第七讲整数规划(一)(运筹学清华大学,林谦)
《运筹学》之整数规划
…
Bn
…
X1n
…
X2n
……
…
Xnn
指派问题：分配要求
分配 B1 B2 … Bn 工作数
A1
X11
X12
… X1n
∑X1j
A2
X21
X22
… X2n
∑X2j
…
…
…
……
…
An 人数 要求
Xn1 ∑Xi1 1
Xn2 ∑Xi2 1
… Xnn … ∑Xin …1
∑Xnj
要求 1 1
… 1
指派问题：模型
n n
X1 1
P1:(1,9/10 X2 2 X2 3 P12: (0,3) Z=9
原问题的最优解（1，2） Z=10。
指派问题
设有n 个人A1, A2, …An,要分派去做n件事B1, B2… Bn,要求每一件事都 必须有一个人去做,而 且不同的事由不同的人去做.已知每个人Ai做每 件事Bj的效率(如劳动工时或成本,或创造的价值 等)为Cij,问应如何进行指派(哪个人做哪件事),才 能使 工作效益最好(如工时最少,或成本最低,或 创造的价值最大)?
乙
19 23 22 18
丙
26 17 16 19
丁
19 21 23 17
指派问题：思考问题
1、人数比工作数多怎么处理？ 2、人数比工作数少，模型会怎
样变化? 3、计算机求解方法？
特殊约束的处理
➢互斥约束 ➢矛盾约束 在建立数学模型时，有时会遇到相 互矛盾的约束，模型只要求其中的 一个约束起作用。
12 8
x5
6 相机
2 4
x6
7 设备
4 10
x7
《运筹学整数规划》课件
应用案例
生产调度问题的整数规划 模型
交通流优化问题的整数规 划模型
使用整数规划解决生产调度问题， 提高生产效率和资源利用率。
应用整数规划优化交通流，实现 道路拥堵疏导和交通效率提升。
建模思路与求解过程的演示
分享一个实际问题的建模思路和 整数规划的求解过程。
总结
整数规划的意义和局限性
总结整数规划在实际问题中的意义和局限性，并思考其未来发展方向。
求解方法与难点
介绍整数规划的求解方法，以及其中的挑战和难点。
模型建立与求解
1
模型的建立
讲解整数规划模型的建立过程，包括约枚举法和割平面法 Nhomakorabea2
束条件和目标函数的设定。
简要介绍传统的枚举法和割平面法，并
讨论这些方法的优缺点。
3
分支定界法和分支限界法
详细解释分支定界法和分支限界法，并
分支定价法和混合整数线性规划
整数规划的发展趋势
展望整数规划领域未来的发展趋势和可能的研究方向。
《运筹学整数规划》PPT 课件
这是一份关于《运筹学整数规划》的PPT课件，旨在为大家介绍整数规划的定 义、背景和实际应用中的重要性。通过本课件，我们将深入探讨整数规划的 求解方法、工具以及一些实际应用案例。
引言
定义和背景
整数规划的概念和历史背景，为后续内容提供基础。
重要性
探讨整数规划在实际问题中的重要性和应用范围。
4
分享一些实际案例。
介绍分支定价法和混合整数线性规划方 法，以及它们的应用领域。
求解工具
Gurobi的介绍
详细介绍Gurobi求解器，包 括其功能、优势和适用范围。
Gurobi求解整数规划的 步骤
第七讲 整数规划
湖州师范学院商学院
(5 8)
2012年12月22日
22
第七讲
2、相互排斥的约束条件
整数规划
四、0-1型整数规划
整数规划
先不考虑整数约束条件，求得相应的线性规划的最 优解为： x1=3/4，x2=7/4，max z=5/2
2012年12月22日
湖州师范学院商学院
15
第七讲
三、割平面法
例题
cj→ CB XB B－1b
1 2
整数规划
3 2
2
5
4
3
x
1
x
x
x
4
1 1
x x
3/4 7/4
1 0
0 1
-1/4 3/4
例如在指派问题中，将n项任务指派n个人去完成，不同 的指派方案共有n!种，当n=10时，可能的指派方案数超过300 万；当n=20，超过2×1018。显然，穷举法是不可取的。
2012年12月22日
湖州师范学院商学院
9
第七讲
二、分枝定界解法
整数规划
分枝定界法核心思想
考虑最大化整数线性规划问题A，与它相应的线性 规划记为问题B。我们从解问题B开始，若其最优解不 符合A的整数条件，那么B的最优目标函数必是A的最优 目标函数值z*的上界，记作 z ；而A的任意可行解的目 标函数值将是z*的一个下界 z 。分支定界法就是将B的 可行域分成子区域(称为分支)的方法，逐步减小 z 和增 大 z ，最终求到z*。
2012年12月22日
湖州师范学院商学院
