2009至2018年北京高考真题分类汇编之导数大题
2009至2018年北京高考真题分类汇编之向量
2009至2018年北京高考真题分类汇编之向量精心校对版题号一二总分得分△注意事项：1.本系列试题包含2009年-2018年北京高考真题的分类汇编。
2.本系列文档有相关的试题分类汇编，具体见封面。
3.本系列文档为北京双高教育精心校对版本4.本系列试题涵盖北京历年（2011年-2020年）高考所有学科一、填空题（本大题共6小题，共0分）1.（2013年北京高考真题数学(文)）向量(1,1)A ，(3,0)B ，(2,1)C ，若平面区域D 由所有满足AP AB AC （12，01）的点P 组成，则D 的面积为。
2.（2012年北京高考真题数学(文)）已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则DE CB uuu r uu r 的值为；DE DC uuu r uuu r 的最大值为．3.（2011年北京高考真题数学(文)）已知向量a=（3，1），b=（0，-1），c=（k ，3）.若a-2b 与c 共线，则k=________________. 4.（2016年北京高考真题数学(文)）已知向量=(1,3),(3,1)a b ，则a 与b 夹角的大小为_________. 5.（2017年北京高考真题数学(文)）已知点P 在圆22=1x y 上，点A 的坐标为(-2,0)，O 为原点，则AO AP 的最大值为_________．6.（2018年北京高考真题数学(文)）设向量a =（1,0），b =（-1,m ）,若()m a a b ，则m =_________. 二、选择题（本大题共6小题，每小题0分，共0分。
在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）7.（2009年北京高考真题数学(文)）已知向量(1,0),(0,1),(),a b c ka b k R d a b ，姓名：__________班级：__________考号：__________●-------------------------密--------------封--------------线--------------内--------------请--------------不--------------要--------------答--------------题-------------------------●。
十年高考真题(答案)——导数,微积分,定积分
∫1
8．C【解析】∵
S阴影 =
（
0
x − x)dx =
(2
3
x2
−
1
x2 )
1
=
3 20
1
,正方形的面积为 1，
6
∴P=1． 6
∫4
9．C【解析】用定积分求解 ( 0
x − x + 2)d=x
(2 3
3
x2
−
1 2
x2
+
2 x)=04
16
，选 C
3
∫ 10．C【解析】
1(ex + 2x)dx
0
=(ex
∫ 20． 5 【解析】由已知得阴影部分面积为 4 − 2 x2dx =4 − 7 = 5 ．所以此点取自阴影部分
12
1
33
5
的概率等于 3 = 5 ． 4 12
21． y =−5x + 3 【解析】 y′ = −5e−5x ，在点 (0, 3) 处的切线的斜率为 −5 ，
切线方程为 y − 3 =−5(x − 0) ，即 y =−5x + 3．
2 22． e2 【解析】根据对称性，两个阴影部分面积相等，
∫ ∴ S阴=2(e −
1 e x dx)
0
=2e
−
2ex
|10
=2 ，由几何概型的概率计算公式，
得所求的概率为
S阴 S正
=
2 e2
．
23．－3【解析】由题意可得 −5= 4a + b ① 2
又 f ′(= x)
2ax −
b x2
，过点 P(2,−5) 的切
x1
+
1 x1
2018全国高考试题分类汇编-导数部分(含解析)
2018年全国高考试题分类汇编-导数部分（含解析）1.(2018·全国卷I高考理科·T5)同(2018·全国卷I高考文科·T6)设函数f=x3+-x2+ax.若f为奇函数,则曲线y=f在点处的切线方程为()A.y=-2xB.y=-xC.y=2xD.y=x2.(2018·全国卷II高考理科·T13)曲线y=2ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为3.(2018·全国卷II高考文科·T13)曲线y=2ln x在点(1,0)处的切线方程为4.(2018·全国Ⅲ高考理科·T14)曲线y=e x在点处的切线的斜率为-2,则a=.5.(2018·天津高考文科·T10)已知函数f(x)=e x ln x,f′(x)为f(x)的导函数,则f′(1)的值为.6.(2018·全国卷I高考理科·T16)已知函数f=2sin x+sin2x,则f的最小值是.7.(12分)(2018·全国卷I高考文科·T21)已知函数f=a e x-ln x-1.(1)设x=2是f的极值点.求a,并求f的单调区间.(2)证明:当a≥时,f≥0.8.(2018·全国Ⅲ高考理科·T21)(12分)已知函数f=ln-2x.(1)若a=0,证明:当-1<x<0时,f<0;当x>0时,f>0.(2)若x=0是f的极大值点,求a.9.(2018·全国Ⅲ高考文科·T21)(12分)已知函数f=-.(1)求曲线y=f在点-处的切线方程.(2)证明:当a≥1时,f+e≥0.10.(本小题13分)(2018·北京高考理科·T18)设函数f(x)=[ax2-(4a+1)x+4a+3]e x.(1)若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程与x轴平行,求a.(2)若f(x)在x=2处取得极小值,求a的取值范围.11.(本小题13分)(2018·北京高考文科·T19)设函数f(x)=[ax2-(3a+1)x+3a+2]e x.(1)若曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线斜率为0,求a.(2)若f(x)在x=1处取得极小值,求a的取值范围.12.(12分)(2018·全国卷I高考理科·T21)已知函数f=-x+a ln x.(1)讨论f的单调性.(2)若f存在两个极值点x1,x2,证明:-<a-2.-13.(2018·全国卷II高考理科·T21)(12分)已知函数f(x)=e x-ax2.(1)若a=1,证明:当x≥0时,f(x)≥1.(2)若f(x)在(0,+∞)只有一个零点,求a.14.(2018·全国卷II高考文科·T21)(12分)已知函数f=x3-a.(1)若a=3,求f(x)的单调区间.(2)证明:f(x)只有一个零点.15.(本小题满分14分)(2018·天津高考理科·T20)已知函数f(x)=a x,g(x)=log a x,其中a>1.(Ⅰ)求函数h(x)=f(x)-x ln a的单调区间.(Ⅱ)若曲线y=f(x)在点(x1,f(x1))处的切线与曲线y=g(x)在点(x2,g(x2))处的切线平行,证明x1+g(x2)=-.(Ⅲ)证明当a≥时,存在直线l,使l是曲线y=f(x)的切线,也是曲线y=g(x)的切线.16.(本小题满分14分)(2018·天津高考文科·T20)设函数f(x)=(x-t1)(x-t2)(x-t3),其中t1,t2,t3∈R,且t1,t2,t3是公差为d的等差数列.(Ⅰ)若t2=0,d=1,求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;(Ⅱ)若d=3,求f(x)的极值;(Ⅲ)若曲线y=f(x)与直线y=-(x-t2)-6有三个互异的公共点,求d的取值范围.17.(本小题满分14分)(2018·江苏高考·T17)某农场有一块农田,如图所示,它的边界由圆O的一段圆弧MPN(P为此圆弧的中点)和线段MN构成.已知圆O的半径为40米,点P到MN的距离为50米.现规划在此农田上修建两个温室大棚,大棚Ⅰ内的地块形状为矩形ABCD,大棚Ⅱ内的地块形状为△CDP,要求A,B均在线段MN上,C,D均在圆弧上.设OC与MN所成的角为θ.(1)用θ分别表示矩形ABCD和△CDP的面积,并确定sinθ的取值范围.(2)若大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜,大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜,且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4∶3.求当θ为何值时,能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大.18.(本小题满分16分)(2018·江苏高考·T19)记f′(x),g′(x)分别为函数f(x),g(x)的导函数.若存在x0∈R,满足f(x0)=g(x0)且f′(x0)=g′(x0),则称x0为函数f(x)与g(x)的一个“S点”.(1)证明:函数f(x)=x与g(x)=x2+2x-2不存在“S点”.(2)若函数f(x)=ax2-1与g(x)=ln x存在“S点”,求实数a的值.(3)已知函数f(x)=-x2+a,g(x)=,对任意a>0,判断是否存在b>0,使函数f(x)与g(x)在区间(0,+∞)内存在“S点”,并说明理由.19.(2018·浙江高考T22)(本题满分15分)已知函数f(x)=-ln x.(Ⅰ)若f(x)在x=x1,x2(x1≠x2)处导数相等,证明:f(x1)+f(x2)>8-8ln2.(Ⅱ)若a≤3-4ln2,证明:对于任意k>0,直线y=kx+a与曲线y=f(x)有唯一公共点.1.【解析】选D.因为f(x)为奇函数,所以f(-x)=-f(x),即a=1,所以f(x)=x3+x,所以f′(0)=1,所以切线方程为y=x.2.【解析】y′=,k==2,所以切线方程为y-0=2(x-0),即y=2x.答案:y=2x3.【解析】y′=,k==2,所以切线方程为y-0=2(x-1)即y=2x-2.答案:y=2x-24.【解析】由y=(ax+1)e x,所以y′=a e x+(ax+1)e x=(ax+1+a)e x,故曲线y=(ax+1)e x在(0,1)处的切线的斜率为k=a+1=-2,解得a=-3.答案:-35.【解析】因为f(x)=e x ln x,所以f′(x)=(e x ln x)′=(e x)′ln x+e x(ln x)′=e x·ln x+e x·,f′(1)=e1·ln1+e1·=e.答案:e6.【解析】方法一:f′(x)=2cos x+2cos2x=4cos2x+2cos x-2=4(cos x+1)-, 所以当cos x<时函数单调减,当cos x>时函数单调增,从而得到函数的减区间为--(k∈Z),函数的增区间为-(k∈Z),所以当x=2kπ-,k∈Z时,函数f(x)取得最小值,此时sin x=-,sin2x=-,所以f(x)min=2×--=-.方法二:因为f(x)=2sin x+sin2x,所以f(x)最小正周期为T=2π,所以f′(x)=2(cos x+cos2x)=2(2cos2x+cos x-1),令f′(x)=0,即2cos2x+cos x-1=0,所以cos x=或cos x=-1.所以当cos x=,为函数的极小值点,即x=或x=π,当cos x=-1,x=π,所以f=-,f=,f(0)=f(2π)=0,f(π)=0,所以f(x)的最小值为-.答案:-7.【解析】(1)f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=a e x-.由题设知,f′(2)=0,所以a=.从而f(x)=e x-ln x-1,f′(x)=e x-.当0<x<2时,f′(x)<0;当x>2时,f′(x)>0.所以f(x)在(0,2)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增.(2)当a≥时,f(x)≥-ln x-1.设g(x)=-ln x-1,则g′(x)=-.当0<x<1时,g′(x)<0;当x>1时,g′(x)>0.所以x=1是g(x)的最小值点.故当x>0时,g(x)≥g(1)=0.因此,当时a≥时,f(x)≥0.8.【解析】(1)当a=0时,f(x)=(2+x)ln(1+x)-2x,f′(x)=ln(1+x)-.设函数g(x)=f′(x)=ln(1+x)-,则g′(x)=.当-1<x<0时,g′(x)<0;当x>0时,g′(x)>0.故当x>-1时,g(x)≥g(0)=0,当且仅当x=0时,g(x)=0,从而f′(x)≥0,当且仅当x=0时,f′(x)=0.所以f(x)在(-1,+∞)上单调递增.又f(0)=0,故当-1<x<0时,f(x)<0;当x>0时,f(x)>0.(2)(i)若a≥0,由(1)知,当x>0时,f(x)≥(2+x)ln(1+x)-2x>0=f(0),这与x=0是f(x)的极大值点矛盾.(ii)若a<0,设函数h(x)==ln(1+x)-.由于当|x|<min时,2+x+ax2>0,故h(x)与f(x)符号相同.又h(0)=f(0)=0,故x=0是f(x)的极大值点,当且仅当x=0是h(x)的极大值点. h′(x)=--=.如果6a+1>0,则当0<x<-,且|x|<min时,h′(x)>0,故x=0不是h(x)的极大值点.如果6a+1<0,则a2x2+4ax+6a+1=0存在根x1<0,故当x∈(x1,0),且|x|<min时,h′(x)<0,所以x=0不是h(x)的极大值点..如果6a+1=0,则h′(x)=---则当x∈(-1,0)时,h′(x)>0;当x∈(0,1)时,h′(x)<0.所以x=0是h(x)的极大值点,从而x=0是f(x)的极大值点.综上,a=-.9.【解析】(1)f(x)的定义域为R,f′(x)=--,显然f(0)=-1,即点(0,-1)在曲线y=f(x)上,所求切线斜率为k=f′(0)=2,所以切线方程为y-(-1)=2(x-0),即2x-y-1=0.(2)方法一(一边为0):令g(x)=-ax2+(2a-1)x+2,当a≥1时,方程g(x)的判别式Δ=(2a+1)2>0,由g(x)=0得,x=-,2,且-<0<2,x,f′(x),f(x)的关系如下①若x∈(-∞,2],f(x)≥f-=-又因为a≥1,所以0<≤1,1<≤e,-≥-e,f(x)+e≥0,②若x∈(2,+∞),ax2+x-1>4a+2-1>0,e x>0,所以f(x)=->0,f(x)+e≥0,综上,当a≥1时,f(x)+e≥0.方法二(充要条件):①当a=1时,f(x)=-.显然e x>0,要证f(x)+e≥0只需证-≥-e, 即证h(x)=x2+x-1+e·e x≥0,h′(x)=2x+1+e·e x,观察发现h′(-1)=0,x,h′(x),h(x)的关系如下所以h(x)有最小值h(-1)=0,所以h(x)≥0即f(x)+e≥0.②当a>1时,由①知,-≥-e,又显然ax2≥x2,所以ax2+x-1≥x2+x-1,f(x)=-≥-≥-e,即f(x)+e≥0.综上,当a≥1时,f(x)+e≥0.方法三(分离参数):当x=0时,f(x)+e=-1+e≥0成立.当x≠0时,f(x)+e≥0等价于-≥-e,等价于ax2+x-1≥-e·e x,即ax2≥-e·e x-x+1等价于a≥--=k(x),等价于k(x)max≤1.k′(x)=--,令k′(x)=0得x=-1,2.x,k′(x),k(x)的关系如下又因为k(-1)=1,k(2)=-<0,所以k(x)max=1,k(x)≤1,x≠0,综上,当a≥1时,f(x)+e≥0.10.【解析】(1)因为f(x)=[ax2-(4a+1)x+4a+3]e x,所以f′(x)=[2ax-(4a+1)]e x+[ax2-(4a+1)x+4a+3]e x=[ax2-(2a+1)x+2]e x. f′(1)=(1-a)e.由题设知f′(1)=0,即(1-a)e=0,解得a=1.此时f(1)=3e≠0,所以a的值为1.(2)由(1)得f′(x)=[ax2-(2a+1)x+2]e x=(ax-1)(x-2)e x.若a>,则当x∈时,f′(x)<0;当x∈(2,+∞)时,f′(x)>0.所以f(x)在x=2处取得极小值.若a≤,则当x∈(0,2)时,x-2<0,ax-1≤x-1<0, 所以f′(x)>0.所以2不是f(x)的极小值点.综上可知,a的取值范围是(,+∞).11.【解析】(1)因为f(x)=[ax2-(3a+1)x+3a+2]e x, 所以f′(x)=[ax2-(a+1)x+1]e x,f′(2)=(2a-1)e2, 由题设知f′(2)=0,即(2a-1)e2=0,解得a=.(2)方法一:由(1)得f′(x)=[ax2-(a+1)x+1]e x=(ax-1)(x-1)e x若a>1,则当x∈时,f′(x)<0.当x∈(1,+∞)时,f′(x)>0.所以f(x)在x=1处取得极小值.若a≤1,则当x∈(0,1)时,ax-1≤x-1<0,所以f′(x)>0.所以1不是f(x)的极小值点.综上可知,a的取值范围是(1,+∞).方法二:f′(x)=(ax-1)(x-1)e x.①当a=0时,令f′(x)=0得x=1.f′(x),f(x)随x的变化情况如下表:所以f(x)在x=1处取得极大值,不合题意.②当a>0时,令f′(x)=0得x1=,x2=1.(ⅰ)当x1=x2,即a=1时,f′(x)=(x-1)2e x≥0,所以f(x)在R上单调递增,所以f(x)无极值,不合题意.(ⅱ)当x1>x2,即0<a<1时,f′(x),f(x)随x的变化情况如下表:所以f(x)在x=1处取得极大值,不合题意.(ⅲ)当x1<x2,即a>1时,f′(x),f(x)随x的变化情况如下表:所以f(x)在x=1处取得极小值,即a>1满足题意.③当a<0时,令f′(x)=0得x1=,x2=1.f′(x),f(x)随x的变化情况如下表:所以f(x)在x=1处取得极大值,不合题意.综上所述,a的取值范围为(1,+∞).12.【解析】(1)f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=--1+=--.(i)若a≤2,则f′(x)≤0,当且仅当a=2,x=1时f′(x)=0,所以f(x)在(0,+∞)上单调递减.(ii)若a>2,令f′(x)=0得,x=--或x=-.当x∈--∪-时,f′(x)<0;当x∈---时,f′(x)>0.所以f(x)在--,-上单调递减,在---上单调递增.(2)由(1)知,f(x)存在两个极值点,当且仅当a>2.由于f(x)的两个极值点x1,x2满足x2-ax+1=0,所以x1x2=1,不妨设x1<x2,则x2>1.由于--=--1+a--=-2+a--=-2+a--,所以--<a-2等价于-x2+2ln x2<0.设函数g(x)=-x+2ln x,由(1)知,g(x)在(0,+∞)上单调递减,又g(1)=0,从而当x ∈(1,+∞)时,g(x)<0.所以-x2+2ln x2<0,即--<a-2.13.【解析】(1)当a=1时,f(x)≥1等价于(x2+1)e-x-1≤0.设函数g(x)=(x2+1)e-x-1,则g′(x)=-(x2-2x+1)e-x=-(x-1)2e-x.当x≠1时,g′(x)<0,所以g(x)在(0,1)∪(1,+∞)上单调递减.而g(0)=0,故当x≥0时,g(x)≤0,即f(x)≥1.(2)设函数h(x)=1-ax2e-x.f(x)在(0,+∞)上只有一个零点当且仅当h(x)在(0,+∞)上只有一个零点.(i)当a≤0时,h(x)>0,h(x)没有零点;(ii)当a>0时,h′(x)=ax(x-2)e-x.当x∈(0,2)时,h′(x)<0;当x∈(2,+∞)时,h′(x)>0.所以h(x)在(0,2)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增.故h(2)=1-是h(x)在[0,+∞)上的最小值.①若h(2)>0,即a<,h(x)在(0,+∞)上没有零点;②若h(2)=0,即a=,h(x)在(0,+∞)上只有一个零点;③若h(2)<0,即a>,由于h(0)=1,所以h(x)在(0,2)上有一个零点,由(1)知,当x>0时,e x>x2,所以h(4a)=1-=1->1-=1->0.故h(x)在(2,4a)有一个零点,因此h(x)在(0,+∞)有两个零点.综上,f(x)在(0,+∞)只有一个零点时,a=.14.【解析】(1)当a=3时,f(x)=x3-3x2-3x-3,f′(x)=x2-6x-3.令f′(x)=0解得x=3-2或3+2.当x∈(-∞,3-2)或(3+2,+∞)时,f′(x)>0;当x∈(3-2,3+2)时,f′(x)<0.故f(x)在(-∞,3-2),(3+2,+∞)上单调递增,在(3-2,3+2)上单调递减.(2)由于x2+x+1>0,所以f(x)=0等价于-3a=0.设g(x)=-3a,则g′(x)=≥0,仅当x=0时g′(x)=0,所以g(x)在(-∞,+∞)上单调递增.故g(x)至多有一个零点.又f(3a-1)=-6a2+2a-=-6--<0,f(3a+1)=>0,故f(x)有一个零点.综上,f(x)只有一个零点.15.【解析】(I)由已知,h(x)=a x-x ln a,有h′(x)=a x ln a-ln a.令h′(x)=0,解得x=0.由a>1,可知当x变化时,h′(x),h(x)的变化情况如表:所以函数h(x)的单调递减区间为(-∞,0),单调递增区间为(0,+∞).(II)由f′(x)=a x ln a,可得曲线y=f(x)在点(x1,f(x1))处的切线斜率为ln a.由g′(x)=,可得曲线y=g(x)在点(x2,g(x2))处的切线斜率为.因为这两条切线平行,故有ln a=,即x2(ln a)2=1.两边取以a为底的对数,得log a x2+x1+2log a(ln a)=0,所以x1+g(x2)=-. (III)曲线y=f(x)在点(x1,)处的切线l1:y-=ln a·(x-x1).曲线y=g(x)在点(x2,log a x2)处的切线l2:y-log a x2=(x-x2).要证明当a≥时,存在直线l,使l是曲线y=f(x)的切线,也是曲线y=g(x)的切线,只需证明当a≥时,存在x1∈(-∞,+∞),x2∈(0,+∞),使得l1和l2重合.即只需证明当a≥时,方程组有解,--由①得x2=,代入②,得-x1ln a+x1++=0③,因此,只需证明当a≥时,关于x1的方程③有实数解.设函数u(x)=a x-xa x ln a+x++,即要证明当a≥时,函数y=u(x)存在零点. u′(x)=1-(ln a)2xa x,可知x∈(-∞,0)时,u′(x)>0;x∈(0,+∞)时,u′(x)单调递减,又u′(0)=1>0,u′[]=1-<0,故存在唯一的x0,且x0>0,使得u′(x0)=0,即1-(ln a)2x0=0.由此可得u(x)在(-∞,x0)上单调递增,在(x0,+∞)上单调递减.u(x)在x=x0处取得极大值u(x0).因为a≥,故ln(ln a)≥-1,所以u(x0)=-x0ln a+x0++=+x0+≥≥0.下面证明存在实数t,使得u(t)<0.由(I)可得a x≥1+x ln a,当x>时,有u(x)≤(1+x ln a)(1-x ln a)+x++=-(ln a)2x2+x+1++,所以存在实数t,使得u(t)<0,因此,当a≥时,存在x1∈(-∞,+∞),使得u(x1)=0.所以,当a≥时,存在直线l,使l是曲线y=f(x)的切线,也是曲线y=g(x)的切线.16.【解析】(Ⅰ)由已知,可得f(x)=x(x-1)(x+1)=x3-x,故f′(x)=3x2-1,因此f(0)=0,f′(0)=-1,又因为曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y-f(0)=f′(0)(x-0),故所求切线方程为x+y=0.(Ⅱ)由已知可得f(x)=(x-t2+3)(x-t2)(x-t2-3)=(x-t2)3-9(x-t2)=x3-3t2x2+(3-9)x-+9t2.故f′(x)=3x2-6t2x+3-9.令f′(x)=0,解得x=t2-,或x=t2+.当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如表:所以函数f(x)的极大值为f(t2-)=(-)3-9×(-)=6;函数极小值为f(t2+)=()3-9×=-6.(III)曲线y=f(x)与直线y=-(x-t2)-6有三个互异的公共点等价于关于x的方程(x-t2+d)(x-t2)(x-t2-d)+(x-t2)+6=0有三个互异的实数解,令u=x-t2,可得u3+(1-d2)u+6=0.设函数g(x)=x3+(1-d2)x+6,则曲线y=f(x)与直线y=-(x-t2)-6有三个互异的公共点等价于函数y=g(x)有三个零点.g′(x)=3x2+(1-d2).当d2≤1时,g′(x)≥0,这时g′(x)在R上单调递增,不合题意.当d2>1时,g′(x)=0,解得x1=--,x2=-.易得,g(x)在(-∞,x1)上单调递增,在[x1,x2]上单调递减,在(x2,+∞)上单调递增,g(x)的极大值g(x1)=g-=-+6>0,g(x)的极小值g(x2)=g-=--+6.若g(x2)≥0,由g(x)的单调性可知函数y=g(x)至多有两个零点,不合题意.若g(x2)<0,即(d2-1>27,也就是|d|>,此时|d|>x2,g(|d|)=|d|+6>0,且-2|d|<x1,g(-2|d|)=-6|d|3-2|d|+6<-62+6<0,从而由g(x)的单调性,可知函数y=g(x)在区间(-2|d|,x1),(x1,x2),(x2,|d|)内各有一个零点,符合题意.