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【数据结构】常见排序算法复杂度

【数据结构】常见排序算法复杂度相关概念1、稳定排序（stable sort）和⾮稳定排序稳定排序是指所有相等的数经过某种排序算法操作后仍然能保持它们在排序之前的相对次序。

反之就是⾮稳定排序。

2、内排序（internal sorting）和外排序（external sorting）在排序过程中，所有需要排序的数都在内存，并在内存中调整它们的存储顺序，称为内排序；在排序过程中，只有部分数被调⼊内存，并借助内存调整数在外存中的存放顺序排序⽅法称为外排序。

排序算法【冒泡排序】（Bubble Sort）冒泡排序⽅法是最简单的排序⽅法。

这种⽅法的基本思想是，将待排序的元素看作是竖着排列的“⽓泡”，较⼩的元素⽐较轻，从⽽要往上浮。

在冒泡排序算法中我们要对这个“⽓泡”序列处理若⼲遍。

所谓⼀遍处理，就是⾃底向上检查⼀遍这个序列，并时刻注意两个相邻的元素的顺序是否正确。

如果发现两个相邻元素的顺序不对，即“轻”的元素在下⾯，就交换它们的位置。

显然，处理⼀遍之后，“最轻”的元素就浮到了最⾼位置；处理⼆遍之后，“次轻”的元素就浮到了次⾼位置。

在作第⼆遍处理时，由于最⾼位置上的元素已是“最轻”元素，所以不必检查。

⼀般地，第i遍处理时，不必检查第i⾼位置以上的元素，因为经过前⾯i-1遍的处理，它们已正确地排好序。

冒泡排序是稳定的。

算法时间复杂度是O(n2)。

【选择排序】（Selection Sort）选择排序的基本思想是对待排序的记录序列进⾏n-1遍的处理，第 i 遍处理是将[i..n]中最⼩者与位置 i 交换位置。

这样，经过 i 遍处理之后，前 i 个记录的位置已经是正确的了。

选择排序是不稳定的。

算法复杂度是O(n2 )。

【插⼊排序】（Insertion Sort）插⼊排序的基本思想是，经过i-1遍处理后,L[1..i-1]⼰排好序。

第i遍处理仅将L插⼊L[1..i-1]的适当位置，使得L[1..i]⼜是排好序的序列。

要达到这个⽬的，我们可以⽤顺序⽐较的⽅法。

算法的时间复杂度和空间复杂度

相关知识介绍（所有定义只为帮助读者理解相关概念，并非严格定义）：1、稳定排序和非稳定排序简单地说就是所有相等的数经过某种排序方法后，仍能保持它们在排序之前的相对次序，我们就说这种排序方法是稳定的。

反之，就是非稳定的。

比如：一组数排序前是a1,a2,a3,a4,a5，其中a2=a4，经过某种排序后为a1,a2,a4,a3,a5，则我们说这种排序是稳定的，因为a2排序前在a4的前面，排序后它还是在a4的前面。

假如变成a1,a4, a2,a3,a5就不是稳定的了。

2、内排序和外排序在排序过程中，所有需要排序的数都在内存，并在内存中调整它们的存储顺序，称为内排序；在排序过程中，只有部分数被调入内存，并借助内存调整数在外存中的存放顺序排序方法称为外排序。

3、算法的时间复杂度和空间复杂度所谓算法的时间复杂度，是指执行算法所需要的计算工作量。

一个算法的空间复杂度，一般是指执行这个算法所需要的内存空间。

功能：选择排序输入：数组名称（也就是数组首地址）、数组中元素个数算法思想简单描述：在要排序的一组数中，选出最小的一个数与第一个位置的数交换；然后在剩下的数当中再找最小的与第二个位置的数交换，如此循环到倒数第二个数和最后一个数比较为止。

选择排序是不稳定的。

算法复杂度O(n2)--[n的平方void select_sort(int *x, int n){int i, j, min, t;for (i=0; i<n-1; i++) /*要选择的次数：0~n-2共n-1次*/{min = i; /*假设当前下标为i的数最小，比较后再调整*/for (j=i+1; j<n; j++)/*循环找出最小的数的下标是哪个*/{if (*(x+j) < *(x+min)){min = j; /*如果后面的数比前面的小，则记下它的下标*/}}if (min != i) /*如果min在循环中改变了，就需要交换数据*/{t = *(x+i);*(x+i) = *(x+min);*(x+min) = t;}}/*功能：直接插入排序输入：数组名称（也就是数组首地址）、数组中元素个数算法思想简单描述：在要排序的一组数中，假设前面(n-1) [n>=2] 个数已经是排好顺序的，现在要把第n个数插到前面的有序数中，使得这n个数也是排好顺序的。

电子科技大学-数值分析答案-钟尔杰

| x n +1 − 7 |=
而xn具有n位有效数，故
所以
| x n +1 − 7 |≤
由此得xn+1的误差限
1 2 7
| x n − 7 |2 ≤
1 × × 10 2− 2 n 2 7 4
1
| x n +1 − 7 |≤
1 × 10 1− 2 n 2
故，xn+1是 7 的具有 2n位有效数字的近似值。三、问题 1．假定 a0，b0是非负实数且a0≠b0，按如下递推公式
∑ [ai ∑ b j ]
i =1 j =1
n，仍为( n + 2 ) ( n – 1) / 2。，算法输出 11 试构造一个算法，对输入的数据 x0，x1，x2，……，xn，以及x（均为实数）为 ( x –x0) ( x –x1) ( x –x2)……( x –xn) 的计算结果。解算法如下：第一步：输入x；x0，x1，x2，……，xn，M Å (x – x0 )；k Å 0；第二步：M Å M×(x – x0 )；k Å k+1；第三步：判断，若 k ≤ n，则转第二步；否则输出 M，结束。 12 利用级数公式
4
π 1 dx = arctan 1 = 可以计算出无理数π 的值。将定积分表示为积分和 2 4 1+ x
R
H
∫
1
0
xn dx ( n = 1，2，…，20) 的递推 5+ x
关系，并研究递推算法的数值稳定性。 6．计算两个多项式Pn(x)和Qm(x)的乘积多项式Tn+m(x)的方法称为向量的卷积方法。设
第一章习题解答与问题
一、习题解答 1 设 x>0，x 的相对误差限为 δ，求 ln x 的误差。解：设 x的准确值为x*，则有 ( | x – x* | /|x*| ) ≤ δ 所以 e(ln x)=| ln x – ln x* | =| x – x* | ×| (ln x)’|x=ξ·≈ ( | x – x* | / | x*| ) ≤ δ 另解： e(ln x)=| ln x – ln x* | =| ln (x / x*) | = | ln (( x – x* + x*)/ x*) | = | ln (( x – x* )/ x* + 1) |≤( | x – x* | /|x*| ) ≤ δ 2 设 x = – 2.18 和 y = 2.1200 都是由准确值经四舍五入而得到的近似值。求绝对误差限 ε( x ) 和 ε( y ) 。解：| e(x) | = |e(– 2.18)|≤ 0.005，| e(y) | = |e( 2.1200)|≤ 0.00005，所以 ε( x )=0.005， ε( y ) = 0.00005。 3 下近似值的绝对误差限都是 0.005，问各近似值有几位有效数字 x1=1.38，x2= –0.0312，x3= 0.00086 解：根据有效数字定义，绝对误差限不超过末位数半个单位。由题设知，x1，x2， x3有效数末位数均为小数点后第二位。故x1具有三位有效数字，x2具有一位有效数字，x3具有零位有效数字。 4 已知近似数 x 有两位有效数字，试求其相对误差限。解：| er(x) | ≤ 5 × 10– 2 。 5 设 y0 = 28，按递推公式 yn = yn-1 –

