【最新】人教版九年级数学上册同步练习：第二十一章一元二次方程解法综合训练测试5

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九年级数学上册《第二十一章实际问题与一元二次方程》增长率问题同步练习及答案-人教版

九年级数学上册《第二十一章实际问题与一元二次方程》增长率问题同步练习及答案-人教版学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、单选题1．2023年某电影上映的第一天票房为2亿元，第二天、第三天单日票房持续增长，三天累计票房为6.62亿元，若第二天、第三天单日票房按相同的增长率增长，设平均每天票房的增长率为x ，则根据题意，下列方程正确的是（） A ．()21 6.62x +=B ．22(1) 6.22x +=C ．()2212(1) 6.62x x +++=D ．()22212(1) 6.62x x ++++= 2．2021年某社区投入64万元用于社区基础设施维护和建设，以后逐年增加，计划到2023年该社区当年用于社区维修和建设的资金到达100万，设2021年至2023年该社区每年投入资金的年平均增长率为x ，根据题意列方程得（） A ．()2641100x -=B ．()6412100x +=C ．()6412100x -=D ．()2641100x += 3．某超市一月份的营业额为300万元，一月、二月、三月的总营业额1200万元，如果平均每月增长率为x ，则由题意列方程为（）A ．()230011200x +=B ．30030021200x +⋅⋅=C ．()230030011200x ++=D ．()()23001111200x x ⎡⎤++++=⎣⎦4．目前以5G 等为代表的战略性新兴产业蓬勃发展．某市2021年底有5G 用户3万户，计划到2023年底全市5G 用户数累计达到10万户．设全市5G 用户这几年的平均增长率都为x ，则可列方程为（） A ．()23110x +=B ．()()23313110x x ++++= C ．()()231110x x ++++= D ．()23110x x +++= 5．某商品经过连续两次降价，价格由100元降为64元．已知两次降价的百分率都是x ，则x 满足的方程是（）A ．()6412100x ﹣=B ．()2100164x -=C ．()2641100x -=D ．()1001264x ﹣= 6．某商店对一种商品进行库存清理，第一次降价30%，销量不佳；第二次又降价10%，销售大增，很快就清理了库存．设两次降价的平均降价率为x ，下面所列方程正确的是（）7．某旅游景点，3月份接待游客12万，5月份接待30万，设平均每月的增长率为x ，则下面所列方程中正确的是（）A ．()212130x +=B ．212(1)30x -=C ．()121230x +=D ．212(1)30x +=8．某商场今年2月份的营业额为400万元，3月份的营业额比2月份增加10％，5月份的营业额达到633.6万元，则3月份到5月份营业额的平均增长率是（）A ．10％B ．20％C ．22％D ．25％二、填空题9．2023年，临邑县某单位为响应国家“厉行节约，反对浪费”的号召，减少了对办公经费的投入，在两个月内将开支从每月2500元降到1600元，若平均每月降低开支的百分率为x ，则可根据题意列出方程为．10．疫情期间市民为了减少外出时间，许多市民选择使用手机软件在线上买菜，某买菜软件今年一月份新注册用户为200万，三月份新注册用户为392万，求二、三两个月新注册用户每月平均增长率．若设二、三两个月新注册用户每月平均增长率为x ，则可列方程为．11．受国际油价影响，今年我国汽油价格总体呈上升趋势．某地92号汽油价格八月底是7.8元/升，十月底是8.6元/升．设该地92号汽油价格这两个月平均每月的增长率为x ，根据题意列出方程．12．疫情期间，市政府为解决市民买药贵的问题，下调了某药品的价格．某种药品经过连续两次降价后，由每盒64元下调至49元，设这种药品平均每次降价的百分率为x ，则可列方程． 13．随着新冠病毒的疫情好转，市场经济得到复苏，某店铺连续两个月的销额从2万猛增到为10万，且连续两个月销售额的增长率是相同的，那么这个增长率是x ，根据题意可列方程：．14．疫情期间，某口罩厂一月份产量为100万只，由于需求量不断增大，三月份产量提高到121万只，该厂二、三月份的月平均增长率为．15．某品牌运动服原来每件售价640元，经过两次降价，售价降低了280元．已知两次降价的百分率相同，设每次降价的百分率为x ，依题意可列出关于x 的方程为．16．书香相伴，香满校园，某校学生9月份借阅图书500本，11月份借阅图书845本，如果每月借阅图书数量的增长率相同，设这个增长率为x ，那么根据题意可列方程为．三、解答题17．某桃园种植户种植的一种优质黄桃的产量在两年内从17.5吨增加到34.3吨，求这种优质黄桃这两年内平均每年增产的百分率．18．为满足师生阅读需求，学校建立“阅读公园”，并且不断完善藏书数量，今月3月份阅读公园中有藏书5000册，到今月5月份其中藏书数量增长到7200册．(1)求阅读公园这两个月藏书的平均增长率．(2)按照这样的增长方式，请你估算出今月6月份阅读公园的藏书量是多少？19．为落实素质教育要求，促进学生全面发展，我市某中学2018年投资20万元新增一批电脑，计划以后每年以相同的增长率进行投资，2020年投资33.8万元．(1)求该学校为新增电脑投资的年平均增长率；(2)从2018年到2020年，该中学三年为新增电脑共投资多少万元？20．我市某超市于今年年初以每件30元的进价购进一批商品．当商品售价为40元时，一月份销售250件．二、三月该商品十分畅销．销售量持续走高．在售价不变的基础上，三月底的销售量达到360件．设二、三这两个月的月平均增长率不变．(1)求二、三这两个月的月平均增长率；(2)从四月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降价1元，销售量增加6件，当商品降价多少元时，商场获利1950元？参考答案：1．D2．D3．D4．B5．B6．D7．D8．B9．()2250011600x -=10．()22001392x +=11．()27.818.6x +=12．264(1)49x -=13．()22110x +=14．10%15．()26401640280x -=-16．()25001845x +=17．该种优质黄桃这两年内平均每年增产的百分率是40% 18．(1)阅读公园这两个月藏书的平均增长率20％(2)估算出今月6月份阅读公园的藏书量是8640册19．(1)该学校为新增电脑投资的年平均增长率为30%(2)该中学三年为新增电脑共投资79.8万元20．(1)二、三这两个月的月平均增长率为20%(2)当商品降价5元时，商品获利1950元．。

人教版九年级数学上册第二十一章一元二次方程同步单元练习题(含答案,教师版)

人教版九年级数学上册第二十一章一元二次方程同步单元练习题一、选择题1．下列方程是一元二次方程的是(C)A ．x －1＝2 B.3x －1＝1 C ．x 2＋2x －1＝0 D ．x 2＋3y ＝0 2．解方程(x －1)2－3(x －1)＝0的最适当的方法是(D)A ．直接开平方法B ．配方法C ．公式法D ．因式分解法3．已知m 是方程x 2－x －1＝0的一个根，则代数式m 2－m 的值等于(C)A ．－1B ．0C ．1D ．24．下列一元二次方程中，有两个不相等实数根的是(B)A ．x 2＋9＝6xB ．x 2－x ＝1C ．x 2＋2＝2xD ．(x －1)2＋2＝05．扬帆中学有一块长30 m ，宽20 m 的矩形空地，计划在这块空地上划出四分之一的区域种花，小禹同学设计方案如图所示，求花带的宽度．设花带的宽度为x m ，则可列方程为(D)A ．(30－x)(20－x)＝34×20×30B ．(30－2x)(20－x)＝14×20×30 C ．30x ＋2×20x ＝14×20×30 D ．(30－2x)(20－x)＝34×20×30 6.若关于x 的一元二次方程x 2＋mx ＋m 2－3m ＋3＝0的两根互为倒数，则m 的值等于(B)A ．1B ．2C ．1或2D ．07.我们知道方程x 2＋2x －3＝0的解是x 1＝1，x 2＝－3，现给出另一个方程(2x ＋3)2＋2(2x ＋3)－3＝0，它的解是(D)A ．x 1＝1，x 2＝3B ．x 1＝1，x 2＝－3C ．x 1＝－1，x 2＝3D ．x 1＝－1，x 2＝－3二、填空题8．一元二次方程(x ＋1)(x ＋3)＝9的一般形式是x 2＋4x －6＝0，二次项系数为1，一次项系数为4，常数项为－6．9．已知一元二次方程x 2－3x －2＝0的两个实数根为x 1，x 2，则(x 1－1)(x 2－1)的值是－4．10．中国“一带一路”给沿线国家和地区带来很大的经济效益，沿线某地区居民2018年人均年收入20000元，到2020年人均年收入达到39 200元．则该地区居民年人均收入平均增长率为40%．(用百分数表示)11．若方程(a －1)xa 2＋1＋3x ＝1是关于x 的一元二次方程，则a 的值是－1．12．若方程(k －1)x 2＋2x －2＝0有两个实数根，则k 的取值范围是k ≥12且k ≠1． 13．已知三角形的两边长分别为4和7，第三边的长是方程x 2－10x ＋21＝0的解，则此三角形的周长是18．14．若(a 2＋b 2)2－3(a 2＋b 2)－4＝0，则代数式a 2＋b 2的值为4．15．已知α，β是方程x 2＋3x ＋1＝0的两个根，则(1＋5α＋α2)(1＋5β＋β2)的值为4．16．《田亩比类乘除捷法》是我国古代数学家杨辉的著作，其中有一个数学问题：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何”．意思是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的长比宽多多少步？根据题意得，长比宽多12步三、解答题17．解下列一元二次方程：(1)(2x ＋3)2－81＝0；解：(2x ＋3)2＝81.x 1＝3，x 2＝－6.(2)x 2－6x －2＝0；解：(x －3)2＝11.x 1＝3＋11，x 2＝3－11.(3)x 2＋22x －6＝0；解：∵a ＝1，b ＝22，c ＝－6，Δ＝b 2－4ac ＝(22)2－4×1×(－6)＝32，∴x ＝－22±322＝－22±422＝－2±2 2. ∴x 1＝2，x 2＝－3 2.(4)5x(3x ＋2)＝6x ＋4.解：(3x ＋2)(5x －2)＝0. x 1＝－23，x 2＝25. 18．如图，要利用一面墙(墙长为25米)建羊圈，用100米的围栏围成总面积为400平方米的三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长AB ，BC 各为多少米？解：设AB 的长度为x 米，则BC 的长度为(100－4x)米．根据题意，得(100－4x)x ＝400.解得x 1＝20，x 2＝5.当x ＝20时，100－4x ＝20；当x ＝5时，100－4x ＝80>25，不合题意，应舍去．∴AB ＝20，BC ＝20.答：羊圈的边长AB ，BC 分别是20米，20米．19．已知关于x 的一元二次方程x 2－(2k ＋1)x ＋k 2＋1＝0有两个不相等的实数根x 1，x 2.(1)求k 的取值范围；(2)若x 1＋x 2＝3，求k 的值及方程的根．解：(1)∵方程x 2－(2k ＋1)x ＋k 2＋1＝0有两个不相等的实数根，∴Δ＝[－(2k ＋1)]2－4×1×(k 2＋1)>0.整理，得4k －3>0，解得k>34. (2)由根与系数的关系知x 1＋x 2＝2k ＋1.又∵x 1＋x 2＝3，∴2k ＋1＝3.解得k ＝1，满足k>34， ∴原方程为x 2－3x ＋2＝0.∴x 1＝1，x 2＝2.20．已知关于x 的一元二次方程x 2－6x ＋m ＋4＝0有两个实数根x 1，x 2.(1)求m 的取值范围；(2)若x 1，x 2满足3x 1＝|x 2|＋2，求m 的值．解：(1)∵关于x 的一元二次方程x 2－6x ＋m ＋4＝0有两个实数根x 1，x 2，∴Δ＝(－6)2－4(m ＋4)＝20－4m ≥0.解得m ≤5.(2)∵关于x 的一元二次方程x 2－6x ＋m ＋4＝0有两个实数根x 1，x 2，∴x 1＋x 2＝6①，x 1x 2＝m ＋4②.∵3x 1＝|x 2|＋2，∴x 1>0.当x2≥0时，有3x1＝x2＋2③，联立①③，解得x1＝2，x2＝4.∴8＝m＋4.∴m＝4，满足m≤5；当x2＜0时，有3x1＝－x2＋2④，联立①④，解得x1＝－2，x2＝8(不合题意，舍去)．∴m的值为4.21．HW公司2018年使用自主研发生产的“QL”系列甲、乙、丙三类芯片共2 800万块，生产了2 800万部手机，其中乙类芯片的产量是甲类芯片的2倍，丙类芯片的产量比甲、乙两类芯片产量的和还多400万块．这些“QL”芯片解决了该公司2018年生产的全部手机所需芯片的10%.(1)求2018年甲类芯片的产量；(2)HW公司计划2020年生产的手机全部使用自主研发的“QL”系列芯片．从2019年起逐年扩大“QL”芯片的产量，2019年、2020年这两年，甲类芯片每年的产量都比前一年增长一个相同的百分数m%，乙类芯片的产量平均每年增长的百分数比m%小1，丙类芯片的产量每年按相同的数量递增.2018年到2020年，丙类芯片三年的总产量达到1.44亿块．这样，2020年的HW公司的手机产量比2018年全年的手机产量多10%，求丙类芯片2020年的产量及m的值．解：(1)设2018年甲类芯片的产量为x万块，由题意，得x＋2x＋(x＋2x)＋400＝2 800.解得x＝400.答：2018年甲类芯片的产量为400万块．(2)2018年丙类芯片的产量为3x＋400＝1 600(万块)，设丙类芯片的产量每年增加的数量为y万块，则1 600＋1 600＋y＋1 600＋2y＝14 400.解得y＝3 200.∴丙类芯片2020年的产量为1 600＋2×3 200＝8 000(万块)．2018年HW 公司手机产量为2 800÷10%＝28 000(万部)，则400(1＋m%)2＋2×400(1＋m%－1)2＋8 000＝28 000×(1＋10%)．设m%＝t ，400(1＋t)2＋2×400(1＋t －1)2＋8 000＝28 000×(1＋10%)．整理得3t 2＋2t －56＝0.解得t ＝4或t ＝－143(舍去)． ∴t ＝4.∴m%＝4.∴m ＝400.答：丙类芯片2020年的产量为8 000万块，m ＝40022．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝16 cm ，BC ＝8 cm ，一动点P 从点C 出发沿着CB 边以2 cm/s 的速度运动，另一动点Q 从点A 出发沿着AC 边以4 cm/s 的速度运动，P ，Q 两点同时出发，运动时间为t s.(1)若△PCQ 的面积是△ABC 面积的14，求t 的值； (2)△PCQ 的面积能否与四边形ABPQ 面积相等？若能，求出t 的值；若不能，说明理由．解：(1)根据题意，得S △PCQ ＝12×2t(16－4t)，S △ABC ＝12×8×16＝64. ∵△PCQ 的面积是△ABC 面积的14， ∴12×2t(16－4t)＝64×14. 整理，得t 2－4t ＋4＝0，解得t ＝2.答：当t ＝2 s 时，△PCQ 的面积为△ABC 面积的14. (2)△PCQ 的面积不能与四边形ABPQ 面积相等．理由如下：当△PCQ 的面积与四边形ABPQ 面积相等时，则S △PCQ ＝12S △ABC ，即12×2t(16－4t)＝64×12，整理，得t 2－4t ＋8＝0.∵Δ＝(－4)2－4×1×8＝－16＜0，∴此方程没有实数根．∴△PCQ 的面积不能与四边形ABPQ 面积相等．。

