江苏省常州市田家炳高级中学2020-2021学年高一下学期数学三月阶段测试卷
江苏省园三2020-2021学年高一下学期数学期中考试试卷
江苏省园三2020-2021学年高一下学期数学期中考试试卷一、单选题1. ( 2分) （2021高一下·江苏期中）复数在复平面内的对应点位于复平面的（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2. ( 2分) （2021高一下·江苏期中）的值等于（）A. B. C. D.3. ( 2分) （2021高一下·江苏期中）在中，已知，则等于（）A. 30°B. 60°C. 120°D. 150°4. ( 2分) （2021高一下·江苏期中）如图，在直角三角形中，，，D为边上一点，已知且，则（）A. B. C. D.5. ( 2分) （2021高一下·江苏期中）已知，直线与函数的交点分别为A，B，则线段长度的最大值为（）A. 1B.C.D. 26. ( 2分) （2021高一下·江苏期中）已知平行四边形中，，若，则（）A. B. C. D.7. ( 2分) （2021高一下·江苏期中）已知，则的值为（）A. B. C. D.8. ( 2分) （2021高一下·江苏期中）如图，中，为边上的中线，E为延长线上一点，且，若，，（）A. 2B. 4C.D.二、多选题9. ( 3分) （2021高一下·江苏期中）在平面直角坐标系内，O为坐标原点，已知，，若P是线段的三等分点，则点P的坐标是（）A. B. C. D.10. ( 3分) （2021高一下·江苏期中）中，，可使得有两个不同取值的的长度是（）A. 7B. 8C. 9D. 1011. ( 3分) （2021·八省联考）设为复数，．下列命题中正确的是（）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则12. ( 3分) （2021高一下·江苏期中）已知，，，则（）A. B. C. D.三、填空题13. ( 1分) （2021高一下·江苏期中）已知，则与垂直的一个单位向量的坐标为________.14. ( 1分) （2019·大庆模拟）已知，为锐角，且，则________．15. ( 1分) （2021高一下·江苏期中）设复数z满足，则________.16. ( 2分) （2021高一下·江苏期中）如图，单位圆与x轴正半轴的交点为A，M，N在单位圆上且分别在第一､第二象限内，.若四边形的面积为，则________；若三角形的面积为，则________.四、解答题17. ( 10分) （2021高一下·江苏期中）已知，，其中.（1）若与平行，求实数k的值；（2）若，证明：对任意实数，与垂直.18. ( 10分) （2021高一下·江苏期中）求下列各式的值：（1）；（2）.19. ( 10分) （2021高一下·江苏期中）如图，设是平面内相交成的两条数轴，分别是x轴和y轴正方向的单位向量.若，则把有序数对叫做向量在坐标系中的坐标.已知的坐标为.（1）求的大小；（2）若的坐标为，求与夹角的大小.20. ( 10分) （2021高一下·江苏期中）已知直线，A是之间的一个定点，并且点A到的距离分别是，B，C分别是直线上的动点(B，C都在的右侧).（1）如图1，若，且，求的最小值；（2）如图2，若，且，求面积的最小值.21. ( 10分) （2021高一下·江苏期中）在中，a，b，c分别是角A，B，C的对应边，已知.（1）求A；（2）若，，求的面积.22. ( 10分) （2021高一下·江苏期中）定义：为实数对的“正弦方差”.（1）若，证明：实数对的“正弦方差” 的值是与无关的定值；（2）若，若实数对的“正弦方差” 的值是与无关的定值，求值.答案解析部分一、单选题1.【答案】B【考点】复数的代数表示法及其几何意义，复数代数形式的混合运算【解析】【解答】，在复平面内对应点的坐标为，所以位于第二象限.故答案为：B.【分析】由复数代数形式的运算性质整理化简，再由复数代数形式的几何意义即可得出答案。
江苏省常州市田家炳高级中学2025届高考适应性考试数学试卷含解析
江苏省常州市田家炳高级中学2025届高考适应性考试数学试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。
将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．双曲线2212y x -=的渐近线方程为（ ）A ．32y x =±B ．y x =±C ．2y x =±D ．3y x =±2．已知双曲线22214x y b-=（0b >）的渐近线方程为30x y ±=，则b =（ ）A ．23B ．3C ．32D ．433．已知双曲线)，其右焦点F 的坐标为，点是第一象限内双曲线渐近线上的一点，为坐标原点，满足，线段交双曲线于点.若为的中点，则双曲线的离心率为（ ）A ．B ．2C ．D ．4．已知棱锥的三视图如图所示，其中俯视图是等腰直角三角形，则该三棱锥的四个面中，最大面积为（ ）A ．22B ．23C ．4D ．265．命题“(0,1),ln xx ex -∀∈>”的否定是（ ）A ．(0,1),ln x x e x -∀∈≤B ．000(0,1),ln x x e x -∃∈> C ．000(0,1),ln x x ex -∃∈<D ．000(0,1),ln x x ex -∃∈≤6．已知向量()()1,2,2,2a b λ==-，且a b ⊥，则λ等于（ ）A ．4B ．3C ．2D ．17．已知函数2(0)()ln (0)x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，且关于x 的方程()0f x x a +-=有且只有一个实数根，则实数a 的取值范围（ ）． A ．[0,)+∞B ．(1,)+∞C ．(0,)+∞D ．[,1)-∞8．下列几何体的三视图中，恰好有两个视图相同的几何体是（ ） A ．正方体 B ．球体C ．圆锥D ．长宽高互不相等的长方体9．如图所示，三国时代数学家赵爽在《周髀算经》中利用弦图，给出了勾股定理的绝妙证明.图中包含四个全等的直角三角形及一个小正方形（阴影），设直角三角形有一内角为30，若向弦图内随机抛掷500颗米粒（米粒大小忽略不计，取3 1.732≈），则落在小正方形（阴影）内的米粒数大约为（ ）A ．134B ．67C ．182D ．10810．关于函数()cos cos 2f x x x =+，有下列三个结论:①π是()f x 的一个周期；②()f x 在35,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增；③()f x 的值域为[]22-,.则上述结论中，正确的个数为（） A ．0B ．1C ．2D ．311．设集合{}1,0,1,2A =-，{}22530B x x x =-++>，则AB =（ ）A ．{}0,1,2B ．{}0,1C ．{}1,2D ．{}1,0,1-12．已知函数()[]010x x f x x x ⎧≥⎪=⎨⎪⎩，，＜（[]x 表示不超过x 的最大整数），若()0f x ax -=有且仅有3个零点，则实数a的取值范围是（ ） A ．12,23⎛⎤⎥⎝⎦B ．12,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．23,34⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．23,34⎛⎤⎥⎝⎦二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
江苏省常州市市田家炳实验中学2022年高一数学文月考试题含解析
江苏省常州市市田家炳实验中学2022年高一数学文月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. (x＋27°)(18°－x)＋(18°－x)(x＋27°)＝( )A. B．－ C．－ D.参考答案：D2. 边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角的和是( )A. 90°B. 120°C. 135°D. 150°参考答案：B3. 设角属于第二象限，且，则角属于（）A 第一象限B 第二象限C 第三象限D 第四象限参考答案：C4. 设，则, , 的大小顺序为( ). ...参考答案：C略5. 已知锐角α的终边上一点P（sin40°，1+cos40°），则α等于( )A．10°B．20°C．70°D．80°参考答案：C【考点】任意角的三角函数的定义．【专题】计算题；三角函数的求值．【分析】由题意求出PO的斜率，利用二倍角公式化简，通过角为锐角求出角的大小即可．【解答】解：由题意可知sin40°＞0，1+cos40°＞0，点P在第一象限，OP的斜率tanα===cot20°=tan70°，由α为锐角，可知α为70°．故选C．【点评】本题考查直线的斜率公式的应用，三角函数的化简求值，考查计算能力．6. 若f（x）=﹣，则函数f（x）为（）A．奇函数B．偶函数C．既奇又偶函数D．非奇非偶函数参考答案：A【考点】有理数指数幂的运算性质；函数奇偶性的判断．【专题】对应思想；定义法；函数的性质及应用．【分析】根据函数奇偶性的定义，判断函数f（x）为定义域R上的奇函数．【解答】解：∵函数f（x）=﹣，x∈R，∴f（﹣x）=﹣=﹣=﹣+=﹣f（x），∴函数f（x）为定义域R上的奇函数．【点评】本题考查了利用奇偶性的定义判断函数的奇偶性问题，是基础题目．7. 下列各式中错误的是（）A． B． C． D．参考答案：D8. 棱长为a的正方体中，连结相邻面的中心，以这些线段为棱的八面体的体积为（）A． B． C． D．参考答案：C略9. 已知数列：，中，前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，则（）；A．20 B．18 C．16D．14参考答案：B10. 将甲、乙两名同学5次物理测验的成绩用茎叶图表示如图，若甲、乙两人成绩的中位数分别为，则下列说法正确的是A．；乙比甲成绩稳定B．；甲比乙成绩稳定C．；乙比甲成绩稳定D．；甲比乙成绩稳定参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 在△ABC中，，点D在边BC上，且，则AD=_____________，__________________．参考答案：；12. （5分）如图是一个正方体纸盒的展开图，在原正方体纸盒中有下列结论：①BM与ED平行；②CN与BE是异面直线；③CN与BM成60°角；④DM与BN垂直．其中，正确命题的序号是．参考答案：③④考点：异面直线及其所成的角；空间中直线与直线之间的位置关系．专题：证明题．分析：先利用正方体纸盒的展开图，画出它的直观图，特别注意特殊点的位置，再在正方体中证明线线位置关系以及求异面直线所成的角即可解答：如图为正方体纸盒的直观图：由图可知：BM与ED异面且垂直，①错误；CN与BE平行，②错误；异面直线CN与BM所成的角即∠EBM，由于△EBM为等边三角形，故∠EBM=60°，③正确；因为DM⊥NC，DM⊥BC，NC∩BC=C，所以DM⊥平面NCB ，所以DM⊥BN，④正确 故答案为③④点评： 本题考查了空间几何体的展开图与直观图间的关系，空间的线线位置关系及其证明，异面直线所成的角及其求法，将平面图准确的转化为直观图是解决本题的关键13. 定义在实数集上的偶函数在上是单调增函数，则不等式的解集是_____________．参考答案：14. 若，则= _______________________．参考答案：15. 方程实根个数为个．参考答案：1 略16. 已知A （﹣2，0），B （2，0），点P 在圆（x ﹣3）2+（y ﹣4）2=4上运动，则|PA|2+|PB|2的最小值是 ．参考答案：26【考点】两点间的距离公式；点与圆的位置关系．【分析】由点A （﹣2，0），B （2，0），设P （a ，b ），则|PA|2+|PB|2=2a 2+2b 2+8，由点P 在圆（x ﹣3）2+（y ﹣4）2=4上运动，通过三角代换，化简|PA|2+|PB|2为一个角的三角函数的形式，然后求出最小值．【解答】解：∵点A （﹣2，0），B （2，0）， 设P （a ，b ），则|PA|2+|PB|2=2a 2+2b 2+8， 由点P 在圆（x ﹣3）2+（y ﹣4）2=4上运动， （a ﹣3）2+（b ﹣4）2=4 令a=3+2cosα，b=4+2sinα， 所以|PA|2+|PB|2=2a 2+2b 2+8=2（3+2cosα）2+2（4+2sinα）2+8 =66+24cosα+32sinα=66+40sin （α+φ），（tanφ=）．所以|PA|2+|PB|2≥26．当且仅当sin （α+φ）=﹣1时，取得最小值． ∴|PA|2+|PB|2的最小值为26． 故答案为：26．【点评】本题考查直线的一般式方程与两点间距离公式的应用，具体涉及到直线方程秘圆的简单性质，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．17. 等比数列{a n }中，是方程的两根，则______.参考答案：∵是方程的两根，∴，∴． 又数列为等比数列，∴，∴，∴．三、解答题：本大题共5小题，共72分。
2021-2022学年江苏省常州市前黄高级中学高一下学期3月期初调研数学试题(解析版)
2021-2022学年江苏省常州市前黄高级中学高一下学期3月期初调研数学试题一、单选题1．在复平面内，复数534z ii=-（i 为虚数单位），则z 对应的点的坐标为（ ） A ．()3,4 B ．()4,3- C ．43,55⎛⎫- ⎪⎝⎭ D ．43,55⎛⎫-- ⎪⎝⎭【答案】D【分析】根据复数运算法则进行运算后，再由复数的几何意义得解. 【详解】因为()()()53453443343434555i i i i i i i z i +-====-+--+，所以4355z i =--，所以复数z 所对应的点的坐标为43,55⎛⎫-- ⎪⎝⎭.故选:D .2．已知A B R ⊆⊆，且()RA B =（ ）A ．B B ．RA C ．BA D ．∅【答案】D【分析】按照交集和补集直接运算即可. 【详解】由A B ⊆可得()RA B =∅.故选：D.3．若1sin()33απ-=-，则cos 23πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．79-B ．13-C ．13D ．79【答案】A【分析】利用诱导公式求得cos()6πα+的值，再利用二倍角的余弦公式求得2cos(2)2cos ()136ππαα+=+-的值.【详解】1sin()cos()336ππαα-=-=+，∴27cos(2)2cos ()1369ππαα+=+-=-，故选：A.【点睛】该题主要考查诱导公式､二倍角的余弦公式的应用，属于中档题目. 4．函数2()ln f x x x=-的零点所在的区间是（ ） A ．(34)，B ．(23)，C ．(1)2，D ．(01)， 【答案】B【分析】根据函数零点存在性定理判断即可． 【详解】(2)ln 210f =-<，2(3)ln 303f =->，(2)(3)0f f ⋅<，故零点所在区间为(2,3) 故选：B5．函数21cos 21x x y x +=⋅-的部分图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】令()()21cos 021x x f x y x x +==⋅≠-，由()()f x f x -=-可排除B 、D ；由当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x >，可排除C ；即可得解.