清华大学运筹学课件(完整课件)

2、定理2
线性规划的基可行解对应于可行域的顶点。
3、定理3 若线性规划有解，则一定存在基可行解 为最优解。
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§3 单纯形法 基本思路：从可行域的一个顶点到另一个顶点迭代求最优解。
3.1 初始基可行解的确定 1、松弛基（松弛变量对应的B） max z = x1 + 3x2 + 0x3 + 0x4 [eg.8]max z = x1 + 3x2 x1 + 2x2 + x3 =3 x1 + 2x2 ≤ 3 化标准型 2x1 + 3x2 + x4 = 4 2x1 + 3x2 ≤ 4 x1,x2,x3,x4 ≥ 0 x1,x2 ≥ 0
O(0,0)
Q3(2,3)
Q5(4,3) Q2(4,2)
Q1(4,0)
6、可行基 基可行解对应的B为可行基。
基可行解 非可行解
可行解
基解
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§2 线性规划问题的几何意义 2.1 基本概念 1、凸集：设K为En(n维欧式空间)的一点集，X(1)∈K，X(2)∈K。 若α X(1)+(1-α )X(2)∈K，则称K为凸集。（0<α <1）
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4、基解：取B = (p1,p2,·,pm) · · a11,·,a1m x1 · · a1m+1,·,a1n xm+1 · · b1 ┆ ┆ ┆ + ┆ ┆ ┆ =┆ am1,·,amm xm · · amm+1,·,amn xn · · bm ↑ ↑ ↑ ↑ 基 基变量 非基 非基变量 令 xm+1 = · = xn = 0 (非基变量为0) · · 则 BXB = b 1 (0) (0) (0) T ∴
简记：max z c j x j
j 1 n
a
j 1
n
ij
x j bi
i 1, , m
x j 0，j 1, , n
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用向量表示 max z CX
n p j x j b s.t j 1 x 0, j 1, , n j
4
x1
9
1.3 线性规划的标准型 1、标准型 max z = c1x1 + c2x2 + · + cnxn · · a11x1 + a12x2 + · + a1nxn = b1 · · a21x1 + a22x2 + · + a2nxn = b2 · · ┆ ┆ am1x1 + am2x2 + · + amnxn = bm · · x1，x2，·，xn ≥ 0 · ·
2
2万m3 1000元/万m3 化工厂2
线性规划的数学模型： max (min)z = c1x1 + c2x2 + · + cnxn · · a11x1 + a12x2 + · + a1nxn ≤(=, ≥) b1 · · a21x1 + a22x2 + · + a2nxn ≤(=, ≥) b2 · · ┆ ┆ am1x1 + am2x2 + · + amnxn ≤(=, ≥) bm · · x1，x2，·，xn ≥ 0 · ·
第一章 线性规划与单纯形法
§1 线性规划问题及其数学模型 1.1 问题的提出 设备台时 [eg.1] 生产计划问题 问：产品Ⅰ、Ⅱ各生产多少件， 材料A
Ⅰ 1 4 Ⅱ 2 0 限制 8台时 16kg
使利润最大？
材料B
利润
0
2
4
3
12kg
目标函数： max z = 2x1 + 3x2 分析： 设：产品Ⅰ生产x1件， 约束条件： 1x1 + 2x2 ≤ 8 4x1 ≤ 16 产品Ⅱ生产x2件。 4x2 ≤ 12 这里z为利润函数， x1，x2 ≥ 0 max z:表示求z的最大值。
① ② ③
x2
②
Q3
Q2
Q4
③
3
(3)目标函数的几何表示； z = 2x1 + 3x2

x2 2 1 x1 z 3 3
①
o
4 Q1
x1
*
5
首先取z = 0，然后，使z逐 渐增大，直至找到最优解所对 应的点。
x2
②
Q3
Q4
③
Q2(4,2)
3
①
*
4 Q1
x1
可见，在Q2点z取到最大值。 因此， Q2点所对应的解为最优解。 Q2点坐标为(4，2)。 即: x1 = 4，x2 = 2
其中 : X ( x1 x 2 x n ) T C (c1 c 2 c n ) p j (a1 j a 2 j a mj ) : x j的系数列向量
T
b (b1 b2 bm )
T
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用矩阵描述为： max z = CX AX = b X ≥ 0 其中: X = (x1,x2,·,xn)T · · C = (c1,c2,·,cn) · · b = (b1,b2,·,bm)T · ·
