第2章 2.6.2 求曲线的方程

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高中数学第2章2.6曲线与方程2.6.3曲线的交点讲义(含解析)苏教版选修2_1

2．6.3曲线的交点[对应学生用书P43]给出下列两组直线，回答问题． (1)l 1：x ＋2y ＝0，l 2：2x ＋4y －3＝0； (2)l 1：2x －y ＝0，l 2：3x ＋y －7＝0. 问题1：两组直线的位置关系．提示：(1)平行；(2)相交．问题2：如何判断它们的位置关系？能否用这种方法来判定两条曲线的位置关系？提示：两直线位置关系的判断可有两种方法：一是利用斜率；二是两方程联立，利用方程的解来判定．第二种方法可以用来判定两曲线的位置关系．问题3：如何求两曲线的交点坐标．提示：把表示曲线的方程联立，解方程组，其解即为曲线交点的坐标．已知曲线C 1：f 1(x ，y )＝0和C 2：f 2(x ，y )＝0.(1)P 0(x 0，y 0)是C 1和C 2的公共点⇔⎩⎪⎨⎪⎧f 1(x 0，y 0)＝0，f 2(x 0，y 0)＝0.(2)求两曲线的交点，就是求方程组⎩⎪⎨⎪⎧f 1(x ，y )＝0，f 2(x ，y )＝0的实数解．(3)方程组有几组不同的实数解，两条曲线就有几个公共点；方程组没有实数解，两条曲线就没有公共点．直线与圆锥曲线联立，消元得方程ax 2＋bx ＋c ＝0方程特征交点个数位置关系直线与椭圆a ≠0，Δ>0 2 相交 a ≠0，Δ＝0 1 相切 a ≠0，Δ<0 0 相离直线与双曲线a ＝0 1 直线与双曲线的渐近线平行，两者相交a ≠0，Δ>02相交a≠0，Δ＝0 1 相切a≠0，Δ<00 相离直线与抛物线a＝0 1直线与抛物线的对称轴平行，两者相交a≠0，Δ>0 2 相交a≠0，Δ＝0 1 相切a≠0，Δ<00 相离[对应学生用书P44]直线与圆锥曲线的位置关系[例1] 已知直线l：kx－y＋2＝0，双曲线C：x2－4y2＝4，当k为何值时：(1)l与C无公共点；(2)l与C有惟一公共点；(3)l与C有两个不同的公共点．[思路点拨] 直线与圆锥曲线公共点的个数就是直线与圆锥曲线方程所组成的方程组解的个数，从而问题可转化为由方程组的解的个数来确定参数k的取值．[精解详析] 将直线与双曲线方程联立消去y，得(1－4k2)x2－16kx－20＝0.①当1－4k2≠0时，有Δ＝(－16k)2－4(1－4k2)·(－20)＝16(5－4k2)．(1)当1－4k2≠0且Δ＜0，即k＜－52或k＞52时，l与C无公共点．(2)当1－4k2＝0，即k＝±12时，显然方程①只有一解．当1－4k2≠0，Δ＝0，即k＝±52时，方程①只有一解．故当k＝±12或k＝±52时，l与C有惟一公共点．(3)当1－4k2≠0，且Δ＞0时，即－52＜k＜52，且k≠±12时，方程有两解，l与C有两个公共点．[一点通] 直线与圆锥曲线的位置关系，可以通过讨论直线方程与曲线方程组成的方程组的实数解的个数来确定，通常消去方程组中变量y (或x )得到关于变量x (或y )的一元二次方程，考虑该一元二次方程的判别式Δ，则有：Δ>0⇔直线与圆锥曲线相交于两个点； Δ＝0⇔直线与圆锥曲线相交于一个点； Δ<0⇔直线与圆锥曲线无交点．1．对不同的实数值m ，讨论直线y ＝x ＋m 与椭圆x 24＋y 2＝1的位置关系．解：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，x 24＋y 2＝1，消去y 得x 24＋(x ＋m )2＝1，整理得5x 2＋8mx ＋4m 2－4＝0.Δ＝(8m )2－4×5(4m 2－4)＝16(5－m 2)．当－5<m <5时，Δ>0，直线与椭圆相交；当m ＝－5或m ＝5时，Δ＝0，直线与椭圆相切；当m <－5或m >5时，Δ<0，直线与椭圆相离．2．已知抛物线的方程为y 2＝4x ，直线l 过定点P (－2,1)，斜率为k ，k 为何值时，直线l 与抛物线y 2＝4x 只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点？解：(1)当k ＝0时，直线l 与x 轴平行，易知与抛物线只有一个交点．(2)当k ≠0时，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋2)＋1，y 2＝4x ，消去x ，得ky 2－4y ＋4(2k ＋1)＝0，Δ＝16－4k ×4(2k ＋1)．①当Δ＝0，即k ＝－1或12时，直线l 与抛物线相切，只有一个公共点；②当Δ>0，即－1<k <12且k ≠0时，直线l 与抛物线相交，有两个公共点；③当Δ<0，即k <－1或k >12时，直线l 与抛物线相离，没有公共点．综上：当k ＝－1或12或0时，直线l 与抛物线只有一个公共点；当－1<k <12，且k ≠0时，直线l 与抛物线有两个公共点；当k <－1或k >12时，直线l 与抛物线没有公共点．直线被圆锥曲线截得的弦长问题[例2] 已知斜率为2的直线经过椭圆x 25＋y 24＝1的右焦点F 1，与椭圆相交于A 、B 两点，求弦AB 的长．[思路点拨] 先求出直线与椭圆的两个交点，再利用两点间的距离公式，也可以从公式上考查A 、B 坐标间的联系，进行整体运算．[精解详析] 法一：∵直线l 过椭圆x 25＋y 24＝1的右焦点F 1(1,0)，又直线的斜率为2.∴直线l 的方程为y ＝2(x －1)，即2x －y －2＝0. 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －2＝0，x 25＋y24＝1，得交点A (0，－2)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫53，43.则AB ＝(x A －x B )2＋(y A －y B )2＝(0－53)2＋(－2－43)2＝1259＝553. 法二：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A 、B 的坐标为方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －2＝0，x 25＋y24＝1的公共解．对方程组消去y ，得3x 2－5x ＝0.则x 1＋x 2＝53，x 1·x 2＝0.∴AB ＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝(x 1－x 2)2(1＋k 2AB )＝(1＋k 2AB )[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2] ＝(1＋22)[(53)2－4×0]＝553.法三：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －2＝0，x 25＋y24＝1，消去y ，得3x 2－5x ＝0，则x 1，x 2是方程3x 2－5x ＝0的两根． ∴x 1＋x 2＝53.由圆锥曲线的统一定义，得AF 1＝15×(5－x 1)，F 1B ＝15×(5－x 2)，则AB ＝AF 1＋F 1B ＝15×[10－(x 1＋x 2)]＝15×253＝553.[一点通] 弦长的求法：(1)求出端点坐标，利用两点间的距离公式求解． (2)结合根与系数的关系，利用变形公式l ＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]或 l ＝(1＋1k2)[(y 1＋y 2)2－4y 1y 2]求解．(3)利用圆锥曲线的统一定义求解．3．过抛物线y 2＝8x 的焦点作倾斜角为45°的直线，则被抛物线截得的弦长为________．解析：由抛物线y 2＝8x 的焦点为(2,0)，得直线的方程为y ＝x －2，代入y 2＝8x 得(x －2)2＝8x ，即x 2－12x ＋4＝0. ∴x 1＋x 2＝12，弦长＝x 1＋x 2＋p ＝12＋4＝16. 答案：164．直线y ＝2x －3与双曲线x 22－y 2＝1相交于两点A 、B ，则AB ＝________.解析：设直线y ＝2x －3与双曲线x 22－y 2＝1两交点坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －3，x 22－y 2＝1，得7x 2－24x ＋20＝0，∴x 1＋x 2＝247，x 1x 2＝207，∴|AB |＝1＋22|x 1－x 2|＝5·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝5·(247)2－4×207＝457. 答案：4575．如图，椭圆x 216＋y 29＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，一条直线l经过F 1与椭圆交于A ，B 两点，若直线l 的倾斜角为45°，求△ABF 2的面积．解：由椭圆的方程x 216＋y 29＝1知，a ＝4，b ＝3，∴c ＝a 2－b 2＝7.由c ＝7知F 1(－7，0)，F 2(7，0)，又直线l 的斜率k ＝tan 45°＝1， ∴直线l 的方程为x －y ＋7＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋7＝0，x 216＋y 29＝1消去x ，整理得25y 2－187 y －81＝0，∴y 1＋y 2＝18 725，y 1y 2＝－8125.∴|y 1－y 2|＝ (y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫187252＋4×8125＝72225， ∴S △ABF 2＝12|F 1F 2|·|y 1－y 2|＝12×2 7×72 225＝721425.两曲线相交的综合问题[例3] 已知椭圆x 216＋y 24＝1，过点P (2,1)作一弦，使弦在这点被平分，求此弦所在直线方程．[思路点拨] 设出直线的斜率，联立直线与椭圆方程，消去y ，得关于x 的方程，用根与系数的关系和弦中点坐标，得斜率的方程，求解即可，也可用“点差法”求解．[精解详析] 法一：设所求直线的方程为y －1＝k (x －2)，代入椭圆方程并整理，得(4k 2＋1)x 2－8(2k 2－k )x ＋4(2k －1)2－16＝0. 又设直线与椭圆的交点为A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，则x 1，x 2是上面的方程的两个根，所以x 1＋x 2＝8(2k 2－k )4k 2＋1，因为P 为弦AB 的中点，所以2＝x 1＋x 22＝4(2k 2－k )4k 2＋1，解得k ＝－12，所以所求直线的方程为x ＋2y －4＝0.法二：设直线与椭圆交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，因为P 为弦AB 的中点，所以x 1＋x 2＝4，y 1＋y 2＝2，又因为A ，B 在椭圆上，所以x 21＋4y 21＝16，x 22＋4y 22＝16，两式相减，得(x 21－x 22)＋4(y 21－y 22)＝0，即(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋4(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0，所以y 1－y 2x 1－x 2＝－(x 1＋x 2)4(y 1＋y 2)＝－12，即k AB ＝－12. 所以所求直线的方程为y －1＝－12(x －2)，即x ＋2y －4＝0.[一点通] 解决直线与圆锥曲线的位置关系时，一般采用“设而不求”的思想，将直线方程与圆锥曲线方程联成方程组，转化为一元二次方程，利用根与系数的关系，把已知条件转化为弦的端点坐标之间的关系求解，在涉及“中点弦”问题时，“点差法”是最常用的方法．6．已知过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 的直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点．求证：(1)x 1x 2为定值；(2)1FA ＋1FB为定值．证明：(1)抛物线y 2＝2px 的焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p2，0，当AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为y ＝k (x －p2)(k ≠0)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －p 2)，y 2＝2px消去y ，得k 2x 2－p (k 2＋2)x ＋k 2p 24＝0.由根与系数的关系，得x 1x 2＝p 24(定值)．当AB ⊥x 轴时，x 1＝x 2＝p 2，x 1x 2＝p 24也成立．(2)由抛物线的定义知，FA ＝x 1＋p 2，FB ＝x 2＋p2.1FA ＋1FB ＝1x 1＋p 2＋1x 2＋p2 ＝x 1＋x 2＋p p2(x 1＋x 2)＋x 1x 2＋p 24＝x 1＋x 2＋p p2(x 1＋x 2)＋p 22＝x 1＋x 2＋pp 2(x 1＋x 2＋p )＝2p (定值)．7．设双曲线C ：x 2a2－y 2＝1(a ＞0)与直线l ：x ＋y ＝1相交于两个不同点A ，B .(1)求双曲线C 的离心率e 的取值范围；(2)设直线l 与y 轴的交点为P ，若PA u u u r ＝512PB u u u r，求a 的值．解：(1)将y ＝－x ＋1代入双曲线x 2a2－y 2＝1(a ＞0)中得(1－a 2)．x 2＋2a 2x －2a 2＝0.所以⎩⎪⎨⎪⎧1－a 2≠0，4a 4＋8a 2(1－a 2)＞0，解得0＜a ＜2，且a ≠1.又双曲线的离心率e ＝1＋a2a＝1a 2＋1，所以e ＞62，且e ≠ 2. (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (0,1)，因为PA u u u r ＝512PB u u u r，所以(x 1，y 1－1)＝512(x 2，y 2－1)．由此得x 1＝512x 2.由于x 1，x 2是方程(1－a 2)x 2＋2a 2x －2a 2＝0的两根，且1－a 2≠0，所以1712x 2＝－2a21－a2，512x 22＝－2a21－a2. 消去x 2，得－2a 21－a 2＝28960.由a ＞0，解得a ＝1713. 8．(陕西高考)已知动圆过定点A (4,0)，且在y 轴上截得弦MN 的长为8. (1)求动圆圆心的轨迹C 的方程；(2)已知点B (－1,0)，设不垂直于x 轴的直线l 与轨迹C 交于不同的两点P ，Q ，若x 轴是∠PBQ 的角平分线，证明：直线l 过定点．解： (1)如图，设动圆圆心O 1(x ，y )，由题意得，O 1A ＝O 1M . 当O 1不在y 轴上时，过O 1作O 1H ⊥MN 交MN 于H ，则H 是MN 的中点， ∴O 1M ＝ x 2＋42，又O 1A ＝ (x －4)2＋y 2， ∴(x －4)2＋y 2＝ x 2＋42，化简得y 2＝8x (x ≠0)．当O 1在y 轴上时，O 1与O 重合，点O 1的坐标(0,0)也满足方程y 2＝8x ， ∴动圆圆心的轨迹C 的方程为y 2＝8x .(2)证明：如图，由题意，设直线l 的方程为y ＝kx ＋b (k ≠0)，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，将y ＝kx ＋b 代入y 2＝8x 中，得k 2x 2＋(2bk －8)·x ＋b 2＝0，其中Δ＝－32kb ＋64>0.由根与系数的关系得，x 1＋x 2＝8－2bkk2，① x 1x 2＝b 2k2，②因为x 轴是∠PBQ 的角平分线，所以y 1x 1＋1＝－y 2x 2＋1，即y 1(x 2＋1)＋y 2(x 1＋1)＝0，(kx 1＋b )(x 2＋1)＋(kx 2＋b )(x 1＋1)＝0， 2kx 1x 2＋(b ＋k )(x 1＋x 2)＋2b ＝0，③将①②代入③，得2kb 2＋(k ＋b )(8－2bk )＋2k 2b ＝0， ∴k ＝－b ，此时Δ>0， ∴直线l 的方程为y ＝k (x －1)， ∴直线l 过定点(1,0)．讨论直线与圆锥曲线的位置关系时，先联立方程，消去x 或y ，得出一个一元二次方程，通过研究判别式Δ的情况，研究位置关系，值得注意的是，若是直线与圆或椭圆时，无需讨论二次项系数是否为零(一定不为零)，直接考察Δ的情况即可．若是直线与双曲线或抛物线时，则需讨论二次项系数等于零和不等于零两种情况．这是特别要注意的问题．同时还要注意直线斜率不存在时的情形．[对应课时跟踪训练(十七)]1．曲线x 2－xy －y 2－3x ＋4y －4＝0与x 轴的交点坐标是________．解析：当y ＝0时，得x 2－3x －4＝0，解得x 1＝4或x 2＝－1.所以交点坐标为(4,0)和(－1,0)．答案：(4,0)，(－1,0)2．曲线x 2＋y 2＝4与曲线x 2＋y 29＝1的交点个数为________．解析：由数形结合可知两曲线有4个交点．答案：43．设抛物线y 2＝8x 的准线与x 轴交于点Q ，若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是________．解析：由y 2＝8x ，得准线方程为x ＝－2. 则Q 点坐标为(－2,0)．设直线y ＝k (x ＋2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋2)，y 2＝8x ，得k 2x 2＋(4k 2－8)x ＋4k 2＝0.若直线l 与y 2＝8x 有公共点，则Δ＝(4k 2－8)2－16k 4≥0. 解得－1≤k ≤1. 答案：[－1,1]4．曲线y ＝x 2－x ＋2和y ＝x ＋m 有两个不同的公共点，则实数m 的范围是________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，y ＝x 2－x ＋2，消去y ，得x 2－2x ＋2－m ＝0.若有两个不同的公共点，则Δ＝4－4(2－m )>0， ∴m >1.答案：(1，＋∞)5．如果椭圆x 236＋y 29＝1的一条弦被点(4,2)平分，那么这条弦所在直线的方程是 ________．解析：设直线与椭圆的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． ∵P (4,2)为AB 中点，∴x 1＋x 2＝8，y 1＋y 2＝4. 又∵A ，B 在椭圆上，∴x 21＋4y 21＝36，x 22＋4y 22＝36. 两式相减得(x 21－x 22)＋4(y 21－y 22)＝0，即(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋4(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0， ∴y 1－y 2x 1－x 2＝－(x 1＋x 2)4(y 1＋y 2)＝－12. 即直线l 的斜率为－12.∴所求直线方程为x ＋2y －8＝0. 答案：x ＋2y －8＝06．已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，长轴长为42，离心率为64. (1)求椭圆的标准方程；(2)直线l 与该椭圆交于M 、N 两点，MN 的中点为A (2，－1)，求直线l 的方程．解：(1)由题意2a ＝42， ∴a ＝22，又e ＝c a ＝c 22＝64，∴c ＝ 3.∴b 2＝a 2－c 2＝8－3＝5.故所求椭圆的标准方程为x 28＋y 25＝1.(2)∵点A 在椭圆内部，∴过A 点的直线必与椭圆有两交点．当直线斜率不存在时，A 点不可能为弦的中点，故可设直线方程为y ＋1＝k (x －2)，它与椭圆的交点分别为M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧y ＋1＝k (x －2)，x 28＋y25＝1.消去y 得(8k 2＋5)x 2－16k (2k ＋1)x ＋8[(2k ＋1)2－5]＝0， ∴x 1＋x 2＝16k (2k ＋1)8k 2＋5，又∵A (2，－1)为弦MN 的中点， ∴x 1＋x 2＝4，即16k (2k ＋1)8k 2＋5＝4， ∴k ＝54，从而直线方程为5x －4y －14＝0.7．已知椭圆C 1与抛物线C 2的焦点均在x 轴上，C 1的中心和C 2的顶点均为原点O ，从每条曲线上取两个点，将其坐标记录于下表中：(1)求C 1，C 2(2)请问是否存在直线l 满足条件：①过C 2的焦点F ；②与C 1交于不同两点M ，N 且满足OM u u u u r ⊥ON u u u r？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．解：(1)设抛物线C 2：y 2＝2px (p ≠0)，则有y 2x＝2p (x ≠0)，据此验证4个点知(3，－23)，(4，－4)在抛物线上，易求C 2：y 2＝4x .设C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，把点(－2,0)，⎝⎛⎭⎪⎫2，22代入得⎩⎪⎨⎪⎧4a 2＝1，2a 2＋12b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1.∴C 1的方程为x 24＋y 2＝1.(2)容易验证直线l 的斜率不存在时，不满足题意；当直线l 的斜率存在时，假设存在直线l 过抛物线焦点F (1,0)，设其方程为y ＝k (x －1)，与C 1的交点坐标为M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1，y ＝k (x －1)消去y 得，(1＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4(k 2－1)＝0，于是x 1＋x 2＝8k 21＋4k 2，x 1x 2＝4(k 2－1)1＋4k 2. ①所以y 1y 2＝k (x 1－1)·k (x 2－1) ＝k 2[x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1]＝k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫4(k 2－1)1＋4k 2－8k 21＋4k 2＋1＝－3k 21＋4k 2. ② 由OM u u u u r ⊥ON u u u r ，即OM u u u u r ·ON u u u r＝0，得x 1x 2＋y 1y 2＝0. ③将①②代入③式得，4(k 2－1)1＋4k 2－3k 21＋4k 2＝k 2－41＋4k 2＝0，解得k ＝±2.所以存在直线l 满足条件，且l 的方程为：y ＝2x －2或y ＝－2x ＋2.8．已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，椭圆C 上的点到焦点的距离的最大值为3，最小值为1.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆C 相交于A ，B 两点(A ，B 不是左右顶点)，且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点．求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标．解：(1)由题意设椭圆C 的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)．由题意得a ＋c ＝3，a －c ＝1， ∴a ＝2，c ＝1，b 2＝3. ∴椭圆的标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)证明：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y23＝1得，(3＋4k 2)x 2＋8mkx ＋4(m 2－3)＝0， ∴Δ＝64m 2k 2－16(3＋4k 2)(m 2－3)>0，即3＋4k 2－m 2>0.∴x 1＋x 2＝－8mk 3＋4k 2，x 1x 2＝4(m 2－3)3＋4k2.y 1y 2＝(kx 1＋m )·(kx 2＋m )＝k 2x 1x 2＋mk (x 1＋x 2)＋m 2＝3(m 2－4k 2)3＋4k2. ∵以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点D (2,0)，k AD ·k BD ＝－1，∴y 1x 1－2·y 2x 2－2＝－1，化简得 y 1y 2＋x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4＝0，即3(m 2－4k 2)3＋4k 2＋4(m 2－3)3＋4k 2＋16mk 3＋4k 2＋4＝0，化简得7m 2＋16mk ＋4k 2＝0，解得m 1＝－2k ，m 2＝－2k 7，且满足3＋4k 2－m 2>0.当m ＝－2k 时，l ：y ＝k (x －2)，直线过定点(2,0)，与已知矛盾；当m ＝－2k 7时，l ：y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －27，直线过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫27，0. 综上可知，直线l 过定点，定点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫27，0.。