【详解】令()()21cos 021x x f x y x x +==⋅≠-，则()()()1121212cos cos cos 1211212xx x x x xf x x x x f x --+++-=-⋅=⋅=⋅=----， 所以函数()f x 为奇函数，可排除B 、D ；当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，cos 0x >，21021x x+>-，所以()0f x >，故排除C. 故选：A.【点睛】本题考查了函数图象的识别，考查了函数奇偶性与三角函数性质的应用，属于基础题. 6．设sin35sin72sin55sin18a =︒︒-︒︒，cos3214sin172cos188b ︒-=︒︒，221tan 361tan 36c -︒=+︒，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a b c >>B ．a c b >>C ．c a b >>D ．c b a >>【答案】C【分析】利用三角变换化简,,a b c ，再根据正弦函数的单调性可得正确的选项. 【详解】sin35cos18cos35sin18sin17a =︒︒-︒︒=︒， 2cos3212sin 16sin164sin172cos1884sin8cos8b ︒-︒===︒︒︒︒︒，22221tan 36cos 36sin 36cos 72sin181tan 36c -︒==︒-︒=︒=︒+︒， 因为016171890︒<︒<︒<︒<︒，故sin16sin17sin18︒<︒<︒. 故c a b >>， 故选：C.7．图1是我国古代数学家赵爽创制的一幅“勾股圆方图”（又称“赵爽弦图”），它是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形.受其启发，某同学设计了一个图形，该图形是由三个全等的钝角三角形与中间的一个小正三角形拼成的一个大正三角形，如图2所示，若7AB =，2DE =，则cos ABD ∠=（ ）A ．914B ．1114C ．1314D 113【答案】B【分析】在ABD △中用余弦定理求出BD 长，再由余弦定理计算即可得解.【详解】在ABD △中，设BD t =，依题意，2AD BE BD DE t ==+=+，而120ADB ∠=，由余弦定理2222cos AB BD AD BD AD ADB =+-⋅∠得：22217(2)2(2)()2t t t t =++-+⋅-，而0t >，解得3t =，再由余弦定理得22222273511cos 223714AB BD AD ABD BD AB +-+-∠===⋅⋅⋅. 故选：B8．已知函数 ()()2,3,34xf x x x =∈-+，若对任意 ()3,3x ∈-，总存在 []1,2a ∈-，使得不等 式 ()2104f x at t ++-< 都恒成立，则实数 t 的取值范围为（ ） A ．()2,0- B ．()()1,00,2-⋃C ．()0,1D ．()()2,00,1-⋃【答案】D【分析】探讨函数()f x 性质，求出()f x 最大值，再借助关于a 的函数单调性列式计算作答. 【详解】依题意， ()()24xf x f x x --==-+，则()f x 是()3,3-上的奇函数，当03x <<时，()41f x x x=+， ()f x 在(0,2)上单调递增，在(2,3)上单调递减，则()max 1(2)4f x f ==， 由奇函数性质知，函数 ()24xf x x =+在()3,3-上的最大值是14，依题意，存在 []1,2a ∈-，20at t +<，令2()g a ta t =+，显然()g a 是一次型函数， 因此，2(1)0g t t -=-<或2(2)20g t t =+<，解得01t <<或20t -<<， 所以实数 t 的取值范围为()()2,00,1-⋃. 故选：D二、多选题9．i 是虚数单位，下列说法中正确的有（ ） A ．若复数z 满足0z z ⋅=，则0z =B ．若复数1z ，2z 满足1212z z z z +=-，则120z z =C ．若复数()z a ai a R =+∈，则z 可能是纯虚数D ．若复数z 满足234z i =+，则z 对应的点在第一象限或第三象限 【答案】AD【解析】A 选项，设出复数，根据共轭复数的相关计算，即可求出结果； B 选项，举出反例，根据复数模的计算公式，即可判断出结果； C 选项，根据纯虚数的定义，可判断出结果；D 选项，设出复数，根据题中条件，求出复数，由几何意义，即可判断出结果. 【详解】A 选项，设(),z a bi a b R =+∈，则其共轭复数为(),z a bi a b R =-∈， 则220z z a b ⋅=+=，所以0a b ，即0z =；A 正确；B 选项，若11z =，2z i =，满足1212z z z z +=-，但12z z i =不为0；B 错；C 选项，若复数()z a ai a R =+∈表示纯虚数，需要实部为0，即0a =，但此时复数0z =表示实数，故C 错；D 选项，设(),z a bi a b R =+∈，则()2222234z a bi a abi b i =+=+-=+，所以22324a b ab ⎧-=⎨=⎩，解得21a b =⎧⎨=⎩或21a b =-⎧⎨=-⎩，则2z i =+或2z i =--，所以其对应的点分别为()2,1或()2,1--，所以对应点的在第一象限或第三象限；D 正确. 故选：AD.10．若定义在R 上的奇函数()f x 满足()(2)f x f x =-，且当[1,0)x ∈-时，()2f x x =-，则（ ） A ．()f x 在(3,5)上单调递增 B ．(1)y f x =+为偶函数C ．()f x 的最小正周期4T =D ．()f x 所有零点的集合为{}2,x x n n Z =∈【答案】BCD【分析】题目考察函数奇偶性，周期性和对称性的综合应用，结合函数的三个性质，根据[1,0)x ∈-时()2f x x =-，可以得到函数在R 上的函数性质，从而判断各选项的正确性 【详解】由题得：()()(2)2f x f x f x =-=--，令2x x =-，则()()(2)(22)44f x f x f x f x -=-+=-=--，所以()(4)f x f x =-，所以()f x 的最小正周期4T =，故C 正确；当[1,0)x ∈-时，()2f x x =-，因为()f x 为定义在R 上的奇函数，所以当[]0,1x ∈时，()2f x x =-，所以()f x 在(1,1)-上单调递减，因为()f x 的最小正周期4T =，所以()f x 在(3,5)上单调递减，故A 错误； 当[]13,x ∈-时，()()()00,200f f f ===，结合周期性可得：()20f n =，故D 正确；由()(2)f x f x =-得：()f x 图像关于1x =对称，(1)y f x =+是将()y f x =图像向左平移一个单位得到的，所以(1)y f x =+图像关于y 轴对称，所以(1)y f x =+是偶函数，故B 选项正确； 故选：BCD11．下列选项其中错误的是（ ）A ．对于△ABC ，若222sin sin cos 1ABC ++<，则△ABC 为锐角三角形 B ．对于△ABC ，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若sin sin A B >， 则A B >C ．P 在△ABC 所在平面内，若0PA PB PC ++=，则P 是△ABC 的重心D ．设a ，b 为非零向量，若0a b ⋅>，则a ，b 的夹角为锐角 【答案】AD【分析】A 、B 应用正余弦定理的边角关系即可判断正误；C 若D 为AB 中点，易得2PA PB PD +=，结合已知可得,,C P D 的关系，进而判断P 是△ABC 的何种心；D 当a ，b 同向共线时0a b ⋅>也成立. 【详解】A ：由222sin sin cos 1A B C ++<知：222sin sin sin A B C +<，由正弦定理知：222a b c +<， 由余弦定理易知：cos 0C <，即2C ππ<<，故错误；B ：由sin sin A B >及正弦定理知：a b >，根据三角形中大边对大角可知：A B >，正确；C ：若D 为AB 中点，则2PA PB PD +=，又0PA PB PC ++=知：2PC PD =-，即,,C P D 共线且2PC PD =，即P 是△ABC 的重心，正确；D ：当非零向量a ，b 同向共线时，0a b ⋅>，此时a ，b 的夹角为0，错误. 故选：AD12．高斯是德国著名数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设x R ∈，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为高斯函数，例如[]2.13-=-，[]2.12=.已知函数()sin sin f x x x =+，函数()()g x f x ⎡⎤=⎣⎦，则（ ）A ．函数()g x 的值域是{}0,1,2B ．函数()g x 是周期函数C ．函数()g x 的图象关于2x π=对称D ．方程()2g x x π⋅=只有一个实数根【答案】AD【分析】先研究函数()f x 的奇偶性，作出函数()f x 的图象，作出函数()g x 的图象判断选项ABC 的正确性，再分类讨论判断方程()2g x x π⋅=的根的个数得解.【详解】由题得函数()sin sin f x x x =+的定义域为R ,()sin sin()sin |||sin |()f x x x x x f x -=-+-=+=，所以函数()f x 为偶函数，当0x π≤≤时，()sin sin 2sin f x x x x =+=； 当2x ππ<<时，()sin sin 0f x x x =-=； 当23x ππ≤≤时，()sin sin 2sin f x x x x =+=；所以函数()f x 的图象如图所示，所以函数()g x 的图象如图所示，所以函数()g x 的值域是{}0,1,2，故选项A 正确； 由函数()g x 的图象得到()g x 不是周期函数， 故选项B 不正确；由函数()g x 的图象得到函数()g x 的图象不关于2x π=对称，故选项C 不正确；对于方程()2g x x π⋅=，当()0g x =时，0x =，方程有一个实数根； 当()1g x =时，2x π=，此时()212g π=≠，此时方程没有实数根； 当()2g x =时，x π=，此时()02g π=≠，此时方程没有实数根； 故方程()2g x x π⋅=只有一个实数根，故选项D 正确.故选：AD【点睛】关键点睛：解答本题的关键是能准确作出函数()()f x g x ，的图象，研究函数的问题，经常要利用数形结合的思想分析解答.三、填空题13．已知i 是虚数单位，若复数z 满足20191zi i =+，则z = ________.【分析】先计算复数，再计算复数的模.【详解】20191()11zii z i i z i z z =+⇒⨯-=+⇒=-+⇒==【点睛】本题考查了复数的计算，属于简单题.14．已知锐角ABC 的内角A ，B ，C 对边的边长分别是a ，b ，c ，且()3sin 5A B +=，()1sin 5A B -=，3c =，则ABC 的面积为______.【答案】3 【分析】由三角函数恒等公式求得sin ,sin ,sin A B C ，用正弦定理求出第二条边，然后再由三角形面积公式求得面积．【详解】∵ABC 的内角A ，B ，C 都是锐角，∴3sin sin()5C A B =+=，4cos()5A B +==-，cos()A B -==cos 2cos[()()]cos()cos()sin()sin()A AB A B A B A B A B A B =++-=+--+-431555=-⨯= 又2cos 212sin A A =-，∴sin A =，同理cos 2B =sin B =，由sin sin a c A C =得3sin 53sin 5c Aa C===， ∴1sin 2ABC S ac B =△1332=⨯⨯=+故答案为：3 【点睛】本题考查正弦定理，考查三角形面积公式，考查三角函数的恒等变换，解题关键是选用恰当的公式进行计算．15．在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若22sin cos 1A B +=，则cb a-的取值范围为____．【答案】()2,3【分析】先由22sin cos 1A B +=得2B A =，然后利用正弦定理得cb a-2cos 1A =+，再由02π,0π3πB AC A =⎧⎨=-⎩＜＜＜＜，求出角A 的范围，从而可得cb a -的取值范围. 【详解】解：在ABC 中，因为22sin cos 1A B +=，所以cos cos2B A =，所以2B A =． 由正弦定理及题设得()sin sin sin sin sin sin A B c Cb a B A B A +==--- sin cos 2cos sin 2sin 2sin A A A A A A+=-()22sin 2cos 12sin cos 2sin cos sin A A A AA A A-+=-24cos 12cos 12cos 1A A A -==+-， 由02π,0π3πB AC A =⎧⎨=-⎩＜＜＜＜得π03A ＜＜，故1cos 12A ＜＜，所以cb a-的取值范围为()2,3． 故答案为：()2,3【点睛】本小题考查解三角形等基础知识；考查运算求解能力；考查数学运算、直观想象等核心素养，体现基础性，属于基础题．16．已知函数()()lg 1,1,11x x f x xx x ⎧->⎪=⎨<⎪-⎩，()11g x x x =+-，若关于x 的方程()()f g x a =有6个实根，则实数a 的取值范围为______. 【答案】 3,14⎛⎫⎪⎝⎭【分析】作出函数()f x 图像，求()g x 的值域，利用换元法转化为两个函数图像交点问题，利用数形结合进行求解即可.【详解】当=1x -或1x =时不合题意，当1x ≠±时，()()()11,31,g x x x=+-∈-∞-⋃+∞， 当()(),31,t ∈-∞-⋃+∞时，函数()f t 的图像如下：()334f -=， 设方程()f t a =， 当314a <<时方程()f t a =有3根1t ，2t ，3t ，其中13t <-，12t <<，32t > 所以当()()1,2,3i g x t i ==分别有2根，()()f g x a =有6根. 当34a ≤或1a ≥时，不合题意. 故答案为:314a <<四、解答题17．已知复数()242z i i i =+-+. （1）求复数z 的模z ；（2）若223z mz n i --=+（m ，n ∈R ），求m 和n 的值.【答案】（1）5；（2）25m n =-⎧⎨=⎩．【分析】（1）根据复数的代数形式的四则运算及复数的模的计算公式求解即可；（2）由（1）知43z i =+，由此可得4422333m n m --=⎧⎨--=⎩，解出即可．【详解】解：（1）()24224243z i i i i i i =+-+=+-+=-， 则22435z =+=；（2）由（1）知43z i =-，43z i =+， ∴()24343223z mz n i m i n i --=--+-=+，即()4423323m n m i i --+--=+，∴4422333m n m --=⎧⎨--=⎩， 解得25m n =-⎧⎨=⎩．【点睛】本题主要考查复数代数形式的四则运算，考查复数的模与共轭复数，属于基础题． 18．已知向量()2cos ,1m x ω=-，()sin cos ,2n x x ωω=-，其中0ω>，函数()3f x m n =⋅+，若函数()f x 图象的两个相邻对称中心的距离为π2.