2011高考全国卷2数学理科试题及答案

2011年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷二）

理科数学（必修+选修II ）

一、 选择题

（1） 1zz z --=复数1i z =+，z 为z 的共轭复数，则

A.-2i

B.-i

C.i

D.2i

（2） 函数0)y x =≥的反函数为

A.2

()4

x y x =∈R

B.2

(0)4

x y x =≥ C.24()y x x =∈R

D.()240y x x =≥

（3） 下面四个条件中，使得a b >成立的充分不必要条件是

A.1a b >+

B.1a b >-

C.22a b >

D.33a b >

（4） 设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若11a =，公差2d =，2?–24k k S S +=，则k =

A.8

B.7

C.6

D.5

（5） 设函数()cos (0)f x x ωω=>，将()y f x =的图像向右平移3

π

个单位长度后，所得到的图像与

原图像重合，则ω的最小值等于 A.13

B.3

C.6

D.9 （6） 已知直二面角l αβ--，点,A A C l α∈⊥

，C 为垂足，点,B BD l β∈⊥，D 为垂足。若2AB =，1AC BD ==，则D 到平面ABC 的距离为

B.

D.1

（7） 某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1

本，则不同的赠送方法有 A.4种 B.10种 C.18种 D.20种 （8） 曲线2e 1x y -=+，在点(0,2)处的切线与直线0y =和y x =围成的三角形的面积为

A.13

B.

12

C.

23

D.1

（9） 设()f x 是周期为2的奇函数，当01x ≤≤时，()()21f x x x =-，则52f ⎛⎫

-= ⎪⎝⎭

A.12

-

B.14

-

C.

14

D.

12

（10） 已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，直线24y x =-与C 交与A ，B 两点，则cos AFB ∠=

A.

45 B.3 5 C.35

-

D.45

-

（11） 已知平面α截球面得圆M ，过圆心M 且与α成60︒二面角的平面β截该球面的半径为4，圆M 面积为4π，则圆N 的面积为 A.7π B.9π C.11π D.13 π

（12） 设向量,,?a b c

满足()

11,,,602

a b a b a c b c ===---=︒

，则||c 的最大值为

A.2

B. D.1

二、 填空题

（13）(20

1的二项展开式中，x 的系数与9x 的系数之差为__________。

（14）已知,2παπ⎛⎫

∈ ⎪⎝⎭

，sin 5α=,则tan 2α=__________。

（15）已知F 1、F 2 分别为双曲线22

:1927

x y C -

=的左右焦点，点A C ∈，点M 的坐标为(2,0)，AM 为12F AF ∠的平分线，则2AF =_________。

（16）已知点E 、F 分别在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱11BB CC 、上，且112,2B E EB CF FC ==，则面AEF 与ABC 所成的二面角的正切值等于__________。

三、解答题

（17）ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .已知90,A C a c -=︒+=，求C 。

（18）根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3，设各车主购买保险相互独立。

（I ） 求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中一种的概率。

（II ）X 表示该地的100位车主中，甲、乙两种保险都不购买的车主数，求X 的期望。

（19）如图，四棱锥S ABCD -中，,AB CD B D C C ⊥∥，侧面SAB 为等边 ，2AB BC ==，

1CD SD ==. （I ） 证明：SD SAB ⊥平面；

（II ）求AB 与平面SBC 所成角的大小。

（20）设数列{}n a 满足10a =且

111

111n n

a a +-=--.

（I ） 求{}n

a 的通项公式； （II ）设n

b =

，记1

n

n k k S b ==∑，证明：1n S <.

（21）已知O 为坐标原点，F 为椭圆2

2

:12

y C x +=在y 轴正半轴上的焦点，过F 且斜率为线l 与C 交于A 、B 两点，点P 满足 0OA OB OP ++=

. （I ） 证明：点P 在C 上；

（II ）设点P 关于点O 的对称点为Q ，证明A P B Q 、、、四点在同一圆上。

（22）设函数()()2ln 12

x

f x x x =+-

+。 （I ） 证明：当0x >时，()0f x >；

（II ）从编号1到100的100张卡片中每次随机抽取一张，然后放回，用这种方式连续抽取20次，

设抽得的20个号码互不相同的概率为p 。证明：19

29110e p ⎛⎫

<< ⎪⎝⎭

。