《整数线性规划》PPT课件_OK
br br fr br br
整数可行解
xr arj x j br jN
最优基可行解
xr arj x j br jN
xr arj x j br 56 jN
minc x Ax b
s.t.x 0, x为整数
min c x
Ax b
s.t.xr
xij 1,0;i 1,2...1, 7, j 1,2,3 21
• 约束
包裹容量限制
必带物品限制 选带物品限制
17
ci xij rj ; j 1,2,3
i 1
3
xij 1;i 1,2...,7
j 1
3
xij 1;i 8,2...1, 7
j 1
22
• 目标函数—未带物品购买费用最小
3
1 xij ;i 8,2...1, 7 j 1
v1, v2 ,...,vn cij
vi vj
12
模型
• 变量—是否从i第个城市到第j个城市
x 1,0; • 约束 每个城市只能到达一次、离开一ij次
n
xij 1;i 1,2,...n
j0
n
xij 1; j 1,2,...n
13
i0
• 避免出现断裂 每个点给个位势 除了初始点外要求前点比后点大
支其中无最优解
41
初始分支为可行解 集，初始界为无穷大
判 定是否 分支集
空
是停止 当前最好解 为最优解
选一分支写出并求解 放松问题，同时从分 支集中删除该分支
否
判
是
定是否
为整数
42
解
判定最
优值是否
小于
否
当前界
是
运筹学整数规划
a13 机床3
a14 机床4
a24 机床4
a33 机床3
解：设xij表示产品i在机床j上开始加工的时间(i=1,2,3; j=1,2,3,4) 下面将逐步列出问题的整数规划模型 1、同一件产品在不同机床上的加工顺序约束 对于同一件产品，在下一台机床上加工的开始时间不得早于在上一 台机床上加工的约束时间，故应有：
气，冰镐，绳索，帐篷，照相机和通讯设备，每种物品的重要性 系数和重量如下：假定登山队员可携带最大重量为25公斤。
序号 物品 重量 重要 系数
1 食品 5 20
2 氧气 5 15
3 冰镐 2 18Fra bibliotek4 绳索 6 14
5 帐篷 12 8
6 相机 2 4
7 设备 4 10
解：如果令xi=1表示登山队员携带物品i， xi=0表示登山队员不携带物品i，则问题表 示成0-1规划: Max Z= 20x1+15x2 +18x3 +14x4 +8x5 +4x6 +10x7
2
（二）、整数规划的数学模型
一般形式
max Z (或 min Z ) c j x j
j 1
n
n aij x j bi (i 1.2 m) j 1 x 0 (j 1.2 n) 且部分或全部为整数 j
依照决策变量取整要求的不同，整数规划可分为纯整 数规划、全整数规划、混合整数规划、0－1整数规划。
纯整数规划：所有决策变量要求取非负整数（这 时引进的松弛变量和剩余变量可以不要求取整数）。
全整数规划：除了所有决策变量要求取非负整数外， 系数aij和常数bi也要求取整数（这时引进的松弛变量和 剩余变量也必须是 整数）。 混合整数规划：只有一部分的决策变量要求取非 负整数，另一部分可以取非负实数。
运筹学整数规划
运筹学整数规划运筹学是研究在资源有限的条件下，如何进行决策和优化的一门学科。
整数规划是运筹学中的一个重要分支，它解决的是决策变量必须为整数的问题。
整数规划在实际问题中具有广泛的应用，如生产计划、设备配置、选址问题等。
整数规划问题的数学模型可以表示为：max/min c^T xs.t. Ax ≤ bx ≥ 0x ∈ Z其中，c是目标函数的系数矩阵，x是决策变量的向量，A是约束条件的系数矩阵，b是约束条件的向量，Z表示整数集合。
整数规划问题与线性规划问题相似，但整数规划问题的约束条件多了一个整数限制，使得问题的解空间变得更为复杂。
由于整数规划问题的NP-hard性质，求解整数规划问题是一项困难的任务。
求解整数规划问题的常用方法有分支定界法、割平面法和启发式算法等。
分支定界法是一种穷举搜索的方法，它通过将整数规划问题不断分割成更小的子问题，从而逐步搜索解空间，直到找到最优解。
分支定界法对于规模较小的问题比较有效，但对于大规模复杂问题，效率较低。
割平面法是一种通过添加新的约束条件来减少解空间的方法。
它利用线性松弛问题（将整数约束条件放宽为线性约束条件）的解来构造有效的割平面，从而逐步缩小解空间，找到最优解。
割平面法通常比分支定界法更有效，但对于某些问题，可能需要添加大量的割平面才能收敛到最优解。
