运筹学(第四版)清华大学出版社《运筹学》教材编写组-第3章

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运筹学(第四版)清华大学出版社《运筹学》教材编写组-第3章

第2节改进单纯形法
由此得到新的基
B2 P 1 ,P 4 ,P 2 1 P 4 1 0
主元素
1 B2 E2 B11
0 1 1 2 4 E2 4 1 0 0 0 0 0 1 0 1 / 2 1 4 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1/ 4 0 1 0 1 / 2 2 1/ 4
清华大学出版社
19
第2节改进单纯形法
而后以第2列的
(1) a22
为主元素，进行变换
(1) 12 (1) 22
a / a (1) 1 / a22 (1) P2 2 (2) (1) (1) am 2 / a22
20
清华大学出版社
第2节改进单纯形法
二线性规划与目标规划
第 1 章
第2章
第3章第4章
线性规划与单纯形法对偶理论与灵敏度分析运输问题目标规划
1
清华大学出版社
第3章对偶理论和灵敏度分析
第1节
单纯形法的矩阵描述第2节改进单纯形法第3节对偶问题的提出第4节线性规划的对偶理论第5节对偶问题的经济解释——影子价格第6节对偶单纯形法第7节灵敏度分析第8节* 参数线性规划
12
清华大学出版社
第1节单纯形法的矩阵描述
单纯形表中的数据
基变量非基变量等式右边
XB
系数矩阵
XN B 1N1
1
Xs B 1
1
RHS B 1b CB B b
13
检验数
B B 1 0
1
C N1 C B B N 1 C B B

运筹学教材编写组《运筹学》课后习题(第1章线性规划与单纯形法——第3章运输问题)【圣才出品】

②因为 P1 、 P3 线性无关，故有
2xx11
x3 8 6x3
3x2 3 2x2
4
x4 7 x4
令非基变量
x2
x4
0 ，解得
x1
45 13 , x3
14 13
，故
X (2)
45 13
,
0,
14 13
,
0
T
不是可
行解。
③因为 P1 、x2 3 2x2
x3 6x3
令非基变量
x2
x3
0 ，解得
x1
34 5 , x4
7 5
，故有基可行解
X
(3)
34 5
, 0, 0,
7
T
5
，
z3
117 5
。
④因为 P2 、 P3 线性无关，故有
32xx22
x3 8 6x3
2 3
x1 x1
4x4 7 x4
令非基变量
x1
x4
0 ，解得
4x1 x2 2x3 x4 2
s.t.
x1
x2
2x1
3x3 3x2
x4 x3
14 2x4
2
x1, x2 , x3 0, x4无约束
解：令 x4 x4 ' x4 ''，且 x4 ', x4 '' 0 ；在第一个约束条件两边同时乘以-1 后引入人工
变量 x5 ，在第二个约束条件右端加上松弛变量 x6 ；在第三个约束条件右端减去剩余变量 x7 ，
令非基变量
x1
x3
0 ，解得
X
(5)
0,
68 , 0, 29

15《运筹学》(第四版)连续动态规划介绍

水电与数字化工程学院
莫莉
前节回顾
基本概念
• 状态(每阶段初始的出发点)
• 最短路问题中，各个节点就是状态 • 生产库存问题中，库存量是状态 • 物资分配问题中，剩余的物资量是状态
• 控制变量(决策变量)
• 最短路问题中，走哪条路 • 生产库存问题中，各阶段的产品生产量 • 物资分配问题中，分配给每个地区的物资量
u3U 3 ( x3 )
v3 ( x3 , u3 )
u3
f 4 ( x4 )
因有 U 3 ( x3 ) 2,3,4，又 4 x3 8，故可得到下表的计算结果。
U k ( xk ) {uk 2 uk 4}, (k 1,2,3,4) 状态转移方程：xk＋1＝ xk－uk
若用 vk ( xk , uk ) 表示 k 阶段派出的巡逻队数为u k 时，该阶段的部位的预期损失值，
水电与数字化工程学院莫莉
2.1 引例
设用 f k ( xk ) 表示 k阶段状态为 x k，以此出发采用最优子策略到过
莫莉
P44-1.1(1),1.3,1.4 P45-1.6(1)(2)
P74-2.3(1)(2),2.7 P75-2.8 P187-7.3,7.4,7.5 P187-7.7,7.13 P188-7.13(3),7.17 P189-7.21,7.23 P211-8.2,8.3
第3次作业第4次作业
水电与数字化工程学院
的警卫巡逻。对每个部位可分别派出2～4支巡逻队，并且派出
巡逻队数的不同，各部位预期在一段时期内可能造成的损失有
差别，具体数字见下表。问该警卫部门应往各部位分别派多少
巡逻队，使总的预期损失为最小。
部位预期损失巡逻队数 2 3 4 A 18 14 10 B 38 35 31 C 24 22 21 D 34 31 25