算法与程序设计复习知识点

算法与程序设计复习知识点算法与程序设计复习知识点1. 算法基础1.1. 算法的定义算法是解决特定问题的一系列清晰指令的有限序列，用来描述解决问题的步骤和方法。

1.2. 算法的特性输入：一个算法必须具有零个或多个输入。

输出：一个算法必须具有一个或多个输出。

明确性：算法的每一步骤必须清晰明确，无二义性。

有限性：算法必须在有限的步骤之后终止。

可行性：算法的每一步都可以通过执行有限次来完成。

1.3. 算法的复杂度算法的复杂度是衡量算法性能的指标，主要包括时间复杂度和空间复杂度。

时间复杂度：描述算法执行所需的时间量与输入数据规模之间的关系。

空间复杂度：描述算法执行所需的存储空间量与输入数据规模之间的关系。

2. 程序设计基础2.1. 编程语言选择合适的编程语言，根据问题需求和自身编程经验选择合适的语言，常见的编程语言包括C、C++、Java、等。

2.2. 数据类型在程序中使用合适的数据类型可以更好地组织和操作数据，常见的数据类型有：整型、浮点型、字符型、字符串型、数组、结构体、指针等。

2.3. 控制结构控制结构用来控制程序的执行流程，主要包括选择结构（if-else语句、switch语句）和循环结构（for循环、while循环）。

2.4. 函数函数是一段独立完成特定任务的代码块，函数可以提高代码的重用性和可维护性，降低代码的复杂度。

2.5. 数据结构数据结构是组织和存储数据的方式，不同的数据结构适用于不同的问题场景，常见的数据结构包括数组、链表、栈、队列、树、图等。

3. 常见算法3.1. 排序算法常见的排序算法包括：冒泡排序、选择排序、插入排序、快速排序、归并排序等。

3.2. 查找算法常见的查找算法包括：顺序查找、二分查找、哈希查找等。

3.3. 图算法常见的图算法包括：深度优先搜索（DFS）、广度优先搜索（BFS）、最短路径算法（Dijkstra算法、Floyd-Warshall算法）等。

3.4. 动态规划动态规划是一种将复杂问题分解为简单子问题的方法，通过解决子问题来解决原始问题，常见的动态规划问题包括背包问题、最长公共子序列问题等。

几种常见算法的介绍及复杂度分析

几种常见算法的介绍及复杂度分析一、排序算法1.冒泡排序：通过反复交换相邻元素实现排序，每次遍历将最大元素放到最后。

时间复杂度为O(n^2)。

2.插入排序：将未排序元素插入已排序序列的适当位置，时间复杂度为O(n^2)。

3.选择排序：每次选择最小的元素放到已排序序列末尾，时间复杂度为O(n^2)。

4. 快速排序：通过递归将数组分段，并以一个基准元素为准将小于它的元素放在左边，大于它的元素放在右边，时间复杂度为O(nlogn)。

5. 归并排序：将数组递归拆分为多个子数组，对子数组进行排序并合并，时间复杂度为O(nlogn)。

二、查找算法1.顺序查找：从头到尾依次比较目标元素与数组中的元素，时间复杂度为O(n)。

2. 二分查找：依据已排序的数组特性，将目标元素与中间位置的元素比较，并根据大小取舍一半的数组进行查找，时间复杂度为O(logn)。

3.哈希查找：通过哈希函数将目标元素映射到数组的索引位置，时间复杂度为O(1)，但可能需要额外的空间。

三、图算法1.广度优先（BFS）：从起始节点开始，依次访问其邻居节点，再访问邻居的邻居，直到找到目标节点或遍历所有节点。

时间复杂度为O(V+E)，V为顶点数量，E为边的数量。

2.深度优先（DFS）：从起始节点开始一直遍历到没有未访问的邻居，再回溯到上一个节点继续遍历，直到找到目标节点或遍历所有节点。

时间复杂度为O(V+E)，V为顶点数量，E为边的数量。

3. 最短路径算法（如Dijkstra算法）：通过计算起始节点到每个节点的最短路径，找到起始节点到目标节点的最短路径。

时间复杂度为O(V^2)，V为顶点数量。

4. 最小生成树算法（如Prim算法）：通过贪心策略找到连通图的最小权重生成树，时间复杂度为O(V^2)，V为顶点数量。

四、动态规划算法1.背包问题：将问题拆解为若干子问题，并通过求解子问题的最优解推导出原问题的最优解。

时间复杂度为O(nW)，n为物品数量，W为背包容量。

算法基础（1）之递归、时间空间复杂度

算法基础（1）之递归、时间空间复杂度参考⽬录：我的笔记：递归（recursion）递归是⼀种很常见的计算编程⽅法，现在通过阶乘案例来学习递归demo1:function factorial(num) {if(num === 1) return num;return num * factorial(num - 1); // 递归求n的阶乘，会递归n次，每次递归内部计算时间是常数，需要保存n个调⽤记录，复杂度 O(n)}const view = factorial(100);console.time(1);console.log(view); // 1: 3.568msconsole.timeEnd(1);递归可能会造成栈溢出，在程序执⾏中，函数通过栈（stack——后进先出）这种数据实现的，每当进⼊⼀个函数调⽤，栈就会增加⼀层栈帧，每次函数返回，栈就会减少⼀层栈帧。

