专题--三角形

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初中数学竞赛资料第二辑专题13 三角形的基本知识

专题13三角形的基本知识阅读与思考三角形是最基本的几何图形，是研究复杂几何图形的基础，许多几何问题都可转化为三角形的问题来解.三角形基本知识主要包括三角形基本概念、三角形三边关系定理及推论、三角形内角和定理及推论等，它们在线段和角度的计算、图形的计数等方面有广泛的应用.解与三角形的基本知识相关的问题时，常用到数形结合及分类讨论法，即用代数方法解几何计算题及简单的证明题，对三角形按边或按角进行恰当分类.应熟悉以下基本图形：例题与求解【例1】在△ABC中，∠A=50°，高BE，CF交于O，则∠BOC=________.（“东方航空杯”——上海市竞赛试题）解题思路：因三角形的高不一定在三角形内部，故应注意符合题设条件的图形多样性.【例2】等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成12cm和21cm两部分，则这个等腰三角形底边的长为（）A.17cmB.5cmC.5cm或17cmD.无法确定（北京市竞赛试题）解题思路：中线所分两部分不等的原因在于等腰三角形的腰与底的不等，应分情况讨论.【例3】如图，BE 是∠ABD 的平分线，CF 是∠ACD 的平分线，BE 与CF 交于G ，若∠BDC =140°，∠BGC =110°，求∠A 的大小.（“希望杯”邀请赛试题）解题思路：运用凹四边形的性质计算.【例4】在△ABC 中，三个内角的度数均为正数，且∠A ＜∠B ＜∠C ，4∠C ＝7∠A ，求∠B 的度数.（北京市竞赛试题）解题思路：把∠A ，∠C 用∠B 的代数式表示，建立关于∠B 的不等式组，这是解本题的突破口.【例5】（1）周长为30，各边长互不相等且都是整数的三角形共有多少个？（2）现有长为150cm 的铁丝，要截成)2(>n n 小段，每段的长不小于1cm 的整数，如果其中任意3小段都不能拼成三角形，试求n 的最大值.此时有几种方法将该铁丝截成满足条件的n 段.（江苏省竞赛试题）解题思路：对于（1），不妨设三角形三边为a ，b ，c ，且c b a <<，由条件及三角形三边关系定理可确定c 的取值范围，从而可以确定整数c 的值.对于（2），因n 段之和为定值150cm ，故欲使n 尽可能的大，必须使每段的长度尽可能的小.这样依题意可构造一个数列.【例6】在三角形纸片内有2008个点，连同三角形纸片的3个顶点，共有2011个点，在这些点中，没有三点在一条直线上.问：以这2011个点为顶点能把三角形纸片分割成多少个没有重叠部分的小三角形？（天津市竞赛试题）解题思路：本题的解题关键是找到规律：三角形内角每增加1个内点，就增加了2个三角形和3条边.能力训练A 级1.设a ，b ，c 是△ABC 的三边，化简c b a c b a --+++=____________.2.三角形的三边分别为3，a 21-，8，则a 的取值范围是__________.3.已知一个三角形三个外角度数比为2:3:4，这个三角形是_______（按角分类)三角形.4.如图，∠A +∠B +∠C +∠D +∠E 的度数为____________.（“缙云杯“试题）（第4题）（第5题）（第6题）5.如图，已知AB ∥CD ，GM ，HM 分别是∠AGH ，∠CHG 的角平分线，那么∠GMH =_________.（第7题）（第9题）6.如图，△ABC 中，两外角平分线交于点E ，则∠BEC 等于（）A .)90(21A ∠-︒B .A ∠+︒2190C .)180(21A ∠-︒D .A ∠-︒211807.如图，在△ABC 中，BD ，BE 分别是高和角平分线，点F 在CA 的延长线上，FH ⊥BE 交BD 于G ，交BC 于H .下列结论：①∠DBE =∠F ；②2∠BEF =∠BAF +∠C ；③∠F =21（∠BAC -∠C ）；④∠BGH =∠ABE +∠C .其中正确的是（）A .①②③B .①③④C .①②③D .①②③④8.已知三角形的每条边长的数值都是2001的质因数，那么这样的不同的三角形共有（）A .6个B .7个C .8个D .9个9.如图，将纸片△ABC 沿着DE 折叠压平，则（）A .∠A =∠1+∠2B .∠A =21（∠1+∠2）C .∠A =31（∠1+∠2）D .∠A =41（∠1+∠2）（北京市竞赛试题）10.一个三角形的周长是偶数，其中的两条边分别是4和1997，则满足上述条件的三角形的个数是（）A .1个B .3个C .5个D .7个（北京市竞赛试题）11.如图，已知∠3=∠1+∠2，求证：∠A +∠B +∠C +∠D =180°.（河南省竞赛试题）12.平面内，四条线段AB ，BC ，CD ，DA 首尾顺次连接，∠ABC =24°，∠ADC =42°.（1）∠BAD 和∠BCD 的角平分线交于点M （如图1），求∠AMC 的大小.（2）点E 在BA 的延长线上，∠DAE 的平分线和∠BCD 平分线交于点N （如图2），求∠ANC .图1图213.三角形不等式是指一个三角形的两边长度之和大于第三边的长度.在下图中，E 位于线段CA 上，D 位于线段BE 上.（1）证明：AB +AE ＞DB +DE ；（2）证明：AB +AC ＞DB +DC ；（3）AB +BC +CA 与2（DA +DB +DC ）哪一个更大？证明你的结论；（4）AB +BC +CA 与DA +DB +DC 哪一个更大？证明你的结论.（加拿大埃蒙德顿市竞赛试题）B 级1.已知三角形的三条边长均为整数，其中有一条边长是4，但不是最短边，这样的三角形的个数有_______个.（“祖冲之杯”邀请赛试题）2.以三角形的3个顶点和它内部的9个点共12个点为顶点能把原三角形分割成______个没有公共部分的小三角形.3.△ABC 中，∠A 是最小角，∠B 是最大角，且有2∠B =5∠A ，若∠B 的最大值是 m ，最小值是 n ，则=+n m ___________.（上海市竞赛试题）4.如图，若∠CGE =α，则∠A +∠B +∠C +∠D +∠E +∠F =_______.（山东省竞赛试题）（第4题）（第5题）5.如图，在△ABC 中，∠A =96°，延长BC 到D ，∠ABC 与∠ACD 的平分线相交于1A 点，BC A 1∠与CD A 1∠的平分线相交于2A 点，依此类推，BC A 4∠与CD A 4∠的平分线相交于5A 点，则5A ∠的大小是（）A .3°B .5°C .8°D .19.2°6.四边形ABCD 两组对边AD ，BC 与AB ，DC 延长线分别交于点E ，F ，∠AEB ，∠AFD 的平分线交于点P .∠A =64°，∠BCD =136°，则下列结论中正确的是（）①∠EPF =100°；②∠ADC +∠ABC =160°；③∠PEB +∠PFC +∠EPF =136°；④∠PEB +∠PFC =136°.A .①②③B .②③④C .①③④D .①②③④7.三角形的三角内角分别为α，β，γ，且γβα≥≥，βα2=，则β的取值范围是（）A . 4536≤≤βB . 6045≤≤βC . 9060≤≤βD .3245≤≤β（重庆市竞赛试题）8.已知周长小于15的三角形三边的长都是质数，且其中一边的长为3，这样的三角形有（）A .4个B .5个C .6个D .7个（山东省竞赛试题）9.不等边△ABC 的两条高的长度分别为4和12，若第三条高的长也是整数，试求它的长.（第三十二届美国邀请赛试题）10.设m ，n ，p 均为自然数，满足p n m ≤≤且15=++p n m ，试问以m ，n ，p 为三边长的三角形有多少个？11.锐角三角形用度数来表示时，所有角的度数为正整数，最小角的度数是最大角的度数的41，求满足此条件的所有锐角三角形的度数.（汉城国际数学邀请赛试题）12.如图1，A 为x 轴负半轴上一点，B 为x 轴正半轴上一点，C （0，-2），D （-2，-2）.（1）求△BCD 的面积；（2）如图2，若∠BCO =∠BAC ，作AQ 平分∠BAC 交y 轴于P ，交BC 于Q .求证：∠CPQ =∠CQP ；（3）如图3，若∠ADC =∠DAC ，点B 在x 轴正半轴上运动，∠ACB 的平分线交直线AD 于E ，DF ∥AC交y 轴于F ，FM 平分∠DFC 交DE 于M ，EDMF BCF ∠∠-∠2的值是否发生变化？证明你的结论.图1图2图313.如图1，),0(m A ，)0,(n B .且m ，n 满足0)42(32≤-+-n m .图1图2（1）求A ，B 的坐标；（2）C 为y 轴正半轴上一动点，D 为△BCO 中∠BCO 的外角平分线与∠COB 的平分线的交点，问是否存在点C ，使∠D =41∠COB .若存在，求C 点坐标；（3）如图2，C 为y 轴正半轴上A 的上方一动点，P 为线段AB 上一动点，连CP 延长交x 轴于E ，∠CAB 和∠CEB 平分线交于F ，点C 在运动过程中FECO ABO ∠∠+∠的值是否发生变化？若不变求其值；若变化，求其范围.专题13三角形的基本知识例1130°或50°例2B例380°提示：∠A＝2∠BGC－∠BDC例4设∠C＝x°，则∠A＝(47 x)°，∠B＝180°－∠C－∠A＝180°－117 x°由∠A＜∠B＜∠C，得47x＜180－117x＜x．解得70＜x＜84．∵47x是整数，∴x＝77．故∠C＝77°，则∠A＝44°，∠B＝180°－77°－44°＝59°．例5（1）不妨设a＜b＜c，则由30a b ca b c+=-⎧⎨+>⎩，得10＜c＜15．∵c是整数，∴c＝11，12，13，14．当c＝11时，b＝10，a＝9．当c＝12时，b＝11，a＝7；b＝10，a＝8．当c＝13时，b＝12，a＝5；b＝11，a＝6；b＝10，a＝7；b＝19，a＝8．当c＝14时，b＝13，a＝3；b＝12，a＝4；b＝11，a＝5；b＝10，a＝6；b＝9，a＝7．（2）这些小段的长度只可能分别是1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89…但1＋1＋2＋5＋8＋13＋21＋34＋55＝143＜150，1＋1＋2＋3＋5＋8＋13＋21＋34＋55＋89＞150，故n的最大值为10.共有以下7种方式：（1，1，2，3，5，8，13，21，34，62）；（1，1，2，3，5，8，13，21，35，61）；（1，1，2，3，5，8，13，21，36，60）；（1，1，2，3，5，8，13，21，37，59）；（1，1，2，3，5，8，13，22，35，60）；（1，1，2，3，5，8，13，22，36，59）；（1，1，2，3，5，8，14，22，36，58）.例6解法1我们不妨先考察三角形内有1个点、2个点、3个点…的简单情况，有下表所示的关系：三角形内点数1234…连线得到的小三角形个数3579…不难发现，三角形内有一个点时，连线可得到3个小三角形，以后每增加一个点，这个点必落在某一个小三角形内，它与该三角形的三个顶点可得到三个小三角形，从而增加了两个小三角形，于是可以推出，当三角形内有2008个点是，连线可得到小三角形的个数为：3＋2×（2008－1）＝4017（个）.解法2整体核算法设连线后把原三角形分割成n个小三角形，则它们的内角和为180°·n，又因为原三角形内每一个点为小三角形顶点时，能为小三角形提供360°的内角，2008个点共提供内角2008×360°，于是得方程180n ＝360×2008＋180，解得n ＝4017，即这2008个点能将原三角形纸片分割成4017个小三角形.A 级1.2（b ＋c ）2.－5＜a ＜－23.钝角4.180°5.90°6.C7.D8.B9.B 10.B11.提示：过G 作GH ∥EB ，可推得BE ∥CF .12.（1）∠AMC ＝12（∠ABC ＋∠ADC ）＝12×（24°＋42°）＝33°（2）∵AN 、CN 分别平分∠DAE ，∠BCD ，∴可设∠EAN ＝∠DAB ＝x ，∠BCN ＝∠DCN ＝y ，∴∠BAN ＝180°－x ，设BC 与AN 交于S ，∴∠BSA ＝∠CSN ，∴180°－x ＋∠B ＝y ＋∠ANC ，①同理：180°－2x ＋∠B ＝2y ＋∠D ，②由①×2－②得：2∠ANC ＝180°＋∠B ＋∠D .∴∠ANC ＝12（180°＋24°＋42°）＝123°.13.（1）（2）略提示：（3）DA ＋DB ＞AB ，DB ＋DC ＞DC ，DC ＋DA ＞CA ，将三个不等式相加，得2（DA ＋DB ＋DC ）＞AB ＋CB ＋CA .（4）由（2）知AB ＋AC ＞DB ＋DC ，同理BC ＋BA ＞DC ＋DA ，CA ＋CB ＞DA ＋DB ，故AB ＋BC ＋CA ＞DA ＋DB ＋DCB 级1.82.193.175提示：设∠A ＝（2x ）°，∠B ＝（5x ）°，则∠C ＝180°－（7x ）°，由∠A ≤∠C ≤∠B 得15≤x ≤204.2a5.A6.D7.D8.B9.提示：设长度为4和12的高分别是边a ，b 上的，边c 上的高为h ，△ABC 的面积为S ，则24S a =，212S b =，2S c h =，由22222412412S S S S S h -<<+得36h <<，故5h =.10.711.设锐角三角形最小角的度数为x ，最大角的度数为4x ，另一角为y ，则41804490x x y x y x x ++=︒⎧⎪⎨⎪<︒⎩，解得20≤x ≤22.5，故x ＝20或21或22.所有锐角三角形的度数为：(20°，80°，80°)，(21°，75°，84°)，(22°，70°，88°).12.（1）S △BCD ＝2（2）略（3）设∠ABC ＝x ，则∠BCF ＝90°＋x ，可证：∠E ＝12x ，∠DMF ＝45°.∴2(90)245212BCF DMF x E x ∠-∠︒+-⨯︒==∠。

专题认识三角形题型整理

第四讲三角形的基本概念及性质题型一三角形的基本概念1.下面说法错误的是 ( )A．三角形的三条角平分线交于一点B．三角形的三条中线交于一点C．三角形的三条高交于一点D．三角形的三条中线一定交于三角形内部一点2.以下说法错误的是（）A．三角形的三条高一定在三角形内部交于一点B．三角形的三条中线一定在三角形内部交于一点C．三角形的三条角平分线一定在三角形内部交于一点D．三角形的三条高可能相交于外部一点3.如果一个三角形的三条高的交点恰好是这个三角形的一个顶点，•那么这个三角形是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定4.如图，AC⊥BC，CD⊥AB，DE⊥BC，垂足分别为C，D，E，则下列不正确的是（）A．AC是△ABC的高B．DE是△BCD的高C．DE是△ABE的高D．AD是△ACD的高5.下列说法：①两条直线被第三条直线所截，内错角相等；②同角或等角的余角相等；③相等的角是对顶角；④三角形的三条高交于一点．其中正确的有（）A、1个B、2个C、3个D、4个6.下列说法正确的是（）A.两点之间，直线最短；B.过一点有一条直线平行于已知直线；C.和已知直线垂直的直线有且只有一条；D.在平面内过一点有且只有一条直线垂直于已知直线.7．判断两角相等,错误的是（）A.对顶角相等B两条直线被第三条直线所截,内错角相等C.两直线平行,同位角相等D.∵∠1=∠2,∠2=∠3,∴∠1=∠3.8.生活中，我们经常会看到如图所示的情况，在电线杆上拉两条钢筋，来加固电线杆，这是利用了三角形的（）A、稳定性B、全等性C、灵活性D、对称性9.已知△ABC的一个外角为50°，则△ABC一定是（）A、锐角三角形B、钝角三角形C、直角三角形D、锐角三角形或钝角三角形10.满足下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是（）A、∠B+∠A=∠CB、∠A：∠B：∠C=2：3：5C、∠A=2∠B=3∠CD、一个外角等于和它相邻的一个内角11.如图，∠ACB =90º，CD ⊥AB ，垂足为D ，下列结论错误的是（）A 、图中有三个直角三角形B 、∠1=∠2C 、∠1和∠B 都是∠A 的余角D 、∠2=∠A题型二三角形的内角和外角1、已知三角形的一个内角是另一个内角的,是第三个内角的,则这个三角形各内角的度数分别为 ( ) A .60°,90°,75° B .48°,72°,60° C .48°,32°,38° D .40°,50°,90°2、如果三角形的一个角的度数等于另两个角的度数之和，那么这个三角形一定是（） (A )锐角三角形 (B )直角三角形 (C )钝角三角形 (D )等腰三角形 3.△ABC 中，∠A =2∠B =3∠C ，则这个三角形中最小的角是________________度． 4.如图所示，△ABE 和△ADC 是△ABC 分别沿着AB ，AC 边翻折180°形成的，若∠1∶∠2∶∠3=28∶5∶3，则∠α的度数为（）A ．60°B ．100°C ．80°D ．45°．5.如图2，在△ABC 中,∠B =∠C ,FD ⊥BC ,DE ⊥AB ,∠AFD =158°, 则∠EDF = 。

专题18 三角形(解析版)

专题18三角形【考查题型】【知识要点】知识点一三角形的概念三角形的概念：由不在同一条直线上的三条线段首尾依次相接所组成的图形叫做三角形。

三角形的表示：用符号“∆”表示，顶点是A、B、C的三角形记作“∆ABC”，读作“三角形ABC”。

三角形的分类：1）三角形按边分类：三角形三边都不相等的三角形等腰三角形等边三角形底边和腰不相等的等腰三角形2）三角形按角分类：三角形直角三角形斜三角形锐角三角形钝角三角形等腰三角形的定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰与底边的夹角叫做底角。

