江苏省常州市前黄中学国际分校2020届高三寒假数学学情检测(二)含理科附加题(含答题卡)

2020届高三寒假学情检测（二）
数 学 试 题（160分卷）
总分：160分 考试时间：120分钟 2020-2-24
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分，请把答案直接填写在相应位置上 1.已知集合A ＝{x|4－x 2
>0}，B ＝{x|0≤x≤3，x ∈Z }，则A∩B＝___ _ ____. 2、已知复数z 满足
43(z
i i i
+=为虚数单位）
，则z 的共轭复数z ＝___ _ ____. 3. 设向量a ＝(1，2)，b ＝(2，3)．若向量λa ＋b 与向量c ＝(－4，－7)共线，则实数λ＝________． 4、已知sin(α＋β)＋2sin(α－β)＝0，且tan β＝3.若α∈(0，π)，则α＝___ _ ____. 5、如图所示的流程图中，输出的S 为________．
6. 将A ，B ，C 三个小球放入甲、乙两个盒子中，则A,B 放入同一个盒子中的概率为 .
7. 若曲线f(x)＝xcos x ＋1在x ＝0处的切线与直线ax －2y ＋1＝0互相垂直，则实数a ＝________.
8. 如图，在正三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，点D 为棱AA 1的中点．若AA 1＝4, AB ＝2，则四棱锥B-ACC 1D 的体积为________．
9. 已知函数是奇函数，若对于任意的，关于的 不等式恒成立，则实数的取值范围是___ _ ____.
10、已知点是双曲线的右焦点，动点在双曲线左支上，点为
圆上一点，则的最小值为 ___ _ ____.
11、已知F 1，F 2分别为椭圆22
22:1(0)x y E a b a b
+=>>的左、右焦点，点A ，B 分别是椭圆E 的右顶点和上
顶点，若直线AB 上存在点P ，使得PF 1⊥PF 2，则椭圆C 的离心率e 的取值范围是___ _ ____. 12在△ABC 中，边a ，b ，c 所对应的角分别为A ，B ，C.若2sin 2
B ＋3sin 2
C ＝2sin Asin Bsin C ＋sin 2
A ，则tan A ＝___ _ ____.
2
()(2)(8)f x m x m x =-+-()m R ∈x R ∈x 2
(+1)()f x f a <a 2F 22:193
x y
C -=A B 22:(2)1E x y ++=2||||AB AF
+
13、若函数
()
y f x =的图象上存在两个点A ，B 关于原点对称，则称点对
[],A B 为()y f x =的“友情
点对”，点对[],A B 与[],B A 可看作同一个“友情点对”，若函数()3
22,069,0x f x x x x a x <⎧=⎨-+-+≥⎩恰好有两
个“友情点对”，则实数a 的值为___ _ ____.
14.已知数列}{n a 的各项均为正数，其前n 项和为n S 满足n n n a a S 242
+=，*N n ∈，
设1)1(+⋅-=n n n n a a b ，n T 为数列}{n b 的前n 项和，则=n T 2___ _ ____.
二、解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明
过程或演算步骤．） 15.（本小题满分14分）
的内角所对的边分别为，已知．
（1） 求的大小；
（2）若，，且的面积为
．
16、（本小题满分14分）
在斜三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，M 为CC 1的中点，N 为AB 的中点，平面ABC ⊥平面ABB 1A 1.
(1) 求证：MN ∥平面A 1BC 1；
(2) 若AB ⊥BC ，AB ＝BB 1，求证：AC 1⊥A 1B.
ABC △,,A B C ,,a b c 22()sin a c b C +=+B 8b =a c >ABC △a
在如图所示的锐角三角形ABC 空地中，已知边BC 的长度为40m ，BC 边上的高也为40m ，欲建一个面积不小于3002m 的内接矩形花园DEFG （阴影部分），设其一条边长DE 长为x （单位：m ）。

（1）求出x 的取值范围；并求矩形花园DEFG 面积的最大值；
（2）设ADE ∆的面积为1S ,BDG ∆的面积为2S ，CEF ∆的面积为3S ,求2
123
S S S +的最小值，并求出此时
x 的取值。

18．（本小题满分16分）
在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆E ：222
2
1(0)x y a
b
a
b 过点(1
． （1）求椭圆E 的标准方程；
（2）若A ，B 分别是椭圆E 的左，右顶点，动点M 满足MB AB ⊥，且MA 交椭圆E 于点P ． ①求证：OP OM ⋅为定值；
②设PB 与以PM 为直径的圆的另一交点为Q ，求证：直线MQ 经过定点．
A
B
C
D E
F
G
设数列的前n 项和为，已知，（）． （1）求证：数列为等比数列； （2）若数列满足：，． ① 求数列的通项公式； ② 是否存在正整数n ，使得成立？若存在，求出所有n 的值；若不存在，请说明理由．
20. (本小題满分16分)
设m 为实数，已知函数()x
x m
f x e +=的导函数为'()f x ，且'(0)0f =。

(1) 求m 的值；
(2) 设a 为实数，若对于任意x R ∈，不等式2
()x a f x +≥恒成立，且存在唯一的实数0x 使得
200()x a f x +=成立，求a 的值；
(3) 是否存在负数k ，使得3y kx e
=+是曲线()y f x =的切线.若存在，求出k 的所有值：若不存在,请说明理由.
{}n a n S 11a =121n n S S +-=*n ∈N {}n a {}n b 11b =11
12n
n n b b a ++=+{}n b 1
4n
i i b n ==-∑
2020届高三寒假学情检测（二）
数 学 附 加 试 题（40分卷）
总分：40分 考试时间：30分钟 2020-2-24
21．每小题10分，共计20分.请在答卷纸指定区域内作答.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. A ．选修一2：:矩阵与变换(本小题满分10分)
已知,a b R ∈，矩阵13a A b -⎡⎤
⎢⎥
⎣⎦
所对应变换A T 将直线10x y --=变换为自身，求,a b 的值.
B ．[选修4—4：坐标系与参数方程](本小题满分10分)
在平面直角坐标系中，已知直线的参数方程为为参数．以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．求直线被曲线所截得的弦长．
xOy l 415315x t y t
⎧
=--⎪⎪⎨
⎪=+⎪⎩(t )
C )4π
ρθ=-l C
【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）
某公司有A ，B ，C ，D 四辆汽车，其中A 车的车牌尾号为0，B ，C 两辆车的车牌尾号为6，D 车的车牌尾号为5，已知在非限行日，每辆车都有可能出车或不出车．已知A ，D 两辆汽车每天出车的概率为3
4，B ，
C 两辆汽车每天出车的概率为1
2
，且四辆汽车是否出车是相互独立的．
该公司所在地区汽车限行规定如下：
(1) 求该公司在星期四至少有2辆汽车出车的概率；
(2) 设ζ表示该公司在星期一和星期二两天出车的车辆数之和，求ζ的分布列和数学期望．
23．（本小题满分10分）
已知函数，记，当． （1）求证：在上为增函数； （2）对于任意，判断在上的单调性，并证明． 2()1f x x x =-+1()()f x f x =12()(())n n n f x f f x -=≥时，2()f x (1)+∞，
*N n ∈()n f x (1)+∞，
2020届高三寒假学情检测（二）数学试题（160分卷）2020-2-24
16．（本小题满分
接17题
19．（本小题满分
20．（本小题满分
2020届高三寒假学情检测（二）
数学附加答题卡（40分卷）2020-2-24
22．（本小题满分
23．（本小题满分。