高中数学第二章平面解析几何2.6双曲线及其方程2.6.2双曲线的几何性质课件新人教B版选择性必修第一

e=

=
从而
−
2

5
,
3
5
b=4,c=3a,代入 c2=a2+b2,得 a2=9,
2
故双曲线的标准方程为
9
2
− =1.
16
2 =1(a>0,b>0),由题意知
2b=8,
(2)由题意知,所求双曲线的焦点在 x 轴上,
2
2
故可设其方程为64 − 16=λ(λ>0),
将点(2,0)的坐标代入方程得
且实用的是把双曲线标准方程中等号右边的“1”改成“0”,就得到了此双曲
线的渐近线方程.
2
2
2
2.与双曲线 2 − 2 =1(a>0,b>0)有共同渐近线的双曲线方程可设为 2 −

2

2 =λ(λ≠0);若已知双曲线的渐近线方程 ± =0 或 y=±x,则双曲线方程可设为

2
k2x2-y2=λ(λ≠0)
渐近线为 ax±by=0 的双曲线
a2x2-b2y2=λ(λ≠0)
变式训练2
求适合下列条件的双曲线的标准方程.
(1)焦点在 x 轴上,虚轴长为
5
8,离心率为3;
2
2
(2)过点(2,0),与双曲线64 − 16=1
的离心率相等.
2
解(1)设所求双曲线的标准方程为2
2
A(x1,y1),B(x2,y2),则|AB|= 1 + 2 |x1-x2|= 1 + 2 · (1 + 2 ) -41 2 或
|AB|= 1 +
1
1

2

2021_2022学年新教材高中数学第二章平面解析几何2.6.1双曲线的标准方程学案含解析新人教B版

2．6 双曲线及其方程2.6.1 双曲线的标准方程必备知识·自主学习导思1.双曲线的定义是什么？ 2．双曲线的标准方程有哪些？1.双曲线的定义如果F 1，F 2是平面内的两个定点，a 是一个正常数，且2a ＜|F 1F 2|，则平面上满足||PF 1|－|PF 2||＝2a 的动点P 的轨迹称为双曲线，其中，两个定点F 1，F 2称为双曲线的焦点，两个焦点的距离|F 1F 2|称为双曲线的焦距．(1)如何理解“绝对值”？提示：若将“绝对值”去掉，其余条件不变，则动点的轨迹只有双曲线的一支． (2)把“小于|F 1F 2|”改为“等于|F 1F 2|”或“大于|F 1F 2|”或常数为0，结果如何？提示：①若将“小于|F 1F 2|”改为“等于|F 1F 2|”，其余条件不变，则动点轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线(包括端点)；②若将“小于|F 1F 2|”改为“大于|F 1F 2|”，其余条件不变，则动点轨迹不存在．③若常数为零，其余条件不变，则点的轨迹是线段F 1F 2的中垂线． 2．双曲线的标准方程焦点所在的坐标轴x 轴 y 轴标准方程x 2a 2 －y 2b 2 =1 (a>0,b>0)y 2a 2 －x2b 2 ＝1 (a>0,b>0)图形焦点坐标 F 1(-c,0),F 2(c,0)F 1(0,-c),F 2(0,c)a,b,c 的关系式 a 2+b 2=c 2如何从双曲线的标准方程判断焦点的位置？提示：焦点F 1，F 2的位置是双曲线定位的条件，它决定了双曲线标准方程的类型．“焦点跟着正项走”，若x 2项的系数为正，则焦点在x 轴上；若y 2项的系数为正，则焦点在y 轴上．1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”).(1)在双曲线标准方程中，a ，b ，c 之间的关系与椭圆中a ，b ，c 之间的关系相同．( ) (2)点A(1，0)，B(－1，0)，若|AC|－|BC|＝2，则点C 的轨迹是双曲线．( ) (3)双曲线x 2a 2 －y2b 2 ＝1的焦点在x 轴上，且a>b.( )提示：(1)×.双曲线中b 2＝c 2－a 2，椭圆中b 2＝a 2－c 2.(2)×.因为|AB|＝2＝|AC|－|BC|，所以C 点的轨迹是两条射线．(3)×.在双曲线x 2a 2 －y 2b 2＝1中，焦点在x 轴上，且a>0，b>0，但是不一定a>b.2．(教材例题改编)设动点M 到点A ()0，－5 的距离与它到点B ()0，5 的距离的差等于6，则M 点的轨迹方程是( ) A ．x 29 －y 216 ＝1 B ．y 29 －x216＝1C ．y 29 －x 216 ＝1()y>0 D ．x 29 －y216 ＝1()x>0【解析】选C.因为||MA|－|MB||＝6<10＝|AB|，所以M 点轨迹是焦点在y 轴上的双曲线的上半支，其中a ＝3，c ＝5，所以b 2＝c 2－a 2 ＝4，所以M 点轨迹方程为y 29 －x 216＝1()y>0 .3．已知圆C ：x 2＋y 2－6x －4y ＋8＝0，以圆C 与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦点和顶点，则所得双曲线的标准方程为________.【解析】令x ＝0，得y 2－4y ＋8＝0，方程无解，即该圆与y 轴无交点．令y ＝0，得x 2－6x ＋8＝0，解得x ＝2或x ＝4，则符合条件的双曲线中a ＝2，c ＝4，所以b 2＝c 2－a 2＝16－4＝12，且焦点在x 轴上，所以双曲线的方程为x 24 －y 212 ＝1.答案：x 24 －y 212＝1关键能力·合作学习类型一双曲线的定义及其应用(逻辑推理)1．设F 1，F 2分别是双曲线x 2－y224＝1的左、右焦点，P 是双曲线上的一点，且3|PF 1|＝4|PF 2|，则△PF 1F 2的面积等于( )A ．4 2B ．8 3C ．24D ．482．已知动圆E 与圆A ：(x ＋4)2＋y 2＝2外切，与圆B ：(x －4)2＋y 2＝2内切，则动圆圆心E 的轨迹方程为________．【解析】⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|－|PF 2|＝2，3|PF 1|＝4|PF 2|，解得⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|＝8，|PF 2|＝6.又由|F 1F 2|＝10，可得△PF 1F 2是直角三角形，则S △PF 1F 2＝12×|PF 1|×|PF 2|＝24.2．由圆A ：(x ＋4)2＋y 2＝2，可得圆心A(－4，0)，半径＝ 2 ；由圆B ：(x －4)2＋y 2＝2可得圆心B(4，0)，半径＝ 2 .设动圆的半径为R ，由题意可得|EA|＝R ＋2 ，|EB|＝R －2 ，所以|EA|－|EB|＝22 ＜2×4，由双曲线的定义可得，动圆的圆心E 在以点A(－4，0)，B(4，0)为焦点的双曲线的右支上，因为a ＝2 ，c ＝4，所以b 2＝c 2－a 2＝14，所以动圆圆心E 的轨迹方程为x 22 －y 214 ＝1(x ≥2 ).答案：x 22 －y 214＝1(x ≥2 )1．利用双曲线的定义求双曲线方程的基本步骤 (1)寻求动点M 与定点F 1，F 2之间的关系．(2)根据题目的条件计算是否满足||MF 1|－|MF 2||＝2a(常数，a>0).(3)判断：若2a<2c ＝|F 1F 2|，满足定义，则动点M 的轨迹就是双曲线，且2c ＝|F 1F 2|，b 2＝c 2－a 2，进而求出相应a ，b ，c.(4)根据F 1，F 2所在的坐标轴写出双曲线的标准方程． 2．求解双曲线中焦点三角形面积的两种方法 (1)方法一：①根据双曲线的定义求出||PF 1|－|PF 2||＝2a ；②利用余弦定理表示出|PF 1|，|PF 2|，|F 1F 2|之间满足的关系式； ③通过配方，利用整体的思想求出|PF 1|·|PF 2|的值； ④利用公式S△PF 1F 2＝12×|PF 1|·|PF 2|sin ∠F 1PF 2求得面积．(2)方法二：利用公式S△PF 1F 2＝12×|F 1F 2|×|y P |(y P 为P 点的纵坐标)求得面积．提醒：利用双曲线的定义解决与焦点有关的问题，一是要注意定义条件||PF 1|－|PF 2||＝2a 的变形使用，二是特别注意|PF 1|2＋|PF 2|2与|PF 1|·|PF 2|的关系．【补偿训练】已知P 是双曲线x 216a 2 －y29a 2 ＝1()a>0 上的点，F 1、F 2是其左、右焦点，且PF 1·PF 2＝0，若△PF 1F 2的面积为9，则a 等于( ) A ．2 B ．1 C ．3 D ．4 【解析】1·PF 2＝0得PF 1⊥PF 2，由勾股定理得||PF 1 2＋||PF 2 2＝||F 1F 2 2＝()216a 2＋9a 2 2＝100a 2.由双曲线的定义得⎪⎪⎪⎪⎪⎪||PF 1－||PF 2 ＝8a ，所以64a 2＝||PF 1 2＋||PF 2 2－2||PF 1 ·||PF 2 ＝100a 2－2||PF 1 ·||PF 2 ，所以||PF 1 ·||PF 2 ＝18a 2，则△PF 1F 2的面积为12||PF 1 ·||PF 2 ＝9a 2＝9，因为a>0，所以a ＝1.类型二待定系数法求双曲线的标准方程(数学运算) 【典例】求适合下列条件的双曲线的标准方程． (1)焦距为26，且经过点M(0，12)；(2)双曲线上两点P 1，P 2的坐标分别为(3，－4 2 )，⎝ ⎛⎭⎪⎫94，5 . 【思路导引】(1)判断焦点的位置，由c 和a 的大小，利用b 2＝c 2－a 2求得b ，写出方程． (2)设出双曲线的方程利用待定系数法求得参数，解得方程．【解析】(1)因为双曲线经过点M(0，12)，所以M(0，12)为双曲线的一个顶点，故焦点在y 轴上，且a ＝12.又2c ＝26，所以c ＝13，所以b 2＝c 2－a 2＝25.所以双曲线的标准方程为y 2144 －x 225 ＝1.(2)设双曲线的方程为mx 2＋ny 2＝1(mn ＜0)，则⎩⎪⎨⎪⎧9m ＋32n ＝1，8116m ＋25n ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧n ＝116，m ＝－19，所以双曲线的标准方程为y 216 －x 29＝1.把本例(2)的条件改为“双曲线过P ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，154 ，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－163，5 两点”，求双曲线的标准方程．【解析】若焦点在x 轴上，设双曲线的方程为x 2a 2 －y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，所以⎩⎪⎨⎪⎧9a 2－22516b 2＝1，2569a 2－25b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝－16，b 2＝－9 (舍去).若焦点在y 轴上，设双曲线的方程为y 2a 2 －x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，将P ，Q 两点坐标代入可得⎩⎪⎨⎪⎧22516a 2－9b 2＝1，25a 2－2569b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝9，b 2＝16，所以双曲线的标准方程为y 29 －x 216 ＝1.综上，双曲线的标准方程为y 29 －x 216＝1.待定系数法求方程的步骤(1)定型：确定双曲线的焦点所在的坐标轴是x 轴还是y 轴． (2)设方程：根据焦点位置设出相应的标准方程的形式，①若不知道焦点的位置，则进行讨论，或设双曲线的方程为Ax 2＋By 2＝1(AB<0)； ②与双曲线x 2a 2 －y 2b 2 ＝1(a>0，b>0)共焦点的双曲线的标准方程可设为x 2a 2－k －y2b 2＋k ＝1(－b 2<k<a 2).(3)计算：利用题中条件列出方程组，求出相关值． (4)结论：写出双曲线的标准方程．1．求c ＝ 6 ，经过点(－5，2)，焦点在x 轴上的双曲线的标准方程．【解析】依题意可设双曲线的方程为x 2a 2－y2b 2＝1(a>0，b>0).则有⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝6，25a 2－4b2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝5，b 2＝1，所以所求双曲线的标准方程为x 25 －y 2＝1.2．求满足下列条件的双曲线的标准方程： (1)c ＝5，b ＝3，焦点在x 轴上；(2)a ＝2 5 ，经过点A(2，－5)，焦点在y 轴上．【解析】(1)因为双曲线的焦点在x 轴上，c ＝5，b ＝3，所以a 2＝c 2－b 2＝16，所以双曲线的标准方程为：x 216 －y 29 ＝1.(2)因为双曲线的焦点在y 轴上，所以可设双曲线的标准方程为y 2a 2 －x 2b 2 ＝1(a ＞0，b ＞0)，因为由题设知，a ＝2 5 ，且点A(2，－5)在双曲线上，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝25，25a 2－4b2＝1，所以解得a 2＝20，b 2＝16，所以所求双曲线的标准方程为y 220 －x 216 ＝1.类型三利用双曲线的标准方程求参数(数学运算)【典例】x 29－m ＋y24－m ＝1表示双曲线，则m 的取值X 围是( )A ．m ＜4B ．m ＞9C ．4＜m ＜9D ．m ＜4或m>92．已知方程x 21＋k －y21－k＝1表示双曲线，则k 的取值X 围是________.【思路导引】1.根据双曲线的定义可知，要使方程表示双曲线，需9－m 和4－m 异号，进而求得m 的X 围．2．方程x 21＋k －y21－k＝1表示双曲线，则1＋k 和1－k 同号，进而求得k 的X 围．【解析】x 29－m ＋y 24－m ＝1表示双曲线，所以(9－m)(4－m)＜0，解得4＜m ＜9.2．方程x 21＋k －y 21－k＝1表示双曲线，则(1＋k)(1－k)>0，所以(k ＋1)(k －1)<0，所以－1<k<1. 答案：(－1，1)方程表示双曲线的条件及参数X 围求法(1)对于方程x 2m ＋y2n ＝1，当mn<0时表示双曲线，进一步，当m>0，n<0时表示焦点在x 轴上的双曲线；当m<0，n>0时表示焦点在y 轴上的双曲线．(2)对于方程x 2m －y2n ＝1，当mn>0时表示双曲线，且当m>0，n>0时表示焦点在x 轴上的双曲线；当m<0，n<0时表示焦点在y 轴上的双曲线．(3)已知方程所代表的曲线，求参数的取值X 围时，应先将方程转化为所对应曲线的标准方程的形式，再根据方程中参数取值的要求，建立不等式(组)求解参数的取值X 围．求满足下列条件的参数的值．(1)已知双曲线方程为2x 2－y 2＝k ，焦距为6，求k 的值；(2)椭圆x 24 ＋y 2a 2 ＝1与双曲线x 2a －y22 ＝1有相同的焦点，求a 的值．【解析】(1)若焦点在x 轴上，则方程可化为x 2k 2－y 2k＝1，所以k2＋k ＝32，即k ＝6；若焦点在y 轴上，则方程可化为y 2－k －x 2－k2＝1，所以－k ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－k 2 ＝32，即k ＝－6.综上所述，k 的值为6或－6.(2)由双曲线方程知焦点在x 轴上且c 2＝a ＋2(a ＞0). 由椭圆方程，知c 2＝4－a 2，所以a ＋2＝4－a 2，即a 2＋a －2＝0，解得a ＝1或a ＝－2(舍去). 因此a 的值为1.备选类型与双曲线有关的轨迹问题(逻辑推理、数学运算)【典例】如图所示，在△ABC 中，已知|AB|＝4 2 ，且三内角A ，B ，C 满足2sin A ＋sin C ＝2sin B ，建立适当的坐标系，求顶点C 的轨迹方程．【思路导引】建立直角坐标系，根据双曲线的定义求解．【解析】以AB 边所在的直线为x 轴，AB 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系，如图所示，则A(－2 2 ，0)，B(22 ，0).由正弦定理，得sin A ＝|BC|2R ，sin B ＝|AC|2R，sin C＝|AB|2R(R 为△ABC 的外接圆半径).因为2sin A ＋sin C ＝2sin B ，所以2|BC|＋|AB|＝2|AC|，即|AC|－|BC|＝|AB|2＝22 <|AB|.由双曲线的定义知，点C 的轨迹为双曲线的右支(除去与x 轴的交点).由题意，设所求轨迹方程为x 2a 2 －y 2b 2 ＝1(x>a)，因为a ＝2 ，c ＝22 ，所以b 2＝c 2－a 2＝6.即所求轨迹方程为x 22 －y 26＝1(x>2 ).求与双曲线有关的点的轨迹问题的方法 (1)列出等量关系，化简得到方程．(2)寻找几何关系，由双曲线的定义，得出对应的方程．提醒：①双曲线的焦点所在的坐标轴是x 轴还是y 轴． ②检验所求的轨迹对应的是双曲线的一支还是两支．△ABC 的顶点为A(－5，0)，B(5，0)，△ABC 的内切圆圆心在直线x ＝3上，则顶点C 的轨迹方程是( )A ．x 29 －y 216 ＝1 B ．x 216 －y29＝1C ．x 29 －y 216 ＝1(x>3) D ．x 216 －y29＝1(x>4)【解析】选C.由条件可得，圆与x 轴的切点为T(3，0)，由相切的性质得|CA|－|CB|＝|TA|－|TB|＝8－2＝6<10＝|AB|，因此点C 的轨迹是以A ，B 为焦点的双曲线的右支．由2a ＝6，2c ＝10，得a ＝3，b ＝4，所求的双曲线方程为x 29 －y 216 ＝1.考虑到点C 不在直线AB 上，即x ＞3.课堂检测·素养达标1．若方程y 24 －x2m ＋1 ＝1表示双曲线，则实数m 的取值X 围是( )A ．－1<m<3B ．m>－1C ．m>3D ．m<－1【解析】选B.依题意应有m ＋1>0，即m>－1.2．已知F 1(－8，3)，F 2(2，3)，动点P 满足|PF 1|－|PF 2|＝10，则点P 的轨迹是( ) A ．双曲线 B ．双曲线的一支 C ．直线 D ．一条射线【解析】1，F 2是定点且|F 1F 2|＝10，所以满足条件|PF 1|－|PF 2|＝10的点P 的轨迹应为一条射word - 11 - / 11 线． 3．已知左、右焦点分别为F 1，F 2的双曲线C ：x 2a 2 －y 2＝1(a>0)过点⎝⎛⎭⎪⎫15，－63 ，点P 在双曲线C 上，若||PF 1 ＝3，则||PF 2 ＝( )A ．3B ．6C ．9D ．12 【解析】选C.由左、右焦点分别为F 1，F 2的双曲线C ：x 2a 2 －y 2＝1(a>0)过点⎝⎛⎭⎪⎪⎫15，－63 ，可得：15a 2 －69 ＝1，解得a ＝3，b ＝1，c ＝10 ，a ＋c ＞3，点P 在双曲线C 上，若|PF 1|＝3，可得点P 在双曲线的左支上，则|PF 2|＝2a ＋|PF 1|＝6＋3＝9.4．已知双曲线的方程为x 2－y 24 ＝1，如图，点A 的坐标为(－5 ，0)，B 是圆x 2＋(y － 5 )2＝1上的点，点M 在双曲线的右支上，则|MA|＋|MB|的最小值为________.【解析】设点D 的坐标为( 5 ，0)，则点A ，D 是双曲线的焦点，由双曲线的定义，得|MA|－|MD|＝2a ＝2.所以|MA|＋|MB|＝2＋|MB|＋|MD|≥2＋|BD|，又B 是圆x 2＋(y －5 )2＝1上的点，圆的圆心为C(0， 5 )，半径为1，故|BD|≥|CD|－1＝10 －1，从而|MA|＋|MB|≥2＋|BD|≥10 ＋1，当点M ，B 在线段CD 上时取等号，即|MA|＋|MB|的最小值为10 ＋1. 答案：10 ＋1。