启发式算法是一种基于经验和启发式搜索的方法。
它通过设置初始解、搜索策略和邻域搜索等步骤，来快速找到近似最优解。
常见的启发式算法有遗传算法、模拟退火算法和禁忌搜索算法等。
启发式算法虽然不能保证找到全局最优解，但能够在可接受的时间内找到较优解。
综上所述，整数规划作为运筹学中的重要分支，解决的是决策变量必须为整数的问题。
整数规划问题具有广泛的应用，但由于其NP-hard性质，求解过程较为困难。
常用的求解方法包括分支定界法、割平面法和启发式算法等。
这些方法各有优劣，根据具体问题的特点选择合适的方法进行求解。
清华大学_运筹学_教案
一、课程概述课程名称：运筹学授课对象：清华大学经管学院管理科学与工程专业研究生授课时长：共16周，每周2学时教学目标：1. 理解运筹学的基本概念、原理和方法。
2. 掌握线性规划、整数规划、非线性规划等运筹学的基本模型和求解方法。
3. 培养学生运用运筹学解决实际问题的能力。
4. 提高学生的逻辑思维、分析问题和创新能力。
二、教学内容与安排第1-2周：运筹学的基本概念与数学基础1. 运筹学的基本概念、发展历程及应用领域。
2. 数学基础：线性代数、概率论与数理统计。
第3-4周：线性规划1. 线性规划的基本概念、数学模型与标准形式。
2. 线性规划的求解方法：单纯形法、对偶理论。
3. 线性规划的应用实例。
第5-6周：整数规划1. 整数规划的基本概念、数学模型与标准形式。
2. 整数规划的求解方法：分支定界法、割平面法。
3. 整数规划的应用实例。
第7-8周：非线性规划1. 非线性规划的基本概念、数学模型与标准形式。
2. 非线性规划的求解方法：梯度法、牛顿法、共轭梯度法。
3. 非线性规划的应用实例。
第9-10周：网络优化1. 网络优化的基本概念、数学模型与标准形式。
2. 网络优化的求解方法：最短路径法、最小生成树法、最大流问题。
3. 网络优化的应用实例。
第11-12周：动态规划1. 动态规划的基本概念、数学模型与标准形式。
2. 动态规划的求解方法：动态规划表、状态转移方程。
3. 动态规划的应用实例。
第13-14周：排队论1. 排队论的基本概念、数学模型与标准形式。
2. 排队论的求解方法：泊松过程、排队系统分析。
3. 排队论的应用实例。
第15-16周：案例分析1. 结合实际案例，分析运筹学在各个领域的应用。
2. 学生分组讨论，撰写案例分析报告。
三、教学方法与手段1. 讲授法：系统讲解运筹学的基本概念、原理和方法。
2. 案例分析法：通过实际案例，让学生理解运筹学的应用。
3. 讨论法：鼓励学生积极参与课堂讨论，提高学生的思考能力。
管理运筹学讲义：整数规划
福建师范大学经济学院
第一节
• 步骤：
整数规划问题
二、 整数规划的图解法
在线性规划的可行域内列出所有决策变量可能取的整数值， 求出这些变量所有可行的整数解， 比较它们相应的目标函数值，最优的目标函数值所对应的 解就是整数规划的最优解。 x2
• 实用性：
只有两个决策变量， 可行的整数解较少。
x2
5
4
3 2 1
•
• • •
1
• • •
2
x2=3
• •
3
•
4
5x1 +7 x2 =35 2x1 + x2 =9
x2 =2
x1
10
福建师范大学经济学院
第二节
分枝定界法
• 求解相应的线性规划的最优解
问题4相应的线性规划的最优解： x1=3，x2 =2，Z4=28 问题5相应的线性规划的最优解：x1=14/5，x2 =3，Z5=159/5
11
福建师范大学经济学院
第二节
问题6：maxZ= 6x1 +5 x2 2x1 + x2 ≤9 5x1 +7 x2 ≤35 x1≤3 x2 ≥3 x1≤2 x1, x2 ≥0 x1, x2取整数
分枝定界法
问题7： maxZ= 6x1 +5 x2 2x1 + x2 ≤9 5x1 +7 x2 ≤35 x1 ≤3 x2 ≥3 x1 ≥ 3 x1, x2 ≥0 x1, x2取整数
第6章
整数规划
• 线性规划的决策变量取值可以是任意非负实数，但许多
实际问题中，只有当决策变量的取值为整数时才有意义。
例如，产品的件数、机器的台数、装货的车数、完成工作的人 数等，分数或小数解显然是不合理的。
第七章 整数线性规划(ILP)PPT课件
然后加入到 Step1 所得单纯形表的最后一行。
Step4、用对偶单纯形法迭代求解,若求得的最优解为整数则计 算停止，以求得最优整数解，或者对偶问题是无界的也停止计 算，表明原 ILP 问题不可行。否则，返回 Step2.