（1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）将函数()f x 的图象先向左平移π4个单位长度，然后纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，得到函数()g x 的图象，当ππ,62x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求函数()g x 的值域．【答案】（1）3,88k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦ (k ∈Z)；（2）⎡⎣．【分析】（1）根据题意，代入数量积公式表示出()f x ，然后化简得())4f x x πω=-，利用周期计算得1ω=，利用整体法计算单调增区间；（2）利用平移变换得函数()g x 的解析式，利用整体法计算值域.【详解】（1）由题意可得，()32cos (sin cos )23ωωω=⋅+=--+f x m n x x x ，22sin cos 2cos 1sin 2cos 2)4πωωωωωω=-+=-=-x x x x x x .由题意知，22T ππω==，得1ω=，则())4f x x π-，由222,242k x k k Z πππππ-≤-≤+∈，解得3,88k x k k Z ππππ-≤≤+∈，∴()f x 的单调递增区间为3,()88k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦．（2）将()f x 的图象向左平移4π个单位长度，得到)4y x π=+的图象，纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，得到())4π=+g x x 的图象．∵,62x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴sin()124π≤+≤x ，故函数()g x 的值域为⎡⎣. 【点睛】关于三角函数解析式的化简问题，首先需要利用和差公式或者诱导公式展开化为同角，其次利用降幂公式进行降次，最后利用辅助角公式进行合一变换，最终得到()()sin f x A x =+ωϕ的形式.19．在①2212tan tan tan tan A A B B+=，②cos cos a A b B =，③cos cos cos a a B b A B =+三个条件中，任选一个，补充在下面问题中的横线上，并解答．ABC 中，2a b =，___________，M 为ABC 内部一点，22290CMA CM BM c ∠=︒+=，（1）判断ABC 的形状． （2）求tan MCA ∠的值．注：如果选择多个条件分别解答，按照第一个解答计分【答案】选择见解析；（1）直角三角形；（22． 【分析】选条件①：（1）把2212tan tan tan tan A A B B +=整理得到1tan =tan A B，求出=90C ︒，即可求解； （2）设()090MCA θθ∠=︒<<︒，则cos MC b θ=.在BCM 中，利用余弦定理结合已知条件，同角三角函数的基本关系即可求解； 选条件②：（1）把cos cos a A b B =用正弦定理转化为：sin cos sin cos A A B B =,求出=90C ︒，即可求解. （2）设()090MCA θθ∠=︒<<︒，则cos MC b θ=.在BCM 中，利用余弦定理结合已知条件，同角三角函数的基本关系即可求解； 选条件③： （1）把cos cos cos aa Bb A B=+利用正弦定理转化为：2sin sin cos sin cos cos A A B B A B =+，求出=90C ︒，即可求解.（2）设()090MCA θθ∠=︒<<︒，则cos MC b θ=.在BCM 中，利用余弦定理结合已知条件，同角三角函数的基本关系即可求解； 【详解】选条件①：（1）2212tan tan tan tan AA B B+=. 则222tan 1tan 0tan tan A A B B -+=，即21tan 0tan A B ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以1tan =tan A B ， 所以sin cos =cos sin A BA B,即cos cos sin sin 0A B A B -=,所以()cos 0A B +=， 所以=90A B +︒，所以=90C ︒，所以ABC 为直角三角形；（2）设()090MCA θθ∠=︒<<︒，则cos MC b θ=.在BCM 中，利用余弦定理可得：()()()222222cos 90cos 2cos cos 90BM CB CM CB CM a b ab θθθθ=+-︒-=+-︒-因为222=BM CM c +，故22222cos 2cos sin a b ab c θθθ+-=，因为2a b =，所以5c b =，代入化简得：22cos 4cos sin sin =0θθθθ--，所以2tan 4tan 1=0θθ+-，解得：tan =25θ±因为090θ︒<<︒，所以tan =25θ+选条件②：（1）cos cos a A b B =.利用正弦定理得：sin cos sin cos A A B B =,即sin 2sin 2A B =， 所以A B =或=90A B +︒.因为2a b =，所以A B ≠，所以=90A B +︒，即=90C ︒，所以ABC 为直角三角形； （2）设()090MCA θθ∠=︒<<︒，则cos MC b θ=.在BCM 中，利用余弦定理可得：()()()222222cos 90cos 2cos cos 90BM CB CM CB CM a b ab θθθθ=+-︒-=+-︒-因为222=BM CM c +，故22222cos 2cos sin a b ab c θθθ+-=，因为2a b =，所以5c b =，代入化简得：22cos 4cos sin sin =0θθθθ--，所以2tan 4tan 1=0θθ+-，解得：tan =25θ±因为090θ︒<<︒，所以tan =25θ+选条件③：（1）cos cos cos aa Bb A B=+. 利用正弦定理可得：sin sin cos sin cos cos AA B B A B=+,即2sin sin cos sin cos cos A A B B A B =+，化简得：()sin sin sin cos cos =0B A B A B -.所以()cos =0A B +，所以=90A B +︒，所以=90C ︒，所以ABC 为直角三角形； （2）设()090MCA θθ∠=︒<<︒，则cos MC b θ=.在BCM 中，利用余弦定理可得：()()()222222cos 90cos 2cos cos 90BM CB CM CB CM a b ab θθθθ=+-︒-=+-︒-因为222=BM CM c +，故22222cos 2cos sin a b ab c θθθ+-=，因为2a b =，所以c =，代入化简得：22cos 4cos sin sin =0θθθθ--，所以2tan 4tan 1=0θθ+-，解得：tan =2θ±因为090θ︒<<︒，所以tan =2θ+20．已知函数()33x xf x a -=+⋅为偶函数.(1)求实数a 的值；(2)若关于x 的不等式()()20f x mf x -≥恒成立，求实数m 的取值范围；(3)设函数()()33xg x f x x -=+--的零点为0x ，求证：()0529210f x <<. 【答案】(1)1a = (2)1m (3)证明见解析【分析】（1）根据偶函数的定义求得a 的值.（2）利用分离常数法，结合换元法、函数的单调性来求得m 的取值范围. （3）先求得0x 的取值范围，结合函数的单调性证得不等式成立.【详解】（1）()33x xf x a --=+⋅，由于()f x 为偶函数，所以()()f x f x -=，即3333x x x x a a --+⋅=+⋅，所以1a =，()33x xf x -=+.（2）依题意关于x 的不等式()()20f x mf x -≥恒成立，即()2233330x x x xm --+-+≥，()22233233233333333x xx x x xx x x x x xm ------+-+≤==+-+++，令332x x t -=+≥=，当0x =时等号成立， 由于()22y t t t =-≥是单调递增函数，2212-=，即21t t -≥， 所以1m .（3）函数()()333333033x x x x xg x f x x x x ---=+--=+-=+-+-=的零点为0x ，即00330xx +-=，函数()33xg x x =+-在R 上递增，()33log 22log 230g =+-<，()33log 2.5 2.5log 2.53log 0.50g =+->=，所以3030log 2log 2.51x <<<<，对任意120x x <<，()()1122123333x x x xf x f x ---=+--()1212121212123333133333333x x x x x x x x x x x x -⋅-=--=-⋅⋅⋅，其中1212330,3310x x x x -<⋅->，所以()()12f x f x <，即()f x 在()0,∞+上递增， 所以()()()303log 2log 2.5f f x f <<， 即()0529210f x <<. 21．由于2020年1月份国内疫情爆发，经济活动大范围停顿，餐饮业受到重大影响3月份复工复产工作逐步推进，居民生活逐步恢复正常．李克强总理在6月1日考察山东烟台一处老旧小区时提到，地摊经济、小店经济是就业岗位的重要来源，是人间的烟火，和“高大上”一样，是中国的生机．某商场经营者陈某准备在商场门前“摆地摊”，经营冷饮生意，已知该商场门前是一块角形区域，如图所示，其中120APB ∠=，且在该区域内点R 处有一个路灯，经测量点R 到区域边界PA 、PB 的距离分别为4m RS =，6m RT =，（m 为长度单位）．陈某准备过点R 修建一条长椅MN （点M 、N 分别落在PA 、PB 上，长椅的宽度及路灯的粗细忽略不计），以供购买冷饮的人休息．(1)求点P 到点R 的距离；(2)为优化经营面积，当PM 等于多少时，该三角形PMN 区域面积最小？并求出面积的最小值． 【答案】(1)421m 3(2)当83m PM =时，三角形PMN 区域面积取最小值2323m【分析】（1）连接ST 、PR ，计算出60SRT ∠=，利用余弦定理可求得ST 的长；计算出cos STR ∠，可得出sin PTS ∠，利用正弦定理可求得SP 的长，再利用勾股定理可求得PR 的长； （2）利用三角形的面积公式可得出3234PM PN PM PN ⋅=+，利用基本不等式可求得PM PN ⋅的最小值，即可求得PMN 面积的最小值.【详解】（1）解：连接ST 、PR ，在RST 中，因为RS PA ⊥，RT PB ⊥，则60SRT ∠=， 由余弦定理可得：22246246cos6028ST =+-⨯⨯⨯=，所以，()27m ST =.在RST 中，由余弦定理可得，22227cos 2ST RT SR STR ST RT +-∠==⋅ 在PST 中，()27sin sin 90cos PTS STR STR ∠=-∠=∠=， 由正弦定理可得sin sin120SP ST PTS =∠，解得sin 83sin120ST PTS SP ∠==． 在直角SPR △中，222228311243PR RS SP =+=+=⎝⎭，所以，)421m PR =. （2）解：因为13sin12024PMN S PM PN PN =⋅⋅=⋅△， 11462322PMN PRM PRNS S S PM PN PM PN =+=⨯+⨯=+△△△．23PM PN PM PN ⋅=+≥128PM PN ⋅≥，当且仅当PM =)2m PMN S PN =⋅≥△． 22．布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔，简单地讲就是对于满足一定条件的连续实函数()f x ，存在一个点0x ，使得()00f x x =，那么我们称该函数为“不动点"函数，而称0x 为该函数的一个不动点． 现新定义： 若0x 满足()00f x x =-，则称0x 为()f x 的次不动点． (1)判断函数22f x x 是否是“不动点”函数，若是，求出其不动点； 若不是，请说明理由 (2)已知函数()112g x x =+，若a 是()g x 的次不动点，求实数a 的值： (3)若函数()()12log 42x xh x b =-⋅在[]0,1上仅有一个不动点和一个次不动点，求实数b 的取值范围．【答案】(1)是“不动点”函数，不动点是2和1-； (2)23a =-；(3)[]0,1.【分析】(1)根据不动点定义列出方程，求解方程即可作答. (2)根据次不动点定义列出方程，求解方程即可作答.(3)设出不动点和次不动点，建立函数关系，求出函数最值推理作答.【详解】（1）依题意，设0x 为()f x 的不动点，即()00f x x =，于是得2002x x -=，解得02x =或01x =-，所以22f x x 是“不动点” 函数，不动点是2和1-.（2）因()112g x x =+是“次不动点”函数，依题意有()g a a =-，即112a a +=-，显然0a ≤，解得23a =-，所以实数a 的值是23-.（3）设,m n 分别是函数()()12log 42x xh x b =-⋅在0,1上的不动点和次不动点，且,m n 唯一，由()h m m =得：()12log 42m m b m -⋅=，即142()2m m m b -⋅=，整理得：124mm b =-，令()124mm m ϕ=-，显然函数()m ϕ在0,1上单调递增，则()min(0)0m ϕϕ==，()max 7(1)4m ϕϕ==，则704b ≤≤， 由()h n n =-得：()12log 42n nb n -⋅=-，即422n n n b -⋅=，整理得：21n b =-， 令()21nu n =-，显然函数()u n 在0,1上单调递增，min ()(0)0u n u ==，max ()(1)1u n u ==，则01b ≤≤，综上得：01b ≤≤， 所以实数b 的取值范围0,1.【点睛】思路点睛：涉及函数新定义问题，理解新定义，找出数量关系，联想与题意有关的数学知识和方法，再转化、抽象为相应的数学问题作答.。
江苏省常州市前黄高级中学2020-2021学年高一下学期3月学情检测数学试题(解析版)
当 时，
在 有且仅有3个零点，结合正弦函数图像可知，
解得：
故选：A.
【点睛】本题考查函数 零点问题，解答本题关键是先利用三角恒等变换公式将三角函数整理为 形式，再利用数形结合思想求解，考查学生的数形结合与计算能力，属于中档题.
二､多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
连接 ， ，
∵ 是线段 的中点，
∴四边形 是平行四边形，∴ ，
∵ ，∴ .
（2）∵ ，
∴ .
∵ ，∴ ，
∵
.
∴ .
（3） 中，∵ ， ，
又 ，
∴
，∴ ，
由（1）同理可证 ，
∴ .
设 ，则 ，
，
的范围是 .
【详解】由 得 ，所以 或 .
当 时，有 ；当 时，有 .
于是 或 或 .
故选：ABC.
11.已知 是边长为2 等边三角形， ， 分别是 ， 上的两点，且 ， ， 与 交于点 ，则下列说法正确的是（）
A. B.
C. D. 在 方向上的投影向量的模为
【答案】CD
【解析】
【分析】A.结合等边三角形的性质，判断A；结合图形，利用向量加，减法，表示向量 ，判断B；利用坐标，结合三点 三点共线，求得点 的坐标，再结合向量加法的坐标表示，即可判断C；利用投影向量的模的公式，结合向量的坐标，即可判断D.
7.若 ，则 的值为（）
A.2019B.2020C.2021D.2022
【答案】C
【解析】
【分析】首先利用三角恒等变换，化简 ，根据条件，即可求值.
【详解】
.