曲线方程求法

1．知识与技能
进一步理解曲线的方程和方程的曲线的概念，掌握求曲线的方程和由方程研究曲线性质的方法．
2．过程与方法
了解求曲线方程的几种常用方法，能够利用它们去求曲线的方程．
重点：轨迹方程的求法．
难点：求曲线的方程的思路．
在求轨迹方程时，要注意题设条件对变量的限制，这一点易被忽视，如求某一三角形的顶点的轨迹方程时，要排除三点共线的情况．求出轨迹方程后，将方程所表示的曲线在原图中大致画一下，看有没有多余的或漏掉的点．
求曲线方程的常用方法
(1)直接法：也叫直译法，即根据题目条件，直译为关于动点的几何关系，再利用解析几何的有关公式进行整理、化简．
(2)定义法：若动点的轨迹满足已知曲线的定义，可先设定方程，再确定其中的基本量．
(3)待定系数法：根据条件能知道曲线方程的类型，可设出其方程形式，再根据条件确定待定的系数．
[解析] 以 AB 中点为原点，直线 AB 为 x 轴建立直角坐标系如图，则 A(－3,0)，B(3,0)，
设 M(x，y)，则由M→A·M→B＝－1 得，(－3－x，－y)·(3－x，－y)＝－1，
∴x2＋y2＝8 为所求.
[例 2] 已知△ABC 的两个顶点坐标为 A(－2,0)，B(0，－2)第三个点 C 在曲线 y＝3x2－1 上移动，求△ABC 重心的轨迹方程．(注：设△ABC 顶点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3， y3)，则△ABC 重心坐标为 G(x1＋x32＋x3，y1＋y32＋y3)．)
[解析] 设C(x1，y1)，重心G(x，y)，由重心坐标公式得3x＝－2＋0＋x1,3y＝0－2 ＋y1，
即x1＝3x＋2，y1＝3y＋2， ∵C(x1，y1)在曲线y＝3x2－1上， ∴3y＋2＝3(3x＋2)2－1.

苏教版数学选修2-1：2.6 曲线与方程2.6.2~2.6.3

1.已知椭圆的焦点是F 1、F 2，P 是椭圆的一个动点，如果M 是线段F 1P 的中点，则动点M 的轨迹是________．解析：由图知PF 1＋PF 2＝2a .连结MO ，则F 1M ＋MO ＝a (a >F 1O )．故M 的轨迹是以F 1、O 为焦点的椭圆．答案：椭圆2.已知动点M 到A (2，0)的距离等于它到直线x ＝－1的距离的2倍，则点M 的轨迹方程为________．解析：设M (x ，y )，由题意，得（x －2）2＋y 2＝2|x ＋1|.化简，得－3x 2－12x ＋y 2＝0. 答案：y 2＝3x 2＋12x3.已知动抛物线以y 轴为准线，且过点(1，0)，则抛物线焦点的轨迹方程为________．解析：设焦点坐标为(x ，y )，则（1－x ）2＋y 2＝|x |，即y 2＝2x －1. 答案：y 2＝2x －14.(2011·高考广东卷改编)设圆C 与圆x 2＋(y －3)2＝1外切，与直线y ＝0相切，则C 的圆心轨迹为________．解析：设圆C 的半径为r ，则圆心C 到直线y ＝0的距离为r .由两圆外切可得，圆心C 到点(0，3)的距离为r ＋1，也就是说，圆心C 到点(0，3)的距离比到直线y ＝0的距离大1，故点C 到点(0，3)的距离和它到直线y ＝－1的距离相等，符合抛物线的特征，故点C 的轨迹为抛物线．答案：抛物线5.设动点P 在直线x ＝1上，O 为坐标原点，以OP 为直角边，点O 为直角顶点作等腰Rt △OPQ ，则动点Q 的轨迹是________．解析：设Q (x ，y )，P (1，y 0)，由OQ →·OP →＝0知y 0y ＝－x .① 又由OQ ＝OP ，得x 2＋y 2＝1＋y 20，即x 2＋y 2＝1＋y 20.② 由①②消去y 0，得点Q 的轨迹方程为y ＝1或y ＝－1.答案：两条平行线[A 级基础达标]1.已知两个定点F 1(－1，0)，F 2(1，0)，且F 1F 2是PF 1与PF 2的等差中项，则动点P 的轨迹是________．解析：PF 1＋PF 2＝2F 1F 2＝4>F 1F 2，根据定义可知动点P 的轨迹是椭圆．答案：椭圆2.动点P 到点F (2，0)的距离与它到直线x ＋2＝0的距离相等，则动点P 的轨迹方程为________．解析：由抛物线定义知P 的轨迹是以F (2，0)为焦点的抛物线，∴p2＝2，即p ＝4，所以其方程为y 2＝8x .答案：y 2＝8x3.在平面直角坐标系中，A 为平面内一个动点，B (2，0)，若OA →·BA →＝|OB →|(O 为坐标原点)，则动点A 的轨迹是________．解析：设A (x ，y )，则OA →＝(x ，y )，BA →＝(x －2，y )，因为OA →·BA →＝|OB →|，所以x (x －2)＋y 2＝2，即(x －1)2＋y 2＝3，所以动点A 的轨迹是圆．答案：圆4.设过点P (x ，y )的直线分别与x 轴的正半轴和y 轴的正半轴交于A ，B 两点，点Q 与点P 关于y 轴对称，O 为坐标原点，若BP →＝2PA →且OQ →·AB →＝1，则点P 的轨迹方程是________．解析：设P (x ，y )，则Q (－x ，y )，又设A (a ，0)，B (0，b )，则a >0，b >0，于是BP →＝(x ，y －b )，PA →＝(a －x ，－y )，由BP →＝2PA →可得a ＝32x ，b ＝3y ，所以x >0，y >0.又AB →＝(－a ，b )＝(－32x ，3y )，由OQ →·AB →＝1可得32x 2＋3y 2＝1(x >0，y >0)答案：32x 2＋3y 2＝1(x >0，y >0)5.已知A (－2，0)、B (2，0)，点C 、D 满足|AC →|＝2，AD →＝12(AB →＋AC →)．则点D 的轨迹方程为________．解析：设C 、D 点的坐标分别为C (x 0，y 0)，D (x ，y )，则AC →＝(x 0＋2，y 0)，AB →＝(4，0)，故AB →＋AC →＝(x 0＋6，y 0)，所以AD →＝12(AB ＋AC →)＝(x 02＋3，y 02)；又AD →＝(x ＋2，y )，故⎩⎨⎧x 02＋3＝x ＋2y 02＝y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －2，y 0＝2y ，代入|AC →|＝（x 0＋2）2＋y 20＝2得x 2＋y 2＝1，即为所求点D 的轨迹方程．答案：x 2＋y 2＝16.如图，从双曲线x 2－y 2＝1上一点Q 引直线x ＋y ＝2的垂线，垂足为N ，求线段QN 的中点P 的轨迹方程．解：设P 点坐标为(x ，y )，双曲线上点Q 的坐标为(x 0，y 0)，因为点P 是线段QN 的中点，所以N 点的坐标为(2x －x 0，2y －y 0)．又点N 在直线x ＋y ＝2上，所以2x －x 0＋2y －y 0＝2，即x 0＋y 0＝2x ＋2y －2.①又QN ⊥l ，k QN ＝2y －2y 02x －2x 0＝1，即x 0－y 0＝x －y .②由①②，得x 0＝12(3x ＋y －2)，y 0＝12(x ＋3y －2)．又因为点Q 在双曲线上，所以14(3x ＋y －2)2－14(x ＋3y －2)2＝1.化简，得(x －12)2－(y －12)2＝12.所以线段QN 的中点P 的轨迹方程为(x －12)2－(y －12)2＝12.7.如图所示，在Rt △ABC 中，∠CAB ＝90°，AB ＝2，AC ＝32，一曲线E 过点C ，动点P 在曲线E 上运动，且保持P A ＋PB 的值不变．(1)建立适当的平面直角坐标系，求曲线E 的方程；(2)设点K 是曲线E 上的一个动点，求线段KA 的中点的轨迹方程．解：(1)如图所示，以AB 所在的直线为x 轴，线段AB 的中点为原点，建立平面直角坐标系．设动点P (x ，y )，因为PA ＋PB ＝CA ＋CB ＝32＋⎝⎛⎭⎫322＋4＝4>AB ＝2为定值，所以动点P 的轨迹为椭圆，且a ＝2，c ＝1，b ＝ 3.所以曲线E 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)设曲线E 上的动点K (x 1，y 1)，线段KA 的中点为Q (x ，y )，A (－1，0)，则x ＝－1＋x 12，y ＝y 12，即x 1＝2x ＋1，y 1＝2y ，所以（2x ＋1）24＋（2y ）23＝1，即⎝⎛x ＋122＋4y 23＝1.所以线段KA 的中点的轨迹方程为⎝⎛⎭⎫x ＋122＋4y 23＝1. [B 级能力提升]8.设向量i ，j 为平面直角坐标系的x 轴、y 轴正方向上的单位向量，若向量a ＝(x ＋3)i ＋y j ，b ＝(x －3)i ＋y j ，且|a |－|b |＝2，则满足上述条件的点P (x ，y )的轨迹方程是________．解析：因为|a |－|b |＝2，所以（x ＋3）2＋y 2－（x －3）2＋y 2＝2，其几何意义是动点P (x ，y )到定点(－3，0)，(3，0)的距离之差为2，由双曲线定义可知点P (x ，y )的轨迹是以点(－3，0)和(3，0)为焦点，且2a ＝2的双曲线的一支，由c ＝3，a ＝1，解得b 2＝c 2－a 2＝8，故点P (x ，y )的轨迹方程是x 2－y 28＝1(x >0)或者(x ≥1)．答案：x 2－y 28＝1(x >0)(或x 2－y28＝1(x ≥1))9.如图，半径为1的圆C 过原点，Q 为圆C 与x 轴的另一个交点，OQRP 为平行四边形，其中RP 为圆C 在x 轴上方的一条切线，当圆心C 运动时，则点R 的轨迹方程为________．解析：设圆心C 的坐标为(x 0，y 0)(x 0≠0)，则点Q 、P 的坐标分别为(2x 0，0) 、(x 0，y 0＋1)，得PQ 的中点M 的坐标为(3x 02，y 0＋12)，因为OQRP 为平行四边形，PQ 的中点M 也是OR 的中点，所以可得R 点坐标为(3x 0，y 0＋1)，令R 点坐标为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3x 0y ＝y 0＋1即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x 3y 0＝y －1，又x 20＋y 20＝1，代入得x 29＋(y －1)2＝1，故点R 的轨迹方程为x 29＋(y －1)2＝1(x ≠0，x ≠2)．答案：x 29＋(y －1)2＝1(x ≠0，x ≠2)10.已知动点A 、B 分别在x 轴、y 轴上，且满足|AB |＝2，点P 在线段AB 上，且AP →＝tPB →(t 是不为零的常数)．设点P 的轨迹方程为C .(1)求点P 的轨迹方程C ；(2)若t ＝2，点M 、N 是C 上关于原点对称的两个动点(M 、N 不在坐标轴上)，点Q 坐标为(32，3)，求△QMN 的面积S 的最大值．解：(1)设A (a ，0)，B (0，b )，P (x ，y )，因为AP →＝tPB →，即(x －a ，y )＝t (－x ，b －y )，所以⎩⎪⎨⎪⎧x －a ＝－txy ＝t （b －y ），则⎩⎪⎨⎪⎧a ＝（1＋t ）x b ＝（1＋t ）y t，由题意知t >0，因为|AB |＝2，a 2＋b 2＝4，即(1＋t )2x 2＋(1＋t t)2y 2＝4，所以点P 的轨迹方程为：x 24（1＋t ）2＋y24t2（1＋t ）2＝1. (2)t ＝2时，轨迹方程C 为9x 24＋916y 2＝1，设M (x 1，y 1)，则N (－x 1，－y 1)，|MN |＝2x 21＋y 21，设直线MN 的方程为：y ＝y1x 1x (x 1≠0)，点Q 到直线MN 的距离为：d ＝⎪⎪⎪⎪32y 1－3x 1x 21＋y 21，所以S △MNQ ＝12×2x 21＋y 21×⎪⎪⎪⎪32y 1－3x 1x 21＋y 21＝⎪⎪⎪⎪32y 1－3x 1，又9x 214＋9y 2116＝1，所以9x 21＋9y 2144.所以S 2△MNQ ＝4－9x 1y 1，而1＝9x 214＋9y 2116≥－2·3x 12·3y 14＝－9x 1y 14，所以－9x 1y 1≤4，当且仅当3x 12＝－3y 14，即x 1＝－12y 1时，取等号．所以S △MNQ 的面积最大值为2 2.11.(创新题)已知点M (4，0)，N (1，0)，若动点P 满足MN →·MP →＝6|PN →|. (1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)设过点N 的直线l 交轨迹C 于A ，B 两点，若－187≤NA →·NB →≤－125，求直线l 的斜率的取值范围．解：(1)设动点P (x ，y )，则MP →＝(x －4，y )，MN →＝(－3，0)，PN →＝(1－x ，－y )．由已知得－3(x －4)＝6（1－x ）2＋（－y ）2，化简得3x 2＋4y 2＝12，即x 24＋y 23＝1.所以点P 的轨迹C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)由题意知，直线l 的斜率必存在，不妨设过N 的直线l 的方程为y ＝k (x －1)，设A ，B 两点的坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －1）x 24＋y 23＝1消去y 得(4k 2＋3)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0.因为N 在椭圆内，所以Δ>0.所以⎩⎨⎧x 1＋x 2＝8k 23＋4k 2，x 1x 2＝4k 2－123＋4k2.因为NA →·NB →＝(x 1－1)(x 2－1)＋y 1y 2＝(1＋k 2)(x 1－1)(x 2－1)＝(1＋k 2)[x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1]＝(1＋k 2)4k 2－12－8k 2＋3＋4k23＋4k 2＝－9（1＋k 2）3＋4k 2.所以－187≤－9（1＋k 2）3＋4k 2≤－125，解得1≤k 2≤3，所以－3≤k ≤－1或1≤k ≤ 3.。