九年级数学上册《第二十一章实际问题与一元二次方程》同步练习题及答案(人教版)

九年级数学上册《第二十一章实际问题与一元二次方程》同步练习题及答案（人教版）姓名班级学号一、单选题1．已知△ABC是等腰三角形，BC=8，AB，AC的长是关于x的一元二次方程x2-10x+k=0的两根，则（）A．k=16 B．k=25C．k=-16或k=-25 D．k=16或k=252．某种衬衣的价格经过连续两次降价后，由每件150元降至96元，平均每次降价的百分率是（）A．10% B．20% C．30% D．40%3．奉节特产专卖店销售2015年良种夏季脐橙，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售可增加20千克．若该专卖店销售这种脐橙要想平均每天获利2240元，为减少库存，每千克脐橙应降价多少元？（）A．4元B．6元C．4元或6元D．5元4．2011年向阳村农民人均收入为7200元，到2013年增长至8712元．这两年中，该村农民人均收入平均每年的增长率为（）A．10% B．15% C．20% D．25%5．毕业之际，某校九年级数学兴趣小组的同学相约到同一家礼品店购买纪念品，每两个同学都相互赠送一件礼品，礼品店共售出礼品30件，则该兴趣小组的人数为（）A．5人B．6人C．7人D．8人6．一个两位数，它的十位数字比个位数字大3，且十位数字与个位数字的积是28，求这个两位数．设这个两位数的个位数字为x，则可列方程（）A．x2+3x−28=0B．x2−3x−28=0C．x2+3x+28=0D．x2−3x+28=07．如图，要设计一幅宽20cm、长30cm的图案，其中有两横两竖的彩条即图中的阴影部分，横竖彩条的，则竖彩条宽度为（）宽度比为2：1．如果要使阴影所占面积是图案面积的1975A．1 cm B．2 cm C．19 cm D．1 cm或19 cm8．欧几里得的《几何原本》中记载了用图解法求解一元二次方程的方法，小南读了后，想到一个可以求，BC=a，以A为圆心，作AE=AB，解方程x2-bx+a2=0的图解方法：如图，在矩形ABCD(AB>BC)中，AB= b2交DC于点E，则该方程的其中一个正根是( )A．BE的长B．CE的长C．AB的长D．AD的长二、填空题9．方程√5−x=3的根是10．某公司4月份的利润为160万元，要使6月份的利润达到250万元，则平均每月增长的百分率是．11．在一次同学聚会上，每两个人之间都互相赠送了一份礼物，若一共送出了380份礼物，则参加聚会的同学的人数是.12．某小组有若干人，新年大家互相发一条微信视福，已知全组共发微信56条，则这个小组的人数为人.13．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件可盈利40元．为了扩大销售量，增加盈利，采取了降价措施，经调查发现如果每件计划降价1元，那么商场平均每天可多售出2件．若商场平均每天要赢利1200元，则每件衬衫应降价．三、解答题14．要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排21场比赛，问应邀请多少个球队参加比赛？15．花鸟市场一家店铺正销售一批兰花,每盆进价100元,售价为140元,平均每天可售出20盆.为扩大销量,增加利润,该店决定适当降价.据调查,每盆兰花每降价1元,每天可多售出2盆. 要使得每天利润达到1200元，则每盆兰花售价应定为多少元？16．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干、小分支的总数是91，每个支干长出多少小分支？17．宜城市某楼盘准备以每平方米4000元的均价对外销售，由于国务院“新国五条”出台后，购房者持币观望，房地产开发商为了加快资金周转，对价格经过两次下调后，决定以每平方米3240元的均价开盘销售．（1）求平均每次下调的百分率．（2）某人准备以开盘价均价购买一套100平方米的住房，开发商给予以下两种优惠方案以供选择：①打9.8折销售；②不打折，一次性送装修费每平方米80元，试问哪种方案更优惠？18．商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元．为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件．设每件商品降价x元．据此规律，请回答：（1）商场日销售量增加件，每件商品盈利元（用含x的代数式表示）；（2）在上述条件不变、销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2100元？19．如图，中间用相同的白色正方形瓷砖，四周用相同的黑色长方形瓷砖铺设矩形地面，请观察图形并解答下列问题．（1）问：依据规律在第6个图中，黑色瓷砖多少块，白色瓷砖有多少块；（2）某新学校教室要装修，每间教室面积为68m2，准备定制边长为0.5米的正方形白色瓷砖和长为0.5米、宽为0.25米的长方形黑色瓷砖来铺地面．按照此图案方式进行装修，瓷砖无须切割，恰好完成铺设．已知白色瓷砖每块20元，黑色瓷砖每块10元，请问每间教室瓷砖共需要多少元？参考答案1．D2．B3．B4．A5．B6．A7．A8．B9．x=﹣410．25%11．2012．813．10元或20元14．解：设邀请x个球队参加比赛依题意得1+2+3+…+x-1=21即x(x−1)=212∴x2-x-42=0∴x=7或x=-6（不合题意，舍去）．答：应邀请7个球队参加比赛．15．解：设每盆兰花售价定为x元，可以达到1200元的利润，则据题意得， (x-100)[20+2(140-x)]=1200，解得x=120或x=130，因为为扩大销量,增加利润，所以x=130(舍去)答：要使刚刚利润达到1200元，每盆兰花售价为120元16．解：设每个支干长出的小分支的数目是x个根据题意列方程得：x2+x+1=91解得：x=9或x=﹣10（不合题意，应舍去）；∴x=9；答：每支支干长出9个小分支．17．解：（1）设平均每次下调的百分率是x，依题意得，4000（1﹣x）2=3240解之得：x=0.1=10%或x=1.9（不合题意，舍去）所以，平均每次下调的百分率是10%．（2）方案①实际花费=100×3240×98%=317520元方案②实际花费=100×3240﹣100×80=316000元∵317520＞316000∴方案②更优惠18．（1）2x；50﹣x（2）解：由题意得：（50﹣x）（30+2x）=2100（0≤x＜50）化简得：x2﹣35x+300=0，即（x﹣15）（x﹣20）=0解得：x1=15，x2=20∵该商场为了尽快减少库存∴降的越多，越吸引顾客∴选x=20答：每件商品降价20元，商场日盈利可达2100元19．解：（1）通过观察图形可知，当n=1时，黑色瓷砖有8块，白瓷砖2块；当n=2时，黑色瓷砖有12块，白瓷砖6块；当n=3时，黑色瓷砖有16块，用白瓷砖12块；则在第n个图形中，黑色瓷砖的块数可用含n的代数式表示为4（n+1），白瓷砖的块数可用含n的代数式表示为n（n+1）当n=6时，黑色瓷砖的块数有4×（6+1）=28块，白色瓷砖有6×（6+1）=42块；故答案为：28，42；（2）设白色瓷砖的行数为n，根据题意，得：0.52×n（n+1）+0.5×0.25×4（n+1）=68解得n1=15，n2=﹣18（不合题意，舍去）白色瓷砖块数为n（n+1）=240黑色瓷砖块数为4（n+1）=64所以每间教室瓷砖共需要：20×240+10×64=5440元．答：每间教室瓷砖共需要5440元．。

九年级数学上册《第二十一章解一元二次方程》同步练习题及答案(人教版)

九年级数学上册《第二十一章解一元二次方程》同步练习题及答案（人教版）姓名班级学号一、选择题：1．方程 (2)(4)2x x x ++=+ 的解是（）A ．2x =-B ．4x =-C ．24x x =-=-或D ．23x x =-=-或2．用配方法解一元二次方程x 2-4x+3=0时可配方得（）A ．（x-2）2=7B ．（x-2）2=1C ．（x+2）2=1D ．（x+2）2=23．关于x 的一元二次方程x 2﹣5x+k=0有两个不相等的实数根，则k 可取的最大整数为（）A ．6B ．5C ．4D ．34．若x =是某个一元二次方程的根，则这个一元二次方程可以是（） A ．3x 2+2x ﹣1＝0 B ．2x 2+4x ﹣1＝0C ．﹣x 2﹣2x+3＝0D ．3x 2﹣2x ﹣1＝0 5．已知方程 26730x x --= 的两根分别为 1x 和 2x ，则 1211x x + 的值为（）. A ．73 B ．73- C ．37 D ．37- 6．设a ，b 是方程 220220x x +-= 的两个实数根，则 22a a b ++ 的值为（）A ．2020B ．2021C ．2022D ．2023 7．关于 x 的一元二次方程 ()22m 2x x m 40-++-= 有一个根为 0 ，则 m 的值应为（）A ．2B ．2-C ．2 或 2-D ．18．方程x 2-9x+18=0的两个根是一个等腰三角形的底和腰，则这个等腰三角形的周长为（）A ．12B ．12或15C ．15D ．不能确定9．若一元二次方程x 2﹣（2m+3）x+m 2＝0有两个不相等的实数根x 1，x 2，且x 1+x 2＝x 1x 2，则m 的值是（）A ．﹣1B ．3C ．3或﹣1D ．﹣3或1二、填空题：10．一元二次方程x 2﹣4x+6=0实数根的情况是．11．将一元二次方程 20ax bx c ++= ，化为 2()x m - = 2244b ac a - ，则m 为． 12．若关于x 的一元二次方程 210x kx ++= 有两个相等的实数根，则k 的值为 .13．若x ＝1是关于x 的一元二次方程 2(1)20x k x +++= 的一个实数根，则另一实数根为14．若实数a 、b 分别满足22420420a a b b -+=-+=，，且a b ≠，则11a b +的值为 . 15．一个三角形的两边长为2和9,第三边长是方程x 2－14x+48=0的一个根，则三角形的周长为 .三、解答题：16．用配方法解方程：2x 2﹣3x ﹣3=0．17．解方程：()215x x -=.18．解下列方程（1）2410x x --=（2）22570x x +-=19．已知x 1，x 2是关于x 的一元二次方程x 2+（m+1）x+m+6=0的两实数根，且x 12+x 22=5，求m 的值是多少？20．已知关于x 的方程（m-1）x 2-（m-2）x+ 14m=0. （1）当m 取何值时方程有一个实数根？（2）当m 取何值时方程有两个实数根？（3）设方程的两根分别为x 1、x 2，且x 1x 2=m+1，求m 的值.1．D 2．B 3．A 4．D 5．B 6．B 7．B 8．C 9．B10．方程没有实数根11．2b a- 12．±213．214．215．1916．解：2x 2﹣3x ﹣3=0x 2﹣32x ﹣32=0 x 2﹣32x+916=916+32（x ﹣34）2=3316 x ﹣34=±334解得：x 1=3334+ x 2=3334 17．解：原方程可化为22150x x --=∴()()530x x -+=解得15x = 23x =-.∴原方程的解为15x = 23x =-18．（1）解： 2410x x --=∴2(4)41(1)16420∆=--⨯⨯-=+= ∴420252x ==±；（2）解： 22570x x +-=∴2542(7)255681∆=-⨯⨯-=+= ∴58159224x -±-±==⨯∴11x = 272x =- ； 19．解：∵x 1、x 2是一元二次方程x 2+（m+1）x+m+6=0的两个实数根∴x 1+x 2=﹣（m+1），x 1x 2=m+6∵x 12+x 22=（x 1+x 2）2﹣2x 1x 2=5∴（m+1）2﹣2（m+6）=5解得：m 1=4，m 2=﹣4又∵方程x 2﹣mx+2m ﹣1=0有两个实数根∴△=（m+1）2﹣4（m+6）≥0∴当m=4时△=25﹣40=﹣15＜0，舍去；故符合条件的m 的值为m=﹣420．（1）解：当m-1=0，即m=1时，该方程为一元一次方程，方程有一个实数根：x=-14 ；（2）解：当m-1≠0，即m ≠1时，该方程为一元二次方程；当△=[-（m-2）]2-4（m-1）×14 m ≥0时，方程有两个实数根. 解得：m ≤43 ，且m ≠1 ∴当m ≤ 43，且m ≠1时方程有两个实数根；（3）解：由一元二次方程根与系数关系得：x 1x 2= ()m4m 1- ，又因为x 1x 2=m+1所以： ()m 4m 1- =m+1 整理，得：4m 2-m-4=0解得m 1= 165+ 、m 2= 165- ∵1658 - 43 = 3652924 ＜0∴m 2＜m 1＜0∴m 的值为 165±。

九年级数学上册《第二十一章解一元二次方程》同步练习题及答案(人教版)