由于栈的⼤⼩不是⽆限的，所以，递归调⽤的次数过多，就会导致栈溢出（stack overflow）。

demo2：尾递归// 如果改为尾递归，只需要保留⼀个调⽤记录，复杂度为O(1)function factorial01(n, tntal) {if(n === 1) return tntalreturn factorial(n - 1, n * tntal) // 把每⼀步的乘积传⼊到递归函数中，每次仅返回递归函数本⾝，total在函数调⽤前就会被计算，不会影响函数调⽤}console.time(2)console.log(factorial01(5, 1)) // 120console.timeEnd(2) // 2: 0.14404296875ms栈帧每⼀个栈帧对应着⼀个未运⾏完的函数，栈帧中保存了该函数的返回地址和局部变量。

栈帧也叫过程活动记录，是编译器⽤来实现过程/函数调⽤的⼀种数据结构。

从逻辑上讲，栈帧就是⼀个函数执⾏的环境：函数参数、函数的局部变量、函数执⾏完后返回到哪⾥等。

数据结构的空间复杂度分析如何评估算法的内存占用

数据结构的空间复杂度分析如何评估算法的内存占用在计算机科学中，算法的效率是一个非常重要的指标。

除了时间复杂度之外，空间复杂度也是评估算法性能的重要因素之一。

空间复杂度是指算法在执行过程中所需的内存空间占用情况。

评估算法的内存占用可以帮助我们选择合适的数据结构和算法来解决问题，以达到优化程序性能的目的。

下面将介绍一些常见的空间复杂度分析方法。

1. 常数空间复杂度（O(1)）当算法执行所需的内存空间是一个常数时，我们称之为常数空间复杂度。

这意味着无论输入规模的大小如何，算法所需的内存空间都保持不变。

例如，对一个数组进行求和操作的算法，只需要一个变量来保存累加结果，在任何情况下都只占用一个常数的内存空间。

2. 线性空间复杂度（O(n)）当算法执行所需的内存空间与输入规模成线性关系时，我们称之为线性空间复杂度。

这意味着随着输入规模的增大，算法所需的内存空间也呈线性增长。

例如，对一个长度为n的数组进行遍历的算法，需要n个内存空间来存储数组中的元素。

3. 平方空间复杂度（O(n^2)）当算法执行所需的内存空间与输入规模的平方成正比时，我们称之为平方空间复杂度。

这意味着随着输入规模的增大，算法所需的内存空间呈平方级增长。

例如，对一个n×n的矩阵进行操作的算法，需要n^2个内存空间来存储矩阵中的元素。

4. 对数空间复杂度（O(log n)）当算法执行所需的内存空间与输入规模的对数成正比时，我们称之为对数空间复杂度。

这意味着随着输入规模的增大，算法所需的内存空间呈对数增长。

例如，二分查找算法就是一种具有对数空间复杂度的算法，因为它每次都将问题规模缩小一半，所需的内存空间也随之减少。

评估算法的内存占用除了空间复杂度的分析之外，还可以通过实际的内存占用情况来进行评估。

通过对算法进行测试和性能分析，我们可以获得算法在不同输入规模下的内存占用情况，从而选择最优的算法。

总结而言，空间复杂度是评估算法内存占用的重要指标之一。

算法复杂度——时间复杂度和空间复杂度

1.时间复杂度（1）时间频度一个算法执行所耗费的时间，从理论上是不能算出来的，必须上机运行测试才能知道。

但我们不可能也没有必要对每个算法都上机测试，只需知道哪个算法花费的时间多，哪个算法花费的时间少就可以了。

并且一个算法花费的时间与算法中语句的执行次数成正比例，哪个算法中语句执行次数多，它花费时间就多。

一个算法中的语句执行次数称为语句频度或时间频度。

记为T(n)。

（2）时间复杂度在刚才提到的时间频度中，n称为问题的规模，当n不断变化时，时间频度T(n)也会不断变化。

但有时我们想知道它变化时呈现什么规律。

为此，我们引入时间复杂度概念。

一般情况下，算法中基本操作重复执行的次数是问题规模n的某个函数，用T(n)表示，若有某个辅助函数f(n),使得当n趋近于无穷大时，T（n)/f(n)的极限值为不等于零的常数，则称f(n)是T(n)的同数量级函数。

记作T(n)=Ｏ(f(n)),称Ｏ(f(n)) 为算法的渐进时间复杂度，简称时间复杂度。

在各种不同算法中，若算法中语句执行次数为一个常数，则时间复杂度为O(1),另外，在时间频度不相同时，时间复杂度有可能相同，如 T(n)=n2+3n+4与T(n)=4n2+2n+1它们的频度不同，但时间复杂度相同，都为O(n2)。

按数量级递增排列，常见的时间复杂度有：常数阶O(1),对数阶O(log2n),线性阶O(n), 线性对数阶O(nlog2n),平方阶O(n2)，立方阶O(n3),...，k次方阶O(nk),指数阶O(2n)。

随着问题规模n的不断增大，上述时间复杂度不断增大，算法的执行效率越低。

2、空间复杂度与时间复杂度类似，空间复杂度是指算法在计算机内执行时所需存储空间的度量。

记作: S(n)=O(f(n)) 我们一般所讨论的是除正常占用内存开销外的辅助存储单元规模。

讨论方法与时间复杂度类似，不再赘述。

（3）渐进时间复杂度评价算法时间性能主要用算法时间复杂度的数量级(即算法的渐近时间复杂度)评价一个算法的时间性能。

算法时间复杂度分析中递归方程求解方法综述

计算机算法分析中所需要的资源数量，经常以和的形式或递归公式的形式表示。绝大部分算法的执行，都表现为按某种条件，重复地执行一些循环，而这些循环，又经常可以用递归关系来表达这就使得递归方程的求解，对算法分析来说，变得非常重要
Ｆ（）ｘ＝ｆ（ｘ（）＋ｆ３ｘ＋… １＋ｆ２ｘ）（）
＝
ｌ＋口，＂ｋ＋（） …＋＾（一）ｇｎ【（＝ｔ（ｓ＜），ｆ６０ｉｋ）
的方程称为ｋ阶常系数线性非齐次递归方程
∑ ｆｋｘ（）
Ｘ
２一
一 —
一
其通解形式为：
子。第一个月有一只小兔子，求ｎ个月后有多少只兔子？令ｔｎ，Ｔ（）（）ｎ分别表示第ｎ个月小兔子
厂” ＝＋１ …＋々：（ｑ）Ｃｌｑ＋ｑ
②特征方程的ｋ个根中有ｒ个重根ｑ … ，，ｑ．ｉ，ｑ１时，其通解为：
大予数目ｆ）第ｎ兔总。免的，（为个月子的数目ｎ
则有如下关系式：Ｔｎ（）一Ｔｎ）＋ｔ —１（１（）ｎｔ（）Ｔｎ）ｎ＝（－１ｆ（ｎＴｎ）（）十ｔ）（ｎ由上述三式可以得到如下递归方程
引言
在计算机科学中，递归概念经常用于递归调用方面，即函数或过程自己调用自己。用递归调用的算法就是递归算法，递归调用会产生无终止运算的可能性，因此必须在适当的情况
下终止递归调用。