第2章 1 参数方程的概念

§1参数方程的概念1.参数方程的概念(1)一般地，在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标(x ，y )都是某个变数t 的函数 ⎩⎨⎧x ＝f （t ），y ＝g （t ），① 并且对于t 取的每一个允许值，由方程组①所确定的点P (x ，y )都在这条曲线上，那么方程组①就叫作这条曲线的参数方程，联系x ，y 之间关系的变数t 叫作参变数，简称参数.相对于参数方程，我们把直接用坐标(x ，y )表示的曲线方程f (x ，y )＝0叫作曲线的普通方程.(2)在参数方程中，应明确参数t 的取值范围.对于参数方程x ＝f (t )，y ＝g (t )来说，如果t 的取值范围不同，它们表示的曲线可能是不相同的.如果不明确写出其取值范围，那么参数的取值范围就理解为x ＝f (t )和y ＝g (t )这两个函数的自然定义域的交集.2.参数方程和普通方程的互化(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式.(2)在参数方程与普通方程的互化中，必须使x ，y 的取值范围保持一致. 【思维导图】【知能要点】 1.参数方程的概念. 2.求曲线的参数方程. 3.参数方程和普通方程的互化.题型一参数方程及其求法1.曲线的普通方程直接地反映了一条曲线上的点的横、纵坐标之间的联系，而参数方程是通过参数反映坐标变量x 、y 间的间接联系.在具体问题中的参数可能有相应的几何意义，也可能没有什么明显的几何意义.曲线的参数方程常常是方程组的形式，任意给定一个参数的允许取值就可得到曲线上的一个对应点，反过来对于曲线上任一点也必然对应着其中的参数的相应的允许取值.2.求曲线参数方程的主要步骤：第一步，画出轨迹草图，设M (x ，y )是轨迹上任意一点的坐标.画图时要注意根据几何条件选择点的位置，以利于发现变量之间的关系.第二步，选择适当的参数.参数的选择要考虑以下两点：一是曲线上每一点的坐标x ，y 与参数的关系比较明显，容易列出方程；二是x ，y 的值可以由参数惟一确定.第三步，根据已知条件、图形的几何性质、问题的物理意义等，建立点的坐标与参数的函数关系式，证明可以省略.【例1】设质点沿以原点为圆心，半径为2的圆作匀角速度运动，角速度为π60 rad/s.试以时间t 为参数，建立质点运动轨迹的参数方程.解如图所示，运动开始时质点位于点A 处，此时t ＝0，设动点M (x ，y )对应时刻t ，由图可知⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ，又θ＝π60t (t 的单位：S)，故参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos π60t ，y ＝2sin π60t .【反思感悟】以时间t 为参数，在图形中分别寻求动点M 的坐标和t 的关系.1.已知定直线l 和线外一定点O ，Q 为直线l 上一动点，△OQP 为正三角形(按逆时针方向转，如图所示)，求点P 的轨迹方程. 解以O 点为原点，过点O 且与l 垂直的直线为x 轴，过点O 与l 平行的直线为y 轴建立直角坐标系.设点O 到直线l 的距离为d (为定值，且d >0)，取∠xOQ ＝θ为参数， θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，设动点P (x ，y ).在Rt △OQN 中， ∵|OQ |＝dcos θ，|OP |＝|OQ |， ∠xOP ＝θ＋π3， ∴x ＝|OP |cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋θ＝d cos θ·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋θ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－32tan θ·d ， y ＝|OP |·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋θ＝d cos θ·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋θ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋12tan θ·d . ∴点P 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－32tan θd ，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋12tan θd ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2<θ<π2. 题型二参数方程和普通方程的互化参数方程化为普通方程，消去参数方程中的参数即可，通过曲线的普通方程来判断曲线的类型.由普通方程化为参数方程要选定恰当的参数，寻求曲线上任一点M 的坐标x ，y 和参数的关系，根据实际问题的要求，我们可以选择时间、角度、线段长度、直线的斜率、截距等作为参数.【例2】已知某条曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋2t y ＝at 2(其中t 是参数，a ∈R )，点M (5，4)在该曲线上. (1)求常数a ；(2)求曲线C 的普通方程.分析本题主要应根据曲线与方程之间的关系，可知点M (5，4)在该曲线上，则点M 的坐标应适合曲线C 的方程，从而可求得其中的待定系数，进而消去参数得到其普通方程.解 (1)由题意可知有⎩⎨⎧1＋2t ＝5，at 2＝4，故⎩⎨⎧t ＝2，a ＝1.∴a ＝1.(2)由已知及(1)可得，曲线C 的方程为⎩⎨⎧x ＝1＋2t ，y ＝t 2. 由第一个方程得t ＝x －12代入第二个方程，得 y ＝⎝⎛⎭⎪⎫x －122，即(x －1)2＝4y 为所求. 【反思感悟】参数方程化为普通方程时，求参数的表达式应从简单的有唯一结论的式子入手，易于代入消参.2.把下列参数方程化为普通方程.⎩⎨⎧x ＝3＋cos θ，y ＝2－sin θ，解由已知得⎩⎨⎧cos θ＝x －3，sin θ＝2－y .由三角恒等式sin 2θ＋cos 2θ＝1，可知(x －3)2＋(y －2)2＝1这就是所求的普通方程. 【例3】选取适当的参数，把普通方程x 216＋y 29＝1化为参数方程. 解设x ＝4cos φ，代入椭圆方程，得16cos 2φ16＋y 29＝1.∴y 2＝9(1－cos 2φ)＝9sin 2φ，即y ＝±3sin φ.由参数φ的任意性可知y ＝3sin φ.故所求参数方程为⎩⎨⎧x ＝4cos φ，y ＝3sin φ(φ为参数).【反思感悟】选取的参数不同，所得曲线的参数方程不同，注意普通方程和参数方程的等价性.3.选取适当参数，把直线方程y ＝2x ＋3化为参数方程.解选t ＝x ，则y ＝2t ＋3，由此得直线的参数方程⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝2t ＋3(t ∈R ).也可选t ＝x ＋1，则y ＝2t ＋1，参数方程为⎩⎨⎧x ＝t －1，y ＝2t ＋1.1.已知曲线C 的参数方程是：⎩⎨⎧x ＝3t ，y ＝2t 2＋1(t 为参数). (1)判断点M 1(0，1)，M 2(5，4)与曲线C 的位置关系； (2)已知点M 3(6，a )在曲线C 上，求a 的值.解 (1)把点M 1的坐标(0，1)代入方程组，得：⎩⎨⎧0＝3t ，1＝2t 2＋1 解得：t ＝0.∴点M 1在曲线C 上.同理，可知点M 2不在曲线C 上. (2)∵点M 3(6，a )在曲线C 上，∴⎩⎨⎧6＝3t ，a ＝2t 2＋1，解得：t ＝2，a ＝9.∴a ＝9. 2.将下列曲线的参数方程化为普通方程，并指明曲线的类型. (1)⎩⎨⎧x ＝a cos θ，y ＝b sin θ(θ为参数，a 、b 为常数，且a >b >0)；(2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b tan φ(φ为参数，a 、b 为正常数)； (3)⎩⎨⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt(t 为参数，p 为正常数). 解 (1)由cos 2θ＋sin 2θ＝1，得x 2a 2＋y 2b2＝1 (a >b >0)，它表示的曲线是椭圆.(2)由已知1cos φ＝x a ，tan φ＝yb ，由1cos 2φ＝1＋tan 2φ，有x 2a 2－y 2b 2＝1，它表示的曲线是双曲线. (3)由已知t ＝y 2p ，代入x ＝2pt 2得y 24p 2·2p ＝x ，即y 2＝2px 它表示的曲线是抛物线.3.两曲线的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos θ，y ＝4sin θ (θ为参数)和⎩⎨⎧x ＝－3t 2，y ＝－4t 2(t 为参数)，求它们的交点坐标.解将两曲线的参数方程化为普通方程，得x 29＋y 216＝1，y ＝43x (x ≤0).联立解得它们的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－322，－22. 4.△ABC 是圆x 2＋y 2＝r 2的内接三角形，已知A (r ，0)为定点，∠BAC ＝60°，求△ABC 的重心G 的轨迹方程.解因为∠BAC ＝60°，所以∠BOC ＝120°，于是可设B (r cos θ，r sin θ)，C (r cos(θ＋120°)，r sin(θ＋120°))，重心坐标为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r ＋r cos θ＋r cos （θ＋120°）3，y ＝r sin θ＋r sin （θ＋120°）3，消去θ得(3x －r )2＋(3y )2＝r 2，所以△ABC 重心G 的轨迹方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －r 32＋y 2＝r29 (0≤x ≤r 2).[P 28思考交流]把引例中求出的铅球运动轨迹的参数方程消去参数t 后，再将所得方程与原方程进行比较，体会参数方程的作用.答⎩⎨⎧x ＝v 0t cos α，y ＝h ＋v 0t sin α－12gt2其中v 0、α，h 和g 都是常数.这里的g 是重力加速度.h 是运动员出手时铅球的高度.消去参数t 整理得：y ＝－g2v 20cos 2αx 2＋x ·tan x ＋h .参数方程的作用：当参数t 每取一个允许值，就可以相应地确定一个x 值和一个y 值.这样铅球的位置就相应的确定了.这样建立的t 与x ，y 之间的关系不仅方便，而且清晰地反映了变数的实际意义.如x ＝v 0t cos α反映了铅球飞行的水平距离. y ＝h ＋v 0t sin α－12gt 2反映了铅球的高度与飞行时间的关系.总之它是物理学中弹道曲线的方程. 【规律方法总结】1.求轨迹的参数方程，可以通过对具体问题的分析，选择恰当的参数，建立参数方程.2.曲线的参数方程和普通方程可以互化，两种方程具有等价性.3.曲线上点的坐标如果需要单独表示，使用参数方程比较方便.一、选择题1.下列各点在方程⎩⎨⎧x ＝sin θ，y ＝cos 2θ(θ是参数)所表示曲线上的点是( )A.(2，－7)B.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12 D.(1，0)解析由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin θ，y ＝1－2sin 2θ，将选项代入上式即可.∴x ＝12时，y ＝12.故应选C. 答案 C2.将参数方程⎩⎨⎧x ＝2＋sin 2θ，y ＝sin 2θ(θ为参数)化为普通方程为( ) A.y ＝x －2 B.y ＝x ＋2C.y ＝x －2 (2≤x ≤3)D.y ＝x ＋2 (0≤y ≤1)解析将参数方程中的θ消去，得y ＝x －2.又x ∈[2，3]，故选C. 答案 C3.曲线(x －1)2＋y 2＝4上的点可以表示为( ) A.(－1＋cos θ，sin θ) B.(1＋sin θ，cos θ) C.(－1＋2cos θ，2sin θ)D.(1＋2cos θ，2sin θ)解析可设⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝2cos θ，y ＝2sin θ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2cos θ，y ＝2sin θ，∴曲线x 的点可表示为(1＋2cos θ，2sin θ). 答案 D4.直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝a ＋t ，y ＝b ＋t (t 为参数)，l 上的点P 1对应的参数是t 1，则点P 1与P (a ，b )之间的距离为( ) A.|t 1| B.2|t 1| C.2|t 1|D.22|t 1|解析点P 1对应的点的坐标为(a ＋t 1，b ＋t 1)， ∴|PP 1|＝（a ＋t 1－a ）2＋（b ＋t 1－b ）2＝2t 21＝2|t 1|.答案 C5.参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2＋2t ＋3y ＝t 2＋2t ＋2表示的曲线是( ) A.双曲线x 2－y 2＝1 B.双曲线x 2－y 2＝1的右支 C.双曲线x 2－y 2＝1，但x ≥0，y ≥0 D.以上结论都不对解析平方相减得x 2－y 2＝1，但x ≥2，y ≥1. 答案 D 二、填空题6.已知曲线⎩⎨⎧x ＝2sin θ＋1，y ＝sin θ＋3(θ为参数，0≤θ＜2π).下列各点A (1，3)，B (2，2)，C (－3，5)，其中在曲线上的点是________.解析曲线方程可化为x －2y ＋5＝0，将A ，B ，C 三点坐标代入曲线的参数方程可知只有A 符合. 答案 A7.物体从高处以初速度v 0(m/s)沿水平方向抛出，以抛出点为原点，水平直线为x 轴，物体所经路线的参数方程为________.解析设物体抛出的时刻为0 s ，在时刻t s 时其坐标为M (x ，y )，由于物体作平抛运动，依题意，得⎩⎨⎧x ＝v 0t ，y ＝－12gt 2，这就是物体所经路线的参数方程. 答案 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝v 0t ，y ＝－12gt 2(t 为参数)8.以过点A (0，4)的直线的斜率k 为参数，将方程4x 2＋y 2＝16化成参数方程是__________.解析设直线为y ＝kx ＋4，代入4x 2＋y 2＝16化简即可.答案⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－8k 4＋k 2，y ＝16－4k 24＋k 29.将参数方程⎩⎨⎧x ＝sin θ＋cos θy ＝sin θcos θ化成普通方程为__________.解析应用三角变形消去θ，同时注意到|x |≤ 2. 答案 x 2＝1＋2y (|x |≤2) 三、解答题10.已知曲线C ：⎩⎨⎧x ＝cos θ，y ＝－1＋sin θ，如果曲线C 与直线x ＋y ＋a ＝0有公共点，求实数a 的取值范围. 解 ∵⎩⎨⎧x ＝cos θ，y ＝－1＋sin θ，∴x 2＋(y ＋1)2＝1.圆与直线有公共点，d ＝|0－1＋a |2≤1，解得1－2≤a ≤1＋ 2.11.已知圆的极坐标方程为ρ2－42ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＋6＝0.(1)将极坐标方程化为普通方程，并选择恰当的参数写出它的参数方程； (2)若点P (x ，y )在该圆上，求x ＋y 的最大值和最小值.解 (1)由ρ2－42ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＋6＝0得ρ2－4ρcos θ－4ρsin θ＋6＝0，即x 2＋y 2－4x －4y ＋6＝0为所求，由圆的标准方程(x －2)2＋(y －2)2＝2，令x －2＝2cos α，y －2＝2sin α，得圆的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋2cos α，y ＝2＋2sin α(α为参数).(2)由上述可知x ＋y ＝4＋2(cos α＋sin α)＝4＋2sin(α＋π4)，故x ＋y 的最大值为6，最小值为2.12.如图所示，OA 是圆C 的直径，且OA ＝2a ，射线OB 与圆交于Q 点，和经过A 点的切线交于B 点，已知动点P 满足PQ ⊥OA 于D ，PB ∥OA ，试求点P 的轨迹方程. 解设点P 坐标为(x ，y )，则B (2a ，y )，D (x ，0). 在Rt △OAB 中，tan θ＝AB OA ， ∴AB ＝OA ·tan θ，即y ＝2a ·tan θ. 在Rt △OAQ 中，cos θ＝OQ OA ，∴OQ ＝OA ·cos θ，在Rt △OQD 中，cos θ＝ODOQ ， ∴OD ＝OQ ·cos θ，∴OD ＝OA ·cos 2θ，即x ＝2a · cos 2θ.即有⎩⎨⎧x ＝2a cos 2θ，y ＝2a tan θθ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，化为普通方程为：xy 2＋4a 2x ＝8a 3.13.在长为a 的线段AB 上有一个动点E ，在AB 的同侧以AE 和EB 为斜边，分别作等腰直角三角形AEC 和EBD ，点P 是CD 的定比分点，且CP ∶PD ＝2∶1，求点P 的轨迹.解建立如图所示坐标系(设C ，D 在x 轴上方).设E (t ，0)(t 为参数，t ∈[0，a ])，B (a ，0)，则点C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2，t 2，点D 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋t 2，a －t 2.∵CP ∶PD ＝2∶1，即λ＝2.由定比分点公式，有⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2＋2·12（a ＋t ）1＋2＝16（2a ＋3t ），y ＝t 2＋2·12（a －t ）1＋2＝16（2a －t ）t ∈[0，a ]，这就是点P 运动轨迹的参数方程.。