故选：C
8.已知函数 在 内有且仅有3个零点，则 的取值范围是（）
江苏省常州市2020-2021学年高一下学期期末质量调研数学试题(解析版)
江苏省常州市2021年春学期高一期末质量调研数 学2021．06注意事项及说明：本卷考试时间为120分钟，全卷满分为150分．一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）1．已知复数z ＝23i1+i-（i 是虚数单位），则z 的虚部为 A ．12- B ．52 C ．52- D ．5i 22．演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分．7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是A ．中位数B ．平均数C ．方差D ．极差3．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若2B ＝A ＋C ，且b 2＝ac ，则△ABC 一定是A ．直角三角形B ．钝角三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形 4．魔方又叫鲁比克方块（Rubk's Cube ），是由匈牙利建筑学教授暨雕塑家鲁比克·艾尔内于1974年发明的机械益智玩具，与华容道、独立钻石棋一起被国外智力专家并称为智力游戏界的三大不可思议．三阶魔方可以看作是将一个各面上均涂有颜色的正方体的棱三等分，然后沿等分线把正方体切开所得，现将三阶魔方中1面有色的小正方体称为中心方块，2面有色的小正方体称为边缘方块，3面有色的小正方体称为边角方块，若从这些小正方体中任取一个，恰好抽到边角方块的概率为A ．29B ．827C ．49D ．125．已知1sin cos 3αα+=，且α∈(0，π)，则sin cos αα-的值为A ．13- B ．17- C ．17 D ．17或17-6．①垂直于同一直线的两条不同的直线平行；②垂直于同一平面的两条不同的直线平行；③平行于同一平面的两条不同的直线平行；④平行于同一直线的两条不同的直线平行．以上4个命题中，真命题的个数是A ．1B ．2C ．3D ．47．如右图，在三棱锥O —ABC 中，点P ，Q 分别是OA ，BC 的中点，点D 为线段PQ 上一点，且PD 2DQ =，若记OA a =，OB b =，OC c =，则OD =A ．111633a b c ++B ．111333a b c ++C ．111363a b c ++D ．111336a b c ++8．如右图，在四棱锥P —ABCD 中，已知PA ⊥底面ABCD ，AB ⊥BC ，AD ⊥CD ，且∠BAD ＝120°，PA ＝AB ＝AD ＝2，则该四棱锥外接球的表面积为 A ．8π B ．20π C．D第7题 第8题 第11题二、 多项选择题（本大题共4小题，每小题5分， 共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 9．在复平面内，下列说法正确的是 A ．若复数z 满足2R z ∈，则R z ∈ B ．若复数1i1iz -=+（i 为虚数单位），则2021i z =- C ．若复数i(, R)z m n m n =+∈，则z 为纯虚数的充要条件是m ＝0D ．若复数z 满足条件23z ≤≤，则复数z 对应点的集合是以原点O 为圆心，分别以2和3为半径的两个圆所夹的圆环，且包括圆环的边界 10．黄种人群中各种血型的人所占的比例见下表：血型A B AB O 该血型的人所占比例0.280.290.080.35已知同种血型的人可以输血，O 型血可以给任何一种血型的人输血，任何血型的人都可以给AB 血型的人输血，其他不同血型的人不能互相输血．下列结论正确的是 A ．任找一个人，其血可以输给B 型血的人的概率是0.64 B ．任找一个人，B 型血的人能为其输血的概率是0.29 C ．任找一个人，其血可以输给O 型血的人的概率为1 D ．任找一个人，其血可以输给AB 型血的人的概率为111．如右图，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，P ，Q 分别为棱BC 和CC 1的中点，则下列说法正确的是A ．A 1D ⊥平面AQPB ．BC 1∥平面AQPDQPCBAOCA1AC ．异面直线A 1C 与PQ 所成角为90°D ．平面AQP 截正方体所得截面为等腰梯形12．如右图，在等腰直角三角形ABC 中，AB ＝AC ＝2，∠BAC ＝90°，E ，F 分别为AB ，AC 上的动点，设AE AB λ=，AF AC μ=，其中λ，μ∈(0，1)，则下列说法正确的是A ．若BE AF =，则1λμ+=B ．若λμ=，则EF 与BC 不共线C ．若1λμ+=，记三角形AEF 的面积为S ，则S 的最大值为12D ．若221λμ+=，且M ，N 分别是EF ，BC 边的中点，则MN 第12题1三、填空题（本大题共4小题， 每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）13．已知样本数据1x ，2x ，3x ，4x ，5x 的方差为2，则样本数据132x -，232x -，332x -，432x -，532x -的方差为 ．14．sin15cos5sin 20cos15cos5cos20o o oo o o-=- ．15．甲、乙两队进行篮球决赛，采取三场二胜制（当一队赢得二场胜利时，该队获胜，决赛结束）．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队最终获胜的概率是 ． 16．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c，sin B cosA a ，3a =，若点P 在边BC 上，并且BP ＝2PC ，O 为△ABC 的外心，则OP 之长为 ．四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分10分）甲、乙两人玩一种猜数游戏，每次由甲、乙各出1到4中的一个数，若两个数的和为偶数算甲赢，否则算乙赢．（1）若事件A 表示“两个数的和为5”，求P(A)；（2）现连玩三次，若事件B 表示“甲至少赢一次”，事件C 表示“乙至少赢两次”，试问B 与C 是不是互斥事件？为什么？（3）这种游戏规则公平吗？试说明理由．FAB已知O 是坐标原点，向量OA ＝(2，3)，OB ＝(6，1)，OP ＝(x ，0)． （1）若PA ⊥PB ，求实数x 的值；（2）当PA PB ⋅取最小值时，求△ABP 的面积．19．（本小题满分12分）如右图，在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos(A C)cosB A -+，且C ∈(0，2π)． （1）求角C ；（2）若D 为BC 边上的一点，且AD ＝5，AB ＝7，DB ＝3，求AC 的长．20．（本小题满分12分）如右图，AB 是圆O 的直径，点C 是圆O 上异于A ，B 的点，PO 垂直于圆O 所在的平面，且PO ＝OB ＝2．（1）若D 为线段AC 的中点，求证：平面PAC ⊥平面POD ； （2）若AC ＝BC ，点E 是线段PB 上的动点，求CE ＋OE 的最小值．DCBABA螃蟹是金坛长荡湖的特产．小刘从事螃蟹养殖和批发多年，有着不少客户．小刘把去年采购螃蟹的数量x（单位：箱）在[100，200)的客户称为“大客户”，并把他们去年采购的数量制成下表：已知去年“大客户”们采购的螃蟹数量占小刘去年总的销售量的58．（1）根据表中的数据完善右边的频率分布直方图，并估计采购数在168箱以上（含168箱）的“大客户”人数；（2）估算小刘去年总的销售量（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（3）小刘今年销售方案有两种：①不在网上销售螃蟹，则按去年的价格销售，每箱利润为20元，预计销售量与去年持平；②在网上销售螃蟹，则需把每箱售价下调m元(2≤m ≤5)，销售量可增加1000m箱．问哪一种方案利润最大？并求出今年利润Y（单位：元）的最大值．如右图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 为直角梯形，AD ∥BC ，∠ADC ＝90°，AD ＝CD ＝3，BC ＝4，△PBC 为正三角形，点M ，N 分别在线段AD 和PC 上，且DM CN 2AM PN ==．设二面角P —AD —B 为θ，且1cos 3θ=． （1）求证：PM ∥平面BDN ；（2）求直线PM 与平面PBC 所成角的正弦值； （3）求三棱锥P—ABN 的体积．江苏省常州市2021年春学期高一期末质量调研数学2021．06注意事项及说明：本卷考试时间为120分钟，全卷满分为150分．一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）1．已知复数z＝23i1+i-（i是虚数单位），则z的虚部为A．12-B．52C．52-D．5i2【答案】B【解析】z＝23i(23i)(1i)15i1i(1i)(1i)2-----==++-，所以15i22z=-+，选B．2．演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分．7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是A．中位数B．平均数C．方差D．极差【答案】A【解析】根据中位数的定义，即可判断出不变的是中位数．3．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若2B＝A＋C，且b2＝ac，则△ABC 一定是A．直角三角形B．钝角三角形C．等腰直角三角形D．等边三角形【答案】D【解析】由2B＝A＋C，得B＝60°，由余弦定理得b2＝a2＋c2﹣2ac cosB＝a2＋c2﹣ac，因为b2＝ac，所以a2＋c2﹣ac＝ac，故(a﹣c)2＝0，故a＝c，综上△ABC是等边三角形．4．魔方又叫鲁比克方块（Rubk's Cube），是由匈牙利建筑学教授暨雕塑家鲁比克·艾尔内于1974年发明的机械益智玩具，与华容道、独立钻石棋一起被国外智力专家并称为智力游戏界的三大不可思议．三阶魔方可以看作是将一个各面上均涂有颜色的正方体的棱三等分，然后沿等分线把正方体切开所得，现将三阶魔方中1面有色的小正方体称为中心方块，2面有色的小正方体称为边缘方块，3面有色的小正方体称为边角方块，若从这些小正方体中任取一个，恰好抽到边角方块的概率为A．29B．827C．49D．12【答案】B【解析】一共有27个小正方体，其中边角方块共有8个，故恰好抽到边角方块的概率等于827． 5．已知1sin cos 3αα+=，且α∈(0，π)，则sin cos αα-的值为 A ．13- B． CD或【答案】C【解析】因为α∈(0，π)，所以sin α＞0，因为1sin cos 3αα+=，所以21(sin cos )9αα+=，所以28sin cos 09αα⋅=-<，故cos 0α<， 所以sin cos αα-＞0，2817(sin cos )12sin cos 1()99αααα-=-=--=，所以sin cos αα-＝． 6．①垂直于同一直线的两条不同的直线平行；②垂直于同一平面的两条不同的直线平行；③平行于同一平面的两条不同的直线平行；④平行于同一直线的两条不同的直线平行．以上4个命题中，真命题的个数是A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】长方体的长宽高能说明①是错的，平行于同一平面的两条不同的直线可能平行，可能相交，也可能异面，故③错，故选B ．7．如右图，在三棱锥O —ABC 中，点P ，Q 分别是OA ，BC 的中点，点D 为线段PQ 上一点，且PD 2DQ =，若记OA a =，OB b =，OC c =，则OD =A ．111633a b c ++B ．111333a b c ++C ．111363a b c ++D ．111336a b c ++【答案】A【解析】1211211111OD OP OQ OA (OB OC)3332322633a b c =+=⨯++=++．8．如右图，在四棱锥P —ABCD 中，已知PA ⊥底面ABCD ，AB ⊥BC ，AD ⊥CD ，且∠BAD ＝120°，PA ＝AB ＝AD ＝2，则该四棱锥外接球的表面积为DQPCBAOA ．8πB ．20π C．D【答案】B【解析】取AC 中点E ，过E 作PA 的平行线l ，则球心O 在直线l 上，且能满足OA ＝OP ，易求得OA ＝OPS＝2420ππ=．二、 多项选择题（本大题共4小题，每小题5分， 共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 9．在复平面内，下列说法正确的是 A ．若复数z 满足2R z ∈，则R z ∈ B ．若复数1i1iz -=+（i 为虚数单位），则2021i z =- C ．若复数i(, R)z m n m n =+∈，则z 为纯虚数的充要条件是m ＝0D ．若复数z 满足条件23z ≤≤，则复数z 对应点的集合是以原点O 为圆心，分别以2和3为半径的两个圆所夹的圆环，且包括圆环的边界 【答案】BD【解析】若21R z =-∈，此时R z ∉，A 错误；若复数i(, R)z m n m n =+∈，则z 为纯虚数的充要条件是m ＝0，且n ≠0，故C 错误．综上选BD ． 10．黄种人群中各种血型的人所占的比例见下表：血型A B AB O 该血型的人所占比例0.280.290.080.35已知同种血型的人可以输血，O 型血可以给任何一种血型的人输血，任何血型的人都可以给AB 血型的人输血，其他不同血型的人不能互相输血．下列结论正确的是 A ．任找一个人，其血可以输给B 型血的人的概率是0.64 B ．任找一个人，B 型血的人能为其输血的概率是0.29 C ．任找一个人，其血可以输给O 型血的人的概率为1 D ．任找一个人，其血可以输给AB 型血的人的概率为1 【答案】ADC【解析】任找一个人，B 型血的人能为其输血的概率是0.37，故B 错误；任找一个人，其血可以输给O 型血的人的概率为0.35，故C 错误．综上选AD ．11．如右图，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，P ，Q 分别为棱BC 和CC 1的中点，则下列说法正确的是A ．A 1D ⊥平面AQPB ．BC 1∥平面AQPC ．异面直线A 1C 与PQ 所成角为90°D ．平面AQP 截正方体所得截面为等腰梯形 【答案】BCD【解析】因为A 1D 与AP 不垂直，故A 1D 与平面AQP 不垂直，A 错误，其他选项均正确，故选BCD ．12．如右图，在等腰直角三角形ABC 中，AB ＝AC ＝2，∠BAC ＝90°，E ，F 分别为AB ，AC 上的动点，设AE AB λ=，AF AC μ=，其中λ，μ∈(0，1)，则下列说法正确的是A ．若BE AF =，则1λμ+=B ．若λμ=，则EF 与BC 不共线C ．若1λμ+=，记三角形AEF 的面积为S ，则S 的最大值为12D ．若221λμ+=，且M ，N 分别是EF ，BC 边的中点，则MN1 【答案】ACDA1AFAB【解析】当λμ=，则EF 与BC 共线，故B 说法错误，其他选项则均正确，故选ACD ． 三、填空题（本大题共4小题， 每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）13．已知样本数据1x ，2x ，3x ，4x ，5x 的方差为2，则样本数据132x -，232x -，332x -，432x -，532x -的方差为 ．【答案】18【解析】由题意知，新的一组数据的方差是原来的9倍，故答案为18．14．sin15cos5sin 20cos15cos5cos20o o oo o o -=- ．【答案】2【解析】sin15cos5sin 20sin15cos5sin(155)cos15cos5cos 20cos15cos5cos(155)o o o o o o -︒︒-︒+︒=-︒︒-︒+︒sin15cos5(sin15cos5cos15sin 5)12cos15cos5(cos15cos5sin15sin 5)tan15︒︒-︒︒+︒︒==-=︒︒-︒︒-︒︒︒．15．甲、乙两队进行篮球决赛，采取三场二胜制（当一队赢得二场胜利时，该队获胜，决赛结束）．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队最终获胜的概率是 ． 【答案】0.6【解析】P ＝0.60.5+0.60.50.6+0.40.50.6=0.6⨯⨯⨯⨯⨯．16．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，sin B cosA a ，3a =，若点P 在边BC 上，并且BP ＝2PC ，O 为△ABC 的外心，则OP 之长为 ． 【答案】1【解析】sin B cosA a =，根据正弦定理得，sin Asin B BcosA =，故tanA所以A ＝60°，所以∠BOC ＝120°，所以OB ＝OC OCB ＝30°，又BP ＝2PC ， 所以CP ＝1，在△OCP 中，根据余弦定理，求得OP ＝1．