九年级数学上册《第二十一章解一元二次方程》同步练习题及答案(人教版)一、选择题（共8题）1.方程x2=0的根为( )A．x1=x2=0B．x=0C．x2=0D．无实数根2.下列方程中，有实数解的方程是( )A．√4x+1+1=0B．2x4−1=0C．x2+3x+6=0D．1x−1=xx−13.已知m，n是关于x的一元二次方程x2−3x+a=0的两个解，若(m−1)(n−1)=−6，则a的值为( )A．−10B．4C．−4D．104.已知x1，x2是关于x的方程x2+ax−2b=0的两实数根，且x1+x2=−2，x1⋅x2=1则b a的值是( )A．14B．−14C．4D．−15.关于x的一元二次方程x2−(m+n)x+mn=0的根的情况是( )A．有两个相等的实数根B．有两个不相等实数根C．有两个实数根D．没有实数根6.三角形的一边长为10，另两边长是方程x2−14x+48=0的两个根，则这个三角形是( )A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．无法确定7.用配方法解方程x2+x−5=0时，此方程变形正确的是( )A．(x+12)2=214B．(x+12)2=194C．(x+1)2=6D．(x+1)2=48.利用配方法解一元二次方程x2−6x+7=0时，将方程配方为(x−m)2=n，则m，n的值分别为( )A．m=9，n=2B．m=−3，n=−2C．m=3，n=0D．m=3，n=2二、填空题（共5题）9.已知二次函数y=x2+x+c的图象与x轴的一个交点为(1,0)，则关于x的方程x2+x+c=0的两实数根分别是．10.一元二次方程x2−2x−1=0的根的判别式的值是．11.关于x的一元二次方程(2−a)x2−2x+1=0有两个不相等的实数根，则整数a的最小值是．12.已知一元二次方程x2−3x−10=0的两个实数根为x1，x2则(x1−1)(x2−1)的值是．13.关于x的方程2x2+kx−4=10的一个根是−2，则方程的另一个根是，k=．三、解答题（共6题）14.解关于x的方程．(1) (5x−3)2=(x+1)2．(2) （配方法）2x2+3=7x．15.已知关于x的一元二次方程x2−(2k+1)x+k2+2k=0有两个实数根x1，x2．(1) 求实数k的取值范围．(2) 是否存在实数k，使得x1⋅x2−x12−x22=0成立？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由．16.已知a，b，c是三角形的三条边长，且关于x的方程(b+c)x2+√2(a−c)x−34(a−c)=0有两个相等的实数根，试判断三角形的形状．17.定义：方程cx2+bx+a=0是一元二次方程ax2+bx+c=0的倒方程．(1) 已知x=2是x2+2x+c=0的倒方程的解，求c的值．(2) 若一元二次方程ax2−2x+c=0无解，求证：它的倒方程也一定无解．(3) 一元二次方程ax2−2x+c=0（a≠c）与它的倒方程只有一个公共解，它的倒方程只有一个解，求a 和c的值．18.已知关于x的方程(m+2)x2−√5mx+m−3=0．(1) 求证方程有实数根；(2) 若方程有两个实数根，且两根平方和等于3，求m的值．19.阅读材料：如果x1、x2是一元二次方程ax2+bx+c=0的两根，那么有x1+x2=−ba ，x1x2=ca这是一元二次方程根与系数的关系，我们利用它可以用来解题．例x1、x2是方程x2+6x−3=0的两根，求x12+x22的解，解法可以这样：x1+x2=−6，x1x2=−3则x12+x22=(x1+x2)2−2x1x2=(−6)2−2×(−3)=42．请根据以上解法解答下题：已知x1、x2是方程x2−4x+2=0的两根，求：(1) 1x1+1x2的值；(2) (x1−x2)2的值．参考答案1. A2. B3. C4. A5. C6. B7. A8. D9. x1=2，x2=110. 811. 312. −1213. 72；−314.(1) (5x−3)2−(x+1)2=0,(5x−3+x+1)(5x−3−x−1)=0,5x−3+x+1=0或5x−3−x−1=0,所以x1=13,x2=1;(2) x2−72x=−32,x2−72x+4916=−32+4916,(x−74)2=2516,x−74=±54,所以x1=3,x2=12.15.(1) ∵原方程有两个实数根∴[−(2k+1)]2−4(k2+2k)≥0∴4k2+4k+1−4k2−8k≥0∴1−4k≥0∴k≤14．∴当k≤14时，原方程有两个实数根．(2) 假设存在实数k使得x1⋅x2−x12−x22=0成立．∵x1，x2是原方程的两根∴x1+x2=2k+1，x1⋅x2=k2+2k由x1⋅x2−x12−x22=0得3x1⋅x2−(x1+x2)2=0∴3(k2+2k)−(2k+1)2=0整理得：−(k−1)2=0∴只有当k=1时，上式才能成立又∵由（1）知k≤14∴不存在实数k使得x1⋅x2−x12−x22=0成立．(a−c)]=0 16. 根据题意得Δ=2(a−c)2−4(b+c)×[−34即2(a−c)2+3(b+c)(a−c)=0∴(a−c)(2a+3b+c)=0∵2a+3b+c≠0∴a−c=0，即a=c∴原三角形为等腰三角形．17.(1) x2+2x+c=0的倒方程为cx2+2x+1=0把x=2代入cx2+2x+1=0得4c+4+1=0．解得c=−54(2) ∵一元二次方程ax2−2x+c=0无解∴Δ=(−2)2−4ac<0∴ac>1一元二次方程ax2−2x+c=0的倒方程为cx2−2x+a=0∵Δʹ=(−2)2−4ca=4−4ac而 ac >1∴Δʹ<0∴ 它的倒方程也一定无解．(3) 一元二次方程 ax 2−2x +c =0 的倒方程为 cx 2−2x +a =0而倒方程只有一个解∴c =0则 −2x +a =0，解得 x =a 2把 x =a 2 代入 ax 2−2x =0 得 a ×a 24−a =0而 a ≠c∴a =2 或 a =−2．18.(1) 当 m +2=0 时，方程化为 2√5x −5=0，解得 x =√52；当 m +2≠0 时Δ=(−√5m)2−4(m +2)(m −3)=(m +2)2+20∵(m +2)2≥0∴Δ>0即 m ≠−2 时，方程有两个不相等的实数根∴ 方程有实数根；(2) 设方程两实数根为 a ，b则 a +b =√5m m+2，ab =m−3m+2∵a 2+b 2=3∴(a +b )2−2ab =3∴(√5m m+2)2−2×m−3m+2=3 解得 m =0．19.(1) ∵x1+x2=4，x1x2=2∴1x1+1x2=x1+x2x1x2=42=2.(2) ∵x1+x2=4，x1x2=2∴(x1−x2)2=(x1+x2)2−4x1x2=42−4×2=8.。

人教版数学九年级上册第二十一章解一元二次方程计算题练习卷[含答案]

人教版数学九年级上册第二十一章解一元二次方程计算题练习卷一、计算题1．解下列方程：x2−4x=0（1）；(x−6)(x+1)=−12（2） .2．解方程：（1）（x+2）2﹣9＝0；（2）x2﹣2x﹣3＝0.3．解方程：（1）x2－2x－3＝0；（2）x （x－2）－x＋2＝0.4．解方程：(x+3)2−25=0x(x+2)=2x+45．解方程：．(x+3)(x−3)=x−36．解方程：．7．解方程：（1）x2＝4x；（2）x（x﹣2）＝3x﹣6．（1）4x(2x+1)＝3(2x+1)；（2）﹣3x2+4x+4＝0．9．解下列方程：（1）x2−2x−8=0（2）(x−1)2=(x−1)10．用适当方法解下列一元二次方程：（1）x2﹣6x＝1；（2）x2﹣4＝3（x﹣2）．11．解方程：x（x﹣3）＝x﹣312．解方程：（x+3）2﹣2x（x+3）＝0．13．解方程：x(2x﹣5)＝2x﹣5．14．解下列关于x的方程．6x(x−1)=x−1（1）；3x2−2x=x2+x+1（2）．（1）x2−2x+1=0（2）2x2−7x+3=016．解方程：(x−2)2=3(x−2)（1）；3x2−4x−1=0（2）．17．解方程：（1）（x﹣4）（5x+7）＝0；（2）x2﹣4x﹣6＝0．18．解方程：（1）x2﹣3x＝0；（2）2x（3x﹣2）＝2﹣3x．答案解析部分1．【答案】（1）解：x2−4x=0x(x−4)=0解得x1=0，x2=4（2）解：(x−6)(x+1)=−12x2−5x−6=−12x2−5x+6=0即(x−2)(x−3)=0解得x1=3，x2=22．【答案】（1）解：（x+2）2﹣9＝0（x+2）2=9x+2=±3x1=−5，x2=1所以 .（2）解：x2﹣2x﹣3＝0（x+1）（x-3）=0x-3=0或x+1=0x1=−1，x2=3所以 .3．【答案】（1）解：x2－2x－3＝0x2－2x＋1＝3＋1（x－1）2＝4x－1＝±2∴x1＝3，x2＝－1；（2）解：x （x－2）－（x－2）＝0（x－2）（x－1）＝0x-2=0或x-1=0∴x1＝2，x2＝1.4．【答案】解：（x+3）2=25，∴x+3=±5，解得：x1=2，x2=-8．5．【答案】解：x（x＋2）＝2x＋4，x（x＋2）－2（x＋2）＝0，（x＋2）（x－2）＝0，x＋2＝0或x－2＝0，∴x1＝－2，x2＝2．6．【答案】解：，(x+3)(x−3)−(x−3)=0．(x−3)[(x+3)−1]=0即．(x−3)(x+2)=0∴或，x−3=0x+2=0∴或．x1=3x2=−27．【答案】（1）解：∵x2=4x，∴x2-4x=0，则x（x-4）=0，∴x=0或x-4=0，解得x1=0，x2=4；（2）解：∵x（x-2）=3x-6，∴x（x-2）-3（x-2）=0，则（x-2）（x-3）=0，∴x-2=0或x-3=0，解得x1=2，x2=3．8．【答案】（1）解：4x(2x+1)=3(2x+1)(4x−3)(2x+1)=0x1=34，x2=−12（2）解：−3x2+4x+4=0a=−3，b=4，c=4，Δ=42+3×4×4=64∴x=−b±b2−4ac2a=−4±8−6∴x1=−23，x2=29．【答案】（1）解：x2−2x−8=0(x−4)(x +2)=0解得：， .x 1=−2x 2=4（2）解： (x−1)2=(x−1)(x−1−1)(x−1)=0(x−2)(x−1)=0解得：， .x 1=1x 2=210．【答案】（1）解：两边同加．得，32x 2−6x +32=1+32即，(x−3)2=10两边开平方，得，x−3=±10即，或，x−3=10x−3=−10∴，x 1=10+3x 2=−10+3（2）解：，(x +2)(x−2)=3(x−2)∴，(x +2)(x−2)−3(x−2)=0∴，(x−2)(x−1)=0∴，或，x−2=0x−1=0解得x 1=2，x 2=111．【答案】解：x （x-3）=x-3x （x-3）-（x-3）=0，（x-3）（x-1）=0，解得：x 1=3，x 2=1．12．【答案】解：（x+3）2﹣2x （x+3）＝0(x +3)(x +3−2x)=0(x +3)(3−x)=0解得x 1=3，x 2=−313．【答案】解：（2x －5）（x －1）＝0x 1＝，x 2＝15214．【答案】（1）解：移项，得6x （x−1）−（x−1）=0由此可得（6x−1）（x−1）=06x−1=0，x−1=0解得，．x 1=16x 2=1（2）解：移项，得2x 2−3x−1=0，，a =2b =−3c =−1Δ=b 2−4ac =（−3）2−4×2×（−1）=17>0∴x =−(−3)±172×2=3±174∴x 1=3+174，x 2=3−17415．【答案】（1）解：，x 2−2x +1=0即(x-1)2=0，∴x 1=x 2=1（2）解：，2x 2−7x +3=0因式分解得：(2x-1)(x-3)=0，∴2x-1=0或x-3=0，∴x 1=，x 2=31216．【答案】（1）解：原方程可化为(x−2)(x−5)=0即或，x−2=0x−5=0∴，x 1=2x 2=5（2）解：∵，，，a =3b =−4c =−1∴，Δ=b 2−4ac =28>0∴，x =4±282×3=2±73∴，x 1=2+73x 2=2−7317．【答案】（1）解：，(x−4)(5x +7)=0或，x−4=05x +7=0或，x =4x =−75即x 1=4，x 2=−75（2）解：，x 2−4x−6=0，x 2−4x =6，x 2−4x +4=6+4，(x−2)2=10，x−2=±10，x =2±10即x 1=2+10，x 2=2−1018．【答案】（1）解：x 2﹣3x ＝0，x （x﹣3）＝0，∴x ＝0或x﹣3＝0，∴x 1＝0，x 2＝3；（2）解：2x （3x﹣2）＝2﹣3x ， 2x （3x﹣2）+（3x﹣2）＝0，则（3x﹣2）（2x+1）＝0，∴3x﹣2＝0或2x+1＝0，解得x 1＝，x 2＝﹣．2312。

【人教版】数学九年级全一册第21章微专题1一元二次方程的解法综合随堂练习(课件版)

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解：(t＋2) ＝9， ∴t＋2＝±3，即 t1＝1，t2＝－5. ∵t＝ x2＋2x ≥0，∴t＝ x2＋2x ＝1.
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则有 x2＋2x＝1.配方，得(x＋1) ＝2. 解得 x1＝－1＋ 2 ，x2＝－1－ 2 . 经检验：x1＝－1＋ 2 ， x2＝－1－ 2 是原方程的根．
用适当的方法解一元二次方程
8.(2019·绍兴)x 为何值时，两个代数式 x2＋1，4x＋1 的值相等？
解：由题可知，x2＋1＝4x＋1. ∴x2－4x＝0. ∴x(x－4)＝0.∴x1＝0，x2＝4. 答：当 x＝0 或 x＝4 时，两个代数式 x2＋1，4x＋1 的值相等．
除了适合用直接开平方法和因式分解法外的方程，均可用公式法求解 9.(2020·无锡)解方程：x2＋x－1＝0.
16.(2020·徐州)解方程：2x2－7x＋3＝0.
解：(十字相乘法)∵2x2－7x＋3＝0， ∴(2x－1)(x－3)＝0. ∴2x－1＝0 或 x－3＝0. ∴x1＝1 ，x2＝3.
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17.(2020·乐山改编)已知 y≠0，且 x2－3xy－4y2＝0，
求x 的值． y
解：∵y≠0，∴两边同除以 y2，
第二十一章一元二次方程
微专题1 一元二次方程的解法综合 (学会选择最优的解法)
形如“x2＝p(p≥0)或(x＋a)2＝p(p≥0)”的
方程可用直接开平方法 1.方程 16 x2＝1 的解为___x_1_＝_54__，__x_2＝__－__54_____．
25 2.(2020·扬州)方程(x＋1)2＝9 的根是x_1_＝__2_，__x_2＝__－__4．
解：移项，得 x2＋4x＝2. 配方，得(x＋2)2＝6. 开平方，得 x＋2＝± 6 . ∴x1＝－2＋ 6 ，x2＝－2－ 6 .

九年级数学上册《第二十一章-一元二次方程》同步练习题含答案(人教版)

九年级数学上册《第二十一章一元二次方程》同步练习题含答案(人教版）学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、单选题1．下列方程是一元二次方程的是( )=0B．5x2−6y−3=0A．x2+3xC．ax2−x+2=0D．x2－5x＝22．下列方程中，没有实数根的是 ( )A．x2−x−1=0B．x2+1=0C．−x2+x+2=0D．x2=−3x3．一元二次方程3x−2=x(2x−l)的一般形式是（）A．2x2−3x−2=0B．2x2+3x−2=0C．2x2−4x−2=O D．2x2−4x+2=04．已知方程−2x2−7x+1=0的较小根为α,下面对α的估算正确的是（）A．－5＜α＜－4 B．－4＜α＜－3C．－3＜α＜－2 D．－1＜α＜05．一元二次方程3x2﹣x﹣2=0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（）A．3，﹣1，﹣2 B．3，1，﹣2 C．3，﹣1，2 D．3，1，26．若x=−1是一元二次方程ax2+bx+c=0的根，则下列式子成立的是（）A．a+b+c=0B．a−b+c=0C．a+b−c=0D．−a+b+c=07．关于x的方程（a﹣1）x2﹣x﹣3=0是一元二次方程，则（）A．a＞1 B．a±0 C．a≠1 D．a=18．如图，某校劳动实践课程试验园地是长为20m，宽为18m的矩形，为方便活动，需要在园地中间开辟一横两纵共三条等宽的小道．如果园地余下的面积为306m2，则小道的宽为多少？设小道的宽为xm，根据题意，可列方程为（）A．(20−2x)(18−x)=306B．(20−x)(18−2x)=306C．20×18−2×18x−20x+x2=306D．20×18−2×20x−18x+x2=306二、填空题9．当k= 时，关于x的方程x2+3x+k=0有一个根为0．10．把方程x（5x﹣4）+1=2化为一般形式，如果二次项系数为5，则一次项系数为．11．若一元二次方程的二次项系数为1，常数项为0，它的一个根为2，则该方程为。

九年级数学上册《第二十一章解一元二次方程》同步练习题带答案(人教版)