2.6.2 求曲线的方程(1)(教案)

2.6.2 求曲线的方程（1）教学目标：1．教学知识点．根据已知条件求平面曲线方程的基本步骤.2．能力训练要求．（1）会根据已知条件求一些简单的平面曲线方程.（2）会判断曲线和方程的关系.3．德育渗透目标．（1）提高学生的分析问题能力.（2）提高学生的解决问题能力.（3）培养学生的数学修养.（4）增强学生的数学素质.教学重点：求曲线方程的步骤：（1）依据题目特点，恰当选择坐标系；（2）用M（x，y)表示所求曲线上任意一点的坐标；（3）用坐标表示条件，列出方程F(x，y)＝0；（4）化方程F(x，y)＝0为最简形式；（5）证明化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点.教学难点：依据题目特点，恰当选择坐标系及考查曲线方程的点的纯粹性、完备性.教学方法：启发引导法．启发引导学生利用曲线的方程、方程的曲线两个基本概念，借助坐标系，用坐标表示点，把曲线看成满足某种条件的点的集合或轨迹，用曲线上点的坐标（x，y)所满足的方程f(x，y)＝0.表示曲线，通过研究方程的性质间接地来研究曲线的性质.教具准备：PPT课件．教学过程：一、课题导入［师］上节课，咱们一起探讨了曲线的方程和方程的曲线的关系，下面请一位同学叙述一下，大家一起来回顾.［生］（1）曲线上的点的坐标都是这个方程的解；（2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点，那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线（图形）.二、讲授新课不难发现，利用这两个重要概念，就可以借助于坐标系，用坐标表示点，把满足某种条件的点的集合或轨迹看成曲线，即用曲线上点的坐标（x，y)所满足的方程f(x，y)＝0表示曲线．那么我们就可以通过研究方程的性质间接地研究曲线的性质.而且，我们把这种借助坐标系研究几何图形的方法叫做坐标法.当今，在数学中，用坐标法研究几何图形的知识已形成了一门学科，它就是解析几何.所以说，解析几何是用代数方法研究几何问题的一门数学学科.它主要研究的是：（1）根据已知条件，求出表示平面曲线的方程；（2）通过方程，研究平面曲线的性质.［师］下面我们首先讨论求曲线的方程.例1设A，B两点的坐标是（-1，-1），（3，7），求线段AB的垂直平分线的方程.分析线段AB的垂直平分线上的任一点M应满足条件：MA＝MB解：（1）设M（x，y）是线段AB的垂直平分线上任意一点，则MA＝MB，即2222)7()3()1()1(-+-=+++y x y x整理得，x ＋2y －7＝0 ①由此可知，垂直平分线上每一点的坐标都是方程①的解；（2）设点M 1的坐标(x 1，y )是方程①的解，即x 1＋2y 1－7＝0，x 1＝7－2y 1 ，点M 1到A ，B 的距离分别是，221112221111(1)(1)(82)(1)5(613);M A x y y y y y =+++=-++=-+221112221111(3)(7)(42)(7)5(613).M B x y y y y y =-+-=-+-=-+∴M 1A ＝M 1B ，即点M 1在线段AB 的垂直平分线上. 由（1）、（2）可知，方程①是线段AB 的垂直平分线的方程.例2 已知一条直线l 和它上方的一个点F ，点F 到l 的距离是2，一条曲线也在l 的上方，它上面的每一点到F 的距离减去到l 的距离的差都是2，建立适当的坐标系，求这条曲线的方程.三、课堂练习已知点M 与x 轴的距离和点M 与点F (0，4)的距离相等，求点M 的轨迹方程.解设点M 的坐标为（x ，y )，则点M 属于集合：P ＝{M ｜｜y ｜=｜MF ｜} 即｜y ｜=22)4(-+y x 整理得：x 2－8y ＋16＝0.（1）由求方程的过程可知，曲线上的点的坐标都是方程①的解；（2）过点M 1的坐标（x 1，y 1)是方程①的解，那么，x 12－8y 1＋16＝0 即x 12＋(y 12－8y 1＋16)＝y 122121)4(-+y x ＝｜y 1｜而｜y 1｜正是点M 1到x 轴的距离，2121)4(-+y x 正是点M 1到点F （0，4）的距离.因此点M 1到x 轴的距离和点M 1与点F （0，4）的距离相等.由（1）、（2）可知，x 2－8y ＋16＝0是到x 轴的距离和到点F （0，4）距离相等的点的轨迹方程.例3 如图，已知点C 的坐标是(2 ， 2) ，过点C 的直线CA 与x 轴交于点A ，过点C 且与直线CA 垂直的直线CB 与y 轴交于点B ，设点M 是线段AB 的中点，求点M 的轨迹方程.例4 已知直角坐标平面上点Q (2，0) 和圆O : 122=+y x ，动点M 到圆O 的切线长与|MQ |的比等于常数 ()0>λλ，求动点M 的轨迹方程，并说明它表示什么曲线？例5 求抛物线()()R m m x m x y ∈-+++=11222 的顶点的轨迹方程．四、课时小结通过本节学习，要掌握求曲线（图形）的方程，一般有下面几个步骤：（1）建立适当的坐标系，用有序实数对例如（x ，y ）表示曲线上任意一点M 的坐标；（2）写出适合条件P 的点M 的集合P ＝{M ｜P (M )}；（3）用坐标表示条件P （M ），列出方程f (x ，y )=0；（4）化方程f (x ，y )＝0为最简形式；xyoCBA⋅M(,)x y 0xyMNQ（5）证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点.一般情况下，化简前后方程的解集是相同的，步骤（5）可以省略不写，如有特殊情况，可适当予以说明.另外，根据情况，也可省略步骤（2），直接列出曲线方程.五、课后作业1．完成学案作业．2．预习提纲：（1）怎样求一些较复杂的曲线的方程？（2）怎样通过曲线的方程求两条曲线的交点？。

高中数学第2章平面解析几何2.6双曲线及其方程2.6.2双曲线的几何性质课件新人教B版选择性必修第一

知识点三对双曲线的几何性质的五点认识
ห้องสมุดไป่ตู้
(1)双曲线的焦点决定双曲线的位置．
(2)双曲线的范围决定了双曲线的开放性和无限延展性，由双曲线的方程ax22－by22＝1(a>0，b>0)，得ax22＝1＋by22≥1，所以 x2≥a2，所以|x|≥a，即 x≤
－a 或 x≥a.
(3)双曲线的离心率和渐近线刻画了双曲线的开口大小，因为 c>a>0，
[跟踪训练 1] 求双曲线 9y2－16x2＝144 的半实轴长和半虚轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程．
解把方程 9y2－16x2＝144 化为标准方程为4y22－3x22＝1.由此可知，半实轴长 a＝4，半虚轴长 b＝3，c＝ a2＋b2＝ 42＋32＝5，所以焦点坐标为(0，－5)，(0,5)，离心率 e＝ac＝45，渐近线方程为 y＝±43x.
13 ______e_＝__ac_(_e_>_1_)_______
知识点二等轴双曲线 01 ____实__轴__长__与__虚__轴__长__相__等_______的双曲线称为等轴双曲线．等轴双曲线具有以下性质： (1)方程形式为 02 __x_2_－__y_2＝__λ____________ (λ≠0)； (2)渐近线方程为 03 ____y_＝__±_x__________，它们互相垂直，并且平分双曲线实轴和虚轴所成的角； (3)实轴长和虚轴长都等于 04 ___2_a____，离心率 e＝ 05 ___2___.
图形
标准方程
ax22－by22＝1(a>0，b>0)
焦点在 y 轴上 ay22－bx22＝1(a>0，b>0)
焦点位置焦点焦距

2021学年新教材高中数学第二章平面解析几何2.6.2双曲线的几何性质课时分层作业含解析人教B版选择性必修一

课时分层作业(二十二) 双曲线的几何性质(建议用时：40分钟)一、选择题1．若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为( )A ．5B ．5C ．2D ．2A [由题意得b ＝2a ，又a 2＋b 2＝c 2，∴5a 2＝c 2． ∴e 2＝c 2a 2＝5，∴e ＝5．]2．若双曲线的一个焦点为(0，－13)，且离心率为135，则其标准方程为( ) A ．x 252－y 2122＝1 B ．y 2122－x 252＝1 C ．x 2122－y 252＝1D ．y 252－x 2122＝1D [依题意可知，双曲线的焦点在y 轴上，且c ＝13．又c a ＝135，所以a ＝5，b ＝c 2－a 2＝12，故其标准方程为y 252－x 2122＝1．]3．已知双曲线C ：y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的焦点F 到渐近线距离与顶点A 到渐近线距离之比为3∶1，则双曲线C 的渐近线方程为( )A ．y ＝±22xB ．y ＝±2xC ．y ＝±22xD ．y ＝±24xD [根据题意，双曲线C ：y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的焦点在y 轴上，其渐近线方程为y ＝±ab x ，若双曲线的焦点F 到渐近线距离与顶点A 到渐近线距离之比为3∶1，则c ＝3a ，则b ＝9a 2－a 2＝22a ，则双曲线的渐近线方程为y ＝±24x ．]4．平行四边形ABCD 的四个顶点均在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)上，直线AB ，AD 的斜率分别为12，1，则该双曲线的渐近线方程为( )A ．x ±2y ＝0B ．2x ±y ＝0C ．x ±y ＝0D ．x ±3y ＝0A [∵双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)是中心对称的，故平行四边形ABCD 的顶点B ，D 关于原点对称，设A (x 0，y 0)，B (x 1，y 1)，则D (－x 1，－y 1)，故x 20a 2－y 20b 2＝1，x 21a 2－y 21b 2＝1，∴(x 0－x 1)(x 0＋x 1)a 2－(y 0－y 1)(y 0＋y 1)b 2＝0，整理得到：b 2a 2＝(y 0－y 1)(y 0＋y 1)(x 0－x 1)(x 0＋x 1)，即b 2a 2－k AB ·k AD ＝0，故b 2a 2＝12，即b a ＝22，∴渐近线方程为y ＝±22x ，即x ±2y ＝0．]5．若双曲线x 29－y 2m ＝1的渐近线的方程为y ＝±53x ，则双曲线焦点F 到渐近线的距离为( )A ． 5B ．14C ．2D ．2 5A [∵a ＝3，b ＝m ，∴m 3＝53，∴m ＝5，∴c ＝a 2＋b 2＝14，∴一个焦点的坐标为(14，0)，到渐近线的距离d ＝|5×14－3×0|5＋9＝5．]二、填空题6．已知点(2,3)在双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)上，C 的焦距为4，则它的离心率为．2 [根据点(2,3)在双曲线上，可以很容易建立一个关于a ，b 的等式，即4a 2－9b 2＝1，考虑到焦距为4，可得到一个关于c 的等式，2c ＝4，即c ＝2．再加上a 2＋b 2＝c 2，可以解出a ＝1，b ＝3，c ＝2，所以离心率e ＝2．]7．与椭圆x 29＋y 225＝1共焦点，离心率之和为145的双曲线标准方程为． y 24－x 212＝1 [椭圆的焦点是(0,4)，(0，－4)， ∴c ＝4，e ＝45，∴双曲线的离心率等于145－45＝2， ∴4a ＝2，∴a ＝2． ∴b 2＝42－22＝12．∴双曲线的标准方程为y 24－x 212＝1．]8．已知双曲线C ：x 23－y 2＝1，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M ，N ．若△OMN 为直角三角形，则|MN |＝．3 [因为双曲线x 23－y 2＝1的渐近线方程为y ＝±33x ，所以∠MON ＝60°．不妨设过点F 的直线与直线y ＝33x 交于点M ，由△OMN 为直角三角形，不妨设∠OMN＝90°，则∠MFO ＝60°，又直线MN 过点F (2,0)，所以直线MN 的方程为y ＝－3(x －2)，由⎩⎨⎧y ＝－3(x －2)，y ＝33x ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32，y ＝32，所以M ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32，所以|OM |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32 2＝3，所以|MN |＝3|OM |＝3．] 三、解答题9．已知双曲线的一条渐近线为x ＋3y ＝0，且与椭圆x 2＋4y 2＝64有相同的焦距，求双曲线的标准方程．[解] 椭圆方程为x 264＋y 216＝1， ∴椭圆的焦距为83．①当双曲线的焦点在x 轴上时，设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，∴⎩⎨⎧ a 2＋b 2＝48b a ＝33，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＝36b 2＝12．∴双曲线的标准方程为x 236－y 212＝1．②当双曲线的焦点在y 轴上时，设双曲线方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，∴⎩⎨⎧a 2＋b 2＝48a b ＝33，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝12b 2＝36．∴双曲线的标准方程为y 212－x 236＝1．由①②可知，双曲线的标准方程为x 236－y 212＝1或y 212－x 236＝1．10．设双曲线y 2a 2－x 23＝1的两个焦点分别为F 1，F 2，离心率为2． (1)求此双曲线的渐近线l 1，l 2的方程；(2)若A ，B 分别为l 1，l 2上的点，且2|AB |＝5|F 1F 2|，求线段AB 的中点M 的轨迹方程．[解] (1)∵e ＝2，∴c 2＝4a 2． ∵c 2＝a 2＋3，∴a ＝1，c ＝2．∴双曲线方程为y 2－x 23＝1，渐近线方程为y ＝±33x ．∴l 1的方程为y ＝33x ，l 2的方程为y ＝－33x ． (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 的中点为M (x ，y )． ∵2|AB |＝5|F 1F 2|＝5×2c ＝20， ∴|AB |＝10， ∴(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝10，即(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝100． ∵y 1＝33x 1，y 2＝－33x 2， x 1＋x 2＝2x ，y 1＋y 2＝2y ，∴y 1＋y 2＝33(x 1－x 2)，y 1－y 2＝33(x 1＋x 2)， ∴y ＝36(x 1－x 2)，y 1－y 2＝233x ，代入(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝100，得3×(2y )2＋13(2x )2＝100，整理得x 275＋3y 225＝1．11．(多选题)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1(－c,0)，F 2(c,0)，又点N ⎝ ⎛⎭⎪⎫－c ，3b 22a ．若双曲线C 左支上的任意一点M 均满足|MF 2|＋|MN |＞4b ，则双曲线C 的离心率可能为( )A ．3B ．4C ．32D ．65ABD [双曲线C 左支上的任意一点M 均满足|MF 2|＋|MN |＞4b ，即(|MF 2|＋|MN |)min ＞4b ，又|MF 2|＋|MN |≥2a ＋|MF 1|＋|MN |≥2a ＋|NF 1|＝2a ＋3b 22a ，当且仅当M ，N ，F 1三点共线且M 在N ，F 1之间时取“＝”，即2a ＋3b 22a ＞4b ⇒3b 2－8ab ＋4a 2＞0⇒3⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2－8·b a ＋4＞0，解得b a ＞2或b a ＜23，∴e 2＝1＋b 2a 2＞5或e 2＜139，∴e ＞5或1＜e ＜133．]12．设F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P 满足|PF 2|＝|F 1F 2|，且cos ∠PF 1F 2＝45，则双曲线的渐近线方程为( )A ．3x ±4y ＝0B ．4x ±3y ＝0C ．3x ±5y ＝0D ．5x ±4y ＝0B [作F 2Q ⊥PF 1于Q ，因为|F 1F 2|＝|PF 2|，所以Q 为PF 1的中点，由双曲线的定义知|PF 1|－|PF 2|＝2a ，所以|PF 1|＝2a ＋2c ，故|F 1Q |＝a ＋c ，因为cos ∠PF 1F 2＝45，所以F 1QF 1F 2＝cos ∠PF 1F 2，即a ＋c 2c ＝45，得3c ＝5a ，所以3a 2＋b 2＝5a ，得b a ＝43，故双曲线的渐近线方程为y ＝±43x ，即4x ±3y ＝0．]13．(一题两空)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F ，过F 作垂直于x 轴的直线与双曲线C 交于M 、N 两点，与双曲线的渐近线交于P 、Q 两点．若|PQ ||MN |＞2，记过第一、三象限的双曲线C 的渐近线为l 1，则l 1的倾斜角的取值范围为，离心率的取值范围为．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4 (1，2) [如图，在双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1中，取x ＝c ，可得y ＝±b 2a ，∴|MN |＝2b 2a ．分别在双曲线的渐近线y ＝b a x 与y ＝－ba x ，取x ＝c ，求得|PQ |＝2bca ．由|PQ| |MN|＞2，得2bca2b2a＞2，即c2＞2b2，∴a2＋b2＞2b2，∴ba＜1，∴l1的倾斜角的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫0，π4e2＝b2a2＋1＜2，∴e的取值范围为(1，2)．]14．双曲线x2a2－y2b2＝1(a>1，b>1)的焦距为2c，直线l过点(a,0)和(0，b)，且点(1,0)到直线l的距离与点(－1,0)到直线l的距离之和s≥45c，则双曲线的离心率e 的取值范围为．⎣⎢⎡⎦⎥⎤52，5[直线l的方程为xa＋yb＝1，即bx＋ay－ab＝0．由点到直线的距离公式，且a>1，b>1，得到点(1,0)到直线l的距离d1＝b(a－1)a2＋b2，点(－1,0)到直线l的距离d2＝b(a＋1)a2＋b2，s＝d1＋d2＝2aba2＋b2＝2abc．由s≥45c，得2abc ≥45c，即5a c2－a2≥2c2．于是得5e2－1≥2e2，即4e4－25e2＋25≤0．解不等式，得54≤e2≤5，由于e>1，因此e的取值范围是52≤e≤5．]15．已知双曲线关于两坐标轴对称，且与圆x2＋y2＝10相交于点P(3，－1)，若此圆过点P的切线与双曲线的渐近线平行，求此双曲线的方程．[解]切点为P(3，－1)的圆的切线方程为3x－y＝10，因为双曲线的一条渐近线平行于此切线，且双曲线关于两坐标轴对称．所以双曲线的渐近线方程为3x±y＝0．当焦点在x 轴上时，设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，则其渐近线方程为y ＝±b a x ，即ba ＝3，则双曲线方程可化为x 2a 2－y 29a 2＝1，因为双曲线过点P (3，－1)，所以9a 2－19a 2＝1，所以a 2＝809，b 2＝80，所以所求双曲线方程为x 2809－y 280＝1．当焦点在y 轴上时，设双曲线方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，则渐近线方程为y ＝±a b x ，即ab ＝3，则双曲线方程可化为y 29b 2－x 2b 2＝1，因为双曲线过点P (3，－1)，所以19b 2－9b 2＝1，得－809b 2＝1，无解．综上可知所求双曲线方程为x 2809－y 280＝1．。