a11 a 21 A a m1
a12 a1n a 22 a 2 n a m 2 a mn
为系数矩阵
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2、标准型的化法 (1)min→max ∵ min z = cx = -max(-z) ∴ max(-z) = -min z = -cx 令z’ = -z 则max z’ = -cx (2)不等式(≤，≥) 对于“≤”情况：在“≤”左边加上一个松弛变量（非 负），变为等式； 对于“≥”情况：在“≥”左边减去一个剩余变量（非 负），变为等式。 注意：松弛变量、剩余变量在目标函数中的价值系数为0。 (3)无约束变量 令xk = xk’ - xk”，xk’,xk” ≥ 0，代入即可。
A= 1 3 2 2 1 1 ∵ 找不到单位矩阵基 ∴ 引入人工变量为初始基变量（2个）
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3.2
最优性的检验与解的判别
对于 max z c j x j c n i x n i
X B B b ( x1 , x2 , , xm )
m个
( ( 基解：X ( x1( 0 ) , x20 ) , , xm0) , 0,,0)T n m个
m 基解个数 Cn
n! m!(n m)!
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5、基可行解 Q4(0,3) 满足③式要求的基解。 如右图所示，各边交点O,Q1,Q2,Q3,Q4 均为基可行解；而其延长线的交点Q5为 基解，但不是基可行解。
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[eg.7]将下述问题化为标准型 min z = -x1+2x2-3x3 x1 + x2 + x3 ≤ 7 ① x1 - x2 + x3 ≥ 2 ② -3x1+ x2+2x3 = 5 ③ x1,x2 ≥ 0，x3无约束
解：令x3 = x3’-x3”，x3’,x3” ≥ 0； ①式加上一个松弛变量x4；②式减去一个剩余变量x5； 令z’ = -z max z’ = x1- 2x2 + 3(x3’ - x3”) + 0x4 + 0x5 x1 + x2 + (x3’ - x3”) + x4 =7 x1 - x2 + (x3’ - x3”) - x5 = 2 -3x1 + x2 + 2(x3’ - x3”) =5 x1,x2,x3’,x3”,x4,x5 ≥ 0
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1.4 线性规划解的概念 设线性规划为 max z = CX ① AX = b ② X≥0 ③ A为m × n矩阵, n > m, Rank A = m (A为行满秩矩阵） 1、可行解：满足条件②、③的X； 2、最优解：满足条件①的可行解； 3、基：取B为A中的m × m子矩阵，Rank B = m，则称B为线性 规 划问题的一个基。 取B = (p1,p2,·,pm) · · pj = (a1j,a2j,·,amj)T · · 则称x1,x2,·,xm为基变量，其它为非基变量。 · ·
X(1) X(1)
X(2)
X(2)
凸集
X(1)
X(1) X(2) X(2)
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
非凸集
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2、顶点：X∈K，X(1)∈K，X(2)∈K (任意两点)。若X不能用 α X(1)+(1-α )X(2)表示，则称X为K的一个顶点。(0<α <1) 注：顶点所对应的解是基可行解。 3、凸组合：设X(i)∈En，若存在0<μ i<1，i = 1,2,·,k， i 1 · · i1
*
∴由此求得最优解：x1* = 4 x2* = 2 最大值：max z = z* = 2x1 + 3x2 = 14(元)
6
讨论： (1)唯一最优解
max z = z*时，解唯一，如上例。
②
Q3(2,3)
(2)无穷多最优解 [eg.4] 对eg.1，若目标函数 z = 2x1 + 4x2，此时表示 目标函数的直线与表示 条件①的直线平行， 最优点在线段Q3Q2上。 即存在无穷多最优解。
3
说明： (1)决策变量：x1，x2，·，xn · ·
。
一组决策变量表示为问题的一个方案； (2)目标函数：max(min)z z为决策变量的线性函数; (3)约束条件 一组线性不等式。 cj为价值系数, bi为资源， aij为技术系数(i=1,…,m;j=1,…,n)
.