九年级数学上册《第二十一章解一元二次方程》同步练习题带答案(人教版）学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、单选题1．方程x2=4x的解是（）A．X=4 B．X=0 C．X1=0,X2=-4 D．X1=0,X2=42．一元二次方程x（x﹣2）=0根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．只有一个实数根D．没有实数根3．将方程x2+8x+9=0左边变成完全平方式后，方程是：（）A．（x+4）2=7 B．（x+4）2=25 C．（x+4）2=-9 D．（x+4）2=-74．已知关于x的一元二次方程中，有两个相等的实数根的方程是（）A．x2+4=0 B．4x2﹣4x+1=0 C．x2+x+3=0 D．x2+2x﹣7=05．方程x2+2x-5=0经过配方后，其结果正确的是（）A．(x+1)2=5B．(x−1)2=5C．(x+1)2=6D．(x−1)2=66．关于x的一元二次方程kx2+2x﹣1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A．k＞﹣1 B．k＞﹣1且k≠0C．k≠0 D．k≥﹣17．已知三角形两边长为4和7，第三边的长是方程x2−16x+55=0的一个根，则第三边长是（）A．5 B．5或11 C．6 D．118．已知一元二次方程（a+1）x2﹣ax+a2﹣a﹣2＝0的一个根与方程（a+1）x2+ax﹣a2+a+2＝0的一个根互为相反数，那么（a+1）x2+ax﹣a2+a+2＝0的根是（）A．0，﹣23B．0，23C．﹣1，2 D．1，﹣2二、填空题9．解一元二次方程x2+2x-3=0时，可转化为解两个一元一次方程，请写出其中的一个一元一次方程10．若方程x2−2x−3=0两根为α、β，则α2+β2=．11．关于x的方程ax2+4x﹣2=0（a≠0）有实数根，那么负整数a= （一个即可）．12．如果关于x的方程x2-x+k=0（k为常数）有两个相等的实数根，那么k= ．13．关于x的一元二次方程kx2﹣2x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是．三、解答题14．解方程：(用适当的方法解方程) （1）解方程：x2﹣3x+2=0. （2）（2x-3）+2x（2x-3）=0 （3）3x2=2－5x15．已知：a、b是实数，且满足√a−32+|b+2|=0，求关于x的一元二次方程ax2+bx+12=0的根．16．已知关于x的一元二次方程x2+（2k+2）x+k2+2k＝0．求证：无论k为何值，方程总有两个不相等的实数根．17．已知关于x的一元二次方程x2+(m+3)x+m+1=0．⑴求证：无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根；⑵若x1，x2是原方程的两根，且|x1−x2|=2√2，求m的值，并求出此时方程的两根．18．已知关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+2mx+m+3=0 有两个不相等的实数根．（1）求m的取值范围；（2）当m取满足条件的最大整数时，求方程的根．19．已知关于x的方程x2﹣（m+2）x+（2m﹣1）＝0.（1）求证：方程恒有两个不相等的实数根.（2）若此方程的一个根是1，请求出方程的另一个根，并求以此两根为边长的直角三角形的面积.参考答案1．D2．A3．A4．B5．C6．B7．A8．A9．x-1=0或x+3=010．1011．﹣212．1413．k＜1且k≠0 14．（1）解：∵x2﹣3x+2=0∴（x﹣32）2= 14…∴x1=1，x2=2.（2）解：∵（2x-3）+2x（2x-3）=0 ∴（2x﹣3）（1+2x）=0∴x1= 32，x2=－12（3）解：a=3，b=5，c=－2∵b2－4ac=52－4×3×（－2）=49＞0∴x=−5±√492×3x1=－2，x2= 1315．解：∵√a−32+|b+2|=0，√a−32≥0，|b+2|=≥0∴a−32=0，b+2=0∴a=32，b=−2∴原一元二次方程即为32x2−2x+12=0，整理得：3x2−4x+1=0∴(3x−1)(x−1)=0，x2=1．解得x1=1316．证明：∵a＝1，b＝2k+2，c＝k2+2k∴Δ＝（2k+2）2﹣4（k2+2k）＝（4k2+8k+4）﹣（4k2+8k）＝4∴Δ＞0∴无论k取何值时，方程总有两个不相等实数根17．解：（1）证明：∵△=（m+3）2-4（m+1）=（m+1）2+4∵无论m取何值，（m+1）2+4恒大于0∴原方程总有两个不相等的实数根（2）∵x1，x2是原方程的两根∴x1+x2=-（m+3），x1•x2=m+1…5分∵|x1-x2|=2√2∴（x1-x2）2=（2√2）2∴（x1+x2）2-4x1x2=8∴[-（m+3）]2-4（m+1）=8∴m2+2m-3=0解得：m1=-3，m2=1当m=-3时，原方程化为：x2-2=0解得：x1=√2，x2=-√2当m=1时，原方程化为：x2+4x+2=0解得：x1=-2+√2，x2=-2-√218．（1）根据题意得m﹣2≠0且△=4m2﹣4（m﹣2）（m+3）＞0解得m＜6且m≠2；（2）m满足条件的最大整数为5，则原方程化为3x2+10x+8=0∴（3x+4）（x+2）=0，x2=﹣2．∴x1=﹣4319．（1）证明：x2−(m+2)x+(2m−1)=0其中：a=1，b=−(m+2)，c=2m−1∴Δ=b2−4ac=[−(m+2)]2−4×1×(2m−1)=(m−2)2+4∴在实数范围内，m无论取何值，(m−2)2+4>0即Δ>0∴关于x的方程x2−(m+2)x+(2m−1)=0恒有两个不相等的实数根；（2）解：根据题意得：将x=1代入方程可得：12−(m+2)+(2m−1)=0解得m=2∴方程为x2−4x+3=0解得：x1=1或x2=3∴方程的另一个根为x=3；①当该直角三角形的两直角边是1、3时该直角三角形的面积为：12×1×3=32；②当该直角三角形的直角边和斜边分别是1、3时由勾股定理得该直角三角形的另一直角边为√32−12=2√2则该直角三角形的面积为12×1×2√2=√2；综上可得，该直角三角形的面积为32或√2。

人教版初中数学九年级上册第二十一章《配方法解一元二次方程》同步练习题(解析版)

九年级上册第二十一章?配方法解一元二次方程?同步练习题一、选择题〔每题只有一个正确答案〕1．用配方法解方程x2−4x−2=0变形后为()A．(x−2)2=6B．(x−4)2=6C．(x−2)2=2D．(x+2)2=62．将方程x2+8x+9=0左边变成完全平方式后，方程是〔〕A．(x+4)2=7B．(x+4)2=25C．(x+4)2=−9D．(x+4)2=−7 3．假设方程x2﹣8x+m=0可以通过配方写成〔x﹣n﹣2=6的形式，那么x2+8x+m=5可以配成〔〕A．﹣x﹣n+5﹣2=1B．﹣x+n﹣2=1C．﹣x﹣n+5﹣2=11D．﹣x+n﹣2=11 4．对二次三项式x2－10x＋36，小聪同学认为：无论x取什么实数，它的值都不可能等于11；小颖同学认为：可以取两个不同的值，使它的值等于11.你认为( )A．小聪对，小颖错B．小聪错，小颖对C．他们两人都对D．他们两人都错5．假如一元二次方程x2-ax+6=0经配方后，得〔x+3﹣2=3，那么a的值为〔〕A．3 B．-3 C．6 D．-6二、填空题6．方程x2﹣2x﹣2﹣0的解是____________.7．总结配方法解一元二次方程的步骤是：(1)化二次项系数为__________；(2)移项，使方程左边只有__________项；(3)在方程两边都加上__________平方；(4)用直接开平方法求出方程的根.8．〔1〕x2+6x+9=(x+____)2，〔2〕x2-_______+p24=(x−p2)2.9．把一元二次方程3x2-2x-3=0化成3(x+m)2=n的形式是____________；假设多项式x2-ax+2a-3是一个完全平方式，那么a=_________.10．x²-3x+____=(x-___)².三、解答题11．解方程：x2−2x=4﹣12．用配方法解方程：2x2−3x+1=0﹣13．用配方法说明：不管x取何值，代数式2x2+5x-1的值总比代数式x2+7x-4的值大，并求出两代数式的差最小时x的值．14．关于x的一元二次方程kx2+2x﹣1=0有实数根，第 1 页〔1〕求k的取值范围；〔2〕当k=2时，请用配方法解此方程．15．大家知道在用配方法解一般形式的一元二次方程时，都要先把二次项系数化为1，再进展配方．现请你先阅读如下方程〔1〕的解答过程，并按照此方法解方程〔2〕．方程〔1〕2x2−2√2x−3=0．解：2x2−2√2x−3=0，(√2x)2−2√2x+1=3+1，(√2x−1)2=4，√2x−1=±2，x1=−√22，x2=3√22．方程〔2〕3x2−2√6x=2．参考答案1．A【解析】【分析】在此题中，把常数项-2移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数-4的一半的平方．【详解】把方程x2-4x-2=0的常数项移到等号的右边，得到x2-4x=2,方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到x2-4x+4=2+4,配方得〔x-2〕2=6．应选：A【点睛】配方法的一般步骤：〔1〕把常数项移到等号的右边；〔2〕把二次项的系数化为1；〔3〕等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．2．A【解析】【详解】﹣x2+8x+9=0﹣﹣x2+8x=−9﹣﹣x2+8x+16=−9+16﹣﹣(x+4)2=7.应选A.【点睛】配方法的一般步骤：〔1〕将常数项移到等号右边；〔2〕将二次项系数化为1；〔3〕等式两边同时加上一次项系数一半的平方.3．D【解析】分析：方程x2﹣8x+m=0可以配方成〔x﹣n〕2=6的形式，把x2﹣8x+m=0配方即可第 1 页得到一个关于m的方程，求得m的值，再利用配方法即可确定x2+8x+m=5配方后的形式．详解：∵x2﹣8x+m=0，∴x2﹣8x=﹣m，∴x2﹣8x+16=﹣m+16，∴〔x﹣4〕2=﹣m+16，依题意有：n=4，﹣m+16=6，∴n=4，m=10，∴x2+8x+m=5是x2+8x+5=0，∴x2+8x+16=﹣5+16，∴〔x+4〕2=11，即〔x+n〕2=11．应选D．点睛：考察理解一元二次方程﹣配方法，配方法的一般步骤：〔1〕把常数项移到等号的右边；〔2〕把二次项的系数化为1；〔3〕等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．4．D【解析】【分析】通过配方写成完全平方的形式，用配方法解一元二次方程，首先将常数项移到等号的右侧，将等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方，即可将等号左边的代数式写成完全平方形式．再说明他的说法错误．【详解】当x2-10x+36=11时；x2-10x+25=0﹣﹣x-5﹣2=0﹣x1=x2=5﹣所以他们两人的说法都是错误的，应选D.【点睛】此题考察了配方法解一元二次方程，纯熟掌握配方法的一般步骤是解题的关键.配方法的一般步骤：〔1〕把常数项移到等号的右边；〔2〕把二次项的系数化为1﹣﹣3〕等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．5．D【解析】【分析】可把〔x+3〕2=3按完全平方式展开，比照即可知a的值．【详解】根据题意，〔x+3〕2=3可变为：x2+6x+6=0，和一元二次方程x2-ax+6=0比拟知a=-6．应选：D【点睛】此题考核知识点：此题考察了配方法解一元二次方程，是根底题．6．x1﹣1﹣√3﹣x2﹣1﹣√3【解析】分析: 首先把常数-2移到等号右边，再两边同时加上一次项系数一半的平方，把左边配成完全平方公式，再开方，解方程即可.详解:x2-2x-2=0，移项得：x2-2x=2，配方得：x2-2x+1=2+1，〔x-1〕2=3，两边直接开平方得：x-1=±√3，那么x1=√3+1，x2=-√3+1．故答案为：x1＝1＋√3，x2＝1－√3.点睛: 此题主要考察了配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤：〔1〕把常数项移到等号的右边；〔2〕把二次项的系数化为1；〔3〕等式两边同时加上一次项系数一半的平方.选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数. 7．1二次项及一次一次项系数一半的【解析】分析：根据配方法的步骤解方程即可．详解：总结配方法解一元二次方程的步骤是：(1)化二次项系数为1；(2)移项，使方程左边只有二次项及一次项；(3)在方程两边都加上一次项系数一半的平方；(4)用直接开平方法求出方程的根.点睛：此题考察了配方法，配方法的一般步骤：〔1〕把常数项移到等号的右边；〔2〕把二次项的系数化为1；〔3〕等式两边同时加上一次项系数一半的平方，选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．第 3 页8．3 px【解析】【详解】根据完全平方公式得，x 2+6x +9=(x +3)2﹣x 2-px +p 24=(x −p 2)2. 故答案为3﹣px .9．3(x −13)2=103﹣2或6.【解析】【分析】首先把一元二次方程3x 2-2x -3=0提出3,然后再配方即可;【详解】根据题意,一元二次方程3x 2-2x -3=0化成,括号里面配方得,,即; ∵多项式x 2-ax+2a -3是一个完全平方式,,∴解得a=2或6.故答案为﹣(1). 3(x −13)2=103﹣ (2). 2或6.【点睛】此题考察了配方法解一元二次方程,解题的关键是纯熟掌握用配方法解一元二次方程的步骤.10． 94, 32 【解析】分析：根据配方法可以解答此题．详解：∵x 2﹣3x +94=〔x ﹣32〕2，故答案为：94，32．点睛：此题考察了配方法的应用，解题的关键是纯熟掌握配方法．11．x 1=1+√5，x 2=1−√5．【解析】【分析】第 5 页两边都加1，运用配方法解方程.【详解】解：x 2−2x +1=5，(x −1)2=5，x −1=±√5，所以x 1=1+√5，x 2=1−√5．【点睛】此题考核知识点：解一元二次方程. 解题关键点：掌握配方法.12．x 1=12，x 2=1．【解析】【分析】利用配方法得到〔x ﹣34〕2=116，然后利用直接开平方法解方程即可．【详解】x 2﹣32x =﹣12， x 2﹣32x +916=﹣12+916，〔x ﹣34〕2=116x ﹣34=±14，所以x 1=12，x 2=1．【点睛】此题考察理解一元二次方程﹣配方法：将一元二次方程配成〔x +m 〕2=n 的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．13．详见解析.【解析】【分析】用求差法比拟代数式2x 2+5x-1的值总与代数式x 2+7x-4的大小，即2x 2+5x-1-〔x 2+7x-4〕=2x 2+5x-1-x 2-7x+4=x 2-2x+3=〔x-1〕2+2；当x=1时，两代数式的差最小为2．【详解】解：2x 2+5x-1-〔x 2+7x-4〕=2x 2+5x-1-x 2-7x+4=x 2-2x+3=〔x-1〕2+2，∵〔x-1〕2≥0，∴〔x-1〕2+2＞0，即2x 2+5x-1-〔x 2+7x-4〕＞0，∴不管x 取任何值，代数式2x 2+5y-1的值总比代数式x 2+7x-4的值大，当x=1时，两代数式的差最小为2．【点睛】此题考核知识点：配方.解题关键点：用求差法和配方法比拟代数式的大小.14．〔1〕k ≥﹣1且k ≠0；〔2〕x 1=√3−12，x 2=−√3−12．【解析】试题分析：﹣1〕当k =0时，是一元一次方程，有解；当k ≠0时，方程是一元二次方程，因为方程有实数根，所以先根据根的判别式﹣≥0，求出k 的取值范围；﹣2〕当k =2时，把k 值代入方程，用配方法解方程即可．解：〔1〕∵一元二次方程kx 2+2x ﹣1=0有实数根，∴22+4k ≥0，k ≠0，解得，k ≥﹣1且k ≠0；〔2〕当k=2时，原方程变形为2x 2+2x ﹣1=0，2〔x 2+x 〕=1，2〔x 2+x +〕=1+，2〔x +〕2=，〔x +〕2=x +=±， x 1=，x 2=． 15．x 1=√6+2√33 ，x 1=√6−2√33. 【解析】【分析】参照范例的步骤和方法进展分析解答即可.【详解】原方程可化为：(√3x)2−2×√3×√2x +(√2)2=2+(√2)2，﹣ (√3x −√2)2=4，∴ √3x−√2=±2，∴x1=√6+2√33，x2=√6−2√33.【点睛】读懂范例中的解题方法和步骤是解答此题的关键.第 7 页。