算法复杂度的计算方法

算法复杂度的计算方法算法复杂度的计算方法什么是算法复杂度算法复杂度是衡量一个算法执行效率的指标，常用来评估算法的时间和空间消耗情况。

它能够帮助我们选择更加高效的算法，在解决问题时更有效地利用计算资源。

时间复杂度常见的时间复杂度•O(1)：常数时间复杂度，表示算法的执行时间是固定的，不随问题规模的增加而变化。

例如，查找数组中某个元素的索引。

•O(logn)：对数时间复杂度，表示算法的执行时间随问题规模的增加而呈对数增长。

例如，二分查找算法。

•O(n)：线性时间复杂度，表示算法的执行时间随问题规模的增加而呈线性增长。

例如，遍历数组求和。

•O(n^2)：平方时间复杂度，表示算法的执行时间随问题规模的增加而呈平方增长。

例如，多次嵌套循环遍历二维数组。

•O(2^n)：指数时间复杂度，表示算法的执行时间随问题规模的增加而呈指数增长。

例如，解决旅行商问题的暴力穷举法。

如何计算时间复杂度通常情况下，通过分析算法中的循环次数或者递归调用次数，可以推导出算法的时间复杂度。

以下是一些常见的情况和计算方法：•单条语句执行：如果算法中只包含一条语句，那么它的时间复杂度为O(1)，即常数时间复杂度。

•顺序执行：如果算法中包含多条语句，并且按照顺序执行，那么算法的时间复杂度取决于耗时最长的那条语句的复杂度。

•循环语句：根据循环的次数和循环体内的代码复杂度，可以推导出循环语句的时间复杂度。

•递归调用：递归算法的时间复杂度和递归调用的次数以及每次调用的复杂度有关。

空间复杂度常见的空间复杂度•O(1)：常数空间复杂度，表示算法的额外空间消耗是固定的，不随问题规模的增加而变化。

•O(n)：线性空间复杂度，表示算法的额外空间消耗随问题规模的增加而线性增长。

•O(n^2)：平方空间复杂度，表示算法的额外空间消耗随问题规模的增加而平方增长。

•O(2^n)：指数空间复杂度，表示算法的额外空间消耗随问题规模的增加而指数增长。

如何计算空间复杂度空间复杂度的计算方法与时间复杂度类似，但要注意算法中需要额外使用的空间。

简述衡量算法优劣的2个主要指标

简述衡量算法优劣的2个主要指标
衡量算法优劣的两个主要指标是时间复杂度和空间复杂度。

时间复杂度是指算法运行所需的时间，通常使用大O记法来表示，也就是算法运行时间与输入规模的关系。

时间复杂度越小，算法的效率越高。

空间复杂度是指算法运行所需的空间大小，也通常使用大O记法表示，和时间复杂度一样，空间复杂度也与输入规模有关。

空间复杂度越小，算法所需的内存空间越小，算法的效率也越高。

综上，对于一个好的算法来说，时间复杂度和空间复杂度都应该较低，才能够更快地处理大规模的数据，并且占用更少的内存。

时间复杂度的计算

时间复杂度计算学习数据结构时,觉得时间复杂度计算很复杂,怎么也看不懂,差不多三年之后,还是不懂,马上就要找工作了,赶紧恶补一下吧：首先了解一下几个概念;一个是时间复杂度,一个是渐近时间复杂度;前者是某个算法的时间耗费,它是该算法所求解问题规模n的函数,而后者是指当问题规模趋向无穷大时,该算法时间复杂度的数量级;当我们评价一个算法的时间性能时,主要标准就是算法的渐近时间复杂度,因此,在算法分析时,往往对两者不予区分,经常是将渐近时间复杂度Tn=Ofn简称为时间复杂度,其中的fn一般是算法中频度最大的语句频度;此外,算法中语句的频度不仅与问题规模有关,还与输入实例中各元素的取值相关;但是我们总是考虑在最坏的情况下的时间复杂度;以保证算法的运行时间不会比它更长;常见的时间复杂度,按数量级递增排列依次为：常数阶O1、对数阶Olog2n、线性阶On、线性对数阶Onlog2n、平方阶On^2、立方阶On^3、k次方阶On^k、指数阶O2^n;1. 大O表示法定义设一个程序的时间复杂度用一个函数 Tn 来表示,对于一个查找算法,如下： int seqsearch int a, const int n, const int x { int i = 0; for ; ai = x && i < n ; i++ ; if i == n return -1; else return i; } 这个程序是将输入的数值顺序地与数组中地元素逐个比较,找出与之相等地元素; 在第一个元素就找到需要比较一次,在第二个元素找到需要比较2次,……,在第n个元素找到需要比较n次;对于有n个元素的数组,如果每个元素被找到的概率相等,那么查找成功的平均比较次数为: fn = 1/n n + n-1 + n-2 + ... + 1 = n+1/2 = On 这就是传说中的大O函数的原始定义;用大O来表述要全面分析一个算法,需要考虑算法在最坏和最好的情况下的时间代价,和在平均情况下的时间代价;对于最坏情况,采用大O表示法的一般提法注意,这里用的是“一般提法”是：当且仅当存在正整数c和n0,使得 Tn <= cfn 对于所有的n >= n0 都成立;则称该算法的渐进时间复杂度为Tn = Ofn;这个应该是高等数学里面的第一章极限里面的知识;这里fn = n+1/2, 那么c fn也就是一个一次函数;就是在图象上看就是如果这个函数在cfn的下面,就是复杂度为Tn = Ofn;对于对数级,我们用大O记法记为Olog2N就可以了;规则1 加法规则Tn,m = T1n + T2n = O max fn, gm2 乘法规则Tn,m = T1n T2m = O fn gm3一个特例在大O表示法里面有一个特例,如果T1n ＝ O, c是一个与n无关的任意常数,T2n = O fn 则有 Tn = T1n T2n = O cfn = O fn . 