四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分10分）甲、乙两人玩一种猜数游戏，每次由甲、乙各出1到4中的一个数，若两个数的和为偶数算甲赢，否则算乙赢．（1）若事件A 表示“两个数的和为5”，求P(A)；（2）现连玩三次，若事件B 表示“甲至少赢一次”，事件C 表示“乙至少赢两次”，试问B 与C 是不是互斥事件？为什么？（3）这种游戏规则公平吗？试说明理由．【解析】解：（1）易知样本点总数n ＝16，且每个样本点出现的可能性相等． 事件A 包含的样本点共4个：(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)， 所以P(A)=0.25．（2）B 与C 不是互斥事件.理由：因为事件B 与C 可以同时发生，如甲赢一次，乙赢两次． （3）这种游戏规则公平．理由如下：和为偶数的样本点有:(1，1)，(1，3)， (2，2)，(2，4)，(3，1)，(3，3)， (4，2)，(4，4)，共8个，所以甲赢的概率为0.5，乙赢的概率为0.5，所以这种游戏规则公平． 18．（本小题满分12分）已知O 是坐标原点，向量OA ＝(2，3)，OB ＝(6，1)，OP ＝(x ，0)． （1）若PA ⊥PB ，求实数x 的值；（2）当PA PB ⋅取最小值时，求△ABP 的面积．【解析】解：（1）因为(2,3)OA =，(6,1)OB =，(,0)OP x =， 所以(2,3)PA x =-，(6,1)PB x =-，又因为PA PB ⊥，所以0PA PB ⋅=，即(2)(6)30x x --+=也即28150x x -+=，解得3x =或5x =，则所求实数x 的值为3或5．（2）由（1）知PA PB ⋅=(2)(6)3x x --+=22815(4)1x x x -+=--， 当4x =时，PA PB ⋅取最小值1-， 此时(2,3)PA =-，(2,1)PB =，则cos ,6513PA PB PA PB PA PB⋅<>===-⨯，又在ABP ∆中，,(0,)PA PB π<>∈，则sin ,165PA PB <>==ABP ∆的面积为12S PA PB =⨯⨯⨯sin ,PA PB <>142==． 19．（本小题满分12分）如右图，在△ABC 中，角A ，B ，C的对边分别为a ，b ，c ，已知cos(A C)cosB A -+，且C ∈(0，2π)． （1）求角C ；（2）若D 为BC 边上的一点，且AD ＝5，AB ＝7，DB ＝3，求AC的长．【解析】解：（1）因为cos()cos A C BA -+=， 所以cos()cos[()]A C A C Aπ-+-+= 即cos()cos()A C A CA --+=， 由两角和与差的余弦公式得，2sin sin A C A =， 又因为在ABC∆中，sin 0A ≠，所以sin C =， 又因为(0,)2C π∈，所以4C π=．（2）在ABD ∆中，由余弦定理得2222225371cos 22532AD BD AB ADB AD BD +-+-∠===-⨯⨯⨯⨯， 又因为(0,)ADB π∠∈，则23ADB π∠=，即3ADC π∠=， 在ACD ∆中，由正弦定理得，sin sin AC ADADC C=∠，DCBA即5sin3sin4AC ππ=⨯=20．（本小题满分12分）如右图，AB 是圆O 的直径，点C 是圆O 上异于A ，B 的点，PO 垂直于圆O 所在的平面，且PO ＝OB ＝2．（1）若D 为线段AC 的中点，求证：平面PAC ⊥平面POD ； （2）若AC ＝BC ，点E 是线段PB 上的动点，求CE ＋OE 的最小值．【解析】解：（1）在C ∆AO 中，因为C OA =O ，D 为C A 的中点， 所以C D A ⊥O ．又PO 垂直于圆O 所在的平面，因为C A ⊂圆O 所在的平面，所以C PO ⊥A ． 因为D OPO =O ，所以C A ⊥平面D P O ，因为C A ⊂平面PAC ，所以平面PAC ⊥平面POD ．（2）在∆POB 中，2PO =OB =，90∠POB =，所以PB ==同理C P =C PB =P =B在三棱锥C P -AB 中，将侧面C B P 绕PB 旋转至平面C B 'P ，使之与平面ABP 共面， 如图所示．当O ，E ，C '共线时，C E +OE 取得最小值．又因为OP =OB ，C C 'P ='B ，所以C O '垂直平分PB ，即E 为PB 中点．从而C C O '=OE +E '= 亦即C E +OE21．（本小题满分12分）BA螃蟹是金坛长荡湖的特产．小刘从事螃蟹养殖和批发多年，有着不少客户．小刘把去年采购螃蟹的数量x （单位：箱）在[100，200)的客户称为“大客户”，并把他们去年采购的数量制成下表：已知去年“大客户”们采购的螃蟹数量占小刘去年总的销售量的58．（1）根据表中的数据完善右边的频率分布直方图，并估计采购数在168箱以上（含168箱）的“大客户”人数；（2）估算小刘去年总的销售量（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； （3）小刘今年销售方案有两种：①不在网上销售螃蟹，则按去年的价格销售，每箱利润为20元，预计销售量与去年持平；②在网上销售螃蟹，则需把每箱售价下调m 元(2≤m ≤5)，销售量可增加1000m 箱．问哪一种方案利润最大？并求出今年利润Y （单位：元）的最大值．【解析】解：（1）作出频率分布直方图，如图根据上图，可知采购量在168箱以上(含168箱)的“大客户”人数为180********.0050.0201720-⎛⎫⨯⨯+⨯= ⎪⎝⎭．（2）去年“大客户”所采购的螃蟹总数大约为110101301015051702019057500⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=(箱)小刘去年总的销售量为57500120008÷=(箱) ． （3）若不在网上销售螃蟹，则今年底小刘的收入为120020240000Y =⨯=(元) 若在网上销售螃蟹，则今年年底的销售量为()12000100m +箱，每箱的利润()20m -， 则今年年底小刘的收入为()22(20)(120001000)100082401000(4)256Y m m m m m ⎡⎤=-⋅+=-++=--+⎣⎦当4m =时， Y 取得最大值256000∵256000240000>，∴小刘今年年底收入Y 的最大值为256000元． 22．（本小题满分12分）如右图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 为直角梯形，AD ∥BC ，∠ADC ＝90°，AD ＝CD ＝3，BC ＝4，△PBC 为正三角形，点M ，N 分别在线段AD 和PC 上，且DM CN 2AM PN ==．设二面角P —AD —B 为θ，且1cos 3θ=． （1）求证：PM ∥平面BDN ；（2）求直线PM 与平面PBC 所成角的正弦值； （3）求三棱锥P—ABN 的体积．【解析】解：（1）证明：连接MC ，交BD 于E ， 因为2DMAM=，3AD =，所以2DM =，1AM =， 因为//AD BC ，所以MDE ∽CBE △，2CE BC CNEM DM NP===，所以//PM NE ， 因为NE ⊂平面BDN ，PM ⊄平面BDN ，所以//PM 平面BDN . （2）解：取BC 中点F ，连接MF 、PF ，因为PBC 为正三角形，所以PF BC ⊥，sin604sin60PF PB =⋅︒=⋅︒=，因为ABCD 为直角梯形，//AD BC ，90ADC ∠=︒，2FC MD ==，所以四边形DMFC 为矩形，所以MF BC ⊥，因为MF PF F ⋂=，所以BC ⊥平面PMF ，所以平面PBC ⊥平面PMF ，因为//AD BC ，所以AD ⊥平面PMF ，所以AD MP ⊥，AD MF ⊥，所以PMF θ∠=，设PM x =，由余弦定理得2222cos PF PM MF PM MF θ=+-⋅⋅⋅， 于是()2221233233x x =+-⋅⋅⋅，整理得2230x x --=，解得3x =或1x =-（舍去）， 取PF 中点Q ，连接MQ ，因为MP MF =，所以MQ PF ⊥， 又因为平面MPF ⊥平面PBC ，所以MQ ⊥平面PBC ， 所以直线PM 与平面PBC 所成角为MPQ ∠.而()22336MQ =-=，所以直线PA 与平面PBC 所成角的正弦值为sin MPQ ∠63MQ PM ==. （3）因为//AD BC ，BC ⊂平面PBC ，AD ⊄平面PBC ，所以//AD 平面PBC ，所以MQ 的长也是A 点到平面PBC 的距离， ∵ 13C BNPB P SS =△， ∴2111134264333223P ABN A PBN A PBC V V V ---===⨯⨯⨯⨯⨯=．。
江苏省常州市高级中学2020-2021学年高三数学文下学期期末试题含解析
江苏省常州市高级中学2020-2021学年高三数学文下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 如图，某简单几何体的正（主）视图与侧（左）视图都是连长为1的正方形，且其体积为，则该几何体的俯视图可以是（）参考答案：D2. 下列四种说法中,错误的个数是①集合A={0,1}的子集有3个；②命题“若x2=1,则x=1”的否命题为：“若x2=1,则x11”．③命题“∀x?R,均有x2?3x?2≥0”的否定是:“∃x?R,使得x2?3x?2≤0”④“命题p⎥q为真”是“命题p⎤q为真”的必要不充分条件.A．0个B．1个C．2个D．3个参考答案：D略3. 若直线与曲线有公共点，则m所的取值范围是A．Ｂ．Ｃ．Ｄ．参考答案：B略4. 如果执行右面的程序框图，输入正整数n，m，满足n≥m，那么输出的P等于( )A． B. C. D.参考答案：D5. 某棱锥的三视图如图所示，则该棱锥的外接球的表面积为（）A．3πB．2πC．πD．4π参考答案：A【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据三视图知几何体是三棱锥为棱长为1的正方体一部分，并画出直观图，由正方体的性质求出外接球的半径，由球的表面积公式求出该棱锥的外接球的表面积．【解答】解：根据三视图知几何体是：三棱锥P﹣ABC为棱长为1的正方体一部分，直观图如图所示：则三棱锥P﹣ABC的外接球是此正方体的外接球，设外接球的半径是R，由正方体的性质可得，2R=，解得R=，所以该棱锥的外接球的表面积S=4πR2=3π，故选A．6. 对任意实数x,y,定义运算x*y=ax+by+cxy,其中a,b,c为常数.现已知1*2=4,2*3=6,若有一个非零实数m,使得对任意实数x都有x*m=x,则m=A.15B.10C.5D.0参考答案：C略7. 已知点P是边长为1的正三角形内一点，该点到三角形三边的距离分别是a，b，c（a，b，c＞0），则ab+bc+ca的取值范围是（）A．（0，] B．（0，] C．（0，] D．[，1]参考答案：A【考点】余弦定理．【分析】利用三角形的面积计算公式可得=，即a+b+c=．再利用（a+b+c）2≥3（ab+ac+bc），即可得出．【解答】解：∵=，∴a+b+c=．∵（a+b+c）2≥3（ab+ac+bc），∴ab+bc+ca≤=．又ab+bc+ca＞0．∴ab+bc+ca的取值范围是．故选；A．8. 已知，0<x<π，则tan x为A．－ B．－ C．2 D．－2参考答案：A9. i(2+3i)=A．3－2i B．3+2i C．－3－2i D．－3+2i 参考答案：D，故选D.点睛：复数题是每年高考的必考内容，一般以选择或填空形式出现，属简单得分题，高考中复数主要考查的内容有：复数的分类、复数的几何意义、共轭复数，复数的模及复数的乘除运算，在解决此类问题时，注意避免忽略中的负号导致出错.10.已知定义在R 上的函数满足：对任意都有，则的一个周期为A ．4B ．5C ．6D ． 7 参考答案：答案:C二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 如下图，对大于或等于2的自然数m 的n 次幂进行如下方式的“分裂”：仿此，52的“分裂”中最大的数是_________，53的“分裂”中最小的数是________.参考答案：9 21 略12. 数列{a n }满足，且在数列{a n }的前项中，所有奇数项之和为40，所有偶数项之和为85，则首项a 1＝参考答案：13. 已知实数x＞0，y ＞0，且满足，则x ＋2y 的最小值为________。
江苏省常州市高级中学2020-2021学年高一数学文测试题含解析
江苏省常州市高级中学2020-2021学年高一数学文测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知，，则等于（）A．B．C．D．参考答案：C2. 在等差数列中，已知，且的前项和，则在中，最大的一个是（）A． B．C． D．参考答案：A解析：由得，，，又因为3. 已知f（x）=log（x2﹣2x）的单调递增区间是（）A．（1，+∞）B．（2，+∞）C．（﹣∞，0）D．（﹣∞，1）参考答案：C【考点】复合函数的单调性．【分析】令t=x2﹣2x＞0，求得函数的定义域，且f（x）=g（t）=log t，根据复合函数的单调性，本题即求函数t=x2﹣2x在定义域内的减区间，利用二次函数的性质可得函数t=x2﹣2x在定义域内的减区间．【解答】解：令t=x2﹣2x＞0，求得x＜0，或x＞2，故函数的定义域为（﹣∞，0）∪（2，+∞），且f（x）=log（x2﹣2x）=g（t）=log t．根据复合函数的单调性，本题即求函数t=x2﹣2x在定义域内的减区间．再利用二次函数的性质可得函数t=x2﹣2x在定义域内的减区间为（﹣∞，0），故选：C．4. 设全集U=｛1，2，3，4，5｝，集合A=｛1，2｝，B=｛2，3｝，则A∩=( )A． B． C ． D．参考答案：C5. 设全集为，集合是的子集，定义集合的运算：，则等于A．B．C．D．参考答案：B6. 在中，，则等于（）A． B． C． D．参考答案：D7. 若，，则的值是（）A．B．C．D．参考答案：A 解析：8. 函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，若将f（x）图象上所有点的横坐标缩短来原来的倍（纵坐标不变），得到函数g（x）的图象，则g（x）的解析式为（）A．y=sin（4x+）B．y=sin（4x+）C．y=sin（x+）D．y=sin（x+）参考答案：A【考点】正弦函数的图象．【分析】首先根据函数的图象确定确定A，ω，?的值，进一步利用函数图象的平移变换求出结果．【解答】解：根据函数的图象：A=1，则：T=π利用解得：?=k（k∈Z）由于|?|＜所以：?=求得：f（x）=将f（x）图象上所有点的横坐标缩短来原来的倍（纵标不变）g（x）=故选：A9. 若函数y=既存在最大值M，又存在最小值m，则M+m的值为（）A．﹣1 B．﹣2 C．﹣3 D．﹣4参考答案：D【考点】三角函数的最值．【分析】将4=4sin2x+4cos2x代入函数式化简得y=﹣2+，令g（x）=，则g（x）为奇函数，故而M+m=﹣4．【解答】解：y===﹣2+．令g（x）=，则M=﹣2+g max（x），m=﹣2+g min（x）．∵g（﹣x）==﹣g（x）．∴g（x）是奇函数．∴g max（x）+g min（x）=0，∴M+m=﹣2+g max（x）﹣2+g min（x）=﹣4．故选：D．10. 设为奇函数且在(－∞,0)上单调递减，，则的解集为（）A.(－2,0)∪(2,+∞)B. (－∞,－2)∪(0,2)C. (－∞,－2)∪(2,+∞)D. (－2,0)∪(0,2)参考答案：D二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知正数a ，b 满足，则的最小值为．参考答案：7已知正数a ,b 满足ab =a+b +1,则，a >0，得到b >1，所以，当且仅当b =2时等号成立； 所以a +2b 的最小值为7. 12.化为弧度角等于 ；参考答案：略 13. 若，且，则向量与的夹角为 ．参考答案：14. 已知定义在R 上的偶函数f （x ）在[0，+∞）上递减，且f （1）=0，则不等式f （log 4x ）+f （log x ）≥0的解集为 ．参考答案：[，4]【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】根据对数的运算性质进行化简，结合函数奇偶性和单调性的关系将不等式进行转化求解即可．【解答】解：∵定义在R 上的偶函数f （x ）在[0，+∞）上递减，且f （1）=0， ∴不等式f （log 4x ）+f （log x ）≥0等价为不等式f （log 4x ）+f （﹣log 4x ）≥0 即2f （log 4x ）≥0，则f （|log 4x|）≥f（1）， 即|log 4x|≤1，即﹣1≤log 4x≤1，则﹣≤x≤4，即不等式的解集为[，4]，故答案为：[，4]．【点评】本题主要考查不等式的求解，根据函数奇偶性和单调性的性质将不等式进行转化是解决本题的关键．15. 向量a=（2x ，1），b=（4，x ），且a 与b 的夹角为180。
常州高级中学2021-2022学年高一下学期期末数学试题(含答案)
互相垂直这一性质，考查了数学运算能力.
