运筹学(第四版)清华大学出版社《运筹学》教材编写组-第3章

25
清华大学出版社
第2节 改进单纯形法
（4）基变换计算 将新的基 P3 , P4 , P2 单位矩阵。计算：
1 / 2 2 1 / 2 1 P2 0 1 0 ；构造E1 1 0 4 1/ 4 1 / 4 主元素
第2节 改进单纯形法
由此得到新的基
B2 P 1 ,P 4 ,P 2 1 P 4 1 0
主元素
1 B2 E2 B11
0 1 1 2 4 E2 4 1 0 0 0 0 0 1 0 1 / 2 1 4 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1/ 4 0 1 0 1 / 2 2 1/ 4
7
清华大学出版社
第1节 单纯形法的矩阵描述
将（2-2）式移项及整理后得到：
BX B b N1 X N1 S2 X S2 ; X B B 1b B 1 N1 X N1 B 1S2 X s2 ; 目标函数： z CB B 1b ( CN1 CB B 1 N1 ) X N1 ( CS2 CB B 1 I ) X S


28
清华大学出版社
第2节 改进单纯形法
计算非基变量的检验数，确定换入变量
N CN CB B11N1 ( 注意：N1 P 1 ,P 5 )
1 1 1
1 0 1 / 2 1 0 2 , 0 ( 0,0,3 ) 0 1 0 4 0 0 0 1 / 4 0 1 2 , 3 / 4 对应 x1 , x5
相应有
N1 B 系数矩阵A ; 其中 N N S ; 2 X S1 基变量 松弛变量：X S X S 非基变量 2
6
清华大学出版社
第1节 单纯形法的矩阵描述
线性规划问题可表示为：
目标函数 max z CB X B CN X N C B X B C N 1 X N1 C S 2 X S 2 b 非负条件 X B , X N 0 ( 2 1) (22) (3 2) 约束条件 BX B NX N BX B N1 X N1 S2 X S2
1 / 2 1 1 / 2 1 1 1 1 B1 E1B0 1 0 1 1 0 1 / 4 1 1 / 4
26
清华大学出版社
第2节 改进单纯形法
（5）计算非基变量的系数矩阵
2
清华大学出版社
第1节 单纯形法的矩阵描述
设线性规划问题可以用如下矩阵形式表示：
目标函数 max z=CX 约束条件 AX≤b 非负条件 X≥0
3
清华大学出版社
第1节 单纯形法的矩阵描述
将该线性规划问题的约束条件加入松弛变量后，得到标 准型： max z=CX+0Xs AX+IXs=b X，X s≥0
然后构造含有（2）列，而其他列都是单位列的矩阵
(1) (1) 1 a12 / a22 0 (1) 1 / a22 0 0 E2 0 a( 1 ) / a( 1 ) 1 m2 22
可得到
(2) (2) 1 0 a13 a1 m (2) (2) 0 1 a23 a2 m E2 E1 A 0 0 a( 2 ) a( 2 ) m3 mm
清华大学出版社
第1节 单纯形法的矩阵描述
（3）单纯形表与矩阵表示的关系
z X 1 B B CB B 1 X N1 X N2 (27)
0 1 B 1 N1 1 1 0 C C B N1 N B B 1b 1 C B B b
换入变量
24
清华大学出版社
第2节 改进单纯形法
(3) 确定换出变量
表示选择>0的元素
B01b i 1 min 1 B0 P2 i 0 B0 P2 i 8 12 min , , 3 对应x5 4 2
清华大学出版社
19
第2节 改进单纯形法
而后以第2列的
(1) a22
为主元素，进行变换
(1) 12 (1) 22
a / a (1) 1 / a22 (1) P2 2 ຫໍສະໝຸດ Baidu (2) (1) (1) am 2 / a22
20
清华大学出版社
第2节 改进单纯形法
1 / 2 1 1 1 N1 4 B11 N1 1 0 4 1 1/ 4 1 1 1 / 2 4 0 1/ 4
（6）计算RHS
1 / 2 8 2 1 1 B1 b 1 0 16 16 1/ 4 12 3
m ax z 2 x1 3x2 0 x3 0 x4 0 x5 x1 2 x2 x3 4 x1 4 x2 x4 8 16 x5 12
23
清华大学出版社
第2节 改进单纯形法
第1步：确定初始基，初始基变量;确定换入，换出变量 （1）确定初始基和初始基变量：
1 x3 B0 P3 , P4 , P5 1 ; X B0 x4 x 1 5
21
清华大学出版社
第2节 改进单纯形法