管理运筹学(第四版)第三章习题答案

3.1（1）解：, 53351042..715min 212112121≥≥+≥≥++=y y y y y y y t s y y ω（2）解：无限制32132131323213121,0,0 2520474235323..86max y y y y y y y y y y y y y y y t s y y ≤≥=++≤-=+≥+--≤++=ω3.4解：例3原问题6,,1,0603020506070..min 166554433221654321 =≥≥+≥+≥+≥+≥+≥++++++=j x x x x x x x x x x x x x t s x x x x x x z j对偶问题：6,,1,0111111..603020506070max 655443322161654321 =≥≤+≤+≤+≤+≤+≤++++++=j y y y x y y y y y y y y y t s y y y y y y j ω3.5解：（1）由最优单纯形表可以知道原问题求max ，其初始基变量为54,x x ，最优基的逆阵为⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-31610211B 。

由P32式（2.16）（2.17）（2.18）可知b B b 1-='，5,,1,,1 ='-=='-j P C c P B P j B j j j j σ，其中b 和j P 都是初始数据。

设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21b b b ，5,,1,21 =⎪⎪⎭⎫⎝⎛=j a a P j j j ，()321,,c c c C =，则⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⇒='-25253161021211b b b B b ，即⎪⎩⎪⎨⎧=+-=2531612521211b b b ，解得⎩⎨⎧==10521b b ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⇒='-0211121031610212322211312111a a a a a a P B P j j ，即 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧=+-=-=+-==+-=03161121213161212113161021231313221212211111a a a a a a a a a ，解得⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧==-====121130231322122111a a a a a a()()()⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=---⇒'-=31612102121,0,0,2,4,4132c c c P C c j B j j σ，即 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=--=+--=+-2314612142121113132c c c c c c ，解得⎪⎩⎪⎨⎧==-=6102132c c c所以原问题为：,, 10352..1026max 32132132321≥≤+-≤++-=x x x x x x x x t s x x x z 对偶问题为：, 102263..105min 212121221≥≥+-≥-≥+=y y y y y y y t s y y ω（2）由于对偶问题的最优解为()()()2,4,,5454*=-=-=σσσc c C Y IB IB3.6解：（1）因为3x 的检验数0353≤⨯-c ，所以3c 的可变范围是153≤c 。

运筹学(第四版)：第3章运输问题

2.1 确定初始基可行解
第二步：从行或列差额中选出最大者，选择它所在行或列中的最小元素。在表3-10中B2列是最大差额所在列。B2列中最小元素为4，可确定A3的产品先供应B2的需要。得表311
销地 B1 B2 B3 B4 产
加工厂
量
A1
7
A2
4
A3
6
9
销量 3 6 5 6
18
2.1 确定初始基可行解
等所示。
23
2.2 最优解的判别
从每一空格出发一定存在和可以找到唯一的闭回路。因(m+n-1)个数字格(基变量)对应的系数向量是一个基。任一空格(非基变量)对应的系数向量是这个基的线性组合。如Pij, i,j∈N可表示为 Pij ei em j ei emk emk el el ems ems eu eu em j (ei emk ) (el emk ) (el ems ) (eu ems ) (eu em j ) Pik Plk Pls Pus Puj
mn
mபைடு நூலகம்n z
cij xij
i1 j1
m
xij bj j 1, 2,, n
i=1 n
s.t. xij ai i 1, 2,, m
j1
xij
0
(3 1) (3 2)
4
第1节运输问题的数学模型
这就是运输问题的数学模型。它包含m×n个变量，(m+n) 个约束方程，其系数矩阵的结构比较松散，且特殊。
在给出调运方案的计算表上，如表3-
销地 B1 B2 B3 B4 产
13，从每一空格出发找一条闭回路。加工厂
量
它是以某空格为起点。用水平或垂直
A1