九年级数学上册《第二十一章一元二次方程》同步练习题及答案(人教版)

九年级数学上册《第二十一章一元二次方程》同步练习题及答案（人教版) 班级姓名学号一、单选题1．方程x2=4x的根是（）A．4 B．-4 C．0或4 D．0或-42．下列方程是关于x的一元二次方程的是（）A．ax2+bx+c=0B．1x2+1x=2C．x2+2x=x2−1D．3(x+1)2=2(x+1)3．若x＝1是方程x2+ax﹣2＝0的一个根，则a的值为（）A．0 B．1 C．2 D．34．如果一个一元二次方程的根是x1＝x2＝2，那么这个方程可以是（）A．x2＝4 B．x2＋4＝0C．x2＋4x＋4＝0 D．x2－4x＋4＝05．已知关于x的方程ax2+bx+c=0，若a+b+c=0，则该方程一定有一个根为（）A．-1 B．0 C．1 D．1或-16．若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+4x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A．k＜5 B．k＜5，且k≠1C．k≤5，且k≠1 D．k＞57．已知2是关于x的方程x2-2mx+3m=0的一个根，并且这个方程的两个根恰好是等腰三角形ABC的两条边长，则三角形ABC的周长为（）A．10 B．14 C．10或14 D．8或108．定义：cx2+bx+a=0是一元二次方程ax2+bx+c=0的倒方程.则下列四个结论：①如果x＝2是x2+2x+c=0的倒方程的解，则c=−54；②如果ac<0，那么这两个方程都有两个不相等的实数根；③如果一元二次方程ax2−2x+c=0无实数根，则它的倒方程也无实数根；④如果一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根，则它的倒方程也有两个不相等的实数根. 其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题9．写一个以5，﹣2为根的一元二次方程（化为一般形式）．10．一元二次方程x2-3x=0的较大的根为。

11．把方程3x （x ﹣1）＝2﹣2x 化成一元二次方程的一般形式为12．若一元二次方程ax 2﹣bx ﹣2015=0有一根为x=﹣1，则a+b= ．13．已知 {x =−2y =3是方程x ﹣ky=1的解，那么k= ．三、解答题14．已知x=1是方程x 2﹣5ax+a 2=0的一个根，求代数式3a 2﹣15a ﹣7的值．15．若关于x 的二次方程（m+1）x 2+5x+m 2﹣3m=4的常数项为0，求m 的值．16．已知关于x 的方程（k ﹣1）（k ﹣2）x 2+（k ﹣1）x+5=0．求：（1）当k 为何值时，原方程是一元二次方程；（2）当k 为何值时，原方程是一元一次方程；并求出此时方程的解．17．阅读下题的解答过程，请判断其是否有错，若有错误，请你写出正确的m 值．已知m 是关于x 的方程mx 2﹣2x+m=0的一个根，求m 的值．解：把x=m 代入原方程，化简得m 2=m ，两边同除以m ，得m=1把m=1代入原方程检验，可知m=1符合题意．18．关于x 的一元二次方程x 2﹣3x+k ＝0有实数根．（1）求k 的取值范围；（2）如果k 是符合条件的最大整数，且一元二次方程（m ﹣1）x 2+x+m ﹣3＝0与方程x 2﹣3x+k ＝0有一个相同的根，求此时m 的值．19．已知关于x 的一元二次方程x 2＋（m ﹣2）x ＋m ﹣3＝0.（1）求证：无论m 取何值，方程总有实数根.（2）设该方程的两个实数根分别为x 1，x 2，且2x 1＋x 2＝m ＋1，求m 的值.1．C2．D3．B4．D5．C6．B7．B8．C9．x2-3x-10=0(不唯一)10．x=311．3x2−x−2=012．201513．k=﹣114．解：∵x=1是方程x2﹣5ax+a2=0的一个根∴1﹣5a+a2=0．∴a2﹣5a=﹣1∴3a2﹣15a﹣7=3（a2﹣5a）﹣7=3×（﹣1）﹣7=﹣10，即3a2﹣15a﹣7=﹣10．15．解：∵关于x的二次方程（m+1）x2+5x+m2﹣3m﹣4=0的常数项为0∴m2﹣3m﹣4=0，即（m﹣4）（m+1）=0解得：m=4或m=﹣1当m=﹣1时，方程为5x=0，不合题意；则m的值为4．16．解：（1）依题意得：（k﹣1）（k﹣2）≠0解得k≠1且k≠2；（2）依题意得：（k﹣1）（k﹣2）=0，且k﹣1≠0所以k﹣2=0解得k=2所以该方程为x+5=0解得x=﹣5．17．解：错误，由于关于x的方程不一定是一元二次方程此时，方程为﹣2x=0∴x=0，符合题意当m ≠0时∴m 3﹣2m+m=0∴m （m 2﹣1）=0∴m 2﹣1=0∴m=±1综上所述，m=0或±1．18．（1）解：根据题意得△=（-3）2-4k ≥0，解得k ≤ 94（2）解：满足条件的k 的最大整数为2，此时方程变形为方程x 2-3x+2=0，解得x 1=1，x 2=2 当相同的解为x=1时，把x=1代入方程得m-1+1+m-3=0，解得m= 32当相同的解为x=2时，把x=2代入方程得4（m-1）+2+m-3=0，解得m=1，而m-1≠0 不符合题意，舍去，所以m 的值为 3219．（1）证明：∵Δ=(m −2)2−4(m −3)=m 2−4m +4−4m +12=m 2−8m +16=(m −4)2≥0 ∴无论m 取何值，此方程总有实数根；（2）解：∵该方程的两个实数根分别为x 1，x 2∴{x 1+x 2=−(m −2)=2−m 2x 1+x 2=m +1，且 x 1x 2=m −3 解得 {x 1=2m −1x 2=3−3m∴(2m −1)(3−3m)=m −3∴6m −3−6m 2+3m =m −3 即 6m 2−8m =0∴m(6m −8)=0∴解得 m =0 或 m =43。

人教版九年级数学上册第二十一章一元二次方程同步测试(含答案)

第21章一元二次方程同步测试一、选择题(每题2分）1.下列方程中是关于x的一元二次方程的是()A.x2+=0B. ax2+bx+c=0C. (x－1)(x+2)=1D. 3x2－2xy－5y2=02.若关于x的一元二次方程(m－1)x2+5x+m2－3m+2=0的常数项为0,则m的值为()A. 1B. 2C. 1或2D. 03.若关于x的方程x2+bx+a=0的一个根是－a(a≠0),则a－b的值为()A.－1B.0C. 1D. 24.已知三角形的两边长分别是方程x2－5x+6=0的两个根,则该三角形的周长L的取值范围是()A. 1<L<5B. 2<L<6C. 5<L<9D. 6<L<105.若关于x的一元二次方程x2+(m－2)x+m+1=0有两个相等的实数根,则m的值为()A.0B. 8C. 4±2D. 0或86.某校九年级学生毕业时,每名同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张留作纪念.全班共送了2 070张相片,如果全班有x名学生,根据题意,列出方程为()A.x(x－1)=2 070B. x(x+1)=2 070C. 2x(x+1)=2 070D.=2 0707.等腰三角形一条边的边长为3，它的另两条边的边长是关于x的一元二次方程x2﹣12x+k=0的两个根，则k的值是（）A．27 ．36 C．27或36 D．188.若x1，x2是关于x的方程x2＋bx－3b＝0的两个根，且x12＋x22＝7，则b的值为()A．1 B．－7 C．1或－7 D．7或－19.如图,在▱ABCD中，AE⊥BC于E,AE=EB=EC=a,且a是一元二次方程x2+2x﹣3=0的根,则▱ABCD的周长为（）A.4+2B.12+6C.2+2D.2+或12+6二、填空题(每题2分）11.一元二次方程2x 2+4x －1=0的二次项系数、一次项系数及常数项之和为 .12.设方程x 2+x ﹣2=0的两个根为α，β，那么（α﹣1）（β﹣1）的值等于．13.若x=2是关于x 的方程x 2－x －a 2+5=0的一个根,则a 的值为 .14. 如果x 2－2(m ＋1)x ＋m 2＋5是一个完全平方式，则m ＝________．15.已知关于x 的一元二次方程(1－2k )x 2－2k x －1＝0有实数根，则k 的取值范围为________．16.已知m 、n 是方程x 2－3x －4=0的两个实数根，则m 2+mn-3m=______________.17.图21－3是一张长为9 cm,宽为5 cm 的矩形纸板,将纸板四个角各剪去一个同样大小的正方形,可制成一个底面积为12 cm 2的无盖长方体纸盒.设剪去的正方形的边长为x cm,则可列出关于x 的方程为 .图21－3 图21－4 18.如图21－4所示,已知线段AB 的长为a ,以AB 为边在AB 的下方作正方形ACDB.取AB 边上一点E ,以AE 为边在AB 的上方作正方形AENM.过点E 作EF 丄CD ,垂足为F.若正方形AENM 与四边形EFDB 的面积相等,则AE 的长为 .三、解答题19.(16分)用适当的方法解下列方程:(1)x 2－6x+9=(5－2x )2; (2)x (x+8)=16;(3)x 2+3x+1=0; (4)3x (x －2)=2(2－x ).20.已知关于x 的方程x ²-6x+m+4=0有两个实根21,x x ,（1）求m 的范围（2)若21,x x 满足2321+=x x ,求m 的值21.已知关于x 的一元二次方程x 2﹣（2k +1）x +4k ﹣3=0，（1）求证：无论k 取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根？（2）当Rt △ABC 的斜边a =，且两条直角边的长b 和c 恰好是这个方程的两个根时，求k 的值．22.(10分)某西瓜经营户以2元/千克的价格购进一批小型西瓜,以3元/千克的价格出售,每天可售出200千克.为了促销,该经营户决定降价销售.经调查发现,这种小型西瓜每降价0.1元/千克,每天可多售出40千克,另外,每天的房租等固定成本共24元.该经营户要想每天盈利200元,应将每千克小型西瓜的售价降低多少元?23.(10分)为落实国务院房地产调控政策,使“居者有其屋”,某市加快了廉租房的建设力度.2012年市政府共投资2亿元人民币建设了8万平方米廉租房,预计到2014年底三年累计投资9.5亿元人民币建设廉租房,且在这两年内每年投资的增长率相同.(1)求市政府每年投资的增长率;(2)若这两年内的建设成本不变,到2014年底共建设了多少万平方米廉租房?24..(10分)如图，△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝8 cm ，BC ＝4 cm ，一动点P 从C 出发沿着CB 方向以1 cm /s 的速度运动，另一动点Q 从A 出发沿着AC 方向以2 cm /s 的速度运动，P ，Q 两点同时出发，运动时间为t (s )．(1)当t 为几秒时，△PCQ 的面积是△ABC 面积的14？ (2)△PCQ 的面积能否为△ABC 面积的一半？若能，求出t 的值，说明理由．答案和备用题.某水果经销商上月份销售一种新上市的水果，平均售价为10元/千克，月销售量为1 000千克．经市场调查，若将该水果价格调低至x元/千克，则本月份销售量y(千克)与x(元/千克)之间符合一次函数关系式y＝kx＋b，当x＝7时，y＝2 000；当x＝5时，y＝4 000.(1)求y与x之间的函数解析式；(2)已知该种水果上月份的成本价为5元/千克，本月份的成本价为4元/千克，要使本月份销售该种水果所获利润比上月份增加20%，同时又要让顾客得到实惠，那么该种水果价格每千克应调低至多少元？(利润＝售价－成本价).(10分)如图21－5所示,A,B,C,D是矩形的四个顶点,AB=16 cm,AD=6 cm,动点P,Q分别从点A,C同时出发,点P以3 cm/s的速度向点B移动,一直到达点B为止,点Q以2 cm/s的速度向点D移动.(1)P,Q两点从出发开始到几秒时,四边形PBCQ的面积为33 cm2?(2)P,Q两点从出发开始到几秒时,点P和点Q的距离第一次是10 cm?图21－5参考答案1. C解析:选项A,不是整式,该方程不是一元二次方程,故错误;选项B,当a=0时,该方程不是一元二次方程,故错误;选项C,由原方程得x2+x－3=0,是一元二次方程,故正确;选项D,方程3x2－2xy－5y2=0中含有两个未知数,故错误.故选C2. B解析:根据题意得,由m－1≠0,得m≠1;由m2－3m+2=0,得m=1或m=2,所以m=2.故选B.3. A解析:已知关于x的方程x2+bx+a=0的一个根是－a(a≠0),所以a2－ba+a=0.因为a≠0,所以等式的两边同除以a,得a－b+1=0,所以a－b=－1,故选A.www.4. C解析:由原方程移项,得x2－2x=7,方程的两边同时加上一次项系数－2的一半的平方1,得x2－2x+1=8,所以(x－1)2=8,故选C.2·1·c·n·j·y5. D解析:因为a=1,b=1,c=－1,b2－4ac=12－4×1×(－1)=5>0,所以x=,故选D.6. D解析:先解方程x2－5x+6=0,得到x=2或x=3,即三角形的两边长是2和3.再根据三角形三边的关系确定第三边a的取值范围为1<a<5,所以三角形的周长L的取值范围是6<L<10,故选D.7. D解析:设y=2x+5,则方程可以变为y2－4y+3=0,解得y1=1,y2=3.当y=1时,2x+5=1,解得x=－2;当y=3时,2x+5=3,解得x=－1.所以原方程的解为x1=－2,x2=－1,故选D.8. D解析:因为方程x2+(m－2)x+m+1=0有两个相等的实数根,所以(m－2)2－4×1×(m+1)=0,解得m1=0,m2=8,故选D.9. A解析:每人要赠送(x－1)张相片,有x个人,全班共送了2 070张相片.可列出方程(x－1)x=2 070,故选A.10. D解析:设队数是x,则每队参加(x－1)场比赛,而任何两队都只赛一场,所以共举行x(x－1)场比赛.因为共进行了45场比赛,所以x(x－1)=45,解得x=10或－9(不合题意,舍去),只取x=10,所以这次有10支队伍参加比赛,故选D.11. 5解析:根据题意得,方程2x2+4x－1=0的二次项系数为2,一次项系数为4,常数项为－1,所以和为2+4－1=5.12.正确解析:根据一元二次方程的定义,得3x2+x－2=0的常数项是－2.13.±解析:根据方程的根的定义,把x=2代入方程,得4－2－a2+5=0,解得a=±.14.x=±解析:移项,得2x2=6,所以x2=3,两边开平方,得x=±.15.a1=2+,a2=2－解析:用公式法求解,得a===2±,所以a1=2+,a2=2－.16. 4解析:设共有x人进入半决赛,则=6,解得x1=4,x2=－3(舍去),所以共有4人进入半决赛.17. (9－2x)·(5－2x)=12解析:根据题意,得底面的长为(9－2x),宽为(5－2x),因为底面积是12 cm2,所以(9－2x)·(5－2x)=12.18.a解析:设AE的长为x,则BE的长为(a－x),根据“正方形AENM与四边形EFDB的面积相等”,列方程为x2=(a－x)·a.因为x是正数,解得x= a.19.解:(1)配方,得(x－3)2=(5－2x)2,两边开平方,得x－3=5－2x或x－3=2x－5,解x1=2,x2=.(2)将左边展开,得x2+8x=16,配方,得x2+8x+42=16+42,即(x+4)2=32,解得x+4=±4,所以x1=4－4,x2=－4－4.(3)因为a=1,b=3,c=1,b2－4ac=32－4×1×1=5>0,所以x==,即x1=,x2=.(4)由原方程,得(3x+2)·(x－2)=0.所以3x+2=0或x－2=0,解得x1= －,x2=2.20.解:原式=×=×==(a2+3a).∵a是方程x2+3x+1=0的根,∴a2+3a+1=0,∴a2+3a=－1,∴原式=－.21.解:(m+2)2－4(2m－1)=(m－2)2+4.∵无论m取何值,Δ=(m－2)2+4≥4,即b2－4ac≥4,∴关于x的方程x2－(m+2)x+(2m－1)=0恒有两个不相等的实数根.22.解:设应将每千克小型西瓜的售价降低x元出售.根据题意,得(3－x－2)－24=200.整理,得100x2－50x+6=0.解得x1=0.2,x2=0.3.答:每千克小型西瓜应降价0.2元或0.3元出售.23.解:(1)设每年市政府投资的增长率为x,根据题意,得2+2(1+x)+2(1+x)2=9.5,整理,得x2+3x－1.75=0,解得x=,∴x1=0.5,x2=－3.5(舍去)答:市政府每年投资的增长率为50%.(2)到2014年底共建廉租房面积=9.5÷=38(万平方米).24.解:(1)设P,Q两点从出发开始到x s时,四边形PBCQ的面积为33 cm2.根据题意,得PB=AB－AP=(16－3x)cm,CQ=2x cm,故(2x+16－3x)×6=33,解得x=5(2)设P,Q两点从出发开始到y s时,点P和点Q的距离第一次是10 cm.如图所示,过点Q作QM⊥AB于点M,则BM=CQ=2y cm,故PM=(16－5y)cm.在Rt△PMQ中,有PM2+QM2=PQ2,∴(16－5y)2+62=102.∴y1=,y2=.∵所求的是距离第一次为10 cm时所用的时间,∴y=.答:(1)P,Q两点从出发开始到5 s时,四边形PBCQ的面积为33 cm2.(2)P,Q两点从出发开始到s时,点P和点Q的距离第一次是10 cm.。