等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形（特殊的等腰三角形）。

三角形三边的关系：1）三角形的任意两边之和大于第三边。

2）三角形的任意两边之差小于第三边。

几何描述：记三角形三边长分别是a，b，c，则a＋b＞c或c－b＜a。

3）判断三条线段能否组成三角形，只需判断上述两个条件满足其一即可。

【解题技巧】已知三角形两边的长度分别为a，b，求第三边长度的范围：|a－b|＜c＜a＋b三角形的稳定性:三角形三条边的长度确定之后，三角形的形状就唯一确定了。

【注意事项】1）三角形具有稳定性;2）四边形及多边形不具有稳定性;3）要使多边形具有稳定性，方法是将多边形分成多个三角形，这样多边形就具有稳定性了。

考查题型一三角形的稳定性题型1．（2022·湖南永州·中考真题）下列多边形具有稳定性的是（）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【分析】利用三角形具有稳定性直接得出答案．【详解】解：三角形具有稳定性，四边形、五边形、六边形都具有不稳定性，故选D ．【点睛】本题考查三角形的特性，牢记三角形具有稳定性是解题的关键．题型1-1．（2022·广东·中考真题）下列图形中具有稳定性的是（）A ．平行四边形B ．三角形C ．长方形D ．正方形考查题型二三角形的三边关系题型2．（2022·江苏淮安·中考真题）下列长度的三条线段能组成三角形的是（）A ．3，3，6B ．3，5，10C ．4，6，9D ．4，5，9【答案】C【分析】根据三角形的三边关系判断即可．【详解】A.∵336+=，∴长度为3，3，6的三条线段不能组成三角形，本选项不符合题意；B.∵3510+<，∴长度为3，5，10的三条线段不能组成三角形，本选项不符合题意；C.∵469+>，649-<，∴长度为4，6，9的三条线段能组成三角形，本选项符合题意；D.∵459+=，∴长度为4，5，9的三条线段不能组成三角形，本选项不符合题意；故选：C.【点睛】本题考查的是三角形的三边关系，熟记三角形两边之和大于第三边、三角形的两边差小于第三边是解题的关键．题型2-1．（2022·浙江衢州·中考真题）线段a b c ，，首尾顺次相接组成三角形，若13a b ==，，则c 的长度可以是（）A ．3B ．4C ．5D ．6题型2-2．（2022·湖南益阳·中考真题）如图1所示，将长为6的矩形纸片沿虚线折成3个矩形，其中左右两侧矩形的宽相等，若要将其围成如图2所示的三棱柱形物体，则图中a 的值可以是（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B 【分析】本题实际上是长为6的线段围成一个等腰三角形，求腰的取值范围．【详解】解：长为6的线段围成等腰三角形的两腰为a ．则底边长为6﹣2a ．题型2-3．（2022·河北·中考真题）平面内，将长分别为1，5，1，1，d 的线段，顺次首尾相接组成凸五边形（如图），则d 可能是（）A ．1B ．2C ．7D ．8在ABC 中，5115a -<<+，即46a <<，在CDE 中，1111b -<<+，即02b <<，所以48a b <+<，26a b <-<，在ACE △中，a b d a b -<<+，故选：C．【点睛】本题考查了三角形的三边关系定理，通过作辅助线，构造三个三角形是解题关键．题型2-4．（2022·青海西宁·中考真题）若长度是4，6，a的三条线段能组成一个三角形，则a的值可以是（）A．2B．5C．10D．11【答案】B【分析】根据三角形三边关系定理得出6-4＜a＜6+4，求出a的取值范围，即可求解．【详解】解：由三角形三边关系定理得：6-4<a<6+4，即2<a<10，即符合的整数a的值是5，故选：B．【点睛】本题考查了三角形三边关系，能根据三角形三边关系定理得出4-3＜a＜4+3是解此题的关键，注意：三角形的两边之和大于第三边，三角形的两边之差小于第三边．题型2-5．（2022·江苏宿迁·中考真题）若等腰三角形的两边长分别是3cm和5cm，则这个等腰三角形的周长是（）A．8cm B．13cm C．8cm或13cm D．11cm或13cm【答案】D【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为3和5，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．【详解】解：当3是腰时，∵3＋3＞5，∴3，3，5能组成三角形，此时等腰三角形的周长为3＋3＋5＝11（cm），当5是腰时，∵3＋5＞5，5，5，3能够组成三角形，此时等腰三角形的周长为5＋5＋3＝13（cm），则三角形的周长为11cm或13cm．故选：D【点睛】本题考查等腰三角形的性质及三角形三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．知识点二与三角形有关的线段三角形的高概念：从三角形一个顶点向它的对边做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线。

经典初中数学三角形专题训练及例题解析

经典《三角形》专题训练知识点梳理考点一、三角形1、三角形的定义:由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.2、三角形的分类. ⎪⎩⎪⎨⎧钝角三角形直角三角形锐角三角形 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧)(等边三角形等腰三角形不等边三角形 3、三角形的三边关系：三角形任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边.4、三角形的重要线段①三角形的中线：顶点与对边中点的连线,三条中线交点叫重心②三角形的角平分线：内角平分线与对边相交,顶点和交点间的线段,三个角的角平分线的交点叫内心③三角形的高：顶点向对边作垂线,顶点和垂足间的线段.三条高的交点叫垂心(分锐角三角形,钝角三角形和直角三角形的交点的位置不同)5、三角形具有稳定性6、三角形的内角和定理及性质定理：三角形的内角和等于180°.推论1：直角三角形的两个锐角互补。

推论2：三角形的一个外角等于不相邻的两个内角的和。

推论3：三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角。

7、多边形的外角和恒为360°8、多边形及多边形的对角线①正多边形：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形．②凸凹多边形：画出多边形的任何一条边所在的直线，若整个图形都在这条直线的同一侧，这样的多边形称为凸多边形；，若整个多边形不都在这条直线的同一侧，称这样的多边形为凹多边形。

③多边形的对角线的条数:A.从n 边形的一个顶点可以引（n-3）条对角线，将多边形分成（n-2）个三角形。

B.n 边形共有2)3(-n n 条对角线。

9、边形的内角和公式及外角和①多边形的内角和等于（n-2）×180°(n ≥3)。

②多边形的外角和等于360°。

三角形 (按角分) 三角形 (按边分)10、平面镶嵌及平面镶嵌的条件。

①平面镶嵌：用形状相同或不同的图形封闭平面，把平面的一部分既无缝隙，又不重叠地全部覆盖。

②平面镶嵌的条件：有公共顶点、公共边；在一个顶点处各多边形的内角和为360°。

中考数学专题复习：专题五三角形

专题五三角形【专题分析】三角形在中考中的常见考点有三角形的边和角，三角形的重要线段；全等三角形的判定，全等三角形的性质及综合应用，角平分线的应用；等腰三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，直角三角形的性质，勾股定理，线段的垂直平分线；比例线段与黄金分割，相似三角形的性质及判定，相似多边形的性质；锐角三角函数，解直角三角形的应用等．对三角形的考查在中考中既有客观题又有主观题，考查题型多样，关于边角的基础知识一般以选择题或填空题的形式进行考查，证明三角形全等、相似，应用三角形全等、相似解决问题一般以解答题的形式进行考查；三角形在中考中的比重约为15%～20%.【解题方法】解决三角形问题常用的数学思想是转化思想，方程思想和数形结合思想；常用的数学方法有分类讨论法和设参数法等.【知识结构】【典例精选】：如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，则AC的长是( )A．3 B．4 C．6 D．5【思路点拨】过点D作DF⊥AC，由S△ABC＝S△ABD＋S△ACD可求出AC的长．答案：A已知：如图，△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，AE∥BC，CE⊥AE，垂足为E.(1)求证：△ABD≌△CAE；(2)连结DE，线段DE与AB之间有怎样的位置和数量关系？请证明你的结论．【思路点拨】(1)由AB＝AC及AE∥BC易得∠B＝∠CAE，然后由AD是中线可得∠ADB＝∠CEA，由AAS证明两个三角形全等；(2)由(1)可得AE＝BD，结合已知条件AE∥BC可得四边形ABDE是平行四边形，根据平行四边形的性质得出DE与AB平行且相等．【自主解答】(1)证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB.∵AE∥BC，∴∠EAC＝∠ACB.∴∠B＝∠EAC.∵AD是BC边上的中线，∴AD⊥BC，即∠ADB＝90°.∵CE⊥AE，∴∠CEA＝90°. ∴∠CEA＝∠ADB.又∵AB＝AC，∴△ABD≌△CAE(AAS)．(2)解：AB∥DE且AB＝DE.由(1)△ABD≌△CAE可得AE＝BD，又∵AE∥BD，∴四边形ABDE是平行四边形，∴AB∥DE且AB＝DE.规律方法：在求线段，角，的长度，度数或证明线段，角相等时，利用全等三角形的对应边，角相等，可将对应边，角进行转化，从而建立已知与未知之间的联系.如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC和△DEF的顶点都在格点上，P1，P2，P3，P4，P5是△DEF边上的5个格点，请按要求完成下列各题：(1)试证明△ABC是直角三角形；(2)判断△ABC和△DEF是否相似，并说明理由；(3)画一个三角形，使它的三个顶点为P1，P2，P3，P4，P5中的3个格点，并且与△ABC相似．(要求：用尺规作图，保留痕迹，不写作法与证明) 【思路点拨】(1)分别求出△ABC三边的长度，利用勾股定理进行判断；(2)分别求出△DEF三边的长度，计算△DEF与△ABC三边长度的比值，进而作出判断；(3)观察图形，所求作的三角形满足其三边与△ABC三边的比值相等即可．【自主解答】(1)证明：根据勾股定理，得AB＝25，AC＝5，BC＝5；显然有AB2＋AC2＝BC2，根据勾股定理的逆定理，得△ABC为直角三角形．(2)解：△ABC和△DEF相似．根据勾股定理，得DE＝42，DF＝22，EF＝210.∵ABDE＝ACDF＝BCEF＝522.∴△ABC∽△DEF.(3)解：如图，△P2P4P5即为所求．规律方法：在网格中证明两个三角形相似，可分别计算两个三角形三边的长度，再计算三组对应边的比是否相等，根据三组对应边的比相等，得两三角形相似.如图，港口B位于港口O正西方向120 km处，小岛C位于港口O北偏西60°的方向．一艘游船从港口O出发，沿OA方向(北偏西30°)以v km/h的速度驶离港口O.同时一艘快艇从港口B出发，沿北偏东30°的方向以60 km/h的速度驶向小岛C，在小岛C用1 h加装补给物资后，立即按照原来的速度给游船送去．(1)快艇从港口B到小岛C需要多长时间？(2)若快艇从小岛C到与游船相遇恰好用时1 h，求v的值及相遇处与港口O的距离．【思路点拨】(1)根据题意可知∠CBO＝60°，∠COB＝30°，∴∠C＝90°，在Rt△BOC中，根据cos ∠CBO＝BCBO，求出BC，根据“路程＝速度×时间”求出时间即可；(2)根据题意游船共行驶了3个小时，所以行驶路程为 3v km，设相会点为点E，作CD⊥OA，分点E在线段OD上和在射线DA上两种情况，解非直角三角形OCE，根据DE＝90－3v或DE＝3v－90，利用CD2＋DE2＝CE2，求出速度v和路程OE即可．【自主解答】解：(1)∵∠BOC＝30°，∠CBO＝60°，∴∠BCO＝90°，∴BC＝OB·cos 60°＝120×12＝60(km)，∴快艇从港口B到小岛C需要的时间为6060＝1(h)．(2)过点C作CD⊥OA，设相遇处为点E.则OC＝OB·cos 30°＝603(km)，CD＝12OC＝303(km)，OD＝OC·cos 30°＝90(km)．分两种情况：当点E在线段OD上时，如图①，DE＝(90－3v)km，∵CE＝60 km，CD2＋DE2＝CE2，∴(303)2＋(90－3v)2＝602，∴v＝20或v＝40.∵90－3v>0，∴v＝20.当点E在射线DA上时，如图②，DE＝(3v－90)km，∵CE＝60 km，CD2＋DE2＝CE2，∴(303)2＋(3v－90)2＝602，∴v＝20或v＝40.∵3v－90>0，∴v＝40.∴当v＝20 km/h时，OE＝3×20＝60(km)；当v＝40 km/h时，OE＝3×40＝120(km)．规律方法：解决此类问题的关键在于将斜三角形转化为直角三角形，而转化的关键是作出三角形的某一条高.【能力评估检测】一、选择题1．如图，在△ABC中，∠B＝46°，∠C＝54°，AD平分∠BAC，交BC于点D，DE∥AB，交AC于点E，则∠ADE的大小是( C )A．45° B．54° C．40° D．50°2．已知三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程x2－12x＋35＝0的根，则该三角形的周长是( B )A．14 B．12C．12或14 D．以上都不对3．如图，地面上有三个洞口A，B，C，老鼠可以从任意一个洞口跑出，猫为能同时最省力地顾及三个洞口(到A，B，C三个点的距离相等)，尽快抓到老鼠，应该蹲守在( A )A．△ABC三边垂直平分线的交点B．△ABC三条角平分线的交点C．△ABC三条高所在直线的交点D．△ABC三条中线的交点4．如图，在△ABC中，∠B＝30°，BC的垂直平分线交AB于点E，垂足为D，CE平分∠ACB，若BE＝2，则AE的长为( B )A. 3 B．1 C. 2 D．25.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，E为线段AB上一点，且AE∶EB＝4∶1，EF⊥AC于点F，连结FB，则tan∠CFB的值等于( C )A.33B.233C.533D．5 36.如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东方向55°，距离灯塔为2海里的点A处．如果海轮沿正南方向航行到灯塔的正东位置B处，海轮航行的距离AB长是( C )A．2海里 B．2 sin 55°海里C．2cos 55°海里 D．2tan 55°海里7．如图，△ABC中，AB＝AC＝18，BC＝12.正方形DEFG的顶点E，F在△ABC 内，顶点D，G分别在AB，AC上，AD＝AG，DG＝6，则点F到BC的距离为( ) A．1B．2C．122－6D．62－6【解析】如图，过点A作AH⊥BC于点H，交DG于点I，BH＝12BC＝6，在Rt△ABH中，AH＝AB2－BH2＝182－62＝122，易知D，G分别是AB，AC的中点，则I为AH的中点，IH＝62，DG＝12BC＝6，则正方形DGFE的边长FG＝6，于是点F到BC的距离＝62－6.故选D.答案: D8．如图，在钝角三角形ABC中，AB＝6 cm，AC＝12 cm，动点D从A点出发到B点停止，动点E从C点出发到A点停止．点D运动的速度为1 cm/s，点E运动的速度为2 cm/s.如果两点同时运动，那么当以点A，D，E为顶点的三角形与△ABC相似时，运动的时间是( )A．3 s或4.8 s B．3 sC．4.5 s D．4.5 s或4.8 s【解析】根据题意，设当以点A，D，E为顶点的三角形与△ABC相似时，运动的时间是x s，①若△ADE∽△ABC，则ADAB＝AEAC，∴x6＝12－2x12，解得x＝3；②若△ADE∽△ACB，则ADAC＝AEAB，∴x12＝12－2x6，解得x＝4.8.∴当以点A，D，E为顶点的三角形与△ABC相似时，运动的时间是3 s或4.8 s．故选A.答案: A二、填空题9．如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，DE垂直平分AB，已知∠ADE＝40°，则∠DBC＝15 °.10．如图，直线a经过正方形ABCD的顶点A，分别过正方形的顶点B，D作BF⊥a于点F，DE⊥a于点E，若DE＝8，BF＝5，则EF的长为13.11．如图，已知AC＝BD，要使△ABC≌△DCB，则只需添加一个适当的条件是答案不唯一，如AB＝CD或∠ACB＝∠DBC(填一个即可)．12．如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝3，AD，AE分别为△ABC的中线和角平分线，过点C作CH⊥AE于点H，并延长交AB于点F，连结DH，则线段DH的长为 .【解析】在△ABC中，∵AE为△ABC的角平分线，CH⊥AE，∴△AFH≌△ACH.∴AF＝AC＝3.∵AB＝5，∴BF＝2.∵AF＝AC，CH⊥AE，∴FH＝HC.∵AD为△ABC的中线，∴DH为△CBF的中位线，DH＝12BF＝1.答案: 1三、解答题13．已知△ABC，AB＝AC，将△ABC沿BC方向平移得到△DEF.(1)如图①，连结BD，AF，则BD________AF(填“＞”“＜”或“＝”)．图①(2)如图②，M为AB边上一点，过M作BC的平行线MN分别交边AC，DE，DF于点G，H，N，连结BH，GF.求证：BH＝GF.图②(1)解：＝(2)证明：如图，将△DEF沿FE方向平移，使点E与点C重合，设ED平移后与MN相交于R.∵MN∥BC，RC∥EH，∴∠GRC＝∠RHE＝∠DEF，∠RGC＝∠GCB. ∴∠GRC ＝∠RGC，∴CG＝CR.又∵MN∥BF，CR∥EH，∴CR＝EH.∴CG＝EH.由平移的性质得BC＝EF，∴BC＋CE＝CE＋EF，即BE＝CF.又∵∠HEB＝∠GCF，∴△BEH≌△FCG(SAS)，∴BH＝FG.14．如图，这是一把可调节座椅的侧面示意图，已知头枕上的点A到调节器点O处的距离为80 cm，AO与地面垂直．现调整靠背，把OA绕点O旋转35°到OA′处．求调整后点A′比调整前点A的高度降低了多少厘米？(结果取整数)(参考数据：sin 35°≈0.57，cos 35°≈0.82， tan 35°≈0.70)解：如图，过点A′作A′H⊥OA于点H，由旋转可知，OA′＝OA＝80 cm，在Rt△OA′H中，OH＝OA′cos 35°≈80×0.82＝65.6(cm)．∴AH＝OA－OH＝80－65.6＝14.4≈14(cm)．答：调整后点A′比调整前点A的高度降低了14 cm.15．如图，在菱形ABCD中，AB＝4，∠BAD＝120°，△AEF为正三角形，点E，F分别在菱形的边BC，CD上滑动，且E，F不与B，C，D重合．(1)证明：不论E，F在BC，CD上如何滑动，总有BE＝CF；(2)当点E，F在BC，CD上滑动时，分别探讨四边形AECF和△CEF的面积是否发生变化？如果不变，求出这个定值；如果变化，求出最大(或最小)值．(1)证明：如图，连结AC，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，∴∠BAC＝60°，∠B＝60°.∴△ABC是正三角形，∴AB＝AC.又∵△AEF为正三角形，∴∠EAF＝60°，AE＝AF，而∠BAC＝60°，∴∠BAE＝∠CAF.∴△ABE≌△ACF.∴BE＝CF.(2)解：当点E，F在BC，CD上滑动时，四边形AECF的面积不发生变化，其值为4 3.理由如下：由(1)知，S△ABE＝S△ACF.∴S四边形AECF＝S△AEC＋S△ACF＝S△AEC＋S△ABE ＝S△ABC＝12×4×4×sin 60°＝4 3.△CEF的面积发生变化，其最大值为 3.∵S△CEF＝S四边形AECF－S△AEF＝43－34×AE2，当AE⊥BC时，AE的长最小，最小值为AB·sin 60°，即AE＝4×32＝23，∴S△CEF的最大值为43－34×(23)2＝ 3.。

