必修一第二章--2.3函数应用-含答案

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2019新人教版必修一第2章同步教案2.3二次函数与一元二次方程不等式

2019新人教版必修一第2章同步教案2.3二次函数与一元二次方程不等式

2.3二次函数与一元二次方程,不等式教学目标理解二次函数的零点与一元二次方程的解的关系能用二次函数观点解一元二次不等式教学难点用函数的观点解决方程不等式问题基础知识一元二次不等式定义一般地,我们把只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的不等式,称为一元二次不等式.一元二次不等式的一般形式是ax2+bx+c>0或者ax2+bx+c<0,其中a,b,c为常数,且a≠0.一元二次不等式的解法步骤○1将不等式化为右边为0,左边二二次项系数大于零的不等式ax2+bx+c>0或者ax2+bx+c<0(a>0)○2求出相对应的一元二次方程的根○3结合二次函数的图像与x轴的交点确定一元二次不等式的解集一元二次不等式不等式与二次函数关系如下常用结论一元二次不等式恒成立问题○1不等式ax2+bx+c>0(a≠0),x∈R恒成立⇔a>0,且∆<0○2不等式ax2+bx+c<0(a≠0),x∈R恒成立⇔a<0,且∆<0○3若a可以为0,需要分类讨论,且优先考虑a=0的情形思考若不等式ax2+bx+c>0(a≠0)改为ax2+bx+c≥(或者≤)0(a≠0)x∈R恒成立,那么__________经典例题例题1解下列不等式(1)3x2+x-4>0 (2) -x2+3x+18<0 (3)0<x2-x-2≤4例题2解不等式ax2-(a+1)x+1<0 (a>0)例2改编(提高篇)解不等式ax2-(a+1)x+1<0例题3若不等式(a-2)x 2+2(a-2)x-4<0对一切x ∈R 恒成立,则实数a 的取值范围是A.](,2-∞B.[]2,2-C.](2,2-D.(),2-∞-答案C例题4若对任意的x 属于[]-12,,都有x 2-2x+a ≤0(a 为常数),则a 的取值范围是( ) A. ](,3-∞- B. ](,0-∞ C. )1,+∞⎡⎣ D. ](,1-∞答案A例题5 求使不等式x 2+(a-6)x+9-3a >0(a 1≤)恒成立的x 的取值范围(提示:给定参数范围求x 的范围的恒成立问题时,一般情况下知道谁的范围就选谁当主元,求谁的范围谁就是参数,然后构造新的函数)答案()()-24+∞∞,,题组训练1.不等式的解集为 A .(-2,3)B .(-3,2)C .()--32+∞∞,(,)D. ()--23+∞∞,(,)2.不等式102x x -≥+的解集为 A .[]2,1-B .(]2,1-C .()(),21,-∞-+∞D .(](),21,-∞-+∞3.函数的定义域是 .4.解下列不等式:(1)2230x x --+≥ (2)24410x x +≤+.5.若不等式-3x2+a(6-a)x+c的解集是(-1,4)求实数a,c6.解不等式ax2-(2a+1)x+2≤0(a>0)7.(1)若对于x∈R,21-- <0恒成立,求实数m的取值范围;mx mx(2)若对于x∈[1,3],21-- <5-m恒成立,求实数m的取值范围.mx mx8已知函数.(优等提高)(1)若,且函数与x轴有交点,求实数的取值范围;(2)当时,解关于的不等式<0(3)若正数满足,且对于任意的,≥0恒成立,求实数的值.。

2017-2018学年数学人教A版必修一优化练习:第二章2.3 幂函数(含解析)

2017-2018学年数学人教A版必修一优化练习:第二章2.3 幂函数(含解析)

[课时作业][A组基础巩固]1.下列所给出的函数中,是幂函数的是()A.y=-x3B.y=x-3C.y=2x3D.y=x3-1解析:由幂函数的定义可知y=x-3是幂函数.答案:B2.下列函数中,既是偶函数,又在区间(0,+∞)上单调递减的函数是() A.y=x-2 B.y=x-1C.y=x2D.y=x 1 3解析:∵y=x-1和y=x 13都是奇函数,故B、D错误.又y=x2虽为偶函数,但在(0,+∞)上为增函数,故C错误.y=x-2=1x2在(0,+∞)上为减函数,且为偶函数,故A 满足题意.答案:A3.如图,函数y=x 23的图象是()解析:y=x 23=3x2≥0,故只有D中的图象适合.答案:D4.已知幂函数273225()(1)()t tf x t t x t N+-=-+⋅∈是偶函数,则实数t的值为()A.0 B.-1或1 C.1 D.0或1解析:∵273225()(1)()t tf x t t x t N+-=-+⋅∈是幂函数,∴t2-t+1=1,即t2-t=0,∴t=0或t=1.当t=0时,f(x)=x 75是奇函数,不满足题设;当t=1时,f(x)=x 85是偶函数,满足题设.答案:C5.a ,b 满足0<a <b <1,下列不等式中正确的是( ) A .a a <a b B. b a <b b C .a a <b aD .b b <a b解析:因为0<a <b <1,而函数y =x a 单调递增,所以a a <b a . 答案:C6.若函数则f {f [f (0)]}=________.解析:∵f (0)=-2, ∴f (-2)=(-2+3)12=1, ∴f (1)=1,∴f {f [f (0)]}=f [f (-2)]=f (1)=1. 答案:1 7.下列命题中,①幂函数的图象不可能在第四象限;②当α=0时,函数y =x α的图象是一条直线; ③当α>0时,幂函数y =x α是增函数;④当α<0时,幂函数y =x α在第一象限内函数值随x 值的增大而减小. 其中正确的序号为________.解析:当α=0时,是直线y =1但去掉(0,1)这一点,故②错误.当α>0时,幂函数y =x α仅在第一象限是递增的,如y =x 2,故③错误. 答案:①④8.已知n ∈{-2,-1,0,1,2,3},若⎝ ⎛⎭⎪⎫-12n >⎝ ⎛⎭⎪⎫-13n ,则n =________.解析:∵-12<-13,且⎝ ⎛⎭⎪⎫-12n >⎝ ⎛⎭⎪⎫-13n,∴y =x n 在(-∞,0)上为减函数.又n ∈{-2,-1,0,1,2,3},∴n =-1或n =2. 答案:-1或29.点(2,2)与点⎝ ⎛⎭⎪⎫-2,-12分别在幂函数f (x )、g (x )的图象上,问当x 为何值时,有①f (x )>g (x );②f (x )=g (x );③f (x )<g (x ). 解析:设f (x )=x α,g (x )=x β, 则(2)α=2,(-2)β=-12, ∴α=2,β=-1. ∴f (x )=x 2,g (x )=x -1.分别作出它们的图象如图所示,由图象可知,当x ∈(-∞,0)∪(1,+∞)时,f (x )>g (x ); 当x =1时,f (x )=g (x ); 当x ∈(0,1)时,f (x )<g (x ). 10.已知幂函数y =x223m m -- (m ∈N +)的图象关于y 轴对称,且在(0,+∞)上是减函数,求满足(a +1)3m <(3a -2)3的a 的取值范围.解析: ∵函数在(0,+∞)上单调递减,∴m 2-2m -3<0, 解得-1<m <3.∵m ∈N +,∴m =1,2.又∵函数图象关于y 轴对称,∴m 2-2m -3是偶数.又∵22-2×2-3=-3为奇数,12-2×1-3=-4为偶数,∴m =1. ∴原不等式等价于(a +1)3<(3a -2)3. 又∵y =x 3在(-∞,+∞)上是增函数, ∴a +1<3a -2,∴2a >3,a >32, 故a 的取值范围是a >32.[B 组 能力提升]1.设幂函数f (x )的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫13,3,设0<a <1,则f (a )与f (a -1)的大小关系是( )A .f (a -1)<f (a ) B.f (a -1)=f (a ) C .f (a -1)>f (a )D .不能确定解析:因为幂函数f (x )的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫13,3,设f (x )=x α,因为图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫13,3,所以⎝ ⎛⎭⎪⎫13α=3,解得α=-12,所以f (x )=x 12-在第一象限单调递减.因为0<a <1,所以a -1>a ,所以f (a -1)<f (a ). 答案:A 2.若(a +1)12-<(3-2a )12-,则a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12,23B.⎝ ⎛⎭⎪⎫23,32C.⎝ ⎛⎭⎪⎫23,2 D .⎝ ⎛⎭⎪⎫32,+∞解析:令f (x )=x12-=1x,∴f (x )的定义域是(0,+∞),且在(0,+∞)上是减函数,故原不等式等价于⎩⎨⎧a +1>0,3-2a >0,a +1>3-2a ,解得23<a <32. 答案:B3.已知(0.71.3)m <(1.30.7)m ,则实数m 的取值范围是________. 解析:∵0<0.71.3<0. 70=1,1.30.7>1.30=1, ∴0.71.3<1.30.7.而(0.71.3)m <(1.30.7)m ,∴幂函数y =x m 在 (0,+∞)上单调递增,故m >0. 答案:(0,+∞)4.把⎝ ⎛⎭⎪⎫2313-,⎝ ⎛⎭⎪⎫3512,⎝ ⎛⎭⎪⎫2512,⎝ ⎛⎭⎪⎫760按从小到大的顺序排列________.解析:⎝ ⎛⎭⎪⎫760=1,⎝ ⎛⎭⎪⎫2313->⎝ ⎛⎭⎪⎫230=1,⎝ ⎛⎭⎪⎫3512<1,⎝ ⎛⎭⎪⎫2512<1.∵y =x 12为增函数,∴⎝ ⎛⎭⎪⎫2512<⎝ ⎛⎭⎪⎫3512<⎝ ⎛⎭⎪⎫760<⎝ ⎛⎭⎪⎫2313-.答案:⎝ ⎛⎭⎪⎫2512<⎝ ⎛⎭⎪⎫3512<⎝ ⎛⎭⎪⎫760<⎝ ⎛⎭⎪⎫2313-5.已知幂函数f (x )=x 21()m m -+ (m ∈N +).(1)试确定该函数的定义域,并指明该函数在其定义域上的单调性;(2)若该函数f (x )经过点(2,2),试确定m 的值,并求满足条件f (2-a )>f (a -1)的实数a 的取值范围.解析:(1)∵m 2+m =m (m +1)(m ∈N +),而m 与m +1中必有一个为偶数, ∴m 2+m 为偶数,∴函数f (x )=x 21()m m -+ (m ∈N +)的定义域为[0,+∞),并且该函数在[0,+∞)上为增函数. (2)∵函数f (x )经过点(2,2),∴2=2(m 2+m )-1,即212=2(m 2+m )-1, ∴m 2+m =2,解得m =1或m =-2, 又∵m ∈N +,∴m =1,f (x )=x 12. 又∵f (2-a )>f (a -1),∴⎩⎨⎧2-a ≥0,a -1≥0,2-a >a -1,解得1≤a <32,故函数f (x )经过点(2,2)时,m =1.满足条件f (2-a )>f (a -1)的实数a 的取值范围为1≤a <32. 6.已知函数f (x )=(m 2+2m )·x 21m m +-,求m 为何值时,f (x )是:(1)正比例函数;(2)反比例函数;(3)二次函数;(4)幂函数. 解析:(1)若f (x )为正比例函数,则⎩⎨⎧m 2+m -1=1,m 2+2m ≠0,解得m =1. (2)若f (x )为反比例函数,则⎩⎨⎧m 2+m -1=-1,m 2+2m ≠0,解得m =-1. (3)若f (x )为二次函数,则⎩⎨⎧m 2+m -1=2,m 2+2m ≠0,解得m =-1±132.(4)若f (x )为幂函数,则m 2+2m =1, 解得m =-1±2.。

人教版高中数学必修一精品讲义2.3 二次函数与一元二次方程、不等式(精炼)(解析版)

人教版高中数学必修一精品讲义2.3 二次函数与一元二次方程、不等式(精炼)(解析版)

