdx = xα+1 + C (α ≠ −1, x > 0).
s(t), 使 s′(t) = v(t).
又如, 已知曲线在每一点处的切线斜率 k( x), 求 f ( x), 使 y = f ( x) 的图象正是该曲线, 即使得
f ′( x) = k( x).
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定义1 设函数 f 与 F 在区间 I 上都有定义,若
F ′( x) = f ( x)， x ∈ I ,