所以d的取值范围是(-∞,-)∪(,+∞)17.【解析】(1)设PO的延长线交MN于H,则PH⊥MN,所以OH=10.过O作OE⊥BC于E,则OE∥MN,所以∠COE=θ,故OE=40cosθ,EC=40sinθ,则矩形ABCD的面积为2×40cosθ(40sinθ+10)=800(4sinθcosθ+cosθ),△CDP的面积为×2×40cosθ(40-40sinθ)=1600(cosθ-sinθcosθ).过N作GN⊥MN,分别交圆弧和OE的延长线于G和K,则GK=KN=10.令∠GOK=θ0,则sinθ0=,θ0∈.当θ∈[θ0,)时,才能作出满足条件的矩形ABCD,所以sinθ的取值范围是.答:矩形ABCD的面积为800(4sinθcosθ+cosθ)平方米,△CDP的面积为1600(cosθ-sinθcosθ),sinθ的取值范围是.(2)因为甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4∶3,设甲的单位面积的年产值为4k,乙的单位面积的年产值为3k(k>0),则年总产值为4k×800(4sinθcosθ+cosθ)+3k×1600(cosθ-sinθcosθ) =8000k(sinθcosθ+cosθ),θ∈.设f(θ)=sinθcosθ+cosθ,θ∈,则f′(θ)=cos2θ-sin2θ-sinθ=-(2sin2θ+sinθ-1)=-(2sinθ-1)(sinθ+1).令f′(θ)=0,得θ=,当θ∈时,f′(θ)>0,所以f(θ)为增函数;当θ∈时,f′(θ)<0,所以f(θ)为减函数,因此,当θ=时,f(θ)取到最大值.答:当θ=时,能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大.18.【解析】(1)函数f(x)=x,g(x)=x2+2x-2,则f′(x)=1,g′(x)=2x+2.由f(x)=g(x)且f′(x)=g′(x),得-此方程组无解,因此,f(x)与g(x)不存在“S”点.(2)函数f(x)=ax2-1,g(x)=ln x,则f′(x)=2ax,g′(x)=.设x0为f(x)与g(x)的“S”点,由f(x0)=g(x0)且f′(x0)=g′(x0),得-即-(*)得ln x0=-,即x0=-,则a=-=.当a=时,x0=-满足方程组(*),即x0为f(x)与g(x)的“S”点.因此,a的值为.(3)f′(x)=-2x,g′(x)=-,(x≠0),由f′(x0)=g′(x0),得b=-->0,得0<x0<1,由f(x0)=g(x0),得-+a==--,得a=--,令h(x)=x2---a=---,(a>0,0<x<1),设m(x)=-x3+3x2+ax-a,(a>0,0<x<1),则m(0)=-a<0,m(1)=2>0,得m(0)m(1)<0,又m(x)的图象在(0,1)上连续不断,则m(x)在(0,1)上有零点,则h(x)在(0,1)上有零点,则f(x)与g(x)在区间(0,+∞)内存在“S”点.19.【解析】(Ⅰ)函数f(x)的导函数f′(x,由f′(x1)=f′(x2)得-=-,因为x1≠x2,所以+=.由基本不等式得=+≥2.因为x1≠x2,所以x1x2>256.由题意得f(x1)+f(x2)=-ln x1+-ln x2=-ln(x1x2).设g(x)=-ln x,则g′(x)=(-4),所以所以g(x)在(256,+∞)上单调递增,故g(x1x2)>g(256)=8-8ln2,即f(x1)+f(x2)>8-8ln2.(Ⅱ)令m=e-(|a|+k),n=+1,则f(m)-km-a>|a|+k-k-a≥0,f(n)-kn-a<n-≤n<0,所以,存在x0∈(m,n)使f(x0)=kx0+a,所以,对于任意的a∈R及k∈(0,+∞),直线y=kx+a与曲线y=f(x)有公共点.由f(x)=kx+a得k=--.设h(x)=--,则h′(x)=--=--,其中g(x)=-ln x.由(Ⅰ)可知g(x)≥g(16),又a≤3-4ln2,故-g(x)-1+a≤-g(16)-1+a=-3+4ln2+a≤0,所以h′(x)≤0,即函数h(x)在(0,+∞)上单调递减,因此方程f(x)-kx-a=0至多1个实根.综上,当a≤3-4ln2时,对于任意k>0,直线y=kx+a与曲线y=f(x)有唯一公共点.。
2009至2018年北京高考真题分类汇编之程序框图
2009至2018年北京高考真题分类汇编之程序框图精心校对版题号一总分得分△注意事项：1.本系列试题包含2009年-2018年北京高考真题的分类汇编。
2.本系列文档有相关的试题分类汇编，具体见封面。
3.本系列文档为北京双高教育精心校对版本4.本系列试题涵盖北京历年（2011年-2020年）高考所有学科一、选择题（本大题共8小题，每小题0分，共0分。
在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1.（2013年北京高考真题数学(文)）执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（）A ．1 B ．23C ．1321 D ．6109872.（2012年北京高考真题数学(文)）执行如图所示的程序框图，输出的S 值为3.（2011年北京高考真题数学(文)）执行如图所示的程序框图，若输入A 的值为2，则输入的P 值为A ．2B ．3C ．4D ．5 （A ）2（B ）4（C ）8（D ）16姓名：__________班级：__________考号：__________●-------------------------密--------------封-
-------------线--------------内--------------请--------------不--------------要--------------答--------------题-------------------------●S=S?2k k=k+1k=0, S=1k<3是否输出S 结束开始。
(北京卷)十年真题(-)高考数学真题分类汇编 专题04 导数及其应用 文(含解析)-人教版高三全册数
专题04导数及其应用历年考题细目表题型年份考点试题位置解答题2019 导数综合问题2019年文科20解答题2018 导数综合问题2018年文科19解答题2017 导数综合问题2017年文科20解答题2016 导数综合问题2016年文科20解答题2015 导数综合问题2015年文科19解答题2014 导数综合问题2014年文科20解答题2012 导数综合问题2012年文科18解答题2011 导数综合问题2011年文科18解答题2010 导数综合问题2010年文科18历年高考真题汇编1．【2019年文科20】已知函数f（x）x3﹣x2+x．（Ⅰ）求曲线y＝f（x）的斜率为l的切线方程；（Ⅱ）当x∈[﹣2，4]时，求证：x﹣6≤f（x）≤x；（Ⅲ）设F（x）＝|f（x）﹣（x+a）|（a∈R），记F（x）在区间[﹣2，4]上的最大值为M（a）．当M（a）最小时，求a的值．【解答】解：（Ⅰ）f′（x），由f′（x）＝1得x（x）＝0，得．又f（0）＝0，f（），∴y＝x和，即y＝x和y＝x；（Ⅱ）证明：欲证x﹣6≤f（x）≤x，只需证﹣6≤f（x）﹣x≤0，令g（x）＝f（x）﹣x，x∈[﹣2，4]，则g′（x），可知g′（x）在[﹣2，0]为正，在（0，）为负，在[]为正，∴g（x）在[﹣2，0]递增，在[0，]递减，在[]递增，又g（﹣2）＝﹣6，g（0）＝0，g（）6，g（4）＝0，∴﹣6≤g（x）≤0，∴x﹣6≤f（x）≤x；（Ⅲ）由（Ⅱ）可得，F（x）＝|f（x）﹣（x+a）|＝|f（x）﹣x﹣a|＝|g（x）﹣a|∵在[﹣2，4]上，﹣6≤g（x）≤0，令t＝g（x），h（t）＝|t﹣a|，则问题转化为当t∈[﹣6，0]时，h（t）的最大值M（a）的问题了，①当a≤﹣3时，M（a）＝h（0）＝|a|＝﹣a，此时﹣a≥3，当a＝﹣3时，M（a）取得最小值3；②当a≥﹣3时，M（a）＝h（﹣6）＝|﹣6﹣a|＝|6+a|，∵6+a≥3，∴M（a）＝6+a，也是a＝﹣3时，M（a）最小为3．综上，当M（a）取最小值时a的值为﹣3．2．【2018年文科19】设函数f（x）＝[ax2﹣（3a+1）x+3a+2]e x．（Ⅰ）若曲线y＝f（x）在点（2，f（2））处的切线斜率为0，求a；（Ⅱ）若f（x）在x＝1处取得极小值，求a的取值X围．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）＝[ax2﹣（3a+1）x+3a+2]e x的导数为f′（x）＝[ax2﹣（a+1）x+1]e x．曲线y＝f（x）在点（2，f（2））处的切线斜率为0，可得（4a﹣2a﹣2+1）e2＝0，解得a；（Ⅱ）f（x）的导数为f′（x）＝[ax2﹣（a+1）x+1]e x＝（x﹣1）（ax﹣1）e x，若a＝0则x＜1时，f′（x）＞0，f（x）递增；x＞1，f′（x）＜0，f（x）递减．x＝1处f（x）取得极大值，不符题意；若a＞0，且a＝1，则f′（x）＝（x﹣1）2e x≥0，f（x）递增，无极值；若a＞1，则1，f（x）在（，1）递减；在（1，+∞），（﹣∞，）递增，可得f（x）在x＝1处取得极小值；若0＜a＜1，则1，f（x）在（1，）递减；在（，+∞），（﹣∞，1）递增，可得f（x）在x＝1处取得极大值，不符题意；若a＜0，则1，f（x）在（，1）递增；在（1，+∞），（﹣∞，）递减，可得f（x）在x＝1处取得极大值，不符题意．综上可得，a的X围是（1，+∞）．3．【2017年文科20】已知函数f（x）＝e x cos x﹣x．（1）求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（2）求函数f（x）在区间[0，]上的最大值和最小值．【解答】解：（1）函数f（x）＝e x cos x﹣x的导数为f′（x）＝e x（cos x﹣sin x）﹣1，可得曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线斜率为k＝e0（cos0﹣sin0）﹣1＝0，切点为（0，e0cos0﹣0），即为（0，1），曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y＝1；（2）函数f（x）＝e x cos x﹣x的导数为f′（x）＝e x（cos x﹣sin x）﹣1，令g（x）＝e x（cos x﹣sin x）﹣1，则g（x）的导数为g′（x）＝e x（cos x﹣sin x﹣sin x﹣cos x）＝﹣2e x•sin x，当x∈[0，]，可得g′（x）＝﹣2e x•sin x≤0，即有g（x）在[0，]递减，可得g（x）≤g（0）＝0，则f（x）在[0，]递减，即有函数f（x）在区间[0，]上的最大值为f（0）＝e0cos0﹣0＝1；最小值为f（）cos．4．【2016年文科20】设函数f（x）＝x3+ax2+bx+c．（1）求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（2）设a＝b＝4，若函数f（x）有三个不同零点，求c的取值X围；（3）求证：a2﹣3b＞0是f（x）有三个不同零点的必要而不充分条件．【解答】解：（1）函数f（x）＝x3+ax2+bx+c的导数为f′（x）＝3x2+2ax+b，可得y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线斜率为k＝f′（0）＝b，切点为（0，c），可得切线的方程为y＝bx+c；（2）设a＝b＝4，即有f（x）＝x3+4x2+4x+c，由f（x）＝0，可得﹣c＝x3+4x2+4x，由g（x）＝x3+4x2+4x的导数g′（x）＝3x2+8x+4＝（x+2）（3x+2），当x或x＜﹣2时，g′（x）＞0，g（x）递增；当﹣2＜x时，g′（x）＜0，g（x）递减．即有g（x）在x＝﹣2处取得极大值，且为0；g（x）在x处取得极小值，且为．由函数f（x）有三个不同零点，可得c＜0，解得0＜c，则c的取值X围是（0，）；（3）证明：若f（x）有三个不同零点，令f（x）＝0，可得f（x）的图象与x轴有三个不同的交点．即有f（x）有3个单调区间，即为导数f′（x）＝3x2+2ax+b的图象与x轴有两个交点，可得△＞0，即4a2﹣12b＞0，即为a2﹣3b＞0；若a2﹣3b＞0，即有导数f′（x）＝3x2+2ax+b的图象与x轴有两个交点，当c＝0，a＝b＝4时，满足a2﹣3b＞0，即有f（x）＝x（x+2）2，图象与x轴交于（0，0），（﹣2，0），则f（x）的零点为2个．故a2﹣3b＞0是f（x）有三个不同零点的必要而不充分条件．5．【2015年文科19】设函数f（x）klnx，k＞0．（1）求f（x）的单调区间和极值；（2）证明：若f（x）存在零点，则f（x）在区间（1，]上仅有一个零点．【解答】解：（1）由f（x）f'（x）＝x由f'（x）＝0解得xf（x）与f'（x）在区间（0，+∞）上的情况如下：X（0，）（）f'（x）﹣ 0 +f（x）↓↑所以，f（x）的单调递增区间为（），单调递减区间为（0，）；f（x）在x处的极小值为f（），无极大值．（2）证明：由（1）知，f（x）在区间（0，+∞）上的最小值为f（）．因为f（x）存在零点，所以，从而k≥e当k＝e时，f（x）在区间（1，）上单调递减，且f（）＝0所以x是f（x）在区间（1，）上唯一零点．当k＞e时，f（x）在区间（0，）上单调递减，且，所以f（x）在区间（1，）上仅有一个零点．综上所述，若f（x）存在零点，则f（x）在区间（1，]上仅有一个零点．6．【2014年文科20】已知函数f（x）＝2x3﹣3x．（Ⅰ）求f（x）在区间[﹣2，1]上的最大值；（Ⅱ）若过点P（1，t）存在3条直线与曲线y＝f（x）相切，求t的取值X围；（Ⅲ）问过点A（﹣1，2），B（2，10），C（0，2）分别存在几条直线与曲线y＝f（x）相切？（只需写出结论）【解答】解：（Ⅰ）由f（x）＝2x3﹣3x得f′（x）＝6x2﹣3，令f′（x）＝0得，x或x，∵f（﹣2）＝﹣10，f（），f（），f（1）＝﹣1，∴f（x）在区间[﹣2，1]上的最大值为．（Ⅱ）设过点P（1，t）的直线与曲线y＝f（x）相切于点（x0，y0），则y0＝23x0，且切线斜率为k＝63，∴切线方程为y﹣y0＝（63）（x﹣x0），∴t﹣y0＝（63）（1﹣x0），即46t+3＝0，设g（x）＝4x3﹣6x2+t+3，则“过点P（1，t）存在3条直线与曲线y＝f（x）相切”，等价于“g（x）有3个不同的零点”．∵g′（x）＝12x2﹣12x＝12x（x﹣1），∴g（x）与g′（x）变化情况如下：x（﹣∞，0） 0 （0，1） 1 （1，+∞）g′（x）+ 0 ﹣ 0 +g（x）↗t+3 ↘t+1 ↗∴g（0）＝t+3是g（x）的极大值，g（1）＝t+1是g（x）的极小值．当g（0）＝t+3≤0，即t≤﹣3时，g（x）在区间（﹣∞，1]和（1，+∞）上分别至多有一个零点，故g（x）至多有2个零点．当g（1）＝t+1≥0，即t≥﹣1时，g（x）在区间（﹣∞，0]和（0，+∞）上分别至多有一个零点，故g（x）至多有2个零点．当g（0）＞0且g（1）＜0，即﹣3＜t＜﹣1时，∵g（﹣1）＝t﹣7＜0，g（2）＝t+11＞0，∴g（x）分别在区间[﹣1，0），[0，1）和[1，2）上恰有1个零点，由于g（x）在区间（﹣∞，0）和[1，+∞）上单调，故g（x）分别在区间（﹣∞，0）和[1，+∞）上恰有1个零点．综上所述，当过点过点P（1，t）存在3条直线与曲线y＝f（x）相切时，t的取值X围是（﹣3，﹣1）．（Ⅲ）过点A（﹣1，2）存在3条直线与曲线y＝f（x）相切；过点B（2，10）存在2条直线与曲线y＝f（x）相切；过点C（0，2）存在1条直线与曲线y＝f（x）相切．7．【2012年文科18】已知函数f（x）＝ax2+1（a＞0），g（x）＝x3+bx．（1）若曲线y＝f（x）与曲线y＝g（x）在它们的交点（1，c）处有公共切线，求a，b的值；（2）当a＝3，b＝﹣9时，函数f（x）+g（x）在区间[k，2]上的最大值为28，求k的取值X围．【解答】解：（1）f（x）＝ax2+1（a＞0），则f′（x）＝2ax，k1＝2a，g（x）＝x3+bx，则g′（x）＝3x2+b，k2＝3+b，由（1，c）为公共切点，可得：2a＝3+b①又f（1）＝a+1，g（1）＝1+b，∴a+1＝1+b，即a＝b，代入①式，可得：a＝3，b＝3．（2）当a＝3，b＝﹣9时，设h（x）＝f（x）+g（x）＝x3+3x2﹣9x+1则h′（x）＝3x2+6x﹣9，令h'（x）＝0，解得：x1＝﹣3，x2＝1；∴k≤﹣3时，函数h（x）在（﹣∞，﹣3）上单调增，在（﹣3，1]上单调减，（1，2）上单调增，所以在区间[k，2]上的最大值为h（﹣3）＝28﹣3＜k＜2时，函数h（x）在区间[k，2]上的最大值小于28所以k的取值X围是（﹣∞，﹣3]8．【2011年文科18】已知函数f（x）＝（x﹣k）e x．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）求f（x）在区间[0，1]上的最小值．【解答】解：（Ⅰ）f′（x）＝（x﹣k+1）e x，令f′（x）＝0，得x＝k﹣1，f′（x）f（x）随x的变化情况如下：x（﹣∞，k﹣1）k﹣1 （k﹣1，+∞）f′（x）﹣0 +f（x）↓﹣e k﹣1↑∴f（x）的单调递减区间是（﹣∞，k﹣1），f（x）的单调递增区间（k﹣1，+∞）；（Ⅱ）当k﹣1≤0，即k ≤1时，函数f（x）在区间[0，1]上单调递增，∴f（x）在区间[0，1]上的最小值为f（0）＝﹣k；当0＜k﹣1＜1，即1＜k＜2时，由（I）知，f（x）在区间[0，k﹣1]上单调递减，f（x）在区间（k﹣1，1]上单调递增，∴f（x）在区间[0，1]上的最小值为f（k﹣1）＝﹣e k﹣1；当k﹣1≥1，即k≥2时，函数f（x）在区间[0，1]上单调递减，∴f（x）在区间[0，1]上的最小值为f（1）＝（1﹣k）e；综上所述f（x）min．9．【2010年文科18】设定函数f（x）x3+bx2+cx+d（a＞0），且方程f′（x）﹣9x＝0的两个根分别为1，4．（Ⅰ）当a＝3且曲线y＝f（x）过原点时，求f（x）的解析式；（Ⅱ）若f（x）在（﹣∞，+∞）无极值点，求a的取值X围．【解答】解：由得f′（x）＝ax2+2bx+c因为f′（x）﹣9x＝ax2+2bx+c﹣9x＝0的两个根分别为1，4，所以（*）（Ⅰ）当a＝3时，又由（*）式得解得b＝﹣3，c＝12又因为曲线y＝f（x）过原点，所以d＝0，故f（x）＝x3﹣3x2+12x．（Ⅱ）由于a＞0，所以“在（﹣∞，+∞）内无极值点”等价于“f′（x）＝ax2+2bx+c≥0在（﹣∞，+∞）内恒成立”．由（*）式得2b ＝9﹣5a ，c ＝4a ． 又△＝（2b ）2﹣4ac ＝9（a ﹣1）（a ﹣9）解得a ∈[1，9]即a 的取值X 围[1，9] 考题分析与复习建议本专题考查的知识点为：导数的概念及运算，导数与函数的单调性、极值、最值，导数与函数的综合问题.历年考题主要以解答题题型出现，重点考查的知识点为：导数的运算，导数与函数的单调性、极值、最值，导数与函数的综合问题，预测明年本考点题目会比较稳定.备考方向以知识点导数的运算，导数与函数的单调性、极值、最值，导数与函数的综合问题为重点较佳.最新高考模拟试题1．已知函数，若有3个零点，则k 的取值X 围为( )A ．(21e -，0) B ．(12e-，0) C ．(0，12e) D ．(0，21e ) 【答案】C 【解析】由题意，函数，要使得函数在R 上有3个零点，当0x >时，令，可得2ln xk x =， 要使得()0F x =有两个实数解，即y k =和()2ln xg x x=有两个交点，又由，令，可得x e =，当(0,)x e ∈时，()0g x '>，则()g x 单调递增； 当时，()0g x '<，则()g x 单调递减，所以当x e =时，，若直线y k =和()2ln x g x x=有两个交点，则1(0,)2k e ∈， 当0x <时，y k =和()1g x x=有一个交点，则0k >，综上可得，实数k 的取值X 围是1(0,)2e，故选C.2．已知，，则下列不等式一定成立的是（ ）A ．2παβ+<B ．2παβ+=C ．αβ<D ．αβ>【答案】C 【解析】由题意，，，设，，设，，()g x ∴在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，且，()'0f x ∴<,所以()sin x f x x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭递减，αβ∴<，故选C.3．已知函数（a 为大于1的整数），若()y f x =与的值域相同，则a 的最小值是（）（参考数据：，，） A ．5 B ．6C ．7D ．8【答案】A 【解析】，当x a >时，'()0f x <，函数()f x 单调递减，当0x a <<时，'()0f x >，函数()f x 单调递增，故，又当，所以函数()f x 的值域为，令因此()t a 是单调递增函数，因此当2,a a Z ≥∈时， ，令由上可知：，，由上可知函数(n)f 在0x a <<时，单调递增，在x a >时，单调递减，要想的值域为，只需，即，设，2,a a Z ≥∈，，所以当3,a a Z ≥∈时，函数()g a 单调递增，，，所以a 的最小值是5，故本题选A.4．已知实数a ，b ，c ，d 满足，则的最小值为（ ）A ．8B ．4C ．2D 2【答案】D 【解析】，∴可以看成()ln f x x =和()1g x x =+之间的最小值'1()f x x= ∴当时，即点()1,0到直线()1g x x =+的距离最小∴5．若函数在区间()1,+∞上存在零点，则实数a 的取值X 围为( )A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,2e ⎛⎫⎪⎝⎭C ．()0,∞+D ．1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭【答案】D 【解析】 因为函数，所以令，因为，当(1,)x ∈+∞时，，所以()0g x '>所以()g x 在(1,)+∞上为增函数，则，当120a -≥时，()0g x >，所以()0f x '>，所以()f x 在(1,)+∞上为增函数， 则，所以()f x 在(1,)+∞上没有零点.当120a -<时，即12a >，因为()g x 在(1,)+∞上为增函数，则存在唯一的0(1,)x ∈+∞，使得0()0g x =，且当0(1,)x x ∈时，()0g x <，当0(,)x x ∈+∞时，()0g x >；所以当0(1,)x x ∈时，()0f x '<，()f x 为减函数，当0(,)x x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 为增函数，当0x x =时，，因为，当x 趋于+∞时，()f x 趋于+∞，所以在0(,)x x ∈+∞内，()f x 一定存在一个零点. 所以1(,)2a ∈+∞， 故答案选D.6．已知函数，若对任意(0,)x ∈+∞，都有成立，则实数a 的取值X 围是（ ）A ．3,2e ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦B ．,2eC ．3,2e D ．2,e【答案】D 【解析】 令，则，因为对任意(0,)x ∈+∞，都有成立，所以在(0,)x ∈+∞上恒成立； 即在(0,)x ∈+∞上恒成立；即在(0,)x ∈+∞上恒成立；令，(0,)x ∈+∞，则，由()0h x '=得，解得1x =-（舍）或12x =，所以，当102x <<时，，单调递减；当12x >时，，单调递增；所以，因为在(0,)x ∈+∞上恒成立，所以只需24a e -≤，解得2a e ≥-. 故选D7．已知奇函数()f x 是定义在R 上的可导函数，其导函数为()f x '，当0x >时，有，则不等式的解集为( ) A ．B ．C ．(),2018-∞-D ．()2016,0-【答案】A 【解析】 设， 因为()f x 为R 上奇函数， 所以，即()g x 为R 上奇函数 对()g x 求导，得， 而当0x >时，有故0x >时，()0g x '>，即()g x 单调递增， 所以()g x 在R 上单调递增 不等式，即所以，解得2016x <-故选A 项.8．已知函数，则使不等式(1)0f x ->成立的x 的最小整数为（ ） A ．-3 B ．-2C ．-1D ．0【答案】D 【解析】根据题意，函数，其导数，0x ≠时，()f x '可以看成是1为首项，2x -为公比的等比数列，则有，函数()f x 在R 上为增函数， 又由， ，则函数()f x 在(2,1)--上存在唯一的零点，设其零点为t ，，又由21t -<<-，则，故不等式(1)0f x ->成立的x 的最小整数为0；故选：D ．9．直线y ax =是曲线1ln y x =+的切线，则实数a =____． 【答案】1 【解析】解：∵1ln y x =+，∴1y x'=设切点为(,1ln )m m +，得切线的斜率为1m， 所以曲线在点(),1ln m m +处的切线方程为：．