运筹学教材编写组《运筹学》章节题库-对偶理论与灵敏度分析(圣才出品)

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5．已知 Yi 为线性规划的对偶问题的最优解，若 Yi>0，说明（）。[深圳大学 2006 研] A．原问题的最优解 xi=0 B．在最优生产计划中第 i 种资源己完全耗尽 C．在最优生产计划中第 i 种资源有剩余 D．无法判断【答案】B 【解析】当影子价格为 0 时，表示某种资源未得到充分利用；而当资源的影子价格不为零时，表明该种资源在生产中已耗费完毕。
【答案】对偶单纯形法
3．某极小化线性规划问题的对偶问题的最优解的第 l 个分量为 yl=-12，则该问题的第 1 个约束条件的右端常数项的对偶价格为：______。[武汉大学 2006 研]
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【答案】-12
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【解析】由对偶问题的经济解释可知，原问题约束条件的右端常数项的对偶价格等于对
4．根据对偶解的经济含义，若天然气资源是我国的一种稀缺能源资源，其影子价格必然是（）。[北京科技大学 2010 研]
A．不能确定 B．＜0 C．=0 D．＞0 【答案】D 【解析】影子价格是对系统内部资源稀缺程度的一种客观评价，某种资源的影子价格越高，说明该资源在系统内越稀缺，增加该资源的供应量对系统目标函数值贡献也越大。天然气是资源是一种稀缺能源资源，其影子价格必然大于 0。
学 2008 研]
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【答案】√
【解析】它的对偶问题可能无解，也可能有无界解。
二、选择题
1．用线性规划制定某一企业的生产计划问题，两种资源的影子价格分别为 y甲=5 ， y乙=8 ，说明这两种资源在该企业中的稀缺程度为（）。[北京交通大学 2010 研]

第3章运输问题

例.当m=4,n=5时， x25,x22 x32,x34 x14,x15 为一闭回路，见下图：
Bj
Ai
B1 B2 B3 B4 B5
A1 A2 A3 A4
․
․ ․
․ ․
․
8
２、表上作业算法的理论依据
定理：（1）运输问题中的m+n个约束方程中只有 m+n-1个是相互独立的，而且其中任意m+n-1个方程都是相互独立的；
1 2 n
销地运费产地 1 2 m
c 11 c 12 c 21 c 22 cm1 cm2
c 1n c 2n cmn
10
3.2.1 寻找初始可行解的方法
1、西北角法 – 从 x11开始分配，从西北向东南方向逐个分配
– xij 的分配公式
( ai i 行已分配的总量 ) i 行尚余物资量 xij min (b j j 列已分配的总量 ) j 列待分物资量
• 从 zij cij > 0 中找最大者，对应 xij 就是入变量。
20
运费表{c ij }
分配表{x ij }
20 5 18
11 9 7
3 10 4
6 2 1
5 3
3
3
3
4 3 12
12 12
5 10 15
检验数按ij=cij+vj计算，这里的cij为基格处的位势按cij = ui -(ui+vj)计算，在下表中用括号标出。这里的cij为非基格(空格)处的单位运费单位运费，即表中的红色数字。可先取u1 =0。
(2)运输问题中个m+n-1变量能构成一组基变量的充要条件是：不存在一条全以此组内变量为顶点的闭回路； (3)设Δ是运输问题的一组基变量，变量xij不在Δ 内，则必存在一条唯一的全以Δ∪{xij}中变量为顶点的闭回路；

管理运筹学(第四版)第三章习题答案参考word

目标函数值为2×30＋5×10＋1×10＋5×10＋3×25＋7×5＋6×20＋10×40＝800目标函数值为2×30＋5×10＋1×10＋5×10＋3×25＋7×5＋6×20＋10×40＝800（2）最小元素法：先从311=c 开始分配先从325=c 开始分配，需迭代4次，具体见QM 的迭代逼近法（结果同最小元素法——先从313=c 开始分配）vj2 2 0 u i1 2 3 产量 0 1 2 10 7 2 8 × 7 × 2 1 2 3 2 1 0 × 2 2 4 1 3 11 3 8 8 × 3 7 × 3 2 4 4 9 2 1 5 × 5 6 -2 5 0 0 0 4 0 × 2 × 4销量757目标函数值为33。