2.3 二次函数与一元二次方程、不等式【题组一 解无参数的一元二次不等式】 解下列不等式:(1)2340x x -->; (2)2 120x x --≤; (3)2340x x +->; (4)2 1680x x -+≤. (5)12-x 2+3x -5>0 (6)-2x 2+3x -2<0; (7)-2<x 2-3x ≤10.【正确答案】(1){|1x x <-或4}3x >;(2){|34}x x -≤≤;(3){|4x x <-或1}x >; (4){|4}x x =.( 5)∅( 6)R( 7)[-2,1)∪( 2,5]【详细解析】(1)由题意,不等式234(1)(34)0x x x x --=+->,则不等式的解集为{|1x x <-或4}3x >;(2)由题意,不等式212(4)(3)0x x x x --=-+≤,则不等式的解集为{|34}x x -≤≤; (3)由题意,不等式234(4)(1)0x x x x +-=+->,则不等式的解集为{|4x x <-或1}x >; (4)由题意,不等式22(468) 10x x x =--+≤,则不等式的解集为{|4}x x =;(5)原不等式可化为x 2-6x +10<0,Δ=( -6)2-40=-4<0,所以方程x 2-6x +10=0无实根,又二次函数y =x 2-6x +10的图象开口向上,所以原不等式的解集为∅(6)原不等式可化为2x 2-3x +2>0,因为Δ=9-4×2×2=-7<0,所以方程2x 2-3x +2=0无实根,又二次函数y =2x 2-3x +2的图象开口向上,所以原不等式的解集为R(7)原不等式等价于2232310x x x x ⎧->-⎪⎨-≤⎪⎩①②,①可化为x 2-3x +2>0,解得x >2或x <1 ②可化为x 2-3x -10≤0,解得-2≤x ≤5.故原不等式的解集为[-2,1)∪( 2,5] 【题组二 解有参数的一元二次不等式】1.(2020·安徽金安 六安一中高一期中(理))设函数2()(1)1f x mx m x =-++.(1)若对任意的x ∈R ,均有()0f x m +≥成立,求实数m 的取值范围; (2)若0m >,解关于x 的不等式()0f x <. 【正确答案】(1)13m ≥;(2)正确答案见详细解析. 【详细解析】(1)由题意得,()0f x m +≥对任意的x ∈R 成立,即2(1)10mx m x m -+++≥对任意的x ∈R 成立, ①当0m =时,10x -+≥,显然不符合题意;②当0m ≠时,只需00m >⎧⎨∆≤⎩,即()()21410m m m m >⎧⎪⎨+-+≤⎪⎩, 化简得()()03110m m m >⎧⎨-+≥⎩,解得13m ≥, 综上所述,13m ≥. (2)由()0f x <得2(1)10mx m x -++<,即(1)(1)0x mx --<,①当1m =时,2(10)x -<,解集为∅;②当1m 时,11m <,解集为1,1m ⎛⎫ ⎪⎝⎭; ③当01m <<时,11m >,解集为11,m ⎛⎫⎪⎝⎭. 2.(2020·宁夏兴庆.银川一中高一期末)解关于x 的不等式:()2220ax x ax a -≥-<. 【正确答案】正确答案不唯一,具体见详细解析【详细解析】原不等式移项得()2220ax a x +--≥,即()()120x ax +-≥.∵0a <,∴()210x x a ⎛⎫+-≤ ⎪⎝⎭当20a -<<时,21x a≤≤- 当2a =-时,1x =- 当2a <-时,21x a-≤≤ 综上所述:当20a -<<时,解集为21xx a ⎧⎫≤≤-⎨⎬⎩⎭当2a =-时,解集为{}1x x =-当2a <-时,解集为21x x a ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭3.(2019·四川仁寿一中高一月考)设m R ∈,解关于x 的不等式22230m x mx +-<. 【正确答案】详见详细解析 【详细解析】①时,恒成立.②0m >时,不等式可化为()()310mx mx +-<,即310x x m m ⎛⎫⎛⎫+-< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭而31m m -<,此时不等式的解集为31|x x m m ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭;③当0m <时,不等式可化为()()310mx mx +-<,即310x x m m ⎛⎫⎛⎫+-< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭而31m m ->,此时不等式的解集为13|x x mm ⎧⎫<<-⎨⎬⎩⎭;4.(2020·上海高三专题练习)解关于x 的不等式:()()2220mx m x m R +-->∈. 【正确答案】见详细解析【详细解析】(1)当0m =时,(),1x ∈-∞-; (2)当0m ≠时,原不等式化为()()210mx x -+>. ①当0m >时,原不等式化为()210x x m ⎛⎫-+> ⎪⎝⎭.()2,1,x m ⎛⎫∴∈-∞-+∞ ⎪⎝⎭.②当0m <时,原不等式化为()210x x m ⎛⎫-+< ⎪⎝⎭. a.当20m -<<时,2,1x m ⎛⎫∈-⎪⎝⎭;b .当2m =-时,x ∈∅;c .当2m <-时,21,x m ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭.综上所述:①当2m <-时,21,x m ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭; ②当2m =-时,x ∈∅; ③当20m -<<时,2,1x m ⎛⎫∈-⎪⎝⎭;④当0m =时,(),1x ∈-∞-; ⑤当0m >时,.()2,1,x m ⎛⎫∈-∞-+∞ ⎪⎝⎭. 5.(2020·上海高一课时练习)解关于x 的不等式:()2230x a a x a-++>.【正确答案】见详细解析 【详细解析】将不等式()2230x a ax a-++>变形为()()20x a x a -->.当a <0或1a >时,有a < a 2,所以不等式的解集为{|x x a <或2}x a >; 当a =0或1a =时,a = a 2=0,所以不等式的解集为{|,x x R ∈且}x a ≠; 当0< a <1时,有a > a 2,所以不等式的解集为2{|x x a <或}x a >; 6(2020·浙江高一课时练习)解关于x 的不等式:10ax x a->-. 【正确答案】正确答案见详细解析. 【详细解析】当0a =时,不等式化为10x->,解得0x <; 若0a >,则原不等式可化为10a x a x a⎛⎫- ⎪⎝⎭>-,1()()0x a x a-->, 当01a <<时,1a a <,解得x a <或1x a>, 当1a =时,不等式化为2(1)0x ->,解得x ∈R 且1x ≠,当1a >时,1a a>,解得1x a <或x a >;若0a <,则不等式可化为1(0)()x a x a--<当1a <-时,1a a <,解得1a x a<<,当1a =-时,不等式可化为2(1)0x +<,其解集为∅, 当10a -<<时,1a a >,解得1x a a<<. 综上,当1a <-时,不等式的解集为1xa x a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭∣;当1a =-时,不等式的解集为∅;当10a -<<时,不等式的解集为1xx a a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭∣; 当0a =时,不等式的解集为{0}xx <∣; 当01a <<时,不等式的解集为{xx a <∣或1}x a>; 当1a =时,不等式的解集为{xx R ∈∣且1}x ≠; 当1a >时,不等式的解集为{1xx a<∣或}x a >. 7.(2020·上海高一课时练习)解下列含参数的不等式: (1)2220x ax a --<; (2)()2110ax a x -++≤;(3)230x mx m --≤.【正确答案】(1)见详细解析(2)见详细解析(3)见详细解析 【详细解析】(1)原不等式等价于()()20x a x a -+<, 对应方程两根为212,x a x a ==-, 比较两根的大小情况,可得当0a >时,不等式的解集为(),2a a -; 当0a =时,不等式的解集为∅; 当0a <时,不等式的解集为()2,a a -.(2)当0a =时,不等式化为10x -+≤.解得[)1,x ∈+∞.当0a ≠时,方程()2110ax a x -++=的两根为11x =,21x a=. ①0a >时,分情况讨论:01a <<时,11,x a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦;1a =时,{}1x ∈;1a >时,1,1x a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.②0a <时,[)1,1,x a⎛⎤∈-∞+∞ ⎥⎝⎦.综上,当1a >时,不等式的解集为1,1a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦; 当1a =时,不等式的解集为{}1; 当01a <<时,不等式的解集为11,a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦;当0a =时,不等式的解集为[)1,+∞;当0a <时,不等式的解集为[)1,1,a⎛⎤-∞⋃+∞ ⎥⎝⎦.(3)()21212m m m m ∆=+=+.①>0∆,即0m >或12m <-时,不等式的解集为⎢⎥⎣⎦;②0∆=,即0m =或12=-m 时, 不等式的解集为6m ⎧⎫⎨⎬⎩⎭; ③∆<0,即120m -<<时,不等式的解集为∅. 【题组三 三个一元二次的关系】1.(2020·全国高一开学考试)关于x 的不等式230x ax +-<,解集为3,1-(),则不等式230ax x +-<的解集为( )A .1,2()B .1,2-()C .1(,1)2-D .()3,12-【正确答案】D【详细解析】由题,3,1x x =-=是方程230x ax +-=的两根,可得31a -+=-,即2a =, 所以不等式为2230x x +-<,即()()2310x x +-<,所以312x -<<,故选:D2.(2020·全国高一课时练习)若方程()2250x m x m ++++=只有正根,则m 的取值范围是( )A .4m ≤-或4m ≥B .54m -<≤-C .54m -≤≤-D .52m -<<-【正确答案】B【详细解析】方程()2250x m x m ++++=只有正根,则1()当()()22450m m ∆=+-+=,即4m =±时,当4m =-时,方程为()210x -=时,1x =,符合题意; 当4m =时,方程为()230x +=时,3x =-不符合题意. 故4m =-成立;2()当()()22450m m ∆=+-+>,解得4m <-或4m >, 则()()()224502050m m m m ⎧∆=+-+>⎪-+>⎨⎪+>⎩,解得54m -<<-. 综上得54m -<≤-. 故选B.3.(2020·全国高一课时练习)已知一元二次不等式20x px q ++<的解集为11|23x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭,求不等式210qx px ++>的解集 .【正确答案】{|23}x x -<<.【详细解析】由题意,不等式20x px q ++<的解集为11|23x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭, 所以112x =-与213x =是方程20x px q ++=的两个实数根, 由根与系数的关系得112311()23p q⎧-+=-⎪⎪⎨⎪-⨯=⎪⎩ 解得11,66p q ==- 所以不等式210qx px ++>,即为2111066x x -++>,整理得260x x --<,解得23x -<<即不等式210qx px ++>的解集为{|23}x x -<<.4.(2020·上海高一开学考试)关于x 的方程()2210mx m x m +++=有两个不等的实根,则m 的取值范围是( ) A .1,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B .1,4⎛⎫-∞-⎪⎝⎭C .1,4⎡⎤-+∞⎢⎥⎣⎦D .()1,00,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【正确答案】D【详细解析】因为关于x 的方程()2210mx m x m +++=有两个不等的实根0m ≠且>0∆,即:()22214410m m m +-=+>且0m ≠,解得14m >-且0m ≠.故选:D. 5.(2019·山东济宁.高一月考)已知0a <,关于x 的一元二次不等式()2220ax a x -++>的解集为( ) A .{2|x x a<,或}1x > B .2|1x x a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭C .{|1x x <,或2x a ⎫>⎬⎭D .2|1x x a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭【正确答案】B【详细解析】依题意()2220ax a x -++>可化为()()210ax x -->,由于0a <,故不等式的解集为2|1x x a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭.故选B. 6.(2020·哈尔滨德强学校高一期末)关于x 的不等式220ax bx ++>的解集为{}12x x -<<. (1)求,a b 的值;(2)求关于x 的不等式220bx ax -->的解集. 【正确答案】(1)1,1a b =-=;(2){}21x x x -或.【详细解析】(1)关于x 的不等式220ax bx ++>的解集为{}12x x -<<, ∴0a <,且﹣1和2是方程220ax bx ++=的两实数根,由根与系数的关系知,12212b aa ⎧-+=-⎪⎪⎨⎪-⨯=⎪⎩,解得1,1a b =-=; (2)由(1)知,1,1a b =-=时,不等式220bx ax -->为220(2)(1)012x x x x x x +-=⇒+->⇒><-或, ∴不等式220bx ax -->的解集是{}21x x x -或.7.(2020·荆州市北门中学高一期末)已知关于x 的不等式2260,(0)kx x k k -+<≠(1)若不等式的解集是{}|32x x x <->-或,求k 的值; (2)若不等式的解集是R ,求k 的取值范围; (3)若不等式的解集为∅,求k 的取值范围. 【正确答案】(1)25k =-(2)6k <-(3)6k ≥【详细解析】( 1)∵不等式2260,(0)kx x k k -+<≠的解集是{}|32x x x <->-或,∴k 0<且-3和-2是方程2260kx x k -+=的实数根, 由根与系数的关系,得2(3)(2)k -+-=,所以25k =-; ( 2)不等式的解集是R ,所以24240,0k k ∆=-<<,解得k < ( 3)不等式的解集为∅,得24240,0k k ∆=-≤>,解得6k ≥-8.(2020·全国高一课时练习)已知关于x 的一元二次方程()222110x k x k --+-=有两个不相等的实数根.(1)求k 的取值范围;(2)若该方程的两根分别为12,x x ,且满足12122x x x x +=,求k 的值. 【正确答案】(1)(,1)-∞;(2)0k =.【详细解析】(1)由题意方程()222110x k x k --+-=有两个不相等的实数根,则满足()()2222[21]4148444880k k k k k k ∆=----=-+-+=-+>,解得1k <,即实数k 的取值范围是(,1)-∞; (2)由(1)可知1k <,又由一元二次方程中根与系数的关系,可得()21212211x x k x x k +=-=-,,因为12122x x x x +=,所以()22122k k -=-,整理得2k k =,解得1k =(舍去)或0k =,所以0k =.9(2020·浙江高一课时练习)已知关于x 的不等式2260(0)kx x k k -+<≠. (1)若不等式的解集是{|3x x <-或2}x >-,求k 的值.(2)若不等式的解集是1xx k ⎧⎫≠-⎨⎬⎩⎭∣,求k 的值. (3)若不等式的解集是R ,求k 的取值范围. (4)若不等式的解集是∅,求k 的取值范围.【正确答案】(1)25k =-;(2)k =(3)k <;(4)k ≥. 【详细解析】(1)由不等式的解集为{3xx <-∣或2}x >-可知k 0<, 且3x =-与2x =-是方程2260kx x k -+=的两根,2(3)(2)k∴-+-=,解得25k =-.(2)由不等式的解集为1xx k ⎧⎫≠-⎨⎬⎩⎭∣可知204240k k <⎧⎨∆=-=⎩,解得k =(3)依题意知20,4240,k k <⎧⎨∆=-<⎩解得6k <-.(4)依题意知20,4240,k k >⎧⎨∆=-≤⎩解得k ≥. 【题组四 一元二次恒成立问题】1.(2020·全国高一课时练习)当()1,3x ∈时,不等式240x mx -+>恒成立,则实数m 的取值范围是_____________. 【正确答案】4m <【详细解析】240x mx -+>,且()1,3x ∈,所以原不等式等价于24x m x+<,不等式恒成立,则24min x m x ⎛⎫+< ⎪⎝⎭,由2444x x x x +=+≥=,当且仅当()21,3x =∈时,24 4minx x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭,所以正确正确答案为4m <.2.(2020·全国高一课时练习)对任意x ∈R ,函数f ( x )=x 2+( m -4)x +4-2m 的值总为非负,则m 的取值范围为________. 【正确答案】{0}【详细解析】由题意知∆=( m -4)2-4( 4-2m )= m 2≤0,得m =0.故正确答案为:{}0.3.(2020·江西高一期末)对任意实数x ,不等式()22130x k x k ++++>恒成立,则k 的取值范围是______.【正确答案】21k -<<【详细解析】∵()22130x k x k ++++>对任意实数x 恒成立,2x 的系数10>∴()()241430k k ∆=+-+<,解得:21k -<<,∴k 的取值范围是:21k -<<. 故正确答案为:21k -<<.4.(2020·安徽金安.六安一中高一期中(文))若不等式23208kx kx +-<对一切实数x 都成立,则k 的取值范围为__________________. 【正确答案】(3,0]- 【详细解析】当0k =时,308-<,满足题意; 当0k ≠时,则00k <⎧⎨∆<⎩,即2034?2?08k k k <⎧⎪⎨+<⎪⎩解得:30k -<<, 综上:30k -<≤. 故正确答案为:(3,0]-.5.(2019·天津河西 高二期中)已知函数()f x =22,x ax a R ++∈.(1)若不等式()0f x ≤的解集为[]1,2,求不等式()21f x x ≥-的解集;(2)若对于任意的[]1,1x ∈-,不等式()()214f x a x ≤-+恒成立,求实数a 的取值范围;(3)已知2()(2)1g x ax a x =+++,若方程()()f x g x =在1,32⎛⎤ ⎥⎝⎦有解,求实数a 的取值范围.【正确答案】(1){|1x x ≥或1}2x ≤;(2)1|3a a ⎧⎫≤⎨⎬⎩⎭;(3){}|01a a ≤<.【详细解析】(1)由220x ax ++≤的解集是[]12,,可得220x ax ++=有2个不等的实根1和2, 由韦达定理1212bx x a a+=-=-=+,可得3a =- 此时()21f x x ≥-等价于22321x x x -+≥-, 即22310x x -+≥,解得1x ≥或12x ≤所以不等式()21f x x ≥-的解集是{|1x x ≥或1}2x ≤; (2)对于任意的[]1,1x ∈-,不等式()()214f x a x ≤-+恒成立, 也即2220x ax a -+-≤ 对任意的[]1,1x ∈-恒成立,因为222y x ax a =-+-二次函数开口向上,最大值在1x =或1x =-处取得,所以只需满足12201220a a a a -+-≤⎧⎨++-≤⎩,解得:113a a ≤⎧⎪⎨≤⎪⎩,据此可得13a ≤; 综上可得,实数a 的取值范围是:1|3a a ⎧⎫≤⎨⎬⎩⎭.(3)若方程()()f x g x =在1,32⎛⎤ ⎥⎝⎦有解,可得到()21210a x x -+-=在1,32⎛⎤ ⎥⎝⎦有实数根.参数分离得21211,,32a x x x ⎛⎤-=-∈ ⎥⎝⎦,则11,23x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭, 结合二次函数的性质可得[)2121,0x x-∈-, 所以[)11,0a -∈-,也即01a ≤<.综上可得,实数a 的取值范围是:{}|01a a ≤<.6.(2020·浙江宁波.高一期末)已知集合(){}(][)22310,15,x R x k x k ∈-+-+≥=-∞-⋃+∞.(Ⅰ)求实数k 的值;(Ⅰ)已知(),2t ∈-∞,若不等式()22234150x k x k m m -+--++≥在4t x ≤≤上恒成立,求实数m 的取值范围.【正确答案】(Ⅰ)2;(Ⅰ)[]1,5-. 【详细解析】(Ⅰ)由题意可知,1-和5是方程()22310x k x k -+-+=的两个根,所以由韦达定理得152531k k -+=+⎧⎨-=-+⎩,故实数2k =.(Ⅰ)由2k =,原不等式可化为224940x x m m -+-+≥, 所以22449x x m m -≥--在()42t x t ≤≤<上恒成立, 令()22424y x x x =-=--, 因为()42t x t ≤≤<, 所以min 4y =-,所以不等式恒成立等价于2494m m --≤-,故由2450m m --≤,解得:15m -≤≤,故实数m 的取值范围为:[]1,5-. 【题组五 实际运用题】1.(2019·全国高一课时练习)某小型服装厂生产一种风衣,日销售量x (件)与单价P (元)之间的关系为1602P x =-,生产x 件所需成本为C (元),其中()50030C x =+元,若要求每天获利不少于1300元,则日销售量x 的取值范围是( ). A .{}2030,N x x x +≤≤∈ B .{}2045,N x x x +≤≤∈ C .{}1530,N x x x +≤≤∈ D .{}1545,N x x x +≤≤∈【正确答案】B【详细解析】设该厂每天获得的利润为y 元,则()()21602500302130500y x x x x x =-⋅-+=-+-,080x <<,N x +∈,根据题意,可得221305001300x x -+-≥,解得2045x ≤≤,故当2045x ≤≤,且N x +∈时,每天获得的利润不利于1300元.故选B.2.(2019·辽宁沙河口 辽师大附中高三月考(文))某商场若将进货单价为8元的商品按每件10元出售,每天可销售100件,现准备采用提高售价来增加利润,已知这种商品每件销售价提高1元,销售量就要减少10件.那么要保证每天所赚的利润在320元以上,销售价每件应定为( ) A .12元 B .16元C .12元到16元之间D .10元到14元之间【正确答案】C【详细解析】设销售价定为每件x 元,利润为y 则(8)[10010(10)]y x x =---依题意,得(8)[10010(10)]320x x ---> 即2281920x x -+<,解得1216x << 所以每件销售价应定为12元到16元之间 故选:C3.(2020·沙坪坝 重庆八中高一期中)经过长期观测得到:在交通繁忙的时段内,某公路段汽车的车流量y (千辆/小时)与汽车的平均速度v (千米/小时)之间的函数关系为:27002900vy v v =++(0v >).(1)在该时段内,当汽车的平均速度为多少时,车流量最大?最大车流量为多少?(保留分数形式)(2)若要求在该时段内车流量超过10千辆/小时,则汽车的平均速度应在什么范用内? 【正确答案】(1)当30km /h v =时,车流量最大,最大车流量约为35031千辆/时;(2)汽车的平均速度应大于18km /h 且小于50km /h .【详细解析】(1)依题得2700700700350900290062312vy v v v v ==≤==++⎛⎫++ ⎪⎝⎭. 当且仅当900v v=,即30v =时,上时等号成立, max 35031y ∴=(千辆/时). ∴当30km /h v =时,车流量最大,最大车流量约为35031千辆/时; (2)由条件得2700102900vv v >++,因为229000v v ++>, 所以整理得2689000v v -+<,即()()18500v v --<,解得1850v <<.如果要求在该时段内车流量超过10千辆/时,则汽车的平均速度应大于18km /h 且小于50km /h .4.(2020·江西省崇义中学高一开学考试(文))某汽车厂上年度生产汽车的投入成本为10万元/辆,出厂价为12万元/辆,年销售量为10000辆.本年度为适应市场需求,计划提高产品质量,适度增加投入成本.若每辆车投入成本增加的比例为(01x <<),则出厂价相应地提高比例为,同时预计年销售量增加的比例为,已知年利润=(出厂价-投入成本)×年销售量. (1)写出本年度预计的年利润与投入成本增加的比例的关系式;(2)为使本年度的年利润比上年度有所增加,则投入成本增加的比应在什么范围内?【正确答案】(1)26000200020000y x x =-++,(01)x <<;(2)1(0,)3.【详细解析】(1)由题意得:[12(10.75)10(1)]10000(10.6)y x x x =+-+⨯⨯+,(01)x <<,整理得:26000200020000y x x =-++,(01)x <<(2)要保证本年度的年利润比上年度有所增加,必须(1210)100000y --⨯>,(01)x << 即2600020000x x -+>,(01)x <<. 解得103x <<,所以投入成本增加的比例应在1(0,)3范围内.。

高中数学必修1(人教B版)第二章_2-3知识点总结配同步练习及答案

高中数学必修1(人教B版)第二章_2-3知识点总结配同步练习及答案

描述:例题:高中数学必修1(人教B版)知识点总结含同步练习题及答案
第二章 函数 2.3 函数的应用(I)
一、学习任务
了解一次函数、二次函数模型的意义,并能进行简单应用.
二、知识清单
函数模型的应用
三、知识讲解
1.函数模型的应用
函数模型的概念
函数模型就是用函数知识对日常生活中普遍存在的成本最低、利润最高、产量最大、收益最好、用料最省等实际问题进行归纳加工,建立相应的目标函数,确定变量的取值范围,运用函数的方法进行求解,最后用其解决实际问题.
几种函数模型的增长速度比较
在区间 上,尽管函数 , 和 都是增函数,但它们的增长速度不同,随着 的增大,指数函数 的增长速度会越来越快,会超过并远远大于幂函数 的增长速度,而 的增长则会越来越慢,因此总会存在一个 ,当 时,就有 .
(0,+∞)y =(a >1)a x y =x (a >1)log a y =(a >0)x a x y =(a >1)a x y =(a >0)x a y =x (a >1)log a x 0x >x 0x <<log a x a a
x
向高 为的水瓶内注水,注满为止,如果注水量 与水深 的函数关系的图像如图所示,那
么水瓶的形状是( )
解:B
取 的中点 作 轴的垂线,由图可知,当水深 达到容量高度的一半时,体积大于一
H V
h OH E h h
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答案:A . 分钟B . 分钟C . 分钟D . 分钟B
3.50 3.75
4.00
4.25。

