5.1 整数规划问题的提出

x , x ≥ 0 1 2
x2 9 8 7 6 5 4 3 2 1
例： 求整数规划问题的最优解： 求整数规划问题的最优解： max z = 3x1 + 2x2
s.t. 2x1 + 3x2 ≤14 x1 + 0.5x2 ≤ 4.5 x , x ≥ 0,且 取 值 均 整 1 2
凑整法求解
1 2
14x1 + 9x2 ≤ 51 − 6x1 + 3x2 ≤ 1 x , x ≥ 0 1 2
用图解法求出最优解 x1＝3/2, x2 = 10/3 且有Z 且有Z = 29/6 现求整数解（ 现求整数解（最优 ）：如用 如用“ 解）：如用“舍入取整 (1， 可得到4个点即(1 法”可得到4个点即(1， 3)(2，3)(1，4)(2，4)。 3)(2，3)(1，4)(2，4)。
启示２ 启示２： 的可行域中， （1）在LP的可行域中， ） 的可行域中 如果通过仅对部分可行整数解的讨论， 如果通过仅对部分可行整数解的讨论， 就得到原问题的最优解， 就得到原问题的最优解， 称为部分枚举法或隐枚举法---分枝定界法。 称为部分枚举法或隐枚举法 分枝定界法。 分枝定界法 （2）在LP的约束区域中切去几块不含整数解的可行域， 的约束区域中切去几块不含整数解的可行域， ） 的约束区域中切去几块不含整数解的可行域 使整数解作为顶点， 使整数解作为顶点， 这样求LP问题的最优解， 这样求 问题的最优解， 问题的最优解 即为整数解---割平面法 割平面法。 即为整数解 割平面法。
纯整数规划： 纯整数规划： 所有变量要求取非负整数的线性规划。 所有变量要求取非负整数的线性规划。 混合整数规划： 混合整数规划： 只有一部分的变量要求取非负整 数， 另一部分变量可以取非负实数的线性规划。 另一部分变量可以取非负实数的线性规划。 0－1整数规划： 整数规划： 线性规划。 所有变量只能取 0 或 1 两个整数的 线性规划。
①
若将（ 若将（x1=4.8，x2=0） 凑整为（ 凑整为（x1=5，x2=0）， 显然已不满足约束条件， 显然已不满足约束条件， 25。 ②>25。 若将（ 若将 （ x1=4.8 ， x2=0 ） 凑整为 是可行解， （x1=4，x2=0），是可行解， 但是否最优呢？ 但是否最优呢？ 80。 当（x1=4，x2=0），Z＝80。
这样做有时确实有效， 这样做有时确实有效， 得到的解与最优解差别不大， 得到的解与最优解差别不大， 实际工作中也常采用这种方法， 实际工作中也常采用这种方法， 但还有很多实际问题不能这样处理。 但还有很多实际问题不能这样处理。 因为一方面化整后不见得是可行解； 因为一方面化整后不见得是可行解； 另一方面即使是可行解，但不一定是最优解。 另一方面即使是可行解，但不一定是最优解。 因此，对求最优整数解的问题，有必要另行研究。 因此，对求最优整数解的问题，有必要另行研究。 我们称这样的问题为整数线性规划(integer linear 我们称这样的问题为整数线性规划 programming)，简称 ，简称ILP或IP， 或 ， 整数线性规划是最近几十年来发展起来的规划论中的 一个分支。 一个分支。
因此有必要专门研究整 数规划问题的解法
（二）、整数规划的数学模型 ）、整数规划的数学模型 一般形式 n m Z( m Z) = ∑cjxj ax 或 in
j=1
n ∑aijxj = bi (i = 1.2Lm) j=1 x ≥ 0 (j = 1.2Ln) 且部分或全部为整数 j
依照决策变量取整要求的不同， 依照决策变量取整要求的不同， 整数规划可分为 纯整数规划、全整数规划、 纯整数规划、全整数规划、 混合整数规划、 － 整数规划 整数规划。 混合整数规划、0－1整数规划。
①
L2: 5x1＋4x2=24
L1: 2x1+5x2=13 0 A(4.8,0) X1
x2＝－2x1＋0.1z
得到最优解为 x 1 = 4 .8 ， x 2 = 0 ， Z=96 Z=96
m z = 20x1 + 10x2 ax 5x1 + 4x2 ≤ 24 ② 2x1 + 5x2 ≤ 13 ③ ④ x1 , x2 ≥ 0 x1 , x2 整数 ⑤ L*： x2 = -2x1 +0.1z
× × × o
(3.25， (3.25，2.5) o z*=14.75
o
