中国矿业大学数学分析历年考研试题
考研数学分析真题答案
考研数学分析真题答案一、选择题1. 根据极限的定义，下列哪个选项是正确的？A. \(\lim_{x \to 0} x^2 = 0\)B. \(\lim_{x \to 0} \sin x = 1\)C. \(\lim_{x \to 0} \frac{1}{x} = 1\)D. \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1\)答案：A2. 函数 \(f(x) = \sin x + x^2\) 在 \(x = 0\) 处的导数是多少？A. 1B. 2C. 0D. -1答案：A二、填空题1. 函数 \(y = \ln x\) 的定义域是 _________。
答案：\((0, +\infty)\)2. 若 \(\int_{0}^{1} x^2 dx = \frac{1}{3}\)，那么\(\int_{0}^{1} x^3 dx\) 的值是 _________。
答案：\(\frac{1}{4}\)三、解答题1. 证明：对于任意正整数 \(n\)，\(\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k(k+1)} = \frac{n}{n+1}\)。
证明：首先，我们可以将求和式拆分为部分和的形式：\[\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+1)} = \sum_{k=1}^{n}\left(\frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}\right)\]通过观察，我们可以看到这是一个望远镜求和，大部分项会相互抵消，最终只剩下：\[1 - \frac{1}{n+1} = \frac{n}{n+1}\]2. 求函数 \(f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x\) 在 \(x = 2\) 处的泰勒展开式，并计算其近似值。
解：首先，我们计算函数在 \(x = 2\) 处的各阶导数：\[f'(x) = 3x^2 - 6x + 2, \quad f''(x) = 6x - 6, \quad f'''(x) = 6\]在 \(x = 2\) 处，\(f(2) = 0\)，\(f'(2) = -2\)，\(f''(2) =6\)，\(f'''(2) = 6\)。
中国矿业大学(徐州)09级理学院数学分析卷参考答案
中国矿业大学大一第二学期理学院数学卷考试时间：120分钟 考试方式：闭卷院系__ _______班级___ ______姓名__ ________学号___ _______一 单项选择题（每小题3分，共15分）1. 若函数()f x 在 [,]a b 上可积，则()f x 在[,]a b 上（ ）A 连续B 有间断点C 有界D 有原函数 2. ()22220limd d x x t t xe te t →∞=⎰⎰（ ）A 1B 0C 1-D 发散 3. 下列反常积分中，收敛的是（ ） A1x ⎰B 1311d x x -⎰ Csin d x x +∞⎰D1x +∞⎰4. 下列级数条件收敛的是（ ）A 12(1)sin nn n ∞=-∑ B12(1)35nn nn ∞=-+∑一 C 1(1)10nn n n∞=-∑ D 11(1)n n n ∞=⎛⎫- ⎪⎝⎭∑5. 下列命题正确的是（ ）A 若重极限存在，则累次极限也存在并相等；B 若累次极限存在，则重极限也存在但不一定相等；C 若重极限不存在，则累次极限也不存在；D 重极限存在，累次极限也可能不存在二、填空题（每空3分,共15分）1． 22222lim[]12n n nnnn n n →∞+++=+++ .2．10d x =⎰.3．2211(1)n x n∞=+∑的收敛域为 . 4. 设22,0()0,0,0x x f x x x x ππ⎧<<⎪==⎨⎪--<<⎩,则其傅里叶级数当0x =时收敛于 .5. 设2(,)cos(1)(f x y x y y =-+-，则(1,1)y f = . 三（10分）设,0p q >，且111p q+=，又设,0a b >，试用函数的凸性证明： 11p q ab a b p q≤+.四（10分）将函数22()arctan 1xf x x =-在0x =展开为幂级数.五（10分）把函数()(02)f x x x π=≤≤展开傅里叶级数.六（10分）设f 为],[b a 上的非负连续函数，证明：如果0)(=⎰ba dx x f ，则],[,0)(b a x x f ∈≡.七（10分）求级数1211(1)(21)(21)n n n x n n -∞+=--+∑的收敛域及其和函数.八（10分）过点(4,0)作曲线y =的切线．(1) 求切线的方程；(2) 求由这条切线与该曲线及x 轴绕x 轴旋转一周所得的旋转体的体积.九（10分）设函数()f x 在区间[,]a b 上可积，且()0f x a ≥>，证明：1()f x 在区间[,]a b 上也可积.中国矿业大学09~10学年第二学期 《数学分析(2)》试卷（A ）卷参考答案一 单项选择题（每小题3分，共15分）1. 若函数()f x 在 [,]a b 上可积，则()f x 在[,]a b 上（ C ）A 连续B 有间断点C 有界D 有原函数2. ()22220limd d x x t t xe te t →∞=⎰⎰（ B ）A 1B 0C 1-D 发散 3. 下列反常积分中，收敛的是（ A ）A1x ⎰B 1311d x x -⎰ Csin d x x +∞⎰D1x +∞⎰4. 下列级数条件收敛的是（ A ）A 12(1)sin nn n ∞=-∑ B12(1)35nn nn ∞=-+∑一 C 1(1)10nn n n∞=-∑D 11(1)n n n ∞=⎛⎫- ⎪⎝⎭∑5. 下列命题正确的是（ D ）A 若重极限存在，则累次极限也存在并相等；B 若累次极限存在，则重极限也存在但不一定相等；C 若重极限不存在，则累次极限也不存在；D 重极限存在，累次极限也可能不存在二、填空题（每空3分,共15分）1． 22222lim[]12n n nn n nn n→∞+++=+++ 4π.2． 10d x =⎰2.3． 2211(1)n x n∞=+∑的收敛域为 [2,0]-.4. 设22,0()0,0,0x x f x x x x ππ⎧<<⎪==⎨⎪--<<⎩,则其傅里叶级数当0x =时收敛于 22π-.5.设2(,)cos(1)(f x y x y y =-+-，则(1,1)y f = 0. 三（10分）设,0p q >，且111p q+=，又设,0a b >，试用函数的凸性证明： 11p q ab a b p q≤+. 证 令 ()ln f x x =-，则 21()0(0)f x x x''=>>，所以()f x 是(0,)+∞上的凸函数。