2018版高中数学人教版A版必修一学案:第二单元 §2.3 幂函数 Word版含答案 (5)

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§2.2对数函数2.2.1对数与对数运算第1课时对数学习目标 1.理解对数的概念、掌握对数的性质(重、难点).2.掌握指数式与对数式的互化,能应用对数的定义和性质解方程(重点).预习教材P62-P63,完成下面问题:知识点1对数1.对数(1)指数式与对数式的互化及有关概念:(2)底数a的范围是a>0,且a≠1.2.常用对数与自然对数【预习评价】(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)根据对数的定义,因为(-2)4=16,所以log(-2)16=4.()(2)对数式log32与log23的意义一样.()(3)对数的运算实质是求幂指数.()提示(1)×因为对数的底数a应满足a>0且a≠1,所以(1)错;(2)×log32表示以3为底2的对数,log23表示以2为底3的对数,所以(2)错;(3)√由对数的定义可知(3)正确.知识点2对数的基本性质(1)负数和零没有对数.(2)log a 1=0(a >0,且a ≠1). (3)log a a =1(a >0,且a ≠1). 【预习评价】若log 32x -33=1,则x =________;若log 3(2x -1)=0,则x =________.解析 若log 32x -33=1,则2x -33=3,即2x -3=9,x =6;若log 3(2x -1)=0,则2x -1=1,即x =1.答案 6 1题型一 对数的定义【例1】 (1)在对数式y =log (x -2)(4-x )中,实数x 的取值范围是________. (2)将下列指数式化为对数式,对数式化为指数式. ①54=625;②log 216=4;③10-2=0.01;④log5125=6.(1)解析 由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧4-x >0,x -2>0,x -2≠1,解得2<x <4且x ≠3.答案 (2,3)∪(3,4)(2)解 ①由54=625,得log 5625=4. ②由log 216=4,得24=16. ③由10-2=0.01,得lg 0.01=-2. ④由log 5125=6,得(5)6=125.规律方法 指数式与对数式互化的思路(1)指数式化为对数式:将指数式的幂作为真数,指数作为对数,底数不变,写出对数式. (2)对数式化为指数式:将对数式的真数作为幂,对数作为指数,底数不变,写出指数式. 【训练1】 将下列指数式化为对数式,对数式化为指数式: (1)43=64;(2)ln a =b ;(3)⎝⎛⎭⎫12m=n ;(4)lg 1000=3. 解 (1)因为43=64,所以log 464=3; (2)因为ln a =b ,所以e b =a ;(3)因为⎝⎛⎭⎫12m=n ,所以log 12n =m ;(4)因为lg 1 000=3,所以103=1 000.题型二 利用指数式与对数式的互化求变量的值 【例2】 (1)求下列各式的值.①log 981=________.②log 0.41=________.③ln e 2=________. (2)求下列各式中x 的值. ①log 64x =-23;②log x 8=6;③lg 100=x ;④-ln e 2=x .(1)解析 ①设log 981=x ,所以9x =81=92,故x =2,即log 981=2;②设log 0.41=x ,所以0.4x =1=0.40,故x =0,即log 0.41=0;③设ln e 2=x ,所以e x =e 2,故x =2,即ln e 2=2.答案 ①2 ②0 ③2(2)解 ①由log 64x =-23得x =64-23 =43×(-23 )=4-2=116;②由log x 8=6,得x 6=8,又x >0,即x =816 =23×16 =2;③由lg 100=x ,得10x =100=102,即x =2;④由-ln e 2=x ,得ln e 2=-x ,所以e -x =e 2,-x =2,x =-2. 规律方法 对数式中求值的基本思想和方法 (1)基本思想.在一定条件下求对数的值,或求对数式中参数字母的值,要注意利用方程思想求解. (2)基本方法.①将对数式化为指数式,构建方程转化为指数问题. ②利用幂的运算性质和指数的性质计算.【训练2】 利用指数式、对数式的互化求下列各式中的x 值. (1)log 2x =-12;(2)log x 25=2;(3)log 5x 2=2.解 (1)由log 2x =-12,得2-12 =x ,∴x =22. (2)由log x 25=2,得x 2=25. ∵x >0,且x ≠1,∴x =5. (3)由log 5x 2=2,得x 2=52,∴x =±5.∵52=25>0,(-5)2=25>0, ∴x =5或x =-5.题型三 利用对数的性质及对数恒等式求值 【例3】 (1)71-log75;(2)100⎝ ⎛⎭⎪⎫12lg 9-lg 2;(3)a log ab ·log bc(a ,b 为不等于1的正数,c >0).解 (1)原式=7×7-log 75=77log 75=75. (2)原式=10012lg 9×100-lg 2=10lg 9×1100lg 2=9×1(10lg 2)2=94. (3)原式=(a log ab )log bc =b log bc =c .规律方法 对数恒等式a log a N =N 的应用 (1)能直接应用对数恒等式的直接应用即可.(2)对于不能直接应用对数恒等式的情况按以下步骤求解.【训练3】 (1)设3log 3(2x+1)=27,则x =________.(2)若log π(log 3(ln x ))=0,则x =________. 解析 (1)3log 3(2x+1)=2x +1=27,解得x =13.(2)由log π(log 3(ln x ))=0可知log 3(ln x )=1,所以ln x =3,解得x =e 3. 答案 (1)13 (2)e 3课堂达标1.有下列说法:(1)只有正数有对数;(2)任何一个指数式都可以化成对数式;(3)以5为底25的对数等于±2;(4)3log 3(-5)=-5成立.其中正确的个数为( )A .0B .1C .2D .3解析 (1)正确;(2),(3),(4)不正确. 答案 B2.使对数log a (-2a +1)有意义的a 的取值范围为( ) A .a >12且a ≠1B .0<a <12C .a >0且a ≠1D .a <12解析 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧-2a +1>0,a >0,a ≠1,解得0<a <12.答案 B3.方程lg(2x -3)=1的解为________.解析 由lg(2x -3)=1知2x -3=10,解得x =132.答案1324.计算:2log 23+2log 31-3log 77+3ln 1=________. 解析 原式=3+2×0-3×1+3×0=0. 答案 05.把下列指数式化为对数式,对数式化为指数式. (1)2-3=18;(2)⎝⎛⎭⎫17a =b ;(3)lg 11 000=-3; (4)ln 10=x .解 (1)由2-3=18可得log 218=-3;(2)由⎝⎛⎭⎫17a=b 得log 17b =a ; (3)由lg11 000=-3可得10-3=11 000; (4)ln 10=x 可得e x =10.课堂小结1.对数概念与指数概念有关,指数式和对数式是互逆的,即a b =N ⇔log a N =b (a >0,且a ≠1,N >0),据此可得两个常用恒等式:(1)log a a b =b ;(2)a log aN =N .2.在关系式a x =N 中,已知a 和x 求N 的运算称为求幂运算,而如果已知a 和N 求x 的运算就是对数运算,两个式子实质相同而形式不同,互为逆运算.3.指数式与对数式的互化。

新版高一数学必修第一册第二章全部配套练习题(含答案和解析)