也就是说,在大O表示法中,任何非0正常数都属于同一数量级,记为O1; 4一个经验规则有如下复杂度关系c < log2N < n < n Log2N < n^2 < n^3 < 2^n < 3^n < n 其中c是一个常量,如果一个算法的复杂度为c 、 log2N 、n 、 nlog2N ,那么这个算法时间效率比较高 ,如果是 2^n , 3^n ,n,那么稍微大一些的n就会令这个算法不能动了,居于中间的几个则差强人意.1基本知识点：没有循环的一段程序的复杂度是常数,一层循环的复杂度是On,两层循环的复杂度是On^2 我用^2表示平方,同理 ^3表示立方；2二维矩阵的标准差,残差,信息熵,fft2,dwt2,dct2的时间复杂度: 标准差和残差可能On,FFT2是Onlogn,DWT2可能也是Onlogn；信息熵要求概率,而dct的过程和jpeg一样;因为和jpeg一样,对二难矩阵处理了.Y=TXT',Z=Y.Mask,这样子,还有分成88子图像了;3example：1、设三个函数f,g,h分别为 fn=100n^3+n^2+1000 , gn=25n^3+5000n^2 ,hn=n^+5000nlgn请判断下列关系是否成立：1 fn=Ogn2 gn=Ofn3 hn=On^4 hn=Onlgn这里我们复习一下渐近时间复杂度的表示法Tn=Ofn,这里的"O"是数学符号,它的严格定义是"若Tn和fn是定义在正整数集合上的两个函数,则Tn=Ofn表示存在正的常数C和n0 ,使得当n≥n0时都满足0≤Tn≤Cfn;"用容易理解的话说就是这两个函数当整型自变量n趋向于无穷大时,两者的比值是一个不等于0的常数;这么一来,就好计算了吧;◆1成立;题中由于两个函数的最高次项都是n^3,因此当n→∞时,两个函数的比值是一个常数,所以这个关系式是成立的;◆2成立;与上同理;◆3成立;与上同理;◆4不成立;由于当n→∞时n^比nlgn递增的快,所以hn与nlgn的比值不是常数,故不成立;2、设n为正整数,利用大"O"记号,将下列程序段的执行时间表示为n的函数;1 i=1; k=0whilei<n{ k=k+10i;i++;}解答：Tn=n-1, Tn=On, 这个函数是按线性阶递增的;2 x=n; .,k次方阶Onk,指数阶O2n;随着问题规模n的不断增大,上述时间复杂度不断增大,算法的执行效率越低;2、空间复杂度与时间复杂度类似,空间复杂度是指算法在计算机内执行时所需存储空间的度量;记作:Sn=Ofn我们一般所讨论的是除正常占用内存开销外的辅助存储单元规模;讨论方法与时间复杂度类似,不再赘述;3渐进时间复杂度评价算法时间性能主要用算法时间复杂度的数量级即算法的渐近时间复杂度评价一个算法的时间性能;例3．7有两个算法A1和A2求解同一问题,时间复杂度分别是T1n=100n2,T2n=5n3;1当输入量n＜20时,有T1n＞T2n,后者花费的时间较少;2随着问题规模n的增大,两个算法的时间开销之比5n3/100n2=n/20亦随着增大;即当问题规模较大时,算法A1比算法A2要有效地多;它们的渐近时间复杂度On2和On3从宏观上评价了这两个算法在时间方面的质量;在算法分析时,往往对算法的时间复杂度和渐近时间复杂度不予区分,而经常是将渐近时间复杂度Tn=Ofn简称为时间复杂度,其中的fn一般是算法中频度最大的语句频度;例3．8算法MatrixMultiply的时间复杂度一般为Tn=On3,fn=n3是该算法中语句5的频度;下面再举例说明如何求算法的时间复杂度;例3．9交换i和j的内容;Temp=i;i=j;j=temp;以上三条单个语句的频度均为1,该程序段的执行时间是一个与问题规模n无关的常数;算法的时间复杂度为常数阶,记作Tn=O1;如果算法的执行时间不随着问题规模n的增加而增长,即使算法中有上千条语句,其执行时间也不过是一个较大的常数;此类算法的时间复杂度是O1;例3．10变量计数之一;1 x=0;y=0;2 fork-1;k<=n;k++3 x++;4 fori=1;i<=n;i++5 forj=1;j<=n;j++6 y++;一般情况下,对步进循环语句只需考虑循环体中语句的执行次数,忽略该语句中步长加1、终值判别、控制转移等成分;因此,以上程序段中频度最大的语句是6,其频度为fn=n2,所以该程序段的时间复杂度为Tn=On2;当有若干个循环语句时,算法的时间复杂度是由嵌套层数最多的循环语句中最内层语句的频度fn决定的;例3．11变量计数之二;1 x=1;2 fori=1;i<=n;i++3 forj=1;j<=i;j++4 fork=1;k<=j;k++5 x++;该程序段中频度最大的语句是5,内循环的执行次数虽然与问题规模n 没有直接关系,但是却与外层循环的变量取值有关,而最外层循环的次数直接与n有关,因此可以从内层循环向外层分析语句5的执行次数：则该程序段的时间复杂度为Tn=On3/6+低次项=On3;4算法的时间复杂度不仅仅依赖于问题的规模,还与输入实例的初始状态有关;例3．12在数值A0..n-1中查找给定值K的算法大致如下：1i=n-1;2whilei>=0&&Ai=k3 i--;4return i;此算法中的语句3的频度不仅与问题规模n有关,还与输入实例中A的各元素取值及K的取值有关:①若A中没有与K相等的元素,则语句3的频度fn=n；②若A的最后一个元素等于K,则语句3的频度fn是常数0;5最坏时间复杂度和平均时间复杂度最坏情况下的时间复杂度称最坏时间复杂度;一般不特别说明,讨论的时间复杂度均是最坏情况下的时间复杂度;这样做的原因是：最坏情况下的时间复杂度是算法在任何输入实例上运行时间的上界,这就保证了算法的运行时间不会比任何更长;例3．19查找算法例1·8在最坏情况下的时间复杂度为Tn=0n,它表示对于任何输入实例,该算法的运行时间不可能大于0n;平均时间复杂度是指所有可能的输入实例均以等概率出现的情况下,算法的期望运行时间;常见的时间复杂度按数量级递增排列依次为：常数01、对数阶0log2n、线形阶0n、线形对数阶0nlog2n、平方阶0n2立方阶0n3、…、k次方阶0nk、指数阶02n;显然,时间复杂度为指数阶02n的算法效率极低,当n值稍大时就无法应用;类似于时间复杂度的讨论,一个算法的空间复杂度Space ComplexitySn定义为该算法所耗费的存储空间,它也是问题规模n的函数;渐近空间复杂度也常常简称为空间复杂度;算法的时间复杂度和空间复杂度合称为算法的复杂度;。

