算法第一讲(时空复杂度)

因此要求F(n)，只要对这个二阶方阵求n - 1次方，最后取结果方阵第一行第 一列的数字就可以了。看起来有点儿化简为繁的感觉，但关键点在于，幂运算 是可以二分加速的。设有一个方阵a，利用分治法求a的n次方，有：
If x 为偶数 If x为奇数
可见复杂度满足T(n) = T(n / 2) + O(1)，要求得n次方，我们先求得n/2次 方，再把n/2的结果平方一下。如果把求n次方的问题看成一个大问题，把 求n/2看成一个较小的问题。这种把大问题分解成一个或多个小问题的思 路我们称之为分治法。这样求n次方就只需要logn次运算了。 因此整个算法的时间复杂度是O(log n)，空间复杂度是O(1)。
( c < log2N < n < n log2N < n^2 < n^3 < 2^n < 3^n < n!)
对于同一个问题，所采用的算法不同，其所需的时间复 杂度和空间复杂度的差别也是很大的，下面以Fibonacci数 列为例
• Fibonacci数列
n0 1 F ( n) 1 n 1 F ( n 1) F ( n 2) n 1
时间复杂度和空间复杂度
1.算法的执行时间和语句频度 在已证明算法正确性的前提下，评价算法的好坏主要是关 注算法在时间和空间上性能的优劣。 算法时间性能的分析是通过计算算法时间复杂度实现的， 其关键就是计算算法的执行时间。一个算法的执行时间，就是 算法中每条语句的执行时间的总和。 但是在算法实际运行过程中，每次执行所耗费的时间会受到 诸如问题规模、输入特性和具体硬件环境等各种外界因素的影 响，想得到一个绝对准确的执行时间，几乎不可能。为此，在 计算算法执行时间时，一般都忽略硬件及环境因素，并且假设 每次执行时，硬件条件和环境条件都是完全一致的，每条语句 执行一次所需的时间均是单位时间。
3.迭代法
当算法中包含递归函数时!其时间复杂度也会被转化为一个递归方程，上述两种 方法此时不再适用，递归方程的形式多种多样，其求解方法也是不一而足，比较常 用是迭代法，其基本步骤是迭代地展开递归方程的右端，使之成为一个非递归的和 式，然后通过对和式的估计来得到时间复杂度T(n)。
例1
几个需要注意的问题
例1
i=s=0; While(s<n) {i ++; s=s+i ;}
例2
X=91; y=100; While(y>0) If(x>100) {x-=10; y--;} else x++;
由分析可知 每循环11 次，y的值发生一次变化，y共 需共变化 100 次， 所以f(n)=100*11, 则该算法的执行时间是一个与问题规模n无关的常数，它不随着问题规模 n 的 增加而增长。即使算法中有上千条语句，其执行时间也不过是一个较大的常数， 因此，该算法的时间复杂度为常数阶，记为T(n)=O(1)。
记T(n)为计算fib(n)的时间复杂度 T(n)=T(n-1)+T(n-2),
Fibonacci数的通项公式是： 很容易得到T(n) = (1.618 ^ n)(就是黄金分割)。空间复杂度 取决于递归的深度，显然是O(n)。
2.递推法
•
•
//非递归求斐波那契数列 public int uRFibonacci(int n) {
int x=1; int y=1; int tmp; for(int i=2;i<n;i++){ tmp=x; x=y; }
• • • • • • • • • • •
y=y+tmp;
return y;
}
显然时间复杂度是O(n)，空间复杂度是O(1)
3.矩阵法
计算Fibonacci数精确值的最快的方法应该就是矩阵法。我们把Fibonacci数列 中相邻的两项：F(n)和F(n - 1)写成一个2x1的矩阵，然后对其进行变形，看 能得到什么：
• 1.时间复杂度为O(1)
在各种不同算法中，若算法中语句执行次数为一个常数， 则时间复杂度为O(1)，时间复杂度T(n)并不是随着问题的规 模n变化的。
2. O(1)和O(2)的区别
•