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新版高一数学必修第一册第二章全部配套练习题(含答案和解析)2.1 等式性质与不等式性质基 础 练巩固新知 夯实基础1.若1a <1b <0,则下列结论中不正确的是( )A .a 2<b 2B .ab <b 2C .a +b <0D .|a |+|b |>|a +b |2.已知a >b >0,则下列不等式一定成立的是( ) A .a +1b >b +1aB .a +1a ≥b +1bC .b a >b +1a +1D .b -1b >a -1a3.下列说法正确的是( )A .若a >b ,c >d ,则ac >bdB .若1a >1b,则a <bC .若b >c ,则|a |b ≥|a |cD .若a >b ,c >d ,则a -c >b -d 4.若y 1=3x 2-x +1,y 2=2x 2+x -1,则y 1与y 2的大小关系是( ) A .y 1<y 2 B .y 1=y 2C .y 1>y 2D .随x 值变化而变化 5.一辆汽车原来每天行驶x km ,如果这辆汽车每天行驶的路程比原来多19 km ,那么在8天内它的行程就超过2 200 km ,写成不等式为________;如果它每天行驶的路程比原来少12 km ,那么它原来行驶8天的路程就得花9天多的时间,用不等式表示为________.6.已知三个不等式①ab >0;①c a >db ;①bc >ad .若以其中的两个作为条件,余下的一个作为结论,则可以组成________个正确命题.7.若x ①R ,则x 1+x2与12的大小关系为________. 8.已知1<α<3,-4< β <2,若z =12α-β,则z 的取值范围是________.9.已知a >b ,1a <1b ,求证:ab >0.10.已知-2<a ≤3,1≤b <2,试求下列代数式的取值范围.(1)|a |; (2)a +b ; (3)a -b ; (4)2a -3b .能 力 练综合应用 核心素养11.设a >b >c ,且a +b +c =0,则下列不等式恒成立的是( ) A .ab >bc B .ac >bc C .ab >acD .a |b |>c |b |12.若abcd <0,且a >0,b >c ,d <0,则( ) A .b <0,c <0 B .b >0,c >0 C .b >0,c <0D .0<c <b 或c <b <013.实数a ,b ,c ,d 满足下列三个条件:①d >c ;①a +b =c +d ;①a +d <b +c .则将a ,b ,c ,d 按照从小到大的次序排列为________. 14.已知|a |<1,则11+a 与1-a 的大小关系为________.15.已知a ,b ①R ,a +b >0,试比较a 3+b 3与ab 2+a 2b 的大小.16.已知0<a <b 且a +b =1,试比较: (1)a 2+b 2与b 的大小; (2)2ab 与12的大小.17.已知1≤a -b ≤2,2≤a +b ≤4,求4a -2b 的取值范围.18.建筑设计规定,民用住宅的窗户面积必须小于地板面积.但按采光标准,窗户面积与地板面积的比值应不小于10%,且这个比值越大,住宅的采光条件就越好,试问:同时增加相等的窗户面积和地板面积,住宅的采光条件是变好了,还是变坏了?请说明理由.【参考答案】1. D 解析: ①1a <1b <0,①b <a <0,①b 2>a 2,ab <b 2,a +b <0,①A 、B 、C 均正确,①b <a <0,①|a |+|b |=|a +b |,故D 错误.2. A 解析:因为a >b >0,所以1b >1a >0,所以a +1b >b +1a,故选A.3. C 解析 A 项:a ,b ,c ,d 的符号不确定,故无法判断;B 项:不知道ab 的符号,无法确定a ,b 的大小;C 项:|a |≥0,所以|a |b ≥|a |c 成立;D 项:同向不等式不能相减.4. C 解析y 1-y 2=(3x 2-x +1)-(2x 2+x -1)=x 2-2x +2=(x -1)2+1>0, 所以y 1>y 2.故选C.5. 8(x +19)>2 200 8x >9(x -12) 解析:①原来每天行驶x km ,现在每天行驶(x +19)km.则不等关系“在8天内的行程超过2 200 km”,写成不等式为8(x +19)>2 200.①若每天行驶(x -12)km ,则不等关系“原来行驶8天的路程现在花9天多时间”, 写成不等式为8x >9(x -12). 6. 3 解析:①①①①,①①①①.(证明略)由①得bc -ad ab >0,又由①得bc -ad >0.所以ab >0①①.所以可以组成3个正确命题.7. x 1+x 2≤12 解析:①x 1+x 2-12=2x -1-x 22(1+x 2)=-(x -1)22(1+x 2)≤0,①x 1+x 2≤12. 8. ⎩⎨⎧⎭⎬⎫z ⎪⎪-32<z <112 解析:①1<α<3,①12<12α<32,又-4<β<2,①-2<-β<4.①-32<12α-β<112,即-32<z <112. 9.证明:①1a <1b ,①1a -1b <0,即b -a ab<0,而a >b ,①b -a <0,①ab >0. 10. 解:(1)|a |①[0,3].(2)-1<a +b <5.(3)依题意得-2<a ≤3,-2<-b ≤-1,相加得-4<a -b ≤2;(4)由-2<a ≤3得-4<2a ≤6,①由1≤b <2得-6<-3b ≤-3,①由①+①得,-10<2a -3b ≤3. 11. C 解析:选C.因为a >b >c ,且a +b +c =0,所以a >0,c <0,b 可正、可负、可为零. 由b >c ,a >0知,ab >ac .12. D 解析: 由a >0,d <0,且abcd <0,知bc >0,又①b >c ,①0<c <b 或c <b <0. 13. a <c <d <b 解析:由①得a =c +d -b 代入①得c +d -b +d <b +c ,①c <d <b .由①得b =c +d -a 代入①得a +d <c +d -a +c ,①a <c .①a <c <d <b . 14.11+a≥1-a 解析:由|a |<1,得-1<a <1. ①1+a >0,1-a >0.即11+a 1-a =11-a 2①0<1-a 2≤1,①11-a 2≥1,①11+a≥1-a . 15.解:因为a +b >0,(a -b )2≥0,所以a 3+b 3-ab 2-a 2b =a 3-a 2b +b 3-ab 2=a 2(a -b )+b 2(b -a )=(a -b )(a 2-b 2)=(a -b )(a -b )(a +b )=(a -b )2(a +b )≥0,所以a 3+b 3≥ab 2+a 2b .16.解:(1)因为0<a <b 且a +b =1,所以0<a <12<b ,则a 2+b 2-b =a 2+b (b -1)=a 2-ab =a (a -b )<0,所以a 2+b 2<b .(2)因为2ab -12=2a (1-a )-12=-2a 2+2a -12=-2⎝⎛⎭⎫a 2-a +14=-2⎝⎛⎭⎫a -122<0,所以2ab <12.17.解:令4a -2b =m (a -b )+n (a +b ),①⎩⎪⎨⎪⎧ m +n =4,-m +n =-2,解得⎩⎪⎨⎪⎧m =3,n =1.又①1≤a -b ≤2,①3≤3(a -b )≤6,又①2≤a +b ≤4,①5≤3(a -b )+(a +b )≤10,即5≤4a -2b ≤10. 故4a -2b 的取值范围为5≤4a -2b ≤10.18.解:设住宅窗户面积、地板面积分别为a ,b ,同时增加的面积为m ,根据问题的要求a <b ,且ab ≥10%.由于a +mb +m -a b =m (b -a )b (b +m )>0,于是a +m b +m >a b .又a b ≥10%,因此a +m b +m >ab≥10%.所以同时增加相等的窗户面积和地板面积后,住宅的采光条件变好了.2.2 第1课时 基本不等式的证明基 础 练巩固新知 夯实基础1.已知a ,b ①R ,且ab >0,则下列结论恒成立的是( )A .a 2+b 2>2abB .a +b ≥2ab C.1a +1b >2ab D.b a +a b ≥2 2.不等式a 2+1≥2a 中等号成立的条件是( )A .a =±1B .a =1C .a =-1D .a =03.对x ①R 且x ≠0都成立的不等式是( )A .x +1x ≥2B .x +1x ≤-2C.|x |x 2+1≥12D.⎪⎪⎪⎪x +1x ≥2 4.已知x >0,y >0,x ≠y ,则下列四个式子中值最小的是( )A.1x +yB.14⎝⎛⎭⎫1x +1yC. 12(x 2+y 2)D.12xy5.给出下列不等式:①x +1x ≥2; ①⎪⎪⎪⎪x +1x ≥2; ①x 2+y 2xy ≥2; ①x 2+y 22>xy ; ①|x +y |2≥|xy |.其中正确的是________(写出序号即可).6.若a >0,b >0,a +b =2,则下列不等式对一切满足条件的a ,b 恒成立的是________(填序号).①ab ≤1; ①a +b ≤2; ①a 2+b 2≥2; ①a 3+b 3≥3; ①1a +1b≥2.7.设a ,b ,c 都是正数,求证:bc a +ac b +abc≥a +b +c .能 力 练综合应用 核心素养8.若0<a <b ,a +b =1,则a ,12,2ab 中最大的数为( )A .aB .2ab C.12D .无法确定9.已知a >0,b >0,则a +b2,ab ,a 2+b 22,2aba +b中最小的是( ) A.a +b 2B.abC.a 2+b 22D.2aba +b10.设a >0,b >0,则下列不等式中不一定成立的是( )A .a +b +1ab≥22 B.2ab a +b ≥abC.a 2+b 2ab ≥a +b D .(a +b )⎝⎛⎭⎫1a +1b ≥4 11.已知a ,b ①(0,+∞),且a +b =1,则下列各式恒成立的是( )A.1ab≥8 B.1a +1b≥4C.ab ≥12D.1a 2+b2≤12 12.若a <1,则a +1a -1与-1的大小关系是________.13.给出下列结论:①若a >0,则a 2+1>a .①若a >0,b >0,则⎝⎛⎭⎫1a +a ⎝⎛⎭⎫b +1b ≥4. ①若a >0,b >0,则(a +b )⎝⎛⎭⎫1a +1b ≥4. ①若a ①R 且a ≠0,则9a +a ≥6.其中恒成立的是________.14.已知x >0,y >0,z >0.求证:⎝⎛⎭⎫y x +z x ⎝⎛⎭⎫x y +z y ⎝⎛⎭⎫x z +y z ≥8.15.已知a >0,b >0,a +b =1,求证⎝⎛⎭⎫1+1a ⎝⎛⎭⎫1+1b ≥9.【参考答案】1. D 解析:选D.对于A ,当a =b 时,a 2+b 2=2ab ,所以A 错误;对于B ,C ,虽然ab >0,只能说明a ,b 同号,当a ,b 都小于0时,B ,C 错误;对于D ,因为ab >0,所以b a >0,a b >0,所以b a +ab ≥2b a ·a b ,即b a +a b≥2成立.2. B [解析] a 2+1-2a =(a -1)2≥0,①a =1时,等号成立.3. D [解析] 因为x ①R 且x ≠0,所以当x >0时,x +1x ≥2;当x <0时,-x >0,所以x +1x =-⎝⎛⎭⎫-x +1-x ≤-2,所以A 、B 都错误;又因为x 2+1≥2|x |,所以|x |x 2+1≤12,所以C 错误,故选D. 4. C [解析] 解法一:①x +y >2xy ,①1x +y <12xy,排除D ;①14⎝⎛⎭⎫1x +1y =x +y 4xy =14xy x +y >1(x +y )2x +y =1x +y ,①排除B ;①(x +y )2=x 2+y 2+2xy <2(x 2+y 2),①1x +y>12(x 2+y 2),排除A.解法二:取x =1,y =2.则1x +y =13;14⎝⎛⎭⎫1x +1y =38;12(x 2+y 2)=110;12xy =122=18.其中110最小. 5. ① 解析:当x >0时,x +1x ≥2;当x <0时,x +1x≤-2,①不正确;因为x 与1x 同号,所以⎪⎪⎪⎪x +1x =|x |+1|x |≥2,①正确; 当x ,y 异号时,①不正确; 当x =y 时,x 2+y 22=xy ,①不正确;当x =1,y =-1时,①不正确.6. ①①① [解析] 令a =b =1,排除①①;由2=a +b ≥2ab ①ab ≤1,①正确;a 2+b 2=(a +b )2-2ab =4-2ab ≥2,①正确;1a +1b =a +b ab =2ab≥2,①正确.7.[证明] 因为a ,b ,c 都是正数,所以bc a ,ac b ,ab c 也都是正数.所以bc a +ac b ≥2c ,ac b +ab c ≥2a ,bc a +abc≥2b ,三式相加得2⎝⎛⎭⎫bc a +ac b +ab c ≥2(a +b +c ),即bc a +ac b +abc ≥a +b +c ,当且仅当a =b =c 时取等号. 8. C 解析:选C.因为0<a <b ,a +b =1,所以a <12,因为ab <⎝⎛⎭⎫a +b 22=14,所以2ab <12,则a ,12,2ab 中最大的数为12,故选C.9. D [解析] 因为a >0,b >0,所以2ab a +b ≤2ab2ab =ab ,a +b 2≥ab ,a 2+b 22=2(a 2+b 2)4≥(a +b )24=a +b2(当且仅当a =b >0时,等号成立).所以a +b2,ab ,a 2+b 22,2ab a +b 中最小的是2aba +b,故选D. 10. B 解析:选B.因为a >0,b >0,所以a +b +1ab ≥2ab +1ab ≥22,当且仅当a =b 且2ab =1ab即a =b =22时取等号,故A 一定成立.因为a +b ≥2ab >0,所以2ab a +b ≤2ab2ab =ab ,当且仅当a =b 时取等号,所以2ab a +b ≥ab 不一定成立,故B 不成立.因为2ab a +b ≤2ab 2ab=ab ,当且仅当a =b 时取等号,所以a 2+b 2a +b =(a +b )2-2ab a +b =a +b -2ab a +b ≥2ab -ab ,当且仅当a =b 时取等号,所以a 2+b 2a +b ≥ab ,所以a 2+b 2ab≥a +b ,故C 一定成立.因为(a +b )⎝⎛⎭⎫1a +1b =2+b a +ab≥4,当且仅当a =b 时取等号,故D 一定成立,故选B. 11. B [解析] ①当a ,b ①(0,+∞)时,a +b ≥2ab ,又a +b =1,①2ab ≤1,即ab ≤12.①ab ≤14.①1ab ≥4.故选项A 不正确,选项C 也不正确.对于选项D ,①a 2+b 2=(a +b )2-2ab =1-2ab ,当a ,b ①(0,+∞)时,由ab ≤14可得a 2+b 2=1-2ab ≥12.所以1a 2+b 2≤2,故选项D 不正确.对于选项B ,①a >0,b >0,a +b =1,①1a +1b =⎝⎛⎭⎫1a +1b (a +b )=1+b a +ab+1≥4,当且仅当a =b 时,等号成立.故选B.12. a +1a -1≤-1 解析:因为a <1,即1-a >0,所以-⎝⎛⎭⎫a -1+1a -1=(1-a )+11-a≥2(1-a )·11-a=2.即a +1a -1≤-1.13.①①① [解析] 因为(a 2+1)-a =⎝⎛⎭⎫a -122+34>0,所以a 2+1>a ,故①恒成立. 因为a >0,所以a +1a ≥2,因为b >0,所以b +1b ≥2,所以当a >0,b >0时,⎝⎛⎭⎫a +1a ⎝⎛⎭⎫b +1b ≥4,故①恒成立. 因为(a +b )⎝⎛⎭⎫1a +1b =2+b a +a b ,又因为a ,b ①(0,+∞),所以b a +ab ≥2,所以(a +b )⎝⎛⎭⎫1a +1b ≥4,故①恒成立. 因为a ①R 且a ≠0,不符合基本不等式的条件,故9a+a ≥6是错误的.14.证明:因为x >0,y >0,z >0,所以y x +z x ≥2yz x >0,x y +z y ≥2xz y >0,x z +y z ≥2xyz >0,所以⎝⎛⎭⎫y x +z x ⎝⎛⎭⎫x y +z y ⎝⎛⎭⎫x z +y z ≥8yz ·xz ·xyxyz=8,当且仅当x =y =z 时等号成立. 15.[证明] 证法一:因为a >0,b >0,a +b =1,所以1+1a =1+a +b a =2+b a ,同理1+1b =2+a b,故⎝⎛⎭⎫1+1a ⎝⎛⎭⎫1+1b =⎝⎛⎭⎫2+b a ⎝⎛⎭⎫2+a b =5+2⎝⎛⎭⎫b a +a b ≥5+4=9.所以⎝⎛⎭⎫1+1a ⎝⎛⎭⎫1+1b ≥9(当且仅当a =b =12时取等号).证法二:因为a ,b 为正数,a +b =1.所以⎝⎛⎭⎫1+1a ⎝⎛⎭⎫1+1b =1+1a +1b +1ab =1+a +b ab +1ab =1+2ab , ab ≤⎝⎛⎭⎫a +b 22=14,于是1ab ≥4,2ab ≥8,因此⎝⎛⎭⎫1+1a ⎝⎛⎭⎫1+1b ≥1+8=9⎝⎛⎭⎫当且仅当a =b =12时等号成立.2.2 第2课时 基本不等式的综合应用基 础 练巩固新知 夯实基础1.(3-a )(a +6)(-6≤a ≤3)的最大值为( )A .9 B.92 C .3 D.3222.设x >0,则y =3-3x -1x的最大值是( )A .3B .3-22C .3-2 3D .-1 3.若0<x <12,则函数y =x 1-4x 2的最大值为( )A .1 B.12 C.14D.184.某车间分批生产某种产品,每批的生产准备费用为800元.若每批生产x 件,则平均仓储时间为x8天,且每件产品每天的仓储费用为1元.为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小,每批应生产产品( )A .60件B .80件C .100件D .120件5.已知a >0,b >0,2a +1b =16,若不等式2a +b ≥9m 恒成立,则m 的最大值为( )A .8B .7C .6D .56.已知y =4x +ax (x >0,a >0)在x =3时取得最小值,则a =________.7.已知y =x +1x.(1)已知x >0,求y 的最小值;(2)已知x <0,求y 的最大值.8.已知a >0,b >0,且2a +b =ab .(1)求ab 的最小值; (2)求a +2b 的最小值.能 力 练综合应用 核心素养9.已知a <b ,则b -a +1b -a+b -a 的最小值为( )A .3B .2C .4D .110.已知实数x ,y 满足x >0,y >0,且2x +1y=1,则x +2y 的最小值为( )A .2B .4C .6D .811.设x >0,则函数y =x +22x +1-32的最小值为( ) A .0 B.12C .1D.3212.已知x ≥52,则y =x 2-4x +52x -4有( )A .最大值54B .最小值54za C .最大值1D .最小值113.已知不等式(x +y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x +a y ≥9对任意正实数x ,y 恒成立,则正实数a 的最小值为( )A .2B .4C .6D .814.已知x >0,y >0,2x +3y =6,则xy 的最大值为________.15.若点A (-2,-1)在直线mx +ny +1=0上,其中mn >0,则1m +2n的最小值为________.16.设a>b>c,且1a-b+1b-c≥ma-c恒成立,求m的取值范围.17.(1)若x<3,求y=2x+1+1x-3的最大值;(2)已知x>0,求y=2xx2+1的最大值.【参考答案】1. B 解析:选B.因为-6≤a ≤3,所以3-a ≥0,a +6≥0,所以(3-a )(a +6)≤(3-a )+(a +6)2=92.即(3-a )(a +6)(-6≤a ≤3)的最大值为92.2. C 解析:y =3-3x -1x=3-⎝⎛⎭⎫3x +1x ≤3-2 3x ·1x =3-23,当且仅当3x =1x ,即x =33时取等号. 3. C 解析:因为0<x <12,所以1-4x 2>0,所以x 1-4x 2=12×2x 1-4x 2≤12×4x 2+1-4x 22=14,当且仅当2x=1-4x 2,即x =24时等号成立,故选C. 4. B 解析:设每件产品的平均费用为y 元,由题意得y =800x +x 8≥2800x ·x8=20. 当且仅当800x =x8(x >0),即x =80时“=”成立,故选B.5. C 解析:可得6⎝⎛⎭⎫2a +1b =1,所以2a +b =6⎝⎛⎭⎫2a +1b ·(2a +b )=6⎝⎛⎭⎫5+2a b +2b a ≥6×(5+4)=54,当且仅当2ab =2ba时等号成立,所以9m ≤54,即m ≤6,故选C. 6. 36 解析:y =4x +ax≥24x ·a x =4a (x >0,a >0),当且仅当4x =a x ,即x =a2时等号成立,此时y 取得最小值4a . 又由已知x =3时,y 的最小值为4a ,所以a2=3,即a =36. 7. 解:(1)因为x >0,所以x +1x≥2x ·1x =2,当且仅当x =1x,即x =1时等号成立.所以y 的最小值为2. (2)因为x <0,所以-x >0.所以f (x )=-⎣⎡⎦⎤(-x )+1-x ≤-2(-x )·1-x =-2,当且仅当-x =1-x,即x =-1时等号成立.所以y 的最大值为-2. 8. 解:因为2a +b =ab ,所以1a +2b=1;(1)因为a >0,b >0, 所以1=1a +2b≥22ab ,当且仅当1a =2b =12,即a =2,b =4时取等号,所以ab ≥8,即ab 的最小值为8;(2)a +2b =(a +2b )⎝⎛⎭⎫1a +2b =5+2b a +2ab ≥5+22b a ·2ab=9, 当且仅当2b a =2ab ,即a =b =3时取等号,所以a +2b 的最小值为9.9. A 解析:因为a <b ,所以b -a >0,由基本不等式可得b -a +1b -a +b -a =1+1b -a+(b -a )≥1+21b -a·(b -a )=3, 当且仅当1b -a =b -a (b >a ),即当b -a =1时,等号成立,因此,b -a +1b -a +b -a 的最小值为3,故选A.10. D 解析:因为x >0,y >0,且2x +1y =1,所以x +2y =(x +2y )⎝⎛⎭⎫2x +1y =4+4y x +xy≥4+24y x ·xy=8, 当且仅当4y x =xy时等号成立.故选D.11. A 解析:选A.因为x >0,所以x +12>0,所以y =x +22x +1-32=⎝⎛⎭⎫x +12+1x +12-2≥2⎝⎛⎭⎫x +12·1x +12-2=0,当且仅当x +12=1x +12,即x =12时等号成立,所以函数的最小值为0. 12. D 解析:y =x 2-4x +52x -4=(x -2)2+12(x -2)=12⎣⎡⎦⎤(x -2)+1x -2,因为x ≥52,所以x -2>0,所以12⎣⎡⎦⎤(x -2)+1x -2≥12·2(x -2)·1x -2=1,当且仅当x -2=1x -2,即x =3时取等号.故y 的最小值为1.13. B 解析 (x +y )⎝⎛⎭⎫1x +a y =1+a +ax y +y x ≥1+a +2a =(a +1)2⎝⎛⎭⎫当且仅当y x =a 时取等号 .①(x +y )⎝⎛⎭⎫1x +a y ≥9对任意正实数x ,y 恒成立,①(a +1)2≥9.①a ≥4.14. 32 解析:因为x >0,y >0,2x +3y =6,所以xy =16(2x ·3y )≤16·⎝⎛⎭⎫2x +3y 22=16·⎝⎛⎭⎫622=32.当且仅当2x =3y ,即x =32,y =1时,xy 取到最大值32.15. 8 解析:因为点A (-2,-1)在直线mx +ny +1=0上,所以2m +n =1, 所以1m +2n =2m +n m +2(2m +n )n=4+⎝⎛⎭⎫n m +4m n ≥8. 16.解 由a >b >c ,知a -b >0,b -c >0,a -c >0.因此,原不等式等价于a -c a -b +a -c b -c≥m .要使原不等式恒成立,只需a -c a -b +a -cb -c的最小值不小于m 即可. 因为a -c a -b +a -c b -c =(a -b )+(b -c )a -b +(a -b )+(b -c )b -c =2+b -c a -b +a -b b -c≥2+2b -c a -b ×a -bb -c=4, 当且仅当b -c a -b =a -b b -c,即2b =a +c 时,等号成立.所以m ≤4,即m ①{m |m ≤4}.17.解:(1)因为x <3,所以3-x >0.又因为y =2(x -3)+1x -3+7=-⎣⎡⎦⎤2(3-x )+13-x +7,由基本不等式可得2(3-x )+13-x≥22(3-x )·13-x =22,当且仅当2(3-x )=13-x,即x =3-22时,等号成立,于是-⎣⎡⎦⎤2(3-x )+13-x ≤-22,-⎣⎡⎦⎤2(3-x )+13-x +7≤7-22,故y 的最大值是7-2 2.(2)y =2x x 2+1=2x +1x .因为x >0,所以x +1x ≥2x ·1x =2,所以0<y ≤22=1,当且仅当x =1x,即x =1时,等号成立.故y 的最大值为1.2.3 第1课时 二次函数与一元二次方程、不等式基 础 练巩固新知 夯实基础1.已知集合M={x|x2-3x-28≤0},N={x|x2-x-6>0},则M∩N为()A.{x|-4≤x<-2或3<x≤7} B.{x|-4<x≤-2或3≤x<7}C.{x|x≤-2或x>3} D.{x|x<-2或x≥3}2.一元二次方程ax2+bx+c=0的根为2,-1,则当a<0时,不等式ax2+bx+c≥0的解集为() A.{x|x<-1或x>2} B.{x|x≤-1或x≥2}C.{x|-1<x<2} D.{x|-1≤x≤2}3.一元二次方程ax2+bx+c=0的根为2,-1,则当a<0时,不等式ax2+bx+c≥0的解() A.{x|x<-1或x>2} B.{x|x≤-1或x≥2}C.{x|-1<x<2} D.{x|-1≤x≤2}4.关于x的不等式ax-b>0的解集是(1,+∞),则关于x的不等式(ax+b)(x-3)>0的解集是() x|x<-1或x>3B.{x|-1<x<3}A.{}C.{x|1<x<3} D.{x|x<1或x>3}5.若不等式ax2-x-c>0的解集为{x|-2<x<1},则函数y=ax2-x-c的图象为()6.设集合A={x|(x-1)2<3x+7,x①R},则集合A∩Z中有________个元素.7.不等式-1<x2+2x-1≤2的解集是________.8.解关于x的不等式:x2+(1-a)x-a<0.9. 解不等式:x 2-3|x |+2≤0.能 力 练综合应用 核心素养10. 若0<t <1,则关于x 的不等式(t -x )(x -1t)>0的解集是( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |1t <x <tB.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x >1t 或x <tC.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <1t 或x >tD.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |t <x <1t11.设函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x 2-4x +6,x ≥0,x +6, x <0,则不等式f (x )>f (1)的解集是( )A .(-3,1)①(3,+∞)B .(-3,1)①(2,+∞)C .(-1,1)①(3,+∞)D .(-∞,-3)①(1,3)12.不等式x 2-px -q <0的解集是{x |2<x <3},则不等式qx 2-px -1>0的解是( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x <-12或x >-13 B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪-12<x <-13 C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪13<x <12 D.{}x | x <2或x >3 13.已知x =1是不等式k 2x 2-6kx +8≥0的解,则k 的取值范围是______________.14.方程x 2+(m -3)x +m =0的两根都是负数,则m 的取值范围为________.15.若关于x 的不等式ax 2-6x +a 2>0的解集为{x |1<x <m },则a =________,m =________. 16.若不等式ax 2+bx +c ≥0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |-13≤x ≤2,求关于x 的不等式cx 2-bx +a <0的解集.17.解关于x 的不等式ax 2-2(a +1)x +4>0.【参考答案】1. A 解析 ①M ={x |x 2-3x -28≤0}={x |-4≤x ≤7},N ={x |x 2-x -6>0}={x |x <-2或x >3},①M ∩N ={x |-4≤x <-2或3<x ≤7}.2. D 解析 由题意知,-b a =1,ca =-2,①b =-a ,c =-2a ,又①a <0,①x 2-x -2≤0,①-1≤x ≤2.3. D 解析 由方程ax 2+bx +c =0的根为2,-1,知函数y =ax 2+bx +c 的零点为2,-1,又①a <0,①函数y =ax 2+bx +c 的图象是开口向下的抛物线,①不等式ax 2+bx +c ≥0的解集为{x |-1≤x ≤2}.4. A 解析 由题意,知a >0,且1是ax -b =0的根,所以a =b >0,所以(ax +b )(x -3)=a (x +1)(x -3)>0,所以x <-1或x >3,因此原不等式的解集为{x |x <-1或x >3}.5. B 解析 因为不等式的解集为{x |-2<x <1},所以a <0,排除C 、D ;又与坐标轴交点的横坐标为-2,1,故选B.6. 6 解析 由(x -1)2<3x +7,解得-1<x <6,即A ={x |-1<x <6},则A ∩Z ={0,1,2,3,4,5},故A ∩Z 共有6个元素.7. {x |-3≤x <-2或0<x ≤1} 解析 ①⎩⎪⎨⎪⎧x 2+2x -3≤0,x 2+2x >0,①-3≤x <-2或0<x ≤1.8. 解 方程x 2+(1-a )x -a =0的解为x 1=-1,x 2=a .函数y =x 2+(1-a )x -a 的图象开口向上,所以(1)当a <-1时,原不等式解集为{x |a <x <-1}; (2)当a =-1时,原不等式解集为①; (3)当a >-1时,原不等式解集为{x |-1<x <a }. 9. 解 原不等式等价于|x |2-3|x |+2≤0,即1≤|x |≤2.当x ≥0时,1≤x ≤2;当x <0时,-2≤x ≤-1. ①原不等式的解集为{x |-2≤x ≤-1或1≤x ≤2}.10. D 解析 ①0<t <1,①1t >1,①1t >t .①(t -x )(x -1t )>0①(x -t )(x -1t )<0①t <x <1t .11. A 解析 f (1)=12-4×1+6=3,当x ≥0时,x 2-4x +6>3,解得x >3或0≤x <1;当x <0时,x +6>3,解得-3<x <0. 所以f (x )>f (1)的解集是(-3,1)①(3,+∞).12. B [解析] 易知方程x 2-px -q =0的两个根是2,3.由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧ 2+3=p ,2×3=-q ,解得⎩⎪⎨⎪⎧p =5,q =-6,不等式qx 2-px -1>0为-6x 2-5x -1>0,解得-12<x <-13.13. k ≤2或k ≥4 解析 x =1是不等式k 2x 2-6kx +8≥0的解,把x =1代入不等式得k 2-6k +8≥0,解得k ≥4或k ≤2.14. {m |m ≥9} 解析 ①⎩⎪⎨⎪⎧Δ=(m -3)2-4m ≥0,x 1+x 2=3-m <0,x 1x 2=m >0,①m ≥9.15. -3 -3 解析 可知1,m 是方程ax 2-6x +a 2=0的两个根,且a <0, ①⎩⎪⎨⎪⎧1+m =6a 1×m =a解得⎩⎪⎨⎪⎧ a =-3m =-3或⎩⎪⎨⎪⎧a =2m =2(舍去). 16.解 由ax 2+bx +c ≥0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |-13≤x ≤2,知a <0,且关于x 的方程ax 2+bx +c =0的两个根分别为-13,2,①⎩⎨⎧-13+2=-b a-13×2=c a,①b =-53a ,c =-23a .所以不等式cx 2-bx +a <0可变形为⎝⎛⎭⎫-23a x 2-⎝⎛⎭⎫-53a x +a <0,即2ax 2-5ax -3a >0. 又因为a <0,所以2x 2-5x -3<0,所以所求不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |-12<x <3.17.解 (1)当a =0时,原不等式可化为-2x +4>0,解得x <2,所以原不等式的解集为{x |x <2}.(2)当a >0时,原不等式可化为(ax -2)(x -2)>0,对应方程的两个根为x 1=2a,x 2=2.①当0<a <1时,2a >2,所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x >2a ,或x <2;①当a =1时,2a=2,所以原不等式的解集为{x |x ≠2};①当a >1时,2a <2,所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x >2,或x <2a . (3)当a <0时,原不等式可化为(-ax +2)(x -2)<0,对应方程的两个根为x 1=2a ,x 2=2,则2a<2,所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪2a<x <2. 综上,a <0时,原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪2a<x <2; a =0时,原不等式的解集为{x |x <2};0<a ≤1时,原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x >2a,或x <2; 当a >1时,原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x >2,或x <2a2.3 第2课时 一元二次不等式的应用基 础 练巩固新知 夯实基础1.不等式x +5(x -1)2≥2的解集是( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ -3≤x ≤12 B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪-12≤x ≤3C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ 12≤x <1或1<x ≤3 D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪-12≤x ≤3且x ≠1 2.不等式4x +23x -1>0的解集是( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x | x >13或x <-12 B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x | -12<x <13C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x | x >13 D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x | x <-123.不等式2-xx +1<1的解集是( )A .{x |x >1}B .{x |-1<x <2} C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x | x <-1或x >12 D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x | -1<x <124. 若集合A ={x |ax 2-ax +1<0}=①,则实数a 的值的集合是( )A .{a |0<a <4}B .{a |0≤a <4}C .{a |0<a ≤4}D .{a |0≤a ≤4}5. 若关于x 的不等式x 2-4x -m ≥0对任意x ①(0,1]恒成立,则m 的最大值为 ( )A .1B .-1C .-3D .36.在如图所示的锐角三角形空地中,欲建一个面积不小于300 m 2的内接矩形花园(阴影部分),则其边长x (单位:m)的取值范围是( )A .15≤x ≤30B .12≤x ≤25C .10≤x ≤30D .20≤x ≤307. 若关于x 的不等式x -a x +1>0的解集为(-∞,-1)①(4,+∞),则实数a =________.8.若不等式x 2+mx +1>0的解集为R ,则m 的取值范围是__________.9.解下列分式不等式:(1)x +12x -3≤1; (2)2x +11-x <0.10. 当a 为何值时,不等式(a 2-1)x 2-(a -1)x -1<0的解集为R?能 力 练综合应用 核心素养11. 不等式x 2-2x -2x 2+x +1<2的解集为( )A .{x |x ≠-2}B .RC .①D .{x |x <-2或x >2}12.若不等式mx2+2mx-4<2x2+4x的解集为R,则实数m的取值范围是()A.(-2,2) B.(-2,2]C.(-∞,-2)①[2,+∞) D.(-∞,2)13.对任意a①[-1,1],函数f(x)=x2+(a-4)x+4-2a的值恒大于零,则x的取值范围是() A.1<x<3 B.x<1或x>3C.1<x<2 D.x<1或x>214.在R上定义运算①:x①y=x(1-y).若不等式(x-a)①(x+a)<1对任意的实数x都成立,则a的取值范围是________.15.已知2≤x≤3时,不等式2x2-9x+a<0恒成立,则a的取值范围为________.16.方程x2+(m-3)x+m=0有两个正实根,则m的取值范围是________.17.已知关于x的一元二次方程x2+2mx+2m+1=0.若方程有两根,其中一根在区间(-1,0)内,另一根在区间(1,2)内,求m的取值范围.18.某地区上年度电价为0.8元/kW·h,年用电量为a kW·h,本年度计划将电价降低到0.55元/kW·h至0.75元/kW·h之间,而用户期望电价为0.4元/kW·h.经测算,下调电价后新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比(比例系数为k).该地区电力的成本价为0.3元/kW·h.(1)写出本年度电价下调后,电力部门的收益y与实际电价x的函数关系式;(2)设k=0.2a,当电价最低定为多少时仍可保证电力部门的收益比上年度至少增长20%?注:收益=实际用电量×(实际电价-成本价).【参考答案】1. D 解析①原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧ x +5≥2(x -1)2,x ≠1,①⎩⎪⎨⎪⎧2x 2-5x -3≤0,x ≠1,①⎩⎪⎨⎪⎧-12≤x ≤3,x ≠1,即⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪-12≤x ≤3且x ≠1. 2. A 解析4x +23x -1>0①(4x +2)(3x -1)>0①x >13或x <-12,此不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x | x >13或x <-12.3. C 解析原不等式等价于2-x x +1-1<0①1-2x x +1<0①(x +1)·(1-2x )<0①(2x -1)(x +1)>0,解得x <-1或x >12.4. D 解析 a =0时符合题意,a >0时,相应二次方程中的Δ=a 2-4a ≤0,得{a |0<a ≤4},综上得{a |0≤a ≤4}.5. C 解析 由已知可得m ≤x 2-4x 对一切x ①(0,1]恒成立,又f (x )=x 2-4x 在(0,1]上为减函数,①f (x )min =f (1)=-3,①m ≤-3.6. C 解析 设矩形的另一边长为y m ,则由三角形相似知,x 40=40-y40,①y =40-x ,①xy ≥300,①x (40-x )≥300,①x 2-40x +300≤0,①10≤x ≤30. 7. 4 解析x -ax +1>0①(x +1)(x -a )>0 ①(x +1)(x -4)>0,①a =4. 8. -2<m <2 解析 由题意知,不等式x 2+mx +1>0对应的函数的图象在x 轴的上方,所以Δ=(m )2-4×1×1<0,所以-2<m <2.9. 解 (1)①x +12x -3≤1,①x +12x -3-1≤0,①-x +42x -3≤0,即x -4x -32≥0.此不等式等价于(x -4)⎝⎛⎭⎫x -32≥0且x -32≠0,解得x <32或x ≥4.①原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <32或x ≥4. (2)由2x +11-x <0得x +12x -1>0,此不等式等价于⎝⎛⎭⎫x +12(x -1)>0,解得x <-12或x >1, ①原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <-12或x >1.10.解 ①当a 2-1=0时,a =1或-1.若a =1,则原不等式为-1<0,恒成立.若a =-1,则原不等式为2x -1<0即x <12,不合题意,舍去.①当a 2-1≠0时,即a ≠±1时,原不等式的解集为R 的条件是⎩⎪⎨⎪⎧a 2-1<0,Δ=[-a -1]2+4a 2-1<0.解得-35<a <1.综上a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤-35,1. 11. A 解析①x 2+x +1>0恒成立,①原不等式①x 2-2x -2<2x 2+2x +2①x 2+4x +4>0①(x +2)2>0,①x ≠-2. ①不等式的解集为{x |x ≠-2}.12. B 解析 ①mx 2+2mx -4<2x 2+4x , ①(2-m )x 2+(4-2m )x +4>0.当m =2时,4>0,x ①R ;当m <2时,Δ=(4-2m )2-16(2-m )<0,解得-2<m <2.此时,x ①R . 综上所述,-2<m ≤2.13. B 解析 设g (a )=(x -2)a +(x 2-4x +4),g (a )>0恒成立且a ①[-1,1]①⎩⎪⎨⎪⎧ g1=x 2-3x +2>0g-1=x 2-5x +6>0①⎩⎪⎨⎪⎧x <1或x >2x <2或x >3①x <1或x >3. 14. -12 <a <32 解析 根据定义得(x -a )①(x +a )=(x -a )[1-(x +a )]=-x 2+x +a 2-a ,又(x -a )①(x +a )<1对任意的实数x 都成立,所以x 2-x +a +1-a 2>0对任意的实数x 都成立,所以Δ<0,即1-4(a +1-a 2)<0,解得-12<a <32.15. a <9 解析 ①当2≤x ≤3时,2x 2-9x +a <0恒成立,①当2≤x ≤3时,a <-2x 2+9x 恒成立.令y =-2x 2+9x .①2≤x ≤3,且对称轴方程为x =94,①y min =9,①a <9.①a 的取值范围为a <9.16. (0,1] 解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧Δ=m -32-4m ≥0x 1+x 2=3-m >0x 1x 2=m >0, 解得0<m ≤1.17. 解 设f (x )=x 2+2mx +2m +1,根据题意,画出示意图由图分析可得,m 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ f 0=2m +1<0f -1=2>0f 1=4m +2<0f 2=6m +5>0解得-56<m <-12. 18. 解(1)设下调后的电价为x 元/kW·h ,依题意知,用电量增至k x -0.4+a ,电力部门的收益为y =⎝⎛⎭⎫k x -0.4+a (x -0.3)(0.55≤x ≤0.75).(2)依题意,有⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫0.2ax -0.4+a (x -0.3)≥[a ×(0.8-0.3)](1+20%),0.55≤x ≤0.75.整理,得⎩⎪⎨⎪⎧ x 2-1.1x +0.3≥0,0.55≤x ≤0.75.解此不等式,得0.60≤x ≤0.75.①当电价最低定为0.60元/kW·h 时,仍可保证电力部门的收益比上年度至少增长20%.。