九年级数学上册《第二十一章解一元二次方程》同步练习题含答案(人教版)

九年级数学上册《第二十一章解一元二次方程》同步练习题含答案(人教版）学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、单选题1．关于x的方程x2+2x+m=0的根的情况为( )A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．由m的取值决定2．方程x2+5x＝0的适当解法是（）A．直接开平方法B．配方法C．因式分解法D．公式法3．已知x=1是一元二次方程mx2–2=0的一个解，则m的值是（）.A．√2B．2 C．±√2D．1或24．方程2x(x+1)=3(x+1)的根为( )A．x=32B．x=−1C．x1=−1，x2=23D．x1=−15．若关于x的方程kx2+（k+2）x+ k4＝0有实数根，则实数k的取值范围是（）A．k≥﹣1 B．k≥﹣1且k≠0C．k＞﹣1且k≠0 D．k≤﹣16．已知x1，x2是一元二次方程x2+4x﹣3=0的两个实数根，则x1+x2﹣x1x2的值是（）A．6 B．0 C．7 D．-17．已知方程x2-5x+2=0的两个解分别为x1、x2，则x1+x2-x1•x2的值为（）A．-7 B．-3 C．7 D．38．用配方法解一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），此方程可变形为（）A．（x+ b2a ）2=b2−4ac4a2B．（x+ b2a）2= 4ac−b24a2C．（x﹣b2a ）2= b2−4ac4a2D．（x﹣b2a）2= 4ac−b24a2二、填空题9．方程3x2+6x＝0的解是.10．代数式−x2−2x的最大值为．11．若m﹣n2＝0，则m+2n的最小值是.12．已知关于x的一元二次方程x2−kx+36=0有两个相等的实数根，则k的值为．13．等腰三角形的两边恰为方程x2-7x+10= 0的根，则此等腰三角形的周长为三、解答题14．解方程：（1）4x2−1=0（2）3x(x−2)=(x−2)（3）x2−3x+2=0（4）(x+3)2=5+2x15．已知：a是不等式5(a−2)+8<6(a−1)+7的最小整数解，请用配方法解关于x的方程x2+2ax+ a+1=0 .16．小红认为：当b2﹣4ac≥0时，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式是b±√b2−4ac2a．请你举出反例说明小红的结论是错误的．17．设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根为x1、x2，则两根与方程系数之间有如下关系：x1＋x2＝－ba ，x1·x2＝ca.根据该材料填空：已知x1、x2是方程x2＋6x＋3＝0的两实数根，则x2x1+x1x2的值是多少？18．观察下表，确定一元二次方程x2﹣2x﹣2=0的一个近似根．x 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 x2﹣2x﹣2 ﹣1.79 ﹣1.56 ﹣1.31 ﹣1.04 ﹣0.75 ﹣0.44 ﹣0.11 0.2419．已知关于x的一元二次方程mx2－(m+2)x＋2=0（m≠0）（1）求证：方程一定有两个实数根；（2）若此方程的两根为不相等的整数，求整数m的值．参考答案1．D2．C3．B4．D5．A6．D7．D8．A9．x1＝0，x2＝﹣210．111．-112．±1213．1214．1014．（1）解：4x2−1=0分解因式得：(2x+1)(2x−1)=0即：2x+1=0或2x−1=0∴x1=−12，x2=12；（2）解：3x(x−2)=(x−2)移项，分解因式得：(3x−1)(x−2)=0即：3x−1=0或x−2=0∴x1=13，x2=2；（3）解：x2−3x+2=0分解因式得：(x−1)(x−2)=0即：x−1=0或x−2=0∴x1=1，=2；（4）解：(x+3)2=5+2x化简得：x2+4x+4=0分解因式得：(x+2)2=0∴x1=x2=−2 .15．解：∵5(a−2)+8<6(a−1)+7；∴5a−10+8<6a−6+7；∴−a<3；∴a>−3；∵a是不等式5(a−2)+8<6(a−1)+7的最小整数解∴a=−2；∴关于x的方程x2−4x−1=0；∴x2−4x+4=5；∴(x−2)2=5；∴x−2=±√5；∴x1=2+√5，x2=2−√5 .16．解：如方程x2+5x+6=0（x+2）（x+3）=0∴x1=﹣2，x2=﹣3小红认为：当b2﹣4ac≥0时，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式是b±√b2−4ac2a．则x=5±√52−4×1×62×1=5±12x=2和x=3这与上面的因式分解法求得的方程的解不一致故小红的结论是错误的．17.x2x1+x1x2的值是1018．解：y=x2﹣2x﹣2由二次函数的增减性，得x=2.7时，y=﹣0.11，x=2.8时，y=0.24x2﹣2x﹣2=0时，x≈2.73．19．（1）证明：∵一元二次方程mx2－(m+2)x＋2=0（m≠0）∴Δ=[-(m+2)] 2-4×2m=m2+4m+4-8m=(m-2)2∵m≠0∴Δ=(m-2)2≥0∴方程一定有两个实数根；（2）解：由求根公式得，x1=1，x2= 2m∵方程的两根为不相等的整数，且m为整数是整数，而m≠0∴2m∴m=±1，±2,而当m=2时，x1=x2=1，(舍去)∴整数m为1，-1，-2故答案为：1，-1，-2。

九年级数学上册《第二十一章一元二次方程》同步练习题附带答案(人教版)

九年级数学上册《第二十一章一元二次方程》同步练习题附带答案（人教版）姓名班级学号一、选择题：1．下列方程是关于 x 的一元二次方程的是（）A ．20ax bx c ++=B ．2112x x +=C ．2221x x x +=-D ．()23(1)21x x +=+2．要使方程(a-3)x 2+(b+1)x+c=0是关于x 的一元二次方程，则（）A ．a ≠0B ．a ≠3C ．a ≠3且b ≠-1D ．a ≠3且b ≠-1且c ≠03．一元二次方程22(1)(1)1x a x x x -+=--化成一般式后，二次项系数为1，一次项系数为﹣1，则a 的值为（）A ．﹣1B ．1C ．﹣2D ．24．“读万卷书，行万里路.”某校为了丰富学生的阅历知识，坚持开展课外阅读活动，学生人均阅读量从七年级的每年100万字增加到九年级的每年121万字.设该校七至九年级人均阅读量年均增长率为x ，则可列方程为（）A ．()21001121x +＝B ．()21001%121x +＝C ．()10012121x +＝D ．()()210010*********x x ++++＝5．若 1x =- 是关于x 的一元二次方程 ()2200ax bx a ++=≠ 的一个根，则202122a b -+= （）A ．2025B ．2023C ．2019D ．20176．方程230x +=的二次项系数与一次项系数及常数项之积为（）A ．3B ．CD ．9- 7．若0x 是方程()2200ax x c a ++=≠的一个根，设2M ac =-，20(1)N ax =+则下列关于M与N 的关系正确的为（）A ．M N =B ．1M N =+C ．3M N +=D ．2M N = 8．若关于x 的方程()200ax bx c a ++=≠满足0a b c -+=，称此方程为“月亮”方程．已知方程()221999100a x ax a -+=≠是“月亮”方程，则22199919991a a a a +++的值为（） A ．－1B ．2C ．1D ．－2 二、填空题： 9．将方程 22143x x x -+=- 化为一般形式为 .10．已知关于x 的方程（a ﹣1）x 2﹣2x+1=0是一元二次方程，则a 的取值范围是11．若关于x 的一元二次方程()221210m x x m -++-=的常数项为0，则m 的值是 . 12．某市从2020年开始大力发展旅游产业.据统计，该市2020年旅游收入约为2亿元.预计2022年旅游收入约达2.88亿元，设该市旅游收入的年平均增长率为x ，根据题意列出方程为 .13．若关于 x 的一元二次方程 ()2100mx nx m +-=≠ 的一个解是 1x = ，则 m n + 的值是 .三、解答题：14．若（m+1）x |m|+1+6x ﹣2=0是关于x 的一元二次方程，求m 的值．15．学完一元二次方程后，在一次数学课上，同学们说出了一个方程的特点：①它的一般形式为ax 2+bx+c=0（a 、b 、c 为常数，a ≠0）②它的二次项系数为5③常数项是二次项系数的倒数的相反数你能写出一个符合条件的方程吗？16．把方程（3x+2）（x ﹣3）=2x ﹣6，化成一般形式，并写出它的二次项系数，一次项系数和常数项．17．一元二次方程化为一般式后为，试求 a 2+b 2-c 2的值的算术平方根．18．完成下列问题：（1）已知x ，y 为实数，且 2y = ，求 23x y - 的值.（2）已知 m 是方程 2202110x x -+= 的一个根，求代数式 2120202m m m-++ 的值.参考答案：1．D 2．B 3．B 4．A 5．A 6．D 7．B 8．D9．230x x +-=10．a ≠111．-112．()221 2.88x +=13．114．解：由题意，得|m|+1=2，且m+1≠0解得m=115．解：由①知这是一元二次方程，由②③可确定 a c 、，而 b 的值不唯一确定，可为任意数，熟悉一元二次方程的定义及特征是解答本题的关键．这个方程是5x 2－2x － 15=0. 16．解：（3x+2）（x ﹣3）=2x ﹣63x 2﹣9x=0所以它的二次项系数是3，一次项系数是﹣9，常数项是017．解：a （x+1）2+b （x+1）+c=0化作一元二次方程的一般形式为ax 2+(2a+b)x+a+b+c=0又一般形式为3x 2+2x-1=0∴a=3，2a+b=2，a+b+c=-1解得，a=3，b=-4，c=0∴a 2+b 2-c 2=25，则其算术平方根是5．18．（1）解：由题意得， 5050x x --，∴52x y ==-，∴2310616x y -=+=（2）解：∵m 是方程 2202110x x -+= 的一个根∴2202110m m -+=∴220211m m =-211202022021120202m m m m m m -++=--++21111202112022m m m m +=++=+=+=。