算法分类,时间复杂度,空间复杂度,优化算法

算法分类,时间复杂度,空间复杂度,优化算法算法今天给⼤家带来⼀篇关于算法排序的分类,算法的时间复杂度,空间复杂度,还有怎么去优化算法的⽂章,喜欢的话,可以关注,有什么问题,可以评论区提问,可以与我私信,有什么好的意见,欢迎提出.前⾔: 算法的复杂度分为时间复杂度与空间复杂度,时间复杂度指执⾏算法需要需要的计算⼯作量,空间复杂度值执⾏算法需要的内存量,可能在运⾏⼀些⼩数据的时候,⼤家体会不到算法的时间与空间带来的体验. 优化算法就是将算法的时间优化到最快,将空间优化到最⼩,假如你写的mod能够将百度游览器的搜索时间提升0.5秒,那都是特别厉害的成绩.本章内容: 1,算法有哪些 2,时间复杂度,空间复杂度 3,优化算法 4,算法实例⼀,算法有哪些常见的算法有冒泡排序,快排,归并,希尔,插⼊,⼆分法,选择排序,⼴度优先搜索,贪婪算法,这些都是新⼿⼊门必须要了解的,你可以不会,但是你必须要知道他是怎么做到的,原理是什么,今天就给⼤家讲⼀讲我们常⽤的冒泡排序,选择排序,这两个排序算法,1,冒泡排序(Bubble Sort), 为什么叫他冒泡排序呢? 因为他就像是从海底往海⾯升起的⽓泡⼀样,从⼩到⼤,将要排序的数从⼩到⼤排序,冒泡的原理: 他会⼀次⽐较两个数字,如果他们的顺序错误,就将其调换位置,如果排序正确的话,就⽐较下⼀个,然后重复的进⾏,直到⽐较完毕,这个算法的名字也是这样由来的,越⼤的数字,就会慢慢的'浮'到最顶端. 好了该上代码了,下⾯就是冒泡排序的代码,冒泡相对于其他的排序算法来说,⽐较的简单,⽐较好理解,运算起来也是⽐较迅速的,⽐较稳定,在⼯作中也会经常⽤到,推荐使⽤# 冒泡排序def bubble_sort(alist):n = len(alist)# 循环遍历，找到当前列表中最⼤的数值for i in range(n-1):# 遍历⽆序序列for j in range(n-1-i):# 判断当前节点是否⼤于后续节点，如果⼤于后续节点则对调if alist[j] > alist[j+1]:alist[j], alist[j+1] = alist[j+1], alist[j]if__name__ == '__main__':alist = [12,34,21,56,78,90,87,65,43,21]bubble_sort(alist)print(alist)# 最坏时间复杂度: O(n^2)# 最优时间复杂度: O(n)# # 算法稳定性:稳定2,选择排序(selection sort) 选择排序(selection sort)是⼀种简单直观的排序⽅法, 他的原理是在要排序的数列中找到最⼤或者最⼩的元素,放在列表的起始位置,然后从其他⾥找到第⼆⼤,然后第三⼤,依次排序,依次类,直到排完, 选择排序的优点是数据移动, 在排序中,每个元素交换时,⾄少有⼀个元素移动,因此N个元素进⾏排序,就会移动 1--N 次,在所有依靠移动元素来排序的算法中,选择排序是⽐较优秀的⼀种选择排序时间复杂度与稳定性:最优时间复杂度: O(n2)最坏时间复杂度:O(n2)算法稳定性 :不稳定(考虑每次升序选择最⼤的时候)# if alist[j] < alist[min_index]:# min_index = j## # 判断min_index索引是否相同,不相同，做数值交换# if i != min_index:# alist[i],alist[min_index] = alist[min_index],alist[i]### if __name__ == '__main__':# alist = [12,34,56,78,90,87,65,43,21]# # alist = [1,2,3,4,5,6,7,8,9]# select_sort(alist)# print(alist)# O(n^2)# 不稳定def select_sort(alist):"""选择排序"""n = len(alist)for i in range(n - 1):min_index = i # 最⼩值位置索引、下标for j in range(i+1, n):if alist[j] < alist[min_index]:min_index = j# 判断min_index ,如果和初始值不相同，作数值交换if min_index != i:alist[i], alist[min_index] = alist[min_index],alist[i]if__name__ == '__main__':alist = [8,10,15,30,25,90,66,2,999]select_sort(alist)print(alist)这是⼀些算法的时间复杂度与稳定性时间复杂度,空间复杂度接下来就要来说说时间复杂度与空间复杂度: 时间复杂度就是假如你泡茶,从开始泡,到你喝完茶,⼀共⽤了多长时间,你中间要执⾏很多步骤,取茶叶,烧⽔,上厕所,接电话,这些都是要花时间的,在算法中,时间复杂度分为 O(1)最快 , O(nn)最慢,O(1) < O(logn) <O(n)<O(n2)<O(n3)<O(2n) <O(nn) ⼀般游览器的速度都在O(n),做我们这⼀⾏,要注意客户体验,如果你程序的运⾏特别慢,估计别⼈来⼀次,以后再也不会来了下⾯给⼤家找了张如何计算时间复杂度的图⽚: 空间复杂度(space complexity) ,执⾏时所需要占的储存空间,记做 s(n)=O(f(n)),其中n是为算法的⼤⼩, 空间复杂度绝对是效率的杀⼿,曾经看过⼀遍⽤插⼊算法的代码,来解释空间复杂度的,觉得特别厉害,我就⽐较low了,只能给⼤家简单的总结⼀下我遇到的空间复杂度了, ⼀般来说,算法的空间复杂度值得是辅助空间,⽐如:⼀组数字,时间复杂度O(n),⼆维数组a[n][m] :那么他的空间复杂度就是O(n*m) ,因为变量的内存是⾃动分配的,第⼀个的定义是循环⾥⾯的,所以是n*O(1) ,如果第⼆个循环在外边,那么就是1*O(1) ,这⾥也只是⼀个了解性的东西,如果你的⼯作中很少⽤到,那么没有必要深究,因为⽤的真的很少优化算法这边带来了代码,你们在复制下来了python上运⾏⼀下,看⼀下⽤的时间与不同, ⾃然就懂了,这是未优化的算法''已知有a,b,c三个数,都是0-1000之内的数,且: a+b+c=1000 ⽽且 a**2+b**2=c**2 ,求a,b,c⼀共有多少种组合'''# 在这⾥加⼀个时间模块,待会好计算出结果import time# 记录开头时间start_time=time.time()# 把a,b,c循环出来for a in range(1001):for b in range(1001):for c in range(100):# 判断他主公式第⼀次,并未优化if a+b+c==1000 and a**2 + b**2 == c**2 :# 打印print("a=" ,a)print("b=" ,b)print("c=" ,c)else:passstop_time = time.time()print('⼀共耗时: %f'%(stop_time-start_time))# ⼀共耗时 156.875001秒这是第⼀次优化import time# 记录开头时间start_time=time.time()# 把a,b,c循环出来for a in range(1001):# 这⾥改成1001-a之后,他就不⽤再循环b了for b in range(1001-a):for c in range(100):# 判断他主公式第⼆次,优化了b,if a+b+c==1000 and a**2 + b**2 == c**2 :print("a=" ,a)print("b=" ,b)print("c=" ,c)else:passstop_time = time.time()print('⼀共耗时: %f'%(stop_time-start_time))# ⼀共耗时 50.557070秒最后⼀次优化import time# 记录开头时间start_time=time.time()# 把a,b,c循环出来for a in range(1001):for b in range(1001-a):c=1000 - a - b# 判断他主公式第三次,优化了b和cif a+b+c==1000 and a**2 + b**2 == c**2 :print("a=" ,a)print("b=" ,b)print("c=" ,c)else:passstop_time = time.time()print('⼀共耗时: %f'%(stop_time-start_time))# ⼀共耗时 2.551449秒从156秒优化到l2秒, 基本运算总数 * 基本运算耗时 = 运算时间这之间的耗时和你的机器有着很⼤的关系今天是12⽉30⽇,明天就要跨年了,祝⼤家2019年事业有成,⼯资直线上升,早⽇脱单,。