4
1.2 图解法 [eg.3]用图解法求eg.1。 max z = 2x1 + 3x2 1x1 + 2x2 ≤ 8 4x1 ≤ 16 4x2 ≤ 12 x1，x2 ≥ 0 解： (1)建立x1 - x2坐标； (2)约束条件的几何表示；
k i 1
k
X i X (i ) ,则称X为X(i)(i=1,2,·,k)的凸组合。 使 · ·
2.2 基本定理 1、定理1 若线性规划存在可行域，则: 可行域 D = {X|AX = b,X ≥ 0}为凸集。
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证明： 设 X(1)=(x1(1),x2(1),·,xn(1))T ∈ D； · · X(2)=(x1(2),x2(2),·,xn(2))T ∈ D； (X(1) ≠ X(2)) · · 有 AX(1) = b， AX(2) = b 令 X = α X(1) + (1 - α )X(2) (0<α <1) 则 AX = α AX(1) + (1 - α )AX(2) = α b + (1 - α )b = b ∵ α >0 1–α >0 ∴ X ≥ 0， 即D为凸集
解: 1 2 3 0 A p1 p 2 p 3 p 4 , 则 B p1 p 4 0 3 1 1

选 XB = (x1 x4)T 令x2 = x3 = 0 则 初始基可行解：X(0) = (3
0
0
4)T
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3、人工基 [eg.10]max z = x1 + 2x2 + 3x3 x1 + 3x2 + 2x3 = 3 2x1 + x2 + x3 = 4 x1,x2,x3 ≥ 0 分析：
x2
Q4
③
Q2(4,2)
3
① *
o
4 Q1
x1
7
(3)无界解 [eg.5]
x2
max z = 2x1 + 3x2 4x1 ≤ 16 x1，x2 ≥ 0
则x2 → ∞，z → ∞。 即存在无界解。 在实际问题中，可能 是缺少约束条件。
2
o
2
4
x1
8
(4)无可行解 x2 [eg.6] max z = 2x1 + 3x2 2 2x1 + 4x2 ≥ 8 1 x1 + x2 ≤ 1 1 x1，x2 ≥ 0 无公共部分，无可行域。 即无可行解。 在实际问题中，可能是关系错。
1 2 1 0 系数矩阵 A p1 p 2 p3 p 4 , 则 B p3 p 4 2 3 0 1

取x3、x4为基变量,令非基变量x1= x2=0 ∴ 初始基可行解：X(0) = (0 0 3 4)T
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2、观察法 [eg.9]max z = x1 + 3x2 + 2x3 + x4 x1 + 2x2 + 3x3 =3 3x2 + x3 + x4 = 4 x1,x2,x3,x4 ≥ 0
1
[eg.2]污水处理问题 环保要求河水含污低于2‰，河水可自身净化20%。 问：化工厂1、2每天各处理多少污水，使总费用最少？
化工厂1 500万m3
分析： 1.4万m3 化工厂1处理污水x1万m3, 800元/万m3 3。 200万m3 化工厂2处理污水x2万m min z = 1000x1 + 800x2 (2 - x1)/500 ≤ 2/1000 [(1 - 0.2)(2 - x1) + 1.4 - x2]/(500 + 200) ≤ 2/1000 x1 ≤ 2 x2 ≤ 1.4 x1，x2 ≥ 0 这里min z:表示求z的最小值。