人教版九年级数学上册《第二十一章一元二次方程》综合测试卷-带答案

人教版九年级数学上册《第二十一章一元二次方程》综合测试卷-带答案学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、选择题1．如果关于x的方程(m-3) x m2−7-x+3=0是一元二次方程，那么m的值为：（）A．±3B．3C．-3D．都不是2．已知x=2是方程x2﹣4x+c=0的一个根，则c的值是（）A．﹣12B．﹣4C．4D．123．已知关于x的一元二次方程mx2+2x-1=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（）A．m<-1B．m>1C．m<1且m≠0D．m>-1且m≠04．如果关于x的一元二次方程x2+px+q=0的两根分别为x1=3，x2=1，那么这个一元二次方程是（）A．x2+3x+4=0B．x2﹣4x+3=0C．x2+4x﹣3=0D．x2+3x﹣4=05．用配方法解方程x2+8x+7=0，则配方正确的是（）A．(x+4)2=9B．(x−4)2=9C．(x−8)2=16D．(x+8)2=576．若a、b是关于x的一元二次方程x2﹣6x+n+1=0的两根，且等腰三角形三边长分别为a、b、4，则n 的值为（）A．8B．7C．8或7D．9或87．把一块长80mm、宽60mm的铁皮的4个角分别剪去一个边长相等的小正方形，做成一个底面积是1500mm2的无盖铁盒．若设小正方形的边长为x mm，下面所列的方程中，正确的是（）A．（80﹣x）（60﹣x）=1500B．（80﹣2x）（60﹣2x）=1500C．（80﹣2x）（60﹣x）=1500D．（80﹣x）（60﹣2x）=15008．为满足消费者需要，红星厂一月份生产手提电脑200台，计划二、三月份共生产2500台．设二、三月份每月的平均增长率为x，根据题意列出的方程是（）A．200（1+x）2=2500B．200（1+x）+200（1+x）2=2500C．200（1﹣x）2=2500D．200+200（1+x）+2000（1+x）2=250二、填空题9．已知x=2是关于x的方程x2−2mx+3m=0的一个根，并且等腰三角形ABC的腰和底边长恰好是这个方程的两个根，则△ABC的周长为．10．关于x的一元二次方程kx2﹣x+1=0有实数根，则k的取值范围是．11．设x1，x2是方程x2－3x－1＝0的两个根，则x1＋x2＝，x1x2＝.12．某一计算机的程序是：对于输入的每一个数，先计算这个数的平方的6倍，再减去这个数的4倍，再加上1，若一个数无论经过多少次这样的运算，其运算结果与输入的数相同，则称这个数是这种运算程序的不变数，这个运算程序的不变数是．13．一个两位数，十位上的数字比个位上的数字大7，且十位上的数字与个位上的数字和的平方等于这个两位数，这个两位数是．三、计算题14．根据要求解下列方程：（1）x2+4x+8=2x+10（公式法）；（2）2x2+8x−6=0（配方法）．四、解答题15．已知关于x的一元二次方程x2−4mx+2m2=0求证:不论m为何值，该方程总有两个实数根；16．自由下落物体的高度h(米)与下落的时间t(秒)的关系为h＝4.9t2，现有一铁球从离地面19.6米高的建筑物的顶部自由下落，到达地面需要多少秒？17．已知a、b、c为三角形三个边，ax2+bx（x-1）= cx2-2b是关于x的一元二次方程吗？18．如图，利用一面足够长的墙，用铁栅栏围成一个矩形自行车场地ABCD，在AB和BC边各有一个2米宽的小门（不用铁栅栏），设矩形ABCD的宽AD为x米，矩形的长为AB（且AB＞AD）．（1）若所用铁栅栏的长为40米，用含x的代数式表示矩形的长AB；（2）在（1）的条件下，若使矩形场地面积为192平方米，则AD、AB的长应分别为多少米？19．一个两位数的十位数字比个位数字大2，把这个两位数的个位数字与十位数字互换后平方，所得的数值比原来的两位数大138，求原来的两位数.20．如图，等边三角形ABC的边长为6cm，点P自点B出发，以1cm/s的速度向终点C运动；点Q自点C出发，以1cm/s的速度向终点A运动．若P，Q两点分别同时从B，C两点出发，问经过多少时间△PCQ的面积是2 √3cm221．为了让学生亲身感受合肥城市的变化，蜀山中学九（1）班组织学生进行“环巢湖一日研学游”活动，某旅行社推出了如下收费标准：（1）如果人数不超过30人，人均旅游费用为100元；（2）如果超过30人，则每超过1人，人均旅游费用降低2元，但人均旅游费用不能低于80元．该班实际共支付给旅行社3150元，问：共有多少名同学参加了研学游活动？22．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，商场经调查发现，如果每件衬衫降价0.5元，商场平均每天可多售出1件，若商场平均每天想盈利1200元，是否可能，若可能则每件衬衫应降价多少元？答案解析部分1．【答案】C【解析】【解答】解：∵ 关于x 的方程(m-3) x m2−7-x+3=0是一元二次方程∴{m 2−7=2m −3≠0∴m=-3. 故答案为：C.【分析】根据一元二次方程的定义得出{m 2−7=2m −3≠0，求出m 的值，即可得出答案.2．【答案】C【解析】【解答】解：把x=2代入x 2﹣4x+c=0得4﹣8+c=0解得c=4．故选C ．【分析】根据一元二次方程的解，把x=2代入x 2﹣4x+c=0可求出c 的值．3．【答案】D【解析】【解答】根据题目2个条件，一个是二次方程，限定 m ≠0 ，另一个为两个不等的实数根，则要求 Δ >0，即 22+4m >0 故答案为：D ．【分析】根据一元二次方程的根的判别式可知：当b 2-4ac ＞0时，方程有两个不相等的实数根。

人教版九年级数学上册第二十一章一元二次方程解法综合训练同步测试(有答案)

第二十一章一元二次方程一元二次方程解法综合训练学习要求会用适当的方法解一元二次方程，培养分析问题和解决问题的能力．课堂学习检测一、填空题(写出下列一元二次方程的根)1．3(x －1)2－1=0．__________________2．(2x ＋1)2－2(2x ＋1)=3．__________________3．3x 2－5x ＋2=0．__________________4．x 2－4x －6=0．__________________二、选择题5．方程x 2－4x ＋4=0的根是( )．A ．x =2B ．x 1=x 2=2C ．x =4D ．x 1=x 2=4 6．5.27.0512=+x 的根是( )． A ．x =3 B ．x =±3 C ．x =±9 D ．3±=x 7．072=-x x 的根是( )．A ．77=x B ．77,021==x x C ．x 1=0，72=x D ．7=x8．(x －1)2=x －1的根是( )．A ．x =2B ．x =0或x =1C ．x =1D ．x =1或x =2三、用适当方法解下列方程9．6x 2－x －2=0．10．(x ＋3)(x －3)=3．11．x 2－2mx ＋m 2－n 2=0．12．2a 2x 2－5ax ＋2=0．(a ≠0)四、解下列方程(先将你选择的最佳解法写在括号中) 13．5x2=x．(最佳方法：______)14．x2－2x=224．(最佳方法：______)15．6x2－2x－3=0．(最佳方法：______)16．6－2x2=0．(最佳方法：______)17．x2－15x－16=0．(最佳方法：______)18．4x2＋1=4x．(最佳方法：______)19．(x－1)(x＋1)－5x＋2=0．(最佳方法：______)综合、运用、诊断一、填空题20．若分式1872+--x x x 的值是0，则x =______． 21．关于x 的方程x 2＋2ax ＋a 2－b 2=0的根是____________．二、选择题22．方程3x 2=0和方程5x 2=6x 的根( )．A ．都是x =0B ．有一个相同，x =0C ．都不相同D ．以上都不正确23．关于x 的方程abx 2－(a 2＋b 2)x ＋ab =0(ab ≠0)的根是( )．A ．b a x a b x 2,221==B ．ba x ab x ==21, C ．0,2221=+=x abb a x D ．以上都不正确三、解下列方程24．(x ＋1)2＋(x ＋2)2=(x ＋3)2．25．(y －5)(y ＋3)＋(y －2)(y ＋4)=26．26．.02322=+-x x27．kx 2－(k ＋1)x ＋1=0．四、解答题28．已知：x 2＋3xy －4y 2=0(y ≠0)，求yx y x +-的值．29．已知：关于x 的方程2x 2＋2(a －c )x ＋(a －b )2＋(b －c )2=0有两相等实数根．求证：a ＋c =2b ．(a ，b ，c 是实数)拓广、探究、思考30．若方程3x 2＋bx ＋c =0的解为x 1=1，x 2=－3，则整式3x 2＋bx ＋c 可分解因式为______________________．31．在实数范围内把x 2－2x －1分解因式为____________________．32．已知一元二次方程ax 2＋bx ＋c =0(a ≠0)中的两根为,24,221aac b b x x -±-=请你计算x 1＋x 2=____________，x 1·x 2=____________．并由此结论解决下面的问题：(1)方程2x 2＋3x －5=0的两根之和为______，两根之积为______．(2)方程2x 2＋mx ＋n =0的两根之和为4，两根之积为－3，则m =______，n =______．(3)若方程x 2－4x ＋3k =0的一个根为2，则另一根为______，k 为______．(4)已知x 1，x 2是方程3x 2－2x －2=0的两根，不解方程，用根与系数的关系求下列各式的值： ①;1121x x + ②;2221x x + ③｜x 1－x 2｜； ④;221221x x x x + ⑤(x 1－2)(x 2－2)．参考答案1．⋅-=+=331,33121x x 2．x 1＝1，x 2＝－1． 3．.1,3221==x x 4．.102,10221-=+=x x 5．B ． 6．B ． 7．B ． 8．D ．9．⋅-==21,3221x x 10．.32,3221-==x x11．x 1＝m ＋n ，x 2＝m －n .12．⋅==a x a x 2,2121 13．51,021==x x (因式分解法)． 14．x 1＝16，x 2＝－14(配方法)．15．6191±=x (分式法)． 16．3±=x (直接开平方法)．17．x 1＝16，x 2＝－1(因式分解法)． 18．2121==x x (公式法)． 19．2215±=x (公式法)． 20．x ＝8． 21．x ＝－a ±b . 22．B ． 23．B ． 24．x 1＝2，x 2＝－2．25．.227±=y 26．⋅==22,221x x 27．k ＝0时，x ＝1；k ≠0时，.1,121==x k x 28．0或⋅35 29．∆＝4[(a －b )－(b －c )]2＝4(a －2b ＋c )2＝0． 30．3(x －1)(x ＋3). 31．⋅+---)21)(21(x x32．,,a c a b - (1);25,23-- (2)－8，－6； (3);34,2 (4).2;94;372;916;1⑤④③②①--。

九年级数学上册《第二十一章解一元二次方程》同步练习及答案-人教版

九年级数学上册《第二十一章解一元二次方程》同步练习及答案-人教版学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、单选题1．方程2y2-8y+5=0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．无法确定2．用配方法解方程x2+8x+9=0，变形后的结果正确的是（）A．(x+4)2=−7B．(x+4)2=−9C．(x+4)2=7D．(x+4)2=23．如果关于x的一元二次方程x2+px+q=0的两根分别为x1=3，x2=1，那么这个一元二次方程是（）A．x2-4x+3=0 B．x2+4x-3=0 C．x2+3x+4=0 D．x2+3x-4=04．若α、β是一元二次方程x2+3x-1=0的两个根，那么α2+2α-β的值是（）A．－2 B．4 C．0.25 D．－0.55．关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A．k＞﹣1 B．k＜1C．k＞﹣1且k≠0 D．k＜1且k≠06．已知关于x的一元二次方程x2−2x+m=0有两个不相等的实数根，设此方程的一个实数根为b，令y=4b2−8b+3m+2，则（）A．y>1B．y≥1C．y≤1D．y<17．下列关于x的一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是（）A．x2+1=0B．9x2−6x+1=0C．x2−x+2=0D．x2−2x−2=08．已知一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）中，下列说法：①若a+b+c=0，则b2﹣4ac＞0；②若方程两根为﹣1和2，则2a+c=0；③若方程ax2+c=0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c=0必有两个不相等的实根；④若b=2a+c，则方程有两个不相等的实根．其中正确的有（）A．①②③B．①②④C．②③④D．①②③④二、填空题9．若关于x的方程x2−2(m+1)x+m+4=0两根的倒数和为1，则m的值为．10．已知a，b是方程x2+x-3=0的两个实数根，则a2+b2+2015的值是．11．关于x的一元二次方程x2＋2x﹣k＝0有两个实数根，则k的取值范围是．12．关于x的方程x2﹣（3k+1）x+2k2+2k＝0，若等腰三角形△ABC一边长为a＝6，另两边长b，c为方程两个根，则△ABC的周长为.13．已知2是关于x的一元二次方程x2-x+k=0的一个根，那么k= ，另一根是x=三、解答题14．已知关于x的一元二次方程x2﹣6x＋m2﹣3m﹣5＝0的一个根是﹣1，求m的值及方程的另一个根. 15．解方程：（1）3x2﹣4x﹣1＝0；（2）（3x＋5）2﹣（x﹣9）2＝0．16．已知关于x的方程x2﹣（2k﹣1）x+k2﹣3=0有两个实根x1、x2．（1）求k的取值范围；（2）若x1、x2满足x12+x22=5，求k的值．17．已知关于x的一元二次方程x2+(2k−1)x−k−1=0．（1）求证：无论k取何值，此方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程有两个实数根x1、x2，且x1+x2−4x1x2=2，求k的值．18．一次作业中，小明做了这样一题，以下是他的解题过程：题目：当m为何值时，关于x的方程x2+(m+2)x+2m−1=0的两根互为相反数？解：因为：关于x的方程x2+(m+2)x+2m−1=0的两根互为相反数；所以：设这个方程的两个根为k与−k；所以：{k2+(m+2)k+2m−1=0(1)(−k)2+(m+2)(−k)+2m−1=0(2)⑴式⑵减式得：所以：m=−2或k=0；把k=0，2(m+2)k=0代入（1）式，得m=12所以：m=−2或m=12（1）请你代入原方程进行检验；说明小明同学解题过程是否正确？（2）如果解题过程正确，请你给予适当的评价，如果不正确，请指出错误，并给予纠正．19．（阅读材料）把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法.配方法在代数式求值、解方程、最值问题中都有着广泛的应用.例如：①用配方法因式分解：a2+6a+8.解：原式＝a2+6a+9﹣1＝（a+3）2﹣1＝（a+3﹣1）（a+3+1）＝（a+2）（a+4）.②求x2+6x+11的最小值.解：原式＝x2+6x+9+2＝（x+3）2+2.由于（x+3）2≥0所以（x+3）2+2≥2即x2+6x+11的最小值为2.请根据上述材料解决下列问题：（1）在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：a2+4a+ ；（2）用配方法因式分解：a2﹣12a+35；（3）求x2+8x+7的最小值.参考答案1．A2．C3．A4．B5．C6．A7．D8．C9．210．202211．k≥﹣112．16或2213．-2；-114．解：设方程的另一根为x2∵关于x的一元二次方程x2﹣6x＋m2﹣3m﹣5＝0的一个根是﹣1 ∴x＝﹣1满足关于x的一元二次方程x2﹣6x＋m2﹣3m﹣5＝0∴（﹣1）2﹣6×（﹣1）＋m2﹣3m﹣5＝0，即m2﹣3m＋2＝0∴（m﹣1）（m﹣2）＝0解得，m＝1或m＝2；又由韦达定理知﹣1＋x2＝6解得，x2＝7.即方程的另一根是7.15．（1）解：3x2−4x−1=0∴Δ=(−4)2−4×3×(−1)=28∴x=4±√282×3=2±√73；∴x1=2+√73x2=2−√73；（2）解：（3x＋5）2﹣（x﹣9）2＝0 方程整理得：x2+6x−7=0∴(x−1)(x+7)=0∴x1=1x2=−7．16．解：（1）∵关于x的方程x2﹣（2k﹣1）x+k2﹣3=0有两个实根x1、x2 ∴△=[﹣（2k﹣1）]2﹣4（k2﹣3）≥0解得：k≤134；∴k的取值范围为：k≤134；（2）∵x1+x2=2k﹣1，x1•x2=k2﹣3，x12+x22=5∴x12+x22=（x1+x2）2﹣4x1•x2=（2k﹣1）2﹣4（k2﹣3）=5解得：k=1．17．（1）证明：∵Δ=(2k−1)2−4×1×(−k−1)=4k2+1−4k+4k+4=4k2+5>0∴无论k取何值，此方程总有两个不相等的实数根；（2）解：由根与系数的关系得出：x1+x2=−(2k−1)，x1x2=−k−1由x1+x2−4x1x2=2得：−(2k−1)−4(−k−1)=2解得：k=−1.5．18．（1）解：①当m=−2时，原方程化为：x2−5=0解得：x1=−√5x2=√5符合题意②当m=12时，原方程化为：x2+52x=0解得：x1=0x2=−52不符合题意故小明同学解题过程不正确；（2）解：由（1）得，m=12不正确根据判别式可得：△=(m+2)2−4×1×(2m−1)=(m−2)2+4>0∴方程的两个根不相等∴k≠0当m为何值时，关于x的方程x2+(m+2)x+2m−1=0的两根互为相反数，解决这类问题，要根据根与系数的关系来解决由根与系数关系可得：x1+x2=−m+21=0，解得：m=−2错误的原因是没有注意判别式与根的情况，解决此类题最直接的方法是利用根与系数的关系求解．19．（1）4（2）解：a2﹣12a+35=a2﹣12a+36﹣1=（a﹣6）2﹣1=（a﹣6+1）（a﹣6﹣1）=（a﹣5）（a﹣7）；（3）解：x2+8x+7=x2+8x+16﹣9=（x+4）2﹣9∵（x+4）2≥0∴（x+4）2﹣9≥﹣9∴x2+8x+7的最小值为﹣9。