第2章 2.6.1 双曲线的标准方程-【新教材】人教B版(2019)高中数学选择性必修一讲义

2.6双曲线及其方程2.6.1双曲线的标准方程学习目标核心素养1．掌握双曲线的定义，会用双曲线的定义解决实际问题．(重点)2．掌握用定义法和待定系数法求双曲线的标准方程．(重点)3．理解双曲线标准方程的推导过程，并能运用标准方程解决相关问题．(难点)1．通过对双曲线的定义，标准方程的学习，培养数学抽象素养．2．借助于双曲线标准方程的推导过程，提升逻辑推理、数学运算素养．前面学习了椭圆及其几何性质，了解了椭圆形状与离心率e有关，在现实生活中还有一类曲线，与椭圆并称为“情侣曲线”，即双曲线，它的形状在现实中很常见．如发电厂的冷却塔的形状，上、下两头粗，中间细，截面图的形状就是本节要学习的双曲线，它的标准方程和性质又如何？人们不禁要问，为什么建成这样的双曲线型冷却塔，而不建成竖直的呢？这就需要我们学习与双曲线相关的内容．1．双曲线定义一般地，如果F1，F2是平面内的两个定点，a是一个正常数，且2a＜|F1F2|．则平面上满足||PF1|－|PF2||＝2a的动点P的轨迹称为双曲线，其中，两个定点F1，F2称为双曲线的焦点，两个焦点的距离|F1F2|称为双曲线的焦距，双曲线也可以通过用平面截两个特殊的圆锥面得到，因此双曲线是一种圆锥曲线．思考1：双曲线的定义中，若2a＝|F1F2|，则点P的轨迹是什么？2a＞|F1F2|呢？[提示]若2a＝|F1F2|，点P的轨迹是以F1，F2为端点的两条射线；若2a＞|F1F2|，点P 的轨迹不存在．思考2：定义中若常数为0，则点P的轨迹是什么？[提示]此时P的轨迹为线段F1F2的垂直平分线．2．双曲线的标准方程焦点所在的坐标轴x轴y轴标准方程x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)y2a2－x2b2＝1(a＞0，b＞0)图形焦点坐标(－c,0)，(c,0)(0，－c)，(0，c) a，b，c的关系式c2＝a2＋b2[提示]双曲线标准方程中的两个参数a和b，确定了双曲线的形状和大小，是双曲线的定形条件，这里b2＝c2－a2，即c2＝a2＋b2，其中c>a，c>b，a与b的大小关系不确定；而在椭圆中b2＝a2－c2，即a2＝b2＋c2，其中a>b>0，a>c，c与b的大小关系不确定．思考4：如何确定双曲线标准方程的类型？[提示]焦点F1，F2的位置是双曲线定位的条件，它决定了双曲线标准方程的类型，若x2的系数为正，则焦点在x轴上，若y2的系数为正，则焦点在y轴上．1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面内到两定点的距离的差等于常数(小于两定点间距离)的点的轨迹是双曲线．()(2)在双曲线标准方程x2a2－y2b2＝1中，a>0，b>0且a≠b．()(3)双曲线标准方程中，a，b的大小关系是a>b．() [答案](1)×(2)×(3)×[提示](1)×差的绝对值是常数，且0＜2a＜|F1F2|才是双曲线．(2)×当a＝b时，方程也表示双曲线，故该说法错误．(3)×在双曲线中a与b的大小关系不确定．2．双曲线x215－y2＝1的焦距为()A ．4B ．8C ．14D ．214B [a 2＝15，b 2＝1，c 2＝a 2＋b 2＝16，∴c ＝4,2c ＝8．]3．若点M 在双曲线x 216－y 24＝1上，双曲线的焦点为F 1，F 2，且|MF 1|＝3|MF 2|，则|MF 2|等于( )A ．2B ．4C ．8D ．12B [双曲线中a 2＝16，a ＝4,2a ＝8，由双曲线定义知||MF 1|－|MF 2||＝8，又|MF 1|＝3|MF 2|，所以3|MF 2|－|MF 2|＝8，解得|MF 2|＝4．]4．点P 到两定点F 1(－2,0)，F 2(2,0)的距离之差的绝对值为2，则点P 的轨迹方程为．x 2－y 23＝1 [因为|F 1F 2|＝4＝2c ，所以c ＝2．又2a ＝2，a ＝1，故b 2＝c 2－a 2＝3，所以点P 的轨迹方程为x 2－y23＝1．]双曲线定义的应用[探究问题]1．双曲线定义中距离的差为什么要加绝对值？[提示] 不加绝对值，图象只为双曲线的一支，设F 1、F 2表示双曲线的左、右焦点，若|MF 1|－|MF 2|＝2a ，则点M 在右支上，若|MF 2|－|MF 1|＝2a ，则点M 在左支上．2．若点M 在双曲线上，一定有||MF 1|－|MF 2||＝2a 吗？[提示] 一定．若||MF 1|－|MF 2||＝2a (0＜2a ＜|F 1F 2|)，则动点M 的轨迹为双曲线，反之一定成立．【例1】已知F 1，F 2是双曲线x 29－y 216＝1的两个焦点，若P 是双曲线左支上的点，且|PF 1|·|PF 2|＝32．试求△F 1PF 2的面积．[思路探究] 根据双曲线的定义及余弦定理求出∠F 1PF 2即可． [解] 由x 29－y 216＝1得a ＝3，b ＝4，∴c ＝5．由双曲线定义及P 是双曲线左支上的点得|PF 1|－|PF 2|＝－6，∴|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|＝36，又∵|PF 1|·|PF 2|＝32，∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝100，由余弦定理得cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝0，∴∠F 1PF 2＝90°，∴S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|＝16．1．(变换条件)若本例中的标准方程不变，点P 是双曲线上的一点，且PF 1→·PF 2→＝0，求△PF 1F 2的面积．[解] 因为PF 1→·PF 2→＝0，所以PF 1→⊥PF 2→，不妨设点P 在右支上，所以有⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1→|2＋|PF 2→|2＝4c 2＝100|PF 1→|－|PF 2→|＝2a ＝6，解得|PF 1→|·|PF 2→|＝32，所以S △PF 1F 2＝12|PF 1→|·|PF 2→|＝16．2．(变换条件)若把本例条件“|PF 1|·|PF 2|＝32”换成“|PF 1|∶|PF 2|＝2∶5”，其他条件不变，试求△F 1PF 2的面积．[解] 由x 29－y 216＝1得a ＝3，b ＝4，∴c ＝5，由|PF 1|∶|PF 2|＝2∶5，可设|PF 1|＝2k ，|PF 2|＝5k ．由|PF 2|－|PF 1|＝6可得k ＝2， ∴|PF 1|＝4，|PF 2|＝10，由余弦定理得cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝16＋100－1002×4×10＝15，∴sin ∠F 1PF 2＝265，S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|·sin ∠F 1PF 2＝12×4×10×265＝86．双曲线上的点P 与其两个焦点F 1，F2连接而成的三角形PF 1F 2称为焦点三角形.令|PF 1|＝r 1，|PF 2|＝r 2，∠F 1PF 2＝θ，因|F 1F 2|＝2c ，所以有(1)定义：|r 1－r 2|＝2a . (2)余弦公式：.(3)面积公式：一般地，在△PF 1F 2中，通过以上三个等式，所求问题就会顺利解决.求双曲线的标准方程【例2】 (1)一个焦点是(0，－6)，经过点A (－5,6)； (2)经过点P 1⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，325和P 2(437，4)两点．[思路探究] 先设出双曲线的标准方程，再构造关于a 、b 的方程组求解． [解] (1)由已知c ＝6，且焦点在y 轴上，另一个焦点为(0,6)，由双曲线定义2a ＝|(－5－0)2＋(6＋6)2－(－5－0)2＋(6－6)2|＝8， ∴a ＝4，b 2＝c 2－a 2＝20．所以所求双曲线的标准方程为y 216－x 220＝1．(2)法一：当双曲线的焦点在x 轴上时，设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)． ∵P 1，P 2在双曲线上，∴⎩⎪⎨⎪⎧(－2)2a 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫3252b2＝1，⎝ ⎛⎭⎪⎫4372a 2－42b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧1a 2＝－1161b 2＝－19，(不合题意舍去)当焦点在y轴上时，设双曲线的方程为y2a2－x2b2＝1(a＞0，b＞0)．将P1，P2的坐标代入上式得⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎪⎫3252a2－(－2)2b2＝1，42a2－⎝⎛⎭⎪⎫4372b2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧1a2＝19，1b2＝116，即a2＝9，b2＝16．∴所求双曲线方程为y29－x216＝1．法二：∵双曲线的位置不确定，∴设双曲线方程为mx2＋ny2＝1(mn＜0)∴⎩⎪⎨⎪⎧4m＋454n＝1，169×7m＋16n＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m＝－116，n＝19，∴所求双曲线的标准方程为y29－x216＝1．1．求双曲线标准方程的两个关注点2．待定系数法求双曲线标准方程的四个步骤(1)定位置：根据条件确定双曲线的焦点在哪条坐标轴上，还是有两种可能．(2)设方程：根据焦点位置，设其方程为x2a2－y2b2＝1或y2a2－x2b2＝1(a＞0，b＞0)，焦点位置不定时，亦可设为mx2＋ny2＝1(mn＜0)．(3)寻关系：根据已知条件列出关于a，b，c(m，n)的方程组．(4)得方程：解方程组，将a，b(m，n)代入所设方程即可得(求)标准方程．提醒：求标准方程时，一定要先区别焦点在哪个轴上，选取合适的形式．[跟进训练]1．根据条件求双曲线的标准方程．(1)a ＝25，经过点A (2，－5)，焦点在y 轴上； (2)与椭圆x 225＋y 25＝1共焦点且过点(32，2)． [解] (1)∵双曲线的焦点在y 轴上，∴可设双曲线的标准方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)， ∵由题设知，a ＝25，且点A (2，－5)在双曲线上， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝25，25a 2－4b 2＝1，∴解得a 2＝20，b 2＝16，∴所求双曲线的标准方程为y 220－x 216＝1．(2)椭圆x 225＋y 25＝1的焦点坐标为(25，0)，(－25，0)．依题意，则所求双曲线焦点在x 轴上，可以设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，则a 2＋b 2＝20．又∵双曲线过点(32，2)，∴18a 2－2b 2＝1． ∴a 2＝20－210，b 2＝210．∴所求双曲线的标准方程为x 220－210－y 2210＝1．与双曲线有关的轨迹问题【例3】在周长为48的Rt △MPN 中，∠MPN ＝90°，tan ∠PMN ＝34，求以M ，N 为焦点，且过点P 的双曲线方程．[解] 因为△MPN 的周长为48，且tan ∠PMN ＝34，故设|PN |＝3k ，|PM |＝4k ．则|MN|＝5k，由3k＋4k＋5k＝48得k＝4．所以|PN|＝12，|PM|＝16，|MN|＝20．以MN所在的直线为x轴，以MN的中点为原点建立直角坐标系，如图所示．设所求双曲线方程为x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)由|PM|－|PN|＝4得2a＝4，∴a＝2，a2＝4，由|MN|＝20得2c＝20，c＝10，所以b2＝c2－a2＝96．故所求双曲线方程为x24－y296＝1(x≠±2)．求解与双曲线有关的点的轨迹问题，常见的方法有两种：(1)列出等量关系，化简得到方程；(2)寻找几何关系，双曲线的定义，得出对应的方程．求解双曲线的轨迹问题时要特别注意：(1)双曲线的焦点所在的坐标轴；(2)检验所求的轨迹对应的是双曲线的一支还是两支；(3)求出方程后要注意满足方程的解的坐标的点，是否都在所求曲线上．[跟进训练]2．如图所示，已知定圆F1：(x＋5)2＋y2＝1，定圆F2：(x－5)2＋y2＝42，动圆M与定圆F1，F2都外切，求动圆圆心M的轨迹方程．[解]圆F1：(x＋5)2＋y2＝1，圆心F1(－5,0)，半径r1＝1；圆F2：(x－5)2＋y2＝42，圆心F2(5,0)，半径r2＝4．设动圆M的半径为R，则有|MF1|＝R＋1，|MF2|＝R＋4，∴|MF2|－|MF1|＝3＜10＝|F1F2|．∴点M的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线的左支，且a＝32，c＝5，于是b2＝c2－a2＝914．∴动圆圆心M的轨迹方程为x294－y2914＝1⎝⎛⎭⎪⎫x≤－32．1．双曲线定义中||PF 1|－|PF 2||＝2a (2a ＜|F 1F 2|)不要漏了绝对值符号，当2a ＝|F 1F 2|时表示两条射线．2．在双曲线的标准方程中，a ＞b 不一定成立．要注意与椭圆中a ，b ，c 的区别．在椭圆中a 2＝b 2＋c 2，在双曲线中c 2＝a 2＋b 2．3．用待定系数法求双曲线的标准方程时，要先判断焦点所在的位置，设出标准方程后，由条件列出a ，b ，c 的方程组．如果焦点不确定要分类讨论，采用待定系数法求方程或用形如mx 2＋ny 2＝1(mn ＜0)的形式求解．1．“ab <0”是“方程ax 2＋by 2＝c 表示双曲线”的( ) A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件A [当方程表示双曲线时，一定有ab <0，反之，当ab <0时，若c ＝0，则方程不表示双曲线．]2．椭圆x 24＋y 2a 2＝1与双曲线x 2a －y 22＝1有相同的焦点，则a 的值为( ) A ．12 B ．1或－2 C ．1或12D ．1D [由于a ＞0,0＜a 2＜4，且4－a 2＝a ＋2，解得a ＝1．]3．若方程x 2m －1＋y 2m 2－4＝3表示焦点在y 轴上的双曲线，则m 的取值范围是( )A ．(1,2)B ．(2，＋∞)C ．(－∞，－2)D ．(－2,2)C [由题意，方程可化为y 2m 2－4－x 21－m ＝3，∴⎩⎨⎧m 2－4＞0，1－m ＞0，解得：m ＜－2．] 4．已知双曲线的两个焦点分别为F 1(－5，0)，F 2(5，0)，P 是双曲线上的一点且PF 1⊥PF 2，|PF 1|·|PF 2|＝2，则双曲线的标准方程为．x 24－y 2＝1 [设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ．(m ＞0，n ＞0)，在Rt △PF 1F 2中，m 2＋n 2＝(2c )2＝20，m ·n ＝2，由双曲线的定义知|m －n |2＝m 2＋n 2－2mn ＝16＝4a 2，所以a 2＝4，b 2＝c 2－a 2＝1，∴双曲线的标准方程为x 24－y 2＝1．]5．已知动圆M 与圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝9外切且与圆C 2：(x －3)2＋y 2＝1内切，求动圆圆心M 的轨迹方程．[解] 设动圆M 的半径为r ．因为动圆M 与圆C 1外切且与圆C 2内切，所以|MC 1|＝r ＋3，|MC 2|＝r －1．相减得|MC 1|－|MC 2|＝4．又因为C 1(－3,0)，C 2(3,0)，并且|C 1C 2|＝6＞4，所以点M 的轨迹是以C 1，C 2为焦点的双曲线的右支，且有a ＝2，c ＝3．所以b 2＝5，所求的轨迹方程为x 24－y 25＝1(x ≥2)．。