专题三角形六大重难题型(期末真题精选)(解析版)

专题01 三角形六大重难题型一．中线分周长（分类讨论）1．如图，已知BD是△ABC的中线，AB＝5，BC＝3，且△ABD的周长为12，则△BCD的周长是10．试题分析：先根据三角形的中线、线段中点的定义可得AD＝CD，再根据三角形的周长公式即可求出结果．答案详解：解：∵BD是△ABC的中线，即点D是线段AC的中点，∴AD＝CD．∵AB＝5，△ABD的周长为12，∴AB+BD+AD＝12，即5+BD+AD＝12．解得BD+AD＝7．∴BD+CD＝7．则△BCD的周长是BC+BD+CD＝3+7＝10．所以答案是：10．2．已知AD是△ABC的中线，若△ABD与△ACD的周长分别是17和15，△ABC的周长是22，则AD的长为5．试题分析：根据三角形的周长公式列式计算即可得解．答案详解：解：∵△ABD与△ACD的周长分别是17和15，∴AB+BC+AC+2AD＝17+15＝32，∵△ABC的周长是22，∴AB+BC+AC＝22，∴2AD＝32﹣22＝10，∴AD＝5．所以答案是：5．3．如图所示，AD是△ABC的中线．若AB＝7cm，AC＝5cm，则△ABD和△ADC的周长的差为2 cm．试题分析：根据三角形中线的定义得到BD＝CD，求得△ABD和△ACD的周长差＝（AB+AD+BD）﹣（AC+AD+CD）＝AB﹣AC，于是得到结论．答案详解：解：∵AD是BC边上的中线，∴BD＝CD，∴△ABD和△ACD的周长差＝（AB+AD+BD）﹣（AC+AD+CD）＝AB﹣AC，∵AB＝7cm，AC＝5cm，∴△ABD和△ACD的周长差＝7﹣5＝2cm．所以答案是：2．二．中线之等分面积4．如图，已知△ABC中，点D、E分别是边BC、AB的中点．若△ABC的面积等于8，则△BDE的面积等于（）A．2B．3C．4D．5试题分析：根据三角形的面积公式即可得到结论．答案详解：解：∵点D是边BC的中点，△ABC的面积等于8，∴S△ABD=12S△ABC＝4，∵E是AB的中点，∴S△BDE=12S△ABD=12×4＝2，所以选：A．5．已知：如图所示，在△ABC中，点D，E，F分别为BC，AD，CE的中点，且S△ABC＝4cm2，则阴影部分的面积为1cm2．试题分析：易得△ABD，△ACD为△ABC面积的一半，同理可得△BEC的面积等于△ABC面积的一半，那么阴影部分的面积等于△BEC的面积的一半．答案详解：解：∵D为BC中点，根据同底等高的三角形面积相等，∴S△ABD＝S△ACD=12S△ABC=12×4＝2（cm2），同理S△BDE＝S△CDE=12S△BCE=12×2＝1（cm2），∴S△BCE＝2（cm2），∵F为EC中点，∴S△BEF=12S△BCE=12×2＝1（cm2）．所以答案是1．三．三角形的高的辨别6．如图，△ABC中，AD⊥BC于D，点E在CD上，则图中以AD为高的三角形有6个．试题分析：由于AD⊥BC于D，图中共有6个三角形，它们都有一边在直线CB上，由此即可确定以AD为高的三角形的个数．答案详解：解：∵AD⊥BC于D，而图中有一边在直线CB上，且以A为顶点的三角形有6个，∴以AD为高的三角形有6个．所以答案是：6．7．如图，△ABC中，BC边所在直线上的高是线段AD．试题分析：根据三角形的高的概念解答即可．答案详解：解：△ABC中，BC边所在直线上的高是线段AD，所以答案是：AD四．多边形的内角和与外角和8．若一个多边形的内角和是540°，则这个多边形是五边形．试题分析：根据多边形的内角和公式求出边数即可．答案详解：解：设多边形的边数是n，则（n﹣2）•180°＝540°，解得n＝5，所以答案是：五．9．如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的值是（）A．240°B．360°C．540°D．720°试题分析：根据四边形的内角和及三角形的外角定理即可求解．答案详解：解：如图，AC、DF与BE分别相交于点M、N，在四边形NMCD中，∠MND+∠CMN+∠C+∠D＝360°，∵∠CMN＝∠A+∠E，∠MND＝∠B+∠F，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝360°，所以选：B．10．一个多边形的内角和等于1260°，从它的一个顶点出发，可以作对角线的条数是（）A．4B．6C．7D．9试题分析：设这个多边形的边数为n，根据多边形的内角和定理得到（n﹣2）×180°＝1260°，然后解方程即可．答案详解：解：设这个多边形的边数为n，∴（n﹣2）×180°＝1260°，解得n＝9，∴这个多边形为九边形；从这个多边形的一个顶点出发共有：9﹣3＝6（条）．所以选：B．五．三角形的内角和11．如图，在△ABC中，D是AC上一点，E是AB上一点，BD，CE相交于点F，∠A＝60°，∠ABD＝20°，∠ACE＝35°，则∠EFD的度数是（）A．115°B．120°C．135°D．105°试题分析：由△ABD的内角和为180°，可以求∠ADB，由△AEC内角和为180°，可以求∠AEC，再根据四边形AEFD内角和为360°，可求∠EFD．答案详解：解：在△AEC中，∠A+∠ACE+∠AEC＝180°，∴∠AEC＝180°﹣∠A﹣∠ACE＝180°﹣60°﹣35°＝85°，在△ABD中，∠A+∠ABD+∠ADB＝180°，∴∠ADB＝180°﹣∠A﹣∠ABD＝180°﹣60°﹣20°＝100°，在四边形AEFD中，∠A+∠AEC+∠ADB+2∠EFD＝360°，∴∠EFD＝360°﹣∠A﹣∠AEC﹣∠ADB＝360°﹣60°﹣85°﹣100°＝115°，所以选：A．12．如图，△ABC中，∠BAC＞∠B，∠C＝70°，将△ABC折叠，使得点B与点A重合，折痕PD 分别交AB、BC于点D、P，当△APC中有两个角相等时，∠B的度数为（）A．35°或20°B．20°或27.5°C．35°或25°或32.5°D．35°或20°或27.5°试题分析：分三种情况，利用三角形的内角和定理、等腰三角形的性质先求出∠APC的度数，再利用折叠的性质和三角形的内角和定理求出∠B．答案详解：解：由折叠的性质知：∠BPD＝∠APD=12∠BP A，∠BDP＝∠ADP＝90°．当AP＝AC时，∠APC＝∠C＝70°，∵∠BPD=12（180°﹣∠APC）＝55°，∴∠B＝90°﹣55°＝35°；当AP＝PC时，∠P AC＝∠C＝70°，则∠APC＝40°．∵∠BPD=12（180°﹣∠APC）＝70°，∴∠B＝90°﹣70°＝20°；当PC＝AC时，∠APC＝∠P AC，则∠APC＝55°．∵∠BPD=12（180°﹣∠APC）＝62.5°，∴∠B＝90°﹣62.5°＝27.5°．所以选：D．13．如图，∠ABD，∠ACD的角平分线交于点P，若∠A＝48°，∠D＝10°，则∠P的度数为（）A．19°B．20°C．22°D．25°试题分析：延长PC交BD于E，根据角平分线的定义可得∠1＝∠2，∠3＝∠4，再根据三角形的内角和定理可得∠A+∠1＝∠P+∠3，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和表示出∠5，整理可得∠P=12（∠A﹣∠D），然后代入数据计算即可得解．答案详解：解：如图，延长PC交BD于E，∵∠ABD，∠ACD的角平分线交于点P，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，由三角形的内角和定理得，∠A+∠1＝∠P+∠3①，在△PBE中，∠5＝∠2+∠P，在△DCE中，∠5＝∠4﹣∠D，∴∠2+∠P＝∠4﹣∠D②，①﹣②得，∠A﹣∠P＝∠P+∠D，∴∠P=12（∠A﹣∠D），∵∠A＝48°，∠D＝10°，∴∠P=12（48°﹣10°）＝19°．所以选：A．14．如图，在△ABC中，∠B＝28°，将△ABC沿直线m翻折，点B落在点D的位置，则∠1﹣∠2的度数是（）A．42°B．46°C．52°D．56°试题分析：根据折叠得出∠D＝∠B＝28°，根据三角形的外角性质得出∠1＝∠B+∠BEF，∠BEF ＝∠2+∠D，求出∠1＝∠B+∠2+∠D即可．答案详解：解：∵∠B＝28°，将△ABC沿直线m翻折，点B落在点D的位置，∴∠D＝∠B＝28°，∵∠1＝∠B+∠BEF，∠BEF＝∠2+∠D，∴∠1＝∠B+∠2+∠D，∴∠1﹣∠2＝∠B+∠D＝28°+28°＝56°，所以选：D．15．如图，将△ABC沿DE、HG、EF翻折，三个顶点均落在点O处，若∠1＝131°，则∠2的度数为（）A．49°B．50°C．51°D．52°试题分析：先根据折叠性质得：∠HOG＝∠B，∠DOE＝∠A，∠EOF＝∠C，根据三角形内角和为180°和周角360°求出结论．答案详解：解：由折叠得：∠HOG＝∠B，∠DOE＝∠A，∠EOF＝∠C，∵∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠HOG+∠DOE+∠EOF＝180°，∵∠1+∠2+∠HOG+∠DOE+∠EOF＝360°，∴∠1+∠2＝180°，∵∠1＝131°，∴∠2＝180°﹣131°＝49°，所以选：A．16．如图，在△ABC中，∠1＝100°，∠C＝80°，∠2=12∠3，BE平分∠ABC交AD于E，求∠4的度数．试题分析：首先根据三角形的外角的性质求得∠3，再根据已知条件求得∠2，进而根据三角形的内角和定理求得∠ABD，再根据角平分线的定义求得∠ABE，最后根据三角形的外角的性质求得∠4．答案详解：解：∵∠1＝∠3+∠C，∠1＝100°，∠C＝80°，∴∠3＝20°，∵∠2=12∠3，∴∠2＝10°，∴∠ABC＝180°﹣100°﹣10°＝70°，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝35°，∵∠4＝∠2+∠ABE，∴∠4＝45°．17．如果在直角三角形中，一个锐角是另一个锐角的3倍，那么这个三角形中最小的一个角等于22.5度．试题分析：在直角三角形中，设最小的锐角的度数为x，则另一个锐角的度数则为3x．由“直角三角形的两个锐角互余”的性质知，x+3x＝90°．通过解方程即可求得x的值．答案详解：解：在直角三角形中，设最小的锐角的度数为x，则另一个锐角的度数则为3x．则x+3x＝90°，即4x＝90°，解得，x＝22.5°，即这个直角三角形中最小的一个角等于22.5°．所以答案是：22.5．六．新定义类18．新定义：在△ABC中，若存在最大内角是最小内角度数的n倍（n为大于1的正整数），则称△ABC为“n倍角三角形”．例如，在△ABC中，若∠A＝90°，∠B＝60°，则∠C＝30°，因为∠A最大，∠C最小，且∠A＝3∠C，所以△ABC为“3倍角三角形”．（1）在△DEF中，若∠E＝40°，∠F＝60°，则△DEF为“2倍角三角形”．（2）如图，在△ABC中，∠C＝36°，∠BAC、∠ABC的角平分线相交于点D，若△ABD为“6倍角三角形”，请求出∠ABD的度数．试题分析：（1）根据三角形内角和定理求出∠D，根据n倍角三角形的定义判断；（2）根据角平分线的定义、三角形内角和定理求出∠ADB，n倍角三角形的定义分情况讨论计算，得到答案．答案详解：解：（1）在△DEF中，∠E＝40°，∠F＝60°，则∠D＝180°﹣∠E﹣∠F＝80°，∴∠D＝2∠E，∴△DEF为“2倍角三角形”，所以答案是：2；（2）∵∠C＝36°，∴∠BAC+∠ABC＝180°﹣36°＝144°，∵∠BAC、∠ABC的角平分线相交于点D，∴∠DAB=12∠BAC，∠DBA=12∠ABC，∴∠DAB+∠DBA=12×144°＝72°，∴∠ADB＝180°﹣72°＝108°，∵△ABD为“6倍角三角形”，∴∠ADB＝6∠ABD或∠ADB＝6∠BAD，当∠ADB＝6∠ABD时，∠ABD＝18°，当∠ADB＝6∠BAD时，∠BAD＝18°，则∠ABD＝180°﹣108°﹣18°＝54°，综上所述，∠ABD的度数为18°或54°．19．在△ABC中，若存在一个内角角度是另外一个内角角度的n倍（n为大于1的正整数），则称△ABC为n倍角三角形．例如，在△ABC中，∠A＝80°，∠B＝75°，∠C＝25°，可知∠B＝3∠C，所以△ABC为3倍角三角形．（1）在△ABC中，∠A＝80°，∠B＝60°，则△ABC为2倍角三角形；（2）若锐角三角形MNP是3倍角三角形，且最小内角为α，请直接写出α的取值范围为22.5°＜α＜30°．（3）如图，直线MN与直线PQ垂直相交于点O，点A在射线OP上运动（点A不与点O重合），点B在射线OM上运动（点B不与点O重合）．延长BA至G，已知∠BAO、∠OAG的角平分线与∠BOQ的角平分线所在的直线分别相交于E、F，若△AEF为4倍角三角形，求∠ABO的度数．试题分析：（1）由∠A＝80°，∠B＝60°，可求∠C的度数，发现内角之间的倍数关系，得出答案，（2）△DEF是3倍角三角形，必定有一个内角是另一个内角的3倍，然后根据这两个角之间的关系，分情况进行解答，（3）首先证明∠EAF＝90°，分两种情形分别求出即可．答案详解：解：（1）∵∠A＝80°，∠B＝60°，∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝40°，∴∠A＝2∠C，∴△ABC为2倍角三角形，所以答案是：2；（2）∵最小内角为α，∴3倍角为3α，由题意可得：3α＜90°，且180°﹣4α＜90°，∴最小内角的取值范围是22.5°＜α＜30°．所以答案是22.5°＜α＜30°．（3）∵AE 平分∠BAO ，AF 平分∠AOG ，∴∠EAB ＝∠EAO ，∠OAF ＝∠F AG ，∴∠EAF ＝∠EAO +∠OAF =12（∠BAO +∠OAG ）＝90°，∵△EAF 是4倍角三角形，∠F 显然大于∠E ,∴∠E =14×90°或15×90°， ∵AE 平分∠BAO ，OE 平分∠BOQ ，∴∠E =12∠ABO ，∴∠ABO ＝2∠E ，∴∠ABO ＝45°或36°．20．在△ABC 中，若存在一个内角角度，是另外一个内角角度的n 倍（n 为大于1的正整数），则称△ABC 为n 倍角三角形．例如，在△ABC 中，∠A ＝80°，∠B ＝75°，∠C ＝25°，可知∠B ＝3∠C ，所以△ABC 为3倍角三角形．（1）在△ABC 中，∠A ＝55°，∠B ＝25°，则△ABC 为 4 倍角三角形；（2）若△DEF 是3倍角三角形，且其中一个内角的度数是另外一个内角的余角的度数的13，求△DEF 的最小内角；（3）若△MNP 是2倍角三角形，且∠M ＜∠N ＜∠P ＜90°，请直接写出△MNP 的最小内角的取值范围．试题分析：（1）由∠A ＝55°，∠B ＝25°，可求∠C 的度数，发现内角之间的倍数关系，得出答案，（2）△DEF 是3倍角三角形，必定有一个内角是另一个内角的3倍，然后根据这两个角之间的关系，分情况进行解答，（3）可设未知数表示2倍角三角形的各个内角，然后列不等式组确定最小内角的取值范围．答案详解：解：（1）∵∠A ＝55°，∠B ＝25°，∴∠C ＝180°﹣∠A ﹣∠B ＝100°，∴∠C ＝4∠B ，所以答案是：4（2）设最小的内角为x °，则3倍角为3x °①当最小的内角的度数是3倍内角的余角的度数的13时，即：x =13（90°﹣3x ），解得：x ＝15°②3倍内角的度数是最小内角的余角的度数的13时，即：3x =13（90°﹣x ），解得：x ＝9°，因此，△DEF 的最小内角是9°或15°．（3）设∠M 的度数为x ，则其它的两个角分别为2x ，（180°﹣3x ），由∠M ＜∠N ＜∠P ＜90°可得：2x ＜90°且180°﹣3x ＜90°且2x ≠180°﹣3x∴30°＜x ＜45°且x ≠36°．答：△MNP 的最小内角的取值范围是30°＜x ＜45°且x ≠36°．21．若△ABC 中刚好有∠B ＝2∠C ，则称此三角形为“可爱三角形”，并且∠A 称作“可爱角”．现有一个“可爱且等腰的三角形”，那么聪明的同学们知道这个三角形的“可爱角”应该是（）A ．45°或36°B ．72°或36°C ．45°或72°D ．45°或36°或72° 试题分析：分设三角形底角为α，顶角为2α或设三角形的底角为2α，顶角为α，根据三角形的内角和为180°，得出答案．答案详解：解：①设三角形底角为α，顶角为2α，则α+α+2α＝180°，解得：α＝45°，②设三角形的底角为2α，顶角为α，则2α+2α+α＝180°，解得：α＝36°，∴2α＝72°，∴三角形的“可爱角”应该是45°或72°，所以选：C．22．若三角形满足一个角α是另一个角β的3倍，则称这个三角形为“智慧三角形”，其中α称为“智慧角”．在有一个角为60°的“智慧三角形”中，“智慧角”是60或90度．试题分析：根据“智慧三角形”及“智慧角”的意义，列方程求解即可．答案详解：解：在有一个角为60°的三角形中，①当另两个角分别是100°、20°时，“智慧角”是60°；②α+β＝120°且α＝3β，∴α＝90°．，即“智慧角”是90°．所以答案是：60或90．。

专题11 三角形(解析版)