即：它过原点，∴ln 0m -=，∴1m =， ∴11a m==． 故答案为：1． 10．函数与的图象上存在关于x 轴的对称点，则实数a 的取值X 围为_________． 【答案】1a 【解析】关于x 轴对称的函数为，因为函数与的图象上存在关于x 轴的对称点， 所以与的图象有交点，方程有解，即1x ae x =+有解，0a =时符合题意， 0a ≠时转化为有解， 即的图象有交点，是过定点()1,0-的直线，其斜率为1a， 设相切时，切点的坐标为(),mm e，则111m m e m ae a ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪⎩，解得1a =，切线斜率为11a =，由图可知，当11a≥，即1a ≤且0a ≠时，的图象有交点，此时，与的图象有交点，函数与的图象上存在关于x 轴的对称点，综上可得，实数a 的取值X 围为1a ≤，故答案为1a ≤. 11．已知函数，若存在实数,()a b a b <使得，则2+a b 的最大值为________.【答案】32ln 27【解析】 作出函数图像如下：由题意，令,a b 为方程()f x m =的两个根，由图像易得01m <<； 由1xe m -=得1x e m =±，解得或，因为a b <，所以，，因此，令，01m <<， 则，因为01m <<，所以由()0g m '>得103m <<；由()0g m '<得113m <<，即函数()g m 在10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增；在1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减；所以，因此2+a b 的最大值为32ln 27. 故答案为32ln2712．已知实数a ，b ，c 满足（e 为自然对数的底数），则22a b +的最小值是_______．【答案】15【解析】 设，则，所以函数u(x)的增区间为（0，+∞），减区间为(-∞,0), 所以，即e 1x x ≥+；可知，当且仅当时取等； 因为 所以，．所以，解得，当且仅当15c =时，取等号．故答案为：1513．已知直线x t =与曲线分别交于,M N 两点，则MN 的最小值为________【答案】1. 【解析】 令，，显然为增函数，且'(0)0h =所以当(1,0)t ∈-时，单调递减； 当(1,)t ∈+∞时，单调递增.所以.故答案为1.14．曲线cos y a x =在6x π=处的切线l 的斜率为12，则切线l 的方程为_____． 【答案】【解析】解：曲线cos y a x =，可得，曲线cos y a x =在6x π=处的切线l 的斜率为12， 可得，所以1a =-. 所以切点坐标为：3(,)62π-， 则切线l 的方程为：.即：．故答案为：．15．已知函数若方程2[()]f x a =恰有两个不同的实数根12,x x ，则12x x +的最大值是______．【答案】3ln 22- 【解析】作出()f x 的函数图象如图所示， 由，可得，即1a >，不妨设12x x <，则，令，则，，令，则，∴当18t <<时，()'0g t >，g t 在()1,8上递增；当8t 时，()'0g t <，g t 在()8,+∞上递减；∴当8t =时，g t 取得最大值,故答案为3ln 22-. 16．已知函数的图象恰好经过三个象限，则实数a 的取值X 围______.【答案】0a <或2a > 【解析】（1）当0a <时，()f x 在(,0]-∞上单调递减，又(0)1f =-，所以函数()f x 的图象经过第二、三象限，当0x >时，，所以，①若1a -时，()0f x '>恒成立，又当0x +→时，()2f x →，所以函数()f x 图象在0x >时，经过第一象限，符合题意；②若10a -<<时，()0f x '>在[2,)+∞上恒成立，当02x <<时，令()0f x '=，解，所以()f x 在10,3a ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,23a ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增， 又所以函数()f x 图象在0x >时，经过第一象限，符合题意；（2）当0a =时，()f x 的图象在(,0)-∞上，只经过第三象限，()0f x '>在(0,)+∞上恒成立，所以()f x 的图象在(0,)+∞上，只经过第一象限，故不符合题意；（3）当0a >时，()f x 在(,0)-∞上单调递增，故()f x 的图象在(,0)-∞上只经过第三象限，所以()f x 在(0,)+∞上的最小值min ()0f x <，当02x <<时，令()0f x '=，解得13a x +=， 若123a +<时，即11a <时，()f x 在(0,)+∞上的最小值为 ，令.若时，则()f x 在02x <<时，单调递减，当2x ≥时，令()0f x '=，解得13a x -=， 若，()f x 在(2,)+∞上单调递增，故()f x 在(0,)+∞上的最小值为，令，所以1113a ≤<；若，()f x 在12,3a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭上单调递减，在上单调递增，故()f x 在(0,)+∞上的最小值为，显然，故13a ≥；结上所述：0a <或2a >. 17．已知函数.（Ⅰ）讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）比较与的大小(n N +∈且)2n >，并证明你的结论.【答案】（I ）见解析；（II ）见解析 【解析】（Ⅰ）函数()f x 可化为，当0x a <<时，，从而()f x 在(0,)a 上总是递减的，当x a ≥时，，此时要考虑a 与1的大小.若1a ≥，则()0f x '≥，故()f x 在[,)a +∞上递增，若01a <<，则当1a x ≤<时，()0f x '<，当1x >时，()0f x '>，故()f x 在[,1)a 上递减， 在(1,)+∞上递增，而()f x 在x a =处连续，所以 当1a ≥时，()f x 在(0,)a 上递减，在[,)a +∞上递增；当01a <<时，()f x 在(0,1)上递减，在[1,)+∞上递增. （Ⅱ）由（Ⅰ）可知当1a =，1x >时，，即ln 1x x >-，所以ln 11x x x<-.所以.18．已知函数．（1）讨论()f x 的单调性；（2）若12,x x 为()f x 的两个极值点，证明：.【答案】（1）当2a <-时，()f x 在为增函数，减函数，为增函数；当2a ≥-时，()f x 在()0,∞+为增函数．（2）证明见解析．【解析】（1）()f x 的定义域为()0,∞+，，对于函数，①当时，即22a -≤≤时，在0x >恒成立．在()0,∞+恒成立，()f x ∴在()0,∞+为增函数；②当∆>0，即2a <-或2a >时， 当2a <-时，由()0f x '>，得或，，()f x ∴在为增函数，减函数，为增函数，当2a >时，由在()0,∞+恒成立，()f x ∴在()0,∞+为增函数．综上，当2a <-时，()f x 在为增函数，减函数，为增函数；当2a ≥-时，()f x 在()0,∞+为增函数． （2）由（1）知2a <-，且，故故只需证明，令2a t =-，故1t >，原不等式等价于ln 1t t 对1t >成立， 令，所以单调递减，有得证. 19．已知函数.（Ⅰ）当1a =时，求()f x 的最大值； （Ⅱ）若1()ef x e+对恒成立，某某数a 的取值X 围.【答案】（Ⅰ）1；（Ⅱ）[1,e] 【解析】（Ⅰ）当1a =时，，定义域为(1,)-+∞..令()0f x '=，得0x =.当(1,0)x ∈-时，()0f x '>，()f x 单调递增， 当(0,)x ∈+∞时，()0f x '<，()f x 单调递减. 所以.（Ⅱ），1x a >-.令()0f x '=，得1a x a-=. 当时，()0f x '>，()f x 单调递增；当时，()0f x '<，()f x 单调递减，所以.依题意有，设，则，所以()g a 在[1,)a ∈+∞上单调递增.又，故1e a ⇒，即实数a 的取值X 围为[1,e].20．对于函数()y f x =的定义域D ，如果存在区间[],m n D ⊆，同时满足下列条件：①()f x 在上是单调函数；②当[],x m n ∈时，()f x 的值域为[]2,2m n ，则称区间是函数()f x 的“单调倍区间”．已知函数（1）若2a =，求()f x 在点()(),e f e 处的切线方程；（2）若函数()f x 存在“单调倍区间”，求a 的取值X 围．【答案】（1）；（2）【解析】 （1）当2a =时，∴当0x >时，，则：，又()f x ∴在()(),e f e 处的切线方程为：即：（2）列表如下：x(),0-∞0,2a ⎛⎫⎪⎝⎭ 2a ,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭()f x '-+-()f x极大值设函数()f x 存在“单调倍区间”是①当0m n <≤时，由()f x 在(),0-∞上单调递减，则有两式相减得：即，代入得：要使此关于,m n 的方程组在0m n <≤时有解，则使得2y a =与的图象有两个公共点当14x =时，min 38y =，当0x =时，12y =结合两函数图象，则31282a <≤，即：31164a <≤ 即此时满足()f x 存在“单调倍区间”的a 的取值X 围是31,164⎛⎤⎥⎝⎦ ②当时，由()f x 在0,2a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，则有即：1ln 41ln 4m a mn a n⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩设()ln 4xg x x=，则当()0,x e ∈时，()0g x '>，()g x 为增函数 当(),x e ∈+∞时，()0g x '<，()g x 为减函数要使方程1ln 4x a x =有两解，则1y a =与()ln 4x g x x =的图象在0,2a ⎛⎤ ⎥⎝⎦有两个交点 结合两函数图象，则，即：2ln 122114ae a a a a e ⎧>⎪⎪⎪⎪≤⎨⎪⎪<⎪⎪⎩解得：即此时满足()f x 存在“在单调倍区间”的a 的取值X 围是(24,2e e ⎤⎦③当2a m n <<时，由()f x 在,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，则有两式相减得：，此式不成立，即此时()f x 不存在“单调倍区间”综上，函数()f x 存在“单调倍区间”的a 的取值X 围是21．已知函数.（1）讨论函数()f x 的单调性； （2）当[0,1)b ∈时，设函数有最小值()h b ，求()h b 的值域.【答案】(1)见解析；(2)【解析】解：（1）()f x 定义域为，.令，①，1︒当04a ≤≤时，0∆≤，，即'()0f x ≥且不恒为零，故()f x 单调递增区间为(,4)-∞-，(4,)-+∞，2︒当4a >时，∆>0，方程①两根为，，由于，.故124x x <-<，因此当1(,)x x ∈-∞时，'()0f x >，()f x 单调递增，1(,4)x x ∈-，'()0f x <，()f x 单调递减， 2(4,)x x ∈-，'()0f x <，()f x 单调递减， 2(,)x x ∈+∞，'()0f x >，()f x 单调递增，综上，当04a ≤≤时，()f x 在(,4)-∞-单调递增，(4,)-+∞单调递增， 当4a >时，()f x 在单调递增，，单调递减；在单调递增.（2），设，由（1）知，0a =时，在(2,)-+∞单调递增， 由于(0)0k b =≥，，故在(2,0]-存在唯一0x ，使0()0k x =，，又当0(2,)x x ∈-，()0k x <，即'()0g x <，()g x 单调递减，0(,)x x ∈+∞，()0k x >，即'()0g x >，()g x 单调递增，故时，0204x e x +=+，0(2,0]x ∈-. 又设，(2,0]x ∈-，，故()m x 单调递增，故，即，即.22．已知函数（无理数 2.718e =…）．（1）若()f x 在(1,)+∞单调递增，某某数a 的取值X 围：（2）当0a =时，设，证明：当0x >时，．【答案】（1）2]-∞（，； （2）见解析.【解析】（1）解：由题意可得在1（，）+∞上恒成立． ∴， 令，则，∴函数在1（，）+∞上单调递增． ∴12a h ≤=（）． ∴实数a 的取值X 围是2]-∞（，． （2）证明：当0a =时，． ，令， 则，可得2x ln =时，函数u x （）取得极小值，． ∵00g '=（），又． ∴存在，使得． 由单调性可得：0x x =时，函数()g x 取得极小值，即最小值， ∴． 由，可得函数0y g x =（）单调递减，故． ∴当0x >时，．。
2009-2013年北京高考真题--导数大题汇编
_________高考题库，荣誉出品__________●-------------------------密--------------封--------------线--------------内--------------请--------------不--------------要--------------答--------------题-------------------------●2009-2013年北京高考真题--导数大题汇编5年高考真题分类汇编-教师卷题号一总分得分△注意事项：1.本系列试题包含2009至2013年北京市高考真题，并经过精心校对。
2.本系列文档包含全部试题分类汇编，命名规律为：2009-2013年北京高考真题--******试题汇编。
3.本系列试题涵盖北京高考所有学科，均有相关实体书出售。
i.、解答题（本大题共5小题，共0分）1.（2013年北京高考真题数学(文)）已知函数2()sin cos f x x x x x （1）若曲线()y f x 在点(,())a f a 处与直线y b 相切，求a 与b 的值。
（2）若曲线()y f x 与直线y b 有两个不同的交点，求b 的取值范围。
【答案解析】解：（1）'()2cos (2cos )f x x x x x x 因为曲线()y f x 在点(,())a f a 处的切线为y b 所以'()0()f a f a b ，即22cos 0sin cos a a a a a a a b ，解得01a b （2）因为2cos 0x 所以当0x 时'()0f x ，()f x 单调递增当0x 时'()0f x ，()f x 单调递减所以当0x 时，()f x 取得最小值(0)1f ，所以b 的取值范围是(1,)2.（2012年北京高考真题数学(文)）。
2009至2018年北京高考真题分类汇编之集合
2009至2018年北京高考真题分类汇编之集合精心校对版△注意事项：1.本系列试题包含2009年-2018年北京高考真题的分类汇编。
2.本系列文档有相关的试题分类汇编，具体见封面。
3.本系列文档为北京双高教育精心校对版本4.本系列试题涵盖北京历年（2011年-2020年）高考所有学科一 、选择题（本大题共10小题，每小题0分，共0分。
在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的） 1.（2013年北京高考真题数学(文)）已知集合{}1,0,1A =-，{}|11B x x =-≤<，则AB =（ ）A ．{}0B ．{}1,0-C ．{}0,1D ．{}1,0,1- 2.（2012年北京高考真题数学(文)）已知集合{320}A x x =∈+>R ，{(1)(3)0}B x x x =∈+->R ，则A B =3.（2011年北京高考真题数学(文)）已知全集U=R,集合P=｛x ︱x 2≤1｝,那么A ．(-∞, -1]B ．[1, +∞）C ．[-1，1]D ．（-∞，-1] ∪[1，+∞） 4.（2009年北京高考真题数学(文)）设集合21{|2},{1}2A x xB x x =-<<=≤，则A B = （ ）A ．{12}x x -≤<B ．1{|1}2x x -<≤ C ．{|2}x x < D ．{|12}x x ≤<5.（2010年北京高考真题数学(文)）集合，则=(A) {1,2} (B) {0,1,2} (C){x|0≤x<3} (D) {x|0≤x ≤3}2{03},{9}P x Z x M x R x =∈≤<=∈≤PM（A ）(,1)-∞- （B ）2(1,)3--（C ）2(,3)3-（D ）(3,)+∞姓名：__________班级：__________考号：__________ ●-------------------------密--------------封--------------线--------------内--------------请--------------不--------------要--------------答--------------题-------------------------●6.（2014年北京高考真题数学(文)）若集合{}0,1,2,4A =，{}1,2,3B =，则AB =（ ）（A ）{}0,1,2,3,4 （B ）{}0,4 （C ）{}1,2 （D ）{}37.（2015年北京高考真题数学(文)）若集合A={x|﹣5＜x ＜2}，B={x|﹣3＜x ＜3}，则A∩B=（ ）A ． {x|﹣3＜x ＜2}B ． {x|﹣5＜x ＜2}C ． {x|﹣3＜x ＜3}D ． {x|﹣5＜x ＜3}8.（2016年北京高考真题数学(文)）已知集合{|24},{|3>5}A x x B x x x =<<=<或，则AB =（A ）{|2<<5}x x （B ）{|<45}x x x >或（C ）{|2<<3}x x （D ）{|<25}x x x >或 9.（2017年北京高考真题数学(文)）已知U =R ，集合{|22}A x x x =<->或，则（A ）(2,2)- （B ）(,2)(2,)-∞-+∞（C ）[2,2]- （D ）(,2][2,)-∞-+∞ 10.（2018年北京高考真题数学(文)）已知集合A ={x||x |<2},B ={−2,0,1,2},则AB =（A ）{0,1}（B ）{−1,0,1} （C ）{−2,0,1,2}（D ）{−1,0,1,2}二 、填空题（本大题共2小题，每小题0分，共0分）11.（2009年北京高考真题数学(文)）设A 是整数集的一个非空子集，对于k A ∈，如果1k A-∉且1k A +∉，那么k 是A 的一个“孤立元”，给定{1,2,3,4,5,6,7,8,}S =，由S 的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有 个.12.（2015年北京高考真题数学(文)）如图，△ABC 及其内部的点组成的集合记为D ，P （x ，y ）为D 中任意一点，则z=2x+3y 的最大值为 ．2009至2018年北京高考真题分类汇编之集合答案解析一、选择题1.B2.D3.D4.A5.B6.C7.A8.C9.C10.A二、填空题11.612.7。
2009至2018年北京高考真题分类汇编之圆锥曲线
2009至2018年北京高考真题分类汇编之圆锥曲线精心校对版题号一二三总分得分△注意事项：1.本系列试题包含2009年-2018年北京高考真题的分类汇编。
2.本系列文档有相关的试题分类汇编，具体见封面。
3.本系列文档为北京双高教育精心校对版本4.本系列试题涵盖北京历年（2011年-2020年）高考所有学科一、填空题（本大题共10小题，共0分）1.（2013年北京高考真题数学(文)）若抛物线22y px 的焦点坐标为(1,0)，则p ，准线方程为。
2.（2011年北京高考真题数学(文)）已知双曲线2221y x b （b ＞0）的一条渐近线的方程为2y x ，则b = . 3.（2010年北京高考真题数学(文)）已知双曲线的离心率为2，焦点与椭圆的焦点相同，那么双曲线的焦点坐标为；渐近线方程为。
4.（2009年北京高考真题数学(文)）椭圆22192x y 的焦点为12,F F ，点P 在椭圆上，若1||4PF ，则2||PF ；12F PF 的大小为 . 5.（2014年北京高考真题数学(文)）设双曲线C 的两个焦点为2,0，2,0，一个顶点是1,0，则C 的方程为 . 6.（2015年北京高考真题数学(文)）已知（2，0）是双曲线x 2﹣=1（b ＞0）的一个焦点，则b= ．22221x y a b 221259x y 姓名：__________班级：__________考号：__________●-------------------------密--------------封--------------线--------------内--------------请--------------不--------------要--------------答--------------题-------------------------●。
【高考数学真题分类汇编】——导数及其应用
专题三导数及其应用第七讲导数的几何意义、定积分与微积分基本定理2019年 1.（2019全国Ⅰ理）13曲线23()e xy x x =+在点 (0)0，处的切线方程为．____________ 2.（2019全国Ⅲ理6）已知曲线 e ln xy a x x =+在点 1e a （，）处的切线方程为y x =2+b ，则 A ． e 1a b ==−， B ．a=e ， b =1 C ．1e 1a b −==，D ．1e a −= ， 1b =−2010-2018年一、选择题1．(2018全国卷Ⅰ)设函数32()(1)f x x a x ax =+−+，若()f x 为奇函数，则曲线 ()y f x =在点(0,0)处的切线方程为 A ．2y x =−B ．y x=−C ．2y x =D ．y x= 2(2016．年四川)设直线1l ,2l 分别是函数()f x = ln ,01, ln ,1,x x x x −<<⎧⎨>⎩图象上点1P ，2P 处的切线，1l 与2l 垂直相交于点P ，且1l ，2l 分别与y 轴相交于点A ，B ，则△PAB 的面积的取值范围是A (0,1)B (0,2)C (0,+．． ．∞)D (1,+)．∞3．（2016 年山东）若函数 ()y f x =的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称 ()y f x = 具有性质．下列函数中具有性质的是T T A ．sin y x =B ．ln y x =C ．xy e =D ．3y x =4(2015 )．福建若定义在R 上的函数()f x 满足 () 01f =−，其导函数 ()f x '满足 () 1f x k '>> ，则下列结论中一定错误的是A ．11()f kk<B ．11()1f kk >−C ．11()11f k k <−−D ．1()11k f k k >−−52014 ．（ 新课标Ⅰ）设曲线ln(1)y ax x =−+在点(0,0)处的切线方程为2y x =，则a = A 0 B 1 C 2 D．．．．3 62014 ．（ 山东）直线 x y 4=与曲线3y x =在第一象限内围成的封闭图形的面积为A ．22B ．24C 2D 4．．72013 ．（ 江西）若22221231111 ,,,xS x dx S dx S e dx x === ⎰⎰⎰则 123 ,,S S S 的大小关系为 A ． 123 S S S << B ．213 S S S <<C ． 231 S S S << D ． 321S S S << 82012 ．（福建）如图所示，在边长为的正方形1 OABC 中任取一点P ，则点P 恰好取自阴影部分的概率为A ．14B ．15C ．16D ．1792011．（ 新课标）由曲线y x =，直线2y x =−及y 轴所围成的图形的面积为A ．103B 4C ．．163D 6．10．（ 2011 福建）1(2)x e x dx +⎰等于A 1B ．．1e −C ．eD ．1e +11．（2010湖南）421dx x⎰等于A ．2ln 2− B ．2ln 2 C ．ln 2− D ．ln 212．（ 2010新课标）曲线3y 21x x =−+在点(1,0)处的切线方程为 A ．1y x =− B ．1y x =−+ C ．22y x =− D ．22y x =−+ 13．（2010辽宁）已知点P在曲线y=41xe +上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是A [0,．4π) B ． [,)42ππC ．3(,]24ππD ．3[,)4ππ二、填空题14．(2018 全国卷Ⅱ)曲线2ln(1)=+y x 在点 (0,0)处的切线方程为__________ ．15．(2018 全国卷Ⅲ)曲线(1)x y ax e =+在点(0,1)处的切线的斜率为2−，则a =____ ．16．(2016 年全国Ⅱ)若直线 y kx b =+是曲线 ln 2y x =+的切线，也是曲线ln(1)y x =+的切线，则 b =．17．(2016 年全国Ⅲ) 已知()f x 为偶函数，当 0x <时， ()ln()3f x x x =−+，则曲线()y f x =，在点 (1,3)−处的切线方程是_________．