4.5第一种解法（求最大）A B C 产量甲 18 16 21 180 乙 16 18 22 250 丙 19 14 19 320 销量 250300200用QM 解得玩具利润工人第二种解法（求最小）A B C产量甲526449180乙546248250丙516651320销量250300200用QM解得即甲工人做C玩具180个，乙工人做B玩具250个，丙工人做A玩具250个，做B玩具50个，做C玩具20个。

最大利润为：70×250＋80×300＋70×200－41390＝14110元甲乙丙产量A151822400B212516450最低需求290250270最高需求320250350甲1甲2乙丙1丙2产量A1515182222400B2121251616450C M0M M070需求2903025027080用QM解得玩具费用工人地区运费厂家地区运费厂家即A厂供给甲地区化肥150万吨，供给乙地区化肥250万吨；B厂供给甲地区化肥140万吨，供给丙地区化肥310万吨，总运费为14650万元。

运筹学(第四版)清华大学出版社《运筹学》教材编写组-第1章绪论

8
.
模型的一般数学形式可用下列表达式描述：
❖ 目标的评价准则 U=f(xi,yj,ξk)
❖ 约束条件
g(xi,yj,ξk)≥0
❖ 其中：xi——可控变量；
yj——已知参数；
ζk——随机因素。
9
.
第5节运筹学的应用
❖ (1) 市场销售 ❖ (2) 生产计划 ❖ (3) 库存管理 ❖ (4) 运输问题 ❖ (5) 财政和会计 ❖ (6) 人事管理 ❖ (7) 设备维修、更新和可靠性、项目选择和评价
一、绪论
第1节运筹学的简史第2节运筹学的性质和特点第3节运筹学的工作步骤第4节运筹学的模型第5节运筹学的应用第6节运筹学的展望
1
.
第1节运筹学的简史
❖ 运筹学作为科学名字出现在20世纪30年代末。 ❖ 第二次世界大战后，20世纪发展概况。 ❖ 在20世纪50年代中期钱学森、许国志等教授将运筹学由西
方引入我国，并结合我国的特点在国内推广应用。在此期间以华罗庚教授为首的一大批数学家加入到运筹学的研究队伍，使运筹数学的很多分支很快跟上当时的国际水平
❖ 1959年，运筹学部门在中国科学院数学研究所成立，力学所小组与数学所的小组于1960年合并成为数学研究所的一个研究室，当时的主要研究方向为排队论、非线性规划和图论，还有人专门研究运输理论、动态规划和经济分析（例如投入产出方法）。在当时这些先遣者中，越民义先生、刘源张院士、朱永津教授、桂湘云教授、陈锡康教授、徐光煇教授、韩继业教授、李秉全教授、郭绍僖教授等。
❖ (5) 宽容原则。解决问题的思路要宽，方法要多，而不是局限于某种特定的方法。
❖ (6) 平衡原则。要考虑各种矛盾的平衡，关系的平衡。

运筹学教材编写组《运筹学》章节题库-运输问题(圣才出品)

需进行进一步调整。
利用闭回路法进行解的改进。
在初始方案表中以（丙，A）出发作一闭回路，利用闭回路进行调整，得到的结果如表
3-4 所示：
表 3-4
A
B
C
D
供应量
甲
7
6
483Leabharlann M145 / 41
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乙
10 5
6
6
8
M
16
丙
0
3
四、简答题 1．用表上作业法解运输问题时，在什么情况下会出现退化解?当出现退化解时如何处理? 答：当运输问题某部分产地的产量和，与某一部分销地的销量和相等时，在迭代过程中间有可能在某个格填入一个运量时需同时划去运输表的一行和一列，这时就出现了退化。当出现退化时，为了使表上作业法的迭代工作能顺利进行下去，退化时应在同时划去的一行或一列中的某个格中填入数字 0，表示这个格中的变量是取值为 0 的基变量，使迭代过程中基变量个数恰好为（m+n-1）个。
采用最小元素法得初始调运方案如表 3-2 所示：（因为基格个数=7-1=6 个，故在一空
格中填入 0）
表 3-2
A
B
C
D
供应量
甲
7
6
48
3
M
14
乙
10 5
6
6
8
M
16
丙
3
50
8 15 7
15
4 / 41
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需求量
10
12
2．一个运输问题，如果其单位运价表的某一行元素分别加上一个常数，最优调运方案是否发生变化，试说明理由(用表或直接用公式)；[武汉大学 2007 研]