专题11 三角形知识点1：与三角形有关的线段1.三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。

2.三边关系：三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边。

3.高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高。

4.中线：在三角形中，连接一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线。

5.角平分线：三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线。

6.三角形的稳定性：三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫三角形的稳定性。

知识点2：与三角形有关的角1.三角形的内角和定理：三角形的内角和为180°2.有两个角互余的三角形是直角三角形。

3.推论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和。

4.三角形外角的性质：性质1：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。

性质2：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。

知识点3：多边形与内角和1.多边形：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形。

2.多边形的内角：多边形相邻两边组成的角叫做它的内角。

3.多边形的外角：多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角。

4.多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线。

5.正多边形：在平面内，各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形。

6.平面镶嵌：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，叫做用多边形覆盖平面。

7.多边形内角和公式：n边形的内角和等于（n-2）·180°8.多边形的外角和：多边形的内角和为360°。

9.多边形对角线的条数：（1）从n边形的一个顶点出发可以引（n-3）条对角线，把多边形分词（n-2）个三角形。

（2）n边形共有23)-n(n条对角线。

三角形是初中数学中几何部分的基础图形，定义、概念、定理、性质比较多，要想深刻理解和吃透知识点很难，所以要有方法和策略。

初三复习专题--全等三角形

•
OA＝OC，EA＝EC，
•
请阐明∠ A＝∠C。
AO C
DB
E
• 分析：欲证明∠A＝ ∠C，有三条思路，一是证明△AOD与△COB全等，而由已知条件不可直接得到，二是连结OE，阐明△AOE与 △COE全等，这条路显而易得， ∠A＝∠C，三是证明 △ABE与△CDE全等，这也是不能直接证明到的，因此应采用第二条思路。
全等三角形
• 一:考纲规定与命题趋势
• 1. 理解并掌握五种识别三角形全等的办法，会灵活的对的选择适宜的识别办法判断两个三角形与否全等。
• 2. 对的运用全等三角形的性质计算三角形中未知的边或角，逐步培养逻辑推理能力和形象思维能力。
• 3. 全等三角形的应用是学习几何证明题的基础，因此它自然是中考必考知识点，同窗们务必学好它。
• 阐明：在解决几何问题的过程中，有时根据条件不能较顺利的得到结论，这时添加必要的辅助线是十分重要的捷径。
• 例3.P是线段AB上一点，△APC与△BPD都是
等边三角形，请你判断：AD与BC相等吗？
试阐明理由。
D
C
AP
B
• 分析：观察图形发现它们所在的三角形全
等，故考虑通过全等来阐明。
• 解：由△APC和△BPD都是等边三角形可知 AP＝PC，BP＝DP，∠APC＝∠BPD＝60°，
变化，结论往往仍然成立，解决大同小异，
要善于抓住规律。
A
A
B
l
3
E
12
D
C
E
①
D
1
l
2
B
C
②
• 例9.如图，等边△ABC的边长为a，在BC的延长线上取点D，使CD＝b，在BA的延长线上取点E，使AE＝a+b，证明EC＝ED。

决战中考之三角形专项突破专题01 三角形的基本概念和性质(老师版)

专题01 三角形的基本概念和性质知识对接考点一、三角形的概念及其性质1．三角形的概念由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.2．三角形的分类(1)按边分类：(2)按角分类：3．三角形的内角和外角(1)三角形的内角和等于180°.(2)三角形的任意一个外角等于和它不相邻的两个内角之和；三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.4．三角形三边之间的关系三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边.5．三角形内角与对边对应关系在同一个三角形内，大边对大角，大角对大边；在同一三角形中，等边对等角，等角对等边.6．三角形具有稳定性.专项训练一、单选题1．（2021·福建九年级其他模拟）如图是由18根完全相同的火柴棒摆成的图形，如果拿掉其中的3根，剩下的图形中恰好有7个三角形，那么拿掉的3根火柴棒可能是（）A．GD，EI，MH B．GF，EF，MF C．DE，GH，MI D．AD，AG，GD 【答案】A【分析】根据各选项画出相应图形，再数三角形的个数即可得．【详解】A、拿掉GD，EI，MH后，剩下的图形如下：图形中恰好有7个三角形，此项符合题意；B、拿掉GF，EF，MF后，剩下的图形如下：图形中有4个三角形，此项不符题意；C、拿掉DE，GH，MI后，剩下的图形如下：图形中有6个三角形，此项不符题意； D 、拿掉AD ，AG ，GD 后，剩下的图形如下：图形中有9个三角形，此项不符题意；故选：A ．【点睛】本题考查了三角形的概念，正确画出剩下的图形是解题关键．2．（2021·黑龙江九年级三模）有长度分别为1,2,3cm cm cm 的小木棒若干，从中任取三根首尾顺次相接组成三角形，则能组成形状不同的三角形（） A ．4种 B ．5种C ．6种D ．7种【答案】B 【分析】根据三角形三边的关系任意两边之和大于第三边与任意两边之差小于第三边进行分类讨论即可．【详解】解：∵1+2=3，∵三边长只能组成等边三角形或者等腰三角形，∵长度分别为1,1,1cm cm cm ，2,2,2cm cm cm ，3,3,3m cm cm 组成等边三角形，边长不等，但形状相同，则为一种；∵当两边长相等时有：2,2,1cm cm cm ，3,3,1cm cm cm ，2,2,3cm cm cm ，3,3,2cm cm cm ，4种形状不同的三角形；因此共有5种，故选：B．【点睛】本题考查了三角形的三边关系，关键在于根据任意两边之和大于第三边与任意两边之差小于第三边进行分析．3．（2021·陕西西安·交大附中分校九年级其他模拟）锐角∵ABC中，∵B＝45°，BC则AC的长可以是（）A．1B C D【答案】D【分析】作CD∵AB于D，先利用等腰直角三角形的性质和三角函数求出BD=CD=1，然后利用勾股定理进行逐一判断四个选项是否满足题意即可.【详解】解：作CD∵AB于D，如图所示：∵∵B＝45°，∵∵BCD是等腰直角三角形，∵BD＝CD＝sin=1BC B，∵BCD＝45°，当AC＝1时，点D与A重合，∵ABC是直角三角形，选项A不符合题意；当AC1AD CD==，则∵ACD是等腰直角三角形，∵ACD＝45°，∵∵ACB＝90°，∵ABC是直角三角形，选项B不符合题意；当AC AC＜CD，∵∵ACD＞∵A，则∵ABC是钝角三角形，选项C不符合题意；当AC时，12AD CD ==<∵∵ACD＜∵A，则∵ABC是锐角三角形；选项D符合题意，故选D．【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，解直角三角形，勾股定理，三角形角与边的关系，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.4．（2021·连云港市新海实验中学九年级二模）如图，在Rt ABC 中，∵ACB =90°，BC =2，∵BAC =30°，将ABC 绕顶点C 逆时针旋转得到∵A 'B 'C '， M 是BC 的中点，P 是A 'B '的中点，连接PM ，则线段PM 的最大值是（）A ．4B ．2C ．3D．【答案】C 【分析】连接PC ，分别求出PC ，CM 的长，然后根据PM MC PC ≤+即可得到答案．【详解】解：如图所示，连接PC ， ∵∵ACB =90°，BC =2，∵BAC =30°， ∵AB =2BC =4，由旋转的性质可知：=90A CB ACB ''=∠∠，4A B AB ''==， ∵P 、M 分别是A B ''、BC 的中点， ∵122PC A B ''==，112CM BC ==，∵3PM MC PC ≤+=，∵PM 的最大值为3，且此时P 、C 、M 三点共线，故选C ．【点睛】本题主要考查了旋转的性质，直角三角形斜边的中线，三角形三边的关系，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．5．（2021·福建省同安第一中学）下列长度的三条线段能组成三角形的是（） A ．3，4，8 B ．5，6，11C ．4，4，8D ．8，8，8【答案】D 【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行分析．【详解】解：A 、3+4＜8，不能构成三角形； B 、5+6=11，不能构成三角形； C 、4+4=8，不能构成三角形； D 、8+8＞8，能构成三角形．故选：D ．【点睛】此题主要考查了三角形三边关系，根据第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和是解决问题的关键．6．（2021·福建九年级其他模拟）若某三角形的两边长分别为5和9，则该三角形第三边的长可能是（） A ．4 B ．5C ．14D ．15【答案】B 【分析】根据三角形的三边关系即可得．【详解】设该三角形第三边的长为a ，由三角形的三边关系得：9559a -<<+，即414a <<，观察四个选项可知，只有选项B 符合，故选：B ．【点睛】本题考查了三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三边关系是解题关键．本号资料皆来源于微信公众号：数学第六*感7．（2021·辽宁）如图，在3×3的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A ，B ，C 都在格点上，则S ∵ABC 的面积为（）A ．52B ．3C ．72D ．4【答案】C 【分析】利用割补法求∵ABC 面积等于大正方形面积-三个三角形面积即可．【详解】解：在网格中添加字母如图， S ∵AEB =1112122AE BE ⋅=⨯⨯=， S ∵AFC =1123322AF FC ⋅=⨯⨯=， S ∵BGC =11313222BG GC ⋅=⨯⨯=，S 正方形=9EF FC ⋅=，∵S ∵ABC = S 正方形- S ∵AEB - S ∵AFC - S ∵BGC =9-1-3-3722=．故选择C ．【点睛】本题考查网格三角形面积，掌握用割补法求网格三角形面积的方法是解题关键． 8．（2021·福建宁德市·）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（）A ．2，3，4B ．2，3，5C ．2，2，4D ．2，2，5【答案】A 【分析】根据三角形的三边关系进行分析判断．【详解】解：根据三角形任意两边的和大于第三边，得 A 中，3+2＞4，能够组成三角形；符合题意 B 中，2+3＝5，不能组成三角形；不符合题意 C 中，2+2＝4，不能组成三角形；不符合题意 D 中，2+2＜5，不能组成三角形．不符合题意故选：A ．【点睛】本题考查了能够组成三角形三边的条件：用两条较短的线段相加，如果大于最长的那条线段就能够组成三角形．9．（2021·陕西咸阳市·九年级一模）如图，CM 是ABC ∆的中线，BCM 的周长比ACM ∆的周长大3cm ，8cm BC =，则 AC 的长为（）A ．3cmB ．4cmC ．5cmD ．6cm【答案】C 【分析】根据三角形中线的特点进行解答即可．【详解】解：∵CM 为∵ABC 的AB 边上的中线， ∵AM =BM ，∵∵BCM 的周长比∵ACM 的周长大3cm ， ∵（BC +BM +CM ）-（AC +AM +CM ）=3cm ， ∵BC -AC =3cm ， ∵BC =8cm ， ∵AC =5cm ，故选：C ．【点睛】本题考查的是三角形的中线，熟知三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线是此题的关键．本号资*料皆来源于微信公众号：数学第六感10．（2021·福建省厦门第六中学九年级三模）如图，在ABC 中，BC 边上的高是（）A ．CDB ．AEC ．AFD ．AH【答案】C 【分析】根据从三角形顶点向对边作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高，即可得出结论．【详解】由图可知，过点A 作BC 的垂线段AF ，则ABC 中，BC 边上的高是AF ，故选：C ．【点睛】本题主要考查了三角形高的定义，熟练掌握定义是解题的关键．二、填空题11．（2021·内蒙古包头市·）在ABC 中，,A B ∠∠都是锐角，且满足2sin cos 0A B ⎫+=⎪⎪⎝⎭，则三角形的形状是__．【答案】钝角三角形【分析】根据题意非负数之和为零，只有一种情况，即零加零等于零；利用特殊角锐角三角函数值分别求出,A B ∠∠,再根据三角形内角和定理求得C ∠,判断三角形的形状即可．【详解】2sin 0cos 0A B ⎫≥≥⎪⎪⎝⎭∴sin0A=cos0B=45,30A B∴∠=︒∠=︒1804530105C∴∠=︒-︒-︒=︒∴ABC是钝角三角形．故答案为：钝角三角形．【点睛】本题考查了特殊角的锐角三角函数值，三角形的分类，绝对值的非负性，实数平方的非负性，熟练特殊角的锐角三角函数值是解题的关键．12．（2021·浙江九年级专题练习）现有下列长度的五根木棒：3，5，8，10，13，从中任取三根，可以组成三角形的概率为________．【答案】2 5【分析】求出任取三根木棒的所有情况，再求出能组成三角形的所有情况，利用概率公式直接计算即可.【详解】五根木棒，任意取三根共有10种情况：3、5、83、5、103、5、133、8、103、8、133、10、135、10、135、8、105、8、138、10、13其中能组成三角形的有：∵3、8、10，由于8-3<10<8+3,所以能构成三角形；∵5、10、13，由于10-5<13<10+5，所以能构成三角形；∵5、8、10，由于8-5<10<8+5，所以能构成三角形；∵8、10、13，由于10-8<13<10+8，所以能构成三角形；所以有4种方案符合要求，故能构成三角形的概率是P=410=25，故答案为：2 5 .【点睛】此题考查三角形的三边关系，列举法求事件的概率，列举法求概率的关键是在列举所有情况时考虑要全面，不能重复也不能遗漏.13．（2021·扬州市梅岭中学）判断命题“若ABC的边a、b、c满足22a b ac bc-=-，则ABC 是等腰三角形”的真假，答：_________．（选填“真命题”或“假命题”或“无法判断”）【答案】真命题【分析】根据22a b ac bc-=-变形即可求得,,a b c的关系，再进行判断即可【详解】22a b ac bc-=-()()()a b a b c a b∴+-=-a b c+≠a b∴-=a b∴=∴ABC是等腰三角形故答案为：真命题【点睛】本题考查了命题，因式分解，三角形三边关系，等腰三角形的定义，因式分解后根据三角形三边关系判断是解题的关键．14．（2021·内蒙古包头市·）如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E是BC的中点，点F 在CD上，且CF=3DF，AE，BF相交于点G ，则AGF的面积是________．【答案】5611．【分析】延长AG交DC延长线于M，过G作GH∵CD，交AB于N，先证明∵ABE∵∵MCE，由CF=3DF，可求DF =1，CF =3，再证∵ABG ∵∵MFG ，则利用相似比可计算出GN ，再利用两三角形面积差计算S ∵DEG 即可．【详解】解：延长AG 交DC 延长线于M ，过G 作GH ∵CD ，交AB 于N ，如图， ∵点E 为BC 中点， ∵BE =CE ，在∵ABE 和∵MCE 中， ABE MCE BE CEAEB MEC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∵∵ABE ∵∵MCE （ASA ）， ∵AB =MC =4，∵CF =3DF ，CF +DF =4，∵DF =1，CF =3，FM =FC +CM =3+4=7， ∵AB∥MF ，∵∵ABG =∵MFG ，∵AGB =∵MGF ， ∵∵ABG ∵∵MFG ， ∵47AB GN MF GH ==， ∵4GN GH +=， ∵1628,1111GN GH ==， S ∵AFG =S ∵AFB -S ∵AGB =1111165644422221111AB HN AB GN ⋅-⋅=⨯⨯-⨯⨯=，故答案为5611．【点睛】本题考查了正方形的性质，三角形全等判定与性质，三角形相似判定与性质，割补法求三角形面积，掌握正方形的性质，三角形全等判定与性质，三角形相似判定与性质，割补法求三角形面积，熟练运用相似比计算线段的长是解题关键．15．（2021·四川省宜宾市第二中学校九年级三模）如图，在Rt∵ABC中，AB＝AC，D、E 是斜边BC上两点，且∵DAE＝45°，将∵ADC绕点A顺时针旋转90°后，得到∵AFB，连接EF，下列结论：∵∵AED∵∵AEF；∵AE ADBE CD=；∵∵ABC的面积等于四边形AFBD的面积；∵BE2+DC2＝DE2；∵BE＝EF﹣DC；其中正确的选项是_____________（填序号）【答案】∵∵∵【分析】∵根据旋转的性质知∵CAD=∵BAF，AD=AF，因为∵BAC=90°，∵DAE=45°，所以∵CAD+∵BAE=45°，可得∵EAF=45°=∵DAE，由此即可证明∵AEF∵∵AED；∵当∵ABE∵∵ACD时，该比例式成立；∵根据旋转的性质，∵ADC∵∵ABF，进而得出∵ABC的面积等于四边形AFBD的面积；∵据∵知BF=CD，EF=DE，∵FBE=90°，根据勾股定理判断．∵根据∵知道∵AEF∵∵AED，得CD=BF，DE=EF；由此即可确定该说法是否正确．【详解】解：∵根据旋转的性质知∵CAD=∵BAF，AD=AF．本号资料皆来源于微@信公众号：数学第*六感∵∵BAC=90°，∵DAE=45°，∵∵CAD+∵BAE=45°，∵∵EAF=45°，∵∵AED∵∵AEF；故本选项正确；∵∵AB=AC，∵∵ABE=∵ACD；∵当∵BAE=∵CAD时，∵ABE∵∵ACD，∵AE AD BE CD=；当∵BAE≠∵CAD时，∵ABE与∵ACD不相似，即AE AD BE CD≠；∵此比例式不一定成立，故本选项错误； ∵根据旋转的性质知∵ADC ∵∵AFB ，∵S ∵ABC =S ∵ABD +S ∵ABF =S 四边形AFBD ，即三角形ABC 的面积等于四边形AFBD 的面积，故本选项正确；∵∵∵FBE =45°+45°=90°， ∵BE 2+BF 2=EF 2．∵∵ADC 绕点A 顺时针旋转90°后，得到∵AFB ， ∵∵AFB ∵∵ADC ， ∵BF =CD ．又∵EF =DE ，∵BE 2+DC 2=DE 2，故本选项正确；∵根据∵知道∵AEF ∵∵AED ，得CD =BF ，DE =EF ，∵BE +DC =BE +BF ＞DE =EF ，即BE +DC ＞FE ，故本选项错误．综上所述：正确的说法是∵∵∵．本@号资料皆来源于微信公众号：数学@第六#感故答案为：∵∵∵．【点睛】本题考查了图形的旋转变换以及全等三角形的判定等知识，三角形三边的关系，相似三角形的性质与判定，解题时注意旋转前后对应的相等关系．三、解答题16．（2021·浙江）如图，在84⨯的正方形网格中，按ABC 的形状要求，分别找出格点C ，且使5BC =，并且直接写出对应三角形的面积．【答案】见解析；10S =；252S =；12S =【分析】根据全等三角形的性质，勾股定理，角的分类去求解即可【详解】解：钝角三角形时，如图，∵BC∵BD，BC=5，∵∵ABC是钝角三角形，根据平行线间的距离处处相等，得BC边上高为BD=4,∵11=45=10 22S BC BD=⨯⨯⨯；直角三角形时，如图，取格点F使得BF=4，FC=3，根据勾股定理，得BC，∵AE=BF=4，EB=FC=3，∵AEB=∵BFC=90°，∵∵AEB∵∵BFC，∵∵EAB=∵FBC，∵∵EAB+∵EBA=90°，∵∵FBC+∵EBA=90°，∵∵ABC =90°，∵∵ABC是直角三角形，根据勾股定理，得AB，∵11=5522S BA BC=⨯⨯⨯252=；锐角三角形时，如图，取格点M使得BM=3，CM=4，根据勾股定理，得BC，根据直角三角形时的作图，知道∵ABN=90°，本号资料皆来源于微信公众号：#数学第六感∵∵ABC＜∵ABN，∵∵ABC＜90°∵AB=BC，∵∵ABC是等腰三角形，∵∵A=∵C＜90°，∵∵ABC是锐角三角形，∵1462S=⨯⨯=12；【点睛】本题考查了网格上的作图，等腰三角形的性质，勾股定理，三角形全等的性质和判定，平行线间的距离处处相等，根据题意，运用所学构造符合题意的格点线段是解题的关键．17．（2021·四川省宜宾市第二中学校九年级一模）如图，分别过点C、B作ABC的BC边上的中线AD及其延长线的垂线，垂足分别为E、F．（1）求证：BF CE=；（2）若ACE的面积为4，CED的面积为3，求∵ABF的面积．本号资料#皆#来源于微信公众号：数学第*六感【答案】（1）见解析；（2）10【分析】（1）根据垂直，中线的性质，证明∵CDE∵∵BDF即可；（2）根据三角形全等，确定∵BDF和∵CDE的面积相等，根据中线的性质，得∵ABD和∵ACD 的面积相等，计算即可．【详解】（1）证明：∵AD 是BC 边上的中线， ∵BD =CD ，∵CE ∵AF ，BF ∵AF ， ∵∵CED =∵F =90°， ∵∵CDE =∵BDF , ∵CED F CDE BDF DC BD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∵∵CDE ∵∵BDF , ∵CE =BF ；（2）解：∵AD 是BC 边上的中线， ∵BD =CD ，∴ΔΔABD ACD S S =，Δ4ACE S =，3CEDS=∴ΔΔACD ACE CEDS S S =+43=+7=∴7ABDS=由（1）已证：∵CDE ∵∵BDF ,∴ΔΔ3BDF CDE S S == ∴ΔΔΔABF ABD BDF S S S =+73=+10=．【点睛】本题考查了三角形中线的性质，三角形的全等的判定和性质，三角形的面积，熟练掌握三角形全等的判定方法，灵活运用三角形中线与三角形面积的关系是解题的关键．18．（2021·吉林九年级其他模拟）图∵、图∵、图∵均是33⨯的正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点称为格点，线段AB的端点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求以AB为边画ABC．要求：（1）在图∵中画一个钝角三角形，在图∵中画一个直角三角形，在图∵中画一个锐角三角形；（2）三个图中所画的三角形的面积均不相等；（3）点C在格点上．【答案】见详解（答案不唯一）【分析】因为点C在格点上，故可将直尺的一角与线段AB点A重合，直尺边长所在直线经过33正方形网格左上角第一个格点，继而以点A为旋转中心，逆时针旋转直尺，当直尺边长所在直线与正方形格点相交时，确定点C的可能位置，顺次连接A、B、C三点，按照题目要求排除不符合条件的C点，作图完毕后可根据三角形面积公式判断其面积是否相等．【详解】经计算可得下图中：图∵面积为12；图∵面积为1；图∵面积为32，面积不等符合题目要求（2），且符合题目要求（1）以及要求（3）．故本题答案如下：【点睛】本题考查三角形的分类及其作图，难度较低，按照题目要求作图即可．19．（2021·江苏九年级月考）如图，在Rt ∵ABC 中，∵C =90°，点D 是AB 的中点，AC ＜BC ． (1)试用无刻度的直尺和圆规．．．．．．．．．，在BC 上作一点E ，使得直线ED 平分ABC 的周长；(不要求写作法，但要保留作图痕迹)．(2)在(1)的条件下，若DE 分Rt ∵ABC 面积为1﹕2两部分，请探究AC 与BC 的数量关系．【答案】(1)作图见解析；(2)BC=3AC 【分析】（1）在BC 上用圆规截取BF=AC ，然后再作FC 的垂直平分线，其与BC 的交点即为E 点，最后连接DE 即可．（2）连接DC ，由点D 是AB 的中点，则S ∵ADC =S ∵BCD ;设S ∵ADC =S ∵BCD =x ，S ∵DEC =y ，则有（x+y ）：（x -y ）=2:1，解得x=3y ，即E 为BC 的三等分点，即可说明BC=3EC;有EC=EF=BF=AC,即BC=3AC ．【详解】解：（１）如图：DE 即为所求；（2）连接DC ∵点D 是AB 的中点 ∵S ∵ADC =S ∵BCD设S ∵ADC =S ∵BCD =x ，S ∵DEC =y ， ∵S ∵BDC :S 四边形CADE =1:2∵(S ∵BDC -S ∵DCE ):( S ∵ADC +S ∵DCE )=1:2, ∵2（x -y ）=x+y ，即x=3y∵点E 为BC 的三等分点, 即BC=3EC ∵EC=EF=BF=AC ∵BC=3AC ．【点睛】本题考查了尺规作图、三角形中线的性质、三角形n 等分点的性质等知识点，其中根据题意完成（1）是解答本题的关键．20．（2021·广东）若a,b,c 为∵ABC 的三边长（1）化简：-+2+-||a b c a b c b a c -+---（2）若a,b ()220b -=，且c 是整数，求c 的值. 【答案】（1）2a ；（2）1<c<5．【分析】（1）由a ，b ，c 为三角形ABC 的三边，利用三角形的两边之和大于第三边列出关系式，判断出绝对值里边式子的正负，利用绝对值的代数意义化简，去括号合并即可得到结果．（2）根据非负数的性质列式求出a 、b ，再根据三角形的任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求解即可．【详解】（1）∵a ，b ，c 为∵ABC 的三边， ∵a+b>c ，即−a−b+c<0，a+c>b ，即a−b+c>0，b−a−c<0，则|−a−b+c|+2|a−b+c|−|b−a−c|=a+b−c+2(a−b+c)+b−a−c=a+b−c+2a−2b+2c+b−a−c=2a ；（2）由题意得，a−3=0，b−2=0，解得a=3，b=2， ∵3−2=1，3+2=5， ∵1<c<5．【点睛】此题考查二次根式的性质，绝对值，三角形三边关系的应用，解题关键在于利用两边之和大于第三边.21．（2021·河南省淮滨县第一中学九年级一模）先阅读下面的内容，再解决问题，例题：若2222690m mn n n ++-+=，求m 和n 的值．解：∵2222690m mn n n ++-+=∵2222690m mn n n n +++-+=∵22()(3)0m n n ++-= ∵0,30,m n n +=-=∵3, 3.m n =-=问题（1）若∵ABC 的三边长a b c 、、都是正整数，且满足22661830a b a b c +--++-=，请问∵ABC 是什么形状?说明理由.（2）若224212120x y xy y +-++=，求y x 的值．（3）已知24,6130a b ab c c -=+-+=，则a b c ++= ．【答案】（1）∵ABC 是等边三角形，理由见解析；（2）14；（3）3 【分析】（1）先把a 2+b 2-6a -6b +18+|3-c |=0，配方得到（a -3）2+|3-c |=0，根据非负数的性质得到a =b =c =3，得出三角形的形状即可；（2）首先把x 2+4x 2-2xy +12y +12=0，配方得到（x -y ）2+3(y +2)2=0，再根据非负数的性质得到x =-2，代入求得值即可；（3）首先根据a -b =8，ab +c 2-16c +80=0，应用因式分解的方法，判断出（a -4）2+（c -8）2=0，求出A 、B 、C 的值各是多少；然后把a 、b 、c 的值求和，求出a +b +c 的值是多少即可.【详解】解：（1）∵ABC 是等边三角形，理由如下：由题意得()()223330a b c -+-+-=∵3a b c ===∵∵ABC 是等边三角形．（2）由题意得()()22320x y y -++=∵2x y ==-． ∵14y x =．（3）∵24,6130a b ab c c -=+-+=，即a =b +4，（b +4)b +c 2 –6c +13=0，∵（b 2+4b +4 ）+（c 2 –6c +9）=0，∵b +2=0，c –3=0，∵b = –2，c =3，a =2，∵a +b +c =3．【点睛】此题主要考查了因式分解的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：用因式分解的方法将式子变形时，变形的可以是整个代数式，也可以是其中的一部分.此题还考查了三角形的三条边之间的关系，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：任意两边之和大于弟三边；任意两边之差小于第三边.22．（2021·江西九年级其他模拟）如图，在正方形网格中，ABC的顶点均在格点上，请仅用无刻度直尺完成以下作图．（保留作图痕迹）（1）在图1中，作ABC的高AM；（2）在图2中，作ABC的高AN．（提示：三角形的三条高所在的直线交于一点）【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）格点ABC中AB=AC且垂直，以AB、AC为边作正方形，连接对角线AM即可得到BC的高AM；（2）在正方形网格中，m×n格的对角线与n×m格的对角线互相垂直，AB是1×4格的对角线，那么4×1格的对角线与之垂直，又需过点C，所以如图所示的CF∵AB交AB与点H，同理AC是4×3格的对角线，那么3×4格的对角线与之垂直，又需过点B，所以如图所示的BE∵AC交AC与点D，又三角形的三条高所在的直线交于一点，所以连接AG并延长交BC 与点N，即AN为所求．【详解】（1）如图1，∵格点ABC中AB=AC且垂直，∵以AB、AC为边作正方形，连接对角线AM即AM∵BC（2）如图2，∵AB是1×4格的对角线∵过点C 且是4×1格的对角线即为如图所示的CF ，∵CF ∵AB同理AC 是4×3格的对角线，∵过点B 且是3×4格的对角线即为如图所示的BE∵BE ∵AC∵三角形的三条高所在的直线交于一点∵连接AG 并延长交BC 与点N ，即AN 为所求．【点睛】本题主要考查了求作格点三角形的高线问题，主要方法有：构造特殊形状，如：正方形，菱形，利用对角线垂直的性质作高；正方形网格中，m ×n 格的对角线与n ×m 格的对角线互相垂直；三角形的三条高所在的直线交于一点，掌握以上的作图方法是解题的关键． 23．（2021·福建省福州咨询有限公司九年级其他模拟）如图，在ABC 中，按以下步骤作图：∵以点B 为圆心，任意长为半径作弧，分别交边AB ，BC 于点D ，E ；∵分别以点D ，E 为圆心，大于12DE 的相同长度为半径作弧，两弧交于点F ； ∵作射线BF 交AC 于点G ．（1）根据上述步骤补全作图过程（要求：规作图，不写作法，保留作图痕迹）；（2）如果8AB =，12BC =，那么ABG 的面积与CBG 的面积的比值是________．【答案】（1）见解析；（2）23【分析】（1）根据尺规作图要求,按给定的步骤与作法画图即可；（2）根据角分线性质，两三角形的AB 与BC 边上的高相等，可得面积比为底的比即可．【详解】解：（1）根据步骤（1）得弧线交AB ，BC 于点D ，E ，根据步骤（2）得两弧交点F ，根据步骤（3）得射线BG ，根据作图的步骤与图形结合得BG 平分∵ABC ；如图所示，即为所求．（2）过点G 作GH ∵BC 于H ，GM ∵射线AB 于M ，∵BG 平分∵ABC ，∵GM =GH ，S ∵ABG =118422AB GM GM GM ⋅=⨯⨯=， S ∵BCG =1112622BC GH GH GH ⋅=⨯⨯=， S ∵ABG : S ∵BCG =4:64:62:3GM GH GH GH ==，故答案为：23．【点睛】本题考查尺规作图，角平分线性质，三角形面积，掌握尺规作图步骤与要求，角平分线性质，三角形面积，利用角平分线性质得出两三角。