复杂度计算公式

复杂度计算公式
复杂度计算公式是指用来分析算法时间复杂度或空间复杂度的
数学公式。

在计算机科学中，我们经常需要评估算法的效率，以便在实际应用中选择最优算法或优化现有算法。

复杂度计算公式为我们提供了一种标准化的方式来比较不同算法之间的性能差异。

对于时间复杂度的计算，我们通常使用大O符号来表示算法的运行时间与输入规模之间的关系。

公式可以写成T(n) = O(f(n))，其中T(n)表示算法的运行时间，f(n)表示输入规模，O表示算法的渐进复杂度，表示算法的最差运行时间。

例如，对于一个算法的运行时间T(n) = n^2 + 3n + 1，我们可以将其表示为T(n) = O(n^2)，因为随着输入规模n的增加，该算法的运行时间的增长率与n的平方成正比。

对于空间复杂度的计算，我们通常使用大Ω符号来表示算法所需的内存空间与输入规模之间的关系。

公式可以写成S(n) = Ω(g(n))，其中S(n)表示算法所需的内存空间，g(n)表示输入规模，Ω表示算法的最优空间复杂度，表示算法所需的最少内存空间。

例如，对于一个算法所需的内存空间S(n) = 2n + 4，我们可以将其表示为S(n) = Ω(n)，因为随着输入规模n的增加，该算法所需的内存空间的增长率与n成正比。

综上所述，复杂度计算公式是评估算法效率的重要工具，能够帮助我们在实际应用中选择最优算法或优化现有算法。

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机器学习原理及应用习题答案

第一章的题目填空题1、常见的机器学习算法有_________、___________、___________（随意列举三个）答：逻辑回归、最大熵模型、k-近邻模型、决策树、朴素贝叶斯分类器、支持向量机、高斯混合模型、隐马尔可夫模型、降维、聚类、深度学习2、sklearn.model_selection中的train_test_split函数的常见用法为______,______,______,______ = train_test_split(data,target)（填写测试集和训练集名称，配套填写，例如x_train,x_test）答：x_train x_test y_train y_test3、根据机器学习模型是否可用于生成新数据，可以将机器学习模型分为_________和_________。

答：生成模型判别模型4、训练一个机器学习模型往往需要对大量的参数进行反复调试或者搜索，这一过程称为______。

其中在训练之前调整设置的参数，称为_________。

答：调参超参数5、根据样本集合中是否包含标签以及半包含标签的多少，可以将机器学习分为____________、____________和______________。

答：监督学习半监督学习无监督学习判断题1、根据模型预测输出的连续性，可以将机器学习算法适配的问题划分为分类问题和线性问题。

（F）（回归问题）2、决策树属于典型的生成模型。

（F）（判别模型）3、降维、聚类是无监督学习算法（T）4、当我们说模型训练结果过拟合的时候，意思是模型的泛化能力很强（F）（很差）5、训练误差和泛化误差之间的差异越小，说明模型的泛化性能越好。

（T）选择题1、以下属于典型的生成模型的是（D）A、逻辑回归B、支持向量机C、k-近邻算法D、朴素贝叶斯分类器2、以下属于解决模型欠拟合的方法的是（C）A、增加训练数据量B、对模型进行裁剪C、增加训练过程的迭代次数D、正则化3、构建一个完整的机器学习算法需要三个方面的要素，分别是数据、模型、（A）。

查找算法的复杂度分析

查找算法的复杂度分析1.顺序查找说明：顺序查找适合于存储结构为顺序存储或链接存储的线性表。

基本思想：顺序查找也称为线形查找，属于无序查找算法。

从数据结构线形表的一端开始，顺序扫描，依次将扫描到的结点关键字与给定值k相比较，若相等则表示查找成功；若扫描结束仍没有找到关键字等于k的结点，表示查找失败。

复杂度分析：查找成功时的平均查找长度为：（假设每个数据元素的概率相等）ASL = 1/n(1+2+3+…+n) = (n+1)/2 ;当查找不成功时，需要n+1次比较，时间复杂度为O(n);所以，顺序查找的时间复杂度为O(n)。

2.二分查找说明：元素必须是有序的，如果是无序的则要先进行排序操作。

基本思想：也称为是折半查找，属于有序查找算法。

用给定值k 先与中间结点的关键字比较，中间结点把线形表分成两个子表，若相等则查找成功；若不相等，再根据k与该中间结点关键字的比较结果确定下一步查找哪个子表，这样递归进行，直到查找到或查找结束发现表中没有这样的结点。

复杂度分析：最坏情况下，关键词比较次数为log2(n+1)，且期望时间复杂度为O(log2n)；注：折半查找的前提条件是需要有序表顺序存储，对于静态查找表，一次排序后不再变化，折半查找能得到不错的效率。

但对于需要频繁执行插入或删除操作的数据集来说，维护有序的排序会带来不小的工作量，那就不建议使用。

3.插值查找在介绍插值查找之前，首先考虑一个新问题，为什么上述算法一定要是折半，而不是折四分之一或者折更多呢？打个比方，在英文字典里面查“apple”，你下意识翻开字典是翻前面的书页还是后面的书页呢？如果再让你查“zoo”，你又怎么查？很显然，这里你绝对不会是从中间开始查起，而是有一定目的的往前或往后翻。