运筹学(第四版)清华大学出版社《运筹学》教材编写组-第5章线性目标规划

11
清华大学出版社
第1节目标规划的数学模型

目标规划的一般数学模型为
目标函数： min z Pl (lk d k lk dk ) l 1 k 1 L K
(4 1) (4 2) (4 3) (4 4) (4 5)
n c x d d g k , k 1, , K kj j k k j 1 n a x (, )b , i 1, , m 满足约束条件： ij j i j 1 x j 0, j 1, , n d k , d k 0, k 1, , K
16
清华大学出版社
第2节解目标规划的图解法

解：设x1，x2分别表示黑白和彩色电视机的产量，本问题的目标规划模型为：
目标函数： min z P d P d P ( 2 d d 1 1 3 3 4) 2 2
x1 x2 d1 d1 40 d2 50 x1 x2 d 2 满足约束条件： x1 d3 d3 24 x d d 2 4 4 30 x , x , d , d 0, i 1,2,3,4 1 2 i i
14
清华大学出版社
第2节解目标规划的图解法

注意：求解目标规划问题时，把绝对约束作为最高优先级考虑。在本例中，能依先后次序都满足d1+=0， d2++d2−=0，d3−=0，因而z*=0。但在大多数问题中并非如此，会出现某些约束得不到满足，故将目标规划问题的最优解称为满意解。
15
清华大学出版社
c j z j akj Pk j 1,2,, n; k 1,2,, K

《运筹学》教材编写组《运筹学》笔记和课后习题(含考研真题)详解(对偶理论与灵敏度分析)

影子价格随具体情况而异，在完全市场经济的条件下，当某种资源的市场价低于影子价格时，企业应买迚该资源用于扩大生产；而当某种资源的市场价高于该企业影子价格时，则企业的决策者应把已有资源卖掉。可见影子价格对市场有调节作用。
要记住：市场价格低于影子价格，可以买迚（然后用灵敏度分析迚行计算），若市场价格高于影子价格，丌买迚。
,
c2
,
, cn
amn
y1, y2,…, ym 0
线性觃划的原问题不对偶问题的关系，其变换形式可归纳如下：
表 2-1
2 / 48
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记忆方法：极大化转化为极小化，变丌反约反；极小化转化为极大化，变反约丌反。注：变指变量，约指约束条件。反指大于变小于，小于变大于。丌反指大于变大于，小于变小于。注意等号总是变无约束，无约束总是变等号。
4．对偶问题的基本性质（1）对称性：对偶问题的对偶是原问题。
（2）弱对偶性：若 X 是原问题的可行解，Y 是对偶问题的可行解。则存在 C X Yb 。
注意，由弱对偶性可以推出： ①max 问题仸一可行解的目标值为对偶 min 问题目标值的一个下界； ②min 问题仸一可行解的目标值为对偶 max 问题目标值的一个上界。（3）无界性：若原问题（对偶问题）为无界解，则其对偶问题（原问题）无可行解。注：这个问题的性质丌存在逆。当原问题（对偶问题）无可行解时，其对偶问题（原问题）戒具有无界解戒无可行解。
的矩阵表示为：
目标函数： max z CB X B CN X N CB X B CN1X N1 CS 2 XS 2 约束条件： BX B NX N BX B N1X N1 S2 XS2 b 非负条件： X B , X N 0