2. 某集团校为调查学生对学校“延时服务”的满意率，想从全市 3 个分校区按学生数用分层随机抽样的方
法抽取一个容量为 n 的样本．已知 3 个校区学生数之比为 2 : 3 : 5 ，如果最多的一个校区抽出的个体数是 60，
那么这个样本的容量为（ ）
A. 96
【答案】B
y 轴 平面 PAD ，平面 PAD 的一个法向量 m 0,1,0 ；
设平面 PDQ 的法向量 n x, y, z ，
则
PD
n
4x
2z
0
，令 x 1，解得： y 1， z 2 ，n 1,1, 2 ，
DQ n 2x 2y 0
cos m, n m n 1 6 ， mn 6 6
A. 不可能平行，也不可能垂直 C. 可能垂直，但不可能平行 【答案】D 【解析】 【分析】如图，借助正方体分析可以判断.
B. 可能平行，但不可能垂直 D. 可能平行，也可能垂直
【详解】如图，在正方体中，即 AD1 为 m ， EF 为 n ，底面 ABCD 为平面 ，则 m，n 在平面 内的射影 AD 和 CD 垂直；
2
B：因为 (2a
b) b
2a b
2
b
2
1
1
2
0 ，所以本选项不符合题意；
2
C：因为 (a
2b) b
ab
2
2b
1
21
3
0
，所以本选项不符合题意；
2
2
D：因为
(2a
b) b
2a b
2
b
2
1
1
0 ，所以本选项符合题意.
2
江苏省常州高级中学2021-2022学年高一下学期期末数学试题
江苏省常州高级中学2021-2022学年高一下学期期末数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________二、多选题9．已知甲、乙两个水果店在“十一黄金周”七天的水果销售量统计如图所示．则下列说法正确的是（ ）A．甲组数据的极差大于乙组数据的极差B．甲组数据的平均数大于乙组数据的平均数C．甲组数据的方差大于乙组数据的方差D．甲组数据的中位数大于乙组数据的中位数10．（多选）在试验M“某县城有甲、乙两种报纸供居民订阅，记录订阅的情况”中，事件A表示“只订甲报”，事件B表示“至少订一种报”，事件C表示“至多订一种报”，事件D表示“不订甲报”，事件E表示“一种报纸也不订”，则（）四、解答题17．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱1DD 的中点．111ABC A B C -的体积最大？并求出最大值.此时设1ACD △的中心为P ，11A BC V 的中心为则263PA =，233PQ =，63QT =，则易所以最小球即为以P 为球心，半径R PA ==17．(1)证明见解析；(2)证明见解析.【分析】(1)借助题设条件运用线面平行的判定定理推证；(2)借助题设运用面面垂直的判定定理推证.【详解】（1）连BD 交AC 于O ，连EO ，因为O 为BD 的中点，E 为1DD 的中点，所以1//EO BD 又1BD Ë平面,EAC EO Ì平面EAC ，所以1//BD 平面EAC（2）因为1,AC BD DD ^^平面ABCD ，所以11,DD AC BD DD ^I 于D ，所以AC ^平面1BDD ，所以1AC BD ^同理可证11^AB BD ，又1AC AB Ç于A ，所以1BD ^平面1AB C ，因为1//EO BD ，所以EO ^平面1AB C ，又EO Ì平面EAC ，所以平面EAC ^平面1AB C ．18．(1)5。
2020-2021第二学期高一数学第三次学情调研(5月26日)(答案)(2)
圾分为“可回收物”、“有害垃圾”、“厨余垃圾”和“其他垃圾”四大类．某社区为了
分析不同年龄段的人群对垃圾分类知识的了解情况，对辖区内的居民进行分层抽
样调查．已知该社区的青年人、中年人和老年人分别有 800 人、900 人、700 人，
若在老年人中的抽样人数是 35，则在青年人中的抽样人数是（ B ）
2
2
11．如图，正方体 ABCD − A1B1C1D1 的棱长为 1，线段 B1D1 上有两个动点 E, F ，且
EF = 1 ，则下列结论中正确的是（ BC ） 2
A． AF ⊥ AC
C1 E
D1
B1 F
A1
B． EF ∥平面 ABCD C．三棱锥 A − BEF 的体积为定值
C
B
D． AEF 的面积与 BEF 的面积相等
所以 AP∥SE.
又 SE 平面 NEC，AP 平面 NEC，所以 AP∥平面 NEC.
C C
19．（本题满分 12 分） 在①b＝ 3 ；② ＝3cosB；③ sinC＝1 这三个条件中任选一个，补充在下面问题 中．若问题中的三角形存在，求该三角形面积的值；若问题中的三角形不存在，说 明理由．
的取值范围是（ A ）
A．[ 6 , 3 2 ] 22
C．[ 3, 3 + 3 ] 2
B．[ 6 , 6] 2
D．[ 3,3]
江苏省常州市“教学研究合作联盟”2020-2021学年高一下学期3月阶段调研数学试题
三、填空题
13．若平面向量 与 的夹角为 ， ， ，则 ________.
14．已知 且 ，则 的值为________.
15．已知函数 ，将函数 图象上的点的横坐标伸长为原来的4倍（纵坐标不变），得到函数 的图象，若 ，则 的最小值为________.
四、双空题
16．在四边形 中， ， ， ， ， ，则实数 的值为_______，若 是线段 上的动点，且 ，则 的最小值为________.
故选：CD．
【点睛】
本题主要考查三角恒等变换，二倍角公式，函数的定义域和值域，属于中档题．
13．
【分析】
计算出 ，利用平面向量数量积可计算得出 的值.
【详解】
由已知可得 ，由平面向量数量积的定义可得 ，
因为 .
因此， .
故答案为： .
14．
【分析】
将 变形为 ，构成齐次式，然后可解出 ，再将 变形为 ，即可求解.
B．函数 在 上为增函数
C．直线 是函数 图象的一条对称轴
D．点 是函数 图象的一个对称中心
11．正五角星是一个非常优美的几何图形，且与黄金分割有着密切的联系.在如图所示的正五角星中，以 为顶点的多边形为正五边形且 ，下列关系中正确的是（）
A． B．
C． D．
12．已知函数 的定义域为 ，值域为 ，则 的值可能是（）
【详解】
因为 ，所以 ，则 ，
，
，
，
.
故选：C.
4．D
【分析】
求出 的值，利用二倍角的正切公式以及两角差的正切公式可求得结果.
【详解】
由三角函数的定义可得 ，则 ，
因此， .
故选：D.
5．C
2020-2021学年江苏省常州市金坛市第三高级中学高三数学理月考试题含解析
2020-2021学年江苏省常州市金坛市第三高级中学高三数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知函数（f（x）=sin（ωx+φ）（其中ω＞0，|φ|＜图象相邻对称轴的距离为，一个对称轴中心为（﹣，0），为了得到g（x）=cosx的图象，则只要将f（x）的图象( ) A．向右平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向左平移个单位参考答案：D考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：由周期求得ω，根据图象的对称中心求得φ的值，可得函数的解析式，再根据函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换规律得出结论．解答：解：因为函数（f（x）=sin（ωx+φ）（其中ω＞0，|φ|＜图象相邻对称轴的距离为，所以函数f（x）的周期为π，所以ω=2，又一个对称轴中心为（﹣，0），所以sin[2×φ]=0，|φ|＜，所以φ=，所以f（x）=sin（2x+）=cos（﹣+2x+）=cos（2x﹣）=cos[2（x﹣）]，所以只需要将f（x）的图象向左平移个单位，即可得到g（x）=cosx的图象．故选：D．点评：本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，诱导公式的应用，函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．2. 两直线3x+2y+m=0和（m2+1）x-3y-3m=0的位置关系是（）A．平行 B．相交 C．重合 D．视m而定参考答案：B略3. 已知函数，若对任意的，关于x的方程（）总有两个不同的实数根，则m的取值范围为（）A．[6,8] B．[2,6] C．(6,8] D．(2,6]参考答案：D由题意，方程在内有两个不同的实数根，等价于函数与的图象有两个不同的交点，又由，可得当时，结合三角函数的图象，即可求解，故选D4. 定义域为上的奇函数满足，且，则（）A．2 B．1 C.-1 D．-2参考答案：C5. 设D是函数定义域内的一个区间，若存在,使，则称是在区间D上的一个“k阶不动点”，若函数在区间[1,4]上存在“3阶不动点”，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．(－∞,0]参考答案：A6. 已知集合A={x∈R||x|≥2}，B={x∈R|x2﹣x﹣2＜0}，则下列结论正确的是（）A．A∪B=R B．A∩B≠? C．A∪B=? D．A∩B=?参考答案：D【考点】交集及其运算．【分析】运用绝对值不等式和二次不等式的解法，化简集合A，B，分别求出A，B的交集和并集，即可判断选项的正确．【解答】解：集合A={x∈R||x|≥2}={x|x≥2或x≤﹣2}B={x∈R|x2﹣x﹣2＜0}={x|（x﹣2）（x+1）＜0}={x|﹣1＜x＜2}，则A∩B=?，A∪B={x|x＞﹣1或x≤﹣2}，对照选项，可得A，B，C均错，D正确．故选：D．7. 已知A、B均为集合的子集，且则( )A. B. C. D.参考答案：D略8. △ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=b，A=2B，则cosB 等于（）A．B．C．D．参考答案：C【考点】HP：正弦定理．【分析】对A=2B两边取正弦，运用二倍角公式和正弦定理，化简计算即可得到cosB．【解答】解：A=2B，即有sinA=sin2B=2sinBcosB，由正弦定理可得，a=2bcosB，由a=b，则b=2bcosB，则有cosB=．故选C．【点评】本题考查正弦定理及运用，考查二倍角公式的运用，考查运算能力，属于基础题．9. 已知等比数列的前三项依次为A. B. C. D.参考答案：C试题分析：由于等比数列的前三项依次为，得，解得，因此前三项依次为4,6,9，公比，因此，故答案为C.考点：等比数列的通项公式.10. 已知集合M＝﹛x|－3＜x5﹜,N＝﹛x|x＜－5或x＞5﹜，则M N＝(A) ﹛x|x＜－5或x＞－3﹜ (B) ﹛x|－5＜x＜5﹜(C) ﹛x|－3＜x＜5﹜(D) ﹛x|x＜－3或x＞5﹜参考答案：A解析：直接利用并集性质求解,或者画出数轴求解.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 关于、的二元线性方程组的增广矩阵经过变换，最后得到的矩阵为，则二阶行列式=.参考答案：由增广矩阵可知是方程组的解，所以解得，所以行列式为。
2020-2021学年江苏省常州市第一中学高一下学期3月阶段考试数学试题(解析版)
2020-2021学年江苏省常州市第一中学高一下学期3月阶段考试数学试题一、单选题1．在ABC 中，::1:1:4A B C =，则::a b c 等于（ ）A ．2:2B ．C ．1:1:2D ．1:1:4【答案】B【解析】先求得,,A B C ，然后利用正弦定理求得::a b c . 【详解】由于::1:1:4A B C =，且A B C π++=， 所以2,63A B C ππ===，由正弦定理得2::sin :sin :sin sin :sin:sin663a b c A B C πππ===故选：B2．()1sin π3α-=，则cos2=α（ ）A ．89B ．79C ．79-D ．89-【答案】B【分析】由诱导公式及余弦的二倍角公式进行求值. 【详解】因为()1sin πsin 3αα-==，所以217cos212sin 1299αα=-=-⨯=.故选：B3．在平面直角坐标系中，已知向量(1,2)a =，1(3,1)2a b -=，(,3)c x =，若(2)//a b c +，则x ＝（ ） A ．－2 B ．－4 C ．－3 D ．－1【答案】D【解析】可由条件先求出b ，由此可求出2a b +，即可根据向量共线的坐标表示求出x .【详解】因为1(3,1)2a b -=，所以()11,2(3,1)2b -=，则(4,2)b =-．所以()()221,24,2(2,6)a b +=+-=-． 因为(2)//a b c +，所以66,1x x -==-. 故选：D.【点睛】本题考查平面向量关系的坐标表示，属于基础题.4．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ．若30C =︒，23b =，60B =︒ ，则边c 的值为（ ） A ．2 B ．4 C ．6 D ．8【答案】A【分析】由正弦定理sin sin c bC B=即可得到边c 的大小． 【详解】解：根据正弦定理sin sin c b C B =得23sin 30sin 60c ︒︒=， 所以c ＝23sin 30sin 60︒︒＝2.故选：A5．如图在边长为1的正方形组成的网格中，平行四边形ABCD 的顶点D 被阴影遮住，则AB AD ⋅＝（ ）A ．10B ．11C ．12D ．13【答案】B【分析】以A 为坐标原点，建立平面直角坐标系，利用向量数量积的坐标运算即可求解. 【详解】以A 为坐标原点，建立平面直角坐标系，则A (0，0)，B (4，1)，C (6，4)， AB ＝(4，1)，AD BC =＝(2，3)，AB AD ∴⋅＝4×2＋1×3＝11， 故选：B.【点睛】本题考查了向量数量积的坐标运算，考查了基本运算能力，属于基础题.6．已知1sin cos 63παα⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，则cos 23πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭A ．518- B ．518C ．79-D ．79【答案】D【详解】试题分析：1sin cos 63παα⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，得311sin cos cos sin 2263παααα⎛⎫+-=-= ⎪⎝⎭，得227cos 212sin 16699ππαα⎛⎫⎛⎫-=--=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.【解析】三角函数公式.7．已知函数()()sin f x A x =+ωϕ(0,0,)2A πωϕ>>≤的部分图象如图所示，则()()()()12311f f f f ++++的值等于（ ）A ．2B ．22C ．222+D ．22【答案】C【分析】根据函数的图象求出函数()f x 的解析式和周期，得到()()()1280f f f +++=，转化为()()()()()()()1231191011f f f f f f f ++++=++，代入即可求解.【详解】由函数()()sin f x A x =+ωϕ，可得2,8A T ==，所以4πω=，即()2sin()4f x x πϕ=+，又由图象过点(2,2)，可得sin()22πϕ+=，解得2,k k Z ϕπ=∈，因为2πϕ≤，所以0ϕ=，所以()2sin()4f x x π=，根据正弦函数的性质和周期，可得()()()()12380f f f f ++++=，所以()()()()()()()1231191011f f f f f f f ++++=++332sin(2)2sin(2)2sin(2)2sin 2sin 2sin 222424424πππππππππ=+++++=++=+故选：C.8．