同样的，比如要在取值范围1 ~ 10000 之间 100 个元素从小到大均匀分布的数组中查找5，我们自然会考虑从数组下标较小的开始查找。

经过以上分析，折半查找这种查找方式，不是自适应的（也就是说是傻瓜式的）。

空间复杂度计算公式

空间复杂度计算公式空间复杂度是算法分析中的一个重要概念，用于衡量算法所需的内存空间。

在计算空间复杂度时，我们通常关注算法的额外空间需求，即除了输入数据占用的空间外，算法执行过程中所需要的额外空间。

计算空间复杂度的公式如下：空间复杂度 = 算法使用的额外空间 / 输入规模空间复杂度的计算方式与时间复杂度类似，但需要特别关注算法中使用的额外空间。

额外空间包括算法中定义的变量、数据结构、递归调用所使用的栈空间等。

在进行空间复杂度分析时，我们通常关注的是算法的最坏情况下的空间需求。

这是因为最坏情况下的空间需求通常是算法在实际应用中最重要的考量因素之一。

下面我们以几个常见的算法为例，来说明如何计算空间复杂度。

1. 线性搜索算法线性搜索算法是一种简单的搜索算法，它从头到尾依次检查每个元素，直到找到目标元素或搜索完所有元素。

该算法的空间复杂度为O(1)，因为它只需要常数级别的额外空间来存储临时变量。

2. 冒泡排序算法冒泡排序算法是一种简单的排序算法，它重复地比较相邻的两个元素，并将较大的元素交换到右侧。

该算法的空间复杂度为O(1)，因为它只需要常数级别的额外空间来存储临时变量。

3. 快速排序算法快速排序算法是一种高效的排序算法，它通过选择一个基准元素，将序列分为小于基准元素和大于基准元素的两部分，并递归地对这两部分进行排序。

该算法的空间复杂度为O(logn)，因为它需要递归调用栈来存储每一层递归的临时变量。

4. 动态规划算法动态规划算法是一种常用的优化问题求解方法，它通过将问题分解为多个子问题，并利用子问题的解来求解原问题。

动态规划算法的空间复杂度取决于问题的规模和算法的实现方式，具体分析时需要具体问题具体分析。

通过以上几个例子，我们可以看出，在计算空间复杂度时，我们需要关注算法使用的额外空间，并根据具体情况进行分析。

掌握空间复杂度的计算方法可以帮助我们评估算法的空间需求，选择合适的算法来解决问题。

在实际应用中，我们通常希望选择空间复杂度较低的算法，以节省内存资源和提高程序的运行效率。

简述衡量算法好坏的五大标准

简述衡量算法好坏的五大标准在计算机科学中，算法是解决问题的一种方法，它是一组有序的操作步骤，用于解决特定的问题。

算法的好坏直接影响着计算机程序的效率和准确性。

因此，衡量算法好坏的标准非常重要。

下面将介绍衡量算法好坏的五大标准。

1. 时间复杂度时间复杂度是衡量算法好坏的最重要的标准之一。

它表示算法执行所需的时间与问题规模之间的关系。

通常用大O符号表示，例如O(n)、O(nlogn)、O(n²)等。

时间复杂度越小，算法执行所需的时间就越短，效率就越高。

2. 空间复杂度空间复杂度是指算法在执行过程中所需的内存空间大小。

与时间复杂度类似，空间复杂度也是用大O符号表示。

空间复杂度越小，算法所需的内存空间就越少，效率就越高。

3. 正确性算法的正确性是指算法能够正确地解决问题。

一个正确的算法应该能够处理所有可能的输入，并得出正确的输出。

如果算法不能正确地解决问题，那么它就是无用的。

4. 可读性可读性是指算法的代码是否易于理解和维护。

一个好的算法应该具有良好的可读性，这样可以方便程序员理解和修改代码。

可读性好的算法还可以提高代码的可维护性和可重用性。

5. 可扩展性可扩展性是指算法能否适应不同的问题规模和数据类型。

一个好的算法应该具有良好的可扩展性，这样可以方便程序员在不同的场景下使用算法。

可扩展性好的算法还可以提高代码的可重用性和可维护性。

衡量算法好坏的五大标准包括时间复杂度、空间复杂度、正确性、可读性和可扩展性。

在实际编程中，程序员应该根据具体的问题和需求选择合适的算法，并根据以上标准对算法进行评估和优化，以提高程序的效率和准确性。

算法简答题

1．在对算法进行复杂性分析时，时间复杂度用什么来度量？其间做了什么假定？渐进复杂性指的是什么？精确到什么程度？强调渐进复杂性的意义是什么？答：○1程序中关键步骤的操作计数。

○2假定每种根本操作所用时间都是一个单位。

○3设T(n)是算法A的复杂性函数。

，则。

一般说来，算法的渐进复杂性是该算法复杂度函数的主项，且一般只考虑渐进复杂性的阶。

○4算法的渐进复杂性是该算法复杂度函数的主项，且一般只考虑渐进复杂性的阶。

○5意义：简化算法复杂性分析的方法和步骤。

以方便于对各类算法进行分析和比较。

2. 陈述算法在最坏情况下的时间复杂度和平均时间复杂度；这两种评估算法复杂性的方法各自有什么实际意义？答：○1最坏情况下的时间复杂度称最坏时间复杂度。

一般不特别说明，商量的时间复杂度均是最坏情况下的时间复杂度。

意义：最坏情况下的时间复杂度是算法在任何输入实例上运行时间的上界，这就保证了算法的运行时间不会比任何更长。

○2平均时间复杂度是指全部可能的输入实例均以等概率出现的情况下，算法的期望运行时间。

意义：在输入不同的情况下算法的运行时间复杂度可能会发生变化。

平均时间复杂度给出了算法的期望运行时间，有助于算法好坏的评价以及在不同算法之间比较时有一个统一标准。

3．归并排序算法和快速排序算法各自强调了那个方面？各自提高效率的策略是什么？答：○1归并排序在简单插入排序的根底上强调了通过归并减少元素的挪动次数，从而降低运行时间。

策略是通过递归和归并减少了元素的挪动这样一个耗时操作的次数。

○2快速排序相比与归并排序强调了通过划分操作来预防“归并〞这样的耗时步骤。

策略是使用分治法，通过递归划分操作不断将序列划分成两个子序列，其中第一个子序列中的元素都比第二个小〔或大〕。

4．在连通图无向图的宽度优先搜索树和深度优先搜索树中，哪棵树的最长路径可能会更长些？试说明你的理由。

答：深度。

因为深度优先搜索是沿着顶点的邻点一直搜索下去，直到当前被搜索的顶点不再有未被访问的邻点为止，且在此过程中记录的边构成了搜索树。