(NEW)运筹学教材编写组《运筹学》(第4版)笔记和课后习题(含考研真题)详解

线性规划问题的共同特征：
（1）每一个问题都用一组决策变量
表示某一方案，这组
决策变量的某一确定值就代表一个具体方案。一般这些变量的取值是非
负且连续的。
（2）存在有关的数据，如资源拥有量、消耗资源定额、创造新价值量等，同决策变量构成互不矛盾的约束条件，这些约束条件可以用一组线性等式或线性不等式来表示。
1.2 课后习题详解
本章无课后习题。
1.3 考研真题详解
本章只是对本课程的一个简单介绍，不是考试重点，所以基本上没有学校的考研试题涉及到本章内容，因此，读者可以简单了解，不必作为复习重点，本部分也就没有可选用的考研真题。Leabharlann 第2章线性规划与目标规划
2.1 复习笔记
1．线性规划模型的概念及其一般形式
目录
第1章运筹学概论 1.1 复习笔记 1.2 课后习题详解 1.3 考研真题详解
第2章线性规划与目标规划 2.1 复习笔记 2.2 课后习题详解 2.3 考研真题详解
第3章对偶理论与灵敏度分析 3.1 复习笔记 3.2 课后习题详解 3.3 考研真题详解
第4章运输问题 4.1 复习笔记 4.2 课后习题详解
2．线性规划问题的标准型及标准化（1）线性规划的标准型
或
（2-4）（2-5）线性规划的标准型要求：目标函数是Max型；约束条件是等式约束；决策变量非负。（2）线性规划的标准化方法
① 若要求目标函数实现最小化，即
，则只需将目标函数最
小化变换为求目标函数最大化，即令，于是得到
第13章排队论
13.1 复习笔记 13.2 课后习题详解 13.3 考研真题详解第14章存储论 14.1 复习笔记 14.2 课后习题详解 14.3 考研真题详解第15章对策论基础 15.1 复习笔记 15.2 课后习题详解 15.3 考研真题详解第16章单目标决策 16.1 复习笔记 16.2 课后习题详解 16.3 考研真题详解第17章多目标决策 17.1 复习笔记

运筹学教学大纲

中国海洋大学本科生课程大纲一、课程介绍1.课程描述：运筹学是为管理人员在做决策时提供科学的依据，在解决实际问题时主要从全局角度出发，通过建立数学模型及求解实现对实际问题的优化。

它是工商管理专业的重要专业课程之一。

主要内容包括线性规划与单纯形法、线性规划对偶理论与灵敏度分析、整数规划、运输问题、图与网络分析、网络计划技术和排队论等运筹学问题建模思想及其求解方法。

Operational research can help managers to get scientific decision.When solving practical issues, I mainly proceed from the overall perspective, and realized the optimization of practical issues by constructing mathematical models and solving them.And it has become an important discipline of discipline of industrial and commercial students.T he main contents include linear programming,duality theory and sensitivity analysis,integer programming,transportation problem,graph and network analysis,PERT technique,and queue theory etc.2.设计思路：本课程首先讲授运筹学概论，使学生对运筹学有一个大致的了解和认识；然后分别介绍运筹学的主要分支：线性规划及目标规划，图与网络分析及排队论的相关建模及求解方法。

- 1 -3.课程与其他课程的关系：在学习本课程之前应先修线性代数，另外本课程对后管理会计的学习也有一定影响。

运筹学(第四版)清华大学出版社《运筹学》教材编写组-第章

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2.1.4 线性规划问题的解概念
❖ 1.可行解 ❖ 2.基 ❖ 3.基可行解 ❖ 4.可行基
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2.1.4 线性规划问题的解的概念
1. 可行解
❖ 定义
满足约束条件(1-5)、(1-6)式的解X=(x1,x2，…，xn)T，称为线性规划问题的可行解，其中使目标函数达到最大值的可行解称为最优解。
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2.1.3 线性规划问题的标准型式
线性规划问题的几种表示形式
用向量形式表示的标准形式线性规划
M
'' 1
:目标函数：max
z
CX
n
约束条件： j1 Pj x j
b
x
j
0,
j 1,2,,n
C c1 ,c2 ,,cn ;
x1
a1 j
b1 Xx2 ; NhomakorabeaPj
a2
j
若约束条件为“≤”型不等式，则可在不等式左端加入非负松弛变量，把原“≤”型不等式变为等式约束；若约束条件为“≥”型不等式，则可在不等式左端减去一个非负剩余变量(也称松弛变量)，把不等式约束条件变为等式约束。 (3) 若存在取值无约束的变量xk,可令
xk xk' xk" xk' , xk" 0
2.1.3 线性规划问题的标准型式
M1 : 目标函数：max z c1x1 c2 x2 cn xn
a11x1 a12 x2 约束条件：a21x1 a22 x2
a1n xn b1 a2n xn b2
am1x1 am2 x2 amn xn bm
x1, x2 , , xn 0

《运筹学》教材编写组《运筹学》笔记和课后习题(含考研真题)详解(运输问题)

第3章运输问题3.1 复习笔记1．运输问题的数学模型运输问题：已知有m 个生产地点,1,2,,i A i m =…，可供应某种物资，其供应量（产量）分别为i a ，1,2,,i m =…，有n 个销地j B ，1,2,,j n =…，其需要量分别为j b ，1,2,,j n =…，从i A 到j B 运输单位物资的运价（单价）为ij c 。

