D10_2对坐标曲线积分

b
对空间光滑曲线弧 :
x (t ) y (t ) t : , 类似有 z (t )

P [ (t ), (t ) , (t )] (t )

(t )
(t )
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A(1, 1) 到B(1, 1) 的一段.
P [ x, ( x)] Q [ x, ( x)] ( x)d x
a
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b
• 对空间有向光滑弧 :
x (t ) y (t ) , t : z (t )

P [ (t ), (t ) , (t )] (t )
P [ (t ), (t )] (t ) dt
Hale Waihona Puke 0 i 1 同理可证
Q [ (t ), (t )] (t ) d t

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特别是, 如果 L 的方程为 y ( x), x : a b, 则

P [ x, ( x)] Q [ x, ( x)] ( x)d x a
2 0


(1 4 cos t ) d t 2
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2
o x
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y
结束
三、两类曲线积分之间的联系
设有向光滑弧 L 以弧长为参数 的参数方程为
dx dy 已知L切向量的方向余弦为 cos , cos ds ds 则两类曲线积分有如下联系
L P( x, y) d x Q( x, y) d y
lim
k 1
n
记作
L P( x, y)d x Q( x, y)d y
在有向曲线弧 L 上
都存在, 则称此极限为函数
对坐标的曲线积分, 或第二类曲线积分. 其中,
称为被积函数 , L 称为积分弧段 或 积分曲线 .
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P( k , k ) xk , L P( x, y)d x lim 0 k 1
x (t ) • 对有向光滑弧 L : , t : y (t )

3. 计算


P [ (t ), (t )] (t ) Q [ (t ), (t )] (t )d t
• 对有向光滑弧 L : y ( x) , x : a b
dx
o
1 x
B x
2x x ,
2
L P( x, y) dx Q( x, y) d y
2x x2
机动
(1 x )
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内容小结
1. 定义
lim P( k , k ) xk Q( k , k ) yk
2. 性质
思考与练习
1. 设一个质点在 处受 力F 的作用, F 的大小与M 到原 原点 O 的距离成正比, F 的方向 恒指向原点, 此质点由点
y
B(0, b)
M ( x, y )
F
o
沿椭圆
A(a,0) x
沿逆时针移动到
求力F 所作的功.
提示: OM ( x , y ) , F k ( x , y ) 思考: 若题中F 的方向
动过程中变力所作的功W. 变力沿直线所作的功
在 xoy 平面内从点 A 沿光滑曲线弧 L 移动到点 B, 求移 解决办法: “大化小” “常代变” “近似和” “取极限”
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x
F
A
W F AB cos
B

F AB
1) “大化 小”. 把L分成 n 个小弧段, F 沿
A t ds A cos ds
L L
说明: 上述证法可推广到三维的第二类曲线积分.
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例7.将积分 分, 其中L 沿上半圆周 解： y 2 x x , d y
2
化为对弧长的积
1 x 2x x 1
2x x2
2
dx y
2 1 y dx ds
其中L为
y
B ( 1, 1 )
2 2
(1) 抛物线 L : y x 2 , x : 0 1;
x y
o
4
yx
1 3 x dx 0
(3) 有向折线 L : OA AB . 解: (1) 原式
A(1, 0 ) x
(2) 原式 ( 2 y 2 y 2 y y 4 )d y
0
1
(3) 原式
( 2x 0 x 0 )d x ( 2 y 0 1)d y
2 0 0
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1
1
例4. 设在力场
沿移动到
作用下, 质点由 z 其中为 B
试求力场对质点所作的功. 解: (1)
2 0
A x
y

( R 2 k 2t ) d t
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3) “近似和”
W P( k , k ) xk Q(ξ k , k ) yk
k 1
n

4) “取极限”
W lim P(ξ k , ηk )Δxk Q(ξ k , ηk )Δyk
0 k 1
n
(其中 为 n 个小弧段的 最大长度)
y
F ( k , k )
L A
M x kk 1
M y kk
B
x
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2. 定义. 设 L 为xoy 平面内从 A 到B 的一条有向光滑
弧, 在L 上定义了一个向量函数 若对 L 的任意分割和在局部弧段上任意取点, 极限
P( k , k )xk Q( k , k ) yk 0
类似地, 若 为空间曲线弧 , 记 d s (d x , d y , d z )
F ( x, y, z ) ( P( x, y, z ) , Q( x, y, z ) , R( x, y, z ))
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3. 性质 (1) 若 L 可分成 k 条有向光滑曲线弧 则
L P( x, y)d x Q( x, y)d y k P( x, y )d x Q( x, y )d y L i 1
P [ x( s), y ( s)] cos Q [ x( s), y ( s)] cos ds
0 l
P( x, y ) cos Q( x, y ) cos ds
L
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类似地, 在空间曲线 上的两类曲线积分的联系是
P d x Q d y R d z
2 例1. 计算 x yd x , 其中L 为沿抛物线 y x 从点
L
解法1 取 x 为参数, 则 L : AO OB
y
B ( 1, 1 )
y x
AO : y x , x : 1 0 OB : y x ,
x yd x
L AO
x : 0 1
OB
o
y x
0 i 1
n
对应参数 i , 由于
xi xi xi 1 (ti ) (ti 1 ) ( i )ti
lim P [ ( i ) , ( i )] ( i )ti
0 i 1
n
因为L 为光滑弧 ,
lim P [ ( i ) , ( i )] ( i )ti
i
(2) 用L－ 表示 L 的反向弧 , 则
P( x, y )d x Q( x, y )d y
L
说明:
• 对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向 !
• 定积分是第二类曲线积分的特例.
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二、对坐标的曲线积分的计算法
定理: 在有向光滑弧 L 上有定义且
x (t ) t : , 则曲线积分 连续, L 的参数方程为 y (t ) 存在, 且有
A d s
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例6. 设
续, 曲线段 L 的长度为s, 证明
在L上连
证:
L

L P cos Q cos ds
P cos Q cos ds
设 A ( P, Q) , t (cos , cos ) 二者夹角为
解: (1) 取L的参数方程为
B a
A a x
则
L
y d x a 2 sin 2 t (a sin t )d t
2
0

2 4 3 2a 1 a 3 3 (2) 取 L 的方程为 y 0, x : a a, 则
3
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例3. 计算
(2) 抛物线

P cos Q cos R cos ds
令 A ( P , Q , R) , d s (d x , d y , d z )
t (cos , cos , cos )
A d s A t ds
记 A 在 t 上的投影为 A t

Q [ (t ), (t ) , (t )] (t ) R [ (t ), (t ) , (t )] (t )d t
4. 两类曲线积分的联系