Gomory 的切割法自 1958 年提出后，引起人们广泛的注意， 但至今完全用它解题仍是少数，原因是经常遇到收敛很慢的情 形。但若和其他方法（分枝定界法）配合使用也是有效的。
AX b
(P0 )
X 0
Step1、求解相应的线性规划问题 P0 ，并确定初始上、下
界。 即首先不考虑变量的整数要求，求解相应的线性规划问题。
若该线性规划问题无解，则整数规划问题 P 无解，停止计算； 若该线性规划问题 P0 的最优解满足整数要求，即为原整数规划 问题 P 的最优解，计算完毕，若得到非整数最优解，即，最优
第一组约束条件表示各个城市恰好进 入一次，第二约束条件表示各个城市 恰好离开一次，第三组约束条件用以 防止出现对于一个互不连通的旅行路 线圈。 显然这是一个混合整数规划问题。
二、整数线性规划问题的求解 ——割平面法
（1） 基本思想 给出整数规划
min z min CX
AX b
( P)
X 0
2
x1 x1 ,
5x2 x2
13 0
x1, x2 整数
3、旅行售货员问题（货郎担问题）
有 一 推 销 员 ， 从 城 市 v0 出 发 ， 要 遍 访 城 市 v1 , v2 ,, vn 各一次，最后返回 v0 ，已知从vi 到 v j 的旅费为 Cij ，问他应按怎样的次序访问这个城 市，才能使得总旅费最少？（设 Cij M , M 是足 够大的正数， i 0,1,, n
清华大学运筹学课件(完整课件)
05
图与网络分析
图与网络的基本概念
图与网络的定义
由节点和边构成的数学结构，表示对象及其之间 的关系。
连通性
在无向图中，任意两个节点之间都存在路径，则 称该图是连通的。
有向图与无向图
根据边的方向性分类的图。
强连通与弱连通
在有向图中，任意两个节点之间都存在有向路径 ，则称该图是强连通的；若将有向图的边忽略方 向后得到的无向图是连通的，则称该有向图是弱 连通的。
通过平衡订货成本和存储成本，确定 最佳订货批量，使得总成本最低。
经济生产批量模型
适用于生产型企业，通过平衡生产准 备成本和存储成本，确定最佳生产批
量。
不允许缺货模型
假设需求稳定且不允许缺货，通过计 算最佳订货点和最高库存水平，实现
最小化成本。
随机型存储模型
一次性订货模型
适用于需求不确定的情况，通过 计算安全库存和期望缺货量，确 定最佳订货量。
整数规划问题的分类
根据整数变量的取值范围，可分为纯整数规划、混 合整数规划和0-1整数规划。
整数规划问题的数学模型
整数规划问题的数学模型与线性规划问题类 似，但需要加入整数约束条件。
分枝定界法
分枝定界法的基本思想
将原问题分解为若干个子问题，每个子问题对应原问题的 一个子集，通过求解子问题的最优解来逼近原问题的最优 解。
最短路问题
Dijkstra算法
适用于没有负权边的有向图，通过不断更新距离标签来求解单源最 短路问题。
Floyd算法
适用于任意有向图，通过动态规划的思想求解多源最短路问题。
Bellman-Ford算法
适用于有负权边的有向图，通过不断松弛边来求解单源最短路问题 。
管理运筹学讲义整数规划
管理运筹学讲义整数规划整数规划是管理运筹学中一种重要的优化技术，它在实际问题中具有广泛的应用。
本文将介绍整数规划的基本概念、建模方法以及解决算法，并通过实例展示其在实际问题中的应用。
一、整数规划的基本概念整数规划是线性规划的一种扩展形式，其决策变量被限制为整数。
在实际问题中，往往存在某些变量只能取整数值的约束条件，这时就需要使用整数规划方法进行求解。
与线性规划相比，整数规划的求解难度更大，但可以提供更精确的结果。
二、整数规划的建模方法在进行整数规划建模时，需要确定决策变量、目标函数和约束条件。
1. 决策变量决策变量是问题中需要优化的变量，其取值决定了问题的解。
在整数规划中，决策变量通常表示为整数。
2. 目标函数目标函数是整数规划问题中需要最小化或最大化的目标。
它可以是线性函数或非线性函数，但在整数规划中，通常只考虑线性目标函数。
3. 约束条件约束条件是问题的限制条件，限制了决策变量的取值范围。
在整数规划中，约束条件可以是线性等式或线性不等式。
三、整数规划的解决算法解决整数规划问题的常见算法包括割平面法、分支定界法和动态规划法等。
这些算法通过不断对问题进行优化，逐步逼近最优解。
1. 割平面法割平面法是一种通过添加额外的约束条件来逼近最优解的方法。
它首先求解一个松弛问题，然后根据松弛问题的解加入新的约束条件，直到找到最优解。
2. 分支定界法分支定界法是一种将整数规划问题划分为多个子问题，并对每个子问题进行求解的方法。
它通过不断分支和剪枝来找到最优解。
3. 动态规划法动态规划法是一种通过将问题分解为多个子问题，并通过求解子问题的最优解来求解原始问题的方法。