高中数学必修一 《2 3 二次函数与一元二次方程、不等式》课时练习02

高中数学必修一 《2 3 二次函数与一元二次方程、不等式》课时练习02

第二章 一元二次函数、方程和不等式2.3 二次函数与一元二次方程、不等式(共2课时)(第1课时)一、选择题1.(2019北京高一期中)不等式x(x +2)<3的解集是( ). A .{x|−1<x <3} B .{x|−3<x <1} C .{x|x <−1 ,或x >3} D .{x|x <−3 ,或x >1} 【答案】B【解析】由题意x(x +2)<3,∴x 2+2x −3<0即(x +3)(x −1)<0,解得:−3<x <1, ∴该不等式的解集是{x|−3<x <1},故选B .2.(2019全国课时练习)已知集合A ={y|y −2>0},集合B ={x|x 2−2x ≤0},则A ∪B = ( ) A .[0,+∞) B .(−∞,2] C .[0,2)∪(2,+∞) D .R 【答案】A【解析】∵集合A ={y|y −2>0},集合B ={x|x 2−2x ≤0}={x|0≤x ≤2}, ∴A ∪B ={x|x ≥0}= [0,+∞),故选A.3.(2019全国课时练习)不等式2620x x --+≤的解集是( )A.21|32x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭B.21|32x x x ⎧⎫≤-≥⎨⎬⎩⎭或 C.1|2x x ⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭D.3|2x x ⎧⎫≤-⎨⎬⎩⎭【答案】B【解析】22620620(21)(32)0x x x x x x --+≤⇒+-≥⇒-+≥2132或x x ⇒≤-≥.故选B .4.(2019·安徽高一期中)若关于x 的不等式230ax bx ++>的解集为1(1,)2-,其中,a b 为常数,则不等式230x bx a ++<的解集是( ) A .(1,2)- B .(2,1)-C .1(,1)2-D .1(1,)2-【答案】A【解析】由230ax bx ++>解集为11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭可得:()11122311122ba a⎧-=-+=-⎪⎪⎨⎪=-⨯=-⎪⎩解得:63a b =-⎧⎨=-⎩ ∴所求不等式为:23360x x --<,解得:()1,2x ∈- 本题正确选项:A5.(2019天津高一课时练习)在R 上定义运算⊗:a ⊗b =ab +2a +b ,则满足x ⊗(x −2)<0的实数x 的取值范围为( ) A .(0,2)B .(−2,1)C .(−∞,−2)∪(1,+∞)D .(−1,2)【答案】B【解析】由定义运算⊙可知不等式x ⊙(x -2)<0为x(x −2)+2x +x −2<0,解不等式得解集为(-2,1)6.(2019全国高一课时练习)一元二次不等式2kx 2+kx ﹣<0对一切实数x 都成立,则k 的取值范围是( )A.(﹣3,0)B.(﹣3,0]C.[﹣3,0]D.(﹣∞,﹣3)∪[0,+∞) 【答案】A【解析】由一元二次不等式2kx 2+kx ﹣<0对一切实数x 都成立,则,解得﹣3<k <0.综上,满足一元二次不等式2kx 2+kx ﹣<0对一切实数x 都成立的k 的取值范围是(﹣3,0). 故选A . 二、填空题7.(2019全国高三课时练习)不等式220x x +-<的解集为___________. 【答案】()2,1-【解析】不等式220(2)(1)0x x x x +-<⇔+-<的解集为()2,1-.8.(2019广州市培正中学高二课时练习)若关于x 的不等式 −12x 2+2x >mx 的解集是{x|0<x <2},则实数m 的值是_____________. 【答案】1.【解析】∵不等式−12x 2+2x >mx 的解集为{x|0<x <2},∴0,2是方程−12x 2+(2−m )x =0的两个根,∴将2代入方程得m =1,∴m =1,故答案为1.9.(2019天津高一课时练习)如果关于x 的不等式5x 2-a≤0的正整数解是1,2,3,4,那么实数a 的取值范围是____. 【答案】[80,125)【解析】由题意知a >0,由5x 2-a ≤0,得−√a5≤x ≤√a5,不等式的正整数解是1,2,3,4,则4≤√a5<5,∴80≤a <125.即实数a 的取值范围是[80,125).10.(2019·全国高一课时练习)当()1,3x ∈时,不等式240x mx -+>恒成立,则实数m 的取值范围是_____________. 【答案】4m <【解析】240x mx -+>,且()1,3x ∈,所以原不等式等价于24x m x+<,不等式恒成立,则24min x m x ⎛⎫+< ⎪⎝⎭,由2444x x x x +=+≥=,当且仅当()21,3x =∈时,24 4minx x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭,所以正确答案为4m <。

高中数学人教版必修一基本初等函数

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必修1 第二章基本初等函数2.1 指数函数 2.1.1 指数与指数幂的运算:①我们已经知道了指数幂的运算关系为,422=、823=、4121222-==、aa-21a 2=为正整数)(等; ②根式:如果a x 2=,那么x 叫做a 的平方根,例如±2就是4的平方根;如果3x =a ,那么x 叫做a 的立方根,例如2就是8的立方根; ③类似地,由于(±2)4=16,那么就把±2叫做16的四次方根;25=32,就把2叫做32的五次方根;④如果x n =a ,那么x 就叫做a 的n 次方根,其中n>1,且n ∈N*(正整数); 当n 为奇数时,正数的n 次方根为一个正数,负数的n 次方根为一个负数,此时a 的n 次方根用n a 表示,如2(325=(奇数)正数),2-(32-5=(奇数)负数);当n 为偶数时,正数的n 次方根有2个,一正一负对称,而负数的无意义(因为没有一个数的偶次方结果还是负数);例如16的4次方根为±2164±=.(0的任何次方都是0)⑤式子n a 叫做根式,这里的n 叫做根指数,a 叫做被开方数。