专题21 直角三角形篇(解析版)

专题21 直角三角形考点一：直角三角形1. 直角三角形的概念：有一个角是90°的三角形叫做直角三角形。

2. 直角三角形的性质：①直角三角形的两锐角互余。

②直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

③含30°的直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。

④直角三角形的两直角边的成绩等于斜边乘以斜边上的高线。

⑤直角三角形的勾股定理。

1．（2022•贺州）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝56°，则∠A的度数为（）A．34°B．44°C．124°D．134°【分析】根据直角三角形的两锐角互余计算即可．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，则∠B+∠A＝90°，∵∠B＝56°，∴∠A＝90°﹣56°＝34°，故选：A．2．（2022•岳阳）如图，已知l∥AB，CD⊥l于点D，若∠C＝40°，则∠1的度数是（）A ．30°B ．40°C ．50°D ．60°【分析】根据直角三角形的性质求出∠CED ，再根据平行线的性质解答即可．【解答】解：在Rt △CDE 中，∠CDE ＝90°，∠DCE ＝40°，则∠CED ＝90°﹣40°＝50°，∵l ∥AB ，∴∠1＝∠CED ＝50°，故选：C ．3．（2022•绍兴）如图，把一块三角板ABC 的直角顶点B 放在直线EF 上，∠C ＝30°，AC ∥EF ，则∠1＝（）A ．30°B ．45°C ．60°D ．75°CBF 的度数，再根据∠ABC ＝90°，可以得到∠1的度数．【解答】解：∵AC ∥EF ，∠C ＝30°，∴∠C ＝∠CBF ＝30°，∵∠ABC ＝90°，∴∠1＝180°﹣∠ABC ﹣∠CBF ＝180°﹣90°﹣30°＝60°，故选：C ．4．（2022•大连）如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°．分别以点A 和点C 为圆心，大于21AC 的长为半径作弧，两弧相交于M ，N 两点，作直线MN ．直线MN 与AB 相交于点D ，连接CD ，若AB ＝3，则CD 的长是（）A．6B．3C．1.5D．1【分析】根据题意可知：MN是线段AC的垂直平分线，然后根据三角形相似可以得到点D为AB的中点，再根据直角三角形斜边上的中线和斜边的关系，即可得到CD的长．【解答】解：由已知可得，MN是线段AC的垂直平分线，设AC与MN的交点为E，∵∠ACB＝90°，MN垂直平分AC，∴∠AED＝∠ACB＝90°，AE＝CE，∴ED∥CB，∴△AED∽△ACB，∴，∴，∴AD＝AB，∴点D为AB的中点，∵AB＝3，∠ACB＝90°，∴CD＝AB＝1.5，故选：C．5．（2022•永州）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝60°，点D为边AC的中点，BD＝2，则BC 的长为（）A．3B．23C．2D．4【分析】根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半和30°角所对的直角边等于斜边的一半即可得到结论．【解答】解：在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D为边AC的中点，BD＝2，∴AC＝2BD＝4，∵∠C＝60°，∴∠A＝30°，∴BC＝AC＝2，故选：C．6．（2022•青海）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，延长CB至点E，使BE＝BC，连接DE，F为DE中点，连接BF．若AC＝16，BC＝12，则BF的长为（）A．5B．4C．6D．8【分析】利用勾股定理求得AB＝20；然后由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得CD的长度；结合题意知线段BF是△CDE的中位线，则BF＝CD．【解答】解：在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，AC＝16，BC＝12，∴AB＝＝20．∵CD为中线，∴CD＝AB＝10．∵F为DE中点，BE＝BC，即点B是EC的中点，∴BF是△CDE的中位线，则BF＝CD＝5．故选：A．7．（2022•镇江）如图，在△ABC和△ABD中，∠ACB＝∠ADB＝90°，E、F、G分别为AB、AC、BC的中点，若DE＝1，则FG＝．【分析】根据直角三角形的性质得出AB的长，进而利用三角形中位线定理解答即可．【解答】解：∵∠ADB＝90°，E是AB的中点，∴AB＝2DE＝2，∵F、G分别为AC、BC的中点，∴FG是△ACB的中位线，∴FG＝AB＝1，故答案为：1．8．（2022•西宁）如图，△ABC中，AB＝6，BC＝8，点D，E分别是AB，AC的中点，点F在DE上，且∠AFB＝90°，则EF＝．【分析】利用三角形中位线定理得到DE＝BC．由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到DF＝AB．所以由图中线段间的和差关系来求线段EF的长度即可．【解答】解：∵点D，E分别是AB，AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE＝BC＝4．∵∠AFB＝90°，D是AB的中点，∴DF＝AB＝3，∴EF＝DE﹣DF＝4﹣3＝1．故答案为：1．9．（2022•梧州）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E分别是AB，AC边上的中点，连接CD，DE．如果AB＝5m，BC＝3m，那么CD+DE的长是 m．【分析】根据三角形中位线定理可得DE的长，根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可得CD 的长，进一步即可求出CD+DE的长．【解答】解：∵点D，E分别是AB，AC边上的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE＝BC，∵BC＝3m，∴DE＝1.5m，∵∠ACB＝90°，∴CD＝AB，∵AB＝5m，∴CD＝2.5m，∴CD+DE＝2.5+1.5＝4（m），故答案为：4．10．（2022•台州）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D，E，F分别为AB，BC，CA的中点．若EF的长为10，则CD的长为．【分析】根据三角形中位线定理求出AB，根据直角三角形斜边上的中线的性质即可求出CD．【解答】解：∵E，F分别为BC，CA的中点，∴EF是△ABC的中位线，∴EF＝AB，∴AB＝2EF＝20，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，D 为AB 中点，AB ＝20，∴CD ＝AB ＝10，故答案为：10．考点二：勾股定理1. 勾股定理的内容：在直角三角形中，两直角边的平方的和等于斜边的平方。

专题06 全等三角形的性质与判定篇(解析版)

专题06 全等三角形的判定与性质1. 三角形的三边关系：三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。