第2章 2.6.2 双曲线的几何性质-【新教材】人教B版(2019)高中数学选择性必修第一册讲义

2.6.2双曲线的几何性质学习目标核心素养1．了解双曲线的简单几何性质(范围、对称性、顶点、实轴长和虚轴长等)．2．理解离心率的定义、取值范围和渐近线方程．(重点)3．能用双曲线的简单几何性质解决一些简单问题．(难点)1．通过对双曲线几何性质的学习，培养直观想象素养．2．借助于几何性质的应用，提升逻辑推理，数学运算素养．我们知道，椭圆是一条封闭的曲线，而双曲线是两支“开放式”的曲线，椭圆既是中心对称图形，又是轴对称图形，它具有四个顶点，离心率的范围是(0,1)，它的大小决定着椭圆的扁圆程度；双曲线和椭圆有着相似之处，那双曲线又有怎样的性质呢？让我们一起对双曲线的性质进行探究吧！1．双曲线的几何性质标准方程x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)y2a2－x2b2＝1(a＞0，b＞0)性质图形焦点(－c,0)，(c,0)(0，－c)，(0，c)焦距2c范围x≤－a或x≥a，y∈R y≤－a或y≥a，x∈R对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点A1(－a,0)，A2(a,0)A1(0，－a)，A2(0，a)轴实轴：线段A1A2，长：2a；虚轴：线段B1B2，长：2b；半实轴长：a ，半虚轴长：b离心率 e ＝ca ∈(1，＋∞)渐近线y ＝±b a xy ＝±a b x思考1：能否用a ，b 表示双曲线的离心率？ [提示] 能. e ＝ca ＝a 2＋b 2a ＝1＋b 2a 2．思考2：离心率对双曲线开口大小有影响吗？满足什么对应关系？ [提示] 有影响，因为e ＝ca ＝a 2＋b 2a ＝1＋b 2a 2，故当ba 的值越大，渐近线y ＝ba x 的斜率越大，双曲线的开口越大，e 也越大，所以e 反映了双曲线开口的大小，即双曲线的离心率越大，它的开口就越大．2．等轴双曲线实轴长和虚轴长相等的双曲线叫等轴双曲线，它的渐近线是y ＝±x ，离心率e ＝2．1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)等轴双曲线的离心率为2．( )(2)双曲线y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线方程为y ＝±b a x ．( )(3)离心率越大，双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线的斜率绝对值越大．( )[答案] (1)√ (2)× (3)√[提示] (1)√ 因为a ＝b ，所以c ＝2a ，所以e ＝ca ＝2． (2)× 由y 2a 2－x 2b 2＝1，得y ＝±a b x ，所以渐近线方程为y ＝±ab x ．(3)√ 由b a ＝c 2－a 2a ＝e 2－1(e ＞1)，所以e 越大，渐近线y ＝±ba x 斜率的绝对值越大．2．若0<k <a ，则双曲线x 2a 2－k 2－y 2b 2＋k 2＝1与x 2a 2－y 2b 2＝1有( )A ．相同的实轴B ．相同的虚轴C ．相同的焦点D ．相同的渐近线C [∵0＜k ＜a ，∴a 2－k 2＞0． ∴c 2＝(a 2－k 2)＋(b 2＋k 2)＝a 2＋b 2．] 3．x 2－y 24＝1的渐近线方程为( )A ．y ＝±2xB ．y ＝±12x C ．y ＝±4xD ．y ＝±14xA [双曲线x 2－y 24＝1焦点在x 轴上且a 2＝1，b 2＝4， ∴a ＝1，b ＝2，y ＝±ba x ＝±2x ．]4．已知双曲线的焦点为(－4,0)，(4,0)，离心率为2，则双曲线的标准方程为．x 24－y 212＝1 [∵e ＝c a ＝2，c ＝4，∴a ＝2，∴b 2＝c 2－a 2＝12，且焦点在x 轴上，故标准方程为x 24－y 212＝1．]5．已知双曲线的渐近线方程是y ＝±4x ，则其离心率为． 17或174[若双曲线焦点在x 轴上，依题意得，b a ＝4， ∴b 2a 2＝16，即c 2－a 2a 2＝16，∴e 2＝17，e ＝17．若双曲线焦点在y 轴上，依题意得，ab ＝4． ∴b a ＝14，b 2a 2＝116，即c 2－a 2a 2＝116． ∴e 2＝1716，故e ＝174，即双曲线的离心率是17或174．]由双曲线的标准方程求其简单的几何性质22长、离心率和渐近线方程．[思路探究] 要将双曲线方程化成标准方程，然后由各个所求量的定义作答．[解] 将9y 2－4x 2＝－36变形为x 29－y 24＝1，即x 232－y 222＝1，∴a ＝3，b ＝2，c ＝13，因此顶点为A 1(－3,0)，A 2(3,0)，焦点坐标为F 1(－13，0)，F 2(13，0)，实轴长是2a ＝6，虚轴长是2b ＝4，离心率e ＝c a ＝133，渐近线方程y ＝±b a x ＝±23x ．由双曲线的方程研究几何性质的解题步骤(1)把双曲线方程化为标准形式是解决本题的关键. (2)由标准方程确定焦点位置，确定a 、b 的值.(3)由c 2＝a 2＋b 2求出c 值，从而写出双曲线的几何性质.[跟进训练]1．求双曲线x 23－y 24＝1的实轴长、虚轴长、顶点坐标、焦点坐标、离心率和渐近线方程．[解] 由题意知a 2＝3，b 2＝4，所以c 2＝a 2＋b 2＝3＋4＝7，解得a ＝3，b ＝2，c ＝7．因此，双曲线的实轴长2a ＝23，虚轴长2b ＝4．顶点坐标为(－3，0)，(3，0)，焦点坐标为(－7，0)，(7，0)．离心率e ＝c a ＝73＝213，由于该双曲线的焦点在x 轴上，所以渐近线方程为y ＝±b a x ，即y ＝±233x ．由双曲线的几何性质确定标准方程(1)过点P (3，－2)，离心率e ＝52；(2)与双曲线x 29－y 216＝1有共同的渐近线，且过点(－3，23)．[思路探究] (1)(2)中焦点位置不明确，应先讨论焦点位置；再根据已知条件求解，对于(2)也可以根据渐近线方程设双曲线的方程求解．[解] (1)依题意，双曲线的焦点可能在x 轴上，也可能在y 轴上，分别讨论如下：①若双曲线的焦点在x 轴上，设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)．由e ＝52，得c 2a 2＝54．① 由点P (3，－2)在双曲线上，得9a 2－2b 2＝1． ②又a 2＋b 2＝c 2，结合①②，得a 2＝1，b 2＝14． ∴双曲线的方程为x 2－y 214＝1．②若双曲线的焦点在y 轴上，设双曲线的方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)．同理有c 2a 2＝54，2a 2－9b 2＝1，a 2＋b 2＝c 2，解得b 2＝－172(不合题意，舍去)．故双曲线的焦点只能在x 轴上， ∴所求双曲线的方程为x 2－y 214＝1．(2)法一：双曲线x 29－y 216＝1的渐近线方程为y ＝±43x ． ①当所求双曲线的焦点在x 轴上时，设标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ b a ＝43，9a 2－12b 2＝1，解得a 2＝94，b 2＝4．∴双曲线的方程为x 294－y 24＝1．②当所求双曲线的焦点在y 轴上时，设标准方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧a b ＝43，12a 2－9b 2＝1，此方程组无解，∴所求双曲线的方程为x 294－y 24＝1．法二：∵所求双曲线与双曲线x 29－y 216＝1有共同的渐近线． ∴设所求双曲线的方程为x 29－y 216＝λ(λ≠0)．将点(－3,23)代入，得99－1216＝λ，即λ＝14，∴双曲线的方程为x29－y216＝14，即为x294－y24＝1．求双曲线的标准方程的方法与技巧(1)根据双曲线的某些几何性质求双曲线方程，一般用待定系数法转化为解方程(组)，但要注意焦点的位置，从而正确选择方程的形式．(2)利用渐近线与双曲线的位置关系，设有公共渐近线的双曲线方程x2a2－y2b2＝λ(λ≠0)，这样可避免分类讨论，从而减少运算量，提高解题速度与准确性．拓展延伸：巧设双曲线的六种方法与技巧(1)焦点在x轴上的双曲线的标准方程可设为x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)．(2)焦点在y轴上的双曲线的标准方程可设为y2a2－x2b2＝1(a>0，b>0)．(3)与双曲线x2a2－y2b2＝1共焦点的双曲线方程可设为x2a2－λ－y2b2＋λ＝1(λ≠0，－b2＜λ＜a2)．(4)与双曲线x2a2－y2b2＝1具有相同渐近线的双曲线方程可设为x2a2－y2b2＝λ(λ≠0)．(5)渐近线为y＝kx的双曲线方程可设为k2x2－y2＝λ(λ≠0)．(6)渐近线为ax±by＝0的双曲线方程可设为a2x2－b2y2＝λ(λ≠0)．[跟进训练]2．求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)一个焦点为(0,13)，且离心率为135；(2)渐近线方程为y＝±12x，且经过点A(2，－3)．[解](1)依题意可知，双曲线的焦点在y轴上，且c＝13，又ca＝135，∴a＝5，b2＝c2－a2＝144，故其标准方程为y 225－x 2144＝1． (2)∵双曲线的渐近线方程为y ＝±12x ，若焦点在x 轴上，设所求双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，则ba ＝12．① ∵A (2，－3)在双曲线上，∴4a 2－9b 2＝1． ②由①②联立，无解．若焦点在y 轴上，设所求双曲线的标准方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)，则a b ＝12．③ ∵A (2，－3)在双曲线上，∴9a 2－4b 2＝1． ④ 由③④联立，解得a 2＝8，b 2＝32． ∴所求双曲线的标准方程为y 28－x 232＝1．与双曲线有关的离心率问题[1．求离心率的突破点是什么？[提示] 通过已知条件结合双曲线的几何性质建立等式关系． 2．如何求离心率的取值范围？[提示] 利用定义结合已知条件建立不等关系求解．【例3】已知A 、B 为双曲线E 的左、右顶点，点M 在E 上，△ABM 为等腰三角形，且顶角为120°，求E 的离心率．[解] 设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，如图所示，|AB|＝|BM|，∠ABM＝120°，过点M作MN⊥x轴，垂足为N，在Rt△BMN 中，|BN|＝a，|MN|＝3a，故点M的坐标为M(2a，3a)，代入双曲线方程得a2＝b2，所以e＝2．(变换条件)设F1，F2是双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的两个焦点，若PF1⊥PF2且∠PF1F2＝30°，求离心率．[解]在直角三角形PF1F2中，由题设可知：|F1F2|＝2c，|PF2|＝c，|PF1|＝3c，又|PF1|－|PF2|＝2a，所以2a＝3c－c，e＝ca＝23－1＝3＋1．求离心率的方法与技巧(1)求双曲线离心率的常见方法：一是依据条件求出a，c，再计算e＝ca；二是依据条件建立参数a，b，c的关系式，一种方法是消去b转化成离心率e的方程求解，另一种方法是消去c转化成含ba的方程，求出ba后利用e＝1＋b2a2求离心率．(2)求离心率的范围一般是根据条件建立a，b，c的不等式，通过解不等式得ca或ba的范围，再求得离心率的范围．与渐进线有关的问题【例4】如图，已知F1，F2为双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的焦点，过F2作垂直于x轴的直线交双曲线于点P，且∠PF1F2＝30°，求双曲线的渐近线方程．[思路探究]根据Rt△PF2F1中的边角关系及双曲线的定义可得a，b的关系，进而可求渐近线方程．[解]设F2(c,0)，(c＞0)，P(c，y0)，则c2a2－y20b2＝1，解得y0＝±b2a．∴|PF2|＝b2 a．在Rt△PF2F1中，∠PF1F2＝30°，则|PF1|＝2|PF2|．①由双曲线的定义，得|PF1|－|PF2|＝2a．②由①②，得|PF2|＝2a．∵|PF2|＝b2a，∴2a＝b2a，即b2＝2a2．∴ba＝2．∴渐近线方程为y＝±2x．1．双曲线x2a2－y2b2＝1的渐近线为y＝±ba x，双曲线y2a2－x2b2＝1的渐近线为y＝±abx，两者容易记混，可将双曲线方程中的“1”换成“0”，然后因式分解即得渐近线方程．2．若已知渐近线方程为mx±ny＝0，求双曲线方程，双曲线的焦点可能在x 轴上，也可能在y轴上，可用下面的方法来解决．方法一：分两种情况设出方程进行讨论．方法二：依据渐近线方程，设出双曲线方程m2x2－n2y2＝λ(λ≠0)，求出λ即可．显然方法二较好，避免了讨论．3．有共同渐近线的双曲线的方程．与双曲线x2a2－y2b2＝1有共同渐近线的双曲线方程可设为x2a2－y2b2＝λ(λ≠0)．若λ＞0，则实轴在x轴上；若λ＜0，则实轴在y轴上，再依据题设条件可确定λ．[跟进训练]3．双曲线C的对称轴与坐标轴重合，两个焦点分别为F1，F2，虚轴的一个端点为A，若△AF1F2是顶角为120°的等腰三角形．求双曲线C的渐近线方程．[解]双曲线C的对称轴与坐标轴重合，两个焦点分别为F1，F2，虚轴的一个端点为A，若△AF1F2是顶点为120°的等腰三角形．可得c＝3b，所以c2＝3b2，即a2＋b2＝3b2，a2＝2b2，解得ba＝22，或ab＝2．所以双曲线的渐近线方程为：y＝±2x或y＝±22x．1．渐近线是双曲线特有的性质．两方程联系密切，把双曲线的标准方程x2 a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)右边的常数1换为0，就是渐近线方程．反之由渐近线方程ax±by ＝0变为a2x2－b2y2＝λ，再结合其他条件求得λ就可得双曲线方程．2．准确画出几何图形是解决解析几何问题的第一突破口．对圆锥曲线来说，渐近线是双曲线特有的性质，利用双曲线的渐近线来画双曲线特别方便，而且较为精确，只要作出双曲线的两个顶点和两条渐近线，就能画出它的近似图形．1．中心在原点，实轴长为10，虚轴长为6的双曲线的标准方程是( )A ．x 225－y 29＝1B ．x 225－y 29＝1或y 225－x 29＝1C ．x 2100－y 236＝1 D ．x 2100－y 236或y 2100－x 236＝1B [实轴长为10，虚轴长为6，所以a ＝5，b ＝3．当焦点在x 轴上时，方程为x 225－y 29＝1；当焦点在y 轴上时，方程为y 225－x 29＝1．] 2．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线方程是y ＝±33x ，则双曲线的离心率为( )A ．32B ．233C ．74D ．55B [由双曲线的渐近线方程是y ＝±33x 知b a ＝33，所以b ＝33a ，所以c 2＝a 2＋b 2＝a 2＋13a 2＝43a 2，所以e 2＝c 2a 2＝43，所以e ＝233．故选B ．] 3．已知双曲线的渐近线方程为y ＝±x 2，虚轴长为4，则该双曲线的标准方程是．x 216－y 24＝1或y 2－x 24＝1 [若双曲线的焦点在x 轴上，则b a ＝12，2b ＝4，解得b ＝2，a ＝4，所以此时双曲线的标准方程为x 216－y 24＝1；若双曲线的焦点在y 轴上，则a b ＝12，2b ＝4，解得b ＝2，a ＝1，所以此时双曲线的标准方程为y 2－x 24＝1．综上可知：该双曲线的标准方程是x 216－y 24＝1或y 2－x 24＝1．]点到渐近线的距离为1，则双曲线方程为．x 24－34y 2＝1 [双曲线右顶点为(a,0)，一条渐近线x －3y ＝0，∴1＝a 1＋3＝a 2．∴a ＝2，又b a ＝33，∴b ＝233，∴双曲线方程为x 24－34y 2＝1．]5．中心在原点，焦点在x 轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点F 1，F 2，且|F 1F 2|＝213，椭圆的长半轴与双曲线半实轴之差为4，离心率之比为3∶7．求这两条曲线的方程．[解] 由已知：c ＝13，设椭圆长、短半轴长分别为a ，b ，双曲线半实轴、半虚轴长分别为m ，n ，则⎩⎨⎧ a －m ＝4，7·13a ＝3·13m ，解得a ＝7，m ＝3．所以b ＝6，n ＝2．所以椭圆方程为x 249＋y 236＝1，双曲线方程为x 29－y 24＝1．。

02 教学设计_双曲线的几何性质(第2课时_)(2)

2.6.2 双曲线的几何性质(2)本节课选自《2019人教B 版高中数学选择性必修第一册》第二章《平面解析几何》，本节课主要学习双曲线的几何性质学生在已掌握双曲线的定义及标准方程之后，反过来利用双曲线的标准方程研究其几何性质。

它是教学大纲要求学生必须掌握的内容，也是高考的一个考点，是深入研究双曲线，灵活运用双曲线的定义、方程、性质解题的基础，更能使学生理解、体会解析几何这门学科的研究方法，培养学生的解析几何观念，提高学生的数学素质。