已知O 为 ABC 的外心，16AB =，102AC =若AO x AB y AC =+，且322525x y +=，则OA =（ ）A ．8B ．10C ．12D ．14【答案】B【分析】由AO ＝x AB +y AC ，得到2AO ＝x AO AB ⋅+y AO AC ⋅，利用向量数量积的几何意义，分别求出AB AO ⋅，⋅AC AO 后，得出关于x ，y 的代数式，利用32x +25y ＝25整体求解．【详解】解：如图所示：因为AO ＝x AB +y AC ，所以2AO ＝x AO AB ⋅+y AO AC ⋅，因为O 为外心，D ，E 为中点，OD ，OE 分别为两中垂线． 所以AB AO ⋅＝|AB |⋅ |AO |⋅ cos ∠DAO ＝|AB AD ⋅|， ＝|AB |×12×|AB |＝16×8＝128， 同样地，⋅AC AO ＝12|AC |2＝100，所以AO 2＝128x +100y ＝4（32x +25y ）＝100， ∴|AO |＝10． 故选：B ． 二、多选题9．在平面直角坐标系xOy 中，角α以Ox 为始边，终边经过点()1,P m -（0m ≠），则下列各式的值一定为负的是（ ） A ．cos α B ．sin cos αα-C ．sin cos ααD ．sin tan αα【答案】AD【分析】由任意角的三角函数的定义结合三角函数的正负求解． 【详解】由已知得r ＝|OP |21m + 则sinα21m +2cos 01m α=<+，tanα＝﹣m ．由于不知道m 的正负，故sin cos αα-与sin cos αα符号不确定，∴sin cos tan aa a=＜0． 故一定为负值的是A 、D ． 故选：AD ．10．下列命题中正确的是（ ）A ．向量a 与b 不共线，则a 与b 都是非零向量B ．已知A ，B ，C 是平面内任意三点，则0AB BC CA ++=C ．若O 为△ABC 所在平面内任一点，且满足()()20OB OC OB OC OA -⋅+-=，则△ABC 为等腰三角形D ．若向量a 与b 同向，且a b >，则a b > 【答案】ABC【解析】根据向量共线的定义，向量的线性运算以及向量的数量积运算计算即可判断. 【详解】A.因为零向量与任意向量共线，若向量a 与b 不共线，则a 与b 都是非零向量，故正确.B. 因为,0AB BC AC AC CA +=+=，所以0AB BC CA ++=，故正确.C. 因为()(2)OB OC OB OC OA -⋅+-()()()220CB AB AC AB AC AB AC AB AC =⋅+=-⋅+=-=，所以AB AC =，则△ABC 为等腰三角形，故正确. D. 向量不能比较大小，故错误. 故选：ABC【点睛】本题主要考查平面向量共线的定义，线性运算以及数量积运算，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 11．下列命题中正确的是（ ）A ．tan 70tan 5070tan 50︒+︒︒︒的值等于B ．若51tan 45πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则3tan 2α=-C ()23tan123sin124cos 122-=--D 5=︒ 【答案】AC【分析】利用两角和的正切公式，可得tan 70+tan50=-33tan70tan50+，即可判断A;利用两角和的正切公式，可求得3tan 2α=，判断B;利用三角恒等变换，求得()23tan123sin124cos 122--的值，判断C;利用倍角公式化简求值，判断D.【详解】A tan 70+tan5031-tan70tan1ta 20==0-n5，tan 70+tan50=-33tan70tan50+，所以tan 70tan 503tan 70tan 503+-=-，A 正确 B .若 51tan 45πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭ ，则1tan 45π⎛⎫α-= ⎪⎝⎭，即tan 11tan 15αα-=+， 解得3tan 2α= ，B 错误；C()23tan123sin124cos 122--2-3cos1223sin 12-60cos12==2sin12cos 12-1sin 24cos24（）（2）sin 482C 正确；D 0590,sin 50<<>22cos10112sin 52sin 52sin5=--==（），D 错误 故选：AC ．12．关于函数f （x ）=1sin sin x x+的下列四个命题正确的是（ ） A ．f （x ）的图像关于y 轴对称 B ．f （x ）的图像关于原点对称 C ．f （x ）的图像关于直线x =2π对称 D ．f （x ）的最小值为2【答案】BC【分析】通过66f f ππ⎛⎫⎛⎫-≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭可判断A ；通过()()f x f x -=-可判断B ；通过22f x f x ππ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭可判断C ；通过当0x π-<<时，()0f x <可判断D. 【详解】对于命题A ，152622f π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，152622f π⎛⎫-=--=- ⎪⎝⎭，则66f f ππ⎛⎫⎛⎫-≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以，函数()f x 的图象不关于y 轴对称，命题A 错误；对于命题B ，函数()f x 的定义域为{},x x k k Z π≠∈，定义域关于原点对称，()()()()111sin sin sin sin sin sin f x x x x f x x x x ⎛⎫-=-+=--=-+=- ⎪-⎝⎭，所以，函数()f x 的图象关于原点对称，命题B 正确；对于命题C ，11sin cos 22cos sin 2f x x x x x πππ⎛⎫⎛⎫-=-+=+⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭- ⎪⎝⎭，11sin cos 22cos sin 2f x x x x x πππ⎛⎫⎛⎫+=++=+⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭+ ⎪⎝⎭，则22f x f x ππ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以，函数()f x 的图象关于直线2x π=对称，命题C 正确；对于命题D ，当0x π-<<时，sin 0x <，则()1sin 02sin f x x x=+<<， 命题④错误. 故答案为：BC.【点睛】本题主要考查了函数的对称性以及最值等基本性质，属于中档题. 三、填空题13．函数sin(2)cos(2)63y x x ππ=+-+的最小正周期和最大值分别为____．【答案】π，3【分析】先根据两角和与差的正弦、余弦公式进行化简，直接求出最小正周期和最大值. 【详解】sin(2)cos(2)63y x x ππ=+-+ ＝31sin 2cos 222x x +﹣13cos 2sin 222x x + ＝3sin 2x 所以周期T ＝22ππ=，最大值为3 故答案为：π，3 14．函数tan()42y x ππ=-的部分图象如图所示，则()OA OB AB +⋅=____.【答案】6【详解】试题分析：由图可知(2,0)A ，(3,1)B ，∴ ()(5,1)(1,1)6OA OB AB +⋅=⋅=. 【解析】正切型函数的图象与平面向量的数量积运算.【方法点睛】本题主要考查了正切型函数的图象与平面向量的数量积运算，属于中档题.本题解答的关键观察图象发现,A B 分别是函数tan()42y x ππ=-y 轴右侧的第一个零点和函数值为1的点，即可求得,A B 的坐标，进而求得向量(),OA OB AB +的坐标，根据平面向量数量积的坐标运算即可求得答案.15．函数sin cos 2sin cos 2y x x x x =+++，若0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的最大值和最小值是____．【答案】3，3【分析】注意sin x +cos x 与sin x •cos x 之间的关系，进行换元可将原函数转化成一元二次函数来解．【详解】令t ＝sin x +cos x （x +4π），当x ∈[0，2π]时，则t ∈[1]，所以2sin x cos x ＝t 2﹣1，则y ＝t 2+t +1＝（t +12）2+34，在t ∈[1上单调递增，此时y 的最大值是3，而最小值是3．故答案为：33 四、双空题16．已知向量,a b 满足1,2a b ==，则a b a b ++-的最小值是___________，最大值是______．【答案】 4 【详解】设向量,a b 的夹角为θ，由余弦定理有：212a b -=+=212a b +=+54cos a b a b ++-=+令y =[]21016,20y =+， 据此可得：()()maxmin2025,164a b a ba b a b++-==++-=，即a b a b ++-的最小值是4，最大值是 【名师点睛】本题通过设向量,a b 的夹角为θ，结合模长公式， 可得54cos a b a b ++-=+属中档题，对学生的转化能力和最值处理能力有一定的要求． 五、解答题17．如图，在平行四边形ABCD 中，4AB =，3AD =，60DAB ∠=︒ ，求：(1)AD BC ⋅； (2)AB CD ⋅； (3)AB AD ⋅； (4)AD CD ⋅． 【答案】(1)9 (2)16- (3)6 (4)6-【分析】根据平行四边形的对边平行且相等，利用向量相等或相反的定义，根据数量积公式，即可计算各题中的数量积．【详解】(1)解：平行四边形ABCD 中，4AB =，3AD =，60DAB ∠=︒， ∵AD BC =，∴29AD BC AD ⋅==； (2)解：∵AB CD =-， ∴216AB CD AB ⋅=-=-；(3)解：根据平面向量数量积的定义知，1cos64362AB AD AB AD ⋅=⨯⨯︒=⨯⨯=；(4)解：由CD AB =-，∴43cos606AD CD AD AB ⋅=-⋅=-⨯⨯︒=-．18．已知角,,A B C 是ABC ∆的内角，,,a b c 分别是其所对边长，向量223sin ,cos 22A A m ⎛⎫= ⎪⎝⎭，cos ,22A n ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，m n ⊥（1）求角A 的大小；（2）若2,cos a B ==b 的长 .【答案】（1）sin B =2）3b =【详解】试题分析：（1）根据题意，当两个向量垂直时，其数量积为0，结合三角函数的倍角公式进行运算，又()0,A π∈，再三角函数值进行计算，从而求出角A ；（2）结合（1）的结果，由题意，可根据正弦定理进行运算即可. 试题解析：（1）已知m n ⊥ 223sincos 2cos 0222A A Am n ∴⋅=-=cos 1A A -= 2sin 16A π⎛⎫∴-= ⎪⎝⎭1sin 62A π⎛⎫∴-= ⎪⎝⎭ 0A π<< 5666A πππ∴-<-<663A A πππ∴-=∴=（2）cos B =sin B ∴= 由正弦定理sin sin a b A B =得 sin sin B b a A=⋅b ∴=点睛：此题主要考查了两个向量垂直的数量积的运算，三角函数的恒等变换，以及正弦定理的应用等方面的知识，属于中高档题型，也是高频考题.在解决此类问题的过程中，三角函数的倍角公式、两角和差的正弦公式的应用起到了非常关键的作用，还要注意三角形内角的取值范围.19．已知α，β∈(0，π)，且tanα＝2，cosβ＝－10． (1)求cos2α的值； (2)求2α－β的值．【答案】（1）－35 （2）－4π【详解】解：(1)cos2α＝cos 2α－sin 2α＝2222cos sin sin cos αααα-+＝221tan 1tan αα-+＝1414-+＝－35．(2)因为α∈(0，π)，且tanα＝2，所以α∈(0，2π)． 又cos2α＝－35<0，故2α∈(2π，π)，sin2α＝45．由cosβ，β∈(0，π)，得sinβ＝10，β∈(2π，π)．所以sin(2α－β)＝sin2αcosβ－cos2αsinβ＝45×()－(－35． 又2α－β∈(－2π，2π)，所以2α－β＝－4π． 20．已知()sin ,cos a x x =，()sin ,cos b x x =-，且函数()23sin cos f x a b x x =⋅-（x ∈R ）．(1)求23f π⎛⎫ ⎪⎝⎭的值； (2)求函数()1y f x =-的最小正周期和对称中心；(3)求函数()f x 在区间[]0,π的单调增区间．【答案】(1)2(2)最小正周期是π，对称中心是(),1212k k Z ππ⎛⎫--∈ ⎪⎝⎭(3)()f x 在区间[]0,π的单调增区间为2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】（1）利用向量的数量积运算和二倍角公式得到()2sin 26f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭求解； 可得2232sin 22sin 23362f ππππ⎛⎫⎛⎫=-⨯+=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； （2）由（1）得到()12sin 216y f x x π⎛⎫=-=-+- ⎪⎝⎭，利用正弦函数的性质求解； （3）令3222,262k x k k Z πππππ+≤+≤+∈，再结合定义域求解.【详解】(1)解：()22sin cos cos f x x x x x =--，22sin cos cos x x x x =--，cos 22x x =-，2sin 26x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，， ∴2232sin 22sin 23362f ππππ⎛⎫⎛⎫=-⨯+=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； (2)由（1）知：()12sin 216y f x x π⎛⎫=-=-+- ⎪⎝⎭， 令2,6x k k Z ππ+=∈，得,212k x k Z ππ=-∈， 所以最小正周期是22T ππ==，对称中心是(),1212k k Z ππ⎛⎫--∈ ⎪⎝⎭(3)令3222,262k x k k Z πππππ+≤+≤+∈， ∴263k x k ππππ+≤≤+，即2,63k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦()k Z ∈， ∴()f x 在区间[]0,π的单调增区间为2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦.21．已知函数f (x )＝sin 2x π⎛⎫- ⎪⎝⎭sin x －3cos 2x ＋32 （1）求f (x )的最大值及取得最大值时x 的值；（2）若方程f (x )＝23在(0，π)上的解为x 1，x 2，求cos(x 1－x 2)的值．