它采用自底向上的求解方式，将所有可能的决策情况进行组合，得到最优解。
四、整数规划在实际问题中的应用整数规划在实际问题中有着广泛的应用。
以下是一个应用整数规划解决的实际问题示例：某公司生产两种产品A和B，每天的生产时间为8小时。
产品A每单位利润为100元，产品B每单位利润为150元。
整数规划知识点总结
整数规划知识点总结一、整数规划基本概念整数规划是指决策变量的取值受到整数限制的线性规划问题。
数学形式可以表示为：\[\min c^Tx\]\[ s.t. Ax \leq b\]\[x\geq0 \]\[x_i \in \{0, 1, 2, ...\}\]其中，c为目标函数系数，x是决策变量，A是约束系数矩阵，b是约束条件的右端向量，决策变量x是整数。
当所有的决策变量都是整数时，称为纯粹整数规划（Pure Integer Programming）。
当部分决策变量为整数，部分为连续变量时，称为混合整数规划（Mixed Integer Programming, MIP）。
二、整数规划解法整数规划问题的求解可以采用分支定界法、割平面法、隐枚举法等不同方法。
下面将对常用的整数规划解法进行简要介绍。
1.分支定界法分支定界法是一种求整数规划解的有效方法，它通过对决策变量进行分支，将整数规划问题不断分解为子问题，然后采用线性规划方法求解子问题。
具体步骤如下：1）求解线性规划松弛问题，得到一个整数解。
2）若解为整数，则成为可行解，否则确定需要分支的决策变量，分为两个子问题。
3）对子问题继续重复上述过程，直到无法再分或求解出整数解为止。
2.割平面法割平面法是在分支定界法的基础上进行改进，它在每一次迭代求解线性规划松弛问题后，引入一些额外的不等式（割平面）来改进松弛问题的界。
这些割平面是通过分析整数规划问题的特性产生的，可以有效提高整数规划问题求解的效率。
3.隐枚举法隐枚举法是一种通过隐藏对决策变量的枚举，将整数规划问题转化为线性规划问题进行求解的方法。
该方法可以高效地求解整数规划问题，是一种常用的整数规划求解算法。
以上是整数规划常用的三种求解方法，通过不同的算法可以解决不同种类的整数规划问题。
三、整数规划应用领域整数规划在实际决策问题中有着广泛的应用，如生产计划、运输调度、项目投资、资源配置等诸多领域。
下面将对整数规划在不同应用领域的具体案例进行介绍。
第07章 整数规划
➢ (3)任取一个非整数变量xi=bi，构造两个新的约
束条件：xi ≤[bi] ,xi ≥ [bi]+1,分别加入到上一
个LP问题，形成两个新的分枝问题。 ➢ (4)不考虑整数要求，解分枝问题。若整数解的Z
值>所有分枝末梢的Z值，则得最优解。否则， 取 Z值最大的非整数解，继续分解，Go to (3)
3.求解下列PIP问题
s.t. 210x1+300x2+150x3+130x4+260x5 ≤ 600
X1+x2+x3=1
X3+x4=1
x5 ≤ x1
Xj=0或1 j=1，2,…,5
增加过滤条件：160x1+210x2+60x3+80x4+180x5 ≥ 240
(x1,x2,x3,x4,x5）
（1，0，0，1，0） （1，1，1，1，1） （1，1，1，1，0）
素，圈之。 (0)所在行和列其它0元素划掉
➢ 第三步 打——无(0)的行打，打行上
划0列打 ，打列上(0)行打，打行上 划0列打 …
➢ 第四步 划线——无行、打列划线 ➢ 第五步 造0——直线未覆盖的元素，减
去其最小值，交叉点上加最小元素，产 生新的0元素，Go to 2
➢ 最优解：x13=1,x21=1,x32=1,x44=1 Z=15
例7.1某集装箱运输公司，箱型标准体积 24m3，重量13T,现有两种货物可以装运，甲 货物体积5m3、重量2T、每件利润2000元； 乙货物体积4m3、重量5T、每件利润1000元， 如何装运获利最多？
解：max Z=2000x1+1000x2
s.t. 5x1+4x2≤24
整数规划的问题的名词解释
整数规划的问题的名词解释整数规划是数学规划领域中一种重要的优化方法，其目标是在满足一系列约束条件的前提下，寻找使目标函数取得最大或最小值的整数解。
整数规划在工程、经济、物流等领域中具有广泛的应用。
介绍整数规划是线性规划的一种扩展形式，它允许决策变量只取整数值。
与线性规划相比，整数规划的求解过程更加困难，因为整数变量引入了离散性，使得解空间变得离散。
这种离散性给求解算法带来了更高的复杂性。
整数规划表示整数规划可以表示为如下形式：\[\text{min/max} \quad c^T x\]\[\text{s.t.} \quad Ax \leq b\]\[x_i \in \mathbb{Z} \quad \text{for} \: i = 1,2,...,n\]其中，c是一个常数向量，x是决策变量向量，A是约束矩阵，b是约束向量。