中国矿业大学(徐州)02级数学分析(1)试题(A卷)
数学分析(上)试题（适用数学系2002级，120分钟，2003年1月15日）班级____________姓名____________序号_______成绩____________一、求解下列各题（每题4分共40分）1．!lim n n c n∞→（0>c 为常数）2．xx x x x sin tan )sin(sin )tan(tan lim0--→3．x x xx )1cos 1(sinlim +∞→ 4．求b a ,使⎩⎨⎧<-≥+=0120)(x e x b ax x f x在点0=x 可导。
5．求155345++-=x x x y 在]2,1[-上的最大值与最小值。
6．⎰+dx x xx 221arctan 7．11)1ln(lim4sin 02-++⎰→x dtt xx8．])1(cos 2cos cos 1[1lim n nxn n x n x n-++++∞→ （R x ∈） 9．⎰∞+-0dx e x x n （+∈N n ）10．⎰--b ax b a x dx ))((（b a <）二（10分）、设)(x f 在区间I 上有界，记)(inf ,)(sup x f m x f M Ix Ix ∈∈==称m M I f -=ω),(为函数f 在区间I 上振幅。
证明)()(sup ),(,x f x f I f Ix x ''-'=ω∈'''三（10分）、设)(x f 在有限开区间),(b a 上连续，证明)(x f 在),(b a 上一致连续的充要条件是)(lim x f a x +→与)(lim x f b x -→都存在且有限。
（提示使用一致连续性定理）四（10分）、证明：方程033=+-c x x （c 为常数）在区间]1,0[内不可能有两个不同的实根。
五（10分）、设)(x f 在)(0x U 连续，在)(00x U 可导，证明：如果)0(0+'x f 存在，则)(0x f +'也存在，且)0()(00+'='+x f x f 。
2005-2006(1)-研05-数值分析试题解答
中国矿业大学05级硕士研究生课程考试试卷考试科目数值分析考试时间2006年01月研究生姓名所在院系学号任课教师班级序号中国矿业大学研究生培养管理科印制一、填空（共20分，每个空2分）1．设670.2~=x 为某个数四舍五入得到的近似值，则x ~具有4位有效数字，其绝对误差限为，相对误差限为3102.0-⨯。
2．用计算机求方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个根，当ac b 4>>时，为使结果更精确，应采取计算公式：=1x2x3．设432231)(a x a x a x a x P ++++=是某函数)(x f 以3210,,,x x x x 为节点的三次插值多项式，则差商=],,,[3210x x x x f 1a 。
4．设x ~是线性方程组b Ax =的近似解（向量），则在A 为非病态矩阵的情况下，残向量的范数x A b r ~-=越小，近似解的精度就越高。
5．设⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=2011A ，则2A =)(A ρ2，=∞)(A Cond 3。
二、（10分） 确定常数r q p ,,使得迭代法),2,1,0(5221=++=+k x a r x a q px x kk k k局部收敛到)0(3>=*a a x ，并有尽可能高的收敛阶，这时阶数是多少？【解】迭代函数为522)(xa r x a q px x ++=ϕ首先要 1)(=++⇒ϕ=**r q p x x 为有尽可能高的收敛阶，令 0520)52()(*623*=--⇒=--=ϕ'=r q p xa r x a q p x x x再令 050)306()(*724*=+⇒=+=ϕ''=r q xa r x a q x x x解之得： 95==q p ,91-=r 可直接验证0)(*≠ϕ'''x ，所以最高的收敛阶是3阶。
三、（15分） 下面两个题任选一个1．设A 是对称正定矩阵，试推导下面Cholesky 分解算法：T nn n n nn n n nn n n n n LL l l l l l l l l l l l l a a a a a a a a a A =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡= 2221211121222111212222111211要求L 的元素按行计算出来，即按nn n n l l l l l l ,,,,,,,21222111 的顺序计算。
中国矿业大学 数学分析期末考试试题及答案 (4)
《 数学分析(1) 》试卷(A)卷考试时间：120分钟 考试方式：闭卷学院 班级 姓名 序号一、叙述题(共20分每题4分)1．叙述函数)(x f 在点0x 局部有界及在区间I 上无界的定义。
2．用“δε-”语言叙述lim ()x af x A →=和A x f ax ≠→)(lim 的定义。
3．写出极限lim ()x af x -→存在的柯西准则。
4. 叙述函数()f x 在区间I 上一致连续的定义。
5．写出区间I 上凸函数的定义及一个充要条件。
二、计算题(共40分) 1(5分) 设x x y x1arctan +=，求xyd d 。