坐标法的教学贯穿了整个“圆锥曲线方程”一章，是学生应重点掌握的基本数学运动变化和对立统一的思想观点在这节知识中得到了突出体现，我们必须充分重点：双曲线的渐近线、离心率等几何性质；难点：双曲线的离心率的意义及算法多媒体x≤-a 或x≥a y ∈R y≤-a 或y≥a x ∈Rc 2=a 2+b 2(c>a>0,c>b>0)二、典例解析例1双曲线方程为x 2a2-y2=1,其中a>0,双曲线的渐近线与圆(x-2)2+y2=1相切,则双曲线的离心率为()A.2√33B.√3 C.√2 D.√32解析:根据题意,可以求得双曲线的渐近线的方程为x±ay=0,而圆(x-2)2+y2=1的圆心为(2,0),半径为1,结合题意有|2±0|√1+a2=1,结合a>0的条件,求得a=√3,所以c=√3+1=2,所以有e=2√3=2√33,故选A.答案:A例2 已知F1,F2是双曲线x 2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,过F1的直线l与双曲线的左、右两支分别交于点B,A,若△ABF2为等边三角形,则双曲线的离心率为()A.√7B.4C.2√33D.√3解析:因为△ABF2为等边三角形,所以|AB|=|BF2|=|AF2|,因为A为双曲线右支上一点,所以|F1A|-|F2A|=|F1A|-|AB|=|F1B|=2a,9b 2－4a 24，得b a ＝43(负值舍去)． ∴该双曲线的离心率e ＝c a ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫432＝53.] 5.过双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交C 于点P .若点P 的横坐标为2a ，则C 的离心率为________．2＋3 [如图，F 1，F 2为双曲线C 的左，右焦点，将点P 的横坐标2a代入x 2a 2－y 2b 2＝1中，得y 2＝3b 2，不妨令点P 的坐标为(2a ，－3b )，此时kPF 2＝3b c －2a ＝b a，得到c ＝(2＋3)a ，即双曲线C 的离心率e ＝ca＝2＋ 3.6.设F 为双曲线C :x 2a 2−y 2b 2=1(a>0,b>0)的右焦点,O 为坐标原点,以OF 为直径的圆与圆x 2+y 2=a 2交于P ,Q 两点.若|PQ|=|OF|,则C 的离心率为( ) A.√2B.√3C.2D. √5解析:如图,设PQ 与x 轴交于点A ,由对称性可知PQ ⊥x 轴. ∵|PQ|=|OF|=c ,∴|P A|=c2.这节课内容是通过双曲线方程推导、研究双曲线的性质，本节内容类似于“椭圆的简单的几何性质”，教学中可以与其类比讲解，让学生自己进行探究，得到类似的结论。

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高中数学目录数学必修1第1章集合1.1 集合的含义及其表示1.2 子集、全集、补集1.3 交集、并集第2章函数概念与基本初等函数Ⅰ2.1 函数的概念和图象函数的概念和图象函数的表示方法函数的简单性质映射的概念2.2 指数函数分数指数幂指数函数2.3 对数函数对数对数函数2.4 幂函数2.5 函数与方程二次函数与一元二次方程用二分法求方程的近似解2.6 函数模型及其应用数学必修2第3章立体几何初步3.1 空间几何体棱柱、棱锥和棱台圆柱、圆锥、圆台和球中心投影和平行投影直观图画法空间图形的展开图柱、锥、台、球的体积3.2 点、线、面之间的位置关系平面的基本性质空间两条直线的位置关系直线与平面的位置关系平面与平面的位置关系第4章平面解析几何初步4.1 直线与方程直线的斜率直线的方程两条直线的平行与垂直两条直线的交点平面上两点间的距离点到直线的距离4.2 圆与方程圆的方程直线与圆的位置关系圆与圆的位置关系4.3 空间直角坐标系空间直角坐标系空间两点间的距离数学必修3第5章算法初步5.1 算法的意义5.2 流程图5.3 基本算法语句5.4 算法案例第6章统计6.1 抽样方法6.2 总体分布的估计6.3 总体特征数的估计6.4 线性回归方程第7章概率7.1随机事件及其概率7.2 古典概型7.3 几何概型7.4 互斥事件及其发生的概率数学必修4第8章三角函数8.1 任意角、弧度8.2 任意角的三角函数8.3 三角函数的图象和性质第9章平面向量9.1 向量的概念及表示9.2 向量的线性运算9.3 向量的坐标表示9.4 向量的数量积9.5 向量的应用第10章三角恒等变换10.1 两角和与差的三角函数10.2 二倍角的三角函数10.3 几个三角恒等式数学必修5第11章解三角形11．1正弦定理11．2余弦定理11．3正弦定理、余弦定理的应用第12章数列12．1等差数列12．2等比数列12．3数列的进一步认识第13章不等式13．1不等关系13．2一元二次不等式13．3二元一次不等式组与简单的线性规划问题13．4基本不等式选修 1-1第1章常用逻辑用语1．1命题及其关系1．2简单的逻辑联结词1．3全称量词与存在量词第2章圆锥曲线与方程2．1圆锥曲线2．2椭圆2．3双曲线2．4抛物线2．5圆锥曲线与方程第3章导数及其应用3．1导数的概念3．2导数的运算3．3导数在研究函数中的应用3．4导数在实际生活中的应用选修 1-2第1章统计案例1．1假设检验1．2独立性检验1．3线性回归分析1．4聚类分析第2章推理与证明2．1合情推理与演绎推理2．2直接证明与间接证明2．3公理化思想第3章数系的扩充与复数的引入3．1数系的扩充3．2复数的四则运算3．3复数的几何意义第4章框图4．1流程图5．2结构图选修 2-1第1章常用逻辑用语1．1命题及其关系1．2简单的逻辑连接词1．3全称量词与存在量词第2章圆锥曲线与方程2．1圆锥曲线2．2椭圆2．3双曲线2．4抛物线2．5圆锥曲线的统一定义2．6曲线与方程第3章空间向量与立体几何3．1空间向量及其运算3．2空间向量的应用选修 2-2第1章导数及其应用1．1导数的概念1．2导数的运算1．3导数在研究函数中的应用1．4导数在实际生活中的应用1．5定积分第2章推理与证明2．1合情推理与演绎推理2．2直接证明与间接证明2．3数学归纳法2．4公理化思想第3章数系的扩充与复数的引入3．1数系的扩充3．2复数的四则运算3．3复数的几何意义选修 2-3第1章计数原理1．1两个基本原理1．2排列1．3组合1．4计数应用题1．5二项式定理第2章概率2．1随机变量及其概率分布2．2超几何分布2．3独立性2．4二项分布2．5离散型随机变量的均值与方差2．6正态分布第3章统计案例3．1假设检验3．2独立性检验3．3线性回归分析4．4聚类分析。

第二章曲线的表示

第二章曲线的表示自由曲线是CAGD 最基础的内容，自由曲面能够以为是自由曲线在三维空间的拓展。

本章第一介绍了关于曲线的微分几何基础知识，要紧包括曲线的参数矢量方程、自然参数、曲率等。

然后依照自由曲线造型的进展历程，讨论了Ferguson 曲线、Bézier 曲线、B 样条曲线和NURBS 曲线。

前三种曲线是多项式曲线，它们之间存在着本质的联系，在必然条件下能够彼此转化。

插值是CAD 软件经常使用的一种造型方式。

Ferguson 曲线确实是依照插值条件直接构造的曲线，本章详细讨论了其构造方式。

关于B 样条曲线，本章也详细论述了其插值算法。

NURBS 曲线是非多项式曲线，其特点是对B 样条曲线操纵顶引入了权因子，使得NURBS 方式能够精准表示圆锥曲线。

在权因子均为1的情形下，NURBS 曲线确实是B 样条曲线。

在关于图形数据互换的标准(例如IGES 标准和STEP 标准)中，NURBS 方式是概念自由曲曲线曲面的重要方式。

曲线的微分几何基础 2.1.1 曲线的参数矢量方程图点、坐标和矢量图矢量运动形成曲线如图1所示，设P 是三维空间中的一点。

在成立了笛卡尔坐标系以后，点P 能够用坐标(x,y,z)唯一表示。

另一方面，矢量OP 也能够唯一表示点P 在空间中的位置。

在以点O 为原点的笛卡尔坐标下，OP 能够用(x,y,z)唯一表示。

因•xyzOP),,(z y x •此，在带有坐标系的空间中，点、矢量和数组能够以为是等价的。

n 维空间中的点和向量用n 维数组表示。

为了便于计算和分析，经常使用矢量和数组表示空间中的点,称r =OP 是点P 的位置矢量。

设矢量r 是参数t 的函数，即r =)(t r =[)(t x ,)(t y ,)(t z ]如下图，若是r 是极点P 的位置矢量，那么点P 的运动轨迹是空间中的曲线。

方程成为该曲线的矢量参数方程。

以图中的圆柱螺线为例说明矢量参数的构造。

第二章(2)双曲线知识梳理

［变式训练］
6．如图所示，某农场在M处有一堆肥料沿道路MA或MB送到大田ABCD中去，已知|MA|=6，|MB|=8，|BC|=3，，能否在大田中确定一条界线，使位于界线一侧的点沿MA送肥料较近，而另一侧沿MB送肥料较近？若能，请建立适当的直角坐标系，求出这条界线的方程.
[能力提升]
1．若，则“ ”是“方程表示双曲线”的( )
（2）若直线与曲线有两个公共点，求的取值范围；
（3）若，为曲线上的点，求的最小值.
例3．已知双曲线C的中心在原点，焦点在轴上，点与其渐近线的距离为，过点P作斜率为的直线交双曲线于两点，交轴于M，且是与的等比中项.
（1）求双曲线的渐近线方程；
（2）求双曲线的方程.
［剖析］(1)由点与其渐近线的距离为，借助于点到直线的距离公式可求得其渐近线方程；(2)由渐近线方程，可设双曲线方程，再借助于题条件，不难得到双曲线方程。
4.在运用双曲线的第二定义时，一定要注意是动点P到焦点的距离与到相应准线距离之比为常数e.若使用的焦点与准线不是对应的，则上述之比就不再是常数了.
5.给定了双曲线方程，就可求得确定的两条渐近线.但已知渐近线方程，只是限制了双曲线张口的大小，不能直接写出双曲线方程.但若已知渐近线方程是 ± =0，则可把双曲线方程表示为－ = （ ≠0），再根据已知条件确定的值，求出双曲线的方程.
［解］解：（I）以AB中点为坐标原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，则
则
即A、C两个救援中心的距离为
（II），所以P在BC线段的垂直平分线上
又，所以P在以A、B为焦点的双曲线的左支上，且
∴双曲线方程为
BC的垂直平分线的方程为联立两方程解得：

§2.6.2 求曲线的方程

三.补充练习
8.动圆与圆内切,且过点 ,则圆心在
曲线上运动,并求出其方程.
9.已知的底边 ,顶点为动点,且 ,则点在曲线上运动,写出其方程.
10.设是双曲线的焦点, 是双曲线上的任意一点从引得平分线的垂直,垂足为 ,求到原点的距离.
11.从双曲线上点引直线的垂线,垂足为 ,求线段的中点的轨迹方程.
【例3】已知两个定圆 ,它们的半径分别是 ,且 ,动圆与圆内切,与圆外切,求动圆圆心的轨迹方程.
【练习3】若将例3中的”内切”改为”外切”,则动圆圆心的轨迹方程又是什么?
【练习4】求与圆外切,又与轴相切的圆的圆心的轨迹方程.
二次总结栏
五.本节内容个人掌握情况反思,疑问
编号:X2-1013
(4)对任意实数 ,必存在实数 ,使得直线与圆相切;
二.今日作业
4.平面直角坐标系中,若定点与动点满足 ,则点的轨迹方程为.
5.点满足 ,则点的轨迹为.
6.已知定点 ,动点与两点的连线的斜率分别为 ,且 ,求点的轨迹方程.
纠错、总结栏
7.求到两条互相垂直的直线的距离之积等于常数的点的轨迹方程.
§2.6.2求曲线的方程
一.滚动复习
1.经过圆圆心 ,且与直线垂直的直线的方程为.
2.已知满足方程 ,则的最大值为.
3.已知圆 ,直线 ,下列四个命题中正确的有.
(1)对任意实数与 ,直线与圆相切;
(2)对任意实数与 ,直线与圆有公共点;
(3)对任意实数 ,必存在实数 ,使得直线与圆相切;编号:X2-10来自3§2.6.2求曲线的方程
学习
目标
(1)了解解析几何的基本思想;

曲线的标准方程

曲线的标准方程
曲线的标准方程通常依赖于具体的曲线类型。

对于直线，其标准方程为y = mx + b，其中m是斜率，b是截距，这个方程可以告诉我们直线的倾斜程
度和与y轴的交点位置。

对于圆，其标准方程为(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2，其中(h, k)是圆心坐标，r是半径，这个方程可以展示圆心位置和半径大小，从而帮助我们绘制出圆的图像。

对于更复杂的曲线，如椭圆和双曲线等，其标准方程会有所不同。

这些方程通常由微分几何学中的概念推导而来，如曲率、法线等。

以上内容仅供参考，建议查阅数学书籍或咨询数学专业人士获取更准确的信息。

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2.6.2求曲线的方程
【学习要求】
1．了解求曲线方程的步骤．
2．会求简单曲线的方程．
【学法指导】
通过建立直角坐标系得到曲线的方程，从曲线方程研究曲线的性质和位置关系，进一步感受坐标法的作用和数形结合思想.
【知识要点】
求曲线方程的一般步骤
(1)建立适当的坐标系，用有序实数对(x，y)表示曲线上任意一点M的坐标；
(2)写出适合条件p的点M的集合P＝；
(3)用坐标表示条件p(M)，列出方程；
(4)化方程为最简形式；
(5)说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上.
探究点一求曲线方程的一般步骤
问题1 设A、B两点的坐标分别是(－1，－1)，(3,7)，如何求线段AB的垂直平分线的方程？
问题2 你能根据以上的求解过程归纳出求曲线方程的一般步骤吗？
问题3 求曲线方程要“建立适当的坐标系”，这句话怎样理解．
例1 求平面内到两个定点A，B的距离之比等于2的动点M的轨迹方程．
小结
跟踪训练1 在正三角形ABC内有一动点P，已知P到三顶点的距离分别为PA、PB、PC，且满足PA2＝PB2＋PC2，求P点的轨迹方程．
探究点二求曲线方程的常用方法
问题求曲线方程时，有时点的条件比较明显，也有些点的条件要通过变形或转化才能看清，有些点的运动依赖于另外的动点，请你归纳一下求曲线方程的常用方法？
例2 已知圆C：x2＋(y－3)2＝9，过原点作圆C的弦OP，求OP的中点Q的轨迹方程．
小结
跟踪训练2 长为4的线段的两个端点分别在x轴、y轴上滑动，求此线段的中点的轨迹方程．
跟踪训练3 如图，过点P(2,4)作两条互相垂直的直线l1、l2，若l1交x轴于A点，l2交y 轴于B点，求线段AB的中点M的轨迹方程．
【课堂反馈】
1．在△ABC 中，若B 、C 的坐标分别是(－2,0)、(2,0)，BC 边上的中线的长度为5，则A 点的轨迹方程是_________________．
2．平面内有两定点A ，B ，且AB ＝4，动点P 满足|PA →＋PB →
|＝4，则点P 的轨迹是________．
3．一动点C 在曲线x 2＋y 2
＝1上移动时，它和定点B (3,0)连线的中点P 的轨迹方程是________________．
4．设A 为圆(x －1)2＋y 2＝1上的动点，PA 是圆的切线，且PA ＝1，则动点P 的轨迹方程是
______________．
【课后作业】
一、基础过关
1．若点M 到两坐标轴的距离的积为2 013，则点M 的轨迹方程是__________．
2．已知A (2,5)、B (3，－1)，则线段AB 的方程是____________________．
3．直角坐标平面xOy 中，若定点A (1,2)与动点P (x ，y )满足OP →·OA →＝4，则点P 的轨迹方程
是____________．
4．已知M (－2,0)，N (2,0)，则以MN 为斜边的直角三角形的直角顶点P 的轨迹方程是
________________________________________________________________________．
5．与点A (－1,0)和点B (1,0)的连线的斜率之积为－1的动点P 的轨迹方程是________．
6．已知两定点A (－2,0)，B (1,0)，如果动点P 满足P A ＝2PB ，则点P 的轨迹所包围的图形
的面积等于________．
7．过点P (1,1)且互相垂直的两条直线l 1与l 2分别与x 、y 轴交于A 、B 两点，则AB 中点M
的轨迹方程为____________．
二、能力提升
8．已知A (－1,0)，B (2,4)，△ABC 的面积为10，则动点C 的轨迹方程是_________．
9．若动点P 在y ＝2x 2＋1上移动，则点P 与点Q (0，－1)连线的中点的轨迹方程是
__________．
10．等腰三角形ABC 中，若一腰的两个端点分别为A (4，2)，B (－2，0)，A 为顶点，求另
一腰的一个端点C 的轨迹方程．
11．已知一条曲线，它上面的每一点到点A (0,2)的距离减去它到x 轴的距离的差都是2，求
这条曲线的方程．
12．已知△ABC的两顶点A、B的坐标分别为A(0,0)、B(6,0)，顶点C在曲线y＝x2＋3上运动，求△ABC重心的轨迹方程．
三、探究与拓展
13.如图所示，圆O1和圆O2的半径都等于1，O1O2＝4，过动点P分别作圆O1、圆O2的切线PM、PN(M、N)为切点，使得PM＝2PN.试建立平面直角坐标系，并求动点P的轨迹方程．。