三角形的三边一旦确定，这三角形就固定了，这是三角形具有稳定性。

2. 三角形的内角和定理：三角形的三个内角之和等于180°。

3. 三角形的外角定理：三角形的一个外角等于它不相邻的两个内角之和。

大于它不相邻的任意一个内角。

4. 全等三角形的性质：若两个三角形全等，则他们的对应边相等；对应角相等；对应边上的中线相等，高线相等，角平分线也相等；且这两个三角形的周长和面积均相等。

5. 全等三角形的判定：①边边边（SSS）：三条边分别对应性相等的两个三角形全等。

②边角边（SAS）：两边及其这两边的夹角对应相等的两个三角形全等。

③角边角（ASA）：两角及其这两角的夹边对应相等的两个三角形全等。

④角角边（AAS）：两角及其其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。

⑤直角三角形判定（HL）：直角三角形中斜边与其中任意一直角边分别对应相等的两个直角三角形全等。

全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件。

在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形。

1．已知：如图，∠1＝∠2，∠3＝∠4．求证：AB＝AD．【分析】根据邻补角的定义得出∠ACB＝∠ACD，利用ASA证明△ACB≌△ACD，根据全等三角形的性质即可得解．【解答】证明：∵∠3＝∠4，∴∠ACB＝∠ACD，在△ACB和△ACD中，，∴△ACB≌△ACD（ASA），∴AB＝AD．2．如图，△ABC是等腰三角形，点D，E分别在腰AC，AB上，且BE＝CD，连接BD，CE．求证：BD＝CE．【分析】根据等腰三角形的性质得出∠EBC＝∠DCB，进而利用SAS证明△EBC与△DCB全等，再利用全等三角形的性质解答即可．【解答】证明：∵△ABC是等腰三角形，∴∠EBC＝∠DCB，在△EBC与△DCB中，，∴△EBC≌△DCB（SAS），∴BD＝CE．3．如图1是小军制作的燕子风筝，燕子风筝的骨架图如图2所示，AB＝AE，AC＝AD，∠BAD＝∠EAC，∠C＝50°，求∠D的大小．【分析】由∠BAD＝∠EAC可得∠BAC＝∠EAD，根据SAS可证△BAC≌△EAD，再根据全等三角形的性质即可求解．【解答】解：∵∠BAD＝∠EAC，∴∠BAD+∠CAD＝∠EAC+∠CAD，即∠BAC＝∠EAD，在△BAC与△EAD中，，∴△BAC≌△EAD（SAS），∴∠D＝∠C＝50°．4．如图，AC平分∠BAD，CB⊥AB，CD⊥AD，垂足分别为B，D．（1）求证：△ABC≌△ADC；（2）若AB＝4，CD＝3，求四边形ABCD的面积．【分析】（1）由AC平分∠BAD，得∠BAC＝∠DAC，根据CB⊥AB，CD⊥AD，得∠B＝90°＝∠D，用AAS可得△ABC≌△ADC；（2）由（1）△ABC ≌△ADC ，得BC ＝CD ＝3，S △ABC ＝S △ADC ，求出S △ABC ＝AB •BC ＝6，即可得四边形ABCD 的面积是12．【解答】（1）证明：∵AC 平分∠BAD ，∴∠BAC ＝∠DAC ，∵CB ⊥AB ，CD ⊥AD ，∴∠B ＝90°＝∠D ，在△ABC 和△ADC 中，，∴△ABC ≌△ADC （AAS ）；（2）解：由（1）知：△ABC ≌△ADC ，∴BC ＝CD ＝3，S △ABC ＝S △ADC ，∴S △ABC ＝AB •BC ＝×4×3＝6，∴S △ADC ＝6，∴S 四边形ABCD ＝S △ABC +S △ADC ＝12，答：四边形ABCD 的面积是12．5．如图，在△ABC 中，点D 在边BC 上，CD ＝AB ，DE ∥AB ，∠DCE ＝∠A ．求证：DE ＝BC ．【分析】利用平行线的性质得∠EDC ＝∠B ，再利用ASA 证明△CDE ≌△ABC ，可得结论．【解答】证明：∵DE ∥AB ，∴∠EDC ＝∠B ，在△CDE 和△ABC 中，，∴△CDE ≌△ABC （ASA ），∴DE ＝BC ．6．如图，在等边三角形ABC中，点M为AB边上任意一点，延长BC至点N，使CN＝AM，连接MN交AC 于点P，MH⊥AC于点H．（1）求证：MP＝NP；（2）若AB＝a，求线段PH的长（结果用含a的代数式表示）．【分析】（1）过点M作MQ∥BC，交AC于点Q，根据等边三角形的性质以及平行线的性质可得∠AMQ ＝∠AQM＝∠A＝60°，可得△AMQ是等边三角形，易证△QMP≌△CNP（AAS），即可得证；（2）根据等边三角形的性质可知AH＝HQ，根据全等三角形的性质可知QP＝PC，即可表示出HP的长．【解答】（1）证明：过点M作MQ∥BC，交AC于点Q，如图所示：在等边△ABC中，∠A＝∠B＝∠ACB＝60°，∵MQ∥BC，∴∠AMQ＝∠B＝60°，∠AQM＝∠ACB＝60°，∠QMP＝∠N，∴△AMQ是等边三角形，∴AM＝QM，∵AM＝CN，∴QM＝CN，在△QMP和△CNP中，，∴△QMP≌△CNP（AAS），∴MP＝NP；（2）解：∵△AMQ是等边三角形，且MH⊥AC，∴AH＝HQ，∵△QMP≌△CNP，∴QP＝CP，∴PH＝HQ+QP＝AC，∵AB＝a，AB＝AC，∴PH＝a．7．如图，点A，D，C，F在同一条直线上，AB＝DE，BC＝EF．有下列三个条件：①AC＝DF，②∠ABC ＝∠DEF，③∠ACB＝∠DFE．（1）请在上述三个条件中选取一个条件，使得△ABC≌△DEF．你选取的条件为（填写序号）（只需选一个条件，多选不得分），你判定△ABC≌△DEF的依据是（填“SSS”或“SAS”或“ASA”或“AAS”）；（2）利用（1）的结论△ABC DEF．求证：AB∥DE．【分析】（1）根据SSS即可证明△ABC≌△DEF，即可解决问题；（2）根据全等三角形的性质可得∠A＝∠EDF，再根据平行线的判定即可解决问题．【解答】（1）解：在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SSS），∴在上述三个条件中选取一个条件，使得△ABC≌△DEF，选取的条件为①，判定△ABC≌△DEF的依据是SSS．故答案为：①，SSS；（答案不唯一）．（2）证明：∵△ABC≌△DEF．∴∠A＝∠EDF，∴AB∥DE．8．在△ABC中，∠ACB＝90°，D为△ABC内一点，连接BD，DC，延长DC到点E，使得CE＝DC．（1）如图1，延长BC到点F，使得CF＝BC，连接AF，EF．若AF⊥EF，求证：BD⊥AF；（2）连接AE，交BD的延长线于点H，连接CH，依题意补全图2．若AB2＝AE2+BD2，用等式表示线段CD与CH的数量关系，并证明．【分析】（1）证明△BCD≌△FCE（SAS），由全等三角形的性质得出∠DBC＝∠EFC，证出BD∥EF，则可得出结论；（2）由题意画出图形，延长BC到F，使CF＝BC，连接AF，EF，由（1）可知BD∥EF，BD＝EF，证出∠AEF＝90°，得出∠DHE＝90°，由直角三角形的性质可得出结论．【解答】（1）证明：在△BCD和△FCE中，，∴△BCD≌△FCE（SAS），∴∠DBC＝∠EFC，∴BD∥EF，∵AF⊥EF，∴BD⊥AF；（2）解：由题意补全图形如下：CD＝CH．证明：延长BC到F，使CF＝BC，连接AF，EF，∵AC⊥BF，BC＝CF，∴AB＝AF，由（1）可知BD∥EF，BD＝EF，∵AB2＝AE2+BD2，∴AF2＝AE2+EF2，∴∠AEF＝90°，∴AE⊥EF，∴BD⊥AE，∴∠DHE＝90°，又∵CD＝CE，∴CH＝CD＝CE．9．如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°，且点D在线段BC上，连CE．（1）求证：△ABD≌△ACE；（2）若∠EAC＝60°，求∠CED的度数．【分析】（1）可利用SAS证明结论；（2）由全等三角形的性质可得∠ACE＝∠ABD，利用等腰直角三角形的性质可求得∠ACE＝∠ABD＝∠AED＝45°，再根据三角形的内角和定理可求解∠AEC的度数，进而可求可求解【解答】（1）证明：∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAC﹣∠CAD＝∠DAE﹣∠CAD，即∠BAD＝∠CAE，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS）；（2）解：∵△ABD≌△ACE，∴∠ACE＝∠ABD，∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∴∠ACE＝∠ABD＝∠AED＝45°，∵∠EAC＝60°，∴∠AEC＝180°﹣∠ACE﹣∠EAC＝180°﹣45°﹣60°＝75°，∴∠CED＝∠AEC﹣∠AED＝75°﹣45°＝30°．10．如图，在△ABC中（AB＜BC），过点C作CD∥AB，在CD上截取CD＝CB，CB上截取CE＝AB，连接DE、DB．（1）求证：△ABC≌△ECD；（2）若∠A＝90°，AB＝3，BD＝2，求△BCD的面积．【分析】（1）由CD∥AB得∠ABC＝∠ECD，而CD＝CB，CE＝AB，即可根据全等三角形的判定定理“SAS”证明△ABC≌△ECD；（2））由∠A＝90°，根据全等三角形的对应角相等证明∠BED＝∠CED＝∠A＝90°，设BE＝x，由BD2﹣BE2＝CD2﹣EC2＝DE2，列方程（2）2﹣x2＝（3+x）2﹣32，解方程求得符合题意的x的值为2，则BC＝5，再根据勾股定理求出DE的长，即可求出△BCD的面积．【解答】（1）证明：∵CD∥AB，CD＝CB，CE＝AB，∴∠ABC＝∠ECD，在△ABC和△ECD中，，∴△ABC≌△ECD（SAS）．（2）解：∵∠A＝90°，∴∠CED＝∠A＝90°，∴∠BED＝180°﹣∠CED＝90°，设BE＝x，∵EC＝AB＝3，BD＝2，∴CD＝BC＝3+x，∵BD2﹣BE2＝CD2﹣EC2＝DE2，∴（2）2﹣x2＝（3+x）2﹣32，整理得x2+3x﹣10＝0，解得x1＝2，x2＝﹣5（不符合题意，舍去），∴BE＝2，BC＝3+2＝5，∴DE＝＝＝4，＝BC•DE＝×5×4＝10，∴S△BCD∴△BCD的面积为10．11．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，D是BC边上的一点，以AD为直角边作等腰Rt△ADE，其中∠DAE＝90°，连接CE．（1）求证：△ABD≌△ACE；（2）若∠BAD＝22.5°时，求BD的长．【分析】（1）由“SAS”可证△ABD≌△ACE；（2）由等腰三角形三角形的性质可得BC的长，由角度关系可求∠ADC＝67.5°＝∠CAD，可得AC＝CD ＝1，即可求解．【解答】（1）证明：∵∠BAC＝90°＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS）；（2）解：∵∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，∴BC＝，∠B＝∠ACB＝45°，∵∠BAD＝22.5°，∴∠ADC＝67.5°＝∠CAD，∴AC＝CD＝1，∴BD＝﹣1．12．如图，已知矩形ABCD中，AB＝8，BC＝x（0＜x＜8），将△ACB沿AC对折到△ACE的位置，AE和CD交于点F．（1）求证：△CEF≌△ADF；（2）求tan∠DAF的值（用含x的式子表示）．【分析】（1）根据矩形的性质得到∠B＝∠D＝90°，BC＝AD，根据折叠的性质得到BC＝CE，∠E＝∠B＝90°，等量代换得到∠E＝∠D＝90°，AD＝CE，根据AAS证明三角形全等即可；（2）设DF＝a，则CF＝8﹣a，根据矩形的性质和折叠的性质证明AF＝CF＝8﹣a，在Rt△ADF中，根据勾股定理表示出DF的长，根据正切的定义即可得出答案．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠D＝90°，BC＝AD，根据折叠的性质得：BC＝CE，∠E＝∠B＝90°，∴∠E＝∠D＝90°，AD＝CE，在△CEF与△ADF中，，∴△CEF≌△ADF（AAS）；（2）解：设DF＝a，则CF＝8﹣a，∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，AD＝BC＝x，∴∠DCA＝∠BAC，根据折叠的性质得：∠EAC＝∠BAC，∴∠DCA＝∠EAC，∴AF＝CF＝8﹣a，在Rt△ADF中，∵AD2+DF2＝AF2，∴x2+a2＝（8﹣a）2，∴a＝，∴tan∠DAF＝＝．13．如图，△ABC和△DEF，点E，F在直线BC上，AB＝DF，∠A＝∠D，∠B＝∠F．如图①，易证：BC+BE ＝BF．请解答下列问题：（1）如图②，如图③，请猜想BC，BE，BF之间的数量关系，并直接写出猜想结论；（2）请选择（1）中任意一种结论进行证明；（3）若AB＝6，CE＝2，∠F＝60°，S＝123，则BC＝，BF＝．△ABC【分析】（1）根据图形分别得出答案；（2）利用AAS证明△ABC≌△DFE，得BC＝EF，再根据图形可得结论；（3）首先利用含30°角的直角三角形的性质求出BH和AH的长，从而得出BC，再对点E的位置进行分类即可．【解答】解：（1）图②：BC+BE＝BF，图③：BE﹣BC＝BF；（2）图②：∵AB＝DF，∠A＝∠D，∠B＝∠F，∴△ABC≌△DFE（ASA），∴BC＝EF，∵BE＝BC+CE，∴BC+BE＝EF+BC+CE＝BF；图③：∵AB＝DF，∠A＝∠D，∠B＝∠F，∴△ABC≌△DFE（ASA），∴BC＝EF，∵BE＝BF+EF，∴BE﹣BC＝BF+EF﹣BC＝BF+BC﹣BC＝BF；（3）当点E在BC上时，如图，作AH⊥BC于H，∵∠B＝∠F＝60°，∴∠BAH＝30°，∴BH＝3，∴AH＝3，∵S＝12，△ABC∴＝12，∴BC＝8，∵CE＝2，∴BF＝BE+EF＝8﹣2+8＝14；同理，当点E在BC延长线上时，如图②，BF＝BC+BE＝8+10＝18，故答案为：8，14或18．14．△ABC和△ADE都是等边三角形．（1）将△ADE绕点A旋转到图①的位置时，连接BD，CE并延长相交于点P（点P与点A重合），有PA+PB＝PC（或PA+PC＝PB）成立（不需证明）；（2）将△ADE绕点A旋转到图②的位置时，连接BD，CE相交于点P，连接PA，猜想线段PA、PB、PC之间有怎样的数量关系？并加以证明；（3）将△ADE绕点A旋转到图③的位置时，连接BD，CE相交于点P，连接PA，猜想线段PA、PB、PC之间有怎样的数量关系？直接写出结论，不需要证明．【分析】（2）证明△ABD≌△ACE（SAS）和△BAF≌△CAP（SAS），得AF＝AP，∠BAF＝∠CAP，再证明△AFP是等边三角形，最后由线段的和可得结论；（3）如图③，在PC上截取CM＝PB，连接AM，同理可得结论．【解答】解：（2）PB＝PA+PC，理由如下：如图②，在BP上截取BF＝PC，连接AF，∵△ABC、△ADE都是等边三角形，∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°，∴∠BAC+∠CAD＝∠CAD+∠DAE，即∠DAB＝∠EAC，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ABD＝∠ACE，∵AB＝AC，BF＝CP，∴△BAF≌△CAP（SAS），∴AF＝AP，∠BAF＝∠CAP，∴∠BAC＝∠PAF＝60°，∴△AFP是等边三角形，∴PF＝PA，∴PB＝BF+PF＝PC+PA；（3）PC＝PA+PB，理由如下：如图③，在PC上截取CM＝PB，连接AM，同理得：△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ABD＝∠ACE，∵AB＝AC，PB＝CM，∴△AMC≌△APB（SAS），∴AM＝AP，∠BAP＝∠CAM，∴∠BAC＝∠PAM＝60°，∴△AMP是等边三角形，∴PM＝PA，∴PC＝PM+CM＝PA+PB．15．【情境再现】甲、乙两个含45°角的直角三角尺如图①放置，甲的直角顶点放在乙斜边上的高的垂足O处．将甲绕点O顺时针旋转一个锐角到图②位置．小莹用作图软件Geogebra按图②作出示意图，并连接AG，BH，如图③所示，AB交HO于E，AC交OG于F，通过证明△OBE≌△OAF，可得OE＝OF．请你证明：AG＝BH．【迁移应用】延长GA分别交HO，HB所在直线于点P，D，如图④，猜想并证明DG与BH的位置关系．【拓展延伸】小亮将图②中的甲、乙换成含30°角的直角三角尺如图⑤，按图⑤作出示意图，并连接HB，AG，如图⑥所示，其他条件不变，请你猜想并证明AG与BH的数量关系．【分析】【情境再现】由△OBE≌△OAF，得BE＝AF，OE＝OF，∠BEO＝∠AFO，可证明△BHE≌△AGF （SAS），得BH＝AG；【迁移应用】由△BHE≌△AGF，得∠BHE＝∠AGF，可得∠AGF+∠GPO＝90°，从而∠BHE+∠HPD＝90°，∠HDP＝90°，故DG⊥BH；【拓展延伸】设AB交OH于T，交AC于K，根据△ABC，△HOG是含30°角的直角三角形，AO⊥BC，可得OB＝AO，∠OBA＝∠OAC＝30°，∠BOT＝90°﹣∠AOT＝∠AOK，即得△BOT∽△AOK，有＝＝＝，∠BTO＝∠AKO，又OH＝GO，可得＝＝，故△BTH∽△AKG，即得＝＝，BH＝AG．【解答】【情境再现】证明：由阅读材料知△OBE≌△OAF，∴BE＝AF，OE＝OF，∠BEO＝∠AFO，∴∠BEH＝∠AFG，∵OH＝OG，∴OH﹣OE＝OG﹣OF，即EH＝GF，在△BHE和△AGF中，，∴△BHE≌△AGF（SAS），∴BH＝AG；【迁移应用】解：猜想：DG⊥BH；证明如下：由【情境再现】知：△BHE≌△AGF，∴∠BHE＝∠AGF，∵∠HOG＝90°，∴∠AGF+∠GPO＝90°，∴∠BHE+∠GPO＝90°，∵∠GPO＝∠HPD，∴∠BHE+∠HPD＝90°，∴∠HDP＝90°，∴DG⊥BH；【拓展延伸】解：猜想：BH＝AG，证明如下：设AB交OH于T，OG交AC于，如图：由已知得：△ABC，△HOG是含30°角的直角三角形，AO⊥BC，∴∠AOB＝90°，∴OB＝AO，∠OBA＝∠OAC＝30°，∠BOT＝90°﹣∠AOT＝∠AOK，∴△BOT∽△AOK，∴＝＝＝，∠BTO＝∠AKO，∴OT＝OK，BT＝AK，∠BTH＝∠AKG，∵OH＝GO，∴HT＝OH﹣OT＝GO﹣OK＝（GO﹣OK）＝KG，∴＝＝，∴△BTH∽△AKG，∴＝＝，∴BH＝AG．。

中考数学专题-三角形及全等三角形-(解析版)