【答案】（1）x ＝512π＋k π(k ∈Z )，最大值为1；（2）23. 【分析】（1）利用二倍角公式和辅助角公式化简函数f (x )解析式，由正弦函数的性质可得答案.（2）求出函数f (x )的对称轴，得到x 1与x 2的关系，利用诱导公式化简可得答案.【详解】（1）f (x )＝cos x sin x －32 (2cos 2x －1)＝12sin 2x －32cos 2x ＝sin 2-3x π⎛⎫ ⎪⎝⎭. 当2x －3π＝2π＋2k π(k ∈Z )，即x ＝512π＋k π(k ∈Z )时，函数f (x )取最大值，且最大值为1.（2）由（1）知，当x ∈(0，π)时，函数f (x )图象的对称轴为x ＝512π. 又方程f (x )＝23在(0，π)上的解为x 1，x 2.所以x 1＋x 2＝56π，则x 1＝56π－x 2， 所以cos(x 1－x 2)＝cos 25-26x π⎛⎫ ⎪⎝⎭＝sin 22-3x π⎛⎫ ⎪⎝⎭， 又f (x 2)＝sin 22-3x π⎛⎫ ⎪⎝⎭＝23， 故cos(x 1－x 2)＝23.【点睛】本题考查三角函数恒等变换，考查正弦函数的图像与性质，属于中档题. 22．如图，在平面凸四边形ABCD 中（凸四边形指没有角度数大于180的四边形），2,4,5AB BC CD ===.（1）若120B ∠=，1cos 5D =，求AD ； （2）已知3AD =，记四边形ABCD 的面积为S .① 求S 的最大值；② 若对于常数λ，不等式S λ≥恒成立，求实数λ的取值范围.（直接写结果，不需要过程）【答案】（1）3；（2）①230；②214λ≤.【分析】（1）在ABC ∆中，利用余弦定理求得AC ；在ACD ∆中利用余弦定理构造关于AD 的方程，解方程求得结果；（2）①在ABC ∆和ACD ∆中利用余弦定理构造等量关系可得15cos 8cos 7D B -=，根据三角形面积公式可得215sin 8sin S D B =+，两式平方后作和可得()26060cos S B D =-+，当()cos 1B D +=-时，可求得S 的最大值；②由S λ≥可知min S λ≤，根据①可知，S 的范围由B D +的范围决定，求解出(),B D πβπα+∈-+且1cos 15α=-，2cos 5β=且α为钝角、β为锐角；根据2S 的单调性可求得最小值，从而求得min S 得到结果.【详解】（1）在ABC ∆中，2AB =，4BC =，120B ∠=由余弦定理得：222cos 27AC AB BC AB BC B =+-⋅=在ACD ∆中，27AC =，5CD =，1cos 5D = 由余弦定理得：222cos AD CD AD CD D AC +-⋅=即：225227AD AD +-=，解得：3AD =（2）①在ABC ∆和ACD ∆中，由余弦定理得：22016cos 3430cos AC B D =-=- 整理可得：15cos 8cos 7D B -=面积：()115sin 8sin 2S D B =+，即：215sin 8sin S D B =+ ()()22244915sin 8sin 15cos 8cos S D B D B ∴+=++-()()22564240cos cos sin sin 289240cos B D B D B D =+--=-+即：()26060cos S B D =-+当B D π+=时，即7cos 23D =，7cos 23B =-时，()min cos 1B D ⎡⎤+=-⎣⎦ 2120S ∴≤ max 230S ⇒=∴四边形ABCD 面积S 的最大值为：230②214λ≤由①知：()26060cos S B D =-+，则需研究B D +的范围.当D 增大时，AC 增大，从而B 随之增大所以，当,,A B C 趋于共线时，B D +趋于πα+，其中钝角α满足1cos 15α=-当D 减小时，AC 减小，从而B 随之减小所以，当,,A B D 趋于共线时，B D +趋于πβ-，其中锐角β满足2cos 5β= (),B D πβπα∴+∈-+令()26060cos S f x x ==-，则()f x 在(),πβπ-上递增，在(),ππα+上递减并且()84f πβ-=，()56f πα+=，()120f π=()(]256,120S f x ∴=∈，即(S ∈λ∴≤【点睛】本题考查解三角形相关知识，涉及到余弦定理解三角形、三角形面积公式、两角和差余弦公式的应用等知识，难点在于求解函数的最值时，角度的取值范围需要根据极限状态来求得，计算难度较大，属于难题.。
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高一数学3月阶段测试卷一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分）1．已知向量(2,3),(3,2)a b ==，则||a b -= （ ） AB ．2 C．D ．502．已知向量,a b 的满足||1,1a ab ==-，则(2)a a b -=（ ） A ．4 B ．3 C ．2 D ．03．已知单位向量,a b 的夹角为60°，则在下列向量中，与b 垂直的是 （ ） A ．2a b +B ．2a b +C ．2a b -D ．2a b -4．在ABC △中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB =（ ）A ．3144AB AC - B ．1344AB AC - C ．3144AB AC +D ．1344AB AC +5．已知非零向量a ，b 满足||2||a b =，且()a b b -⊥，则a 与b 的夹角为 （ ） A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π66．设20πθ<<，向量()()θθθcos 1cos sin 22，，，b a =，若b a //，则=θtan （ ） A ．0B ．13C ．12D ．2 7．在ABC 所在平面内一点P 满足PA PB PC PB PA PC ⋅=⋅=⋅,则点P 是ABC 的（ ）A ．重心B ．外心C ．内心D ．垂心8．如图，在平面四边形ABCD 中，,,120,AB BC AD CD BAD ⊥⊥∠=1,AB AD ==若点E 为边CD 上的动点，则AE BE ⋅的最小值为 （ ） A ．3B ．32 C ．2116D ．2516BCDE二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分）9．已知向量(1,2),(,1)a b λ=-=，记向量,a b 的夹角为θ，则（） A ．2λ>时θ为锐角 B ．2λ<时θ为钝角 C ．2λ=时θ为直角D ．12λ=-时θ为平角 10．设,,D E F 分别是ABC ∆的边,,BC CA AB 上的点，且12AF AB =，13BD BC =， 14CE CA =，若记,AB m AC n ==，则（）A ．34BE m n =-+B ．1223EF m n =+C ．2133AD m n =+ D ．25312DE m n =- 11．已知2||||1,3OA OB AOB π==∠=,点C 在AOB ∠内且030AOC ∠=，设OC mOA nOB=+，其中,m n R ∈，则（）A ．2n OC OA m ⋅=+B ．2m OC OB n ⋅=-+C ．0OC OB ⋅=D ．2m n =12．已知OAB 的顶点坐标为(0,0)O ,(2,9)A ,(6,3)B -, 点P 的横坐标为14，且OP PB λ=.点Q 是边AB 上一点,且0OQ AP ⋅=，R 为线段OQ 上的一个动点,则（）A ．7=4λB ．点P 的纵坐标为7-C ．2AB AQ =D ．()RO RA RB ⋅+的最小值为254-三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知向量(2,2),(8,6)a b ==-，则cos ,a b <>=________.14．已知向量(3,2),(4,2),(7,5)a b c =-=-=-，则向量c 可用向量,a b 表示为．15．已知正方形ABCD 的边长为2，点P 满足1()2AP AB AC =+，则||PD =________；PB PD ⋅=________．（第1问2分，第2问3分）16．已知ABC △是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC ⋅+的最小值是________．四、解答题（本题共6小题，第17题10分，第18~22小题各12分，共70分） 17．在平面直角坐标系xOy 中，已知点(1,2),(2,3),(2,1)A B C ---- （1）求以线段,AB AC 为邻边的平行四边形两条对角线的长； （2）设实数t 满足()0AB tOC OC -=，求t 的值．18．已知(cos ,sin ),(cos ,sin )a b ααββ==，παβ<<<0．（1）若||2a b -=，求证：a b ⊥；（2）设(0,1)c =，若a b c +=，求βα,的值．19．如图，在ABC 中，D 是BC 上一点，E 是AD 上一点，过E 的直线分别交边,AB AC于,M N ．（1）若12AE AM AN λλ=+,求证：121λλ+=； （2）若D ，E 分别是BC ，AD 中点，且,AM xAB AN y AC ==,求11x y+的值．20．阅读一下一段文字：222222()2,()2a b a ab b a b a ab b +=++-=-+，两式相减得：22221()()4[()()]4a b a b ab ab a b a b +--=⇒=+--，我们把这个等式称作“极化恒等式”．它实现了在没有夹角的参与下将两个向量的数量积运算化为“模”的运算．试解决以下问题：如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E ，F 是AD 上的两个三等分点． （1）若5,4AD BC ==，求AB AC ⋅的值；（2）若4AB AC ⋅=，1FB FC ⋅=-，求EB EC ⋅的值．BN MADE BCA DFE21．如图，在四边形ABCD 中，60,3B AB ∠=︒=，6BC =，3,2AD BC AD AB λ=⋅=-，（1）求实数λ的值；（2）若,M N 是线段BC 上的动点， 且||1MN =，求DM DN ⋅的最小值．22．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知()()1,cos 1sin ,cos ,0,2A x B x x x π⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦,， 23AC AB =,记,OA a OB b ==． （1）试用向量,a b 表示向量OC ，并求向量OC 的坐标； （2）若函数()223f x OA OC m AB ⎛⎫=•-+• ⎪⎝⎭的最大值为94，求实数m 的值．BCAMN D高一数学3月阶段测试卷参考答案1．A 2．B 3． D 4．A 5．B 6．C 7． D 8．C 9．ACD 10．AC 11．BC D 12．BC 13．10-；14.132a b -+；151-；16．32- 17．（1）(3,5),(1,1),(2,6)(4,4)AB AC AB AC AB AC ==-+=-=，………………4分 ||210|-|42AB ACAB AC +==，所以平行四边形两条对角线的长分别为………………6分（2）21(32,5)OC AB tOC t t =---=++（，）,………………8分 11()2(32)(5)05AB tOC OC t t t -=-+-+=⇒=-………………10分 18．（1）||||1a b ==………………2分222()2||||220a b a b a b a b a b -=⇒+-⋅=⇒⋅=⇒⊥；………………6分（2）cos cos 0sin sin 1αβαβ+=⎧⎨+=⎩………………8分因为παβ<<<0，所以62sin 156πβαβπαπα⎧=⎪+=⎧⎪⇒⎨⎨=⎩⎪=⎪⎩………………12分19．（1）1212(1)ME AE AM AM AN AM AM AN λλλλ=-=+-=-+MN AM AN =-+………………2分，因为//MN ME 所以存在实数μ使得1121221(1)()1ME MN AM AN AM AN λμμλλμλλλμ-=-⎧=⇒-+=-+⇒⇒+=⎨=⎩………………6分（2）因为D ，E 分别是BC ，AD 中点，所以11()24AE AD AB AC ==+…………8分又,AM xAB AN y AC ==，所以1144AE AB AC x y =+，即1211,44x yλλ== …………10分由（1）知11111444x y x y+=⇒+=……………………12分 20．解：（1）由“极化恒等式”知：222211[()()]2542144AB AC AB AC AB AC AD CB ⋅=+--=-=-=………4分（2）设3,2(0,0)AD m BC n m n ==>>，因为4AB AC ⋅=由（1）知222214944AD CB m n -=⇒-=① 因为1FB FC ⋅=-同理可得22221114FD CB m n -=-⇒-=-②……………8分 由①②解得22513,88m n ==……………10分 于是有222212013744888EB EC ED BC m n ⋅=-=-=-=……………12分 21．（1）AD BC λ=，//AD BC ∴，180120BAD B ∴∠=-∠=，cos120AB AD BC AB BC AB λλ⋅=⋅=⋅1363922λλ⎛⎫=⨯⨯⨯-=-=- ⎪⎝⎭，解得16λ=……………4分（2）以点B 为坐标原点，BC 所在直线为x 轴建立如下图所示的平面直角坐标系xBy ，()66,0BC C =∴，,∵3,60AB ABC =∠=︒，∴A 的坐标为32A ⎛ ⎝⎭,又∵16AD BC =,则52D ⎛ ⎝⎭，……………6分 设(),0M x ，则()1,0N x +（其中05x ≤≤），5,2DM x ⎛=- ⎝⎭，3,2DN x ⎛=- ⎝⎭， ……………8分()2225321134222222DM DN x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅=--+=-+=-+ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以，当2x =时，DM DN ⋅取得最小值132. ……………12分 21．（1）221212()333333AC AB OC OA OB OA OC OA OB a b =⇒-=-⇒=+=+ 2(1sin ,cos )3OC x x =+……………3分（2）221sin cos 3OA OC x x •=++，()sin ,0,0,||sin 2AB x x AB x π⎡⎤=∈∴=⎢⎥⎣⎦()22221sin cos 2sin sin 2sin 233f x x x m x x m x ⎛⎫=++-+=--+ ⎪⎝⎭……………6分记sin (01)x t t =≤≤()222()22()2f x g t t mt t m m ==--+=-+++①当0110m m ≤-≤⇒-≤≤时()2max 91242f x m m =+=⇒=-……………8分 ②当11m m ->⇒<-时()2max 951222148f x m m m =--+=-+=⇒=-舍去； ……………10分③当00m m -<⇒>时()max 2f x =舍去； 综上12m =-……………12分。