约束条件可以包括等式约束和不等式约束。
决策变量x的取值必须满足整数要求。
线性规划和整数规划之间的联系线性规划是整数规划的一种特殊情况，当所有决策变量都可以取任意实数值时，整数规划退化为线性规划。
因此，整数规划是线性规划的推广。
整数规划的难点整数规划由于引入了整数变量，使得解空间变得离散，使得寻找最优解的过程变得复杂。
与线性规划不同，整数规划不存在直接求解的通用算法。
对于规模较小的问题，可以通过穷举法进行求解。
但是，对于规模较大的问题，穷举法是不可行的，因为解空间的规模随着决策变量数量和取值范围的增加而呈指数级增长。
因此，为了解决整数规划的难题，研究者们开发了许多求解算法，包括分支定界法、割平面法、约束生成法等。
这些算法通过不同的策略，逐步缩小解空间，最终找到最优解。
整数规划的应用领域整数规划在实际应用中得到了广泛的应用，特别是在工程、经济和物流等领域。
在工程领域，整数规划可以用于资源配送、项目进度优化等问题的求解。
在经济领域，整数规划可以用于生产计划、投资组合等方面。
在物流领域，整数规划可以用于运输路线优化、仓库管理等问题的求解。
2024版清华大学运筹学完整学习教案
案例分析：资源分配问题优化
案例背景
资源分配问题是一类典型的优化问题，涉及到如何 将有限的资源分配给不同的项目或任务，以使得整 体效益最大化。
求解过程
根据问题的特点选择合适的求解方法进行求解，如 动态规划、整数规划或启发式算法等。在求解过程 中需要注意对算法进行调试和优化，以提高求解效 率和准确性。
Floyd算法
适用于求解任意两点间最短路径问题，通过逐步构建 中间点集合，将问题分解为更小的子问题求解。
比较分析
从算法思想、时间复杂度、空间复杂度等方面 对两种算法进行比较分析。
最大流问题及其在网络中应用
最大流问题定义
01
给定一个有向图，其中每最大流量。
Ford-Fulkerson算法
一款数学计算软件，提供丰富的数学 函数库和强大的计算能力，可用于进 行复杂的运筹学建模和求解。
CPLEX
一款高性能的数学规划求解器，适用 于大规模线性规划、整数规划、混合 整数规划等问题的求解。
Gurobi
另一款高效的数学规划求解器，提供 多种算法和并行计算功能，适用于解 决复杂的优化问题。
实验设计思路和数据收集方法
图论是研究图的结构和性质的数学分支，通常 用节点和边表示图中的对象及其相互关系。
图的分类
根据边是否有向、是否加权等性质，图可分为 无向图、有向图、加权图等。
图的基本性质
介绍图的连通性、度、路径、回路等基本概念和性质。
最短路径问题求解方法比较
Dijkstra算法
适用于求解带权有向图中单源最短路径问题， 通过逐步确定已知最短路径的节点集合，不断 向外扩展求解。
发展历程
运筹学起源于20世纪30年代末，在第二次世界大 战期间得到广泛应用。战后，运筹学得到进一步发 展，广泛应用于军事、经济、工程等领域。
实验10-整数规划
Value 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 1.000000 0.000000 1.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 1.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 1.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000
a 1 i 1
10
10
化学工程系 化 33 芦琛璘
清华大学《数学实验》实验报告
【模型求解】
利用 LINGO 如下程序： MODEL: SETS: num/1..10/; call(num,num):x,t,p;
ENDSETS DATA: T= 0 5 3 7 9 3 9 2 9 0 5 0 7 8 3 2 3 3 5 7 3 7 0 9 3 5 3 3 9 3 7 8 9 0 8 4 1 8 0 4 9 3 3 8 0 8 8 7 5 9 3 2 5 4 8 0 4 8 0 3 9 3 3 1 8 4 0 7 9 5 2 3 3 8 7 8 7 0 5 5 9 5 9 0 5 0 9 5 0 5 0 7 3 4 9 3 5 5 5 0; P= 0 7 4 6 8 8 8 6 6 5 7 0 8 2 6 5 6 8 3 6 4 8 0 10 4 4 7 2 6 7 6 2 10 0 6 6 9 3 2 6 8 6 4 6 0 6 4 8 8 6 8 5 4 6 6 0 3 8 3 2 8 6 7 9 4 3 0 6 7 8 6 8 2 3 8 8 6 0 8 8 6 3 6 2 8 3 7 8 0 9 5 6 7 6 6 2 8 8 9 0; ENDDATA min=@sum(call(i,j):@sum(call(a,b):x(i,a)*x(j,b)*p(a,b)*t(i,j);););