三角形及全等三角形姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________一、单选题1．（2021·湖南岳阳市·中考真题）下列命题是真命题的是（）A ．五边形的内角和是720︒B ．三角形的任意两边之和大于第三边C ．内错角相等D ．三角形的重心是这个三角形的三条角平分线的交点【答案】B【分析】根据相关概念逐项分析即可．【详解】A 、五边形的内角和是540︒，故原命题为假命题，不符合题意；B 、三角形的任意两边之和大于第三边，原命题是真命题，符合题意；C 、两直线平行，内错角相等，故原命题为假命题，不符合题意；D 、三角形的重心是这个三角形的三条中线的交点，故原命题为假命题，不符合题意；故选：B ．【点睛】本题考查命题判断，涉及多边形的内角和，三角形的三边关系，平行线的性质，以及三角形的重心等，熟记基本性质和定理是解题关键．2．（2021·山东临沂市·中考真题）如图，在//AB CD 中，40AEC ∠=︒，CB 平分DCE ∠，则ABC ∠的度数为（）A ．10︒B ．20︒C ．30D ．40︒【答案】B【分析】根据平行线的性质得到∠ABC =∠BCD ，再根据角平分线的定义得到∠ABC =∠BCD ，再利用三角形外角的性质计算即可．【详解】解：∠AB ∠CD ，∠∠ABC =∠BCD ，∠CB 平分∠DCE ，∠∠BCE =∠BCD ，∠∠BCE =∠ABC ，∠∠AEC =∠BCE +∠ABC =40°，∠∠ABC =20°，故选B ．【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义和外角的性质，掌握平行线的性质：两直线平行，内错角相等是解题的关键．3．（2021·陕西中考真题）如图，点D 、E 分别在线段BC 、AC 上，连接AD 、BE ．若35A ∠=︒，25B ∠=︒，50C ∠=︒，则1∠的大小为（）A ．60°B ．70°C ．75°D ．85°【答案】B【分析】由题意易得105BEC ∠=︒，然后根据三角形外角的性质可进行求解．【详解】解：∠25B ∠=︒，50C ∠=︒，∠在Rt ∠BEC 中，由三角形内角和可得105BEC ∠=︒，∠35A ∠=︒，∠170BEC A ∠=∠-∠=︒；故选B ．【点睛】本题主要考查三角形内角和及外角的性质，熟练掌握三角形内角和及外角的性质是解题的关键． 4．（2021·四川乐山市·中考真题）如图，已知直线1l 、2l 、3l 两两相交，且13l l ⊥．若50α=︒，则β的度数为（）A ．120︒B ．130︒C ．140︒D ．150︒【答案】C【分析】由垂直的定义可得∠2=90°；根据对顶角相等可得510α∠=∠=︒，再根据三角形外角的性质即可求得140β∠=︒．【详解】∠13l l ⊥，∠∠2=90°；∠510α∠=∠=︒，∠125090140β∠=∠+∠=︒+︒=︒．故选C ．【点睛】本题考查了垂直的定义、对顶角的性质、三角形外角的性质，熟练运用三角形外角的性质是解决问题的关键．5．（2021·安徽中考真题）两个直角三角板如图摆放，其中90BAC EDF ∠=∠=︒，45E ∠=︒，30C ∠=︒，AB 与DF 交于点M ．若//BC EF ，则BMD ∠的大小为（）A ．60︒B ．67.5︒C ．75︒D ．82.5︒【答案】C【分析】根据//BC EF ，可得45FDB F ∠=∠=︒，再根据三角形内角和即可得出答案．【详解】由图可得6045B F ∠=︒∠=︒，，∠//BC EF ，∠45FDB F ∠=∠=︒，∠180180456075BMD FDB B ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒，故选：C ．【点睛】本题考查了平行线的性质和三角形的内角和，掌握平行线的性质和三角形的内角和是解题的关键． 6．（2021·江苏扬州市·中考真题）如图，点A 、B 、C 、D 、E 在同一平面内，连接AB 、BC 、CD 、DE 、EA ，若100BCD ∠=︒，则A B D E ∠+∠+∠+∠=（）A ．220︒B ．240︒C ．260︒D ．280︒【答案】D【分析】连接BD ，根据三角形内角和求出∠CBD +∠CDB ，再利用四边形内角和减去∠CBD 和∠CDB 的和，即可得到结果．【详解】解：连接BD ，∠∠BCD =100°，∠∠CBD +∠CDB =180°-100°=80°，∠∠A +∠ABC +∠E +∠CDE =360°-∠CBD -∠CDB =360°-80°=280°，故选D ．【点睛】本题考查了三角形内角和，四边形内角和，解题的关键是添加辅助线，构造三角形和四边形． 7．（2021·河北中考真题）定理：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．已知：如图，ACD ∠是ABC 的外角．求证：ACD A B ∠=∠+∠．下列说法正确的是（）A．证法1还需证明其他形状的三角形，该定理的证明才完整B．证法1用严谨的推理证明了该定理C．证法2用特殊到一般法证明了该定理D．证法2只要测量够一百个三角形进行验证，就能证明该定理【答案】B【分析】根据三角形的内角和定理与平角的定义可判断A与B，利用理论与实践相结合可判断C与D．【详解】解：A. 证法1给出的证明过程是完整正确的，不需要分情况讨论，故A不符合题意；B. 证法1给出的证明过程是完整正确的，不需要分情况讨论，故选项B符合题意；C. 证法2用量角器度量两个内角和外角，只能验证该定理的正确性，用特殊到一般法证明了该定理缺少理论证明过程，故选项C不符合题意；D. 证法2只要测量够一百个三角形进行验证，验证的正确性更高，就能证明该定理还需用理论证明，故选项D不符合题意．故选择：.B【点睛】本题考查三角形外角的证明问题，命题的正确性需要严密推理证明，三角形外角分三种情形，锐角、直角、和钝角，证明中应分类才严谨．8．（2021·四川泸州市·中考真题）在锐角ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，有以下结论：2sinA sinB sinCa cb R ===（其中R为ABC 的外接圆半径）成立．在ABC 中，若∠A =75°，∠B =45°，c =4，则ABC 的外接圆面积为（）A ．163πB ．643πC ．16πD ．64π【答案】A【分析】方法一：先求出∠C ，根据题目所给的定理，2sin c R C = , 利用圆的面积公式S 圆=163π．方法二：设∠ABC 的外心为O ，连结OA ，OB ，过O 作OD ∠AB 于D ，由三角形内角和可求∠C =60°，由圆周角定理可求∠AOB =2∠C =120°，由等腰三角形性质，∠OAB =∠OBA =30，由垂径定理可求AD =BD =2，利用三角函数可求OAS 圆=163π．【详解】解:方法一：∠∠A =75°，∠B =45°，∠∠C =180°-∠A -∠B =180°-75°-45°=60°，有题意可知42=sin sin 6032c R C ===︒，∠3R =， ∠S 圆=2221633R OA ππππ⎛=== ⎝⎭．方法二：设∠ABC 的外心为O ，连结OA ，OB ，过O 作OD ∠AB 于D ，∠∠A =75°，∠B =45°，∠∠C =180°-∠A -∠B =180°-75°-45°=60°，∠∠AOB =2∠C =2×60°=120°，∠OA =OB ，∠∠OAB =∠OBA =()1180120302︒-︒=︒， ∠OD ∠AB ，AB 为弦，∠AD =BD =122AB =，∠AD =OA cos30°，∠OA =343cos30223AD ÷︒=÷=， ∠S 圆=222431633R OA ππππ⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭．故答案为A ．【点睛】本题考查三角形的外接圆，三角形内角和，圆周角定理，等腰三角形性质，垂径定理，锐角三角函数，圆的面积公式，掌握三角形的外接圆，三角形内角和，圆周角定理，等腰三角形性质，垂径定理，锐角三角函数，圆的面积公式是解题关键．9．（2021·重庆中考真题）如图，在ABC 和DCB 中，ACB DBC ∠=∠ ，添加一个条件，不能．．证明ABC 和DCB 全等的是（）A ．ABC DCB ∠=∠B ．AB DC = C ．AC DB =D ．A D ∠=∠【答案】B【分析】根据已知条件和添加条件，结合全等三角形的判断方法即可解答．【详解】选项A ，添加ABC DCB ∠=∠，在ABC 和DCB 中，ABC DCB BC CBACB DBC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∠ABC ∠DCB （ASA ），选项B ，添加 AB DC =，在ABC 和DCB 中， AB DC =，BC CB =，ACB DBC ∠=∠，无法证明ABC ∠DCB ；选项C ，添加AC DB =，在ABC 和DCB 中，BC CB ACB DBC AC DB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∠ABC ∠DCB （SAS ）；选项D ，添加A D ∠=∠，在ABC 和DCB 中，A D ACB DBC BC CB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∠ABC ∠DCB （AAS ）；综上，只有选项B 符合题意．故选B ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定方法，熟知全等三角形的判定方法是解决问题的关键．10．（2021·重庆中考真题）如图，点B ，F ，C ，E 共线，∠B =∠E ，BF =EC ，添加一个条件，不等判断∠ABC ∠∠DEF的是（）A ．AB =DE B ．∠A =∠DC ．AC =DFD ．AC ∠FD【答案】C【分析】根据全等三角形的判定与性质逐一分析即可解题．【详解】解：BF =EC ，BC EF ∴=A. 添加一个条件AB =DE ，又,BC EF B E =∠=∠()ABC DEF SAS ∴△≌△故A 不符合题意；B. 添加一个条件∠A =∠D又,BC EF B E =∠=∠()ABC DEF AAS ∴≌故B 不符合题意；C. 添加一个条件AC =DF ，不能判断∠ABC ∠∠DEF ，故C 符合题意；D. 添加一个条件AC ∠FDACB EFD ∴∠=∠又,BC EF B E =∠=∠()ABC DEF ASA ∴≌故D 不符合题意，故选：C ．【点睛】本题考查添加条件使得三角形全等即全等三角形的判定，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．11．（2021·浙江嘉兴市·中考真题）将一张三角形纸片按如图步骤∠至∠折叠两次得图∠，然后剪出图∠中的阴影部分，则阴影部分展开铺平后的图形是（）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．矩形D ．菱形【答案】D【分析】此题是有关剪纸的问题，此类问题应亲自动手折一折，剪一剪．【详解】解：由题可知，AD 平分BAC ∠,折叠后AEO △与AFO 重合，故全等，所以EO =OF ;又作了AD 的垂直平分线，即EO 垂直平分AD ，所以AO =DO ，且EO ∠AD ；由平行四边形的判定：对角线互相平分的四边形为平行四边形，所以AEDF 为平行四边形；又AD ∠EF ，所以平行四边形AEDF 为菱形．故选：.D【点睛】本题主要考察学生对于立体图形与平面展开图形之间的转换能力，与课程标准中“能以实物的形状想象出几何图形，有几何图形想象出实物的图形”的要求相一致，充分体现了实践操作性原则．12．（2021·四川遂宁市·中考真题）下列说法正确的是（）A ．角平分线上的点到角两边的距离相等B ．平行四边形既是轴对称图形，又是中心对称图形C ．在代数式1a ，2x ，x π，985，42b a +，13y +中，1a ，x π，42b a+是分式 D ．若一组数据2、3、x 、1、5的平均数是3，则这组数据的中位数是4【答案】A【分析】根据角平分线的性质，平行四边形的对称性，分式的定义，平均数，中位数的性质分别进行判断即可．【详解】解：A.角平分线上的点到角两边的距离相等，故选项正确；B.平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，故选项错误；C.在代数式1a ，2x ，x π，985，42b a +，13y +中，1a ，42b a +是分式，故选项错误； D.若一组数据2、3、x 、1、5的平均数是3，则这组数据的中位数是3，故选项错误；故选：A ．【点睛】本题综合考查了角平分线的性质，平行四边形的对称性，分式的定义，平均数，中位数等知识点，熟悉相关性质是解题的关键．13．（2021·湖南娄底市·中考真题）2,5,m ） A ．210m -B ．102m -C ．10D ．4 【答案】D【分析】先根据三角形三边的关系求出m 的取值范围，再把二次根式进行化解，得出结论．【详解】解：2,3,m 是三角形的三边，5252m ∴-<<+，解得：37x ，374m m =-+-=，故选：D ．【点睛】本题考查了二次根式的性质及化简，解题的关键是：先根据题意求出m 的范围，再对二次根式化简． 14．（2021·山东泰安市·中考真题）如图，直线//m n ，三角尺的直角顶点在直线m 上，且三角尺的直角被直线m 平分，若160∠=︒，则下列结论错误的是（）A ．275∠=︒B ．345∠=︒C ．4105∠=︒D ．5130∠=︒【答案】D【分析】根据角平分线的定义求出∠6和∠7的度数，再利用平行线的性质以及三角形内角和求出∠3，∠8，∠2的度数，最后利用邻补角互补求出∠4和∠5的度数．【详解】首先根据三角尺的直角被直线m 平分，∠∠6=∠7=45°；A 、∠∠1=60°，∠6=45°，∠∠8=180°-∠1-∠6=180-60°-45°=75°，m∥n ，∠∠2=∠8=75°结论正确，选项不合题意；B 、∠∠7=45°，m ∠n ，∠∠3=∠7=45°，结论正确，选项不合题意；C 、∠∠8=75°，∠∠4=180-∠8=180-75°=105°，结论正确，选项不合题意；D 、∠∠7=45°，∠∠5=180-∠7=180-45°=135°，结论错误，选项符合题意．故选：D ．【点睛】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，三角形内角和，邻补角互补，解答本题的关键是掌握平行线的性质：两直线平行，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补．15．（2021·四川资阳市·中考真题）如图，已知直线//,140,230m n ∠=︒∠=︒，则3∠的度数为（）A ．80︒B ．70︒C ．60︒D ．50︒【答案】B【分析】如图，由题意易得∠4=∠1=40°，然后根据三角形外角的性质可进行求解．【详解】解：如图，∠//,140m n ∠=︒，∠∠4=∠1=40°，∠230∠=︒，∠34270∠=∠+∠=︒；故选B ．【点睛】本题主要考查平行线的性质及三角形外角的性质，熟练掌握平行线的性质及三角形外角的性质是解题的关键．16．（2021·海南中考真题）如图，已知//a b ，直线l 与直线a b 、分别交于点A B 、，分别以点A B 、为圆心，大于12AB 的长为半径画弧，两弧相交于点M N 、，作直线MN ，交直线b 于点C ，连接AC ，若140∠=︒，则ACB ∠的度数是（）A ．90︒B ．95︒C ．100︒D ．105︒【答案】C【分析】根据题意可得直线MN 是线段AB 的垂直平分线，进而可得CB AC =，利用平行线的性质及等腰三角形中等边对等角，可得40CAB CBA ∠=∠=︒，所以可求得100ACB ∠=︒．【详解】∠已知分别以点A B 、为圆心，大于12AB 的长为半径画弧，两弧相交于点M N 、，作直线MN ，交直线b 于点C ，连接AC ，∠直线MN 垂直平分线段AB ，∠CB AC =，∠//a b ，140∠=︒，∠140CBA ∠=∠=︒，∠40CAB CBA ∠=∠=︒，∠180100ACB CBA CAB ∠=︒-∠-∠=︒．故选：C．【点睛】题目主要考查线段垂直平分线的作法及性质、平行线的性质等，根据题意得出直线MN垂直平分线段AB 是解题关键．17．（2021·四川广元市·中考真题）观察下列作图痕迹，所作线段CD为ABC的角平分线的是（）A．B．C．D．【答案】C【分析】根据角平分线画法逐一进行判断即可．【详解】A：所作线段为AB边上的高，选项错误；B：做图痕迹为AB边上的中垂线，CD为AB边上的中线，选项错误；C：CD为ACB的角平分线，满足题意。

中考数学考点总动员系列专题：26 三角形(含解析)

考点二十六：三角形聚焦考点☆温习理解一、三角形1、三角形中的主要线段（1）三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交,这个角的顶点和交点间的线段叫做三角形的角平分线。

（2）在三角形中,连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线。

（3）从三角形一个顶点向它的对边做垂线,顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线（简称三角形的高）。

2、三角形的三边关系定理及推论（1）三角形三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边。

推论：三角形的两边之差小于第三边。

（2）三角形三边关系定理及推论的作用：①判断三条已知线段能否组成三角形②当已知两边时,可确定第三边的范围。

③证明线段不等关系。

3、三角形的内角和定理及推论三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°。

推论：①直角三角形的两个锐角互余。

②三角形的一个外角等于和它不相邻的来两个内角的和。

③三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。

注：在同一个三角形中：等角对等边；等边对等角；大角对大边；大边对大角。

二、全等三角形1、三角形全等的判定三角形全等的判定定理：（1）边角边定理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS”）（2）角边角定理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA”）（3）边边边定理：有三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS”）。

直角三角形全等的判定：对于特殊的直角三角形,判定它们全等时,还有H L 定理（斜边、直角边定理）：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“HL ”） 2.全等三角形的性质：三、等腰三角形1、等腰三角形的性质定理及推论：定理：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）推论1：等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边。

即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合。

推论2：等边三角形的各个角都相等,并且每个角都等于60°。

【期末培优讲义】专题全等三角形八大模型必考点(人教版)(含解析)