根据符号O的定义易知， O(1) =O(2)，用O(1)或O(2)表示同 一个函数时，差别仅在于其中的常数因子。
• 3.时间频度不相同时，时间复杂度有可能相同
时间复杂度的几种求法
在算法时间复杂度的计算中，最关键的是得出算法中最多的执行次 数。算法的执行时间绝大部分花在循环和递归上。目前常用的时间复 杂度计算方法可以归纳为如下几种。
1、求和法
当算法中语句的执行次数与某一变量有直接关系，而该变量的变化起止范围又 较为明确，则可以利用求和公式得出最大的语句频度f(n)，再对其取数量级（阶） 即可。
算法中一条语句的执行时间取决于该语句的执行次数和执行一次所 需的时间。语句执行次数被称为语句频度，执行一次的时间被假设为单 位时间，因此算法的执行时间就可以看作是该算法中所有语句的语句频 度之和。
当问题规模很大时，精确的计算T(n)是很难实现而且也是没 有必要的, 对于算法时间性能的分析无需非要得到时间复杂度 T(n) 的精确值, 它的变化趋势和规律也能清楚地反映算法的时间 耗费. 基于此, 引入了渐进时间复杂度作为时间性能分析的依据, 它的含义就是: 在问题规模n趋于无穷大时算法时间复杂度 T(n) 的渐进上界，即函数T(n)的数量级阶。算法时间复杂度和渐进算 法时间复杂度在实际的算法分析过程中是不予区分的, 渐进时间 复杂度可以简称为时间复杂度，记为T(n)=O(f(n))。其中，O表示 数量级(阶)。函数f(n)一般是算法中最大的语句频度。 函数f(n)是T(n)的同数量级（阶）函数， ( C不为常数)。
对于任意指定的整数n(n>=0)，计算F(n)的精确值，并分析算 法的时间、空间复杂度。
1.递归法
• //递归求斐波那契数列 • public int rFibonacci(int n){ • • if(n<=1){ • return 1; • } • return rFibonacci(n-1)+rFibonacci(n-2); • }
例2、有N个大小不等的自然数（1--N）， 请将它们由 小到大排序。要求程序算法： 时间复杂度为O(n)，空间复杂度为O(1)。 (华为笔试面试题)
以上算法中语句频度最大的是语句4，其频度可通过求和公式求得
所以该算法的时间复杂度为立方阶，记为O(n^3)
2、假设法
在某些较为复杂的算法中，循环结构的循环次数很难直接看出，特别 是当循环次数与循环体中的某些语句执行有联系时，语句频度的计算变 得比较困难。此时，可以先假设循环执行次数为k次 ，再对算法进行分 析 ,根据循环终止条件求出语句频度 f(n),最后求出T(n)
运行时间的准紧近界，Θ来自运行时间的上界，O运行时间的下界，Ω
2、空间复杂度 与时间复杂度类似，空间复杂度是指算法在计算机内执 行时所需存储空间的度量。记作:S(n)=O(f(n))。 一般所讨论的是除正常占用内存开销外的辅助存储单元 规模。
按数量级递增排列，常见的时间复杂度有： 常数阶O(1), 对数阶O(log2n), 线性阶O(n), 线性对数阶O(n log2N )， 平方阶O(n^2)， 立方阶O(n^3)， ……. ， k次方阶O(n^k) , 指数阶 O(2^n)， 随着问题规模 n的不断增大，上述时间复杂度不断增大， 算法的执行效率越低。
比如：T(n)=n^2+3n+4与T(n)=4n^2+2n+1它们的频度不同，但 时间复杂度相同，都为O(n^2)。
例1、 对某类特定的玻璃瓶子样品做强度测试 以确定他们从多高的高度掉下来而仍旧不碎。如 下设计这样一个实验。你有一个具有n个横档的 阶梯，并且你想找出最高的横档，能使一个瓶子 的样品那哪里下落而不被摔破。
1、二分搜索方法。时间复杂度为Log(n),但是缺点是你可能 摔破一大堆的瓶子。 2、如果主要目标是保护瓶子，从第一个横档开始让瓶子 下落，然后第二个横档，每次向上爬一个高度知道瓶子 摔破为止，这种方式只需要一个瓶子，但是可能的时间 复杂度是n。 思考题： 时间复杂度和摔破瓶子之间是个不可调和的矛盾。假设只 给你2个瓶子，描述一种找到最高安全横档的策略。