运筹学 整数规划
问应如何选择使年利润最大？
相互排斥的约束条件
某厂用车运和船运两种方式运送甲乙两种 货物，每箱体积、重量、利润及限制条件 如下表：
加入约束： 3 x1－2 x2＋5 x3 ≥5
x1 . x 2. x3 ( 0. ( 0. ( 0. ( 1. ( 0. ( 1. ( 1. ( 1. 0. 0. 1. 0. 1. 0. 1. 1. 0 ) 1) 0) 0) 1) 1) 0) 1) (0) 0 5 －2 3 3 8 1 4 0 2 (1) 0 －1 0 1
注：划分不影响原（IP）问题的最优解
LP1 的解
x2
先求（LP1）,如图所示。 此时B 在点取得最优解。
3 ⑵ ⑴
B ⑶
x1＝1, x2 =3, Z(1)＝16 找到整数解，问题已探 明，此支停止计算
3
x1
LP2 的解
再求（LP2）,如图所示。 此时C 在点取得最优解。 x1＝2, x2 =10/3, Z(2) ＝56/3≈18.7 Z(2) > Z(1) x2 不是整数，加入条 件x2≤3，x2≥4 将（LP2）继续划分为 (LP3) ,(LP4)
1
C (1,1)
计算步骤
1.
用单纯形法求解(IP)对应的松弛问题(LP)：
⑴.若(LP)没有可行解，则(IP)也没有可行解， 停止计算。 ⑵.若(LP)有最优解，并符合(IP)的整数条件，则 即为(IP)的最优解，停止计算。 ⑶.若(LP)有最优解，但不符合(IP)的整数条件， 转入下一步。
整数规划教学课件
PuLP和Pyomo都支持多种线 性规划求解器，如GLPK、CBC 等，能够方便地求解大规模的 整数规划问题。
Part
05
整数规划案例分析
生产计划问题
总结词
生产计划问题是一个经典的整数规划 问题，旨在确定在满足市场需求的同 时，如何优化生产过程，降低生产成 本。
详细描述
生产计划问题需要考虑多个因素，如 市场需求、生产成本、生产能力等。 整数规划可以用来确定最佳的生产计 划，使得总成本最低，同时满足市场 需求。
投资组合优化问题
总结词
投资组合优化问题是一个重要的整数规划问 题，旨在确定在风险和收益之间取得平衡的 最佳投资组合。
详细描述
投资组合优化问题需要考虑多个资产的风险 和收益，以及投资者对风险和收益的需求。 整数规划可以用来确定最佳的投资组合，使 得在满足投资者需求的同时，风险最小。
路径规划问题
总结词
详细描述
遗传算法的基本思想是通过模拟生物进化过程中的基因遗传和变异过程来寻找最优解。 在算法执行过程中，会随机生成一组初始解，然后通过选择、交叉和变异等操作不断优 化解的质量。遗传算法具有较强的鲁棒性和全局搜索能力，能够处理复杂的整数规划问
题。
模拟退火算法
总结词
模拟退火算法是一种启发式搜索算法， 通过模拟物理退火过程来寻找最优解。
一种迭代算法，通过添加割平面来排 除不可行解，并缩小可行解的范围。 适用于大规模问题。
分支定界法
一种迭代算法，通过不断分割可行解 空间并排除不可能的解来逼近最优解 。适用于中等规模到大规模问题。
Part
02
整数规划的数学模型
线性整数规划
总结词
线性整数规划是整数规划的一种，其目标函数和约束条件均为线性函数，决策变量为整 数。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
Prof. Wang School of Economics & Management
Operations Research
第十四、十五讲
§1 概述（4）
2 ．整数规划最优解不能按照实数最优解简单取整而获 得。 [例2-3] 物品装载问题：有若干类物品需一次性装运，每 件物品的价值及重量分别，为vj和wj (j=1, …,n)，车辆最 大载重量为 ，试求，每件物品应装多少件才能使总价 值最大。 [解] 令xj表示第j类物品的装载件数，则可列写整数规划 如下： w x w x
page 7 18 November 2018
Prof. Wang School of Economics & Management
Operations Research
第十四、十五讲
§1 概述（7）
四、求解方法分类： 1． 割平面法——主要求解纯整数线性规划 2． 分枝定界法——可求纯或混合整数线性规划
①原线性规划最优解全是整数，则整数规划最优解与线性 规划最优解一致。 ②整数规划无可行解。
page 3 18 November 2018
Prof. Wangnagement
Operations Research