九年级数学上册《第二十一章解一元二次方程》同步练习题及答案-人教版

九年级数学上册《第二十一章解一元二次方程》同步练习题及答案-人教版一、单选题1．下列方程中，没有实数根的是（）A．x2−2x−5=0B．x2−2x−3=0C．x2−2x=0D．x2−2x=−52．一元二次方程x(x﹣3)＝3﹣x的根是（）A．x1＝x2＝﹣1 B．x1＝1，x2＝﹣3C．x1＝﹣1，x2＝3 D．x1＝x2＝33．若k>1，关于x的方程2x2−(4k+1)x+2k2−1=0的根的情况是（）A．有一正根和一负根B．有两个正根C．有两个负根D．没有实数根4．若代数式2x2−5x与代数式x2−6的值相等，则x的值是（）A．−2或−3B．2或3C．−1或6D．1或−65．等腰三角形的底和腰是方程x2﹣7x+12=0的两个根，则这个三角形的周长是（）A．11 B．10 C．11或10 D．不能确定6．设a，b是方程x2+x−2022=0的两个实数根，则a2+2a+b的值为（）A．2020 B．2021 C．2022 D．20237．用公式法解方程6x-8=5x2时，a、b、c的值分别是（）A．5、6、-8B．5、-6、-8C．5、-6、8 D．6、5、-88．已知实数m，n满足m2−mn+n2=3，设P=m2+mn−n2，则P的最大值为（）A．3 B．4 C．5 D．6二、填空题9．若关于x的方程x2+mx−12=0的一个根是3，则此方程的另一个根是．10．已知一元二次方程x2−3x−5=0的两根分别为x1和x2，则x12+x22=．=0有两个相等的实数根，写出一组满足条件的实数a，b的值：11．关于x的一元二次方程ax2+bx+ 14a= ，b= .12．若一元二次方程x2+2x-m＝0无实数根，则一次函数y＝（m+1）x+m-1的图象不经过第象限．13．对于代数式ax2+bx+c（a≠0，a，b，c为常数）①若b2﹣4ac＝0，则ax2+bx+c＝0有两个相等的实数根；②存在三个实数m≠n≠s，使得am2+bm+c＝an2+bn+c＝as2+bs+c；③若ax2+bx+c+2＝0与方程（x+2）（x ﹣3）＝0的解相同，则4a﹣2b+c＝﹣2，以上说法正确的是.三、解答题14．解方程：（1）x2－4x－7＝0（公式法）（2）x2－4x－12＝0（因式分解法）15．已知：关于x的方程x2+(8−4m)x+4m2=0是否存在实数m，使方程的两个实数根的平方和等于136？若存在，请求出满足条件的m值；若不存在，请说明理由.16．已知一元二次方程2x2−5x−3=0的正实数根也是一元二次方程x2−(k−2)x+3=0的根，求k的值．17．已知：a2+b2﹣2a+4b+5=0，c是（2+1）（22+1）（24+1）…（232+1）+1的个位数字，求（a+c）b的值．18．已知关于x的方程x2+5x-p2=0（1）求证:无论p取何值方程，总有两个不相等的实数根，;（2）设方程两个实数根为x1、x2，当x1+x2= x1x2时，求p的值19．已知关于x的一元二次方程x2+(2m+1)x+m−2=0．（1）求证：无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根；（2）当该方程的判别式的值最小时，写出m的值，并求出此时方程的解．参考答案1．D2．C3．B4．B5．C6．B7．C8．C9．−410．1911．4；212．一13．①③14．（1）解：△=(−4)2−4×1×(−7)=4×11x= 4±√4×112×1=4±2√112=2±√11所以x1=2+ √11 ,x2=2−√11（2）解：（x-6）(x+2)=0∴x-6=0或x+2=0解得 x1=6 ,x2=-2.15．解：假设存在，设方程两根为x1，x2则有x1+x2=4m-8，x1•x2=4m2∴x12+x22=(x1+x2)2-2x1•x2=（4m-8）2-2×4m2=8m2-64m+64=136 解得：m1=-1，m2=9∵方程有实数根∴Δ =（8-4m）2-4×1×4m2=64-64m≥0∴m≤1∴m的值为-1.16．解：∵2x2−5x−3=0∴(x−3)(2x+1)=0解得：x1=3，x2=−12根据题意将x=3代入方程x2−(k−2)x+3=0，得：9−3(k−2)+3=0解得k=6．17．解：∵a2+b2﹣2a+4b+5=0∴（a﹣1）2+（b+2）2=0∴a=1，b=﹣2∵（2+1）（22+1）（24+1）…（232+1）+1=（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）…（232+1）+1=（24﹣1）（24+1）（28+1）…（232+1）+1=264﹣1+1=264；∵21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，…∴2的整数次幂的个位数字每4个数字为一个循环组依次循环∵64=16×4∴264的个位数字与24的个位数字相同，为6∴原式的个位数字为6，即c=6；．∴（a+c）b=14918．（1）证明: Δ=52−4(−p2)=25+p2因为无论p取何值时,总有p2≥0所以，25+ p2>0,所以无论p取何值方程，总有两个不相等的实数根（2）解：由题意得，x1+x2＝-5，x1x2＝- p2因为，x1+x2=x1x2所以，-5＝- p2所以，p=±√5 .19．（1）证明：∵Δ=(2m+1)2−4×(m−2)=4m2+9∵m2≥0∴Δ=4m2+9>0．∴无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根．（2）解：由题意可知，当m=0时，Δ=4m2+9的值最小．将m=0代入x2+(2m+1)x+m−2=0，得x2+x−2=0解得：x1=−2，x2=1。

九年级数学上册《第二十一章解一元二次方程》同步练习题附有答案(人教版)

九年级数学上册《第二十一章解一元二次方程》同步练习题附有答案（人教版）姓名班级学号一、单选题1．方程x2−3x+2=0的根的情况是（）A．只有一个实数根B．没有实数根C．有两个相等的实数根D．有两个不相等的实数根2．若x1、x2是一元二次方程x2−3x+2=0的两根，则x1+x2的值是（）A．-2 B．2 C．3 D．13．一元二次方程x2+3x﹣a=0的一个根为﹣1，则另一个根为（）A．﹣2 B．2 C．4 D．﹣34．关于x的一元二次方程mx2﹣2x﹣1=0有两个实数根，那么字母m的取值范围是（）A．m≥﹣1 B．m＞﹣1C．m≥﹣1且m≠0 D．m＞﹣1且m≠05．把一元二次方程x2−4x−1=0配方后，下列变形正确的是（）A．(x−2)2=5B．(x−2)2=3C．(x−4)2=5D．(x−4)2=3 6．若−2a2+4a−5=x，则不论取何值，一定有（）A．x>5B．x<−5C．x≥−3D．x≤−37．根据方程x2﹣3x﹣5=0可列表如下：x ﹣3 ﹣2 ﹣1 … 4 5 6x2﹣3x﹣5 13 5 ﹣1 …﹣1 5 13因此方程x2﹣3x﹣5=0的根x满足（）A．﹣2＜x＜﹣1或4＜x＜5 B．﹣2＜x＜﹣1或5＜x＜6C．﹣1＜x＜0或3＜x＜4 D．﹣3＜x＜﹣2或4＜x＜58．已知一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)中,其中真命题有( )①若a+b+c=0，则b2−4ac≥0；②若方程ax2+bx+c=0两根为−1和2，则2a+c=0；③若方程ax2+c=0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c=0必有两个不相等的实根．A．1个B．2个C．3个D．0个二、填空题9．已知一元二次方程的两根之和为7，两根之积为12，则这个方程为．10．已知关于x的一元二次方程x2+kx+1=0有两个相等的实数根，则k= ．11．方程x2﹣9x+18=0的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个等腰三角形的周长为．12．已知命题“对于非零实数a，关于x的一元二次方程ax2+4x﹣2＝0必有实数根”，能说明这个命题是假命题的一个反例是a＝．13．设x1、x2是关于x的方程2x2﹣4mx+2m2+3m+2＝0的两个实根，当m＝时，x12+x22有最小值为.三、解答题14．解下列一元二次方程（1）x2−25=0（2）x2−4x−5=015．若关于x的一元二次方程(m−1)x2−4mx+4m+6=0有实数根，求m能取的正整数值．16．小明在解关于x的方程ax2+bx+c=0（a≠0）时，只抄对了a=1，b=4，解出其中一个根是x=−1．他核对时发现所抄的c比原方程的c值小2．请判断原方程的根的情况．17．已知关于x的一元二次方程x2−2x–m2＋1＝0.（1）求证：该方程有两个实数根；（2）若该方程的两个实数根都为正数，求m的取值范围；（3）若该方程的两个实数根x1、x2满足x1－x2＝2，求m的值.18．回答下面的例题：解方程：x2﹣|x|﹣2=0．解：①x≥0时，原方程化为x2﹣x﹣2=0，解得x1=2，x2=﹣1（不合题意，舍去）．②x＜0时，原方程化为x2+x﹣2=0，解得x1=﹣2，x2=1（不合题意，舍去）．∴原方程的根是x1=2，x2=﹣2．请参照例题解方程x2+|x﹣4|﹣8=0．19．阅读下面的材料：∵ax2+bx+c=0(a≠0)的根为x1=−b+√b2−4ac2a∴x1+x2=−ba x1⋅x2=ca；请利用这一结论解决下列问题：（1）若ax2+bx+c=0的两根为－2和3，求b和c的值.（2）设方程2x2-3x+1=0的两根为x1、x2不解方程，求1x1+1x2的值.参考答案 1．D 2．C 3．A 4．C 5．A 6．D 7．A 8．C9．x 2−7x +12=0 10．±2 11．15 12．-4 13．- 23；8914．（1）解：x 2-25=0 x 2=25解得 x 1=5或x 2=-5. （2）解：x 2-4x-5=0 (x-5)(x+1)=0 解得x 1=5或x 2=-115．解：∵关于x 的一元二次方程(m −1)x 2−4mx +4m +6=0有实数根 ∴Δ=b 2−4ac =16m 2−4(m −1)(4m +6)≥0 整理得：−8m +24≥0 解得：m ≤3 ∵m −1≠0 ∴m ≠1∴m 能取的正整数值有2，3．16．解：把x =−1代入方程x 2+4x +c =0中，得(−1)2+4×(−1)+c =0c =3．∴原方程为x2+4x+5=0．这里a=1，b=4，c=5．∵△=b2−4ac=42−4×1×5=−4<0∴原方程没有实数根．17．（1）证明：Δ=(−2)2−4(−m2+1)=4m2≥0,故该方程有两个实数根. （2）解：若两个实数根都为正数,则可知两根之和大于0,两根之积大于0{−−21>0−m2+11>0,解得12,即−1<m<1 .（3）解：x1+x2=−−21=2，x1x2=−m2+11=−m2+1 .x1−x2=√(x1+x2)2−4x1x2=√22−4(−m2+1)=√4m2=2 .m=±1 .18．解：当x≥4时，原方程化为x2+x﹣12=0，解得：x1=3，x2=﹣4（不合题意，舍去）．当x＜4时，原方程化为x2﹣x﹣4=0，解得：x1= ，x2=∴原方程的根是x=3或x= 或x=19．（1）解：因为-2+3=-1，所以b=-1；因为-2×3=-6，所以c=-6.（2）解：∵x1+x2=32，x1⋅x2=12∴1x1+1x2=x1+x2x1⋅x2=3212=3 .。

九年级数学上册《第二十一章解一元二次方程》同步练习题带答案(人教版)

九年级数学上册《第二十一章解一元二次方程》同步练习题带答案(人教版)一、单选题1．关于x的方程（a﹣5）x2﹣4x﹣1=0有实数根，则a满足（）A．a≥1 B．a＞1且a≠5C．a≥1且a≠5 D．a≠52．用配方法解一元二次方程x2+2x−2=0时，原方程可变形为（）A．(x+1)2=2B．(x−1)2=2C．(x+1)2=3D．(x−1)2=33．如果关于x的方程kx2−2x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A．k<1B．k<1且k≠0C．k>1D．k≤1且k≠04．已知x1，x2是方程x2−3x−2=0的两根，则x12+x22的值为()A．5 B．10 C．11 D．135．已知x=﹣1是关于x的方程x2+mx﹣3=0的一个实数根，则此方程的另一个实数根为( )A．2 B．﹣2 C．3 D．﹣36．已知关于x的一元二次方程(m−1)x2−2mx+m=0有两个不相等的实数根，m为整数且m< 3，若t是满足该条件时方程的一个根，则代数式6t2−24t+7的值为（）A．−5B．−3C．−7D．77．一个三角形的两边长为3和6，第三边的长是方程（x﹣2）（x﹣4）=0的根，则这个三角形的周长是（）A．11 B．13 C．11或13 D．11和138．根据表格估计一元二次方程x2+2x﹣4=0的一个解的范围在（）x ﹣1 0 1 2 3x2+2x﹣4 ﹣5 ﹣4 ﹣1 4 11A．﹣1＜x＜0 B．0＜x＜1 C．1＜x＜2 D．2＜x＜3二、填空题9．一元二次方程x2=4的解是．10．已知a2-2a-3=0，则代数式3a（a-2）的值为．11．关于x的一元二次方程x2+2x−2m+1=0的两实数根之积为负，则实数m的取值范围是.12．若一元二次方程2x2﹣3x+1＝0的两个实数根为x1，x2，则x12+x22﹣x1•x2的值是．13．小明设计了一个魔术盒，当任意实数对(a，b)进入其中时，会得到一个新的实数a2＋2b－3.例如把(2，－5)放入其中就会得到22＋2×(－5)－3＝－9.现将实数对(m，－3m)放入其中，得到实数4，则m ＝.三、解答题14．解方程：①（2x﹣5）2=9②x2﹣2x﹣4=0③x2﹣3x﹣7=0④3x（x﹣2）=2（2﹣x）15．已知2+ √3是方程x2-4x+c=0的一个根，求方程的另一个根及c的值．−1)并求值.16．已知x为方程x²+x−6=0的根，化简(x−1)÷(2x−117．若一个一元二次方程的两个根分别是Rt△ABC的两条直角边长，且S△ABC=3，请写出一个符合题意的一元二次方程。

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