18．（ 2015湖南）2(1)x dx −⎰= ．19．（2015陕西）设曲线xy e =在点（0,1）处的切线与曲线1(0)y x x=>上点P 处的切线垂直，则P 的坐标为．20．（2015福建）如图，点A 的坐标为 ()1,0，点C 的坐标为()2,4，函数 ()2f x x =，若在矩形ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于．（第题）（第1517 题）21．（ 2014广东）曲线25+=−x ey 在点)3,0(处的切线方程为．22．（ 2014福建）如图，在边长为e （e 为自然对数的底数）的正方形中随机撒一粒黄豆，则他落到阴影部分的概率为．______23．（2014 江苏）在平面直角坐标系xOy 中，若曲线xbax y +=2 (a ，b 为常数过点))5,2(−P ， 且该曲线在点处的切线与直线P 0327=++y x 平行，则 b a +的值是． 24．（ 2014安徽）若直线l 与曲线C 满足下列两个条件：)(i 直线l 在点()00 ,y x P 处与曲线C 相切；)(ii 曲线C 在P 附近位于直线l 的两侧，则称直线l 在点P 处“切过”曲线C ．下列命题正确的是_________(写出所有正确命题的编号)①直线 0:=y l 在点 ()0,0P 处“切过”曲线C ：3y x =②直线 1:−=x l 在点 ()0,1−P 处“切过”曲线C ：2 )1(+=x y ③直线 x y l =:在点 ()0,0P 处“切过”曲线C ： xy sin =④直线 x y l =:在点()0,0P 处“切过”曲线C ： x y tan =⑤直线 1:−=x y l 在点 ()0,1P 处“切过”曲线C ： x y ln =． 25．（2013 江西）若曲线1y x α=+（R α∈）在点(1,2)处的切线经过坐标原点，则α= ．26．(2013 湖南)若209,Tx dx T =⎰ 则常数的值为．27．（ 2013福建）当 ,1x R x ∈<时，有如下表达式:211.......1n x x x x+++++=−两边同时积分得：111112222220000011.......1ndx xdx x dx x dx dx x+++++=− ⎰⎰⎰⎰⎰从而得到如下等式：2311111111 1()()...()...ln 2. 2223212n n + ⨯+⨯+⨯++⨯+=+请根据以下材料所蕴含的数学思想方法，计算：012231 1111111 ()()() 2223212n n n n n n C C C C n + ⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯+=．28．（ 2012江西）计算定积分121(sin )x x dx −+=⎰___________．29．（2012 山东）设0>a ，若曲线 x y =与直线0,==y a x 所围成封闭图形的面积为2a ，则=a． 30．（ 2012新课标）曲线(3ln 1)y x x =+在点(1,1)处的切线方程为________ ．31．（ 2011 陕西）设2lg 0()30ax x f x x t dt x >⎧⎪=⎨+⎪⎩⎰…，若 ((1))1f f =，则a =．32．（2010新课标）设 ()y f x =为区间[0,1]上的连续函数，且恒有0()1f x ≤≤，可以用随机模拟方法近似计算积分1()f x dx ⎰，先产生两组（每组N 个）区间[0,1]上的均匀随机数12,,N x x x …和12,,N y y y … ，由此得到N 个点 (,)(1,2,)i i x y i N =…,，再数出其中满足 ()(1,2,)i i y f x i N ≤=…,的点数1N ，那么由随机模拟方案可得积分1()f x dx ⎰的近似值为．332010．（江苏）函数2y x =( 0x >)的图像在点2(,)k k a a 处的切线与x 轴交点的横坐标为1k a +，其中*k N ∈，若1 16a =，则 135 a a a ++= ．三、解答题34．（ 2017北京）已知函数 ()cos x f x e x x =−． （Ⅰ）求曲线 ()y f x =在点 (0,(0))f 处的切线方程； （Ⅱ）求函数()f x 在区间 [0,]2π上的最大值和最小值．35．(2016 )年北京设函数()a x f x xe bx −=+，曲线 ()y f x =在点 (2,(2))f 处的切线方程为 (1)4y e x =−+，（）求I a ，b 的值；（）求II ()f x 的单调区间.36．（）设函数2015 重庆23 ()()e xx axf x a R +=∈．（Ⅰ）若()f x 在 0x =处取得极值，确定a 的值，并求此时曲线 ()y f x =在点 (1,(1))f 处的切线方程；（Ⅱ）若()f x 在 [3,)+∞上为减函数，求a 的取值范围．37．（ 2015新课标Ⅰ）已知函数31()4f x x ax =++， ()lng x x =−． （）当Ⅰa 为何值时，x 轴为曲线 ()y f x =的切线；（Ⅱ）用min {},m n 表示m ，n 中的最小值，设函数{} ()min (),()h x f x g x = (0)x >，讨论()h x 零点的个数．38．(2014 新课标Ⅰ设函数)1()ln x xbe f x ae x x−=+，曲线 ()y f x =在点 (1,(1))f 处的切线为(1)2y e x =−+． ()Ⅰ求,a b ；（Ⅱ）证明：()1f x >． 39．（ 2013新课标Ⅱ）已知函数 ()()ln x f x e x m =−+()Ι设 0x =是 ()f x 的极值点，求m ,并讨论 ()f x 的单调性；（Ⅱ）当 2m ≤时，证明 ()0f x >．40．（辽宁）设2012 ()()() =ln +1++1++,,,f x x x ax b a b R a b ∈为常数，曲线 ()=y f x 与直线3=2y x 在 ()0,0点相切．（）求1,a b 的值；（）证明：当2 0<<2x 时，()9<+6xf x x ． 41．（ 2010福建）（）已知函数13 ()=f xx x −，其图象记为曲线C ． （）求函数i ()f x 的单调区间；（）证明：若对于任意非零实数ii 1x ，曲线与其在点C111 (,())P x f x 处的切线交于另一点 222 (,())P x f x ，曲线与其在点C 222 (,())P x f x 处的切线交于另一点333 (,())P x f x ，线段 1223 ,PP P P 与曲线C 所围成封闭图形的面积分别记为1,2S S ，则12S S 为定值；（）对于一般的三次函数232()g x ax bx cx d =+++ (0)a ≠ ，请给出类似于（1）（ii ）的正确命题，并予以证明．。
2009年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全(04导数及其应用)
x 22009年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全(04导数及其应用)、选择题:1. (2009安徽文、理)设a v b,函数y = (x -a)2(x -b)的图像可能是/ /2a +b1.［解析］:y = (x -a)(3x -2a -b)，由 y = 0得x=a,x ,•••当 x = a 时，y 取极大值0,3当x = ------ 时y 取极小值且极小值为负。
故选C 。
3或当x ::: b 时y ::: 0，当x b 时，y . 0选C2. (2009安徽理)已知函数f(x)在R 上满足f (x) =2f (2-x)-x 2 • 8x -8，则曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程是- (A ) y=2x-1( B ) y=x (C ) y=3x-2 ( D ) y - -2x 3 高…2.[解析]:由 f(x) =2f(2_x) _x 2 8x_8得 f(2_x) =2f(x)_(2_x)2 8(2_x)_8 , 即 2 f (x) - f (2-x) = x 2 4x-4 ,• f(x)=x 2 •f /(x)=2x ，•切线方程为y -1 =2(x -1)，即 2x -y -1 =0 选 A3.(2009安徽文)设函数 f(xH Si ^x^3CO^x 2 tan ：，其中[0,—]，则导数「(1)的3 2 12取值范围是A. [-2,2]B.卜、2,、、3]C.[ .、. 3,2]D. [、、2,2]3.【解析】f"(1) = sin 日 x 2+75cos 日 x 乂二=sin 日+ 75cos^=2sin (日+三)3V 日乏」0,空兀I sin (日+上)壬|返,1 I f "(1)乏I V2, 2 I ,选D 。
1 12」3 2 - -兀4. (2009 福建理).^ (1 cosx)dx 等于2x 2D. ■: +2JI JI n n=(— sin—) -[ sin( )] - 二2.故选D2 2 2 2C. - -2 X[解析]■/原式=x +sin x 25. (2009广东文)函数f (x) =(x -3)e x的单调递增区间是A. -：：,2B. (0, 3)C. (1,4) D. 2,::5.解：f (x) =e x (x -3)e x二(x -2)e x，令f (x) . 0 ,解得x>2，故答D。
2009至2018年北京高考真题分类汇编之导数大题
2009至2018年北京高考真题分类汇编之导数大题精心校对版题号一总分得分△注意事项：1.本系列试题包含2009年-2018年北京高考真题的分类汇编。
2.本系列文档有相关的试题分类汇编，具体见封面。
3.本系列文档为北京双高教育精心校对版本4.本系列试题涵盖北京历年（2011年-2020年）高考所有学科一、解答题（本大题共10小题，共0分）1.（2013年北京高考真题数学(文)）已知函数2()sin cos f x x x x x （1）若曲线()y f x 在点(,())a f a 处与直线y b 相切，求a 与b 的值。
（2）若曲线()y f x 与直线y b 有两个不同的交点，求b 的取值范围。
2.（2012年北京高考真题数学(文)）已知函数2()1(0)f x ax a ，3()g x x bx ．（Ⅰ）若曲线()y f x 与曲线()y g x 在它们的交点(1,)c 处具有公共切线，求,a b 的值；（Ⅱ）当3a ，9b 时，若函数()()f x g x 在区间[,2]k 上的最大值为28，求k 的取值范围．3.（2011年北京高考真题数学(文)）已知函数()()x f x x k e . （Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）求()f x 在区间[0,1]上的最小值.4.（2009年北京高考真题数学(文)）姓名：__________班级：__________考号：__________●-------------------------密--------------封--------------线--------------内--------------请--------------不--------------要--------------答--------------题-------------------------●。
2018年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全(04 导数及其应用)
则曲线 y 2ln x 在点 1,0 处的切线的斜率为 k f 1 2 ， 则所求切线方程为 y 0 2 x 1 ，即 y 2x 2 ．
4．（2018 全国新课标Ⅱ理）曲线 y 2 ln(x 1) 在点 (0, 0) 处的切线方程为__________．
4．【答案】 y 2x
x
,1
1
1,1a
f x
0
f x
Z
极大值
]
f x 在 x 1处取得极大值，不合题意． ③当 x1 x2 ，即 a 1时， f x ， f x 随 x 的变化情况如下表：
x
,1 a
1 a
1 a
,1
f x
0
1 a 0 极小值
1 0
1 a
,
Z
1,
f x
Z
极大值
]
极小值
Z
f x 在 x 1处取得极小值，即 a 1满足题意．
1 x
1)2 k 1
4
16
0 ，得 h(x) 有两个极值点 x1, x2 (x1 x2 ) ，
∴
1 x1
1 4
，∴ 0
x1
16 .
可知 h(x) 在 (0, x1) 递增， (x1, x2 ) 递减， (x2 , ) 递增，
∴ h(x1) kx1
x1
ln x1
a
( 2
1 x1
1) x1
（1）证明：函数 f (x) x 与 g(x) x2 2x 2 不存在“S 点”；
（2）若函数 f (x) ax2 1与 g(x) ln x 存在“S 点”，求实数 a 的值； （3）已知函数 f (x) x2 a ，g(x) bex ．对任意 a 0 ，判断是否存在 b 0 ，使函数 f (x) 与 g(x)
2018年全国卷理科数学十年真题分类汇编 导数
2018年全国卷理科数学十年真题分类汇编导数一．基础题组1.【2010新课标，理3】曲线 $y=\frac{x}{x+2}$ 在点(-1,-1)处的切线方程为()A。
$y=2x+1$。
B。
$y=2x-1$C。
$y=-2x-3$。
D。
$y=-2x-2$答案】A2.【2008全国1，理6】若函数 $y=f(x-1)$ 的图像与函数$y=\ln x+1$ 的图像关于直线 $y=x$ 对称，则 $f(x)=\_\_\_$A。
$e^{2x}-1$。
B。
$e^{2x}$C。
$e^{2x}+1$。
D。
$e^{2x}+2$答案】B.解析】由 $y=\ln x+1 \Rightarrow x=e。
f(x-1)=e^{2(x-1)}。
f(x)=e^{2x}$。
因为 $y=f(x-1)$ 的图像与 $y=\ln x+1$ 的图像关于直线 $y=x$ 对称，所以 $f(x)$ 的图像也与 $y=\ln x+1$ 的图像关于直线 $y=x$ 对称。
因此，$f(x)$ 的图像为 $y=\ln x-1$ 的图像上下平移一定距离得到。
所以 $f(x)$ 的图像单调性与 $y=\ln x+1$ 相同。
即在 $(-\infty,0)$ 上单调递减，在$(0,+\infty)$ 上单调递增。
3.【2012全国，理21】已知函数 $f(x)$ 满足$f(x)=f'(1)e^{x-1}$。
1)求 $f(x)$ 的解析式及单调区间；2)若 $f(x) \geq -\frac{f(0)x}{2}+\frac{1}{2}x^2+ax+b$，求$(a+1)b$ 的最大值。
解析】(1)由已知得 $f'(x)=f'(1)e^{x-1}-f(0)+1$。
所以$f'(1)=f'(1)-f(0)+1$，即 $f(0)=1$。
又 $f(0)=f'(1)e^{0-1}$，所以$f'(1)=e$。
从而 $f(x)=e^{x-1}+x-\frac{1}{2}$。
2009年普通高等学校招生全国统一考试数学(理)试题汇编导函数篇
1、已知函数)(x f 在R 上满足88)2(2)(2-+--=x x x f x f ，则曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线方程是（A ）12-=x y （B ）x y = （C ）23-=x y （D ）32+-=x y 2、已知函数.)(.0),ln 2(2)(的单调性讨论x f a x a xx x f >-+-= 1、由2()2(2)88f x f x x x =--+-得2(2)2()(2)8(2)8f x f x x x -=--+--， 即22()(2)44f x f x x x --=+-，∴2()f x x =∴/()2f x x =，∴切线方程为12(1)y x -=-，即210x y --=选A2、()f x 的定义域是(0,+∞),22222()1.a x ax f x x x x -+'=+-=设2()2g x x ax =-+,二次方程()0g x =的判别式28a ∆=-.① 当280a ∆=-<，即022a <<时，对一切0x >都有()0f x '>,此时()f x 在(0,)+∞上是增函数。
② 当280a ∆=-=,即22a =时，仅对2x =有()0f x '=,对其余的0x >都有()0f x '>,此时()f x 在(0,)+∞上也是增函数。
③ 当280a ∆=->，即22a >时，方程()0g x =有两个不同的实根218a a x --=,228a a x +-=,120x x <<.+ 0 _ 0 +单调递增极大单调递减极小单调递增此时()f x 在28a a --上单调递增, 在2288a a a a --+-是上单调递减, 在28)a a +-+∞上单调递增. 3、设()f x 是偶函数，若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线的斜率为1，则该曲线在(1,(1))f --处的切线的斜率为_________.【答案】1- 【解析】本题主要考查导数与曲线在某一点处切线的斜率的概念. 属于基础知识、基本运算 的考查.取()2f x x =，如图，采用数形结合法， 易得该曲线在(1,(1))f --处的切线的斜率为1-.故应填1-.4、设函数()(0)kxf x xe k =≠（Ⅰ）求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； （Ⅱ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅲ）若函数()f x 在区间(1,1)-内单调递增，求k 的取值范围.【解析】本题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值、解不等式等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力．（Ⅰ）()()()()''1,01,00kx fx kx e f f =+==,曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为y x =.（Ⅱ）由()()'10kx f x kx e =+=，得()10x k k=-≠， 若0k >，则当1,x k ⎛⎫∈-∞-⎪⎝⎭时，()'0f x <，函数()f x 单调递减， 当1,,x k ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭时，()'0f x >，函数()f x 单调递增， 若0k <，则当1,x k ⎛⎫∈-∞-⎪⎝⎭时，()'0f x >，函数()f x 单调递增， 当1,,x k ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭时，()'0f x <，函数()f x 单调递减， （Ⅲ）由（Ⅱ）知，若0k >，则当且仅当11k-≤-， 即1k ≤时，函数()f x ()1,1-内单调递增， 若0k <，则当且仅当11k-≥， 即1k ≥-时，函数()f x ()1,1-内单调递增，综上可知，函数()f x ()1,1-内单调递增时，k 的取值范围是[)(]1,00,1-5、若曲线3()ln f x ax x =+存在垂直于y 轴的切线，则实数a 取值范围是_____________. 【答案】：(,0)-∞解析：由题意可知'21()2f x ax x=+，又因为存在垂直于y 轴的切线， 所以231120(0)(,0)2ax a x a x x+=⇒=->⇒∈-∞。
2009年新课标地区高考数学试题汇编 导数部分
2009年普通高等学校招生全国统一考试试题数学汇编导数部分1.(安徽理6)设a ＜b,函数2()()y x a x b =--的图像可能是[解析]：/()(32)y x a x a b =---，由/0y =得2,3a bx a x +==，∴当x a =时，y 取极大值0，当23a bx +=时y 取极小值且极小值为负。
故选C 。
或当x b <时0y <，当x b >时，0y >选C2.(安徽理9)已知函数()f x 在R 上满足2()2(2)88f x f x x x =--+-，则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程是（A ）21y x =- （B ）y x = （C ）32y x =- （D ）23y x =-+[解析]：由2()2(2)88f x f x x x =--+-得2(2)2()(2)8(2)8f x f x x x -=--+--， 即22()(2)44f x f x x x --=+-，∴2()f x x =∴/()2f x x =，∴切线方程为12(1)y x -=-，即210x y --=选A3.(辽宁理7)曲线2xy x =-在点(1,1)-处的切线方程为 答案： D 解析： 2222(2)(2)x x y x x ---'==--，222(12)k -==--，∴切线方程为12(1)y x +=--，即21y x =-+。
4. (福建理4)22(1cos )x dx ππ-+⎰等于A ．π B. 2 C. π-2 D. π+2 答案：D解析：∵2sin (sin )[sin()]222222x x xx πππππ=+=+--+-=+-原式.故选D 5.(天津理4)设函数1()ln (0),3f x x x x =->则()y f x =A 在区间1(,1),(1,)e e 内均有零点。
B 在区间1(,1),(1,)e e 内均无零点。
十年高考真题汇编(北京卷,含解析)导数及其应用