第十四、十五讲
§1 概述（3）
[例2-1] 原线性规划为： 2x1+4x2=5，X≥0，CTX=x1+x2=min 其最优实数解为：x1=0，x2=5/4，min CTX =5/4。
Operations Research
第十四、十五讲
第七讲 整数规划 （一）
§1 概述 §2 割平面法 §3 分枝定界法
page 1 18 November 2018
Prof. Wang School of Economics & Management
Operations Research
第十四、十五讲
目标函数 min z =x1+4x2 x1+2x2≥6 x1，x2≥0且为整数
page 10 18 November 2018
约束条件 2x1+x2≤8
Prof. Wang School of Economics & Management
3． 隐枚举法——求解“01”整数规划：
① 过滤隐枚举法； ② 分枝隐枚举法 4 ． 匈牙利法 —— 解决指派问题（“ 01” 规划特殊情 形）。 5．蒙特卡洛法——求解各种类型规划。
page 8 18 November 2018
Prof. Wang School of Economics & Management
Prof. Wang School of Economics & Management
Operations Research
第十四、十五讲
§3 分枝定界法 （1）
分枝定界法目前已成功地应用于求解整数规划问题、生 产进度表问题、旅行推销员问题、工厂选址问题、背包 问题及分配问题等。因此，分枝定界算法是求解整数规 划的最有用的算法之一。现结合例题说是该算法的思路。 [例2-5]求解下述整数规划
v1 x1 vn xn max
xj≥0且取整
1 1
n n
(2)
page 5 18 November 2018
Prof. Wang School of Economics & Management
Operations Research
第十四、十五讲
§1 概述（5）
若不限制为整数，其最优解的基础分量xm为：
xm / wm，其中，vm / wm max v j / w j
当j≠m，则xj=0
当限制为整数时，就需仔细计算（其方法将在后面阐 述）。
例如，将例[2-3]具体化为：
51x1+50x2+50x3≤100
150x1+100x2+99x3=max
page 6 18 November 2018
page 2 18 November 2018
Prof. Wang School of Economics & Management
Operations Research
第十四、十五讲
§1 概述（2）
三、整数规划特点 整数规划标准形式（实际为整数线性规划） AX=b，X≥0，CTX=min，xj为整数（j=1，…，n） (1) 1．原线性规划有最优解，当自变量限制为整数后， 其整数 规划解出现下述情况；
Operations Research
第十四、十五讲
§2 割平面法
该法适于求解纯整数规划问题。其基本思路是首先去掉 整数约束去求解普通线性规划问题，若获得的最优解全 为整数，结束；否则，以此最优非整数变量为基准，在 原约束条件下，增加割约束，再继续求解，这样反复下 去，直到结束为止。
page 9 18 November 2018
§1 概述（1）
一、定义 规划中的变量（部分或全部）限制为整数时，称为整数规 划。若在线性规划模型中，变量限制为整数，则称为整数 线性规划。 二、整数规划分类 如不加特殊说明，一般指整数线性规划。对于整数线性规 划模型大致可分为两类： Ÿ变量全限制为整数的，称纯（完全）整数规划。 Ÿ变量部分限制为整数的，称混合整数规划。
x j≥ 0
Prof. Wang School of Economics & Management
Operations Research
第十四、十五讲
§1 概述（6）
若不限制整数，得出m=1，比率为150/51→max，故最优 实数解为：x1=100/51，x2=x3=0，总价值15000/51=294.12。 然而，物品不能切开，故限制为整数时，其最优解为： x1=0，x2=2，x3=0；总价值为200。 从该例得出结论，整数规划最优解不能简单的从最优 实实数解中4舍5入取整所得。因此，对于整数规划的求 解必须开拓新技术。
③有可行解（当然就存在最优解），但最优解值变差。 [例2-2] 原线性规划为： 2x1+4x2=6，X≥0，CTX=x1+x2=min 其最优实数解为：x1=0，x2=3/2，min CTX =3/2。 若限制整数则得：x1=1，x2=1，min CTX =2。
page 4 18 November 2018