比较(4，3)、 (4，2)、 比较(4，3)、 (4，2)、 (4 (3，3)、 (3， (3，3)、 (3，2). 其中(3，2)属可行解， 其中(3，2)属可行解，z=13 (3 属可行解 (3,2)非最优 非最优. 但(3,2)非最优. 最优解为(4，1)， 最优解为(4，1)，z*=14. (4
x2
3
⑴
⑵
(3/2,10/3)
显然， 显然，它们都不可能是 3 整数规划的最优解。 整数规划的最优解。 x1 按整数规划约束条件， 按整数规划约束条件，其可行解肯定在线性规划问题 m Z = x1 + x2 ax 的可行域内且为整数点。 的可行域内且为整数点。故整数规划问题的可行解集 14x1 + 9x2 ≤ 51 是一个有限集，如图所示。 是一个有限集，如图所示。 3x2 − 6x1 +：（2 穷举法知：（ ≤ 1 ）（3 点为最大值，Z=4。 穷举法知：（2，2）（3，1）点为最大值，Z=4。
例：设整数规划问题如下
m Z = x1 + x2 ax 14x1 + 9x2 ≤ 51 − 6x1 + 3x2 ≤ 1 x , x ≥ 0且为整数 1 2
首先不考虑整数约束，得到线性规划问题（ 首先不考虑整数约束，得到线性规划问题（一般称 松弛问题）。 为松弛问题）。 m Z = x + x ax
（三）、整数规划与线性规划的关系 ）、整数规划与线性规划的关系 从数学模型上看整数规划 似乎是线性规划的一种特殊形式， 似乎是线性规划的一种特殊形式， 求解只需在线性规划的基础上，通过舍入取整， 求解只需在线性规划的基础上，通过舍入取整， 寻求满足整数要求的解即可。 寻求满足整数要求的解即可。 但实际上两者却有很大的不同， 但实际上两者却有很大的不同， 通过舍入得到的解（整数）也不一定就是最优解， 通过舍入得到的解（整数）也不一定就是最优解， 有时甚至不能保证所得到的解是整数可行解。 有时甚至不能保证所得到的解是整数可行解。 举例说明。 举例说明。
在前面讨论的线性规划问题中， 在前面讨论的线性规划问题中， 它们的解都假设可以取连续数值， 它们的解都假设可以取连续数值， 所以最优解可能是分数或小数， 所以最优解可能是分数或小数， 但在许多具体的实际问题中， 但在许多具体的实际问题中， 决策变量仅仅取整数才有意义。 决策变量仅仅取整数才有意义。 例如:所求解是机器的台数、 例如:所求解是机器的台数、完成工作的人数或装 货的车数，箱数等， 货的车数，箱数等， 分数或小数的解答就不合要求。 分数或小数的解答就不合要求。 为了满足整数解的要求， 为了满足整数解的要求， 直观上看， 直观上看，似乎只要把已得到的带有分数或小数的 解按照“四舍五入或凑整或舍尾取整” 解按照“四舍五入或凑整或舍尾取整”的方法寻 最优解就可以了。 最优解就可以了。
解：设x1、x2为甲乙两种货物 托运的箱数。 非负整数) 托运的箱数。(非负整数)
X2 L*： x
2
= -2x1 +0.1z
m z = 20x1 + 10x2 ax 5x1 + 4x2 ≤ 24 2x1 + 5x2 ≤ 13 x1 , x2 ≥ 0 x1 , x2 整数
② ③ ④ ⑤
通过对全体可行的整数解， 通过对全体可行的整数解，逐 个比较优劣，得到最优解的方法， 个比较优劣，得到最优解的方法， 称为完全枚举法 穷举法） 完全枚举法（ 称为完全枚举法（穷举法） 。 B(4,1) 完全枚举法知： 完全枚举法知： 当（x1=4，x2=1）， 90，最优。 Z＝90，最优。
A(4.8,0)
o × × ×
× × × ×
Байду номын сангаасO 1 2 3 4 5 6 7
x1
得到的启示１ 得到的启示１： 启示 （１）化整后未必是可行解 即使是可行解， （２）即使是可行解，也未必是最优解 即使该方法结果可以得到最优解， （３）即使该方法结果可以得到最优解， 但如果有n个决策变量 则取舍方案有２ 个决策变量， 但如果有 个决策变量，则取舍方案有２n种。 约等于10 当n=60时，260约等于 18，这使计算机也难以 时 实现。 实现。 所以，有必要讨论整数规划的求解方法。 所以，有必要讨论整数规划的求解方法。
（一） 举例 某厂利用集装箱托运甲、乙两种货物， 例1：某厂利用集装箱托运甲、乙两种货物，每 可获利润及托运限制如下： 箱体积、重量 、可获利润及托运限制如下： 体积 甲 乙 托运限制 5 4 24 重量 2 5 13 利润 20 10
两种货物各托运多少箱可使获得利润为最大？ 两种货物各托运多少箱可使获得利润为最大？