十年高考真题（2011-2020）（北京卷）专题04导数及其应用本专题考查的知识点为：导数及其应用，历年考题主要以选择填空或解答题题型出现，重点考查的知识点为：导数研究函数的几何意义，导数研究函数的单调性、极值与最值，导数证明不等式的方法等，预测明年本考点题目会有所变化，备考方向以导数研究函数的极值，导数研究函数的最值为重点较佳.1．【2020年北京卷11】函数f(x)=1x+1+lnx的定义域是____________．2．【2019年北京理科13】设函数f（x）＝e x+ae﹣x（a为常数）．若f（x）为奇函数，则a＝；若f（x）是R上的增函数，则a的取值范围是．3．【2016年北京理科14】设函数f（x）={x3−3x，x≤a −2x，x＞a．①若a＝0，则f（x）的最大值为；②若f（x）无最大值，则实数a的取值范围是．4．【2020年北京卷19】已知函数f(x)=12−x2．（Ⅰ）求曲线y=f(x)的斜率等于−2的切线方程；（Ⅱ）设曲线y=f(x)在点(t,f(t))处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为S(t)，求S(t)的最小值．5．【2019年北京理科19】已知函数f（x）=14x3﹣x2+x．（Ⅰ）求曲线y＝f（x）的斜率为l的切线方程；（Ⅱ）当x∈[﹣2，4]时，求证：x﹣6≤f（x）≤x；（Ⅲ）设F（x）＝|f（x）﹣（x+a）|（a∈R），记F（x）在区间[﹣2，4]上的最大值为M（a）．当M（a）最小时，求a的值．6．【2018年北京理科18】设函数f（x）＝[ax2﹣（4a+1）x+4a+3]e x．（Ⅰ）若曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线与x轴平行，求a；（Ⅱ）若f（x）在x＝2处取得极小值，求a的取值范围．7．【2017年北京理科19】已知函数f（x）＝e x cos x﹣x．（1）求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（2）求函数f（x）在区间[0，π2]上的最大值和最小值．8．【2016年北京理科18】设函数f（x）＝xe a﹣x+bx，曲线y＝f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y＝（e ﹣1）x+4，（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）求f（x）的单调区间．9．【2015年北京理科18】已知函数f（x）＝ln1+x1−x，（Ⅰ）求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（Ⅱ）求证，当x∈（0，1）时，f（x）＞2(x+x 33 )；（Ⅲ）设实数k使得f（x）＞k(x+x 33)对x∈（0，1）恒成立，求k的最大值．10．【2013年北京理科18】设l为曲线C：y=lnxx在点（1，0）处的切线．（Ⅰ）求l的方程；（Ⅱ）证明：除切点（1，0）之外，曲线C在直线l的下方．11．【2012年北京理科18】已知函数f（x）＝ax2+1（a＞0），g（x）＝x3+bx（1）若曲线y＝f（x）与曲线y＝g（x）在它们的交点（1，c）处具有公共切线，求a、b的值；（2）当a2＝4b时，求函数f（x）+g（x）的单调区间，并求其在区间（﹣∞，﹣1）上的最大值．12．【2011年北京理科18】已知函数f(x)=(x−k)2e x k．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若对于任意的x∈（0，+∞），都有f（x）≤1e，求k的取值范围．1．若函数f(x)=x2+ax+1x 在(12,+∞)是增函数，则a的取值范围是（）A．[−1,0]B．[−1,+∞)C．[0,3]D．[3,+∞)2．【2020届北京市西城区第四中学高三上学期期中】已知曲线y=a e x+xlnx在点(1,ae)处的切线方程为y =2x+b，则（）A．a=e,b=−1B．a=e,b=1C．a=e−1,b=1D．a=e−1,b=−13．【北京市西城区第四中学2019-2020学年高三上学期10月月考】设函数f(x)=√3sinπxm．若存在f(x)的极值点x0满足x02+[f(x0)]2<m2，则m的取值范围是（）A．(−∞,−6)∪(6,∞)B．(−∞,−4)∪(4,∞)C．(−∞,−2)∪(2,∞)D．(−∞,−1)∪(1,∞)4．函数f(x)=x3−3x2+2在区间[－1，1]上的最大值是（）A．4B．2C．0D．－25．【北京市首都师范大学附属中学2019届高三高考模拟预测卷（二）】已知函数f(x)=13x3−4x+2e x−2e x，其中e是自然对数的底，若f(a−1)+f(2a2)≤0，则实数a的取值范围是（）A．(−∞,−1]B．[12,+∞)C．(−1,12)D．[−1,12]6．【2020届北京市昌平区新学道临川学校高三上学期第三次月考】已知函数f(x)=x2−2x+a(e x−1+ e−x+1)有唯一零点，则a=A．−12B．13C．12D．17．【2020届北京市朝阳区六校联考高三年级四月份测试】关于函数f(x)=(x2+ax−1)e x，有以下三个结论：①函数恒有两个零点，且两个零点之积为−1；②函数的极值点不可能是−1；③函数必有最小值.其中正确结论的个数有（）A．0个B．1个C．2个D．3个8．【北京市第171中学2019-2020学年高三10月月考】已知函数f(x)=e2x−3，g(x)=14+ln x2，若f(m)=g(n)成立，则n−m的最小值为（）A．12+ln2B．ln2C．12+2ln2D．2ln29．【北京市中国人民大学附属中学2019届高三上学期月考（二）】设函数f′(x)是奇函数f(x)（x∈R）的导函数，f(−1)=0，当x>0时，xf′(x)−f(x)<0，则使得f(x)>0成立的x的取值范围是（）A．(−∞,−1)∪(0,1)B．(−1,0)∪(1,+∞)C．(−∞,−1)∪(−1,0)D．(0,1)∪(1,+∞)≥x a对x∈(1,+ 10．【2020年1月中学生标准学术能力诊断性测试诊断性测试】已知不等式x+alnx+1e x∞)恒成立，则实数a的最小值为（）A．−√e B．−eC．−e D．−2e2−alnx（a 11．【北京市清华大学附属中学2019届高三下学期第三次模拟】直线y=x+1是曲线f（x）=x+1x∈R）的切线，则a的值是______．12．已知f(x)＝e x·sinx，则f′(0)的值为___.13．【北京市中国人民大学附属中学2019届高三上学期月考（二）】已知函数f(x)=ax3+x+1的图像在点(1,f(1))的处的切线过点(2,7)，则a=.14．函数f(x)=xlnx的单调减区间是______．(x>0)的单调递减区15．【北京市丰台区2019届高三年级第二学期综合练习（二）】已知函数f(x)=x+ax间为(0,2)，单调递增区间为(2,+∞)，那么a=____．16．对于函数y=f(x)，若存在区间[a,b]，当x∈[a,b]时的值域为[ka,kb](k>0)，则称y=f(x)为k倍值函数.若f(x)=lnx+x是k倍值函数，则实数k的取值范围是________.17．【北京市东城区第五中学2019-2020学年高三上学期12月月考】函数y=f(x)图象上不同两点A(x1，y1)，B(x2，y2)处的切线的斜率分别是k A，k B，规定φ(A,B)=|k A−k B|叫曲线y=f(x)在点A与点B之间的|AB|“弯曲度”，给出以下命题：（1）函数y=x3−x2+1图象上两点A、B的横坐标分别为1，2，则φ(A,B)>√3；（2）存在这样的函数，图象上任意两点之间的“弯曲度”为常数；（3）设点A、B是抛物线，y=x2+1上不同的两点，则φ(A,B)⩽2；（4）设曲线y=e x上不同两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1−x2=1，若t·φ(A,B)<1恒成立，则实数t 的取值范围是(−∞,1)；以上正确命题的序号为__（写出所有正确的）+cosx，给出下列结论：18．【北京市平谷区2020届高三第二学期阶段性测试（二模）】已知函数f(x)=1x①f(x)在(0，π]上有最小值，无最大值；②设F(x)=f(x)−f(−x)，则F(x)为偶函数；③f(x)在(0，2π)上有两个零点其中正确结论的序号为________.（写出所有正确结论的序号）19．【北京市通州区2020届高考一模】给出下列四个函数，①y=x2+1；②y=|x+1|+|x+2|；③y=2x+1；④y=x2+cosx，其中值域为[1,+∞)的函数的序号是______.20．【2019届北京市中国人民人大附属中学高三（5月）模拟】已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且对任意的实数x都有f′(x)=e−x(2x+3)−f(x)（e是自然对数的底数），且f(0)=1，若关于x的不等式f(x)−m <0的解集中恰有两个整数，则实数m的取值范围是________..21．【北京市人大附中2020届高三（6月份）高考数学考前热身】已知函数f(x)=1−xe x（1）求函数f(x)的单调区间；成立，求实数a的最小值.（2）若对任意x1,x2∈[a,+∞)，都有f(x1)−f(x2)≥−1e222．【北京市大兴区2019届高三4月一模】已知函数f(x)=a e x图象在x=0处的切线与函数g(x)=lnx图象在x=1处的切线互相平行．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）设ℎ(x)=f(x)−g(x)，求证：ℎ(x)>2．23．【北京五中2020届高三（4月份）高考数学模拟】设函数f（x）＝me x﹣x2+3，其中m∈R.（1）如果f（x）同时满足下面三个条件中的两个：①f（x）是偶函数；②m＝1；③f（x）在（0，1）单调递减.指出这两个条件，并求函数h（x）＝xf（x）的极值；（2）若函数f（x）在区间[﹣2，4]上有三个零点，求m的取值范围.24．【2020届北京市平谷区高三3月质量监控（一模）】已知函数f(x)=(x2+ax−a)，其中a∈R.e x（1）当a=0时，求f(x)在(1,f(1))的切线方程；（2）求证：f(x)的极大值恒大于0.25．【2020届北京市海淀区高三一模】已知函数f(x)=e x+ax.(I)当a=-1时，①求曲线y=f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；②求函数f(x)的最小值；(II)求证:当a∈(−2,0)时，曲线y=f(x)与y=1−lnx有且只有一个交点.26．【北京市西城区第四中学2019-2020学年高三上学期10月月考】已知函数f(x)=x−alnx(a∈R).（Ⅰ）当a=2时，求曲线y=f(x)在点A(1,f(1))处的切线方程；（Ⅱ）求函数f(x)的极值.),，其中a 27．【北京市海淀区2019届高三年级第二学期期末练习（二模）】已知函数f(x)=e ax(x2−a+2a≠0．(Ⅰ)求曲线y =f(x)在点(1,f(1))处切线的倾斜角； (Ⅱ)若函数f(x)的极小值小于0，求实数a 的取值范围．28．【北京市第四中学2019届高三高考调研卷（二）】已知函数g(x)=alnx ，f(x)=x 3+x 2+bx . （1）若f(x)在区间[1,2]上不是单调函数，求实数b 的范围；（2）若对任意x ∈[1,e]，都有g(x)≥−x 2+(a +2)x 恒成立，求实数a 的取值范围；（3）当b =0时，设F(x)={f(−x),x <1g(x),x ≥1，对任意给定的正实数a ，曲线y =F(x)上是否存在两点P ，Q ，使得ΔPOQ 是以O （O 为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，而且此三角形斜边中点在y 轴上？请说明理由.29．【北京市人大附中2019届高三高考模拟预测】已知函数f(x)＝(3－x)e x，g(x)＝x ＋a(a∈R)(e 是自然对数的底数，e≈2.718…)． (1)求函数f(x)的极值；(2)若函数y ＝f(x)g(x)在区间[1，2]上单调递增，求实数a 的取值范围； (3)若函数h(x)＝f(x)+g(x)x在区间(0，＋∞)上既存在极大值又存在极小值，并且函数h(x)的极大值小于整数b ，求b 的最小值．30．已知函数f （x ）＝x 22﹣（1+2a ）x +4a+12ln （2x +1），a ＞0．（1）已知函数f （x ）在x ＝2取得极小值，求a 的值； （2）讨论函数f （x ）的单调区间；（3）当a ＞14时，若存在x 0∈（12，+∞）使得f （x 0）＜12﹣2a 2，求实数a 的取值范围．1．【2020年北京卷11】函数f(x)=1x+1+lnx 的定义域是____________．【答案】(0,+∞) 【解析】由题意得{x >0x +1≠0 ，∴x >0故答案为：(0,+∞)2．【2019年北京理科13】设函数f （x ）＝e x +ae ﹣x （a 为常数）．若f （x ）为奇函数，则a ＝ ；若f （x ）是R 上的增函数，则a 的取值范围是 ． 【答案】解：根据题意，函数f （x ）＝e x +ae ﹣x ，若f （x ）为奇函数，则f （﹣x ）＝﹣f （x ），即e ﹣x +ae x ＝﹣（e x +ae ﹣x ），变形可得a ＝﹣1， 函数f （x ）＝e x +ae ﹣x ，导数f ′（x ）＝e x ﹣ae ﹣x若f （x ）是R 上的增函数，则f （x ）的导数f ′（x ）＝e x ﹣ae ﹣x ≥0在R 上恒成立， 变形可得：a ≤e 2x 恒成立，分析可得a ≤0，即a 的取值范围为（﹣∞，0]； 故答案为：﹣1，（﹣∞，0]．3．【2016年北京理科14】设函数f （x ）={x 3−3x ，x ≤a −2x ，x ＞a．①若a ＝0，则f （x ）的最大值为 ；②若f （x ）无最大值，则实数a 的取值范围是 ． 【答案】解：①若a ＝0，则f （x ）={x 3−3x ，x ≤0−2x ，x ＞0，则f ′（x ）={3x 2−3，x ≤0−2，x ＞0，当x ＜﹣1时，f ′（x ）＞0，此时函数为增函数， 当x ＞﹣1时，f ′（x ）＜0，此时函数为减函数， 故当x ＝﹣1时，f （x ）的最大值为2； ②f ′（x ）={3x 2−3，x ≤a −2，x ＞a，令f ′（x ）＝0，则x ＝±1，若f （x ）无最大值，则{a ≤−1−2a ＞a 3−3a，或{a ＞−1−2a ＞a 3−3a −2a ＞2，解得：a ∈（﹣∞，﹣1）． 故答案为：2，（﹣∞，﹣1）4．【2020年北京卷19】已知函数f(x)=12−x 2． （Ⅰ）求曲线y =f(x)的斜率等于−2的切线方程；（Ⅱ）设曲线y =f(x)在点(t,f(t))处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为S(t)，求S(t)的最小值． 【答案】（Ⅰ）2x +y −13=0，（Ⅱ）32. 【解析】（Ⅰ）因为f (x )=12−x 2，所以f ′(x )=−2x ，设切点为(x 0,12−x 0)，则−2x 0=−2，即x 0=1，所以切点为(1,11)， 由点斜式可得切线方程为：y −11=−2(x −1)，即2x +y −13=0. （Ⅱ）显然t ≠0，因为y =f (x )在点(t,12−t 2)处的切线方程为：y −(12−t 2)=−2t (x −t )， 令x =0，得y =t 2+12，令y =0，得x =t 2+122t，所以S (t )=12×(t 2+12)⋅t 2+122|t|，不妨设t >0(t <0时，结果一样)， 则S (t )=t 4+24t 2+1444t =14(t 3+24t +144t)，所以S ′(t )=14(3t 2+24−144t2)=3(t 4+8t 2−48)4t 2=3(t 2−4)(t 2+12)4t 2=3(t−2)(t+2)(t 2+12)4t 2，由S ′(t )>0，得t >2，由S ′(t )<0，得0<t <2， 所以S (t )在(0,2)上递减，在(2,+∞)上递增， 所以t =2时，S (t )取得极小值， 也是最小值为S (2)=16×168=32.5．【2019年北京理科19】已知函数f （x ）=14x 3﹣x 2+x ． （Ⅰ）求曲线y ＝f （x ）的斜率为l 的切线方程；（Ⅱ）当x ∈[﹣2，4]时，求证：x ﹣6≤f （x ）≤x ；（Ⅲ）设F （x ）＝|f （x ）﹣（x +a ）|（a ∈R ），记F （x ）在区间[﹣2，4]上的最大值为M （a ）．当M （a ）最小时，求a 的值．【答案】解：（Ⅰ）f ′（x ）=34x 2−2x +1，由f ′（x ）＝1得x （x −83）＝0， 得x 1=0，x 2=83．又f （0）＝0，f （83）=827， ∴y ＝x 和y −827=x −83， 即y ＝x 和y ＝x −6427；（Ⅱ）证明：欲证x ﹣6≤f （x ）≤x ， 只需证﹣6≤f （x ）﹣x ≤0，令g （x ）＝f （x ）﹣x =14x 3−x 2，x ∈[﹣2，4]，则g ′（x ）=34x 2−2x =34x(x −83)，可知g ′（x ）在[﹣2，0]为正，在（0，83）为负，在[83，4]为正， ∴g （x ）在[﹣2，0]递增，在[0，83]递减，在[83，4]递增，又g （﹣2）＝﹣6，g （0）＝0，g （83）=−6427＞−6，g （4）＝0， ∴﹣6≤g （x ）≤0， ∴x ﹣6≤f （x ）≤x ； （Ⅲ）由（Ⅱ）可得， F （x ）＝|f （x ）﹣（x +a ）| ＝|f （x ）﹣x ﹣a | ＝|g （x ）﹣a |∵在[﹣2，4]上，﹣6≤g （x ）≤0， 令t ＝g （x ），h （t ）＝|t ﹣a |，则问题转化为当t ∈[﹣6，0]时，h （t ）的最大值M （a ）的问题了，①当a ≤﹣3时，M （a ）＝h （0）＝|a |＝﹣a ， 此时﹣a ≥3，当a ＝﹣3时，M （a ）取得最小值3； ②当a ≥﹣3时，M （a ）＝h （﹣6）＝|﹣6﹣a |＝|6+a |， ∵6+a ≥3，∴M （a ）＝6+a ， 也是a ＝﹣3时，M （a ）最小为3． 综上，当M （a ）取最小值时a 的值为﹣3．6．【2018年北京理科18】设函数f （x ）＝[ax 2﹣（4a +1）x +4a +3]e x ． （Ⅰ）若曲线y ＝f （x ）在点（1，f （1））处的切线与x 轴平行，求a ； （Ⅱ）若f （x ）在x ＝2处取得极小值，求a 的取值范围．【答案】解：（Ⅰ）函数f （x ）＝[ax 2﹣（4a +1）x +4a +3]e x 的导数为 f ′（x ）＝[ax 2﹣（2a +1）x +2]e x ．由题意可得曲线y ＝f （x ）在点（1，f （1））处的切线斜率为0， 可得（a ﹣2a ﹣1+2）e ＝0，且f （1）＝3e ≠0， 解得a ＝1；（Ⅱ）f （x ）的导数为f ′（x ）＝[ax 2﹣（2a +1）x +2]e x ＝（x ﹣2）（ax ﹣1）e x ， 若a ＝0则x ＜2时，f ′（x ）＞0，f （x ）递增；x ＞2，f ′（x ）＜0，f （x ）递减． x ＝2处f （x ）取得极大值，不符题意；若a ＞0，且a =12，则f ′（x ）=12（x ﹣2）2e x ≥0，f （x ）递增，无极值；若a ＞12，则1a ＜2，f （x ）在（1a ，2）递减；在（2，+∞），（﹣∞，1a ）递增， 可得f （x ）在x ＝2处取得极小值；若0＜a ＜12，则1a ＞2，f （x ）在（2，1a ）递减；在（1a ，+∞），（﹣∞，2）递增， 可得f （x ）在x ＝2处取得极大值，不符题意；若a＜0，则1a ＜2，f（x）在（1a，2）递增；在（2，+∞），（﹣∞，1a）递减，可得f（x）在x＝2处取得极大值，不符题意．综上可得，a的范围是（12，+∞）．7．【2017年北京理科19】已知函数f（x）＝e x cos x﹣x．（1）求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（2）求函数f（x）在区间[0，π2]上的最大值和最小值．【答案】解：（1）函数f（x）＝e x cos x﹣x的导数为f′（x）＝e x（cos x﹣sin x）﹣1，可得曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线斜率为k＝e0（cos0﹣sin0）﹣1＝0，切点为（0，e0cos0﹣0），即为（0，1），曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y＝1；（2）函数f（x）＝e x cos x﹣x的导数为f′（x）＝e x（cos x﹣sin x）﹣1，令g（x）＝e x（cos x﹣sin x）﹣1，则g（x）的导数为g′（x）＝e x（cos x﹣sin x﹣sin x﹣cos x）＝﹣2e x•sin x，当x∈[0，π2]，可得g′（x）＝﹣2e x•sin x≤0，即有g（x）在[0，π2]递减，可得g（x）≤g（0）＝0，则f（x）在[0，π2]递减，即有函数f（x）在区间[0，π2]上的最大值为f（0）＝e0cos0﹣0＝1；最小值为f（π2）=eπ2cosπ2−π2=−π2．8．【2016年北京理科18】设函数f（x）＝xe a﹣x+bx，曲线y＝f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y＝（e ﹣1）x+4，（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）求f（x）的单调区间．【答案】解：（Ⅰ）∵y＝f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y＝（e﹣1）x+4，∴当x＝2时，y＝2（e﹣1）+4＝2e+2，即f（2）＝2e+2，同时f′（2）＝e﹣1，∵f（x）＝xe a﹣x+bx，∴f′（x）＝e a﹣x﹣xe a﹣x+b，则{f(2)=2e a−2+2b =2e +2f′(2)=e a−2−2e a−2+b =e −1， 即a ＝2，b ＝e ； （Ⅱ）∵a ＝2，b ＝e ； ∴f （x ）＝xe 2﹣x +ex ，∴f ′（x ）＝e 2﹣x ﹣xe 2﹣x +e ＝（1﹣x ）e 2﹣x +e ＝（1﹣x +e x ﹣1）e 2﹣x ， ∵e 2﹣x ＞0， ∴1﹣x +e x﹣1与f ′（x ）同号，令g （x ）＝1﹣x +e x ﹣1， 则g ′（x ）＝﹣1+e x ﹣1，由g ′（x ）＜0，得x ＜1，此时g （x ）为减函数， 由g ′（x ）＞0，得x ＞1，此时g （x ）为增函数， 则当x ＝1时，g （x ）取得极小值也是最小值g （1）＝1， 则g （x ）≥g （1）＝1＞0，故f ′（x ）＞0，即f （x ）的单调区间是（﹣∞，+∞），无递减区间． 9．【2015年北京理科18】已知函数f （x ）＝ln 1+x1−x ， （Ⅰ）求曲线y ＝f （x ）在点（0，f （0））处的切线方程； （Ⅱ）求证，当x ∈（0，1）时，f （x ）＞2(x +x 33)；（Ⅲ）设实数k 使得f （x ）＞k(x +x 33)对x ∈（0，1）恒成立，求k 的最大值．【答案】解答：（1）因为f （x ）＝ln （1+x ）﹣ln （1﹣x ）所以f ′(x)=11+x +11−x，f′(0)=2 又因为f （0）＝0，所以曲线y ＝f （x ）在点（0，f （0））处的切线方程为y ＝2x ． （2）证明：令g （x ）＝f （x ）﹣2（x +x 33），则g '（x ）＝f '（x ）﹣2（1+x 2）=2x 41−x 2，因为g '（x ）＞0（0＜x ＜1），所以g （x ）在区间（0，1）上单调递增． 所以g （x ）＞g （0）＝0，x ∈（0，1）， 即当x ∈（0，1）时，f （x ）＞2（x +x 33）． （3）由（2）知，当k ≤2时，f （x ）＞k(x +x 33)对x ∈（0，1）恒成立．当k ＞2时，令h （x ）＝f （x ）−k(x +x 33)，则h '（x ）＝f '（x ）﹣k （1+x 2）=kx 4−(k−2)1−x 2，所以当0＜x ＜√k−2k4时，h '（x ）＜0，因此h （x ）在区间（0，√k−2k4）上单调递减．当0＜x ＜√k−2k4时，h （x ）＜h （0）＝0，即f （x ）＜k(x +x 33)．所以当k ＞2时，f （x ）＞k(x +x 33)并非对x ∈（0，1）恒成立．综上所知，k 的最大值为2．10．【2013年北京理科18】设l 为曲线C ：y =lnx x在点（1，0）处的切线．（Ⅰ）求l 的方程；（Ⅱ）证明：除切点（1，0）之外，曲线C 在直线l 的下方． 【答案】解：（Ⅰ）∵y =lnx x∴y ′=1−lnx x 2∴l 的斜率k ＝y ′|x ＝1＝1 ∴l 的方程为y ＝x ﹣1证明：（Ⅱ）令f （x ）＝x （x ﹣1）﹣lnx ，（x ＞0） 曲线C 在直线l 的下方，即f （x ）＝x （x ﹣1）﹣lnx ＞0， 则f ′（x ）＝2x ﹣1−1x =(2x+1)(x−1)x∴f （x ）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，又f （1）＝0 ∴x ∈（0，1）时，f （x ）＞0，即lnx x ＜x ﹣1 x ∈（1，+∞）时，f （x ）＞0，即lnx x＜x ﹣1即除切点（1，0）之外，曲线C 在直线l 的下方11．【2012年北京理科18】已知函数f （x ）＝ax 2+1（a ＞0），g （x ）＝x 3+bx（1）若曲线y ＝f （x ）与曲线y ＝g （x ）在它们的交点（1，c ）处具有公共切线，求a 、b 的值； （2）当a 2＝4b 时，求函数f （x ）+g （x ）的单调区间，并求其在区间（﹣∞，﹣1）上的最大值． 【答案】解：（1）f （x ）＝ax 2+1（a ＞0），则f '（x ）＝2ax ，k 1＝2a ，g （x ）＝x 3+bx ，则g ′（x ）＝3x 2+b ，k 2＝3+b ，由（1，c ）为公共切点，可得：2a ＝3+b ①又f （1）＝a +1，g （1）＝1+b ，∴a +1＝1+b ，即a ＝b ，代入①式可得：{a =3b =3．（2）由题设a 2＝4b ，设ℎ(x)=f(x)+g(x)=x 3+ax 2+14a 2x +1则ℎ′(x)=3x 2+2ax +14a 2，令h '（x ）＝0，解得：x 1=−a 2，x 2=−a6；∵a ＞0，∴−a 2＜−a6， x （﹣∞，−a2）−a 2 (−a 2，−a 6) −a6(−a6，+∞） h ′（x ） + ﹣+ h （x ）极大值极小值∴原函数在（﹣∞，−a 2）单调递增，在(−a 2，−a6)单调递减，在(−a 6，+∞）上单调递增①若−1≤−a2，即0＜a ≤2时，h （x ）在（﹣∞，﹣1]递增，无最大值； ②若−a2＜−1＜−a6，即2＜a ＜6时，最大值为ℎ(−a2)=1；③若﹣1≥−a 6时，即a ≥6时，最大值为h （−a2）＝1．综上所述：当a ∈（0，2]时，无最大值；当a ∈（2，+∞）时，最大值为ℎ(−a2)=1． 12．【2011年北京理科18】已知函数f(x)=(x −k)2e xk． （Ⅰ）求f （x ）的单调区间；（Ⅱ）若对于任意的x ∈（0，+∞），都有f （x ）≤1e ，求k 的取值范围．【答案】解：（Ⅰ）f ′(x)=2(x −k)e xk +1k(x −k)2e xk =1k(x 2−k 2)e xk ，令f ′（x ）＝0，得x ＝±k当k ＞0时，f ′（x ）f （x ）随x 的变化情况如下： x（﹣∞，﹣k ）﹣k （﹣k ，k ） k （k ，+∞）f ′（x ） + 0﹣ 0 + f （x ） 递增4k 2e ﹣1 递减递增所以，f （x ）的单调递增区间是（﹣∞，﹣k ），和（k ，+∞），单调递减区间是（﹣k ，k ）；当k ＜0时，f ′（x ）f （x ）随x 的变化情况如下： x（﹣∞，k ）k （k ，﹣k ） ﹣k （﹣k ，+∞） f ′（x ） ﹣ 0 + 0﹣f （x ） 递减递增4k 2e ﹣1 递减所以，f （x ）的单调递减区间是（﹣∞，k ），和（﹣k ，+∞），单调递增区间是（k ，﹣k ）； （Ⅱ）当k ＞0时，有f （k +1）=ek+1k＞1e ，不合题意，当k ＜0时，由（I ）知f （x ）在（0，+∞）上的最大值是f （﹣k ）=4k 2e，∴任意的x ∈（0，+∞），f （x ）≤1e ，⇔f （﹣k ）=4k 2e≤1e，解得−12≤k ＜0，故对于任意的x ∈（0，+∞），都有f （x ）≤1e ，k 的取值范围是−12≤k ＜0．1．若函数f(x)=x 2+ax +1x 在(12,+∞)是增函数，则a 的取值范围是（）A ．[−1,0]B ．[−1,+∞)C ．[0,3]D ．