所以a a nn =)(,例如5522=)(,3-3-55=)( ⑥分数指数幂:如下例子2552510a a a ==)(、5335315a a a ==)(,通过以上例子我们在数学中推算出nmn ma a =(a>0,m ,n ∈N*,且n>1)此式为分子的指数幂关系。

所以如上面表示2133=。

❀❀❀❀❀❀❀❀❀❀❀❀❀❀❀❀❀❀❀❀❀❀❀❀❀❀❀❀❀The stupid speak of the past, the wise of the present, and fools of the future!!⑦0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义;理解一下定理:⎪⎩⎪⎨⎧∈>>=∈>=∈>=⨯+),0,0()(3)),,0())(2(),,0()1(Q r b a b a ab Q s r a a a Q s r a a a a rr r rs s r s r s r (;(结合例题自己去验算)如:252212a aa a ==⨯+,352131021342342a a a a a a==⨯=)()(无理数指数幂的解法:一般的,无理数指数幂n a (a>0,a 是无理数)是一个确定的实数,有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂。

高一数学必修一-教案-2.3-二次函数与一元二次方程、不等式

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高一数学必修一-教案-2.3-二次函数与一元二次方程、不等式(总15页)--本页仅作为文档封面,使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--2.3 二次函数与一元二次方程、不等式第1课时二次函数与一元二次方程、不等式学习目标 1.从函数观点看一元二次方程.了解函数的零点与方程根的关系.2.从函数观点看一元二次不等式.经历从实际情景中抽象出一元二次不等式的过程,了解一元二次不等式的现实意义.3.借助一元二次函数的图象,了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系.知识点一一元二次不等式的概念定义只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的不等式,叫做一元二次不等式一般形式ax2+bx+c>0,ax2+bx+c<0,ax2+bx+c≥0,ax2+bx+c≤0,其中a≠0,a,b,c均为常数知识点二一元二次函数的零点一般地,对于二次函数y=ax2+bx+c,我们把使ax2+bx+c=0的实数x叫做二次函数y=ax2+bx+c的零点.知识点三二次函数与一元二次方程的根、一元二次不等式的解集的对应关系判别式Δ=b2-4acΔ>0Δ=0Δ<0二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)的根有两个不相等的实数根x1,x2(x1<x2)有两个相等的实数根x1=x2=-b2a没有实数根ax 2+bx +c >0(a >0)的解集{x |x <x 1,或x >x 2}⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠-b 2a Rax 2+bx +c <0(a >0)的解集{x |x 1<x <x 2} ? ?预习小测 自我检验1.下面所给关于x 的几个不等式:①3x +4<0;②x 2+mx -1>0;③ax 2+4x -7>0;④x 2<0.其中一定为一元二次不等式的有________.(填序号) 答案 ②④解析 一定是一元二次不等式的为②④. 2.不等式x (2-x )>0的解集为________. 答案 {x |0<x <2}解析 原不等式可化为x (x -2)<0,∴0<x <2. 3.不等式4x 2-9<0的解集是________.答案 ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪-32<x <32 解析 原不等式可化为x 2<94,即-32<x <32.4.已知一元二次不等式ax 2+2x -1<0的解集为R ,则a 的取值范围是________. 答案 {a |a <-1}解析 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a <0,Δ<0,∴⎩⎪⎨⎪⎧a <0,4+4a <0,∴a <-1.一、解不含参数的一元二次不等式 例1 解下列不等式:(2)3x 2+5x -2≥0; (3)x 2-4x +5>0.解 (1)不等式可化为x 2-5x +6<0.因为Δ=(-5)2-4×1×6=1>0,所以方程x 2-5x +6=0有两个实数根:x 1=2,x 2=3. 由二次函数y =x 2-5x +6的图象(如图①),得原不等式的解集为{x |2<x <3}.(2)因为Δ=25-4×3×(-2)=49>0,所以方程3x 2+5x -2=0的两实根为x 1=-2,x 2=13.由二次函数y =3x 2+5x -2的图象(图②),得原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≤-2或x ≥13. (3)方程x 2-4x +5=0无实数解,函数y =x 2-4x +5的图象是开口向上的抛物线,与x 轴无交点(如图③).观察图象可得,不等式的解集为R .反思感悟 解一元二次不等式的一般步骤第一步:把一元二次不等式化为标准形式(二次项系数为正,右边为0的形式);第二步:求Δ=b 2-4ac ;第三步:若Δ<0,根据二次函数图象直接写出解集;若Δ≥0,求出对应方程的根写出解集. 跟踪训练1 解下列不等式: (1)4x 2-4x +1>0;解 (1)∵方程4x 2-4x +1=0有两个相等的实根x 1=x 2=12.作出函数y =4x 2-4x +1的图象如图.由图可得原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠12.(2)原不等式可化为x 2-6x +10<0, ∵Δ=36-40=-4<0, ∴方程x 2-6x +10=0无实根, ∴原不等式的解集为?.二、三个“二次”间的关系及应用例2 已知二次函数y =ax 2+(b -8)x -a -ab ,且y >0的解集为{x |-3<x <2}. (1)求二次函数的解析式;(2)当关于x 的不等式ax 2+bx +c ≤0的解集为R 时,求c 的取值范围. 解 (1)因为y >0的解集为{x |-3<x <2},所以-3,2是方程ax 2+(b -8)x -a -ab =0的两根,所以⎩⎪⎨⎪⎧-3+2=-b -8a ,-3×2=-a -aba,解得⎩⎪⎨⎪⎧a =-3,b =5,所以y =-3x 2-3x +18.(2)因为a =-3<0,所以二次函数y =-3x 2+5x +c 的图象开口向下,要使-3x 2+5x +c ≤0的解集为R ,只需Δ≤0,即25+12c ≤0,所以c ≤-2512.所以当c ≤-2512时,-3x 2+5x +c ≤0的解集为R .反思感悟 三个“二次”之间的关系(1)三个“二次”中,二次函数是主体,讨论二次函数主要是将问题转化为一元二次方程和一元二次不等式的形式来研究.(2)讨论一元二次方程和一元二次不等式又要将其与相应的二次函数相联系,通过二次函数的图象及性质来解决问题,关系如下:特别提醒:由于忽视二次项系数的符号和不等号的开口易写错不等式的解集形式.跟踪训练2 已知关于x 的不等式ax2+5x +c >0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪13<x <12. (1)求a ,c 的值;(2)解关于x 的不等式ax 2+(ac +2)x +2c ≥0.解 (1)由题意知,不等式对应的方程ax 2+5x +c =0的两个实数根为13和12,由根与系数的关系,得⎩⎪⎨⎪⎧-5a =13+12,c a =12×13,解得a =-6,c =-1.(2)由a =-6,c =-1知不等式ax 2+(ac +2)x +2c ≥0可化为-6x 2+8x -2≥0,即3x 2-4x +1≤0,解得13≤x ≤1,所以不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪13≤x ≤1. 三、含参数的一元二次不等式的解法例3 设a ∈R ,解关于x 的不等式ax 2+(1-2a )x -2>0.解 (1)当a =0时,不等式可化为x -2>0,解得x >2,即原不等式的解集为{x |x >2}.(2)当a ≠0时,方程ax 2+(1-2a )x -2=0的两根分别为2和-1a.①当a <-12时,解不等式得-1a<x <2,即原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪-1a <x <2; ②当a =-12时,不等式无解,即原不等式的解集为?;③当-12<a <0时,解不等式得2<x <-1a,即原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2<x <-1a ; ④当a >0时,解不等式得x <-1a或x >2,即原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <-1a 或x >2. 反思感悟 解含参数的一元二次不等式的步骤特别提醒:对应方程的根优先考虑用因式分解确定,分解不开时再求判别式Δ,用求根公式计算. 跟踪训练3 (1)当a =12时,求关于x 的不等式x 2-⎝ ⎛⎭⎪⎫a +1a x +1≤0的解集;(2)若a >0,求关于x 的不等式x 2-⎝⎛⎭⎪⎫a +1a x +1≤0的解集.解 (1)当a =12时,有x 2-52x +1≤0,即2x 2-5x +2≤0,解得12≤x ≤2,故不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪12≤x ≤2. (2)x 2-⎝⎛⎭⎪⎫a +1a x +1≤0?⎝ ⎛⎭⎪⎫x -1a (x -a )≤0,①当0<a <1时,a <1a,不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪a ≤x ≤1a; ②当a =1时,a =1a=1,不等式的解集为{1};③当a >1时,a >1a,不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1a≤x ≤a. 综上,当0<a <1时,不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪a ≤x ≤1a ; 当a =1时,不等式的解集为{1};当a >1时,不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1a≤x ≤a.1.不等式9x 2+6x +1≤0的解集是( ) C .?答案 D解析 原不等式可化为(3x +1)2≤0, ∴3x +1=0,∴x =-13.2.如果关于x 的不等式x 2<ax +b 的解集是{x |1<x <3},那么b a等于( ) A .-81 B .81 C .-64 D .64 答案 B解析 不等式x 2<ax +b 可化为x 2-ax -b <0, 其解集是{x |1<x <3},那么,由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧1+3=a ,1×3=-b ,解得a =4,b =-3;所以b a=(-3)4=81.故选B. 3.不等式x 2-2x >0的解集是( ) A .{x |x ≥2或x ≤0} B .{x |x >2或x <0} C .{x |0≤x ≤2} D .{x |0<x <2}答案 B解析 解x 2-2x >0,即x (x -2)>0, 得x >2或x <0,故选B.4.不等式x 2-3x -10<0的解集是________. 答案 {x |-2<x <5}解析 由于x 2-3x -10=0的两根为-2,5,故x 2-3x -10<0的解集为{x |-2<x <5}. 5.若方程x 2+(m -3)x +m =0有实数解,则m 的取值范围是________________. 答案 {m |m ≥9或m ≤1}解析 由方程x 2+(m -3)x +m =0有实数解, ∴Δ=(m -3)2-4m ≥0, 即m 2-10m +9≥0, ∴(m -9)(m -1)≥0, ∴m ≥9或m ≤1.1.知识清单:解一元二次不等式的常见方法 (1)图象法:①化不等式为标准形式:ax 2+bx +c >0(a >0)或ax 2+bx +c <0(a >0);②求方程ax 2+bx +c =0(a >0)的根,并画出对应函数y =ax 2+bx +c 图象的简图; ③由图象得出不等式的解集.(2)代数法:将所给不等式化为一般式后借助分解因式或配方求解. 2.方法归纳:数形结合,分类讨论.3.常见误区:当二次项系数小于0时,需两边同乘-1,化为正的.1.(2019·全国Ⅰ)已知集合M ={x |-4<x <2},N ={x |x 2-x -6<0},则M ∩N 等于( ) A .{x |-4<x <3} B .{x |-4<x <-2} C .{x |-2<x <2} D .{x |2<x <3}答案 C解析 ∵N ={x |-2<x <3},M ={x |-4<x <2}, ∴M ∩N ={x |-2<x <2},故选C.2.若0<m <1,则不等式(x -m )⎝⎛⎭⎪⎫x -1m <0的解集为( )答案 D解析 ∵0<m <1,∴1m>1>m , 故原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ m <x <1m ,故选D. 3.二次方程ax 2+bx +c =0的两根为-2,3,如果a <0,那么ax 2+bx +c >0的解集为( )A .{x |x >3或x <-2}B .{x |x >2或x <-3}C .{x |-2<x <3}D .{x |-3<x <2}答案 C解析 由题意知-2+3=-b a ,-2×3=c a ,∴b =-a ,c =-6a ,∴不等式ax 2+bx +c >0可化为ax 2-ax -6a >0,又a <0,∴x 2-x -6<0,∴(x -3)(x +2)<0,∴-2<x <3,故选C.4.若不等式5x 2-bx +c <0的解集为{x |-1<x <3},则b +c 的值是( )A .5B .-5C .-25D .10答案 B解析 由题意知-1,3为方程5x 2-bx +c =0的两根,∴-1+3=b 5,-3=c 5,∴b =10,c =-15,∴b +c =-5.故选B.5.若关于x 的二次不等式x 2+mx +1≥0的解集为R ,则实数m 的取值范围是() A .{m |m ≤-2或m ≥2} B .{m |-2≤m ≤2}C .{m |m <-2或m >2}D .{m |-2<m <2}答案 B解析 ∵x 2+mx +1≥0的解集为R ,∴Δ=m 2-4≤0,∴-2≤m ≤2,故选B.6.不等式x 2-4x +4≤0的解集是________.答案 {2}解析 原不等式可化为(x -2)2≤0,∴x =2.7.不等式x 2+3x -4<0的解集为________.答案 {x |-4<x <1}解析 易得方程x 2+3x -4=0的两根为-4,1,所以不等式x 2+3x -4<0的解集为{x |-4<x <1}.8.关于x 的不等式(mx -1)(x -2)>0,若此不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ 1m <x <2,则m 的取值范围是________.答案 {m |m <0}解析 ∵不等式(mx -1)(x -2)>0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ 1m <x <2, ∴方程(mx -1)(x -2)=0的两个实数根为1m和2, 且⎩⎪⎨⎪⎧ m <0,1m <2,解得m <0,∴m 的取值范围是m <0.9.已知不等式x 2-2x -3<0的解集为A ,不等式x 2+x -6<0的解集为B .(1)求A ∩B ;(2)若不等式x 2+ax +b <0的解集为A ∩B ,求不等式ax 2+x +b <0的解集.解 (1)由x 2-2x -3<0,得-1<x <3,∴A ={x |-1<x <3}.由x 2+x -6<0,得-3<x <2,∴B ={x |-3<x <2},∴A ∩B ={x |-1<x <2}.(2)由题意,得⎩⎪⎨⎪⎧ 1-a +b =0,4+2a +b =0,解得⎩⎪⎨⎪⎧ a =-1,b =-2. ∴-x 2+x -2<0,∴x 2-x +2>0,∵Δ=1-8=-7<0,∴不等式x 2-x +2>0的解集为R .10.若不等式(1-a )x 2-4x +6>0的解集是{x |-3<x <1}.(1)解不等式2x 2+(2-a )x -a >0;(2)b 为何值时,ax 2+bx +3≥0的解集为R?解 (1)由题意知1-a <0,且-3和1是方程(1-a )x 2-4x +6=0的两根,∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1-a <0,41-a=-2,61-a =-3,解得a =3. ∴不等式2x 2+(2-a )x -a >0,即为2x 2-x -3>0,解得x <-1或x >32. ∴所求不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x <-1或x >32. (2)ax 2+bx +3≥0,即为3x 2+bx +3≥0,若此不等式解集为R ,则Δ=b 2-4×3×3≤0,∴-6≤b ≤6.11.下列四个不等式:①-x2+x+1≥0;②x2-25x+5>0;③x2+6x+10>0;④2x2-3x+4<1.其中解集为R的是( )A.① B.② C.③ D.④答案C解析①显然不可能;②中Δ=(-25)2-4×5>0,解集不为R;③中Δ=62-4×10<0.满足条件;④中不等式可化为2x2-3x+3<0,所对应的二次函数开口向上,显然不可能.故选C.12.在R上定义运算“⊙”:a⊙b=ab+2a+b,则满足x⊙(x-2)<0的实数x的取值范围为( ) A.{x|0<x<2} B.{x|-2<x<1}C.{x|x<-2或x>1} D.{x|-1<x<2}答案B解析根据给出的定义得,x⊙(x-2)=x(x-2)+2x+(x-2)=x2+x-2=(x+2)(x-1),又x⊙(x-2)<0,则(x+2)(x-1)<0,故不等式的解集是{x|-2<x<1}.13.若关于x的方程(a-2)x2-2(a-2)x+1=0无实数解,则a的取值范围是________.答案2≤a<3解析若a-2=0,即a=2时,原方程为1=0不合题意,∴a=2满足条件,若a-2≠0,则Δ=4(a-2)2-4(a-2)<0,解得2<a<3,综上有a的取值范围是2≤a<3.14.已知不等式x2-2x+5≥a2-3a对?x∈R恒成立,则a的取值范围为________.答案 {a |-1≤a ≤4}解析 x 2-2x +5=(x -1)2+4≥a 2-3a 恒成立,∴a 2-3a ≤4,即a 2-3a -4≤0,∴(a -4)(a +1)≤0,∴-1≤a ≤4.15.在R 上定义运算:⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d =ad -bc .若不等式⎪⎪⎪⎪⎪⎪x -1 a -2a -1 x ≥1对任意实数x 恒成立,则实数a 的最大值为________.答案 32解析 原不等式等价于x (x -1)-(a -2)(a +1)≥1,即x 2-x -1≥(a +1)(a -2)对任意x 恒成立,因为x 2-x -1=⎝ ⎛⎭⎪⎫x -122-54≥-54, 所以-54≥a 2-a -2,解得-12≤a ≤32. 16.已知不等式ax 2+2ax +1≥0对任意x ∈R 恒成立,解关于x 的不等式x 2-x -a 2+a <0.解 ∵ax 2+2ax +1≥0对任意x ∈R 恒成立.当a =0时,1≥0,不等式恒成立;当a ≠0时,则⎩⎪⎨⎪⎧ a >0,Δ=4a 2-4a ≤0,解得0<a ≤1.综上,0≤a ≤1.由x 2-x -a 2+a <0,得(x -a )[x -(1-a )]<0.∵0≤a ≤1,∴①当1-a >a ,即0≤a <12时,a <x <1-a ;②当1-a =a ,即a =12时,⎝ ⎛⎭⎪⎫x -122<0,不等式无解; ③当1-a <a ,即12<a ≤1时,1-a <x <a . 综上,当0≤a <12时,原不等式的解集为{x |a <x <1-a };当a =12时,原不等式的解集为?;当12<a ≤1时,原不等式的解集为{x |1-a <x <a }.。