如何安排运输，能使得总运输成本最小？（1）产销平衡运输问题的数学模型1111min ,1,2,,..,1,2,,0m nij iji j mij j i nij i j ijz c x x b j n s t x a i mx =====⎧==⎪⎪⎪==⎨⎪⎪≥⎪⎩∑∑∑∑ 模型特点：①该模型包含m n ⨯个变量，()m n +个约束方程；②该系数矩阵中对应于变量ij x 的系数向量ij P ，其分量中除第i 个和第m j +个为1外，其余的都为零。

即(01010)T ij i m j P e e +==+…………③对于产销平衡的运输问题，有以下关系式存在：111111n m n n m m j ij ij i j i j j i i b x x a ======⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑∑∑∑ 所以模型最多只有m+n-1个独立约束方程。

即系数矩阵的秩≤m+n -1。

注意：运输问题的基变量一定是m+n-1个，m+n-1个变量构成基变量的充要条件是它们不构成闭回路。

闭回路的特点：在运输产销平衡表中，每一条边都是水平或垂直的；每一行或每一列至多只有两个闭回路的顶点。

（2）产销不平衡运输问题的数学模型当产大于销，即11m n i j i j a b ==>∑∑时，运输问题的数学模型可写成：1111min ,1,2,,..,1,2,,0m n ij iji j mij j i nij i j ijz c x x b j n s t x a i mx =====⎧==⎪⎪⎪≤=⎨⎪⎪≥⎪⎩∑∑∑∑ 当产小于销，即11m n i j i j a b ==<∑∑时，运输问题的数学模型可写成：11min m n ij ij i j z c x ===∑∑11, (1,2,,), (1,2,,)0nij i j mij j i ij x a i m x b j n x ==⎧==⎪⎪⎪≤=⎨⎪⎪≥⎪⎩∑∑……2．表上作业法表上作业法是单纯形法在求解运输问题时的一种简化方法，其实质是单纯形法。

2024版运筹学第四版清华大学出版社pdf

社2024pdfcontents •绪论•线性规划•整数规划•动态规划•图与网络分析•存储论•排队论目录01绪论运筹学的起源与发展起源运筹学起源于20世纪30年代，最初是应用在军事领域，旨在研究和解决军事策略和资源分配问题。

发展随着计算机技术的飞速发展和数学理论的不断完善，运筹学逐渐从军事领域扩展到经济、管理、工程等各个领域，并形成了完整的学科体系。

运筹学的定义与特点定义运筹学是一门应用数学、计算机科学和经济学等多学科交叉的综合性学科，旨在通过数学建模、优化算法和计算机技术等方法，对复杂系统进行优化决策。

特点运筹学具有多学科交叉性、广泛应用性、理论性与实践性相结合等特点。

它注重定量分析和实证研究，强调优化决策和系统效率。

经济领域运筹学在经济管理、市场预测、投资决策等方面有广泛应用，如生产计划、库存管理、物流运输等。

社会领域运筹学在社会服务、城市规划、医疗卫生等方面也有应用，如交通规划、教育资源分配等。

工程领域运筹学在工程设计、施工计划、质量控制等方面提供优化方法和技术支持。

军事领域运筹学在军事战略制定、作战计划优化、后勤资源分配等方面发挥重要作用。

运筹学的应用领域02线性规划线性规划问题的数学模型目标函数线性规划问题中需要优化的目标，通常表示为决策变量的线性函数。

约束条件限制决策变量取值的条件，通常表示为决策变量的线性不等式或等式。

决策变量线性规划问题中需要确定的未知量，通常表示为向量形式。

可行域满足所有约束条件的决策变量取值范围所构成的区域。

最优解使目标函数达到最优值的决策变量取值点。

目标函数等值线目标函数取不同值时对应的决策变量取值点所连成的曲线。

线性规划问题的图解法满足所有约束条件且基变量取非负值的决策变量取值点。

初始基可行解通过不断更换基变量和非基变量，使目标函数值不断改善的过程。

迭代过程判断当前基可行解是否为最优解的方法，通常通过计算检验数来实现。

最优性检验单纯形法如何合理安排生产计划以最小化成本或最大化利润。

运筹学(第四版)清华大学出版社《运筹学》教材编写组-第3章