[3,+∞)【答案】D 【解析】由条件知f ′(x)=2x +a −1x 2≥0在(12,+∞)上恒成立，即a ≥1x 2−2x 在(12,+∞)上恒成立． ∵函数y =1x 2−2x 在(12,+∞)上为减函数， ∴y max <1(12)2−2×12=3,∴．故选D ．2．【2020届北京市西城区第四中学高三上学期期中】已知曲线y =a e x +xlnx 在点(1,ae)处的切线方程为y =2x +b ，则（）A．a=e,b=−1B．a=e,b=1C．a=e−1,b=1D．a=e−1,b=−1【答案】D【解析】y′=ae x+lnx+1,k=y′|x=1=ae+1=2，∴a=e−1将(1,1)代入y=2x+b得2+b=1,b=−1，故选D．3．【北京市西城区第四中学2019-2020学年高三上学期10月月考】设函数f(x)=√3sinπxm．若存在f(x)的极值点x0满足x02+[f(x0)]2<m2，则m的取值范围是（）A．(−∞,−6)∪(6,∞)B．(−∞,−4)∪(4,∞)C．(−∞,−2)∪(2,∞)D．(−∞,−1)∪(1,∞)【答案】C【解析】由题意知：f(x)的极值为±√3，所以[f(x0)]2=3，因为f′(x0)=πm ⋅√3cosπx0m=0，所以πx0m =kπ+π2,k∈z，所以x0m=k+12,k∈z即|x0m|=|k+12|≥12，所以|x0|≥|m2|，即x02+[f(x0)]2≥m24+3，而已知x02+[f(x0)]2<m2，所以m2>m24+3，故3m24>3，解得m>2或m<−2，故选C.4．函数f(x)=x3−3x2+2在区间[－1，1]上的最大值是（）A．4B．2C．0D．－2【答案】B【解析】令f′(x)=3x2−6x=0，解得x=0或x=2.f(0)=2,f(2)=−2,f(−1)=−2,f(1)=0，故函数的最大值为2，所以本小题选B.5．【北京市首都师范大学附属中学2019届高三高考模拟预测卷（二）】已知函数f(x)=13x3−4x+2e x−2e x，其中e是自然对数的底，若f(a−1)+f(2a2)≤0，则实数a的取值范围是（）A．(−∞,−1]B．[12,+∞)C．(−1,12)D．[−1,12]【答案】D【解析】由f′(x)=x2−4+2e x+2e−x≥x2−4+2√4e x⋅e−x=x2≥0，知f(x)在R上单调递增，且f(−x)=−13x3+4x+2e−x−2e x=−f(x)，即函数f(x)为奇函数，故f(a−1)+f(2a2)≤0⇔f(a−1)≤f(−2a2)⇔a−1≤−2a2⇔2a2+a−1≤0，解得−1≤a≤12.故选D.6．【2020届北京市昌平区新学道临川学校高三上学期第三次月考】已知函数f(x)=x2−2x+a(e x−1+ e−x+1)有唯一零点，则a=A．−12B．13C．12D．1【答案】C【解析】函数f(x)的零点满足x2−2x=−a(e x−1+e−x+1)，设g(x)=e x−1+e−x+1，则g′(x)=e x−1−e−x+1=e x−1−1e x−1=e2(x−1)−1e x−1，当g′(x)=0时，x=1；当x<1时，g′(x)<0，函数g(x)单调递减；当x>1时，g′(x)>0，函数g(x)单调递增，当x=1时，函数g(x)取得最小值，为g(1)=2.设ℎ(x)=x2−2x，当x=1时，函数ℎ(x)取得最小值，为−1，若−a>0，函数ℎ(x)与函数−ag(x)没有交点；若−a<0，当−ag(1)=ℎ(1)时，函数ℎ(x)和−ag(x)有一个交点，即−a×2=−1，解得a=12.故选C.7．【2020届北京市朝阳区六校联考高三年级四月份测试】关于函数f(x)=(x2+ax−1)e x，有以下三个结论：①函数恒有两个零点，且两个零点之积为−1；②函数的极值点不可能是−1；③函数必有最小值.其中正确结论的个数有（）A．0个B．1个C．2个D．3个【解析】由题意函数f(x)=(x 2+ax −1)e x 的零点即为函数y =x 2+ax −1的零点，令x 2+ax −1=0，则△=a 2+4>0，所以方程必有两个不等实根x 1，x 2，设x 1<x 2， 由韦达定理可得x 1x 2=−1，故①正确；f ′(x)=(2x +a)e x +(x 2+ax −1)e x =[x 2+(a +2)x +a −1]e x ，当x =−1时，f ′(x)=(1−a −2+a −1)e −1=−2e −1≠0，故−1不可能是函数f(x)的极值点，故②正确；令f ′(x)=0即x 2+(a +2)x +a −1=0，△=(a +2)2−4(a −1)=a 2+8>0， 设x 2+(a +2)x +a −1=0的两个实数根为x 3，x 4且x 3<x 4， 则当x ∈(−∞,x 3)，x ∈(x 4,+∞)时，f ′(x)>0，函数f(x)单调递增， 当x ∈(x 3,x 4)时，f ′(x)<0，函数f(x)单调递减，所以f(x 4)为函数极小值； 由①知，当x ∈(−∞,x 1)时，函数f(x)>0，所以当x ∈(−∞,x 3)时，f(x)>0， 又f(0)=−e x <0，所以0∈(x 3,+∞)，所以f(x 4)≤f(0)<0， 所以f(x 4)为函数的最小值，故③正确. 故选：D .8．【北京市第171中学2019-2020学年高三10月月考】已知函数f(x)=e 2x−3，g(x)=14+ln x2，若f(m )=g(n)成立，则n −m 的最小值为（） A ．12+ln2B ．ln2C ．12+2ln2D ．2ln2【答案】A 【解析】设e 2m−3=14+ln n2=k(k >0)，则m =32+lnk 2，n =2ek−14，令ℎ(k)=n −m =2e k−14−lnk 2−32，所以ℎ′(k)=2e k−14−12k ，又ℎ′(k)=2e k−14−12k在(0,+∞)增函数，且ℎ′(14)=0，当k ∈(0,14)时，ℎ′(k)<0，当k ∈(14,+∞)时，ℎ′(k)>0， 所以ℎ(k)=2e k−14−lnk 2−32在(0,14)上递减，在(14,+∞)上递增．所以ℎ(k)min =ℎ(14)=12+ln2，即n −m 的最小值为12+ln2．9．【北京市中国人民大学附属中学2019届高三上学期月考（二）】设函数f′(x)是奇函数f(x)（x∈R）的导函数，f(−1)=0，当x>0时，xf′(x)−f(x)<0，则使得f(x)>0成立的x的取值范围是（）A．(−∞,−1)∪(0,1)B．(−1,0)∪(1,+∞)C．(−∞,−1)∪(−1,0)D．(0,1)∪(1,+∞)【答案】A【解析】构造新函数g(x)=f(x)x ,g′(x)=xf′(x)−f(x)x2，当x>0时g′(x)<0.所以在(0,+∞)上g(x)=f(x)x单减，又f(1)=0，即g(1)=0.所以g(x)=f(x)x>0可得0<x<1,此时f(x)>0，又f(x)为奇函数，所以f(x)>0在(−∞,0)∪(0,+∞)上的解集为：(−∞,−1)∪(0,1).故选A.10．【2020年1月中学生标准学术能力诊断性测试诊断性测试】已知不等式x+alnx+1e x≥x a对x∈(1,+∞)恒成立，则实数a的最小值为（）A．−√e B．−e2C．−e D．−2e【答案】C【解析】不等式x+alnx+1e x≥x a对x∈(1,+∞)恒成立可变形为x+1e x≥x a−alnx,即e−x−lne−x≥x a−lnx a对x∈(1,+∞)恒成立设g(x)=x−lnx则g′(x)=1−1x =x−1x当x∈(1,+∞)时,g′(x)>0,即g(x)=x−lnx在x∈(1,+∞)时单调递增当x∈(0,1)时,g′(x)<0,即g(x)=x−lnx在x∈(0,1)时单调递减因而g(e−x)≥g(x a)在x∈(1,+∞)上恒成立即可当x∈(1,+∞)时,e−x∈(0,1e)而当a<0时(因四个选项都小于0,所以只需讨论a<0的情况)x a∈(0,1)因为g(x)=x−lnx在x∈(0,1)时单调递减,若g(e−x)≥g(x a)只需e−x≤x a不等式两边同取自然底数的对数,可得−x≤alnx当x∈(1,+∞)时,0<lnx化简不等式可得−xlnx≤a只需(−xlnx)max≤a令ℎ(x)=−xlnx,x∈(1,+∞)则ℎ′(x)=1−lnx(lnx)2,令ℎ′(x)=0解得x=e当x∈(1,e)时,ℎ′(x)>0,则ℎ(x)=−xlnx在(1,e)内单调递增当x∈(e,+∞)时,ℎ′(x)<0,则ℎ(x)=−xlnx在(e,+∞)内单调递减所以ℎ(x)=−xlnx 在x=e处取得最大值,ℎ(x)max=−elne=−e故−e≤a所以实数a的最小值为−e故选:C11．【北京市清华大学附属中学2019届高三下学期第三次模拟】直线y=x+1是曲线f（x）=x+1x−alnx（a ∈R）的切线，则a的值是______．【答案】−1【解析】设切点的横坐标为x0，f'(x)=1−1x2−ax=x2−ax−1x2=1⇒x0=−1a⇒−a=1x0，则有：f(x0)=x0+1x−alnx0=x0+1⇒lnx0−x0+1=0，令ℎ(x)=lnx−x+1⇒ℎ'(x)=1x−1=0⇒x=1，则ℎ(x)在(0,1)上单调递增，在(1,+∞)上单调递减，又因为ℎ(1)=0，所以x0=1⇒a=−1；故答案为−1．12．已知f(x)＝e x ·sinx ，则f ′(0)的值为___. 【答案】1 【解析】因为f ′(x)=e x (sinx +cosx)，所以f ′(0)=1.13．【北京市中国人民大学附属中学2019届高三上学期月考（二）】已知函数f(x)=ax 3+x +1的图像在点(1,f(1))的处的切线过点(2,7)，则a =. 【答案】1 【解析】f′(x)=3ax 2+1⇒f′(1)=3a +1,f(1)=a +2⇒l:y −(a +2)=(3a +1)(x −1)⇒7−(a +2) =(3a +1)(2−1)⇒a =1.14．函数f(x)=xlnx 的单调减区间是______． 【答案】(0,1e ) 【解析】函数的定义域为x >0，∵y′=lnx +1，令lnx +1<0，得0<x <1e ,∴函数y =xlnx 的单调递减区间是(0,1e )，故答案为(0,1e). 15．【北京市丰台区2019届高三年级第二学期综合练习（二）】已知函数f(x)=x +ax (x >0)的单调递减区间为(0,2)，单调递增区间为(2,+∞)，那么a =____． 【答案】4. 【解析】依题意可知x ＝2是函数f （x ）的极小值点， 又f′(x)=1−ax 2， 所以，f′(2)=1−a 4＝0， 解得：a ＝4,经检验成立 故答案为：416．对于函数y =f(x)，若存在区间[a,b]，当x ∈[a,b]时的值域为[ka,kb](k >0)，则称y =f(x)为k 倍值函数.若f(x)=lnx +x 是k 倍值函数，则实数k 的取值范围是________.【答案】(1,1+1e)【解析】由题意得lnx+x=kx有两个不同的解，k=lnxx +1，则k′=1−lnxx=0⇒x=e，因此当0<x<e时，k∈(−∞,1+1e )，当x>e时，k∈(1,1+1e)，从而要使lnx+x=kx有两个不同的解，需k∈(1,1+1e)17．【北京市东城区第五中学2019-2020学年高三上学期12月月考】函数y=f(x)图象上不同两点A(x1，y1)，B(x2，y2)处的切线的斜率分别是k A，k B，规定φ(A,B)=|k A−k B||AB|叫曲线y=f(x)在点A与点B之间的“弯曲度”，给出以下命题：（1）函数y=x3−x2+1图象上两点A、B的横坐标分别为1，2，则φ(A,B)>√3；（2）存在这样的函数，图象上任意两点之间的“弯曲度”为常数；（3）设点A、B是抛物线，y=x2+1上不同的两点，则φ(A,B)⩽2；（4）设曲线y=e x上不同两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1−x2=1，若t·φ(A,B)<1恒成立，则实数t 的取值范围是(−∞,1)；以上正确命题的序号为__（写出所有正确的）【答案】（2）（3）【解析】对于（1），由y=x3−x2+1，得y′=3x2−2x，则k A=y′|x=1=1，k B=y′|x=2=8，y1=1，y2=5，则|AB|=√(2−1)2+(5−1)2=√17，φ(A,B)=|k A−k B||AB|=√17=√17<√3，（1）错误；对于（2），常数函数y=1满足图象上任意两点之间的“弯曲度”为常数，（2）正确；对于（3），设A(x1，y1)，B(x2，y2)，y′=2x，则k A−k B=2x1−2x2，|AB|=√(x1−x2)2+(x12−x22)2=√(x1−x2)2[1+(x1+x2)2] =|x1−x2|√1+(x1+x2)2．∴φ(A,B)=A B12122=1212122⩽21=2，（3）正确；对于（4），由y=e x，得y′=e x，φ(A,B)=x1x2√(x1−x2)2+(e x−e x)2=x1x2√1+(e x−e x)2．t·φ(A,B)<1恒成立，即t|e x1−e x2|<√1+(e x1−e x2)2恒成立，t=1时该式成立，∴（4）错误．故答案为：（2）（3）．18．【北京市平谷区2020届高三第二学期阶段性测试（二模）】已知函数f(x)=1x+cosx，给出下列结论：①f(x)在(0，π]上有最小值，无最大值；②设F(x)=f(x)−f(−x)，则F(x)为偶函数；③f(x)在(0，2π)上有两个零点其中正确结论的序号为________.（写出所有正确结论的序号）【答案】①③【解析】①，由于x∈(0,π]，所以f′(x)=−1x2−sinx<0，所以f(x)在(0,π]上递减，所以f(x)在(0,π]上有最小值，无最大值，故①正确.②，依题意F(x)=f(x)−f(−x)=1x +cosx−[−1x−cos(−x)]=2x，由于F(−x)≠F(x)，所以F(x)不是偶函数，故②错误.③，令f(x)=0得cosx=−1x ，画出y=cosx和y=−1x在区间(0,2π)上的图像如下图所示，由图可知y=cosx和y=−1x在区间(0,2π)上的图像有两个交点，则f(x)在(0，2π)上有两个零点，故③正确.故答案为：①③19．【北京市通州区2020届高考一模】给出下列四个函数，①y=x2+1；②y=|x+1|+|x+2|；③y= 2x+1；④y=x2+cosx，其中值域为[1,+∞)的函数的序号是______.【答案】①②④【解析】①∵x2≥0，∴x2+1≥1，故值域为[1,+∞)，符合题意；②y=|x+1|+|x+2|≥|(x+1)−(x+2)|=1，故值域为[1,+∞)，符合题意；③∵2x>0，∴2x+1>1，故值域为(1,+∞)，不合题意；④函数f(x)=x2+cosx为偶函数，且f′(x)=2x−sinx，f″(x)=2−cosx>0，故f′(x)在R上单调递增，又f′(0)=0，故当x∈(0,+∞)时，f(x)单调递增，则当x∈(−∞,0)时，f(x)单调递减，又f(0)=1，故其值域为[1,+∞)，符合题意.故答案为：①②④.20．【2019届北京市中国人民人大附属中学高三（5月）模拟】已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且对任意的实数x都有f′(x)=e−x(2x+3)−f(x)（e是自然对数的底数），且f(0)=1，若关于x的不等式f(x)−m <0的解集中恰有两个整数，则实数m的取值范围是________.【答案】(−e,0]【解析】∵f′(x)=e−x(2x+3)−f(x)，∴f(x)+f′(x)=e−x(2x+3)，即[f(x)+f′(x)]e x=(2x+3)，即[f(x)e x]′=(2x+3)，即f(x)e x=x2+3x+c，，∵f(0)=1，∴f(0)=0+0+c=1，即c=1，即f(x)=x2+3x+ce x，则f′(x)=e−x(2x+3)−f(x)=−e−x(x2+x−2)，则f(x)=x2+3x+1e x由f′(x)>0得−2<x<1，此时函数y=f(x)为增函数，由f′(x)<0得x>1或x<−2，此时函数y=f(x)为减函数，即当x=−2时，函数y=f(x)取得极小值f(−2)=−e2，∵f(−1)=−e，f(−3)=e3，且当x>1时，f(x)>0，由图象知，要使不等式f(x)<m的解集中恰有两个整数，则满足f(−1)<m≤0，即−e<m≤0，即实数m的取值范围是(−e,0]，故答案为：(−e,0].. 21．【北京市人大附中2020届高三（6月份）高考数学考前热身】已知函数f(x)=1−xe x （1）求函数f(x)的单调区间；（2）若对任意x1,x2∈[a,+∞)，都有f(x1)−f(x2)≥−1成立，求实数a的最小值.e2【答案】（1）函数f(x)的单增区间为(2,+∞)，单减区间为(−∞,2)（2）a的最小值为1【解析】=0解得x=2,解：（1）由f′(x)=x−2e x则f′(x)及f(x)的情况如下：所以函数f(x)的单增区间为(2,+∞),单减区间为(−∞,2)；（2）法一：当x>1时,f(x)=1−xe x<0.当x<1时,f(x)=1−xe x>0.若a≤1,由（1）可知f(x)的最小值为f(2),f(x)的最大值为f(a),所以“对任意x1,x2∈[a,+∞),有f(x1)−f(x2)≥−1e2恒成立”等价于“f(2)−f(a)≥−1e2”,即−1e2−1−ae a≥−1e2,解得a≥1.所以a的最小值为1.法二：当x>1时,f(x)=1−xe x<0.当x<1时,f(x)=1−xe>0.且由（1）可知,f(x)的最小值为f(2)=−1e2, 若2∈[a,+∞),即a≤2时,令x1=2,则任取x2∈[a,+∞),有f(x1)−f(x2)=f(2)−f(x2)=−1e2−f(x2)≥−1e2,所以f(x2)≤0对x2∈[a,+∞)成立,所以必有x2≥1成立,所以[a,+∞)⊆[1,+∞),即a≥1.而当a=1时,∀x1,x2∈[1,+∞),f(x1)≤0,f(x2)≤0,所以f(x1)−f(x2)≥f(x1)−0≥f(2)=−1e2,即a=1满足要求,而当a≥2时,求出的a的值,显然大于1,综上,a的最小值为1.22．【北京市大兴区2019届高三4月一模】已知函数f(x)=a e x图象在x=0处的切线与函数g(x)=lnx图象在x=1处的切线互相平行．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）设ℎ(x)=f(x)−g(x)，求证：ℎ(x)>2． 【答案】（Ⅰ）a =1；（Ⅱ）详见解析. 【解析】（Ⅰ）由f(x)=a e x ，得f ′(x)=a e x ，所以f ′(0)=a . 由g(x)=ln x ，得g ′(x)=1x ，所以g ′(1)=1. 由已知f ′(0)=g ′(1)，得a =1. 经检验，a =1符合题意．（Ⅱ）ℎ(x)=f(x)−g(x)=e x −ln x ，x >0， ℎ′(x)=e x −1x ，设φ(x)=e x −1x，则φ′(x)=e x +1x 2>0，所以φ(x)在区间(0,+∞)单调递增， 又φ(1)=e −1>0，φ(12)=√e −2<0， 所以φ(x)在区间(0,+∞)存在唯一零点， 设零点为x 0，则x 0∈(12,1)，且e x 0=1x 0．当x ∈(0,x 0)时，ℎ′(x)<0；当x ∈(x 0,+∞)，ℎ′(x)>0． 所以，函数ℎ(x)在(0,x 0)递减，在(x 0,+∞)递增， ℎ(x)≥ℎ(x 0)=e x 0−ln x 0=1x 0−ln x 0，由e x 0=1x 0，得ln x 0=−x 0 所以ℎ(x 0)=1x 0+x 0≥2，由于x 0∈(12,1)，ℎ(x 0)>2 从而ℎ(x)>2，命题得证．23．【北京五中2020届高三（4月份）高考数学模拟】设函数f （x ）＝me x ﹣x 2+3，其中m ∈R .（1）如果f （x ）同时满足下面三个条件中的两个：①f （x ）是偶函数；②m ＝1；③f （x ）在（0，1）单调递减.指出这两个条件，并求函数h （x ）＝xf （x ）的极值； （2）若函数f （x ）在区间[﹣2，4]上有三个零点，求m 的取值范围. 【答案】（1）答案见解析；（2）[13e 4，6e 3) 【解析】（1）若满足条件①f(x)是偶函数，则f(−x)=f(x)，且函数f(x)的定义域为R，∴me−x−x2+3=me x−x2+3，∴me−x=me x对x∈R恒成立，∴m=0，此时函数f(x)=−x2+3，在(0,1)单调递减，满足条件③f(x)在(0,1)单调递减；若f(x)不满足①，则m=1,f(x)=e x−x2+3，f′(x)=e x−2x,f′(12)=√e−1，所以f（x）在（0，1）不可能单调递减，即不满足③，∴f(x)同时满足条件：①f(x)是偶函数；③f(x)在(0,1)单调递减，此时ℎ(x)=−x3+3x，则ℎ′(x)=−3x2+3=3(1+x)(1−x)，∴当x∈(−∞,−1)时，ℎ′(x)<0，函数ℎ(x)单调递减；当x∈(−1,1)时，ℎ′(x)>0，函数ℎ(x)单调递增；当x∈(1,+∞)时，ℎ′(x)<0，函数ℎ(x)单调递减，∴x=1时，函数ℎ(x)取到极大值，极大值为ℎ（1）=2，x=−1时，函数ℎ(x)取到极小值，极小值为ℎ(−1)=−2；（2）令f(x)=me x−x2+3=0，则有m=x2−3e x，函数f(x)在区间[−2，4]上有三个零点，等价于直线y=m与曲线g(x)=x2−3e在区间[−2，4]上有三个交点，g′(x)=2x·e x−(x2−3)e x(e x)2=2x−x2+3e x=−(x−3)(x+1)e x，x∈[−2，4]，令g′(x)=0，则x=3或x=−1，令g′(x)<0，则−1<x<3，令g′(x)>0，则−2⩽x<−1或3<x⩽4，∴函数g(x)在区间[−2，−1)上单调递增；在(−1,3)上单调递减，在(3，4]上单调递增，又g(−2)=e2，g(−1)=−2e，g（3）=6e3，g（4）=13e4，画出函数g(x)在[−2，4]上的大致图象，如图所示：，由图可知，当13e 4⩽m <6e 3时， 直线y =m 与曲线g(x)=x 2−3e x在区间[−2，4]上有三个交点，即函数f(x)在区间[−2，4]上有三个零点， ∴m 的取值范围为：[13e 4，6e 3)．24．【2020届北京市平谷区高三3月质量监控（一模）】已知函数f(x)=(x 2+ax−a)e x，其中a ∈R .（1）当a =0时，求f(x)在(1,f(1))的切线方程； （2）求证：f(x)的极大值恒大于0. 【答案】（1）y =1e x （2）证明见解析 【解析】 （1）f′(x)=−x 2−(a−2)x+2ae x =−(x+a)(x−2)e x ，当a =0时，f′(1)=1e ，f(1)=1e ， 则f(x)在(1,f(1))的切线方程为y =1e x ； （2）证明：令f′(x)=0，解得x =2或x =−a ，①当a =−2时，f′(x)≤0恒成立，此时函数f(x)在R 上单调递减， ∴函数f(x)无极值；②当a >−2时，令f′(x)>0，解得−a <x <2，令f′(x)<0，解得x <−a 或x >2， ∴函数f(x)在(−a,2)上单调递增，在(−∞,−a)，(2,+∞)上单调递减， ∴f(x)极大值=f(2)=a+4e 2>0；③当a <−2时，令f′(x)>0，解得2<x <−a ，令f′(x)<0，解得x <2或x >−a ， ∴函数f(x)在(2,−a)上单调递增，在(−∞,2)，(−a,+∞)上单调递减，∴f(x)极大值=f(−a)=−a e a>0，综上，函数f(x)的极大值恒大于0.25．【2020届北京市海淀区高三一模】已知函数f(x)=e x +ax . (I )当a =-1时，①求曲线y =f (x )在点(0，f (0))处的切线方程； ②求函数f (x )的最小值；(II )求证:当a ∈(−2,0)时，曲线y =f(x)与y =1−lnx 有且只有一个交点. 【答案】（1）切线方程y =1；f(x)min =1；（2）证明见解析 【解析】 (I)当a =−1时，①函数f(x)=e x −x ，∴f(0)=e 0=1， f ′(x)=e x −1，即f ′(0)=e 0−1=0，∴曲线y =f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y =1.②令f ′(x)=e x −1>0，得x >0，令f ′(x)=e x −1<0，得x <0， 所以f(x)在(0,+∞)上单增，在(−∞,0)单减, ∴函数f(x)的最小值为f(x)min =f(0)=1.(II)当a ∈(−2,0)时，曲线y =f(x)与y =1−lnx 有且只有一个交点. 等价于g(x)=e x +ax +lnx −1(x >0)有且只有一个零点. g ′(x)=e x +1x +a(x >0)，当x ∈(0,1)时，e x >1,1x >1，∵a ∈(−2,0)，则g ′(x)=e x +1x +a >0， 当x ∈[1,+∞)时，e x >e >2,1x >0， ∵a ∈(−2,0)，则g ′(x)=e x +1x +a >0， ∴g(x)在(0,+∞)上单增，又∵g(1e )=e 1e+ae −2<e 12−2<0，g(e)=e e +ae >e 2−2e >0，由零点存在性定理得g(x)有唯一零点，即曲线y =f(x)与y =1−lnx 有且只有一个交点.26．【北京市西城区第四中学2019-2020学年高三上学期10月月考】已知函数f(x)=x−alnx(a∈R).（Ⅰ）当a=2时，求曲线y=f(x)在点A(1,f(1))处的切线方程；（Ⅱ）求函数f(x)的极值.【答案】(1)x＋y－2＝0；(2)当a≤0时，函数f(x)无极值；当a＞0时，函数f(x)在x＝a处取得极小值a－a l n a无极大【解析】解：函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1－ax.(1)当a＝2时，f(x)＝x－2lnx，f′(x)＝1－2x(x>0)，因而f(1)＝1，f′(1)＝－1，所以曲线y＝f(x)在点A(1，f(1))处的切线方程为y－1＝－(x－1)，即x＋y－2＝0.(2)由f′(x)＝1－ax ＝x−ax，x>0知：①当a≤0时，f′(x)>0，函数f(x)为(0，＋∞)上的增函数，函数f(x)无极值；②当a>0时，由f′(x)＝0，解得x＝a，又当x∈(0，a)时，f′(x)<0；当x∈(a，＋∞)时，f′(x)>0，从而函数f(x)在x＝a处取得极小值，且极小值为f(a)＝a－alna，无极大值．综上，当a≤0时，函数f(x)无极值；当a>0时，函数f(x)在x＝a处取得极小值a－alna，无极大值．27．【北京市海淀区2019届高三年级第二学期期末练习（二模）】已知函数f(x)=e ax(x2−a+2a),，其中a ≠0．(Ⅰ)求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处切线的倾斜角；(Ⅱ)若函数f(x)的极小值小于0，求实数a的取值范围．【答案】（Ⅰ）倾斜角为0(Ⅱ)(−∞,−2)∪(0,+∞)【解析】（Ⅰ）因为f(x)=e a x(x2−a+2a)，所以f′(x)=e a x(ax2+2x−(a+2)),所以f′(1)=0所以曲线y=f(x)在点(1,f(1))处切线的倾斜角为0。