人教A版(老课标)数学必修1- 第二章 基本初等函数-2.3 幂函数

人教A版(老课标)数学必修1- 第二章 基本初等函数-2.3 幂函数

栏目 导引
第二章 基本初等函数(Ⅰ)
幂函数 y=x
y=x2
y=x3
y=x12
y=x-1
奇偶性 _奇___
__偶__
_奇___
_非__奇___ _非__偶___
_奇___
单调性
_增___
x∈[0,+∞), _增___ x∈(-∞,0], _减___
_增___
x∈(0,+ _增___ ∞),_减___
性质,并会应用
第二章 基本初等函数(Ⅰ)
问题导学 预习课本 P77-79,思考以下问题: (1)幂函数的定义是什么? (2)幂函数的解析式有什么特点? (3)幂函数的图象有什么特点? (4)幂函数的性质有哪些?
栏目 导引
第二章 基本初等函数(Ⅰ)
1.幂函数的概念 函数 y=__x_α_叫做幂函数,其中__x__是自变量,__α__是常数.
栏目 导引
第二章 基本初等函数(Ⅰ)
若幂函数 f(x)=xα 的图象经过点2,14,则 f13=________. 解析:因为幂函数 f(x)=xα 的图象经过点2,14,所以 2α=14, 则 α=-2,所以 f(x)=x-2,所以 f13=13-2=9. 答案:9
+1;⑤y=(x-1)2;⑥y=x;⑦y=ax(a>1).其中幂函数的个数
为( )
A.1
B.2
C.3
D.4
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第二章 基本初等函数(Ⅰ)
(2)若函数 y=(m2+2m-2)xm 为幂函数且在第一象限为增函数,
则 m 的值为( )
A.1
B.-3
C.-1
D.3
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第二章 基本初等函数(Ⅰ)
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2019-2020学年高中数学(人教A版必修一)教师用书:第2章 2.3 幂函数 Word版含解析

2019-2020学年高中数学(人教A版必修一)教师用书:第2章 2.3 幂函数 Word版含解析

2.3 幂函数1.通过实例了解幂函数的概念,能区别幂函数与指数函数.(易混点)2.结合函数y =x ,y =x 2,y =x 3,y =x 12,y =x -1的图象,了解它们的变化情况.(难点) 3.能够运用幂函数的简单性质进行实数大小的比较.(重点)[基础·初探]教材整理1 幂函数的概念阅读教材P 77至倒数第二自然段,完成下列问题.幂函数:一般地,函数y =x α叫做幂函数,其中x 是自变量,α是常数.判断(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)函数y =x-45是幂函数.()(2)函数y =2-x 是幂函数.( ) (3)函数y =-x 12是幂函数.( ) 【解析】 (1)√.函数y =x -45符合幂函数的定义,所以是幂函数;(2)×.幂函数中自变量x 是底数,而不是指数,所以y =2-x 不是幂函数; (3)×.幂函数中x α的系数必须为1,所以y =-x 12不是幂函数. 【答案】 (1)√ (2)× (3)× 教材整理2 幂函数的图象与性质阅读教材P 77倒数第二自然段至P 78“例1”以上部分,完成下列问题.幂函数的图象与性质:幂函数的图象过点(3, 3),则它的单调递增区间是( ) A .[-1,+∞) B .[0,+∞) C .(-∞,+∞)D .(-∞,0)【解析】 设幂函数为f (x )=x α,因为幂函数的图象过点(3, 3),所以f (3)=3α=3=312,解得α=12,所以f (x )=x 12,所以幂函数的单调递增区间为[0,+∞),故选B.【答案】 B[小组合作型](1)在函数y =x -( ) A .0B .1C .2D .3(2)已知幂函数y =f (x )的图象过点(2, 2),则f (9)=________.(3)幂函数f (x )=(m 2-2m -2)xm +12m 2在(0,+∞)上是减函数,则m =________. 【精彩点拨】 (1)结合幂函数y =x α的定义判断.(2)由幂函数的定义设出解析式,代入点的坐标,求出幂函数的解析式,再求f (9)的值. (3)利用幂函数的概念可得到关于m 的关系式,解之即可.【自主解答】 (1)根据幂函数定义可知,只有y =x -2是幂函数,所以选B .(2)由题意,令y =f (x )=x α,由于图象过点(2,2),得2=2α,α=12,∴y =f (x )=x 12,∴f (9)=3.(3)∵f (x )=(m 2-2m -2)xm +12m 2在(0,+∞)上是减函数, ∴⎩⎪⎨⎪⎧m2-2m -2=1,12m2+m<0,∴m =-1.【答案】 (1)B (2)3 (3)-1判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y =x α(α为常数)的形式,即:(1)指数为常数,(2)底数为自变量,(3)底数系数为1.[再练一题]1.若函数f (x )是幂函数,且满足f (4)=3f (2),则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12的值等于________.【导学号:97030116】【解析】 设f (x )=x α,因为f (4)=3f (2),∴4α=3×2α,解得α=log 23,∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12=⎝ ⎛⎭⎪⎫12log 23=13.【答案】 13(1)如图2-3-1所示,图中的曲线是幂函数y =x n 在第一象限的图象,已知n 取±2,±12四个值,则相应于C 1,C 2,C 3,C 4的n 依次为( )图2-3-1A .-2,-12,12,2 B .2,12,-12,-2 C .-12,-2,2,12 D .2,12,-2,-12(2)已知幂函数y =x 3m -9(m ∈N *)的图象关于y 轴对称,且在(0,+∞)上单调递减,求满足(a +3)-m 5<(5-2a )-m5的a 的取值范围.【精彩点拨】 (1)根据幂函数的图象特征与性质确定相应的函数图象;(2)先利用幂函数的定义、奇偶性、单调性确定m 的值,再利用幂函数的单调性求解关于a 的不等式.【自主解答】 (1)根据幂函数y =x n 的性质,在第一象限内的图象当n >0时,n 越大,y =x n 递增速度越快,故C 1的n =2,C 2的n =12,当n <0时,|n |越大,曲线越陡峭,所以曲线C 3的n =-12,曲线C 4的n =-2,故选B.【答案】 B(2)因为函数在(0,+∞)上单调递减,所以3m -9<0,解得m<3,又m ∈N *,所以m =1,2. 因为函数的图象关于y 轴对称,所以3m -9为偶数,故m =1,则原不等式可化为(a +3)-15<(5-2a )-15.因为y =x -15在(-∞,0),(0,+∞)上单调递减,所以a +3>5-2a >0或5-2a <a +3<0或a +3<0<5-2a ,解得23<a <52或a <-3.解决幂函数图象问题应把握的两个原则1.依据图象高低判断幂指数大小,相关结论为:在(0,1)上,指数越大,幂函数图象越靠近x 轴(简记为指大图低);在(1,+∞)上,指数越大,幂函数图象越远离x 轴(简记为指大图高).2.依据图象确定幂指数α与0,1的大小关系,即根据幂函数在第一象限内的图象(类似于y =x -1或y =x 12或y =x 3)来判断.[再练一题]2.点(2,2)与点⎝ ⎛⎭⎪⎫-2,-12分别在幂函数f (x ),g (x )的图象上,问当x 为何值时,有:(1)f (x )>g (x );(2)f (x )=g (x );(3)f (x )<g (x ).【解】 设f (x )=x α,g (x )=x β.∵(2)α=2,(-2)β=-12,∴α=2,β=-1. ∴f (x )=x 2,g (x )=x -1.分别作出它们的图象,如图所示.由图象知, (1)当x ∈(-∞,0)∪(1,+∞)时,f (x )>g (x ); (2)当x =1时,f (x )=g (x ); (3)当x ∈(0,1)时,f (x )<g (x ). [探究共研型]探究1 幂函数y =x 【提示】 当α>0时,幂函数y =x α在(0,+∞)上单调递增;当α<0时,幂函数y =x α在(0,+∞)上单调递减.探究2 23.1和23.2可以看作哪一个函数的两个函数值?二者的大小关系如何?【提示】 23.1和23.2可以看作函数f (x )=2x 的两个函数值,因为函数f (x )=2x 单调递增,所以23.1<23.2.探究3 2.3-0.2和2.2-0.2可以看作哪一个函数的两个函数值?二者的大小关系如何? 【提示】 2.3-0.2和2.2-0.2可以看作幂函数f (x )=x -0.2的两个函数值,因为函数f (x )=x -0.2在(0,+∞)上单调递减,所以2.3-0.2<2.2-0.2.比较下列各组中幂值的大小. (1)30.8,30.7;(2)0.213,0.233;(3)212,1.813;(4)1.212,0.9-12,1.1.【精彩点拨】 构造幂函数或指数函数,借助其单调性求解. 【自主解答】 (1)∵函数y =3x 是增函数,且0.8>0.7,∴30.8>30.7. (2)∵函数y =x 3是增函数,且0.21<0.23,∴0.213<0.233. (3)∵函数y =x 12是增函数,且2>1.8,∴212>1.812. 又∵y =1.8x 是增函数,且12>13, ∴1.812>1.813,∴212>1.813.(4)0.9-12=⎝ ⎛⎭⎪⎫10912,1.1=1.112.∵1.2>109>1.1,且y =x 12在[0,+∞)上单调递增, ∴1.212>⎝ ⎛⎭⎪⎫10912>1.112,即1.212>0.9-12> 1.1.比较幂的大小的关键是弄清底数与指数是否相同.若底数相同,则利用指数函数的单调性比较大小;若指数相同,则利用幂函数的单调性比较大小;若底数、指数均不同,则考虑用中间值法比较大小,这里的中间值可以是“0”或“1”,也可以是如例3(3)中的1.812.[再练一题]3.比较下列各组数的大小. 【导学号:97030117】【解】 (1)因为函数y =x -52在(0,+∞)上为减函数.又3<3.1,所以3-52>3.1-52.1.已知幂函数y =f (x )的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫4,12,则f (2)=( ) A.14 B .4 C.22D. 2【解析】 设幂函数为y =x α.∵幂函数的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫4,12,∴12=4α,∴α=-12,∴y =x -12,∴f (2)=2-12=22,故选C.【答案】 C2.下列函数中,其定义域和值域不同的函数是( )【导学号:97030118】A .y =x 13 B .y =x -12 C .y =x 53D .y =x 23【解析】 A 中定义域和值域都是R ;B 中定义域和值域都是(0,+∞);C 中定义域和值域都是R ;D 中定义域为R ,值域为[0,+∞).【答案】 D3.设a ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫-1,1,12,3,则使函数y =x a 的定义域是R ,且为奇函数的所有a 的值是( )A .1,3B .-1,1C .-1,3D .-1,1,3【解析】 当a =-1时,y =x -1的定义域是{x |x ≠0},且为奇函数;当a =1时,函数y =x 的定义域是R ,且为奇函数;当a =12时,函数y =x 12的定义域是{x |x ≥0},且为非奇非偶函数;当a =3时,函数y =x 3的定义域是R 且为奇函数.故选A.【答案】 A4.函数y =x 13的图象是( )【解析】 显然函数y =x 13是奇函数.同时当0<x <1时,x 13>x ,当x >1时,x 13<x . 【答案】 B5.比较下列各组数的大小:【解】 (1) ,函数y =在(0,+∞)上为增函数,又18>19,则从而因为函数在(0,+∞)上为减函数,又46>π6,所以。

人教A版高中同步学案数学必修第一册精品课件 第二章 2.3 二次函数与一元二次方程、不等式

人教A版高中同步学案数学必修第一册精品课件 第二章 2.3 二次函数与一元二次方程、不等式

重难探究•能力素养全提升
探究点一 一元二次不等式的求解
【例1】 解下列不等式.
(1)2x2-3x-2>0;(2)-3x2+6x-2>0;
(3)4x2-4x+1≤0;(4)x2-2x+2>0.
解(1)方程 2x -3x-2=0 的解是
2
1
x1=-2,x2=2.
因为对应函数的图象是开口向上的抛物线,
解原不等式可化为ax2+(a-2)x-2≥0,
即(ax-2)(x+1)≥0,
①当a=0时,原不等式化为x+1≤0,解得x≤-1.
②当 a>0 时,原不等式化为
2
-
(x+1)≥0,解得
③当 a<0 时,原不等式化为
2
-
(x+1)≤0.
2
当 >-1,即

a<-2
2
时,解得-1≤x≤ ;

2
x≥或
关系?
提示一元二次不等式ax2+bx+c>0恒成立的含义是指不等式的解集为R,系
数a,b,c之间的关系是a>0且Δ=b2-4ac<0.
(3)对任意的一元二次不等式,求解集的关键点有哪些?
提示①抛物线y=ax2+bx+c与x轴的位置情况,也就是一元二次方程
ax2+bx+c=0的根的情况;②抛物线y=ax2+bx+c的开口方向,也就是a的正负.
所以原不等式的解集是 <
1
- 2 ,或
>2 .
(2)不等式可化为 3x2-6x+2<0.