重复以上的步骤，直到获得
1 1 1 Em E2 E1 A A 1
可见En…E2E1=A-1。用这方法可以求得单纯形法的基矩阵B的 逆矩阵B-1
22
清华大学出版社
第2节 改进单纯形法
以例1为例进行计算。
8
清华大学出版社
第1节 单纯形法的矩阵描述
令非基变量=0，由上式得到：
1 B b (1) 基可行解 X 0 ; 目标函数的值 z C B B 1b
9
清华大学出版社
第1节 单纯形法的矩阵描述
（1）非基变量的系数表示为：
( CN1 CB B 1 N1 ) 对应已用的检验数符号 c j z j ( j 1,2 , ,n ) 检验数也可表示为： C - CB B 1 A与 - CB B 1
（2）计算非基变量的检验数，确定换入变量。
N CN CB B01 N 0 ( 注意：N 0 P1 , P2 )
0 0 0
1 0 0 1 2 2 , 3 ( 0,0,0 ) 0 1 0 4 0 0 0 1 0 4 2 , 3 对应 x1 , x2
16
清华大学出版社
第2节 改进单纯形法
以a11为主元素, 进行变换
a11 a12 P 1 a 1m
主元素
1 / a11 a / a 1 21 11 ( 1 ) am1 / a11
12
清华大学出版社
第1节 单纯形法的矩阵描述
单纯形表中的数据
基变量 非基变量 等式右边
XB
系数矩阵
XN B 1N1
1
Xs B 1
1
RHS B 1b CB B b
13
检验数
B B 1 0
1
C N1 C B B N 1 C B B
清华大学出版社
1
小结
1）掌握矩阵的运算； 2）理解基矩阵的作用； 3）了解矩阵运算与单纯表的关系。
14
清华大学出版社
第2节 改进单纯形法
求解线性规划问题的关键是计算B-1 ，以下介绍一 种比较简便的计算B-1的方法。
15
清华大学出版社
第2节 改进单纯形法
设mn系数矩阵为A，求其逆矩阵时，可先从第1列开始。
a11 a12 a1m a21 a22 a2 m A a m1 am 2 amm
换入变量
29
清华大学出版社
第2节 改进单纯形法
确定换出变量
B11b i 1 min 1 B 1 P 1 i 0 B1 P 1 i 2 16 min , , 2 对应x3 1 4
30
清华大学出版社
17
清华大学出版社
第2节 改进单纯形法
然后构造含有（1）列，而其他列都是单位列的矩阵
0 0 1 / a11 a21 / a11 1 E1 a / a 1 m1 11
18
清华大学出版社
第2节 改进单纯形法
可得到
a21 a21 a11 a11
其中I 是m×m单位矩阵。
4
清华大学出版社
第1节 单纯形法的矩阵描述
若以 Xs 为基变量，并标记成 XB ， 可将系数矩阵（ A ， I ） 分为（ B ， N ）两块。 B 是基变量的系数矩阵， N 是非基 变量的系数矩阵。并同时将决策变量也分为两部分：
XB X X N
10
清华大学出版社
第1节 单纯形法的矩阵描述
（2）θ 规则表示为： RHS值 表示选用>0的分量
1 ( B 1b )i ( B b )i 1 m in 1 ( B Pj )i 0 1 ( B Pj )i ( B Pj )i
换入变量的系数向量
11
(1) 12 (1) 22
a21 a22 a12 a11
(1) 1m (1) 2m
1 a a 1 a 0 a 0 E1P1 ; E1 A 0 0 a( 1 ) a( 1 ) m2 mm
二 线性规划与目标规划
第 1 章
第2章
第3章 第4章
线性规划与单纯形法 对偶理论与灵敏度分析 运输问题 目标规划
1
清华大学出版社
第3章 对偶理论和灵敏度分析
第1节
单纯形法的矩阵描述 第2节 改进单纯形法 第3节 对偶问题的提出 第4节 线性规划的对偶理论 第5节 对偶问题的经济解释——影子价格 第6节 对偶单纯形法 第7节 灵敏度分析 第8节* 参数线性规划
27
清华大学出版社
第2节 改进单纯形法
第1步计算结束后的结果
基 B1 P3 , P4 , P2 ; 基变量 X B1 x3 , x4 , x2 ;
T
非基变量 X N1 x1 , x5 ;
T
价值系数 C C B1 ,C N1 ( 0 ,0 ,3 ),( 2 ,0 )
相应地可将目标函数系数 C分为两部分： CB和CN，分别 对应于基变量XB和非基变量XN，并且记作 C=（CB, CN）
5
清华大学出版社
第1节 单纯形法的矩阵描述
若经过迭代运算后，可表示为：
基变量 X B1 可包含原基变量和松弛 XB 变量 XS 1 X N1 ; 非基变量： XN XS 2