北京历年高考理科数学试题及答案汇编十二函数和导数
北京历年高考理科数学试题及答案汇编十二函数和导数（2008-2018）试题1、12．（5分）（2008北京）如图，函数f（x）的图象是折线段ABC，其中A，B，C的坐标分别为（0，4），（2，0），（6，4），则f（f（0））= ；= ．（用数字作答）2、13．（5分）（2008北京）已知函数f（x）=x2﹣cosx，对于[﹣，]上的任意x1，x2，有如下条件：①x1＞x2；②x12＞x22；③|x1|＞x2．其中能使f（x1）＞f（x2）恒成立的条件序号是．3、3．（5分）（2009北京）为了得到函数的图象，只需把函数y=lgx的图象上所有的点（）A．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度B．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度C．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度D．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度4、9．（5分）（2009北京）= ．5、11．（5分）（2009北京）设f（x）是偶函数，若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率为1，则该曲线在（﹣1，f（﹣1））处的切线的斜率为．6、13．（5分）（2009北京）若函数则不等式的解集为．7、12．（5分）（2009北京）已知函数若f（x）=2，则x= ．8、14．（5分）（2010北京）如图放置的边长为1的正方形PABC沿x轴滚动．设顶点P（x，y）的轨迹方程是y=f（x），则f（x）的最小正周期为；y=f（x）在其两个相邻零点间的图象与x轴所围区域的面积为．9、6．（5分）（2011北京）根据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间（单位：分钟）为（A，C为常数）．已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A件产品用时15分钟，那么c和A的值分别是（）A．75，25 B．75，16 C．60，25 D．60，1610、13．（5分）（2011北京）已知函数若关于x 的方程f（x）=k有两个不同的实根，则数k的取值范围是．11、8．（5分）（2012北京）某棵果树前n年的总产量S n与n之间的关系如图所示．从目前记录的结果看，前m年的年平均产量最高，则m的值为（）A．5B．7C．9D．1112、5．（5分）（2013北京）函数f（x）的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y=e x 关于y轴对称，则f（x）=（）A．e x+1B．e x﹣1C．e﹣x+1D．e﹣x﹣113、2．（5分）（2014北京）下列函数中，在区间（0，+∞）上为增函数的是（）A．y=B．y=（x﹣1）2C．y=2﹣x D．y=log0.5（x+1）14、7．（5分）（2015北京）如图，函数f（x）的图象为折线ACB，则不等式f（x）≥log2（x+1）的解集是（）A．{x|﹣1＜x≤0}B．{x|﹣1≤x≤1}C．{x|﹣1＜x≤1}D．{x|﹣1＜x≤2} 15、8．（5分）（2015北京）汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下燃油效率情况，下列叙述中正确的是（）A．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D．某城市机动车最高限速80千米/小时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油16、14．（5分）（2015北京）设函数f（x）=，①若a=1，则f（x）的最小值为；②若f（x）恰有2个零点，则实数a的取值范围是．17、5．（5分）（2016北京）已知x，y∈R，且x＞y＞0，则（）A．﹣＞0 B．sinx﹣siny＞0 C．（）x﹣（）y＜0 D．lnx+lny＞018、14．（5分）（2016北京）设函数f（x）=．①若a=0，则f（x）的最大值为 2 ；②若f（x）无最大值，则实数a的取值范围是．19、（5）（5分）（2017北京）已知函数1()3()3x xf x=-，则()f x（A）是奇函数，且在R上是增函数（B）是偶函数，且在R上是增函数（C）是奇函数，且在R上是减函数（D）是偶函数，且在R上是减函数20、（8）（5分）（2017北京）根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为1080.则下列各数中与M N最接近的是（参考数据：lg3≈0.48）（A ）1033（B ）1053（C ）1073（D ）109321、（11）（5分）（2018北京）设函数()cos 6f x x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭()0ω>。
2018年北京市各区高三理科数学试题分类汇编----函数与导数
2018年北京市各区高三理科数学试题分类汇编----函数与导数选择填空部分：（2018年朝阳期末）7. 已知函数()f x x x a =⋅-的图象与直线1y =-的公共点不少于两个，则实数a 的取值范围是（ B ）A.2a <-B.2a ≤-C.20a -≤<D.2a >- (2018年东城期末)（5）已知函数41()2x x f x +=，则()f x 的（ B ）（A ）图象关于原点对称，且在),0[+∞上是增函数 （B ）图象关于y 轴对称，且在),0[+∞上是增函数 （C ）图象关于原点对称，在),0[+∞上是减函数 （D ）图象关于y 轴对称，且在),0[+∞上是减函数（14）如图1，分别以等边三角形ABC 的每个顶点为圆心、以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形ABC 称为勒洛三角形ABC ，等边三角形的中心P 称为勒洛三角形的中心. 如图2，勒洛三角形ABC 夹在直线0y =和直线2y =之间，且沿x 轴滚动. 设其中心(,)P x y 的轨迹方程为()y f x =，则()f x 的最小正周期为23π；()y f x =的图象与性质有以下描述： ①中心对称图形； ②轴对称图形；③一条直线； ④最大值与最小值的和为2. 其中正确结论的序号为____②④______.（注：请写出所有正确结论的序号）图1 图2 (2018年西城期末)2．下列函数中，在区间(0,)+∞上单调递增的是（ D ） （A ）1y x =-+（B ）|1|y x =-（C ）sin y x =（D ）12y x =7．已知A ，B 是函数2xy =的图象上的相异两点．若点A ，B 到直线12y =的距离相等， 则点A ，B 的横坐标之和的取值范围是（ B ）（A ）(,1)-∞- （B ）(,2)-∞- （C ）(1,)-+∞ （D ）(2,)-+∞14．已知函数2,2,()1,3.x x x c f x c x x ⎧+-⎪=⎨<⎪⎩≤≤≤若0c =，则()f x 的值域是__1[,)4-+∞__；若()f x 的值域是1[,2]4-，则实数c 的取值范围是__1[,1]2__．(2018年丰台期末)14．已知函数()sin ,0,,x x x f x x ππ<<⎧⎪=≥()()()g x f x kx k =-∈R .①当1k =时，函数()g x 有 1 个零点；②若函数()g x 有三个零点，则k 的取值范围是0,π⎛ ⎝⎦．(2018年石景山期末)6．给定函数①12y x =，②12log (1)y x =+，③1y x =-，④12x y +=，其中在区间(0,1)上单调递减的函数序号是（ C ）A ．①④B ．①②C ．②③D ．③④8． 小明在如图1所示的跑道上匀速跑步，他从点A 出发，沿箭头方向经过点B 跑到点C ，共用时30s ，他的教练选择了一个固定的位置观察小明跑步的过程，设小明跑步的时间为()t s ，他与教练间的距离为()y m ，表示y 与t 的函数关系的图象大致如图2所示，则这个固定位置可能是图1中的（ D ） A ．点M B ．点N C ．点P D ．点Q(2018年昌平期末)6.已知函数()e e ,xxf x -=+则函数()f x ( C )A ．是偶函数，且在(,0)-∞上是增函数 B. 是奇函数，且在(,0)-∞上是增函数 C. 是偶函数，且在(,0)-∞上是减函数 D. 是奇函数，且在(,0)-∞上是减函数 14．若函数4,3,()log ,3ax x f x x x -+≤⎧=⎨>⎩ （0a >且1a ≠），函数()()g x f x k =-.图1①若13a =，函数()g x 无零点，则实数k 的取值范围是 [1,1)- ； ②若()f x 有最小值，则实数a 的取值范围是 (1,3] ． (2018年房山期末)（6）下列函数是奇函数且在区间(1,+)∞上单调递增的是( C )（A ）3()f x x =- （B）()f x =（C ）1()f x x x =+（D ）1()ln 1x f x x-=+ （8）函数()y f x =的图象如图所示，在区间[],a b 上可找到(2)n n ≥个不同的数12,,,n x x x ，使得1212()()()n nf x f x f x x x x ===，则n 的取值的集合为( C ) （A ）{}2,3 （B ） {}3,4 （C ）{}2,3,4 （D ） {}3,4,5(2018年通州期末)14．已知函数()222x a x f x a x x ⎧+<=⎨-⎩≥‚‚‚无零点，那么实数a 的取值范围是___(][),40,2-∞-____.（2018年朝阳一模）14．已知R a ∈，函数211(+1)0π()sin 2,0.22x x x a x x f x x --+⎧+<⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩+， ，当0x >时，函数()f x 的最大值是 12 ；若函数()f x 的图象上有且只有两对点关于y 轴对称，则a 的取值范围是 1(1,)2- ．(2018年东城一模)（14）单位圆的内接正(3)n n ≥边形的面积记为()f n ，则(3)f =____4_____；下面是关于()f n 的描述:①2()sin2n f n nπ=； ②()f n 的最大值为π；③()(1)f n f n <+；④()(2)2()f n f n f n<≤. 其中正确结论的序号为_____①③④_____.（注：请写出所有正确结论的序号） (2018年海淀一模)（7）下列函数()f x 中，其图象上任意一点(,)P x y 的坐标都满足条件y x ≤的函数是( D ) (A) 3()f x x = (B) ()f x = (C) ()e 1x f x=- (D)()ln(1)f x x =+ （14）已知()3,,3,.x x a f x x x x a ⎧=⎨-<⎩ ① 若()f x 有两个零点，则a 的取值范围是_____(_____ ；② 当2a -时，则满足()()13f x f x +->-的x 的取值范围是____1x >-______．(2018年西城一模)7．函数2241,0,()23,0.xx x x f x x ⎧-+>⎪=⎨⋅⎪⎩≤ 则()y f x =的图象上关于原点O 对称的点共有( C ) （A ）0对 （B ）1对 （C ）2对 （D ）3对(2018年丰台一模)（13）函数()y f x =是定义域为R 的偶函数，当0x ≥时，()f x ①当[1,1]x ∈-时，y 的取值范围是__[1,2]__；②如果对任意[,](0)x a b b ∈<，都有[2,1]y ∈-，那么b 最大值是 2- ． (2018年石景山一模)2.下列函数中既是奇函数，又在区间(0,)+∞上单调递减的函数为（ B ） A ．y B ．3y x =- C ．12log y x = D ．1y x x =+1,1i S ==12. 已知函数31,1(),1x f x x x x ⎧⎪=⎨⎪<⎩≥，若关于x 的方程()f x k =有两个不同零点，则k 的取值范围是_______0,1（）______．(2018年房山一模)（5）下列函数中，与函数3y x =的单调性和奇偶性相同的函数是（ D ）（A ）y = （B ）ln y x =（C ）tan y x = （D ）x x y e e -=-(2018年延庆一模)3. 已知函数()f x 是定义域为R 的奇函数，且(1)2f =-，那么(1)(0)f f -+= （A ）-2 （B ）0 （C ）1 （D ）213. 已知()()和f x g x 在定义域内均为增函数，但()()f x g x ⋅不一定是增函数，例如当()f x =x 且()g x = x 时，()()f x g x ⋅不是增函数. （2018年朝阳二模）6.已知函数22()x x a f x x x a⎧⎪=⎨<⎪⎩，，，≥则“0a ≤”是“函数()f x 在[0)+∞，上单调递增”的（ A ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件 C.充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 (2018年东城二模)（7）已知函数a x x g x x f +==2)(,log )(2，若存在]2,21[,21∈x x ，使得)()(21x g x f =，则a 的取值范围是（ A ） （A ）[5,0] （B ）(,5][0,) （C ）(5,0) （D ）(,5)(0,)（14）某种物质在时刻t (min)的浓度M (mg/L)与t 的函数关系为()24t M t ar （,a r 为常数）.在t = 0min 和t = 1 min 测得该物质的浓度分别为124 mg/和64 mg/L ，那么在t = 4 min 时，该物质的浓度为___26.56___ mg/L ；若该物质的浓度小于24.001 mg/L ，则最小的整数t 的值为____13_____. （参考数据：lg20.3010≈） (2018年海淀二模) （6）关于函数()sin cos f x x x x =-，下列说法错误的是（ C ）（A ）()f x 是奇函数（B ）0不是()f x 的极值点（C ）()f x 在(,)22ππ-上有且仅有3个零点（D ）()f x 的值域是R(2018年西城二模)8．在直角坐标系xOy 中，对于点(,)x y ，定义变换σ：将点(,)x y变换为点(,)a b ，使得tan ,tan ,x a y b =⎧⎨=⎩ 其中ππ,(,)22a b ∈-．这样变换σ就将坐标系xOy 内的曲线变换为坐标系aOb 内的曲线． 则四个函数12(0)y x x =>，22(0)y x x =>，3e (0)x y x =>， 4ln (1)y x x =>在坐标系xOy 内的图象，变换为坐标系aOb 内的四条曲线（如图）依次是（ A ） （A ）②，③，①，④ （B ）③，②，④，① （C ）②，③，④，① （D ）③，②，①，④(2018年丰台二模)（6）设下列函数的定义域为(0,)+∞，则值域为(0,)+∞的函数是（ D ）(A) =e xy x - (B) =e ln xy x +(C) y x =-(D) ln(1)y x =+（12）甲乙两地相距500km ，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度v 不能超过120km/h ．已知汽车每．小时运输成本为29360250v +元，则全程运输成本与速度的函数关系是y = 18000018y v v=+(0120)v <≤ ，当汽车的行驶速度为 100 km/h 时，全程运输成本最小． (2018年昌平二模)4．设0.212a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，2log 3b =，0.32c -=，则（ C ）A ．b c a >>B ．a b c >>C ．b a c >>D ．a c b >>14．已知函数()22,1ln 1.x ax x f x a x x x ⎧-+<⎪=⎨≥⎪⎩‚‚① 当1x <时，若函数()f x 有且只有一个极值点，则实数a 的取值范围是 1a < ； ② 若函数()f x 的最大值为1，则a = 1- ． (2018年房山二模)（5）已知函数()f x 的图像关于原点对称，且周期为4，若(1)2f -=，则(2017)f =（ C ）（A ）2 （B ）0 （C ）2- （D ）4-（8）定义：若存在常数k ，使得对定义域D 内的任意两个()1212,≠x x x x ，均有()()1212-≤-f x f x k x x 成立，则称函数()f x 在定义域D 上满足利普希茨条件.若函数())1=≥f x x 满足利普希茨条件，则常数k 的最小值为 （ D ）（A ）4 （B ）3 （C ）1 （D ）12（14）已知函数()21=--f x x x a .①当0=a 时，不等式()+10>f x 的解集为___(0,)+∞____；②若函数()f x 有三个不同的零点,则实数a 的取值范围是___22>a ____. (2018年顺义二模)6.若，则的大小关系为（ B ）A ． B. C. D.解答题部分：（2018年朝阳期末） 18. (本小题满分13分)已知函数()cos f x x x a =+，a ∈R . （Ⅰ）求曲线()y f x =在点2x π=处的切线的斜率； （Ⅱ）判断方程()0f x '=（()f x '为()f x 的导数）在区间()0,1内的根的个数，说明理由； （Ⅲ）若函数()sin cos F x x x x ax =++在区间(0,1)内有且只有一个极值点，求a 的取值范围. 解：（Ⅰ）()cos sin f x x x x '=-.ππ()22k f '==-. …………3分 （Ⅱ）设()()g x f x '=，()sin (sin cos )2sin cos g x x x x x x x x '=--+=--.当(0,1)x ∈时，()0g x '<，则函数()g x 为减函数. 又因为(0)10g =>，(1)cos1sin10g =-<, 所以有且只有一个0(0,1)x ∈，使0()0g x =成立.所以函数()g x 在区间()0,1内有且只有一个零点.即方程()0f x '=在区间()0,1内有且只有一个实数根. ……………7分（Ⅲ）若函数()sin cos F x x x x ax =++在区间()0,1内有且只有一个极值点，由于()()F x f x '=，即()cos f x x x a =+在区间()0,1内有且只有一个零点1x ，且()f x 在1x 两侧异号.因为当(0,1)x ∈时，函数()g x 为减函数，所以在()00,x 上，0()()0g x g x >=，即()0f x '>成立，函数()f x 为增函数；在0(,1)x 上， 0()()0g x g x <=，即()0f x '<成立，函数()f x 为减函数, 则函数()f x 在0x x =处取得极大值0()f x .当0()0f x =时，虽然函数()f x 在区间()0,1内有且只有一个零点0x ，但()f x 在0x 两侧同号，不满足()F x 在区间()0,1内有且只有一个极值点的要求.由于(1)cos1f a =+，(0)f a =，显然(1)(0)f f >. 若函数()f x 在区间()0,1内有且只有一个零点1x ，且()f x 在1x 两侧异号， 则只需满足：(0)0,(1)0,f f <⎧⎨≥⎩即0,cos10,a a <⎧⎨+≥⎩ 解得cos10a -≤<. ……………13分(2018年东城期末)（18）（本小题13分） 已知函数x x x x x f ln 2161)(3-+=. （Ⅰ）求曲线)(x f y =在点（1，)1(f ）处的切线方程； （Ⅱ）若()f x a 对1(,)xe e恒成立，求a 的最小值. 解：（Ⅰ）()f x 的定义域为(0,)+∞. 由已知得21ln 21)('2--=x x x f ，且32)1(=f . 所以0)1('=f .所以曲线)(x f y =在点（1，)1(f ）处的切线方程为32=y . （Ⅱ）设()'()g x f x =，（1x e e<<） 则211'()x g x x x x-=-=.令'()0g x =得1x =.当x 变化时，'()g x 符号变化如下表：则()(1)0g x g ≥=，即'()0f x ≥，当且仅当1x =时，'()0f x =. 所以()f x 在1(,)e e上单调递增. 又e e e f 2161)(3-=， 所以a 的最小值为为31162e e -.(2018年海淀期末) （19）（本小题14分）已知函数2()222xf x ax x =---e（Ⅰ）求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； （Ⅱ）当0a ≤时，求证：函数()f x 有且只有一个零点；（Ⅲ）当0a >时，写出函数()f x 的零点的个数.（只需写出结论） （Ⅰ）因为函数2()222xf x ax x =---e所以'()222xf x ax =--e ……………..2分 故(0)0f =，'(0)0f = ……………..4分曲线()y f x =在0x =处的切线方程为0y = ……………..5分（Ⅱ）当0a ≤时，令()'()222xg x f x ax ==--e ，则'()220xg x a =->e ……………..6分故()g x 是R 上的增函数. ……………..7分 由(0)0g =，……………..8分故当0x <时，()0g x <，当0x >时，()0g x >. 即当0x <时，'()0f x <，当0x >时，'()0f x >.故()f x 在(,0)-∞单调递减，在(0,)+∞单调递增. ……………..10分函数()f x 的最小值为(0)f 由(0)0f =，…………….11分故()f x 有且仅有一个零点. （Ⅲ）当01a <<时，()f x 有两个零点.……………..12分 当1a =时，()f x 有一个零点； ……………..13分当1a >时，()f x 有两个零点.……………..14分(2018年西城期末) 18．（本小题满分13分）已知函数()e sin 1axf x x =⋅-，其中0a >．（Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； （Ⅱ）证明：()f x 在区间[0,π]上恰有2个零点．解：（Ⅰ）当1a =时，()e sin 1xf x x =⋅-，所以 ()e (sin cos )xf x x x '=+． [ 2分]因为 (0)1f '=，(0)1f =-， [ 4分]所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为1y x =-． [ 5分]（Ⅱ）()e (sin cos )axf x a x x '=+． [ 6分]由 ()0f x '=，得 sin cos 0a x x +=． [ 7分] 因为 0a >，所以π()02f '≠． [ 8分]当 ππ(0,)(,π)22x ∈时， 由 sin cos 0a x x +=， 得 1tan x a =-．所以 存在唯一的0π(,π)2x ∈， 使得 01tan x a =-． [ 9分]()f x 与()f x '在区间(0,π)上的情况如下：()f x↗ 极大值 ↘所以 ()f x 在区间0(0,)x 上单调递增，在区间0(,π)x 上单调递减． [11分]因为π020π()()e 1e 102a f x f >=->-=， [12分]且 (0)(π)10f f ==-<，所以 ()f x 在区间[0,π]上恰有2个零点． [13分](2018年丰台期末)18．