专题全等三角形八大模型必考点【考点1 一线三等角构造全等模型】方法点拨：“一线三等角模型”最关键的要点就是证明角相等，（1）三垂直：利用同角的余角相等（2）一般角：利用三角形的外角的性质1．阅读理解，自主探究：“一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角角度为90°，于是有三组边相互垂直．所以称为“一线三垂直模型”．当模型中有一组对应边长相等时，则模型中必定存在全等三角形．（1）问题解决：如图1，在等腰直角△ABC中，△ACB＝90°，AC＝BC，过点C作直线DE，AD△DE于D，BE△DE于E，求证：△ADC△△CEB；（2）问题探究：如图2，在等腰直角△ABC中，△ACB＝90°，AC＝BC，过点C作直线CE，AD△CE于D，BE△CE于E，AD＝2.5cm，DE＝1.7cm，求BE的长；（3）拓展延伸：如图3，在平面直角坐标系中，A（﹣1，0），C（1，3），△ABC为等腰直角三角形，△ACB＝90°，AC＝BC，求B点坐标.【分析】（1）证△DAC＝△ECB，再由AAS证△ADC△△CEB即可；（2）证△ADC△△CEB（AAS），得AD＝CE＝2.5cm，CD＝BE，即可解决问题；（3）过点C作直线l△x轴，交y轴于点G，过A作AE△l于点E，过B作BF△l于点F，交x轴于点H，证△AEC△△CFB（AAS），得AE＝CF＝3，BF＝CE＝2，则FG＝CG+CF＝4，BH＝FH﹣BF＝1，即可得出结论．【解答】（1）证明：△AD△DE，BE△DE，△△ADC＝△CEB＝90°，△△ACB＝90°，△△ACD+△ECB＝90°，△DAC+△ACD＝90°，△△DAC＝△ECB，在△ADC和△CEB中，，△△ADC△△CEB（AAS）；（2）解：△BE△CE，AD△CE，△△ADC＝△CEB＝90°，△△CBE+△ECB＝90°，△△ACB＝90°，△△ECB+△ACD＝90°，△△ACD＝△CBE，在△ADC和△CEB中，，△△ADC△△CEB（AAS），△AD＝CE＝2.5cm，CD＝BE，△BE＝CD＝CE﹣DE＝2.5﹣1.7＝0.8（cm），即BE的长为0.8cm；（3）解：如图3，过点C作直线l△x轴，交y轴于点G，过A作AE△l于点E，过B作BF△l 于点F，交x轴于点H，则△AEC＝△CFB＝△ACB＝90°，△A（﹣1，0），C（1，3），△EG＝OA＝1，CG＝1，FH＝AE＝OG＝3，△CE＝EG+CG＝2，△△ACE+△EAC＝90°，△ACE+△FCB＝90°，△△EAC＝△FCB，在△AEC和△CFB中，，△△AEC△△CFB（AAS），△AE＝CF＝3，BF＝CE＝2，△FG＝CG+CF＝1+3＝4，BH＝FH﹣BF＝3﹣2＝1，△B点坐标为（4，1）．【点评】本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、坐标与图形性质、一线三垂直”模型等知识，本题综合性强，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型．2．如图，已知A（3，0），B（0，﹣1），连接AB，过B点作AB的垂线段BC，使BA＝BC，连接AC．（1）如图1，求C点坐标；（2）如图2，若P点从A点出发沿x轴向左平移，连接BP，作等腰直角△BPQ，连接CQ，当点P在线段OA上，P A与CQ有何位置和数量关系，猜想并证明；（3）在（2）的条件下若C、P，Q三点共线，求此时△APB的度数及P点坐标．【分析】（1）作CH△y轴于H，证明△ABO△△BCH，根据全等三角形的性质得到BH＝OA ＝3，CH＝OB＝1，求出OH，得到C点坐标；（2）证明△PBA△△QBC，根据全等三角形的性质即可得到P A＝CQ，P A△CQ；（3）根据C、P，Q三点共线，得到△BQC＝135°，根据全等三角形的性质得到△BP A＝△BQC ＝135°，根据等腰三角形的性质求出OP，即可得到P点坐标．【解答】解：（1）如图1，过C作CH△y轴于H，则△BCH+△CBH＝90°，△AB△BC，△△ABO+△CBH＝90°，△△ABO＝△BCH，在△ABO和△BCH中，，△△ABO△△BCH（AAS），△BH＝OA＝3，CH＝OB＝1，△OH＝OB+BH＝4，△C点坐标为（1，﹣4）；（2）CQ＝AP，CQ△AP．证明：如图2，延长CQ交x轴于D，交AB于E，△△PBQ＝△ABC＝90°，△△PBQ﹣△ABQ＝△ABC﹣△ABQ，即△PBA＝△QBC，在△PBA和△QBC中，，△△PBA△△QBC（SAS），△P A＝CQ，△BAP＝△BCQ，又△△AED＝△CEB，△△ADE＝△CBE＝90°，即CD△AD，△CQ△AP；（3）△△BPQ是等腰直角三角形，△△BQP＝45°，当C、P，Q三点共线时，△BQC＝135°，由（2）可知，△PBA△△QBC，△△BP A＝△BQC＝135°，△△OPB＝180°﹣135°＝45°，△OP＝OB＝1，△P点坐标为（1，0）．【点评】本题考查的是全等三角形的判定和性质、三角形的外角的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．3．如图1，直线AB分别与x轴、y轴交于A、B两点，OC平分△AOB交AB于点C，点D为线段AB上一点，过点D作DE△OC交y轴于点E，已知AO＝m，BO＝n，且m、n满足n2﹣12n+36+|n ﹣2m|＝0．（1）求A、B两点的坐标；（2）若点D为AB中点，延长DE交x轴于点F，在ED的延长线上取点G，使DG＝DF，连接BG．△BG与y轴的位置关系怎样？说明理由；△求OF的长；（3）如图2，若点F的坐标为（10，10），E是y轴的正半轴上一动点，P是直线AB上一点，且P点的坐标为（6，﹣6），是否存在点E使△EFP为等腰直角三角形？若存在，求出点E 的坐标；若不存在，说明理由．【分析】（1）先利用非负数的性质求出m，n的值，即可得出结论；（2）△先判断出△BDG△△ADF，得出BG＝AF，△G＝△DF A，然后根据平行线的判定得出BG△AF，从而利用平行线的性质即可得出结论；△利用等腰三角形的性质，建立方程即可得出结论；（3）分析题意知要使△EFP为等腰直角三角形，必有EF＝EP，且△FEP═90°，再过F、P分别向y轴作垂线垂足分别为M、N，然后利用全等三角形的判定证得△FME△△ENP，从而利用全等的性质求得ME的长，进而求出OE，即可得出结论．【解答】解：（1）由n2﹣12n+36+|n﹣2m|＝0，△（n﹣6）2+|n﹣2m|＝0，△n﹣6＝0，n﹣2m＝0，△n＝6，m＝3，△A（3，0），B（0，6）；（2）△BG△y轴．在△BDG与△ADF中，BD＝DA，△BDG＝△FDA，DG＝DF，△△BDG△△ADF（SAS），△BG△AF．△AF△y轴，△BG△y轴．△由△可知，BG＝F A，△BDE为等腰直角三角形．△BG＝BE．设OF＝x，则有OE＝x，△3+x＝6﹣x，△x＝1.5，即：OF＝1.5；（3）要使△EFP为等腰直角三角形，必有EF＝EP，且△FEP═90°，如图，过F、P分别向y轴作垂线垂足分别为M、N．△△FEP═90°，△△FEM+△PEN＝90°，又△FEM+△MFE＝90°，△△PEN＝△MFE，△Rt△FME△Rt△ENP（HL），△ME＝NP＝6，△OE＝10﹣6＝4．即存在点E（0，4），使△EFP为等腰直角三角形．【点评】此题是三角形综合题，主要考查的是全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、勾股定理等知识，正确作出辅助线是解决此题的关键．【考点2 手拉手模型-旋转模型】方法点拨：手拉手模型有一个特点，就是从一个顶点出发，散发出来的四条线段，两两相等（或者对应成比例），然后夹角相等。

专题三角形章末重难点题型(举一反三)(原卷版)

专题三角形章末重难点题型【考点1 三角形的边角关系】【方法点拨】解题的关键是了解三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．【例1】（庐江县期末）已知4条线段的长度分别为2，4，6，8，若三条线段可以组成一个三角形，则这四条线段可以组成三角形的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【变式1-1】（当涂县期末）若一个三角形的两边长分别为4和7，则周长可能是（）A．11B．18C．14D．22【变式1-2】（临清市期末）a，b，c为三角形的三边长，化简|a+b+c|﹣|a﹣b﹣c|﹣|a﹣b+c|﹣|a+b﹣c|，结果是（）A．0B．2a+2b+2c C．4a D．2b﹣2c【变式1-3】（江东区期末）已知等腰三角形的周长为16，且一边长为3，则腰长为（）A．3B．10C．6.5D．3或6.5【考点2 巧用三角形中线求面积】【方法点拨】解题的关键是掌握三角形的中线把三角形的面积分成了相等的两部分．【例2】（长丰县期末）如图，在△ABC中，已知点D，E，F分别为边BC，AD，CE的中点，且△ABC的面积是32，则图中阴影部分面积等于（）A．16B．8C．4D．2【变式2-1】（宁阳县期末）如图，△ABC的三边的中线AD，BE，CF的公共点为G，且AG：GD＝2：1，若S△ABC ＝12，则图中阴影部分的面积是（）A．3B．4C．5D．6【变式2-2】（椒江区期末）如图，在△ABC中，AD为BC边上的中线，DE为△ABD中AB边上的中线，△ABC的面积为6，则△ADE的面积是（）A．1B．C．2D．【变式2-3】（温州期中）如图，在△ABC中，点D是BC边上的一点，E，F分别是AD，BE的中点，连结CE，【考点3 三角形内角和之折叠变换】【方法点拨】解题的关键是掌握折叠的性质．【例3】（潮州期末）如图，在△ABC中，∠B＝32°，将△ABC沿直线m翻折，点B落在点D的位置，则∠1﹣∠2的度数是（）A．32°B．45°C．60°D．64°【变式3-1】（岱岳区期中）如图，将△ABC沿MN折叠，使MN∥BC，点A的对应点为点A'，若∠A'＝32°，∠B ＝112°，则∠A'NC的度数是（）A．114°B．112°C．110°D．108°【变式3-2】（江阴市期中）如图，△ABC中，∠A＝20°，沿BE将此三角形对折，又沿BA′再一次对折，点C落在BE上的C′处，此时∠C′DB＝74°，则原三角形的∠C的度数为（）A．27°B．59°C．69°D．79°【变式3-3】（繁昌县期中）如图，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE内部时，则∠A与∠1+∠2之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找一找这个规律，这个规律是（）A．∠A＝∠1+∠2B．2∠A＝∠1+∠2C．3∠A＝2∠1+∠2D．3∠A＝2（∠1+∠2）【考点4 三角形内角和之角平分线】【例4】（顺义区期末）如图，在△ABC中，AD，AE分别是△ABC的角平分线和高线，用等式表示∠DAE、∠B、∠C的关系正确的是（）A．2∠DAE＝∠B﹣∠C B．2∠DAE＝∠B+∠C C．∠DAE＝∠B﹣∠C D．3∠DAE＝∠B+∠C【变式4-1】（璧山区期中）如图，BD是∠ABC的角平分线，CD是∠ACB的角平分线，∠BDC＝120°，则∠A的【变式4-2】（拱墅区校级期末）如图，BD是△ABC的角平分线，AE⊥BD，垂足为F．若∠ABC＝36°，∠C＝44°，则∠EAC的度数为（）A．18°B．28°C．36°D．38°【变式4-3】（巴州区期末）如图，∠ABC和∠ACB的外角平分线相交于点D，设∠BDC＝β，那么∠A等于（）A．180°﹣B．180°﹣2βC．90°﹣βD．90°﹣【考点5 全等三角形的判定】【方法点拨】全等三角形的判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．【例5】（九龙坡区校级期末）如图，点D，E分别在线段AB，AC上，CD与BE相交于O点，已知AB＝AC，现添加以下的哪个条件仍无法判定△ABE≌△ACD的是（）A．AD＝AE B．∠B＝∠C C．CD＝BE D．∠ADC＝∠AEB【变式5-1】（东阿县期末）如图，A，B，C三点在同一条直线上，∠A＝∠C＝90°，AB＝CD，添加下列条件，不能判定△EAB≌△BCD的是（）A．EB＝BD B．∠E+∠D＝90°C．AC＝AE+CD D．∠EBD＝60°【变式5-2】（正定县期中）一块三角形玻璃被小红碰碎成四块，如图，小红只带其中的两块去玻璃店，买了一块和以前一样的玻璃，你认为她带哪两块去玻璃店了（）A．带其中的任意两块B．带1，4或3，4就可以了C．带1，4或2，4就可以了D．带1，4或2，4或3，4均可【变式5-3】（鄂州）下列命题：①有两个角和第三个角的平分线对应相等的两个三角形全等；②有两条边和第三条边上的中线对应相等的两个三角形全等；③有两条边和第三条边上的高对应相等的两个三角形全等．其中正【考点6 尺规作图】【例6】（蜀山区期末）如图，已知∠1与线段a，用直尺和圆规按下列步骤作图（保留作图痕迹，不写作法）：（1）作∠A＝∠1；（2）在∠A的两边分别作AM＝AN＝a；（3）连接MN．【变式6-1】（秦都区期中）如图，已知△ABC中，∠ACB＞∠ABC，用直尺和圆规在∠ACB的内部作射线CM，使∠ACM＝∠ABC（不要求写作法，保留作图痕迹）【变式6-2】（平川区期末）已知∠α和线段a，求作△ABC，使∠A＝∠α，∠B＝2∠α，AB＝2α．（保留作图痕迹，不写作法）【变式6-3】（包河区期末）已知平面内有∠α，如图（1）．（1）尺规作图：在图（2）∠AOB的内部作∠AOD＝∠α（保留作图痕迹，不需要写作法）；（2）已知（1）中所作的∠AOD＝40°，OE平分∠BOC，∠AOE＝2∠BOE，求∠BOD．【考点7 全等三角形的证明】【例7】（东西湖区期中）如图，在△AOB和△DOC中，AO＝BO，CO＝DO，∠AOB＝∠COD，连接AC、BD，求证：△AOC≌△BOD．【变式7-1】（大观区校级期中）如图，△ABC的两条高AD、BE相交于点H，且AD＝BD，试说明下列结论成立的理由．（1）∠DBH＝∠DAC；（2）△BDH≌△ADC．【变式7-2】（黄岛区期末）如图，点E在AB上，AC＝AD，∠CAB＝∠DAB，那么△BCE和△BDE全等吗？请说明理由．【变式7-3】（北碚区校级期末）如图，点D在△ABC外部，点C在DE边上，BC与AD交于点O，若∠1＝∠2＝∠3，AC＝AE．求证：（1）∠B＝∠D；（2）△ABC≌△ADE．【考点8 全等三角形的应用】【例8】（开江县期末）如图：小刚站在河边的A点处，在河的对面（小刚的正北方向）的B处有一电线塔，他想知道电线塔离他有多远，于是他向正西方向走了30步到达一棵树C处，接着再向前走了30步到达D处，然后他左转90°直行，当小刚看到电线塔、树与自己现处的位置E在一条直线时，他共走了140步．（1）根据题意，画出示意图；（2）如果小刚一步大约50厘米，估计小刚在点A处时他与电线塔的距离，并说明理由．【变式8-1】（峄城区期末）如图，点C、E分别在直线AB、DF上，小华想知道∠ACE和∠DEC是否互补，但是他没有带量角器，只带了一副三角板，于是他想了这样一个办法：首先连结CF，再找出CF的中点O，然后连结EO并延长EO和直线AB相交于点B，经过测量，他发现EO＝BO，因此他得出结论：∠ACE和∠DEC互补，而且他还发现BC＝EF．小华的想法对吗？为什么？【变式8-2】（槐荫区期末）王强同学用10块高度都是2cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（AC＝BC，∠ACB＝90°），点C在DE上，点A和B分别与木墙的顶端重合，求两堵木墙之间的距离．【变式8-3】（临海市期末）如图1，为测量池塘宽度AB，可在池塘外的空地上取任意一点O，连接AO，BO，并分别延长至点C，D，使OC＝OA，OD＝OB，连接CD．（1）求证：AB＝CD；（2）如图2，受地形条件的影响，于是采取以下措施：延长AO至点C，使OC＝OA，过点C作AB的平行线CE，延长BO至点F，连接EF，测得∠CEF＝140°，∠OFE＝110°，CE＝11m，EF＝10m，请直接写出池塘宽度AB．【考点9 全等三角形中的动点问题】【例9】（莱山区期末）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，点P从A点出发沿A﹣C路径向终点C运动；点Q从B点出发沿B﹣C﹣A路径向终点A运动．点P和Q分别以每秒1cm和3cm的运动速度同时开始运动，其中一点到达终点时另一点也停止运动，在某时刻，分别过P和Q作PE⊥l于E，QF⊥l于F．则点P运动时间为多少时，△PEC与△QFC全等？【变式9-1】（娄底期末）如图，已知△ABC中，AB＝AC＝10cm，BC＝8cm，点D为AB的中点．如果点P在线段BC上以3cm/s的速度由点B向C点运动，同时，点Q在线段CA上由点C向A点运动．（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由．（2）若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？【变式9-2】（内乡县期末）如图（1），AB＝7cm，AC⊥AB，BD⊥AB垂足分别为A、B，AC＝5cm．点P在线段AB 上以2cm/s的速度由点A向点B运动，同时点Q在射线BD上运动．它们运动的时间为t（s）（当点P运动结束时，点Q运动随之结束）．（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t＝1时，△ACP与△BPQ是否全等，并判断此时线段PC 和线段PQ的位置关系，请分别说明理由；（2）如图（2），若“AC⊥AB，BD⊥AB”改为“∠CAB＝∠DBA”，点Q的运动速度为xcm/s，其它条件不变，当点P、Q运动到何处时有△ACP与△BPQ全等，求出相应的x的值．【变式9-3】（梁平区期末）如图1，在长方形ABCD中，AB＝CD＝6cm，BC＝10cm，点P从点B出发，以2cm/s 的速度沿BC向点C运动，设点P的运动时间为t秒，且t≤5．（1）PC＝cm（用含t的代数式表示）．（2）如图2，当点P从点B开始运动的同时，点Q从点C出发，以vcm/s的速度沿CD向点D运动，是否存在这样的v值，使得以A、B、P为顶点的三角形与以P、Q、C为顶点的三角形全等？若存在，请求出v的值；若不存在，请说明理由．【考点10 全等三角形判定与性质综合运用】【例10】（红桥区期末）（1）如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，AE是过点A的一条直线，且点B，C在AE的同侧，BD⊥AE于D，CE⊥AE于E．求证：BD＝DE﹣CE；（2）上题中，变成如图，B，C在AE的异侧时，BD，DE，CE关系如何？并加以证明．【变式10-1】（张店区期末）如图1所示，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D为射线BC上一动点，连接AD，以AD为直角边，A为直角顶点，在AD左侧作等腰直角三角形ADF，连接CF．（1）当点D在线段BC上时（不与点B重合），线段CF和BD的数量关系与位置关系分别是什么？请给予证明．（2）当点D在线段BC的延长线上时，（1）的结论是否仍然成立？请在图2中画出相应的图形，并说明理由．【变式10-2】（绿园区期末）探究：如图①，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥m于点D，CE⊥m于点E，求证：△ABD≌△CAE．应用：如图②，在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，求证：DE＝BD+CE．【变式10-3】（开福区校级期末）在△ABC中，∠B＝60°，D、E分别为AB、BC上的点，且AE、CD交于点F．（1）如图1，若AE、CD为△ABC的角平分线：①求∠AFD的度数；②若AD＝3，CE＝2，求AC的长；（2）如图2，若∠EAC＝∠DCA＝30°，求证：AD＝CE．。