冲刺2020年高考专题全程突破数学人教B版必修第一册讲义:第2章 2.1.3 方程组的解集 含答案

冲刺2020年高考专题全程突破数学人教B版必修第一册讲义:第2章 2.1.3 方程组的解集 含答案

2.1.3 方程组的解集学习目 标核 心 素 养1.理解方程组的解集的定义及表示方法.(难点)2.掌握用消元法求方程组解集的方法.(重点)3.会利用方程组知识解决一些简单的实际问题.(重点、难点)1.通过理解方程组的定义,培养数学抽象的素养. 2.通过求方程组的解集,提升数据分析、数学运算的学科素养.1.方程组的解集一般地,将多个方程联立, 就能得到方程组.方程组中,由每个方程的解集得到的交集称为这个方程组的解集.2.求方程组解集的依据是等式的性质等,常用的方法是消元法.3.二元一(二)次方程组解集的表示方法为{(x ,y )|(a ,b ),…},其中a ,b 为确定的实数,三元一次方程组解集的表示方法为 {(x, y ,z )|(a ,b ,c ),…},其中a ,b ,c 为确定的实数.1.用代入法解方程组⎩⎨⎧y =1-xx -2y =4时,代入正确的是( )A .x -2-x =4B .x -2-2x =4C .x -2+2x =4D .x -2+x =4C [⎩⎪⎨⎪⎧y =1-x ,①x -2y =4,②把①代入②得,x -2(1-x )=4,去括号得,x -2+2x =4.故选C.]2.已知二元一次方程组⎩⎨⎧2x +y =7,x +2y =8,解集为( )A .{(x ,y )|(2,3)}B .{(x ,y )|(3,2)}C .{(x ,y )|(-2,3)}D .{(x ,y )|(-2,-3)}A [⎩⎪⎨⎪⎧2x +y =7,①x +2y =8,②①+②得:3x +3y =15,解得x =2,y =3,解集为{(x ,y )|(2,3)},故选A.] 3.已知A ={(x ,y )|x +y =5},B ={(x ,y )|2x -y =4},则A ∩B =( ) A .{(x ,y )|(1,4)} B .{(x ,y )|(2,3)} C .{(x ,y )|(3,2)}D .{(x ,y )|(4,1)} C [根据题意,得⎩⎪⎨⎪⎧x +y =5,2x -y =4,由代入消元法可求得x =3,y =2,故A ∩B ={(x ,y )|(3,2)}. ] 4.已知⎩⎨⎧2x +y =7,x +2y =8,那么x -y 的值是________.-1 [两式相减可得结果x -y =-1.]二元一次方程组的解集【例1】 求下列方程组的解集. (1)⎩⎨⎧x +y =4,①2x -3y =3.②(2)⎩⎨⎧3x -7y =-1,①3x +7y =13.② [解] (1)由①,得y =4-x .③ 把③代入②,得2x -3(4-x )=3. 解这个方程,得x =3.把x =3代入③,得y =1.所以原方程组的解集为{(x ,y )|(3,1)}. (2)法一:①+②,得6x =12,所以x =2. 把x =2代入②,得3×2+7y =13,所以y =1. 所以原方程组的解集为{(x ,y )|(2,1)}. 法二:①-②,得-14y =-14,所以y =1. 把y =1代入①得,3x -7×1=-1,所以x =2. 所以原方程组的解集为{(x ,y )|(2,1)}.求二元一次方程组的解集的常用方法有加减消元法和代入消元法,要能够根据所解方程组的特点选用适当的方法,注意解集的表示形式.1.求下列方程组的解集. (1)⎩⎨⎧ 4x +8y =12,①3x -2y =5.②(2)⎩⎨⎧8x +9y =73,①7x +18y =2.②[解] (1)由②,得2y =3x -5.③把③代入①,得4x +4(3x -5)=12,解得x =2. 把x =2代入③,得y =12.所以原方程组的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫(x ,y )⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫2,12. (2)由①×2,得16x +18y =146,③ 由③-②,得9x =144,解得x =16.把x =16代入①,得8×16+9y =73,解得y =-559.所以原方程组的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫(x ,y )⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫16,-559.三元一次方程组的解集【例2】 求下列方程组的解集.(1)⎩⎨⎧ x +y +z =12,①x +2y +5z =22,②x =4y .③(2)⎩⎨⎧2x +y +3z =11,①3x +2y -2z =11,②4x -3y -2z =4.③[解] (1)法一:将③分别代入①②,得 ⎩⎪⎨⎪⎧ 5y +z =12,6y +5z =22,解得⎩⎪⎨⎪⎧y =2,z =2, 把y =2代入③,得x =8.所以原方程组的解集为{(x ,y ,z )|(8,2,2)}. 法二:②-①,得y +4z =10,④ ②-③,得6y +5z =22,⑤联立④⑤,得⎩⎪⎨⎪⎧ y +4z =10,6y +5z =22,解得⎩⎪⎨⎪⎧y =2,z =2,把y =2代入③,得x =8.所以原方程组的解集为{(x ,y ,z )|(8,2,2)}. 法三:①×5,得5x +5y +5z =60,④ ④-②,得4x +3y =38,⑤联立③⑤,得⎩⎪⎨⎪⎧ x =4y ,4x +3y =38,解得⎩⎪⎨⎪⎧x =8,y =2,把x =8,y =2代入①,得z =2.所以原方程组的解集为{(x ,y ,z )|(8,2,2)}. (2)①×2-②,得x +8z =11,④ ①×3+③,得10x +7z =37,⑤联立④⑤,得⎩⎪⎨⎪⎧ x +8z =11,10x +7z =37,解得⎩⎪⎨⎪⎧x =3,z =1,把x =3,z =1代入①,得y =2.所以原方程组的解集为{(x ,y ,z )|(3,2,1)}.求三元一次方程组解集的基本思路是:通过 “代入”或“加减”进行消元,把“三元”化为 “二元”,使三元一次方程组转化为二元一次方程组,进而再转化为一元一次方程求解.2.求方程组⎩⎨⎧x +y =1,①y +z =6,②z +x =3 ③的解集.[解] ①+②+③,得2(x +y +z )=10,即x +y +z =5.④④-①,得z =4;④-②,得x =-1;④-③,得y =2. 所以原方程组的解集为{(x ,y ,z )|(-1,2,4)}.待定系数法求函数的解析式【例3】 已知二次函数y =ax 2+bx +c 的图像过点(-1,2),(2,8),(5,158),求这个二次函数的解析式.[思路点拨] 把a ,b ,c 看成三个未知数,分别把三组已知的x ,y 的值代入,就可以得到一个三元一次方程组,解这个方程组即可求出a ,b ,c 的值.[解]根据题意,得⎩⎪⎨⎪⎧a -b +c =2,①4a +2b +c =8,②25a +5b +c =158,③②-①,得a +b =2,④ ③-①,得4a +b =26,⑤联立④⑤,得⎩⎪⎨⎪⎧ a +b =2,4a +b =26,解得⎩⎪⎨⎪⎧a =8,b =-6,把a =8,b =-6代入①,得c =-12.因此所求函数的解析式为y =8x 2-6x -12.解决此类问题的方法是根据图像上的点的坐标列方程组,解方程组求得字母系数的值,进而确定所求函数的解析式.3.已知二次函数y =ax 2+bx +c 的图像过点(1,4),(3,-20),(-1,-12),求这个二次函数的解析式.[解]根据题意,得⎩⎪⎨⎪⎧a +b +c =4,9a +3b +c =-20,a -b +c =-12,解得⎩⎪⎨⎪⎧a =-5,b =8,c =1,因此所求函数的解析式为y =-5x 2+8x +1.二元二次方程组的解集【例4】 求下列方程组的解集. (1)⎩⎨⎧x +y =8,①xy =12.②(2)⎩⎨⎧x 2-4xy +4y 2+x -2y -2=0,①3x +2y -11=0.②[解] (1)由①得y =8-x ,③ 把③代入②,整理得x 2-8x +12=0. 解得x 1=2,x 2=6. 把x 1=2代入③,得y 1=6. 把x 2=6代入③,得y 2=2.所以原方程组的解集为{(x ,y )|(2,6),(6,2)}. (2)由①得(x -2y )2+(x -2y )-2=0, 解得x -2y =1或x -2y =-2, 由⎩⎪⎨⎪⎧ x -2y =1,3x +2y -11=0,得⎩⎪⎨⎪⎧x =3,y =1. 由⎩⎪⎨⎪⎧x -2y =-2,3x +2y -11=0,得⎩⎪⎨⎪⎧x =94,y =178.所以原方程组的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫(x ,y )⎪⎪⎪(3,1),⎝ ⎛⎭⎪⎫94,178.求二元二次方程组解集的基本思想是消元和降次,消元就是化二元为一元,降次就是把二次降为一次,因此可以通过消元和降次把二元二次方程组转化为二元一次方程组、一元二次方程甚至一元一次方程.4.求方程组⎩⎨⎧x +2y =4,①2xy =-21②的解集.[解] ∵方程①是x 与2y 的和,方程②是x 与2y 的积,∴x 与2y 是方程z 2-4z -21=0的两个根,解此方程得z 1=-3,z 2=7, ∴⎩⎪⎨⎪⎧ x =-3,2y =7或⎩⎪⎨⎪⎧x =7,2y =-3,即⎩⎨⎧x =-3,y =72或⎩⎨⎧x =7,y =-32.所以原方程组的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫(x ,y )⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫-3,72,⎝ ⎛⎭⎪⎫7,-32.方程组的实际应用【例5】 某汽车在相距70 km 的甲、乙两地往返行驶,行驶中有一坡度均匀的小山.该汽车从甲地到乙地需要2.5 h ,从乙地到甲地需要2.3 h .假设该汽车在平路、上坡路、下坡路的行驶过程中时速分别是30 km,20 km,40 km ,则从甲地到乙的过程中,上坡路、平路、下坡路的长度各是多少?[思路点拨] 题中有三个等量关系:①上坡路长度+平路长度+下坡路长度=70 km ;②从甲地到乙地的过程中,上坡时间+平路时间+下坡时间=2.5 h ;③从乙地到甲地的过程中,上坡时间+平路时间+下坡时间=2.3 h.[解] 设从甲地到乙地的过程中,上坡路、平路、下坡路分别是x km ,y km和z km.由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ x +y +z =70,x 20+y 30+z 40=2.5,z 20+y 30+x 40=2.3,解得⎩⎪⎨⎪⎧x =12,y =54,z =4,故从甲地到乙地的过程中,上坡路是12 km ,平路是54 km ,下坡路是4 km.根据实际问题列方程组,求出方程组的解集,进而解决实际问题.5.在中国古算术《张丘建算经》(约公元5世纪)里,有一道著名的“百鸡问题”:今有鸡翁一,值钱五;鸡母一,值钱三;鸡雏三,值钱一,凡百钱买百鸡,问鸡翁、鸡母、鸡雏各几何?(三种鸡都买)[解] 设鸡翁、鸡母、鸡雏分别买x 只、y 只、z 只.根据题意,得⎩⎨⎧x +y +z =100,①5x +3y +z3=100.②②×3-①,得7x +4y =100,y =100-7x 4=25-74x .因为x ,y 均为正数,所以x 一定是4的倍数,且x 是小于1007的正整数,所以x 的取值只能为4,8,12.若x =4,则y =18,z =78; 若x =8,则y =11,z =81; 若x =12,则y =4,z =84.故鸡翁为4只,鸡母为18只,鸡雏为78只或鸡翁为8只,鸡母为11只,鸡雏为81只或鸡翁为12只,鸡母为4只,鸡雏为84只.1.求二元一次方程组的解集的常用方法有加减消元法和代入消元法,要能够根据所解方程组的特点选用适当的方法,注意解集的表示形式.2.待定系数法求函数的解析式,解决此类问题的方法是根据图像上的点的坐标列方程组,解方程组求得字母系数的值,进而确定所求函数的解析式.1.二元一次方程组⎩⎨⎧x +3y =7,y -x =1的解集是( )A .{(x ,y )|(1,2)}B .{(x ,y )|(1,0)}C .{(x ,y )|(-1,2)}D .{(x ,y )|(1,-2)}A [由加减消元法可求得x =1,y =2,故所求方程组的解集为{(x ,y )|(1,2)}.]2.求方程组⎩⎨⎧x +y -z =11,x +z =5,x -y +2z =1的解集时,要使运算简便,消元的方法应选取( )A .先消去xB .先消去yC .先消去zD .以上说法都不对B [根据系数特点,先消去y 最简便,故选B.]3.桌面上有甲、乙、丙三个杯子,三杯内原本均装有一些水.先将甲杯的水全部倒入丙杯,此时丙杯的水量为原本甲杯内水量的2倍多40毫升;再将乙杯的水全部倒入丙杯,此时丙杯的水量为原本乙杯内水量的3倍少180毫升.若过程中水没有溢出, 则原本甲、乙两杯内的水量相差( )A .80毫升B .110毫升C .140毫升D .220毫升B [设甲杯中原有水a 毫升,乙杯中原有水 b 毫升,丙杯中原有水c 毫升,依题意有⎩⎪⎨⎪⎧ a +c -40=2a ,①a +b +c +180=3b ,②②-①,得b -a =110,故选B.]4.设计一个二元二次方程组,使得这个二元二次方程组的解是⎩⎨⎧ x =2,y =3和⎩⎨⎧ x =-3,y =-2.试写出符合要求的方程组________. ⎩⎨⎧ xy =6x -y =-1[由于这两组解都有:xy =2×3=6,x -y =-1, 故可组成方程组为⎩⎪⎨⎪⎧ xy =6,x -y =-1(答案不唯一).]。

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~§函数的应用(I)课时目标 1.能运用所学的函数知识、方法解决模型为一次函数、二次函数及分段函数的实际问题.2.通过对实际问题的解决、培养数学应用意识,用数学的眼光看问题,用数学的思想、方法、知识解决问题.几类常见的函数模型(1)一次函数模型:f(x)=kx+b (k、b为常数,k≠0);](2)反比例函数模型:f(x)=kx+b (k、b为常数,k≠0);(3)二次函数模型:f(x)=ax2+bx+c (a、b、c为常数,a≠0);(4)分段函数模型:这个模型实际是以上两种或多种模型的综合,因此应用也十分广泛.一、选择题1.某公司市场营销人员的个人月收入与其每月的销售量成一次函数关系,其图象如右图所示,由图中给出的信息可知,营销人员没有销售量时的收入是( )A.310元B.300元{C.290元D.280元2.某商品价格前两年每年递增20%,后两年每年递减20%,则四年后的价格与原来价格比较,变化的情况是( )A.减少%B.增加%C.减少%D.不增不减3.某工厂的大门是一抛物线型水泥建筑物,大门的地面宽度为8m,两侧距地面3m高处各有一个壁灯,两壁灯之间的水平距离为6m,如图所示,则厂门的高为(水泥建筑物厚度忽视不计,精确到0.1m)( )A.6.9mB.7.0mC.7.1mD.6.8m¥4.国家购买某种农产品的价格为120元/担,某征税标准为100元征8元,计划可购m 万担.为了减轻农民负担,决定税率降低x个百分点,预计收购量可增加2x个百分点.则税收f(x)(万元)与x的函数关系式为( )A.f(x)=120m(1+2x%)(8-x)% (0<x≤8)B.f(x)=120m(1+2x)%(8-x)%(0<x≤8)C.f(x)=120m(1+2x)%(8-x%)(0<x≤8)D.f(x)=120m(1+2x%)(8-x%)(0<x≤8)5.我国个人所得税起征点已经提高到2000元,也就是说,个人所得额不超过2000元的部分不必纳税,超过2000元的部分为全月应纳税的所得额.此项税款按下表分段累进计算:全月应纳税所得额!税率不超过500元的部分税率5%超过500元至2000元的部分税率10%超过2000元至5000元的部分税率15%超过5000元至20000元的部分[税率20%超过20000元至40000元的部分税率25%……某人2008年)A.2000~2100元B.2100~2400元C.2400~2700元D.2700~4000元(6.某种电热水器的水箱盛满水是200升,加热到一定温度可浴用.浴用时,已知每分钟放水34升,在放水的同时注水,t分钟注水2t2升,当水箱内水量达到最小值时,放水自动停止.现假定每人洗浴用水65升,则该热水器一次至多可供几人洗澡( ) A.3人B.4人C.5人D.6人题号1234?56答案/二、填空题7.某城市客运公司确定客票价格的方法是:如果行程不超过100km,票价是元/km,如果超过100 km,超过100 km部分按元/km定价,则客运票价y(元)与行驶千米数x(km)之间的函数关系式是__________________________.8.如图所示,函数f(x)的图象是折线段ABC,其中A,B,C的坐标分别为(0,4),(2,0),(6,4),则f(f(0))=______.9.如图所示,用长为l的铁丝弯成下部为矩形,上部为半圆型的框架,若矩形底面边长为2x,则此框架围成的面积y与x的函数解析式为________________.]三、解答题10.用模型f (x )=ax +b 来描述某企业每季度的利润f (x )(亿元)和生产成本投入x (亿元)的关系.统计表明,当每季度投入1(亿元)时利润y 1=1(亿元),当每季度投入2(亿元)时利润y 2=2(亿元),当每季度投入3(亿元)时利润y 3=2(亿元).又定义:当f (x )使[f (1)-y 1]2+[f (2)-y 2]2+[f (3)-y 3]2的数值最小时为最佳模型.(1)当b =23,求相应的a 使f (x )=ax +b 成为最佳模型;(2)根据题(1)得到的最佳模型,请预测每季度投入4(亿元)时利润y 4(亿元)的值.~11.某商品在近30天内每件的销售价格p (元)与时间t (天)的函数关系是p =⎩⎪⎨⎪⎧t +20, 0<t <25,t ∈N ,-t +100,25≤t ≤30,t ∈N .该商品的日销售量Q (件)与时间t (天)的函数关系是Q =-t +40(0<t ≤30,t ∈N ),求这种商品的日销售金额的最大值,并指出日销售金额最大的一天是30天中的第几天(能力提升12.某厂生产某种零件,每个零件的成本为40元,出厂单价定为60元,该厂为鼓励销售订购,决定当一次订购量超过100个时,每多订购1个,订购的全部零件的出厂单价就降低元,但实际出厂单价不能低于51元.(1)当一次订购量为多少个时,零件的实际出厂单价恰降为51元(2)设一次订购量为x 个,零件的实际出厂单价为P 元,写出函数P =f (x )的表达式; (3)当销售商一次订购500个零件时,该厂获得的利润是多少元如果订购1000个,利润又是多少元(工厂售出一个零件的利润=实际出厂单价-成本)·{.!解应用题的一般步骤是(四步法):读题:读懂和深刻理解,译为数学语言,找出主要关系; 建模:把主要关系数量化、符号化,抽象成数学问题; 求解:化归为纯数学问题,选择合适的数学方法求解; …评价:对结果进行验证或评估,对错误加以调节,最后将结论应用于现实,做出解释或验证.用框图表示如下:§ 函数的应用(I)作业设计 1.B [由题意可知,收入y 是销售量x 的一次函数,设y =ax +b ,将(1,800),(2,1300)代入得a =500,b =300.当销售量为x =0时,y =300.] ?2.A [设某商品价格为a ,依题意得:a (1+2(1-2=a ××= 6a ,所以四年后的价格与原来价格比较 6-1)a =- 4a ,即减少%.] 3.A [建立如图所示的坐标系,于是由题设条件知抛物线的方程为y =ax 2. 设A 点的坐标为(4,-h ), 则C (3,3-h ).将这两点的坐标代入y =ax 2,可得⎩⎪⎨⎪⎧-h =a ·423-h =a ·32,解得错误!. |所以厂门的高为6.9m .]4.A [调节税率后税率为(8-x )%,预计可收购m (1+2x %)万担,总费用为120m (1+2x %)万元,可得f (x )=120m (1+2x %)(8-x )%(0<x ≤8).]5.C [因为当个人所得额恰好超过起征点500元时,缴纳的税款为25元,故他的个人所得额应当超过2500元,超过500元至2000元的部分税率为10%,错误!=(元),所以他的个人所得额为元.]6.B [设最多用t 分钟,则水箱内水量y =200+2t 2-34t ,当t =172时,y 有最小值,此时共放水34×172=289升,可供4人洗澡.] 7.y =错误! 8.2解析 由A (0,4),B (2,0)可得线段AB 所在直线的方程为f (x )=-2x +4 (0≤x ≤2).同理BC 所在直线的方程为f (x )=x -2 (2<x ≤6).…所以f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧-2x +40≤x ≤2,x -22<x ≤6,所以f (0)=4,f (4)=2.9.y =-⎝ ⎛⎭⎪⎫π2+2x 2+lx ⎝ ⎛⎭⎪⎫0<x <l π+2 解析 ∵AB =2x ,则C D =πx ,AD =l -2x -πx2.∴y =2x ·l -2x -πx 2+πx 22=-⎝ ⎛⎭⎪⎫π2+2x 2+lx . 由⎩⎪⎨⎪⎧2x >0,l -2x -πx2>0,解得0<x <lπ+2. ?故y =-⎝ ⎛⎭⎪⎫π2+2x 2+lx ⎝ ⎛⎭⎪⎫0<x <l π+2. 10.解 (1)b =23时,[f (1)-y 1]2+[f (2)-y 2]2+[f (3)-y 3]2=14(a -12)2+16,∴a =12时,f (x )=12x +23为最佳模型.(2)f (x )=x 2+23,则y 4=f (4)=83.11.解 设日销售金额为y (元),则y =p ·Q .∴y =⎩⎪⎨⎪⎧-t 2+20t +800, 0<t <25,t ∈N ,t 2-140t +4000,25≤t ≤30,t ∈N .=⎩⎪⎨⎪⎧-t -102+900, 0<t <25,t ∈N ,t -702-900,25≤t ≤30,t ∈N .当0<t <25,t ∈N ,t =10时,y max =900(元); 当25≤t ≤30,t ∈N ,t =25时,y max =1125(元). 由1125>900,知y max =1125(元), 且第25天,日销售额最大.12.解 (1)设每个零件的实际出厂价恰好降为51元时,一次订购量为x 0个,则x 0=100+错误!=550.因此,当一次订购量为550个时,每个零件的实际出厂价恰好降为51元. (2)当0<x ≤100时,P =60; 当100<x ≤550时,P =60-(x -100)=62-x50;当x >550时,P =51.∴P =f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧60,0<x ≤100,62-x50,100<x ≤550,51,x >550.(x ∈N )(3)设销售商一次订购量为x 个时,工厂获得的利润为L 元,则L =(P -40)x =⎩⎪⎨⎪⎧20x ,0<x ≤100,22x -x250,100<x ≤550,11x ,x >550.(x ∈N )当x =500时,L =6000;当x =1000时,L =11000.因此,当销售商一次订购500个零件时,该厂获得的利润是6000元;如果订购1000个,利润是11000元.。

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