已知函数()()22ln f x x ax a x a =--∈R . （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若()0f x ≥恒成立，求实数a 的取值范围. 解：（Ⅰ）函数()f x 的定义域为()0,+∞，()()()2222x a x a x ax a f x x x-+--'==.由()0f x '=，可得x a =或2ax =-， 当0a =时，()0f x '>在()0,∞+上恒成立，所以()f x 的单调递增区间是()0,∞+，没有单调递减区间； 当0a >时，()(),,x f x f x '的变化情况如下表：所以()f x 的单调递减区间是()0,a ，单调递增区间是(),a +∞. 当0a <时，()(),,x f x f x '的变化情况如下表：所以()f x 的单调递减区间是0,2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，单调递增区间是,2a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当0a =时，()20f x x =>，符合题意.当0a >时，()f x 的单调递减区间是()0,a ，单调递增区间是(),a +∞， 所以()0f x ≥恒成立等价于()min 0f x ≥，即()0f a ≥， 所以222ln 0a a a a --≥，所以01a <≤. 当0a <时，()f x 的单调递减区间是0,2a ⎛⎫-⎪⎝⎭，单调递增区间是,2a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭， 所以()0f x ≥恒成立等价于()min 0f x ≥，即02a f ⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭. 所以222ln 0422a a a a ⎛⎫+--≥ ⎪⎝⎭，所以342e 0a -≤<. 综上所述，实数a 的取值范围是342e ,1⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.(2018年石景山期末) 18．（本小题共13分）已知函数ln()()x a f x x-=． （Ⅰ）若1a = ,确定函数()f x 的零点；（Ⅱ）若1a =-，证明：函数()f x 是(0,)+∞上的减函数；（Ⅲ）若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与直线0x y -=平行，求a 的值. 18．（本小题共13分） 解：（Ⅰ）当1a = 时，则ln(1)()x f x x -=…… 1分定义域是(1,)+∞，令ln(1)x x -=……………2分 ln(1)0,2x x -==是所求函数的零点. ……………3分（Ⅱ）当1a =-时，函数()f x 的定义域是(1,0)(0,)-⋃+∞， ………4分所以2ln(1)1'()xx x f x x-++=，…………5分令()ln(1)1xg x x x =-++，只需证：0x >时，()0g x ≤． ……………6分又2211'()0(1)1(1)xg x x x x =-=-<+++，故()g x 在(0,)+∞上为减函数， …………… 7分 所以()(0)ln10g x g <=-=， …………… 8分 所以'()0f x <，函数()f x 是(0,)+∞上的减函数． ……………9分（Ⅲ）由题意知，1'()|1x f x ==，且2ln()'()xx a x a f x x---=， ………… 10分所以1'(1)ln(1)11f a a =--=-，即有ln(1)01aa a--=-， ……………11分令()ln(1)1at a a a=---，1a <，则211'()0(1)1t a a a =+>--， 故()t a 是(,1)-∞上的增函数，又(0)0t =，因此0是()t a 的唯一零点， 即方程ln(1)01aa a--=-有唯一实根0，所以0a =． ……………13分(2018年昌平期末) 19.（本小题14分）已知函数()ln(1)f x ax x =-+，a R ∈.（I ）当a = 2时，求曲线y =()f x 在点( 0，f (0) )处的切线方程； （II ）求函数()f x 在区间[0 , e -1]上的最小值.解：（I ）f (x )的定义域为(1,)-+∞. ……………1分因为1'()1f x a x =-+，a = 2， 所以'(0)211f =-=，(0)0f =.所以 函数f (x )在点(0,(0))f 处的切线方程是 y x =. ……………4分 （II ）由题意可得 1'()1f x a x =-+. （1）当0a ≤时，'()0f x <， 所以()f x 在(1,)-+∞上为减函数，所以在区间[0,e 1]-上，min ()(e 1)(e 1)1f x f a =-=--. ……………6分(2) 当0a >时, 令1'()01f x a x =-=+，则111x a=->-， ① 当110a-≤，即1a ≥时， 对于(0,e 1)x ∈-，'()0f x >，所以f (x )在(0,e 1)-上为增函数， 所以min ()(0)0f x f ==. ② 当11e 1,a -≥-，即10ea <≤时，对于(0,e 1)x ∈-，'()0f x <，所以f (x )在(0,e 1)-上为减函数， 所以min ()(e 1)(e 1)1f x f a =-=--. ③ 当101e 1,a<-<-即11ea <<时， 当x 变化时，()f x ，'()f x 的变化情况如下表：所以 min 111()(1)(1)ln 1ln f x f a a aa a a =-=--=-+. ………13分综上，当1e a ≤时，min ()(e 1)1f x a =--；当11ea <<时，min ()1ln f x a a =-+；当1a ≥时，min ()0f x =. ……………14分(2018年房山期末)（19）已知函数2()ln f x x x mx =+．（Ⅰ）当1m =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程； （II ）当0m <时，设()()f x g x x=,求()g x 在区间[1,2]上的最大值． （19）解：(I)当1=m 时，2()ln f x x x x =+所以'()ln 21f x x x =++. 所以(1)1f =，切点为(1,1).'(1)3f =所以曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线方程为13(1)y x -=-即32y x =-…………………6分（II ）因为11g '()mx x m x x +=+=，[]1,2x ∈,令10mx x +=,则1x m=- 当1m ≤-时, 101m<-≤,g '()0x ≤,()g x 为减函数所以()g x 的最大值为(1)=g m当1-1m <<-时, 112<-<时所以()g x 的最大值为()1ln()g m m-=--- 当1-02m ≤<时, 12m-≥时，g '()0x ≥恒成立，()g x 为增函数 所以()g x 的最大值为(2)2ln 2g m =+ ………………13分(2018年通州期末) 19．（本题满分13分）已知函数()ln x af x x-=，a ∈R . （Ⅰ）当0a =时，求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）对任意的()1,x ∈+∞，()f x >a 的取值范围.19.解：（Ⅰ）因为0a =， 所以()ln xf x x=，()()0,11,.x ∈+∞……………………1分所以()()ln .ln x f x x -'=21……………………2分令()f x '>0，即ln x ->10，所以.x e >……………………3分 令()f x '<0，即ln x -<10，所以.x e <……………………4分 所以()f x 在(),e +∞上单调递增，在(),01和(),e 1上单调递减. 所以()f x 的单调递增区间是(),e +∞，单调递减区间是(),01和(),e 1.……………………5分（Ⅱ）因为x >1，所以ln .x >0 因为，所以对任意的()1,x ∈+∞，()f x >ln x ax->恒成立.等价于a x x <-恒成立. ……………………7分令()g x x x =，所以()g x '=……………………9分令()ln h x x =-2，所以()h x '= 所以当x >1时，().h x '>0所以()h x 在()1,+∞上单调递增. 所以()().h x h >=10……………………11分 所以当x >1时，().g x '>0所以()g x 在()1,+∞上单调递增. 所以()().g x g >=11 所以 1.a ≤……………………13分（2018年朝阳一模） 18． (本小题满分13分)已知函数ln 1()x f x ax x-=-． （Ⅰ）当2a =时，（ⅰ）求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（ⅱ）求函数)(x f 的单调区间；（Ⅱ）若12a <<，求证：)(x f 1<-．18． (本小题满分13分)（Ⅰ）当2a =时，ln 1()2x f x x x-=-.2222ln 22ln ()2x x xf x x x ---'=-=. （ⅰ）可得(1)0f '=，又(1)3f =-，所以()f x 在点（1,3-）处的切线方程为3y =-. ….3分 （ⅱ）在区间（0,1）上2220x ->，且ln 0x ->，则()0f x '>. 在区间（1,+∞）上2220x -<，且ln 0x -<，则()0f x '<.所以()f x 的单调递增区间为（0,1），单调递减区间为（1,+∞）. ….8分 （Ⅱ）由0x >，()1f x <-，等价于ln 11x ax x--<-，等价于21ln 0ax x x -+->. 设2()1ln h x ax x x =-+-，只须证()0h x >成立.因为2121()21ax x h x ax x x--'=--=，12a <<，由()0h x '=，得2210ax x --=有异号两根. 令其正根为0x ，则200210ax x --=. 在0(0,)x 上()0h x '<，在0(,)x +∞上()0h x '>.则()h x 的最小值为20000()1ln h x ax x x =-+-0011ln 2x x x +=-+- 003ln 2x x -=-.又(1)220h a '=->，13()2()30222a h a '=-=-<，所以0112x <<.则0030,ln 02x x ->->.因此003ln 02x x -->，即0()0h x >.所以()0h x >所以()1f x <-. ….….13分(2018年东城一模) （19）（本小题14分）已知函数()e (1)x f x a x =-+.（I ）若曲线()y f x =在(0,(0))f 处的切线斜率为0，求a 的值； （II ）若()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围；（III ）证明：当0a =时，曲线()(0)y f x x =>总在曲线2ln y x =+的上方. 【解析】（Ⅰ）()x f x e a '=-，由题可得(0)0f '=，即10a -=，故1a = （Ⅱ）()xf x e a '=-①当0a =时，()0xf x e =>恒成立，符合题意。
专题02 函数-十年高考(2009-2018)之高三数学(文)分项与解读(北京专版)(原卷版)
专题02 函数【考情概览】【应试策略】1.利用基本初等函数的单调性与图像：只需作出函数的图象便可判断函数在相应区间上的单调性； 性质法：（1）增函数+增函数=增函数，减函数+减函数=减函数，增函数-减函数=增函数，减函数-增函数=减函数；（2）函数()f x -与函数()f x 的单调性相反； （3）0k >时，函数()f x 与()k f x 的单调性相反（()0f x ≠）；0k <时，函数()f x 与()k f x 的单调性相同（()0f x ≠）.2.导数法：()0f x '≥在区间D 上恒成立，则函数()f x 在区间D 上单调递增；()0f x '≤在区间D 上恒成立，则函数()f x 在区间D 上单调递减.4.定义法：作差法与作商法（常用来函数单调性的证明，一般使用作差法）.【注】分段函数的单调性要求每段函数都满足原函数的整体单调性，还需注意断点处两边函数值的大小比较.2. 判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域； (2)判断()f x 与()f x -是否具有相等关系或者相反关系.在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价关系式()0()f x f x ＋－＝ (奇函数)或()0()f x f x -－＝ (偶函数)是否成立.3. 有关图象辨识问题的常见类型及解题思路(1)由实际情景探究函数图像：关键是将生活问题转化为我们熟悉的数学问题求解，但要注意实际问题中的定义域。
(2)由解析式确定函数的图象。
此类问题往往从以下几方面判断：①从函数的定义域，判断图象左右的位置，从函数的值域，判断图象的上下位置； ②从函数的单调性，判断图象的变化趋势； ③从函数的奇偶性，判断图象的对称性； ④从函数的周期性，判断图象的循环往复。
利用上述方法，排除、筛选错误或正确的选项。
4. 已知函数有零点(方程有根)求参数取值范围常用的方法(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围． (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决．(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．【真题展示】1.【2009高考北京文第4题】为了得到函数3lg 10x y +=的图像，只需把函数lg y x =的图像上所有的点 （ ）A ．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度B ．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度C ．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度D ．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 2.【2010高考北京文第6题】给定函数①y ＝x12，②y ＝12log (1)x +，③y ＝|x －1|，④y ＝2x ＋1，其中在区间(0,1)上单调递减的函数的序号是…… ( ) A ．①② B．②③ C．③④ D．①④3. 【2012高考北京文第5题】函数121()()2xf x x =-的零点个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．34. 【2013高考北京文第3题】下列函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞)上单调递减的是( )． A ．1y x=B ．y ＝e －xC ．y ＝－x 2＋1 D ．y ＝lg |x |5. 【2014高考北京文第2题】下列函数中，定义域是R 且为增函数的是（ ）A.x y e -=B.3y x = C.ln y x = D.y x =6. 【2014高考北京文第8题】加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”.在特定条件下，可食用率p 与加工时间t （单位：分钟）满足的函数关系2p at bt c =++（a 、b 、c 是常数），下图记录了三次实验的数据.根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为（ ） A.3.50分钟 B.3.75分钟 C.4.00分钟 D.4.25分钟O 5430.80.70.5t p7. 【2012高考北京文第8题】某棵果树前n 年的总产量S n 与n 之间的关系如图所示，从目前记录的结果看，前m 年的年平均产量最高，m 的值为()A ．5B ．7C ．9D ．11 8.【2014高考北京文第6题】已知函数()26log f x x x=-，在下列区间中，包含()f x 零点的区间是（ ） A.()0,1 B.()1,2 C.()2,4 D.()4,+∞ 9.【2011高考北京文第3题】如果1122log log 0x y <<，那么（A ）1y x << (B)1x y << (C)1x y << (D)1y x << 10. 【2015高考北京，文3】下列函数中为偶函数的是（ ）A ．2sin y x x =B ．2cos y x x =C ．ln y x =D ．2xy -=11.【2017高考北京文数第5题】已知函数1()3()3x xf x =-，则()f x（A ）是偶函数，且在R 上是增函数 （B ）是奇函数，且在R 上是增函数 （C ）是偶函数，且在R 上是减函数（D ）是奇函数，且在R 上是减函数12. 【2012高考北京文第14题】已知f (x )＝m (x －2m )(x ＋m ＋3)，g (x )＝2x－2．若x ∈R ，f (x )＜0或g (x )＜0，则m 的取值范围是________．13. 【2011高考北京文第13题】已知函数32,2()(1),2x f x x x x ⎧≥⎪=⎨⎪-<⎩ ,若关于x 的方程()f x k = 有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是 .14. 【2010高考北京文第14题】如图放置的边长为1的正方形PABC 沿x 轴滚动．设顶点P (x ，y )的纵坐标与横坐标的函数关系式是y ＝f (x )，则f (x )的最小正周期为__________；y ＝f (x )在其两个相邻零点间的图象与x 轴所围区域的面积为__________．15. 【2009高考北京文第12题】已知函数3,1,(),1,x x f x x x ⎧≤=⎨->⎩若()2f x =，则x = .16. 【2012高考北京文第12题】已知函数f (x )＝lg x ，若f (ab )＝1，则f (a 2)＋f (b 2)＝________．17. 【2013高考北京文第13题】函数f (x )＝12log ,1,2,1,x x x x ≥⎧⎪⎨⎪<⎩的值域为__________． 18. 【2015高考北京，文10】32-，123，2log 5三个数中最大数的是 ． 19. 【2016高考北京文数】下列函数中，在区间(1,1)- 上为减函数的是（） A.11y x=- B.cos y x = C.ln(1)y x =+ D.2x y -= 20. 【2016高考北京文数】函数()(2)1xf x x x =≥-的最大值为_________. 21.【2017高考北京文数第11题】已知0x ≥，0y ≥，且x +y =1，则22x y +的取值范围是_________．【对症下药】数学思想方法 (一)数形结合思想 (二)函数与方程思想 (三)转化与化归思想 (四)分类讨论思想 (五)换元法 (六)待定系数法 2.解题规律技巧(一)求函数定义域的常用方法 确定函数的定义域应遵循以下原则： (1)当()f x 是整式时，其定义域为R ．(2)当()f x 是分式时，其定义域是使得分母不为0的实数的集合．(3)当()f x 是偶次根式时，其定义域是使得根号内的式子大于或等于0的实数的集合． (4)对于0x ，x 不能为0，因为00无意义． (5)()tan f x x =的定义域为ππ,2x x x k k ⎧⎫⎧∈≠+∈⎨⎨⎬⎩⎩⎭R Z 且． (6)()()log 01a f x x a a =>≠且的定义域为{}0x x >．(7)由实际问题确定的函数，其定义域要受实际问题的约束，要具体问题具体分析． (8)分段函数的定义域是各段中自变量取值范围的并集． (二)求函数值域的常用方法1．直接法：从自变量x 的范围入手，逐步推出()y f x =的取值范围．2．图像法：当函数的图像给出时，图像在y 轴上的投影所覆盖的实数y 的集合即为函数的值域． 3．配方法：对于二次函数，常常根据求解问题的要求，采用配方法求值域．4．换元法：运用换元法，将所给函数等价转化为值域容易确定的另一函数，从而求得原函数的值域． 5．分离常数法：适用于形如()0ax by c cx d+=≠+的分式函数，将其分离常数，转化为只在分母上有变量的形式，再判断值域．6．判别式法：运用方程思想，依据一元二次方程有实根，求出y 的取值范围．7．反解法：通过反解，用y 表示x ，再由x 的取值范围，通过解不等式(组)，得出y 的取值范围． (三)判断函数奇偶性的常用方法(1)定义法：若函数的定义域不关于原点对称，则可直接判断函数既不是奇函数也不是偶函数．若函数的定义域关于原点对称，再判断下列等式(其中一个)是否成立： ①()()f x f x -=±；②()()0f x f x ±-=；③()()()()10f x fx f x -=±≠． (2)图像法：作出函数的图像，然后看图像是否关于y 轴或原点对称，用数形结合的方法确定函数的奇偶性． (3)性质法：对于定义在同一关于原点对称的区间上的几个函数，偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为偶函数；奇函数的和、差仍为奇函数；奇(偶)数个奇函数的积、商(分母不为零)为奇(偶)函数；一个奇函数与一个偶函数的积、商(分母不为零)为奇函数． (4)分段函数的奇偶性要分段进行讨论．(5)抽象函数奇偶性的判断：利用定义法，根据函数的性质和已知条件寻找()f x 与()f x -的关系，从而得出结论．(四)判断、证明函数的单调性(1)定义法：即“取值——作差——变形——定号——判断”．要注意的是，当函数在其定义域上的单调区间是由几个区间组成的，问题又未指明其单调区间而需要探求，这时可从如下两个方面入手：①定义域：若定义域区间是由几个区间组成，则函数的单调区间必是某个区间的子区间．②从极端入手分析：当某个代数式的符号无法确定时，可取12x x x ==，计算得x 的值，以此为界进行分类讨论．(2)图像法：先做出函数的图像，利用图像直观判断函数的单调性．(3)直接法：就是对于我们所熟悉的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等，直接写出它们的单调区间．(4)利用复合函数单调性法则“同增异减”进行判断．(5)利用导数判断函数的单调性，设函数()y f x =在某个区间内可导，若()0f x '>，则()f x 在此区间上为增函数，若()0f x '<，则()f x 在此区间上为减函数．【考题预测】1．定义在上的偶函数满足：对任意的实数都有，且，。
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2009至2018年北京高考真题分类汇编之导数大题精心校对版题号一总分得分△注意事项：1.本系列试题包含2009年-2018年北京高考真题的分类汇编。
2.本系列文档有相关的试题分类汇编，具体见封面。
3.本系列文档为北京双高教育精心校对版本4.本系列试题涵盖北京历年（2011年-2020年）高考所有学科一、解答题（本大题共10小题，共0分）1.（2013年北京高考真题数学(文)）已知函数2()sin cos f x x x x x （1）若曲线()y f x 在点(,())a f a 处与直线y b 相切，求a 与b 的值。
（2）若曲线()y f x 与直线y b 有两个不同的交点，求b 的取值范围。
2.（2012年北京高考真题数学(文)）已知函数2()1(0)f x ax a ，3()g x x bx ．（Ⅰ）若曲线()y f x 与曲线()y g x 在它们的交点(1,)c 处具有公共切线，求,a b 的值；（Ⅱ）当3a ，9b 时，若函数()()f x g x 在区间[,2]k 上的最大值为28，求k 的取值范围．3.（2011年北京高考真题数学(文)）已知函数()()x f x x k e . （Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）求()f x 在区间[0,1]上的最小值.
4.（2009年北京高考真题数学(文)）姓名：__________班级：__________考号：__________●-------------------------密--------------封-
-------------线--------------内--------------请--------------不--------------要--------------答--------------题-------------------------●。