2(5分) 求不定积分 ⎰x x e x d sin 。
3(6分) 设⎩⎨⎧<+≥=33)(2x b ax x x x f ，求b a ,使f 在点3=x 可导。
4(6分) 求函数xx x f 16)(2+=的极值点与极值。
5(6分) 求极限 )ln 111(lim 1xx x --→6(6分) 求极限 4202cos limx e x x x -→-7(6分) 求不定积分⎰-+x xx d 1)1(122三、证明题(共40分每题8分)1. 设g f ,为定义在D 上的有界函数，证明：{})(sup )(sup )()(sup )(inf )(sup x g x f x g x f x g x f Dx Dx Dx Dx Dx ∈∈∈∈∈+≤+≤+2. 设+∞=∞→n n a lim ，证明：+∞=+++∞→na a a nn 21lim3. 设a x g x =+∞→)(lim （a 为有限数），)(x f 在点a 连续，证明：)()]([lim a f x g f x =+∞→4. 证明：当0,1≠->x x 时，成立不等式x x xx<+<+)1ln(15. 证明达布(Darboux)定理。
即若函数f 在],[b a 上可导，且)()(b f a f -+'<'， 则对))(,)((b f a f k -+''∈∀，),(b a ∈∃ξ，使得k f =')(ξ。
13-14(1)-数学分析(3)试题(A)[孙越崎2012]
![13-14(1)-数学分析(3)试题(A)[孙越崎2012]](https://img.taocdn.com/s3/m/abd9253e43323968011c923a.png)
f (a, b) y AX
T T
X T ( AT A) X 2 X T ( AT y ) yT y
令 f a f b 0 ，得 ( A A) X A y 。即
4 10 a 11 10 30 b 33
解得唯一的稳定点
达到最小。
2
9
1 1 【解】 记 A 1 1
则
x1 1 x2 1 x3 1 x4 1
1 y1 1 y 3 2 a 2 ，y ，X y3 2 3 b 4 y4 5
1 r g (t ), c 为常数，r x 2 y 2 z 2 . r c
1 vtt .
1
二（10 分） 设
xy f ( x, y ) x 2 y 2 0
x2 y2 0 x2 y 2 0
证明： f 点 (0, 0) 连续且存在偏导数，但 f 在点 (0, 0) 不可微。
v n1 Fx , Fy , Fz 4, 6, 4 2, 3, 2
P
8
v n2 Gx , Gy , Gz 6, 2, 4 3,1, 2
P
切向量
v v v t n1 n2 2 3 2 8, 10, 7 8,10, 7 3 1 2
vxx v yy vzz
3( x 2 y 2 z 2 ) 3r 2 r 3( x 2 y 2 z 2 ) 3r 2 r g ( t ) g (t ) 5 4 r c cr c x2 y 2 z 2 r 1 1 r g (t ) 2 g (t ) 2 3 cr c c r c
2011矿大数值分析试卷
中国矿业大学2011～2012学年第1学期《 数值分析 》试卷一（15分） 设线性方程组为1212323242828x x x x x x x -+=-⎧⎪-+=⎨⎪-=-⎩。
（1）用LU 分解法求解该方程组；（2）建立求解该方程组的Jacobi 迭代公式与Gauss-Seidel 迭代公式； （3）判别Jacobi 迭代公式与Gauss-Seidel 迭代公式的收敛性，哪个收敛更快。
解：（1）将方程组改写成矩阵形式有123210412180128x x x --⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦，记为Ax b = A 的LU 分解A LU =：1001/21002/31L ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦，21003/21004/3U -⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦Ly bAx b LUx b Ux y=⎧=⇔=⇔⎨=⎩ 先由方程组Ly b =求得464y -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦，再由方程组Ux y =求得123x ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦。
（2）Jacobi 迭代： 将原方程改写为12213320.520.50.540.54x x x x x x x =+⎧⎪=+-⎨⎪=+⎩， 建立Jacobi 迭代为：(1)()()00.5020.500.5400.504k k k J xx M x d +⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=+-=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦同理建立G-S 迭代：(1)()(1)00.50200.250.5300.1250.25 2.5k k k G xx M x d ++⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=+-=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦（3）Jacobi 矩阵J M =00.500.500.500.50⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦的特征方程为 20.50()||0.50.5(0.5)000.5J f E M λλλλλλλ-⎡⎤⎢⎥=-=--=-=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦，从而12,30,λλ==()0.70711J M ρ=< 。